\documentclass[12pt,oneside]{book}
\usepackage{geometry}
\paperheight 297mm
\newcommand \EN[1] {{#1}}   	% make the English version
%\newcommand \EN[1] {{}}    	% suppress the English version
%\newcommand \RU[1] {{#1}}  % make the Russian version (in this document not supported)
\newcommand \RU[1] {{}}      	% suppress the Russian version
%The Japanese version is not yet supported. While \JP is used to suppress several lines at once.
% in both, Russian and English versions.
\newcommand \JP[1] {{}}   	 % suppress some text
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsbsy,graphicx}
\usepackage{rotating}
\usepackage{hyperref} 
\usepackage{wrapfig}
%\renewcommand\baselinestretch{.94}
%\renewcommand\baselinestretch{1.15}
\renewcommand\baselinestretch{1.2}
%\textwidth 175mm
\textwidth 150mm
\oddsidemargin 5mm
%\evensidemargin -16mm
\topmargin -18mm
%\topmargin -17mm
%\topmargin -22mm
\textheight 257mm
\pagestyle{plain}
\large

\JP{
\textwidth 175mm
\textheight 250mm
\oddsidemargin 5mm
\evensidemargin -16mm
\topmargin -22mm
}

\usepackage{color}
\definecolor{rose}{rgb}{1,.9,1}

\definecolor{bottom}{cmyk}{0,1,1,0}

\renewcommand\thesection{\arabic{section}}
\addtolength{\skip\footins}{8pt} % Does it do anything?

%\renewcommand\refname{References}
%\renewcommand\figurename{Fig.}
%\allowdisplaybreaks
\multlinegap10pt
% Команды автора: Author's commands
\newcommand \be {\begin{eqnarray}}
\newcommand \ee {\end{eqnarray} }
\newcommand \sx {\scalebox}
\newcommand \rme {{\rm e}}	 %%makes the base of natural logarithms Roman font 
%\newcommand \rme {{e}}	%%makes the base of natural logarithms Italics font; choose one of these
\newcommand \rmi {{\rm i}}	 %%imaginary unity is always roman font
\newcommand \ds {\displaystyle}
\newcommand \bN {\mathbb{N}}
\newcommand \bC {\mathbb{C}}
\newcommand \bR {\mathbb{R}}
\newcommand \cO {\mathcal{O}}
\newcommand \cF {\mathcal{F}}
\newcommand \rot {\begin{rotate}}
\newcommand \ero {\end{rotate}}
\newcommand \nS {\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
\newcommand \pS {{~}~{~}}
\newcommand \fac {\mathrm{Factorial}}
\newcommand {\rf}[1] {(\ref{#1})}
%\newcommand{\iL}[1] {\label{#1}}	%make the labels invisible
%\newcommand{\iL}[1] {~\label{#1}~}	%make the labels invisible
%\newcommand{\iL}[1] {~\label{#1}\pS \nS}	%make the labels invisible
%\newcommand{\iL}[1] {~\label{#1}\pS \rm[#1]\nS}	%make the labels visible
\newcommand{\iL}[1] {\label{#1}} 			%make the labels invisible; choose one of these options
\newcommand \eL[1] {\iL{#1}\ee}
\newcommand \ing \includegraphics
\newcommand \tet {\mathrm{tet}}

\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,.4}

\begin{document}

\pagestyle{empty}

%\setcounter{page}{2015}
%\pagestyle{empty}

\begin{picture}(426,730)
\put(-96,476){\sx{.37}{\ing{tetma100}} }
%\put(139,424){\sx{3}{\sf Дмитрий Кузнецов}}
\put(70,410){\sx{4}{\sf Dmitrii Kouznetsov}}
\put(66,330){\sx{5.2}{\sf Superfunctions}}
%	\put(40,344){\sx{4.6}{\sf SUPERFUNCTIONS}}
%	\put(65,344){\sx{5.2}{\sf Superfunctions}}

\put(-40,200){\sx{2}{\begin{parbox}{250pt}{\flushright 
\color{darkblue} \sf
Non-integer iterates of holomorphic functions. \\  Tetration and other superfunctions. Formulas,\\  algorithms, tables, graphics and complex maps.}\end{parbox}}   }

%\put(70,40){\sx{4}{\sf 2014}}

\put(170,40){\sx{4}{\sf 2020}}

%\put(0,-74){\color{bottom} \rule{500pt}{40pt}}
\put(-120,-70){\color{bottom} \rule{700pt}{60pt}}
\end{picture}
%\url{https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0}
\parindent 0pt
\large
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Covervi.jpg} 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg}  cover map

%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/402.pdf}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/417.pdf}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/438.pdf}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/443.pdf}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/444.pdf}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/443.pdf} (previous)


\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Book}

\vskip 5pt

This version %is under construction, 
generated from Latex source \today

\vskip 12pt

Russian version of year 2014 (Fig.\ref{LepaDim}):

\sx{.9}{https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0}

List of misprints in the First edition of the Russian version is at \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfunctions_in_Russian}

I load the corrected version as

\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf}

\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf}

\vskip 18pt
List of figures is also available online, I load it as\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}

\begin{figure}[h]
\vskip 18pt
\begin{center}
\sx{.55}{\ing{LepaDim}}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{Distribution of the Russian version of this Book, 2014 \label{LepaDim}}
\vskip -18pt
\end{figure}

%\begin{center}
%\setcounter{page}{2014} \begin{picture}(300,440) \put(-100,-200){\ing{cover2}} \end{picture}\\
\JP{
\setcounter{page}{2014}
\begin{picture}(300,440)
\put(-100,-400){\ing{cover3}}
\end{picture}\\
\setcounter{page}{2014}
\begin{picture}(300,440)
\put(-100,-400){\ing{cover4}}
\end{picture}\\
\setcounter{page}{2014}
\begin{picture}(300,440)
\put(-100,-400){\ing{cover5}}
\end{picture}
%\begin{picture}{400px}{600px}
%\put(0,0}{\ing{cover2}}
%\end{picture}
%\end{center}

\newpage
}%JP

%\pagestyle{empty}
%\setcounter{page}{-1}

\baselineskip 17.7pt
\tableofcontents 
\vskip 12pt

%{\bf \sx{1.1}{Литература} ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 313} 
%\rule{200pt}{0pt}
%{\bf \sx{1.06}{Литература} \rule{306pt}{0pt} 319} 
{\bf \sx{1.06}{References} \rule{316pt}{0pt} \pageref{references}} 

\pagestyle{plain}
\large
%\chapter{~ Предисловие}
\chapter{~ Prologue}
\baselineskip 17pt

\parindent 0pt
%\hspace{-3cm}\rule{30mm}{1mm} Проверка, что поля слева имеют ширину 3 см.
%\hspace{-2cm}\rule{20mm}{1mm}  Потом вместо этой вставки сюда предполагается встроить значок физфака МГУ.
%\hspace{-1cm}\rule{10mm}{1mm}
%\begin{wrapfigure}{r}{148pt}
\begin{wrapfigure}{r}{148pt}
%\sx{.5}{\begin{picture}(220,118)
\sx{.5}{\begin{picture}(220,60)
\put(40,0){\ing{oblakoV}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
%\caption{Фигура Маяковского\label{oblako}}
\caption{Cloud in Trousers \label{oblako}}
\vskip -18pt
\end{wrapfigure}

I type this Prologue, respecting my teachers of English, and also those of the Russian Literature.
They think,
%had explained, 
that every scribbling, % (even if it is not in the classical English), 
since W.Shakespeare,
should begin with some Prologue\footnote{ W. Shakespear. Romeo and Juliet. Prologue. 932/Sh12, Kenkyusba English Classics, 1926.},
and should finish with some Epilogue. In addition, the Soviet teachers had promoted the sovietism\footnote{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Sovietism}
and the socialistic realism, that implies, that even a cloud should wear some trousers\footnote{\url{http://www.unlikelystories.org/old/archives/cloudintrousers.html} A Cloud in Trousers by Vladimir Mayakovsky, translated from the Russian by Andrey Kneller. Prologue. Cited by the state for 2014.09.10.} as it is shown in Fig.\ref{oblako}.
\vskip 3pt
This prologue %should be considered
appears as a kind of trousers, a wrap, to cover the inside; where, my results are presented in a 
%pretty 
naked and provocative form.
%(I suppose, that the Reader already knows, that even the innocent girls, under their cloth,  are pretty naked.)
%It is difficult to drop-off all the details of the Russian socialistic realism, so, in figure \ref{oblako}, the cloud appears with trousers. I hope, this book will be treated by the adult readers, who can imagine this cloud also without trousers.
\vskip 6pt

This Book is about holomorphic (analytic) solutions $F$ of equation 
\be
F(z\!+\!1)=T(F(z))
\iL{prologeq}
\ee
where $T$ is some given holomorphic (analytic) function. Also, this Book is about applications of the solution $F$, its inverse function $G\!=\!F^{-1}$ and interesting properties of 
function $T^n(z)\!=\!F(n\!+\! G(z))$.
The given function $T$ is called ``transfer function''; the solution $F$ is its ``superfunction''. The inverse function $G$ is called the ``Abelfunction''.
%The book, as it follows from the title is about superfunctions and related functions.
\vskip 6pt

The Prologue describes not functions $F$ and $G$ above, but this Book: what is it, why is it, how to use it, what is in it, and what is not. 
I follow the classical example\footnote{ 
François Rabelais. %, translated by Thomas Urquhart and Peter Antony Motteux. 
Gargantua \cite{Rabelais} : %/The Author's Prologue to the First Book.\ref{Rabelais}:
.. Most noble and illustrious drinkers, and you thrice precious pockified blades (for to you, and none else, do I dedicate my writings), %Alcibiades, in that dialogue of Plato's, which is entitled The Banquet, whilst he was setting forth the praises of his schoolmaster Socrates (without all question the prince of philosophers), amongst other discourses to that purpose, said that he resembled the Silenes.
}
and explain, why this Book is so important.
\vskip 4pt

%This chapter present the apology, why this book is composed in its way. 
Readers, who are interested namely in solutions of the equation above and their physical meaning, may scroll from here directly to Introduction,
%. I mean 
Chapter \ref{intro} at page \pageref{intro}.

%Because this Prologue (or Preface)
%Those, who 
%namely trousers, and also representatives of the orthodox religions (Islam, Bolshevism, Christianity, etc.), may finish reading of the book with this Prologue. Then, their religious senses (``религиозные чувства'') will not be insulted, and they avoid the heavy moral injuries. 

\JP{
Я пишу это предисловие из уважения к моим учителям Английского языка, которые считают, что любая писанина (даже если она не очень по-английски), каждый том, глава должны начинаться с %хотя бы краткого, но 
Предисловия (или даже Вступления) и заканчиваться
%, хотя бы кратким, но 
Послесловием.
Схожее мнение, ещё в СССР, высказывали учителя русской литературы, объяснявшие  школьникам облако в штанах (рис.\ref{oblako}) и прочие %пикантные 
детали соцреализма.
}%JP

\section{For whom is this Prologue}
%\baselineskip 20pt
\baselineskip 17.6pt

I type this Prologue not for the Readers. I type this Prologue for those, who will not read this Book:
%Это предисловие пишется не для читателей.  Оно пишется для тех, кто Книгу читать не будет:
%\vskip 1mm
\vskip 1mm

{\bf For Editors}, managers, sellers, who deal with thousands books, and who have need to understand, within a minute, why namely this Book should
% (by the opinion of the Author) 
be placed at the top in the list of recommended literature.

%{\bf Для редакторов}, издателей и продавцов, которые работают с тысячами книг и которым надо за минуту понять, почему именно эта Книга должна (по мнению автора) стоять на первом месте в списке рекомендованной литературы.
%\vskip 1mm
\vskip 1mm

{\bf For the experienced critics}, who read only two or three pages, in order to write the review:{\em 
What oddity is this: Superfunctions? What sort of Superfunctions have we here? And thrust into the world by a laserist! 
%God protect us! 
As if we are not satisfied with superconductivity, supersymmetry, superfluidity, supermen and supermarkets!
As though threes enough had not been cut for paper, and not enough files have been loaded into internet! As though folks enough of all classes had not tired their fingers with keyboards! The whim must take a laserist to follow their example! Really there is such a lot of paper nowadays that it takes time to think what to wrap in it!}
\footnote{%\url{http://xixvek.wordpress.com/2013/03/27/translation-comparison-evenings-at-a-farmhouse-near-dikanka/}
%Translation comparison: 
N.Gogol. Evenings at a Farmhouse near Dikanka. MARCH 27, 2013. \cite{xutore} :~
“What oddity is this: Evenings on a Farm near Dikanka? What sort of Evenings have we here? And thrust into the world by a beekeeper! God protect us! As though geese enough had not been plucked for pens and rags turned into paper! As though folks enough of all classes had not covered their fingers with inkstains! The whim must take a beekeeper to follow their example! Really there is such a lot of paper nowadays that it takes time to think what to wrap in it.”}

%{\bf Для опытных критиков}, которым достаточно прочесть две страницы, чтобы написать рецензию:
%«Это что за невидаль: ``Тетрация, суперфункции''? Что это за ``суперфункции''? Мало нам %экстрасенсов, 
%сверхпроводимости, сверхтекучести, сверхразрешения, суперсимметрии, супергравитации, суперструн и других ``супернаук'', и мало нам суперменов, супермаркетов и суперинфляции, и вот, на тебе, теперь ещё  ``суперфункции''! И швырнул в свет какой-то лазерщик! Слава Богу! Ещё мало забили интернет всякими текстами и извели леса на бумагу! Ещё мало народу, всякого звания и сброду, застряло у мониторов! Дернула же охота и лазерщика потащиться вслед за другими! Право, печатной бумаги развелось столько, что не придумаешь скоро, что бы такое завернуть в нее». \cite{xutore}
%\vskip 1mm
\vskip 1mm

\JP{ {\bf Для библиотекарей}, % и коллекционеров, 
%библиотеки которых не полны без этой Книги, и 
которым надо выбрать для этой Книги подходящую полку
на самом видном месте, %(рис. \ref{bookworm}), 
чтобы её было легко найти среди книг про суперсимметрию, сверхтекучесть, сверхпроводимость, суперменов и супермаркеты. }%JP
{\bf For librarians}, who need to find for this Book a suitable place, in order to make it visible at the background of tons of books about superconductivity, supermen, supermarkets and superinflation.
\vskip 1mm

\JP{
{\bf Для коллег}, которые удивляются, с какой стати лазерщик, вместо того, чтобы рекламировать оптические керамики, развивая Прикладную Лазерную Науку (за которую дают гранты), вдруг занялся суперфункциями (за которые пока грантов не дают), и ведёт себя как простак, который не знает, где в суши спрятана рыбка (так в стране Восходящего Солнца может звучать русская Теорема о том, с какой стороны у бутерброда масло).
}

{\bf For colleagues}, 
who may wonder, why the laserist, instead of to promote the optical ceramics (for which the big Grants are assigned)
deals with superfunctions (which are yet very far from to get the financial support), and behaves as a  simpleton, who does not know, 
{\em How to Win Friends and Influence People}.
%\vskip 1mm
\vskip 1mm

{\bf For relatives} and friends, who teach me to live and to promote my results. They seem to know very well, how to 
{\em influence people}. This book could be a kind of medicine against this kind of influenza.
However, more detailed analysis of relations between friends is published separately
\cite{klavanur}.
% I consider this important, because it almost impossible to catch hot, but very easy to catch cold.

\JP{
{\bf Для родственников} и друзей, которые учат меня жить и рекламировать мои результаты.
Судя по предварительным отзывам, они лучше меня понимают, где в суши спрятана упомянутая выше рыбка, и как её съесть, совмещая полезное с приятным. Впрочем, исследование взаимопонимания между родственниками и друзьями 
\cite{klavanur} %\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/klavanur.shtml 
не включено в этот труд и публикуется отдельно.}
\vskip 2mm

\JP{
%Таким образом, л
Любители чтения увлекательного и благопристойного \cite{Rabelais},
% http://royallib.ru/read/rable_fransua/gargantyua_i_pantagryuel__II.html#0
уставшие от сальных шуток Панурга и желающие хлебнуть чуток физической математики 
\cite{fizmat,physmat}, либо интересующиеся именно тетрацией и прочими суперфункциями, могут диагоналить отсюда прямо к главе 2.}

For the categories of non-readers mentioned above, I should specify the genre and topic of this book. 
The next two sections are dedicated to this. 
With such a specification, one may form his/her/its own opinion about the book, without to read it.
%Additional idea for such a critics can be borrowed from the classic literature
%The Readers, who look for the pleasant results of my invention 
%
%\cite{xutore}.
%may scroll from here directly to the Chapter 2.

\section{Russian version and copyleft}
%\baselineskip 21pt
\baselineskip 18pt

%\hskip22pt
\begin{wrapfigure}{r}{200px}
\sx{.33}{\begin{picture}(400,120)
\put(40,-30){\ing{NakedConductor}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{Translation cause confusion \label{conductor}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}

This book had been planned as the English version of the Russian book ``Суперфункции''
\footnote{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfunctions_in_Russian}\\
%\url{https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0} \\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf} Д.Кузнецов. Суперфункции. Lambert Academic Press, 2014. (In Russian)
}.
I did great efforts translating the Russian expressions into English; figures \ref{oblako},\ref{conductor}  prove this. 
\vskip 3pt

I provide references to the English translations of the classical books cited in the Russian version.
%I even tried to use the automatic translation. 
However, in many cases, the translation is not possible. Often, it is difficult to find the English equivalents of the references cited. So, I give up trying to translate the Book; %, my skills are not sufficient to do it well. I suspect, nobody can do it well; so,
%and I just
I re-write it in English. 
%I hope, this is correct choice; and the book, written in poor English is still better, than a book, poorly translated. %\vskip 3mm
%This Book should be considered as an independent document, not as an English translation of the previous my book.
\vskip 6pt

%In this Book, 
I reuse some formulas and figures, that are available at the free sites; in particular, at Mizugadro and Citizendium. 
%There resourses 
The links are mentioned in the Supplement \ref{SupplementSites}, at page \pageref{SupplementSites} . I load the gallery of the images at \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book} ; I hope, this server will last longer, than the previous holder of TORI at
http://tori.ils.uec.ac.jp/TORI, that had been attacked 2013.02.27; then, the access 
%to http://tori.ils.uec.ac.jp/TORI 
had been disabled.
%\footnote{
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tori_attacked} \\
%\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/toriattacked.shtml} D.Kouznetsov. TORI attacked, 2013};
It took certain efforts to arrange the clone at \url{http://mizugadro.mydns.jp/t}. 
%The messages, I got just before the attack, indicate, that the 
The reason of the aggression could be the critical article prepared for ``Physics Today''
\footnote{\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013physToday.pdf} D.Kouznetsov. Corruption in Russian science. 2013, preprint}.
%\cite{2013PhysToday}.
Unfortunately, namely this way the politicians answer the critics, while they cannot build any logical argumentation.
I hope, those politicians pay to administration of our university some significant amount per each day, while TORI is not available at its original URL.
I have no other explanation of the attitude or our administration, who had post-factum approved that barbarian attack.
I try to make Science, not the criminal investigation, so, I mention only the scientific point of view on the events. However, I hope, one day, the professional criminalists carefully investigate the case, as well as the origins of other attacks happened
2013.02.27,
2014.02.27,
2015.02.27,
2016.02.27,
2017.02.27,
2017.03.04 (lated few days since the expected date 2018.02.27).
\footnote{%Periodic sequence of brutal attacks is observed with period one year.\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tori_attacked} \\
\sx{.96}{\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/toriattacked.shtml} D.Kouznetsov. TORI attacked, 2013}}%
%, which existed during two years. 2013.02.27, 
%that site had been attacked and 
\vskip 2mm

I allow the free use of my results, and I try to simplify the use. In particular, I provide generators of images, used in the Book.
I would not specify this in details, but one recent observation indicates that the problem is very serious.
Since year 2014, the strange phenomenon is observed in the resources of wikimedia:
the administrators claim, that publication of my results violate my authors rights. The same, and even worse, happen with results by other authors from the USSR and, especially, texts of the Soviet dissidents. The administrators ignore the permissions provided by the copyright owners, and remove the texts and the images, claiming, that the loading or the texts and images are 
``Copyright violation''. The similar phenomenon could take place in the Nazi Germany. The nazi used to arrest, to kill the opponents, and withdrawn their books from shops and libraries with pretext of defence of the intellectual property.
They killed many authors, and, if the author is already dead, the fascists claim, that now the State becomes owner of the copyright property. However, the State, after to kill the authors, prohibit the distribution of their works.
May be, the professional historian corrects me, that the German nazi acted in a little bit different way. 
%Then I'll have to correct the story above. 
But everyone may look at wikisource, and, especially, to its Russian version 
%(knowledge of at least basic Russian is recommended) 
and see, that namely this happens at wikimedia, and, especially, since year 2014. Perhaps, the Russian Soviet veterans decided, that the invasion into Ukraine and  plundering of Crimea is not sufficient, and begun to plunder also the wiki resources.
I mention this in the special statement
\footnote{
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Kouznetsov,_permission}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Kouznetsov,_permission}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Kouznetsov,_permission}
Open letter by Dmitrii Kouznetsov about massive removal of texts and images from Wikimedia projects with pretext of defence to the copyright of the authors. Wed, Mar 18, 2015 at 11:23}. 
\vskip 2mm

I type the paragraph above in order to stress, that I had issued the permission to distribute my results under the free GNU license;
the only attribution is required. The attempt to ``defend'' my author's right in the way described above, is a fraud: several years ago I had allowed the free distribution, and I provide the links, that confirm this. In particular, the permission refers to the plots, used in this book and their generators. I specify the URL of the image at each picture. If some administrator claims, that use of this image under the "free" license violates my copyright, let me know. I think, such an administrator should be qualified as liar, impostor, knave, thrive; and his/her/its attempts to defend my author's right in such a way should be qualified as a fraud.
In other words, use the images from this Book, as well as from Russian version, for free, but do not forget to attribute the source.
%It is important 
%not to confirm my authorship (I have no doubt in it), but 

%The attribution simplifies the tracing and correction of errors, if any.
%I have corrected many misprints since the first Russian edition of this Book, but my mother says, that in every text, after all corrections, it is possible to find some errors.
%In the 
%First edition of the 
%Russian version, some figures are supplied with URLs to their generators. I try to correct this in the English version.
%Use for free!

%\ref{Chapter1}. %\section{Физическая математика}
\section{Physical mathematics}
\baselineskip 19.8pt

%В этой секции обсуждается жанр книги\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Kouznetsov,_permission}
% и её место в общей структуре человеческого знания. %\vskip 2mm
%Меня спрашивали, как я бы характеризовал жанр этой книги. Я бруснул поисковики, и получается, что ближе всего подходит термин ``физическая математика'' 
While writing this Book, I was asked about its genre. I searched the answer in various databases, and it seems, the closest qualification is ``Physical mathematics'' \cite{fizmat,physmat,euclid}. 
%This order of words is chosen, to distingish it from the mathematical physics.
% Такой порядок слов выбран, чтобы не путать её с математической физикой. %Чуточку дальше - ``научная философия'' или даже ``научная религия''.  %Я не могу и не хочу доказывать аксиомы ТОРИ, упомянутые выше, я просто верю в них; поэтому эту Книгу можно считать также религиозной. %Это первая последовательная попытка применения религии ТОРИ к практической деятельности. 
\vskip 9pt

Term ``physical mathematics'' should not be confused with ``mathematical physics''. The order of words is important. 
%Consider the example with two kanjis, \sx{.12}{\ing{to}} and \sx{.12}{\ing{kyo}}. Both are used in Japanese.
%\sx{.12}{\ing{to}\ing{kyo}} denotes Tokyo, while \sx{.12}{\ing{kyo}\ing{to}} denotes Kyoto,
%which is 5 hours to drive from Tokyo. Also, we can mention the example of physical chemistry (which deals with 
%phenomenological description of chemical processes) and chemical physics (that is quantum mechanics of atoms and molecules).
%In the similar way, ``mathematic'' and ``physic'' to not commute.
%\vskip 2mm
Similar examples exist in the Quantum Mechanics. Let $P$ be momentum of a particle, and $Q$ be its coordinate; then 
$PQ\!-\!QP\!=\!-\mathrm i \hbar$.
\vskip 4pt

One student could not catch the sense of non-communing operators. She tried to understand, why operator of creation does not commute with operator of annihilation. The Professor tried different explanations, then he found the strong example for female students; he asked:\\
{\em Could you explain me, please, why operation  {\bf TO CLEAN-UP} does not commute with operation  {\bf TO DIRT-DOWN}  ?} \\
The student was content, she said:\\
{\em Thank you, Professor! This is very good example! Now I understand all the Quantum Mechanics!}\\
Professor also got a good lesson; he realised, how to teach Quantum Mechanics, keeping women and female logic in mind
\footnote{\url{http://pda.anekdot.ru/id/658766}  Bogorad Victor. Мысли, Мысли. (2013, In Russian) \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Female_logic} D.Beklemishev. Female logic. (2013)\\
\url{http://www.ams.org/notices/201309/rnoti-p1156.pdf} 
%Jessica M. Deshler and Elizabeth A. Burroughs. Teaching Mathematics with Women in Mind. Notices of the AMS, V. 60, No. 9, p.1156-1163.
J.M.Deshler, E.A.Burroughs. Teaching Mathematics with Women in Mind. Notices of the AMS, V.60, No.9, p.1156-1163.
}.
\vskip 9pt

Term ``mathematical physics'' denotes the mathematical exercises with equations that come from Physics.\\
Term ``physical mathematics'' means, that the common scientific tools are used to check mathematical conjectures; the rigorous mathematical deduction appears as a possible scientific method, but not an imperative.
%The basic scientific tools are overviewed in the next section.
%Other (physical, and in some sense, even more general) ways to verify, to check, to test, to debug the suggested (mathematical) statements are considered in the next section.
%\vskip -2mm
%~

\JP{
Некоторые тексты физической математики \cite{fizmat} я считаю сложными \footnote{Например, я не сумел проследить ``физический'' вывод работы \cite{fizmat} о том, что площадь под параболой равна 4/3 от площади в вписанного треугольника}.
%, предложенный там в качестве иллюстрации}. % того, чем физическая математика отличается от математической физики.
%Но я учусь на чужих ошибках и н
Надеюсь, что дедукция в этой Книге  более прозрачна. %В частности, для иллюстрации разницы между физической математикой и математической физикой предлагается пример отличия водки царской от царской водки.
}

%\section{Аксиомы ТОРИ}
\section{TORI axioms}
%\baselineskip 19.2pt
\baselineskip 19.9pt

\JP{ В этой Книге %, при получении оригинальных результатов и при их интерпретации, 
используются Аксиомы ТОРИ. В этой секции предлагается краткий пересказ описания этих аксиом из УФН \cite{ufn} и J. of Modern Physics \cite{2013jmp}.
}%JP

In this Book, I use the TORI Axioms. % I overview these axioms in this section. 
This section retells some results from publications in ``Uspekhi''
\cite{ufn} and J. of Modern Physics \cite{2013jmp}. These results refer to definition of term ``Science''. TORI Axioms appear as parts of the definition of this term.
\vskip 9pt

{\bf Science is kind of knowledge, activity and research, based on concepts, that have all the six properties below:}
%{\bf Наукой называется область человеческого знания, человеческих достижений и деятельности, связанная с выработкой специального языка, то есть системы обозначений и концепций для описания воспроизводимых явлений любой природы, характеризующегося следующими аксиомами}:
\vskip 11pt
%\baselineskip 20.6pt


{\bf 1. Applicability:} Each concept has the limited range of validity, distinguishable from the empty set.
\vskip 9pt

{\bf 2. Verifiability:} In the terms of the already accepted concepts, some specific experiment with some specific result, that confirms the concept, can be described.
\vskip 9pt

{\bf 3. Refutability:} In the terms of the concept, some specific experiment with some specific result, that negates the concept, can be described.
\vskip 9pt

{\bf 4. Self-consistency:} No internal contradictions of the concept are known.
\vskip 9pt

{\bf 5. Principle of correspondence:} It the range of validity of a new concept intersects the range of validity of another already accepted concept, then, the new concept either reproduces the results of the old concept, or indicates the way to refute it. (For example, the estimate of the range of validity of the old concept may be wrong.)
\vskip 9pt

{\bf 6. Pluralism:} Mutually-contradictive concepts may coexist; if two concepts, satisfying requirements  1-5 above have some common range of validity, then, in this range, the simplest of them has priority.
\vskip 16pt

The 6 properties, requirements above are {\bf TORI axioms.} They are specified also at %These axioms are used as basis of site
%o built-up my 
%old site at 
%http://tori.ils.uec.ac.jp/TORI
%mentioned in section 2 and its clone ~ 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t}.
\vskip 9pt

The main results, that had been presented at TORI and related to this Book, are published in Scientific Journals \cite{2013jmp,2013or,sutra,susin}.
In order to simplify the referencing, the axioms above needed a special name. Having poor fantasy, I just keep the initial abbreviation, TORI, that means Tools for Outstanding Research and Investigation. The Russian transliteration ``ТОРИ''  has similar meaning (``Теоретические Основы Революционных Исследований'').
Many results, reported at the conferences and in the scientific journal, look so similar, that it is difficult to find, what 
namely new and interesting does each of them suggest. They barely satisfy the TORI axioms, if at all. The non-trivial results appear to be ``outstanding'', ``revolutionary'', in the sense, that they stay a little bit out of the main trend of scientific research. 
%(At least at the time or preparation of this Book.)
%and namely these results are of interest for me; some of these "outs. 
\vskip 9pt

Articles of  site 
%TORI (after 2013, its clone at Mizugadro,  
\url{http://mizugadro.mydins.jp/t} collect tools: concepts, formulas, algorithms, pictures, that I consider to be ``outstanding'' and useful in the scientific research. I assume, that the ``instanding'' researches are already well represented in Citizendium, Wikipedia and scientific journals, and there is no need to repeat them again. In particular, I load to TORI generators of figures, used in this book.
The idea is, that each code can be downloaded by the Reader, compiled, executed, and, if necessary, modified for the new 
(and, perhaps, unexpected for me) applications.
\vskip 9pt

%\begin{wrapfigure}{r}{204pt}
\begin{wrapfigure}{r}{178pt}
\vskip -4pt
%\sx{.5}{\begin{picture}(300,410)
\sx{.4}{\begin{picture}(300,390)
\put(8,0){\ing{uro2}}
\put(0,0){\color{white}\rule{400pt}{40pt}}
\end{picture}}
\vskip -32pt
%\caption{Сайт недоступен \label{uronila}}
\caption{\large Server felt down \label{uronila}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}
%Я гружу генераторы также и на другие серверы. %чтобы у политиков не создавалось впечатления, что они могут вовсе закрыть доступ к моим ресурсам, атаковав ещё один сервер. 
I load the generators also to other sites, in order not to make an impression, that the politicians may completely block the access to my results
attacking another server. In this sense, {\em Manuscripts don't burn} \cite{bulga}.

In the Supplement, I suggest the links to other sites for the case if some server is not reachable.
The same, for the case, if it suddenly falls down, as it is shown in 
%В Приложениях, я предлагаю ссылки на разные интернет-ресурсы, %на тот случай, если какой-либо сервер недоступен
Figure \ref{uronila}.
\vskip 9pt

With links, supplied to figures, the Reader can use and develop the formalism of superfunctions just from the place, until I have advanced.
Just pick-up the figure you like and load its generator. 
%Таким образом Читатель может использовать и развивать формализм суперфункций с того самого места, до которого дошел я. 
%Можно использовать и те алгоритмы, инструменты (``tools''), которые не включены в эту Книгу.  %Эти генераторы %комментариями, чтобы их %можно использовать, даже не повторяя предложенные в Книге выкладки. %И даже в том случае, если Читатель не согласен с какими-либо из Аксиом ТОРИ. Эти ТОРИ могут помочь даже тем, кто в них не верит.
\vskip 9pt

%I hope, the Readers will indicate the sources, from where they download the algorithms and the figures.
%This is not to protect my authorship, but for the case, if there is there exist some misprint or even more serious error.
%Я надеюсь, что читатели будут указывать источники, откуда они скачивают алгоритмы и картинки. Это нужно не для того, %чтобы застолбить моё авторство, но на тот случай, если вдруг где опечатка или методическая ошибка. Чтобы было легко 
%чтобы застолбить моё авторство, но на тот случай, если %вдруг где опечатка или, не дай Бог, методическая ошибка. 
%Ошибки в книге, вероятно, есть. Редакторы и корректоры издательства Lambert Academic Press
%не только не правят рукописи, предназначенные для публикации, но и даже не читают их. 
%Появление этого абзаца в Книге будет тому наглядным свидетельством.  Поэтому, если чего не так, то ругать нужно автора, а не редактора. %\vskip 2mm

\JP{
\begin{wrapfigure}{r}{200pt}
\vskip 24pt
\sx{.3}{\begin{picture}(400,340)
\put(0,0){\ing{stuchit}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{Стучите - и вам откроют \label{stuchit}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}
Eсли при генерации (или модификации) рисунков возникают проблемы, то критику надо слать в адрес автора, dima(a)ils.uec.ac.jp~
%Аккуратное цитирование помогает найти этого автора. 
И указать, какой алгоритм не работает так, как это описано в Книге. Чтобы исправить. Чтобы всё заработало. Таким образом, если чего не выходит, надо не упроствовать, 
%пока крыша не съедет (рис. \ref{krysha}), 
а спрашивать. Стучите, и вам откроют \footnote{\url{http://www.bible.by/nt-slovo-life/read/40/07/} От Матвея, глава 7: ..  Просите – и получите, ищите – и найдете, стучите – и вам откроют.} (рис. \ref{stuchit}).
%Помогает отследить перекрестные ссылки и исправить везде, где такая ошибка успела нагадить. 
%Кроме того, ссылка на алгоритм из ТОРИ поможет мне не принять передранный у меня тулл за независимое подтверждение моих результатов. %Таким образом, я рассчитываю на взаимопомощь.
}

%\section{Зачем эта книга}
\section{What for this book is}
%\normalsize
\baselineskip 19pt

Since publication in 2009 of the article about holomorphic tetration
\cite{analuxp}, 
%which refers to case $T\!=\!\exp$, $F\!=\!\mathrm{tet}$,
%\cite{tet},
%я надеялся, что математики сподобятся проделать всю остальную работу по суперфункциям сами. Увы... 
I expected, the mathematicians can do the rest of the job by themselves. 
That publication refers to the special case of equation \rf{prologeq}, with $T\!=\!\exp$; and the natural tetration as solution is considered, $F\!=\!\mathrm{tet}$.
\vskip 9pt

%Прошло пять лет, а суперфункции, в частности, тетрация и суперфакториал, до сих пор не появились в описаниях алгоритмических языков. Дo сих пор функция Nest \cite{nest} в языке ``Математика'' требует, чтобы число итераций было целым; а если кто-то аппроксимирует неизвестную колоколообразную функцию, то обычно фантазия коллег не идет дальше Гауссовой экспоненты. В лучшем случае выбирают между Гауссом, гиперболическим секантом и Лоренцом. А ведь можно использовать ещё, например, половинную итерацию экспоненты, то есть такую функцию $f$, что $f(f(z))=\exp(z)$.
%И есть ещё много всяких функций такого рода. 
Seven years passed by since \cite{analuxp}, but superfunctions did not appear in descriptions of the algorithmic languages. Neither tetration, nor superfactorial \cite{factorial}, nor other superfunctions I had reported appear as built-in functions. Until now, the function Nest \cite{nest} in language ``Mathematica'' requires, that the number of iterate is integer.
If one approximates some bell-like function, then, usually, the fantasy of colleagues does not go farther than the Gaussian exponential, hyperbolic secant or Lorentian. One could use also, for example, the half-iterate of the exponential \cite{kneser}, id est, such function $f$, that $f(f(z))\!=\!\exp(z)$, instead of the exponent in $2/(\mathrm e^x\!+\!e^{-x})$, as well as other non-integer iterates of various functions, but one needs the formalism of superfunctions for the evaluation. This Book describes such a formalism.
\vskip 9pt

Most of the Mathematical Analysis in schools and universities is built-up on the first three ackermanns: addition, multiplication, exponentiation and their inverse functions in various combinations.
%Почти весь матан в школах и вузах построен на первых трех аскерманнах (функциях Аскерманна: сложение, умножение, экспоненцирование) и их обратных функциях в различных комбинациях. Этот арсенал можно значительно расширить за счет нецелых итераций.
%, хотя бы для случая, когда $\Re(z)>-2$. 
This arsenal could be greatly extended, including, for example, the 4th ackermann, which is tetration, or the 5th ackermann, that is pentation. However, one needs formalism of superfunctions to evaluate tetration and pentaiton \cite{vladie,pentation}
%Но для этого нужны суперфункции.
\vskip 6pt

%Когда физики исследуют нелинейный отклик среды, образец стараются делать оптически-тонким, чтобы можно было пренебречь изменением усиления или поглощения при изменении интенсивности. Можно улучшить точность, взяв образец потолще, измерить передаточную функцию этого образца с несколькими знаками, и восстановить распределение интенсивности по мере усиления или поглощения света в образце \cite{thailand,2013or}. Но для этого нужно уметь строить суперфункции.
When physicists analyse the nonlinear response of a medium, they try to make the sample optically-thin; 
otherwise, the re-absorption and 
saturation lead to mistakes \cite{perpe1,perpe2,perpe3,perpe4,perpe5,perpe6}. 
For the thin sample, the precision of measurements is low. Superfunctions allow to work with thick samples, and still reconstruct behaviour of intensity inside the sample \cite{thailand,2013or}. 
\vskip 6pt

Many researchers believe that namely their work is especially important. I am not an exception. From my point of view, tetration and arctetration, as well as other superfunctions and abelfunctions, will be important for science since century 22; so important, as the exponential and logarithm are important since century 19. 
This Book explains, how to calculate superfunctions and what can one do with them.
% That is, the expected scientific revolution, as significant as the discovery of the fact that with the exponential and the logarithm can easily calculate any, even a fractional (or even complex) degree number. 
%With superfunctions and abelfunction one can easily calculate any, even a fractional (or even complex) almost every iteration of a holomorphic function. This requires superfunctions.
%Многие исследователи считают, что именно их работа чрезвычайно важна. Я не являюсь исключением. С моей точки зрения, тетрация и арктетрация, как и другие суперфункции и абельфункции, столь же важны для науки 21 века, как экспонента и логарифм важны для науки в 19м и в 20м веках. 
%То есть ожидается научная революция, столь же значительная, как открытие того, что с экспонентой и логарифмом можно легко вычислять любую, даже дробную (или даже комплексную) степень числа. С суперфункциями и абельфункциями легко вычислять любую, даже дробную (или даже комплексную) итерацию практически любой голоморфной функции. Для этого нужны суперфункции.
%\vskip 2mm
%Таким образом, эта книга - воплощение глобальных амбиций и авотра.
%Для использования суперфункций нужно знать их свойства и уметь их быстро и аккуратно вычислять. Я этому уже научился. Эта книга для того, чтобы вы тоже могли их вычислять.
\vskip 6pt

\JP{Когда я объяснял редактору (и рецензентам), почему нашу статью про корень из факториала \cite{facr}
надо опубликовать в Вестнике Московского Университета, я привел такой пример:
\vskip 1mm

{\em Приезжает студент физфака в деревню, а там колхозник, то есть уже, конечно, не колхозник, а ударник капиталистического труда, видит на студенте значок физфака в виде корня из факториала, и спрашивает:``а что это значит?'' - а студент не знает..}
\vskip 1mm

Судя по переписке и её результату, рецензенты сочли этот аргумент убедительным. Корень из факториала - это такая функция $f$, что $f(f(x))=x!$, хотя бы для всех $x\!>\!1$.  Эту функцию нетрудно вычислять. Но для этого надо знать, что такое суперфункция и что такое абельфункция. Для того, чтобы каждый, кто интересуется, мог это знать, пишется эта книга.
\vskip 2mm
}%

When the fundamentals of superfunstions had been formulated, one of my coauthors, Akira Shirakava 
%Когда основы формализма суперфункций были уже созданы, один из моих соавторов, Акира Ширакава (Akira Shirakawa)
\cite{akira0} had declared, that it is not possible, to recover distribution of intensity of light in the amplifier from its transfer function.
%заявил о невозможности восстановления интенсивности света в усилителе из его передаточной функции
\cite{akira1}. Then, the algorithm for this recovery had been presented
%а когда алгоритм %формализм %для такого восстановления 
\cite{sqrt2,thailand,2013or}, and 
%(регулярная итерация)  %был представлен, пожаловался, что формулы сложны 
Shirakava said, that the formalism of superfunctions is too complicated
\cite{akira2}. 
Through all the mutual misunderstandings, I consider Shirakawa as great specialist in fibre lasers, 
and I take into account his complains.
%При всех взаимных недоразумениях, я %считаю Ширакаву специалистом в области волоконных лазеров и 
%хочу учесть его замечания. %Как видно из преамбулы, 
I try to make this book popular. So, I cite not only scientific articles.
%В этой Книге я стараюсь цитировать не только научные статьи  %(хотя не всегда это получается) 
Also, I try to avoid complicated mathematics, at least in some figures.
%However, 
I still suppose, that the Reader can distinguish an Integral from a Logarithm, and has some idea, what is square root of minus unity. 
If the Reader, in addition, had seen any Cauchy integrals, this is a good advantage.
% стараюсь избегать сложной математики, хотя бы в некоторых рисунках. Однако, я все же надеюсь, что читатель  знает, чем интеграл отличается от логарифма, и умеет извлекать квадратный корень из минус единицы. Такой читатель, вероятно, является узким специалистом, и может не знать, чем Фудоки отличаются от Нибелунгов, отчего умер Пушкин и как очищают политуру \cite{erofeev}. Поэтому я стараюсь не злоупотреблять лирическими отступлениями. Чтобы пояснить, что я имею в виду, предложу только один пример:
%\section{О лирических отступлениях}
%Чтобы пояснить, почему я рассматриваю тот или иной случай, используются лирические отступления. Я надеюсь, что у Редактора длинные ножницы, и если с этими ``отступлениями'' я вылетаю из рекоммендованного размера файла, то Редактор эти отступления подавит. Пример лирического отступления копипастнут (с незначительными модификациями) ниже.
\vskip 3mm
In order to simplify the reading, I try to avoid long sentences and digressions, although not always it is possible. 
In order to explain this, I suggest the example:
\vskip 3mm
\baselineskip 14.6pt

\JP{
Счастлив путник, который после длинной, скучной дороги с её холодами, духотой автобусов, промозглой сыростью аэрокондиционеров в залах ожидания, с тупой придирчивостью консулов и пограничников, отложенными рейсами, въедливыми таможенниками, охочими до грязного белья солдатами спецконтролей, перебранками с везущими в противоположную сторону таксистами, видит, наконец, знакомую крышу с несущимися навстречу огоньками, и предстанут пред ним знакомые комнаты, радостный крик выбежавших навстречу людей, шум и беготня детей и успокоительные тихие речи, прерываемые пылающими лобзаниями, властными истребить все печальное из памяти. Счастлив семьянин, у кого есть такой угол, но горе холостяку!
Счастлив автор, который проходит мимо результатов странных, необычных, поражающих своим противоречием с общепринятой парадигмой, но находит и описывает случаи, являющие высокое достоинство Науки, который из великого омута ежедневно вращающихся вопросов избрал одни немногие исключения, для которых и так есть известные ответы, который не изменял ни разу возвышенного строя своей лиры, не ниспускался с вершины своей к неразрешенным вопросам, и, не касаясь земли, весь повергался в свои хвалебные песнопения, далеко отторгнутые от каких-либо несогласий и конфликтов. Вдвойне завиден прекрасный удел его: он среди подобных ему коллег, как в родной семье; а между тем далеко и громко разносится его слава. 
Он окурил упоительным куревом людские очи; он чудно польстил им, сокрыв печальное в науки и жизни, показав им прекрасные и высокие достижения современников. Всё, рукоплеща, несется за ним и мчится вслед за торжественной его колесницей. Великим всемирным ученым именуют его, парящим высоко над всеми другими гениями мира, как парит орел над другими высоко летающими. При одном имени его уже объемлются трепетом молодые пылкие сердца, ответные слезы ему блещут во всех очах... Нет равного ему в силе - он Бог! 
Но не таков удел, и другая судьба исследователя, дерзнувшего вызвать наружу все, что ежеминутно пред очами и чего не зрят равнодушные очи, - всю страшную, потрясающую тину мелочей, опутавших нашу науку, всю глубину холодных, раздробленных, повседневных и мелких исследований, которыми кишат научные журналы и программы конференций, подчас горькая и скучная дорога, и крепкою силою неумолимого резца дерзнувшего выставить их выпукло и ярко на всенародные очи! Ему не собрать народных рукоплесканий, ему не зреть признательных слез и единодушного восторга взволнованных им душ; к нему не полетит навстречу шестнадцатилетняя девушка с закружившеюся головою и геройским увлеченьем; ему не позабыться в сладком обаяньи им же исторгнутых звуков; ему не избежать, наконец, от современного суда, лицемерно-бесчувственного современного Ученого Совета, который назовет ничтожными и низкими им лелеянные созданья, отведет ему презренный угол в ряду исследователей, оскорбляющих человечество и религиозные чувства, придаст ему качества им же цитированных и критикуемых коллег, отнимет от него и сердце, и душу, и божественное пламя таланта. Ибо не признает Ученый Совет, что одни и те же уравнения могут описывать волны света, и волны звука, и волны на поверхности лазурного океана, что равно чудны нелинейные эффекты в стеклах, кристаллах и керамиках, в тонких оптических волокнах и в толстых образцах; не признает Ученый Совет, что высокий восторженный смех достоин стать рядом с высоким научным устремлением, и что целая пропасть между ним и кривляньем балаганного скомороха! Не признает сего Ученый Совет и все обратит в упрек и поношенье непризнанному исследователю; без разделенья, без ответа, без участья, как бессемейный путник, останется он один посреди дороги. Сурово его поприще, и горько почувствует он свое одиночество. %Такие исследования проводились в России с 19 века
}%JP
Happy is the traveller who, after a long and heavy journey, with its cold and humidity of air-conditioners, with long waiting-lines at the passport control, curious to under ware the special control officers, delayed flights, lost luggage, going to the opposite direction taxi drivers, sees at last the familiar roof with its lights approaching to meet him. And there rise before his mind the familiar rooms, the delighted outcry of the servants running out to meet him, the noise and racing footsteps of his children, and the soothing gentle words interspersed with passionate kisses that are able to efface everything gloomy from the memory. Happy the man with a family and nook of his own, but woe to the bachelor! \\
Happy is the researcher who, passing by the strange results, paradoxes and their  wrong, inconsistent interpretations, attaches himself to phenomena that display the loftiest virtues of scientific achievements, who, from the great whirlpool of figures flitting by him daily, has selected only the few exceptions, for which the answers are already known;
who has never tuned his research to a less exalted key, has never stooped from his 
pinnacle to really new and unexpected phenomena. His fair portion is doubly worthy of envy; he lives in the midst of them as in the midst of his own family  and, at the same time, his fame resounds far and wide. He clouds men's vision with enchanting incense; he flatters them marvellously, covering up the gloomy side of science and life, and exhibiting to them the noble man. All run after him, clapping their hands and eagerly following his triumphal chariot. \\
They call him a great world-famed scientist, soaring high above every other genius as the eagle soars above the other birds of the air. Young ardent hearts are thrilled at his very name; responsive tears gleam in every eye. . . . No one is his equal in power — he is a God!
But quite other is the portion, and very different is the destiny of the writer who sees and reveal the phenomena strange, that are out of the commonly accepted theories and contradict to the obvious commonly-accepted common sense, calling for the revision or at least some critical analysis of the widely recognised results, that already have assigned the highly prestigious awards and huge grants and foundations..
En fin, he'll not escape from the scientific council, who keep the old paradigms and any doubt consider as a sin, as a kind of heresy..
Without compassion, such a researcher is left by the roadside like the traveller without a family. Hard is his lot and bitterly he feels his loneliness.
\JP{But quite other is the portion, and very different is the destiny of the writer who has the temerity to bring to the surface what is ever before men's sight and  is unseen by their indifferent eyes — all the terrible overwhelming mire of triviahties in which our life is entangled, all that is hidden in the often cold, petty everyday characters with which our bitter and dreary path through life swarms, and with the strong hand of a relentless sculptor dares to present them bold and distinct to the gaze of all ! It is not for him to receive the applause of the people, it is not his lot to behold the grateful tears and single-hearted rapture of souls stirred by his words ; no girl of sixteen, with her head turned, flies to meet him with heroic enthusiasm. It is not his lot to lose himself in the sweet enchantment of sounds he has himself evoked. And lastly, it is not his lot to escape the contemporary critic, the hypocritical callous contemporary critic, who will call his cherished creations mean and insignificant, will assign him an ignoble place in the ranks of writers who have insulted humanity, will attribute to him the qualities of his heroes, will strip him of heart and soul and the divine fire of talent. For the contemporary critic does not recognise that the telescope through which we behold the sun and the microscope which unfolds to us the movements of unnoticed insects are equally marvellous. For the contemporary critic does not recognise that great spiritual depth is needed to light up a picture of ignoble life and transform it into a gem of creative art. For the contem-porary critic does not admit that the laughter of lofty delight is worthy to stand beside exalted lyrical emotion, and that there is all the world of difference between it and the antics of clowns at a fair ! All this the critic of to-day does not admit, and he will turn it all into the censure and dishonour of the unrecognised writer. Without sympathy, without response, without compassion, he is left by the roadside like the traveller without a family. Hard is his lot and bitterly he feels his loneliness. ..}
\cite{gogol}
%http://www.klassika.ru/read.html?proza/gogol/dushi.txt&page=25
\vskip 11pt

\baselineskip 18.8pt
%В соответствии с вышеизложенной декларацией, 
I promise, that the above is longest digression in this Book. Trying to keep the Book thin, the philosophic exercises about the place of Science in the Human knowledge
%Философские упражнения о месте науки в человеческом знании 
\cite{ufn,mesto} 
are published separately. It is not possible to cover Everything (id est, the Full Set). 
%Therefore, s
Since the beginning, I try to specify, what is in the book, and what is absent in the Book.
%также публикуются отдельно. Известный философ позапрошлого века Козьма Прутков указал, что нельзя объять необъятное. Чтобы в дальнейшем избежать, по возможности, длинных лирических отступлений, подобных приведенному выше, постараюсь  сразу указать, что в этой Книге есть и чего в ней нет.

%\section{Что в книге есть }
\section{What is present in the Book}
\baselineskip 18.8pt

This Book suggests the general approach for construction of superfunctions and various algorithms of their evaluation.
Superfunction is solution $F$ of equation \rf{prologeq}; I repeat it here: $F(z\!+\!1)\!=\!T(F(z))$. This equation is called ``Transfer equation'', and the given function $T$ is called ``transfer function''.
\vskip 9pt

In this book, I describe various algorithms for evaluation of superfunctions. The choice of the algorithm depends on the %stationary points, i.e., 
fixed points of the transfer function, which are solutions $L$ of equation $T(L)=L$; and, also, depends on the additional requirements: what properties do we expect from the required solution $F$ of equation  \rf{prologeq}. These properties, being postulated, should provide the uniqueness of the solution, but still should allow its existence and should indicate some way(s) of the evaluation.
\vskip 9pt

The inverse of superfunction $F$ is called here ``abelfunction'' $G\!=\!F^{-1}$. The abelfunction satisfies the Abel equation $G(T(z))=G(z)\!+\!1$.
In this book, I consider many examples of the transfer function $T$, superfunction $F$ and the abelfunction $G$. 
%В книге предлагаются способы их эффективного вычисления. 
%Эффективного - значит, быстрого и с маленькой погрешностью. Например,
%при использовании арифметики complex double, суперфункции и абельфункции оцениваются примерно с 14 значащими цифрами, а комплексные карты этих функций могут строиться в реальном времени.
%\vskip 2mm
%Я гружу генераторы рисунков в ТОРИ %tori.ils.uec.ac.jp
I suggest ways of the efficient evaluation. Efficient means, that the functions (and corresponding figures) are computed in the real time and with good precision. With use of the complex double arithmetics, the superfunctions and abelfunctions are evaluated with 14 decimal digits.
I load the figures together with their generators to  
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}; 
the readers can check them with C++ and Latex.
%Читатели могут проверить их на компьютере.
\vskip 9pt

By default, I assume, that the parameters have real values, while the arguments of the functions may have complex values.
For the illustrations, the complex maps are essential. In particular, the complex map of the natural tetration is used at the front cover of this Book.
\vskip 8pt

I am more physicist, than mathematician. For physical applications, the real values of the argument are of special interest.
Usually, the real values allow the straightforward interpretation and, sometimes, the application.
For this reason, I supply also the graphics for the real values of the argument.
%По умолчанию, предполагается, что параметры имеют вещественные значения, а аргументы функций имеют комплексные значения. Однако, я больше физик, чем математик (хотя мои соавторы-физики обычно высказывают противоположное мнение), и для физических приложений вещественные значения аргументов и функций представляют особенный интерес. 
%Поэтому графики %вещественно-голоморфных  %функций при вещественных значениях аргумента тоже представлены. Я считаю, что такой вещизм оправдан прикладным и популярным характером этой Книги. %целью, сформулированной выше.
%В книге есть обсуждения парадоксов, которые вызывали дискуссии.

%\section{Чего в книге нет}
\section{What is absent in the Book}
\baselineskip 18pt

In this book, there are no accurate specifications, which values are allowed for parameters and arguments of the functions considered. I specify them only in the cases, when they are essential for the consideration. For each expression, the readers are supposed to examine the range of applicability as the exercise. The reader is not a vessel  to be filled, but a candle to be lighted
\footnote{\url{http://quoteinvestigator.com/2013/03/28/mind-fire/} \baselineskip 9pt
The Mind Is Not a Vessel That Needs Filling, But Wood That Needs Igniting. March 28, 2013. .. None of the examples came with citations:\\
Education is the kindling of a flame, not the filling of a vessel —Socrates\\
Education is not the filling of a pail, but the lighting of a fire. —William Butler Yeats\\
Education is not the filling of a pail, but the lighting of a fire. —Plutarch\\
The mind is not a vessel that needs filling, but wood that needs igniting. —Plutarch ..
}.
%В Книге нет четких и аккуратных указаний значений, которые могут принимать параметры и аргументы функций.
%Такое исследование предлагается читателям в качестве упражнений.
\vskip 6pt

I try to define functions in such a way, that at least some vicinity of the positive part of the real axis belongs to the range of holomorphism;
although, not always this is possible. This book %(At least its Russian version) 
seems to be the first monograph with description of efficient methods of evaluation of superfunctions and abelfunctions, and this should be considered as an excuse for the heuristic style of presentation of the results.
%Я стараюсь определять функции так, чтобы хотя бы окрестность положительной части вещественной оси попадала в область голоморфизма, но не всегда это возможно. Похоже, что это первая монография с описанием эффективного вычисления голоморфных суперфункций, и в ней неизбежен несколько эвристический стиль изложения. К сожалению, один из немногих чистых математиков -- Генрик Траппманн, который шел рядом с рубанком, веником и совком, сметая грязь и превращая топорную работу плотника в математически строгое доказательство -- занялся бизнесом, хотя его недавняя публикация \cite{log}, как мне кажется, заслуживает внимания. %. В этом смысле эта книга может считаться топорной работой. 
% - как топорной работой (буквально) был первый в мире мост, сделанный исключительно с помощью топора.
\vskip 6pt
%Нельзя объять необъятное. С моей точки зрения, построение математически-строгой теории суперфункций -- это новая область математического анализа, и требуется целый институт (или, как минимум, специальная лаборатория, кафедра с многочисленным штатом квалифицированных математиков) для аккуратной и строгой разработки этой темы. Но и даже в этом случае, потребуется некоторая популяризация результатов с тем, чтобы их смысл могли понять и неспециалисты; хотя бы для того, чтобы решить, хочется ли им становиться специалистами именно в этой области. Как известно, специалист подобен флюсу: его полнота односторонняя. %\vskip 2mm %По этим же причинам в
For the same reason, in this Book, there are no rigorous proofs of convergence, existence and uniqueness of solutions.
%В книге нет строгих доказательств сходимости, существования и единственности решений.
%Сюда не включены доказательства, выработанные в сотрудничестве с Генриком. %Траппманном (Henryk Trappmann).
In particular, the deductions, elaborated in collaboration with Henryk Trappmann, are not included here.
The Readers who like the deep drilling
\footnote{Importance of the deep drilling can be illustrated with the limerick below: \baselineskip 9pt\\
One Chinese colleague called Lee \\
Was drilling his girl at the sea;\\
She told him: {\em Stop plumbing,\\
Somebody is coming!}\\
And Lee had replied:{\em That's me!}
}
are invited to download our original articles
\cite{sqrt2,bitbucket,uniabel,e1e,log}, plumb through the deduction expanded with the Saxon style of pedantic Henryk, drill the examples and ask questions.
Indications of the errors,
at least misprints,
are of especial interest.
\vskip 2mm

From my point of view, the theory of superfunctions is 
%important 
new branch of the Mathematical Analysis, and the serious drilling and plumbing require efforts of some institute with several research groups in order to bring it to the beautiful and rigorous shape, like the theory of the differential and Integral calculus and other mathematical analysis.
Here, I deal with functions of single variable; the generalisation to multidimentional case is not presented.
%, the special mathematical Journal and so on. 

%продраться сквозь дедукцию, выписанную с германской педантичностью Генрика, и задавать  %автору и соавтору %вопросы. %, если где чего не ясно.  %Указания на ошибки, если таковые там есть, особенно приветствуются.
\vskip 2mm

History to development of theory of superfunctions and abelfunctions begins approximately since century 19, and can be also interesting, but it falls out of the topic of this Book.
%История развития теории суперфункций и функций Абеля начинается примерно с 19 века и может быть весьма интересна, но она выходит за рамки темы этой книги. Oбзоры древних публикаций можно найти в интернете по ключевым словам 
The overviews of the pre-historic publications can be found in the Internet with the following keywords: {\bf 
Abel function, 
iterated functions,
tetration, 
superexponential, 
super\-function}.
%Искать лучше по английски, так как наука в РФ превратилась в искусство по ``отмыванию'' бюджета 
%\footnote{\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/desciencer.shtml} Уничтожение науки в РФ}, и это отражается на качестве русскоязычных научных (и не очень) публикаций \cite{unichtozhenie}. Настоящая книга является попыткой противопоставить этой тенденции русскоязычный пример того, что я называю термином ``наука''
Some of them can be considered as scientific, according to the definition above; I mean, the TORI axioms. This Book is dedicated to the Superfunctions, not to TORI axioms, so, these axioms are presented here only schematically; however, the more detailed description is available \cite{ufn,mesto,science,sciencer,Hayka}.
% А заодно показать коллегам, что не издательство красит Книгу, а Книга - издательство.
\vskip 2mm

In this Book, there is no detailed discussion (and sometimes nor even citation) of publications of colleagues, who tried to evaluate the superfunctions during the last couple of centuries. In order to see, what had been done in the past centuries, one can look at the publications by colleagues: 
%В книге нет подробного цитирования работ коллег, которые пытались вычислять суперфункции и абельфункции в течение последней пары веков. Чтобы понять, чем занимались на эту тему в прошлые века, можно посмотреть работы  Генрика Нильса Абеля (Neils Henryk Abel) \cite{abel}, Петера Фато (P. Fatou) \cite{fatou},  Хельмута Кнезера (Hellmuth Kneser) \cite{kneser},
%Jean Ecalle \cite{ecale}, G.Szekeres \cite{szekeres}, Peter Walker \cite{walker}, 
Neils Henryk Abel \cite{abel},
Peter Fatou \cite{fatou}, 
Hellmuth Kneser \cite{kneser},
Jean Ecalle \cite{ecale}, 
G.Szekeres \cite{szekeres},
Peter Walker \cite{walker};
more references are suggested in year 2014 by 
J.Bonet and P.Domanski \cite{bonet}.
In addition, some links are listed in the Supplement (page \pageref{SupplementSites}).
%  Ещё обзоры публикаций  по теме представлены в %дополнительных линках, перечисленных в приложении.
%на второй странице обложки.
%в преамбуле как ``интернет-ресурсы''.  
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{250px}
%\sx{.333}{\begin{picture}(600,550)
\sx{.333}{\begin{picture}(600,580)
%\put(0,0){\ing{Universum}}
%\put(0,0){\ing{Flammarion.jpg}}
%\put(20,10){\ing{720px-Flammarion.jpg}}
\put(20,10){\ing{Flammarion-color.png}}
\end{picture}}
\vskip -14pt
%\sx{.64}{\url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flammarion.jpg}}
\sx{.6}{\url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flammarion-color.png}}
\vskip -10pt
\sx{.86}{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth}}
\vskip -3pt
\caption{%Flat 
Earth \label{FlatEarth} in the old model of the Universe}
\vskip -6pt
\end{wrapfigure}
I see %the 
analogy with 
%the 
%modern 
manuals on Geography and Astronomy, that have no need to begin with the historic excursus, describing the 
Flat Earth (Figure \ref{FlatEarth}), %\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth},
nor the Geocentric model by Ptolemy.
%Я вижу аналогию с тем, что в современном учебнике географии не обязательно рисовать Землю на трех китах, плавающих в мировом океане. Читатель  %(а возможно и Редактор) %может счесть такую аналогию чересчур претенциозной; однако, многочисленные методы вычисления суперфункций, предложенные коллегами, столь неэффективны, что с ними пока НИКОМУ не удалось построить комплексные карты этих функций. Судя по публикациям, с такими алгоритмами не построено ни одной,  
%вообще ни одной карты тетрации. 
Perhaps, some Readers may consider such an analogy to be too pretentious and ambitious;
but the methods reported before century 21 are, indeed, non-efficient; so inefficient, that
nobody could plot a complex map of any non-trivial superfunction with methods reported in century 20.
%In order to simplify the refutation, I repeat my pretentious claim: {\bf 
%Until now, NO ONE complex map of a superfunction had been plotted with methods, that are not presented in this Book.}
Henryk Trappmann attributes this to my routine \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Conto.cin}, which is now available also at various wikis.
%Генрик %Траппманн %объясняет это тем, что у меня очень хороший графопостроитель %conto.cin, который быстро и аккуратно проводит линии уровня, правильно интерпретируя разрезы области аналитичности и сингулярности... 
%\vskip 2mm
I think, the matter is not my plotter, but the beautiful and efficient representations of functions, that allow the quick and precise evaluation. 
% of functions.
%, described in this book. 
In principle, these algorithms can be programmed at Mathematica, even at Maple, and still generate the same figures; although the efficiency of Maple (and, especially, Maple-10) in generating of figures allows to use that software as an illustration to the known proverb ``to press a key, to have a tea'', as it is described in the Supplement, page \pageref{MapleAndTea}.
%That poem is suggested as a supplement; so, 
I do not consider that poem as a part of this Book, but the poem and figure \ref{figmaple} explains, why the most of figures in this Book are generated as the direct EPS graphics from the C++ programs.
%Я считаю, что дело в удобном математическом представлении функций и эффективных алгоритмах, а не в графопостроителе. Поэтому в этой книге нет описания моего графопостроителя; его можно скачать из ТОРИ 
%\cite{conto.cin} или из Ситизендиума \cite{cz.conto.cin} и использовать, даже не зная, как он работает. 
%Кроме того, если запастись терпением в стиле ``to press a key, to have a tea'' \cite{tea}, то качественные графики можно строить и из Математики, или даже из Мапле, если примириться с тем, что прийдется корячиться с подробной сеткой, а размер файлов для комплексных карт будет существенно больше, чем при создании EPS файлов прямо из C++ процедурой ``conto.cin'' .
%\vskip 2mm
\vskip 2mm

I do not describe in this book algorithms suggested after year 2015, although such algorithms should appear in future.
One of them is expected to be presented by William Paulsen \cite{paulsen}.


\vskip 2mm
I do not include into this Book the codes of the programs (figure \ref{figmaple} is an exception), used for evaluation of functions and plotting graphics. The algorithms are simple; any student, after a semester of programming in any language, that supports the complex arithmetics, can easy program the same, following the description from this Book.
At figures, I indicate the URLs,  where the code is loaded.
\vskip 2mm

%In the similar way, I do not include into this Book the codes, programs, used to evaluate the func
\JP{Аналогично, в книге нет кодов программ, использованных для вычисления функций и построения графиков.
Во-первых, описания алгоритмов достаточно подробны, сами алгоритмы просты, и даже студент после одного семестра изучения какого-либо языка программирования, поддерживающего комплексную арифметику, может легко воспроизвести их. Во-вторых, никто не станет отцифровывать, перепечатывать из бумажного издания код, который можно скачать из интернета.  Коды рисунков и программ, использованных в Книге, доступны в ТОРИ, Ситизендиуме и других сходных ресурсах. }
%Поэтому, вместо текстов программ, я помещаю ссылки.  
\vskip 2mm

Some results of this book can be reproduced with the Schr\"oder equation and the Schr\"oder functions.
In this Book, there is no detailed description of properties of the Schr\"oder equation, nor analysis of the Schr\"oder functions; these functions are only mentioned.
I could not construct any example, that can be solved with  Schr\"oder functions, but cannot be solved with superfunctions.
Some properties of the  Schr\"oder equation can be found at\\
%В книге нет последовательного изложения свойств уравнения Шрёдера. %\cite{schroeder}, 
%Мне не удалось построить пример, который бы решался с функциями Шрёдера \\
\url{http://mathworld.wolfram.com/SchroedersEquation.html}  and\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Schroeder_equation}
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Schröder's_equation}, non-ascii url looks ugly in the text
%но не решался бы с суперфункциями. 
\vskip 2mm

\JP{\begin{figure}[t]
%\sx{.4}{\begin{picture}(500,800)
\sx{.33}{\begin{picture}(500,720)
\put(-10,0){\ing{MuseumNew.jpg}}
\end{picture}} ~ ~
%\sx{.6}{\begin{picture}(469,405)
\sx{.48}{\begin{picture}(469,405)
\put(10,72){\ing{Kva7}}
\end{picture}}
\vskip -40pt
\caption{Скелеты драконов в сказках Стругацких \cite{ponedelnik} и А.Н.Квашенко 
\cite{kvashenko}  \iL{dragon} }
\end{figure}
}%JP

\JP{
В книге нет описаний ``драконов'' 
\footnote{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Dragon}},
%(рисунок \ref{dragon}), 
то есть таких объектов, которые, вроде бы, и могли бы существовать, но почему-то их существования предъявить не удается и комплексные карты для них тоже не построены. Драконоведение, как оно изложено в аннотации курса лекций, который с 2007 года (и, возможно, до сих пор) читает на Мехмате МГУ профессор всяческих наук, лауреат многочисленных наград и премий Андрей Николаевич Квашенко 
\footnote{ \url{http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html}
\url{http://mmmf.msu.ru/lect/lect9.html} Андрей Николаевич КВАШЕНКО. Драконы.  2007-2013},
не удовлетворяет Аксиомам ТОРИ,  и поэтому в Книге не представлено.
%\footnote{Из-за упомянутой неопровержимости, я не считаю нужным даже комментировать скелет дракона с точки зрения даже элементарной механики.}
% (и не было бы представлено, даже если бы для описания драконов использовались суперфункции).
Впрочем, как только с помощью суперфункций, или ещё как, кто-либо предложит способ опровергнуть гипотезу о существовании драконов, эта гипотеза удовлетворит Аксиоме 3 (об опровержимости), и тогда я могу всерьез  рассматривать даже такую гипотезу. 
\vskip 2mm
}%JP

Preparing the results for the Book, I tried to refute each of the conjectures suggested. In principle, it is possible.
It is sufficient to construct any example of a transfer function $T$ such that the superfunction $F$, constructed by the methods, described in the Book, does not satisfy the transfer equation \rf{prologeq}.
%В отличие от драконологии, мои результаты, в принципе, опровергнуть можно. Для этого достаточно указать пример, в котором суперфункция, построенная описанными в Книге методами, не удовлетворяет передаточному уравнению (или дополнительным условиям, добавляемым для её единственности). 
Or to construct two different superfunctions, that satisfy the additional conditions, that are declared to provide the uniqueness.
%Or, at least, to suggest some holomorphic transfer function, for which the superfunction cannot be constructed.  %Duplicat!!!
%Или построить две различные суперфункции, удовлетворяющие условиям, которые, по замыслу, 
%должны обеспечить единственность. Или, хотя бы, предложить такую передаточную функцию, для которой нельзя построить суперфункцию методами, описанными в этой Книге. Пока мне не встретилась такая передаточная функция, для которой я бы не мог построить суперфункцию. Поэтому таких передаточных функций в этой Книге нет.
%То есть если для какой функции я не могу предложить эффективный алгоритм вычисления и нарисовать графики, иллюстрирующие её поведение на вещественной оси и в комплексной плоскости, то описание такой функции в Книгу не попало бы, даже если бы мне такую функцию удалось придумать и построить
%\footnote{``Но раз я её выдумала, значит, она есть!''}.
My attempts to reject my claims failed. I could not find in the literature any rejecting example, nor I could construct it by myself. Only for this reason, the rejecting, refuting examples are not included in the Book. 
\vskip 2mm

%Многие, как и я, ещё с младенчества, предпочитают листать книжку и смотреть картинки, вместо того, чтобы читать текст. 
%Поэтому я старался, чтобы каждая страница Книги была иллюстрирована хотя бы одним рисунком. 
%Я прошу у читателей прощения, если %Пока  %мне это не удалось,  %на некоторых страницах нет рисунков.
%Я надеюсь исправить это упущение в следующих изданиях.
Many colleagues, as myself (since the childhood), prefer to watch pictures in a book, rather than to read it. Therefore, I try to illustrate each page with at least one figure. While, this goal is not yet achieved, but I hope to approach it closer in the future editions. 
%For those, who is interested in the pictures only, I created the  \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}.
\vskip 2mm

%In addition, I do not include into this Book many other examples,  %that, as I think, can be considered in the similar way.
%The Reader not as a vessel to fill it, but as a torch that should be lighted. %, fired at least in some of the meanings of these words
%\footnote{After the shouting-down the passenger jet MH17, I think, the personal of the Russian corporation ``fakel'' 
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/MKB_Fakel}, that literally means ``torch", should be also fired, as they sell their products to terrorists.
%The name of that corporation, ``Fakel'', may have also the English interpretation in terms of the slang word ``fuck'' (that suggests certain action with respect to to administration of that organisation), but this interpretation falls out of the main topic of this Book and, therefore, is not considered here.}
%Кроме того, в книге нет многих других примеров, которые, как мне кажется, можно рассмотреть аналогичным образом, но решения для которых мне не удалось найти в литературе. 
%%Потому как Читатель - это не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь. То есть указать, как строить суперфункции и нецелые итерации. %% ни решить самостоятельно.  %Однако, я старался собрать здесь все известные суперфункции, чтобы %потом отдыхать (рис. \ref{ainu}) и на вопросы про итерации и суперфункции отвечать либо ``Этого не знает никто'', либо ``Это есть в моей Книге''. 

%I tried to collect in this Book all known results  about superfunctions. However, if any non-trivial superfunction still escapes from the powerful Google search, let me know. 
%I shall try to catch it, using for this all the abilities of the apparatus of superfunctions, Theory of Functions of Complex Variable and other mathematical analysis;
%and I hope them to be 
%in other to put it into the textbook case (figure \ref{textbookcase}) as soon as possible.
\JP{
\begin{figure}[b]
%\sx{.8}{\begin{picture}(200,200)
\sx{.7}{\begin{picture}(200,200)
\put(80,0){\ing{textbookcase}}
\end{picture}}
\caption{ Textbook case \label{textbookcase}}
\end{figure}
}%JP
%\vskip 2mm
%Если всё-же какая-либо важная и красивая суперфункция ускользнула от великого и могучего гуглевского серча, то, пожалуйста, сообщите мне об этом. Тогда я постараюсь и её оприходовать, задействовав, если потребуется, всю мощь дарственного аппарата суперфункций, абельфункций, ТФКП и прочего матана. %\vskip 2mm
%%Некоторые релевантные интернет-ресурсы предложены также на второй странице обложки.
%В связи с некоторой национальной специализацией науки в начале 21 века (например, открытие графенов в странах Западной цивилизации против открывания графинов, нанофильтров для истребления дафний, гравицап и прочих РАЕНизмов в России), пока поиск на английские ключевые слова более результативен. %\vskip 2mm
%Сперва надо разобраться, как получается, а потом можно разбираться, как можно было бы делать иначе, и почему не получается, если делать иначе.
%Таким образом, я выкладываю то, что есть у меня, а если кто-то считает, что может сделать лучше, пусть сделает.
%\chapter{Introduction}
%\chapter{~ Введение \label{Chapter1}\label{intro}}
\chapter{~ Introduction \label{intro}}
\baselineskip 18.4pt

\begin{wrapfigure}{r}{160px}
\sx{.32}{\begin{picture}(160,2)
\put(-180,40){\ing{snowball}}
\put(-100,384){\color{white}\rule{200pt}{40pt}}
\put(-100,390){\sx{2.4}{$F(0)$}}
\put(290,152){\color{white}\rule{230pt}{60pt}}
\put(290,160){\sx{2.4}{$T(F(0))\!=\!F(1)$}}
\end{picture}}
\vskip -20pt
\caption{Snowball of mass $F(0)$ gets mass $T(F(0))\!=\!F(1)$ after to roll once from the hill. \label{snow}}
\end{wrapfigure}
Iterates and Superfunctions arise naturally at description of a sequence of similar transformations of any quantity in a homogeneous physical system. This transform may refer to accumulation of mass by a snowball, that rolls down the hill, covered with sticky snow (Fig. \ref{snow}).
%, again and again. 
This may be attenuation of a shock wave in one of the successive sections of automobile muffler. 
The transform may  refer to change of intensity of light, passing one section of a laser amplifier or a saturable absorber. 
I hope, the Reader can suggest more examples of this kind.
%Plenty of room for imagination.
%Итерации и Суперфункции возникают в физике естественным образом при описании последовательности похожих преобразований чего-либо в однородной физической системе. Это может быть ослабление ударной волны в одной из последовательных секций автомобильного глушителя. Это может быть накопление массы снежным комом, который раз за разом скатывается с холма, покрытого липким снегом. Это может быть изменение интенсивности в световой волне при прохождении одной секции лазерного усилителя или просветляемого поглотителя. Простор для фантазии.
\vskip 2mm

%Если состояние системы до преобразования описывается параметром $x$, а после - параметром  $y$, и эти две величины связаны соотношением  $y\!=\!T(x)$, то функция  $T$ называется передаточной функцией. Можно рассмотреть постепенное изменение соответствующей величины от значения $x$ к значению $y$, в зависимости от координаты, вдоль которой усилитель считается однородным.
%Эта зависимость называется суперфункцией от функции $T$. Такие суперфункции являются объектом исследования; им посвящена эта Книга.
Let the state of the system before the transformation be described with parameter $x$, and, after transformation - with parameter $y$;
and let these two quantities be related with $y\!=\!T(x)$. Then, function $T$ is called ``transfer function''. It describes the transformation of the signal in the system. 
\vskip 2mm

System, that performs the transformation, can be called ``filter''. Transformation of signal $x$ in a filter with transfer function $T$ can illustrated with expression
\be
x \rightarrow \framebox{filter} \rightarrow y\!=T(x)
\eL{frame1}
 Output of one filter can be directed to the input of another identical filter. This can be expressed with
 \be
x \rightarrow \framebox{filter} \rightarrow T(x) \rightarrow  \framebox{filter} \rightarrow T(T(x))
\eL{frame2}
One can write the similar expressions for combination of 3 filters and so on. In these notations, the number of filters combined is supposed to be a positive integer. The main idea of this Book is, that the number of filters has no need to be integer. In this chapter, the notations are suggested to 
describe this.
%take into account this case.
%This chapter defines notations to describe combinations of filters.
%\begin{figure} $x \rightarrow \framebox{filter} \rightarrow y\!=T(x)$  \end{figure}

%\section{Фильтры и обозначения}
%\section{Filters and notations}
\section{Use of superscript}
\baselineskip 19pt
%С точки зрения физики, итерация описывает последовательную комбинацию фильтров.
%Пусть каждый фильтр характеризуется передаточной функцией (Transfer function) $T$.
%Если на входе фильтра имеется сигнал $z$, то сигнал на выходе фильтра будет $T(z)$.
From the point of view of physics, every iterate describes some combination of identical filters.
Let each filter be characterised with the transfer function $T$.
If we have signal $z$ at the input, then, at the output, the signal is $T(z)$.
\vskip 2mm

%В этой книге рассмотрен простой случай, когда сигнал выражается одним числом, вещественным или комплексным.
%В принципе, термин ``передаточная функция'' допускает обобщение на многомерный случай, тогда эта функция превращается в функционал; %аргумент $z$ мог бы иметь смысл вектора или функции. %Однако, 
%Как выяснилось, даже одномерный случай вызывает много недоумений и конфузов (некоторые примеры такого рода упомянуты в последующих главах).  %Сигнал на выходе фильтра (например, усилителя) может быть подан на вход еще одного такого  фильтра, и тогда сигнал на выходе второго фильтра будет
As it is mentioned in the Preamble of this chapter, the output of a filter can be directed to another similar filter, and the transfer function of the resulting combination can be expressed with
\be
T(T(z))=T^2(z)
\eL{IntroT2}
In the right hand side of equation \rf{IntroT2}, the notation with superscript is used. I am not first to suggest this notation;
%Здесь используется обозначение с верхним индексом. %Это не я такое обозначение придумал, 
%Вальтер Бергвеилер %(WALTER BERGWEILER) 
Walter Bergweiler had used such a notation in the past century
%использовал такие обозначения ещё в прошлом веке 
\cite{walter}. 
%Если после имени функции следует верхний индекс (и это не штрих, указывающий производную), то этот индекс указывает номер итераци функции. В частности, нулевая итерация есть идентичная функция (которая равна своему аргументу),
If there is superscript at name of some function, and the expression in this superscript can be interpreted as a number, then it 
is number of the iterate.
%counter of iterate.
%indicates its iteration. 
The zeroth iterate of a function is supposed to be identical function (its value is the same as value of its argument):
\be
T^0(z)=z
\ee
First iterate of some function $T$ is the same function $T$, and the minus first iteration corresponds to the inverse function.
%Первая итерация от функции есть она сама, а минус первая итерация соответствует обратной функции. Например, для %синусоидальной функции 
For example, at the sinusoidal transfer function
$T\!=\!\sin$, we have
\be
\sin^{-1}(z)&=&\arcsin(z) \\
\sin^{0}(z)&=&z\\
\sin^{1}(z)&=&\sin(z)\\
\sin^{2}(z)&=&\sin(\sin(z))\\
\sin^{3}(z)&=&\sin(\sin(\sin(z)))
\ee
and so on.
%В некоторых учебниках используется (хотя и не декларируется) обозначение, в котором $\sin^a(z)$ имеет смысл $\sin(z)^a$. Такое обозначение приводит к путанице. Например, при $a\!=\!-1$, это выражение может указывать на $\arcsin(z)$, но может указывать также и на  $\ds \frac{1}{\sin(z)}$. 
In some textbooks, the notation is used (but not declared), when expression $\sin^a(z)$ has sense of $\sin(z)^a$. 
Such a notation leads to confusions: at $a\!=\!-1$, expression $\sin^a(z)$ might mean   $\ds \frac{1}{\sin(z)}$; but, according to another commonly used notations for the inverse function, it should mean  $\sin^{-1}(z)\!=\!\arcsin(z)$.
\vskip 2mm

In such a way, in this Book, the expression in the upper superscript at the name of a function is interpreted as number of iterate. However, if the superscript is just ``prime'', almost vertical stick, it indicates the derivative; for example, $\sin'\!=\!\cos$; it is also usual notation. 

\section{Transfer equation}
\baselineskip 19.8pt
The use of the superscript allows to illustrate expressions \rf{frame1} and \rf{frame2} 
with figure \ref{figfilters}. 
The figure shows the combination of identical filters with transfer function $T$ each. 
%This 
%transfer 
%function is supposed to be given. 
%For simplicity, 
I assume $T$ to be some given, known holomorphic function.
The range of holomorphism is supposed to be wide enough, to cover the needs  of the following consideration.
\vskip 2mm
\begin{figure}[t]
\sx{1.02}{\begin{picture}(200,30)
\put(6,22){$f_0$}
\put(106,22){$T(f_0)$}
\put(206,22){$T^2(f_0)$}
\put(306,22){$T^3(f_0)$}
\multiput(10,0)(100,0){3}{\framebox(100,16){filter}}
\put(380,0){$\longrightarrow$}
\put(390,-9){$z$}
\put(0,-12){$F(0)$}
\put(100,-12){$F(1)$}
\put(50,-22){$F(z)$}
\put(200,-12){$F(2)$}
\put(148,-22){$F(z\!+\!1)$}
\put(300,-12){$F(3)$}
\end{picture}}
\vskip 18pt
\caption{Combination of filters, each of them has transfer function $T$ \label{figfilters}}
\vskip 18pt
\end{figure}

At the left hand side of figure \ref{figfilters}, in at the entry to the first filter, let the signal is characterised with some fixed value 
$f_0$. Then, after to pass the filter, it becomes 
$T(f_0)$; after to pass the second filter, it becomes 
$T^2(f_0)\!=\!T(T(f_0))$, and so on. These quantities are specified above the vertical bars, that 
mark the end on one filter and beginning of the next filter. 
%in the compact form:
%indicate values of signal after to pass zero filters, after to pass a single filter, after to pass two filters and so on.
\vskip 6pt

The notation can be even shortened, to count number of passes of the filter. 
Let $f_0$ be $F(0)$; 
let $T(f_0)$ be $F(1)$; 
let  $T^2(f_0)$ be $F(2)$, and so on.
In such a way, function $F$ of non-negative integer argument can be defined.
\vskip 4pt

Now I need the strong assumption. Let the filters, inside, are uniform, and act as some kind of continuous homogeneous nonlinear medium, that transfers the signal by some fixed (although, may be, not yet known) way; but,
%; however, this way is such that 
after to pass each section of the combined filter, 
the signal is transformed 
%according to the 
with known transfer function $T$.
\vskip 6pt

%\end{document}

We may consider coordinate $z$ along this combined filter, and treat it as
% if it would be 
a continuous medium.
%not a combination of discrete filters. 
It is convenient to choose the length of a single filter as a unit to measure the coordinate along the combined amplifier. Then, $F(z)$ may have sense of signal at coordinate $z$; for integer values of $z$, values of function $F(z)$ are already known. The question is, how to define, determine, evaluate function $F$ for non-integer values of $z$.
\vskip 2mm

If for some non-integer position $z$, for example, between zero and unity, the signal is $F(z)$, then, in the uniform medium, after a pass length unity along the composed filter, the signal should be transformed with the same transfer function $T$.
This can be expressed with the transfer equation \rf{prologeq} mentioned in the Prologue. 
%In order not to force the reader to scroll back, 
I repeat this equation:
\be
F(z\!+\!1)=T(F(z))
\eL{introeq}
The transfer equation \rf{introeq} specifies, how does the value of function $F$ changes, while its argument gets the unity increment.
In such a way, figure \ref{figfilters} indicates the physical meaning of the main equation in this Book; the figure suggests the physical 
%situation that may correspond to 
implementation of the transfer equation \rf{introeq}.
%В этой Книге, 
%чтобы избежать двусмысленностей, число в верхнем правом индексе при имени функции указывает число итераций (или номер итерации), и никогда не указывает степень, в которую следует возвести результат выполнения функции. Когда следует сперва вычислить синус числа $z$, а потом результат возвести во вторую степень, то это записывается как  $\sin(z)^2$. Я надеюсь, что Читатель может отличить константу или переменную (или иное арифметическое выражение) в верхнем индексе от штриха, который обозначает дифференцирование, и путаницы не будет.
\vskip 2mm

\section{Values of the argument}

In this Book, I assume, that the signal, transferred through the filter, is characterised 
%with
by a single number, real or complex.
In principle, term ``transfer function'' allows generalisation to the multidimensional case; then the transfer function appears as a functional, and its argument 
%$z$
may have sense of a vector or a function. 
As it is mentioned in the Preface, here I consider only the case of a single variable: 
it happened, that even the single-dimensional case causes a lot of confusions at the internet forums and discussions.
%Some examples of this kind are mentioned in the following chapters.
%\vskip 2mm
%
It is methodically-incorrect, to develop the multidimensional generalisations, while the colleagues have doubts even in the single-dimensional case.
%Even in the single-dimensional case happened to be interesting and not-trivial.
According to the definition of science \cite{ufn,science} in the Prologue, first, the results bout the single-dimensional case should be presented, that still refute the commonly accepted point of view, that the recovery of the signal inside a homogeneous system from its transfer function is not possible
%\cite{yoneda,kaminski,smile,akira,akira2}.
\cite{yoneda,kaminski,akira1,akira2}.
%Продвигать многомерные обобщения, пока коллеги сомневаются даже в одномерном случае, представляется методически некорректным. В соответствии с определением Науки \cite{ufn,science}, сперва следует представить результаты по простейшему случаю, который всё ещё опровергает устоявшуюся точку зрения о том, что восстановление распределения сигнала внутри однородной нелинейной системы по её передаточной функции невозможно \cite{yoneda,kaminski,smile,akira1,akira2}.
\vskip 2mm

One of objections refers to the multitude of solutions. Consideration of complex values of argument of the transfer function allows to reduce the class of possible solutions
(and sometimes even provides the uniqueness of the solution). 
%This consideration is more urgent, than analysis of some multidimensional signal.
In such a way, consideration of complex argument is more important, than analysis of some multidimensional signal.
For this reason, in this Book, I assume, that the argument of the transfer function is a complex number.
%In order to simplify the consideration, 
Also, I assume, that the transfer function is holomorphic, at least at some vicinity of some part of the real axis.
%Рассмотрение комплексных значений аргумента передаточной функции позволяет сузить класс возможных решений, и в этом смысле существенно важнее, чем рассмотрение многомерного сигнала. Поэтому в этой книге считается, что передаточная функция и её суперфункция определены для комплексных значений аргумента; кроме того, предполагается, что каждая из этих функций голоморфна в той области, которая требуется для рассмотрения.
\vskip 2mm

%\section{Гнездо}
\section{Nest}
\baselineskip 19pt

\begin{wrapfigure}{r}{90px}
\sx{.45}{\begin{picture}(200,36)
\put(-30,-28){\ing{nestbird1}}
%\put(-40,-180){\ing{birdInThNest}}
%\put(-40,-200){\color{white}\rule{600px}{210px}}
%\put(0,-30){\sx{3.7}{\url{http://www.tocolor.pics}}}
\end{picture}}
\caption{Nest \label{nestbird}}
\vskip -12pt
%\sx{.9}{\url{http://www.tocolor.pics}}
%\url{http://www.tocolor.pics/a-bird-in-the-bird-nest-coloring-pages/}}
\end{wrapfigure}

%Для итераций в языке программирования ``Математика'' есть специальная функция, которую можно назвать ``гнездо'', делая не слишком удачную кальку с английского слова Nest \cite{nest}. Впрочем, можно транслитерировать английское слово как ``Нест'' и склонять его в соответствии с обычаями русского языка: Нест, Неста, Несту, Нест, Нестом, о Несте. В некоторых текстовых редакторах при этом приходится подавлять поползновения автоматических корректоров заменить букву Н на букву М. Нест используется для итераций.

For iterates of functions, in algorithmic language Mathematica, there is special routine 
%called 
{\bf Nest}.
%To use this routine, the three arguments should be supplied.
%This routine 
It requires 3 arguments.
The first one indicates the name of function that 
should
%ghouls
be iterated.
The second argument indicates the initial value at the iterates.
The third (and last) argument specifies the number of iterate.
The call looks as follows:
%Call of the Nest may have the following form:
%При использовании Неста требуется указать три аргумента. Первый аргумент указывает имя функции, которая итерируется. Второй указывает начальное значение при итерациях, а последний, третий аргумент указывает число итераций. Обращение к Несту имеет следующий вид: 
%\vskip 2mm
%\hskip 44mm
\be
\mathrm{Nest}[ f , x , z ]
\label{matnest}
\ee 
%\vskip 2mm

In Mathematica, the arguments of a function appear in squared parenthesis; and expression \rf{matnest}
means 
%В программировании на Математике, аргумент функции указывают в квадратных скобках; и такая запись обозначает выражение 
$f^z(x)$. (However, term ``Nest'' may have also different meaning, as it is shown in figure \ref{nestbird}.)
\vskip 2mm

%По крайней мере до 2014 года, имплементация  Неста не позволяет использовать его в случаях, когда последний аргумент не выражается целой константой, натуральным числом. 
%(Даже нулевая и минус первая итерация запрещены.)
At least until year 2017, the implementation of Nest 
%does not allow to use it, if 
requires, that 
the last argument can be simplified to a positive integer constant. Even 0th and minus first iterates are prohibited. 
Perhaps, the designer assumed, that only the integer number of iterate may have sense and meaning.
\vskip 2mm

Actually, the non-integer iterates do have sense, as it is mentioned in the preamble of this chapter.
%While non-integer iterates are not supported in the current implementation of Nest, that may have straightforward physical sense.
One more example is considered in the next section.
\vskip 2mm

%Возникает естественный вопрос: ``Какой смысл может иметь нецелая итерация функции?''
%Этот вопрос обсуждается в следующей секции.

%\section{Волоконный усилитель}
\section{Fibre amplifier}
%Рассмотрим волоконный лазерный усилитель.
%Предположим, Изготовитель дает Физику кусок активного оптического волокна длинной, скажем, один метр, и систему накачки, с тем, чтобы Физик узнал, как изменяется интенсивность света в волокне по мере усиления,
%но не разрешает разрезать волокно и смотреть, что там у него внутри; Физик лишь верит, что волокно
%однородно и равномерно освещено источником накачки. Для того, чтобы считать накачку равномерной, предположим, что используется схема поперечной накачки 
This section describes the example, that shows the sense of the non-integer iterates.
This example refers to the fibre amplifier. I type ``fibre'' in order to indicate, that the signal is confined in two directions, and only the power in the fibre as function of the coordinate along it is subject of consideration.
%I had declared, that I work here with single-dimensional functions.
A lot of physical effects are dropped out in this consideration: change of the spectral content of the signal, self-peaking, spontaneous emission, etc.. So, I consider here the simplest case, but for this model I want to get the exact solution.
\vskip 2mm

Assume, some Manufacturer gives to some Physicist a piece of one meter long of the optical fibre amplifier, together with the system of pumping, and asks the Physicist to investigate, how the power of light inside grows during the amplification, but Manufacturer does not allow Physicist to cut the fibre to measure, what is inside. Physicist knows the only, that the fibre is uniformly pumped. We may assume, that some system of lateral delivery of pump is used \cite{slab1,slab2, slab3, fidi2}. 
\vskip 2mm

Physicist can measure the transfer function $T$ of this fibre. With this transfer function, Physicist can say, what should be the transfer function of similar piece of fibre of length 2 meter. Assuming, that the source of pump is delivered together with each piece of the fibre, the transfer function of the piece of two meter is $T^2$; that of the 3 meter piece should be $T^3$ and so on; if $z$ pieces of the fibre are combined, then, the transfer function is $T^z$.
%Физик может измерить передаточную функцию $T$ этого волокна. На основе этой передаточной функции, Физик может сказать, какая будет передаточная функция у аналогичного двухметрового волокна. В предположении, что накачка доставляется вместе с волокном и поэтому её интенсивность не зависит от длины усилителя, передаточная функция двухметрового усилителя будет $T^2$, трехметрового 
%$T^3$, четырехметрового  $T^4$, и так далее. Но какая будет при этом передаточная функция у волокна длины $z$ метров при нецелом значении $z$?
\vskip 2mm

Iterates $T^z$ are pretty clear, while $z$ is integer. But how about non-integer values? For example, what is transfer function to the piece of half meter long?  
\vskip 2mm

As it is mentioned in the previous section, in Mathematica, the transfer function of piece of $z$ meter length could be expressed with
%На языке ``Математика'', такая функция могла бы выражаться в виде 
$T^z(x)=\mathrm{Nest}[T,x,z]$. 
Unfortunately, such an expression is not yet interpreted correctly at non-integer $z$.
%К сожалению, 
%В современной реализации этого языка, последний аргумент должен быть выражен целым числом; иначе ``Математика'' выдает сообщение об ошибке!
\vskip 2mm

How to express the non-integer iteration of a given transfer function?
%How to express it with exertion?
These question can be analyzed with the transfer equation \rf{introeq}.
The preliminary analysis is suggested in the next section.
%Можно ли выразить нецелую итерацию предаточной функции в виде уравнения?
%Оказывается, это сделать можно, и такое уравнение представлено в следующей секции.

%\section{Передаточное уравнение}
\section{Transfer equation and the Abel equation}
%В этой Книге, передаточным уравнением (transfer equation) называется уравнение, которое указывает, как должен изменяется сигнал внутри фильтра (усилителя) с тем, чтобы сигнал на выходе выражался передаточной функцией от сигнала на входе. При переносе, передаче сигнала в усилителе на единичную длину, сигнал преобразуется функцией $T$:
Through this book, the transfer equation \rf{prologeq},\rf{introeq} is repeated (and used) again and again, and, in particular, here:
\be
F(z\!+\!1)=T\big(F(z)\big)
\eL{transfereq}
I remind, that $T$ denotes the transfer function,
%Здесь, как и в предыдущей секции, буквой $T$ обозначена передаточная функция,
%$z$ - координата, вдоль которой распространяется сигнал (усиливаемый свет, или звук, или ещё чего-нибудь эдакое),
$z$ may have sense of coordinate along direction of propagation of some signal, and
function $F$ expresses dependence of the signal on this coordinate. (However, coordinate  $z$ may have also any other meaning.)
\vskip 6pt
%и функция $F$ выражает зависимость сигнала от этой координаты.
%(В Лазерной Науке, сигналом называется усиливаемое излучение, иногда видимый свет, даже если никакая информация с этим излучением не передается.)

In Laser Science, term ``signal'' denotes the wave (light), that is amplified; even if no information is transferred with this light.
In this book, the length is measured in units of the length of the amplifier. 
The generalisation for the arbitrary units is straight-forward.
%Если длина усилителя не точно один метр, то без ограничения общности можно взять длину усилителя за новую единицу измерения.
%Поэтому не обязательно вводить в уравнение переноса ещё одну переменную.
\vskip 6pt

%Решение $F$ уравнения  \rf{transfereq} называется суперфункцией по отношению к передаточной функции  $T$. В соответствии с Аксиомой ТОРИ номер 6, о простоте, я по умолчанию считаю, что и передаточная функция $T$, и суперфункция $F$ голоморфны в той области, коротая требуется для рассмотрения.
%\vskip 2mm
For given transfer function $T$, solution $F$ of the transfer equation \rf{transfereq} is called ``superfunction''. The inverse function
$G\!=\!F^{-1}$ is called ``Abel function'' or ``abelfunction'' for the same transfer function $T$.
The abelfunction $G$ satisfies the Abel equation
\be
G(T(z))=G(z)+1
\iL{abeleq}
\ee
Equations \rf{transfereq} and  \rf{abeleq} can be deduced from each other other by the change of variable.
Just replace $z$ to $F(z)$ in equation \rf{abeleq} and apply function $F$ to both side of the resulting equation.
The Readers are united to make this exercise or to look for it at some Wikipedia \cite{wikiabel}. I hope, the Soviet veterans, that remove articles about the USSR, will be stopped before they begin to vandalise the Abel equation.
%Уравнения \rf{transfereq} и  \rf{abeleq} получаются одно из другого заменой переменной.
%Читатели приглашаются проделать это несложное преобразование в порядке упражнения (или подсмотреть этот вывод в какой-нибудь Википедии \cite{wikiabel} ).
\vskip 6pt

%Уравнение \rf{transfereq} тоже иногда называют уравнением Абеля, и это может вызвать путаницу. Чтобы избежать путаницы, я называю соотношение \rf{transfereq} передаточным уравнением, и лишь уравнение, похожее на \rf{abeleq}, - уравнением Абеля.
%\vskip 2mm

%Решение $F$ уравнения \rf{transfereq} я называю суперфункцией, а решение $G$ уравнения уравнение \rf{abeleq} называю aбельфункцией. 
%In general, solution $F$ of the transfer equation \rf{transfereq}, as well as soultion $G$ of the abelequation  \rf{abeleq}  are not unique. This non–uniqueness is disc
%For me, the most appropriatete solution is that, which has the largest range of holomorphism; and there is important question, which additional requirements should be added to the transfer equation  \rf{transfereq} or to the anelequation \rf{abeleq}
%in order to choose the ``true'' solution. 
Assume, that the superfunction $F$ and the abelfunction $G$ are somehow constructed.
This gives key to the iterate $T^z$ of the transfer function, and the number $z$ of the  iteratie has no need to be integer.
This iterate can be expressed as follows:
\be
T^z(x)=F(z+G(x))
\eL{Tzx}
%В общем случае решения не единственны. Я выбираю решения так, что $F(G(z))\!=\!z$ в некоторой области значений $z$; обычно в некоторой окрестности вещественной оси или, хотя бы, в окрестности некоторого отрезка вещественной оси.
%\vskip 2mm
%This indicates the way of consideration of the case of Manufacturer and Physicist, mentioned above.
%\vskip 2mm
In order to show an example of application of formula \rf{Tzx}, return to the story about Manufacturer and Physicist from the previous section.
%Вернемся к задаче об Изготовителе и Физике, упомянутой в предыдущей секции.
%Допустим, Физику удалось найти решение $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq}, имеющее физический смысл. Тогда он может построить 
%функцию Абеля, то есть 
Assume, the Physicist has found the physically-meaningful solution $F$ of the transfer equation  \rf{transfereq}, and has constructed the inverse function, id est,
abelfunction $G\!=\!F^{-1}$.
Then, Physicist can express the transfer function $F$ of the amplifier of arbitrary length $z$ by formula \rf{Tzx}.
\vskip 6pt

For transfer function $T$, its superfunction $F$ and the abelfunction $G$ appear as two sponges of a wrench for some screw, as a tool, that allows to rotate the screw for any rational angle.
%Таким образом, решение задачи о восстановлении передаточной функции усилителя произвольной длины по
%передаточной функции $T$ усилителя единичной длины сводится к нахождению подходящего решения $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq} и построению соответствующей обратной функции $G$. Тогда передаточная функция усилителя длины $z$ выражается явным образом \rf{Tzx}. 

%\section{Множественность решений}
\section{Multiplicity of solutions}
\baselineskip 18.8pt

%Решение $F$ уравнения \rf{transfereq} не единственно.
%Можно сузить множество решений, если выбрать значение функции 
%$F$  в нуле, то есть потребовать, чтобы 
Solution $F$ of equation \rf{transfereq} is not unique.
One can reduce multitude to solution, specifying its value at zero (or at any other point the Reader likes);
id est, choose some number $F_0$ and add the requirement that
\be
F(0)=F_0
\eL{f0}
%где $F_0$ есть фиксированная константа. Во многих случаях, эта константа не влияет на восстановление нецелой итерации передаточной функции по формуле  \rf{Tzx} в том смысле, что при преобразовании
In many cases, the constant $F_0$ does not affect the shape of iterates of the transfer function; transform
\be
\tilde F(z)=F(z\!+\!x_0)
~,~ ~
\tilde G(z)=G(z)\!-\!x_0 ~
\eL{zo}
for some $x_0$ and substitution $F \!\rightarrow \!\tilde F$, $G\!\rightarrow \!\tilde G$ into equation \rf{Tzx} gives the same iterate, as the initial $F$, $G$ do.
\vskip 2mm

%Однако даже после такого сужения, решение не становится единственным. Если $F$ решение, то новое решение $\tilde f$
%можно построить по формуле
However, even after addition of requirement \rf{f0}, the solution is not unique. If $F$ is solution, superfunction, then another solution (another superfunction)
can be constructed with
\be
\tilde f(z)=F\big(z+\theta(z)\big)
\eL{tif}
where  $\theta$ is periodic holomorphic function with period unity.
%есть периодичная функция с периодом единица. При  $\theta(0)=0$, даже условие \rf{f0} для суперфункции $\tilde f$ сохраняется.
At  $\theta(0)\!=\!0$, even condition \rf{f0} is preserved.
\vskip 2mm
The different superfunctions $F$, with their abelfunctions $G\!=\!F^{-1}$,
%provide 
give
different iterates of the transfer function $T$. For this reason, one may think, that the non-integer iterates of a function have no meaning.
In particular, in century 20, the colleagues had believed, that the half iteration of factorial, denoted with $\sqrt{\,!\,}\!=\! \mathrm{Factorial}^{1/2}$, has no meaning.
\vskip 6pt

\begin{wrapfigure}{r}{144pt}
\begin{picture}(196,100)
%\begin{picture}(196,108)
%\put(4,0){\sx{.7}{\ing{SqrtFactorialLogo}}}
%\put(18,0){\sx{.33}{\ing{Fizfakzmachok}}}
\put(12,0){\sx{.33}{\ing{znachok}}}
\put(18,0){\sx{.33}{\ing{znachok}}}
%\put(10,0){\sx{.666}{\ing{s}}}
\end{picture}
\vskip -6pt
\caption{ $\sqrt{\,!\,}$ as emblema
%Sign of Phys.Dept. of MSU
%Значок Физфака МГУ 
%(слева) в сравнении со значком 
%и значок Мехмата% (справа) 
%\small \iL{SqrtFactorialLogo}
\label{SqrtFactorialLogo}
}\vskip -12pt
\end{wrapfigure}
%That functions
Function $\sqrt{\,!\,}$ is especially interesting, because since 1950, it is used as logo of the Physics Department of the Moscow State University
\cite{kandi}. That logo is shown in figure
\ref{SqrtFactorialLogo}, borrowed from the Russian article \cite{sado}. Only in 2009, the physical and mathematical meaning of this iterate and this logo had been reported
%Неоднозначность указывает, что могут быть разные способы восстановления нецелой итерации передаточной функции. Поэтому многие думали, что нецелые итерации функций смысла не имеют. В частности, считалось \cite{kandidov}, что не имеет смысла 
%выражение $\sqrt{\,!\,}=\mathrm{Factorial}^{1/2}$,
%означающее половинную итерацию от факториала. Это выражение используется в качестве эмблемы Физфака МГУ
%(см.рис. \ref{SqrtFactorialLogo})
%с 1950 года, и было интересно придать ему четкий физический и математический смысл. Это удалось сделать только в 2009 году 
%\cite{facr},
\cite{facit},
when the apparatus of superfunctions had been constructed.
The uniqueness of the superfunction of factorial (and, therefore, that of the half iterate of factorial) is provided by the additional requirement of holomorphism and behaviour at infinity:
transformation \rf{tif} reduces the range of holomorphism of superfunction and that of the reconstructed non-initeger iterates.
%когда был построен аппарат суперфункций.
%Это удалось сделать, потребовав, чтобы решение  $f$ уравнения \rf{tif} было голоморфной функцией.
%\cite{facr}. Поведение соответствующего легендарного "корня из вакториала", то есть половинной итерации функции "Факториал", показано на рисунке 1 толстой кривой. Для сравнения, тонкая кривая показывает поведение функции "Факториал".
\vskip 6pt

%Воображение у математиков развито сильнее, чем у физиков. В частности, вопрос о математическом смысле нанизывания Мёбиуса на знак интеграла, напрашивающийся при взгляде на эмблему Mехмата (правая часть рисунка  \ref{SqrtFactorialLogo}), до сих пор не имеет ответа. Возможно, значок Мехмата тоже приобретет смысл в ходе дальнейшего развития суперфункций, когда потребуется новый вид контурного интеграла, в котором функция выворачивается наизнанку, и для его обозначения потребуется Мёбиус.
%\vskip 2mm

The problem of evaluation of non-integer iterate in some physically-meaningful way arises not only at the phenomenological consideration of an idealised amplifier.
%Проблема нахождения нецелой и, частности, половинной итерации передаточной функции возникает не только при феноменологическом рассмотрении идеализированного усилителя.
Similar problem appears at the analysis of stability of jets; in the simple (single-dimensional) approximation, the appearance and disappearance of instability by the 
%Похожая задача возникает при анализе неустойчивости работы реактивного двигателя; в простейшем (одномерном) приближении, возникновение и исчезновение неустойчивости по сценарию Помо-Манневиля (
Pomeau-Manneville scenario \cite{pomeau,gac}  
%описывается квадратичной передаточной функцией. Сходные уравнения используются при анализе устойчивости аттракторов
can be described with some specific quadratic transfer function. Similar equation arise at the analysis of stability of attractors
\cite{Eckmann81}.
%; процесс описывается уравнением $x_{n+1}=F(x_n)~,~x_0=y$.
At least for the single-dimensional models, one can construct abelfunction and superfunction 
%По крайней мере для одномерных моделей, при этом можно построить абельфункцию и суперфункцию 
\cite{logistic}, and, hence, the non-integer iterates of the transfer function.
%и, соответственно, нецелые итерации передаточной функции.
\vskip 2mm

Observation of similarities in construction of superfunctions allows to formulate the problems about superfunctions and the goal of this Book.
% in a general form. 
This is suggested in the next section.
%Наблюдение сходства в построении суперфункций помогло сформулировать задачу о построении суперфункций, абельфнкций и соответствующих нецелых итераций передаточной функции достаточно общим образом. Принципиальным для построения решения (то есть нахождения алгоритма для его вычисления с требуемой точностью) является выбор дополнительных условий, которые обеспечивают единственность этого решения. 

%\section{Постановка задачи}
\section{Formulation of the problem}
\baselineskip 18pt

Suppose we have some transfer function $ T $, holomorphic in a wide range of values of the argument, and we are interested in its iterates.
%in a rather wide range of values ​​of the argument.
\vskip 6pt 

What additional conditions should be imposed on superfunctions $F$ (or to the abelfunction $G\!=\!F^{-1}$) 
as solution of the transfer equation \rf {transfereq} (or that of the Abel equation \rf {abeleq}) 
to provide the unique solution? 
\vskip 6pt 

%How to check that namely the solution has some physical meaning? 
%\vskip 2mm 

How to evaluate the superfunctions and the abefunction, that satisfying the conditions chosen? 
\vskip 6pt 

How to verify that 
%it is calculated the 
namely this solution has the physical meaning? 
\vskip 6pt 

The goal of this book is to answer these  questions.
I try to represent the answers in the most simple and explicit form. 
In this book, I retell the previously published 
% results 
articles 
\cite {analuxp, sqrt2, vladir, logistic, factorial, e1e, susin, sutra, 2013or};
the idea is to release the Reader from the need to drill the original publications.
% I try not to be included in the Book of the results that have not been tested by reviewers of scientific journals. % (although reviewers do not always catch errors \ cite {}). 
\vskip 6pt 

The next chapter suggests examples of superfunctions and corresponding abelfunctions; other chapters suggest general algorithms for calculation superfunctions and the application to physical problems. Description of the state of a physical system with a single parameter is already a strong approximation, and at least in this case, it is desirable to represent the solution in a simple 
and exact 
form.
\vskip 6pt 

%\begin{wrapfigure}{r}{180pt}
\begin{wrapfigure}{r}{150pt}
\vskip -8pt
\sx{.24}{\begin{picture}(300,740)
%\put(20,-40){\ing{DevchonkaMartini}}
\put(0,-40){\ing{martini}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{\large %Девчонка покупает 
%Сухой Мартини
Dry martini
\label{martini}}
\vskip -4pt
\end{wrapfigure}
Perhaps, I should discuss meanings of term ``simple''. Applying to a function, this term may get new meaning, indicating, that values of the function belong to some finite set \footnote{\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_function} In the mathematical field of real analysis, a simple function is a real-valued function over a subset of the real line, similar to a step function. }. In the similar way, the adjective ``dry'', being applied to a vine or Martini, significantly change its meaning
(figure \ref{martini}). In this Book, term ``simple'' indicates, that the function is easy to understand, its definition is short and its implementation is fast; as for the set of values, the functions are supposed to be holomorphic and, therefore, should have values from the continuous set of complex numbers. 
\vskip 6pt 

On this point I finish the general speculations about superfunctions and turn to the specific examples.
In the following chapter, the examples of transfer function and its superfunction and abelfunction  are considered.

%Для примеров хотелось бы использовать не сложные функции. Имеется некоторая терминологическая сложность в том, чтобы квалифицировать некоторые функции как не сложные для рассмотрения. Хотелось бы использовать привычное для физиков (и не только) прилагательное ``простой'',
%однако в математике этот термин, применительно к функции, может означать еще, что функция измерима.
%\footnote{
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_function}
%\\ $\rm \backslash url\{http://ru.wikipedia.org/wiki/$Простая\_функция\} \\
%Простая функция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.}
%Таким образом, слова ``не сложный'' приходится писать отдельно, так как слово ``простой'' может иметь иной смысл.
%Примерно так же прилагательное ``сухой'', применённое к вину или к Мартини, радикально меняет своё значение (см. рис. \ref{martini}).
%Если Вы можете предложить ещё более простые (менее сложные, но всё ещё не тривиальные) примеры, дайте знать.
%\vskip 3mm
%На этом я заканчиваю общий трёп про суперфункции. В следующей главе появляются, наконец, примеры суперфункций.

%\chapter{~ Примеры суперфункций \label{ExamplesOfSuperfunctions}}
\chapter{~ Examples of superfunctions \label{ExamplesOfSuperfunctions}}
\baselineskip 18pt

Before to calculate the superfunctions and abelfunctions for transfer functions of general kind,
it worth to see the cases, when the superfinction and the abelfunction can be easy expressed in terms of already known special functions.
These examples are considered in this chapter. It can be considered as continuation of the Inroduction: the most of functions mentioned here are known since the school course of algebra.
%Прежде чем вычислять суперфункции и абельфункции для каких попало передаточных функций, имеет смысл посмотреть, в каких случаях суперфункция и абельфункция могут быть представлены в виде несложной комбинации хорошо известных функций. Книга задумана как популярная, поэтому уместно начать с таких примеров. Они рассмотрены в этой главе. 

%Эта глава может рассматриваться как продолжение введения: для  анализа приведенных здесь примеров не требуется каких-либо специальных методов построения суперфункций.
\vskip 2mm

%В предыдущей главе суперфункция $F$ для передаточной функции $T$ определяется как решение уравнения
Superfunction $F$ for the transfer function $T$ is solution to the transfer equation \rf{transfereq}; I repeat it here:
\be
\nonumber
F(z+1)=T(F(z))
\ee
%Чтобы не тянуть кота в долгий ящик, %за хвост
%, в этой главе перечислены примеры суперфункций,
%в следующей секции 
%ниже
In the next section, several known solutions are presented in Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
Then, in the following sections and chapters, these functions are considered with more details.
%предлагается таблица суперфункций, 
%представленных
%в этой Книге;
%в последующих секциях и главах, свойства этих суперфункций рассмотрены более подробно.

%\section{Таблица суперфункций}
\section{Table of superfunctions}

\begin{table}%\title{Table of SuperFunctions}
\begin{center}
%{\bf TABLE 1. Examples of SuperFunctions}
%\baselineskip 22pt
%\caption{Примеры суперфункций, $~T(z)=f\Big(1+g(z)\Big)$  \label{TableOfSuperfunctions}}
\caption{Examples of superfunctions $f$: $~ ~T(z)=f\Big(1+g(z)\Big)$  \label{TableOfSuperfunctions}}
\newcommand \vv {\rule{0pt}{22pt}}
\hskip -12pt
\sx{.95}{\baselineskip 28pt\begin{tabular}{r|l|l|l|c}
&$\!T(z)\!
%=\! f(1\!+\!g(z))\!
		$&$f(z)    		$&$g(z)=f^{-1}(z)            $& comment \\  \hline
1&$c				$&$ c			$&  & \vv \\			
2&$\!z\!+\!1		$&$b+z			$&$z-b			$&$b\in \bC		$ \vv\\
3&$b+z		$&$b z + c		$&$(z-c)/b				$&$b\ne 0		$ \vv\\
4&$b z + c		$&$b^z+\frac{c}{1-b}$&$\log_{b}\!\left(z-\frac{c}{1-b}\right) $& $b\!\ne\!0$, $b\ne 1$, \cite{log} \vv\\ 
5&$b^z 		$&${\rm tet}_b(z)		$&${\rm ate}_b(z)	$& \cite{analuxp,sqrt2,e1e} \vv\\
6&$z^b 		$&$\exp(b^z)		$&$\log_{b}\!\big(\ln(z)\big)	$&\!\!\rf{Pow}, $b\!>\!0$, $b\!\ne\! -1$ \vv\\ 
7&$-a^2/z		$&$\ds a \tan\Big(\frac{\pi}{2}z\Big)	$&$\ds \frac{2}{\pi}\arctan(z/a)	$&$ a>0$ \vv\\ 
8&$\ds \frac{z}{c+z}	$&$\ds \frac{1-c}{1-c^z}$&$\ds \log_c\Big(1-\frac{1-c}{z}\Big)	$&$ c\ne 0~$, $~ c\ne 1$ \vv\\ 
9$\vv$&$\ds \frac{z}{1+z}	$&$\!\!\ds 1/z$&$1/z$&$\!\!\!f\!=\!g$; $T^n(z)\!=\!\frac{z}{1+n z}\!$  \vv\\ 
$\!$10&$\ln(b\!+\!\rme^z)	$&$\ln(bz)		$&$\rme^z/b	$&$b\ne 0$  \vv\\
$\!$11&$(a^b\!+\!z^b)^{1/b}	$&$az^{1/b}		$&$(z/a)^b	$&$a\!>\!0$, $b\!\ne\!0	$ \vv\\
$\!$12&$2z \sqrt{1\!-\!z^2}	$&$\sin(\pi 2^z)		$&$\log_2\!\big(\arcsin(z)/\pi\big)\!\!$& \vv\\
$\!$13&$2z\sqrt{1\!+\!z^2}$&$\sinh(2^z)$&$\!\!\log_2\!\left(\ln\left(z+\sqrt{z^2\!+\!1}\!~\right)\!/\pi\right)\!\!\!$& \vv\\
$\!$14&$2z^2-1		$&$\cos(\pi 2^z)	$&$\log_2(\arccos(z))	$&  \vv\\
$\!$15&$2z^2-1		$&$\cosh(\pi 2^z)$&\!\!$\log_2\!\left(\ln\left(z+\sqrt{z^2\!-\!1}\!~\right)\!/\pi\right)\!\!$& \vv\\
$\!$16&$2z/(1\!-\!z^2)	$&$\tan(2^z)		$&$\log_2(\arctan(z))	$&  \vv\\
$\!$17&$2z/(1\!+\!z^2)$&$\tanh(2^z)$& $\ds\log_2\!\left(2\ln\!\left(\frac{z\!+\!1}{z\!-\!1}\right)\right)\!\!$&  \vv\\
%18&$\fac(z)\!$&${\rm SuFac}(z)\!$&${\!\rm AuFac}(z)$& \rf{regufac}, \rf{abelfac3e} ; \cite{facr} \vv\\
%18&$\fac(z)\!$&${\rm SuFac}(z)\!$&${\!\rm AuFac}(z)$& \rf{regufac}, \rf{facG} ; \cite{facr} \vv\\
$\!$18&$\fac(z)\!$&${\rm SuFac}(z)\!$&${\!\rm AuFac}(z)$&$\!\!\!$\rf{SuFac}, \rf{AuFac}; \cite{factorial}$\!$ \vv\\
$\!$19&$b\,z\,(1\!-\!z)$&$\!\! \mathrm{LogisticSequence}_b(z) \!\! $&$\!\mathrm{LogisticSequence}_b^{-1}(z)\!$&$\!\!$\rf{logilim}, \rf{AbelLogistic}; \cite{logistic}\! \vv\\
%$\!16\vv_{\rule{0pt}{11pt}}$&$\mathrm{LambertW}(z \rme ^z+t) $&$ \mathrm{Tania}(tz) $&$(z+\ln(z)-1)/t $& \cite{tania} \\
$\!$20&$\mathrm{Doya}^t(z) $&$ \mathrm{Tania}(tz) $&$(z+\ln(z)-1)/t $&$\!$\rf{Doya}, \rf{taniaprim} \vv\\% ; \cite{2013or,doya} \\
$\!$21&$\mathrm{Keller}^t(z) $&$ \mathrm{Shoka}(tz) $&$\mathrm{ArcShoka}(z)/t $&$\!$\rf{KellerDef}, \rf{Shoka} \vv\\% ; \cite{2013or,Keller,Shoka} \\
$\!$22&$\sin(z) $&$ \mathrm{SuSin}(tz) $&$\mathrm{AuSin}(z)/t $& \rf{susindef}, \cite{susin}  \vv\\
$\!$23&$\!\!\mathrm{zex}(z)\!=\!z \exp(z)\!\!$&$ \mathrm{SuZex}(tz) $&$\mathrm{AuZex}(z)/t $& \rf{zexDef} \cite{sutra}  \vv\\
%23&$\!\mathrm{zex}(z)\!=\!z \mathrm e^z \!$&$ \mathrm{SuZex}(tz) $&$\mathrm{AuZex}(z)/t $& \rf{zexDef} \cite{sutra}  \vv\\
%24&$\!\!\mathrm{tra}(z)\!=\!z\!+\!\exp(z)\!\!\! $&$ \mathrm{SuTra}(tz) $&$\mathrm{AuTra}(z)/t $& \rf{tra} \cite{sutra}  \vv\\
$\!$24&$\!\!\mathrm{tra}(z)\!=\!z\!+\!\mathrm e^z\!\!$&$ \mathrm{SuTra}(tz) $&$\mathrm{AuTra}(z)/t $& \rf{tra} \cite{sutra}  \vv\\
\hline
&$P(T(Q(z)))\vv \!$& $P(f(z))$ & $g(Q(z))$ & $P(Q(z))\!=\!z$%, $P(Q(z))\!=\!z$
\\  \hline
\end{tabular}}
\end{center}
\end{table}

%В этой секции представлена таблицa суперфункций. Есть аналогии между таблицей суперфункций и таблицей интегралов. Эта аналогия рассмотрена ниже.
%\vskip 2mm
There is analogy between the table of superfunctions and tables of integrals. In both cases, the direct operation is, in certain sense, more difficult, than the inverse operation.
If one knows the indefinite integral of some function, and this integral is expressed in terms of elementary functions in a compact form (the writing fits the width of the column of the table), then, one can calculate the integrand with known rules of differentiation. In the similar way, if the superfunction $F$ and the abelfunction $G\!=\!F^{-1}$ are known, the 
transfer function can be expressed with
\be
T(z)=F(1+G(z))
\nonumber
\ee
%Операция дифференцирования проще, чем операция интегрирования; по крайней мере в тех случаях, когда исходная функция выражена через несложную комбинацию специальных функций.
%Один из моих учителей квантовой механики, Владимир Кривченков (и, вероятно, не он первый) говорил, что дифференцировать можно научить даже обезьяну, но с интегрированием труднее. В ту эпоху задача считалась решенной, если решение удавалось выразить в виде формулы, которую можно найти в Градштейне-Рыжике; так называлась большая толстая черная книга %(Толще Библии)
%``Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений''
%\cite{gr}. Тогда еще не было настольных компьютеров, умеющих дифференцировать и интегрировать,  и такая книга была одним из основных инструментов любого серьезного исследователя. Составление таблиц интегралов было важным, трудным (и, вероятно, нудным) делом.
%\vskip 2mm
One of ways to built-in the table of integrals is the building of table of derivatives.
One takes any short combination of basic elementary functions and differentiates it. If the result can be simplified to fit the width of the column of the table, then it is declared as ``function that can be analytically integrated''.
%Одним из способов составления таблицы интегралов является составление таблиц производных.
%Берется абы-какая несложная комбинация известных специальных функций и дифференцируется. Если результат удается упростить настолько, что его можно уместить на одной строчке таблицы, то он декларируется как интегранд, который ``удалось проинтегрировать'', а исходная ``абы-какая несложная комбинация'' декларируется как результат интегрирования; такой интегранд и такой ``результат'' заносятся в таблицу.
\vskip 2mm

In the similar way. one can deal with superfunctions. Any elementary function $f$, for which the inverse function $g\!=\!f^{-1}$ also can be expressed as elementary function, can be taken as an example. Then, expression 
%the corresponding transfer function can be expiressed with
%Берётся абы-какая несложная комбинация $f$ специальных функций и обращается.
%Если $g=f^{-1}$ удается представить в виде несложной комбинации специальных функций 
%(результат умещается в ячейке таблицы), 
%и если при этом в ячейке таблицы умещается выражение
\be
t(z)=f(1+g(z))
\eL{tfg}
should be considered. Sometimes, after simplification, this expression fits the width of the column of the table. Then, this $t$ can be declared as 
``transfer function, for which the superfunction can be expressed analytically'', id est, also in terms of special functions. So, this 
$f$ is declared as its superfunction, and $g$ is declared as corresponding abelfunction. 
The most of table \ref{TableOfSuperfunctions} is built-up in such  a way. 
%то функция $T$ декларируется как {\em передаточная функция, для которой удалось построить суперфункцию и абельфункцию} и заносится в первый столбец таблицы; функция   
%$f$ декларируется как построенная для этой $T$ суперфункция, а функция 
%$g$ декларируется как соответствующая абельфункция.
\vskip 2mm

Not all transfer functions can be expressed as elementary functions, and not all superfunctions can be expressed through special functions.
And not all abelfunctions. In this Book, I describe methods, how to deal with these cases. 
In general, any holomorphic function can be treated as transfer function, and the only edges of the range of holomorphism may limit the construction of the corresponding superfunction and the abelfunction. If the superfunction and the abelfunction are constructed, supplied with the specific names, described and implemented, they can be treated as a special functions. I call any function as ``special function'', if (and only if) the properties are revealed, described and the algorithm of the precise evaluation is supplied.
\vskip 2mm

Aiming the application in physics (and, perhaps, in other sciences), I am interested, first, in those functions, that can be evaluated %with required precision 
quickly. These functions can be used to construct new functions, and used to describe various phenomena. One can use them in the similar way, as one use other special functions (sin, bessel, erfc, etc.)
These functions appear in the Table \ref{TableOfSuperfunctions} with names; I supply also the number of formula or the cite,
%for these functions, 
to indicate, where the function is described, where can one find the algorithm for the evaluation. 
%Таким образом получена таблица 3.1, но туда добавлены еще некоторые функции, построение которых описано в последующих главах.
%Имеется в виду, что е
%Если свойства функции известны, то есть известны её область голоморфизма и асимптотические разложения, и имеется эффективный алгоритм для её вычисления, то функция считается специальной; в этом случае, вместо громоздкого представления, в таблице суперфункций достаточно указать имя этой функции.
\vskip 2mm

Table \ref{TableOfSuperfunctions} appears as the basic toolbox for evaluation of non-integer iteration. 
In the following chapters, I describe, how the non-trivial superfunctions from the table can be constructed and evaluated.
However, 
%at the beginning, 
first, it worth to check properties of elementary superfunctions. 
%This is subject for the next chapter.
%Таблица суперфункций -- 
%важное достижение теории суперфункций, 
%это базовый набор инструментов для вычисления нецелых итераций. Поэтому эта таблица выделена в особую главу. В последующих главах рассказывается, как вычислять суперфункии и абельфункции таблицы 3.1.

%\section{Построение элементарных суперфункций}
\section{Construction of elementary superfunctions}
\baselineskip 17pt
%В этой секции рассказано, как получены первые строчки таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}.
%Для поиска ``подходящих'' триад (передаточная функция, суперфункция, абельфункция) использован сортвер  Mathematica. В качестве примера, ниже показано, как получена и проверена 12я
%десятая 
%строка таблицы.
As it is mentioned above, searching for elementary superfunctions, it worth to begin not with a transfer function, but with the superfunction and the abelfunction,
applying formula \rf{tfg}. As an example, I show, how the 12th line of the Table \ref{TableOfSuperfunctions} can be verified in language Mathematica:
\vskip -8mm

~{\bf \normalsize
\begin{verbatim}
f[z_] = Sin[Pi 2^z]
g[z_] = Log[ArcSin[z]/Pi]/Log[2]
f[g[z]]
T[z_]=2 z Sqrt[1 - z^2]
Simplify[T[z] - f[1 + g[z]]]
\end{verbatim}
}
%\baselineskip 14pt
% Почему-то вербатимная таблица переустанавливает расстояние между строками.
%В языке  Mathematica, аргумент функции всегда указывается в квадратных скобках. Каких-либо иных, специфичных для Математики, трюков при этом не использовано, так что перевод такого кода на другие языки прост. Я надеюсь, что каждый может легко запрограммировать элементарные суперфункции из таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}, и поэтому здесь не привожу их графики.
In Mathematica, the argument of function 
should appear
%always appears 
in squared brackets. No other trick, specific for Mathematica, is used; 
the verification
 can be performed in other languages too.
%so, the translation of this code to other languages is simple.
%I hope, everyone can reproduce the graphics and maps of elementary functions.
%, to see their properties and the beauty.
\vskip 6pt

%I searched for elementary superfunctions with Mathematica. Then, the similar search had been performed with Maple.
%Maple did not bring new pairs of (superfunction, abelfinction) to construct new `
%Аналогичный поиск 
%несложных 
%суперфункций проводился также с софтвером ``Maple''. Целью была проверка на буги софта ``Математика'', а также надежда, что канадский Клен выявит какие-нибудь новые несложные пары ($f$,$g$), пропущенные американской программой.
%Несколько бугов программы ``Matematica'' были выявлены, сообщены администраторам Вольфрама и уже исправлены в текущей версии Математики, но новых 
%несложных 
%элементатных
%суперфункций обнаружить не удалось. Я буду признателен коллегам, которые укажут новые, умещающиеся в одной строчке таблицы триады ($T$, $f$, $g$) элементарных функций.
%\vskip 2mm

%Для элементарных суперфункций из таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}, проверка может быть проведена и без компьютера, с карандашом и бумагой; для этого достаточно знания математики в программе общеобразовательной школы. 
%Впрочем, для российских чиновников ``нулевых'' годов, такое упражнение не рекомендуется:  
%Судя по запуску в 2008 году на околоземную орбиту спутника ``Юбилейный'' с вечным двигателем на борту, в России даже министры не знают 
%элементарных вещей, поэтому стараюсь ориентироваться на самый базовый уровень читателей..
%даже закона сохранения энергии-импульса и, вероятно, их образование соответствует уровню детского сада; такую гипотезу подтверждает также их лексика. Так что если Вы не сумели воспроизвести какую-либо строчку таблицы, то либо вы могли бы работать министром в РФ начала 21 века, либо вам 
%Если Вы не можете воспроизвести какую-либо формулу их Книги, то Вам
%надо обратиться ко мне за помощью. Я буду благодарен читателям, которые найдут и укажут мне на ошибки, и, в частности, в таблице \ref{TableOfSuperfunctions}, если они там есть.
\vskip 6pt

Table \ref{TableOfSuperfunctions} collects only the simplest (already described) superfunctions,
They can be modified, using the last row of the Table. Any pair of mutually inverse functions $P$ and $Q$
determines the transform, that can be applied to any of previous rows, giving the new transfer function with corresponding 
superfunction and abelfunction.
%В таблице \ref{TableOfSuperfunctions} собраны лишь самые простые из суперфункций. С помощью последней строчки таблицы, эти функции могут быть модифицированы. Любая пара взаимно-обратных функций $P$ и $Q$ определяет преобразование, которое может применяться к предыдущим строчкам,  давая новые передаточные функции и соответствующие суперфункции и абельфункции.
%\vskip 2mm
%Несложное масштабирование связывает квадратичную передаточную функцию в 14й и 15й строках таблицы с логистичеким оператором 
\vskip 6pt

The scaling transform relates the quadratic transfer function at rows 14 and 15 of the table with 
logistic operator (also quadratic transfer function) in raw 19, while parameter 
 %в 19 строке, если параметр  
 $b\!=\!4$; 
%в этом случае логистическая последовательность выражается элементарной функцией и её
%обобщение на случай нецелых значений аргумента тривиально. С помощью аппарата суперфункций, такое континуальное обобщение логистической последовательности возможно и при иных значениях параметра 
in this case, the logistic sequence is expressed with elementary function and its generalisation to the non-integer values of the argument is trivial \cite{logistic}. However, the superfunciton can be constructed also for other values of $b$; with these superfunctions,
the iterates dan be calculated. This case is considered below in chapter 7.
\vskip 2mm

A special case of transformation of superfunction is displacement of its argument for a constant.
In some cases, it is difficult to recognise this shift. For example, superfunctions in 14th and 15th rows of the table correspond to the same transfer function $ T(z)\!=\!2z^2\!-\!1$; these superfunction are related with translation of the argument for constant 
$\rmi \pi \ln(2)/2$. 
Similar relations take place also for other superfunctions. For superfunctions of $\exp_b$ for $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\rme)~$ discussed in \cite{sqrt2}, this case is mentioned in Chapter 9.
%Частным случаем преобразования суперфункции является сдвиг её аргумента на константу. В некоторых случаях трудно распознать такой сдвиг: например, суперфункции в 14й и 15й строчках таблицы соответствуют одной и той же передаточной функции $T(z)\!=\!2z^2\!-\!1$; и эти суперфункции получаются одна из другой трансляцией аргумента на константу $\rmi \pi \ln(2)/2$. Сходные соотношения имеют место и для других суперфункций. Для суперфункций от экспоненты по основанию $b$  при $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\rme)~$ \cite{sqrt2}, этот случай рассмотрен в Девятой главе.
\vskip 6pt

%Аналогично, новые расширения таблицы суперфункций можно строить преобразованиями уже представленных в ней функций. Формулы для такого преобразования представлены в последней строке таблицы 
%I invite the Reader to look at the table \ref{TableOfSuperfunctions} and check at least some of its rows; those, where the superfunction is expressed through elementary functions and those that may look counter-intuitive. 
%Also, 
I invite the Reader to add any new rows to the table, following the trick above: choose some special function $f$, for which  $g\!=\!f^{-1}$ is also implemented, and try to simplify $t$, determined by equation \rf{tfg}.
% in such a way, that its writing fits the width of the column in the table.
\vskip 2mm

%A lot of new superfunctions and abelfunctions  can be obtained by the transform indicated in the last raw of the Table 
%Table \ref{TableOfSuperfunctions} suggests 
This chapter only declares the superfunctions.
Some elementary superfunctions are considered with more details in the next chapter.
%The only basic examples are shown in the table.
%Few of them are considered with more details in the next section.
%Few examples are considered in the next chapter.
%Some examples of superfunctions from the Table \ref{TableOfSuperfunctions} and their 


\JP{
%\section{Имплементация суперфункций}
\section{Implementation of superfunctions}

In order to use superfunctions, it is impo

В простых случаях, имплементации суперфункций и абельфункций тривиальны; их представления через элементарные функции могут быть запрограммированы ``как есть''. Для более сложных случаев, особенно для комплексного аргумента, следует позаботиться о том, как пройдут линии разреза области голоморфизма.
%По умолчанию, в этой Книге, как и на сайте ТОРИ, 
Я стараюсь, чтобы разрезы были прямыми и шли параллельно оси абсцисс в направлении убывания абсцисс, хотя не всегда это возможно.
\vskip 2mm

Для эффективной имплементации суперфункций, приходится сшивать, склеивать несколько аппроксимаций.
К представлению, применимому вблизи вещественной оси, приклеиваются представления, адекватные при значительных значениях мнимой части аргумента.
Или к представлению, эффективному при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента, приклеивается представление, полученное с помощью передаточного уравнения. Если клей хорош, то не только значения функции, но и значения всех её производных оказываются непрерывными, и можно говорить о том, что аппроксимирована голоморфная функция. Когда погрешность такой аппроксимации можно уменьшать до любого требуемого значения, можно говорить, что построена точная суперфункция. 
%\vskip 2mm
\footnote{
Задача математика, собирающего представления голоморфной функции, проще, чем задача хирурга, к которому привезли 
%несколько грузовиков 
руки, ноги, животы и головы пассажиров и экипажа самолета, сбитого террористами, и предложили собрать их них 
несколько сот 
%здоровых 
живых граждан. По крайней мере, кусочки функций можно начинать склеивать сразу, не дожидаясь, пока их выкупят у террористов, сбивших самолет.}
%\begin{figure}
%\sx{.5}{\begin{picture}(1200,600)
%\put(0,0){ \ing{Priklei}}
%\end{picture}}
%\caption{Бытовой смысл термина ``приклеить'' \iL{priklei}}
%\end{figure}
%Приклеивание представлений голоморфных функций отличается от приклеивания решений волнового уравнения с кусочно-непрерывным потенциалом; и оба эти случая существенно отличаются от бытового использование термина ``приклеивать'', показанного на рис. \ref{priklei}.
%\vskip 2mm

Представления и имплементации элементарных суперфункций рассмотрены в следующей главе.
В последующих главах рассмотренны случаи, когда суперфункцию можно выразить через специальные функции (то есть уже описанные в учебниках),
а также случаи, когда описания суперфункций доступны пока лишь в научных журналах. Я стараюсь не включать в Книгу оригинальные (то есть не опубликованные ранее) результаты.
}

%\chapter{~ Элементарные суперфункции}
\chapter{~ Elementary superfunctions}
\baselineskip 20pt

\begin{wrapfigure}{r}{136px}
\sx{.38}{
%\begin{picture}(523,883)
\begin{picture}(523,580)
\put(2,-8){\ing{Le-bourgeois-gentilhomme.jpg}}
\end{picture}}
\caption{M. Joudain: {\em These forty years now, I've been speaking in prose without knowing it!}  \cite{moliere}
\label{moliere}}
\end{wrapfigure}

In order to use superfunctions, described in this chapter, the Reader has no need to know, that they are superfunctions.
In the similar way, during 40 years, Joudrain has no need to know, that he speak in prose
\cite{moliere}. However, many properties of elementary superfunctions are the same, as properties of other, nontrivial superfunctions, that cannot be easily expressed through elementary functions. In order to show these properties, in this chapter I consider elementary superfunctions.
%Для того, чтобы использовать суперфункции, рассмотренные в этой главе, вовсе не обязательно знать, что они являются суперфункциями. Примерно так же герой Мольера, Журден использует в разговорной речи прозу, и ему до поры %до времени 
%нет надобности знать, что он говорит прозой
%\cite{moliere}. Однако как только появляется поэзия, для того, как он говорит, нужен специальный термин ``прoза''. 
%Аналогично, для того, чтобы объяснить свойства нетривиальных суперфункций, мне сперва приходится рассказать о свойствах тривиальных.
%Этим свойствам 
%Таким суперфункциям
%посвящена эта глава.
\vskip 2mm

I would not like the colleagues to say, that {\em the formalism of superfunctions is too complicated}
\cite{akira2}. So I begin with very simple example, with linear function. 
%This function is considered in the next section.

%В начальной школе, изучение функций начинают с линейной функции. Это достаточно простой случай.
%Чтобы коллеги не говорили, что формализм суперфункций слишком сложен, мне приходится начинать именно с линейной функции. Приметы итераций линейной функции рассмотрены в следующей секции.

%\section{Итерации линейной функции}
\section{Iteration of linear function}

\begin{figure}[t] 
\hskip 12pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(1002,900)
%\sx{.44}{\begin{picture}(960,970)
%\begin{center}
%\sx{.28}{\begin{picture}(960,970)
\sx{.4}{\begin{picture}(960,970)
\put(0,0){\ing{itelin125}}
\put(480,984){\sx{3}{$y$}}
\put(480,892){\sx{3}{$4$}}
\put(480,792){\sx{3}{$3$}}
\put(480,692){\sx{3}{$2$}}
\put(480,592){\sx{3}{$1$}}
\put(479,492){\sx{3}{$0$}}
\put(454,391){\sx{3}{$-1$}}
\put(454,291){\sx{3}{$-2$}}
\put(454,191){\sx{3}{$-3$}}
\put(454,91){\sx{3}{$-4$}}
\put(70,475){\sx{3}{$-4$}}
\put(170,475){\sx{3}{$-3$}}
\put(270,475){\sx{3}{$-2$}}
\put(370,475){\sx{3}{$-1$}}
\put(495,475){\sx{3}{$0$}}
\put(595,475){\sx{3}{$1$}}
\put(695,475){\sx{3}{$2$}}
\put(795,475){\sx{3}{$3$}}
\put(895,475){\sx{3}{$4$}}
\put(984,476){\sx{3.1}{$x$}}
\put(410,870){\rot{89}\sx{3.1}{$n\!\rightarrow\!\infty$}\ero}
\put(440,870){\rot{84}\sx{3.1}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(470,870){\rot{82}\sx{3.1}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(530,870){\rot{74}\sx{3.1}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(616,870){\rot{65}\sx{3.1}{$n\!=\!1.2$}\ero}
\put(646,870){\rot{62}\sx{3.1}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(682,870){\rot{59}\sx{3.1}{$n\!=\!0.8$}\ero}
\put(724,870){\rot{57}\sx{3.1}{$n\!=\!0.6$}\ero}
\put(768,870){\rot{53}\sx{3.1}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(822,870){\rot{48}\sx{3.1}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(880,867){\rot{45}\sx{3.1}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(890,813){\rot{41}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(889,760){\rot{36}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(889,712){\rot{32}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.6$}\ero}
\put(889,671){\rot{29}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.8$}\ero}
\put(889,633){\rot{26}\sx{3.1}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(905,518){\rot{13}\sx{3.1}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(900,424){\rot{2}\sx{3.1}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(874,392){\rot{.01}\sx{3.1}{$n\!\rightarrow\!-\infty$}\ero}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip -2pt
\hskip 18pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg} 
\vskip -4mm
\caption{\large
%Итерации линейной функции \rf{TABz} при $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$;  $~y\!=\!T^n(x)$  для различных $n$
Iterates of linear function \rf{TABz} at $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$;  $~y\!=\!T^n(x)$  versus $x$ for various $n$
%Использовано представление \rf{itelin125},
\iL{itelin125}}
\vskip 8pt
\end{figure}
%Рассмотрим передаточную функцию
Consider the linear transfer function
\be T(z)=A+B z \eL{TABz}
where $A$ and $B$ are constants.
%Пример такой функции показан на рисунке \ref{itelin125} для $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$. 
For $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$, iterates of this function are shown in figure 
\ref{itelin125}.
%генератор этого рисунка загружен в ТОРИ по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg} 
%На рисунке \ref{itelin125}, 
%График $~y\!=\!T^n(x)$ построен для различных значений $n$.
Graphic $~y\!=\!T^n(x)$ is plotted versus $x$ for various values of the number $n$ of the iterate.
%Проведены также линии, соответствующие плюс бесконечной (вертикальная прямая) и минус бесконечной (горизонтальная прямая) итерациям.
 %$n$я 
\vskip 2mm

%Энная итерация функции $T$ может быть представлена в таком виде:
The $n$th iterate of function $T$ can be written as follows:
\be
T^n(z)=A\frac{B^n-1}{B-1}+B^n z
\eL{TABzn}
%Именно это представление использовано для генерации рисунка \ref{itelin125}. 
This representation is used to plot figure \ref{itelin125}. 
%Генератор рисунка загружен в ТОРИ по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg}.
%\vskip 2mm
%Все графики на рисунке представляют собой прямые линии, пересекающиеся в точке $(L,L)$ координатной плоскости. Стационарная точка (fixed point) $L$ функции $T$, определенной формулой \ref{TABz}, задается уравнением $A+BL=L$, то есть
The graphics %in this figure 
are straight lines. They cross at the point $(L,L)$ of the coordinate plane.
The fixed point $L$ is determined by the equation  $A+BL=L$, that gives
\be
L=A/(1-B)
\eL{Llin}
%При 
At $B\!\rightarrow \!1$,
%the stationary point 
the fixed point runs to infinity, and the graphics in the analogy of figure \ref{itelin125} become parallel.
% стационарная точка убегает на бесконечность, и графики итераций становятся параллельными прямыми. 
%Для 
For $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$, this is case of figure  \ref{itelin125},
we get value 
%получается значение 
$L\!=\!-1$; so, lines in figure \ref{itelin125} cross in point $(-1,-1)$.
\vskip 2mm

%Представление 
Representation \rf{TABzn} 
can be obtained with the general formula 
%можно получить также по общей формуле 
\rf{Tzx} 
with superfunction
%с суперфункцией
\be
F(z)=A\frac{1-B^z}{1-B}
\eL{FTABz}
%и абельфункцией
and abelfunction
\be G(z)=\log_b\Big(1+\frac{B-1}{A} z\Big)
\eL{GTABz}

%В частном случае $B\!=\!1$, передаточная функция не имеет стационарных точек, и представления \rf{TABzn}, \rf{FTABz}, \rf{GTABz} не применимы. Для этого случая, то есть $T(z)\!=\!A\!+\!z$, суперфункция и абельфункция могут быть записаны так:
In the special case $B\!=\!1$, 
the transfer function has no fixed points and representations \rf{TABzn}, \rf{FTABz}, \rf{GTABz} cannot be used.
For this case, id est, for $T(z)\!=\!A\!+\!z$, superfunctions and abelfunctions can be written as follows:
\be
F(z)=Az ~,~  ~  G(z)=z/A
\ee
%их комбинация дает
Their combination gives
\be
T^n(z)=F(1+G(z))=A~(n+z/A)=An+z
\iL{Anz}
\ee
%Это упражнение доступно даже школьнику, и пусть его проделает тот, кто считает, что
%``формализм суперфункций слишком сложен''.
%The colleagues, 
Those, who still think, that the formalism is too complicated 
\cite{akira2}, are invited to check the deduction above and verify, that this case corresponds to the level of a junior high school.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{180px}
\sx{.25}{\begin{picture}(400,400)
%\put(50,-60){\ing{Sledgehammer}}
%\put(50,-60){\rot{-90}\ing{crack100}\ero}
%\put(20,500){ \reflectbox{ \rot{-90}\ing{crack100}\ero} }
\put(700,500){ \reflectbox{ \rot{-90}\ing{crack100}\ero} }
\end{picture}}
\caption{\large Mathematician uses %the 
sledgehammer to crack a nut \label{izpishki}}
%\vskip -28pt
\end{wrapfigure}
\JP{
\begin{wrapfigure}{r}{200px}
\hskip -2pt
\sx{.33}{\begin{picture}(600,200)
\put(10,0){\ing{izpishki}}
\end{picture}}
\hskip -4pt
\caption{\large Из пушки по воробьям \label{izpishki}}
\end{wrapfigure} }%JP

%Для линейной передаточной функции  \rf{TABz}, использование суперфункции \rf{FTABz} и  абельфункции \rf{GTABz} 
%соответствует термину ``Стрелять из пушки по воробьям'' 
%(Figure \ref{izpishki}). 
%Однако этот пример показывает, как работают в паре суперфункция и абельфункция.

To iterate the linear function  \rf{TABz}, 
the use of superfunction \rf{FTABz} 
and abelfunction \rf{GTABz} 
%соответствует термину
%можно квалифицировать термином 
%``Стрелять из пушки по воробьям''
can be qualified with term ``use sledgehammer to crac a nut'', as it is shown in figure \ref{izpishki}.
However, this example is important: it is simple and it shows, how the superfunction and abelfunction 
can be used together to express iterates with formula \rf{Anz}. 
%Однако этот пример показывает, как работают в паре суперфункция и абельфункция.

\section{Rational function}
%\section{Дробно-линейная функция}
%\section{Рациональная функция}
%\baselineskip 18.5pt
\baselineskip 18pt

\begin{figure}[h]
\hskip 22pt
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002) 
\put(-70,1950){\sx{8}{$y$}} 
\put(-70,1780){\sx{7}{$8$}} 
\put(-70,1580){\sx{7}{$6$}} 
\put(-70,1380){\sx{7}{$4$}} 
\put(-70,1180){\sx{7}{$2$}} 
\put(-70,0980){\sx{7}{$0$}} 
\put(-110,780){\sx{7}{$-2$}} 
\put(-110,580){\sx{7}{$-4$}} 
\put(-110,380){\sx{7}{$-6$}} 
\put(-110,180){\sx{7}{$-8$}} 
\put(120, -66){\sx{7}{$-8$}} 
\put(320,-66){\sx{7}{$-6$}} 
\put(520,-66){\sx{7}{$-4$}} 
\put(720,-66){\sx{7}{$-2$}} 
\put(988,-66){\sx{7}{$0$}} 
\put(1188,-66){\sx{7}{$2$}} 
\put(1388,-66){\sx{7}{$4$}} 
\put(1588,-66){\sx{7}{$6$}} 
\put(1788,-66){\sx{7}{$8$}} 
\put(1958,-66){\sx{8}{$x$}} 
\put(0,0){\ing{f1xmap}} 
\put(0930,1666){\sx{8}{$u\!=\!0$}}
\put(1430,1666){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}}
\put(1030,1490){\sx{8}{$v\!=\!0.2$}}
\put(1660,1430){\sx{8}{$u\!=\!-0.1$}} 
\put(120,1320){\sx{8}{$u\!=\!0.1$}} 
\put(280,1120){\sx{8}{$v\!=\!0.2$}} 
\put(1480,1120){\sx{8}{$u\!=\!-0.2$}} 
\put(200,982){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(1610,982){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(640,438){\sx{8}{$v\!=\!-0.2$}}
\put(930,306){\sx{8}{$u\!=\!0$}}
\put(1410,176){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}} 
\end{picture}} 
\vskip 16pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:F1xmapT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\! T(x\!+\!\mathrm i y)=1/(x\!+\!\mathrm i y)$ 
\iL{f1xmap}  }
\vskip 4pt
\end{figure}

\begin{figure}[h]
%\sx{.24}{\begin{picture}(1004,1004)
\sx{.42}{\begin{picture}(1004,1004)
\put(479,984){\sx{3}{$y$}}
\put(479,892){\sx{3}{$4$}}
\put(479,792){\sx{3}{$3$}}
\put(479,692){\sx{3}{$2$}}
\put(479,592){\sx{3}{$1$}}
\put(479,492){\sx{3}{$0$}}
\put(459,392){\sx{3}{$-1$}}
\put(459,292){\sx{3}{$-2$}}
\put(459,192){\sx{3}{$-3$}}
\put(459, 92){\sx{3}{$-4$}}
\put( 78,474){\sx{3}{$-4$}}
\put(178,474){\sx{3}{$-3$}}
\put(278,474){\sx{3}{$-2$}}
\put(378,474){\sx{3}{$-1$}}
\put(494,474){\sx{3}{$0$}}
\put(594,474){\sx{3}{$1$}}
\put(694,474){\sx{3}{$2$}}
\put(794,474){\sx{3}{$3$}}
\put(986,475){\sx{3}{$x$}}
\put(0,0){\ing{frac1z}}
\put( 62,886){\rot{44}\sx{3}{$n\!=\!1.7$}\ero}
\put(166,774){\rot{44}\sx{3}{$n\!=\!1.6$}\ero}
\put(176,678){\rot{30}\sx{3}{$n\!=\!1.5$}\ero}
\put(180,626){\rot{20}\sx{3}{$n\!=\!1.4$}\ero}
\put(180,588){\rot{16}\sx{3}{$n\!=\!1.3$}\ero}
\put(180,563){\rot{11}\sx{3}{$n\!=\!1.2$}\ero}
\put(180,523){\rot{9}\sx{3}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(180,441){\rot{7}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(568,866){\rot{84}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,866){\rot{80}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(665,866){\rot{78}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(734,866){\rot{69}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(840,827){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(866,714){\rot{20}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(866,643){\rot{12}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(866,602){\rot{8}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(866,572){\rot{05}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(866,529){\rot{04}\sx{3}{$n\!=\!-0.6$}\ero}
\put(866,466){\rot{02}\sx{3}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(866,426){\rot{04}\sx{3}{$n\!=\!-1.2$}\ero}
\put(866,368){\rot{07}\sx{3}{$n\!=\!-1.4$}\ero}
\put(870,320){\rot{09}\sx{3}{$n\!=\!-1.5$}\ero}
\put(872,230){\rot{20}\sx{3}{$n\!=\!-1.6$}\ero}
\put(882, 30){\rot{44}\sx{3}{$n\!=\!-1.7$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Frac1zt.jpg}
\vskip -5pt
%\caption{\large $y\!=\!T^n(x)$  для  функции $T(z)\!=\!-1/z$ при различных $n$ 
\caption{\large $y\!=\!T^n(x)$  for $T(z)\!=\!-1/z$ by formula \rf{linfrac1ite} at various $n$  \label{f1ziteplot}  }
\vskip 2pt
%\iL{frac1z}}
\end{figure}

%Обобщением линейной функции является дробно-линейная функция. Она же называется ``рациональная функция''.
%Её итерация может быть представлена как тоже дробно-линейная функция.
The linear fraction, or ``rational function'' can be considered as generalisation of the linear function.
%In general case, t
%The linear fraction can be written as
%expressed with 
Let
\be
T(z)=\frac{U+V z}{W+z}
\eL{Tuvwz}
where  $U$, $V$ and $W$ are constant parameters. First, as an example, 
%the complex map of 
consider function
%the complex map of function
\be
T(z)=-1/z 
\eL{Tzm1z}
This example corresponds to $U\!=\!-1$, $V\!=\!0$, $W\!=\!0$ in formula \rf{Tuvwz}. Negative value of $U$ is chosen in order to have positive derivative at the positive values of the argument; iterates of a growing function are easy to interpret in terms of modelling of physical process. Iterates of decreasing function, contrary, imply dealing with complex values. I am interested mainly in the applications
%of superfunctions 
for physics; so, I consider mainly the growing transfer functions
and growing real-holomorphic superfunctions.
\vskip 2mm

Compex map of function
$T$ by equation \rf{Tzm1z}
is shown in figure \ref{f1xmap}.
%Как пример, на рисунке \ref{f1xmap} показана карта функции  
%Генератор этого рисунка загружен по урлю \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg}.
%Для такой функции, уровни постоянной вещественной части и уровни постоянной мнимой части суть окружности, и все эти окружности проходят через начало координат.
For this function, the levels of constant real part and levels of constant imaginary part are circles,
and all these circles pass through the origin of coordinates.
\vskip 2mm

For real values of the argument, iterates of function $T$ by \rf{Tzm1z} are shown in figure
%Для вещественного аргумента, итерации этой функции показаны на рисунке 
\ref{f1ziteplot}. Lines $y\!=\!T^n(x)$ are plotted versus $x$ for various values of $n$. Below I describe, how these iterates are calculated.
\vskip 2mm

%Передаточная функция по формуле \rf{Tzm1z} интересна тем, что она самоинверсна (self-inverse), 
%$T^{-1}\!=\!T$. Например, на рисунке \ref{f1ziteplot} нет специальной кривой, соответствующей $n\!=\!2$: она совпадает с прямой $y\!=\!x$.
%Ниже я рассказываю, как вычисляются такие итерации и как строятся эти рисунки.
%\vskip 2mm

%Нетрудно рассмотреть даже чуть более общий случай. Пусть 
%One can consider also a little e
%где $a$ есть константа. Для   $a\!=\!1$,  комплексная карта такой передаточной функции представлена на рисунке \ref{f1xmap}. Итерации этой функции показаны в правой части рисунка 
%\ref{f1ziteplot}.
%\ref{frac1z}.
%\vskip 2mm

%Consider transfer function with a single parameter $a$, let
%\be T(z)=-a^2/z \eL{mta2z}
For transfer function $T$ by \rf{Tzm1z}, the superfunction $F$ and abelfunction $G$ can be written as
follows:
%Для передаточной функции по формуле \rf{mta2z}, суперфункция 
%может быть записана в виде
%\be F(z)= a~ \tan\Big(\frac{\pi}{2} z\Big)\ee
\be F(z)&=& \tan\Big(\frac{\pi}{2} z\Big) \\
%а соответствующая Абельфункция
%The corresponding Abel function is 
%\be
%G(z)=F^{-1}(z)= \frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac{z}{a}\right)
G(z)&=&F^{-1}(z)= \frac{2}{\pi} \arctan\left(z\right) 
\ee
%При этом  $n$ная итерация записывается в виде
Then, the $n$th iterate of the transfer function $T^n(z)\!=\!F(n\!+\!G(z))$ appears to be
\be
%T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2}\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2}\right)\, +\, z}
T^{n}(z)= \frac{\ds -1-  \cot\left(\frac{\pi}{2} n \right)\, z}{\ds - \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}
\eL{linfrac1ite}
This case is represented in row 7 of table
%Суперфункция и абельфункция для такой передаточной функции представлены в седьмой строчке таблицы 
 \ref{TableOfSuperfunctions}.
 % При $a\!=\!1$, такое представление может использоваться для рисунка 
 Expression \rf{linfrac1ite} is used to plot figure 
 \ref{f1ziteplot}.
\vskip 2mm

%Дробно-линейная функция общего вида может выглядеть так:
%\be T(z)=\frac{U+V z}{W+z} \eL{Tuvwz000}
%где $U$, $V$ и $W$ суть параметры. 
%Случай линейной функции, рассмотренный выше, может быть получен как предельный переход  
%$W\!\rightarrow\! \infty$ при постоянных значениях $U/W$ и $V/W$. \\
%Функция по формуле \rf{Tzm1z} получается при $U\!=\!-1$, $V\!=\!0$, $W\!=\!0$.
%\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.22}{\begin{picture}(704,704)
%\sx{.6}{\begin{picture}(704,704) 
%\hskip 20px
\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
\put(0,0){\ing{fracit05}}
\put(104,684){\sx{3}{$y$}}
\put(104,592){\sx{3}{$5$}}
\put(104,492){\sx{3}{$4$}}
\put(104,392){\sx{3}{$3$}}
\put(104,292){\sx{3}{$2$}}
\put(104,192){\sx{3}{$1$}}
\put(194,104){\sx{3}{$1$}}
\put(294,104){\sx{3}{$2$}}
\put(394,104){\sx{3}{$3$}}
\put(494,104){\sx{3}{$4$}}
\put(594,104){\sx{3}{$5$}}
\put(686,105){\sx{3}{$x$}}
\put(18,313){\rot{76}\sx{3.2}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(68,204){\rot{78}\sx{3.2}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,152){\rot{12}\sx{3.2}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(201,560){\rot{88}\sx{3.2}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(247,558){\rot{86}\sx{3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(265,558){\rot{84}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(293,558){\rot{82}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(334,558){\rot{78}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(406,558){\rot{67}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(580,567){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(608,407){\rot{19}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(607,324){\rot{11}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(606,279){\rot{7}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(605,250){\rot{5}\sx{3}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(604,230){\rot{2}\sx{2.9}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,184){\sx{3.1}{$n\!=\!1$}}
\put(620,160){\sx{3.1}{$n\!=\!2$}}
\put(162, 0){\rot{70}\sx{2.9}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(204, 50){\rot{10}\sx{2.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(308, 0){\rot{10}\sx{2.9}{$n\!=\!-1$}\ero}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit05t150.jpg}
\vskip -2pt
\caption{ $y=t^n(x)$ by \rf{tzcz} at  $c=0.5$ 
%слева; $c=1$ в центре, и $c=2$ справа 
\iL{c05} }
\vskip 18pt
\end{figure}
%Предложу ещё пример передаточной функции, тоже специальный случай формулы \rf{Tuvwz}. усть 

%Below I suggest 
Consider one more special case of formula \rf{Tuvwz}. Let
\be t(z)=\frac{z}{c+z} \eL{tzcz}
%тогда 
where $c$ is constant. Then
\be t^n(z)= \frac{z}{\ds c^n+\frac{1\!-\!c^n}{1\!-\!c} z}
\eL{tnzc}
%where $u$, $v$ and $w$ are constants. The case of linear function, considered in the previous section, can be re
%Для  $c=0.5$,
% $c=1$ и $c=2$, 
Iterates of function $t$ for $c\!=\!0.5$ are shown in figure 
%итерации функции $t$ показаны на рисунке 
\ref{c05}. 
The same for  $c\!=\!1$ are shown in figure  \ref{c10},
and the same for  $c\!=\!2$ are shown in figure  \ref{c20}. 
Below I show, how these iterates are evaluated.
%(Keeping in  mind the readers who like to see figures rather than to read formulas, I begin with figures.)

%Аналогичным образом, итерации функции $f$ по формуле \rf{tnzc}
%where $u$, $v$ and $w$ are constants. The case of linear function, consideren in the previous section, can be re
%для  $c\!=\!1$  показаны на рисунке \ref{c10}, a для  $c\!=\!2$  такие итерации показаны на рисунке \ref{c20}.
%Я выделил целые итерации толстыми линиями; иначе, по рисунку, эта ``целостность'' не видна. Такое свойство 
%вообще 
%типично для итераций вещественно-голоморфных возрастающих функций: их итерации выглядят столь же естественно, как и сами функции.
\vskip 2mm
\baselineskip 21pt
%Я ориентируясь на читателей, которые любят картинки больше, чем формулы. Поэтому я сперва объясняю, что на картинках, а потом рассказываю, как они строятся.
\begin{figure}[t]
%\sx{.22}{\begin{picture}(704,704)
%\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
%\hskip 20px
\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
\put(79,684){\sx{3}{$y$}}
\put(79,592){\sx{3}{$5$}}
\put(79,492){\sx{3}{$4$}}
\put(79,392){\sx{3}{$3$}}
\put(79,292){\sx{3}{$2$}}
\put(79,192){\sx{3}{$1$}}
\put(79,92){\sx{3}{$0$}}
\put(94,74){\sx{3}{$0$}}
\put(194,74){\sx{3}{$1$}}
\put(294,74){\sx{3}{$2$}}
\put(394,74){\sx{3}{$3$}}
\put(494,74){\sx{3}{$4$}}
\put(594,74){\sx{3}{$5$}}
\put(686,75){\sx{3}{$x$}}
\put(0,0){\ing{fracit10}}
\put(20,200){\rot{70}\sx{3.2}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(40,154){\rot{69}\sx{3.2}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(6,122){\rot{22}\sx{3.2}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(128, 0){\rot{49}\sx{2.9}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(203, 43){\rot{4}\sx{2.9}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(207,6){\rot{11}\sx{2.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(194,560){\rot{87}\sx{3.2}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(252,558){\rot{85}\sx{3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(274,558){\rot{83}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(304,558){\rot{79}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(352,558){\rot{76}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(424,558){\rot{64}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(580,567){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(610,429){\rot{23}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(608,343){\rot{14}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(607,294){\rot{8}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(606,260){\rot{6}\sx{3}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(605,236){\rot{4}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,178){\sx{3.2}{$n\!=\!1$}}
\put(620,139){\sx{3.2}{$n\!=\!2$}}
\end{picture}} 
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit10t150.jpg}
%\caption{ $y\!=\!t^n(x)$ для \rf{tzcz} при  $c\!=\!1$ 
\caption{ $y\!=\!t^n(x)$ by \rf{tzcz} at  $c\!=\!1$ 
%слева; $c=1$ в центре, и $c=2$ справа 
\iL{c10} }
\vskip 18pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
%\sx{.22}{\begin{picture}(704,704)
%\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
%\hskip 40px
\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
\put(79,684){\sx{3}{$y$}}
\put(79,592){\sx{3}{$5$}}
\put(79,492){\sx{3}{$4$}}
\put(79,392){\sx{3}{$3$}}
\put(79,292){\sx{3}{$2$}}
\put(79,192){\sx{3}{$1$}}
\put(79,92){\sx{3}{$0$}}
\put(94,74){\sx{3}{$0$}}
\put(194,74){\sx{3}{$1$}}
\put(294,74){\sx{3}{$2$}}
\put(394,74){\sx{3}{$3$}}
\put(494,74){\sx{3}{$4$}}
\put(594,74){\sx{3}{$5$}}
\put(686,75){\sx{3}{$x$}}
\put(0,0){\ing{fracit20}}
\put(182,560){\rot{87}\sx{3.2}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(250,558){\rot{83}\sx{3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(278,558){\rot{82}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(313,558){\rot{78}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(363,558){\rot{72}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(440,558){\rot{62}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(580,567){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(610,444){\rot{29}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(608,358){\rot{17}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(607,303){\rot{11}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(606,265){\rot{8}\sx{3}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(605,238){\rot{5}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,166){\sx{3.2}{$n\!=\!1$}}
\put(620,120){\sx{3.2}{$n\!=\!2$}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit20t150.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $y\!=\!t^n(x)$ by \rf{tzcz} at  $c\!=\!2$  \iL{c20} }
\vskip 18pt
\end{figure}
\vskip 2mm

%Расскажу, как строятся рисунки \ref{c05}, \ref{c10} и \ref{c20}.
%Для передаточной  функции $t$ в виде \rf{tzcz}, суперфункция $f$ может быть выбрана так: %в таком виде:
For the transfer function $t$ by \rf{tzcz}, superfunction $f$ can be written as follows: %в таком виде:
\be
f(z)=\frac{c-1}{c^z-c}
\eL{fzfrac}
%Соответствующая абельфункция $g=f^{-1}$ записывается так:
Corresponding Abel function $g=f^{-1}$ 
is
%can be written as follows:
\be
g(z)=\log_c\Big(1+\frac{c\!-\!1}{z}\Big)
\eL{gzfrac}
%Representations
Expressions \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac} are used to evaluate $t^n(z)\!=\!f(n\!+\!G(z))$ and plot figures, in particular,
figures 
\ref{c05},
\ref{c10} and
\ref{c20}. The Reader is invited to plot iterates of function $t$ by formula \rf{fzfrac} at other values of $c$ too.
\vskip 2mm
The iterates of the rational function of real argument show the smooth transition from function $t$ to the identity function and then to inverse function $t^{-1}$.
All the curves in figures 
\ref{c05},
\ref{c10} and
\ref{c20} pass through the fixed point. This value is mapped to itself at the iterates of the transfer function. This property is not specific feature of the rational function. Other functions, considered on the following chapters, have the same property.

\vskip 2mm
For construction and uniqueness of superfunctions in the following sections, it is important to consider them in the complex plane. The complex maps help to understand properties of these functions. Following the idea to begin with simple examples, I suggest the complex maps of superfunction $f$ and abelfunction $g$.
For $c\!=\!2$, the complex map of superfunction $f$ by formula \rf{fzfrac} is shown in figure 
\ref{fzfracmap}. Similar map of the Abel function $g$ is shown in figure
\ref{gzfracmap}. 

\begin{figure}[t]
\hskip 22pt
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002) 
\put(-70,1950){\sx{8}{$y$}} 
\put(-70,1780){\sx{7}{$8$}} 
\put(-70,1580){\sx{7}{$6$}} 
\put(-70,1380){\sx{7}{$4$}} 
\put(-70,1180){\sx{7}{$2$}} 
\put(-70,0980){\sx{7}{$0$}} 
\put(-122,780){\sx{7}{$-2$}} 
\put(-122,580){\sx{7}{$-4$}} 
\put(-122,380){\sx{7}{$-6$}} 
\put(-122,180){\sx{7}{$-8$}} 
\put(120,-66){\sx{7}{$-8$}} 
\put(320,-66){\sx{7}{$-6$}} 
\put(520,-66){\sx{7}{$-4$}} 
\put(720,-66){\sx{7}{$-2$}} 
\put(988,-66){\sx{7}{$0$}} 
\put(1188,-66){\sx{7}{$2$}} 
\put(1388,-66){\sx{7}{$4$}} 
\put(1588,-66){\sx{7}{$6$}} 
\put(1788,-66){\sx{7}{$8$}} 
\put(1958,-66){\sx{8}{$x$}} 
\put(0,0){\ing{fz2z1map}} 
%\zoomax 
\put(310,1888){\sx{8}{$v\!=\!0$}}	 \put(1710,1888){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(310,1666){\sx{8}{$v\!=\!-0.5$}}	 \put(1710,1666){\sx{8}{$u\!=\!0$}} 
\put(310,1432){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(310,1208){\sx{8}{$u\!=\!-0.5$}}	 \put(1710,1206){\sx{8}{\rot{1}$u\!=\!0$\ero}} 
\put(310,984){\sx{8}{$v\!=\!0$}}	 \put(1710,980){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(1710,758){\sx{8}{\rot{-1}$u\!=\!0$\ero}} %
\put(310,522){\sx{8}{$v\!=\!0$}}	
\put(310,748){\sx{8}{$u\!=\!-0.5$}}	 \put(1710,300){\sx{8}{$u\!=\!0$}}%
\put(310,300){\sx{8}{$u\!=\!-0.5$}} 
\put(310,76){\sx{8}{$v\!=\!0$}} \put(1710,76){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(1300,1360){\sx{8}{$u\!=\!-0.1$}}
\put(1340,1120){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}}
\put(1360,1020){\sx{8}{$u\!=\!0.1$}}
\put(1334,850){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}}
\end{picture}} 
\vskip 12pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
%Complex maps of functions 
$u\!+\!\mathrm i v=f(x\!+\!\mathrm i y)$
by \rf{fzfrac} at $c\!=\!2$
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
%=\Phi=f(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and 
%$\Phi=g(x\!+\!\mathrm i y)$, right, plotted
%by \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac};
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
\iL{fzfracmap}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\hskip 22pt
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002)
\put(-70,1950){\sx{8}{$y$}} 
\put(-70,1780){\sx{7}{$8$}} 
\put(-70,1580){\sx{7}{$6$}} 
\put(-70,1380){\sx{7}{$4$}} 
\put(-70,1180){\sx{7}{$2$}} 
\put(-70,0980){\sx{7}{$0$}} 
\put(-122,780){\sx{7}{$-2$}} 
\put(-122,580){\sx{7}{$-4$}} 
\put(-122,380){\sx{7}{$-6$}} 
\put(-122,180){\sx{7}{$-8$}} 
\put(120,-66){\sx{7}{$-8$}} 
\put(320,-66){\sx{7}{$-6$}} 
\put(520,-66){\sx{7}{$-4$}} 
\put(720,-66){\sx{7}{$-2$}} 
\put(988,-66){\sx{7}{$0$}} 
\put(1188,-66){\sx{7}{$2$}} 
\put(1388,-66){\sx{7}{$4$}} 
\put(1588,-66){\sx{7}{$6$}} 
\put(1788,-66){\sx{7}{$8$}} 
\put(1958,-66){\sx{8}{$x$}} 
\put(0,0){\ing{gz2z1map}} 
\put(880,1920){\sx{8}{$u\!=\!0$}} 
\put(210,1888){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}} \put(1610,1888){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}} 
\put(250,980){\sx{8}{$v\!=\!0$}} \put(1740,980){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(80,850){\sx{8}{$u\!=\!-0.2$}} \put(1600,860){\sx{8}{$u\!=\!0.2$}} 
\put(1040,250){\sx{8}{$v\!=\!0.2$}}
\put(250,232){\sx{8}{$u\!=\!-0.1$}} \put(1740,260){\sx{8}{$u\!=\!0.1$}} 
\put(210,110){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}} \put(1610,110){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}} 
\put(880,120){\sx{8}{$u\!=\!0$}} 
\end{picture}} 
\vskip 12pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Gz2z1mapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=g(x\!+\!\mathrm i y)$%right, plotted by \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac};
%по формуле \rf{gzfrac} при $c\!=\!2$
by \rf{gzfrac} at $c\!=\!2$
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
%=\Phi=f(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and 
%$\Phi=g(x\!+\!\mathrm i y)$, right, plotted
%by \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac};
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
\iL{gzfracmap}}
\end{figure}

\vskip 2mm

%Function $f$ is periodic; the period $\mathcal P=2 \pi \mathrm i / \ln(c) $. For real values of $c$ this period is pure imaginary.
%Функция $f$ по формуле \rf{fzfrac} периодична; её период 
Function $f$ by formula \rf{fzfrac} is periodic; its period
\be
%\mathcal 
P=2 \pi \mathrm i / \ln(c)
\ee
%При $c\!=\!2$, этот период  $P \!=\! 2 \pi \mathrm i/ \ln(2) \!\approx\! 472 \,\mathrm i$;
%на рисунке \ref{fzfracmap} уместилось чуть больше двух периодов.
%Для вещественных значений параметра $c$,  период $P$ чисто мнимый; структура линий на рисунке  \ref{fzfracmap}  воспроизводится при трансляциях на $|P|$ вдоль оси $y$.
At $c\!=\!2$, this period $P \!=\! 2 \pi \mathrm i/ \ln(2) \!\approx\! 9.06472 \,\mathrm i$.
%The frame 
Vertical size of figure \ref{fzfracmap} covers a little bit more that two periods of this function.
For real $c$, the period is pure imaginary; the map reproduces itself at the translations for integer factor of $|P|$ along the imaginary axis.
%уместилось чуть больше двух периодов.
%Для вещественных значений параметра $c$,  период $P$ чисто мнимый; структура линий на рисунке  \ref{fzfracmap}  воспроизводится при трансляциях на $|P|$ вдоль оси $y$.
\vskip 2mm

%Обратная функция $g\!=\!f^{-1}$, то есть абельфункция по формуле \rf{gzfrac}  имеет линию разреза между точками ветвления. Эти точки суть $c\!-\!1$ и ноль. Для вещественных значений $c$, эта линия разреза лежит на вещественной оси. Линии на рисунке \ref{gzfracmap} симметричны по отношению к отражению относительно прямой $\Re(x)=(c\!-\!1)/2$.
\baselineskip 18.4pt
The inverse function $g\!=\!f^{-1}$ is expressed by formula \rf{gzfrac}.
It is Abel function for the transfer function $t$.
Abelfunction $g$ is shown with its complex map in figure  \ref{gzfracmap} 
for the same value of parameter, $c\!=\!2$, as function $f$ in figure  \ref{fzfracmap} 
\vskip 2mm

Function $g$ has two branch points,  $c\!-\!1$ and zero.
For real $c$, the cut line between these two points belongs to the real axis.
Equilnes are symmetric with respect to reflections from line 
% имеет линию разреза между точками ветвления. Эти точки суть $c\!-\!1$ и ноль. Для вещественных значений $c$, эта линия разреза лежит на вещественной оси. Линии на рисунке \ref{gzfracmap} симметричны по отношению к отражению относительно прямой 
$\Re(x)=(c\!-\!1)/2$.
%Function $g$ has cutline between branch points $c-1$ and $0$. For real values of $c$ this cutline is at the real axis.
\vskip 2mm

%С суперфункцией  $f$ и абельфункцией $g$ по формулам \rf{fzfrac} и \rf{gzfrac}, итерации передаточной функции $t$ могут быть записаны как обычно,
With superfunction  $f$ and abelfunction $g$ by formulas 
\rf{fzfrac} and \rf{gzfrac}, iterates of the transfer function $t$ can be written as usually,
\be
t^n(z)=f(n+g(z))
%\nonumber
\eL{tnzfg}
The readers are invited to check, that this representation agree with expression \rf{tnzc}.
It is better to do this exercise for the simple. % case of linear fraction.
Then it will be easier to reproduce the similar exercises for other superfunctions in the following sections.
% because for some functions considered in the following chapters, the expressions
%Читатели приглашаются проверить, что такое общее представление согласуется со специальным выражением \rf{tnzc}.
%Лучше начинать делать такие проверки для формул этой главы, поскольку для функций последующих глав это чуть сложнее. 
\vskip 2mm

%Рисунки этой секции достаточно элементарны. Тем не менее, я приглашаю Читателей стащить и воспроизвести их; возможно, с несколько иными значениями параметров. 
%\vskip 2mm

%Для читателей, которые интересуются суперфункциями, полезно проверить, что  $t^{1/2} \circ t^{1/2} \!=\!t$, или что $t^{1/3} \circ t^{1/3} \circ t^{1/3} \!=\!t$ или ещё что-нибудь такое, что могло бы уличить меня, если я в чем-то ошибся. Требование опровержимости (Аксиома ТОРИ номер 3) предложено вовсе не для того, чтобы им восхищаться и любоваться, а для того, чтобы применять по мере изучения и развития наук. 
%Последующие примеры чуть сложнее, и начинать лучше с простых. 
%\vskip 2mm
%Итерации Дробно-линейной (и она же - рациональная) функции 
%во многих случаях выражаются тоже через рациональную функцию. В следующей секции рассмотрен ещё случай такой функции.

%\section{Итерации возведения в степень}
\section{Power function and its iterates}
%\baselineskip 19.6pt
\baselineskip 19pt

%В этой секции рассмотрена функция ``возведение в степень'', то есть
\begin{figure}[t]
%\sx{.36}{\begin{picture}(1004,1004) 
\sx{.4}{\begin{picture}(1004,1004) 
\put(40,20){\ing{z2itmap}} 
\put(15,1008){\sx{3.3}{$y$}}
\put(15,910){\sx{3.3}{$4$}}
\put(15,810){\sx{3.3}{$3$}}
\put(15,710){\sx{3.3}{$2$}}
\put(15,610){\sx{3.3}{$1$}}
\put(15,510){\sx{3.3}{$0$}}
\put(-8,410){\sx{3.3}{$-1$}}
\put(-8,310){\sx{3.3}{$-2$}}
\put(-8,210){\sx{3.3}{$-3$}}
\put(-8,110){\sx{3.3}{$-4$}}
\put(-8,10){\sx{3.3}{$-5$}}
\put(8,-9){\sx{3.3}{$-5$}}
\put(108,-9){\sx{3.3}{$-4$}}
\put(208,-9){\sx{3.3}{$-3$}}
\put(308,-9){\sx{3.3}{$-2$}}
\put(408,-9){\sx{3.3}{$-1$}}
\put(534,-9){\sx{3.3}{$0$}}
\put(634,-9){\sx{3.3}{$1$}}
\put(734,-9){\sx{3.3}{$2$}}
\put(834,-9){\sx{3.3}{$3$}}
\put(934,-9){\sx{3.3}{$4$}}
\put(1026,-9){\sx{3.3}{$x$}}
\put(889,649){\sx{5}{\rot{-15}$v\!=\!10$\ero}}
\put(884,579){\sx{5}{\rot{-7}$v\!=\!5$\ero}}
\put(884,510){\sx{5}{$v\!=\!0$}}
\put(884,438){\sx{5}{\rot{6}$v\!=\!-5$\ero}}
\put(890,338){\sx{5}{\rot{-58}$u\!=\!10$\ero}}
\put(838,308){\sx{5}{\rot{-55}$u\!=\!5$\ero}}
\put(784,264){\sx{5}{\rot{-45}$u\!=\!0$\ero}}
\put(726,214){\sx{5}{\rot{-37}$u\!=\!-5$\ero}}
\put(706,154){\sx{5}{\rot{-33}$u\!=\!-10$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 25pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Z2itmapT.jpg}
\vskip -6pt

\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=T(x\!+\!\mathrm i y) =(x\!+\!\mathrm i y)^2$,
%$T(z)\!=\!z^2$ по 
by \rf{Pow} for $a\!=\!2$
%формулa \rf{Pow} для $a\!=\!2$
%справа: итерации этой функции, $y\!=\!T^n(x)\!=\!\mathrm{Pow_2}^n(x)$ для различных $n$. 
\iL{z2itmap}
}
\vskip 18pt
\end{figure}
\begin{wrapfigure}{r}{110px}
\sx{.24}{\begin{picture}(480,340)
\put(20,-30){\ing{sam107}}
\end{picture}}
\caption{Superpower$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ \label{osam}}
\end{wrapfigure}
Consider the power function
\be \!\!\!\!
T(z)=\mathrm{Pow}_a(z)=z^a ~ ~
\eL{Pow}
%\vskip 2mm
%Для $a\!=\!2$, карта функции $T$ 
For $a\!=\!2$, the map of function $T$ 
%по формуле \rf{Pow} 
%показана на рисунке
is shown in figure \ref{z2itmap}.
%Those, who are looking for some superpower, should be especially interested in this section:
Here, I suggest the superfunction of the power function, id est, the superpower function.
(However, term ``superpower'' may have also other meaning, as it is shown in figure \ref{osam}, but such a meaning is not used in this Book).
\vskip 8pt
%, генератор://
%Генераторы изображений загружены в ТОРИ, см.
%Я загрузил генератор этого изображения по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Z2itmapT.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterPowPlotT.jpg}
%Итерации степенной функции $T$ по формуле \rf{Pow} пишу так:

Consider iterates of the power function $T$ by \rf{Pow}, they can be written as follows:
%\be T^n(z) = {\mathrm{Pow}_a}^n(z)=z^{na}= {\mathrm{Pow}_a\Big( \mathrm{Pow}_a \big(... \mathrm{Pow}_a(z).. \big)\Big)} \ee
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T^n(z) =
{\mathrm{Pow}_a}^n(z)=z^{a^n}= 
\underbrace
{\mathrm{Pow}_a\Big( \mathrm{Pow}_a \big(... \mathrm{Pow}_a(z).. \big)\Big)}
_{\ds n \text{ evaluations of function Pow}_a}
\label{Pown} 
\ee
%\be
%T^n(z) =
%\mathrm{Pow}_a}^n(z)=z^{na}= 
%\underbrace{ 
%\mathrm{Pow}_a\Big( \mathrm{Pow}_a \big(... \mathrm{Pow}_a(z).. \big)\Big)
%}
%_{n \text{ evaluations of function Pow}}
%\label{Pown}
%\ee

%\underbrace{u'-P(x)u^2-Q(x)u-R(x)}_{\text{=0, since~$u$ is a particular solution.}
%В правой части формулы \rf{Pown}, операция $ \mathrm{Pow}_a$ применяется $n$ раз.
%В соответствии с общей идеологией Второй главы, параметр  $n$ не имеет необходимости быть целым.
\vskip 2mm

%На рисунке \ref{IterPowPlot} функция $T^n$ по формуле \rf{Pown} для $a\!=\!2$ показана для различных значений  $n$.
Figure \ref{IterPowPlot} shows  $T^n$ by formula \rf{Pown} for $a\!=\!2$ at various  $n$.
%As for other cases in this Book, the number $n$ of the iterate has no need to be integer.
%(as the last expression in equation \rf{Pown} suggests.)
\begin{figure}[t]
%\sx{.231}{\begin{picture}(1002,1012) 
\sx{.4}{\begin{picture}(1002,1012) 
\put(10,10){\ing{IterPowPlot}}
\put(11,976){\sx{4}{$x^{2^n}$}} 
\put(11,898){\sx{4}{$9$}} 
\put(11,798){\sx{4}{$8$}} 
\put(11,698){\sx{4}{$7$}} 
\put(11,598){\sx{4}{$6$}} 
\put(11,498){\sx{4}{$5$}} 
\put(11,398){\sx{4}{$4$}} 
\put(11,298){\sx{4}{$3$}} 
\put(11,198){\sx{4}{$2$}} 
\put(11,098){\sx{4}{$1$}} 
\put(100,16){\sx{4}{$1$}} 
\put(200,16){\sx{4}{$2$}} 
\put(301,16){\sx{4}{$3$}} 
\put(401,16){\sx{4}{$4$}} 
\put(502,16){\sx{4}{$5$}} 
\put(602,16){\sx{4}{$6$}} 
\put(703,16){\sx{4}{$7$}} 
\put(803,16){\sx{4}{$8$}} 
\put(903,16){\sx{4}{$9$}} 
\put(990,16){\sx{4}{$x$}}  
\put(112,850){\sx{3.8}{\rot{90}$n\!\rightarrow \infty $\ero}} 
\put(152,866){\sx{3.8}{\rot{88}$n\!=\!3$\ero}} 
\put(191,870){\sx{3.8}{\rot{87}$n\!=\!2$\ero}} 
\put(325,921){\sx{3.8}{\rot{81}$n\!=\!1$\ero}} 
\put(461,893){\sx{3.6}{\rot{70}$n\!=\!0.6$\ero}} 
\put(509,894){\sx{3.6}{\rot{69}$n\!=\!0.5$\ero}} 
\put(563,895){\sx{3.6}{\rot{63}$n\!=\!0.4$\ero}} 
\put(630,897){\sx{3.6}{\rot{59}$n\!=\!0.3$\ero}} 
\put(713,900){\sx{3.6}{\rot{54}$n\!=\!0.2$\ero}} 
\put(826,913){\sx{3.6}{\rot{50}$n\!=\!0.1$\ero}} 
\put(928,932){\sx{3.8}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}} 
\put(894,778){\sx{3.6}{\rot{39}$n\!=\!-0.1$\ero}} 
\put(888,676){\sx{3.6}{\rot{33}$n\!=\!-0.2$\ero}} 
\put(884,596){\sx{3.6}{\rot{28}$n\!=\!-0.3$\ero}} 
\put(877,528){\sx{3.6}{\rot{24}$n\!=\!-0.4$\ero}} 
\put(871,476){\sx{3.6}{\rot{19}$n\!=\!-0.5$\ero}} 
\put(870,429){\sx{3.6}{\rot{17}$n\!=\!-0.6$\ero}} 
\put(890,297){\sx{3.8}{\rot{8}$n\!=\!-1$\ero}} 
\put(884,172){\sx{3.8}{\rot{1}$n\!=\!-2$\ero}} 
\put(881,132){\sx{3.8}{\rot{.3}$n\!=\!-3$\ero}} 
\put(852,100){\sx{3.6}{\rot{.1}$n\!\rightarrow - \infty$\ero}} 
\end{picture}} % 
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterPowPlotT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
%Слева: комплексная карта функции $T(z)\!=\!z^2$ по формуле \rf{Pow} для $a\!=\!2$,
%здесь $\mu\!+\!\mathrm i \nu=T(x\!+\!\mathrm i y) =(x\!+\!\mathrm i y)^2$ ;
$y\!=\!T^n(x)\!=\!\mathrm{Pow_2}^n(x)$ для различных $n$. 
%Генераторы изображений загружены в ТОРИ, см.
\iL{IterPowPlot}
\label{IterPowPlotA}}
\vskip 4mm
\end{figure}
%\vskip 2mm
%Итерации степенной функции вычисляются по общей формуле
Iterates of the power function can be expressed also with the general formula,
\be %\nonumber
T^n(x)=F\Big(n+G(x)\Big)
\eL{againTc}
%где $F$ есть суперфункция для передаточной функции $T$; её можно представить в виде
where $F$ is superfunction of the transfer function $T$ and $G\!=\!F^{-1}$ is the abelfunction.

For the power function, the superfunction (id est, the superpower function)
can be written as follows:
\be F(z)=\exp\Big(\exp(\ln(a)\, z)\Big) = \exp^2\big(\ln(a)\,z\big) \eL{powF}
%\be F(z)=\exp\big(\ln(a)\, z\big) \eL{powF}
Inverting this representation, one can get the abelfunction; id est, the ``abelpower'' function,
%и $G$ есть для неё же Абельфункция.
%\footnote{Если эта Книга попадется филологам, то они, вероятно, могут объяснить, как образуются прилагательное от местоимения ``она''. Мне хочется использовать формы ``ейная абельфункция'' или даже ``еёйная абельфункция'', но я помню, что моя учительница Русского языка очень просила нас так не делать. Ну, да Бог с ней, с грамматикой; я надеюсь, читатели понимают, о какой абельфункции идет речь.}
%Это абельфункция для передаточной функции $T$ по формуле \rf{Pow}.
%Эту абельфункцию можно записать так:
\be 
G(z)=\ln\Big(\ln(z)\Big)/\ln(a) = \ln^2(z)/\ln(a) 
\eL{powG} 
%Tакое представлениe степенной функции соответствует шестой строке таблицы 
These formulas correspond to the 6th row of table 
\ref{TableOfSuperfunctions}.
\vskip 2mm

%или некоторые их несложные эквиваленты должны выполняться и для других передаточных функций $T$ тоже, не только для степенной функции $T$ по формуле \rf{Pow} . Многие конфузии связаны с таким заблуждением. Это обстоятельство обсуждается также в другой главе в связи с итерациями факториала, см. рис. \ref{facit}.
%\vskip 2mm

%Для передаточной функции $T$ вида \rf{Pow}, итерация \rf{again} может быть упрощена;
For the transfer function $T$ by \rf{Pow}, iteration \rf{again} can be simplified,
\be
T^n(z) =\exp^2\Big(\ln(a)\big(n+\ln^2(z)/\ln(a)\big)\Big)=z^{a^n}
\eL{zbc}
leading to the 3d expression in equation \rf{Pown}.

In such a way, iterates of the transfer function $T$ by \rf{Pow} 
appear to be function of the similar kind (also power function).
%can be represented through the compact elementary function. 
I invite the Reader to plot the complex maps of superpower function $F$ by \rf{powF}, abelpower function $G$ by \rf{powG} and iterates of power function by \rf{zbc}.  
%For this reason I do not include these maps in the Book.
%Таким образом, итерации передаточной функции $T$ по формуле \rf{Pow} можно выразить через несложную элементарную функцию.
\vskip 2mm

%На рисунке \ref{IterPowPlot} представлены итерации степенной функции по формуле \rf{zbc}. Толстые линии соответствуют целым итерациям.
%Тождественная функция $y\!=\!x$ соответствуют нулевой итерации. 
%В области между нулем и единицей кривые сливаются, и поэтому проведены только для $n\!=\!0$ и для $n\!=\!1$.
%С помощью экспоненты и логарифма эти итерации выражаются в несложном и компактном виде по формуле  \rf{zbc}.
%\vskip 2mm
%Глядя, как легко и красиво получаются (и упрощаются) итерации передаточной функции $T$ по 
%формуле \rf{Pow}, можно ожидать, что таким же образом можно строить нецелые итерации и других функций. При этом, при непрерывном изменении числа итераций от единицы до минус единицы, функция плавно переходит в свою обратную функцию.
%\vskip 2mm
%Ниже, по мере построения новых суперфукций и абельфункций, предлагаются ещё примеры нецелых итераций.  При этом нецелая итерация  выражается не как дробная степень, но через соответствующую комбинацию суперфункции и абельфункции. В соответствии с декларациями Введения, я и дальше стараюсь обеспечить оппонентов богатыми возможностями, инструментами, ``туллами'' (tools) для эффективной и конструктивной критики. То есть  подробно рассказываю, как получаются красивые картинки.
\JP{
Формулы этой главы, как, впрочем, и последующих глав, выписываются подробно с тем, чтобы создать условия для конструктивного обсуждения, чтобы такое обсуждение не выглядело как разгром, показанный на рисунке \ref{grom}.

~

\begin{figure}[h]
\sx{.5}{\ing{Gromit}}
\caption{Конструктивные формулы должны допускать опровержение, с тем, чтобы их обсуждение носило академический характер \iL{grom}}
\end{figure}
}

%Для  $T(z)\!=\!z^2$, имеют место соотношения
For  $T(z)\!=\!z^a$, the simple relations take place:
\be
T(z^b)=T(z)^b
\eL{fnz1}
At $b\!=\!a\!=\!2$, in addition, the following relation hakes place:
 \be
T^b(z)=T(z)^b
\eL{fnz2}

There is common confusion (the wrong public opinion), that some simple equivalents of relations
%Имеет место распространенное заблуждение, что соотношения 
\rf{fnz1}, \rf{fnz2} 
should take place for other values of $b$ and for other functions too. 
In particular, one of critics of the publication about half iteration of factorial \cite{facit} had insisted, that 
$\mathrm{Factorial}^{1/2}(z)=\mathrm{Factorial}(z)^{1/2}$, and I was not successful explaining, that it is not the case, even if notation
$\sqrt{\mathrm{Factorial}}=\mathrm{Factorial}^{1/2}$ is used. 
The factorial is considered in this Book in the Chapter 8. However, before to deal with factorial, I would like to consider simple example. The power function is one of the simple examples.
I invite the Reader to check, that even for $a\!=\!3$, relation \rf{fnz2} is not valid (except of some specific values of $z$).
%\vskip 2mm

\JP{

\section{Extensions}

In this chapter, few examples of superfunctions are suggested, namely, the linear function, the rational function and the power function.
In these cases, both, superfunctions and the abelfunctions can be expressed in terms of the elementary functions.
\vskip 2mm

Dealing with elementary superfunctions, one has no need to know, that they are superfunctions. 
Formulas for the examples from this chapter can be extended, using the transform at the bottom of
\ref{TableOfSuperfunctions}. However, the same transform, extension apply also to other superfunctions, not only to the elementary superfunctions.
}
\vskip 2mm
Having the explicit representation, one can calculate all the iterates necessary, including the non-integer iterates. But not so many elementary functions are inverse of some other elementary functions,
Perhaps, it is better to refer to special functions.
%However, not all functions are elementary. 
The simple example of the non-elementary function is considered in the next chapter.


%\chapter{~ Таня и Шока}
\chapter{~Tania and Shoka}
\baselineskip 19.2pt

%\begin{wrapfigure}{l}{230px}
\begin{figure}[h]
\vskip -26pt
\begin{center}
\sx{.44}{%\ing{ShokoTania}}
\begin{picture}(802,400)
\put(0,0){\includegraphics{ShokoTania}}
\put(380,380){\sx{3.2}{$y$}}
%\put(380,392){\sx{3.2}{$4$}}
\put(380,292){\sx{3.2}{$3$}}
\put(380,192){\sx{3.2}{$2$}}
\put(380, 92){\sx{3.2}{$1$}}
\put( 75,-34){\sx{3.2}{$-\!3$}}
\put(175,-34){\sx{3.2}{$-\!2$}}
\put(275,-34){\sx{3.2}{$-\!1$}}
\put(394,-34){\sx{3.2}{$0$}}
\put(494,-34){\sx{3.2}{$1$}}
\put(594,-34){\sx{3.2}{$2$}}
\put(694,-34){\sx{3.2}{$3$}}
\put(784,-34){\sx{3.2}{$x$}}
\put(442,140){\sx{3.2}{\rot{41} $y\!=\!\mathrm{Shoka}(x)$\ero}}
\put(468,102){\sx{3.2}{\rot{32} $y\!=\!\mathrm{Tania}(x)$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 16pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokotaniaT.png}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{
%Функции Shoka и Tania вещественного аргумента 
%Функции Шока и Таня. %Генератор:
Functions Tania and Shoka by \rf{shoka0} and \rf{Tania0}
%{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokotaniaT.png}}
\iL{shokataniaplot}
\label{ShokaTaniaplot}}
\vskip -4pt
\end{figure}

%В этой главе рассмотрены некоторые почти элементарные суперфункции, которые могут иметь приложения в лазерной науке; эти функции можно выразить так:
This chapter considers functions, that have applications in laser science. I call them Tania and Shoka. For some vicinity of the real axis, these functions can be defined as follows:
\be
\mathrm{Shoka}(z)&=&z+\ln(\mathrm e^{-z}\!+\!\mathrm e\!-\!1)  \iL{shoka0}\\
\mathrm{Tania}(z)&=&\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1)  \iL{Tania0}\label{TaniaWright}
\ee
%по крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси. При 
At
$|\Im(z)|\!\ge\! \pi$, 
%функция 
function
$\mathrm{WrightOmega}(z)$ behaves in a way I dislike. To avoid confusions, for the function I like, I use name Tania.
Below I define functions Shoka and Tania for the complex argument.
%ведет себя плохо (её разрезы не там, где мне хотелось бы); поэтому приходится использовать для функции имя Tania. Представления \rf{shoka0},\rf{Tania0} годятся, в частности, для вещественных значений аргумента и могут быть использованы для построения рисунка 
However, the representations \rf{shoka0} and \rf{Tania0}
are sufficient to plot Shoka and Tania in figure \ref{ShokaTaniaplot}.
\vskip 2mm

%Ниже я объясняю, почему эти функции важны для лазерной науки и интересны как примеры суперфункций.

%Здесь, термин ``почти элементарная функция'' означает либо конечную комбинацию элементарных функций (то есть по сути тоже элементарную функцию, как это имеет место в случае функций Келлер, Шока и АркШока), либо несложную комбинацию специальных функций, давно описанных в литературе (как это имеет место в случае функций Таня и Дойя). Эти функции могут иметь применение в физике лазеров, и поэтому они выделены в особую главу.
%\vskip 2mm
%Названия передаточных функций, образующие заголовок, любезно предоставлены, соответственно, Таней и Шокой,
%показанными на рисунке \ref{taniashokadraw}. 
%Надеюсь, что читатели легко отличат их от передаточных функций, которые теперь имеют те же имена, и такой оверлпад имен не вызовет путаницы.

%Практически, это пересказ статей 
%про указанные функции 
This chapter retells the contents of articles \cite{thailand,2013or}. 
This chapter should be especially important for the narrow specialists, who works in the laser science.
%Эта глава (за исключением первой секции) может быть полезна узким специалистам, работающим в лазерной науке.
\JP{
\vskip 2mm\begin{figure}[h]
\begin{center}
\sx{.5}{\begin{picture}(400,240)
\put(0,-40){\ing{taniashoka}}
\end{picture}}
\end{center}
\caption{Таня и Шока \iL{taniashokadraw}}
\vskip -8pt
\end{figure}
%\end{wrapfigure}
}%JP

\JP{
\section{Об узких специалистах}
\baselineskip 19pt
Предупреждение. Узким специалистам лучше пропустить этy секцию: она содержит критическое мнение об узких специалистах и может оскорбить их религиозные чувства.
\vskip 2mm

%\begin{parbox}{80px}
\begin{wrapfigure}{r}{90pt}
\sx{.7}{\begin{picture}(80,290)
\put(8,10){\ing{Drink02}}
\end{picture}}
\caption{Узкий специалист \label{drink}}
\end{wrapfigure}
%\begin{parbox}{400px}

Узкие специалисты подобны инопланетянину зайцу Бо, которому кажется, что все только и думают, как бы сказать чего-нибудь нехорошее про зайцев
\footnote{ \url{http://www.youtube.com/watch?v=OCndqQqHlQo} Магазинчик Бо. Эпизод 23. Сень Бо-Гэ. Mar 1, 2013. {\em А ещё он говорил что-то нехорошее про зайцев!..}}. Известный классик Русской литературы Козьма Прутков обнаружил и указал, что узкий специалист подобен флюсу: его полнота односторонняя. Узкий специалист может легко понять и даже проделать вычисления, если он видит за ними реалистичную жизненную ситуацию. Например, человек может встретить трудности, складывая два числа, 250 и 250. Однако, если ему сказать, что речь идет о граммах водки, он мгновенно проведет необходимые рассчеты и сразу скажет ответ: {\em ``Да это же Поллитра!''}; последнее слово будет произнесено с уважением и придыханием. Это придыхание укажет присутствующим, 
%что назвать его ``любителем выпить'' совершенно не правильно; по части выпить он
что он любитель выбить, и вероятно, даже не просто любитель, а  профессионал и, возможно, даже узкий специалист (рис. \ref{drink}). Аналогично, узкому специалисту-лазерщику трудно понять, что такое ``передаточная функция'', до тех пор, пока ему не скажут, что некоторый параметр (мощность, интенсивность, флюенция или энергия светового импульса) на выходе лазерного усилителя рассматривается как функция аналогичного параметра на входе в усилитель.
%Таким образом, эта глава для лазерщиков. 
%\end{parbox} ~
\vskip 3mm

%Ещё warning. 
Функции Дойя и Келлер, определяемые в этой главе ниже, могут быть интерпретированы как передаточные функции
% некоторого 
идеализированного
% (но всё ещё реалистичного) 
лазерного усилителя. Читатели, равнодушные к лазерной науке, могут рассматривать эти функции как абстрактные математические объекты; или даже вовсе пропустить эту главу, за исключением, может быть, секции  5 (``О единственности решения''): секция 5 может помочь тем, кто собирается раскритиковать эту Книгу или даже просто сказать что-нибудь нехорошее про лазерщиков.

%Я стараюсь писать формулы так, чтобы их можно было использовать без того, чтобы штудировать всю Книгу.
}%JP

%\section{Таня и Арктаня}
\section{Tania and Arctania}
%Комплексные карты функции $\mathrm{Tania}$ у её обратной функции представлены на рисунке \ref{figTaniaMap}. Функция  $\mathrm{Tania}$ вещественного аргумента показана на рисунке \ref{TaniaPlot}. %\ref{TP}.
%\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\sx{2.2}{\begin{picture}(172,168)
\sx{2.5}{\begin{picture}(172,168)
\put(6,5){\ing{taniamap}}
\put(2,162){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(3,116){\sx{.6}{$\pi$ ~ \bf cut}}
\put(23,100){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(20, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(23,68){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,53){\sx{.6}{$-\pi$ ~ \bf cut}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put(139,154){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!6$}\ero}
\put(138,143){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!5$}\ero}
\put(137,132){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(136,121){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(135,109){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 89, 83){\rot{82}\sx{.8}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(106, 81){\rot{84}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(134, 97){\rot{-4}\sx{.8}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(134, 84){\rot{0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(134, 72){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!1$}\ero}
\put(133, 60){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!2$}\ero}
\put(134, 48){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!3$}\ero}
\put(135, 36){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!4$}\ero}
\put(136, 25){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!5$}\ero}
\put(137, 14){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!6$}\ero}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -12pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png}
\vskip -4pt
\caption{ Complex map of function Tania, 
$~u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Tania}(x\!+\!\mathrm i y)$
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png}
\iL{TaniaMap}
\label{figTaniaMap}
}
\vskip 12pt
\end{figure}

Let function Tania be solution $f$ of the differential equation
%Пусть функция Tania будет решением $f$ дифференциального уравнения
\be \!\!\!\!\!
f'(z)= \frac{f(z)}{1+f(z)}
\eL{taniaprim}
%с граничным условием 
with 
%boundary 
additional
condition
$f(0)\!=\!1$,
%\eL{f01tania}
%где контур интегрирования уравнения 
where contour of integration of
\rf{taniaprim} for $f(z)$
%для $\mathrm{Tania}(z)$
%идет сперва от нуля до мнимой части $z$ вдоль мнимой оси, а затем вдоль прямой, параллельной вещественной оси, идет в точку $z$. 
goes first from zero to imaginary part of $z$ along the imaginary axis, and then, along the line, parallel to the real axis, goes to point $z$.
%Рисунок \ref{ShokaTaniaplot} показывает свойства функции Tania для вещественного аргумента.
Figure \ref{ShokaTaniaplot} shows function Tania of real argument. For moderate values of imaginary part of the argument, 
solution $f\!=\!\mathrm{Tania}$ of equation \rf{taniaprim} is expressed through the special function WrightOmega with equation \rf{Tania0}.  Complex map of function Tania is shown in figure \ref{TaniaMap}. 
\vskip 2mm

For real values of argument, Tania is positive and grows monotonously.
Toward the negative values of the argument, Tania decays exponentially.
At zero, Tania grows with tangent 1/2.
At large positive values of the argument, Tania grows in a way, similar to the linear function with tangent unity.

%Эта функция положительна и монотонно возрастает. В сторону отрицательных значений аргумента, функция экспоненциально затухает. При больших значениях аргумента, Таня растет почти линейно. В нуле эта функция равна единице и растет с производной 1/2. 
\vskip 2mm

%Комплексная карта этого решения показана на рисунке 
Function Tania, shown in figure
\ref{figTaniaMap}, has two branch points, $-2\pm \mathrm i \pi$.
The cut lines are directed parallel to the real axis toward its negative direction;
they are determined by specification of path of integration of equation \rf{taniaprim}.
%; генератор:
%{\normalsize \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png} }
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{2.5}{\begin{picture}(162,168)
\put(6,5){\ing{arctaniamap}}
\put(2,162){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(59,85){\sx{.6}{\bf cut}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 81.4, 23){\rot{81}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 91.6, 23){\rot{81}\sx{.8}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(101, 22){\rot{81}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(111, 21){\rot{83}\sx{.8}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(120.4, 21){\rot{84}\sx{.8}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(139,155){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!8$}\ero}
\put(138,146){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!7$}\ero}
\put(138,136){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!6$}\ero}
\put(138,127){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!5$}\ero}
\put(137,118){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(136,109){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(135,100){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(134, 92){\rot{3}\sx{.8}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(134, 84){\rot{0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(134, 76){\rot{-3}\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}\ero}
\put(133, 68){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}\ero}
\put(134, 59){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}\ero}
\put(135, 51){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}\ero}
\put(135, 41){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}\ero}
\put(135, 32){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}\ero}
\put(136, 23){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}\ero}
\put(137, 14){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!8$}\ero}
\end{picture} } 
%\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png}
\end{center}
\vskip -16pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{ArcTania}(x\!+\!\mathrm i y)$
%$f\!=\!\mathrm{ArcTania}(z)$
\label{figArcTaniaMap}
\iL{ArcTaniaMap}
}
\vskip 6pt
\end{figure}
%Изменение контура интегрирования уравнения \rf{taniaprim} не влияет на значение функции до тех пор, пока этот контур не пересекает линии разреза $ \Re(z)\!<\!-1$, $\Im(z)\!=\!\pm \pi$.
%В частности, при вещественных значениях $x$, для $f(x)$, интегрирование 
%уравнения \rf{taniaprim} 
%может осуществляться от 0 до $x$ вдоль вещественной оси. 
\vskip 2mm

Complex map of the inverse function, id est, 
$\mathrm{ArcTania}\!=\!\mathrm{Tania}^{-1}$ is shown in figure \ref{ArcTaniaMap}. It can be expressed as elementary function,
%Уравнение \rf{taniaprim} легко ``решается'' в том смысле, что обратную функцию $g\!=\!f^{-1}$
%от решения удается выразить через элементарные функции. Чтобы не путать её с другими функциями, обозначаемыми тоже буквой $g$, в этой Книге (хотя и не только здесь) я обозначаю её именем ArcTania; то есть $\mathrm{ArcTania}=\mathrm{Tania}^{-1}$, и эта АркТаня является элементарной функцией:
\be
\mathrm{ArcTania}(z)=z+\ln(z)-1 ~ ~ ~
\eL{ArcTaniaz}
%Комплексная карта функции ArcTania представлена на рисунке \ref{figArcTaniaMap}. 
%Генератор этого рисунка на C++ я уплоаднул в ТОРИ по урлю
%\ref{figArcTaniaMap} и 
%{\normalsize
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png}
%}
%\vskip 2mm
%
%В представлениях функций Tania и ArcTania нет комплексных констант.
%Эти функции вещественно голоморфны:
There are no complex constants in the representations of functions Tania and Arctania;
these functions are real-holomorphic:
\be 
\mathrm{Tania}(z^*)=\mathrm{Tania}(z)^* ~,~~ \mathrm{ArcTania}(z^*)=\mathrm{ArcTania}(z)^*
%\eL{Taniastar}
\label{Taniastar}
\ee

%Функции Tania и ArcTania похожи на линейную функцию при больших значениях аргумента, но Таня имеет два разреза при мнимой части аргумента $\pm \pi$, a  ArcTania  имеет только один разрез вдоль отрицательной части вещественной оси.
Functions Tania and ArcTania look similar to the linear function at large values of the argument; the lines of levels of constant real part and those of constant imaginary part form almost rectangular grid. Functions ArcTania 
%has, of course the same 
also have
almost linear asymptotic.

%Асимптотическое (почти линейное) поведение функции $\mathrm{Tania}(z)$ при большиx значениях $|z|\!\gg\! 1$
%универсально почти для всей комплексной плоскости, за исключением полосы $\Re(z) \!<\!0$,  $|\Im(z)|\!\le\! \pi$.
%В полосе   $|\Im(z)|\!<\! \pi$, при $\Re(z) \!\rightarrow\! -\infty$, функция $\mathrm{Tania}(z)$ экспоненциально убывает, что соответствует графику поведения этой функции при вещественных значениях аргумента.
\vskip 2mm

The almost linear asymptotic behaviour of 
$\mathrm{Tania}(z)$ at large %values 
$|z|\!\gg\! 1$
holds for the most of the complex plane, except the strip $\Re(z) \!<\!0$,  $|\Im(z)|\!\le\! \pi$.
In the strip   $|\Im(z)|\!<\! \pi$, at $\Re(z) \!\rightarrow\! -\infty$, function $\mathrm{Tania}(z)$ 
decays exponentially, this agrees with graphic of this function for real argument at figure \ref{shokataniaplot}.
\vskip 2mm

%Для умеренных значений мнимой части аргумента, функция 
For moderate values of the imaginary part of the argument, function
$\mathrm{Tania}$ 
can be expressed through the known special function WrightOmega
%может быть выражена через известную 
\cite{wright,david} with equation \rf{Tania0}.
%специальную функцию 
%WrightOmega:
%\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{Tania}(z)=\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1)
%\eL{TaniaWrightOmegaPlus}
\JP{
Есть несколько оправданий для введения новой функции, которая легко выражается через известную функцию:

1. Для 
%сохранения традиции, по возможности, 
удобства оценок, желательно, чтобы суперфункция в нуле принимала целое значение,
%выражалась наименьшим целым числом, большим фиксированной точки, на которой она построена. 
Функция Tania будет такой суперфункцией для примера, рассматриваемого ниже. 
%2. Описание функции WrightOmega попалась автору уже после того, как для функции Tania были изготовлены и загружены на разные вики эффективные (быстрые, надежные и аккуратные) численные представления на C++. 

2. Имя Tania короче, чем WrightOmega, и допускает простую русскоязычную транслитерацию ``Таня''. При этом появляется возможность склонять имя этой функции по падежам в соответствии с традициями грамматики русского языка. 

3. В комплексной плоскости Таня как решение уравнения \rf{taniaprim} ведет себя проще, чем функция WrightOmega, представленая в алгоритмических языках программирования. 

Использование нового имени позволит избежать  путаницы, если одновременно потребуются обе функции, функция WrightOmega со счетным множеством разрезов и функция Таня с её двумя разрезами, видными на левой карте рисунка \rf{figTaniaMap}. Читатели приглашаются построить карты обеих функций, Тани и ВрайтОмеги\cite{wright,david}, и проверить, что только в полосе вдоль вещественной оси эти функции получаются одна из другой трансляцией аргумента на единицу.
\vskip 2mm
}
%Вдоль вещественной оси (и даже в её окрестности) нет надобности как-то различать 
In particular, one has no need to make any difference between $\mathrm{Tania}(z)$ and $\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1)$
for real %values of 
$z$.
% Однако, для 
%некоторых
%суперфункций, выход в комплексную область важен для единственности решения, а иногда и для вычисления. Поэтому здесь суперфункции сразу рассматриваются для комплексного переменного. При этом функция Таня имеет меньше разрезов, чем функция WrightOmega, и этим проще.
\vskip 2mm

%Для эффективного вычисления функции Tania могут использоваться её асимптотические разложения.
%Объединение областей применимости этих разложений накрывает всю комплексную плоскость.
For the efficient evaluation of Tania, its asymptotic expansions can be used. The whole complex plane can be covered with these expansions.
\vskip 2mm

%At large values of the argument, Tania shows almost linear growth and can be expanded as follows:
%\sx{1.01}{При больших значениях аргумента, Таню можно разложить так:}
At large values of the argument, Tania can be expanded as follows:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=z + 1\!-\!\ln(z) 
+\frac{ \ln(z)\!-\!1}{z} 
+\frac{\ln(z)^2\!-\!4\ln(z)\!+\!3}{2z^2} + ..
%+ O\left( \frac{\ln(z)^2}{z^3}\right)
%+\frac{2 \ln(z)^2 - 15 \ln(z) + 30 \ln(z) -17}{ 6 z^3} 
%+ O\Big( \frac{\ln(z)}{z}\Big)^4
\label{TaniaBigz}
\ee
The effective small parameter of the expansion \rf{TaniaBigz} is 
%$\frac{\ln(z\!+\!1)}{z+1}$.
$\ln(z)/z$.
For negative values of 
%При отрицательных значениях 
$\Re(z)$, 
%такое разложение годится, пока 
this expansion is valid while
$|\Im(z)| \!>\! \pi$
However, this representation does not work between the cut lines at figure  \ref{TaniaMap}.
%Для представления Тани между линиями разреза (см. рис. \ref{TaniaMap}) 
%удобно ввести параметр  
For the representation of Tania in this half-strip, I define the new variable
$\varepsilon=\exp(1\!+\!z)$; 
%тогда Таню можно разложить так:
then Tania can be expanded as follows:
\be
\mathrm{Tania}(z) =
%~\sim~
 \varepsilon
-\varepsilon^2+\frac{3}{2}\varepsilon^3 -\frac{8}{3}\varepsilon^4+\frac{125}{24}\varepsilon^5+ O(\varepsilon^6)
\label{TaniaMezdu}
\ee
%при $\varepsilon=\exp(1\!+\!z)$.
\vskip 2mm

The expansions above are not good %at all
for the moderate values of the argument, and especially poor is the approximation in vicinity of the branch points. For the branch point, the following expansion takes place: 
%Вблизи точки ветвления, годится разложение
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=
-1+3t-3t^2
+\frac{3}{4} t^3
+\frac{3}{10}t^4
+\frac{9}{160}t^5
%-\frac{3}{70}t^6
%-\frac{1251}{22400} t^7 
%-\frac{9}{280} t^8
+..
\label{TaniaL}
\ee
%где ~
where ~
$\ds
t= \mathrm{i} \sqrt{ \frac{2}{9} \big(z\!+\!2\!-\!\pi \mathrm i \big)~}
$.
\vskip 2mm

%Кроме того, можно пользоваться разложением Тэйлора в нуле
In addition, one may use the Taylor expansion at zero:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=1 
+\frac{z}{2}
+\frac{z^2}{16}
-\frac{z^3}{192}
-\frac{z^4}{3072}
+\frac{13 z^5}{61440}
-\frac{47 z^6}{1474560}
%+\frac{73 z^7}{41287680}
+ ..
\label{TaniaTay}
\ee
\vskip 2mm

With the representations above, for every point of the complex plane, for $\mathrm{Tania}(z)$,  one can get the ``zeroth'' approximation, let it be called $s_0$, with few correct significant figures.
%Комбинируя разложения выше, можно получить для Тани ``нулевое'' приближение, пусть оно называется $s_0$, с несколькими значащими цифрами для всей комплексной плоскости.
%Затем, для достижения предельной точности переменных ``complex double'', требуется всего 
%несколько 
%три или четыре итерации по методу Ньютона
Then, in order to get the maximal precision for the ``complex double'' variable, it is sufficient to make three or four iterations by the Newton method
\be
s_{n+1}=s_n + \frac{z-\mathrm{ArcTania}(s_n)}{\mathrm{ArcTania}'(s_n)}
~ ~ ~ \eL{ssTania}
where 
$\mathrm{ArcTania}'(z)\!=\!1\!+\!1/z$  
is derivative of ArcTania.
I remind that, ArcTania by equation \rf{ArcTaniaz} is elementary function.
%есть производная АркТани. При этом Таню можно вычислять почти столь же быстро, как и элементарные функции. Так устроена C++ имплементация Тани, загруженная по урлю ~
In such a way, Tania can be evaluated quickly and precisely. The C++ implementation of function Tania with this algorithm for ``complex double'' variables is loaded as
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania.cin}
\vskip 2mm

\JP{
Элементарные функции, упомянутые в таблице \ref{TableOfSuperfunctions}, и, в частности, Таня и АркТаня, имеют широкую область голоморфизма. Интуитивно понятно, что если суперфункция выражена несложной элементарной функцией, то, вероятно, именно она имеет физический смысл, 
%и можно ожидать, 
а суперфункция, получаемая преобразованием \rf{tif}, есть что-то дополнительное, искусственное и менее физичное. Также, можно ожидать, что преобразованная функция будет иметь более узкую область голоморфизма; это даёт критерий  ``физичности'' решения передаточного уравнения \rf{transfereq}. Критерий простоты указан в последней, Шестой аксиоме ТОРИ, упомянутой Главе 2.
Согласно этой аксиоме, от специальных суперфункций приходится ожидать наиболее простого поведения в комплексной плоскости.
\vskip 2mm }%JP

%В этом параграфе рассмотрен пример суперфункции, которая не выражается через элементарную функцию, но может быть представлена в терминах специальных функций. Поведение суперфункций в комплексной плоскости существенно для их единственности; поэтому функции прийдется вычислять и определять для комплексных значений аргумента. 
%Разумеется, поведение этих функций вдоль вещественной оси тоже должно быть рассмотрено. 

%Функция Таня проще, чем специальная функция WrightOmega. Поэтому Таня может рассматириваться как первичная функция, и использоваться для имплементации ВрайтОмеги, как, впрочем, и для аппроксимации каких-либо зависимостей в Лазерной Физике и прочих науках.
Function Tania is simpler than function WrightOmega. If necessary, Tania can be used to evaluate WrightOmega.
\vskip 2mm 

%Функция Tania имеет простой физический смысл. Это зависимость интенсивности света от координаты в однородном усилителе с простой моделью активной среды. При этом координата измеряется в единицах,
%обратных ненасыщенному усилению, а интенсивность измеряется в единицах интенсивности насыщения. 
Function Tania has simple physical meaning. It represents dependence of intensity of light on the length of its propagation in laser with
simple model of the active medium. The argument has sense of coordinate measured in units of the inverse increment of the low signal. The returned value has sense of intensity, measured in the units of saturation.
\vskip 2mm

%\JP{
%\begin{wrapfigure}{r}{75pt}
\begin{wrapfigure}{r}{80pt}
\vskip -16pt
\sx{.84}{\begin{picture}(97,142)
\put(0,0){\ing{ValerieDoya.jpg}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
%\caption{Valerie Doya \cite{valerie} \label{valerie}}
\caption{
%\rule{8pt}{0pt}
~ ~V.Doya \cite{valerie} \label{valerie}}
\vskip -4pt
\end{wrapfigure}
%В этой Книге, функция Таня встречается много раз. В этой главе, Таня появляется как суперфункция от передаточной функции, рассмотренной в следующей секции. При этом использован трюк, упомяный в описании таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}:  сперва выбирается суперфункция,
% и её обратная функция, 
%а потом для неё строится передаточная функция. Tакая передаточная функция названа именем Doya. Я благодарен Валерии Доуя (рис. \ref{valerie}), которая любезно разрешила использовать её
%фамилию для обозначения функции, нужной в Лазерной Науке и в этой Книге.

In this Book, function Tania is used many times. In this chapter, Tania appears as superfunction of the special function Doya, considered in the nest section. I use the trick, mentioned in the chapter 3: First, I choose superfunction, id est, Tania, and then, I construct the transfer function for it; I call this transfer function ``Doya''.
I am grateful to Val\'erie Doya
(Figure \ref{valerie}), she kindly allowed to use her name for the function, that appeared during our collaboration at Nice in 2010.
%Этой функции посвящена следующая секция.
\vskip 2mm

%Для умеренных значений мнимой части аргумента, функция  $\mathrm{Tania}$ может быть выражена через известную специальную функцию WrightOmega \cite{wright,david}:
%\be \mathrm{Tania}(z)=\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1) \eL{TaniaWright}

%\section{Передаточная функция Doya}
\section{Transfer function Doya}
\baselineskip 21pt

\begin{figure}[t]
%\hskip -6pt
%\sx{2.8}{ \begin{picture}(83,81)
\sx{2.4}{ \begin{picture}(82,81)
\put(1,1){\ing{doya10map4b}} 
\put(-.5,79.6){\sx{.4}{$t$}}
\put(-1,71){\sx{.4}{$3$}}
\put(-1,61){\sx{.4}{$2$}}
\put(-1,51){\sx{.4}{$1$}}
\put(-1,41){\sx{.4}{$0$}}
\put(-5,31){\sx{.4}{$-1$}}
\put(-5,21){\sx{.4}{$-2$}}
\put(-5,11){\sx{.4}{$-3$}}
\put(9,-1.9){\sx{.4}{$-3$}}
\put(18,-1.9){\sx{.4}{$-2$}}
\put(28,-1.9){\sx{.4}{$-1$}}
\put(41,-1.9){\sx{.4}{0}}
\put(51,-1.9){\sx{.4}{1}}
\put(61,-1.9){\sx{.4}{2}}
\put(71,-1.9){\sx{.4}{3}}
\put(79.8,-1.2){\sx{.42}{$x$}}
\put(11,60){\rot{85}\sx{.6}{$u\!=\!-2$}\ero}
\put(22,59){\rot{88}\sx{.6}{$u\!=\!-1$}\ero}
\put(34,63){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(46,63){\rot{93}\sx{.6}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(56,63){\rot{93}\sx{.6}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(66,63){\rot{93}\sx{.6}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(68,69){\rot{1}\sx{.6}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(68,60){\rot{1}\sx{.6}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(68,50){\rot{1}\sx{.6}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(68,40.6){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(63,30.6){\rot{-1}\sx{.6}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(63,20.8){\rot{-1}\sx{.6}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put(63,11.4){\rot{-2}\sx{.6}{$v\!=\!-3$}\ero}
\end{picture}
}
\sx{2.4}{ \begin{picture}(41,81)
\put(1,1){\ing{doyam10map4b}}
\put(-.5,79.6){\sx{.4}{$t$}}
\put(-1,71){\sx{.4}{$3$}}
\put(-1,61){\sx{.4}{$2$}}
\put(-1,51){\sx{.4}{$1$}}
\put(-1,41){\sx{.4}{$0$}}
\put(-5,31){\sx{.4}{$-1$}}
\put(-5,21){\sx{.4}{$-2$}}
\put(-5,11){\sx{.4}{$-3$}}
\put(9,-1.9){\sx{.4}{$-3$}}
\put(18,-1.9){\sx{.4}{$-2$}}
\put(28,-1.9){\sx{.4}{$-1$}}
\put(41,-1.9){\sx{.4}{0}}
\put(51,-1.9){\sx{.4}{1}}
\put(61,-1.9){\sx{.4}{2}}
\put(71,-1.9){\sx{.4}{3}}
\put(79.8,-1.2){\sx{.42}{$x$}}
\put(6,72){\rot{6}\sx{.6}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(6,62){\rot{4}\sx{.6}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(6,51.5){\rot{2}\sx{.6}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(6,40.6){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(5,30){\rot{-7}\sx{.6}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(4,19){\rot{-4}\sx{.6}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put(3.3,9){\rot{-2}\sx{.6}{$v\!=\!-3$}\ero}
\put(66,40.6){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(42,40.6){\rot{60}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(59,37){\rot{86}\sx{.6}{$u\!=\!1$}\ero}
\end{picture}
}\\ \normalsize
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya10map4bT60.png}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doyam10map4bT100.png}
\vspace{-2mm}
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Doya}(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Doya}^{-1}(x\!+\!\mathrm i y)$, 
at right
%справа
%Генераторы:
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doyam10map4bT100.png}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya10map4bT60.png}
\label{DoyaMap} \label{figDoyaMap}}
\vskip 18pt
\end{figure}

%С рассмотренными выше функциями Tania и ArcTania, легко построить ``решабельную'' передаточную функцию, пусть она называется Doya,
%в таком виде:
Functions Tania and ArcTania from the previous section allow to build-up the ``solvable'' transfer function. I call it Doya,
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)=\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{Tania}\big(1+\mathrm{ArcTania}(z)\big)
\eL{Doya}
Complex map of function Doya, and also map of its inverse function
%Комплексная карта фукции Doya, а также карта обратной функции
$\mathrm{ArcDoya}=\mathrm{Doya}^{-1}$
%показаны на рисунке 
are shown in figure
\ref{figDoyaMap}. 
%На бесконечности, эти функции похожи на тождественную функцию, но имеют особенности (точки ветвления и разрезы) вблизи начала координат.
At large values of the argument, each of these functions looks similar to identity function, but they have the branch points and cuts in the central part of the maps.
\vskip 2mm

While functions Tania and ArcTania are already implemented, the evaluation of function Doya is straightforward.
%Свойства функции Doya описаны в ТОРИ \cite{doya}; представлен также эффективный алгоритм для её вычисления.
%В окрестности вещественной оси, Дойя может быть выражена через известную функцию 
In addition, in vicinity of the real axis, Doya can be expressed through the known special function 
LambertW \cite{LambertW}:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{LambertW}\!\big(z \, \mathrm e^{z+1} \big) 
\eL{DoyaLambertW}

%\begin{wrapfigure}{l}{200px}
\begin{figure}[t]
%\vskip -4pt
\begin{center}
%\sx{.75}{ \begin{picture}(410,410)
\sx{.8}{ \begin{picture}(412,412)
\put(1,9){\ing{doyaplo}}
\put(-12,394){\sx{2.8}{$y$}}
\put(-12,303){\sx{2.8}{$3$}}
\put(-12,203){\sx{2.8}{$2$}}
\put(-12,103){\sx{2.8}{$1$}}
\put(0,-9){\sx{2.5}{$0$}}
\put(100,-9){\sx{2.5}{$1$}}
\put(200,-9){\sx{2.5}{$2$}}
\put(300,-9){\sx{2.5}{$3$}}
\put(392,-7){\sx{2.6}{$x$}}
 %\put(560,214){\rot{37}\sx{4}{$y=\mathrm{Tania}(x)$}\ero}
\put(30,342){\rot{74}\sx{2.8}{$n\!=\!6$}\ero}
\put(54,342){\rot{68}\sx{2.8}{$n\!=\!5$}\ero}
\put(90,346){\rot{55}\sx{2.8}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(146,348){\rot{53}\sx{2.8}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(210,350){\rot{50}\sx{2.8}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(270,340){\rot{48}\sx{2.8}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(324,318){\rot{45}\sx{3.0}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(332,252){\rot{43}\sx{2.8}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(332,184){\rot{40}\sx{2.8}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(332,125){\rot{36}\sx{2.8}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(330,76){\rot{30}\sx{2.8}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(320,36){\rot{22}\sx{2.8}{$n\!=\!-5$}\ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:DoyaPlotT100.png}
\end{center}
\vskip -12pt 
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{Doya}^n(x)$ по формуле \rf{DT} \iL{doyaplo}
\label{doyaite}
}
\vskip 18pt
\end{figure}
%В соответствии с определением \rf{Doya}, Таня является суперфункцией Дойи, а АркТаня - её абельфункцией.
%Соответственно, $n$ная  итерация Дойи выражается так:

According to definition \rf{Doya}, Tania is superfunction of Doya, and ArcTania is its abelfunction.
The $n$th iterate of Doya can be written as follows:
%Для $n$й итерации Дойи, то есть для передаточной функции $T=\mathrm{Doya}^n$, суперфункция $f$ и абельфункция  $g$ могут быть выражены через Таню и Арктаню так:
%Уровни функции $f\!=\!\mathrm{Doya}^t(x)$ в плоскости $x$, $t$ показаны на рисунке \ref{figDoyast}. Уровень $f\!=\!1$ соответствует кривой на рисунке 2.1, повернутой на угол $-90$ градусов; это соответствует функции ArcTania от аргумента, взятого с обратным знаком.
%, поскольку \be
%\mathrm{Doya}_t^{-1}=\mathrm{Doya}^{-t} \eL{Doya} \vskip 2mm
% Для передаточной функции $T\!=\!\mathrm{Doya}_t$, суперфункция и абельфункция выражаются так: 
%\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%f(z)=\mathrm{Tania}(nz) ~ ~ ~, ~ ~ ~
%g(z)=\mathrm{ArcTania}(z)/n
%\eL{Doyat}
%Соответствено, 
\be
\mathrm{Doya}^n(z)=\mathrm{Tania}\Big(n+\mathrm{ArcTania}(z)\Big)
\eL{DT}
%Эти итерации показаны на рисунке 
These iterates are shown in figure
%Это представление использовано для построения рисунка
\ref{doyaplo}.
%; графики показывают $y\!=\!\mathrm{Doya}^n(x)$ для различных значений $n$. 
The graphics represent $y\!=\!\mathrm{Doya}^n(x)$ versus $x$ for various values of the number $n$ of iterate. 
%Кривые, соответствующие целым значениям $n$, выделены толстыми линиями.
\vskip 2mm
%Для значений $z$ вблизи вещественной оси, итерации такой передаточной функции могут быть выражены также через функцию LambertW,
%\be \mathrm{Doya}^n(z)=\mathrm{LambertW}(z \rme ^z\!+\!n) \eL{aga}
%Свойства функции Таня проще, чем свойства функции LambertW, и поведение Тани в комплексной плоскости проще, чем поведение функции WrightOmega. Поэтому здесь в качестве ``основной'' функции выбрана Таня.%, а не LambertW.
%, и использовать Таню для вычисления  LambertW. В частности, при построении графиков используются аппроксимации непосредственно Тани, а не её представления через LambertW.
%как это представлено в Таблице 1.
%\vskip 2mm

%Функции Дойя и Таня имеют ясный физический смысл. Они соответствуют простой модели однородного лазерного усилителя, работающего в непрерывном режиме.  
%Функция Дойя есть передаточная функция такого усилителя; она выражает зависимость 
%обезразмеренной 
%интенсивности сигнала на выходе от интенсивности сигнала на входе;
%интенсивность накачки выбрана так, что в линейном режиме (для слабого сигнала) сигнал усиливается ровно в 
As it is mentioned above, function Tania has simple physical sense; it describes evolution of a signal in a simple model of a uniform saturable amplifier (or absorber) at the appropriate choice of units of length and units of intensity. Similar sense can be given to function Doya, it appears as dependence to the output intensity of this amplifier on its input intensity \cite{thailand,2013or}.
%$\mathrm e$ раз.
%(Здесь интенсивность измеряется в единицах насыщения.)
%Функция Таня выражает зависимость сигнала от координаты вдоль направления распространения усиливаемого сигнала. 
\vskip 2mm

Functions Doya, Tania and ArcTania give an example, when the transfer function, the superfunction and the abelfunction can be expressed in terms of special functions, already described in the literature of 20th century. In the following section, one more example of this kind is considered.

\JP{
\begin{wrapfigure}{r}{300px}
\sx{.5}{\begin{picture}(400,240)
\put(10,-10){\ing{hillary}}
\end{picture}}
\caption{В лазерной науке слово ``сигнал'' имеет значение, отличное от бытового.
%Хиллари включает сигнал, по которому $10^6$ агентов США %в России 
%начинают протесты %против мошенничества на выборах 
\iL{signal}}
\end{wrapfigure}

%Как указано во Введении, на лазерном жаргоне сигналом называется усиливаемое излучение, даже в тех случаях, когда это излучение непрерывно и никакой информации не передает. Это значение слова ``сигнал'' существенно отличается от значения, в котором этот термин используется агитаторами и пропагандистами (см. рис \ref{signal}). Надеюсь, такая неоднозначность термина ``сигнал'' не вызовет конфузии при описании применимости суперфункций к лазерной науке.
\vskip 2mm
}%JP
%Функции, аналогичные функциям Дойя и Таня, могут быть построены также и для импульсного режима усиления сигнала. Такие функции рассмотрены в следующей секции.

%\section{Келлер, Шока и АркШока}
\section{Keller, Shoka and ArcShoka}
\baselineskip 18.8pt

\begin{figure}[t]
\begin{center}
 %\sx{1.2}{ \begin{picture}(174,165)
 \sx{2.4}{ \begin{picture}(174,172)
 \put(6,5){\ing{KellerMap}}
 \put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
 \put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
 \put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
 \put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
 \put(18,147){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
 \put(18,84){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(18,20.8){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
 \put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
 \put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
 \put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
 \put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
 \put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
 \put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
 \put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
 \put( 79.5, 109){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
 \put( 97.0, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
 \put(108.8, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
 \put(119.4, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!4$}\ero}
 \put(129.6, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!5$}\ero}
 \put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
 \put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
 \put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
 \put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
 \put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
 \put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
 \put(132,  94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
 \put(132,  84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
 \put(132,  73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
 \put(132,  63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
 \put(132,  53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
 \put(132,  43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
 \put(132,  33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
 \put(132,  23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
 \put(132,  13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
 \end{picture}}
 \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png}
 \end{center}
 \vskip -18pt
 \caption{\large
 $u\!+\!v=\mathrm{Keller}(x\!+\!\mathrm i y)~$ by \rf{KellerDef}. 
  %Генератор:
 %\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcKellerMapT.png} и
 \iL{KellerMap} }
 \vskip 12pt
 \end{figure}

Wave packet of light (or any other quasi–classical bosons) in a uniform amplifier can be characterised with its energy or its fluence; this quantity can be denoted as ``signal''.
%Волновой пакет света 
%(или других каких-нибудь квазиклассических бозонов)
%в однородном усилителе характризуется его энергией или флюенцией, если его можно считать однородным по поперечному сечению. 
%Грубо говоре, флюенция - это энергия на площадь. При этом передаточной функцией 
%однородного усилителя является зависимость флюенции на выходе от флюенции на входе.
Roughly, fluence is energy of pulse per area of its transversal cross-section.
In analogy with the continuous-wave amplifier, the signal at the output of the amplifier can be considered as function of the input; and this dependence can be interpreted as the transfer function of the amplifier.
For the simple model of the active medium, this function can be expressed as elementary function.
Complex map of this function is down in figure \ref{KellerMap}; I call it ``Keller function'' and define it as follows:

%В простой модели, эта зависимость выражается функцией Келлера, и она рассмотрена в этой секции.
%Функцию Келлера я определяю так:
\be
\mathrm{Keller}(z)=z+ \ln\!\Big(\mathrm e - \mathrm e^{-z}(\mathrm e-1) \Big)
\eL{KellerDef}
%Комплексная карта этой функции показана на рисунке 
Complex map of this function is shown in figure
\ref{KellerMap}. \\
%Генератор этого рисунка я загрузил по урлю\\
 %\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png}
\begin{figure}[t]
  \sx{2.4}{ \begin{picture}(164,172)
\put(6,5){\ing{ArcKellerMap}}
\put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(3,116){\sx{.6}{$\pi$}}
\put(18,115.6){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(120,116.7){\sx{.4}{\bf cut}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-2,53){\sx{.6}{$-\pi$}}
\put(18,52.4){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(11,20.4){\sx{.8}{$v\!\approx\! -\!2\pi$}}
\put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 67.2, 75){\rot{90}\sx{.5}{$u\!=\!-0.4$}\ero}
\put( 89.8, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(107., 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(118.6, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(129.2, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
\put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
\put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
\put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
\put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
\put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
\put(132, 94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(132, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(132, 73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
\put(132, 63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
\put(132, 53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
\put(132, 43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
\put(132, 33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
\put(132, 23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
\put(132, 13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 28pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large  $u\!+\!v=\mathrm{ArcKeller}(x\!+\!\mathrm i y)~$ by 
\rf{ArKellerDef}. 
 %Генераторы:
 %\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcKellerMapT.png} и
 \iL{ArcKellerMap} }
\end{figure}
\vskip 2mm

%Обратная функция $\mathrm{ArcKeller}=\mathrm{Keller}^{-1}$ записывается так
The inverse function  $\mathrm{ArcKeller}=\mathrm{Keller}^{-1}$ can be written as follows:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcKeller}(z)=z+\ln\!\left( \frac{1}{\mathrm e}+\frac{\mathrm e \!-\!1}{\mathrm e}\, \mathrm e^{-z} \right)
\eL{ArcKellerDef}
%Комлекснaя картa функциии ArcKeller  показана на рисунке
Complex map of function ArcKeller is shown in Figure 
\ref{ArcKellerMap}.
%Генератор этой карты загружен по урлю \\
% \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcKellerMapT.png}
%а сравнение функции  Keller с функцией  Doya для вещественных положительных значений аргумента показано на рисунке \ref{KellerDoya}.
%Карты функций Keller и ArcKeller выглядят похоже; имеет место соотношение
Maps of functions Keller and ArcKeller look similar; the following relation takes place:
\be
\mathrm{ArcKeller}(z)=\mathrm{Keller}(z-\mathrm i \pi -1)-1+\mathrm i \pi
\label{ArKellerDef}
\ee
\vskip 2mm

%В работах Келлера \cite{keller1,keller2} используется иное представление,
\begin{wrapfigure}{r}{60pt}
\sx{.33}{
\begin{picture}(188,200)
\put(0,0){\ing{Keller62241866.png}}
\end{picture}}
\vskip -11pt
\caption{U. Keller \label{ursula}}
\vskip 14pt
\end{wrapfigure}

In publications \cite{keller1,keller2}  by Ursula Keller (fig.\ref{ursula}), another representation is used,
%, которое можно записать в виде 
\be \!\!\!\!\!
\mathrm{Keller}(z)= \ln\!\Big( 1+ \mathrm e \, (\mathrm e^z -1) \Big) ~ ~
\iL{KellerLit} ~ ~ ~ ~ ~
\ee
%Такое представление  эквиваленто выражению \rf{KellerDef}, пока $|\Im(z)|\!<\!\pi$, и, в частности, для вещественных значений аргумента. 
This representation is equivalent of expression \rf{KellerDef}, while $|\Im(z)|\!<\!\pi$.
In particular, representation \rf{KellerLit} can be used instead of  \rf{KellerDef} for real positive values of $z$.
%\begin{wrapfigure}{l}{0.36\textwidth}
%\begin{wrapfigure}{r}{220px}
%\sx{.7}{ \begin{picture}(300,410)

%График функции Келлера вещественного аргумента показан на рисунке \ref{Keller} в сравнении с графиком функции Doya, рассмотренной в предыдущей секции. Обе функции растут от нуля в нуле тангенсом e; потом рост становится почти линейным, и на бесконечности каждая их этих функций растет с тангенсом единица. При этом Келлер принимает значения на несколько десятых больше, чем Дойя.
%\begin{figure}[b]
\begin{wrapfigure}{r}{220px}
%\begin{center}
\sx{.7}{ \begin{picture}(300,380)
\put(-4,-4){\ing{KellerDoya}}
\put(6,384){\sx{2.6}{$y$}} 
\put(5,290){\sx{2.6}{$3$}} 
\put(5,190){\sx{2.6}{$2$}} 
\put(5, 90){\sx{2.6}{$1$}} 
%\put(5, -10){\sx{3}{$0$}} 
%\put(0,-8){\sx{2.5}{$0$}}
\put(92,4){\sx{2.6}{$1$}}
\put(192,4){\sx{2.6}{$2$}} 
\put(280,4){\sx{2.6}{$x$}} 
\put(150,250){\rot{48}\sx{2.4}{$y\!=\!\mathrm{Keller}(x)$}\ero}
\put(180,210){\rot{47}\sx{2.4}{$y\!=\!\mathrm{Doya}(x)$}\ero}
\put(320,0){\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerDoyaT.png}\ero}
\end{picture}}
%\vskip 4pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerDoyaT.png}
%\end{center}
\vskip -16pt
%\caption{\large Сравнение функций  Keller и Doya, см.\rf{KellerDef} и \rf{Doya}
\caption{\large Comparison of functions  Keller и Doya by \rf{KellerDef} and \rf{Doya}
%Generator: {\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerDoyaT.png}}
%$\!\!\!\!\!\!$ \small \iL{Keller}}
\label{Keller}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}
%\end{figure}
\vskip 2mm

Function Keller of real argument is compared to function Doya in figure \ref{Keller}.
These functions look similar.
\vskip 2mm
%По аналогии с передаточной функцией Doya, % её суперфункцией Tania и Абельфункцией ArcTania, 
%функцию Keller тоже можно интерпретировать как передаточную функцию.
%Эта функция описывают усиление коротких световых импульсов в лазерной среде; при этом, аргумент передаточной функции имеет смысл флюенции (энергии на площадь) светового импульса на входе в усилитель, измеренной в единицах флюенции насыщения. 
%Такой же смысл имеют значения этой функции, эти значения соответствуют флюенции на выходе.
%Комплексная карта функции Келлера и карта её обратной функции показаны на рисунке \ref{KellerMap}. Итерации функции Келлера показаны на рисунке \ref{KellerPlot}; ниже рассказано, как они получаются.
%\vskip 2mm


%Oписание световых импульсов обычно сложнее, чем рассмотрение стационарного режима (имеется дополнительный параметр, время). 
Description of pulses usually is more difficult, than consideration of the stationary regime; for pulses, there is additional parameter, time.
However, for the simple model above, the pulsed regime is simpler, than the steady-state case, because, for the pulses, the transfer function, and the superfunction can be expressed as elementary functions. In such a way, function Shoka is simpler than function Tania, and function Keller is simpler than function Doya.
%Однако для простой модели импульсного усилителя, %случае %определенном смысле, этот случай даже проще предыдущего, так как 
%передаточная функция, её суперфункция и абельфункция выражаются через элементарные функции; итерации функции Келлера тоже оказываются элементарными функциями. В этом смысле передаточная функция Келлера проще, чем передаточная функция Doya.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{l}{0.41\textwidth}
%\begin{wrapfigure}{l}{200px}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\sx{.8}{ \begin{picture}(410,412)
\sx{.9}{ \begin{picture}(410,412)
%\put(1,9){\ing{doyaplo}}
\put(1,9){\ing{kellerplo}}
\put(-12,394){\sx{2.8}{$y$}}
\put(-12,303){\sx{2.8}{$3$}}
\put(-12,203){\sx{2.8}{$2$}}
\put(-12,103){\sx{2.8}{$1$}}
\put(0,-9){\sx{2.5}{$0$}}
\put(100,-9){\sx{2.5}{$1$}}
\put(200,-9){\sx{2.5}{$2$}}
\put(300,-9){\sx{2.5}{$3$}}
\put(392,-7){\sx{2.6}{$x$}}
 %\put(560,214){\rot{37}\sx{4}{$y=\mathrm{Tania}(x)$}\ero}
%\put(18,344){\rot{83}\sx{2.7}{$n\!=\!6$}\ero}
\put(28,344){\rot{76}\sx{2.7}{$n\!=\!5$}\ero}
\put(52,346){\rot{66}\sx{2.8}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(100,348){\rot{55}\sx{2.8}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(172,350){\rot{50}\sx{2.8}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(251,340){\rot{48}\sx{2.8}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(324,318){\rot{45}\sx{3.0}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(332,233){\rot{43}\sx{2.8}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(332,148){\rot{40}\sx{2.8}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(332,82){\rot{33}\sx{2.8}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(320,36){\rot{20}\sx{2.8}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(316,20){\rot{7}\sx{2.8}{$n\!=\!-5$}\ero}
\end{picture} }
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerPlotT.png}
\end{center}
\vskip -14pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{Keller}^n(x)$ .
% Генератор:
%Итерации функции Keller 
%{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerPlotT.png}}
\iL{kellerite}
\label{KellerPlot}}
\vskip 12pt
\end{figure}


%Итерации функции Keller, показанные на рисунке 
Iterates of function Keller are shown in figure
\ref{KellerPlot}.
They look similar to iterates of function Doya shown in figure 
%также схожи с итерациями функции Doya, показанными на рисунке 
\ref{doyaplo}. 
%В соответствии с общей формулой, итерации функции Келлера строятся через её суперфункцию и абельфункцию.
By general formula \ref{Tzx}, the iterates of the Keller function can be expressed through its superfunction 
$F\!=\!\mathrm{Shoka}$
and abelfunction
$G\!=\!\mathrm{ArcShoka}$; these functions can be expressed as follows:
%Для функции Келлера, суперфункцией и абельфункцией являются функции Shoka и ArcShoka, задаваемые формулами
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
 \mathrm{Shoka}(z)=z+\ln\!\Big( \mathrm e^{-z} +\mathrm e -1\Big)
\eL{Shoka}
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcShoka}(z)= z + \ln \!\left(\! \frac{1\!-\!\mathrm e^{-z}}{\mathrm e \!-\!1} \right)\!\!
\eL{ArcShoka}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\sx{2.4}{\begin{picture}(174,170)
%\sx{2.5}{\begin{picture}(174,170)
\put(6,5){\ing{ShokaMap}}
\put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(3,116){\sx{.6}{$\pi$}}
\put(18,161.4){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(11,150){\sx{.8}{$v\!\approx\!2\pi$}}
\put(18,131.2){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(18,115.6){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(120,116.7){\sx{.4}{\bf cut}}
\put(18,100){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(18, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(18,68){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-2,53){\sx{.6}{$-\pi$}}
\put(18,52.4){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(18,36.5){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(11,20.4){\sx{.8}{$v\!\approx\! -\!2\pi$}}
\put(18,7){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 89.8, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(102.4, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(113.4, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(124.0, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
\put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
\put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
\put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
\put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
\put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
\put(132, 94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(132, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(132, 73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
\put(132, 63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
\put(132, 53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
\put(132, 43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
\put(132, 33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
\put(132, 23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
\put(132, 13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
\end{picture}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Shoka}(x\!+\!\mathrm i y)$
% и $f\!=\!\mathrm{ArcShoka}$ по формулам  \rf{Shoka} и \rf{ArcShoka}: $u\!+\!\mathrm i v\!=\!f(x\!+\!\mathrm i y)$. Генераторы: {\small
 \iL{ShokaMap}}
\vskip 12pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{2.4}{ \begin{picture}(174,174)
\put(6,5){\ing{ArcShokaMap}}
\put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
% \put(3,116){\sx{.6}{$\pi$}}
\put(18,147){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(18,84){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(18,20.8){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 86.5, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(102.6, 107){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(114.2, 107){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(124.6, 107){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
\put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
\put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
\put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
\put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
\put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
\put(132, 94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(132, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(132, 73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
\put(132, 63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
\put(132, 53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
\put(132, 43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
\put(132, 33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
\put(132, 23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
\put(132, 13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
\end{picture}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png}
\end{center}
\vskip -16pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{ArcShoka}(x\!+\!\mathrm i y)$. 
%Генераторы: {\small
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png}}  и \small{
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png}}
 \iL{ArcShokaMap}}
\vskip 4pt 
\end{figure}

%Комплексные карты функций Шока и АркШока показаны на рисунках
Complex maps of functions Shoka and ArcShoka are shown in figures \ref{ShokaMap} and \ref{ArcShokaMap}. 
%Я загрузил генераторы этих рисунков по урлям\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png}  и \\
%\small{
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png}
These maps
%are analogous of functions Tania and ArcTania shown in figures \ref{TaniaMa%p} and \ref{ArcTaniaMap}. 
look similar to those for functions Tania and ArcTania shown in figures \ref{TaniaMap} and \ref{ArcTaniaMap}. 
%Эти функции аналогичны функциям Таня и АркТаня, и тоже описывающим усиление света в активной лазерной среде с простой кинетикой, но не для непрерывного режима, а для коротких импульсов.
\vskip 2mm

%Функции Tania и Shoka сравниваются для вещественных значений аргумента на рисунке 
For real values of the argument, functions Tania and Shoka are compared in figure 
\ref{shokataniaplot} mentioned in the preamble of this chapter. 
%Обе эти функции в левой части графика имеют экспоненциальный рост с единичным инкрементом; обе проходят через точку (0,1), и обе растут почти линейно в правой части графика.
Both functions in the left hand side of the graphic have the exponential growth with increment unity;
both pass thorough point (0,1) and both grow almost linearly in the right hand side of the graphics.
\vskip 2mm

%Комплексные карты функций Шока и АркШока на рисункax \ref{ShokaMap} и \ref{ArcShokaMap} похожи.
Complex maps of functions Shoka and ArcShoka in figures \ref{ShokaMap} and \ref{ArcShokaMap} look similar.
%Одна из них получается из другой смещением на константу аргумента и добавлением другой константы к значению. Это можно выразить соотношением
One of them can be obtained from another with constant displacement of the argument and addition of some constant to its value. This can be expressed with relation
\be  \!\!\!\!\!
\mathrm{ArcShoka}(z)=\mathrm{Shoka}\big(z-\mathrm i \pi -\ln(\mathrm e\!-\!1)\big)-\ln(\mathrm e\!-\!1)+\mathrm i \pi
\label{ashsh}\ee
%В окрестности положительной части вещественной оси, карты на рисунке 
In vicinity of the positive part of the real axis, the map of function Shoka in figure
\ref{ShokaMap}
looks similar to the map of function Tania at Figure 
%похожи на карты рисунка 
\ref{figTaniaMap}. %для функции Tania,
However, I cannot suggest any simple expression of function Tania through function Arctania.
%(nor through function Shoka).
%хотя простым преобразованием получить Таню из Арктани или из Шоки 
%не удается. Mне не известно аналога формулы \ref{ashsh} для Тани и АркТани.
I know no analogy of formula \rf{ashsh} for functions Tania and ArcTania.
\vskip 2mm

There are also qualitative differences between Tania and Shoka.
Tania had only two branch points, and accordingly, two cut lines.
Shoka has countable set of branch points and cuts.
%Есть и качественные различия: функция Таня имеет всего две линии разреза (и две точки ветвления), а функция Шока 
%имеет их счетное множество. Обратные функции, АркТаня и АркШока, имеют сходные структуры разрезов.
%Their inverse functions, id est, ArcTania and ArcShoka, contrary, have similar cuts, see figures
\vskip 2mm

%Все четыре функции (Таня, АркТаня, Шока и АркШока) похожи на линейную функцию при больших значениях вещественной части аргумента; в правой части кoмплексных карт, структура линий уровня вещественной и мнимой части становится похожа на обычную прямоугольную сетку из прямых линий.
%Это же можно сказать о функциях Дойя и Келлер.
All the six functions Tania, ArcTania, Doya, Shoka, ArcShoka and Keller look similar to the linear function at the large values of the real part of the argument. The right hand side of the complex maps in figures 
\ref{TaniaMap}, 
\ref{ArcTaniaMap}, 
\ref{DoyaMap},
\ref{ShokaMap}
\ref{ArcShokaMap},
\ref{KellerMap},
the structure of levels of constant real part and levels of constant imaginary part form 
%almost rectangular 
grid of lines, almost parallel to the real or imaginary axes.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{120px}
%\begin{wrapfigure}{r}{0.19\textwidth}
\sx{5}{\begin{picture}(16,28)
\put(1,-1){\ing{doya500}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{ 
Eureka! 
%Эврика!$\!\!\!\!\!\!\!\!$
%Открытие суперфункций
%Символ эвристичности с рис. \ref{figDoyaMap}) 
%\iL{eureka}}
\label{eureka0}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}
%Сходства и различия в поведении четырех функций (Дойя, Келлер, Шока и Таня) проявляется ярче всего в комплексной плоскости. В качестве ещё одной особенности, типичной для функции Дойя, на рисунке \ref{eureka0} показан зумин из левой части рисунка 
%\ref{DoyaMap}. 
In order to catch (or to remember) the properties of function Doya, the 
%central
left hand side part of figure \ref{DoyaMap} is repeated in figure
\ref{eureka0}. 
%Изображена комплексная карта функции Doya,  $u\!+\!\mathrm i v \!=\!\mathrm{Doya}(x\!+\!\mathrm i y)$. Карта повернута на 90 градусов против часовой стрелки. Толстыми линиями показаны уровни 
The map is shown with $u\!+\!\mathrm i v \!=\!\mathrm{Doya}(x\!+\!\mathrm i y)$,
but the picture is rotated for $90^{\rm o}$ in the positive direction (counter-clock wise).
The thick lines show levels
$u\!=\!-0.4$,  
$v\!=\!\pm 1.2$~, 
$v\!=\!\pm 1.4$~
The map looks as a draw of a Researcher, who has found something extraordinary in a big Book.
Perhaps, that Book is about superfunctions.
%При этом карта похожа на человека, который увидел в раскрытой книге нечто удивительное.
Generator of this image is loaded as
%Генератор этого рисунка загружен по урлю\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya500.png}~. 
The Reader is invited to check that values of the 3 parameters, indicated above, provide the structure, shown in figure
%Читатели приглашаются проверить, что три параметра, указанные с двумя значащими цифрами, воспроизводят структуру, показанную на рисунке 
\ref{eureka0}. The range of the almost linear transfer appears above the ``head'' of the contour of the  ``human'' in the figure.
%В остальных функциях этой главы, да, пожалуй, и этой книги, таких свойств не видно.
\vskip 2mm

%Теперь я 
%немного 
%поспекулирую отностиельно применения функций, определенных в этой главе, для лазерной науки. 
%Схожесть передаточных функций Дойя и Келлер, и, соответственно, схожесть их суперфункций Таня и Шока, указывают, что для анализа нелинейных сред по их передаточным функциям, эти функции должны измеряться с несколькими значащими цифрами. Это представляется возможным, так как для измерения передаточных функций не требуется регистрации малых изменений интенсивности или флюенции. В эпоху, когда частота измеряетеся с 18ю значащими цифрами, можно померить передаточную функцию хотя бы с шестью знаками. В принципе, для этого достаточно зарегистрировать порядка $10^{12}$  фотонов на каждое значение; то есть, использовав всего $10^{15}$ фотонов, можно затабулировать передаточную функцию на тысяче значений. Тогда данные о передаточных функцииях и, соответственно, их суперфункции (то есть распределение интенсивности или флюенции, в зависимости от случая, вдоль усилителя) можно использовать для выбора модели активной среды. 
%Semihance
Similarity of the transfer functions Doya and Keller and, accordingly, similarity of their superfunctions Tania and Shoka indicate, that for analysis of the nonlinear media, these functions should be measured with several significant figures; over-vice, the measurement will not allow to make choice between divergent models.  At the convenient measurement 
of the nonlinear response of the medium, variation of the intensity in a sample should be small:
over-vice, it is difficult to guess, namely which intensity does the gain or absorption correspond to. At small variation of the intensity, the precision of its measurement is poor. This difficulty can be avoided with superfunctions. The transfer function of the optically-thick sample should be measured, and then, the superfunction, id est, the evolution of intensity inside the sample can be reconstructed.
In such a way, the number of parameters of the model, can be reduced:
%for unity: 
one of parameters, namely, the length of the amplifier, can be excluded from the model.

%Схожесть передаточных функций Дойя и Келлер, и, соответственно, схожесть их суперфункций Таня и Шока, указывают, что для анализа нелинейных сред по их передаточным функциям, эти функции должны измеряться с несколькими значащими цифрами. Это представляется возможным, так как для измерения передаточных функций не требуется регистрации малых изменений интенсивности или флюенции. В эпоху, когда частота измеряется с 18ю значащими цифрами, можно померить передаточную функцию хотя бы с шестью знаками. В принципе, для этого достаточно зарегистрировать порядка $10^{12}$  фотонов на каждое значение; то есть, использовав всего $10^{15}$ фотонов, можно затабулировать передаточную функцию на тысяче значений. Тогда данные о передаточных функциях и, соответственно, их суперфункции (то есть распределение интенсивности или флюенции, в зависимости от случая, вдоль усилителя) можно использовать для выбора модели активной среды. 

%При этом количество параметров модели уменьшается на единицу, один из параметров, а именно - длинна усилителя, может бытъ исключен из модели.
\vskip 2mm
My particular
%, and, may be, a little bit personal 
interest in superfunctions is related to the ability of the precise measurement of the gain (or absorption) 
in the nonlinear medium versus intensity. 
The application may refer to investigation of limits of validity of the commonly-used model of the Yb-doped crystals, glasses and ceramics. The new effects are expected to appear at the edge of the limit of applicability.
One of such effects is described in the article about switching of emissivity of Yb-doped samples, or the ``Bisson effect'' \cite{BissonEffect},
but namely in that case, the main mechanism of the phenomenon seems to have thermal origin: the sample warms, and this warming enhances the absorption (and heating), leading to the avalanche behaviour, that is difficult to interpret in terms of the transfer function of a single variable, considered in this Book \footnote{The name ``Bisson effect'' or `bison effect'' refers to the analogy of the avalanche of the tribe of running bison, who awake, mock and force to run the new and new animals. However, the analogy is limited, because the electrons, that were expected to be popped up into the conduction band, are neither bison, nor even bosons, but fermions.} .
%Как видно из рисунка \ref{Keller}, качественные измерения не позволяют отличить даже случай усиления непрерывного излучения от случая усиления коротких  импульсов. Количественные измерения отклика среды позволили бы увидеть границы области применимости общепринятых моделей; формализм суперфункций предлагается как способ обработки результатов таких измерений.

\JP{
\section{О единственности решения}
\baselineskip 20pt

%Пусть задано некоторое значение параметра $t$.
Предыдущая секция подразумевает, что суперфункция для данной передаточной функции успешно восстанавливается.
В связи с этим, имеет смысл вспомнить указание Введения о том, что для данной передаточной функции, суперфункция не единственна. 
\vskip 2mm

Во Второй главе, в таблице \ref{TableOfSuperfunctions} предложены примеры передаточных функций и их суперфункции. Среди них есть два примера реалистичных функций, которые могут быть реализованы в лазерной науке,  в эксперименте, на оптической скамье. Это функции 
$T\!=\!\mathrm{Doya}$ и $T\!=\!\mathrm{Keller}$, рассмотренные в этой главе. Для этих функций  суперфункциями являются функции
$F=\mathrm{Tania}$ и, соответственно, $T\!=\!\mathrm{Shoka}$. Эти же функции можно получить как решения дифференциальных уравнений для несложных физических моделей нелинейной среды. Поэтому физичность таких решений не вызывает сомнений. Однако, легкость и красота, с которой получаются суперфункции и абельфункции для передаточых функций $T\!=\!\mathrm{Doya}$ и $T\!=\!\mathrm{Keller}$, не должны вызывать иллюзий относительно единственности решения %трансферного
передаточного уравнения \rf{transfereq}; ввиду важности этого уравнения, оно повторено здесь:
\be
F(z\!+\!1)=T\!\Big(F(z)\Big)
\nonumber
\ee
Чтобы уменьшить многообразие решений, можно потребовать, что вдоль вещественной оси суперфункция монотонна, что она асимптотически стремится к стационарной точке передаточной функции (в случае $T\!=\!\mathrm{Doya}$ и $T\!=\!\mathrm{Keller}$, стационарной точкой является ноль), и что значение суперфункции в некоторой точке зафиксировано (для Тани и Шоки ``руками'' задано, что  $F(0)\!=\!1$). Однако таких условий для единственности решения недостаточно.
\vskip 2mm

%\section{Модифицированная суперфункция}
Как уже указано во Введении, для данной передаточной функции, суперфункция не единственна.
Здесь предложен критерий, как среди различных суперфункций распознать ``настоящую'', то есть ту,
которая, как ожидается, соответствует %реальной 
физической ситуации.
% и допускает интерпретацию в терминах наблюдаемых физических величин.
\vskip 2mm
}%JP

\JP{
Пусть $\theta$ - вещественно-голоморфная периодичная функция с периодом единица, и пусть $\theta(0)\!=\!0$.
Пусть
\be
\mathcal F(z)=F\!\Big(z+\theta(z)\Big)
\eL{calF}
В частности, можно положить 
\be
\theta(z)=\mu \sin(2 \pi z)
\eL{zetamu}
где $\mu$ - вещественный малый параметр.
Полученная функция  $\mathcal F$ удовлетворяет тому же 
%трансферному
передаточному уравнению \rf{transfereq}, что и  $F$, и принимает то же значение в нуле. При монотонной суперфункции  $F$, для умеренных значений $\mu$ , полученная суперфункция  $\mathcal F$
тоже монотонна, и, работая со значениями функций при вещественных значениях аргумента, трудно понять, какую из функций $F$, $\mathcal F$ считать ``настоящей'', и которая из них получена периодичной модификацией аргумента.
%(Даже если вдоль вещественной оси прередаточная функция  $T$ измерена с хорошей точностью.)
\vskip 2mm

Выбор ``настоящей'' функции %сильно 
упрощается, если рассмотреть комплексные значения аргумента.
По этой причине в этой Книге
%главе, как, впрочем, и в последующих, 
рассматриваются комплексные значения аргумента и строятся комплексные карты 
%трансферных 
передаточных функций, а также их обратных функций, суперфункций и абельфункций.
\vskip 2mm

Если $\theta$ в комплексной плоскости имеет сингулярности, то можно ожидать, что в тех же точках модифицированная функция $\mathcal F$ тоже сингулярна. Если  $\theta$ - целая функция, то есть не имеет сингулярностей, то можно ожидать, что в полосе, например, $0\!\le\! \Re(z)\! <\!1$, выражение $z\!+\!\theta(z)$ принимает почти все значения, в том числе и такие, при которых либо 
$T$, либо её обратная функция $T^{-1}$ сингулярны 
\footnote{Это типичный случай, когда по крайней мере одна из функций $T$ и $T^{-1}$ имеет особенности. Исключением является лишь линейная функция}.
Тогда в полосе
 $-1\!\le\! \Re(z) \!<\!2$ функция $\mathcal F(z)$ имеет особенности.
\vskip 2mm

Критерий ``истинности'', физичности суперфункции может быть построен на основе её поведения 
в комплексной плоскости: ``настоящая'' суперфункция та, которая имеет меньше сингулярностей (либо не имеет их вовсе).
%\vskip 2mm
%Любая 
Голоморфная периодичная добавка к аргументу суперфункции изменяет её асимптотические свойства в направлении мнимой оси. 
Поэтому
%Таким образом, можно ожидать, что 
спецификация регулярного поведения суперфункции в комплексной плоскости существенно уменьшает многообразие решений или даже
%, может быть, 
обеспечивает единственность решения.
}%JP

\section{Overview}

The six functions, (Tania, Shoka, ArcTania, ArcShoka, Doya and Keller) are defined in this chapter.
These functions show the realistic examples, the physically-meaningful transfer functions and the corresponding meaningful superfunctions are expressed in terms of elementary functions. These example will be used in this book later, to illustrate more general methods of construction and evaluation of superfunctions.
\vskip 2mm

My main claim is that I can construct the superfunction, abelfunction and, therefore, the non-integer iterates of any growing real-holomorphic function
\footnote{With the same methods, the non-real, but still holomorphic functions also can be treated; such an example is considered in chapter 18.}.
Even more, everybody, after to read this Book, also can do the same. 
\vskip 2mm

In the following chapters, I consider methods, that can be used for various transfer functions, even if the superfunction cannot be expressed through the special functions known since century 20. One of these cases is considered in the next chapter.

%Я считаю, что по моим формулам
%можно построить физичную суперфункцию от какой попало физичной и аналитичной передаточной функции.
%По замыслу, эти алгоритмы должны работать даже в тех случаях, когда для суперфункции и абельфункции нет простых выражений через ранее описанные специальные функции. Эти алгоритмы описаны в последующих главах. Таким образом в этой главе я заканчиваю описание того, что такое суперфункция и опасения, почему мои претензии могут показаться чрезмерными. В следующих главах я пытаюсь обосновать эти претензии, и оставляю читателям судить о том, насколько эта попытка успешна. Наиболее простым с точки зрения вычислений и интерпретации является случай вещественно-аналитической передаточной функции $T$, которая имеет стационарную точку
%$L$, то есть $T(L)\!=\!L$, если при этом $T'(L)\! >\! 0$  и $T'(L)\!\ne\! 1$ . При этом нетрудно построить суперфункцию, которая асимптотически приближается к $L$; соответствующая итерация передаточной функции оказывается регулярной (то есть голоморфной) в окрестности точки $L$. 
%Этот случай рассмотрен в следующей главе.


%\chapter{~ Регулярная итерация \label{Regular iteration}}
\chapter{~ Regular iteration \label{Regular iteration}}
\baselineskip 18.4pt

%Регулярная итерация есть способ построения нецелых итераций передаточной функции, которые регулярны в окрестности её стационарной точки. Обычно имеется в виду, что стационарная точка вещественна. 
Regular iteration is way to construct iterates of the transfer function, that are regular in vicinity of its fixed point.
%As usually, t
The transfer function is supposed to be holomorphic. 
In the most of examples, considered in this Book, the transfer function is assumed to be also real-holomorphic. In addition, in this chapter, I assume, that the fixed point is real.
\footnote{The same regular iteration can be applied also for the case of non-real fixed point, but 
%in this case, 
the resulting iterates of the transfer function are not real-holomorphic. The real-holomorphic functions often are easier to interpret (and to apply in Physics), than the more general complex case. 
This Book is planned as applied, so, the most of examples here refer to the real-holomorphic functions.}
%В принципе, регулярная итерация может использоваться и для случаев, когда стационарная точка передаточной функции не вещественна. При этом суперфункция может строиться по тем же формулам,  но получаемая суперфункция тоже не вещественна и её применение в физике проблематично. Поэтому в этой главе я в первую очередь имею в виду случай вещественно-голоморфной передаточной функции, её вещественной стационарной точки и её вещественно-голоморфной суперфункции. 
\vskip 2mm

This Book deals with solutions $F$ of the transfer equation
%Речь идет о решениях $F$ передаточного уравнения 
\rf{transfereq}; I repeat it here
%, я его повторю:
\be
F(z\!+\!1)=T\big(F(z)\big)
\nonumber \ee
%Я стараюсь для примеров использовать несложные передаточные функции, то есть элементарные или почти элементарные (факториал).
Assume, that the transfer function $T$ is real-holomorphic, and its fixed point $L$  is real, id est,
\be
T(L)=L~~, ~ ~ ~ 
L=L^*
\ee
%Я считаю, что передаточная функция $T$ реально-голоморфна и стационарная точка $L$ вещественна; $T(L)\!=\!L$. 
%Для определенности предположим, что $T'(L)\!>\!0$.
In addition, I assume, that  $T'(L)\!>\!0$, this case is easier to interpret
\footnote{%Предположение $T'(L)\!>\!0$  естественно. Случай $T'(L)\!<\!0$ трудно интерпретировать в терминах вещественных значений нецелой итерации, так как ${T^n}^\prime(L)$ должна стремиться  к единце при $n\!\rightarrow\!0$. Читатели могут рассмотреть также случай, когда $T'(L)\!=\!0$.
Assumption $T'(L)\!>\!0$ is natural. Case $T'(L)\!<\!0$ 
is difficult to interpret in terms of real valued non-integer iterates, because, 
%трудно интерпретировать в терминах вещественных значений нецелой итерации, так как 
${T^n}^\prime(L)$ should approach unity at $n\!\rightarrow\!0$, but, for realistic cases, should avoid zero.
Practically, this means that the non-integer iterates are complex, not real, as in the case $T'(L)\!>\!0$
%должна стремиться  к единце при $n\!\rightarrow\!0$. Читатели могут рассмотреть также случай, когда $T'(L)\!=\!0$.
 } .
%Ниже, рассмотрена общая формула, а потом предлагаются несколько её реализаций для специфических передаточных функций. 

For this case, In this chapter, the specific iterates of the transfer function are constructed, that can be expanded into  convergent Taylor series at least in vicinity of the fixed point $L$. In this sense, they are regular. On the other hand, the iterates are constructed with definite iteration procedure, described below, in a regular straightforward way. Hence, there are at least two independent reasons to use name ``regular iteration'' for the procedure below. 
%\section{Общая формула}
\section{General formula}
\baselineskip 18pt

%Для передаточного уравнения  \rf{transfereq}, решение $F$, экспоненциально стремящееся к  $L$, можно аппроксимировать так:
%в таком виде:
Assume that $L$ is fixed point of the transfer function $T$, id est, $T(L)=L$. For the transfer equation  \rf{transfereq}, I search for the asymptotic solution
$F$ in the following form: 
\be
\tilde{F}(z)=L+\varepsilon+a_2 \varepsilon^2+ a_2 \varepsilon^3 + ..
\eL{Lea2general}
where
\be
\varepsilon=\exp(kz)
\eL{Lea2}
%Здесь $k$ есть константа, имеющая смысл инкремента, и $a$ суть тоже константы, не зависящие от $z$. Имея в виду приложения к физике (и, в частности, к лазерной науке), здесь рассматривается случай, когда передаточная функция $T$
%и её суперфункция $F$
%вещественно-голоморфны, то есть 
Here, $k$ is constant, that bas sense of the increment, and $a$ refer to some set of real constants, that do not depend on $z$.
As it is indicated in the Preamble of this chapter, I keep in mind the case when 
$T(z^*)=T(z)^*$  и 
$F(z^*)=F(z)^*$; however, in principle, the expansion \rf{Lea2} can be used for more complicated case too (and in this case the coefficients $a$ should be complex).
\vskip 2mm

%В принципе, рассмотрение можно обобщить, добавляя в правую часть уравнения \rf{Lea2general} слагаемые, не полиномиальные по 
The consideration could be generalised, adding new terms in to the right hand side equation  \rf{Lea2general}, for example, terms, that are not polynomial with respect to  $\varepsilon$.
%Следуя декларациям Введения, здесь я рассматриваю простой (хотя и нетривиальный) случай.
%Following the declarations of the Introduction about popularity
Following my wishes about the popularity
\footnote{Here, the term ``popularity'' may have each of the two its meanings},
below I consider the simplest (but still non-trivial) case.
\vskip 2mm

%При подстановке $F \rightarrow \tilde F$ в передаточное уравнение \rf{transfereq}
Substituting $F \rightarrow \tilde F$ into the transfer equation  \rf{transfereq}, which is 
\be
F(z+1)=T(F(z))
\nonumber
\ee
%в левой части уравнения оказывается выражение
in the left hand side I get the following
\be
\tilde F(z\!+\!1)=L+\mathrm e^k \varepsilon+ a_2 \mathrm e^{2k} \varepsilon^2 + a_3 \mathrm e^{3k} \varepsilon^3 + ..
\eL{iteraz1}
%а в правой - 
and the right hand side gives
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(\tilde F(z))&=&L  + T' \cdot \varepsilon+ T' \cdot a_2 \varepsilon^2 + T' \cdot a_3 \mathrm \varepsilon^3 + .. \nonumber \\
&&+ \frac{T''}{2} (\varepsilon\!+\! a_2 \varepsilon^2 \!+\! ..)^2 + \frac{T'''}{6} (\varepsilon\!+\! ..)^3 + ..
\eL{i2}
where $T' =T'(L)$, $T'' =T''(L)$, $T''' =T'''(L)$, .. are derivatives of the transfer function $T$ at the fixed point $L$.
\vskip 2mm

%Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon$ в выражениях \rf{iteraz1} и \rf{i2} дает уравнение для параметра $k$ и коэффициентов $a$:
%
%Equalising coefficients at the equal powers of $\varepsilon$ in expresions \rf{iteraz1} and \rf{i2} give the equation for parameter
coefficients at the same power of $\varepsilon$ in expression \rf{iteraz1} and in expression \rf{i2} should be equal.
This gives the equations for increment $k$  and coefficients $a$:
\be
\mathrm e^k &=& T' \\
\mathrm e^{2k} a_2 &=& T' a_2 + T''/2 \\
\mathrm e^{3k} a_3 &=& T' a_3 + T''a_2 + T'''/6 \\
.. \nonumber
\ee
%Цепочка таких уравнений легко решается и определает 
The chain of these equations 
%allows the simple solution and 
determines
\be
k&=& \ln(T')  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\iL{k38}\\
a_2&=& \frac{T''/2}{(T'-1)T'} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{a2.39}\\
a_3&=& \frac{T''a_2+T'''/6}{((T')^2-1)T'} ~ ~ ~ ~ \iL{a2.40}\\
.. \nonumber
\ee
%Для несложных передаточных функций, встроенные операции асимптотического анализа в таких пакетах как Математика и Клен позволяют в реальном времени вычислять десятки коэффициентов $a$.
Typically, for a simple special function $T$, the Mathematica, the Maple or any similar software allow to evaluate tens of coefficients $a$ in real time.\footnote{My experience indicates, that, for applications, the evaluation of all quantities in real time is so important, as the real holomorphism of the functions. In such a way, I try to be realistic, dealing with real quantities in the real time. However, even for the real-holomorphic superfunctions, their behaviour at complex values of argument is important and should be considered; but even in this case I try to keep algorithms short and fast, to make evaluations in the real time.}
%Оборванный ряд в представлении \rf{Lea2general} дает хорошую аппроксимацию для $F$ при $\varepsilon\ll 1$. Для положительных значений $k$, это соответствует большим отрицательным значениям $\Re(z)$. Для иных значений, для аппроксимации суперфункции 
%может используется итерация
The truncated series in representation \rf{Lea2general} 
provides good approcimation for $F$ at $\varepsilon\ll 1$.
For positive values $k$, this corresponds to the large negative values of $\Re(z)$. 
For other values, the approximation can be improved with 
\be
F(z)\approx T^n \Big( \tilde F (z-n) \Big)
\eL{regi}
%С подачи Генрика Траппманна, 
for the large enough positive values of $n$ at positive $k$, and
%при достаточно больших положительных значениях $n$ для положительного $k$ и
for the large enough negative values of $n$ at negative $k$.
%при достаточно больших отрицательных значениях $n$ для отрицательного $k$.
Case
%(Случай 
$k\!=\!0$ 
is qualified as exotic and is considered below in the special chapter about exotic iterates.
%квалифицируется как экзотический и рассматривается ниже в специальной главе про экзотические итерации.)
\vskip 2mm

In may cases, representation 
\rf{regi}
%\rf{régi}
%Tакое представление 
%во многих случаях позволяет оценивать суперфункцию с требуемой точностью. В частности, так оценивается суперэкспонента по основанию 
allows to evaluate the superfunction with the required precision.
In particular, this allows to evaluate the super exponentials to base 
$b<\exp(1/\mathrm e)$
\cite{sqrt2},
% суперфакториал \cite{facr} и голоморфные расширения логистической последовательности \cite{logistic}
superfactorial \cite{factorial}, 
and holomorphic extension of the logistic sequence \cite{logistic},
%и подпоследовательности Колота
and even the holomorphic extension of the Collatz subsequence \cite{collatz}.
Some of these examples are considered in the following chapters.
\vskip 2mm

I call this case ``regular iteration'', as the iteration by 
%Этот случай называется регулярной итерацией, так как итерация по формуле 
\rf{Tzx}, 
%то есть
id est,
$T^n(z)=F\big(n\!+\!F^{-1}(z)\big)$ 
is holomorphic (``regular'') function in vicinity of the stationary point 
%оказывается голоморфной (``регулярной'') функцией в окрестности стационарной точки 
$z\!=\!L$.
%В случае вещественных значений $L$, можно ожидать, что именно регулярная итерация соответствует физически-осмысленному решению $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq}. 
For real fixed point  $L$, 
I expect, namely regular iteration corresponds to the physically-meaningful solution $F$ of the transfer equation
%можно ожидать, что именно регулярная итерация соответствует физически-осмысленному решению $F$ передаточного уравнения
\rf{transfereq}. 
%Такое ожидание можно считать конжекцией. 
%Следуя аксиомам ТОРИ, я пытаюсь подтвердить или опровергнуть эту конжекцию. Подтверждения получились, а насчет опровержения - после нескольких лет поисков, мне не удалось найти ни одного случая, когда физически-осмысленное решение передаточного уравнения
This statement can be qualified as 
%conjection.
conjecture.
Following the TORI axioms, I tried to negate, refute this conjecture, but I got confirmations instead.
These confirmations, examples form the significant part of this Book.
%\vskip 2mm

\JP{
Neither colleagues, nor I could construct any case, when the meaningful regular iteration 
of the transfer function
%\rf{transfereq}
for the case 
%для %случая 
$T(L)\!=\!L$, $T'(L)\!>\!0$, $L\!=\!L^*$
cannot be expressed through the regular iteration procedure above.
In this sense, I consider as scientific fact, that namely the regular iteration provides the physically-meaningful solution for this case.
%не выражалось бы через регулярную итерацию. В этом смысле можно считать научным фактом, что именно регулярная итерация дает физически-осмысленное решение.
}
\section{Exact solution}
\baselineskip 18pt

The approximate equality in expression \rf{regi}
should not make an impression, that the regular iteration gives only approximation of the superfunction.\footnote{
One of my coauthors, until now, believes, that even $\pi$ is approximate number. This can be considered as a kind of a mental illness, as well as some kind of religion.. However, if for any given $\alpha>0$, the error of evaluation of some quantity can be done smaller, than $\alpha$,
then the quantity is considered as exact. Then, we may consider the CPU time and number of flops required to get some given precision of the approximate evaluation of superfunction $F$ in \rf{regi}. }
For the case of $\Re(k)\!>\!0$ (or, in particular, for $k\!>\!0$), the exact superfunction can be expressed with limit
\be
F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \tilde T^n\big(F_m(z-n)\big)
\eL{regitexa}
where 
\be
F_m=L+\varepsilon + \sum_{\ell=2}^{m} a_n \varepsilon^n
\ee
and $k$, $\varepsilon$ and coefficients $a$ are defined in the previous section; while  $m\!\ge\!2$ is some integer number.
Due to the asymptotic properties of the solution $\tilde F$, the limit in expression \rf{regitexa} does not depend on $m$.
However, the convergence is faster for larger $m$.
Similar limit can be written for the case $\Re(k)\!<\!0$.
\vskip 2mm

The series \rf{Lea2} can be inverted, giving the asymptotic approximation $\tilde G$ of the abelfunction $G\!=\!F^{-1}$.
Then, the exact abelfunction can be expressed with
\be
G(z)= \lim_{n\rightarrow \infty} \ln \left(\frac{1}{k} \tilde G_m(T^{-n}(z)) \right)+ n
\ee
where $\tilde G_m$ is some truncation of the asymptotic expansion for the abelfunction.
The iterate of the transfer function, $T^n(z)=F(n+G(z))$ happen to be regular in vicinity of $z\!=\!L$.
In the following chapters, this statement is verified for many specific realisations of the transfer function $T$.
%\section{Метод проб и ошибок против дедукции}
%\section{Trial and error}
\JP{
\section{Induction, deduction and scientific facts}
\baselineskip 20.2pt

Этот раздел пишется для тех математиков, которые считают дедукцию царицей доказательств, а все проверки с частными случаями считают упражнениями ниже своего достоинства. Ниже предлагается философское (и несколько лирическое) отступление от генеральной линии изложения. Речь идет об интерпретации термина ``научный факт'', использованного в предыдущей секции.
\vskip 2mm

Мне приходилось иметь дело с математиками, которые в качестве подтверждения концепции признают только её строгий математический вывод. Я был склонен принять такую точку зрения, но меня отвратило одно неумолимое эмпирическое наблюдение:
Результаты, полученные в результате ``чистой'', строгой дедукции, чаще оказываются ошибочными, чем ``догадки'' (конжекции), сделанные на основе анализа частных случаев и подтвержденные попытками опровергнуть результат.
\vskip 2mm

Об одном случае, иллюстрирующем упомянутую выше закономерность, рассказал Юрий Широков. 
Он работал с одной Аспиранткой, и предложил ей рассчитать некоторую физическую зависимость. Аспирантка долго мучилась с выводом, но провела рассчет и принесла формулу. Юрий посмотрел и сказал: ``У вас ошибка''. 
Аспирантка
% удивилась. Она 
повторила свои выкладки, и стала настаивать на своем результате. 
%Она требовала, чтобы Юрий проверил её рассчеты. 
Она требовала, чтобы Юрий проверил её рассчеты.
Юрий проверять рассчеты не хотел. Аспирантка почти насильно заставила Юрия проследить её дедукцию. Они вместе проверяли строчку за строчкой, Юрий читал и говорил ``Угу'',
но в последней строчке, когда потребовалось применить формулу из справочника, Юрий сказал: ``Здесь ошибка''.
Аспирантка открыла Градштейна-Рыжика и показала формулу. Юрий посмотрел на формулу и повторил, что формула неверна.
В той формуле было достаточно положить параметр равным нулю, чтобы увидеть, что равенство нарушено.
Аспирантка обиделась: в списке опечаток, который добавлялся к каждому новому переизданию,
% и с каждым разом становился всё длиннее, 
про пресловутую формулу ничего не было. Юрий сказал:``Значит, будет''. Но он не смог убедить Аспирантку, что если она пользуется неверной формулой, и не считает нужным сделать проверку, хотя бы для 
%нескольких 
частных случаев, то это её вина.
\vskip 3mm

Я тоже не без греха. В рассчет усиления при выжигании пространственных дыр закралась ошибка \cite{thin,thine}. Общая формула не использовалась для оценок, и ошибка не была выявлена сразу. С тех пор я не надеюсь, что соавторы выловят ошибки, и стараюсь не предлагать рассчеты, которые не используются для построения рисунков и формулировки основного ``мессаджа'' (абстракта и заключения) статьи. Это соответствует аксиоме 6: надо рассматривать самые простые построения, которые всё ещё приводят к нетривиальной концепции.
\vskip 3mm
   
Иногда мне не удавалось убедить коллег, указывая на противоречия их концепций; приходилось продираться сквозь выкладки и публиковать соответствующий ерратум. Некоторые такие примеры упомянуты в УФН \cite{ufn} и J.Mod.Phys.\cite{2013jmp}. 
На основе этих наблюдений, я считаю, что применение аксиом ТОРИ более эффективно и надежно, чем громоздкая дедукция, претендующая на математическую строгость. В идеале, конечно, желательно сочетать и математическую строгость, и 
%дотошную 
всяческие проверки частных случаев, асимптотик и численных рассчетов.
\vskip 3mm

Всего один раз я столкнулся со случаем, когда четырнадцати значащих цифр оказалось недостаточно для численного опровержения гипотезы о том, что две голоморфные функции тождественно совпадают \cite{sqrt2}. Я был почти уверен в том, что эта разница вылезет при достаточно аккуратных рассчетах, так как две голоморфных функции не могут совпадать на вещественной оси, если они отличаются хоть где-то в связной области их голоморфизма. 
%Оказалось достаточным заменить переменные ``double'' на ``long double''; д
Для вещественнoго аргумента, разница между значениями функций проявляется в 25-м десятичном знаке.
Этот случай упомянут ниже в главе 16.
\vskip 3mm

В физической математике, строгая дедукция не является царицей доказательств; примерно так же, как в правовом обществе признание обвиняемого не является царицей доказательств его вины. Если утверждение удается доказать строго, то есть вывести на основе четкой математической выкладки - хорошо, но это не избавляет исследователя от необходимости проверять частные случаи и пытаться 
построить хотя бы один опровергающий пример. 
В следующей секции я пытаюсь построить такой опровергающий пример.
%я делаю ``регулярную итерацию'' передаточной функции, для которой я ответ известен. 
}%JP
\JP{
Если же простая гипотеза предсказывает сразу ворох специальных и нетривиальных явлений, и не удается найти ни одного контрпримера
--
%я считаю её 
я считаю её
научным фактом,
и именно такие факты я предлагаю в этой книге. 
Если Вам удастся опровергнуть хотя бы одну из моих конжекций, вы можете написать об этом научную статью, и предложить более правильную формулу, которая, в частности, будет объяснять, почему во всех рассмотренных мной случаях моя формула хорошо работает. Я стараюсь помочь Вам писать такую статью, и в этой Книге я собираю формулы и алгоритмы, которые можно использовать при написании опровергающей статьи. 
\vskip 2mm

В соответствии с Третьей аксиомой ТОРИ, мои утверждения опровержимы; достаточно найти, построить хотя бы один случай, когда формула приводит к противоречию, чтобы опровергнуть её. Все нетривиальные примеры, в которых формула хорошо работает и дает ожидаемый результат, могут рассматриваться как неудачные попытки её опровержения. В следующей секции я пытаюсь опровергнуть метод регулярной итерации, предлагаемые в этой главе, используя для этого задачу с известным ответом.
}%JP
\vskip 2mm

Before to apply the regular iteration to the new transfer functions, for which the superfunctions cannot be easy expressed through the superfunctions, known in century 20, it worth to check the method for some easy function, for which the answer is known. First, I use the method of regular iteration to construct the superfunction for the transfer function Doya, considered in the previous chapter. I do it, as if I would not know that its superfunction is Tania. This regular iteration is considered in the next section, and compared to the exact solution Tania.

%\section{Пример с известным ответом: опять Doya.}
\section{Example with known solution: again Doya}
\baselineskip 19pt

%\begin{wrapfigure}{r}{170px}
\begin{wrapfigure}{r}{182px}
\normalsize
\sx{.8}{
\hskip 4pt  \begin{picture}(200,298)
\put(0,0){\ing{doyaplot1}}
\put(-7,300){\sx{1.6}{$y$}}
%\put(-36,300){\sx{1.7}{$T(z)$}}
\put(-7,200){\sx{1.6}{$2$}}
\put(-7,100){\sx{1.6}{$1$}}
\put(0,-11){\sx{1.6}{0}}
\put(100,-11){\sx{1.6}{1}}
\put(198,-11){\sx{1.6}{$x$}}
\put( 38,110){\rot{70}{\sx{1.7}{$y=\mathrm e\, x$}}\ero}
\put( 58,110){\rot{53}{\sx{1.7}{$y=\mathrm{Doya}(x)$}}\ero}
\put( 24,30){\sx{1.6}{$y=\mathrm e\, z - \mathrm e (\mathrm e\!-\!1) x^2$}}
\put(220,-12){\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya1T.jpg}\ero}
\end{picture}} 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya1T.jpg}
%\caption{Left: Transfer function $T$ by (\ref{doya1}) and its approximations. %\rule{77pt}{2pt}
%Right: superfunction $F$ and its approximations $\tilde F$ by the regular iteration (\ref{regi}) for $n\!=\!0 .. 4$.}
\caption{%$T\!=\!\mathrm{Doya}$ 
%по формуле \rf{doya1} 
Function Doya and %two its approximations
%and i
its polynomial approximations
%и её линейная и квадратичная аппроксимации 
%\label{f0fig}
\label{f0fig}
}%
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}

%В этой секции я показываю, как работает регулярная итерация. 
In this section, I show, how does the regular iteration work.
I use the example with transfer function Doya, described in the previous chapter.
%Для этого используется пример с известным ответом, а именно - функция
%Doya из предыдыщей главы, формула \rf{Doya}. 
For real value of argument, graphic of this function is shown in figure 
%График этой функции повторен на рисунке 
\ref{f0fig} 
with thick curve.
%толстой кривой.
\vskip 2mm

%Для функции Doya, суперфункцией является 
For transfer function $T\!=\!\mathrm{Doya}$, the superfunction is known, it is function 
$F\!=\!\mathrm{Tania}$, and the corresponding abelfunction is $G\!=\!\mathrm{ArcTania}$.
% свойства этих функций и способы их вычисления описаны  
Properties of these functions are described in publications 
\cite{2013or,tania,doya} and in the previous chapter.
But, in order to check the regular iteration, assume for a minute, that we do not know the analytic expression for the superfunction, and want to construct it with the regular iterations described above. After to construct it, we may compare the result with the special function Tania.
%Однако допустим, что мы (Читатель и я) не знаем простого аналитического представления суперфункции $F$ 
%через функцию  Tania, 
%не знаем её асимптотического поведения, разложения в ряд и т.п.; однако из физических соображений подозреваем, что на минус бесконечности  $F$ экспоненциально стремится к стационарной точке $L\!=\!0$ функции Doya, и пытаемся вычислять суперфункцию $F$ с помощью регулярной итерации.
\vskip 2mm

%Пусть вдоль вещественной оси и её окрестностей, передаточная функция выражается по формуле \rf{DoyaLambertW}, я повторю её ещё раз:
%чтобы Вам не листать:
Let the transfer function, at least in some vicinity of the real values of the argument, can be expressed with formula  \rf{DoyaLambertW}, I repeat it here:
\be 
T(z)=\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{LambertW}(1\!+\!z\, \mathrm e^z)
\eL{doya1}
%Свойства функции LambertW 
Properties of function LambertW are known
\cite{LambertW,LambertWm,LambertWs,LambertWw}.
% известны; в принципе, эта функция может рассматриваться без ссылок на функцию Tania, 
%эмулируя ситуацию, когда суперфункция $F$ неизвестна.
This function can be used even without to refer to function Tania; this emulates situation, when the superfunction $F$ is not known.
\vskip 2mm

%График функции $T\!=\!\mathrm{Doya}$ представлен на рисунке \ref{doya1} толстой курвой.
Graphic of function Doya is shown in figure \ref{f0fig} with thick curve.
This transfer function describes some idealised amplifier with saturation, neglecting the spontaneous emission (and many other physical effects).
In this case, the fixed point $L\!=\!0$ should be considered;
% описывать некоторый идеализированный усилитель с насыщением, в пренебрежении спонтанной эмиссией излучения; при этом стационарная точка $L\!=\!0$,  поскольку 
$T(0)\!=\!0$. 
%При малой интенсивности на входе, коэффициент усиления равен $\mathrm e$, но при интенсивностях порядка единицы, усиление насыщается; тогда приращение интенсивности при прохождении усилителя слабо зависит от интенсивности на входе.
At small intensity at the input, the amplification coefficient is $\mathrm e$, but it saturates at the intensity of order of unity.
For small argument, the transfer function can be expanded as follows:
%\vskip 2mm
%При малых значениях аргумента, функция $T$ может быть аппроксимирована полиномом;
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)=\mathrm{Doya}(z)=\mathrm e\, z - \mathrm e\, (\mathrm e \!-\!1) z^2 + O(z^2) ~ ~
\eL{DoyaExpa}
%при этом 
In this case, $T'(0)\!=\!\mathrm e$ and $T''(0)\!=\!- 2 \mathrm e (\mathrm e \!-\!1)$. 
The corresponding linear and quadratic approximations are shown in figure
%Линейная и квадратичная аппроксимации функции  $T$ тоже показаны на рисунке 
\ref{f0fig} with thin lines.
% тонкими линиями.
\vskip 2mm

%Для регулярной итерации, по формулам \rf{k38} и \rf{a2.39} находим, что для такой передаточной функции $k\!=\!1$, и  $a_2\!=\!-1$.
For regular iteration of transfer function Doya, using formulas \rf{k38} and \rf{a2.39}, I found $k\!=\!1$ and  $a_2\!=\!-1$.
%Таким образом, первичное приближение с одним слагаемым для суперфунцкии - это просто экспонента,
In such a way, the primary approximation 
%of the superfunction 
with singe term is
\be
\tilde F(z)=\exp(z)
\eL{refitF1}
%а учет двух слагаемых дает 
and the primary approximation with two terms is
\be
\tilde F(z)=\exp(z)-\exp(2z)
\eL{refitF2}
%For this case, the fixed point 
%These two primary approximations are shown in figure 
These two primary approximations are shown in figure
\ref{regufig} 
with the highest and lowest curves.
%верхней и нижней кривыми.
%На этом же графике построены четыре итерации этих первичных аппроксимаций по формуле 
At the same figure, the four iterations of these primary approximations by
(\ref{regi}) are shown for $n\!=\!0 .. 4$.
%Эти аппроксимации приближаются к точному решению 
These approximations approach the exact solution
\begin{figure}
\begin{center}
\sx{.52}{
\begin{picture}(800,408)
\put(0,0){\ing{simudoya}}
\put(-12,297){\sx{2.2}{$3$}}
\put(-12,197){\sx{2.2}{$2$}}
\put(-12, 97){\sx{2.2}{$1$}}
\put(-12, -3){\sx{2.2}{$0$}}
\put( 88,-16){\sx{2.2}{$-2$}}
\put(188,-16){\sx{2.2}{$-1$}}
\put(299,-16){\sx{2.2}{$0$}}
\put(400,-16){\sx{2.2}{$1$}}
\put(500,-16){\sx{2.2}{$2$}}
\put(600,-16){\sx{2.2}{$3$}}
\put(700,-16){\sx{2.2}{$4$}}
\put(797,-16){\sx{2.2}{$x$}}
\put(366,206){\rot{65}\sx{1.9}{$\exp(x)$}\ero}
\put(436,206){\rot{66}\sx{1.9}{$T(\exp(x\!-\!1))$}\ero}
\put(530,266){\rot{66}\sx{1.9}{$T^2(\exp(x\!-\!2))$}\ero}
\put(580,266){\rot{60}\sx{1.9}{$T^3(\exp(x\!-\!3))$}\ero}
\put(620,266){\rot{55}\sx{1.9}{$T^4(\exp(x\!-\!4))$}\ero}
\put(733,322){\rot{41}\sx{2}{$F(x)$}\ero}
\put(534,160){\sx{1.85}{$T^4(\exp(x\!-\!4)\!-\!\exp(2(x\!-\!4)))$}}
\put(508,116){\sx{1.86}{$T^3(\exp(x\!-\!3)-\exp(2(x\!-\!3)))$}}
\put(418,64){\sx{1.86}{$T^2(\exp(x\!-\!2)-\exp(2(x\!-\!2)))$}}
\put(280,35){\sx{1.86}{$T(\exp(x\!-\!1)-\exp(2(x\!-\!1)))$}}
\put(160,11){\sx{1.86}{$\exp(x)-\exp(2x))$}}
\end{picture}}
\vskip 10pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SimudoyaTb.png}
\end{center}
\vskip -12pt
%\caption{Left: Transfer function $T$ by (\ref{doya1}) and its approximations. %\rule{77pt}{2pt}
%Right: superfunction $F$ and its approximations $\tilde F$ by the regular iteration (\ref{regi}) for $n\!=\!0 .. 4$.}
%\caption{суперфункция $F$ и её аппроксимации $\tilde F$ по формуле (\ref{regi}) для $n\!=\!0 .. 4$}
\caption{Superfunction $F\!=\!\mathrm{Tania}$ and its approximations $\tilde F$ by (\ref{regi}) for $n\!=\!0 .. 4$}
\label{regufig}
\vskip 8pt
%\label{f0fig}
\end{figure}
\be
F(z)=\mathrm{Tania}(z\!-\!1)=\mathrm{WrightOmega}(z)
\ee
%показанному в правой части рисунка  \ref{regufig} чуть более толстой кривой.
This function $F$ is shown in figure  \ref{regufig} with thick line. It remains between approximations
obtained with iterate from the primary approximation $\tilde F$ with single term, id est, \rf{refitF1} 
and those with tho terms by \rf{refitF2}.
\vskip 6pt

%Пример с передаточной функцией Doya показывает эффективность регулярной итерации.
%В последующих главах Книги рассмотрены ещё передаточные функции, для которых регулярная итерация даёт красивые суперфункции.
Example with the transfer function Doya shows the efficiency of the regular iteration.
In the following chapters, the regular iteration is used also for other transfer functions; I mean, for the cases, when the superfunction
cannot be easy expressed in terms of the special functions, known in century 20.
%\section{Уравнение Шрёдера}
\section{Schr\"oder equation}
%\baselineskip 20.8pt
\baselineskip 17.4pt
\begin{wrapfigure}{r}{60px}
\sx{.22}{\begin{picture}(100,138)
\put(-2,-10){\ing{eschroeder}}
\put(-2,-138){\sx{4.2}{E.Schr\"oder}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{\label{eschroeder}}
\end{wrapfigure}

For the regular iteration, instead of superfunctions (presented in this Book),
another formalism can be used, namely, the formalism of the Schroeder (Schr\"oder) functions; they are called after Ernest Schr\"oder, shown in figure 
\ref{eschroeder}, and described many years ago
%In order to improve the partiality of the name, I use spelling Schroeder rather than Schr\"oder, although the last seems to be more correct. 
%Именно для регулярной итерации, наряду с формализмом суперфункций (представленным в этой Книге), может использоваться формализм функций Шрёдера 
%This formalism is 
%not described in this Book, but 
%schematically mentioned in this section; 
%The description can be found in %references
%publications
\cite{szekeres,shapiro}. %(не представленный в этой Книге). 
%По английски %она 
%функция Шрёдера 
%называется
\vskip 6pt
%Schroeder Function, а по-германски - Schr\"oderfunction. Можно предложить также русский аналог, составное слово шрёдерфункция. 
%Вероятно, даже самые страстные секретутки знают, в чем заключается функция шрёдера, а именно, в том, чтобы резать бумагу.
%Однако в математике (и даже физической математике), для передаточной функции $T$, функцией Шрёдера называется не уничтожение документов, а решение $g$ уравнения Шрёдера
Let transfer function $T$ be real-holomorphic, and let $L\!=\!0$ be its fixed point.
The generalization to the case of other values of $L$ is straightforward, so, here I consider only case $L=0$. Let $S=T'(0)$. 
The schr\"oderfunction is solution $g$ of the Schr\"oder equation
\be
g(T(z))=S\, g(z)
\eL{schroederEq}
%где $s$ есть некоторая константа. Обычно предполагают, что $T(0)\!=\!0$, то есть ноль является стационарной точкой передаточной функции.
where $s$ is some constant. Usually, it is assumed that  $T(0)\!=\!0$, id est, zero is fixed point of the transfer function $T$.
%Решение уравнения %Шрёдера 
One can search for solutions in the asymptotic form
\rf{schroederEq} 
%можно искать в виде асимптотического разложения 
\be
g(z)=\sum_{p=1}^{\infty} a_p \, z^p 
\eL{schroederexpa}
%где коэффициенты $a$ не зависят от $z$.
where coefficients $a$ are constants, id est, do not depend on $z$.
%Even is 
Usually, the series in the right hand side of
%Даже если серия в правой части выражения 
\rf{schroederexpa} 
diverges, but this representation can be used for approximation of $g$ at small values of 
$|z|$.
%the modulus of its argument.
Then, any required precision can be achieved, applying the Schroeder equation
%расходится, такое представление можно использовать для аппроксимации $g$ при малых значениях модуля аргумента. При этом сколь угодно точное (с любой требуемой точностью) решение $g$ может быть получено применением уравнения 
\rf{schroederEq} or its inverse
%или его обратного
\be
g(z)= S \, g\Big(T^{-1}(z)\Big)
\eL{schroederEr}
%в зависимости от того, что меньше, $|T(z)|$ или $|T^{-1}(z)|$.
looking, what is smaller, $|T(z)|$ or $|T^{-1}(z)|$.
This method is especially explicit for 
a real-holomorphic transfer function $T$, that monotonously grows along the real axis.
\vskip 6pt

%I do not repeat here the formalism of the Schroeder functions, but mention the analogy 
In certain parti f the complex plane, the abelfunction $G$ can be expiressed through the Schroeder function $g$:
%Чтобы не повторять здесь формализм функций Шрёдера, отмечу, что имеет место аналогия между функцией Шрёдера и функцией Абеля. Пусть
\be
G(z)=\log_S(g(z))
\eL{shroederabel}
%логарифмируя обе части уравнения \rf{schroederEq}, я получаю уравнение
Taking logarithm to base $S$ of the both sides of equation \rf{schroederEq}, I get
\be
G(T(z))=1+G(z)
\eL{analo}
this equation is just Abel equation for the same transfer function $T$.
%что есть ничто иное как уравнение Абеля для той же самой передаточной функции $T$.
\vskip 6pt

\begin{figure}[t]
\hskip 4pt
\sx{.333}{\begin{picture}(1252,1230) 
%\put(40,20){\ing{suzexD1map}} 
%\put(40,20){\ing{ZexD6map}} 
\put(50,20){\ing{olga6ma}} 
\put(14,1204){\sx{6}{$y$}}
\put(18,1116){\sx{5}{$5$}}
\put(18,1016){\sx{5}{$4$}}
\put(18, 916){\sx{5}{$3$}}
\put(18, 816){\sx{5}{$2$}}
\put(18, 716){\sx{5}{$1$}}
\put(18, 616){\sx{5}{$0$}}
\put(-22, 516){\sx{5}{$-1$}}
\put(-22, 416){\sx{5}{$-2$}}
\put(-22, 316){\sx{5}{$-3$}}
\put(-22, 216){\sx{5}{$-4$}}
\put(-22, 116){\sx{5}{$-5$}}
\put(-22, 016){\sx{5}{$-6$}}
\put( 18, -20){\sx{5}{$-6$}}
\put(118, -20){\sx{5}{$-5$}}
\put(218, -20){\sx{5}{$-4$}}
\put(318, -20){\sx{5}{$-3$}}
\put(418, -20){\sx{5}{$-2$}}
\put(518, -20){\sx{5}{$-1$}}
\put(649, -20){\sx{5}{$0$}}
\put(750, -20){\sx{5}{$1$}}
\put(850, -20){\sx{5}{$2$}}
\put(950, -20){\sx{5}{$3$}}
\put(1050, -20){\sx{5}{$4$}}
\put(1150, -20){\sx{5}{$5$}}
\put(1234, -20){\sx{6}{$x$}}
\put(170, 616){\sx{6}{\bf cut}}
\put(1060, 614){\sx{6}{$v\!=\!0$}}
\put(710, 1086){\sx{6}{\rot{75}$v\!=\!1$\ero}} 
\put(660, 222){\sx{6}{\rot{-77}$v\!=\!-1$\ero}} 
\put(86,790){\sx{6}{\rot{-29}$v\!=\!2$\ero}} 
\put(100, 438){\sx{6}{\rot{28}$v\!=\!-2$\ero}} 
%
\put(78, 1050){\sx{6}{\rot{37}$u\!=\!2$\ero}}
\put(460, 668){\sx{6}{\rot{38}$u\!=\!1$\ero}}
\end{picture}} 
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Olga6map.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{Olga}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
by \rf{olga}
\label{olgamap} }
\vskip 2pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\hskip 4pt
\sx{.333}{\begin{picture}(1252,1230) 
%\put(40,20){\ing{suzexD1map}} 
%\put(40,20){\ing{ZexD6map}} 
%\put(50,20){\ing{olgama}} 
\put(50,20){\ing{anka616ma}} 
\put(18,1210){\sx{5}{$y$}}
\put(22,1116){\sx{4.5}{$5$}}
\put(22,1016){\sx{4.5}{$4$}}
\put(22,916){\sx{4.5}{$3$}}
\put(22,816){\sx{4.5}{$2$}}
\put(22, 716){\sx{4.5}{$1$}}
\put(22, 616){\sx{4.5}{$0$}}
\put(-16, 516){\sx{4.5}{$-1$}}
\put(-16, 416){\sx{4.5}{$-2$}}
\put(-16, 316){\sx{4.5}{$-3$}}
\put(-16, 216){\sx{4.5}{$-4$}}
\put(-16, 116){\sx{4.5}{$-5$}}
\put(-16, 16){\sx{4.5}{$-6$}}
\put(18, -20){\sx{4.5}{$-6$}}
\put(118, -20){\sx{4.5}{$-5$}}
\put(218, -20){\sx{4.5}{$-4$}}
\put(318, -20){\sx{4.5}{$-3$}}
\put(418, -20){\sx{4.5}{$-2$}}
\put(518, -20){\sx{4.5}{$-1$}}
\put(650, -20){\sx{4.5}{$0$}}
\put(750, -20){\sx{4.5}{$1$}}
\put(850, -20){\sx{4.5}{$2$}}
\put(950, -20){\sx{4.5}{$3$}}
\put(1050, -20){\sx{4.5}{$4$}}
\put(1150, -20){\sx{4.5}{$5$}}
\put(1234, -20){\sx{5}{$x$}}
%\put(952, 1454){\sx{6}{\rot{75}$v\!=\!1$\ero}} 
%\put(914, 216){\sx{6}{\rot{-77}$v\!=\!-1$\ero}} 
\put(186,1180){\sx{5}{\rot{4}$u\!=\!0$\ero}} 
\put(184,1002){\sx{5}{\rot{5}$v\!=\!0$\ero}} 
\put(182,816){\sx{5}{\rot{3}$u\!=\!0$\ero}} 
\put(180, 616){\sx{5}{$v\!=\!0$}} % \put(1200, 614){\sx{6}{$v\!=\!0$}}
\put(180, 422){\sx{5}{\rot{-6}$u\!=\!0$\ero}} 
\put(180, 232){\sx{5}{\rot{-6}$v\!=\!0$\ero}} 
\put(180, 56){\sx{5}{\rot{-6}$u\!=\!0$\ero}} 
%
\put(564, 640){\sx{5}{\rot{59}$v\!=\!0$\ero}}
\put(652, 630){\sx{5}{\rot{38}$u\!=\!0$\ero}}
\put(752, 610){\sx{5}{\rot{52}$u\!=\!1$\ero}}
%
%
\put(1066, 899){\sx{5}{\rot{2}$v\!=\!16$\ero}}
\put(1066, 858){\sx{5}{\rot{3}$u\!=\!-16$\ero}}
%
\put(1066, 776){\sx{5}{\rot{1}$u\!=\!-16$\ero}}
\put(1066, 726){\sx{5}{\rot{2}$u\!=\!16$\ero}}
%
\put(1066, 648){\sx{5}{\rot{-1}$v\!=\!16$\ero}}%
\put(1066, 590){\sx{5}{\rot{1}$v\!=\!-16$\ero}}%
%
\put(1066, 518){\sx{5}{\rot{-1}$u\!=\!16$\ero}}
\put(1066, 470){\sx{5}{\rot{0}$u\!=\!-16$\ero}}
%
\put(1060, 390){\sx{5}{\rot{-3}$v\!=\!-16$\ero}}
\put(1060, 338){\sx{5}{\rot{-1}$v\!=\!16$\ero}}
%
\put(1040, 256){\sx{5}{\rot{-4}$u\!=\!-16$\ero}}
\put(1040, 200){\sx{5}{\rot{-2}$u\!=\!16$\ero}}
%
\put(1030, 106){\sx{5}{\rot{-5}$v\!=\!16$\ero}}
\put(1030, 60){\sx{5}{\rot{-3}$v\!=\!-16$\ero}}
\end{picture}} 
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Anka616map.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{Anka}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
by \rf{anka}
\label{ankamap} }
%\vskip 2pt
\end{figure}

In the similar way one can express the analogy of superfunction, it can be called ``scaling function'' or even ``scalingfunction''. 
%\vskip 2mm
As examples of the Schroeder functions and the scaling functions, figure \ref{olgamap} and \ref{ankamap}
show complex maps of functions Olga and Anka. They are Schroeder function and the scaling function for the transfer function $T=\mathrm{Doya}$, considered in chapter 5 and in the previous section.
\vskip 6pt

The Schroeder function Olga can be expressed through function Tania:
% function as follows:
\be
\mathrm{Olga}(z) = \mathrm{Tania}\Big(\ln(z)\Big)
\eL{olga}
The Scaling function Anka can be expressed through the ArcTania: 
\be
\mathrm{Anka}(z) = \exp\!\Big(\mathrm{ArcTania}(z)\Big)
\eL{anka}
For the transfer function Doya, the scaling factor $S\!=\!\mathrm e$; so, the natural logarithm and the natural exponent appear in equations \rf{olga} and \rf{anka}.
Definitions \rf{olga} and \rf{anka} imply, that $\mathrm{olga}\!=\!\mathrm{anka}^{-1}$.
\vskip 6pt

In this section, I use the example, when some dependences can be expressed in terms of elementary functions.
In particular, this refers to function ArcTania by equation \rf{ArcTaniaz}; in the most of the complex plane (except the negative part of the real axis), $\mathrm{ArcTania}(z)=z+\ln(z)-1$. Then, function Anka can be expressed as follows
\be
\mathrm{Anka}(z) = \frac{z}{\mathrm e} \exp(z)
\eL{ankae}
Functions Anka and Olga satisfy the scaling equation 
\be
\mathrm{Doya}(\mathrm{Anka}(z))=\mathrm{Anka}(\mathrm e\, z)
\ee
and the Schroeder equation
\be
\mathrm{Olga}(\mathrm{Doya}(z))=\mathrm e \,\mathrm{Olga}(z)
\ee
The Reader is invited to investigate the ranges of validity of equations
\be
\mathrm{Olga}(\mathrm{Anka}(z))=z  \\
%\ee
%and
%\be
\mathrm{Anka}(\mathrm{Olga}(z))=z
\ee
In wide range, that includes the positive part of the real axis, iterates of function $T\!=\!\mathrm{Doya}$ can be expressed through its scaling function 
$f\!=\!\mathrm{Anka}$ 
and Schr\"oder function 
$g=\mathrm{Olga}=\mathrm{Anka}^{-1}\!=\!\mathrm{ArcAnka}\,$:
%using the general formula
\be
T^n=f(S^n\, g(z))
\eL{Tnfg}
for some appropriate constant $S$.
%\end{document}
Readers are invited to check, that formula \rf{Tnfg} gives the same 
iterates, as the expression through the superfunction $F\!=\!\mathrm{Tania}$ and Abel function $G\!=\!\mathrm{ArcTania}$
\be
T^n=F(n + G(z))
\eL{TnFG}
While the real-holomorphic transfer function $T$ has real fixed point $L$ with the scaling factor $S$, and this fixed point is used 
to construct the superfunction $F$ and the scalingfunction $f$, formulas 
\rf{Tnfg} and \rf{TnFG} are equivalent. 
Several examples from this book, considered with superfunctions and abelfunctions, 
can be treated also with scalingfunctions and schro\"oderfunctions.
%However, this is only one specific case. 
\vskip 6pt

Relation \rf{TnFG} is more general than \rf{Tnfg}. Here I announce few cases, when the Schroeder functions fail.
\vskip 1mm
If $T'(L)\!=\!1$, then the scaling factor $S$ becomes unity, and expression \rf{shroederabel} fails.
In particular, this is case of $T(z)\!=\!\exp(z/\mathrm e)$, case of $T(z)\!=\!\mathrm{zex}(z)\!=\!z\,\exp(z)$, and that for  $T(z)\!=\!\sin(z)$,
see Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
%considered in this Book.
\vskip 2pt

The transfer function $T$ may have no real fixed points, as it takes place for $T\!=\!\exp$.
\vskip 2pt

In addition, it may happen, that the transfer function $T$ has no fixed points at all, as it takes place for
$T(z)\!=\!\mathrm{tra}(z)\!=\!z\!+\!\exp(z)$.
\vskip 2pt

Iterates of these functions $T$ are straightforward with the superfunctions and abelfunctions.
These examples are mentioned in the Table \ref{TableOfSuperfunctions} and considered in the following chapters of this Book.
However, these cases are difficult to treat with the scalingfunctions and the schroederfunctions, if at al.
The Schroeder functions, if they can be applied, do not give any new in compare to use of the superfunctions.
For this reason, this Book is dedicated to superfunctions and abelfunctions, and not to schroederfunctions.
\vskip 6pt
%Formalism of t
%For this reason, in the rest of this Book, I do not consider, nor mention the formalism of the Scroeder functions anymore.
%\vskip 2mm
I hope, the example above is sufficient to feel relation between Abelfunctions and Schroederfunctions.
On this point I stop speculations about the Schroeder functions, Schroeder equations, Scaling equations, and scaling functions,
and return to superfunctions. Superfunctions for the specific quadratic transfer function are considered in the next chapter.

\JP{
%construct the regular iterates, using the Schroeder function and its inverse, instead of, correspondently, Abel function and the superfunction. One can check, that the result is the same.
%Похожим образом выражается аналог суперфункции. Читателю предлагается построить регулярные итерации каких-либо передаточных функций, рассмотренных в этой Книге, используя функцию Шрёдера и её обратную функцию вместо стандартного (по крайней мере для этой Книги) использования абельфункции и суперфункции. Регулярные итерации, построенные для стационарной точки ноль с помощью функции Шрёдера и её обратной функции, совпадают с итерациями, построенными через функцию Абеля и суперфункцию. 
%\vskip 8mm

%Таким образом, использование формализма Шрёдера, там, где он применим, не дает ничего нового по сравнению с использованием формализма суперфункций. Поэтому в этой Книге я решил воздержаться от рассмотрения этого формализма. Впрочем, если кто-либо предложит пример, который решается с помощью функций Шрёдера, но не решается через функции Абеля, я готов пересмотреть моё отношение к функции Шрёдера и уравнению Шрёдера.


\JP{На этом я заканчиваю спекуляции на тему Шрёдера и возращаюсь к суперфункциям, абельфункциям и итерациям. В следующей главе рассмотрены регулярные итерации относительно простой квадратичной функции, а именно - логистического оператора, или логистического отображения.}%

\begin{wrapfigure}{r}{174px}
%\begin{figure}[h]
\begin{center}
\normalsize
\vskip 2pt
\sx{.67}{\begin{picture}(200,110)
\put(0,0){\ing{monoxid}}
\put(84,64){\sx{4}{O}}
\put(24,30){\sx{4}{H}}
\put(144,30){\sx{4}{H}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -18pt
%\caption{Дигидрогена моноксид \label{mnx}\label{monoxid}}
\caption{dihydrogen monoxid \label{mnx}\label{monoxid}}
\end{wrapfigure}

%Here I finish the bzz about the Schr\"oder function and advertise the next chapter, that deals with
As continuation about superfunctions,
in the next chapter I shall consider the logistic map as the transfer function.
Term ``logistic map'' looks absurdly long,  but ``logistic map'' is used in the literature to name the function considered in the next chapter; and I cannot yet justify any more suitable name. Actually, it is just a special kind of the quadratic function.
One should not afraid of it more than of the ``dangerous chemical'' dihydrogena monoxide shown in figure \ref{monoxid}.
%I am not first to deal with the logistic map, so I do not yet try to assign it a name of some of my 
%, named after the name of this function which has so strange name. This paragraph may look a little bit tautologic; in this way I express the need for the new, short and expressive name for the function considered in the next chapter.
%Название ``логистическое отображение'' выглядит абсурдно длинным, примерно как  ``дигедрогена моноксид'' (рис. \ref{monoxid}), но именно 
%термин ``логистическое отображение'' использется коллегами. Когда устоится более короткое название, я готов 
%использовать более удобные обозначения. 
%улучшить терминологию. %Итак, если кто интересуется логистическим отображением и генерируемой им последовательностью, я приглашаю читать следующую главу. 
%JP
%\chapter{ ~  {Логистическая последовательность}}
%\chapter{ ~ ~Логистическoe отображение}
%\chapter{ ~ Logistic sequence}
}%JP

\chapter{ ~ Logistic map}
\baselineskip 19pt
\begin{wrapfigure}{r}{50px}
\sx{.3}{\begin{picture}(140,200)
\put(0,0){\ing{Elutin}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{P.V.Elutin \label{elutinFig}}
\end{wrapfigure}

Term ``Logistic map'' 
%Термином ``логистический оператор'' или ``логистическое отображение'' 
\footnote{\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map}}
%\url{http://www.sgtnd.narod.ru/wts/rus/kruzh/logistic.htm} 
%Логистическое отображение и бифуркационные деревья
%обозначается квадратичная функция
may refer to the quadratic transfer function 
%$T$
%$T=\mathrm{Elu}$ 
%of the special kind
\be
T(z)=\mathrm{Elu}_s(z)=s\, z \, (1\!-\!z)
\eL{logisticop}
%Параметр  $s$ обычно считается положительным числом.
Usually, parameter $s$ is assumed to be a real number.
Term ``map'' is used also in the context of the ``complex map'', and this may cause confusions.
For this reason I give this function name $\mathrm{Elu}_s$. The thee characters of the name are taken from the last name of Pawel Elutin (see Figure \ref{elutinFig}), my teacher of Quantum Mechanics. He asked me to 
%consider this transfer function and to 
construct the analytic extension 
of iterates of function $T$ by \rf{logisticop} in the private communication \cite{elutin}. In such a way, this chapter could be called also ``Elutin function''. Here I present some results of publication \cite{logistic} that appeared as the answer on the request by Elutin.
%about the extension requested.
\vskip 2mm

Historically, iterates of another transfer function had been considered before the iterates of the Elutin function. I mean, iterates of factorial \cite{factorial}. The request to do the same of the logistic map appeared as result of the publication about the half iterate of factorial. In this Book, I do not follow the history; %(I am interested in math rather than in its history)
first, I describe the superfunction, abelfunction and iterates of the logistic map, or iterates of the Elutin function by \rf{logisticop}; these iterates seem to be simpler than those for the factorial. For various values of parameter $s$, iterates of $\mathrm{Elu}_s$ are shown in figure
%\ref{eluite}
\ref{figlogi1}. In order to plot this figure, I use the specific superfuction
% (which is usually called ``logistic sequence'') 
and the corresponding abelfunction. I describe them in this chapter.
\vskip 2mm

The logistic sequence is solution $F$ of the logistic equation
%Логистическая последовательность $F$ определяется 
%логистическим уравнением
%соотношением 
\be
F(z\!+\!1)=\mathrm{Elu}_s(F(z))
\eL{LOGEQ}
Equation \rf{LOGEQ} is, actually, the transfer equation \rf{transfereq}, with the Elutin function (logistic map) $\mathrm{Elu}_s$ by \rf{logisticop} as the transfer function $T$.
%которое дословно совпадает с передаточным уравнением \rf{transfereq}, и, по существу, таковым и является;
In order to define the sequence, the initial value $F(0)$ should be specified.
%Usually, it is assumed, that $0\!<\!F(0)\!<\!1$, and the only integer values of the argument are considered.
%Below I extend the consideration to the real and even complex values of the argument.
\vskip 2mm

\JP{I do not think, that names ``logistic map'' and ``Logistic sequence'' are very convenient notations. Perhaps, I should suggest shorter and less confusive names for them. The colleagues are cordially invited to donate their name to call these functions
\footnote{Were I be less arrogant, I should accept suggestion by Henryk Trappman to call some functions with my names. However, I decline such an idea, because the number of functions I need to name greatly exceeds the number of my names, that, in first approximation, is about of 4: first name, last name, patterno (``othestvo'', отчество) and materno (матерно).}.
While I use the ``neutral'', generic  notations $T$ for the logistic map, letter $F$ to denote its superfunction, id est, any holomorphic solution of equation \rf{LOGEQ}, and $G$ to denote the corresponding abelfunction, $G=F^{-1}$.
\vskip 2mm
}%JP

%В публикациях про %логистическое  %уравнение 
In publications about the logistic equation \rf{LOGEQ}  with transfer function
%с передаточной функцией 
\rf{logisticop}, 
% аргумент функции $F$ считается целым числом
the argument of function $F$ is assumed to be an integer number
\cite{L1992,L2000,L2003,L2009}. 
%Уравнение 
For integer argument of the solution $F$ of equation \rf{LOGEQ}, the solution
catches some properties of transition of the physical systems to chaos
%``ухватывает'' некоторые свойства перехода физических систем к хаосу 
\cite{L1,L2,L3}. 
%Итерации передаточной функции 
Iterates of the transfer function $T$ by \rf{logisticop} 
appear as a rough description of the stochastic physical systems, as a simple, heuristic approach for the problems of hydro- and aero- dynamics, and also the transition regime of the stochastic lasers, in vicinity of the single-mode regime of generation.
Here I consider the holomorphic extension of the logistic sequence for not only integer, but complex values of the argument.
%можно рассматривать как грубое %, эвристическое  %приближение для описания стохастических физических систем и задач гидро- и аэро- динамики, а также переходного поведения стохастических лазеров, в частности, вблизи одномодового режима генерации. 
\vskip 2mm

%Мой учитель квантовой механики Елютин Павел Вячеславович, узнав о моих амбициях в связи с суперфункциями,
%(и претензиях на то, что я могу построить нецелую итерацию для любой реально-голоморфной передаточной функции), 
\JP{My teacher of Quantum Mechanics, I mean Pawel Elutin, knew about my ambitions about superfunctions, and asked me to built-up the continual generalisation of the logistic sequence
%попросил  
\cite{elutin}, 
%что я и сделал 
and this generalisation had been constructed and reported \cite{logistic}. The main results of that publication are presented in this chapter.}%JP
%К сожалению, Павел отказался принять участие в написании статьи \cite{logistic} о такой итерации, и если там что не так в мотивации этого рассмотрения, то ругайте меня (а не Учителя). 
%Oсновныe результаты упомянутой статьи представлены в этой главе.

\JP{ Исторически, сперва была построена голоморфная суперэкспонента (тетрация) по основанию $\mathrm e$, потом - тетрация по основанию $\sqrt{2}$, потом - суперфакториал, и только потом - голоморфное расширение логистической последовательности. Однако логистический оператор, который является квадратичной функцией, во многих отношениях проще, чем факториал и экспонента. Кроме того, для $s=4$, голоморфное расширение логистической последовательности, то есть суперфункция для передаточной функции $T$ по формуле \rf{logisticop}, выражается элементарной функцией.
Я занимаюсь физикой и математикой, но не историей физики и математики. Поэтому, вместо того, чтобы излагать результаты в последовательности, в которой они были получены, я начинаю с простых примеров и потом перехожу к более сложным. }%JP

%\section{Логистичесская последовательность}
\section{Logistic sequence}
\baselineskip 19.2pt

\newcommand \fiax {
\put(2,108){\sx{.9}{1}}
%\put(-9, 84){\sx{.9}{0.25}}
%\put( -4, 58){\sx{.9}{0.5}}
\put(2, 58){\sx{.9}{$\frac{1}{2}$}}
%\put(-9, 34){\sx{.9}{0.25}}
\put( 2,  8){\sx{.9}{0}}
\put(  8,  0){\sx{.9}{0}}
\put( 55,  0){\sx{.9}{0.5}}
\put(108,  0){\sx{.9}{1}}
}
\newcommand \figOne{
\begin{center}\hskip -4pt
\sx{1.1}{\begin{picture}(120,126) \put(8,8){\ing{logi1a3}} \fiax \put(0,128){\sx{1}{$y\!=\!T^{n}(x)$}}
\put(31,63){\rot{51}\sx{.85}{$n\!=1$}\ero}
\put(33,53){\rot{49}\sx{.85}{$n\!=0.8$}\ero}
\put(39,48){\rot{48}\sx{.85}{$n\!=0.5$}\ero}
\put(44,40){\rot{46}\sx{.85}{$n\!=0.2$}\ero}
%\put(121,  0){\sx{.9}{$x$}}
\put(43,18){\sx{1.8}{$s\!=\!3$}}
\end{picture}}
\sx{1.1}{\begin{picture}(120,126) \put(8,8){\ing{logi1a4}} \fiax \put(0,128){\sx{1}{$y\!=\!T^{n}(x)$}}
\put(32,84){\rot{57}\sx{.9}{$n\!=1$}\ero}
\put(39,70){\rot{54}\sx{.88}{$n\!=0.8$}\ero}
\put(46,65){\rot{51}\sx{.88}{$n\!=0.5$}\ero}
\put(54,54){\rot{49}\sx{.9}{$n\!=0.2$}\ero}
%\put(121,  0){\sx{.9}{$x$}}
\put(43,18){\sx{1.8}{$s\!=\!4$}}
\end{picture}}
\sx{1.1}{\begin{picture}(140,146) \put(8,8){\ing{logi1a5}} \fiax \put(0,128){\sx{1}{$y$}}
\put(34,107){\rot{61}\sx{.93}{$n\!=1$}\ero}
\put(45, 90){\rot{59}\sx{.92}{$n\!=0.8$}\ero}
\put(53, 77){\rot{55}\sx{.92}{$n\!=0.5$}\ero}
\put(58, 60){\rot{50}\sx{.92}{$n\!=0.2$}\ero}
\put(130,  0){\sx{.9}{$x$}}
\put(43,18){\sx{1.8}{$s\!=\!5$}}
\end{picture}}
\end{center}
}
\newcommand \capOne{
%Итерации логистического отображения 
Iterates of the Elutin function
\rf{logisticop}: $y\!=\! \mathrm{Elu}_s^{n}(x)$
%как функции вещественного $x$ 
for $s\!=\!3$, left; 
for $s\!=\!4$, center; 
for $s\!=\!5$, right; curves for 
$n\!=\!1$,
$n\!=\!0.8$,
$n\!=\!0.5$,
$n\!=\!0.2$ are drawn. 
\JP{
для $s\!=\!3$, слева; 
для $s\!=\!4$, по центру; 
для $s\!=\!5$, справа}
%построены кривые для 
%$n\!=\!1$,
%$n\!=\!0.8$,
%$n\!=\!0.5$,
%$n\!=\!0.2$ }%
%\iL{Logi1a345T300}
\label{Logi1a345T300}
}
\begin{figure}
\figOne 
\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi1a345T300.png}
\vskip -6pt
\caption{\capOne~
\label{eluite}
\label{figlogi1} }  
\vskip 24pt
\end{figure}

%Графики итераций логистического отображения $T$, определенного формулой \rf{logisticop}, как функций вещественного аргумента, представлены на рисунке \ref{figlogi1} для $s\!=\!3$ (левая картинка) $s\!=\!4$ (центральная картинка) и $s\!=\!5$ (правая картинка); показаны итерации  $y\!=\!T^n(x)$ для $n\!=\!0.2$, $n\!=\!0.5$, $n\!=\!0.8$ и $n\!=\!1$.
Iterates of the Elutin function (logistic map)  $T\!=\!\mathrm{Elu}_s$ by \rf{logisticop}, 
as functions of real argument, are shown in figure \ref{figlogi1} 
for $s\!=\!3$ (left picture) $s\!=\!4$ (central picture) and $s\!=\!5$ (right picture); 
$y\!=\! \mathrm{Elu}_s^{\,n}(x)$ is plotted versus $x$ for $n\!=\!0.2$, $n\!=\!0.5$, $n\!=\!0.8$ and $n\!=\!1$.
%Генератор этого рисунка загружен в ТОРИ по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi1a345T300.png}
%\vskip 2mm
%Все графики  рисунке \ref{figlogi1} построены по одной и той же формуле,
All the graphics in figure  \ref{figlogi1} are plotted with the same formula
\be
%T_s^n(z)=F(n+G(z))
\mathrm{Elu}_s^n(z)=F(n+G(z))
\eL{ite}
%где $F$ есть суперфункция, решение уравнения \rf{LOGEQ}, а  $G\!=\!F^{-1}$ есть её обратная функция (то есть абельфункция логистического ..). Суперфункция  $F$, собственно, и есть ``голоморфное расширение логистической последовательности''. 
where $F$ is specific superfunction, solution of equation \rf{LOGEQ}, and  $G\!=\!F^{-1}$ 
is the inverse function (id est, abelfunction of $\mathrm{Elu}_s$).
Superfunction $F$ 
appears
%can be considered 
as holomorphic extension of the logistic sequence \cite{logistic}.
%есть её обратная функция (то есть абельфункция логистического оператора). Суперфункция  $F$, собственно, и есть ``голоморфное расширение логистической последовательности''. 
%Суперфункция  $F$ построена с помощью регулярной итерации, описанной в предыдущей главе.
%where  $F$ is superfunction, solution of equation \rf{LOGEQ}, and  $G\!=\!F^{-1}$ 
%is the inverse function (id est, abalfunction of the  о есть абельфункция логистического уравнения). Суперфункция  $F$, собственно, и есть ``голоморфное расширение логистической последовательности''. 
%Суперфункция  $F$ построена с помощью регулярной итерации, описанной в предыдущей главе.
%начале этой главы.
Superfunction $F$ can be constructed with the regular iteration, described in the previous chapter.
This construction is described below.
\vskip 2mm

At the construction of a superfunction, the key question is about the fixed points of the transfer function.
%При построении суперфункции, ключевым является вопрос о стационарных точках передаточной функции.
%Для квадратичной передаточной функции $T$ по формуле \rf{logisticop}, уравнение $T(z)\!=\!z$ имеет два решения, 
For transfer function $T\!=\!\mathrm{Elu}$ by \rf{logisticop}, equation $\mathrm{Elu}_s(z)\!=\!z$ has two solutions,
$z\!=\!0$ and $z\!=\!1\!-\!1/s$. 
%Первое из этих решений не зависит от $s$. Это решение используется для вычисления ``голоморфного расширения логистической последоветельности'', то есть суперфункции $F$, и абельфункции $G\!=\!F^{-1}$ и, соответственно, для построения рисунка  \ref{figlogi1} по формуле 
First of these solutions does not depend on $s$. This solution is used for construction and evaluation of the ``holomorphic extension of the logistic sequence'', id est, the specific  solution $F=\mathrm{Pav}_s$ of equation \ref{LOGEQ},
shown in figure \ref{logi56} below.
% which is superfunction of the Elution function $\mathrm{Elu}_s$. 
Then I can construct the inverse function
$G=F^{-1}$, which is the corresponding abelfunction. These $F$ and $G$ allow to plot figure  \ref{figlogi1} by formula
\rf{ite}. 
%Evaluation of 
%functions
Construction of these functions
%$F$ and $G$ for this case 
is described in the next section.
%Это вычисление описано ниже.

%\section{Стационарная точка $L\!=\!0$}
\section{Fixed point $L\!=\!0$}
\baselineskip 18.4pt

\begin{figure}[t]
\sx{2.6}{\begin{picture}(166,24)
\put( 1,1){\includegraphics{logi6}}
%\put( 64,48){\sx{.6}{$F(x)$}}
\put( 50,16){\sx{.4}{$F(x)$}}
\put( 0,22){\sx{.33}{$1$}}
\put( 0, 3){\sx{.33}{$0$}}
%\put( -1, 3){\sx{.4}{$-1$}}
\put( 20, 0){\sx{.33}{$-2$}}
\put( 40, 0){\sx{.33}{$-1$}}
\put( 62.5, 0){\sx{.33}{$0$}}
\put( 82.5, 0){\sx{.33}{$1$}}
\put(102.5, 0){\sx{.33}{$2$}}
\put(122.5, 0){\sx{.33}{$3$}}
\put(142.5, 0){\sx{.33}{$4$}}
\put(162, 0){\sx{.33}{$x$}}
\put(91,15.5){\sx{.3}{$s\!=\!3$}}
\put(91,11){\sx{.3}{$s\!=\!3.4$}}
\put(93, 5){\sx{.3}{$s\!=\!3.8$}}
\end{picture}}
\vskip  10pt

\sx{2.6}{\begin{picture}(166,44)
\put( 1,1){\includegraphics{logi5}}
%\put( 64,48){\sx{.6}{$F(x)$}}
\put( 50,36){\sx{.4}{$F(x)$}}
\put(  0,41.5){\sx{.3}{$1$}}
\put(  0,22){\sx{.3}{$0$}}
\put( -1, 2){\sx{.3}{$-\!1$}}
\put( 20, 0){\sx{.3}{$-2$}}
\put( 40, 0){\sx{.3}{$-1$}}
\put( 62.5, 0){\sx{.3}{$0$}}
\put( 82.5, 0){\sx{.3}{$1$}}
\put(102.5, 0){\sx{.3}{$2$}}
\put(122.5, 0){\sx{.3}{$3$}}
\put(142.5, 0){\sx{.3}{$4$}}
\put(162, 0){\sx{.3}{$x$}}
\put(91.3,29){\sx{.3}{$s\!=\!3.9$}}
%\put(91,21){\sx{.3}{$s\!=\!4$}}
\put(92.5, 19.5){\sx{.3}{$s\!=\!4.1$}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LogisticSecK2.jpg}
\vskip -10pt
%\caption{\large $F(x)\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s(x)$
\caption{\large $\mathrm{Pav}_s(x)$
%по формулам \rf{as},\rf{regi}, \rf{logilim}  для $s\!=\!3$, $s\!=\!3.4$, $s\!=\!3.8$, вверху и для $s\!=\!3.9$, $s\!=\!4$, $s\!=\!4.1$, внизу 
by formulas \rf{as},\rf{regi}, \rf{logilim} for $s\!=\!3$, $s\!=\!3.4$, $s\!=\!3.8$, at the top picture, and for $s\!=\!3.9$, $s\!=\!4$, $s\!=\!4.1$, bottom.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LogisticSecK2.jpg}
\iL{logi56}}
\vskip 18pt
\end{figure}

%Для логистической передаточной функции $T$ по формуле \rf{logisticop}, в разложении
%\rf{Lea2general} можно положить $k\!=\!\log s$; тогда  $\varepsilon\!=\!s^z$; это дает разложение для начальной аппроксимации суперфункции в виде
For the 
Elutin transfer function by \rf{logisticop}, with the regular iteration at the fixed point $L\!=\!0$, I construct the superfunction $F=\mathrm{Pav}_s$. Graphics $y\!=\! \mathrm{Pav}_s(x)$ are shown in figures \ref{logi56} for different $s$. 
The complex maps are shown in figures \ref{logi2c3}, \ref{logi2c4}, \ref{logi2c5}.
Below I describe the construction and evaluation of this superfunction. 
\vskip 2mm

\newcommand \axes {
\normalsize
\put(  5,126){\sx{.6}{$y$}}
\put(  5,106.4){\sx{.6}{$2$}}
\put(  5, 86.4){\sx{.6}{$1$}}
\put(  5, 66.4){\sx{.6}{$0$}}
\put( 0, 46.4){\sx{.6}{$-1$}}
\put( 0, 26.4){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 24,  1){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 44,  1){\sx{.6}{$-1$}}
\put( 68.4,  1){\sx{.6}{$0$}}
\put( 89.2,  1){\sx{.6}{$1$}}
\put(109.2,  1){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,  1){\sx{.6}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip -4pt
\sx{3.3}{\begin{picture}(130,130) \put( 8,6){\ing{logi2c3}}
\put(12,124){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 96){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(11.4, 66.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 37){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 9){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(32,60){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.1$}\ero}
\put(45,60){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.2$}\ero}
\put(86,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(106,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(126,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(54,72){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0.1$}\ero}
\put(52,60){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!-0.1$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{Pav}_3(x\!+\! \mathrm i y)$ by \rf{logilim}
%$F$ для $s\!=\!3$ слева,% $s\!=\!4$ в центре и  $s\!=\!5$ справа;  
%Генераторы: 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png} и
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png}
\iL{logi2c3}
}
\vskip 2pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip -4pt
\sx{3.3}{\begin{picture}(130,130) \put( 8,6){\ing{logi2c4}}
\put(12,112){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 89.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 66.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 43.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 21){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(40,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.1$}\ero}
\put(50,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.2$}\ero}
%
\put(85.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(105.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(126,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(54,71.2){\rot{-8}\sx{.6}{$v\!=\!0.1$}\ero}
\put(51,61){\rot{5}\sx{.6}{$v\!=\!-0.1$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png} 
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{Pav}_4(x\!+\! \mathrm i y)$ by \rf{logilim}
\iL{logi2c4}
}
\vskip 2pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip -4pt
\sx{3.3}{\begin{picture}(130,130) \put( 8,6){\ing{logi2c5}}
\put(12,105.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 86.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 66.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 46.8){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 27.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}

\put(44,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.1$}\ero}
\put(53,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.2$}\ero}
%
\put(76.8,61){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(85.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(105.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(126,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
%\put(54,71.2){\rot{-8}\sx{.6}{$v\!=\!0.1$}\ero}
%\put(51,61){\rot{5}\sx{.6}{$v\!=\!-0.1$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.png} % it is not loaded
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{Pav}_5(x\!+\! \mathrm i y)$ by \rf{logilim}
\iL{logi2c5}
}
\vskip 2pt
\end{figure}
\vskip 2mm

I need some name to denote superfunction for the transfer function $\mathrm{Elu}_z$; For this superfunction, I suggest name ``Pav''. In this name, I use first 2.5 characters of the first name Pawel of my teacher (who had asked me to construct this function; half of letter w appears as v). First three characters of his last name Elutin are already used below to denote the quadratic function
\rf{logisticop}, known also as ``logistic map''. My excuse for defining of the new name is the following: the ``logistic map'', as it is called in the literature, is not actually map in the common sense of this word;
% (nor representation of anything of two variables); 
it is holomorphic function; and the similar note refers to the so-called ``logistic sequence''. So, I use term ``Elutin function'' instead of ``logistic map''; in the context of this book, it is holomorhic function, just some polymomial.
\vskip 2mm

In order to define function $\mathrm{Pav}_s$, first, I construct its asymptotic.
For the fixed point $L\!=\!0$,  in the expansion \rf{Lea2general}, increment $k\!=\!\log s$, and the expansion parameter  $\varepsilon\!=\!s^z$; 
This gives the primary expansion of the superfunction
\be
\tilde F(z)= \sum_{n=1}^{N-1} a_{n} s^{nz} + \mathcal{O}(s^{Nz})
\eL{as}
%для некоторого натурального числа $N$. 
%\vskip 2mm
%Для соответствия с представлением \rf{Lea2general}, удобно положить %также
For the representation \rf{Lea2general}, I set also %также
 $a_1\!=\!1$.
%Выбор этого коэффициента влияет лишь на трансляцию аргумента полученной суперфункции. % на константу.
%The shoice of this parameter affects only the displacement of the argument of the resulting superfunction.
Variation of this parameter causes only the displacement of the argument of the resulting superfunction; this does not affect the iterates of the transfer function $\mathrm{Elu}_s$.
%Формулы \rf{a2.39} определяют коэффициенты $a$. В частности,
Expressions  \rf{a2.39} determine the coefficients $a$. In particular,
\be
a_{2}&=& \frac{1}{1\!-\!s}  ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ \iL{logia2}\\
a_{3}&=& \frac{2}{(1\!-\!s)(1\!-\!s^2)} ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~\iL{logia3}\\
a_{4}&=& \frac{5+s}{(1\!-\!s)(1\!-\!s^2)(1-s^3)} ~~~~~~\iL{logia4}
\ee
%Несколько десятков этих коэффициентов нетрудно оценить, используя пакеты ``Mathematica'' или ``Maple''.
%Первичное приближение $\tilde F(z)$  по формуле \rf{as} пригодно для аккуратного (прецизионного) вычисления суперфункции $F(z)$ для больших отрицательных значений $\Re(z)$. 
The primary representation  $\tilde F(z)$  by \rf{as} allows the accurate (precise) evaluation of $F(z)$ at large negative values of $\Re(z)$.
%Для иных значений используется  формула \rf{regi}.
%Затем, голоморфное расширение логистической последовательности, или, попросту, л
%Логистическая последовательность $F$, показанная на рисунке \ref{logi56},  получается как предел
Then, the continual extension of the logistic sequence,
%$F$, 
shown in figure \ref{logi56}, appears as limit
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)= \mathrm{Pav}_s(z) 
%\nonumber \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Elu}_s^{~n}\Big(\tilde F(z\!-\!n)\Big) ~ ~
%\label{logilim}
\iL{logilim}
\ee
%Это определение указывает способ вычисления логистической последовательности для нецелых значений аргумента.
%Таким образом можно вычислять суперфункцию $F$, то есть голоморфное расширение логистической последовательности, с любой требуемой точностью.  

%Для вещественных значений аргумента, графики суперфункции  $F\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s$ построены на рисунке \ref{logi56} при $s\!=\!3$, $s\!=\!3.4$, $s\!=\!3.8$ на верхней картинке и при $s\!=\!3.9$, $s\!=\!4$, $s\!=\!4.1$ на нижней картинке.
For real 
%values of the 
argument, graphics of superfunction  $F\!=\!\mathrm{Pav}_s$ are shown in figure \ref{logi56} for $s\!=\!3$, $s\!=\!3.4$, $s\!=\!3.8$ at the top picture and for $s\!=\!3.9$, $s\!=\!4$, $s\!=\!4.1$ at the bottom picture.
%Для $s\!=\!3$, $s\!=\!4$ и $s\!=\!5$, комплексные карты функции $F\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s$ пoказаны на рисунках 
For $s\!=\!3$, $s\!=\!4$ and $s\!=\!5$, the complex maps of function $F\!=\!\mathrm{Pav}_s$ are shown in figures 
\ref{logi2c3},
\ref{logi2c4},
\ref{logi2c5} announced above.
%Генераторы этих рисунков загружены по урлям \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.png}

%\vskip 2mm

%Пока  $s\!<\!3.5$ (то есть не превышает ``констант Помо-Манневилля'' \cite{logistic,pomeau,gac}  ), 
While  $s\!<\!3.5$ (id est, does not exceed the ``Pomequ-Mannevill constants'' \cite{logistic,pomeau,gac}  ), 
%голоморфное расширение $F$ логистической последовательности, как и сама последоветельность, демонстрирует достаточно однообразные осцилляции. 
the logistic sequence $F$ (as for integer values of the argument, as for the real values) shows pretty boring and regular oscillations.
At larger values of $s$, at the argument grows, the oscillations become dense.
%При б\'oльших значениях этого параметра, осцилляции, по мере увеличения аргумента, становятся более сложными и более тесными;
Observation of $F(n)\!=\!\mathrm{Pav}_s(n)$ at the integer values of $n$ make an impression of quasi-random sequence. 
%наблюдения поведения функции $F$ лишь при целочисленных значениях аргумента создает впечатление квазислучайной последовательности. 
While  $s\!\le\!4$, at real $x$, function $F(x)$ oscillates within segment [0,1], and only at $s\!=\!4$ it touches the borders of this segment.
%Пока $s\!\le\!4$, при вещественном $x$, функция $F(x)$ колеблется, не выходя из сегмента [0,1], и лишь при $s\!=\!4$ касается краев этого сегмента при каждом колебании. При $s\!>\!4$, функция имеет ``провалы'', которые становятся все более глубокими при увеличении значений аргумента и/или параметра $s$. 
At $s\!>\!4$, the function has ``gaps''; they become deeper and deeper at the increase of the argument $x$ or parameter $s$.
\vskip 2mm

%При $s\!=\!4$, голоморфное расширение логистической последовательности можно представить в виде элементарной функции, 
At $s\!=\!4$, the holomorphic extensiion $F_s\!=\!\mathrm{Pav}_s$ of the logistic sequence can be represented as the elementary function,
\be
\mathrm{Pav}_4(z)=(1-\cos(2^z))/2
\eL{logicos}
%Для $s\!=\!4$, соответствующую кривую в нижней части рисунка \ref{logi56} можно было бы провести и без метода регулярной итерации. Совпадение значений для случая, когда ответ известен, является тестом, независимым подтверждением адекватности регулярной итерации как мето0да построения физически-осмысленных суперфункций.
The curve, corresponding to $s\!=\!4$ at figure \ref{logi56}, could be plotted even without the regular iteration; the same applies to map at figure \ref{logi2c4}.
\vskip 2mm

%При рассмотрении голоморфного расширения  $F$ в комплексной плоскости, её поведение полностью регулярно. Разумеется, колебания этой функции становятся все более частыми по мере увеличения вещественной части аргумента.
At consideration of the holomorphic extension of the logistic sequence in the complex plane, its behaviour is regular.
However, at large $s$, the oscillations become more and more dense with the increase of the argument.
% и увеличения значения параметра $s$.
%Комплексные карты функции $F(x)$ представлены на рисунке для $s\!=\!3$, $s\!=\!4$, $s\!=\!5$.
\vskip 2mm

Superfunction $F_s$, built with regular iteration at the fixed point $L\!=\!0$, is entire and periodic.
%Функция $F$, построенная на основе регулярной итерации, является целой (то есть голоморфна везде) и периодича; её период 
The period is pure imaginary (for real $s$):
\be
P= 2 \pi \rm i / \ln(s)
\eL{logiperiod}
%Эта периодичность 
%ясно 
%видна на комплексных картах рисунков 
This periodicity is seen in figures \ref{logi2c3}, \ref{logi2c4}, \ref{logi2c5}: 
%изолинии воспроизводятся при соответствующих трансляциях вдоль оси ординат. На этих картах помещается чуть больше одного периода.
The isolines are reproduced at the corresponding translations along the imaginary axis. A little bit more than one period fit the height of the map in figures
\ref{logi2c3}, \ref{logi2c4}, \ref{logi2c5}.
\vskip 2mm

%Голоморфное расширение логистической последовательности устраняет мистику стохастичности. Последовательности при различных начальных условиях (причем не обязательно вещественных) умещаются  на одной комплексной карте.
%The holomorphic extension of the logistic sequence eliminates the mystics of its quasi-stochasticity. 
%\vskip 2mm
%На основе голоморфного расширения логистической последовательности, можно строить, в частности, половинную итерацию передаточной 
With holomorphic extension of the logistic sequence, id est, superfunction $\mathrm{Pav}_s$, one can construct the non-integer iterates of the logistic map, id est, iterate the Elutin function $\mathrm{Elu}_s$ by  \rf{logisticop}; in particular, the half iterate of this transfer function can be constructed. However, for this, the inverse function is also required, I mean, the abelfunction
%функции, упомянутую в преамбуле этой главы; но для этого нужна ещё обратная функция,  
%$G_s\!=\!\mathrm{ArcLogisticSequence}_s\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s^{-1}$.
$G_s\!=\!\mathrm{ArcPav}_s\!=\!\mathrm{Pav}_s^{-1}$.
\vskip 2mm

%, то есть функция Абеля (или абельфункция) логистического оператора \rf{logisticop}.
%Карты этой абельфункции показаны на рисунках 
The complex maps of the abelfunction $\mathrm{ArcPav}_s$ are shown in figures
\ref{logi2d3}, \ref{logi2d4}, \ref{logi2d5} for
$s\!=\!3$,
$s\!=\!4$ and
$s\!=\!3$.
%Эта абельфункция рассмотрена в следующей секции.
This abelfunction is described in the next section.

\begin{figure}[t]
%\sx{1.18}{\begin{picture}(140,140) \put( 10, 10){\ing{logi2d3}}
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) 
\normalsize
\put( 8, 6){\ing{logi2d3}}
\put(67,99){\rot{ 72}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(61, 39){\rot{-74}\sx{.99}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put(40, 80){\rot{36}\sx{.99}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(86, 76){\rot{-3 }\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(86, 56){\rot{0 }\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
{\put( 14,66){\bf cut}}
{\put(111,66){\bf cut}}
%\RU{\put(13,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
%\RU{\put(98,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
\put(38, 51){\rot{-35}\sx{.9}{$u\!=\!0$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3T1500.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3t1500.jpg}
%\vskip -4pt
\caption{\large 
%по формулам \rf{GC},\rf{Git} для $s\!=\!3$ слева, $s\!=\!4$ в центре и  $s\!=\!5$ справа;  
%$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{ArcLogistic}_3(x\!+\! \mathrm i y)$ %для $s\!=\!3$ 
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{ArcPav}_3(x\!+\! \mathrm i y)$ %для $s\!=\!3$ 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3T1500.png}
\iL{logi2d3}}
\vskip 18pt
\end{figure}

%\section{Абельфункция для логистического оператора}
%\section{Abelfunction for the logistic operator}
\section{Abelfunction for the Elutin function}
\baselineskip 19.6pt
\begin{figure}[t]
\normalsize
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put( 8, 6){\ing{logi2d4}}
\put( 52, 88){\rot{0}\sx{.99}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 17,98){\rot{-36}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 92, 90.2){\rot{-2}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put( 91, 41){\rot{0}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put( 16, 30){\rot{36}\sx{.99}{$v\!=\!-2$}\ero}
{\put(12,66){\bf cut} }
{\put(109,66){\bf cut} }
%\RU{\put(11,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
%\RU{\put(96,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
\axes \end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d4T1500.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d4t1500.jpg}
%\vskip -4pt
\caption{\large
%Комплексные карты функции $G$, вычисляемой по формулам \rf{GC},\rf{Git} для $s\!=\!3$ слева, $s\!=\!4$ в центре и  $s\!=\!5$ справа;  
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{ArcPav}_4(x\!+\! \mathrm i y)$.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3T1500.png}
\iL{logi2d4}
}
\vskip 14pt
\end{figure}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put( 8, 6){\ing{logi2d5}}
\put(47, 78){\rot{30}\sx{.99}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 85,100){\rot{37}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put( 76, 38){\rot{-40}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
%\EN{\put(14,66){\bf cut} }%
%\EN{\put(111,66){\bf cut} }%
%\RU{\put(13,66){\sx{.8}{\bf разрез}} }%
%\RU{\put(98,66){\sx{.8}{\bf разрез}} }%
\put(13,66){\sx{.8}{\bf cut}} 
\put(114,66){\sx{.8}{\bf cut}}
\axes \end{picture}} 
\vskip 2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5T1500.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5t1500.jpg}
%\vskip -4pt
\caption{\large %по формулам \rf{GC},\rf{Git} для  $s\!=\!5$;  
$u\!+\!\mathrm i v =  \mathrm{ArcPav}_5(x\!+\! \mathrm i y)$.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5T1500.png}
\iL{logi2d5}
}
\vskip 14pt
\end{figure}
%Абельфункция $G$ вычисляется аналогично вычислению суперфункции $F$ с помощью регулярной итерации. Это вычисление описано ниже.
%Функция, обратная к суперфункции $F$, или абельфункция $G=F^{-1}$, удовлетворяет уравнению Абеля
This section describes the 
Abel function of the Elutin function $\mathrm{Elu}_s$ by \rf{logisticop}. I call this function $\mathrm{ArcPav}_s$.
It is inverse function of function $\mathrm{Pav}_s$ by \rf{logilim}, described in the previous section.
\vskip 2mm
%inverse function of the generalisation of the logistic sequence.
%In other words, the abelfunction $G_s\!=\!F_s^{-1}$ of the logistic operator $T_s$ by \rf{logisticop}. Abelfunction $G_s$ satisfies the Abel equation

Function $G\!=\!G_s\!=\!\mathrm{ArvPav}_s\!=\!\mathrm{Pav}_s^{-1}$ satisfies the Abel equation
\be
G_s(\mathrm{Elu}_s(z))=G_s(z)+1
\eL{GT}
This equation is the same as \rf{abeleq}, the only additional subscript $_s$ is gaffed to indicate the parameter in the transfer function $T=\mathrm{Pav}_s$.
%Грубо говоря, абельфункция считает, сколько раз надо применить передаточную функцию к некоторой константе, чтобы получить значение её аргумента.
%Комплексные карты функции $G$ представлены на рисункax 
Complex maps of function $G_s$ are shown in figures 
\ref{logi2d3}, \ref{logi2d4}, \ref{logi2d5} for various values of $s$.
This section describes evaluation of this function.
\vskip 2mm

% в тех же обозначениях, что и карты суперфункций $F$ на рисунке \ref{logi2c}; то есть на рисунке \ref{logi2d}, $u\!+\!\mathrm i v=G(x\!+\!\mathrm i y)$.
%Асимптотическое разложение $\tilde G$ для абельфункции $G$ может быть получено обращением разложения \rf{as} для суперфункции $F$;
The asymptotic expansion $\tilde G$ for abelfunction $G$ can be found with inversion of expansion \rf{as} for superfunction $F$; it has the following form:
\be
\tilde G(z)&=&\log_s \left( \sum_{n=1}^{N-1} C_n z^n +O(z^{N})\right)  \iL{GC}
\ee
In the software Mathematica, there is special procedure  {\bf InverseSeries} for such inversions.
%На языке Matematica для этого есть %специальная  процедура InverseSeries. 
\vskip 2mm

%Коэффициенты $C$ можно получить также 
%обращением асимптотического разложения \rf{as} суперфункции $F$.
%Цепочка уравнений для коэффициентов $C$ может быть получена также 
Coefficients $C$ in equation \rf{GC} depend also on parameter $s$, but this dependence is not indicated explicitly, in order to keep the expression compact.
The same coefficients can be found also substituting the expansion
%подстановкой разложения 
\rf{GC} 
%в уравнение Абеля 
into the Abel equation
\rf{GT} with transfer function $\mathrm{Elu}_s$
%$T(z)=s\,z\,(1\!-\!z)$
and equalising the coefficients at equal powers of $z$ in the left and in the right hand sides.
%и приравниванием коэффициентов при равных степенях $z$. В частности,
%Математика и Мапле позволяют вычислить несколько десятков коэффициентов $C$
%; читатель может сделать это самостоятельно в качестве упражнения. 
%Для первых коэффициентов получаются следующие выражения: 
In particular,
\be
C_1&=&1 \\
C_2&=& \frac{1}{s-1}\\
C_3&=& \frac{ 3s}{ (s-1)(s^2-1)}\\
C_3&=& \frac{ (s^2\!-\!5)s}{ (s\!-\!1)(s^2\!-\!1)(s^3\!-\!1)}
\ee
%Оборванная серия разложения \rf{GC} дает способ вычисления абельфункции $G$ при малых значениях аргумента. При больших значениях аргумента используется представление 
The truncated series of expansion \rf{GC} gives way to evaluate abefunction $G$ at small values of the argument.
At large values, the representation can be extended with
\be
G(z)\approx \tilde G(\mathrm{Elu}_s^{-n}(z))+n
\eL{Git}
%для целого $n$. Целые отрицательные итерации передаточной функции вычисляются с использованием обратной функции
for some large enough integer $n$.
The negative integer iterates of the transfer function can be evaluated, using representation of the inverse of the transfer function:
\be
\mathrm{ArcElu}_s^{-1}(z)=\mathrm{ArcElu}_s(z)=\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{z}{s}}
\label{logiTm1}
\ee
%Для функции Абеля, 

Symbol ``$\approx$'' in expression \rf{Git} should not make an impression, that only the approximation of the Abel function is constructed.
The exact Abel function can be expressed through the limit
%Абельфункция логистического оператора получается как предел
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcPav}_s(z)=G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \Big( \tilde G(\mathrm{Elu}_s^{-n}(z))+n \Big) ~ ~ ~
\label{AbelLogistic}
\ee
where symbol
%где символ 
$\tilde G_s$ 
%обозначает оборванную серию в разложении 
denotes the truncated series in the expansion
\rf{GC}.
%Такое представление используется для построения рисунков 
This representation is used in generators of figures
\ref{logi2d3}, 
\ref{logi2d4}, 
\ref{logi2d5}~. 
%Это же представление использовано для итераций,
%$~\mathrm{LogisticSeuquence}_s^{~n}(z)\!=\!T^n(z)\!=\!F(n\!+\!G(z))$, 
%показанных на рисунке 
The same representation is used to plot iterates of the transfer function in figure
\ref{figlogi1}.
at
$s\!=\!3$,
$s\!=\!4$ and
$s\!=\!5$. 
\vskip 2mm

%Функция $\mathrm{ArcLogisticOperator}_s(z)$ по формуле \rf{logiTm1} имеет точку ветвления $z\!=\!s/4$. Это ветвление обуславливает ветвление логистической последовательнности $\mathrm{ArcLogistic}_s$ и разрезы в правых частях карт, показанных на рисунках 
Function $\mathrm{ArcElu}_s(z)$ by \rf{logiTm1} has the branch point $z\!=\!s/4$. 
This determines also the branch of the abelfunction $\mathrm{ArcPav}_s$ and cuts in the right hand sides of maps in figures
\ref{logi2d3}, 
\ref{logi2d4}, 
\ref{logi2d5}~. 
The non-integer iterates of the transfer function, shown in figure \ref{Logi1a345T300}, have the similar branching.
%Соответствующее ветвление имеют и нецелые итерации, показанные на рисунке \ref{Logi1a345T300}.
%\vskip 2mm
%Частным случаем нецелой итерации явлается половинная итерация, упомянутая в преамбуле этой главы.
%Kарты половинной итерации показаны на рисунках
%\ref{logiha},
The half iterate is special case of the non-integer iterate; this case shown in figures 
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4},
\ref{logi2b5} and described in the next section.
%Следующая секция посвящена этой половинной итерации. 
%\newpage

\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130)
\normalsize
\put( 8, 6){\ing{logi2b3}}
\put( 12, 91){\rot{ 6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put( 12, 66){\rot{ 0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(  5, 40){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!-4$}\ero}
\put(112,106){\rot{ 50}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(110, 26){\rot{-52}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(24, 7){\rot{73}\sx{.8}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put(37.8, 8){\rot{69}\sx{.8}{$u\!=\!-2$}\ero}
\put(50, 8){\rot{65}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(62, 8){\rot{57}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
%
%\EN{\put(107,68){\bf cut}}%
%\RU{\put(94,68){\sx{.8}{\bf разрез}}}%
\axes \end{picture}}

\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2b3t1000.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large %Карта функции %$h\!=\! \mathrm{LogisticOperator}_3^{0.5)$; 
\large $u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{Elu}_3^{1/2}(x\!+\! \mathrm i y)$.
\iL{logi2b3}}
\vskip 4pt
\end{figure}

\section{Halfiteration of logistic operator %Половинная итерация %логистического оператора
}
\baselineskip 20.2pt

\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(140,130) \put( 8, 6){\ing{logi2b4}}
\put(12,88){\rot{ 6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(14,66){\rot{ 0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(9,43){\rot{-7}\sx{.8}{$v\!=\!-4$}\ero}
\put(112,106){\rot{ 50}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(110, 26){\rot{-52}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(28, 8){\rot{75}\sx{.8}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put(39, 08){\rot{68}\sx{.8}{$u\!=\!-2$}\ero}
\put(50.4, 08){\rot{65}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(61, 08){\rot{58}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
%
%\EN{\put(111,70){\bf cut}}%
%\RU{\put(98,70){\sx{.8}{\bf разрез}}}%
\axes 
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2s4t.jpg}
\vskip -6pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{Elu}_4^{0.5}(x\!+\! \mathrm i y)$
\iL{logi2b4}
}
\vskip 14pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put( 8, 6){\ing{logi2b5}}
\put(14,87){\rot{ 6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(12,66){\rot{ 0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12,44){\rot{-7}\sx{.8}{$v\!=\!-4$}\ero}
\put(112,106){\rot{ 50}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(110, 26){\rot{-53}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(29, 9){\rot{72}\sx{.8}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put(51, 10){\rot{64}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(73.4, 8){\rot{53}\sx{.8}{$u\!=\!4$}\ero}
%\EN{\put(111,70){\bf cut}}%
%\RU{\put(98,70){\sx{.8}{\bf разрез}}}%
\axes \end{picture}}
\vskip 4pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2s5t.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{Elu}_5^{0.5}(x\!+\! \mathrm i y)$
\iL{logi2b5}
}
\vskip 14pt
\end{figure}

%\begin{wrapfigure}{l}{130px}
\begin{figure}[h]
\sx{.66}{\begin{picture}(640,628) 
%\put( 4, 4){\ing{logi2b3}}
%\put(36, 36){\ing{logi2s5}}
%\put(36, 36){\ing{logi2q}}
\put(28, 28){\sx{5}{\ing{logi2q}}}
\normalsize

\put(  18,624){\sx{2.6}{$y$}}
\put(  18,530){\sx{2.6}{$2$}}
\put(  18,430){\sx{2.6}{$1$}}
\put(  18,330){\sx{2.6}{$0$}}
\put(  -2,230){\sx{2.6}{$-1$}}
\put(  -2,130){\sx{2.6}{$-2$}}
\put(  -2, 30){\sx{2.6}{$-3$}}
\put(  16, 10){\sx{2.6}{$-3$}}
\put(116, 10){\sx{2.6}{$-2$}}
\put(216, 10){\sx{2.6}{$-1$}}
\put(332, 10){\sx{2.6}{$0$}}
\put(432, 10){\sx{2.6}{$1$}}
\put(532, 10){\sx{2.6}{$2$}}
\put(622, 10){\sx{2.6}{$x$}}

\put( 52, 430){\rot{ 8}\sx{4}{$v\!=\!4$}\ero}
\put( 60, 326){\rot{ 0}\sx{4}{$v\!=\!0$}\ero}
\put( 566, 328){\rot{ 0}\sx{4}{\bf cut}\ero}
%\put( 42, 232){\rot{-9}\sx{4}{$v\!=\!-4$}\ero}
%
\put( 86, 42){\rot{71}\sx{4}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put( 128, 42){\rot{68}\sx{4}{$u\!=\!-3$}\ero}
\put( 208, 44){\rot{64}\sx{4}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 288, 39){\rot{56}\sx{4}{$u\!=\!3$}\ero}
%
\put( 430, 532){\rot{ 48}\sx{4}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 468, 488){\rot{ 52}\sx{4}{$v\!=\!0$}\ero}
\put( 514, 454){\rot{ 56}\sx{4}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put( 564, 424){\rot{ 60}\sx{4}{$v\!=\!-4$}\ero}
%
\put( 564, 204){\rot{-60}\sx{4}{$v\!=\!4$}\ero}
\put( 524, 170){\rot{-58}\sx{4}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 470, 150){\rot{-54}\sx{4}{$v\!=\!0$}\ero}
\put( 410, 132){\rot{-50}\sx{4}{$v\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 40pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2qt.jpg}
\caption{\large $u\!+\! \mathrm i v =$ $-1.8(-(x\!+\!\mathrm i y))^{\sqrt{2}}$ \label{wrap37}} \vskip 12pt
\end{figure}
%\begin{figure}[t]
%\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put(8,6){\ing{logi2q}}\axes 
%\end{picture}}
%\vskip -2pt
%\hskip 40pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2qt.jpg}
%\caption{\large $u\!+\! \mathrm i v =$ $-1.8(-(x\!+\!\mathrm i y))^{\sqrt{2}}$ \label{wrap37o}}\vskip 14pt
%\end{figure}
%С функциями $F$ и $G=F^{-1}$, итерации передаточной функции $T$ выражаются по формуле \rf{ite}. Именно так построены графики на рисунке \ref{figlogi1}. 
With superfunction $F_s$ and abelfunction $G_s=F_s^{-1}$, 
iterates of the transfer function $T_s$ are expressed with formula \rf{ite}. This representation is used to generate figure
 \ref{figlogi1}. 
%Генератор центральной части этого рисунка доступен также в ТОРИ, \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Logistic_sequence}; вероятно, в будущем туда будут добавлены онлайновые версии с генераторами (на С++) и для других рисунков.
%\vskip 2mm
%В частности, $T^{0.5}$ по формуле \rf{ite} являeтся решением задачи, поставленной Елютиным: построена функция 
In particular, $T_s^{0.5}$ by \rf{ite} is solution of the problem, formulated by P.Elutin:
The function $h_s$ is built as
\be \!\!\!\!
h_s\!=\! \mathrm{Elu}_s^{0.5}
~ ~ ~ ~ ~
\eL{logih}
%такая, что её вторая итерация дает логистический оператор \rf{logisticop}; то есть для некоторого множества значений $z$, имеет место соотношение
such that its second iterate gives the logistic operator \rf{logisticop}; 
id est, for some range of values of $z$, the relation below holds:
\be \!\!\!\!\!
h^2(z)=h(h(z))=T(z)=\mathrm{Elu}_s(z)=s\,z\,(1\!-\!z) ~
\label{h2}
\ee
%Выражение \ref{figlogi1} может использоваться не только для целых и не %только для вещественных значений $z$. 
%Комплексные карты функции $h$ представлены на рисункax 
Complex maps of function $h_s$ are shown in figures
%\ref{logiha}
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4} and
\ref{logi2b5} 
for various values of parameter $s$.
%Эти рисунки похожи:
%, при больших значениях аргумента, половиная итерация 
%При больших значениях аргумента, в функции LogisticOperator по формуле \rf{logisticop} 
%доминирует квадратичный терм, 
These maps look similar, because, at large values of the argument $z$, the approximate relation takes place: 
\be
\mathrm{Elu}_s(z)\approx  \tau(z)=-s (-z)^2
\eL{lopbig}
Iterates of function $\tau$ by  \rf{lopbig}
can be calculated in analogy with iterates of the transfer function by 
%Итерации  функции $\tau$ могут вычисляться по аналогии с итерациями передаточной функции по формуле
\rf{Pow}. 
\vskip 2mm

The readers are invited to plot the superfunction and the abelfunction for the transfer function $\tau$.
This can be done in analogy with the iterates of the power function, presented in Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
%Читатели приглашаются построить для такой тау суперфункцию и абельфункцию. Половинная итерация 
%может быть записана так
In particular, the half iterate can be written as follows:
\be
\tau^{1/2}(z)=-\alpha (-z)^{\sqrt{2}}
\eL{logita}
where  $\alpha=s^{1/(1+\sqrt{2})}$ 
%есть константа, и эта константа медленно зависит от параметра $s$.
is constant, and this constant depends on parameter $s$ slowly.

%На рисунке \ref{wrap37} показана карта функции $\tau^{1/2}$ по формуле \ref{logita} при $\alpha=1.8$; она похожа на все три карты на рисунках
Figure \ref{wrap37} shows the map of function $\tau^{1/2}$ by formula \ref{logita} at $\alpha=1.8$; 
it should be compared to maps 
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4} and
\ref{logi2b5}~, 
that correspond to various values of $s$. 
%соответствующих различным значениям $s$. В этих рисунках не удается направить линию разреза влево, и линии разреза, отмеченные пунктиром, пришлось направить вправо.
%
%\vskip 2mm
%в тех же обозначениях, что и на рисунках \ref{logi2c} и \ref{logi2d}. 
%Для сравнения, на рисунке \ref{wrap37} показана аналогичная карта для половинной итерации квадратичной %функии, то есть  $u\!+\! \mathrm i v =-1.8(-(x\!+\!\mathrm i y))^{\sqrt{2}}$. 
%\vskip 2mm
%
%При больших значениях
At large values $x^2\!+\!y^2$, the only quadratic term in the expansion of the transfer function is important,
%карта рисунка \ref{wrap37}  похожа на карты рисунков 
and all the four maps at figures  \ref{wrap37},
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4} and
\ref{logi2b5}
look similar.
% \ref{logi2b3}, \ref{logi2b3} и \ref{logi2b3};
%лучше даже сказать, что все эти четыре карты похожи между собой. Различие заметно лишь при значениях аргумента порядка единицы. Карты пришлось сделать во всю ширину страницы для того, чтобы это различие было видно без лупы.
In order to make the difference seen, these maps occupy all the width of the page available.
\vskip 2mm

%После того, как нецелая итерация какой-либо функции построена, полезно проверить, 
%что дают итерации такой итерации. В частности, вторая итерация половинной итерации какой-либо передаточной функции должна давать эту передаточную функцию. Для передаточной функции
When the non-integer iterate of some function is constructed, it has sense to check the results of iteration of this iterate.
For the transfer function 
$\mathrm{Elu}_s$ and its half iterate $h\!=\!\mathrm{Elu}_s^{0.5}$,
%такая проверка представлена на рисунке 
such a check, test is shown in figure 
%\ref{logi3e}.
\ref{logiha300}. 
This figure shows the map pf function $h^2$ for 
%Показана карта функции $h^2$ для   
$s\!=\!3$, $s\!=\!4$ and  $s\!=\!5$, 
%то есть для тех же значений параметра, для которых явные графики половинной (и не только половинной) итерации логистического оператора построены на рисунке 
id est, for the same values of parameter, that are used in figure \ref {Logi1a345T300}.
%В качестве проверки соотношения \rf{h2}, на рисунке  представлены карты функции $h^2$. 

\vskip 2mm
%В левой части карт рисунка 
In the left hand side of maps in figure  \ref{logiha300},
%\ref{logi3e},
the second iterate 
%вторая итерация функции 
of function $h$ coincides with the logistic mapping.
%совпадает с логистическим отображением.
%Драные линии указывают границы области применимости соотношения 
The scratched lines show the limit of applicability of relation
\rf{h2}.
\vskip 2mm

%Формула $h(h(z))\!=\!T(z)$ годится по крайней мере при $\Re(z)\!<\!1/2~$. 
Relation $h(h(z))\!=\!T(z)$ is valid at least for $\Re(z)\!<\!1/2~$. 
%Oб этом можно догадаться также из рисунка
%это означает, что  аргумент ещё не достиг максимума половинной итерации, видного также на рисунке 
%\ref{Logi1a345T300}.
%Комплексные карты функции $h$ представлены на рисунке. 
%Таким образом, голоморфное расширение логистической последовательности и соответствующие нецелые итерации логистического отображения соответствуют интуитивным ожиданиям насчет таких функций.
In such a way, the holomorphic extension of the logistic sequence, and also the corresponding non-integer iterates of the 
logistic operator correspond to the intuitive expectations about these functions.

\vskip 2mm
%\baselineskip 19pt
There is nothing specific in the half iterate of a function, while it is expressed through the superfunction and the abelfunction. It is just non-integer iterate, while number $n$ of iterate is 1/2.
On the other side, in the literature, the iteration half is often considered as something magic; perhaps, because for iterate half of some transfer function, the verification is especially simple; just iterate the halfiterate twice and see the region, where the result coincide with the original transfer function. Figure \ref{logiha300} appears as an example of such a verification.

\vskip 2mm
Interest to iterate half, since the half iterate of factorial ($\sqrt{\,!\,}$) \cite{kandi,sado} appears as a tradition.
%namely 
%half iterate appears in the request by Elutin
Namely iterate half is mentioned in the titles of publications \cite{kneser,paulsen2016}. 
So, I follow this tradition and analyse range of validity of representation of a function through its iterate half.

%\vskip 2mm
%The Reader is invited to construct any other holomorphic extension of the logistic sequence. This can be done with modification of the transfer function (and corresponding modification of the abelofunction), suggested at the bottom of table \label{TableOfSuperfunctions}. Then the Reader can compare the range of holomorphism of functions, obtained in such a way, with the range of holomorphism of functions, constructed in this Chapter.

%Для значений аргумента слева от этих линий, функция $h$ может рассматриваться как половинная итерация логистического оператора. 
%На разрезах функция  $h^2$ скачет и справа от этих линий свойства квадратичной передаточной функции $T$ не воспроизводятся даже качественно; в частности, от функции $G$, функция  $h$, а за ней и $h^2$ перенимают разрез вдоль положительной части вещественной оси. 
%Когда вещественная часть аргумента меньше $1/2$, и, в частности, в отрицательном направлении вещественной оси,  вещественная часть передаточной функции является монотонной функцией от вещественной части аргумента, и имеет место соотношение $h^2=T$.
%Аналогичные карты можно построить и для иных значений параметра $s$; в частности, для $s\!=\!4$ и $s\!=\!5$, для этих значений область применимости соотношения $h^2=T$ оказывается чуть шире.
%\vskip 2mm
%\newpage

\begin{figure}%[t]
%\color{red} \rule{200px}{400px}
\vskip 12pt
\hskip 2pt
\sx{1.32}{\begin{picture}(320,120)
\put(16,16){\ing{logihalf3}}
\put(22,86){\sx{3}{$s\!=\!3$}}
\put(8,112){\sx{1.2}{$y$}}
\put(8, 64.4){\sx{1.17}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}}
\put(8, 14){\sx{1.2}{$0$}}
\put(60,5){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(166,5){\sx{1.2}{$0$}}
\put(266,5){\sx{1.2}{$1$}}
\put(312,5){\sx{1.24}{$x$}}
\put(26,49.2){\sx{1.2}{\rot{12} $v\!=\!4$ \ero}}
\put(29,32){\sx{1.2}{\rot{6} $v\!=\!2$ \ero}}
\put(30,15){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
\put(222.4,32){\sx{1.2}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(238,24){\sx{1.2}{\rot{58}\bf cut \ero}}
\put(288,15){\sx{1.2}{\rot{0}\bf cut \ero}}
\put(170,113){\sx{1.2}{\rot{-20}$u\!=\!3$\ero}}
\put(161,100){\sx{1.2}{\rot{-30}$u\!=\!2$\ero}}
\put(151,87){\sx{1.2}{\rot{-41}$u\!=\!1$\ero}}
\put(136.6,76){\sx{1.2}{\rot{-54}$u\!=\!0$\ero}}
\put(125,68){\sx{1.2}{\rot{-72}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(112,64){\sx{1.2}{\rot{-79}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(97,59){\sx{1.2}{\rot{-81}$u\!=\!-3$\ero}}
\put(84,56){\sx{1.2}{\rot{-83}$u\!=\!-4$\ero}}
\end{picture}}
%\vskip 4pt
\vskip 12pt

\hskip 2pt
\sx{1.32}{\begin{picture}(320,120)
\put(16,16){\ing{logihalf4}}
\put(22,86){\sx{3}{$s\!=\!4$}}
\put(8,112){\sx{1.2}{$y$}}
\put(8, 64.4){\sx{1.17}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}}
\put(8, 14){\sx{1.2}{$0$}}
\put(60,5){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(166,5){\sx{1.2}{$0$}}
\put(266,5){\sx{1.2}{$1$}}
\put(312,5){\sx{1.24}{$x$}}
\put(26,40){\sx{1.2}{\rot{9} $v\!=\!4$ \ero}}
\put(29,27.7){\sx{1.2}{\rot{5} $v\!=\!2$ \ero}}
\put(30,15){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
\put(222.4,32){\sx{1.2}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(251,24){\sx{1.2}{\rot{69}\bf cut \ero}}
\put(288,15){\sx{1.2}{\rot{0}\bf cut \ero}}
\put(170,114){\sx{1.2}{\rot{-19}$u\!=\!4$\ero}}
\put(162,105){\sx{1.2}{\rot{-30}$u\!=\!3$\ero}}
\put(155,95){\sx{1.2}{\rot{-37}$u\!=\!2$\ero}}
\put(146,85){\sx{1.2}{\rot{-43}$u\!=\!1$\ero}}
\put(137,77){\sx{1.2}{\rot{-54}$u\!=\!0$\ero}}
\put(127.4,72){\sx{1.2}{\rot{-69}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(117.6,65){\sx{1.2}{\rot{-75}$u\!=\!-2$\ero}}%
\put(106.6,62){\sx{1.2}{\rot{-78}$u\!=\!-3$\ero}}%
\put(97.6,59){\sx{1.2}{\rot{-82}$u\!=\!-4$\ero}}
\end{picture}}
%\vskip 4pt
\vskip 12pt

\hskip 2pt
\sx{1.32}{\begin{picture}(320,220)
\put(16,16){\ing{logihal5}}
\put(22,186){\sx{3}{$s\!=\!5$}}
\put(8,212){\sx{1.2}{$y$}}
\put(8,164.5){\sx{1.17}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}}
\put(8,114){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-2,64.5){\sx{1.16}{$\displaystyle-\frac{1}{2}$}}
\put(-1,14){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(60,5){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(166,5){\sx{1.2}{$0$}}
\put(266,5){\sx{1.2}{$1$}}
\put(312,5){\sx{1.24}{$x$}}
\put(26,137){\sx{1.2}{\rot{9} $v\!=\!4$ \ero}}
\put(29,125){\sx{1.2}{\rot{4} $v\!=\!2$ \ero}}
\put(30,114.5){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
\put(28,105){\sx{1.2}{\rot{-4} $v\!=\!-2$ \ero}}
\put(25,94){\sx{1.2}{\rot{-9} $v\!=\!-4$ \ero}}
%
\put(172,201.8){\sx{1.2}{\rot{-22} $u\!=\!4$ \ero}}
\put(167,192.8){\sx{1.2}{\rot{-29} $u\!=\!3$ \ero}}
\put(159.8,183.8){\sx{1.2}{\rot{-36} $u\!=\!2$ \ero}}
\put(152,176){\sx{1.2}{\rot{-47} $u\!=\!1$ \ero}}
%
\put(82,21){\sx{1.2}{\rot{60} $u\!=\!-4$ \ero}}
\put(95,18){\sx{1.2}{\rot{56} $u\!=\!-2$ \ero}}
\put(110,17){\sx{1.2}{\rot{48} $u\!=\!0$ \ero}}
\put(130,17){\sx{1.2}{\rot{40} $u\!=\!2$ \ero}}
\put(156,17){\sx{1.2}{\rot{30} $u\!=\!4$ \ero}}
%
\put(263,124){\sx{1.2}{\rot{74}\bf cut \ero}}
\put(298,115){\sx{1.2}{\rot{0}\bf cut \ero}}
\put(222.4,102){\sx{1.2}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logiha300.jpg}
\vskip -1pt
\caption{\large
%Область применимости соотношения $h^2\!=\!T$ 
%\rf{h2}: 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!h(h(x\!+\!\mathrm i y))$
%по формуле 
by
\rf{logih}
%для 
for
$s\!=\!3$, 
$s\!=\!4$ and 
$s\!=\!5$ 
 \label{logiha300}}
%\vskip -400pt
\end{figure}

%\rule{0pt}{400pt}
%\newpage

%Таким образом, концепция том, что вторая итерация от половинной итерации передаточной функции совпадает с передаточной функцией, имеет ограниченную область применимости. 

%Для вещественнoго
% значений 
%аргумента, о
%Oб этом можно догадаться также из рисунка
%это означает, что  аргумент ещё не достиг максимума половинной итерации, видного также на рисунке 
%\ref{Logi1a345T300}.
%Комплексные карты функции $h$ представлены на рисунке. 
%Таким образом, голоморфное расширение логистической последовательности и соответствующие нецелые итерации логистического отображения соответствуют интуитивным ожиданиям насчет таких функций.

%\section{Иная стационарная точка, $L=1-1/s$}
%~

%\newpage

\section{Another fixed point, $L=1-1/s$}
\baselineskip 17.2pt

%Голоморфное расширение $F$  логистической последовательности по формулам   \rf{as},\rf{regi}   регулярно и периодично, причем период 
%\rf{logiperiod} чисто мнимый и слабо (логарифмически) зависит от параметра $s$. Однако такое расширение далеко не единственно.
%По аналогии с регулярной итерацией на основе стационарной точки $L\!=\!0$, можно построить решение, которое на минус бесконечности стремится к другой стационарной точке передаточной функции, а именно, $L\!=\!1\!-\!1/s$. 
%В этой подсекции описано 
%Tакое решение показано на рисунке 

Holomorphic extension $F_s$  of the logistic sequence by formulas \rf{as},\rf{regi}
is regular and periodic; the period $P_a$ by
\rf{logiperiod} 
is pure imaginary and slowly (as logarithm) depends on parameter $s$. 
This solution is not unique.
In analogy with the solution, that approaches the fixed point $L\!=\!0$,
one may construct other solutions, that approach the fixed point $L\!=\!1\!-\!1/s$ at minus infinity.
%В этой подсекции описано 
Complex map of one of such solutions is shown in figure
\ref{inaya}; this superfunction is described in the is section. 
%I use the same letter $F$ to denote various superfunctions, but I indicate the numbers of formulas, so, I hope, this will not lead to confusions.
\vskip 2mm
\begin{figure}[t]
%\sx{3.04}{\begin{picture}(140,20) 
\sx{2.6}{\begin{picture}(140,20) 
\put( 1, 1){\ing{logi5b4x}}
\put( 1, 21.8){\sx{.3}{$1$}}
\put( 1, 2){\sx{.3}{$0$}}

\put( 20.2,  0){\sx{.3}{$-4$}}
\put( 40.2,  0){\sx{.3}{$-3$}}
\put( 60.2,  0){\sx{.3}{$-2$}}
\put( 80.2,  0){\sx{.3}{$-1$}}
\put(102.6,  0){\sx{.3}{$0$}}
\put( 122.7,  0){\sx{.3}{$1$}}
\put(142.7,  0){\sx{.3}{$2$}}
\put(161,  0.4){\sx{.3}{$x$}}
\end{picture}}
%\sx{3.04}{\begin{picture}(140,85) 
\sx{2.6}{\begin{picture}(140,85) 
\put( 1, 1){\ing{logi5a4x}}
\put(  1, 81){\sx{.3}{$y$}}
\put(  1, 62){\sx{.3}{$1$}}
\put(  1, 42){\sx{.3}{$0$}}
\put( -1, 22){\sx{.3}{$-\!1$}}
%\put( -1, 2){\sx{.3}{$-\!2$}}
\put( 20.2,  0){\sx{.3}{$-4$}}
\put( 40.2,  0){\sx{.3}{$-3$}}
\put( 60.2,  0){\sx{.3}{$-2$}}
\put( 80.2,  0){\sx{.3}{$-1$}}
\put(102.6,  0){\sx{.3}{$0$}}
\put( 122.7,  0){\sx{.3}{$1$}}
\put(142.7,  0){\sx{.3}{$2$}}
\put(161,  0.4){\sx{.3}{$x$}}
\put(5.5,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(25.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(45.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(65.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(85.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(105.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(8,42.3){\sx{.3}{$v\!=\!0$}}
\put(20,39){\sx{.3}{\rot{90}$u\!=\!0.7$\ero}}
\put(30.6,38.6){\sx{.3}{\rot{90}$u\!=\!0.7$\ero}}
\put(37.4,38.4){\sx{.3}{\rot{90}$u\!=\!0.8$\ero}}

\put(50,45.3){\sx{.3}{$v\!=\!-0.1$}}
\put(52,42.3){\sx{.3}{$v\!=\!0$}}
\put(52,39.3){\sx{.3}{$v\!=\!0.1$}}

%\put(68,44.3){\sx{.25}{$v\!=\!0.1$}}
\put(69,42.3){\sx{.3}{$v\!=\!0$}}
%\put(67,40.3){\sx{.25}{$v\!=\!-0.1$}}

\end{picture}}
\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi5ab400.jpg}
\vskip -4pt
\caption{
%График голоморфного расширения $F(x)$ логистической последовательности, построенного вблизи стационарной точки $L=1\!-\!1/s$ по формулам \rf{L11s},\rf{regi} %, верхняя картинка;  
%и комплексная карта этого расширения для $s\!=\!4$;
%нижняя картинка, 
Superfunction $\mathrm{Paw}_4(x)$ by  \rf{L11s},\rf{regi}: explicit plot $y\!=\!\mathrm{Paw}_4(x)$, top picture, and complex map
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{Paw}_4(x\!+\!\mathrm i y)$, bottom picture, by \rf{inoelim}
\label{inaya}
\iL{logi5ab4}
}
\vskip 8pt
\end{figure}

%По аналогии с регулярной итерацией, описанной в начале этой главы, асимптотическое решение 
%передаточного уравнения \rf{transfereq} для логистической передаточной функции \rf{logisticop}  около стационарной точки $L=1-1/s$ может строиться в виде 

The logistic operator, id est, the transfer function $T_s$ by \rf{logisticop} has two fixed points, $L\!=\!0$ and  $L=1-1/s$. Consider the last of these fixed points. By the general way of regular iterations, I construct the superfunction $f$, that approaches $1\!-\!1/s$ at minus infinity, as follows:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\tilde f(z)\!&\!=\!&\frac{s-1}s
+\sum_{n=1}^{N-1} d_n \, \Big( (s\!-\!2)^z \cos(\pi z+\varphi) \Big)^{\!n} \iL{logina}\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
f(z)\!&\!=\!&\!\mathrm{Paw}_s(z) =\tilde F(z) + O\!\Big( (s\!-\!2)^z \cos(\pi z+\varphi) \Big)^{\!N}
~ ~\eL{L11s} 
%где $d$ суть вещественные коэффициенты и $\varphi$ есть вещественный параметр.
where $d$ are real parameters and $\varphi$ is real constant.
%Подстановка такого разложения в передаточное уравнение \ref{transfereq} и приравнивание коэффициентов при $z$ в одинаковых степенях дает цепочку уравнений для коэффициентов $d$. Как и ранее, 
%можно 
%удобно положить 
%первый коэффициент равным единице, то есть 
Substitution of this expansion into equation \rf{transfereq} gives the chain of equations for coefficients $d$. As in the previous cases, 
%it is convenient to set 
I set
$d_{1}=1$; 
%тогда
then
\be
d_2&=&\frac{-s}{(s-1)(s-2)}  \nonumber \\
d_3&=&\frac{-s^2}{(s-1)(s-2)(s-3)}   ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{logid2}\\
d_4&=&\frac{-(s-7)^3\, s^3}{(s-2)(s-3)(s^3-8s^2+22s-21)} 
\nonumber
\ee
\vskip 2mm
%Такие пакеты как ``Математика'' позволяют выразить в терминах элементарных функций порядка десятка первых коэффициентов $d$.
%Такой ряд дает аккуратную аппроксимацию суперфункции $F(z)$, пока эффективный параметр разложения, то есть 
%$(s\!-\!2)^z \cos(\pi z +\varphi)$, мал. Оборванная серия \rf{L11s} обеспечивает порядка десятка значащих цифр при
The truncated series gives the accurate approximation of function $F(z)$, while the effective parameter of expansion, id est 
$(s\!-\!2)^z \cos(\pi z +\varphi)$ is small.
Truncation with 4 coefficients in  \rf{L11s} 
provides of order of 10 significant figures while
\be
\pi |\Im(z)| \!+\! \ln(s\!-\!2) \Re(z) <4
\ee
%Расширения области адекватности с помощью итераций \rf{regi} дает определение алгоритм вычисления такой суперфункции $F$: 
The range of approximation can be extended with iterations \rf{regi}; this can be used both for definition and algorithm of precise evaluation of 
the superfunction: 
\be
f(z)=\mathrm{Paw}_s(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Elu}_s^{\,n}(\tilde f(z\!-\!n))
\eL{inoelim}
I denote this function with $\mathrm{Paw}_s$, in order to distinguish it from $\mathrm{Pav}_s$ in the previous sections;
I hope, use of generic name $F$ for different superfunctions will not cause confusions. 
Representation \rf{inoelim} is used to generate figure \ref{logi5ab4}.
%Этот алгоритм использован при построении рисунка. 
\vskip 2mm

%Суперфункция по формуле \rf{inoelim}  асимптотически периодична; асимптотический период
Superfunction $\mathrm{Paw}_s$ by \rf{inoelim}  is asymptotically–periodic; the asymptotic period
\be
P=\frac{2\pi}{\ln(s\!-\!2)\, \mathrm i+\pi}
\eL{logiquasiP}
%в верхней полуплоскости и $P^*$ в нижней полуплоскости.
in the upped half plane and $P^*$ in the lower half plane.
\vskip 2mm

%В отличие от суперфункции, построенной регулярной итерацией около нуля, выбор обратной функции (то есть абельфункции) для функции с разложением \rf{L11s} достаточно сложен; трудно решить, которая из осцилляций ``настоящая'';  но в принципе функция, показанная на рисунке тоже может считаться голоморфным обобщением логистического оператора. В соответствии с Шестой аксиомой ТОРИ, наиболее простое из решений я считаю основным, а более сложное - дополнительным. %В данном случае, таким дополнительным решением является
In contrast with superfunction $\mathrm{Pav}_s$,
%by \rf{as},\rf{logilim}, 
that is built up at the fixed point zero, for superfunction $\mathrm{Paw}_s$,
%by \rf{logina}, 
the choice of the inverse function is not straightforward. One needs to choose, which of the oscillations should be used to return the value of function. %; and there are many options to set the cutlines. 
For this reason I do not provide the corresponding abelfunction here. The Reader is invited to construct it according to own preferences.
\vskip 2mm

%Formally, foe a given transfer function, all the superfunctions have ``equal right'' to be considered as some ``true superfunction''. 
%However, some of superfunctions are simpler than other, and namely them I qualify as principal superfunction.
%This discrimination is expressed in the count by George Orwell:{\em All animals are equal, but some of them are more equal than others}
% No such site! \cite{orwell}
Following the 6th of the TORI axioms, about the simplicity, I consider the superfunction by  
\rf{as},\rf{logilim} as ``principal'', because it seems to me simpler than 
that by \rf{logina}. 
%As in many other cases, f
For the logistic operator as transfer function, the regular iteration provides the regular superfunction; however, superfunctions, constructed at different fixed points, may show pretty different behaviour. 

%Как и во многих случаях, обычная регулярная итерация (в данном случае около нуля) дает наиболее простое (и в этом смысctionле ``физичное") решение. Ещё один такой случай рассмотрен в следующей главе.


%\chapter{Суперфакториал}
%\chapter{~ Факториал}
%\chapter{~ Корень из факториалa}
%\chapter{~ Iterates of Factorial%and siperfactorial
\chapter{~ Factorial%and siperfactorial
} 
\baselineskip 20pt
%\baselineskip 19pt
%\baselineskip 18.2pt
%\begin{wrapfigure}{r}{170px}
\begin{wrapfigure}{r}{190px}
%\begin{wrapfigure}{r}[0pt]{250pt}
%\vskip -200pt
%\sx{3.3}{\begin{picture}(80,132)
%\sx{2.5}{\begin{picture}(80,128)
%\sx{2.7}{\begin{picture}(80,130)
%\sx{4.96}{\begin{picture}(80,136)
%\sx{3.6}
%\sx{.25}{\begin{picture}(480,580)
\sx{.4}{\begin{picture}(470,600)
\put(0,10){\ing{facsmall}}
\put(81,690){\sx{4.0}{$y$}}
\put(81,605){\sx{3.5}{$6$}}
\put(81,505){\sx{3.5}{$5$}}
\put(81,405){\sx{3.5}{$4$}}
\put(81,305){\sx{3.5}{$3$}}
\put(81,205){\sx{3.5}{$2$}}
\put(81,105){\sx{3.5}{$1$}}
\put(99,-24){\sx{3.5}{$0$}}
\put(199,-24){\sx{3.5}{$1$}}
\put(299,-24){\sx{3.5}{$2$}}
\put(399,-24){\sx{3.5}{$3$}}
\put(449,-24){\sx{3.5}{$x$}}
\put(400,640){\sx{4.2}{\rot{84}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}}
%\put(66,125){\sx{.28}{$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$}}
\put(500,20){\rot{90}\sx{2.2}{
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Facsma.jpg}}\ero}
\end{picture}}
%\vskip -8mm
%\hskip 24pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FactoReal.jpg}
%\vskip -2pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$
%Факториал и похожие функции
%Factorial and related functions for real argument
%$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$
%и связанные с факториалом функции 
%$y\!=\!x$, $y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ и  $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)^{-1}$ 
%как функции $x$. 
\label{facsmall}
\label{facsma}
}
%\vskip -200pt
\vskip 4pt
\end{wrapfigure}

Factorial is holomorphic solution of equation
\be \!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Factorial}(z\!+\!1)=z\, \mathrm{Factorial}(z)
\ee
%The solution can be written 
%in explicit form
Factorial can be expressed with %integral
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Factorial}(z)\!=\!
\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t
\label{facdef}
\ee
I use this notation instead of that with with exclamation, $\mathrm{Factorial}(z)\!=\!z!$, in order to simplify indication of the number of iterate in the upper superscript.
% and to avoid confusions.
\vskip 2mm

Graphic $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$ versus $x$ is shown in figure \ref{facsmall}.
%\rule{0pt}{200pt}
%\baselineskip 21pt
%В прошлом веке, 
At $x\!>\!2$, factorial shows fast monotonous growth. At $0\!<\! n\! <\!1$, the iterates
$\mathrm{Factorial}^n$ should show the similar, but slower growth.
These iterates are topic of this chapter. 
%This chapter describes 
\vskip 2mm

This chapter 
%considers iterates of function $T\!=\!\mathrm{Factorial}$; and also the superfunction
describes the superfunction of factorial, denoted below as SuFac, and the Abel function, denoted as AuFac.
Then, the iterates of Factorial appear as
% appears as
\be
\mathrm{Factorial}^n(z)=\mathrm{SuFac}\big(n+\mathrm{AuFac}(z)\big)
\eL{faciterge}
Below, I construct functions SuFac and AuFac and describe their properties.
In this chapter, I retell the basic concept of publication in the Moscow University Physics Bulletin, 2010 \cite{factorial}.
\vskip 42mm

%\section{Some history}
%\section{Motivation}
\section{Physics department}
%Historically, the 
Iterates of factorial and its superfunction and abelfunctions had been reported in 2010  \cite{factorial},
before iterates of the logistic map (Elutin function), described in the precious chapter. In this section I 
explain, why I consider this function as important.
\vskip 2mm

Past century, during the USSR, my teacher of Quantum Mechanics had asked students to give the physical sense to the operator
``square root of factorial''. That sign was well known in the USSR as symbol of the Physics Department of the Moscow State University
%Ещё во время СССР,  мой учитель квантовой механики, П.В.Елютин, в порядке издевательства над несчастными студентами, предложил дать физический смысл оператору ``корень из факториала'', 
%уже тогда известному как символ
%который 
%с 1950 года является символом 
%физического факультета 
%Физфака МГУ 
shown in figure \ref{SqrtFactorialLogo}, it is mentioned in the Introduction.
In analogy with other operators of Quantum Mechanics, 
%Я предложил, что корень из факториала - это такая функция, вторая итерация которой
%есть факториал. То есть решение $h$ уравнения
``square root of factorial'' should be some function $h$ such that its second iteration gives factorial,  $h^2\!=\!\mathrm{Factorial}$, id est,
\be
h(h(z))\!=\!z!=\mathrm{Factorial}(z)
\eL{hhzfac}
%Однако тогда я не смог указать способа вычисления этой функции; я не знал, что формализм для вычисления таких функций будет создан лишь в 21м веке. 
One could guess, that this function should be real-holomorphic, growing faster than any polynomial but slower than any exponential.
That time it was difficult, to evaluate such a function $h$: the formalism of superfunctions had not yet been developed.
\vskip 2mm

In principle, the Schroeder function and the scaling function could be used to construct and evaluate the solution $h$ of equation \rf{hhzfac}, instead of superfunctions. 
That time, for students, dealing with Quantum Mechanics, it was difficult to guess, that for the square root of factorial, 
the Schroeder (Schr\"oder) equation should be used instead of the widely known Schroedinger (Schr\"odinger) one
\footnote{Iterates of factorial and $\sqrt{\,!\,}\,$\rule{0pt}{12pt} can be evaluated also with the scaling function $f$ and the Schroeder function $g$
by \rf{Tnfg}}. In addition, that time, no algorithms for evaluation of the scaling function and the Schroeder function were available.

\vskip 2mm

After the successful evalation of tetration to base 
%После успешного вычисления тетрации по основанию 
$\sqrt{2}$, 
%опубликованного в журнале 
reported in 2009 at the journal Mathematics of Computation \cite{sqrt2}, 
%задача Елютина оказалась вполне решабельной; решение опубликовано в Вестнике МГУ 
%(и он же - ``Moscow University Physics Bulletin'') 
the problem with iterates of factorial (and, in particular, of the half iterate) happen to be pretty solvable. The solution is published in the
Moscow University Physics Bulletin  \cite{factorial} and described below. 
\vskip 8pt

I feel, first I should remind the properties of factorial.
This is matter of the next section.
%in year 2009 \cite{factorial}. In this chapter I retell that publication. 
%Уже после публикации про факториал, выяснилось, что Елютина больше интересует не половинная итерация факториала, а 
%половинная итерация логистического отображения и, соответственно, континуальное обобщение логистической последовательности
%\cite{logistic}. Такое обобщение оказалось даже проще факториала, и поэтому в этой Книге изложено раньше, в предыдущей главе.
%А в этой главе я пересказываю основые идеи публикации  \cite{factorial} про корень из факториала.

%\footnote{Historivally, the non-integer iterates of Factorial were considered before the iterates of the logistic sequence (described in the previous chapter).
%In this Book I reject the historical way of presentation and go from the simple and trivial examples to more complicated cases. The logistic operator is just a quadratic function of special kind; and it is simpler, that factorial. For this reason, in this Book, it is considered before factorial.}
%\vskip 3mm

%Для простоты, я предполагаю, что суперфункция факториала на бесконечности (по крайней мере в некоторых направлениах удаления от начала координат) стремится к одной из стационарных точек, а именно, к максимальной из них.
%Прежде, чем итерировать факториал, полезно посмотреть на график факториала 
%(рисунок \ref{figfac}) и вспомнить его свойства. Эти свойства перечислены в следующей секции.
%Before to consider iterates of factorial, it worth to remind its properties. 
\section{Factorial and its fixed points}
\baselineskip 18.6pt

For real argument, the explicit plot of factorial is shown in figure \ref{facsma}. I extend a little bit that plot in figure
\ref{figfac}, and I add some other related functions. The complex map of factorial is shown in figure \ref{facmap}. 
%These functions are discussed in the next section.
\begin{figure}[h]
%\begin{wrapfigure}{r}[0pt]{250pt}
%\vskip -200pt
%\sx{3.3}{\begin{picture}(80,132)
%\sx{2.5}{\begin{picture}(80,128)
%\sx{2.7}{\begin{picture}(80,130)
%\sx{4.96}{\begin{picture}(80,136)
\sx{4.5}{\begin{picture}(80,136)
\put(0,0){\ing{factoreal}}
% y axis
\put(38.3,132.1){\sx{.3}{$y$}}
\put(38.3,120.1){\sx{.3}{$5$}}
\put(38.3,110.1){\sx{.3}{$4$}}
\put(38.2,100.1){\sx{.3}{$3$}}
\put(38.1,90.1){\sx{.3}{$2$}}
\put(38, 80.1){\sx{.3}{$1$}}
\put(38, 74.9){\sx{.28}{$\nu_0$}}
\put(41.5,67.5){\sx{.28}{$1/\mu_1$}}
\put(36,60.1){\sx{.3}{$-1$}}
\put(36,50.1){\sx{.3}{$-2$}}
\put(42,34.9){\sx{.28}{$\mu_1$}}
\put(36,40.1){\sx{.3}{$-3$}}
\put(36,30.1){\sx{.3}{$-4$}}
\put(36,20.1){\sx{.3}{$-5$}}
% now the x-axis
\put( 8, 67){\sx{.3}{$-3$}}
\put(18, 67){\sx{.3}{$-2$}}
\put(24.6, 71.8){\sx{.28}{$\nu_1$}}
\put(28, 67){\sx{.3}{$-1$}}
\put(44.2, 71.8){\sx{.28}{$\nu_0$}}
\put(48.8, 71.8){\sx{.28}{$\mu_0$}}
\put(50.3, 67.1){\sx{.3}{$1$}}
\put(60.3, 67.2){\sx{.3}{$2$}}
\put(70.3, 67.3){\sx{.3}{$3$}}
\put(78, 67.6){\sx{.3}{$x$}}
%\put(36,10.1){\sx{.3}{$-7$}}
\put(66,125){\sx{.28}{$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$}}
\put(78,112){\sx{.29}{$y\!=\!x$}}
%\put(64, 95){\sx{.29}{$y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$}}
\put(64, 91){\sx{.28}{\rot{12}$y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$\ero}}
\put(63,76.4){\sx{.28}{\rot{-10}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)^{-1}$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -16mm
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FactoReal.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large 
%Факториал и похожие функции
Factorial and related functions for real argument
%$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$
%и связанные с факториалом функции 
%$y\!=\!x$, $y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ и  $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)^{-1}$ 
%как функции $x$. 
\iL{figfac}}
\vskip -200pt
\end{figure}

\rule{0pt}{200pt}

\baselineskip 18.8pt
\newcommand \ax {
\put( 10,342){\sx{1.4}{$y$}}
\put( 10,307){\sx{1.3}{$6$}}
\put( 10,267){\sx{1.3}{$4$}}
\put( 10,227){\sx{1.3}{$2$}}
\put( 10,187){\sx{1.3}{$0$}}
\put(  0,147){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(  0,107){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(  0, 67){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(  0, 27){\sx{1.3}{$-8$}}
\put( 50, 18){\sx{1.3}{$-6$}}
\put( 90, 18){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(130, 18){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(178, 18){\sx{1.3}{$0$}}
\put(218, 18){\sx{1.3}{$2$}}
\put(258, 18){\sx{1.3}{$4$}}
\put(298, 18){\sx{1.3}{$6$}}
\put(334, 19){\sx{1.4}{$x$}}
}
\begin{figure}[h]
%\hskip -5pt
\sx{1.2}{\begin{picture}(346,346) \ax
\put(-20,-10){\includegraphics{facmap}}
%\put(266,246){\rot{-14}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(286,225){\rot{-7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(288,207){\rot{-5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(299,187){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}}
\put(288,168){\rot{5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(286,150){\rot{7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(103,100){\rot{54}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(117,100){\rot{53}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(135,100){\rot{54}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(152,100){\rot{54}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(167, 99){\rot{50}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(182, 95){\rot{41}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(194, 85){\rot{39}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(201, 73){\rot{35}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(208, 61){\rot{33}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(215, 49){\rot{28}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -20pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Factorialz.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large Complex map: 
$u\!+\! \mathrm i v=\mathrm{Factorial}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{facmap}
}
\end{figure}

%\section{Факториал и его стационарные точки}
%\section{Factorial and its fixed points}
%\baselineskip18.6pt
\JP{
Factorial $T$ is solution of equation
\be
T(z\!+\!1)=z T(z)
\ee
holomorphic in the whole complex plane except the negative integer values of the argument.
Factorial of complex argument is built-in function in some programming languages. The solution can be expressed in the integral form
through the Gamma function,
\be
\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t
\ee
I would not say, that this form is somehow easier than 
\be
\mathrm{Factorial}(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t
\eL{facdef}
and therefore I consider \rf{facdef} as definition of factorial.
\vskip 2mm
}%JP
%Для построения суперфункции какой бы то ни было передаточной функции, вопрос о её стационарных точках очень важен. Вещественные стационарные точки факториала суть решения $L$ уравнения
For construction of superfunction of any transfer function, there is important question about its fixed points.
The fixed points of factorial are solutions $L$ of equation
%\be
$\mathrm{Factorial}(L)\!=\!L\,$.
%\ee
%Для вещественных значений аргумента,  график факториала построен на рисунке \ref{figfac} толстой кривой, $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$.
%Стационарные точки соответствуют пересечениям этой кривой с прямой $y\!=\!x$.
For real values of argument, the explicit plot of factorial is shown in figure  \ref{figfac} with thick curve, $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$.
The fixed points correspond to intersections of this curve with line $y\!=\!x$, also shown in the figure.
% красной курвой.
%Для сравнения, на рисунке показаны также графики функций $\mathrm{Factorial}^{-1}$ и $z \!\mapsto\! \mathrm{Factorial}(z)^{-1}$.
For comparison, the thin curves show functions $\mathrm{Factorial}^{-1}$ and $z \!\mapsto\! \mathrm{Factorial}(z)^{-1}$.
These curves are added in order to remind, that 
$ \mathrm{Factorial}^n(z)$,
$ \mathrm{Factorial}(z^n)$ and
$ \mathrm{Factorial}(z)^n$ have pretty different meanings.
%\vskip 4mm
%Kомплексные карты факториала и аркфакториала показаны на рисунках 
Complex maps of factorial and ArcFactorial are shown in figures 
\ref{facmap} и \ref{arcfacmap}. 
%На этих рисунках стационарные точки факториала и аркфакториала. 
%\vskip 2mm
\vskip 6pt
%\rule{0pt}{200pt}
%\newpage

\begin{figure}[t]
\sx{1.2}{\begin{picture}(346,346) \ax
\put(-20,-10){\includegraphics{afacmap}}
\put(158,348){\rot{-73}\sx{1.5}{$v\!=\!1.2$}\ero}
\put(102,349){\rot{-54}\sx{1.5}{$v\!=\!1.4$}\ero}
\put( 61,315){\rot{-36}\sx{1.5}{$v\!=\!1.6$}\ero}
\put( 40,268){\rot{-18}\sx{1.5}{$v\!=\!1.8$}\ero}
\put( 39,234){\rot{ -2}\sx{1.5}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 32,188){\sx{1.8}{\bf cut}}
\put( 33,152){\sx{1.5}{$v\!=\!-2$}}
\put( 36,101){\rot{19}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.8$}\ero}
\put( 64, 56){\rot{37}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.6$}\ero}
\put(114, 30){\rot{56}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.4$}\ero}
\put(166, 27){\rot{74}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.2$}\ero}
%
\put(225,308){\rot{82}\sx{1.5}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(216, 83){\rot{-87}\sx{1.5}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(244, 89){\rot{-68}\sx{1.5}{$v\!=\!-0.8$}\ero}
\put(253,293){\rot{62}\sx{1.5}{$v\!=\!0.8$}\ero}
\put(280,276){\rot{45}\sx{1.5}{$v\!=\!0.6$}\ero}
\put(302,250){\rot{30}\sx{1.5}{$v\!=\!0.4$}\ero}
\put(298,222){\rot{18}\sx{1.5}{$v\!=\!0.2$}\ero}
\put(304,187){\sx{1.6}{$v$=0}}
%\put(300,162){\rot{-15}\sx{1.5}{$q\!=\!-0.2$}\ero}
\put(264,132){\rot{54}\sx{1.5}{$u$=2.8}\ero}
\put(280,110){\rot{50}\sx{1.5}{$u$=3}\ero}
\put(290, 71){\rot{44}\sx{1.5}{$u$=3.2}\ero}
\put(300, 41){\rot{39}\sx{1.5}{$u$=3.4}\ero}
\end{picture}}
\vskip -24pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AfacmapT800.png}
\vskip -8pt
\caption{
%$u\!+\! \mathrm i v=\mathrm{Factorial}(x\!+\!\mathrm i y)$, слева, и 
$u\!+\! \mathrm i v=\mathrm{ArcFactorial}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{arcfacmap}
}
\end{figure}
\vskip 2mm

%\section{Факториал и его стационарные точки}
%\section{Стационарные точки}
%\baselineskip 21pt

%Численные имплементации факториала и аркфакториала, необходимые для регулярной итерации, в интернете найти было сложно. Софтвер ``Mathematica'' распознает факториал как встроенную функцию, но вычисляет её медленно, ``To press a key, to have a tea''.  Пакет ``Maple'' оказался не лучше
%, а десятая версия этого ``клена'' - много хуже 
%
%I failed to 
I had found no C++ implementations of factorial and arcfactorial for complex arguments in the literature.
Mathematica software allows the evaluation, but does it a little bit slowly; the Maple software happened to be not better \cite{tea}, see also the appendix, chapter 22, section 2.
\vskip 6pt
 
For evaluation of superfunction and the abelfunction, the transfer function and/or its inverse should be evaluated many times,
and the efficient (quick and precise) implementation is important.
%\vskip 2mm
%При вычисления суперфункции, передаточная функция вызывается несколько раз, и важно, чтобы она вычислялась быстро. 
%(Примерно так же, пока не было быстрых рутин для умножения и деления, не было и надежды сделать эффективную имплементацию экспоненты.)
%Поэтому факториал и аркфакториал пришлось программировать.
%, используя известные разложения Гамма-функции и её логарифма.
%Рутины для факториала и аркфакториала типа ``Complex double''
%на языке C++ загружены по урлям\\
For this reason, the original ``complex double'' procedures for factorial and arcfactorial are suggested and loaded as\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fac.cin} ~ and \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Afacc.cin}\\
These implementations are used to plot figures of this Chapter.
%\ref{facmap}, \ref{arcfacmap} and \ref{figfac}, mentioned above.
\vskip 6pt
%График факториала представлен на рисунке
%As it is mentioned above, graphics of 

In figure \ref{figfac}, I show also line $y\!=\!x$ and graphics
%. На этом же рисунке представлены графики  
$y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ and $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)^{-1}$.
%главным образом затем, 
%Эти графики напоминают разницу между случаем, когда функция итерируется $n$ раз (в данном случае функция факториал итерируется минус один раз, то есть вычисляется обратная функция) и случаем, когда значение функции возводится в степень  $n$ (в данном случае результат возводится в минус первую степень). На графике 
%Отмечены также первые экстремальные точки факториала, локальный минимум в точке 
Some extremal points of factorial are shown; the local minimum at point 
$x\!=\!\nu_0$
%и локальный максимум в точке
and local maximum at point 
$x\!=\!\nu_1$; 
%значения функции факториал в этих точках обозначены соответственно, как $\mu_0$ и $\mu_1$.
Values of factorial in these points are denoted as $\mu_0$ и $\mu_1$.
%Функция $\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ в точке $x\!=\!\mu_0$ имеет точку ветвления, и в этой точке имеет значение  $\nu_0$.
Function $y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ has the branch point  $x\!=\!\mu_0$, and
$\nu_0$ is its value 
%имеет точку ветвления, и в этой точке имеет значение  
at this point.
%\vskip 2mm
%Для того, чтобы не злоупотреблять математическими обозначениями, д
%Здесь для обратной функции используется также обозначение аркфакториал, или ArcFactorial. 
\JP{
В широкой области значений аргумента, комбинация факториала и аркфакториала эквивалентна тождественной функции, значение которой равно её аргументу. Эта функция показана на рисунке \ref{figfac} тонкой линией. Эта линия проведена на рисунке  \ref{figfac} не для того, чтобы напомнить читателю, что такое тождественная функция
\footnote{Предполагается, что это каждый младенец знает. У нас почему-то никто не знает, от чего умер Пушкин и чем фудоки отличаются от нибелунгов, а как очищают политуру \cite{erofeev} и что такое тождественная функция, и нас все знают.}, а чтобы показать, выделить вещественные стационарные точки факториала. Поэтому на рисунке \ref{figfac} прямая $y\!=\!x$ продолжена влево, где соотношение $\mathrm{Factorial}(\mathrm{ArcFactorial}(x))\!=\!x$ вызывает сомнения.
}
\vskip 6pt

%Стационарными точками факториала являются решения $L$ уравнения
%Fixed points of factorial are solutions $L$ of equation
%\be
%~$\mathrm{Factorial}(L)\!=\!L~$.
%\eL{FLL}
%На рисунке  \ref{figfac} поместилось четыре такие точки: $L\!=\!2$, $L\!=\!1$,  $L\!\approx\!-3.15$ и   $L\!\approx\!-3.95$; 
\JP{
The frame of figure  \ref{figfac} covers 4 fixed points: $L\!=\!2$, $L\!=\!1$,  $L\!\approx\!-3.15$ and   $L\!\approx\!-3.95$; 
%и ещё счетное множество таких точек осталось слева, за пределами рисунка. %и за пределами страницы. 
other real fixed points are out of range of  the figure.
%also, the countable set of the fixed points are outside the figure.
In principle, each of these points can be used for the regular iteration.
%В принципе, каждая из этих точек может быть использована для регулярной итерации. То есть для построения асимптотического разложения суперфункции и вычисления этой суперфункции,  суперфакториала.
In this Book, I choose only one fixed point,
%В этой главе, в качестве стационарной точки для регулярной итерации выбрано только одно значение, а именно  
$L\!=\!2$.
Namely this fixed point provides the real-holomorphic superfunction, that infinitely grows at plus infinity.
This superfunction is considered in the next section.
}%JP
%Именно эта стационарная точка дает вещественно-голоморфную суперфункцию, неограниченно (и весьма быстро) растущую на бесконечности.
%\vskip 2mm

%\subsection{Факториал и Аркфакториал в комплексной плоскости}
%Для того, чтобы выявить дефекты в имплементации голоморфной функции, полезно построить её график в комплексной плоскости. 
%Kомплексные карты факториала и аркфакториала представлены на рисунке \ref{facmap}. Свойства факториала можно найти, в частности,\\
%в ТОРИ
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/Factorial},\\
%на Ситизендиуме \url{http://en.citizendium.org/wiki/factorial},\\
%в Википедии \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial}\\ 
%и других сайтах, можно выбрать сайт, соответствующий личным преференциям Читателя. 
%В связи с подавлением науки в России \cite{unichtozhenie}, англоязычные описания специальных функций лучше русскоязычных.
%\footnote{Русская версия этой Книги может рассматириваться как русофильское стремление несколько исправить это положение в пользу русской культуры и русского языка}.
%В следующей секции, свойства факториала используются для построения его суперфункции, то есть суперфакториала.

%\section{Регулярная итерация для суперфакториала}
\section{Regular iteration for factorial}
\baselineskip  17pt

%Имеется счетное множество вещественных стационарных точек факториала.
%Интуитивно представляется, что суперфункция факториала, как и его абельфункция, должна быть монотонно растущей функцией по крайней мере в направлении вещественной оси. 
%При этом нецелые положительные итерации факториала тоже будут монотонными функциями. С целью построения этих функций 
%Чтобы обеспечить такой рост, выбрана наибольшая вещественная стационарная точка, а именно, $L\!=\!2$. Здесь описано построение суперфакториала, который стремится к этой стационарной точке при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента.
%\vskip 2mm
%In order to get the infinitely growing real-holomorphic superfactorial, 
%In this section,  I construct the regular iteration at the fixed point 
%В соответствии с общей формулой \rf{Lea2general}, для регулярной итерации вблизи стационарной точки 
%$L\!=\!2$. 
The asymptotic expansion of superffactorial can be written as follows:
%используется асимптотическое разложение суперфункции $F$ от факториала:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)&=&L+\exp(kx)+a_2 \exp(2kz)+a_3 \exp(3kz)+.. \nonumber \\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!       &=&L+\varepsilon+a_2 \varepsilon^2+a_3 \varepsilon^3+ ..
\label{superfacass}
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{sufass}
\ee
where $\varepsilon=\exp(kz)$, for some constant increment $k$ and constant coefficients $a$
%В соответствии с общими формулами 
According to the general formulas \rf{k38}, \rf{a2.39}, \rf{a2.40},
%подстановка такого разложения в передаточное уравнение
substitution of this expansion into the transfer equation
\be
\mathrm{Factorial}\big(F(z)\big)=F(z\!+\!1)
\eL{Tfac}
%дает значение инкремента 
gives the value of the increment. For Factorial's fixed point $L\!=\!2$, I get
% increment
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!
k=
%\ln(K)=
\ln\!\big(3\!+\!2\!~\fac'(0)\big)=\ln(3\!-\!2\,\gamma) 
  \approx 0.61278745233070836
~\label{fack}
%\nonumber \\
%\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%&~ ~ \approx 0.61278745233070836381366079016859252
\ee
%\eL{fack}
%In equation \rf{fack},
%\RU{где}
where
$\gamma\!=\!-\Gamma'(1)\!
\approx\! 0.5772156649%0153286060651209008240243
$
is Euer constant. I set
$a_0\!=\!2$ and  $a_1\!=\!1$;
% тогда частичная сумма в асимптотическом разложении 
%\rf{sufass}
%\rf{superfacass}
%JP
then the partial sum in 
%the asymptotic 
expansion 
\rf{superfacass} 
is easy to program. I get
%Для коэффициентов  $a$ получаются такие выражения:
\be a_2&\!=\!& \frac{\pi^2+6\gamma^{2}-18\gamma+6}{12(3-5\gamma+2\gamma^{2})} \approx 0.798731835172434541585621%072345730147
\\
a_{3}&\!=\!&\! \Big( 
-36-39\pi^2
-738\gamma^2+
324\gamma+
99\pi^2\gamma-60\pi^2\gamma^2-\pi^4+24\gamma^5
\nonumber\\
&&+ 594\gamma^3-120\zeta(3)\gamma+48\zeta(3)\gamma^2+12\gamma^3\pi^2+72\zeta(3)-204\gamma^4 \Big) /  \nonumber\\
&& \Big(144(-18+69\gamma-104\gamma^2+77\gamma^3-28\gamma^4+4\gamma^5) \Big) 
\nonumber\\
&\approx & 0.5778809754764832358038%07592348110748
\label{u2u3zeta}
\ee
%\eL{u2u3}
%where
In equation \rf{u2u3zeta}, the Riemann zeta-function appears,
%\RU{где буквой $\zeta$ обозначена Дзета-функция Римана \cite{IRENE},} 
$\ds \zeta(z) \!=\! \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z} \,
$. %\eL{zeta}
%=\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
%\EN{is the Riemann zeta-function}
%Здесь используется только 
We need $\zeta(3)\!\approx\! 1.202056903~$; 
values of function $\zeta$ at other arguments are not used for evaluation of coefficients $a$.
%, то есть значение этой функции лишь в одной точке.
%Similar (but longer) expressions can be obtained for other coefficients $a$;
%Few first coefficients  $a$ are evaluated in Table \ref{CoefficientsAUFac}. In addition,
%I set $a_0\!=\!2$ and $a_1\!=\!1$.
%\vskip 2mm
%Similar (but more complicated) expressions can be calculated for other coefficients $a$;
%Похожие (но более громоздкие) выражения получаются и для других коэффициентов $a$;
%приближенные значения этих коэффициентов приведены в первом столбце таблицы 
Approximate values of coefficients in expansion \rf{sufass} are shown in  table
%figure
\ref{CoefficientsAUFac}.
%Кроме того, для численных имплементаций, удобно принять 
%программируется в одну строчку.
\begin{table}[t] %\label{table2} does not work
%\vskip 12pt
\begin{center}
%\RU{\large Таблица 2. Коэффициенты $a$ и $U$ в разложениях \rf{superfacass} и \rf{abelFacExp}.}
%\large Table 2. Coefficients $a$ and $U$ in the expansions \rf{superfacass} and \rf{abelFacExp}

%\rf{2expansion} and \rf{asf2}.
\caption{ Coefficients $a$ and $U$ in the expansions \rf{superfacass} and \rf{abelFacExp} \label{CoefficientsAUFac}}
\baselineskip 12pt
\begin{tabular}{rrrr}
$n$ & ~~~ $~ a_{n}\phantom{0.1234567890123}$ & $~U_{n}\phantom{0.1234567890123}$& \rule{0pt}{14pt} \\
%\input{table2}
$ 2$&$ 0.7987318351724345 $&$-0.7987318351724345$& \rule{0pt}{12pt}\\ 
$ 3$&$ 0.5778809754764832 $&$ 0.6980641135593670$&\\ 
$ 4$&$ 0.3939788096629718 $&$-0.6339640557572815$&\\ 
$ 5$&$ 0.2575339580323327 $&$ 0.5884152357911399$&\\ 
$ 6$&$ 0.1629019581037053 $&$-0.5538887519936520$&\\ 
$ 7$&$ 0.1002824191713524 $&$ 0.5265479025985924$&\\ 
$ 8$&$ 0.0603184725913977 $&$-0.5041914604280215$&\\ 
$ 9$&$ 0.0355544582258062 $&$ 0.4854529800293392$&\\ 
$10$&$ 0.0205859954874424 $&$-0.4694346809094714$&
%end of table2 (it is included instead of to use \input.
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\vskip 2mm

%Ввиду положительности параметра $k$, разложение \rf{superfacass}  дает хорошее приближение $\tilde F$ для суперфункции $F$  от факториала при больших отрицательных значениях аргумента. Для иных значений аргумента,
%, в соответствии с методом регулярной итерации, 
%используется выражение
For factorial, the increment $k\!>\!0$; expansion \rf{superfacass} gives good approximation $\tilde F(z)$ at
$-\Re(z)\gg 1$. For other $z$, I use the integer iterates; the superfunction
%f superfunction $F$ %of factorial 
%at large negative values of the real part of the argument. For other values, the recursive application of the formula below is used:
\be
F(z) = \lim_{n \rightarrow\infty}  \mathrm{Factorial}^n\!\Big(\tilde F(z\!-\!n) \Big) 
\eL{regufac}
%for large enough natural $n$.
%при достаточно большом натуральном  $n$. 
For $\Re(z)\! \sim \!1$, it is sufficient to iterate expression  \rf{regufac} only few times, in order to get $\varepsilon$ of order of $0.1$ or less.
Then, some 15 terms in the expansion \rf{superfacass} provide of order of 14 correct significant figures of $F(z)$.
%Для значений  $\Re(z)$ порядка единицы, достаточно итерировать факториал всего несколько раз, чтобы требуемое значение $\varepsilon$ стало порядка одной десятой; тогда полтора десятка
%слагаемых в разложении \rf{superfacass} дают около четырнадцати верных значащих цифр в оценке значения $F(z)$.
%Это приближение использовано для численной имплементации суперфакториала, на ситизендиуме, \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuFac.cin}
%и построения комплексной карты суперфакториала, показанной на рисунке \ref{SuperFacMap}. 
\vskip 2mm

%Conveniently, when the zero function takes an integer value. For increasing the transfer function, this value should be still higher than the corresponding stationary point. If the stationary point of $ L \! = \! 2 $, it is natural to put superfaktorial at zero equal to three. To fix this superfunction value at zero, let

%In order to simplify the graphics, 
%I choose the superfunction that has integer value at zero.
%For the growing transfer function (and infinitely growing superfunction), this value should be still larger, than fixed point of the transfer function.
%Удобно, когда в нуле функция принимает целочисленное значение. Для растущей передаточной функции, это значение должно быть все ещё больше соответствующей стационарной точки. Если стационарная точка $L\!=\!2$, то естественно положить суперфакториал в нуле равным трем. Чтобы зафиксировать это значение суперфункции в нуле, пусть
%$~\mathrm{SuperFactorial}(0)\!=\!3~$, я кладу
%For fixed point $L\!=\!2$ is chosen, I choose value of superfunction at zero at zero to be 3. I denote the superfunction SuFac with 
% I choose 3 to be value at zero. 
%Let
%So, I define function SuFac with 

Let $z_3$ be is real solution of equation $F(z_3)\!=\!3 $; the evaluation gives $z_3 \!\approx\! - 0.91938596545217788$ ; %есть вещественное решение уравнения 
%\be
then, I define
\be
\mathrm{SuFac}(z) = F(z_3\!+\!z) 
\eL{SuFac}
%where $z_3 \!\approx\! - 0.91938596545217788$ 
%есть вещественное решение уравнения 
%is real solution of equation
%\be
%$F(z_3)\!=\!3 $;
%Тогда
%\ee
Function $\mathrm{SuFac}$ is also superfunction of factorial, and
%In such a way, for the new function, 
$~\mathrm{SuFac}(0)\!=\!3~$.
\vskip 2mm

%Суперфункция от факториала может называться суперфакториалом, а обратная функция - абельфакториалом. Однако
%названия SuperFactorial и AbelFactorial длинные; вместо них я пишу SuFac и AuFac. Такие имена соответствуют простой мнемонике: имя передаточной функции сокращается до трех букв; приставка Su соответствует суперфункции, построенной на максимальной (upper) стационарной точке, а приставка Au указывает на соответствующую абельфункцию. В случае успешного применения абельфункций в золотодобывающей промышленности, целью которой декларируется золото, Au, такое обозначений примет особенно пикантный смысл, и тогда систему обознечений прийдется пересмотреть.
%Так вычисляется суперфакториал в генераторе рисунка \ref{SuperFacMap} и других рисунков; эти генераторы доступны в ТОРИ в статье ``SuperFactorial''. 
%\vskip 2mm
%\begin{wrapfigure}{r}{264px}
\begin{wrapfigure}{r}{246px}
%\sx{.28}{ \begin{picture}(602,970)
%\vskip -12pt
\normalsize
\hskip 2pt
%\sx{.32}{ \begin{picture}(602,998)
\sx{.29}{ \begin{picture}(602,1000)
\put(0,0){\includegraphics{SuperFacPlot}}
\put(372,978){\sx{4.5}{$y$}}
\put(372,890){\sx{4.5}{$9$}}
\put(372,790){\sx{4.5}{$8$}}
\put(372,690){\sx{4.5}{$7$}}
\put(372,590){\sx{4.5}{$6$}}
\put(372,490){\sx{4.5}{$5$}}
\put(372,390){\sx{4.5}{$4$}}
\put(372,290){\sx{4.5}{$3$}}
\put(372,190){\sx{4.5}{$2$}}
\put(372,90){\sx{4.5}{$1$}}
\put( 066,-42){\sx{4.5}{$-\!3$}}
\put(166,-42){\sx{4.5}{$-\!2$}}
\put(266,-42){\sx{4.5}{$-\!1$}}
\put(391,-42){\sx{4.5}{$0$}}
\put(491,-42){\sx{4.5}{$1$}}
\put(591,-42){\sx{4.5}{$2$}}
\put(691,-42){\sx{4.5}{$3$}}
\put(777,-42){\sx{4.5}{$x$}}
%\put(532,440){\sx{5}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{SuperFactorial}(x)$\ero}}
\put(532,440){\sx{5}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{SuFac}(x)$\ero}}
%\put(660,450){\sx{4}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}} %
\put(740,500){\sx{5}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}}
\put(850,0){\sx{3.1}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sufact.png}\ero}}
\end{picture} }
%\vskip 4pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sufact.png}
\caption{\large 
%Суперфакториал и факториал %вещественного аргумента. 
%$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$ and
$y\!=\!x!$ and
$y\!=\!\mathrm{SuFac}(x)$ by
\rf{regufac},\rf{SuFac}
versus $x$
\label{SuperFacPlot}
%$\!\!\!\!\!\!$ \iL{SuperFacPlot}
}
\vskip -22pt
\end{wrapfigure}

I have displaced the argument of superfactorial, in order to let it have integer value at zero. This is smallest integer, that is still greater than the fixed point $L=2$.
\vskip 2mm

%Вдоль вещественной оси, суперфакториал быстро растет, далеко обгоняя факториал (который иногда приводят как пример быстро растущей функции). График суперфакториала по формуле \rf{SuFac} в сравнении с факториалом показан на рисунке \ref{SuperFacPlot}.
Graphic of function SuFac of the real argument is shown in figure 
\rf{SuperFacPlot},
%\rf{SuFac}, 
$y\!=\!\mathrm{SuFac}(x)$. For comparison, in the same figure, factorial is shown,
$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$.
%\vskip 2mm
Graphic of factorial passes through points with coordinates
%График факториала проходит через точки
(0,1), (1,1), (2,2), (3,6).
%, (4,24); последняя точка не поместилась на рисунке. 
%Forrespondently, 
Graphic of the super factorial passes through points with coordinates
%График суперфакториала проходит через точки 
(0,3), (1,6), (2,720); 
the last point is far away from the range of the figure.
%последняя точка не поместилась на рисунке.
%Впрочем, следующая за ней точка с целой абсциссой, то есть  (3,720!), не поместилась бы даже в видимой части Вселенной; такой вот быстрый у суперфакториала рост.
% Из-за большой производной, на картах суперфакториала на рисунке \ref{SuperFacMap}, область вдоль вещественной оси осталась белой; даже мой графопостроитель не в состоянии провести многие гуглоплексы  линий на сантиметр графика. (1 гуглоплекс, согласно википедии, равен $10^{10^{100}}$). 
%Рост суперфакториала сравним с ростом натуральной тетрации, показанной на первой странице обложки этой Книги.
%Даже у тетрации по основанию $\mathrm e$, рассмотренной в следующей главе, рост чуть более умеренный, чем у суперфакториала.
\vskip 2mm

\begin{figure}[h!]
\hskip 28pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/images/d/d2/Superfactocomple1.png}
\vskip 8pt
\hskip -12mm
%\sx{1.333}{ \begin{picture}(362,362)
\sx{1.25}{ \begin{picture}(302,362)
\put(0,0){\ing{SuperFacMap}}
 \put(30,357){\sx{1.3}{$y$}}
 \put(30,317){\sx{1.3}{$6$}}
 \put(30,277){\sx{1.3}{$4$}}
 \put(30,237){\sx{1.3}{$2$}}
 \put(29,196){\sx{1.3}{$0$}}
 \put(20,156){\sx{1.3}{$-2$}}
 \put(20,116){\sx{1.3}{$-4$}}
 \put(20,76){\sx{1.3}{$-6$}}
 \put(20,36){\sx{1.3}{$-8$}}
 \put(70,30){\sx{1.3}{$-6$}}
 \put(110,30){\sx{1.3}{$-4$}}
 \put(150,30){\sx{1.3}{$-2$}}
 \put(198,30){\sx{1.3}{$0$}}
 \put(238,30){\sx{1.3}{$2$}}
 \put(278,30){\sx{1.3}{$4$}}
 \put(318,30){\sx{1.3}{$6$}}
 \put(354,30){\sx{1.3}{$x$}}
\put(50,344){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
\put(50,306){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(50,255){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
\put(50,204){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(50,152){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
\put(50,100){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(50,049){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
 % column<br>
\put(122,342){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
\put(135,314){\sx{1.2}{$u\!=\!1.8$}}
\put(252,314){\sx{1.2}{$u\!=\!1.2$}}
\put(136,265){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
\put(125,210){\sx{1.2}{$u\!=\!2.2$}}
\put(125,130){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
\put(134,084){\sx{1.2}{$u\!=\!1.8$}}
\put(252,084){\sx{1.2}{$u\!=\!1.2$}}
\put(134,054){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
% column<br>
\put(322,343){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(322,306){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(322,269){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(266,247){$u\!=\!0.8856031944$}
\put(332,231){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(329,164){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(322,137){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(322,100){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(322, 50){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
 \end{picture}}
 
 \hskip -2pt
 \sx{.78}{ \begin{picture}(362,210)
 %\sx{.88}{ \begin{picture}(362,210)
 \put(0,0){\ing{SuperFacZoom}}
 
\put(4,216){\sx{1.8}{$y$}}
\put(4,194){\sx{1.8}{$2$}}
\put(4,095){\sx{1.8}{$1$}}
\put(097,3){\sx{1.8}{$1$}}
\put(197,3){\sx{1.8}{$2$}}
\put(297,3){\sx{1.8}{$3$}}
\put(397,3){\sx{1.8}{$4$}}
\put(497,3){\sx{1.8}{$5$}}
\put(536,3){\sx{1.8}{$x$}}

\put(360,210){\sx{1.8}{$u\!=\!0.8856031944$}}
%\put(316,178){\sx{1.3}{$u\!=\!0.8$}}
\put(311,198){\sx{1.3}{\rot{-51}$u\!=\!0.8$\ero}}
\put(146,159){\sx{2}{ \rot{62}$u\!=\!1$\ero }}
\put(172,117){\sx{2}{ \rot{1}$u\!=\!0$\ero }}
\put(020,163){\sx{2}{ \rot{-37}$u\!=\!2$\ero }}
\put(018,053){\sx{2}{ \rot{ 22}$u\!=\!3$\ero }}
\put(051,06){\sx{2}{ \rot{ 53}$u\!=\!4$\ero }}

\put(082,183){\sx{2}{ \rot{2}$v\!=\!1$\ero }}
\put(081,083){\sx{2}{ \rot{46}$v\!=\!2$\ero }}
\put(306,148){\sx{2}{ \rot{0.}$v\!=\!0$\ero }}
\put(406,148){\sx{2}{ \rot{0.}$v\!=\!0$\ero }}
 \end{picture}
 }
\vskip -2pt
\hskip 26pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sfaczoo300.png}
\vskip 2pt
\caption{ \large
%Комплексная карта суперфакториала, 
 %$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{SuperFactorial}(x\!+\!\mathrm i y)$
 $u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{SuFac}(x\!+\!\mathrm i y)$
 %и зумин центральной части карты
 and the zoom-in of the central part
 \label{SuperFacMap}}
%\vskip -408pt
\ \vskip -8pt
\end{figure}
\baselineskip 18.8pt

%Комплексная карта суперфакториала представлена на рисунке 
Complex map of SuFac is shown in figure \ref{SuperFacMap}.
This function has period
%$P\!=\!2 \pi \mathrm i / k$ 
%is pure imaginary. 
%A little bit less than two periods fit the height of the map 
%at the top of figure \ref{SuperFacMap}.
%Суперфакториал является периодичной функцией. Как и у других суперфукций, построенных регулярной итерацией у вещественной стационарной точки вещественно-голоморфной передаточной функции, период $P$ чисто мнимый.
%На рисунке \ref{SuperFacMap} уместилось чуть меньше двух периодов.
%\newpage
%Для суперфакториала, период
\be
P=\frac{2\pi \mathrm i}{k} =2\pi \mathrm i \, \ln\!\big(3\!+\! 2\, \mathrm{Factorial}^\prime(0)\big)
\approx 10.253449681156%0279265772640691397 
\,\mathrm i
\ee 
This period is pure imaginary.
A little bit less than two periods fit the height of the upper map in figure \ref{SuperFacMap}.
\vskip 2mm

%В полосax 
In the half-strips 
\be
x\!>\!2, ~\big |y + n |P|\big|<1, ~{\text{for integer}}~ n  
\eL{sufastrips}
%$x>2$, $~|\Im(z) + n P|<1$ 
%for integer $n$, 
$\mathrm{SuFac}(x+\mathrm i y)$ has countable set of singularities.
%для целых $n$, суперфакториал имеет счетное множество сингулярностей.
%При пересчете значения от кривой $v\!=\!0$ с помощью передаточного уравнения на единицу вправо, каждый полюс 
At the map, every negative integer value of $\Im(\mathrm{SuFac}(x\!+\!\mathrm i y))$, at the translation for unity along the real axis,
%to the right 
produces the singularity, due to the transfer equation \rf{Tfac}.
%At the recalculation of values from the curve 
%функции факториал дает сигнулярность суперфакториала. Как и другие сингулярные суперфункции, карта суперфакториала имеет фрактальный характер: структуры, образованные линиями $v\!=\!0$, воспроизводятся при единичных трансляциях вправо, и обрастают новыми 
%похожими деталями. 
%In such a way, at the right hand side 
%Эти детали видны на нижней карте рисунка 
In order to show the structure of these singularities, the zoom-in %of the central part 
of the map is shown at the bottom of figure
\ref{SuperFacMap}.
%; чтобы показать их, пришлось снабдить рисунок зумином.
Outside the half-strips \rf{sufastrips}, factorial is regular; it approaches to the fixed points $L$ of factorial: 
%Вне указанных полос, суперфакториал голоморфен, и стремится к стационарной точке факториала 
$L\!=\!2$ in the left hand side and 
%в левой полуплоскости и к стационарной точке  
$L\!=\!1$ in the right hand side of the map.
%правой полуплоскости. 
\vskip 2mm

The fast growth of factorial implies the slow growth of the inverse function, id est, growth of the abelfactorial.
I denote this function with symbol $\mathrm{AuFac}$.
%Быстрому росту суперфакториала можно противопоставить медленный рост обратной функции, то есть 
%В качестве противоположности суперфакториалу (и его быстрому росту), Комплексная карта обратной функции, то есть 
%абельфакториала. 
%Его карта показана на рисунке 
Complex map of %the inverse function 
$\mathrm{AuFac}\!=\!\mathrm{SuFac}^{-1}$ is shown in figure 
\ref{AbelFactorialMap};
this function is considered in the next section. 
% эта функция строится в следующей секции.
% показана на рисунке \ref{AbelFactorialMap}.  В следующей секции рассказано, как вычисляется эта функция.

%\begin{figure}
%\hskip -40pt
%\sx{1.44}{ \begin{picture}(362,362)
\begin{figure}[t]
\hskip -34pt
%\sx{1.4}{ \begin{picture}(322,356)
\sx{1.25}{ \begin{picture}(322,356)
\put(0,0){\ing{AbelFacMap}}
\put(30,357){\sx{1.3}{$y$}}
\put(30,317){\sx{1.3}{$6$}}
\put(30,277){\sx{1.3}{$4$}}
\put(30,237){\sx{1.3}{$2$}}
\put(29,196){\sx{1.3}{$0$}}
\put(20,156){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(20,116){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(20,76){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(20,36){\sx{1.3}{$-8$}}
\put(70,30){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(110,30){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(150,30){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(198,30){\sx{1.3}{$0$}}
\put(238,30){\sx{1.3}{$2$}}
\put(278,30){\sx{1.3}{$4$}}
\put(318,30){\sx{1.3}{$6$}}
\put(354,30){\sx{1.3}{$x$}}
\put(50,306){\sx{1.3}{$u\!=\!1.8$}}
\put(50,255){\sx{1.3}{$v\!=\!0.6$}}
\put(90,198){\sx{1.3}{\bf cut}} %central%
\put(50,150){\sx{1.3}{$v\!=\!-0.6$}}
\put(48,90){\sx{1.3}{$u\!=\!1.8$}}
% column
\put(170,344){\sx{1.3}{$u\!=\!1.6$}}
%\put(250,314){\sx{1.3}{$u\!=\!1.2$}}
\put(119,230){\sx{1.3}{$v\!=\!0.8$}}
\put(109,170){\sx{1.3}{$v\!=\!-\!0.8$}}
\put(144,090){\sx{1.3}{$u\!=\!1.6$}}
\put(94,068){\sx{1.3}{$v\!=\!-0.6$}}
\put(252,084){\sx{1.3}{$u\!=\!1.4$}}
% column
\put(319,344){\sx{1.3}{$u\!=\!1.4$}}
\put(304,306){\sx{1.3}{$v\!=\!0.4$}}
\put(313,278){\sx{1.3}{$u\!=\!1.2$}}
\put(309,236){\sx{1.3}{$v\!=\!0.2$}}
%\put(266,247){\sx{1.001}{$u\!=\!0.8856031944$}}
\put(306,209){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(331,198){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(312,118){\sx{1.3}{$u\!=\!1.2$}}
\put(304,90){\sx{1.3}{$v\!=\!-0.4$}}
\put(320, 50){\sx{1.3}{$u\!=\!1.4$}}
\end{picture}}
\vskip -14mm
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AbelFacMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AbelFactorial}(x\!+\!\mathrm i y)$. \iL{AbelFactorialMap} \label{File:AbelFacMapT.jpg}}
\vskip 1pt
\end{figure}

%\section{АбельФакториал}
\section{Abelfactorial}

The asymptotic series for super factorial can be inverted. This gives the asymptotic expansion of 
abelfactorial (arcsuperfactorial) in vicinity of the fixed point $L\!=\!2$:
% giving the a
%Обращение серии  асимптотического разложения суперфакториала дает разложение обратной функции, то есть абельфакториала, ( или арксуперфакториала), в виде
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\tilde G(z)=
\frac{1}{k} \ln\!\left(\sum_{n=1}^{N-1}U_{n}(z\!-\!2)^{n}+\mathcal{O}(z\!-\!2)^N\right)
\eL{abelFacExp}
Parameter $k$ has the same meaning, as in expansion \rf{superfacass}; its value is determined by \rf{fack}.
%Значение параметра $k$ определяется тем же выражением \rf{fack}, что и в разложении суперфакториала; 
The first two coefficients $U$ are
\be
\!\!\!\!\!\!\!\! U_1 &=\!&1 \\
\!\!\!\!\!\!\!\! U_2 &=\!&\!-\frac{\pi^2+6\gamma^{2}-18\gamma+6}{12(3-5\gamma+2\gamma^{2})} \approx 0.7987318
\eL{UAFac}
The Mathematica routine {\bf InverseSeries} allow to calculate these coefficients analytically, although the expressions for the highest $U$ 
are a little bit long. The approximate values of these coefficients are shown in the right column of table 
%They can be calculated analytically, although 
%Приближенные значения коэффициентов $U$ предложены в правом столбце таблицы 
%\ref{CoefficientsAUFac}
\ref{CoefficientsAUFac}. 
\vskip 2mm

For argument close to 2, the truncated series in \rf{abelFacExp} provides the precise evaluation.
For other values, the repeated application of the recurrent formula
%Для значений $z$, сильно отличающихся от 2, рекуррентно применяется формула
\be
\!\!\!\!\!G(z) = G\Big(\mathrm{ArcFactorial}(z)\Big)+1
\eL{AbelFacDrugaya}
is used, until  $|z\!-\!2|$ becomes small.
%до тех пор, пока $|z\!-\!2|$ станет малым и разложение \rf{abelFacExp} начнет давать аккуратные значения.
%Применение 
This algorithm determines the cut line of the abelfctorial AuFac; the cut goes from 2 to $-\infty$.
%Такая рекурренция определяет разрез абельфакториала; разрез идет вдоль вещественной оси и уходит на минус бесконечность.
%В этой Книге, как и в ТОРИ, такое направление линии разреза является дефолтным, и применяется во всех случаях, когда требуется разрезать комплексную плоскость на кусочки, в которых какая-либо функция является голоморфной, и направления этих разрезов не предопределены поставленной задачей.
\vskip 2mm

The abelfunction $G$ of factorial can be defined with 
\be
G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \tilde G(\mathrm{Factorial}^{-n}(z)+n
\eL{facG}
\JP{
%Ввиду того, что $\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)$ и, соответственно, $\mathrm{SuFac}(0)\!=\!3$,
While %$\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)$ и, соответственно, 
$\mathrm{SuFac}(0)\!=\!3$,
The inverse function, I call it AuFac
%для абельфункции от факториала, назову её
}%JP
then, $\mathrm{AuFac}\!=\!\mathrm{AbelFactorial}\!=\!\mathrm{SuFac}^{-1}$,
appears as
\be
\mathrm{AuFac}(z)=G(z)-z_3=G(z)-G(3)
\eL{AuFac}
where $z_3=G(3)\approx  -0.91938596545218$.
%, the following relation should take place:
%надо обеспечить условие 
This expression automatically provides condition $\mathrm{AuFac}(3)\!=\!0$.
In such a way,
\be
\mathrm{AuFac}(z) \approx \mathrm{AuFac}_n(z) = \tilde G \Big(\mathrm{ArcFactorial}^n(z)\Big)+n-z_3
\label{abelfac3}
\ee
%для достаточно большого натурального числа 

\JP{
Такая аппроксимация не должна создавать впечатления, что построено лишь приближенное решение. Точную формулу можно выразить через предел, то есть
\be
\mathrm{AuFac}(z) =\lim_{n\rightarrow \infty}  \mathrm{AuFac}_n(z)
\eL{abelfac3e}
При этом абельфакториал оказывается обратной функцией суперфакториала. 
В частности, такой алгоритм использован для построения рисунка \ref{AbelFactorialMap}. %и \ref{AbelFactorialPlot}.
%генераторы этих рисунков можно стащить из ТОРИ.
}%JP
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{r}{210px}
\begin{wrapfigure}{r}{253px}
\normalsize
%\sx{.25}{\begin{picture}(806,640)
\sx{.318}{\begin{picture}(806,580)
%\put(0,0){\includegraphics{SuperFacPlot}} %
\put(0,0){\includegraphics{AbelFacPlo}}
\put(9,595){\sx{4}{$y$}}
\put(9,503){\sx{4}{$2$}}
\put(9,403){\sx{4}{$1$}}
\put(9,303){\sx{4}{$0$}}
\put(-2,203){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(-2,103){\sx{4}{$-\!2$}}
\put(093,282){\sx{4}{$1$}}
\put(193,282){\sx{4}{$2$}}
\put(293,282){\sx{4}{$3$}}
\put(393,282){\sx{4}{$4$}}
\put(493,282){\sx{4}{$5$}}
\put(593,282){\sx{4}{$6$}}
\put(693,282){\sx{4}{$7$}}
\put(782,282){\sx{4}{$x$}}
%\put(352,540){\sx{4.2}{\rot{8.8}$y\!=\!\mathrm{ArcFactorial}(x)$\ero}}
\put(330,524){\sx{5}{\rot{8.8}$y\!=\!\mathrm{ArcFactorial}(x)$\ero}}
%\put(660,450){\sx{4}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}} %
%\put(350,380){\sx{4.2}{\rot{10}$y\!=\!\mathrm{AuFac}(x)$\ero}}
\put(380,390){\sx{5}{\rot{10}$y\!=\!\mathrm{AuFac}(x)$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
\sx{.79}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Aufact.png}}
\vskip -5pt
\caption{\large ArcFactorial and AuFac
%Aркфакториал и абельфакториал% вещественого аргумента 
\label{AbelFactorialPlot}}
%\iL{AbelFactorialPlot}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}

Function AuFac is plotted
%comapred to ArcFactorial 
in figure
%Абельфакториал сравнивается с аркфакториалом на рисунке 
\ref{AbelFactorialPlot}. 
For comparison, graphic of ArcFactorial is also shown.
%График аркфакториала проходит через точки %(\nu_0,\mu_0)\approx(0.84, 0.48), 
Graphic of ArcFactorial goes through points
(1,1), (2,2), (6,3), (24,4), 
although the last one is already out of range of the figure (and out of range of the page.
%хотя последняя точка уже за пределами рисунка и страницы. 
%График абельфакториала проходит через точки 
Graphic of AuFac passes through points
(3,0), (6,1), (720,2), 
and the last one is not only our of range of the page, but also out of room, were this Book is written, and the next point, where AuFac takes the integer value, id est, (720!, 3) is far away from the visible part of our Universe.
%хотя последняя точка находится не только за пределами страницы, но и за пределами комнаты, в которой пишется эта книга; а следующая точка, в которой абельфакториал принимает целое значение, то есть (720!,3), оказывается 
%не только за пределами комнаты, но 
%далеко за пределами нашей Галактики. % , и наблюдаемой части нашей Вселенной.
% (похожая ситуация имеет место в случае суперфакториала). 
\vskip 2mm

%Абельфакториал растет очень медленно. Если аргумент этой функции реализован как некоторая физическая величина (расстояние, масса, заряд и т.п.), измеренная в сколько-нибудь разумных единицах, то не в человеческих возможностях сделать эту величину такой большой, что абельфакториал от нее достигнет трех. 
Function AuFac grows very slowly. If the argument of this function represents some physical quantity (distance, mass, charge, number of atoms, etc.), measured in any reasonable units, then, there is no way to make this quantity so big, that AuFac of it reaches 3.
\vskip 2mm
%Для практических применений, суперфакториал от трех (или, чтобы с запасом, четырех) может рассматриваться как физическое приближение {\em Числа Мизугадро} \cite{mizugadronumber}, как только таковое число понадобится для построения какой-либо хоть сколько-нибудь научной концепции.
%\vskip 2mm
%В  этой Книге предложены определенные восторги по поводу очень быстрого роста суперфакториала (и сходных суперфункций) и очень медленного роста абельфакториала (и сходных абельфункций). Эти восторги вполне аналогичны спекуляциям прошлого и позапрошлого веков относительно быстрого роста экспоненты и медленного роста логарифма. 
%На сегодня, аналогии и сравнения для быстро растущих функций представляются исчерпанными рассуждениями выше. Будет интересно посмотреть рассуждения о ещё более быстро растущих функциях (их нетрудно построить), когда рост суперфакториала окажется недостаточным для описания роста каких-либо физических величин и процессов.

%Когда функции SuFac и AuFac построены, можно строить итерации факториала. Эти итерации рассмотрены в следующей секции.
While superfactorial and abelfactorial, id est, SuFac and AuFac, are already constructed and implemented, one can use them to evaluate the non-integer iterates of factorial. These iterates are matter of the next section.

%\section{Итерации факториала}
\section{Iterates of factorial}

%С помощью суперфакториала и абельфакториала, итерация номер $n$  факториала 
%по формуле 
%записывается в виде
With super factorial and abelfactorial, the $n$th iterate of factorial can be written as follows:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
h(z)=\mathrm{Factorial}^n(z)=\mathrm{SuFac}\Big(n+\mathrm{AuFac}(z)\Big) 
\eL{Facc}

\begin{figure}[t]
\hskip 2pt
\sx{.42}{\begin{picture}(1000,1004)
\put(0,0){\ing{facit}}% 
\put(4,984){\sx{4}{$y$}}
\put(4,890){\sx{4}{$9$}}
\put(4,790){\sx{4}{$8$}}
\put(4,690){\sx{4}{$7$}}
\put(4,590){\sx{4}{$6$}}
\put(4,490){\sx{4}{$5$}}
\put(4,390){\sx{4}{$4$}}
\put(4,290){\sx{4}{$3$}}
\put(4,190){\sx{4}{$2$}}
\put(4, 90){\sx{4}{$1$}}
\put(92,4){\sx{4}{$1$}}
\put(192,4){\sx{4}{$2$}}
\put(292,4){\sx{4}{$3$}}
\put(392,4){\sx{4}{$4$}}
\put(492,4){\sx{4}{$5$}}
\put(592,4){\sx{4}{$6$}}
\put(692,4){\sx{4}{$7$}}
\put(792,4){\sx{4}{$8$}}
\put(892,4){\sx{4}{$9$}}
\put(982,4){\sx{4.1}{$x$}}
\put(212,830){\rot{89}\sx{5}{$n\!\rightarrow\!\infty$}\ero}
\put(262,824){\rot{87}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(340,816){\rot{83}\sx{5}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(454,806){\rot{78}\sx{5}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(494,806){\rot{74}\sx{5}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(544,806){\rot{68}\sx{5}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(606,806){\rot{61}\sx{5}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(698,806){\rot{54}\sx{5}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(766,744){\rot{45}\sx{5.2}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(770,638){\rot{34}\sx{5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(770,556){\rot{27}\sx{5}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(770,494){\rot{21}\sx{5}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(770,450){\rot{15}\sx{5}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(770,414){\rot{11}\sx{5}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(770,311){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(770,232){\rot{1}\sx{5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(770,183){\rot{.01}\sx{5}{$n\!\rightarrow\!-\infty$}\ero}
\end{picture}}%$\!\!\!\!$
\vskip 2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FacitT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm {Factorial}^n(x)$ versus $x$
%при различных значениях  
for various $n$
%, слева,
%и карта половинной итерации $h$ по формуле \rf{Facc}; $u\!+\!\mathrm i v=h(x\!+\!\mathrm i y)$, справа. 
\iL{facit}}
\vskip 2pt
\end{figure}

%В таком представлении, параметр $n$ не имеет надобности быть целым числом.
%, и может выражаться даже комплексным. 
In this representation $n$ has no need to be integer.
%На рисунке \ref{facit} показан график $y\!=\!\mathrm{Factorial}^n(x)$ для различных значений $n$.
%Рисунок \ref{facit} аналогичен рисункам \ref{itelin125}, 
Figure \ref{facit} shows graphic $y\!=\!\mathrm{Factorial}^n(x)$ versus $x$ for various real $n$.
Figure \ref{facit} should be compared to figures \ref{itelin125}, 
%\ref{frac1z},
\ref{f1ziteplot},
\ref{c05},
\ref{c10},
\ref{c20}, \ref{IterPowPlot}, \ref{KellerPlot},
that show iterates of other functions, that can be expressed through the special functions, known at least since century 20.
There is no similar representation for the abelfactorial. I hope, in century 21, some of new superfunctions, including
SuFac, AuFac 
%and iterates of factorial 
will be included in the handbooks on the special functions
and implemented as built-in routines in the programming languages; then, the difference between 
iterates of factorial and iterates of other functions, mentioned in the previous chapters, will be even less significant.
%где показаны итерации других функций, хотя для нецелых итераций факториала нет компактного представления через специальные функции, описанные в справочниках 20го века. 
%Надеюсь, в 21м веке, некоторые суперфункции из этой Книги будут добавлены в справочники.
%; тогда разница между итерациями факториала и итерациями других функций из первых глав Книги станет ещё менее существенной.
\vskip 2mm

\begin{figure}[h]
\vskip 8pt
\hskip -24pt
%{\sx{.72}{\begin{picture}(362,330)
{\sx{1.22}{\begin{picture}(362,364)
\put(0,0){\ing{QFacMap}}
\put(30,357){\sx{1.3}{$y$}}
\put(30,317){\sx{1.3}{$6$}}
\put(30,277){\sx{1.3}{$4$}}
\put(30,237){\sx{1.3}{$2$}}
\put(29,196){\sx{1.3}{$0$}}
\put(20,156){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(20,116){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(20,76){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(20,36){\sx{1.2}{$-8$}}
\put(70,30){\sx{1.1}{$-6$}}
\put(111,30){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(151,30){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(199,30){\sx{1.1}{$0$}}
\put(239,30){\sx{1.1}{$2$}}
\put(279,30){\sx{1.1}{$4$}}
\put(319,30){\sx{1.1}{$6$}}
\put(355,30){\sx{1.1}{$x$}}
\put(70,198){\sx{1.3}{\bf cut}} %central
\put(47,162){\sx{1.3}{\rot{72}$u\!=\!0$\ero}}
\put(99,161){\sx{1.3}{\rot{80}$v\!=\!0$\ero}}
\put(139,162){\sx{1.3}{\rot{89}$u\!=\!0$\ero}}
\put(164,204){\sx{1.3}{\rot{77}$v\!=\!0$\ero}}
\put(177,200){\sx{1.2}{\rot{56}$u\!=\!0$\ero}}
\put(82,116){\sx{1.1}{\rot{0.}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(86,102){\sx{1.1}{\rot{0.}$u\!=\!0.6$\ero}}
\put(137,128){\sx{1.1}{\rot{0.}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(332,252){\sx{1.3}{\rot{23}$u\!=\!8$\ero}}
\put(331,220){\sx{1.3}{\rot{-12}$v\!=\!8$\ero}}
\put(321,174){\sx{1.3}{\rot{9}$v\!=\!-8$\ero}}
\put(319,102){\sx{1.3}{\rot{-7}$u\!=\!-8$\ero}}
\end{picture}}}
\vskip -36pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:QFacMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large  $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{Factorial}^{0.5}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{QFacMap}}
\vskip -.2mm
\end{figure}

%При $n\!=\!1/2$, формула \rf{Facc} дает корень из факториала, то есть половинную итерацию факториала.
At $n\!=\!1/2$, formula \rf{Facc} gives the half iterate of factorial.
%дает корень из факториала, то есть половинную итерацию факториала.
%Карта функции
Map of function $h\!=\!\mathrm{Factorial}^{1/2}$ 
%показана на рисунке 
is shown in figure \ref{QFacMap}. 
This function can be interpreted as ``square root of factorial'' 
%Именно эта функция может быть обозначена символом 
\sx{1.1}{$\sqrt{\,!\,}\,$}, 
used as logo of the Phys. Dep. of the Moscow State University, shown in figure
%используемoм на знаке Физфака МГУ, обсуждаемом во Введении и показанном на рисунке 
\ref{SqrtFactorialLogo}.
\vskip 2mm

%Концепция корня из факториала вызвала конфузии и дискуссии. Некоторые коллеги отказывались видеть разницу между выражениями 
Concept of square root of factorial caused confusions and discussions.
Some colleagues did not want to see difference between expiressions
$\mathrm{Factorial}^{1/2}(z)$ and
$\mathrm{Factorial}(z)^{1/2}$, 
%интерпретируя
interpreting 
$\sqrt{\mathrm{Factorial}}(z)$ 
%как эквивалент
as equivalent of 
$\sqrt{\mathrm{Factorial}(z)}$. 
In order to eliminate, en fin, this confusion, function
%Чтобы устранить, наконец, путаницу, функция 
$h\!=\!\mathrm{Factorial}^{1/2}$ 
is considered here with more details.
%рассмотрена здесь более подробно.
%Комплексная карта функции $h$ показана
%=\mathrm{Factorial}^{0.5}$  построена 
%на рисунке \ref{QFacMap}.
\vskip 2mm

%Ключевым для проверки и верификации предлагаемой здесь интерпретации функции 
The key for the verification of interpretation of function
\sx{1.01}{$h=\sqrt{\,!\,}\,$},
is analysis of the range of validity of relation
% корня из факториала, является исследование области применимости соотношения
%$u\!+\!\mathrm i v=h(x\!+\!\mathrm i y)$.  В широкой области значений $z$ имеет место соотношение
\be
%h^2(z)=
h(h(z))=\mathrm{Factorial}(z)=z!   
\eL{hh}
Map of function $h^2$ in the left hand side of equation \rf{hh} is shown in figure 
%Карта функции $h^2$ в левой части уравнения \rf{hh} показана на рисунке 
\ref{QQFacMap}. 
%Этот рисунок можно сравнить с рисунком \ref{facmap}, где показана карта факториала. 
This figure should be compared to figure \ref{facmap}, 
that represents the complex map of factorial.
%где показана карта факториала. 
\vskip 2mm
\begin{figure}[t]
%\sx{.72}{\begin{picture}(346,352) \ax
\sx{1.22}{\begin{picture}(362,362) \ax
\put(-20,-10){\includegraphics{QQFacMap}}
%\put(266,246){\rot{-14}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
%\put(286,225){\rot{-7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(288,207){\rot{-5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(182,263){\rot{42}\sx{1.6}{\bf cut}\ero}
\put(299,187){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}}
%\put(288,168){\rot{5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
%\put(286,150){\rot{7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -25pt
\hskip 20pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:QQFacMT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=h^2(x\!+\!\mathrm i y)$.
\iL{QQFacMap}}
\end{figure}

%В правой части рисунка \ref{QQFacMap}, карта функции $h\circ h=h^2$ совпадает с картой факториала.
In the right hand side of figure \ref{QQFacMap}, complex map of the second iterate of function $h$, id est, $h\circ h=h^2$, 
coincides with the map of factorial, shown in figure  \ref{facmap}.
%По крайней мере в полосе $\Re(z)\!>\!1$, $|\Im(z)| \!\le\! 4$, соотношение  \rf{hh} выполняется; полученный ``корень из факториала'' ведет 
At least in the halfstrip $\Re(z)\!>\!1$, $|\Im(z)| \!\le\! 4$, relation \rf{hh} holds.
The resulting half iteration of factorial corresponds to the intuitive expectations about this function.
%; полученный ``корень из факториала'' ведет себя в соответствии с интуитивными ожиданиями относительно этой функции.
% в широкой области значений аргумента; эта область включает б\'oльшую часть вещественной оси. 
%В комплексной плоскости есть разрезы, они ограничивают 
\vskip 2mm
Range of validity of relation  \rf{hh} is limited with cut lines, shown in figure \ref{QQFacMap}. Such cutlines are typical for non-integer iterates, if the superfunction cannot be represented through elementary function. 
\vskip 2mm

%Область применимости соотношения \rf{hh} ограничена разрезами. Такие разрезы типичны при итерации функций, если номер итерации не выражается натуральным числом.
%; в частности, разрезы обычно имеются у обратной функции от %любой сколько-нибудь нетривиальной целой функции.
%\section{Применение и спекуляции}
%\section{Applications and speculations}
%Факториал не является экзотикой, исключением. С помощью формализма суперфункций, нецелые итерации можно строить для любой сколько-нибудь осмысленной голоморфной передаточной функции.
Factorial is not exotic, not an exception.
With superfunctions, one can build-up non-integer iterates for other holomorphic functions too.  More examples are considered in the following chapters below. 
\vskip 8pt

Many transfer functions can be treated in a way, similar to that of this chapter.
One of them, namely, the exponential to base $b=\sqrt{2}$, is considered in the next chapter.
%В качестве теста, комплексная карта второй итерации от $h$ корня из факториала представлена в левой части рисунка \rf{QFacMap}. В правой части, на эту карту наложена карта факториала с рисунка \ref{facmap}. В правой части, карты перекрываются; по крайней мере справа от стационарной точки факториала $L\!=\!2$ имеется широкая (и расширяющаяся) полоса, в которой выполняется соотношение \rf{hh}. В частности, оно выполняется для вещественных значений аргумента, больших единицы. Символ половинной итерации факториала, или ``корень из факториала'' $\sqrt{\,!\,}$, используется с 1950 года в качестве эмблемы Физфака МГУ, но лишь в 2009 году был предложен алгоритм для вычисления этой функции \cite{facr}. Таким образом, рисунок \ref{QFacMap} придает эмблеме Физфака четкий физический и математический смысл.
%\vskip 2mm
\JP{
Нецелые итерации функций
%, даже при рассмотрении лишь вещественного аргумента, сильно 
расширяют инструментарий, например, для аппроксимации (фиттинга) различных неизвестных функций. К любой аппроксимирующей функции добавляется возможность итерировать её произвольное количество раз. 
%В частности, нецелыми итерациями экспоненты или факториала можно аппроксимировать зависимости, которые растут быстрее любого полинома, но медленнее любой растущей экспоненты. 
% Если исследователь не знает, какая зависимость доминирует - лофарифмиче
%Такое расширение можно сравнить с открытием дробной степени чисел: для функции, которая растет быстрее любой линейной функции, но медленнее любой параболы, может оказаться подходящей, например, функция вида $x \mapsto x^{3/2}$. 
\vskip 2mm

%\JP{
%\begin{figure}[t]
\begin{wrapfigure}{r}{208px}
\vskip -24pt
\sx{.27}{\begin{picture}(1013,600)
\put(-2,0){\ing{purgu}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
\caption{\large
%Безграмотный выбор фитирующей функции предсказывает глобальное потепление и используется как повод, чтобы 
%Смысл термина 
Что значит {\em гнать пургу}  \label{purgu}}
\vskip -24pt
\end{wrapfigure}
%}%JP
Расширение инструментария 
%для аппроксимаций за счет нецелых итераций особенно 
важно для экстраполяций. Удачная фитирующая функция имеет мало параметров, это улучшает предсказательную способность экстраполяции. Безграмотное (или жульническое) использование примитивных аппроксимаций с множеством параметров ведет к неверным результатам. Примером такой концепции является 
%скандально известное 
``глобальное потепление'' \footnote{ 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Purgu.png} Глобальное потепление \\
\url{http://rus.ruvr.ru/2009/12/18/3089576/} 18 декабря 2009, 18:22. Россия будет бороться с потеплением вне зависимости от результатов саммита. Дмитрий Медведев рассказал о лидирующей роли России в борьбе с глобальным потеплением.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Глобальное_потепление}
 }, с помощью которого жулики гонят пургу (рис. \ref{purgu}) и пилят бюджет.
% и гонят пургу, как это показано на рисунке \ref{purgu}. 
Я надеюсь, что нецелые итерации факториала не будут использоваться для такого мошенничества - хотя бы потому, что суперфункции позволят уменьшить число подгоночных параметров и ограничить возможности для всяческих артефактов в предсказаниях
- как умышленных, так и невольных.
% на основе научных концепций.
\vskip 2mm

Факториал является быстро растущей функции с вещественной стационарной точкой. Стационарная точка 4 использована для построения суперфакториала, абельфакториала и нецелых итераций факториала. Ещё пример быстрорастущей передаточной функции с вещественной стационарной точкой рассмотрен в следующей главе.
}%JP
%\chapter{~ Экспонента по основанию sqrt(2) ~ \label{ChapterQ2}}
\chapter{~ Exponent to base sqrt(2) ~ \label{ChapterQ2}}
\baselineskip 19.4pt

%\begin{wrapfigure}[15]{l}[0pt]{260pt}
\begin{figure}[h]

\sx{.333}{\begin{picture}(1202,700) %\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
\put(590,790){\sx{4.2}{$y$}}
\put(590,698){\sx{4.2}{$7$}}
\put(590,598){\sx{4.2}{$6$}}
\put(590,498){\sx{4.2}{$5$}}
\put(590,398){\sx{4.2}{$4$}}
\put(590,298){\sx{4.2}{$3$}}
\put(590,198){\sx{4.2}{$2$}}
\put(590,098){\sx{4.2}{$1$}} 
\put(080,-26){\sx{4}{$-5$}}
\put(180,-26){\sx{4}{$-4$}}
\put(281,-26){\sx{4}{$-3$}}
\put(381,-26){\sx{4}{$-2$}}
\put(482,-26){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(603.6,-26){\sx{4}{$0$}}
\put(703.7,-26){\sx{4}{$1$}}
\put(803.8,-26){\sx{4}{$2$}}
\put(903.9,-26){\sx{4}{$3$}}
\put(1004.0,-26){\sx{4}{$4$}}
\put(1104.1,-26){\sx{4}{$5$}}
\put(1192.2,-26){\sx{4.3}{$x$}}
\put(1034,490){\sx{5.6}{\rot{66}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1094,444){\sx{5.7}{\rot{45}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
\end{picture}}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2plotT.png}
\vskip -4pt
%\caption{\normalsize Экспонента по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$
\caption{\normalsize Exponent to base $b\!=\!\sqrt{2}$
%и её стационарные точки. 
%Генератор рисунка загружен как 
%{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2plotT.png}}
%$\!\!\!\!\!\!\!$
\label{exq2plo}
\label{ExpQ2plot}
}
\vskip 4pt
\end{figure}

%Экспонента по основанию $\sqrt{2}$ оказалась первой в истории человечества передаточной функцией, для которой методом регулярной итерации была построена суперфункция \cite{sqrt2}. 
Exponent to base $\sqrt{2}$ happened to be first 
%(in the Human history) 
function treated with the regular iteration \cite{sqrt2}.
With this example (and for this function), the methods, described in chapter 6, were developed.
In this chapter, this exponent to this specific base is considered as transfer function $T$.
%Лишь потом этот же метод был применен к логистическому оператору и к факториалу, рассмотренным в предыдущих главах. 
\vskip 2mm

%Экспонента по основанию $\sqrt{2}$ определяется через обычную, натуральную экспоненту;
Exponent to base $\sqrt{2}$ can be 
expressed
%defined  
through the natural exponent:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)=\exp_{\sqrt{2}}(z)=\exp\!\Big( \ln(\sqrt{2}) z\Big) = \exp\!\left(\frac{\ln(2)}{2}\, z\right)
\eL{Texpq2}
%График такой передаточной функции $T$ показан на рисунке 
%\ref{ExpQ2plot}. 
Explicit plot of this function is shown in figure \ref{exq2plo}. 
\vskip 2mm

%Основание $\sqrt{2}$ привлекательно тем, что, для такой экспоненты работает метод регулярной итерации, причем стационарные точки 
For exponential to base $b\!=\!\sqrt{2}$, the fixed points $L\!=\!2$ and $L\!=\!4$ are 
%expressed with 
natural numbers. 
%This simplifies the tracing of properties of the superfunction and abelfunction.
%$L\!=\!2$ and $L\!=\!4$ %выражаются натуральными числами.
%Эти точки обозначены пересечением кривой $y\!=\!T(x)$ и прямой $y\!=\!x$.
In figure \ref{exq2plo}, they correspond to intersections of curve $y\!=\!T(x)$ with the straight line $y\!=\!x$.

\begin{figure} [t] %1.48
%\sx{1.44}{\begin{picture}(162,162) 
\hskip 18pt
\sx{2.5}{\begin{picture}(162,162) 
\put(1,1){\ing{ExpQ2map}} 
\put(-3,159.9){\sx{.6}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-8, 0){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-4,-4){\sx{.6}{$-8$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.6}{$x$}}
\put(13,125.6){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(13,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(13,034.8){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(38,119){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(58,119){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.7,119){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!1$\ero}}
\put(104.7,119){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!2$\ero}}
\put(116.4,119){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!3$\ero}}
%
\put(38,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(58,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.6,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(104.6,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put(116.4,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!3$\ero}}
%
\put(39,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(59,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.4$\ero}}
\put(84.6,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(104.6,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-2$\ero}}
\end{picture}} 
\vskip 6pt
\hskip 32pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2mapT.png}
\vskip -6pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2}}(x\!+\mathrm i y)$
%Карты экспоненты и логарифма по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ по формулам \rf{Texpq2}, \rf{Tm1q2}. 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expq2mapT1000.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logq2mapT1000.jpg}
\label{ExpQ2map}}
\end{figure}

\begin{figure} [h] 
\hskip 18pt
\sx{2.5}
{\begin{picture}(162,162)
\put(1,1){\ing{LogQ2map}}
\put(-3,159.9){\sx{.6}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-8, 0){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-4,-4){\sx{.6}{$-8$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.6}{$x$}}
\put(095,139.2){\sx{.7}{\rot{80}$v\!=\!4$\ero}}
\put(114,132.2){\sx{.7}{\rot{60}$v\!=\!3$\ero}}
\put(129,118.6){\sx{.7}{\rot{40}$v\!=\!2$\ero}}
\put(138,100.2){\sx{.7}{\rot{20}$v\!=\!1$\ero}}
\put(004,084.2){\sx{.66}{$v\!=\!9$}}
\put(141,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(003,076){\sx{.66}{$v\!=\!-9$}}
%\put(140,059){\sx{.7}{\rot{-20}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(136,061){\sx{.66}{\rot{-21}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(125,044){\sx{.66}{\rot{-41}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(109.4,032){\sx{.66}{\rot{-61}$v\!=\!-3$\ero}}
%\put(091.2,025){\sx{.66}{\rot{-79}$v\!=\!-4$\ero}}
\put(80,051){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!3$\ero}}
\put(83,039.6){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!4$\ero}}
\put(86,023.3){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!5$\ero}}
\put(90,000.2){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!6$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 10pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2mapT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\log_{\sqrt{2}}(x\!+\mathrm i y)$
%Карты экспоненты и логарифма по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ по формулам \rf{Texpq2}, \rf{Tm1q2}. 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expq2mapT1000.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logq2mapT1000.jpg}
\iL{LogQ2map}}
\vskip 4pt
\end{figure}

\JP{ Юля попросила меня в Книге идти от простого к сложному. Как уже упомянуто в начале, в жизни все часто происходит гораздо по-другому, то есть от сложного к простому. Случай натуральной экспоненты (то есть по основанию $\mathrm e$) сложнее, чем случай экспоненты по основанию $\sqrt{2}$), и именно для этого случая вещественно-голоморфная суперфункция (то есть суперэкспонента) была построена раньше. Однако я стараюсь следовать совету Юли хотя бы в Книге, и сперва рассказываю про более простой случай, а именно, про неограниченно растущую суперфункцию экспоненты по основанию $\sqrt{2}$.
Этот случай во многом похож на случай факториала; растущая суперфункция такой экспоненты строится по тем же формулам, что и для факториала, и, к тому же, ведет себя схожим образом.
}%JP
%Комплексная карта экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ показанa на рисунке \ref{ExpQ2map}. 
Complex map of exponent to base  $b\!=\!\sqrt{2}$ is shown in figure \ref{ExpQ2map}. 
%Эта функция периодична, её период
This function is periodic; its period
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
P=\frac{2 \,\pi\, \mathrm i}{ \ln(b) }=\frac{2 \,\pi\, \mathrm i}{ \ln\Big(\sqrt{2} \Big) } \approx 18.1294405673 \,\mathrm i
\eL{Q2P18}
is pure imaginary.
%На рисунке \ref{ExpQ2map} уместилось чуть меньше одного периода. 
A little bit less than one period fits the height of map in figure \ref{ExpQ2map}.
\vskip 2mm

\JP{Чтобы проследить построение суперфункции для экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, полезно вспомнить свойства такой  передаточной функции. Эти свойства рассмотрены ниже.
\vskip 2mm
Пусть передаточная функция 
\be \!\!\!
T(z)=b^z=(\sqrt{2})^z=\exp_{\sqrt{2}}(z)=\exp\Big( \frac{\ln(2)}{2} z\Big)
\eL{Texpq2}
при $b\!=\!\sqrt{2}$; это значение, по умолчанию, принято в этой секции. Обратная функция
\be 
T^{-1}(z)=\log_{\sqrt{2}}(z)=\log_b(z)=\frac{2}{\ln(2)} \ln(z)
\eL{Tm1q2}
Чтобы вычислять экспоненту, нужно знать свойства умножения и его обратной операции, то есть деления. Примерно так же, для того, чтобы вычислять итерации экспоненты и суперэкспоненту, нужно знать свойства экспоненты её обратной функции. %операции, то есть логарифма. 
Иначе может случиться, что после лекции об устройстве паровоза, курсант-машинист спросит, куда в паровозе запрягаются лошади, а после курса атомной физики - о том, как откачивают воздух из пространства между ядром и электронами.
% \footnote{может быть, я ошибаюсь, и так уже не спрашивают. Потому как не знают значения терминов  ``запрягать'' и ``лошадь''. (А если слышали слово ``лошадь'', то разве что в сочетании ``сферическая лошадь в вакууме''.) Теперь студенты продвинутые и задают более умные вопросы, например, по атомной физике и, в частности, о том, как откачивают воздух из пространства между ядром и электронами}.
%Короче, чтобы не уподобляться Ярмонкину, у которого, подъезжая к станции, слетела шляпа, я, подъезжая к суперфункции от экспоненты и итерациям этой экспоненты, сперва представляю её карту, чтобы она не слетела. А заодно представляю и её обратную функцию, то есть логарифм по тому же основанию.
}%JP
%Для экспоненты по основанию $b$, обратной функцией является логарифм по основанию $b$, то есть минус первая итерация: 
For the exponential to base $b\!=\!\sqrt{2}$, the inverse function is logarithm to base $b$; this logarithm can be interpreted as minus first iterate:
\be
T^{-1}(z)=\log_{\sqrt{2}}(z)=\log_b(z)=\frac{2}{\ln(2)} \ln(z)
%\eL{Tm1q2}
\eL{logsqrt2}
%Комплексная карта логарифма по основанию 
Complex map of logarithm to base 
$b\!=\!\sqrt{2}$ 
%показана на рисунке 
is shown in figure
\ref{LogQ2map}. 
%This map shows 
The dashed line marks the cut of the range of holomorphism; that cut runs from zero along the negative part of the real axis. The jump at the cut line is determined by the period 
\rf{Q2P18} of the exponent:
%Эта функция имеет разрез вдоль отрицательной части вещественной оси, и её скачок на этом разрезе определяется периодом экспоненты:
\be
\log_{\sqrt{2}}(x+\mathrm i o) -
\log_{\sqrt{2}}(x-\mathrm i o) = P \approx 18.1294405673 \, \mathrm i
\label{logq2jump}
\ee
for $x\!<\!0$.
%для $x\!<\!0$. На рисунке \ref{LogQ2map}, уровни 
At the map, the levels 
$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9$ and
$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9$ 
are seen close to the negative part of the real axis.
%близки к отрицательной части вещественной оси.
\vskip 2mm

%Стационарные точки экспоненты $L\!=\!2$ и $L\!=\!4$ являются также и стационарными точками логарифма, их видно на рисункax \ref{ExpQ2plot}, \ref{ExpQ2map} и \ref{LogQ2map}.  В этой главе описано построение суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$ регулярной итерацией на стационарной точке  $L\!=\!4$.
Fixed points $L\!=\!2$ and $L\!=\!4$ of the exponent are also fixed points of the logarithm;
these points are seen in figures
\ref{ExpQ2plot}, \ref{ExpQ2map} and \ref{LogQ2map}. 
\vskip 2mm

This chapter describes the regular iteration of exponential to base  $\sqrt{2}$ at the fixed point  $L\!=\!4$.
%Следующая секция рассказывает, как строится такая суперэкспонента.
The next section describes the construction of the superfunction, id est, the growing superexponential to this base.
%В принципе, экспонента не сложнее факториала; во-всяком случае после того, как её основание фиксировано. Поэтому в этой секции рассмотрены суперфункции, получающиеся регулярной итерацией у разных стационарных точек. Полож

%\section{Суперфункция на стационарной точке $L\!=\!4$}
\section{Superfunction at fixed point $L\!=\!4$}
%\baselineskip 19.4pt
\baselineskip 16.4pt

%\begin{wrapfigure}{r}{212px}
\begin{wrapfigure}{r}{190px}
\normalsize
\vskip 2pt
%\sx{.256}
%\sx{.25}{
\sx{.21}{
%\begin{picture}(808,1308) 
%\put(0,0){\ing{sqrt23u}} 
\begin{picture}(808,2002) 
\put(0,0){\ing{sqrt23uplo}} 
\put(368,2062){\sx{4.6}{$y$}}
\put(350,1992){\sx{4.6}{$20$}}
\put(350,1892){\sx{4.6}{$19$}}
\put(350,1792){\sx{4.6}{$18$}}
\put(350,1692){\sx{4.6}{$17$}}
\put(350,1592){\sx{4.6}{$16$}}
\put(350,1492){\sx{4.6}{$15$}}
\put(350,1392){\sx{4.6}{$14$}}
\put(350,1292){\sx{4.6}{$13$}}
\put(350,1192){\sx{4.6}{$12$}}
\put(350,1092){\sx{4.6}{$11$}}
\put(350,992){\sx{4.6}{$10$}}
\put(370,892){\sx{4.6}{$9$}}
\put(370,792){\sx{4.6}{$8$}}
\put(370,692){\sx{4.6}{$7$}}
\put(370,592){\sx{4.6}{$6$}}
\put(370,491){\sx{4.6}{$5$}}
\put(370,391){\sx{4.6}{$4$}}
\put(370,290){\sx{4.6}{$3$}}
\put(370,190){\sx{4.6}{$2$}}
\put(370,90){\sx{4.6}{$1$}}
\put(62,-40){\sx{4.6}{$-3$}}
\put(162,-40){\sx{4.6}{$-2$}}
\put(262,-40){\sx{4.6}{$-1$}}
\put(392,-40){\sx{4.6}{$0$}}
\put(492,-40){\sx{4.6}{$1$}}
\put(592,-40){\sx{4.6}{$2$}}
\put(692,-40){\sx{4.6}{$3$}}
\put(780,-40){\sx{4.6}{$x$}}
%\put(546,654){\sx{4.5}{\rot{72}$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$\ero}}
\put(644,644){\sx{4.5}{\rot{76}$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$\ero}}
\put(550,186){\sx{5.5}{\rot{43}$y\!=\!\exp_{\sqrt{2}}(x)$\ero}}
\put(868,220){\sx{4.8}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt23uplot.jpg}\ero}}
\end{picture} }
\vskip -2pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$ 
%по формуле 
by %equation
\rf{Ff45} and $y\!=\!\exp_{\sqrt{2},5}(x)$ 
\label{sqrt23uplot}}
%{\rule{0pt}{8pt}}
\vskip -22pt \large
\end{wrapfigure}

%Пусть $L\!=\!4$. 
%В главе 6 рассказано, как строятся итерации, регулярные в окрестности стационарной точки.
Chapter 6 describes the construction of iterates of a transfer function, that are regular in vicinity of its fixed point.
%Здесь этот метод адаптирован для построения суперэкспоненты по основанию 
Here, that method is used for 
%exponent to base 
$T\!=\!\exp_{\sqrt{2}}\,$;
the superfunction is constructed, that exponentially approaches the fixed point
% асимптотически стремящейся к стационарной точке 
$L\!=\!4$ 
at large negative values of the real part of the argument, and grows to infinity at the large positive argument.
%при больших отрицательных значениях аргумента, и неограниченно растущей при положительных значениях аргумента.
%Эта функция названа 
This function is denoted with 
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$.
The last superscript in the name of the function indicates its value at zero, $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(0)=5$.
%и её график показан на рисунке 
%Its graphic is shown 
In figure
\ref{sqrt23uplot}, curve $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ is compared to that of $y\!=\!\exp_{\sqrt{2}}(x)$.
%Ниже рассказывается, как строится эта функция. 
Below I construct and describe function $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$.
\vskip 8pt

%Я использую общую формулу  
%\rf{iteraz1}
%In order to get the superfunction, 
I use formula \rf{Lea2general}
%для 
of the asymptotic expansion of superfuction $f$:
%асимптотического разложения суперфункции $F$, которая на минус бесконечности стремится к этой стационарной точке.
% (имеется в виду, что к минус бесконечности стремится веществанная часть аргумента). 
%Для передаточной фуникции 
%\vskip 2mm
%For 
%the transfer 
%function
%$T\!=\!\exp_{\sqrt{2}}$, 
%эту формулу можно записать  так:
%the superfunction can be written as follows:
%I use the asymptotic representation of superfunction $f$:
\be \!\!\!\!\!\!\!
%f(z)=\sum_{n=0}^{N-1}\, a_n\, \exp(nkz) + O\Big(\exp(Nkz) \Big).
f(z)\!=\!\sum_{n=0}^{N-1}\, a_n\, \rme^{nkz} \!+\! O\big(\rme^{Nkz} \big)~
\label{q2Fz4} \ee
%причем 
Here I assume, that 
$a_0\!=\!L\!=\!4$ and  $a_1\!=\!1$.
%\vskip 2mm
%
Coefficient $a_1$ could be chosen arbitrary, but then other coefficients depend on $a_1$. 
%I set $a_1\!=\!1$
%in order to simplify formulas; the 
Alteration of $a_1$ is equivalent of scaling of parameter $\varepsilon$ and displacement of the argument of the superfunction.
% While the transfer equation is invariant with respect to translations, another choice of $a_1$ would give the same set of superfunctions and the same iterates of the transfer function. 
%\vskip 8pt
Then, formula 
\rf{k38}
%, \rf{a2.39}, etc. 
%дает
gives
\be\!\!\!\!\!\!
k\!=\!\ln\!\Big({\exp_{b}}'(4)\Big)\!=\!\ln\!\Big(4\ln(\sqrt{2})\Big)\!=\! \ln(2\ln(2)) \!\approx\!
%\ln( 1.3862943611199) \approx 
0.32663425997828%098238
\label{q2k4} 
\ee
This value determines periodicity of the superfunction; its period
%определяя период суперфункции
\be
P=P_4=\frac{2\,\pi\,\mathrm i}{k}= \frac{2 \pi \mathrm i }{\ln(2 \ln(2))}
\approx  19.236149042042854712 \, \mathrm i
\label{q2P4}
\ee

%In order to get $k$, $a_2$, $a_3$,.. 
%coefficients, 
I use equations %\rf{k38},
\rf{a2.39},\rf{a2.40} or directly the transfer equation (which gives the same results)
to get coefficients $a$. 
While the transfer function is exponent to base $\sqrt{2}$, the transfer equation
can be written as follows:
\be
f(z\!+\!1)=\Big(\sqrt{2}\Big)^{f(z)} \eL{q2Transfereq}
%в соответствии с общeй формулой 

\begin{table} [t]
%\caption{Приближенные значения коэффициентов $a$ и $U$ в разложениях \rf{q2Fz4}, \rf{q2Gz4} для суперекспоненты $F$ и абельeкспоненты $G$ по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ , построенных у стационарной точки $L\!=\!4~$. \iL{tableq2a4}  }
\vskip -12pt
%\caption{\large Kоэффициенты $a$ и $U$ в разложениях \rf{q2Fz4}, \rf{q2Gz4} 
\caption{\large Coefficients $a$ and $U$ in expansions \rf{q2Fz4}, \rf{q2Gz4} 
%для суперекспоненты $F$ и абельeкспоненты $G$ по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ , построенных 
%для $L\!=\!4$ 
\label{tableq2a4} }
\vskip -8pt
\begin{center}
\large
\begin{tabular}{rrr} $n$ & $a_{n} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$ & $U_{n} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$ \\ \input{tableq2L4}
\end{tabular}
\end{center}
\vskip -4pt
\end{table}
%В принципе, к
%Kоэффициент $a_1$ можно было бы выбрать произвольно, но тогда все остальные коэффициенты оказались бы зависимыми от  $a_1$. Поэтому удобно положить $a_1\!=\!1$. Подстановка разложения \rf{q2Fz4} в передаточное уравнение 
%Затем, учет высших слагаемых в разложении по малому параметру 
%Then, taking into account the higher terms in the expansion with respect to small parameter 
%$\varepsilon \!=\! \mathrm e^{kz}$ 
%дает выражения для коэффициентов 
%определяет коэффициенты $a$; в частности
Substitution of expansion \rf{q2Fz4} into the transfer equation \rf{q2Transfereq} determines coefficients $a_m$ for $m\!>\!1$. In particular,
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
a_2\!&\!=\displaystyle ~ ~ \frac{\ln(2)/4}{1-2 \ln(2)} \!&\!\approx\! 0.448587431195261%22890 
~ ~
\label{q2a2}\\
a_3\!&\!=\displaystyle \!\frac
{\Big(1 \!-\! \ln(2)\Big) \, \ln(2)^2/12}
{1\!-\!2\ln(2)\!-\!4\ln(2)^2\!+\!8\ln(2)^3} 
\!& \!\approx\! 0.1903722467978067%5668 ~
~ ~
\label{q2L4a23}
\ee
Similar (but longer) expressions 
%take place 
can be written
for the other coefficients $a$.
%Для более высоких коэффициентов получаются
% похожие, хотя и 
%более громоздкие выражения. 
%В первом столбце таблицы \ref{tableq2a4} предложены приближенные значения коэффициентов $a$ в разложении \rf{q2Fz4}.
The first column in table \ref{tableq2a4} suggests the approximate values of coefficients  $a$ in expansion \rf{q2Fz4}.
%На основе $N\!=\!20$ таких коэффициентов построено первичное приближение $\tilde f$ для суперфункции $f$, то есть 
\vskip 2mm

I use the truncation of the expansion \rf{q2Fz4}, taking into account  $N\!=\!20$ terms.
This gives the primary approximation
%таких коэффициентов построено первичное приближение 
$\tilde f$ 
%для суперфункции 
for superfunction
$f$:
\be
\tilde f(z)=\sum_{n=0}^{19}\, a_n\, \exp(nkz)
\eL{q2Fz4tilde20}  \begin{figure}[t]
%\put(100,100){\sx{4}{mapeq2tildeF4}}
%\begin{center}
\sx{2.001}{ \begin{picture}(208,205)
\put(6,5){\ing{sqrt2figf45b}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,00){\sx{.6}{$-10$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-8$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 82,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(166,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(186,0){\sx{.6}{$8$}}
\put(203,0){\sx{.7}{$x$}}
\put(20,199.4){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(20,151){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
\put(20,103){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(20,56){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
\put(20,07){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(072,161){\rot{46}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
\put(090,150){\rot{52}\sx{.8}{$v\!=\!0.4$}\ero}
\put(067,114){\rot{46}\sx{.8}{$u\!=\!4.2$}\ero}
\put(084,107){\rot{52}\sx{.8}{$u\!=\!4.4$}\ero}
% 0 
\put(071,73){\rot{44}\sx{.8}{$v\!=\!-0.2$}\ero}
\put(072.4, 11){\rot{66}\sx{.8}{$u\!=\!3.8$}\ero}
\put(098, 11){\rot{74}\sx{.8}{$u\!=\!3.6$}\ero}
\put(113.8, 11){\rot{77}\sx{.8}{$u\!=\!3.4$}\ero}
\put(127, 11){\rot{80}\sx{.8}{$u\!=\!3.2$}\ero}
\put(140.2, 11){\rot{88}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figf45bT.png}
\vskip -12pt
\caption{ \large
%Слева: Карта первичного приближения  $\tilde F$ для регулярной итерации суперфункции $F$ от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, построенного на стационарной точке $L\!=\!4$ с учетом 20 слагаемых в разложении \rf{q2Fz4},
$~u\!+\! \mathrm i v = \tilde f ( x\!-\!1.11520724513161 + \mathrm i \, y )$ ;
%справа: Карта соответствупщей суперфункции $F$  по формуле \rf{Ff45}, $~u\!+\!\mathrm i v=F(x\!+\! \mathrm i y)$ .
%$\!\!\!\!\!\!$ 
%\iL{sqrt2figf45b} ~ ~ \iL{mapeq2F4}
\iL{sqrt2figf45b} ~ ~ ~  \iL{mapeq2F4}
}
\end{figure}
\vskip -18pt
%Аппроксимация $\tilde f$ показана на рисунке \ref{sqrt2figf45b}. 
Approximation $\tilde f$ is shown in figure \ref{sqrt2figf45b}. 
%Для удобства сравнения с другими картами, аргумент функции на этом рисунке сдвинут на вещественную константу 
In order to simplify the comparison with other maps, the argument of function in this figure is displaced for the real constant
$x_{45}\!\approx\!- 1.11520724513161$; 
%This constant makes the
this constant provides approximate condition 
%$f(0)\appropx 5$
$f(x_{45})\approx 5$
and the exact equality
$\mathrm{SuEx}_{\sqrt{2},5}(0)=5$
for the superfunction constructed below and shown in figure \ref{sqrt2f45map}.
%The sense of this constant is discussed below.
%смысл этой константы объясняется ниже.
\vskip 6pt

%такая константа для суперфункции
%$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2}}(z) \approx \tilde f(x_5\!+\!z)$ обеспечивает условие $\mathrm{SuExp}(0)\!=\!5$.
%Невязка при подстановке приближения \rf{q2Fz4tilde20} в передаточное уравнение \rf{q2Transfereq} становится порядка ошибок округления при $\Re(z)\!<\!-3$. %практически, 
%Приближение \rf{q2Fz4tilde20} уже позволяет построить комплексную карту суперфункции в левой части комплексной полуплоскости. 
The primary approximation \rf{q2Fz4tilde20} 
allows to plot the complex map of superfunction in the left hand side of the complex plane.
%Невязка при подстановке приближения \rf{q2Fz4tilde20} в передаточное уравнение \rf{q2Transfereq} становится порядка ошибок округления при $\Re(z)\!<\!-3$. %практически, 
The residual at the substitution of the approximation \rf{q2Fz4tilde20} into the transfer equation \rf{q2Transfereq} 
becomes of order of rounding errors at
 $\Re(z)\!<\!-2$. %практически, 
The readers are invited to plot this residual by themselves (preferably), or to look at it in the right hand side of figure 4 of the original publication \cite{sqrt2}.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\put(100,100){\sx{4}{mapeq2tildeF4}}
%\begin{center}
%\sx{1.16}{ \begin{picture}(208,205)
\sx{2}{ \begin{picture}(208,205)
 \put(6,5){\ing{sqrt2figf45e}}
 \put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
 \put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
 \put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
 \put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
 \put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
 \put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
 \put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
 \put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
 \put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
 \put(-2,00){\sx{.6}{$-10$}}
 \put( 22,0){\sx{.6}{$-8$}}
 \put( 42,0){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 62,0){\sx{.6}{$-4$}}
 \put( 82,0){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(106,0){\sx{.6}{$0$}}
 \put(126,0){\sx{.6}{$2$}}
 \put(146,0){\sx{.6}{$4$}}
 \put(166,0){\sx{.6}{$6$}}
 \put(186,0){\sx{.6}{$8$}}
 \put(203,0){\sx{.7}{$x$}}
 \put(20,199.4){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
 \put(20,151){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
 \put(20,103){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
 \put(20,56){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
 \put(20,07){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
 \put(072,161){\rot{46}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
 \put(090,150){\rot{52}\sx{.8}{$v\!=\!0.4$}\ero}
 \put(067,114){\rot{46}\sx{.8}{$u\!=\!4.2$}\ero}
 \put(084,107){\rot{52}\sx{.8}{$u\!=\!4.4$}\ero}
 % 0 <br>
 \put(071,73){\rot{44}\sx{.8}{$v\!=\!-0.2$}\ero}
 \put(072.4, 11){\rot{66}\sx{.8}{$u\!=\!3.8$}\ero}
 \put(098, 11){\rot{74}\sx{.8}{$u\!=\!3.6$}\ero}
 \put(113.8, 11){\rot{77}\sx{.8}{$u\!=\!3.4$}\ero}
 \put(127, 11){\rot{80}\sx{.8}{$u\!=\!3.2$}\ero}
 \put(140.2, 11){\rot{88}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
 \put(140.8,177){\rot{90}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
 \put(178,150){\rot{9}\sx{.99}{$u\!=\!2$}\ero}
 \put(128,154){\rot{0.}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
 \put(128,136){\rot{0.}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
 \put(125,054){\rot{0.}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
 \put(178,057){\rot{-10}\sx{.99}{$u\!=\!2$}\ero}
 \end{picture} }
\vskip -2pt
\hskip 23pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figf45eT.png}
\vskip -8pt
\caption{\large
%Слева: Карта первичного приближения  $\tilde F$ для регулярной итерации суперфункции $F$ от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, построенного на стационарной точке $L\!=\!4$ с учетом 20 слагаемых в разложении \rf{q2Fz4},
%$~u\!+\! \mathrm i v = \tilde f ( x\!-\!1.11520724513161 + \mathrm i \, y )$ ;
%справа: Карта соответствупщей суперфункции $F$  по формуле \rf{Ff45}, 
$~u\!+\!\mathrm i v= \mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x\!+\! \mathrm i y)$ by  \rf{Ff45} ~
%$\!\!\!\!\!\!$ 
%\iL{sqrt2figf45b} ~ ~ \iL{mapeq2F4}
%\iL{sqrt2fig45bg} ~ ~ \iL{mapeq2F4}
\iL{sqrt2f45map}}
%\vskip 2pt
\end{figure}
\JP{ Левая часть рисунка \ref{sqrt2figf45b} показывает комплексную карту этой функции линиями $u=\rm const$ и линиями $v=\rm const$, где, как и на других картах,  вещественные $u$ и $v$ определяются соотношениями
\be
 u\!+\! \mathrm i v = \tilde f \Big( x\!-\!1.11520724513161 + \mathrm i \, y \Big)
\eL{sdvi1112}
Константа 1.11520724513161 выбрана для удобства сравнения этой карты с картой суперфункции $F_{45}$, для которой 
$F_{45}(0)\!=\!5$;  константа 5 есть наименьшее целое число, превышающее значение $L\!=\!4$.
\vskip 2mm
Методом регулярной итерации 
}%JP
%Суперфункция $f$ получается как предел
Superfunction $f$ appears as limit
\be
f(z)= \lim_{n\rightarrow \infty}{\exp_b}^n\Big( \tilde f(z\!-\!n) \Big)
\eL{sqrt2regi45}
%Для целых положительных значений $n$ итерация экспоненты не представляет сложностей.
%Ввиду того, что $\tilde f$ есть асимптотическое решение, этот предел не зависит от числа слагаемых в приближении
%\rf{q2Fz4tilde20}. 
%As $\tilde f$ is asymptotic solution, 
This limit does not depend on the number $N$ of terms in the primary approximation
\rf{q2Fz4tilde20}. 
Instead of 19 terms, one could choose another constant. However,  the more terms are taken into account, the faster does the limit converge.
%Вместо девятнадцати, можно было бы выбрать иную константу. Однако, чем больше слагаемых, тем быстрее сходится предел. Выбирая число 19, я имел в виду имплементацию Complex double. Тогда, для аппроксимации $f$ с 14ю значащими цифрами,
%достаточно выбрать $n\!>\! \Re(z)\!+\!3$. 
%Вместо девятнадцати, можно было бы выбрать иную константу. Однако, чем больше слагаемых, тем быстрее сходится предел. Выбирая число 19, я имел в виду имплементацию Complex double. Тогда, для аппроксимации $f$ с 14ю значащими цифрами, достаточно выбрать 
Choosing $N\!=\!19$, I keep in mind the implementation complex double. For the approximation of $f$ with 14 significant figures, it is sufficient to choose
$n\!>\! \Re(z)\!+\!2$. 
\vskip 2mm

%\large
%Удобно, когда в нуле суперфункция принимает значение 5. Это наименьшее целое число, большее использованной стационарной точки $L=4$. Такую функцию можно записать как
It is convenient, when at zero the superfunction takes integer value. I choose this value to be 5. This is smallest integer, that is still greater than the chosen fixed point $L\!=\!4$. I denote this superfunction with symbol $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ and define it as follows: 
\be
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z)=F(z)=f(x_{45}+z)
\eL{Ff45}
%где $x_{45} \approx -1.11520724513161$ есть решение уравнения
where $x_{45} \approx -1.11520724513161$ 
%есть решение уравнения
%\be
is real solution of equation
$f(x_{45})\!=\!0$.
Namely this constant is used for the displacement of the argument of function $\tilde f$ 
in figure \ref{mapeq2F4}
in order of simplify the comparison with map of function $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ shown in figure 
\ref{sqrt2f45map}.
%\eL{x45}
%Именно на эту константу сдвинут аргумент функции  на рисунке \ref{sqrt2figf45b}.  
\vskip 6pt

%Map of function
%Карта функции 
%$F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ 
%по формуле  
%by equation
%\rf{Ff45}
%показана на рисунке 
%is shown in figure
%\ref{sqrt2f45map}. 
%на рисунке \ref{sqrt2figf45е}. 
%В левой комплексной полуплоскости карты функций 
In the left hand side of the complex plane, functions 
$z \!\mapsto\! \tilde f(z\!+\!x_{45})$ and $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ 
%практически совпадают.
asymptotically coincide. This gives way to the precise evaluation. In the whole complex plane, the superfunction can be approximated with any arbitrary precision; so,
it should be qualified as exact solution.
%(Надеюсь, что рисунки  \ref{sqrt2figf45b} и  \ref{sqrt2f45map} окажутся на одном развороте Книги.)
%Таким образом, первичная аппроксимация $\tilde f$ распространяется на всю комплексную плоскость.
In such a way, the primary approximation $\tilde f$ provides the exact solution for the superfunction $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ in the whole complex plane.
\vskip 2mm

%Для передаточной функции $Т$ в виде экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$,
For the transfer function $Т$ as exponential to base $b\!=\!\sqrt{2}$,
%регулярная итерация на основе стационарной точки 
the regular iteration at the fixed point 
$L\!=\!4$ 
%дает голоморфную во всей комплексной плоскости суперфункцию 
gives the function
$F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$
that is holomorphic in the whole complex plane.
%График этой функции показан на рисунке 
Graphic of this function is shown in figure
\ref{sqrt23uplot}.
%Комплексная карта функции 
Complex map of function $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ 
%показана на рисунке 
is shown in figure 
\ref{sqrt2f45map}. 
\vskip 2mm

For function $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{4,5}$, value at zero is chosen a smallest integer, which is still greater than $L\!=\!5$; so,
$F(0)\!=\!5$.
%Значение в нуле выбрано в виде наименьшего целого числа, превышающего $L$, то есть $F(0)\!=\!5$. Тогда функцию $F$ можно интерпретировать как итерацию экспоненты с начальным значением 5:
Then, function $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{4,5}$ can be interpreted as iterate of exponent with initial value 5:
\be
F(z)=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z)=\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^z(5) ~ ~ ~ ~ ~ 
\eL{expq2z5}
%где индекс u указывает, что имеется в виду регулярная итерация, построенная на верхней (upper) стационарной точке. Для такой итерации требуется 
where subscript $\mathrm u$ indicates, that the regular iteration is built-up at the highest (``upper'') fixed point of the exponent. 
%В следующей секции для такой суперэкспоненты строится обратнная функция, то есть абельэкспонента 

In order to evaluate the non-integer iterates, 
%of other argument,
%that begins with any constant,
%in equation \rf{expq2z5}, 
the abelfunction is also required; I mean,
$G\!=\!F^{-1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$. 
This abelfunction is described in the next section.

%Эта абельэкспонента строится в следующей секции.
%В этой формуле экспонента по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ итерируется $z$ раз с начальным значением 5. Эта экспонента может итеритоваться не целое число раз, а произвольное; в частности, дробное или даже комплексное;.
% то есть  $z$ в формуле \rf{expq2z5} не имеет необходимости быть целым числом. 
%Для того, чтобы выразить (и вычислять) такие итерации, требуется соответствующая функция Абеля, или Абельфункция. 
%\footnote{Редактор попросила, чтобы первое издание Книги было по-русски. Но это место перевести не удалось:\\
%``In order to be able to evaluate the non-integer iterates, one needs also the Abel function''. Слова ``be able'' и ``the Abel'' звучат очень сходно; по крайней мере в тех случаях, когда их произносит человек, который до 10 лет вообще не говорил по-английски.
%To be able to enable\\
%Iteration pretty stable\\
%Second column of the Table\\
%Gives tools by Henryk Abel.
%}

%\section{Абельфункция на стационарной точке $L\!=\!4$}
\section{Abelfunction at fixed point $L\!=\!4$}
%\baselineskip 18.8pt

Superfunction $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},4}$ of the exponent to base $\sqrt{2}$ is descried in the previous section.
This section considers the inverse function, $G\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},4}\!=\!F^{-1}\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},4}^{-1}$.
Then, the combination of superfunction $F$ and abelfunction $G$ allows to evaluate the non-integer iterates of the transfer function
$T\!=\! \exp_{\sqrt{2}}$ by the general formula \rf{Tzx}.
%Для того, чтобы вычислять нецелые итерации передаточной функции, рассмотеренной выше, то есть экспоненты по основанию  
%$b\!=\!\sqrt{2}$,
% с любым начальным значением (а не только с начальным значением 5), 
%требуется построить соответствующую абельфункцию $G\!=\!F^{-1}$, то есть обратить функцию $F$ в формуле  \rf{expq2z5}. Построение такой абельфункции описано ниже.
%в этой подсекции.
\vskip 2mm

%Разложение для Абельфункции $g=f^{-1}$ можно получить, обращая асимптотику
Expansion for the abelfunction $g\!=\!f^{-1}$ can be obtained, inverting the asymptotics 
\rf{q2Fz4}. 
%Это дает для абельфункции $g$ разложение $\tilde g$, для которого
This gives for the abelfunction $g$ expansion $\tilde g$ in the following form:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\exp(k\tilde g(z))=\sum_{n=1}^{N-1} \, U_m \, (z\!-\!L)^n +  O(z\!-\!4)^N
\iL{q2Gz4} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
\label{expq2gass}
\ee
where $U_0\!=\!0$; this implies, that at the fixed point $L$, function $g$ becomes infinite.
%Для рассчета коэффициентов  $U$ следует отметить, что $U_0\!=\!0$; это означает, что стационарная точка в качестве аргумента должна уводить абельфункцию на бесконечность.
%Далее, в соответствии с разложением 
Then, according to expansion \rf{q2Fz4}, we get $U_1\!=\!1$ and $U_2\!=\!-a_2$.
%Пока коэффициенты $a$ представлены в символьном виде (то есть бесконечно точно), Математика или Клен без потери точности может вычислять по ним коэффициенты $U$ разложения  \rf{expq2gass}.
While coefficients $a$ are represented with exact expressions (with infinite precision), Matgematica or Maple can calculate of order of 10
coefficients $U$ in expansion  \rf{expq2gass}.
%Функция, которая осуществляет такое преобразование, называется 
Routine, that perform this inversion, is called
{\bf InverseSeries}.
%Вероятно, такая же функция есть и в других софтах, так что не обязательно привязываться именно к Математике или к Клену. 
%В частности, 
In particular,
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
U_2\!=\!&\!\displaystyle ~ ~ \frac{\ln(2)/4}{1-2\ln(2)} &\!\approx\! -0.4485874311952612289
\label{eq2U2} \\
 \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
U_3\!=\! &\! \displaystyle \! \frac{\Big(1\!+\!4\ln(2)\Big) \ln(2)^2/24}{1\!-\!2\ln(2)\!-\!4\ln(2)^2\!+\!8\ln(2)^3} \!\!&\! \approx 0.21208912005491969757
\label{eq2U3}
\ee
%Приближенные значения коэффициентов $U$ предложены в правом столбце таблицы 
Approximate values of coefficients $U$ are shown in the right hand side column of table
\ref{tableq2a4}.
%Эти же коэффициенты можно получить также и независимо от разложения для суперфункции, а именно, подставляя разложение 
The same coefficients can be obtained also independently on the expansion of superfunction, by substitution to expansion
\be
\tilde  g(z)=\frac{1}{k} \,  \ln\!\left( \sum_{n=1}^{N-1} \, U_m \, (z\!-\!L)^n +  O(z\!-\!4)^N \right)
\eL{eq2ga}
%в уравнение Абеля
into the Abel equation
\be
g(\exp_b(z))=g(z)+1
\eL{eq2gass}
%Для того, чтобы несколько термов разложения 
In order to fit the with of the screen (at the authomatic computation) or the width of the page
(at the calculation with paper and pen), getting 
$\tilde g(z)$ 
%по формуле 
by formyla
\rf{eq2ga} 
%умещались на экране или в тетради, имеет смысл ввести новую переменную для малого параметра 
it worth to use the new variable 
$\zeta\!=\!z\!-\!L\!=\!z\!-\!4$. 
%Тогда первые коэффициенты $U$ в разложении \rf{expq2gass} можно найти даже без помощи компьютера.
Then, first coefficients $U$ in expansion \rf{expq2gass} can be found even without computer.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\sx{2}{ \begin{picture}(208,205)
\put(6,5){\ing{sqrt2figL45e}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,00){\sx{.6}{$-10$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-8$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 82,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(166,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(186,0){\sx{.6}{$8$}}
\put(203,0){\sx{.7}{$x$}}
\put(020,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(182,103.5){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(97,200){\rot{-73}\sx{.99}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(175,182){\rot{12}\sx{.99}{$u\!=\!3.4$}\ero}
\put(182,153){\rot{-21}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(185,55){\rot{21}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(174,25){\rot{-13}\sx{.99}{$u\!=\!3.4$}\ero}
\put(103.4,15){\rot{71}\sx{.99}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(074.6,29){\rot{42}\sx{.99}{$u\!=\!4.2$}\ero}
\put(059,60){\rot{7}\sx{.99}{$u\!=\!4.4$}\ero}
\put(160,189){\rot{-60}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(147,6){\rot{42}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(42,163){\rot{64}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(113,122){\rot{65}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
\end{picture}} 
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figL45eT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large
%Карта абельэкспоненты по oснованию $\sqrt{2}$ 
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%по формуле
by formula
\rf{eq2G} 
\label{sqrt2figL45e}}
\end{figure}
%Первичное разложение $\tilde g(z)$ аппроксимирует абельфункцию $g(z)$ при $|z\!-\!4|\!<\!2$. 
%The primary 
Truncated 
expansion $\tilde g(z)$ approximates 
%the abelfunction 
$g(z)$ at $|z\!-\!4|\!<\!2$. 
%Для иных значений, используется итерация с помощью уравнения Абеля. Абельфункция $G=F^{-1}$, карта которой показана на рисунке 
For other values, the iterates with the Abel equation \rf{eq2gass} can be used.
%Абельфункция $G=F^{-1}$, карта которой показана на рисунке 
Abelfunction $G\!=\!F^{-1}$, shown in figure 
\ref{sqrt2figL45e}, appears as limit of these iterates:
%получается как предел таких итераций:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z)=G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \tilde g \Big(\log_b(z\!-\!n)\Big)+n + x_{45}
\eL{eq2G}
where $x_{45}\approx -1.11520724513161$ is the same constant,
% by equation \rf{x45} 
that appears in the definition \rf{Ff45} of the superexponent $F=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$,
providing $F(0)\!=\!5$. % In equation \rf{eq2G}, this constant provides relation $G(5)\!=\!0$, which is supposed to hold for the inverse function of $F$.
%где $x_{45}\approx -1.11520724513161$ есть та же самая константа,
%\rf{x45}, 
%которая появилась в представлении для суперфункции $F$, чтобы обеспечить условие $F(0)\!=\!5$. 
%В уравнениии \rf{eq2G}, эта константа обеспечивает условие  $G(5)\!=\!0$, которое должно выполняться для обратной функции от функции $F$.
\vskip 2mm

The inverse function of any non-trivial entire function has cut(s). The abelexponent $G\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ is not exception.
The cut of the range of its holomorphism is shown in figure \ref{sqrt2figL45e}
with dashed line. 
This cut goes along the real axis from minus infinity to the branch point 4. The abelexponent has logarithmic singularity at this point.
This singularity corresponds to the exponential approach of the superesponent to the fixed point, as the real part of the argument goes to minus infinity.
%, символ {\bf cut} указывает разрез области голоморфизма.
%аналитичности. 
%Это общее правило: если некоторая нетривиальная голоморфная  функция не имеет особых точек, 
%то хотя бы один разрез есть у её обратной функции. 
%В случае функции  $G$, разрез идет вдоль вещественной оси от стационарной точки $L\!=\!4$ до минус бесконечности. В этой стационарной точке, абельфункция $G$ имеет логарифмическую особенность. Эта особенность соответствует экспоненциальному стремлению суперфункции $F$ к стационарной точке $L\!=\!4$ на минус бесконечности.
\vskip 2mm

%Читатели приглашаются построить карту области, в которой выполняется соотношение
%\be
%F(G(z))=z
%\eL{FGzz}
%В более длинных обозначениях эта формула записывается так:
The readers are invited to plot the map of the region, where the relation below holds:
\be
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\Big(
\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z) \Big) = z
\eL{SuExpAuExpQ23}
and the map of range of validity of relation 
\be
\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\Big(
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z) \Big) = z
\ee
%\section{Об обозначениях}
Especially for the exponent to base $\sqrt{2}$, the algorithms of evaluation of the growing superfunction and the abelfunction are loaded as\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/F45E.cin} and\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/F45L.cin} \\
They are implemented in C++ as complex double functions of complex double arguments. With these algorithms, the Reader can reproduce figures of this chapter, even without downloading generators of these figures.
\vskip 2mm

%\section{About notations}
\section{Notations}
\baselineskip 18.4pt
%Ниже предлагается небольшое  лирическое отступление про обозначения. В этой Книге используются короткие имена
The most of notations, used in this Book, are already introduced. This section suggests some kind of short overview of these notations.
%$Т$ для передаточной функции, 
%$F$ для суперфункции и 
%$G\!=\!F^{-1}$
$Т$ for the transfer function (practically, it is any holomorphic function, for which the superfunction and abelfunctions are considered): 
$F$ for the superfunction, and
$G\!=\!F^{-1}$ for the corresponding abelfunction.
These notations are convenient, while it is clear, which transfer function is kept in mind, and which of its superfunctions is denoted with $F$ and which of its inverse $G$ is assumed.
%для суперфункции в тех случаях, когда понятно, о какой передаточной функции идет речь и которая из суперфункций имеется в виду.
%Такие краткие обозначения удобны, чтобы формула умещалась на одной строчке.
%Это особенно нужно после того, как Редактор предложила увеличить до трех сантиметров поля и увеличить по крайней мере до 14pt размер шрифта, которым печатается эта Книга (что сильно уменьшает количество символов, умещающихся на одной строчке и на одной странице). Однако некоторым функциям нужны и полные имена.
%\vskip 2mm
%В этой главе речь идет об основании $b\!=\!\sqrt{2}$, и используются краткие имена $F$ и $G$ для построенных здесь %суперэкспоненты и абельэкспоненты, неограниченно растущих при больших вещественных значениях аргумента. 
\vskip 2mm

%Однако, для того, чтобы на функции этой главы было удобно ссылаться и из других глав, предложены также более длинные имена 
However, these notations may cause confusions, if cited from other chapters. Functions $T$, $F$ and $G$ may have (and actually have) different meanings in different chapters. For this reason, in this chapter, I introduce also long names 
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\!=\!F$ and
$\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\!=\!G$.
The names above have simple mnemonics. The first letter indicates, that it refers to Superfunction or to Abelfunction.
This letter is capitalised, following the tradition of language Mathematica.
%Мнемоника этих имен проста. Первая буква указывает на то, что речь идет о суперфункции (Superfunction) или, соответственно об абельфункции (Abel function).
The second letter indicates, that the biggest, ``upper'' fixed point of the transfer function is used.
This have sense, if the transfer function $T$ is real-holomorphic, and has real fixed point(s), and one of them can be qualified as maximal, upper. This takes place for the exponent to base $\sqrt{2}$.
%Вторая буква указывает на то, что использована наибольшая (``верхняя'', ``Upper'') стационарная точка передаточной функции. 
The following three characters refer to the name of the transfer function, id est, exp; again, its first letter is capitalised.
%Последующие три символа указывают имя передаточной функции, exp. Для того, чтобы не путать такую запись с экспонентой, первая буква капитализирована, то есть сделана заглавной. 
%Индекс указывает основание экспоненты и значение суперэкспоненты в нуле.
The subscript indicates the base of this  exponent, $b\!=\!\sqrt{2}$ and value of this superexponent at zero;
$F(0)\!=\!5$ and $G(5)\!=\!0$.
\vskip 2mm

%Я надеюсь, что такие обозначения не вызовут конфузий. Я готов рассмотреть также и иные варианты для этих названий, как только кто-либо их читателей и/или коллег предложит более удобные обозначения.
%\vskip 4pt
%Длинные названия $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ и $\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ существенны для сравнения различных итераций экспоненты, предложенного в последующих главах. Для начала, в следующей секции рассмотрена такая итерация, которая неограниченно растет вдоль вещественной оси; поведение такой итерации экспоненты похоже на поведение итераций других функций, рассмотренных в предыдущих главах.

%\section{Итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$}
\section{Iterates of exponent to base $b=\sqrt{2}$}
\baselineskip 18.4pt
%На основе суперфункции  и абельфункции, итерация номер $n$ экспоненты по основанию  $\sqrt{2}$ может быть предствлена так:
With superfunction $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ and abefunction $G\!=\! \mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$,
the $n$th iterate of transfer function $T\!=\!\exp_{\sqrt{2}}$ can be expressed as follows:
%по общей формуле 
%\be
%T^n(z)=(\exp_{\sqrt{2}})^n(z) = F\big(n+G(z)\big)
%\eL{exp45c}
%Применительно к неограниченно растущей суперфункции и абельфункции, я переписываю эту формулу в более универсальных обозначениях:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T^n(z) = \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~n}(z) =
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5} \Big( n \!+\! \mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z)\Big)
\eL{q2Tn5}
This formula is valid at least for $\Re(z)\!>\!4$. If one choose the upper (or lower) border at the cut of abelfuntion $G\!=\! \mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ between 2 and 4, the resulting iterate $T^n(z)$ is holomorphic in the whole compilex plane except the cut along line $z\!\le\!2$. 
In figure \ref{iterEq2plot},  this $T^n(x)$ is shown versus $x$ for various real values of $n$.
These iterates are defined at least for $x\!>\!2$. For integer $n$, the curves can be extended also to $x\!\le \!2$.
%Эти итерации монотонно растут.
\vskip 2mm
%Эта формула годится по крайней мере для $\Re(z)\!>\!4$, а практически (если выбрать верхний или нижний берег разреза функции $\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$) и для всей комплексной плоскости за исключением полупрямой $ z \!\le\!2$. Для вещественных значений аргумента, такие итерации показаны на рисунке \ref{iterEq2plot}.
%\vskip 2mm
\begin{figure}[t!]
%\sx{.17}{\begin{picture}(1400,1400)
\sx{.3}{\begin{picture}(1400,1400)
\put(1,1){\ing{IterEq2plot}} 
\put(11,1384){\sx{4.4}{$y$}} 
\put(04,1290){\sx{4}{$13$}} 
\put(04,1190){\sx{4}{$12$}} 
\put(04,1090){\sx{4}{$11$}} 
\put(04,990){\sx{4}{$10$}} 
\put(11,890){\sx{4}{$9$}} 
\put(11,790){\sx{4}{$8$}} 
\put(11,690){\sx{4}{$7$}} 
\put(11,590){\sx{4}{$6$}} 
\put(11,490){\sx{4}{$5$}} 
\put(11,390){\sx{4}{$4$}} 
\put(11,290){\sx{4}{$3$}} 
\put(11,190){\sx{4}{$2$}} 
\put(11,090){\sx{4}{$1$}} 
\put(91,6){\sx{4}{$1$}} 
\put(191,6){\sx{4}{$2$}} 
\put(291,6){\sx{4}{$3$}} 
\put(391,6){\sx{4}{$4$}} 
\put(492,6){\sx{4}{$5$}} 
\put(592,6){\sx{4}{$6$}} 
\put(693,6){\sx{4}{$7$}} 
\put(794,6){\sx{4}{$8$}} 
\put(894,6){\sx{4}{$9$}} 
\put(982,6){\sx{4}{$10$}} 
\put(1082,6){\sx{4}{$11$}} 
\put(1182,6){\sx{4}{$12$}} 
\put(1282,6){\sx{4}{$13$}} 
\put(1380,6){\sx{4.4}{$x$}} 
\put(416,1158){\sx{5}{\rot{90}$n\!\rightarrow \! \infty$\ero}} 
\put(518,1250){\sx{5}{\rot{88}$n\!=\!3$\ero}}
\put(590,1250){\sx{5}{\rot{84}$n\!=\!2$\ero}}
\put(750,1250){\sx{5}{\rot{78}$n\!=\!1$\ero}}
\put(800,1240){\sx{5}{\rot{74}$n\!=\!0.8$\ero}}
\put(872,1240){\sx{5}{\rot{71}$n\!=\!0.6$\ero}}
\put(961,1240){\sx{5}{\rot{64}$n\!=\!0.4$\ero}}
\put(1084,1240){\sx{5}{\rot{54}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(1172,1152){\sx{5.5}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}}
\put(1230,1040){\sx{5}{\rot{34}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(1210, 912){\sx{5}{\rot{26}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(1204, 824){\sx{5}{\rot{19}$n\!=\!-0.6$\ero}}
\put(1200, 758){\sx{5}{\rot{15}$n\!=\!-0.8$\ero}}
\put(1210, 707){\sx{5}{\rot{11}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(1234, 558){\sx{5}{\rot{4}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(1234, 492){\sx{5}{\rot{2}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(694, 1032){\sx{6.6}{\rot{72}$y\!=\!b^x$\ero}}
\put(870,610){\sx{6}{\rot{16}$y\!=\!\log_b(x)$\ero}}
\put(825,510){\sx{6}{\rot{6}$y\!=\!\log_b^{~2}(x)$\ero}}
\put(600,200){\sx{11}{$b\!=\!\sqrt{2}$}}
\put(872,852){\sx{6}{\rot{44}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(1180,374){\sx{5}{\rot{0.1}$n\!\rightarrow\!-\infty$\ero}} 
\end{picture}}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterEq2plotT.jpg}
\vskip -8pt
\caption{\large
%$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ n}(x)$ по формуле  
$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ n}(x)$
by 
\rf{q2Tn5}
%\rf{exp45c} 
%для различных $n$. 
for various $n$. 
%Справа:
%Карта функции $T^{1/2}$ по формуле \rf{Eq2T12} ; $u+\mathrm i v=T^{1/2}(x+\mathrm i y)$. 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FacitT.jpg} 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Esqrt2ite12mapT80.jpg}
%\iL{Esqrt2ite12Map} ~ ~ ~ ~
\iL{iterEq2plot}}
%\vskip -2mm
\end{figure}
%Это растущая итерация экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$.

%Для $n\!=\!1/2$, комплексная карта этой функция показана на рисунке
For $n\!=\!1/2$, the
complex map of function $T^n(z)$ by \rf{q2Tn5} is shown in figure 
%This function is shown in figure 
\ref{iterEq2map}. 
This is half iterate of exponential to base $\sqrt{2}$:
%Это половинная итерация экспоненты.
% \vskip 2mm
\begin{figure}[t]
\sx{2}{ \begin{picture}(202,202) 
\put(6,5){\ing{esqrt2ite12map}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,-1){\sx{.7}{$-\!10$}}
\put( 22,-1){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 42,-1){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 62,-1){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 82,-1){\sx{.7}{$-2$}}
\put(106,-1){\sx{.7}{$0$}}
\put(126,-1){\sx{.7}{$2$}}
\put(146,-1){\sx{.7}{$4$}}
\put(166,-1){\sx{.7}{$6$}}
\put(186,-1){\sx{.7}{$8$}}
\put(204,-1){\sx{.7}{$x$}}
\put(056,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(179,135.6){\sx{.9}{\rot{-19}$v\!=\!6$\ero}}
\put(175,126){\sx{.9}{\rot{-14}$v\!=\!4$\ero}}
\put(173,116){\sx{.9}{\rot{-10}$v\!=\!2$\ero}}
\put(172,103.2){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\put(172,091.7){\sx{.9}{\rot{6}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(174,080.4){\sx{.9}{\rot{12}$v\!=\!-4$\ero}}
\put(066,161){\sx{.9}{\rot{4}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(076,138.4){\sx{.9}{\rot{25}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(098,121){\sx{.9}{\rot{54}$u\!=\!0$\ero}}
\put(116.4,114){\sx{.9}{\rot{68}$u\!=\!1$\ero}}
\put(129.8,110){\sx{.9}{\rot{76}$u\!=\!2$\ero}}
\put(149.6,105){\sx{.9}{\rot{81}$u\!=\!4$\ero}}
\put(164.4,103){\sx{.9}{\rot{83}$u\!=\!6$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 20pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Esqrt2ite12mapT80.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!T^{1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%по формуле 
by formula
\rf{Eq2T12}.
%\iL{Esqrt2ite12Map} ~ ~ ~ ~
\iL{iterEq2map}}
\vskip 8mm
\end{figure}
%Для того, чтобы не спутать такие итерации с иными, рассмотренными ниже в главах про тетрацию,
%Имеет смысл использовать несколько более длинные и более универсальные обозначения, 
%SuExp и AuExp для растущей суперэкспоненты и соответствующей абелэкспоненты. Эти обозначения позволят избежать путаницы в последующих главах при сравнении с иными итерациями такой экспоненты (построенными на её иной стационарной точке).
%В ``универсальных'' обозначениях, и
%Итерацию, показанную на рисунке  \ref{iterEq2map}, можно записать так:
\be \!\!\!\!\!\!\!
T^{1/2}(z)
\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{1/2}
\!=\!F\!\left(\!\frac{1}{2}\!+\!G(z)\!\right)
\!=\!
\mathrm{SuExp}_{\!\sqrt{2},5}\!\left(\!\frac{1}{2} \!+\! \mathrm{AuExp}_{\!\sqrt{2},5}(z)\!\right)
\label{Eq2T12}
\ee
I remind, that symbol ``u'' in the subscript indicates, that for the regular iterate, the highest (``upper'') fixed point is used as asymptotics of superfunction at infinity.
%Символ $u$ в индексе указывает, что для регулярной итерации экспоненты использована б\'oльшая (высшая, ``upper'') среди её вещественных стационарных точек.
\vskip 2mm

%Абельфункция $G$, построенная на стационарной точке $L\!=\!4$, имеет в этой точке логарифмическую особенность и, соответственно, точку ветвления. Однако, суперфункция $F$ периодична; эта периодичность ``нейтрализует'' ветвление, и поэтому итерация передаточной функции в этой точке особенности не имеет.
Abelfunction $G$, built up at the fixed point $L\!=\!4$, has logarithmic singularity at this point, and the corresponding cut;
the jump 
%of value of function 
at this cut is constant; and this constant is just period of the superfunction $F$.
For this reason, the iterates, even non-initeger, and in particular, the half iterate by equation \rf{Eq2T12},
are regular at the point $L\!=\!4$. However, the non-integer iterates have branch point at another fixed point of the 
transfer function, namely, $L\!=\!2$. In figure \ref{iterEq2map}, the corresponding cut is marked with dashed line.
%This line shows,
%Function $T^{1/2}(z)$ by \rf{Eq2T12} is holomorphic everywhere in the complex plane except the cut $z\!\le\!2$.
%При этом в другой стационарной точке имеется ещё одна точа ветвления, которая  периодичностью суперфункции не нейтрализуется.
%Поэтому нецелые итерации передаточной функции, построенные по формуле \rf{q2Tn5}, имеют только одну точку ветвления, а именно, 2. Функция $T^{1/2}(z)$ по формуле \rf{Eq2T12} голоморфна в комплексной плоскости с разрезом $z\!\le\!2$.
%В качестве примера нецелой итерации, карта соответствующей половинной итерации экспоненты  по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$  построена на рисунке
\vskip 2mm

%Примерно так же, как в этой секции построены итерации экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ на стационарной точке $L\!=\!4$, можно строить итерации и на другой стационарной точке, $L\!=\!2$, и для нецелых итераций получаются, вообще говоря, разные функции. Поэтому, если у передаточной функции есть более одной вещественной стационарной точки, то при нецелом итерировании 
%желательно указывать, к которой из стационарных точек относится итерация. 
%\vskip 2mm

%\section{Результаты этой главы}
%\section{Results of this chapter}
\section{Intermediate finish}
\baselineskip 19pt

\begin{wrapfigure}{r}{214pt}
%\begin{wrapfigure}{r}{224pt}
\sx{.33}{\begin{picture}(400,420)
\put(50,-20){\ing{highmount}}
\end{picture}}
\caption{View from the saddle point \label{highmount}}
\vskip -24pt
\end{wrapfigure}

%There are already 
Several results and tools for superfunctions, abelfunctions and non-integer iterates are already presented above.
%I think, now is good moment to make some relax in order to 
Here I make a view on the way already past and announce, what will be in the future way,
as it is shown in figure \ref{highmount}. 
%Such a view is presented in this section.
\vskip 2mm

%Теперь я постараюсь собрать основные результаты этой главы.
%Для функций этой главы используются обозначения 
This chapter, above, deals with transfer function $T(z)\!=\!\big(\sqrt{2}\big)^z\!=\!\exp_{\sqrt{2}}(z)$; superfunction $F$, abelfunction $G$ and iterates of the transfer function $T$ are described:
\be
F&=&\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\\
G&=&\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T^{n}(z)&=&F(n+G(z))=\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~n}(z) ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{expbc}\label{expbn}
\ee
%Первые буквы S и A использованных имен указывают, что речь идет о суперфункции или об абельфункции от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. Вторая буква названия указывает, что использована верхняя (upper)  стационарная точка такой экспоненты. Цифра 5 в индексе указывает значение в нуле, выбранное для суперфункции.
%В случая итерации экспоненты, результат не зависит от того, какое значение выбрано в нуле (предполагается, что $G\!=\!F^{-1}$), и поэтому в формуле \rf{expbc} значение суперфункции в нуле можно не указывать.
Iterates by equation \rf{expbc} are shown in figure \ref{iterEq2plot}. 
These iterates look similar to iterates of other growing functions, in particular, those shown in figures
% \ref{iterEq2plot} с рисунком 
%\ref{IterPowPlot}
\ref{IterPowPlotA} for iterates of the power function
%для итераций степенной функции и с рисунком 
and \ref{facit} for iterates of factorial.
One may expect, at least for the real-holomorphic growing functions, the similar iterates can be constructed in the similar way, even if the superfunction and the abelfunction cannot be expressed through the special functions described in the textbooks of century 20. I mean, with the regular iteration, 
%для итераций факториала. 
\vskip 2mm

%For construction of the superfunction $F$, the regular iteration at the fixed point $L\!=\!4$ of the transfer function is used; the superfunction $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$  approaches this fixed point, as the real part of the argument approaches minus infinity. The corresponding non-integer iterates are regular in vicinity of this fixed point. The construction follows the general scheme, ``regular iteration'', described and applied in the previous chapters.
%\vskip 2mm

%In the similar way, one can construct superfunction at another fixed point, $L\!=\!2$. That superfunction is called tetration to base $\sqrt{2}$. This tetration is denoted $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$ and is considered below in the special chapter 16. Construction of tetration to this base is pretty similar to the construction of the growing super exponential, and it leads to another iterates. To see the difference, one can compare the maps of the half iterates in figures \ref{iterEq2map} and 
%\ref{sqrt2q2map}.
%\vskip 2mm

With the examples above, the Reader already understands, how can one iterate a holomorphic function in such a way, that the number to iterates has no need to be integer.
These iterates greatly extends the tools, available for scientific description of various processes, for approximation (fitting) of physical (and, perhaps, not only physical) dependences.
The non-integer iterates of exponential can be used, and, in particular, those to base $\sqrt{2}$. The example of such a non-integer iterates is shown in figure \ref{iterEq2map}. I believe, the Reader can easy plot other examples of the iterates of the exponential to this base, and also for some other values of base. 

%Возможность итерирования какой попало функции сильно расширяет инструментарий доступных голоморфных функций. В частности, нецелые итерации экспоненты или факториала могут использоваться для описания процессов, растущих быстрее любой степенной функции, но медленнее любой растущей экспоненциальной функции. Формализм суперфункций %как важное достижение, которое 
%может вывести теорию и практику аппроксимации (то есть моделирования) физических процессов на качественно новый уровень.

%\section{Большой камень}
%\section{Big stone}
%\baselineskip 20pt

\JP{Путешественник или восходитель, вскарабкавшийся на хребет или каменистый перевал, и чуток оборзевший от тяжёлого подъема, может обозреть дальнейший путь. Так же Читатель (а также и автор), прочтя, как получилось изложение регулярной итерации, может обозреть, какие ещё случаи итераций можно (и нужно) рассмотреть. Такое обозрение предлагается ниже.
\vskip 2mm
В этой секции представлен своего рода ``промежуточный финиш''. То есть обзор нескольких глав Книги.}%JP
%Представленные выше результаты могут создать впечатление, что изучение итераций, суперфункций и абельфункций закончено, и осталось только применять общую формулу регулярной итерации к всяческим специальным функциям. Однако это не совсем так,  и построенная выше ``регулярная итерация'' работает не всегда. Чтобы указать на это, я пишу эту секцию.}
\vskip 2mm

The results presented above may cause impression, that they finish the investigation of superfunctions, abelfunctions and non-integer interates,
% is basically finished with these examples,
and that, in future, one needs just to apply the regular iteration to various special functions.
%Actually
%I had such a feeling few years ago, but colleagues (and especially Henryk Trappmann) had indicated the 
%Unfortunately, 
Actually, 
it is not a case.
\vskip 2mm

For some functions, the regular iterates with asymptotic \rf{Lea2general},\rf{Lea2} cannot be constructed, as the equations for the coefficients of the expansion have no solution. One of these cases is considered in the next chapter and qualified as ``exotic''.
\vskip 2mm

%\end{document}
\JP{
Итерации быстро растущих функций ведут себя похожим образом. Можно сравнить рисунок  \ref{iterEq2plot} с рисунком 
%\ref{IterPowPlot}
\ref{IterPowPlotA} 
%4.11 ???
для итераций степенной функции и с рисунком \ref{facit} для итераций факториала. 
Итерации степенной функции выражаются через степенную же функцию (с другим показателем),
Итерации рациональной функции выражаются рациональнуп же функцию (с другими параметрами).
Однало для многих других передаточных функций аналогичных представлений для итераций нет.
При этом многие свойства суперфункций, то есть поведение на бесконечности, периодичность, голоморфизм и т.п., для разных случаев сходны. На основе такого сходства было предложено 
%достаточно 
нахальное утверждение, что я умею строить физически-осмысленные суперфункции, соответствующие абельфункции и, соответственно, нецелые итерации для какой попало возрастающей вещественно-голоморфной передаточной функции.
\vskip 2mm

%И что, мало того, я берусь научить всех коллег строить такие суперфункции, абельфункции и нецелые итерации.
С тех пор я сравниваю себя Богом Всемогущим, и задаюсь вопросом о том, может ли такой Бог создать столь большой камень, что сам не сможет сдвинуть его с места. То есть пытаюсь придумать такую голоморфную передаточную функцию, для которой я не могу построить физически-осмысленную суперфункцию.
\vskip 2mm

В качестве кандидата на упомянутый 
%в предыдущем параграфе "
``камень'' можно рассмотреть какую-нибудь передаточную функцию с сингулярностью, с тем, чтобы при применении передаточной функции к значениям суперфункции получались значения, которые заставляет функцию ``скакать'' 
через её сингулярность.
%через её сингулярность. БАД
При этом алгоритм наткнется на необходимость вычислять передаточную функцию от значения, которое не входит в область её голоморфизма, и вместо суперфункции выдаст сообщение об ошибке.
%``Извините'', или ``Ни фигась?!'', или даже нечто ещё менее цензурное, в соответствии с фантазиями программиста, предусмотревшего такую возможность.
То есть я не смогу предложить итерацию, которая непрерывным (голоморфным) образом переходит через  сингулярность передаточной фукции и буду вынужден признать, что мое заявление про ``какую попало функцию'' слишком претенциозно. И оппоненты восторжествуют.
\vskip 2mm
}%JP
\JP{
%\begin{wrapfigure}[19]{right}{300px}
%\sx{.4}{\begin{picture}(500,400)
%\put(0,0){\ing{stone}}
%\end{picture}}
\begin{wrapfigure}[14]{right}{268px}
%\begin{wrapfigure}{right}{268px}
\sx{.36}{\begin{picture}(500,390)
\put(0,0){\ing{stone}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Может ли Бог создать камень такой большой, что сам не сможет сдвинуть его с места? 
%(Ответ: конечно, может, если вооружится верным и всесильным учением Маркса) 
\label{stone}} \vskip -2pt
\end{wrapfigure} }%JP
\JP{
Простым примером упомянутой сингулярной передаточной функции является $T(z)=-1/z$, рассмотренная в Главе 4. Такая функция растет, и столь быстро, что в нуле имеет сингулярность, и непрерывная (и голоморфная) итерация сквозь эту сингулярность могла бы вызвать трудности. Впрочем, оказалось, что именно для этого случая суперфункция не только существует, но выражается в терминах элементарных функций. 
\vskip 2mm

В принципе, 
сингулярную 
передаточную функцию можно модифицировать, чтобы её запись становилась сложнее, чтобы я запутался в алгебре, и декларировал такую передаточную функцию как ``нерешабельную''. Вероятно, такая передаточная функция будет иметь точки ветвления, чтобы алгоритм не смог обойти сингулярности, а попытки использовать интеграл Коши 
\footnote{Суть формулы Коши в том, что $F(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint \frac{F(t)\, \mathrm d\, t}{t-z}$ . Коши (кошки) обходят ``свою'' территорию по замкнутому контуру; если на этом контуре с функцией всё в порядке, то коши считают, что и внутри контура всё тоже слава Богу. Эта концепция является научной и имеет ограниченную область применимости; она применима только для голоморфных функций $F$. 
%В других случаях обычно имеет место обратный принцип, а именно: {\em Если где-то всё ``Слава Богу!'', то где-то - ``Не дай Бог!''}
}, расмотренный ниже (см. формулу \rf{Cauchy}),
натыкались на %соответствующие 
разрезы области голоморфизма. Тогда можно будет говорить, что эта передаточная функция и есть камень, который Бог не может сдвинуть с места. И я буду вынужден признать, что оппоненты закинули в мой огород Оочень большой камень. 
%, как это показано на рисунке \ref{stone}.
\vskip 2mm

В качестве других 
%нерешабельных 
примеров можно предложить %построение вещественно-голоморфной суперфункции для 
передаточную функцию, которая не имеет удобных для рассчетов стационарных точек; тогда регулярная итерация, предложенная в этой секции, не применима. %дает простой и эффективный алгоритм.
Простым примером функции с ``неудобными'' стационарными точками является экспонента по основанию 
$b\!>\!\exp(1/\mathrm  e)$, и, в частности, натуральная экспонента, которая получается при $b\!=\!\mathrm e$. 
То есть передаточная функция $\mathrm T\!=\!\exp$.
\vskip 2mm

Исторически получилось так, что именно для натуральной экспоненты комплексная карта суперфункции, а именно 
-
тетрации \cite{analuxp}, оказалась построена раньше, чем для других оснований $b$.
После этого встал вопрос о применимости использованного при этом алгоритма для случаев $0\!<\! b\! \le\! \exp(1/\mathrm e)$. 
Алгоритм оказался не применимым, и пришлось строить формализм регулярной итерации, предложенный в этой главе. 
Этот алгоритм оказался проще, чем формализм для натуральной тетрации \cite{analuxp}, и поэтому в этой Книге изложен раньше. Как указано в Предисловии, для этой Книги я сразу и категорично отвергаю исторический порядок изложения,
хотя упорядочиваю цитируемую литературу в хронологическом порядке.
\vskip 2mm

Профессиональные историки могут поднять работы 
Абеля \cite{abel},
Фато \cite{fatou}, 
Кнезера \cite{kneser},
Сзекереса \cite{szekeres},
Экале \cite{ecale}
и других коллег, чтобы представить исторический процесс создания аппарата суперфункций во всех 
%волнующих 
%и возбуждающох 
%деталях и 
деликатных подробностях.
Я надеюсь, что в цивилизованных странах цензура не будет препятствовать публикации и распространению подробной монографии по истории создания суперфункций. Однако это всё-таки ``совсем другая история''
\cite{ponedelnik}, и такая история выходит за рамки декларированной темы этой Книги. 
%Таким образом, 
Я оставляю историю создания формализма суперфункций для соответствующих узких специалистов
\footnote{Узкая специализация вполне соответствует общему направлению развития человеческой цивилизации. %Говорят, что в
В современных больницах даже клизму ставят два специалиста: один их них знает, как, а другой - куда.}.
\vskip 2mm

Таким образом, я начинаю с совсем простого, и торжественно заявляю: предложенный выше метод построения суперфункции и абельфункции (и нецелых итераций) не универсален.
Может статься, что передаточная функция хоть и имеет вещественную стационарную точку, но применение регулярной итерации, как она изложена выше, невозможно, так как знаменатели формул \rf{a2.39} принимают значение ноль.
Такой случай рассмотрен в следующей главе.
%Один из таких случаев рассмотрен в следующей главе.
% точек, или что стационарные точки есть
}%JP
\JP{
\vskip 2mm

Случаев, когда регулярная итерация ``не работает'', много. Поэтому глав потренуется ещё много.
В упомянутом выше примере с натуральной экспонентой, передаточная функция имеет комплексные стационарные точки. Две из них выбраны в качестве асимптотических значений суперфункции на бесконечности. Такой выбор позволяет построить вещественно-голоморфную суперфункцию, вещественно-голоморфную абельфункцию и, соответственно, выразить нецелые итерации в виде вещестенно-голоморфных функций. Этому ниже посвящена специальная глава.
\vskip 2mm

В упомянутом выше примере с натуральной экспонентой, передаточная функция имеет комплексные стационарные точки. Две из них выбраны в качестве асимптотических значений суперфункции на бесконечности. Такой выбор позволяет построить вещественно-голоморфную суперфункцию, вещественно-голоморфную абельфункцию и, соответственно, выразить нецелые итерации в виде вещестенно-голоморфных функций. Этому в Книге также посвящена специальная глава.
\vskip 2mm

Может статься, что передаточная функция вовсе не имеет стационарных точек. Пример такой функции также рассмотрен в специальной главе. 
\vskip 2mm

На таком многообещающем экскурсе я заканчиваю промежуточное обозрение перспектив будущего изложения и перехожу к следующей главе, а именно, про экзотические итерации, когда вещественно голоморфная передаточная функция имеет стационарную точку, но её производная в этой точке равна единице. %, и подход этой главы не может быть применен как есть.
%\chapter{tesssss Экзотические итерации}
}%JP

%\chapter{~ Экзотические итерации}
\chapter{~ Exotic iteration and exp to base $\mathrm e^{1/ \mathrm e}$}
\baselineskip 19pt
%\begin{wrapfigure}{r}{340pt}
\begin{figure}[h]
\normalsize
\hskip 10pt
%\sx{.41}{\begin{picture}(1202,850)
%\sx{.28}{\begin{picture}(1202,850)
\sx{.342}{\begin{picture}(1202,770)
\put(590,792){\sx{4.2}{$y$}}
\put(590,698){\sx{4.2}{$7$}} 
\put(590,598){\sx{4.2}{$6$}}
\put(590,498){\sx{4.2}{$5$}}
\put(590,398){\sx{4.2}{$4$}}
\put(590,298){\sx{4.2}{$3$}}
\put(620,274){\sx{4.2}{$\mathrm e$}}
\put(590,198){\sx{4.2}{$2$}}
\put(590,098){\sx{4.2}{$1$}}
\put(080,-22){\sx{4}{$-5$}}
\put(180,-22){\sx{4}{$-4$}}
\put(281,-22){\sx{4}{$-3$}}
\put(381,-22){\sx{4}{$-2$}}
\put(482,-22){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(703.7,-22){\sx{4}{$1$}}
\put(803.8,-22){\sx{4}{$2$}}
\put(877.,16){\sx{4}{$\mathrm e$}}
\put(903.9,-22){\sx{4}{$3$}}
\put(1004.0,-22){\sx{4}{$4$}}
\put(1104.1,-22){\sx{4}{$5$}}
%\put(1192.2,-22){\sx{4.3}{$x$}}
\put(1196,-22){\sx{4.3}{$x$}}
%\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
\put(1118,678){\sx{4.5}{\rot{69}$y\!=\!\eta^x$\ero}}
%\put(1076,606){\sx{4.1}{\rot{67}$y\!=\!\exp_{\eta}(x)$\ero}}
%\put(1100,520){\sx{4}{\rot{62}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1130,550){\sx{4}{\rot{61}$y\!=\!(\sqrt{2})^x$\ero}}
\put(1134,488){\sx{5}{\rot{45.1}$y\!=\!x$\ero}}
\put(10,10){\ing{expe1eplot}}
%\put(1280,0){\sx{2.8}{\rot{90} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg} \ero}}
\put(-6,0){\sx{2.4}{\rot{90} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg} \ero}}
\end{picture}}
%\vskip 4pt
%\hskip 4pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large $y\!=\! b^x$
%Экспонента вещественного аргумента 
%для %оснований
for
$~b\!=\!\eta\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!\approx\! 1.44466786~$ 
and
$~b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\!
1.41421356$  
\label{expe1eplot}}  
\vskip -12pt
\end{figure}

%Регулярная итерация по формулам \rf{Lea2general}-\rf{regi} не является универсальным способом построения суперфункции. В частности, разложение \rf{Lea2general} становится недопустимым,  когда производная передаточной функции в стационарной точке становится единицей, то есть
The regular iteration by \rf{Lea2general}-\rf{regi}
looks as general method of construction of superfunctions. However, in some cases, it cannot be applied as is.
%не является универсальным способом построения суперфункции. В частности, разложение 
 In particular, the asymptotic expansion
 \rf{Lea2general} 
 %становится недопустимым,  когда производная передаточной функции в стационарной точке становится единицей, то есть
becomes invalid, if the derivative of the transfer function at the fixed point is unity:
% id est,
\be
T(L)=L~&,&~~T'(L)=1
\eL{Tprimeu}
%При этом выражение $T'\!-\!1=T'(L)\!-\!1$ в знаменателе правой части формулы \rf{a2.39} обращается в ноль, лишая смысла коэффициенты в разложении  \rf{Lea2general}. Такое совпадение можно назвать экзотикой (рис. \ref{exoti}); это определяет название главы.
In this case, expression $T'\!-\!1=T'(L)\!-\!1$ 
in denominator of fraction in the right hand side of equation \rf{a2.39} 
becomes zero; and the coefficients in expansion \rf{Lea2general} loss their meaning.
%One example of such a transfer function is e
Exponential to base $b\!=
%\!\eta\!=
\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!\approx\! 1.44466786$ is an example of such an exotic transfer function.
It is shown in figure \ref{expe1eplot} and considered in this chapter.
%I use the special name $\eta$ to denote this specific value of base. Exponential to this base 
%it is shown in figure \ref{expe1eplot}. In this case, $T''(L)$ is still positive;
%construction of superfunction for such a case is matter of this chapter.
\vskip 8pt

\section{Exotic iterate}

\begin{wrapfigure}{r}{120pt}
\sx{.4}{\begin{picture}(220,160)
%\put(0,0){\ing{exotica1}}
%\put(0,0){\ing{exotica1}}
\put(0,0){\ing{exo1}}
\end{picture}}
\vskip -18pt
\caption{Exotics 
%Экзотикой называется то, что встречается нечасто, если вообще 
\label{exoti}}
%\caption{экзотика \iL{exо1}}
\end{wrapfigure}

The coincidence, that the derivative in equation \rf{Tprimeu} becomes unity, can be qualified as exotic. 
This determines the title of the chapter and that if this section.
Condition \rf{Tprimeu} is not only exotic possible, (see figure \ref{exoti}), but, first, I consider namely case \rf{Tprimeu}.
%это определяет название главы.
\vskip 2mm

The general formulas of chapter 6 fail for the special case $T^{\prime}(L)\!=\!1$,
and Henryk Trappmann expected, that for this case the precise evaluation of superfunction is very difficult, if at all.
In order to convince him, that it is doable, we had to write the paper \cite{e1e}. Part of that publication is described below.
%На основе указанного выше обстоятельства, ожидалось, что вычисление суперфункций для случая $T^{\prime}(L)\!=\!1$ будет сложным, медленным и с большой погрешностью.
%В этой главе показано, что эффективные способы вычисления суперфункций, абельфункций, и, соответственно, нецелых итераций существуют и для этого случая.

%\section{Единичая производная}
%\section{Derivative unity}
%\baselineskip 18.8pt

%В этой секции показано, как по коэффициентам разложения передаточной функции в стационарной точке построить алгоритм для вычисления суперфункции. 
This section considers the case, when the derivative of the transfer function $T$ in the fixed point $L$ is unity.
Then, formulas of section 6 for the regular iteration cannot be applied as is.

\vskip 2mm
%Для простоты предположим, что стационарная точка равна нулю, то есть $L\!=\!0$.
%Consideration 
Calculation of iterates of a function is simpler, if its fixed point is zero.
If the fixed point $L$  of transfer function $T$ is not zero, then, the superfunction $F$ can be represented in the following form:
%Если это условие по каким-либо причинам не выполнено, то суперфункцию $F$ можно представить в виде 
\be
F(z)=f(z)+L
\eL{FfL}
%и тогда для функции $f$ получаются формулы
Then, for function $f$, we get
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
f(z\!+\!1)=F(z\!+\!1)-L=T(F(z))\!-\!L=T(L\!+\!f(z))-L
\label{FfL1}
\ee
%При этом можно определить
We may define 
\be
T_{\mathrm {new}}(z)= T(L+z)-L
\eL{TnewTLzL}
%и интерпретировать эту $T_{\mathrm {new}}$ как новую передаточную функцию, для которой $f$ будет суперфункцией.
and interpret this $T_{\mathrm {new}}$ as new transfer function, and $f$ is superfunction for it.
Below, the subscript $_{\mathrm {new}}$ is omitted. This is equivalent to assumption
%В дальнейшем, в этой секции, индекс $_{\mathrm {new}}$ не пишется. Фактически предполагается, что 
\be
T(0)=0
\ee
\vskip 2mm

%Пусть разложение Тэйлора передаточной функции в нуле имеет вид
Let the Taylor expansion of the transfer function have the following form:
\be
T(z)= z+ v z^2 + w z^3 + ..
\eL{TExpan}
%причём 
where $v\!\ne \!0$.
%Для такой передаточной функции невозможно построить суперфункцию, на бесконечности экспоненциально стремящуюся к нулю.
%Однако можно построить функцию, которая убывает примерно как обратная пропорциональная зависимость. Пусть 
For such a transfer function, it is difficult (and, perhaps, impossible) to built-up any superfunction, that exponentially approaches zero at infinity.
But it is possible to construct the superfunction, that decays, roughly, as the inverse proportional function. Let 
\be
f(z)= \frac{a}{z}+\frac{b \ell}{z^2}+\frac{\alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma}{z^3} + ..
\eL{FExpan}
where 
%$a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ суть константы, a $\ell\!=\!\ln(z)$. 
$a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$ are constants, and $\ell\!=\!\ln(z)$. 
%Ниже показано, как, зная коэффициенты $v$ и $w$ разложения \rf{TExpan} передаточной функции, найти коэффициенты $a$ и $b$ в разложении 
Below I assume, that coefficients $v$ and $w$ of the expansion \rf{TExpan} are known, and show, how to calculate coefficients $a$ and $b$ 
of the asymptotic \rf{FExpan}.
% (Но не коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$) ; для них необходимо указать следующие коэффициенты в разложении  \rf{TExpan}; желательно также перенести Математику на работающий компьютер.)
\vskip 2mm

%Для преобразования аргумента $z\mapsto z\!+\!1$, преобразование выражений в асимптотическом представлении \rf{FExpan} осуществляется следующим образом:
For the displacement of the argument $z\mapsto z\!+\!1$, 
expressions in the asymptotic representation \rf{FExpan}
are transformed in the following way:

\be
\frac{1}{z}&\mapsto& \frac{1}{z\!+\!1}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{\!-1}= \frac{1}{z}- \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{z^3}+ ..\\
\frac{1}{z^2}&\mapsto& \frac{1}{(z\!+\!1)^2}=\frac{1}{z^2}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{\!-2}= \frac{1}{z^2}- \frac{2}{z^3}+ \frac{3}{z^4}+ ..\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!   \rule{0pt}{28pt}
\ell\!=\!\ln(z) &\mapsto& \ln(z\!+\!1)=\ln\!\left( z \cdot\left (1+\frac{1}{z} \right) \right) \nonumber\\
&& ~ ~ ~ ~=\ln(z)+\ln\!\left (1+\frac{1}{z} \right)  %\nonumber\\ && 
=  \ell + \frac{1}{z}- \frac{1}{2z^2}+ ..
\ee
%С этими заготовками, левая часть передаточного уравнения
Using these preparations, the left hand side of the transfer equation
\be
f(z\!+\!1)=T(f(z))
\eL{transff}
%записывается в таком виде:
can be written as follows:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
f(z\!+\!1)\!=\!&\!\! \displaystyle \frac{a}{z}-\frac{a}{z^2}+\frac{a}{z^3}+\frac{b \ell+b/z}{z^2}\left(1-\frac{2}{z}\right)+ \frac{\alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma}{z^3} + .. ~ ~ ~ ~ ~ ~ \nonumber\\
=\!&\!\!\!\!\!\!\!\! \displaystyle  \frac{a}{z}+\frac{1}{z^2} \Big(\! -\!a\! +\! b \ell \Big)+\frac{1}{z^3} \Big(\!a\!+\!b - 2b\ell + \alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma  \Big) + .. 
\label{fplus1ttp}
\ee
%Тогда правая часть уравнения
The right hand side of equation \rf{transff} becomes
% записывается так:
\be \!
T(f(z))= %\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
 \displaystyle \frac{a}{z}+\frac{ b \ell}{z^2}+ \frac{  \alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma }{z^3}+ v\cdot\left(\frac{a}{z}+\frac{b\ell}{z^2}+..\right)^2 +
w\left(\frac a z +..\right)^3
  .. ~   \nonumber
\ee 
\vskip -22pt
\be
\!=\!
%\frac{a}{z} + \frac{1}{z^2}\Big( b \ell +v a^2 \Big) 
\frac{a}{z} + \frac{1}{z^2}\Big( b \ell \!+\!v a^2 \Big) + \frac{1}{z^3}\Big( \alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma\! +\! 2 v a b \ell \!+\! w a^3 \Big)+\!.. 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
\label{fplus1tt}
\ee
%Следует приравнять правые части уравнений
We should equalize the right hand sites of equations \rf{fplus1ttp} and \rf{fplus1tt}.

%Коэффициенты при  $\frac{1}{z}$ совпадают сами.
Coefficients at  $\frac{1}{z}$ coincide automatically.
%Для того, чтобы совпадали коэффициенты  при  $\frac{1}{z^2}$, следует потребовать, чтобы
Coefficients at  $\frac{1}{z^2}$ gives
\be
 -a  = va^2
\eL{ava2}
%Для того, чтобы совпадали коэффициенты  при  $\frac{1}{z^3}$, следует потребовать, чтобы
Equalisation of coefficients at $\frac{1}{z^3}$ gives
\be
 a+b-2b\ell  = 2 v a b \ell + w a^3
\eL{f1tttttt}
%As 
%Ввиду того, что $\ell=\ln(z)$, то есть зависит от $z$, а уравнение 
Variable $\ell=\ln(z)$ depends on $z$, but equation 
\rf{f1tttttt}
should be valid for various $z$. So, we get the two equations:
\be
-2b  = 2 v a b 
\eL{again}
%которое, при $b\!\ne\! 0$, дает то же, что и \rf{ava2}, а также
which, at $b\!\ne\! 0$, gives the same, as \rf{ava2}, and also
\be
a+b=w a^3
\eL{f1tttt}
%Решая эти уравнения, получаю:
Solving these two equations, I get
\be
a=\frac{-1}{v} ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~ b=\frac{-w}{v^3}+\frac{1}{v} 
\eL{avbwv}
%Таким образом к

%Коэффициенты асимптотического разложения 
One can add more terms in the expansion \rf{FExpan}, and, in the similar way, 
calculate coefficients $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ and even higher, assuming, that the expansion 
\rf{TExpan} of the transfer function is known. 
In such  away, the coefficients of the asymptotic expansion
\rf{FExpan} of the superfunction $f$
%$f$ 
%определяются коэффициентами разложения
are determined by the coefficients of expansion of transfer function $T$.
%передаточной функции. 
\vskip 2mm

The asymptotic solution  \rf{FExpan} allows evaluation of the transfer function at large $z$.
Then, as in the case of the regular iteration, the asymptotic solution can be extended 
to the whole complex plane (except the cut lines) with the transfer equaltion, applying one of the two formulas below:
%Далее, как в случае обычной регулярной итерации, асимптотическое решение распространяется на всю комплексую плоскость применением одной из формул
\be
f(z)=T^n\Big(f(z-n)\Big)
\eL{iterA}
or
\be
f(z)=T^{-n}\Big(f(z+n)\Big)
\eL{iterB}
in order to make the argument of the superfunction large, bringing it to the range, where the truncated asymptotic expansion
\rf{FExpan} provides the required precision.
%с тем, чтобы сделать аргумент суперфункции большим, приводя его в область, где асимптотическое разложение 
%\rf{FExpan} дает требуемую точность. 
The choice of one of the formulas 
%Выбор одной из формул 
\rf{iterA} or \rf{iterB}
determines the position of the cut lines of the resulting superfunction.
The direction of the cut lines can be changed also with replacement of 
% определяет разрезы получаемой функции.  Для того, чтобы изменить направление линии разреза, может потребоваться заменить  
$\ell=\ln(z)$ to $\ell=\ln(-z)$.
In order to get unique solution, we need to choose (and postulate) the asymptotic behavior of the function we want to construct.
In the following section, the method above is applied to exponential to base $\mathrm e^{1/\mathrm e}$, and then, in the following chapters, to other functions.
%various transfer functions, that have unity derivative at the fixed point.
\vskip 2mm

%В принципе, с даже с двумя слагаемыми, такое представление суперфункции позволяет строить качественные карты суперфункций в реальном времени. Вероятно, такое представление достаточно для применений в физике и других науках, где точность измерения передаточной функции обычно существенно меньше 14 значащих цифр. 
In principle, even with two terms in equation \rf{FExpan}, one can get the camera-ready maps of the superfunction and related functions. Perhaps, this is sufficient for the application in physics and other sciences, where the precision of measurements is usually less than 14 decimal digits. 
The precision can be infinitely improved with modification of the argument of the primary approximation $f$ with equations \rf{iterA} or \rf{iterB}, increasing the number $n$ of iterates.
\vskip 2mm

However, for the numerical tests, it worth to calculate several coefficients of expansion of superfunction.
This reduces the time of evaluation and improves the precision.
For various transfer functions, that are holomorphic in vicinity of the fixed point and have expansion beginning with 
\rf{TExpan}, some tens of coefficients of the expansion \rf{FExpan} can be calculated.
Examples of the numerical tests for such expansions are presented below.

%Для проверочных рассчетов с высокой точностью желательно подсчитать ещё несколько коэффициентов разложения суперфункции, тогда параметр $n$ можно брать меньше и погрешность уменьшается. С помощью пакета ``Mathematica'', десятки коэффициентов в разложении \rf{FExpan} могут быть вычислены. 
%Затем, через уравнения \rf{iterA} или \rf{iterB}, асимптотическое представление решения определяет точную суперфункцию и распространяется на всю (или почти всю) комплексную плоскость.
%Такое решение предполагает, что коэффициент $b$ в разложении \rf{FExpan} отличен от нуля.
%Один из специальных случаев, когда это не так, а именно, $T\!=\!\sin$, рассмтрен в специальной главе.
%\section{Отличная от нуля стационарная точка}
\JP{
\section{Non-zero fixed point}
\baselineskip 19pt

Формулы предыдущей секции  написаны для передаточной функции, стационарнарной точкой которой является ноль, и производная в этой стационарной функции в нуле равна единице.
При этом упомянуто, что эти формулы допускают обобщение на случай, когда стационарная точка  не равна нулю. Такой случай рассмотрен ниже.
\vskip 2mm

Допустим, требуется построить суперфункцию $\mathcal F$ для передаточной функции $\mathcal T$, которая на бесконечности стремится к её стационарной точке $\mathcal L$, 
то есть
$\mathcal T(\mathcal L)=\mathcal L$,
и при этом $\mathcal T^\prime(\mathcal L)=1$.
\vskip 2mm

Пусть новая передаточная функция $T$ связана с исходной передаточной функцией $\mathcal T$ соотношением
\be
T(z)=\mathcal T(z+\mathcal L) -L
\eL{TzTzL}
Если $\mathcal L$ есть стационарная точка передаточной  функции $\mathcal T$,
то  $L=0$ есть стационарная точка передаточной  функции $T$.

Суперфункция $\mathcal F$ для передаточной функции $\mathcal T$ 
\be
F(z)=\mathcal F(z)-\mathcal L
\eL{FzFzL}
%Таким же 
Схожим
образом преобразуется и
%обратная функция, то есть 
абельфункция  $G=F^{-1}$:
\be
G(z)=\mathcal G(z+\mathcal L)
\eL{GzGzL}
Читатель может проверить, что если в некоторой области значений $z$ выполняется
$F(G(z))\!=\!1$, то и в некоторой области значений $z$ выполняется
$\mathcal F(\mathcal G(z))\!=\!1$, и наоборот.
Таким образом, рассмотрения случая $T(L)\!=\!L$, $T^{\prime}(L)\!=\!1$ сводится к рассмотрению случая
 $T(0)\!=\!0$, $T^{\prime}(0)\!=\!1$, рассмотренного в предыдущей секции.
\vskip 2mm

Таким образом, угаданная асимптотика суперфункции позволяет быстро и аккуратно вычислять её, не напрягая особенно компьютер. Такой способ вычисления представляется порядков на 10 более эффективным, чем иные алгоритмы, которые удалось скачать из интернета.
Как это указано в Предисловии, такую неэффективность алгоритмов, рассмотренных в плоть до 2009 года, я считаю достаточным основанием и оправданием для того, чтобы не рассматривать и не описывать алгоритмы, предложенные коллегами, по крайней мере в этой книге. Если кто-либо их коллег предложит представление, которое ещё хотя бы на порядок величины эффективнее предложенного выше; то он, в свою очередь, может игнорировать представление этой секции как антикварное и не эффективное. 
\vskip 2mm 
}%JP

\JP{
В следующей главе, предложенные здесь формулы применяются для вычисления суперфункции экспоненты по основанию
$b\!=\! \exp(1/\mathrm e)$. %\approx 1.444667861009$.
Этот случай рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна, и константу $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786101$ можно назвать константой Генрика или основанием Генрика 
\footnote
{ Название ``{\bf Основание Генрика}'' несколько двусмысленно, примерно как ``{\bf Защита Лужина}'', или ``{\bf Изобретение Вальса}'', или комбинация ``{\bf РОЙ МЕДВЕДЕВ --- Они кружились вокруг Сталина}''.
Вероятно, удачное название и должно быть двусмысленым, чтобы читатель подумал, как бы такое защитить Лужина, или о том, где и когда изобретён Вальс, или представил себе медведей (или даже ``медведёв''), которые, как пчёлы, роем кружат вокруг Сталина,
% как это показано на рисунке \ref{roy}, 
или попытался вспомнить,  кто и как основал Генрика. }. Карта такой экспоненты, карта её обратной функции и явный график для вещественных значений аргумента показаны в следующей главе на рисункax  11.2, 11.3, \ref{expe1eplot}. 
}%JP

\JP{
\begin{figure}[h]
%\sx{.8}{\begin{picture}(600,500)
\begin{center}
\sx{.5}{\begin{picture}(600,600)
\put(0,0){\ing{roy}}
\end{picture}}
\end{center}
\caption{РОЙ МЕДВЕДЕВ, кружатся вокруг Сталина \label{roy}}
\end{figure}
}

%\chapter{~ Экспонента по основанию $\exp(1/\mathrm e)$}
\section{Exponent to base $\exp(1/\mathrm e)$}
%\baselineskip 20.6pt
%\baselineskip 19pt

%В этой главе рассмотрен специальный случай экспоненты по основанию 
%This chapter describes the application of the exotic iteration from the previous chapter.
%Below, 
Let us
apply the formalism of exotic iterations above to the exponential to base
$b\!=\!\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786~$.
This section deals with function $\mathcal T$ by
%То есть речь идет о функции $T$ по формуле
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathcal T(z)=\eta^z=\exp_{\eta} (z)=\exp(\ln(\eta)\, z)=\exp(z/ \mathrm e)
\eL{etaz} 
%График этой экспоненты показан на рисунке \ref{expe1eplot} толстой кривой. 
Explicit plot of this transfer function is shown in figure \ref{expe1eplot} with thick curve.
%Для того, чтобы можно было разглядеть, как эта курва касается прямой $y=x$, рисунок \ref{expe1eplot}  пришлось сделать во всю ширину страницы.
%\vskip 2mm
%\begin{wrapfigure}[20]{l}{320px}
%\begin{figure}\caption{plot of exponential to base $\eta$ in comparison to that to base $\sqrt{2}$.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg} \iL{expe1eplot}}
%\end{wrapfigure}
%\end{figure}
For comparison, the thin curve shows the exponent to base $\sqrt{2}$, considered above in chapter 9; this 
curve is borrowed from figure
%Для сравнения,  %рисунке \ref{expe1eplot} 
%тонкой кривой показана также экспонента по основанию $\sqrt{2}$, рассмотренная в главе 9; тонкая кривая 
%%и тонкая курва рисунка \ref{expe1eplot} 
%воспроизводит график рисунка 
\ref{ExpQ2plot}. 
The curves at this figure look close; at small and negative values of the argument, they almost overlap.
However, the deviation is significant at large positive values of the argument, and this determines the pretty different behaviour of the corresponding superfunctions.
%Кривые на рисунка \ref{expe1eplot} близки; при умеренных  и отрицательных
%значениях абсциссы они почти сливаются.  Однако поведение в окрестностях стационарных точек различно, и это предопределяет различное %разницу в %асимптотическом 
%поведениие соответствующих суперфункций в комплексной плоскости.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%~ \sx{1.44}{\begin{picture}(164,160) 
\hskip 16pt
\sx{2.5}{\begin{picture}(164,160) 
%\begin{center}
%\sx{1.1}{\begin{picture}(164,160) 
\put(1,1){\ing{expe1emap}} 
\put(-3,159.9){\sx{.7}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.7}{$x$}}
\put(13,123){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(13,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(13,037.2){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(40,117){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(59,117){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.7,117){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!1$\ero}}
\put(104.7,117){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!2$\ero}}
\put(115,117){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!3$\ero}}
\put(40,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(59,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.6,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(104,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put(115,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!3$\ero}}
\put(40,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(59,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.4$\ero}}
\put(84.6,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(104,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-2$\ero}}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip 8pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg}
%http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\eta}(x\!+\!\mathrm i y)~$
\iL{expe1emap}}
\end{figure}

%Комплексная карта функции $\exp_{\eta}$  показана на рисунке \ref{expe1emap}.
Complex map of the transfer function  $\exp_{\eta}$  is shown in figure \ref{expe1emap}.
%Эта карта похожа на карту рисунка \ref{ExpQ2map}; незначительно отличается лишь период. 
This map looks similar to the map at figure \ref{ExpQ2map}; the only period is slightly different.
%Для основания $\eta$, этот период 
For the base $\eta$, this period 
\be
P_{\exp_\eta}=2\, \pi \, \mathrm i \, \mathrm e \approx 17.0794684453 \, \mathrm i
\eL{Pexpeta}
%Забавно, что такая простая формула объединяет сразу три фундаментальные математические константы: $\pi$, $\mathrm i$, и $\mathrm e$. К тому же, основание Генрика $\eta\!=\!\exp^2(-1)\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786101$ тоже является  математической константой. Чуть меньше одного периода уместилось на карте \ref{expe1emap}.
It is amassing, that the simple formula \rf{Pexpeta} combines the 3 fundamental constants,
: $\pi$, $\mathrm i$ and $\mathrm e$. 
In addition, the Henryk base $\eta\!=\!\exp^2(-1)\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786101$ 
also is mathematical constant. A little bit leas than one period $P_{\exp_\eta}$ fits the range 
of map in figure
\ref{expe1emap}.

% Экспонента по вещественному основанию вещественно-голоморфна, $\exp_b(z^*)\!=\!\exp_b(z)^*$,
%так что каждый сам может домыслить нe только этот период, но  и бесконечное число осцилляций этой функции повдоль мнимой оси комплексной карты.
%\vskip 6pt

\begin{figure}[t]
%~ \sx{1.44}{\begin{picture}(164,160) 
%\begin{center}
%\sx{1.1}
\hskip 16pt
\sx{2.5}{\begin{picture}(164,160) 
\put(1,1){\ing{loge1emap}} 
\put(-3,159.9){\sx{.7}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.7}{$x$}}
\put(090,139.2){\sx{.7}{\rot{82}$v\!=\!4$\ero}} 
\put(109.6,132){\sx{.7}{\rot{62}$v\!=\!3$\ero}} 
\put(126,118.6){\sx{.7}{\rot{43}$v\!=\!2$\ero}} 
\put(136,100.6){\sx{.7}{\rot{21}$v\!=\!1$\ero}} 
\put(039,138){\sx{.66}{\rot{-54}$v\!=\!6$\ero}}
\put(022,118.2){\sx{.66}{\rot{-32}$v\!=\!7$\ero}}
\put(013,094){\sx{.66}{\rot{-11}$v\!=\!8$\ero}}
\put(140,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(010,066){\sx{.66}{\rot{9}$v\!=\!-8$\ero}}
\put(020,039.8){\sx{.66}{\rot{33}$v\!=\!-7$\ero}}
\put(039.6,021){\sx{.66}{\rot{53}$v\!=\!-6$\ero}}
\put(133,060.5){\sx{.66}{\rot{-21}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(123,042.6){\sx{.66}{\rot{-42}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(105.4,032){\sx{.66}{\rot{-63}$v\!=\!-3$\ero}}
\put(72,066){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!1$\ero}}
\put(72,059){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!2$\ero}}
\put(72,050){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!3$\ero}} 
\put(72,036.6){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!4$\ero}}
\put(72,017){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!5$\ero}}
%\put(24,81){\sx{.6}{\bf разрез}}
\put(24,81){\sx{.6}{\bf cut}}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip 8pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Loge1emapT1000.jpg}
%http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg
%\vskip -4pt
\caption{\large  $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\log_{\eta}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{loge1emap}}
\vskip 26pt
\end{figure}
\vskip 6pt

For transfer function $\mathcal T\!=\!\exp_\eta$, the inverse function is 
%Комплексная картa обратной функции, то есть 
$\mathcal T^{-1}\!=\! \exp_{\eta}^{-1}\!=\!\log_{\eta}$. 
Complex map of this function is shown in figure 
%показана на рисунке 
\ref{loge1emap}.
% Эта карта похожа на карту логарифма по основанию 
This map looks similar to the map of logarithm to base
$\sqrt{2}$, 
%представленную в главе 9 на рисунке 
shown in chapter 9 at figure
\ref{LogQ2map}.
At that map, the mesh of isolines is a little bit more dense;
% на том рисунке сетка изолиний чуть гуще: линия уровня 
for example, all the line
$u\!=\!6$ 
happen to be in the range of the map,
%целиком умещается на карте, а на карте рисунка 
while at the map at figure
\ref{loge1emap} 
%она уместилась лишь частично;
the only part of this line is seen;
%а уровень 
as for level
$v\!=\!\pm 9$ %для экспоненты по основанию Генрика вообще 
it happen to be beyond the cut line and, therefore, not seen in the map.
%оказался за линией разреза.
%вне основного листа, показанного на рисунке.

\vskip 2mm
%Пусть передаточная фукция $\mathcal T$ определяется формулой \ref{etaz} предыдущей секции; пусть
%Значение $b\!=\!\eta$ есть максимальное основание, при котором экспонента всё ещё имеет вещественную стационарную точку. Для такой  экспоненты  
Value $b\!=\!\eta$ is maximal real base, at which the exponent still has at least one real fixed point.
Below, for this exponent, the superfunction is constructed.
%такому основанию
% $\eta$ 
%в этой главе строятся суперфункция, абельфункция и итерации.
%следующей секции
%, для %формализм экзотической итерации применяется случаю
%строится суперфункция.
%\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!=\!\exp^2(-1)$.
\section{Superexponent to base
%Суперэкспонента по основанию 
%Генрика, 
$\eta\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!=\!\exp^2(-1)$}
\baselineskip 20pt

%Этот случай рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна.  
%Генрик Траппманн считал, что для экспоненты по основанию
This case had been considered by request from Henryk Trappmann.
He exopectes, that for the exponential to base 
\be
\eta=\exp(1/\mathrm e)=\exp^2(-1)\approx 1.44466786101
\eL{eta}
I cannot construct the efficient (fast and precise) algorithm of evaluation.
%эффективный алгоритм вычисления суперфункций построить нельзя. Генрик был далеко не одинок в таком мнении; такое же мение высказывали многие коллеги, в том числе участники его форума. Это же мнение в публикации 1991 года выражал Петр Волкер (Peter L Walker) %, On the solutions of an abelian functional equation, Journal of mathematical analysis and applications 155 (1991), 93–110.
The similar opinion had been expressed in century 20 by Peter L. Walker \cite{walker}.
\vskip 6pt

In order to convince Henryk, we had to write the special article for the journal 
 %Чтобы переубедить Генрика, нам с ним пришлось писать специальную статью для журнала 
Mathematics of Computation \cite{e1e}.
Some formulas and figures from that publication are repeated
%part of that article is used 
below.
%её часть перессказана в этой главе.
\vskip 2mm

%Пусть передаточная фукция $\mathcal T$ определяется формулой \ref{etaz} предыдущей секции; пусть
Let the transfer function $\mathcal T$ be defined with equation \ref{etaz} of the previous section; let
\be \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!
\mathcal T(z)\!=\!\eta^z\!=\!\exp_{\eta} (z)\!=\!\exp\!\big(\ln(\eta)\, z\big)\!=\!\exp(z/ \mathrm e) 
\label{calTetaz}
\ee
%Чтобы применить формализм экзотической итерации, следует определить новую передаточную функцию $Т$ по формуле 
%\rf{TzTzL};
In order to apply the formalism of exotic iteration from the previous section, I define the new, ``displaced''  transfer function,
as it is suggested by equation \rf{TnewTLzL};
%для случая 
for the initial transfer function $\mathcal T$ by
 \rf{calTetaz}.
%это дает новую передаточную функцию
To distinguish these transfer functions, I use slightly different fonts for the letter T in the names.
The new (displaced) transfer function
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)\!=\!
\mathcal T
(z+\mathrm e)
\!-\!\mathrm e\!=\!\exp\big((z\!+\!\mathrm e)/\mathrm e\big)-\mathrm e=\exp(z/\mathrm e\!+\!1)\!-\!\mathrm e
\label{Te1e}
\ee
%Для такой передаточной функции 
For this transfer function,
\be
T(0) &=&0    \\
T^{\prime}(0)&=& 1 \\
T^{\prime\prime}(0)&=& 2\,  v ~=~1/\mathrm e \\
T^{\prime\prime\prime}(0)&=& 6\, w ~=~ 1/\mathrm e ^2\\
 ... \\
T^{(n)}(0)&=&1/\mathrm e ^{n-1}
\ee
%В последней строчке, в левой части, верхний индекс указывает не номер итерации, а номер производной.
In the last formula, in the left hand side, the parenthesis in the superscript indicates not a number if iterate,
but number of derivative; function $T$ is differentiated $n$ times.

\vskip 2mm

%В принципе, для этого случая, экзотические итерации, описанные в начале главы, можно применять как есть. 
%Разложение 
For this case, the formalism of exotic iteration, described in the precious section, can be applied as is.
Expansion
\rf{TExpan} 
can be written as follows:
%записывается так:
\be
T(z)=z+\frac{1}{2\mathrm e}z^2+\frac{1}{6 \mathrm e} z^3+..
\ee
%Для $v=\frac{1}{2\mathrm e}$ и $w=\frac{1}{6\mathrm e^2}$, формулы \rf{avbwv} дают
For $\ds v\!=\!\frac{1}{2\mathrm e}$ and $\ds w\!=\!\frac{1}{6\mathrm e^2}$, formulas \rf{avbwv} give
\be
a&=&- 2\mathrm e\approx  - 5.43656365691809\\
b&=&-\frac{\mathrm e}{3} + \frac{1}{8\mathrm e^3} \approx   1.604598172578777
 %1.36787944117
\ee

%При этом первичнaя аппроксимация $f$ для суперфункции \rf{FExpan} приобретает такой вид:
Then, the primary approximation $f$ for superfunction \rf{FExpan} has the following form:
\be
\tilde f(z)&=& -\frac{1}{z} + \Big(1+\frac{1}{\mathrm e}\Big)\frac{\ln(\pm z)}{z^2}+..
\eL{fe1ez2}

More terms of this expansion can be calculated analytically, especially, if some Mathematica or Maple
are used.
%Ещё несколько слагаемых в этом разложении можно вычислить аналитически; особенно если при этом используются какие-нибудь Математики или Клены. 
In principle, the truncated series in \rf{fe1ez2}, even  with two terms, approximates the superfunction and can be used for its definition.
For $|z| \!>\! 100$, such a representation gives few correct decimal digits and can be used to plot the complex maps.
%however, for smaller values, the multiple application of the transfer equation is necessary to bring the argument of the function to the range, where the approximatetion with few terms is valid.
%Оборванный ряд, даже с двумя слагаемыми, аппроксимирует суперфункцою. Для $|z| \!>\! 100$, такая формула дает несколько корректных значащих цифр. Для остальных значений следует многократно использовать передаточное уравнение, выражая суперфункцию требуемого аргумента через суперфункцию от достаточно большого аргумента, сдвигая значение, при котором используется первичное приближение, вправо или влево, параллельно вещественной оси. 
%Такой алгоритм позволяет строить комплексные карты суперфункции с хорошим разрешением и в реальном времени.
\vskip 2mm

%Для аккуратного приближения суперфункции и проверки, имеет смысл несколько модифицировать разложение.
%Для вычисления 
%именно 
%суперфункций от экспоненты по основанию Генрика, лучше использовать разложение 
For the accurate representation of superfunction, more terms in the expansion, similar to  \rf{fe1ez2}, should be calculated.
The asymptotic expansion can be written as follows:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\tilde F(z)=\frac{-2\mathrm e}{z}\left(1+\sum_{m=1}^M \frac{P_m\big(\!-\ln(\pm z)\big)}{(3z)^m}+ \mathcal O\Big( \ln(\pm z)/z \Big)^{M+1} \right)
\label{e1e24}
\ee
where 
%где
\be
P_m(x)=\sum_{n=0}^m c_{m,n} x^n
\eL{e1ePm}
%Koэффициенты $c$ получаются при подстановке разложения \rf{e1e24} в передаточное уравнение
%In order to make allowance with representation 
One may choose the first coefficient $c_{0,0}\!=\!1$; then, $P_0(t)\!=\!1$.
Other coefficients $c$ are determined by the substitution of the expansion \rf{e1e24} into the transfer equation
%Coefficients $c$ are determimed 
\be
\tilde F(z\!+\!1)=\exp\Big(\tilde F(z)/\mathrm e+1\Big) - \mathrm e
\nonumber
\ee 
%и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях 
%$\ln(z)$ и 
%$z$ в правой и левой частях равенства. 
%Первые пять полиномов $P$ представлены ниже:
The first 5 polynomials $P$ are shown below:

\be
P_{1}(t)&=&t \\
P_{2}(t)&=&t^{2}+t+1/2 \\
P_{3}(t)&=&t^{3}+\frac{ 5}{ 2}t^{2}+\frac{  5}{2}t    +\frac{ 7}{10} \\
P_{4}(t)&=&t^{4}+\frac{13}{ 3}t^{3}+\frac{ 45}{6}t^{2}+\frac{53}{10}t    +\frac{ 67}{60} \\
P_{5}(t)&=&t^{5}+\frac{77}{12}t^{4}+\frac{101}{6}t^{3}+\frac{83}{ 4}t^{2}+\frac{653}{60}t+\frac{2701}{1680}
\label{Pc}
\ee

%Как и для регулярных итераций, используется предел 
The superfunction $F$ appears as limit
\be
F(z)=\lim_{n\rightarrow \pm \infty} T^n (f(z-n))
\eL{e1elim}
where function $f$ is just truncation of the asymptotic expansion in  \rf{e1e24} at some positive integer $M$, and $n$ is chosen positive or negative,
dependently on the sign in the argument of logarithm in formula \rf{e1e24}.
%где функция $f$ получена обрывом асимптотического ряда в формуле \rf{e1e24}, а $n$ выбирается положительным или отрицательным в зависимости от того, верхний или нижний знак использован в аргументе полиномов $P$ в формуле \rf{e1e24}.
\vskip 2mm

%Удобно определить такие суперфункции, которые имеют целочисленное значение в нуле, используя трансляцию аргумента:
It is convenient to deal with functions, that have integer value at zero; so, I use the translation of the argument in order to define iteration 
$\mathrm{tet}_{\eta}$  and the growing sperexponential $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ with the following formulas:
\be 
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{tet}_{\exp(1/\mathrm e)}(z)&=&F_1(z)=f(z\!+\!x_1)  \iL{e1etet}\\
\mathrm{tet}_{\eta}(z)&=&F_1(z)=f(z\!+\!x_1)  \iL{e1etet}\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(z)&=& F_3(z)=f(z\!+\!x_3)  \iL{e1eSuExp}
\ee
%где константы 
where constants
$x_1\!\approx\!  2.798248154231454$ and $x_3\!\approx\! -20.28740458994004$ 
%выбраны так, чтобы обеспечить соотношения $F_1(0)\!=\!1$ и $F_3(0)\!=\!3$. 
are chosen to provide relations $F_1(0)\!=\!1$ and $F_3(0)\!=\!3$.
\vskip 2mm

%Функция $\mathrm{tet}_{\eta}$ соответствует верхнему значению выражения $\pm$  в формулах \rf{e1e24}, \rf{e1elim},
%a функция \rf{e1eSuExp} - нижнему. Таким образом, $F_1$ и $F_3$ суть совсем разные функции, и их трудно выразить одну через другую простым преобразованием.
Function  $\mathrm{tet}_{\eta}$ corresponds to the upper sign go the  $\pm$ in formuas \rf{e1e24}, \rf{e1elim},
while function $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ by  \rf{e1eSuExp} refers to the lowerst sign.
In such a way,  $F_1$ and $F_3$ 
are pretty different functions, and it is difficult to express one of them through another.
%Для того, чтобы эти функции имели смысл, для тетрациив формулах 
\vskip 2mm

%В формулах 
In formulas \rf{e1etet} and \rf{e1eSuExp}, for the two superfunctions $F_1$ and $F_3$, a little bit longer names 
%для этих функций предложены новые и чуть более длинные имена 
$\mathrm{tet}_{\exp(1/\mathrm e)}$
and $\mathrm{SuExp}_{\exp(1/\mathrm e)}$
are suggested. These long names simplify the identification at the use from other chapters of this Book (and also from other publications), where the base $b$ may have various values, and not necessary
%Это делается для того, чтобы облегчить их идентификацию при использовании в других главах этой Книги, где рассматриваются суперфункции  от экспоненты по другим основаниям, то есть где не обязательно 
%$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$.
$b\!=\!\eta$.
\vskip 2mm
%Первое из этих названий, 
%$\mathrm{tet}_{\exp(1/\mathrm e)}$, 

I repeat the meanings of the names suggested.
$\mathrm{tet}_{\eta}$, 
indicates, that this refers to tetration. For any tetration (to any base $b$),
I assume condition
%совершенно естественно, и указывает, что речь идет о тетрации; для тетрации по любому основанию $b$, подразумевается условие
$\tet_{b}(0)\!=\!1$. 
%Более подробно свойства тетрации рассматриваются в специальной главе.
%Такой выбор естественен.
\vskip 2mm

The shoice of value at zero of the growing super exponential $F_3$ is not so obvious.
%Выбор значения в нуле для растущей суперфункции $F_3$ не так прост.
%В работах 
In publications
\cite{sqrt2,e1e} 
%(и не только там)
(and not only there), the value at zero is chosen as minimal integer, that is still larger, than the real fixed point.
Such a choice has sense, while the only one transfer function without parameters is considered, or if value of its parameter is fixed,
and no continuity properties with respect to this parameter are analysed.
However, if we treat base $b$ as parameter, then, the choice of integer value at zero leads to discontinuity with respect to base $b$.
For the case, if such a dependence will be requested, the notation
%для растущей вещественно-голоморфной суперфункции, построенной на некоторой вещественной стационарной точке $L$ передаточной фукции, в качестве значения в нуле выбирается наименьшее целое число, б\'oльшее $L$. Такой выбор оправдан, когда в работе рассматривается лишь одна передаточная функция без параметров (или с фиксированными значениями параметров). Однако такой выбор приводит к кусочно-непре\-рыв\-ной (то есть не голоморфной) функции  при рассмотрении зависимости суперфункции от этого параметра. 
%Поэтому, на случай если такая зависимость потребуется, предлагается обозначение 
%$\mathrm{SuExp}_{\exp(1/\mathrm e),3}$; 
$\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$; 
is used; the value at zero is indicated as the additional subscript.
%при этом значение в нуле указывается в виде дополнительного индекса.
\vskip 2mm

\begin{figure}\begin{center}{
%\sx{2.1}{\begin{picture}(340,126)
%\hskip 2pt
\sx{1.82}{\begin{picture}(340,126)
%\put(0,0){\ing{fige1efre}}
%\put(0,0){\ing{fige1ew13}}
\put(0,0){\ing{e1eplot}}
\put( 26,119){\sx{.8}{$y$}}
\put( 27,100){\sx{.7}{$8$}}
\put( 27,80){\sx{.7}{$6$}}
\put( 27,60){\sx{.7}{$4$}}
\put( 27,40){\sx{.7}{$2$}}
\put( 27,20){\sx{.7}{$0$}}
\put( 30,14){\sx{.7}{$0$}}
\put( 50,14){\sx{.7}{$2$}}
\put( 70,14){\sx{.7}{$4$}}
\put( 90,14){\sx{.7}{$6$}}
\put(110,14){\sx{.7}{$8$}}
\put(128,14){\sx{.7}{$10$}}
\put(149,14){\sx{.7}{$12$}}
\put(169,14){\sx{.7}{$14$}}
\put(189,14){\sx{.7}{$16$}}
\put(209,14){\sx{.7}{$18$}}
\put(229,14){\sx{.8}{$x$}}
\put(6,120){\sx{.7}{\rot{-88}$y\!=\!\Re\!\Big(F_{1}(x\!+\!\rmi o)\Big)$\ero}}
%\put(183,95){\sx{1.001}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{1.001}{$y\!=\!\rme$}}
%\put(193,40){\sx{1.001}{$y\!=\!F_{1}(x)$}}  %Dima's new latex does not like this
%\put(183,95){\sx{.8}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(136,38){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)$}}
%\put(148,95){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)$}}
\put(126,95){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)$}}
\put(148,38){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)$}}
\put(193,52){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm e$}}
\end{picture}}
}\end{center}
\vskip -18pt
\hskip 9pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eplot8.png}
\vskip -2pt
\caption{\large 
Two super-exponentials to base 
%Две суперэкспоненты по основанию 
$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ 
%versus real argument
%and
%by equations e1e1 and e1e3;
%the horizontal line shows 
%the asymptotic $y\!=\!\rme$; circles represent the data from \cite{walker123}.
%
\label{fig1}
\label{fige1e1}
%~\iL{fig1e1fre}$\!\!\!\!$
~\iL{e1eplot}$\!\!\!\!$
}
\end{figure}

For the real argument, functions $F_3$ and $F_1$ are shown in figure \ref{e1eplot}.
%Для вещественного аргумента, графики функций $F_1$ и $F_3$ показаны на рисунке \ref{e1eplot}.
%Комплексные карты этих суперфункций показаны на рисунке
Complex maps of these superfunctions are shown in figure  
\ref{e1emap}. 
%Эти функции весьма различны. 
These functions are pretty different.
%Чтобы освободить обозначения
In order to release the notation $F$ 
%с индексами для других функций, рассматриваемых в других главах, пришлось дать им специальные именa, 
with subscripts for other functions, used in other chapters (and in other publications), I give them the special names
 $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}\!=\!F_3$ and
$\mathrm{tet}_\eta\!=\!F_1$.
Symbol $\mathrm{tet}$ refers to tetration; in the following chapters, it is defined also for other values of base.
\vskip 2mm

\newcommand \figaxe {
\put( -6,298){\sx{1}{$y$}}
%\put( -11,289){\sx{1}{$14$}}
\put( -11,268){\sx{.9}{$12$}}
\put( -11,248){\sx{.9}{$10$}}
\put( -6,228){\sx{.9}{$8$}}
\put( -6,208){\sx{.9}{$6$}}
\put( -6,188){\sx{.9}{$4$}}
\put( -6,168){\sx{.9}{$2$}}
\put( -6, 148){\sx{.9}{$0$}}
\put(-14,128){\sx{.9}{$-2$}}
\put(-14,108){\sx{.9}{$-4$}}
\put(-14, 88){\sx{.9}{$-6$}}
\put(-14, 68){\sx{.9}{$-8$}}
\put(-18.4, 48){\sx{.9}{$-10$}}
\put(-18.4, 28){\sx{.9}{$-12$}}
\put(-18.4, 8){\sx{.9}{$-14$}}
%\put(-13, 79){\sx{1}{$-6$}}
\put(397,-7.5){\sx{1}{$x$}}
\put(377,-8){\sx{.9}{$28$}}
\put(357,-8){\sx{.9}{$26$}}
\put(337,-8){\sx{.9}{$24$}}
\put(317,-8){\sx{.9}{$22$}}
\put(297,-8){\sx{.9}{$20$}}
\put(277,-8){\sx{.9}{$18$}}
\put(257,-8){\sx{.9}{$16$}}
\put(237,-8){\sx{.9}{$14$}}
\put(217,-8){\sx{.9}{$12$}}
\put(197,-8){\sx{.9}{$10$}}
\put(179,-8){\sx{.9}{$8$}}
\put(159,-8){\sx{.9}{$6$}}
\put(139,-8){\sx{.9}{$4$}}
\put(119,-8){\sx{.9}{$2$}}
\put( 99,-8){\sx{.9}{$0$}}
\put( 73,-8){\sx{.9}{$-2$}}
\put( 53,-8){\sx{.9}{$-4$}}
\put( 33,-8){\sx{.9}{$-6$}}
\put( 13,-8){\sx{.9}{$-8$}}
}
\begin{figure}
\begin{center}
%\sx{.98}{\begin{picture}(415,320) 
\normalsize \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1esuma8.jpg}
 \sx{1.05}
 {\begin{picture}(410,302) 
 \put(0,0){\ing{e1egf} }  % suppress this string to boost
 \figaxe
  \put(100,194){\sx{1.2}{$u\!=\!3$}}
 \put(150,280){\sx{1.1}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(150, 30){\sx{1.1}{$v\!=\!-0.2$}}
 \put(215,224){\sx{1.1}{$v\!=\!0.4$}}
 \put(259,268){\sx{1.1}{$u\!=\!2.8$}}%
 \put(258, 38){\sx{1.1}{$u\!=\!2.8$}}
 \put(306,260){\sx{1.1}{$u\!=\!2.6$}}
 \put(308, 39){\sx{1.1}{$u\!=\!2.6$}}
 \put(346,252){\sx{1.1}{$v\!=\!0.4$}}
% \put(390,239){\sx{1.2}{$u\!=\!2.4$}}
 \put(365,241){\sx{1.1}{$u\!=\!2.4$}}
% \put(370, 59){\sx{1.2}{$u\!=\!2.4$}}
% \put(390,205){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
% \put(380, 88){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
 \put(352, 73){\sx{1.1}{$v\!=\!-0.4$}}
% \put(390,172){\sx{1.2}{$u\!=\!2.2$}}
% \put(390,122){\sx{1.2}{$u\!=\!2.2$}}
 \put(363,158){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
 %\put(363,143){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
 \put(362,129){\sx{1.2}{$u\!=\!2$}}
 \put(174,165){\sx{1.1}{$u\!=\!3.2$}}
 \put( 60,148){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
 \put(334,149){\sx{.9}{\bf huge values}}
  \end{picture}}
\vskip 6pt
{\normalsize\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1etetma8.jpg}}
%\sx{.98}{\begin{picture}(415,310) 
 \sx{1.05}
 {\begin{picture}(410,302) 
\put(0,0){\ing{e1etf}} 
 \figaxe
 \put(  4,225){\sx{1.3}{$u\!=\!3$}}
 \put( 22,288){\sx{1.1}{$u\!=\!2.8$}}  \put(108,288){\sx{1.1}{$u\!=\!2.6$}}
 \put( 22,   8){\sx{1.1}{$u\!=\!2.8$}}  \put(108,    8){\sx{1.1}{$u\!=\!2.6$}}
 \put(112,250){\sx{1.1}{$v\!=\!0.4$}}
 \put(120,  40){\sx{1.1}{$v\!=\!-0.4$}}
 %\put(140,230){\sx{1.1}{$p\!=\!2.4$}}
 \put(214,110){\sx{1.1}{$u\!=\!2.4$}}
 %\put(140, 64){\sx{1.1}{$p\!=\!2.4$}}
 %\put(160,198){\sx{1.1}{$q\!=\!0.2$}}
 \put(190,260){\sx{1.1}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(130,156){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
 \put(277, 148.4){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
 \put(158,132){\sx{1.1}{$u\!=\!2.2$}}
 \put(190, 17){\sx{1.1}{$v\!=\!-0.2$}}
 \end{picture}}
%\vskip 8pt
\end{center}
%\vskip 2pt
%\hskip 24pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eSuMap600.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large \baselineskip 18pt
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(\!x\!+\!\rmi y)\!=\!F_3(\!x\!+\!\rmi y)$ 
%по формуле 
by
\rf{e1eSuExp}, at the top, and
%снизу 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{tet}_\eta(\!x\!+\!\rmi y)\!=\!F_1(\!x\!+\!\rmi y)$ 
%по формуле
by \rf{e1etet}, 
%сверху,  и 
at the bottom.
\iL{e1efig2}
\label{figmapf}
\label{e1emap}
}
\end{figure}

%Вдоль вещественной оси, функция $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ неограниченно возрастает при положительных значениях аргумента, и стремится к предельному значению $\mathrm e$ при больших отрицательных значениях аргумента. K этому же значению функция стремится и в остальной части комплексной плоскости, за исключением полосы вдоль положительного направления вещественной оси.
Along the real axis, function $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ 
%неограниченно возрастает при положительных значениях аргумента, и стремится к предельному значению 
infinitely grows at the positive values of the argument, and approaches its limiting value
$\mathrm e$ 
at large negative values. The function approaches to the same value in the most of the complex plane, 
except the strip along the positive direction od the real axis.
%K этому же значению функция стремится и в остальной части комплексной плоскости, за исключением полосы вдоль положительного направления вещественной оси.
\vskip 2mm

%Функция $\mathrm{tet}_\eta$, наоборот, при больших значениях аргумента приближается к предельному значению $\eta$, но в точке $-2$ имеет логарифмическую особенность, при приближении к ней вдоль вещественной оси, функция уходит на минус бесконечность.
Function $\mathrm{tet}_\eta$, at large values of the argument, approaches its limiting value  $\eta$ almost everywhere,
but has logarithmic singularity at $-2$, going to infinity at this point. Tetration to any base has this singularity;
it follows from the additional condition $\mathrm{tet}_b(0)\!=\!1$ and the transfer equation, that in vicinity of the real axis can be rewritten in the following form:
\be
\mathrm{tet}_b(z)\!=\!\log_b\!\Big(\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)\Big)
\ee
% имеет логарифмическую особенность, при приближении к ней вдоль вещественной оси, функция уходит на минус бесконечность. 

%Это свойство типично для класса функций, которые я называю термином тетрация; это суперфункции от экспоненты по некоторому фиксированному основанию (в данном случае - по основанию Генрика), удовлетворяющие определенным дополнительным условиям: в нуле эта функция равна единице и остается ограниченной по крайней мере в полосе шириной 2  вдоль мнимой оси. Более подробно, тетрации рассмотрены ниже, в последующих главах. Я упоминаю их здесь, лишь чтобы обосновать обозначение  
%$\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$.

\JP{{\bf Лирическое отступление.}
Когда я копипастил сюда рисунки, я понял, что присутствие в стране русскоязычных резидентов
может использоваться путинистами как предлог для вооруженного вторжения в страну, где я живу и работаю.
Поэтому те части, которые ещё не загружены, будут писаться по-английски. March 20.2014.
{\bf Warning.}
While I copy pasted these figures, I realise, that presence of the Russian-speaking residents in a country
can be used by putinists as a pretext for the military invasion. For this reason, since now (2014, March),
the Russian language is not recommended at all. Perhaps, the parts of this book, that ate not yet loaded, will be loaded in English.}%JP
\vskip 2mm

%С помощью суперфункций от экспоненты по основанию Генрика $\eta$, можно выразить итерации этой эксспоненты.
%Но для этого нужны ещё абельфункции. Эти абельфункции рассмотрены в следующей секции.
For iterates of exponent to base $\eta$, we need not only the superfunctions, but also the corresponding abelfunctions.
These abelfunstions are considered in the next section.

%\section{Абельэкспонента по основанию Генрика}
\section{Abelexponent to Hernyk base}
\baselineskip 18.2pt
%Исторически, экспонента по основанию Генрика $\eta$ была первой передаточной функцией, для которой построены итерации, которые я
Historically, the exponent to base $\eta=\exp(2/\mathrm e)$ is first function, for which the exotic iteration had been applied
\cite{e1e}. The two superfunctions for this exponent are specified in the previous section. Here, I describe the inverse functions,
id est, the two abelfunctions of the exponent to base $\eta$.
%, пока условно, обо
%назвал ``экзотическими''. Экзотика в том, что регулярная итерация, голоморфная в окрестности стационарной точки, для таких функций невозможна \cite{e1e}. Однако итерации, голоморфные в широкой области значений аргумента, существуют. Для построения таких итераций, кроме суперфункции, требуется также функция Абеля. Эта функция рассмотрена ниже.
\vskip 2mm

%\EN{%In the similar way one can construct the efficient representation for the inverse functions.
Let $G_1=F_1^{-1}$ and $G_3=F_3^{-1}$. Maps of these functions are shown in figure 
%}%EN
%\RU{
%Похожим образом можно представить и абельфункции. 
%Пусть $G_1=F_1^{-1}$ and $G_3=F_3^{-1}$. Комплексные карты этих функций показаны на рисунке }%RU
\ref{e1efig3}.
%Эти карты построены следующим образом. вскип 
{For evaluation of functions $G_1$ and $G_3$,  the asymptotic representations are used:}%EN
% \RU{Для вычисления функций $G_1$ и $G_3$,  использованы асимптотические представления}
\begin{figure}
\begin{center}
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1egi4.jpg}
\vskip -1pt
 \sx{1.05}{\begin{picture}(415,303) 
 \put(0,0){\ing{e1egi} }  % suppress below to boost
 \figaxe
 \put(  4,220){\sx{1.2}{$u\!=\!19$}} 
 %\put(166,216){\sx{1.4}{$p\!=\!18$}}
 \put(352,276){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(350, 26){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
 \put(350,186){\sx{1.2}{$u\!=\!18.4$}}
 \put(270,176){\sx{1.2}{$u\!=\!18.2$}}
 \put(233,158){\sx{1.2}{$u\!=\!18$}}
 \put(  4, 74){\sx{1.2}{$u\!=\!19$}} 
% \put(166, 80){\sx{1.4}{$p\!=\!18$}}
 \put(20,186){\sx{1.2}{$v\!=\!1$}}
 \put(20,110){\sx{1.2}{$v\!=\!-1$}}
 \put(20,148.4){\sx{1.2}{\bf cut }} 
 \put(377,148.4){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
 \end{picture}}
 \vskip 10pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eti4.jpg}
%\vskip -4pt
 \sx{1.05}{\begin{picture}(415,303) 
 \put(0,0){\ing{e1eti} } % suppress to boost
 \figaxe
 \put(10,233){\sx{1.4}{$v\!=\!0$}} 
 \put(142,245){\sx{1.001}{$u\!=\!-3$}}
 \put(142,225){\sx{1.001}{$u\!=\!-3$}}
 \put(10,192){\sx{1.6}{$u\!=\!-2$}}
 \put(10,147){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}}
 \put(10,108){\sx{1.6}{$u\!=\!-2$}}
 \put(10, 61){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}} 
 \put(142, 72){\sx{1.001}{$u\!=\!-3$}}
 \put(142, 52){\sx{1.001}{$u\!=\!-3$}}
 \put(223,290){\sx{1.4}{\bf complicated structure}} 
 \put(250,230){\sx{1.6}{$G_1(x\!+\!\rmi y) \approx -3$}} 
 \put(223,148){\sx{1.4}{\bf complicated structure}} 
 \put(250,60){\sx{1.6}{$G_1(x\!+\!\rmi y) \approx -3$}} 
 \put(223,5){\sx{1.4}{\bf complicated structure}} 
 \end{picture}}
\end{center}
%\vskip 4pt
%\hskip 24pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eAuMap600.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large \baselineskip 18pt
%Super-logarithms, id est, 
%\EN{The Abel functions  $f\!=\!G_1(z)$ , top, and $f\!=\!G_3(z)$, bottom, in the same notations as in figure}%EN
%\RU{
%Абельэкспоненты по основанию $\eta$:  
%$u\!+\!\mathrm i v\!=\!G_1(x\!+\!\mathrm i y)\!$ , сверху, и
%$u\!+\!\mathrm i v\!=\!G_3(x\!+\!\mathrm i y)\!$ , снизу}%RU \ref{e1efig2}.
$u\!+\!\mathrm i v
\!=\!G_3(x\!+\!\mathrm i y)
\!=\! \mathrm{AuExp}_{\eta,3}(x\!+\!\mathrm i y)$ by \rf{e1eAuExp}, top map, ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ and
$u\!+\!\mathrm i v
\!=\!G_1(x\!+\!\mathrm i y)
\!=\! \mathrm{ate}_\eta(x\!+\!\mathrm i y)$
by \rf{e1eate}, map at the bottom
%\ref{e1efig2}.
\iL{e1efig3} ~ ~ ~ ~ ~
%\label{fige1e2}
\label{e1efigi} $\!\!\!\!\!\!\!\!$
}
\end{figure}
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
g(z)=g_{\pm}(z)=
%\alpha(g)\approx 
\frac{\ln(\pm t)}{3}+\frac{2}{t}+\sum_{n=1}^{15} c_n t^n + O(t^{16})
\eL{e1egpm}

{where}
%\RU{где}
 $t\!=\!(z-\rme)/\rme$.
{The coefficients $c$ can be found inverting the expansion for the superfunction, and also by
substituting expansion \rf{e1egpm} into the Abel equation}%EN
%\RU{Коэффициенты $c$ можно найти, обращая разложение \rf{e1e24} для суперфункции.
%Эти же коэффициенты получаются при подстановке разложения \rf{e1egpm} в уравнение Абеля}
\be
g(z)+1=g\Big( \exp\big(g(z)/ \mathrm e\big) \Big)
\eL{e1eAbeleq}

{The truncation of the series, id est, omitting of $O$ in the right hand side of \rf{e1egpm}, provides 
the algorithm for evaluation of the abelfunction $g$ with at least 15 significant figures, while $|t|<1/2$.
For larger values, the argument of $g$ should be transformed, using the equation \rf{e1eAbeleq}.}%EN
%\RU{Обрывание асимптотической серии, то есть выкидывание символа $O$ из правой части 
%уравнения  \rf{e1egpm}, дает алгоритм для вычисления абельфункции $g$ примерно с 15 
%значащими цифрами, пока $|t|<1/2$.
%Для иных значений аргумента, для вычисления функции $g$ следует использовать уравнение \rf{e1eAbeleq}. }%RU
%Я хочу рассматривать такое заявление как определение, и надеюсь, что Читатель сам может написать соответствующий предел как представление точной абельфункции.
\vskip 2mm

{The inverse functions $G_1\!=\!F_1^{-1}$ and $G_3\!=\!F_3^{-1}$ can be defined, adding the corresponding constants,}%EN
%\RU{Абельфункции $G_1\!=\!F_1^{-1}$ и  $G_3\!=\!F_3^{-1}$
%можно определить, добавляя к значениям функций $g$ соответствующие константы,}
\be\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{ate}_{\exp(1/\mathrm e)}(z)
\mathrm{ate}_{\eta}(z)
=G_1(z)=g(z)-g(1)\approx g(z) - 3.029297214418
\label{e1eate}
\label{e1eG1}
\ee
{where the upper sign in \rf{e1egpm} is used, and}%EN
%\RU{где использован верхний знак в формуле \rf{e1egpm}, и}%RU
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuExp}_{\eta,3}\!=\!G_3(z)\!=\!g(z)\!-\!g(3)\!\approx\! g(z) \!+\! 20.0563555297533789
\label{e1eAuExp}
\ee
{where the lower sign in \rf{e1egpm} is used.}%EN
%\RU{где использован нижний знак в формуле \rf{e1egpm}. }%RU
\vskip 2mm

{The additional names ate and AuExp are introduced in order to simplify identification and referencing to these functions from other chapters.}
%\RU{Дополнительные более длинные имена AuExp и ate вводятся здесь для того, чтобы упростить ссылки на эти функции из других глав и, возможно, из других публикаций. Мнемоника этих имен проста. AuExp указывает, что речь идет о функции Абеля; следующая буква указывает, что суперфункция голоморфна по крайней мере для значений аргумента над, сверху (``up'') от стационарной точки.
%Имя ate указывает, что речь идет об арктетрации.
%по основанию Генрика, такое имя выбрано, чтобы обеспечить соответствие с функциями, рассмотренными в других главах. 
%Эти более длинные имена позволяют избежать путаницы при использовании букв $F$ и $G$ для обозначения других функций в %других главах.
%}%RU
\vskip 2mm

Representations \rf{e1eG1} and \rf{e1eAuExp} provide relations $G_1(1)\!=\!0$ and $G_3(3)\!=\!0$, as it is supposed to be for the inverse functions of $F_1$ and $F_3$.
The numerical tests confirm, that in wide ranges of values $z$,
the relations 
% $F_q(G_q(z))=z$ hols for $q\!=\!1$ and $q\!=\!3$.
%\RU{Представления \rf{e1eG1} и \rf{e1eAuExp} автоматически обеспечивают выполнения соотношений
% $G_1(1)\!=\!0$ and $G_3(3)\!=\!0$, 
%как это и должно быть для обратных функций от $F_1$ и $F_3$.
%Численная проверка подтверждает, что в широких областах значений $z$,
%сотношения }%
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_1(G_1(z))\!=\!z\,  ,  ~
F_3(G_3(z))\!=\!z\,  ,  ~
F_1(G_1(z))\!=\!z\,  ,  ~
G_3(F_3(z))\!=\!z ~
\label{e1eId}
\ee
hold with 14 significant figures. The readers are invited to plot the map of the agreement function
%\RU{воспроизводятся с четырнадцатью значащими цифрами.
%Читатели приглашаются построить функции согласия}%
\be\!\!
A(z)=-\lg\left( \frac{|F(G(z))-z|}{|F(G(z))|+|z|}\right)
\eL{e1eA}
%\RU{добавляя в этой формуле подходящие индексы 1 или 3 к функциям $F$ и $G$ и заменяя}
{adding appropriate subscripts and exchanging}
$F\leftrightarrow G$,
{as numerical check of equalities in statement \rf{e1eId}. Levels of $A(x\!+\!\mathrm i y)$ in the $x,y$ plane indicate, where the algorithm works almost without loss of precision, id est, close to the maximal precision allowed for the complex double variables.}%EN
%\RU{Такое построение дает численную проверку соотношения \rf{e1eId}. Уровни $A(x\!+\!\mathrm i y)$ в плоскости $x,y$  подтверждают, что алгоритмы работают вблизи максимальной точности, достижимой с переменными complex double.}%RU
\vskip 2mm

%Абельфункция $\mathrm{AuExp}_{\eta,3}\!=\!G_3$, вместе с суперфункцией $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}\!=\!F_3$ из предыдущей секции, позволяет определить неограниченно возрастающие итерации экспоненты по основанию Генрика $\eta=\exp(1/\mathrm e)$.  Эти итерации рассмотрены в следующей секции.

%\section{Итерации}
\section{Iterates}
\baselineskip 18.2pt

{With function $F_3$ and $G_3$, one can express the iterates of exponential to base $\exp(1/\mathrm e)$. 
For $T(z)\!=\!\exp(z/\mathrm e)$,}
%\RU{С функциями  $F_3\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ и $G_3\!=\!\mathrm{AuExp}_{\eta,3}$, можно выразить растущие итерации экспоненты по основанию $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$. В этой главе рассмотрены лишь неограниченно растущие (вдоль вещественной оси) итерации; такие итерации похожи на растущие итерации других функций, рассмотренные в предыдущих главах.
%\vskip 2mm
%Для $T(z)\!=\!\exp(z/\mathrm e)=\exp_\eta(z)$,}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T^n_{\mathrm u}(z)\!=\!\exp_{\eta,\mathrm u}^n(z)
\!=\!F_3(n\!+\!G_3(z))
\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}\Big(n\!+\!\mathrm{AuExp}_{\eta,3}(z)\Big)
\label{e1eF3G3}
\ee
%Здесь, для удобства использования обозначений вне этой главы, предложены более длинные имена $\mathrm{SuExp}_\eta$ и $\mathrm{AuExp}_\eta$. 
%Индекс u у итераций экспоненты указывает, что для итераций использована растущая суперфункция (та, которая, для вещественных значений аргумента, на бесконечности идет вверх, ``up'').
Here, the subscript $u$ indicates, that the this iterate is holomorphic at the highest, upper range of the real values of the argument, and, in particular, in the vicinity of the half-line $z\!>\!\mathrm e$.
\vskip 2mm

{In the representation \rf{e1eF3G3}, neither
%\rf{e1eF1G1}, 
argument $z$ nor number of iterate has need to be real. 
For $n\!=\!1/2$, the complex map of the half iteration of exponential to base $\exp(1/\mathrm e)$ is shown in figure \rf{e1eghalf}.}%EN
%\RU{В представлении \rf{e1eF3G3}, ни номер итерации $n$, ни аргумент$z$ не имеют надобности быть целыми, ни даже вещественными. Но, разумеется, они могут и быть таковыми.}%
\vskip 2mm

%Для вещественных значений аргумента, итерации $y=\exp_{\eta,\mathrm u}^n(x)$ как функции $x$ в координатной плоскости $x,y$
%В частности, при $n\!=\!1/2$, комплексная карта растущей половинной итерации экспоненты  по основанию $\exp(1/\mathrm e)$ показана на рисунке \rf{e1eghalf}.
%RU
{For real values of argument $T^n_{\mathrm u}(x)$ versus $x$ for various values of number $n$ of iteration is shown in figure \ref{e1eiter}. The thick curves correspond to the integer values of $n$. The non-integer iterates are holomorphic at least in some vicinity of half-line  $x\!>\!\mathrm e$. 
The integer iterates can be extended to $-\infty$ for positive $b$ or to the closest vertical asymptotic of the corresponding logarithm for negative number of iteration. The 
bisector 
of the First quadrant of the coordinate plane corresponds to the identity function.}%EN

%\RU{На рисунке \ref{e1eiter} показаны итерации $T^n(x)$ по формуле \rf{e1eF3G3} как функции вещественного аргумента $x$, для нескольких вещественных значений номера итерации $n$. Толстые курвы соответствуют целым значениям $n$. Нецелые итерации голоморфны по крайней мере в некоторой окрестности луча $x\!>\!\mathrm e$. При целых неотрицательных значениях $n$, итерации голоморфны для любых значений аргумента. Диагональ Первого квадранта координатной плоскости соответствует нулевой итерации и идентичной функции.
\vskip 2mm
The non integer iterates by \rf{e1eF3G3} are shown in figure \ref{e1eiter} with thin lines.
These lines cannot be extended beyond the fixed point $\mathrm e$; this is branch point of the non-integer iterates.
%For this reason, t
These lines remain in the range
% and the iterates have the branch point 
%Нецелые итерации показаны тонкими линиями.
%Такие нецелые итерации определены для случая комплексного аргумента, либо для положительного аргумента,
%большего $\mathrm e$, но они не определены для вещественного аргумента, меньшего $\mathrm e$.
%Поэтому тонкие кривые на рисунке \ref{e1eiter}  остаются в области 
$x\!>\!\eta$, $y\!>\!\eta$; 
in particular, they cannot be holomorphically extended into the third quadrant.
%в частности, 
%их нельзя продолжить в третий квадрант.
%RU
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.44}{\begin{picture}(1042,1024)
%\sx{.48}{\begin{picture}(1042,1044)
\sx{.4}{\begin{picture}(1042,1008)
\put(1,1016){\sx{4.2}{$y$}}
\put(0,922){\sx{4.2}{$9$}} 
\put(0,822){\sx{4.2}{$8$}} 
\put(0,722){\sx{4.2}{$7$}} 
\put(0,622){\sx{4.2}{$6$}}
\put(0,522){\sx{4.2}{$5$}}
\put(0,422){\sx{4.2}{$4$}}
\put(0,324){\sx{4.2}{$3$}}
\put(0,294){\sx{4.2}{$\mathrm e$}}
\put(0,220){\sx{4.2}{$2$}}
\put(0,120){\sx{4.2}{$1$}}
\put(0,20){\sx{4.2}{$0$}}
\put(22,-8){\sx{4}{$0$}}
\put(122,-8){\sx{4}{$1$}}
\put(222,-8){\sx{4}{$2$}}
\put(297,-7){\sx{4}{$\mathrm e$}}
\put(322,-8){\sx{4}{$3$}}
\put(422,-8){\sx{4}{$4$}}
\put(522,-8){\sx{4}{$5$}}
\put(622,-8){\sx{4}{$6$}}
\put(722,-8){\sx{4}{$7$}}
\put(822,-8){\sx{4}{$8$}}
\put(922,-8){\sx{4}{$9$}}
\put(1016,-7){\sx{4.1}{$x$}}
%\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
%\put(1118,678){\sx{4.5}{\rot{69}$y\!=\!\eta^x$\ero}}
%\put(1076,606){\sx{4.1}{\rot{67}$y\!=\!\exp_{\eta}(x)$\ero}}
\put(24,24){\ing{e1eiter}}
%\put(10,10){\ing{expe1eplot}}
\put(316,826){\sx{4.9}{\rot{90}$n\!\rightarrow\!+\infty$\ero}}
\put(322, 46){\sx{4.9}{\rot{90}$n\!\rightarrow\!-\infty$\ero}}
\put(416,886){\sx{4.6}{\rot{86}$n\!=\!5$\ero}}
\put(476,886){\sx{4.6}{\rot{84}$n\!=\!3$\ero}}
\put(524,886){\sx{4.6}{\rot{80}$n\!=\!2$\ero}}
\put(630,886){\sx{4.6}{\rot{72}$n\!=\!1$\ero}}
\put(708,886){\sx{4.4}{\rot{66}$n\!=\!0.6$\ero}}
\put(758,886){\sx{4.4}{\rot{60}$n\!=\!0.4$\ero}}
\put(810,872){\sx{4.4}{\rot{52}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(894,876){\sx{4.6}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}}
\put(891,792){\sx{4.4}{\rot{36}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(878,720){\sx{4.4}{\rot{29}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(878,600){\sx{4.6}{\rot{16}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(878,498){\sx{4.6}{\rot{ 7}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(878,448){\sx{4.6}{\rot{ 2}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(878,394){\sx{4.6}{\rot{1}$n\!=\!-5$\ero}}
\put(70,292){\sx{4.9}{\rot{1}$n\!\rightarrow\!+\infty$\ero}}
\put(830,292){\sx{4.9}{\rot{1}$n\!\rightarrow\!-\infty$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eiterT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
%$y=T^n(x)$ 
$y=\exp_{\eta,\mathrm u}^{~n}(x)$ 
{by \rf{e1eF3G3} versus $x$ for various $n$}%EN
%\RU{по формуле \rf{e1eF3G3} 
%как функция $x$ 
%для различных $n$}%RU
\iL{e1eiter} }
%\vskip -14pt
\end{figure}
\vskip 2mm

\newcommand \figaxeh {
\put( -6,300){\sx{1}{$y$}}
\put( -10,289){\sx{1}{$14$}}
\put( -10,269){\sx{1}{$12$}}
\put( -10,249){\sx{1}{$10$}}
\put( -6,229){\sx{1}{$8$}}
\put( -6,209){\sx{1}{$6$}}
\put( -6,189){\sx{1}{$4$}}
\put( -6,169){\sx{1}{$2$}}
\put( -6, 149){\sx{1}{$0$}}
\put(-14,129){\sx{1}{$-2$}}
\put(-14,109){\sx{1}{$-4$}}
\put(-14,  89){\sx{1}{$-6$}}
\put(-14,  69){\sx{1}{$-8$}}
\put(-18,  49){\sx{1}{$-10$}}
\put(-18,  29){\sx{1}{$-12$}}
\put(-18,   9){\sx{1}{$-14$}}
%\put(-13, 79){\sx{1}{$-6$}}
\put(400,-6.5){\sx{1}{$x$}}
\put(379,-7){\sx{.9}{$28$}}
\put(359,-7){\sx{.9}{$26$}}
\put(339,-7){\sx{.9}{$24$}}
\put(319,-7){\sx{.9}{$22$}}
\put(299,-7){\sx{.9}{$20$}}
\put(279,-7){\sx{.9}{$18$}}
\put(259,-7){\sx{.9}{$16$}}
\put(239,-7){\sx{.9}{$14$}}
\put(219,-7){\sx{.9}{$12$}}
\put(199,-7){\sx{.9}{$10$}}
\put(181,-7){\sx{.9}{$8$}}
\put(161,-7){\sx{.9}{$6$}}
\put(141,-7){\sx{.9}{$4$}}
\put(121,-7){\sx{.9}{$2$}}
\put(101,-7){\sx{.9}{$0$}}
\put( 75,-7){\sx{.9}{$-2$}}
\put( 55,-7){\sx{.9}{$-4$}}
\put( 35,-7){\sx{.9}{$-6$}}
\put( 15,-7){\sx{.9}{$-8$}}
}
\begin{figure}[h]
\hskip 18pt
%\sx{1.18}{\begin{picture}(262,312) 
%\sx{1.1}{\begin{picture}(262,312) 
\sx{1.001}{\begin{picture}(262,312) 
\put(2,2){\ing{e1eghalf}} 
\figaxeh
%\put( 21,182){\sx{1.3}{\rot{53} \textcolor{white}{\rule{26pt}{9pt}}\ero}}
\put( 18,182){\sx{1.3}{\rot{49} $v\!=\!-1$\ero}}
%\put( 61,173){\sx{1.3}{\rot{85} \textcolor{white}{\rule{23pt}{9pt}}\ero}}
\put( 61,175){\sx{1.3}{\rot{82} $v\!=\!0$\ero}}
\put(16,150.2){\sx{1.4}{\bf cut - - - - - - -}} 
%\put(257,148.4){\sx{1.3}{$q\!=\!0$}}
%\put(307,148.4){\sx{1.7}{$\exp_{b,3}^{[0.5]}(z)\!\rightarrow\!\infty$}}
	\put(316,297){\sx{1.1}{\rot{16}$u\!=\!10$\ero}}
	\put(323,288){\sx{1.1}{\rot{20}$u\!=\!20$\ero}}
%	\put(338,274){\sx{1.1}{\rot{40}$u\!=\!40$\ero}}
	\put(343,266){\sx{1.1}{\rot{48}$u\!=\!50$\ero}}
	\put(358,254){\sx{1.1}{\rot{56}$u\!=\!70$\ero}}
	\put(378,244){\sx{1.1}{\rot{60}$u\!=\!100$\ero}}

\put(373,236){\sx{1.1}{\rot{-18}$v\!=\!100$\ero}}
\put(357,198){\sx{1.1}{\rot{-9}$v\!=\!50$\ero}}
\put(350,170){\sx{1.1}{\rot{-2}$v\!=\!20$\ero}}
\put(349,160){\sx{1.1}{\rot{-1}$v\!=\!10$\ero}}
\put(349,150){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
\put(349,141){\sx{1.1}{\rot{1}$v\!=\!-10$\ero}}
\put(350,131){\sx{1.1}{\rot{2}$v\!=\!-20$\ero}}
\put(357,104){\sx{1.1}{\rot{9}$v\!=\!-50$\ero}}
%\put(142,225){\sx{.9}{\rot{-52}  \textcolor{white}{\rule{22pt}{9pt}} \ero }}
\put(166,249){\sx{1.001}{\rot{-60} $v\!=\!15$\ero}}
\put(144,229){\sx{1.001}{\rot{-54} $v\!=\!9$\ero}}
\put(130,218){\sx{1.001}{\rot{-53} $v\!=\!6$\ero}}
%\put( 99,175){\sx{1.2}{ \rot{45}  \textcolor{white}{\rule{19pt}{10pt}} \ero }}
\put( 99,174){\sx{1.2}{\rot{45} $u\!=\!0$\ero}}
%\put(117,165){\sx{1.2}{\rot{57}  \textcolor{white}{\rule{20pt}{9pt}} \ero }}
\put(113,166){\sx{1.2}{\rot{57} $u\!=\!1$\ero}}
%\put(136,155){\sx{1.2}{\rot{72}  \textcolor{white}{\rule{21pt}{9pt}} \ero }}
\put(136,156){\sx{1.2}{\rot{72} $u\!=\!3$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 6pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eghalfm3.jpg}

\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\eta,\mathrm u}^{1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%по формуле  
by
\rf{e1eF3G3} 
%для
for
$n\!=\!1/2$  \iL{e1eghalf}}
\end{figure}

%\RU{Нецелые итерация по формуле \rf{e1eF3G3}
%имеют разрез вдоль вещественной оси от $-\infty$ до $\mathrm e\approx 2.71$; 
%поэтому тонкие курвы на рисунке \ref{e1eiter} нельзя продолжить за стационарную точку. Чтобы пояснить неизбежность этого разреза, на рисунке \ref{e1eghalf} показан пример половинной итерации, $n\!=\!1/2$.
%На комплексной карте половинной итерации этот разрез обозначен символом {\bf cut}. }
The non-integer iterates by formula \rf{e1eF3G3}
have cut line along the real axis from $-\infty$ to $\mathrm e\approx 2.71$;
in order to shown this cut, figure \ref{e1eghalf} represent the complex map of the half iterate, $n\!=\!1/2$.
%На комплексной карте половинной итерации этот разрез обозначен символом 
This cut is traced with dashed line and 
%marked 
labeled
with symbol
{\bf cut}.
\vskip 2mm

%\RU{Как и другие комплексные карты вещественно-голоморфных функций, карта на рисунке \ref{e1eghalf} симметрична ``верх-низ'', так как}%
As other complex maps of other iterates of a real-holomorphic function, the map at figure 
\ref{e1eghalf} 
is symmetric with respect to reflection from the real axis, 
\be
\exp_{\eta,\mathrm u}^{1/2}(z^*)=
\exp_{\eta,\mathrm u}^{1/2}(z)^*
\ee
In order to remind this symmetry, I plot the maps, placing the real axis at the centre of the figure.
However, sometimes, there is not enough space at the page, then I plot the only upper part of the map.
I hope, the Reader has enough imagination, that allows him or her to consider 
%para put to the page 
the imaginary mirror, and see in this imaginary mirror the function with inverted sign of the its imaginary part.
With hopes for such imagination, in Figure \ref{e1e000map}, I show the iterates of the exponent to base $\eta$ for various number of iterate $n$
in a similar way, as the case $n\!=\!1/2$ is shown in Figure \ref{e1eghalf}. However, the only halts of the maps are shown in Figure
\ref{e1e000map}.
\vskip 2mm

\section{Not only exp}

Exponential to base $\eta=\exp(1/\mathrm e)=\exp^2(-1)$ is not only transfer function, that have derivative unity at its fixed point, $T'(L)=1$.
Some of such transfer functions can be treated with the method of exotic iteration, described in this chapter.
\vskip 8pt

One more example is considered in the next chapter, referring to the elementary transfer function $T(x)=\mathrm{zex}(x)=z \exp(z)$.
It is treated in a pretty similar way, as $\exp_\eta$.
\vskip 8pt

Then, in the following chapters, even more exotic cases are treated, when $T'(L)=1$ and $T''(L)=0$ also can be treated.
However, I try to go step by step.
So, open the next chapter and read about iterates of zex.

%\end{document}

%Для того, чтобы напомнить эту симметрию, я строю карты, помещая начало координат в середку изображения.
% Однако, когда места на странице не хватает, приходится жертвовать такой наглядностью, и строить лишь верхнюю половину карты. 
%Я надеюсь, что у Читателя достаточно воображения для того, чтобы мыслено приставить к экрану зеркало и столь же мысленно увидеть в нем нижнюю часть комплексной карты. С рассчетом на это, на рисунке  \ref{e1e000map} показаны итерации экспоненты по основанию $\eta$ и для других $n$.  В частности, карта, соответствующая $n\!=\!0.5$, соответствует зумину из центральной части рисунка \ref{e1eghalf}.

\JP{
такой же разрез имеют и иные нецелые итерации, карты которых показаны на рисунке  \ref{e1e000map}. Эти итерации вещественно голоморфны, это обуславливает симметрию линий уровня относительно вещественной оси; поэтому на рисунке \ref{e1e000map} представлены лишь положительные значения мнимой части аргумента..
\vskip 1mm

Figure \ref{e1e000map} shows, how smoothly and gradually, at the increase of the number of iterate from minus unity to unity,
the complex map of iterate changes from the map of logarithm to base $\eta$ to the map of identity function (which is uniform rectangular grid and for this reason is not shown in the figure), and then to the map of exponent to base $\eta$, shown in the upper left map.
%\RU{Рисунок  \ref{e1e000map} показывает, как непрерывно и постепенно, при увеличении номера итерации от минус единицы до единицы, комплексная карта итерации изменяется от карты логарифма по основанию $\eta$ (верхняя правая карта) к карте тождественной функции (которая есть однородная прямоугольная сетка и поэтому не нарисована внизу) и затем к карте экспоненты по основанию $\eta$ (верхняя левая карта). 
\vskip 1mm

%Аналогичные карты можно построить и для других передаточных функций. Одна из них рассмотрена в следующей главе.
Similar iterates can be plotted also for the other transfer functions. One of them is considered in the next chapter.
%Я не загружаю в Книгу все такие карты, но а надеюсь, что Читатель может загрузить имплементации суперфункций, абельфункций и построить такие карты самостоятельно.
%Ниже, аналогичная эволюция прослеживается также и для итераций натуральной экспоненты.
}%JP
\vskip 2mm

\JP{
The half-iteration of the exponential to base 
$\exp(1/\mathrm e)$ has the cut line from the fixed point 
$\mathrm e\approx 2.71$ to 
$-\infty$. 
This cut line domes from the cut of the corresponding Abel function $G_3$. In the rest of the complex plane, the half iteration is holomorphic. In particular, $F^{1/2}(z)$ holomorphic in vicinity of the half-line $z\!>\!\mathrm e$; and at least in vicinity of this line, the relation holds
\be
T^{1/2}\Big(T^{1/2}(z)\Big)=T(z)
\eL{e1e1212}
Readers are invited to plot the complex map of the left hand side of equation \rf{e1e1212} and to compare it with the map the exponential to base $\exp(1/\mathrm e)$.
\vskip 2mm

The maps of the iterates
\be
\exp_{\eta,\mathrm u}^n=\mathrm{SuExp}_{\eta}(n+\mathrm{AuExp}(z))
%\iL{bad}
\label{e1eite}
\label{SuExpEnAuExp}
\ee
are shown in Figure
\ref{e1e000map} for various values of $n$.
\vskip 2mm
}%JP

\begin{figure}[t]
\newcommand \LeLa {
\put(-24,384){\sx{4}{$y$}}
\put(-24,288){\sx{4}{$3$}}
\put(-24,188){\sx{4}{$2$}}
\put(-24,88){\sx{4}{$1$}}
\put(-24,-12){\sx{4}{$0$}}
}
\newcommand \DoLa {
\put(70,-36){\sx{3.8}{$-3$}}
\put(170,-36){\sx{3.8}{$-2$}}
\put(270,-36){\sx{3.8}{$-1$}}
\put(390,-36){\sx{3.8}{$0$}}
\put(490,-36){\sx{3.8}{$1$}}
\put(590,-36){\sx{3.8}{$2$}}
\put(690,-36){\sx{3.8}{$3$}}
\put(786,-36){\sx{3.8}{$x$}}
}
%\begin{figure}%[H]
~
%\sx{.294}{\begin{picture}(802,402) 
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{e1e010map}} \LeLa 
\put(20,342){\sx{7}{$n\!=\!1$}} 
\put(36,180){\rot{38} \sx{5}{$u\!=\!0.2$} \ero}%%%%%
\put(176,88){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(276,050){\rot{64} \sx{5}{$u\!=\!0.6$} \ero}%%
\put(422,064){\rot{64} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(606,048){\rot{68} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(686,328){\rot{-53} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} %%%
\put(680,195){\rot{-34} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(678,86){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em10map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-1$}} 
\put(128,112){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!3$}\ero} %
\put(210,72){\rot{50} \sx{5}{$u\!=\!2$}\ero} %
\put(264,40){\rot{48} \sx{5}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(298,10){\rot{48} \sx{5}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(42,54){\rot{-9} \sx{5}{$v\!=\!8$}\ero}
\put(530,222){\rot{62} \sx{5}{$v\!=\!3$}\ero} 
\put(596,154){\rot{42} \sx{5}{$v\!=\!2$}\ero} 
\put(638, 76){\rot{21} \sx{5}{$v\!=\!1$}\ero} 
%\put(641,-12){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e009map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.9$}}
\put( 06,277){\rot{16} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(120,114){\rot{51} \sx{5}{$u\!=\!0.2$} \ero}
\put(240,079){\rot{60} \sx{5}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(438,064){\rot{65} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(610,048){\rot{70} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(686,328){\rot{-53} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} %%%
\put(680,195){\rot{-34} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(678,86){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em09map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.9$}} 
\put(70,196){\rot{41} \sx{5}{$u\!=\!3$} \ero}
\put(146,112){\rot{41} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(204, 62){\rot{41} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}%%%
\put(258, 35){\rot{38} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}%%%
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(542,236){\rot{57} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} 
\put(606,166){\rot{39} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero} 
\put(644,80){\rot{19} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(649,-13){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{e1e008map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.8$}}
\put( 46,152){\rot{35} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(194,100){\rot{53} \sx{5}{$u\!=\!0.2$} \ero}
\put(284,079){\rot{60} \sx{5}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(444,060){\rot{65} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(606,048){\rot{70} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(682,314){\rot{-46} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} %%%
\put(680,192){\rot{-30} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(678,86){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{e1em08map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.8$}} 
\put(92,192){\rot{29} \sx{5}{$u\!=\!3$} \ero}
\put(146,112){\rot{31} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(190, 56){\rot{30} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}%%%
\put(216, 6){\rot{30} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}%%%
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(544,238){\rot{50} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} 
\put(608,166){\rot{34} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero} 
\put(646,80){\rot{16} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(649,-13){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e005map}} \LeLa 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.5$}} 
%\put(74,158){\rot{56} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
%\put(214,082){\rot{66} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(278,066){\rot{67} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(482,054){\rot{76} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(616,048){\rot{80} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(686,388){\rot{-34} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,288){\rot{-26} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,185){\rot{-16} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,86){\rot{-9} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em05map}}  
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.5$}}  
\put(412,372){\rot{-45} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}%%%
\put(336,308){\rot{-42} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(274,242){\rot{-34} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(148,202){\rot{-17} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(094,122){\rot{-8} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(598,280){\rot{29} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}%%%%
\put(638,186){\rot{18} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(666, 86){\rot{10} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e002map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.2$}}  \LeLa %\DoLa
\put(74,158){\rot{56} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
\put(214,082){\rot{66} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(378,066){\rot{79} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(506,054){\rot{84} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(616,048){\rot{84} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,376){\rot{-12} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,282){\rot{-10} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,185){\rot{-7} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,86){\rot{-4} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
%\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
%\put(200,240){\rot{-31} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em02map}}  
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.2$}}  %\DoLa 
\put(162,282){\rot{-62} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
\put(248,312){\rot{-67} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(344,318){\rot{-69} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(436,346){\rot{-72} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(534,372){\rot{-75} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}%%%
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(642,289){\rot{12} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}%%%%
\put(658,186){\rot{9} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(666, 86){\rot{4} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e001map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.1$}}  \LeLa \DoLa
\put(290,150){\rot{78} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(402,136){\rot{79} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(514,124){\rot{84} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(618,118){\rot{86} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(684,382){\rot{-7} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(678,285){\rot{-6} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(674,186){\rot{-4} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(672,86){\rot{-1} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(114,210){\rot{-19} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em01map}}  
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.1$}}  \DoLa 
\put(176,310){\rot{-76} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
\put(269,326){\rot{-78} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(366,350){\rot{-81} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(462,366){\rot{-82} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(562,386){\rot{-84} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(654,289){\rot{6} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(662,185){\rot{5} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
%\put(460,106){\rot{4} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
%\put(470,128){\rot{4.6} \sx{5}{$v\!\approx\!1.3372357$} \ero}
\put(670,87){\rot{1} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
%\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\caption{\large
%Комплексные карты итераций экспоненты по основанию Генрика:
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\eta,\mathrm u}^{~n}(x\!+\!\mathrm i y)$, complex maps of iterates of exponent to base $\eta$
by equation
%\RU{по формуле }%
%\rf{e1eite}
\rf{e1eF3G3}
%для различных 
for various
$n$
%\rf{SuExpEnAuExp}
\iL{e1e000map}}
\end{figure}

\JP{
\EN{Example with transfer function $T$ by \rf{Te1e} had been considered by request  from Henryk Trappmann \cite{e1e}.
Historically, this was first example with transfer function, that has real fixed point, $\mathrm e$, but does not allow the standard non-integer rerate, regular in vicinity of this point. Henrik had expected, that the precise evaluation of the superfunction and the Abel function will be difficult, if at al.}
\RU{Пример с передаточной функцией $T$ по формуле \rf{Te1e} был рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна (Henryk Trappmann) \cite{e1e}. Исторически, это был первый пример итераций вещественно-голоморфной функции,
которая имеет вещестсвенную стационарную точку, а именно, число $\mathrm e$, 
но не допускает обычные регулярные итерации в окрестности этой точки. Генрик ожидал, что 
аккуратное вычисление суперфункции, абельфункции и итераций для такой передаточной функции окажется затруднительным (и поэтому особенно интересным), или же даже вовсе невозможным. 
Разумеется, учет логарифма в асимптотическом разложении позволяет строить быстрые и аккуратные алгоритмы для вычисления суперфункции, абельфункции и нецелых итераций.}
\vskip 2mm


\EN{In the similar way, the readers are invited to plot also iterations with}%EN
\RU{Похожим образом, Читатели приглашаются построить также итерации по формуле}%RU
\be
T^n(z)=\exp_{\eta,\mathrm d}(z)=F_1(n+G_1(z))=\mathrm{tet}_\eta(n+\mathrm{ate}_\eta(z))
\eL{e1eF1G1}
\EN{that are holomorphic in vicinity of $z<\mathrm e$. However, for non-integer $n$, the iterates by \rf{e1eF1G1} are not analytical continuations of those by\rf{e1eF3G3}; one needs high precision (for example, long double) in order to see the deviation along the real axis.}%EN
\RU{которые голоморфны по крайней мере в окрестности $z\!<\!\mathrm e$. }%RU
Здесь для удобства использования для в других главах (где символы $F$ и $G$ могут обозначать иные суперфункции и абельфукции) предложены более длинные имена
$\mathrm{tet}_{\eta}=F_1$ и $\mathrm{ate}_{\eta}=G_1=F_1^{-1}$. Индекс $d$ в формуле \rf{e1eF1G1} указывает, что для вычисления итерации использована суперфункция, голоморфная ниже (down) стационарной точки, то есть при значениях аргумента, меньших $\eta$ и близлежащей области комплексной плоскости.
\vskip 2mm

\RU{В следующих главах, рассматриваются ещё примеры вещественно-голоморфных передаточных функций, у каждой из которых есть вещественная стационарная точка, но регулярная итерация во окрестности такой точки невозможна. Там для таких передаточных функций тоже строятся эксотические итерации.}
\EN{In the next Chapter, one more example is considered, where the derivative of the transfer function is unity at the fixed point. This function is just sin, well known since the elementary school; so, I feel, it should be included in this Book.}
}%JP

%\chapter{$\mathrn{zex}(z)=z \exp(z)$}
\chapter{~ LambertW and zex}
%\chapter{~ Функции LambertW и zex %$\mathrm{zex}(z)=z \exp(z)$

%\baselineskip 20.8pt
\baselineskip 20pt

%\begin{figure}{h}
\begin{wrapfigure}[1]{r}{408px}
%\vskip -24pt
\hskip -20pt
\normalsize
%\sx{.6}{\begin{picture}(608,380)
\sx{.64}{\begin{picture}(608,380)
 \put(1,9){\ing{zexplo2}}
 \put(388,398){\sx{2.9}{$y$}}
 \put(409,378){\sx{3.1}{$\mathrm e$}}
 \put(388,303){\sx{2.8}{$2$}}
 \put(388,203){\sx{2.8}{$1$}}
 \put(388,103){\sx{2.8}{$0$}}
 \put(409,70){\sx{2.6}{$-\!1/\mathrm e$}}
 \put( 86, 90){\sx{2.5}{$-\!3$}}
 \put(186, 90){\sx{2.5}{$-\!2$}}
 \put(286,90){\sx{2.5}{$-\!1$}}
 % \put(300,-9){\sx{2.5}{$0$}}
 \put(500,90){\sx{2.5}{$1$}}
 \put(600,90){\sx{2.5}{$2$}}
 %\put(598,90){\sx{2.6}{$x$}}
 \put(630,90){\sx{2.6}{$x$}}
 \put(455,180){\sx{3}{$y\!=\!\mathrm{zex}(x)$}}
 \end{picture}}
 \vskip -12pt
\hskip 10pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexPlot.png}
\vskip -4pt 
\caption{\large
$~y\!=\!\mathrm{zex}(x)\!=\!x \, \exp(x)$ \iL{zexplot}}
\vskip -300pt
\end{wrapfigure}
~

%\rule{0pt}{274pt}
\rule{0pt}{310pt}

This chapter deals with function
%В этой главе рассматривается функция
ArcLambertW,
\be 
%\!\!\!\!\!\!\!\! \mathrm{ArcLambertW}(z) \!&\!=\!&\! \mathrm{ArcProductLog}(z) \nonumber\\
%&\!=\!&\! \mathrm{zex}(z) = z \exp(z)
\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcLambertW}(z) = \mathrm{ArcProductLog}(z) 
= \mathrm{zex}(z) = z \exp(z)
\label{zexDef}
\ee
%\label{zexDef}
%\ee
%\begin{wrapfigure}[12]{r}{210px}
\begin{wrapfigure}{r}{60pt}
\normalsize
%\vskip 2pt
\sx{.28}{\begin{picture}(200,90)
\put(0,0){\ing{monoxid}}
\put(84,64){\sx{4}{O}}
\put(24,30){\sx{4}{H}}
\put(144,30){\sx{4}{H}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{Dihidrogena monoxide \label{monoxid}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}
shown in figure \ref{zexplot}. 
%The complex map is shown in figure \ref{zexmap}. 
The long name 
ArcLambertW 
%эквивалентно ещё более длинному обозначению 
is equivalent to even longer name
ArcProductLog. 
%Такие имена напоминают ``{\em монохид дигедрогена}''
%, которое выглядит устрашающе (и используется для мистификаций), но обозначает обычную воду, $\rm H_2O$ 
This name looks so  long, as ``Logistic map'' or ``dihidrogena monoxide''
%(см. рис.% \ref{mnx}
%\ref{monoxid}
shown in figure \ref{monoxid}. 
Formally, the name is correct; the inverse function of ProductLog can be called ArcProductLog in analogy with arcsin
%, ArcBessel 
or ArcTetration. 
But name zex 
%is
%seems to be 
%better, as it 
is shorter.\\
Complex map of function zex is shown in figure \ref{zexmap}.
%ArcProductLog by equation \rf{zexDef} is elementary function, and I need the short name for it.
%То есть формально, вроде, правильно, обратная функция по отношению к функции ProductLog вполне может называться ArcProductLog, но использовать такое обозначение в формулах неудобно.
% \footnote{Особенно после того, как Редактор попросила поля расширить, а шрифт укрупнить}. 
%Поэтому я использую обозначение zex. Для вещественного аргумента, график функции zex по формуле \rf{zexDef} представлен на рисунке \ref{zexplot}.
\vskip 2mm

Short name zex is created from the first three characters in the right hand side of equation \rf{zexDef}. Hope, this long explanation helps to avoid confusions. In the chapter name, I keep the indication to LambertW, because it is used in many publications and algorithmic languages.
As the negative iterates are allowed, if one can iterate zex, one can iterate also LambertW. Function zex is simpler than LambertW, so, I consider zex first.
%Короткое имя zex образовано из первых трех букв последнего выражения в формуле \rf{zexDef}. Эта функция используется для иллюстрации общей идеи построения ``экзотических'' итераций 
%передаточной функции, у которой производная в стационарной точке равна единице. То есть как бы для закрепления материала.
\vskip 2mm

%Название этой Главы указывает, что речь идет о функция LambertW. Однако мне удобнее работать с функцией zex, которая проще; хотя бы потому, что у неё нет особых точек. В моё оправдание замечу, что построение итераций функции zex эквивалентно построению итераций функции  LambertW. И даже эквивалентно построению итераций функции ProductLog, которая то же, что и  LambertW. Потому как
%$\mathrm{zex}^{-n}\!=\!\mathrm{LambertW}^n$, и номер итерации $n$ может принимать не только что отрицательные, а ажно комлексные значения. Так что если кто умеет итериривать функцию zex, то он/она 
%умеет итерировать и функцию LambertW. И наоборот.
%\vskip 2mm

%Кроме того, н
%Название главы должно быть видным и гуглебельным. Название LambertW известно широко, а в названии zex 
%некоторые 
%поисковики пытаются исправлять первую букву, чтобы предложить миллионы коммерческих ссылок. Содержание таких ссылок выходит за пределы темы этой Книги, поэтому в названии главы упоминаeтся не zex, а LambertW.
%\vskip 2mm

%Нильс Бор и Хидеки Юкава, а на последней парте - Джон Смит и Вася Пупкин, то обращаться надо к Смиту и к Пупкину; тогда, может быть, Бор и Юкава поймут хотя бы основную идею доклада. 
%Адаптируя такое правило к этой Книге, в этой главе я описываю, как для функции zex строятся суперфункция, абельфункция и нецелые итерации. Потому как повторение, хоть и не мать остроумия, но всё ещё мать учения. Я рекомендую Читателям делать выкладки самостоятельно, и лишь иногда подглядывать в книгу, чтобы выудить хинт (подсказку) или подтвердить правильность формулы.

%\section{Функции zex и  LambertW}
%\section{Голоморфный zex}

\begin{figure}[t]
%\sx{.194}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.34}{\begin{picture}(1252,1220)
\put(40,20){\ing{zexmap}}
\put(18,1206){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18,1113){\sx{3}{$5$}}
\put(18,1013){\sx{3}{$4$}}
\put(18, 913){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 813){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 513){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 413){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-4$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-5$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-6$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-6$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-5$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(414, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(514, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(835, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(935, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(1035, -5){\sx{3}{$4$}}
\put(1135, -5){\sx{3}{$5$}}
\put(1227,-4){\sx{3}{$x$}}
\put(90,1162){\sx{4}{\rot{7}$u\!=\!0$\ero}}
\put(90,987){\sx{4}{\rot{6}$v\!=\!0$\ero}}
\put(90,802){\sx{4}{\rot{5}$u\!=\!0$\ero}}
\put(90,611){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(404,545){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(980,641){\sx{4}{\rot{-4}$v\!=\!16$\ero}}
\put(970,581){\sx{4}{\rot{3}$v\!=\!-16$\ero}}
\put(978,517){\sx{4}{\rot{-7}$u\!=\!16$\ero}}
\put(970,458){\sx{4}{\rot{-1}$u\!=\!-16$\ero}}
\put(90,421){\sx{4}{\rot{-5}$u\!=\!0$\ero}}
\put(90,237){\sx{4}{\rot{-6}$v\!=\!0$\ero}}
\put(90, 61){\sx{4}{\rot{-7}$u\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexD6mapT100.png}
\vskip -6pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{zex}(x\!+\!\mathrm i y)$ by \rf{zexDef} %слева; $u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{ArcZex}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\! \mathrm{LambertW}(x\!+\!\mathrm i y)$ , справа 
\iL{zexmap}}
\vskip 10pt
\end{figure}

Consideration in this chapter is very similar to that of the previous one; the similar exotic iterates are constructed.
I hope, the reader can perform the calculus for iterates of zex in the same way, as the deduction is performed in the previous chapter for
%Я надеюсь, что Читатель не смутится названием, и сам сможет провести все рассчеты этой главы, по аналогии с тем, как в предыдущей секции это сделано для экспоненты по основанию Генрика 
the exponent to base $\eta\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}$. 
On the other hand, I remember the old rule: 

\baselineskip 12pt
If at your presentation, at the first desk you see Hideki Yukawa and Sofia Kovalevskaya, and at the last desk you see some Bart Simpson and Shoko Okudaira, then you should address to Bart and Shoko. In this case, you may hope, that Hideki and Sofia understand at least the main idea of your talk. 
\baselineskip 19pt
\vskip 6pt

Adopting that rule to the Book, here I repeat the deduction of the previous section for function zex. 
However, I would like the Readers at least to try to make this deduction by themselves, using the Book only to verify the results; then the Readers will be able to do the same also for other functions (including exotic ones).
%The Readers are invited to make the deductions by temselve, and only from time to time check, that the formulas coincide wight those in the Book.
%Then these Readers will be able to construct other, new exotic superfunctions, as soon as they need them, even if they are not considered in this Book.
%Однако я помню старое правило, что если на докладе за первой партой сидят
%Софья Ковалевская и Леонард Эйлер, а на последней парте --- Надя Кискина и Вася Пупкин, то обращаться надо к Наде и Васе; тогда, может быть, Софья и Леонард поймут хотя бы основную идею доклада и зададут ``самые мучительные социальные вопросы'' \cite{erofeev}.

\section{Holomorphic zex}
\baselineskip 20.8pt
%График функции zex по формуле \rf{zexDef} показан на рисунке \ref{zexplot}.
For real argument, function zex by \rf{zexDef} is shown in figure \ref{zexplot}.
%При больших отрицательных значениях аргумента zex стремится к нулю, и убывает от нуля на минус бесконечности до значения 
At negative values of the argument,  zex is negative, and it is positive for positive argument. 
At large negative values of the argument,  zex decreases, reaches its local minimum
$-1/\mathrm e$ 
at $-1$, then grows up.
%$-1/\mathrm e$ в точке $-1$, затем растет. 
The graphic passes through point (0,0); zero is fixed point. At zero, its derivative is unity; so
%For this reason 
the iterates of zex are qualified as exotic; the non-integer iterates are not regular at the fixed point.
Here, it may be a good moment to go a little bit back, to the regular iteration, in order to remember, what happens, for example, at the right hand side of equation \rf{a2.39}, when the derivative $T'$ of the transfer function at the fixed point becomes zero.

%График проходит через точку $(0,0)$, и в нуле производная функции  zex равна единице. Именно поэтому итерации зекса квалифицируются как экзотические. При б\'oльших значениях аргумента  zex продолжает быстро расти до бесконечности.
\vskip 2mm


\begin{figure}[t]
 %\sx{1.44}{ \begin{picture}(164,165)
 \sx{2.44}{ \begin{picture}(164,165)
 %\put(6,5){\ing{taniacontour}}
% \put(6,5){\ing{productlogmap}}
 \put(6,5){\ing{lambertwmap}}
 \put(2,162){\sx{.7}{$y$}}
 \put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
 \put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
 \put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
 \put(4,118){ \sx{.8}{\rot{-36}$v\!=\!1.8$\ero}}
 \put(3,96){ \sx{.8}{\rot{-20}$v\!=\!2$\ero}}
 \put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
 \put(8, 84){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(7,72){\sx{.7}{\rot{18}$v\!=\!-\!2$\ero}}
 \put(-3,64){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(-3,44){\sx{.6}{$-4$}}
 \put(-3,24){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
 \put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
 \put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
 \put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
 \put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
 \put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
 \put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
 \put( 43, 73){\rot{-39}\sx{.8}{$u\!=\!0.8$}\ero}
 \put( 41, 57){\rot{-27}\sx{.84}{$u\!=\!1$}\ero}
 \put( 39, 40){\rot{-19}\sx{.8}{$u\!=\!1.2$}\ero}
 \put( 33, 21){\rot{-18}\sx{.8}{$u\!=\!1.4$}\ero}
 \put( 85, 145){\rot{83}\sx{.82}{$v\!=\!1$}\ero}
 \put(137, 102){\rot{17}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
 \put(144, 84){\rot{0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
 \put(140, 65){\rot{-16}\sx{.72}{$v\!=\!-\!0.2$}\ero}
 \put(134, 46){\rot{-32}\sx{.72}{$v\!=\!-0.4$}\ero}
 \put( 79, 33){\rot{-80}\sx{.86}{$v\!=\!-1$}\ero}
 \end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LambertWmap150.png}
\vskip -2pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{ArcZex}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\! \mathrm{LambertW}(x\!+\!\mathrm i y)$
\label{arczexmap}}
\vskip 12pt
\end{figure}

%Комплексная карта функции  zex представлена на рисунке 
Complex map of function zex is shown in figure
\ref{zexmap}.
This function is entire, it has no singularities.
%Эта функция является целой. То есть голоморфна где ни попади.
%\vskip 2mm
%
%В правой части представлена карта обратной функции, то есть функции LambertW.
Map of the inverse function
%Карта обратной функции, то есть
\be
\mathrm{zex}^{-1}=\mathrm{ArcZex}=\mathrm{zex}^{-1}=\mathrm{LambertW}
\ee
%показана на рисунке  
is shown in figure \ref{arczexmap}. This function has cut, along the negative part of the real axis. This cut is marched with dashed line. 
%Эта функция имеет разрез, обозначенный символом  {\bf cut}.
\vskip 2mm

%B правой части рисунка \ref{zexmap} представлена карта обратной %фуннкции, то есть $\mathrm{ArcZex}=\mathrm{zex}^{-1}=\mathrm{LambertW}$. 
%Функцию LambertW можно определить как решение $F$ дифференциального уравнения
Function LambertW can be defined as solution $F$ of the differential equation
\be
F'(z)= \frac{F(z)}{(1+F(z))~z}
\eL{LambertWdifur}
with additional condition
%с дополнительным условием 
$F(0)\!=\!0$,
where the contour of integration goes along the imaginary axis from zero to the imaginary part of argument $z$, and then, parallel to the real axis, to the value $z$. 
% где контур интегрирования идет от нуля вдоль мнимой оси до мнимой части аргумента, а потом, параллельно вещественной оси, до значения аргумента. Решая уравнение
Solving the equation \rf{LambertWdifur},
the Reader may verify, that the inverse function of the solution is zex.
Note, that the similar contour of integration is used in chapter 5 to define function Tania by equation \rf{taniaprim}.
%, Читатель может проследить, что обратная функция от решения есть zex. 
%\vskip 2mm
%
%\EN
Indeed, function LambertW is related to the Tania function:
%\RU{Функцию LambertW можно выразить через функцию Таня, определенную формулой} 
\rf{taniaprim}:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{Tania}(z)=\mathrm{LambertW}\Big(\exp(1\!+\!z)\Big) \\
%~$,  $~\mathrm{WrightOmega}(z)=\mathrm{LambertW}\Big(\exp(z)\Big)~~$, $~|\Im(z)|\!<\!\pi$
\mathrm{LambertW}(z)=\mathrm{Tania}\Big(\ln(z)-1\Big)
\eL{taniaLambertW}
As the imaginary part of the logarithm is limited to the $-\pi,\pi$ range, in this expression, the argument of the Tania function is always inside the strip along the real part, seen in the complex map of the Tania function in figure
%\RU{Мнимая часть значений логарифма всегда находится в интервале от  $-\pi$ до $\pi$. 
%Поэтому в выражении \rf{taniaLambertW}, разрезы функции Таня (см. рисунок \ref{figTaniaMap}) не добавляют разрезов к области голоморфизма функции LambertW. Эта функция имеет только один разрез, от логарифма в аргументе Тани в правой части уравнения 
\rf{taniaLambertW}. 
Function LambertW is in some sense simpler, than function Tania: it has only one cut line (and one branch point $-1/\mathrm e$), while the Tania functions has two.
%Этот разрез идет от точки ветвления $-1/\mathrm e$ до минус бесконечности.
%На рисунке \ref{zexmap}, этот разрез обозначен символом {\bf cut}.} 
\vskip 2mm

%\RU{Мне не попалось хорошей имплементации complex double для фунции LambertW  на языке C++, на котором у меня написаны хорошие графопостроители. Поэтому мне пришлось делать такую имплементацию самому. Для этой имплементации использованы вполне очевидные разложения. Эти разложения перечислены ниже.}
I could not find good implementation complex double for function LambertW in C++ (in which I have good plotters of complex maps). 
For this reason, I use the expansions listed below.
\vskip 2mm

For small values of argument, LambertW can be expanded as follows:

%\RU{Для малых значений аргумента, есть разложение в нуле:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 
\mathrm{LambertW}(z)\!\!&\!=&
z\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n\!+\!1)^{n-1}}{n!} (-z)^n 
\nonumber\\
&\!=&\!\!
z \!-\! z^2 \!+\!\frac{3 z^3}{2}
\!-\!\frac{8z^4}{3}
\!+\!\frac{125z^5}{24}
\!-\!\frac{54 z^6}{5}
\!+\!\frac{16807 z^7}{720} +.. ~ ~
\ee
{The series converges at}\RU{Ряд сходится при}
$|z|\!<\! 1/\mathrm{e} \!\approx\! 0.367879~$.
{With 48 terms, at $|z|\!\le 0.2$, the truncated sum provides at least 16 correct decimal digits.}
%\RU{При учете 48 слагаемых, для $|z|\!\le 0.2$, такая суммя дает для $\mathrm{LambertW}(z)$ 
%по крайней мере 16 корректных значащих цифр.}
\vskip 2mm

{The expansion at the branch point can be written as follows:}
%\RU{Разложение вблизи точки ветвления можно записать так:}
\be \!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\!\! 
&\ds \mathrm{LambertW}\Big(\frac{-1}{\mathrm e} + \frac{t^2}{2\mathrm e}\Big)
\!=-1
+t 
-\frac{t^2}{3} 
+\frac{11 t^3}{72} 
-\frac{43 t^4}{540} 
+\frac{769 t^5}{17280} 
- \frac{221 t^6}{8505}  \!\!\!\!  \nonumber\\ 
\!\!\!\!\!& \ds \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 
+\frac{680863 t^7}{43545600} 
-\frac{1963 t^8}{204120} 
+\frac{226287557 t^9}{37623398400} 
-\frac{5776369 t^{10}}{1515591000} +.. \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\ee
% <!-- $\displaystyle  ~+~O(t^{11})$!-->
{The expansion can be used for approximation of LambertW while } %
%\RU{Такое разложение можно использовать для аппроксимации функции LambertW при}
$|t|\!<\!1$, 
{id est, while the argument of LambertW is close to}
%\RU{то есть когда аргумент функции LambertW близок к значению}
 $-\exp(-1)\!\approx\!  -0.367879~$. 
\vskip 2mm

{For large values of $|z|$, using notations $L\!=\ln(z)$ and $M\!=\!\ln^2(z)$  the expansion of $\mathrm{LambertW}(z)$ can be written as follows:}%
%\RU{Для больших значений $|z|$, обозначу $L\!=\ln(z)$ и $M\!=\!\ln(L)\!=\!\ln^2(z)$; тогда разложение для $\mathrm{LambertW}(z)$ можно записать так:}%

\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{LambertW}(z)~ = ~ ~ ~ ~ ~ L - M +\frac{M}{L}
+ ~ \frac{M(-2+M)}{2L^2} ~ ~ ~ ~\nonumber\\
+\, \frac{M(6-9M+2M^2)}{6L^3} ~~~~\nonumber\\
+\, \frac{M(-12+36M-22M^2+3M^3)}{12 L^4} ~~~~\nonumber\\
+\, \frac{M(60-300M+350M^2-125M^3+12M^4)}{60L^5}~~~~\nonumber\\
+\frac{M(-120+900M-1700M^2+1125M^3-274M^4+20 M^5)}{120L^6} ~~~~\nonumber\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+~ O\Big(\frac{M}{L}\Big)^7 ~ ~ ~
\label{LambertWLM}
\ee
{where the effective parameter of expansion happens to be }%EN
%\RU{При этом эффективный малый параметр разложения }%RU
%\RU{При этом малым параметрoм разложения является }%RU
$\varepsilon\!=\!\ln^2(z)/\ln(z)$; 
{at $|\varepsilon| \!\ll\! 1$, the asymptotics \rf{LambertWLM} can be used for the evaluation of LambertW.}%
%\RU{при $|\varepsilon| \!\ll\! 1$, разложение \rf{LambertWLM} дает аккуратную аппроксимацию функции LambertW.}%
%\vskip 2mm
Here, as usually, the upper superscript after the function indicates the number of iterations, and the upper superscript after the argument and the closing parenthesis indicates the power that is assumed to be evaluated after the evaluation of the function.
However, $\ln^{-1}(z)=\exp(z)$ should not be confused with $1/\ln(z)$, nor
$\ln^{2}(z)=\ln(\ln(z))$ should be confused with $\ln(z)^2$, and so on.%EN
%\RU{Как обычно, верхний индекс после имени функции указывает номер итерации, вычисление второй (то есть целой) итерации логарифма не вызывает сложностей, а верхний индекс после того, как указан аргумент и закрыта скобка, указывает степень, в которую следует возвести результат вычисления функции. Таким образом,  выражение $\ln^{-1}(z)=\exp(z)$ не следует путать с выражением $1/\ln(z)$,  а выражение $\ln^{2}(z)\!=\!\ln(\ln(z))$ не должно конфузироваться с выражением $\ln(z)^2$. }%RU
%Это соответствует общей системе обозначений, принятых в этой Книге.
\vskip 2mm

{The above asymptotics allows us to implement the efficient and precise algorithm for evaluation of LambertW. The C++ implementation is loaded as }%EN
%\RU{Предлагаемые выше разложения позволяют написать эффективный (быстрый и аккуратный) алгоритм для вычисления обратной функции для zex, то есть функции LambertW. Его имплементация на языке C++ загружена по урлю \\}%RU
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW.cin}.
\vskip 2mm

%\RU{Функция $\mathrm{LambertW}\!=\!\mathrm{zex}^{-1}$ требуется для вычисления итераций функции zex через её суперфукцию и абельфункцию. Суперфункция для передаточной функции zex рассмотрена в следующей секции.}

With functions zex and $\mathrm{LambertW}\!=\!\mathrm{zex}^{-1}$, the superfunction of zex and its abelfunction can be implemented.
The superfunction is considered in the next section.

\section{SuZex}

{Superfunction for the transfer function zex is solution $F$ of the transfer equation}
%\RU{Суперфункцией для передаточной функции zex по формуле \rf{zexDef} является решение $F$ 
%передаточного уравнения}
\be
F(z\!+\!1)=\mathrm{zex}\Big(F(z)\Big)
\eL{suzexFeq}
{For some integer $M>1$, search for the asymptotic expansion of the solution in the following form:}%
%\RU{Для некоторого целого числа $M\!>\!1$, ищу решение  $F$ в таком виде:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)=F_M(z)+ O\left(\frac{\ln(\pm z)^{M+1}}{z^{M+2}}\right) ~~~~~~~
\eL{SuZexFMa}
{where}%
%\RU{где}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_M(z)=  -\frac{1}{z} + \frac{\frac{1}{2}\ln(\pm z) }{ z^2} +
\frac{1}{z}
\sum_{m=2}^{M} \frac{P_m\Big(\ln(\pm z)\Big)}{z^m} ~
\eL{SuZexFM}

\be 
P_m(z)=\sum_{n=0}^{m} c_{m,n} (-z)^n ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~
\eL{SuZexP}

{The coefficients $c$ can be found by substitution of expansion \rf{SuZexFMa} into the transfer equation \rf{suzexFeq}. 
This can be done with the Mathematica code below:
%The %example of the primitive  Mathematica code that does this is shown below: }%
%\RU{Коэффициенты $c$ в формуле \rf{SuZexP} можно найти подстановкой разложения
%\rf{SuZexFMa} в передаточное уравнение \rf{suzexFeq}. 
%Для этого может использоваться следующая программа на языке Математика:}%

\vskip -12pt ~
\baselineskip 20pt
\begin{verbatim}
zex[z_] = z Exp[z];
Foo[z_] = -1/z + a Log[z]/z^2
Soo = Series[Foo[z+1]-zex[Foo[z]], {z,Infinity,3}]
Eoo = Coefficient[Soo,1/z^3]
Ao = Extract[Solve[Eoo==0, a], 1]
F2o[z_] = ReplaceAll[Foo[z], Ao]
F20[z_] = F2o[z] + (a Log[z]^2 + b Log[z] + c)/z^3
S2o = Series[F20[z+1] - zex[F20[z]], {z,Infinity,4}]
S20 = ReplaceAll[S2o, Log[1/z] -> -L]
E2o = Coefficient[S20, 1/z^4]
E22 = Coefficient[E2o, L^2]
A1 = Extract[Extract[Solve[E22==0, a], 1], 1]
E2A = ReplaceAll[E2o, A1]
E21 = Coefficient[E2A, L]
B1 = Extract[Extract[Solve[E21==0, b], 1], 1]
E2B = ReplaceAll[E2A, B1]
C1 = Extract[Extract[Solve[E2B==0, c], 1], 1]
F3o[z_] = ReplaceAll[F20[z], {A1, B1, C1}]
F30[z_] = F3o[z]+(a Log[z]^3+b Log[z]^2+c Log[z]+d)/z^4
S3o = Series[F30[z+1] - zex[F30[z]], {z, Infinity, 5}]
S30 = ReplaceAll[S3o, Log[1/z] -> -L]
E3o = Coefficient[S30, 1/z^5]
E33 = Coefficient[E3o, L^3]
A3 = Extract[Extract[Solve[E33==0, a], 1], 1]
E3a = ReplaceAll[E3o, A3]
E32 = Coefficient[E3a, L^2]
B3 = Extract[Extract[Solve[E32==0, b], 1], 1]
E3b = ReplaceAll[E3a, B3]
E31 = Coefficient[E3b, L]
C3 = Extract[Extract[Solve[E31==0, c], 1], 1]
E3c = ReplaceAll[E3b, C3]
D3 = Extract[Extract[Solve[E3c == 0, d], 1], 1]
F4o[z_] = ReplaceAll[F30[z], {A3, B3, C3, D3}]
F40[z_] = F4o[z] +
      (a Log[z]^4+b Log[z]^3+c Log[z]^2+d Log[z]+e)/z^5
S4o = Series[F40[z+1] - zex[F40[z]], {z, Infinity, 6}]
\end{verbatim}
\baselineskip 19pt
{Such a calculus leads to the following asymptotics:}%
%\RU{Такой рассчет дает следующую асиммптотику:}
\be \!\!\!\!\!\!
F(z)\!&\!=\!&  -\frac{1}{z}
+
\frac{\frac{1}{2}\ell }{ z^2}
+
\frac{\frac{-1}{4}\ell^2 +\frac{1}{4}\ell-\frac{1}{6}}{z^3_{\phantom{p}} } 
+ 
\frac{\frac{ 1}{8}\ell^3 +\frac{-5}{16}\ell^2+\frac{3}{8}\ell+\frac{-7}{48}  }{z^4_{\phantom{p}}} 
\nonumber \\ &&
+ ~
\frac{\frac{-1}{16}\ell^4+\frac{13}{48}\ell^3+\frac{-17}{32}\ell^2+\frac{23}{48}\ell+\frac{-707}{4320} }{z^5_{\phantom{p}}}
\nonumber \\ &&
+~
\frac{\frac{ 1}{32}\ell^5+\frac{-77}{384}\ell^4+\frac{37}{64}\ell^3+\frac{-83}{96}\ell^2+\frac{1121}{1728}\ell + \frac{-1637}{8640}  }{z^6_{\phantom{p}}} 
\nonumber \\ &&
+ ~
\frac{\frac{-1}{64}\ell^6+\frac{87}{640}\ell^5+\frac{-205}{384}\ell^4+\frac{443}{384}\ell^3+\frac{-1619}{1152}\ell^2+\frac{15427}{17280}\ell + \frac{-274133}{1209600}  }{z^6} \nonumber \\ &&
+ ~
O\left(\frac{\ell^7}{z^8}\right)
\ee
where $\ell=\ln(-z)$.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{l}{166px}
%\begin{wrapfigure}{l}{175px}
\begin{wrapfigure}{r}{186px}
\normalsize
\vskip -32pt
\sx{.33}{\begin{picture}(1202,1102)
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
\put(322,1090){\sx{4}{$y$}}
\put(292,372){\sx{4}{$\mathrm e$}}
\put(315, 62){\sx{4}{$-\!1/\mathrm e$}}
\put(325,998){\sx{4}{$9$}}
\put(325,898){\sx{4}{$8$}}
\put(325,798){\sx{4}{$7$}}
\put(325,698){\sx{4}{$6$}}
\put(325,598){\sx{4}{$5$}}
\put(325,498){\sx{4}{$4$}}
\put(325,398){\sx{4}{$3$}}
\put(325,298){\sx{4}{$2$}}
\put(325,198){\sx{4}{$1$}}
%\put(325,098){\sx{4}{$0$}}
\put(078,116){\sx{4}{$-\!2$}}
\put(178,116){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(304,116){\sx{4}{$0$}}
\put(404,116){\sx{4}{$1$}}
\put(490,116){\sx{4}{$x$}}
\put(12,188){\sx{4}{\rot{0}$y\!=\!\mathrm{SuZex}(x)$\ero}}
\put(358,162){\sx{4}{\rot{0}$y\!=\!x\mathrm{e}^x$\ero}}
\put(10,10){\ing{suzexplo}}
\put(560,8){\sx{3}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuZexPlot511T.jpg}\ero}}
\end{picture}}
\vskip -16pt
\caption{\large $~ ~y=\mathrm{SuZex}(x)~ ~  ~ ~ ~ ~ $ 
% по формуле \rf{SuZexDef} 
\label{suzexplo} }
\vskip 24pt
\end{wrapfigure}

%Для некоторого фиксированного числа $M$, суперфункцию $F$  можно выразить через её $M$ную асимптотику в таком виде:
for some fixed integer $M$, the superfunction $F$ can be expressed through its $M$th asymptotic as follows:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z) =\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{zex}^n\!\Big(F_M(z\!-\!n)\Big)
\label{SuZexFdef}
\ee
%Due to the asymptotic behaviour of function $F_M$, t
The resulting $F$ does not depend on the number $M$ of terms taken into account in the primary approximation. However, the rate of convergence of the limit for larger $M$ is higher.
%\RU{Поскольку $F_M$ является асимптотическим решением, получающаяся суперфункция $F$ не зависит от числа $M$ термов, принимаемых во внимание в первичном приближении.
%Разумеется, с увеличением числа $M$ скорость сходимости увеличивается.}%
\vskip 2mm

In order to simplify the comparison of different representations of the superfunction, it is convenient to  
define the misplaced function
%Чтобы упростить сравнения различных суперфункций, удобно определить ``сдвинутую'' функцию
%, а именно,
\be
\mathrm{SuZex}(z)=F(z_1\!+\!z)
\label{SuZexDef}
\ee
where $z_1\!\approx\! -1.1259817765745026$ is solution of equation $F(z_1)\!=\!1$.
%\RU{где $z_1\!\approx\! -1.1259817765745026$ есть решение уравнения $F(z_1)\!=\!1$. }%
This definition gives a way to evaluate the superfunction of zex.
%\RU{Такое определение дает способ вычисления суперфункции от передаточной функции zex. }%
{The complex double implementation in C++ is loaded as }%
%Имплементация такого алгоритма на  C++ загружена в
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuZex.cin}
\vskip 2mm

{For real values of argument, the explicit plot of function SuZex is shown in figure }%
%График функции  SuZex  показан на рисунке
%\RU{Для вещественных значений аргумента, график функции SuZex показан на рисунке }%
\ref{suzexplo} 
%with thick curve. For comparison, the thin curve shows function zex, this line is borrowed from figure \rf{exploit}.
%толстой кривой. Для сравнения, тонкая линия показывает функцию zex.
\JP{Эти курвы пересекаются в точке $(1,\mathrm e)$, 
а также вблизи точки $(1.4,6.2)$. Для вещественных значений аргумента, SuZexp есть положительная монотонно возрастающая функция.
На минус бесконечности она приближается к нулю, 
как предписывает асимптотика \rf{SuZexFM}. 
SuZex принимает значение единица в нуле,
и затем быстро растет при положительных значениях аргумента.}%JP
with thick line. For comparison, the thin line shows the zex function, id est, $y\!=\!z\exp(z)$. These curves cross at point $(1,\mathrm e)$ 
and in vicinity of point $(1.4,6.2)$.
\vskip 2mm

For real values of argument, SuZexp is positive monotonously growing function. At $-\infty$, it approaches zero, as the asymptotic representation
\rf{SuZexFM} prescribes. 

Then, the curve passes through point $(0,1)$, and then - through point $(1,\mathrm e)$.
At this point it grows a little bit slower, than function zex, but soon overdoes the zex, showing very fast growth; this growth is faster, than growth of any exponential.

\vskip 2mm

%\end{document}
\JP{
Комплексная карта функции SuZex показана на рисунке \ref{suzexmap}.
Ввиду быстрого роста этой функции при положительных значениях аргумента,
уровни не удалось провести в окрестности луча $x\!>\!1$; эта полоса осталась пустой.
%В правой части этого рисунка показана карта обратной функция, то есть функции $\mathrm{AuZex}=\mathrm{SuZex}^{-1}$.
%Функция AuZex, которая является абельфункцияй для передаточной функции zex, рассмотрена в следующей секции.
Функция SuZex голоморфна во всей комплексной плоскости. То есть это целая функция. В следующей секции, для неё строится обратная функция. }%
The same behaviour can be seen also at figure \ref{suzexmap}, that represents the complex map of function SuZex.
zex is entire function, id est, holomorphic in the whole complex plane. The inverse function, shown in 
%the right hand side of 
figure \ref{suzexmap}, has cut. This inverse function
is considered in the next section.

%\begin{wrapfigure}[3]{l}{600px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.2}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.34}{\begin{picture}(1252,1220)
\put(40,20){\ing{suzexmap}}
\put(18,1206){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18,1113){\sx{3}{$5$}}
\put(18,1013){\sx{3}{$4$}}
\put(18, 913){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 813){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 513){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 413){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-4$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-5$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-6$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-6$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-5$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(414, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(514, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(835, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(935, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(1035, -5){\sx{3}{$4$}}
\put(1135, -5){\sx{3}{$5$}}
\put(1227,-4){\sx{3}{$x$}}
\put(290,611){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(183,560){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(468,560){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(696,118){\sx{4}{\rot{83}$u\!=\!0$\ero}}
\put(980,236){\sx{4}{\rot{24}$u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(790, 44){\sx{4}{\rot{38}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuZexMapT.jpg}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuZexD1mapT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v =\mathrm{SuZex}(x\!+\!\mathrm i y)$
\label{suzexmap}}
\end{figure}
%\vskip 400pt
%\end{wrapfigure}
%~
%\rule{0pt}{250pt}
%~
%\vskip 2mm
%\begin{wrapfigure}[3]{l}{600px}

\begin{figure}[t]
%\sx{.12}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.2}{\begin{picture}(2052,2020)
\put(100,100){\ing{auzexmap2}}
\put(40,2048){\sx{8}{$y$}}
\put(40,1880){\sx{7}{$8$}}
\put(40,1680){\sx{7}{$6$}}
\put(40,1480){\sx{7}{$4$}}
\put(40,1280){\sx{7}{$2$}}
\put(40,1080){\sx{7}{$0$}}
\put(-12,880){\sx{7}{$-2$}}
\put(-12,680){\sx{7}{$-4$}}
\put(-12,480){\sx{7}{$-6$}}
\put(-12,280){\sx{7}{$-8$}}
\put(002, 28){\sx{7}{$-\!10$}}
\put(220, 28){\sx{7}{$-8$}}
\put(420, 28){\sx{7}{$-6$}}
\put(620, 28){\sx{7}{$-4$}}
\put(820, 28){\sx{7}{$-2$}}
\put(1088, 28){\sx{7}{$0$}}
\put(1288, 28){\sx{7}{$2$}}
\put(1488, 28){\sx{7}{$4$}}
\put(1688, 28){\sx{7}{$6$}}
\put(1888, 28){\sx{7}{$8$}}
\put(2058, 28){\sx{7}{$x$}}
\put(258,1088){\sx{8}{\bf cut}}
%
\put(500,1840){\sx{8}{\rot{0}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(500,0310){\sx{8}{\rot{0}$v\!=\!-0.6$\ero}}
\put(444,0510){\sx{8}{\rot{62}$u\!=\!2$\ero}}
%
\put(1610,1312){\sx{8}{\rot{42}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1770,1082){\sx{8}{$v\!=\!0$}}
\put(1650,0912){\sx{8}{\rot{80}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(1950,0802){\sx{8}{\rot{70}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(1650,0808){\sx{8}{\rot{-48}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuZexMapT.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuZexD1mapT.png}
\vskip -8pt
\caption{\large
%$u\!+\!\mathrm i v =\mathrm{SuZex}(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and
$u\!+\!\mathrm i v =\mathrm{AuZex}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{auzexmap}}
\end{figure}
%\vskip 400pt
%\end{wrapfigure}
%~
%\rule{0pt}{250pt}
%~
%\vskip 2mm

\section{AuZex}
\baselineskip 17.4pt
{Complex map of function $\mathrm{AuZex}=\mathrm{SuZex}^{-1}$, id est, abelfunction for the transferfunction zex, is shown in the right hand side of figure \ref{auzexmap}. This section describes properties of function AuZex. }%
%\RU{Комплексная карта функции $\mathrm{AuZex}=\mathrm{SuZex}^{-1}$, то есть абельфункции для передаточной функции $\mathrm{zex}(z)\!=\!z\,\exp(z)$, показана в правой части рисунка \ref{auzexmap}.  Эта секция описывает свойства функции AuZex.}%
\vskip 2mm

The asymptotic expansion for the abelfunction for the transfer function AuZex can be obtained inverting the expansion of function SuZex, described in the previous section. However, one may consider as well the Abel equation for the abelfunction $G$ :
%RU{Асимптотическое разложение функции AuZex можно получить, обращая разложение функции SuZex, рассмотренное в предыдущей секции. Однако тот же результат можно получить проще, рассмотрев уравнение Абеля %для абельфункции  $G$ :
}%
\be
G(\mathrm{zex}(z))=G(z)+1
\eL{AuZexGeq}

{The asymptotics of solution $G=\mathrm{AuZex}$ can be expressed with }%
%\RU{Асимптотика ршения $G=\mathrm{AuZex}$ может быть записана так: }%
\be
G(z) \approx \frac{-1}{z}+\frac{1}{2}\ln(z)+\sum_{n=0}^N ~ b_n z^n +..
\ee
{Coefficients $b_n$ for $n>1$ can be found substituting this expansion into the Abel equation \rf{AuZexGeq}.
This asymptotics provides the precise approximation for small values of $z$; at large values, the inverse of the Abel equation should be applied.
For some fixed $M$, let }%
%\RU{Коэффициенты  $b_n$ для $n>1$ можно найти, подставляя такое разложение в уравнение Аблея \rf{AuZexGeq}.
%Такая асимптотика дает аккуратные значения функции для малых $z$; при больших значениях аргумента можно использовать уравнение Абеля, чтобы выразить значение функции через функцию от меньшего значения аргумента.
%Для некоторого фиксированного натурального числа $M$, пусть }%
\be
G_{M}(z) \approx \frac{-1}{z}+\frac{1}{2}\ln(z)+\sum_{m=0}^M ~ b_n z^n
\eL{zexGas}
and let 
%и пусть 
\be
\mathrm{AuZex}(z) 
=\lim_{n\rightarrow \infty} F_M\Big(\mathrm{zex}^{-n}(z)\Big)+n
\nonumber \\
= \lim_{n\rightarrow \infty} F_M\Big(\mathrm{LambertW}^{\, n}(z)\Big)+n
\ee
Coefficient $C_0$ is chosen in such a way, that $\mathrm{AuZex}(1)=0$; then, the relation 
%Коэффициент  $b_0$ выбирается так, чтобы $\mathrm{AuZex}(1)=0$; тогда соотношение
\be
\mathrm{SuZex}\Big(\mathrm{AuZex}(z)\Big)=z
\eL{SuAuZexz}
%выполняется в широкой области значений $z$,  за исключением нуля и отрицательной части вещественной оси.
%\vskip 2mm
holds in wide range of values of $z$, except the negative part of the real axis.
With Mathematica software, the coefficients $b$ of the asymptotic expansion \rf{zexGas} can be calculated by the code below.
%Коэффициенты $b$ разложения \rf{zexGas} можно вычислять с помощью копипастнутой ниже программы на языке Mathematica:
{\small \begin{verbatim}
zex[z_] = z Exp[z];
S[k_, L_] = Sum[a[k, m] L^m, {m, 0, k}]
F[K_, z_, L_] = Sum[S[k, L]/z^(k + 1), {k, 0, K}]
Series[zex[F[4,z,L]] - F[4, z+1,L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,3}]
a[0,0] = -1; 
Series[zex[F[4, z, L]] - F[4, z+1, L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,3}]
a[1, 1] = 1/2; a[1, 0] = 0; 
Simplify[Series[zex[F[5,z,L]] - F[5,z+1, L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,4}]]

n = 2; 
s[n]=Series[zex[F[n+3,z,L]]-F[n+3,z+1,L+Log[1+1/z]],{z,Infinity,n+2}];
For[k = 0, k<=n,k++,m=n-k; 
a[n,m] = ReplaceAll[a[n, m],So1[Coefficient[s[n] L,L*L^m] == 0, a[n,m]]]; 
Print[n, Space, k, Space, m, Space, a[n, m] ] ]

n = 3;
s[n]=Series[zex[F[n+3,z,L]]-F[n+3,z+1,L+Log[1+1/z]],{z,Infinity,n+2}];
For[k = 0, k<=n,k++,m=n-k; 
a[n,m] = ReplaceAll[a[n, m],So1[Coefficient[s[n] L,L*L^m] == 0, a[n,m]]]; 
Print[n, Space, k, Space, m, Space, a[n, m] ] ]
\end{verbatim}} %Для нагладности, в этой програме нет цикла
%и так далее для б\'oльших значений 
and so on for higher 
$n$.
%The readers are cordially invited to practice with the code and optimise it, in order to get many coefficients at once automatically.
%This provides the good skills and tools for the asymptotical analysis and other non-trivial methods of scientific research.
%\vskip 2mm
The first 9 coefficients are copypasted below:
\vskip 2mm

%Первые 9 коэффициентов разложения 
%\rf{zexGas}
%предложены 
%в следующей 
%собраны в таблице: 

\be
\begin{array}{c|ccl}
n &  b_n & &{\rm ~approximation ~ of~ ~} b_n\\ \hline 
1 & -1/6 &\approx&-0.1666666666666666667\\
2 & 1/16 &\approx& ~ ~ \, 0.0625\\
3 & -19/540&\approx& -0.0351851851851851852 \\
4 & 1/48&\approx& ~ ~ \, 0.0208333333333333333 \\
5 & -41/4200&\approx& -0.0097619047619047619\\
6 & 37/103680&\approx& ~ ~ \, 0.00035686728395061728\\
7 & 18349/3175200&\approx&~ ~ \, 0.005778848576467624  \\
8 & -443/80640 &\approx&  -0.005493551587301587\\
9 &  55721/21555072&\approx&   -0.002585052835824441
\end{array}
\label{bArray}
\ee

The readers are invited to plot maps of ranges of validity of relations
%Читатели приглашашаются проверить, что асимптотически, а также и численно, выполняется соотношение
\be
\mathrm{SuZex}(\mathrm{AuZex}(z))&=&z \\
\mathrm{AuZex}(\mathrm{SuZex}(z))&=&z 
\ee
These maps can be considered as confirmation, verification of the deduction above.
\vskip 2mm

%The readers are invited also to use the same method (and similar Mathematica code) in order to construct superfunctions and abelfunctions for other transfer functions with unity derivative at the fixed point.

\section{Iterates of zex}
%\section{Итерации функции zex}

With functions SuZex and AuZex, described in the previous sections, the iterates of function zex can be expressed as follows:
%С функциями SuZex и AuZex, описанными в предыдущих секциях, итерации функции zex выражаются так:
\be
\mathrm{zex}^n(z)=\mathrm{SuZex}\Big(n+\mathrm{AuZex}(z)\Big)
\eL{zexn}
As usually, the number $n$ of iterate has no need to be integer; it can be real or even complex.
%Как обычно, номер $n$ итерации не имеет надобности быть целым; это число может быть даже комплексным.
\vskip 2mm

Iterates $y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ versus $x$ for different $n$ are shown in figure \ref{zexiteplo}.
The integer iterates are shown with thick lines.
%Итерации $y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ как функции $x$ для некоторых вещественных значений $n$ показаны на рисунке \ref{zexiteplo}. Курвы для целых значений $n$ выделены толстыми линиями.
\vskip 2mm

The readers are invited to check the relation
%Читателям предлагается проверить соотношение
\be
\mathrm{zex}^n\Big(\mathrm{zex}^m(z)\Big)=
\mathrm{zex}^{m+n}(z)
\eL{zexiteran}
%хотя бы для нескольких значений чисел $m$ и $n$. Это можно сделать с помощью асимптотического анализа
%(особенно если у читателя инсталлирована какая-нибудь Математика или Клен). Кроме того,
%это можно сделать численно, причем даже для комплексных значений $m$, $n$ и $z$, и охарактеризовать область применимости соотношения
%\rf{zexiteran}.
%Tакое соотношение должно иметь место по крайней мере в некоторой окрестности вещественных значений аргумента и параметров.
and describe the range of validty in simple terms.
At least, this relation should hold in some vicinity of the positive part of the real axis for values of the parameters.
\vskip 2mm

Iterates of function zex are shown in figure \ref{zexiteplo}. They look similar to iterates of other fast-growing functions with real fixed point.
The iteration keeps the unity derivative in this point, so, all the curves in figure \ref{zexiteplo} approach the fixed point (id est, to the origin of coordinates) with unity derivative. Id est, with angle 45 degrees to the abscisa axis.
This property takes place also for other transfer functions with unity derivative at the fixed point.
One of such functions is considered in the next chapter.
%Итерации функции zex  выглядят похоже на итерации других быстро растущих функций с вещественной стационарной точкой. Итерирование сохраняет единичную производную в этой точке, поэтому все кривые на рисунке \ref{zexiteplo} подходят к стационарной точке (то есть к началу координат) под углом 45 градусов к оси абсцисс. Такое свойство сохраняется и для
%других передаточных функций с единичной производной в стационарной точке.
%Ещё одна такая передаточной функции рассмотрена в следующей главе.

\begin{figure}[t]
%\hskip 62pt
%\sx{.25}{\begin{picture}(1202,1202) 
\vskip 8pt
\sx{.35}{\begin{picture}(1208,1208) 
%\put(10,10){\ing{IterPowPlot}} 
%\put(10,10){\ing{IterEq2plot}} 
\put(0,0){\ing{zexIteplo}} 
\put(11,1184){\sx{4.4}{$y$}} 
\put(04,1090){\sx{4}{$11$}} 
\put(04,990){\sx{4}{$10$}} 
\put(11,890){\sx{4}{$9$}} 
\put(11,790){\sx{4}{$8$}} 
\put(11,690){\sx{4}{$7$}} 
\put(11,590){\sx{4}{$6$}} 
\put(11,490){\sx{4}{$5$}} 
\put(11,390){\sx{4}{$4$}} 
\put(11,290){\sx{4}{$3$}} 
\put(11,190){\sx{4}{$2$}} 
\put(11,090){\sx{4}{$1$}} 
\put(91,6){\sx{4}{$1$}} 
\put(191,6){\sx{4}{$2$}} 
\put(291,6){\sx{4}{$3$}} 
\put(391,6){\sx{4}{$4$}} 
\put(492,6){\sx{4}{$5$}} 
\put(592,6){\sx{4}{$6$}} 
\put(693,6){\sx{4}{$7$}} 
\put(794,6){\sx{4}{$8$}} 
\put(894,6){\sx{4}{$9$}} 
\put(982,6){\sx{4}{$10$}} 
\put(1082,6){\sx{4}{$11$}} 
\put(1180,6){\sx{4.4}{$x$}} 
\put(96,1058){\sx{5}{\rot{88}$n\!=\!2$\ero}} 
\put(196,1058){\sx{5}{\rot{88}$n\!=\!1$\ero}} 
\put(168,706){\sx{4.5}{\rot{86}$y\!=\!\mathrm{zex}(x)$\ero}} 
\put(512,1030){\sx{5}{\rot{72}$n\!=\!0.3$\ero}} 
\put(629,1032){\sx{5}{\rot{64}$n\!=\!0.2$\ero}} 
\put(804,1037){\sx{5}{\rot{56}$n\!=\!0.1$\ero}} 
\put(1072,1052){\sx{5}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}} 
\put(772,752){\sx{5}{\rot{44}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(1028,762){\sx{5}{\rot{32}$n\!=\!-0.1$\ero}} 
\put(1014,590){\sx{5}{\rot{23}$n\!=\!-0.2$\ero}} 
\put(1006,470){\sx{5}{\rot{17}$n\!=\!-0.3$\ero}} 
\put(510,128){\sx{4.3}{\rot{3}$y\!=\!\mathrm{LambertW}(x)$\ero}} 
\put(1010,164){\sx{5}{\rot{2}$n\!=\!-1$\ero}} 
\put(1010,65){\sx{5}{\rot{0}$n\!=\!-2$\ero}} 
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexIteT.jpg}
\vskip -2pt
%\caption{$y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ по формуле  \rf{zexn} для различных $n$ \iL{zexiteplo}}
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ by  \rf{zexn} versus $x$ for various $n$ \iL{zexiteplo}}
\end{figure}
\vskip 2mm

I hope, the Readers can plot by themselves the complex maps of non-integer iterates of function zex.
The codes supplied to the figures above have the complex double implementation of 
SuZex and AuZex.

\chapter{~ Sin, super sin and iterates of sin}
%\chapter{~ Суперсинус и итерации синуса}
\baselineskip 18pt

Not all exotic iterations can be constructed with formulas of the previous sections.
In the previous two sections, the transfer functions $T$ with fixed points $L$ are considered such that 
$T(L)\!=\!L$, $T'(L)\!=\!1$, $T''(L)\!>\!0$.
That deduction fails, if $T''(L)\!=\!0$. One of examples of such a transfer function is considered here.
\vskip 5pt

This chapter deals with transfer function 
%В этой главе рассмотрена передаточная функция 
$T\!=\!\sin$. 
This function is often used in various applications, so, I think, it deserves a special chapter.
%Это хороший пример для иллюстрации нетривиальных итераций; потому как иногда коллега, когда ему предлагают привести пример элементарной функции, долго думает, а потом говорит: ``Ну,.. скажем, синус.''
%This is good example to illustrate the construction of non-trivial iterate. 
\vskip 5pt

Iterates of sin had been considered since century 19, 
but the rough approximations had been suggested only in 2011 \cite{kur,car}. Then in 2014, the efficient approximation had been reported in the 
Far East Journal of Mathematical Science \cite{susin}. Below, I retell the key ideas of that publication.
\vskip 5pt

%Итерации синуса рассматриваются давно, 
%с 19 века,
%но лишь в 2011 году были предложены простые (хотя и грубые) аппроксимации для таких итераций \cite{kur,car}. Затем, в 2014 году,  
%Then in 2014, the efficient approximation had been reported in the 
%вычисление нецелых итераций синуса доложено в журнале 
%Far East Journal of Mathematical Science \cite{susin}. Ниже пересказываются ключевые моменты этой публикации.
%\vskip 3mm

%Я надеюсь, что Читатель %имеет доступ к компьютеру и 
%может сам построить комплексные карты синуса и арксинуса;
%%арксинус в этой главе тоже понадобится. Я рекомендую 
%Читателю
%проделать это упражнение, ибо без таких упражнений чтение 
%ололонаучной литературы 
%превращается в пустую забаву. Полюбовавшись на карты синуса и арксинуса, можно переходить к чтению следующей секции, в которой строится суперсинус, показанный на рисунке \ref{susinplot}.
I hope, the Reader can plot the complex maps of sin and arcsin. I recommend that Reader does this as an exercise. And also, the explicit plots of these functions. After to watch the pictures mentioned, one can understand the sense of superfunction of sin, I call it SuSin. 
SuSun is solution of the transfer equation, I repeat is once again,
\vskip .1pt
\hskip 44pt
$\sin\!\big(\mathrm{SuSin}(z)\big)\!=\!\mathrm{SuSin}(z\!+\!1)$
\vskip .1pt
Explicit plot of function SuSin of real argument is shown in figure  \ref{susinplot}. In the next section, I describe the construction of this function.

\begin{figure}[b]
%\sx{.48}{\begin{picture}(1016,204)
\sx{.412}{\begin{picture}(1016,208)
\put(20,1){\includegraphics{susinplot}}
\put(2,197){\sx{2.4}{$y$}}
\put(-1,151){\sx{2.8}{$\frac{\pi}{2}$}}
\put(2,93){\sx{2.4}{$1$}}
\put(2,-5){\sx{2.4}{$0$}}
\put(15,-22){\sx{2.4}{$0$}}
\put(115,-22){\sx{2.4}{$1$}}
\put(215,-22){\sx{2.4}{$2$}}
\put(315,-22){\sx{2.4}{$3$}}
\put(415,-22){\sx{2.4}{$4$}}
\put(516,-22){\sx{2.4}{$5$}}
\put(616,-22){\sx{2.4}{$6$}}
\put(717,-22){\sx{2.4}{$7$}}
\put(817,-22){\sx{2.4}{$8$}}
\put(917,-22){\sx{2.4}{$9$}}
\put(1010,-22){\sx{2.5}{$x$}}
%\put(45,134){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$}}
\put(140,166){\sx{2.8}{$y\!=\! \sqrt{3/x}$}}
\put(135,56){\sx{2.8}{$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$}}
\end{picture}}
\vskip 6pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Susinplot.jpg}
\vskip -2pt
%\caption{$y=\mathrm{SuSin}(x)$ by \rf{susindef} versus $x$, thick curve, and its asymptotic, thin curve \iL{susinplot} }
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$ 
%по формуле \rf{susindef} и асимптотика 
by \rf{susindef} and its asymptotics
\rf{susin1o}  \iL{susinplot} }
\end{figure}

%The key points from that publications are repeated below.

%I hope, everybody knows what is sin. Since the orthodoxal christian religion gradually becomes the key discipline at Russian schools, 
%sin is supposed to be considered both, at the classes of religion and those of mathematics. So, the Russian-speaking readers are expected to be pretty familiar with all kind of sins. I suggest that the readers plot the graphic of function sin and its complex map by themselves.

\section{Super sin}
\baselineskip 21pt
%\section{Суперсинус SuSin}

Superfunction of sin, called SuSin, is shown in figure 
%Суперфункция синуса, я назвал её SuSin, показана на рисунке 
\ref{susinplot}. It is solution of the transfer equation with sin as transfer function; I repeat it once again:
%Здесь я рассказываю, как строится эта функция. 
%Here I describe the construction of this function. 
%\vskip 2mm
%Для суперфукции $F$ oт синуса, передаточное уравнение 
%таково:
%записывается так:
\be
F(z\!+\!1)=\sin\Big(F(z)\Big)
\eL{Fz1sinFz}
In this section, the special solution $F=\mathrm {SuSin}$ is constructed with the following properties:
%Ниже строится решение $F=\mathrm {SuSin}$ с такими свойствами:
\be
\mathrm{SuSun}(0)&=&\pi/2   ~ ~ ~ ~ ~ \iL{susinp2}\\
\mathrm{SuSun}(z)&=&\sqrt{\frac{3}{z}}\left(1+O\!\left(\frac{\ln(z)}{z}\right)\right)
\eL{susin1o}

The leasing term of the right hand side of \rf{susin1o} can be guessed replacing $F(z\!+\!1)$ to $F(z)+F^\prime(z)$ in the left hand side of equation \rf{Fz1sinFz} and solving the resulting differential equation. However, there is certain residual at the substitution of such an approximation into \rf{Fz1sinFz}; and this residual indicates the form of the next term in expansion \rf{susin1o}. Expression $\ds \frac{\ln(z)}{z}$ appears as the effective small parameter of the expansion. The residual at the substitution of representation \rf{susin1o} into the transfer equation
\rf{Fz1sinFz} helps to guess a form of the higher term of the expansion, and so on. After few such steps, I guess and verify the following form of the  
%Лидирующий терм в правой части асимптотики \rf{susin1o} можно угадать, заменяя в левой части уравнения \rf{Fz1sinFz} выражение
%$F(z\!+\!1)$ на $F(z)\!+\!F^\prime(z)$ .
%Получающееся при этом дифференциальное уравнение легко решается и дает $F(z)\!\approx\!\sqrt{3/z}$.
%При подстановке такого эвристического решения в исходное передаточное уравнение \rf{Fz1sinFz}, получается невязка. Эта невязка позволяет угадать следующий терм разложения  \rf{susin1o}. Тогда Дьявол-искуситель утрет свою пасть и скажет: ``Ну вот, ело сделано. Можете преспокойно повторить его и продолжать в том же духе!''.. 
%\footnote{\url{http://www.dolit.net/author/7649/ebook/25941/mann_tomas/izbrannik/read/3} Томас Манн. Божий избранник. Собрание сочинений. Том 6. Государственное издательство художественной литературы; Москва; 1960.}
%В результате получается следующее асимптотическое разложение для суперфункции $F$:
%This leads to the following asymptotic 
approximation for the superfunction $F$ of sin:
\be
F(z)=F_M(z)+O\left( \frac{\ln(z)^{M+1}}{z^{M+3/2}} \right)
~ ~ ~ \eL{susinasymf}
where
%где
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_M(z)=\sqrt{\frac{3}{z}}\left(1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}+\sum_{m=2}^M P_m(\ln(z)) \, z^{-m} 
\right)
\eL{susinFM}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P_M(z)=\sum_{n=0}^m a_{m,n} (-z)^m ~~~~~~~~~
\eL{susina}
and coefficients $a$ are constants. These constants can be calculated with the Mathematica code below:
%и коэффициенты $a$ суть константы. Эти константы можно вычислить с помощью программы на языке Mathematica:
\baselineskip  19pt
{\small \baselineskip 15pt
\begin{verbatim}
P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, m}]
F[z_] = Sqrt[3/z] ( 1 + Sum[P[m, Log[z]]/z^m, {m, 1, M}])
M = 9; a[1, 0] = 0;
F1x = F[1 + 1/x];
Ftx = Sin[F[1/x]];
s[1] = Series[(F1x - Ftx)/Sqrt[x], {x, 0, 2}]
t[1] = Extract[Solve [Coefficient[s[1], x^2] == 0, {a[1, 1]}], 1]
A[1, 1] = ReplaceAll[a[1, 1], t[1]]
su[1] = t[1]

m=2;
s[m]=Simplify[ReplaceAll[Series[(F1x-Ftx)/Sqrt[3 x],{x,0,m+1}], su[m-1]]]
t[m] = Simplify[Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m+1)]]
u[m] = Simplify[Collect[t[m], L]]
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n+1)] == 0, {n, 0, m}]
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}]
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1]
su[m] = Join[su[m - 1], ad[m]]

m=3;
s[m]=Simplify[ReplaceAll[Series[(F1x-Ftx)/Sqrt[3 x],{x,0,m+1}],su[m-1]]]
t[m] = Simplify[Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m+1)]]
u[m] = Simplify[Collect[t[m], L]]
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n+1)] == 0, {n, 0, m}]
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}]
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1]
su[m] = Join[su[m - 1], ad[m]]
. . .
\end{verbatim}
}
%Получающиеся 
%Значения коэффициентов $a$ показаны в таблице   \ref{tablesusin}.
and so on. The resulting coefficients are shown in table \ref{tablesusin}.

\begin{table}[b]
\caption{Table of coefficients $a$ in equation \rf{susina}   \label{tablesusin}}
%\sx{.83}{$\!\begin{array}{ccccccccc}
\hskip -4pt
$\begin{array}{ccccccccc}
%a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3} & a_{0,4} & a_{0,5} & a_{0,6} & a_{0,7} & a_{0,8} \\
a_{1,0} & \frac{3}{10} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} &  a_{1,5} & a_{1,6} & a_{1,7} & %a_{1,8} 
\rule{0pt}{13pt}\\
\frac{79}{700} & \frac{9}{50} & \frac{27}{200} & a_{2,3} & a_{2,4} & a_{2,5} & a_{2,6} & a_{2,7}
% & a_{2,8}
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{411}{3500} & \frac{1941}{7000} & \frac{27}{125} & \frac{27}{400} & a_{3,4} & a_{3,5} & a_{3,6} & a_{3,7}
%  & a_{3,8}  
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{1606257}{10780000} & \frac{7227}{17500} & \frac{1683}{4000} & \frac{1917}{10000} & \frac{567}{16000} & a_{4,5} & a_{4,6} & a_{4,7}
% &  a_{4,8}
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{140345627}{700700000} & \frac{70079931}{107800000}  & \frac{566973}{700000} & \frac{98739}{200000} & \frac{7533}{50000} & \frac{15309}{800000} & a_{5,6} &
a_{5,7}%& a_{5,8}
 \rule{0pt}{14pt}\\
\frac{137678711441}{490490000000} & \frac{7364523}{7007000} & \frac{305491257}{196000000} & \frac{4155111}{3500000} & \frac{796311}{1600000} & \frac{2218347}{20000000} & \frac{168399}{16000000} &  a_{6,7}
% & a_{6,8}  
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{25317035192599}{62537475000000} \!\!&
\frac{8462569406199}{4904900000000} \!\!&
\frac{32174780481}{10780000000} \!\!&
\frac{5367503637}{1960000000} \!\!&
\frac{407711313}{280000000} \!\!&
\frac{181900809}{400000000} \!\!&
\frac{1960281}{25000000} \!\!&
\frac{938223}{160000000}
% & a_{7,8} 
\rule{0pt}{14pt}
\JP{
\\
\frac{20390161579066727223}{34157135012000000000} &
\frac{1191102095494119}{416916500000000} &
\frac{111297984941043}{19619600000000} &
\frac{164937331809}{26950000000} &
\frac{310033164249}{78400000000} &
\frac{11083463037}{7000000000} &
\frac{3104886087}{8000000000} &
\frac{301983147}{5600000000} &
\frac{8444007}{2560000000}  \rule{0pt}{14pt}
}
\end{array}$
\end{table}
\vskip 2mm

%Теперь для синуса можно определить суперфункцию $F$ как предел
For some positive integer $M$, define function $F$ with
\be
F=\lim_{k \rightarrow \infty} \arcsin^k(F_M(z+k))
\eL{SuSinF}
%для некоторого фиксированного числа $M$ термов в разложении 
%\rf{susinFM}.
%While function $F$ by 
%equation 
%\rf{SuSinF} is asymptotic solution of the transfer equation, 
The resulting $F$ does not depend on the number $M$ of terms taken into account in the expansion \rf{susinFM}. However, the larger, $M$, the faster is convergence of the limit in \rf{SuSinF}. This gives efficient algorithm for evaluation of superfunction $F$ for the transfer function $\sin$.
%При $M\!>\!2$, функция $F$ по формуле \rf{SuSinF} 
%является асимптотическим решением передаточного уравнения 
%\rf{Fz1sinFz}, и %поэтому 
%предел в формуле \rf{SuSinF} от $M$ уже не зависит.  Однако от $M$
%Разумеется от этого числа, то есть количества термов в уравнении \ref{susinFM}, 
%зависит скорость сходимости при 
%численной 
%имплементации представления 
%\rf{SuSinF}. 
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{L}{344pt}
%\sx{.17}{ \begin{picture}(2016,2044)
%\begin{wrapfigure}{L}{314pt}
\begin{figure}[t]
%\vskip -16pt
%\sx{.15}{ \begin{picture}(2016,2044)
\sx{.2}{ \begin{picture}(2016,2044)
\put(48,40){\includegraphics{susinmap}}
\put(4,2018){\sx{5.4}{$y$}}
\put(4,1824){\sx{5}{$8$}}
\put(4,1624){\sx{5}{$6$}}
\put(4,1424){\sx{5}{$4$}}
\put(4,1224){\sx{5}{$2$}}
\put(4,1024){\sx{5}{$0$}}
\put(-28,824){\sx{5}{$-2$}}
\put(-28,624){\sx{5}{$-4$}}
\put(-28,424){\sx{5}{$-6$}}
\put(-28,224){\sx{5}{$-8$}}
\put(-8,-9){\sx{5}{$-10$}}
\put(200,-8){\sx{5}{$-8$}}
\put(400,-8){\sx{5}{$-6$}}
\put(600,-8){\sx{5}{$-4$}}
\put(800,-8){\sx{5}{$-2$}}
\put(1040,-8){\sx{5}{$0$}}
\put(1241,-8){\sx{5}{$2$}}
\put(1442,-8){\sx{5}{$4$}}
\put(1643,-8){\sx{5}{$6$}}
\put(1843,-8){\sx{5}{$8$}}
\put(2028,-8){\sx{5.2}{$x$}}
\put(1436,930){\sx{7}{\rot{89}$u\!=\!0.7$\ero}}
\put(1640,930){\sx{7}{\rot{89}$u\!=\!0.6$\ero}}
\put(1980,930){\sx{7}{\rot{89}$u\!=\!0.5$\ero}}
\put(1520,1660){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(1790,1406){\sx{7}{\rot{36}$v\!=\!-0.1$\ero}}
\put(250,1030){\sx{5.2}{\bf cut}}
\put(928,1148){\sx{7}{\rot{0.}$u\!=\!1$\ero}}
\put(668,1080){\sx{7}{\rot{0.}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(688,960){\sx{7}{\rot{0.}$v\!=\!1$\ero}}
\put(1680,1024){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(1740,664){\sx{7}{\rot{-35}$v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1478,418){\sx{7}{\rot{-68}$v\!=\!0.2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Susinmap.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{SuSin}(x\!+\!\mathrm i y)$ by \rf{susindef} \label{susinmap} }
\end{figure}
%In order to get
For superfunction, declared in the beginning of the section, id est, satisfying equation \rf{susinp2}, define
%Для суперфункции, %декларированной в начале этой секции, то есть 
%удовлетворяющей 
%не только передаточному уравнению \rf{Fz1sinFz} и асимптотическому условию \rf{susin1o}, но 
%ещё и дополнительному условию \rf{susinp2}, требуется обеспечить определенное значение этой функции в нуле, или, что проще, в единице. Поэтому я кладу
\be\!\!\!
\mathrm{SuSin}(z)=F(z\!+\!x_1)
%\eL{susindef}
\label{susindef} \ee
where $x_1\!\approx\! 1.4304553465288~$ is solution of equation 
%где $x_1\!\approx\! 1.4304553465288~$ есть решение уравнения
\be \!\!\!\!
F(1\!+\!x_1)=1
%\eL{susinx1}
\label{susinx1}\ee
%При этом требуемое значение в нуле получается автоматически,
% из-за передаточного уравнения, поскольку %так как
Note that the required value at zero is achieved, because
$\mathrm{SuSin}(0)\!=\!\arcsin(\mathrm{SuSin}(1))\!=\!\arcsin(1)\!=\!\pi/2$.

\vskip 2mm
%График функции SuSin по формуле \rf{susindef} показан на рисунке 
%\ref{susinplot}. Комплексная карта этой функции покзана на рисунке \ref{susinmap}.
%\vskip 2mm
Function SuSin is shown as explicit plot and as complex map in figures \ref{susinplot} and \ref{susinmap}.
%Complex map of function SuSin is shown in figure \ref{susinmap}
%Equation \rf{susinx1}
%automatically
%provides  $\mathrm{SuSin}(1)\!=\!1$ and $\mathrm{SuSin}(0)\!=\!\arcsin(1)\!=\!\pi/2$.
%Then,  $\mathrm{SuSin}(n) = \sin^n(\pi/2)$ 
%can be interpreted as the result of $n$ applications of function sin to initial argument 
%$\pi/2$, giving sense to this expression for non-integer and even non-real (complex) number $n$ of iteration.
%Plot of the function SuSin is shown in figure 
%\ref{susinplot}.
%\vskip 2mm
Function SuSin has sqrt-type singularity as zero, and it has cut line along the negative part of the real axis. In the rest of the complex plane, SuSin is holomorphic.
At infinity,  SuSin slowly decays to zero, according to its asymptotic \rf{susin1o}. This asymptotic is shown in figure \ref{susinplot} with thin line. 
%Для вещественного аргумента, функция SuSin определена на положительной части вещественной оси, имеет значение 
%$\pi/2$ и минус бесконечную производную в нуле. Затем, эта функция нудно, медленно и монотонно убывает до нуля на плюс бесконечности. В комплексной плоскости функция SuSin также убывает на бесконечности, но имеет ещё и разрез области голоморфизма вдоль отрицательной части вещественной оси. На рисунке  \ref{susinmap} этот разрез обозначен обозначен символом {\bf cut}.
\vskip 2mm

%Синус отличается от других передаточных функций, рассмотренных в этой Книге,  тем, что эта функция в стационарной точке растет медленее своего аргумента. Соответственно, суперфунция  SuSin (рис. \ref{susinplot}) не возрастает, а убывает. Через первичное представление суперсинуса, нетрудно рассчитать его свойства, и, в частности, асимптотическое разложение в нуле.
%Я надеюсь, что при надобности, читатели без особых проблем могут вычислить коэффициенты такого разложения.
%Такое разложение может быть получено обращением разложения 
%%\footnote{такое разложение использовано в генераторе карты
%%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausintay40t50.jpg}}
%в точке $\pi/2$ функции AuSin, рассмотренной в следующей секции.
%\vskip 2mm

In this Book, SuSin is first example of superfunction, for which the transfer function shows growth slower than linear. In this case, for positive values of the argument (id est, larger than the fixed point), the superfunction is monotonically decreasing, as it is seen in Figure \ref{susinplot}. One could expect the inverse function (Abel sin) to decrease, at least for some moderate positive values of the argument. This inverse function is considered in the next section.

%\begin{wrapfigure}[28]{r}{180px}

%\section{Абельсинус AuSin}
\section{AuSin}
\baselineskip 18.4pt

%\begin{wrapfigure}[16]{r}{172px}
\begin{wrapfigure}{r}{214px}
\normalsize
\vskip -46pt
\sx{.6}{\begin{picture}(320,431)
%\sx{.6}{\begin{picture}(320,431)
\put(14,16){\includegraphics{ausinplo}}
\put(1,410){\sx{2.2}{$y$}}
%\put(-1,151){\sx{2.8}{$\frac{\pi}{2}$}}
\put(0,308){\sx{2.2}{$3$}}
\put(0,208){\sx{2.2}{$2$}}
\put(0,108){\sx{2.2}{$1$}}
\put(0,8){\sx{2.2}{$0$}}
\put(10,-4){\sx{2.2}{$0$}}
\put(110,-4){\sx{2.2}{$1$}}
\put(151,-4){\sx{2.1}{$\pi/2$}}
\put(210,-4){\sx{2.2}{$2$}}
\put(320,-3){\sx{2.2}{$x$}}
%\put(140,166){\sx{2.8}{$y\!=\! \sqrt{3/x}$}}
%\put(135,56){\sx{2.8}{$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$}}
\put(348,-29){\sx{1.4}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinplot1.jpg}\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{\large
$y\!=\!\mathrm{AuSin}(x)$ \label{ausinplot}}
\vskip 12pt
\end{wrapfigure}

%\section{Abel sin}
Here, the inverse function of super sin is called AuSin; its explicit plot is shown in figure \rf{ausinplot}. In this chapter, I describe evaluation of this function.
\vskip 2mm

For the sinusoidal transfer function, for superfunction $F$, the Abel function $G\!=\!F^{-1}$ satisfies the Abel equation
%Обратная функция от суперсинуса есть абельсинус, пусть она называется $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$. 
%График функции показан AuSin показан на рисунке \ref{ausinplot}. Эта секция рассказывает, как строится такая функция.
%\vskip 2mm
%Функция  $G\!=\!\mathrm{AuSin}$ удовлетворяет уравнению Абеля
 \be
\!\!\!\!\!G(\sin(x))=G(z)\!+\!1
\label{abelsineq}
\ee
%Из свойств суперсинуса следует, что такое решение должно иметь определенные асимптотические свойства, а именно,
From the properties of SuSin, the properties of the inverse function can be guessed. In particular, for large values of the argument, the asymptotic  below should hold:
\be
G(z)=\frac{2}{z^2} +O(\ln(z))
\eL{AbelsinGas}
%Как и для других абельфункций, решение с требуемыми свойствами можно получить, обращая асимптотическое представление для суперфункции. Однако это же разложение для абельфункции $G$ проще получить независимо, из уравнения Абеля \rf{abelsineq}.

\vskip 2mm
Abel sin can be constructed in analogy with super sin. The solution $G$ of the Abel equation \rf{abelsineq} with the asymptotic representation
\rf{AbelsinGas} can be constructed, inverting function $F$ by \rf{SuSinF}, id est,  $G\!=\!F^{-1}$. 
Then, the constant $x_1$ should be added, 
%Затем, добавление константы  $x_1$ дает абельфункцию
%\begin{parbox}{204pt}{
\be %\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuSin}(z)=G(z)+x_1
%\eL{ausinG}
\label{ausinG}
\ee
%удовлетворяющую соотношению
in order to satisfy relation
\be
\mathrm{AuSin}(\pi/2)=0
\eL{ausinp2}
%как это и должно быть для функции, 
%обратной суперсинусу, построенному в предыдущей секции. Остается 
%найти 
%построить%
%разложение функции $G\!=\!F^{-1}$.
\vskip 2mm

First, construct the approximation of function $G$; let
%Асимптотическую аппроксимацию 
%для функции $G$ 
%я ищу в виде разложения
\be\!\!\!\!\!\!
G_M(z)\!=\!\frac{3}{z^2}\!+\!\frac{5}{6}\ln(z)\!+\!\!\sum_{m=1}^M c_m z^{2m} ~ ~
%\eL{sinGM}
\label{sinGM}\ee
Subsitution of $g(z) = G_M+O(z^{2M+2})$ into the Abel equation \rf{abelsineq} gives the coefficients $c$. In particular, 
%Подстановка $g(z) = G_M+O(z^{2M+2})$ в уравнение Абеля \rf{abelsineq} дает коэффициенты $c$. В частности, 
\be
c_1&\!=\!& ~ ~ \frac{79}{1050} \\
c_2&\!=\!& ~ ~ \frac{29}{2625} \rule{0pt}{19pt}\\
c_3&\!=\!&\frac{91543}{36382500}\rule{0pt}{19pt}\\
c_4&\!=\!&\!\!\frac{18222899}{28378350000} \rule{0pt}{19pt}
%, c[5] -> 88627739/573024375000 c[6]->3899439883/142468185234375
%c[7]->-(32544553328689/116721334798818750000)
\label{abelisinc}
\ee
Then, for some fixed $M$,  function $G$ can be expressed as limit
%Для фиксированного $M$,  функция $G$ вычисляется как предел
%}\end{parbox}
%\new page
\be\!\!\!\!\!
G(z)\!=\!\lim_{k\rightarrow \infty} G_M(\sin^k(z))-k
\eL{singlim}
%\label{singlim}\ee
and $\mathrm{AuSin}\!=\!\mathrm{SuSin}^{-1}$ appears as %can be expressed as follows:
%Соответственно, $\mathrm{AuSin}\!=\!\mathrm{SuSin}^{-1}$ выражается через эту функцию $G$:
\be
\mathrm{AuSin}(z)=G(z)-G(\pi/2)
\eL{AuSinDe}
%Терм 
Term
$G(\pi/2)\!\approx\! 2.089622719729524$ in equation \rf{AuSinDe} 
%обеспечивает условие 
provides condition \rf{ausinp2}.
\vskip 2mm

%\label{AuSinDe} \ee
%This representation is shown to plot figure \ref{ausinplot}. The complex map of function AuSIn is shown in figure
%Это представление использовано для построения рисунков.
% \ref{ausinplot} и \ref{ausinmap}. 
%The complex map of function AuSIn is shown in figure
%\ref{ausinmap}.
%\vskip 2mm
%in order to get $\mathrm{AuSin}\!=\!\mathrm{SuSin}^{-1}$. 
%For real values of the argument, function AuSin is shown in figure ref{ausinplot}.
%This section describes the way of the efficient evaluation of function AuSin.
%\begin{wrapfigure}[0]{r}{260px}
 %\be
%\mathrm{AuSin}(\pi/2)=1
%\ee
%Комплексная карта абельсинуса по формуле \rf{AuSinDe} показана на рисунке 
Complex map of abelsinus AuSin by \rf{AuSinDe} is shown in fgure \ref{ausinmap}. 
As for other real-holomorphic functions, this map is symmetric with respect to reflection from the real axis, id est, with respect to flipping upside-down.
In addition, the map is symmetric with repeat to reflections from the axis 
%Эта карта %Карта на рисунке \ref{ausinmap}  симметрична верх-низ, так как 
%$\mathrm{AuSin}(z^*)\!=\!\mathrm{AuSin}(z)^*$. Кроме того, карта симметрична относительно отражений от оси 
$x\!=\!\pi/2$; 
the first evaluation of function sin in formula
%первое же вычисление функции sin в формуле 
\rf{singlim} 
provides this symmetry.
%обеспечивает эту симметрию. 
%Судя по отзывам, карта функции AuSin на рисунке \ref{ausinmap} есть наиболее впечатляющее исображение, по крайней мере в этой Книге. 
\vskip 2mm

For the central part of figure \ref{ausinmap}, the limit \rf{singlim} 
converges and defines the holomorphic function in a pretty regular way.
At lateral parts of figure \ref{ausinmap}, the lines of level of the real part and those of the imaginary part form the fractal-like structures.
There, the AuSin cannot be considered as inverse function of SuSin. Actually, the range of validity of the inverse function is even narrower.
%сходится и регулярным образом определяет голоморфную фукцию. На 
%В центральная части рисунка \ref{ausinmap} предел \rf{singlim} сходится и регулярным образом определяет голоморфную фукцию. На перефирии появляются 
%снгулярности и 
%разрезы.%; там графопосторитель не сумел провести линии уровня, и эти области на рисунке остались пустыми.
%\vskip 2mm
%Oбласть применимости соотношения
\newpage

\begin{figure}[h]
%\begin{figure}[h]
%\vskip -190pt
%\sx{.88}{\begin{picture}(308,420)
%\sx{.9}{\begin{picture}(308,420)
\hskip 8pt
\sx{1.28}{\begin{picture}(308,420)
%\put(10,9){\includegraphics{52}} %extended less details
\put(10,9){\includegraphics{ausinmappng}} %extended
%\put(10,9){\includegraphics{ausin4hmap}} %small
\put(2,406){\sx{1.2}{$y$}}
\put(2,306){\sx{1.2}{$1$}}
\put(2,206){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-7,106){\sx{1.2}{$-1$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(9,-2){\sx{1.2}{$0$}}
\put(109,-2){\sx{1.2}{$1$}}
\put(157,-2){\sx{1.2}{$\pi/2$}}
\put(209,-2){\sx{1.2}{$2$}}
\put(309,-2){\sx{1.2}{$3$}}
\put(319,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\put(184,208){$v\!=\!0$}
\put(98,200){\rot{90}$u\!=\!2$\ero}
\put(114,200){\rot{90}$u\!=\!1$\ero}
\put(147,186){\rot{41}$u\!=\!0$\ero}
\put(136,131){\rot{-40}$u\!=\!-1$\ero}
\put(125,93){\rot{23}$v\!=\!0$\ero}
\put(92,288){\rot{66}$u\!=\!-2$\ero}
\put(131,282){\rot{31}$u\!=\!-1$\ero}
%\put(159,244){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
%\put(172,250){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(148,260){$u\!=\!-0.5$}
%\put(186,250){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(86,158){\rot{90}$v\!=\!3$\ero}
\put(100,155){\rot{90}$v\!=\!2$\ero}
\put(122,148){\rot{90}$v\!=\!1$\ero}
\put(159,144){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(172,144){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(186,138){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinmap52r5.jpg}
\vskip -4pt
%\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuSin}(x\!+\mathrm i y)$  по формуле \rf{AuSinDe}~ \iL{ausinmap}}
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuSin}(x\!+\mathrm i y)$  by formula \rf{AuSinDe}~ \iL{ausinmap}}
\vskip -80pt
\end{figure}

\rule{0pt}{80pt}

%There is important question about the 
Range of validity of relation
\be
\mathrm{SuSin}\Big(\mathrm{AuSin}(z)\Big)=z
\eL{SuSinA}
is 
%limited. Should be noted that similar limits apply also for other inverse functions and, in particular, for arcisin.
%ограничена. Аналогичые ограничения имеются и для других обратных функций, в частности, для синуса и арксинуса.
% Oбласть применимости соотношения \rf{SuSinA} показана на рисунке  \ref{susinrange} мелкой прямоугольной сеткой. 
%The range of validity of relation \rf{SuSinA} is 
shown in figure \ref{susinrange}, this range is shaded with rectangular grid.
%В левой части карты на фигуре 
%In the left hand part of figure \ref{susinrange},
%\ref{susinausin}, 
%In some vicinity or the real axis, $h$ by \rf{SuSinA} is identity function, $h(z)\!=\!z$.
%вблизи положительной части вещественной оси, фукция $h$ есть идентичная функция, $h(z)\!=\!z$.
%Technically, figure \ref{susinrange} is realised as just map of function $h$ defined by the left hand side of \rf{SuSinA}.
%The lines of level of the real part and those of the imaginary part form the rectangular grid.
%At the 
%numerical 
%computation, In the shaded region, relation $h(z)\!=\!z$ holds with 14 decimal digits.
%, that provides the numerical confirmation of validity of the representation. 
% линии постоянной вещественной части и линии постоянной мнимой части - прямые. Эти линии и образуют частую сетку, которая визуально воспринимается как штриховка. Заштрихованная таким образом область ограничена линиями  $\Im(\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!0$; эти линии заимствованы из рисунка  \ref{ausinmap}.
%При численной имплементации, в заштрихованной области соотношение  $h(z)=z$ держится с 14ю значащими цифрами; я интерпретирую это как подтверждение адекватности  численного представления функций SuSin и AuSin.
%\vskip 2mm

\begin{figure}[h]
%\begin{figure}[h]
%\vskip -190pt
%\sx{.88}{\begin{picture}(308,420)
%\sx{.9}{\begin{picture}(308,420)
\hskip 8pt
\sx{1.28}{\begin{picture}(308,420)
\put(10,9){\includegraphics{susinau}}
\put(10,9){\includegraphics{susinau2}}
\put(2,406){\sx{1.2}{$y$}}
\put(2,306){\sx{1.2}{$1$}}
\put(2,206){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-7,106){\sx{1.2}{$-1$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(9,-1){\sx{1.2}{$0$}}
\put(109,-1){\sx{1.2}{$1$}}
\put(157,-1){\sx{1.2}{$\pi/2$}}
\put(209,-1){\sx{1.2}{$2$}}
\put(309,-1){\sx{1.2}{$3$}}
\put(319,-1){\sx{1.2}{$x$}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinsusinmapt50.jpg}
\vskip -8pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=h(x\!+\!\mathrm i y)$  and lines $\Im(\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!0$  ~ \label{susinrange}}
%\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!h(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле \rf{susinausin};
%линии $\Im(\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!0$
%\label{susinrange}}
\vskip -200pt
\end{figure}
%\newpage 
%Фактически,
\rule{0pt}{190pt}

%Технически,  рис. 
\baselineskip 18pt
Technically, the shading in figure \ref{susinrange} %представляет комплексную карту функции
is built up as the complex map of function
\be 
h(z)=\mathrm{SuSin}\Big(\mathrm{AuSin}(z)\Big)
\label{susinausin}
\ee
In addition, in figure \ref{susinrange}, lines of level $\Im(\mathrm{AuSin}(x+\mathrm i y))$ are shown; they are borrowed from figure 
\ref{ausinmap}. These lines bound the range of validity of relation $h(z)=z$.

%Я загрузил генератор рисунка \ref{susinausin} на\\
%\sx{.94}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinsusinmapt50.jpg}}
%Читатели могут %модифцировать его и 
%построить также карту функции согласия
The readers are cordially invited to download the generator of the figure and modify it, to plot the map of the agreement function
\be
%\rule{260pt}{0pt}
A(z)=-\lg\left( \frac{|h(z)-z|}{|h(z)|+|z|}\right)
\iL{aausinsu}\ee
%Такое согласие позволяет проверить аккуратность численного представления. Это обычно, что представление для обратной функции от голоморфной функции имеет ограниченную область применимости. Такое ограничение неизбежно при обращении любой сколько-нибудь нетривиальной голоморфной функции.
and to verify, that in the shaded part, relation $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$ holds with at least 14 decimal digits.
At the right hand side of the figure \ref{susinrange}, relation  $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$ is not valid; $\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y)$ is symmetric with respect to line $x\!=\!\pi/2$; so, it cannot distinguish values for the right hand side in figure \ref{ausinplot} from those at the left hand side.
\vskip 2mm

\begin{wraptable}{r}{142pt}
\vskip -22pt
\caption{ ~ ~ ~ %Coefficients $b$ in \rf{ausintaylor} 
\label{ausintaytab}}
$ ~ ~
\begin{array}{cc}
n & b_n\\
%0 & 0 \\
1 & 2.29163807440958 \\
2 & 1.96043852439688 \\
3 & 1.07862851256147 \\
4 & 0.59622997993395 \\
5 & 0.28333997139829 \\
6 & 0.14193261194548 \\
7 & 0.06423734271234 \\
8 & 0.03026687705508 \\
9 & 0.01351721250427
\end{array}
$
\vskip -12pt
%}\end{parbox}
\end{wraptable}

%Для эффективной численной имплементации абельсинуса, полезны и иные разложения. Наиболее простым 
%из них представляется разложение в ряд Тэйлора в точке $\pi/2$. Это разложение имеет такой вид:
For the efficient (fast and precise) numerical implementation of AuSin, various expansions can be used.
The Taylor expansion at $\pi/2$ can be written as follows:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuSin}\left( \frac{\pi}{2}+t \right) =
\sum_{n=1}^{\infty} b_n t^{2n}
\label{ausintaylor}
\ee
%The first coefficients $b$ of this expansion are evaluated in the table below:
%Приближенные значения коэффициентов $b$ разложения \rf{ausintaylor} оценены с помощью контурного интеграла, с использованием первичной аппроксимации через функцию $G$ по формулам \rf{sinGM}, \rf{singlim}, \rf{AuSinDe}.
%Значения этих коэффициентов  показаны в таблице \ref{ausintaytab}.
Coefficients $b$ in the expansion \rf{ausintaylor} are evaluated with the Cauchy integral, using the 
representation of AuSin through function $G$ by \rf{sinGM}, \rf{singlim}, \rf{AuSinDe}.
Approximations of first nine of these coefficients are shown in Table \ref{ausintaytab}.
\vskip 2mm

%Ряд в разложении \rf{ausintaylor} сходится при $|t|\!<\!\pi/2$. Достаточно взять несколько десятков термов этого разложения, и такая аппроксимация сможет воспроизвести б\'oльшую часть рисункa \ref{ausinmap}. Я предлагаю читателям построить такую карту (или посмотреть на неё в Приложении).
Series in the expansion \rf{ausintaylor} converges at $|t|\!<\!\pi/2$. 
It is sufficient to take few terms of this expansion in order to reproduce the most of map in figure \ref{ausinmap}. 
Readers are invited to plot this map (or, at least, to look for it in the Appendix, figure 
\ref{ausinte} at page \pageref{ausinte}).%\pageref{ausintee}
%22.2).
%Я предлагаю читателям построить такую карту (или посмотреть на неё в Приложении).
\vskip 2mm

%При учете вполне умеренного количества термов разложения \rf{ausintaylor}, численные аппроксимации абельсинуса дают точность, по крайней мере не хуже, чем точность при использовании исходного асимптотического разложения по формулам  \rf{sinGM}, \rf{singlim}, \rf{AuSinDe}. Разумеется, исходное разложение всё равно требуется для вычисления, аппроксимации коэффициентов вторичных разложений. Оптимизация таких представлений имеет смысл для того, чтобы встраивать их в софтвер, и по мере возможности, улучшать, как и другие ``built-in'' функции, когда каждая микросекунда при вычислении дает важное изменение наблюдаемого быстродействия. Однако даже примитивные имплементации, используемые в этой Книге, позволяют строить все графики и комплексные карты в реальном времени. Я рассматриваю это как указание на высокую эффективность и важность предлагаемых здесь формул.

Taking into account some tens of coefficients in series \rf{ausintaylor}, 
the numerical approximations of AuSin provides the precision at least not worse, than the precision of the original representation through the asymptotic formulas \rf{sinGM}, \rf{singlim}, \rf{AuSinDe}.
However the original representation is still necessary to calculate the coefficients of the secondary expansions, and, in particular, those of the Taylor expansion 
\rf{ausintaylor}.
Optimisation of such representations may have sense before to include them to some software as built-in functions, while the each microsecond at the evaluation is important for the resulting efficiency at the multiple evaluations. However, even with the primitive approximations described above, 
the functions are evaluated with approximately 14 decimal digits and allow to plot complex maps in real time.
This indicates the good efficiency of the representations suggested.

\section{Iterated sin}
\baselineskip 17.2pt
%\section{Итерации синуса}
With functions $\mathrm{SuSin}$ and $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$, defined above, the iterates of sin can be expressed as follows:
%С функциями $\mathrm{SuSin}$ и $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$, определенными в предыдыщих секциях, итерации синуса могут быть представлены так:
\be
\sin^n(z)=\mathrm{SuSin}\Big(n+\mathrm{AuSin}(z)\Big)
\eL{sinn}
%Эта формула вполне аналогична представлениям итераций других фоломоргных функций через их суперфункции и абельфункции. Как обычно, номер итерации $n$ не имеет надобности быть целым и может быть ажно комплексным; но, в частности, может быть и вещественным.
%Для нескольких вещественных значений $n$ и для вещественных значений аргумента, итерарации синуса по формуле 
%\rf{sinn} представлены на рисунке  \ref{sinite}.
This formula looks pretty similar to representations of iterates of any other function with determined superfunction and the corresponding Abel function.
In this representation, number $n$ of iterates has no need to be integer; it can be real and even complex.
For real values of number $n$ of iterates, $\sin^n(x)$ is plotted versus $x$  in figure \ref{sinite}.

\begin{figure}[t]
\hskip 6pt
%\sx{1.53}{\begin{picture}(328,168)
\sx{1.3}{\begin{picture}(328,168)
\put(4,9){\includegraphics{sinite}}
\put(-1.6,162){\sx{1.001}{$y$}}
\put(-1.6,106){\sx{1.001}{$1$}}
\put(-1.6, 06){\sx{1.001}{$0$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(3,0){\sx{1.001}{$0$}}
\put(103,0){\sx{1.001}{$1$}}
\put(153,0){\sx{1.001}{$\pi/2$}}
\put(203,0){\sx{1.001}{$2$}}
\put(303,0){\sx{1.001}{$3$}}
\put(315,0){\sx{1.001}{$x$}}
\put(24.6,115){\sx{.8}{\rot{89}$n\!=\!-100$\ero}}
\put(42.6,115){\sx{.8}{\rot{89}$n\!=\!-20$\ero}}
\put(53,115){\sx{.8}{\rot{87}$n\!=\!-10$\ero}}
\put(67,115){\sx{.8}{\rot{85}$n\!= -5$\ero}}
%\put(70,115){\sx{.8}{\rot{82}$n\!=\!-4$\ero}}
\put(77,115){\sx{.8}{\rot{82}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(84.3,115){\sx{.8}{\rot{79}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(94,112){\sx{.8}{\rot{68}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(123.4,134){\sx{.8}{\rot{63}$n\!=\! -0.2$\ero}}
\put(146,147){\sx{.9}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}}
\put(142,140){\sx{.8}{\rot{10}$n\!= 0.1$\ero}}
\put(140,131.6){\sx{.8}{\rot{10}$n\!= 0.2$\ero}}
\put(139,122){\sx{.8}{\rot{9}$n\!= 0.4$\ero}}
\put(110,95){\sx{.8}{\rot{21}$n\!= 1$\ero}}
\put(110,84.3){\sx{.8}{\rot{13}$n\!= 2$\ero}}
\put(110,77.3){\sx{.8}{\rot{8}$n\!= 3$\ero}}
%\put(110,72){\sx{.8}{\rot{6}$n\!= 4$\ero}}
\put(110,67){\sx{.8}{\rot{6}$n\!= 5$\ero}}
\put(110,53){\sx{.8}{$n\!=\! 10$}}
\put(110,42.3){\sx{.8}{$n\!= 20$}}
\put(110,24.3){\sx{.8}{$n\!=\!100$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sinplo2t100.jpg}
\vskip -8pt
\caption{\large $y\!=\! \sin^n(x)$ by \rf{sinn}  versus $x$ for various $n$ \iL{sinite}}
%\caption{\large $y\!=\! \sin^n(x)$ по формуле \rf{sinn} для различных $n$ \iL{sinite}}
\end{figure}
\vskip 2mm

For positive number $n$ of iterate, graphics of $y=\sin^n(x)$ are symmetric with respect to line $x\!=\!\pi/2$. The larger is $n$, the closer the curve approaches the abscissa axis. 
%Для положительных значений номера итерации $n$, графики $y\!=\!\sin^n(x)$ симметричны относительно оси $x\!=\!\pi/2$,
%как это и должно быть из-за представления абельсинуса формулами \rf{singlim} и \rf{AuSinDe}. Чем больше $n$, тем ближе график приближается к вещественной оси.
\vskip 6pt

For negative $n$, the graphic reaches the branch point at $y=\pi/2$ and cannot be continued be continued above, as the iterates get complex values. A usually, the 0th iterate corresponds to the identity function, $\sin^0(x)=x$, and this relation holds while $x<\pi/2$.
%Для отрицательных значений $n$, график $y\!=\!\sin^n(x)$ достигает точки ветвления при $y\!=\!\pi/2$ и не может быть продолжен, так как соответствующие итерации принимают комплексные значения. Как обычно, нулевая итерация соответствует тождественной функции, $\sin^0(x)\!=\!x$, и это соотношение держится, пока $0\!<\!x\!<\!\pi/2$.
\vskip 6pt

%Через итерации синуса \rf{sinn}, суперсинус можно представить так: %в таком виде:
Through the iterates \rf{sinn} of sin, the SuSin can be expressed as follows:
\be
\mathrm{SuSin}(z)= \sin^z(\pi/2)
\eL{susinzsin} 
%С точки зрения вычислений, такое представление имеет мало смысла, так как итерации синуса  в правой части формулы \rf{susinzsin} всё равно прийдется вычислять, используя аппрoксимации суперсинуса (и, возможно, даже абельсинуса). Однако, когда нецелые итерации функций будут ``зашиваться'', встраиваться в новые версии алгоритмических языков высокого уровня, в софтер, встанет вопрос об удобной мнемонике для названий соответствующих процедур, алгоритмов. Тогда выражение  \rf{susinzsin} можно использовать как подсказку для удачного выбора обозначений. Формула указывает, что функцию sin применили $z$ раз, причем в качестве начального значения аргумента выбрано число $\pi/2$.

From the point of view of computation, representation  \rf{susinzsin} does not have much sense.
Anyway, for the evaluation of the right hand side of  \rf{susinzsin}, the approximations of SuSin should be used.
However, such a representation may have sense at the building-in of superfunctions (and non-integer iterates) into the programming languages.
%For wide use, the good mnemonics of the times of procedures is important. Then, expression \rf{susinzsin} van be used a hint for the choice of notations. Formula indicates, that function sin is applied $z$ times, and number $\pi/2$ is used as the initial value of the argument.
%\vskip 2mm
%\vskip 2mm
\section{Application}
\baselineskip 19pt
%Читатели приглашаются использовать итерации синуса.
%скачать численные имплементации суперсинуса и абельсинуса и построить ещё какие-нибудь графики с такими функциями. 
%Я загрузил иплементации суперсинуса и абельсинуса по урлям\\
In this section, I discuss applications of multiple iterates of sin. However, I assume, that 
the Readers can freely use SuSin and AuSin, described above, to plot new graphics. I load the complex double implementations of these functions as \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Susin.cin} and \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Ausin.cin} 
%The readers are invited to load the generator of the figure and plot real and imaginary parts of the iterates at complex values of number $n$ of iteration.
%However, it is difficult to cover any representative set of cases while both, number of iterates and argument are complex numbers; 
Perhaps, many beautiful figures can be plotted playing with SuSin and AuSin.
\vskip 2mm

For the physical applications, the real number of iterate is simpler to interpret, than the complex iterate. Keeping in mind the application, I suggest the example of parameterisation of the shape of the sled runner with high iterate of sin. The example in figure \ref{boy} shows 
%graphic
%Вещественное количество итераций легче применить к физике, чем комплексное. Имея в виду приложения, на  тиси
%В качестве примера использования итераций синуса, на рисунке \ref{boy} показана параметризация формы полоза санок формулой
\be
y =\sin^n(\pi/2)\!-\!\sin^n(x)
\ee
%Фото взято из Викимедии
plotted over the photo of the sled (with a boy in it), taken from Wikimedia Common
\cite{boy}. 

%Курва сответствует перевернутой 100й итерации синуса. Фото сдвинуто так, чтобы привести последнюю опору санок в точку с координатами $(\pi/2, 0)$, повернуто так, чтобы в этой точке полоз шёл горизонтально, и масштабировано так, чтобы привести передний край полоза в точку с координатой $x\!=\!0$. Тогда номер итерации $n\!=\!100$ является единственным подгоночным параметром такой параметризации. 
The curve, that overlaps wight he sled runner, is the 100th iterate of sin; the number of iterate $n\!=\!100$ is the only adjusted parameter used for the fitting.
However, the photo is shifted, scaled and rotated, in order to have the tip at $x=0$ and the last support of the sled runner at $x\!=\!\pi/2$, $y\!=\!0$;
in this point the sled runner is horizontal, this is provided by the slight rotation of the photo. % for one degree.

~

~

\begin{figure}[h]
%\sx{2}{\begin{picture}(248,116)
%\hskip 36pt
\hskip 30pt
%\sx{1.98}{\begin{picture}(248,116)
\sx{1.69}{\begin{picture}(248,116)
%\put(4,9){\includegraphics{sinplo1}}pew=
%\put(0,0){\sx{1.6}{\includegraphics{Boy_on_snow_sled,_1945}}}
\put(-16,0){\rot{1}\sx{.14}{\includegraphics{boy04}}\ero}
\put(14,9){\includegraphics{boy}}
\put(3,28){\sx{1.001}{$y$}}
\put(0,16){\sx{1.001}{$0.1$}}
\put(0, 06){\sx{1.001}{$0$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(13,0){\sx{1.001}{$0$}}
\put(113,0){\sx{1.001}{$1$}}
\put(163,0){\sx{1.001}{$\pi/2$}}
\put(213,0){\sx{1.001}{$2$}}
%\put(313,0){\sx{1.001}{$3$}}
\put(224,0){\sx{1.001}{$x$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Boyt100.jpg}
\vskip -4pt
\caption{Boy at the sledge and $y\!=\!\sin^n(\pi/2)\!-\!\sin^n(x)~$ for $~n\!=\!100$ \label{boy}}
%\caption{\large Фитинг формы полоза: $y\!=\!\sin^n(\pi/2)\!-\!\sin^n(x)~$ для $~n\!=\!100$ \label{boy}}
\vskip -4pt
\end{figure}
%\vskip 2mm
%Generator of figure \ref{boy} 
%explicitly uses the fact, that $n$ is integer. Following the TORI axioms, I chose the simplest implementation among possible.
%The readers may load the implementations of functions $\mathrm{SuSin}$ and $\mathrm{AuSin}$ and plot the fit for non-integer number $n$ of iterates, trying to improve the fitting.
%However, one may try to fit with the iterates also other dependences; for example, the shape of other sled runners.
%\chapter{Тетрация по основанию $\mathrm e$}
\vskip 2mm

%Я надеюсь, что Читатель уловил основные идеи построения нетривиальных итераций, и может построить суперфункции и абельфункции и для других случаев, когда вещественно-голоморфная передаточная функция имеет вещественную стационарную точку, и, в частности, в тех случаях, когда первая производная в этой точке равна единице, а вторая производная равна нулю. 

\chapter{~ Nemtsov function}
\baselineskip 18pt
\begin{wrapfigure}{r}{133px}
\sx{.3}{
%\begin{picture}(404,1004)
\begin{picture}(404,288)
%\put(24,20){\ing{arqne114}}
%\put(50,40){\ing{sunem10q10ma6a}}
%\put(50,40){\ing{sunem10q10ma6s}}
%\put(24,20){\ing{aunem11mb}}
\put(2,2){\ing{nemplo}}
\put(176,990){\sx{3}{$y$}}
\put(176,895){\sx{3}{$4$}}
\put(176,795){\sx{3}{$3$}}
\put(176,695){\sx{3}{$2$}}
\put(176,595){\sx{3}{$1$}}
\put(176,495){\sx{3}{$0$}}
\put(156,395){\sx{3}{$-1$}}
\put(156,295){\sx{3}{$-2$}}
\put(156,195){\sx{3}{$-3$}}
\put(156, 95){\sx{3}{$-4$}}
%\put(156,395){\sx{3}{$-5$}}
\put(82,476){\sx{3}{$-1$}}
\put(196,476){\sx{3}{$0$}}
\put(296,476){\sx{3}{$1$}}
\put(385,476){\sx{3}{$x$}}
\put(70,888){\sx{3}{\rot{-87} $q\!=\!2$\ero}}
%\put(70,688){\sx{3}{\rot{-87} $q\!=\!2$\ero}}
\put(40,490){\sx{3}{\rot{-79} $q\!=\!1$\ero}}
\put(54,280){\sx{3}{\rot{60} $q\!=\!0.5$\ero}}
%\put(90,108){\sx{3}{\rot{80} $q\!=\!0$\ero}}
%\put(60,18){\sx{3}{\rot{80} $q\!=\!0$\ero}}
\put(46,18){\sx{3}{\rot{80} $q\!=\!0$\ero}}
%
\put(294,916){\sx{3}{\rot{80} $q\!=\!2$\ero}}
\put(368,916){\sx{3}{\rot{80} $q\!=\!0$\ero}}
\put(434,20){\sx{2.1}{\rot{90} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Nemplot.jpg} \ero}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{Nem}_q(x)$ for various $q$ \label{fignem} }
\end{wrapfigure}

This chapter represents the last (for this book) example of exotic iteration, and deal with the specific polynomial
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)=\mathrm{Nem}_q(z)=z+z^3+qz^4
\label{nem}
\ee
I assume, that $q$ is positive real parameter. For various values of $q$, the explicit plot of this function is shown in figure 
\ref{fignem}. This is simple, but still non-trivial case of the transfer function $T$, for which 
\be\!\!\!\!\!
T(L)\!=\!L ~,~~
T'(L)\!=\!1 ~,~~
T''(L)\!=\!0 ~,~~
T'''(L)\!>\!0 ~,~~
T''''(L)\!>\!0 ~
\ee
Note, that for $T\!=\!\sin$, considered in the previous section, $L\!=\!0$ and $T''''(L)\!=\!0$; function sin is antisymmetric $T(-z)\!=\!-T(z)$, and in this sense, simpler, than 
$T\!=\!\mathrm{Nem}_q$. 
\vskip 4pt

Historically, consideration of the Nemtsov function is one of the last attempts to write an elementary function, for which I  would not be able construct superfunction, abelfunction and the non-integer iterates. 
%This case is also exotic, and can be qualified as exotic iterate.
I found, that I need the special name for function by \rf{nem}. That happened 2015.01.28, in the same day, as the murder of Boris Nemtsov had been reported
\footnote{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Putin_killed_Nemtsov}};
so I pick up the first three letters of his last name to create the name the function.
\vskip 5pt

In this Book, I do not follow the historical timeline of events, so, I put chapter about the Nemtsov function here, in order to have the exotic iterations in one bunch.
For real argument, graphics of the Nemtsov function for various values of parameter $q$ are shown in figure 
\ref{fignem}. Complex maps of function $\mathrm{Nem}_q$ and its inverse function $\mathrm{ArqNem}_q\!=\!\mathrm{Nem}_q^{-1}$ 
are shown in figure \ref{nema}
for 
$q\!=\!0$,
$q\!=\!1$ and
$q\!=\!2$. Function ArqNem is described in the following section.

\begin{figure}[tp]
\normalsize
\parindent 0pt
%\vskip -36pt

\newcommand \nemmak {
\put(11,416){\sx{1.8}{$y$}}
\put(10,316){\sx{1.8}{$1$}}
\put(10,216){\sx{1.8}{$0$}}
\put(-2,116){\sx{1.8}{$-1$}}
\put(-2, 16){\sx{1.8}{$-2$}}
\put( 9, 3){\sx{1.8}{$-2$}}
\put(109, 4){\sx{1.8}{$-1$}}
\put(221, 4){\sx{1.8}{$0$}}
\put(321, 4){\sx{1.8}{$1$}}
\put(418,4){\sx{1.8}{$x$}}
}

\newcommand \ammak {
\put(-60,1980){\sx{9}{$y$}}
\put(-70,1500){\sx{9}{$\frac{1}{2}$}}
%\put(-80,1396){\sx{9}{$y_0$}}
\put(-60,1000){\sx{9}{$0$}}
%\put(-150,616){\sx{9}{$-y_0$}}
\put(-140, 492){\sx{9}{$-\frac{1}{2}$}}
\put(-120, -8){\sx{9}{$-1$}}
\put(-40, -58){\sx{9}{$-1$}}
\put(400, -58){\sx{9}{$-0.5$}}
\put(1000,-58){\sx{9}{$0$}}
%\put(1064, 942){\sx{8}{$x_0$}}
\put(1464,-58){\sx{9}{$0.5$}}
\put(1974,-58){\sx{9}{$x$}}
}

%\sx{.42}{\begin{picture}(424,424)
\vskip -40pt
\hskip -4pt
\sx{.49}{\begin{picture}(424,424)
\put(24,20){\ing{nem0ma}}
\nemmak
\put(238,273){\sx{2}{\rot{11} $u\!=\!0$\ero}}
\put(231,340){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!0$\ero}}
\put(76,194){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!-5$\ero}}
\put(158,194){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!-1$\ero}}
\put(231,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!0$\ero}}
\put(301,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!1$\ero}}
\put(333,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!2$\ero}}
\put(384,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!5$\ero}}
\put(231, 50){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!0$\ero}}
\put(100,125){\sx{2}{\rot{18} $u\!=\!0$\ero}}
\put(36,398){\sx{2}{\rot{-0} $u\!=\!10$\ero}}
\put(40,371){\sx{2}{\rot{-7} $u\!=\!5$\ero}}
\put(370,284){\sx{2}{\rot{-29} $v\!=\!5$\ero}}
\put(168,216){\sx{2}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(362,132){\sx{2}{\rot{39} $v\!=\!-5$\ero}}%
\put(146, 64){\sx{2}{\rot{62} $v\!=\!-1$\ero}}
\put(160, 64){\sx{2}{\rot{48} $v\!=\!0$\ero}}
\put(170, 57){\sx{2}{\rot{32} $v\!=\!1$\ero}}%
\put(356, 68){\sx{2}{\rot{-6} $u\!=\!-5$\ero}}
\put(357, 32){\sx{2}{\rot{1} $u\!=\!-10$\ero}}
\put(10,430){\sx{1.2}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Nem0map.jpg}}}
\end{picture}} \hskip 12pt
\raisebox{8pt}{
%\sx{.084}{\begin{picture}(2020,2020)
\sx{.098}{\begin{picture}(1020,2020)
\put(-66,2060){\sx{6}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArqNem0map.jpg}}}
\put(10,10){\ing{arqnem0}}
\put(226,1000){\sx{10}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1044,1044){\sx{10}{\rot{90} \bf cut \ero}}
\ammak
\put(-80,1396){\sx{9}{$y_0$}}
\put(-150,616){\sx{9}{$-y_0$}}
\put(668,1830){\sx{10}{\rot{-79} $v\!=\!0.8$\ero}}
\put(464,1670){\sx{10}{\rot{-62} $v\!=\!0.9$\ero}}
\put(280,1460){\sx{10}{\rot{-52} $v\!=\!1$\ero}}
\put(40,1270){\sx{10}{\rot{-46} $v\!=\!1.1$\ero}}
\put(234,400){\sx{10}{\rot{58} $v\!=\!-1$\ero}}
\put(920,1644){\sx{10}{\rot{87} $v\!=\!0.7$\ero}}
\put(1066,1670){\sx{10}{\rot{70} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1224,1660){\sx{10}{\rot{56} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1384,1604){\sx{10}{\rot{43} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1550,1520){\sx{10}{\rot{30} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1660,1368){\sx{10}{\rot{19} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1720,1190){\sx{10}{\rot{9} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1720, 998){\sx{10}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(1680, 814){\sx{10}{\rot{-10} $v\!=\!-0.1$\ero}}
\put(1680, 620){\sx{10}{\rot{-21} $v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(1128, 740){\sx{10}{\rot{84} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(1210, 720){\sx{10}{\rot{77} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(1302, 660){\sx{10}{\rot{71} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(1408, 594){\sx{10}{\rot{67} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(1480, 420){\sx{10}{\rot{59} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(1620, 290){\sx{10}{\rot{56} $u\!=\!0.6$\ero}}
\put(1820, 160){\sx{10}{\rot{57} $u\!=\!0.7$\ero}}
\end{picture}}}
\vskip 12pt

\hskip -4pt
\sx{.49}{\begin{picture}(424,424)
\put(10,430){\sx{1.2}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Nem1map.jpg}}}
\put(24,20){\ing{nem1ma}}
\nemmak
\put(40,398){\sx{2}{\rot{-28} $v\!=\!10$\ero}}
\put(320,384){\sx{2}{\rot{26} $v\!=\!-10$\ero}}
\put(380,348){\sx{2}{\rot{56} $v\!=\!10$\ero}}%
\put(255,310){\sx{2}{\rot{72} $u\!=\!0$\ero}}%
\put(255,294){\sx{2}{\rot{25} $v\!=\!0$\ero}}
\put(120,170){\sx{2}{\rot{72} $v\!=\!0$\ero}}
\put(231,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!0$\ero}}
\put(291,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!1$\ero}}
\put(317,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!2$\ero}}
\put(352,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!5$\ero}}
\put(362,332){\sx{2}{\rot{2} $u\!=\!-10$\ero}}
\put(390,254){\sx{2}{\rot{42} $u\!=\!10$\ero}}
\put(382,238){\sx{2}{\rot{-14} $v\!=\!5$\ero}}
\put(375,194){\sx{2}{\rot{13} $v\!=\!-5$\ero}}
\put(384,184){\sx{2}{\rot{-45} $u\!=\!10$\ero}}
\put(256,167){\sx{2}{\rot{-3} $u\!=\!0$\ero}}
\put(136,222){\sx{2}{\rot{63} $u\!=\!-1$\ero}}
\put(168,216){\sx{2}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(30,70){\sx{2}{\rot{59} $v\!=\!5$\ero}}
\put(38,50){\sx{2}{\rot{32} $v\!=\!-5$\ero}}
\put(38,30){\sx{2}{\rot{28} $v\!=\!-10$\ero}}
\put(368,98){\sx{2}{\rot{-59} $v\!=\!-10$\ero}}
\put(315,46){\sx{2}{\rot{-28} $v\!=\!10$\ero}}
\end{picture}} \hskip 12pt
\raisebox{8pt}{
\sx{.098}{\begin{picture}(1020,2020)
\put(-66,2060){\sx{6}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArqNem1map.jpg}}}
\put(10,10){\ing{arqnem1ma}}
\put(226,1000){\sx{10}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1044,1044){\sx{10}{\rot{73} \bf cut \ero}}
\ammak
\put(-80,1352){\sx{9}{$y_0$}}
\put(-150,664){\sx{9}{$-y_0$}}
\put(700,1820){\sx{10}{\rot{-70} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(470,1540){\sx{10}{\rot{-46} $v\!=\!0.7$\ero}}
\put(240,1220){\sx{10}{\rot{-31} $v\!=\!0.8$\ero}}
\put(1048,1670){\sx{10}{\rot{90} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1244,1644){\sx{10}{\rot{66} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1420,1544){\sx{10}{\rot{49} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1560,1400){\sx{10}{\rot{32} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1620,1206){\sx{10}{\rot{13} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1620,998){\sx{10}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(1590, 798){\sx{10}{\rot{-16} $v\!=\!-0.1$\ero}}
\put(1210, 740){\sx{10}{\rot{77} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(1280, 667){\sx{10}{\rot{65} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(1380, 580){\sx{10}{\rot{57} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(1500, 430){\sx{10}{\rot{51} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(1654, 220){\sx{10}{\rot{48} $u\!=\!0.6$\ero}}
\end{picture}}}
\vskip 12pt

\hskip -4pt
\sx{.49}{\begin{picture}(424,424)
\put(24,20){\ing{nem2ma}}
\nemmak
\put(46,398){\sx{2}{\rot{-35} $v\!=\!10$\ero}}
\put(24,380){\sx{2}{\rot{-61} $v\!=\!-10$\ero}}
\put(334,370){\sx{2}{\rot{35} $v\!=\!-10$\ero}}
\put(366,338){\sx{2}{\rot{48} $v\!=\!10$\ero}}
\put(261,310){\sx{2}{\rot{70} $u\!=\!0$\ero}}
\put(240,283){\sx{2}{\rot{11} $v\!=\!0$\ero}}
\put(164,200){\sx{2}{\rot{89} $v\!=\!0$\ero}}
\put(231,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!0$\ero}}
\put(291,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!1$\ero}}%
\put(313,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!2$\ero}}
\put(340,200){\sx{2}{\rot{89} $u\!=\!5$\ero}}
\put(231, 50){\sx{1.8}{\rot{89} $u\!=\!0$\ero}}
\put(356,314){\sx{2}{\rot{7} $u\!=\!-10$\ero}}
\put(362,234){\sx{2}{\rot{-14} $v\!=\!5$\ero}}
\put(368,199){\sx{2}{\rot{11} $v\!=\!-5$\ero}}
\put(376,254){\sx{2}{\rot{34} $u\!=\!10$\ero}}
\put(376,174){\sx{2}{\rot{-34} $u\!=\!10$\ero}}
\put(256,174){\sx{2}{\rot{-4} $u\!=\!0$\ero}}
\put(168,216){\sx{2}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(34,60){\sx{2}{\rot{55} $v\!=\!10$\ero}}
\put(52,38){\sx{2}{\rot{32} $v\!=\!-10$\ero}}
\put(10,430){\sx{1.2}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Nem2map.jpg}}}
\end{picture}} \hskip 12pt
\raisebox{8pt}{
\sx{.098}{\begin{picture}(1020,2020)
\put(-66,2060){\sx{6}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArqNem2map.jpg}}}
\put(10,10){\ing{arqnem2ma}}
\put(640,1000){\sx{10}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1050,1044){\sx{10}{\rot{71} \bf cut \ero}}

\ammak
\put(-80,1308){\sx{9}{$y_0$}}
\put(-150,706){\sx{9}{$-y_0$}}

\put(732,1820){\sx{10}{\rot{-73} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(434,1514){\sx{10}{\rot{-47} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(432,454){\sx{10}{\rot{46} $v\!=\!-0.6$\ero}}
\put(70,1180){\sx{10}{\rot{-34} $v\!=\!0.7$\ero}}
%
\put(1116,1670){\sx{10}{\rot{83} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1350,1604){\sx{10}{\rot{58} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1546,1458){\sx{10}{\rot{39} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1620,1230){\sx{10}{\rot{17} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1680,996){\sx{10}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(1590, 770){\sx{10}{\rot{-19} $v\!=\!-0.1$\ero}}

\put(1200, 734){\sx{10}{\rot{74} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(1270, 667){\sx{10}{\rot{61} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(1380, 564){\sx{10}{\rot{55} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(1524, 390){\sx{10}{\rot{49} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(1660, 70){\sx{10}{\rot{42} $u\!=\!0.6$\ero}}
\end{picture}}}

\vskip -4pt
\caption{
Maps
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{Nem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$ for $q\!=\!0,1,2$, left column,  and 
maps
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ArqNem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$, right column, for the same $q$
%\iL{nema}
\label{nema}
}
%
%\vskip -200pt
\end{figure}

\section{ArqNem}
\baselineskip 17.8pt
For the efficient evaluation of iterates of a function, we need both, its supedfunction and the abelfunction.
For implementations of these functions, we need both the transfer function $T\!=\!\mathrm{Nem}{_q}$ and its inverse $\mathrm{ArqNem}_q\!=\!T^{-1}$.
For real values of the argument, plot $y=\mathrm{ArqNem}_q(x)$
for 
$q\!=\!0$,
$q\!=\!1$,
$q\!=\!2$,
$q\!=\!4$,
$q\!=\!10$
is shown in figure \ref{arqnemplo}.
Inversion of the Nemtsov function happens to be not trivial, and its description deserves the special section. 
\vskip 6pt

\begin{figure}[t]
\vskip -22pt
\sx{.8}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Arqnemplot.jpg}}

%\sx{.14}{\begin{picture}(2520,1520)
\sx{.12}{\begin{picture}(3520,1540)
\put(10,10){\ing{arqnemplo1}}
%\put(10,10){\ing{arqnemplo}}
\put(30,1400){\sx{12}{$y\!=\!\mathrm{ArqNem}_q(x)$}}
\put(30,990){\sx{12}{$1$}}
\put(30,490){\sx{12}{$0.5$}}
\put(430,42){\sx{12}{$0.5$}}
\put(1000,42){\sx{12}{$1$}}
\put(1438,42){\sx{12}{$1.5$}}
\put(2000,42){\sx{12}{$2$}}
\put(2440,42){\sx{12}{$2.5$}}
\put(3000,42){\sx{12}{$3$}}
\put(3448, 42){\sx{12}{$x$}}
\put(2110,1074){\rot{9}\sx{11}{$q\!=\!0$}\ero}
\put(2150,900){\rot{8}\sx{11}{$q\!=\!1$}\ero}
\put(2180,792){\rot{8}\sx{11}{$q\!=\!2$}\ero}
\put(2240,700){\rot{4}\sx{11}{$q\!=\!4$}\ero}
\put(2228,570){\rot{1}\sx{11}{$q\!=\!10$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{ArqNem}_q(x)$ for $q\!=\!0,1,2$
\iL{arqnemplo}}
\vskip 18pt
\end{figure}

The Nemtsov function $\mathrm{Nem}_q$ by \rf{nem} is the 4th order polynomial; for $q\!>\!0$, equation
\be
\mathrm{Nem}_q(x)=z
\eL{Nemqxz}
at given $z$ has four solutions $x$. Any of original solutions (suggested, for example, by Mathematica routine {\bf Solve})
happen to be ugly at the complex map, and even worse at evaluation of abelfunction for the Nemtsov function.
The reader can plot the complex maps for the four roots of equation \rf{Nemqxz} and 
see the root of my discontent with them. But these solutions can be used to construct the inverse function shown the right hand column of figure \ref{nema}.
I have implemented several combinations of the ``primary'' solutions,  giving special name to each resulting inverse function:
$\mathrm{ArcNem}_q$, $\mathrm{ArkNem}_q$, $\mathrm{ArqNem}_q$. The third of them, $\mathrm{ArqNem}_q$, happened to be satisfactory; so, I use it as
$\mathrm{Nem}^{-1}$.
The cut lines of function $\mathrm{ArqNem}_q$ go from $-\infty$ to zero, and then to each of the branch points, seen at the maps in the right column of Figure \ref{nema}. 
\vskip 6pt

For the positive values of the argument, there is no need to make any difference between three functions mentioned above;
for $x\! >\! 0$, relations $\mathrm{ArcNem}_q(x)\!=\!\mathrm{ArkNem}_q(x)\!=\!\mathrm{ArqNem}_q(x)$ hold. Graphics of these functions are shown in figure 
\ref{arqnemplo}.%; they refer to any of these three functions.
\vskip 6pt

\begin{wrapfigure}{r}{140pt}
\sx{.78}{
\begin{picture}(170,420)
\normalsize
%\put(20,14){\ing{nembraplo}}
\put(20,14){\ing{nembranc}}
\put(8,411){\sx{1.4}{$y$}}
%\put(0,512){\sx{1.4}{$0.5$}}
%\put(0,412){\sx{1.4}{$0.4$}}
\put(0,312){\sx{1.4}{$0.3$}}
\put(0,212){\sx{1.4}{$0.2$}}
\put(0,112){\sx{1.4}{$0.1$}}
\put(8,12){\sx{1.4}{$0$}}
\put(20,1){\sx{1.4}{$0$}}
\put(60,1){\sx{1.4}{$0.05$}}
\put(112,1){\sx{1.4}{$0.1$}}
\put(162,2){\sx{1.4}{$x$}}
%\put(18,601){\sx{1.1}{$q\!=\!0$}}
\put(0,389){\sx{1.2}{$q\!=\!0$}}
%\put(63,593){\sx{1.1}{$q\!=\!0.2$}}
\put(43,404){\sx{1.2}{$q\!=\!0.2$}}
%\put(97,574){\sx{1.1}{$q\!=\!0.4$}}
\put(62,394){\sx{1.2}{$q\!=\!0.4$}}
\put(78,384){\sx{1.2}{$q\!=\!0.6$}}
\put(88,372){\sx{1.2}{$q\!=\!0.8$}}
\put(97,356){\sx{1.2}{$q\!=\!1$}}
\put(116,312){\sx{1.2}{$q\!=\!2$}}
\put(120,284){\sx{1.2}{$q\!=\!3$}}
\put(122,263){\sx{1.2}{$q\!=\!4$}}
\put(122,250){\sx{1.2}{$q\!=\!5$}}
\put(112,200){\sx{1.2}{$q\!=\!10$}}
\put(104,164){\sx{1.2}{$q\!=\!20$}}
\put(94,145){\sx{1.2}{$q\!=\!30$}}
\put( 74,99){\sx{1.2}{$q\!=\!100$}}
\put( 49,52){\sx{1.2}{$q\!=\!1000$}}
\put( 36,32){\sx{1.2}{$q\!=\!10000$}}
\put(166,40){\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Nembrant.jpg}\ero}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{Parametric plot:
$x\!+\!\mathrm i y\!=\!\mathrm{NemBran}(q)$
\label{nembranfig} }
\vskip -144pt
\end{wrapfigure}
For handling of cuts of function $\mathrm{ArqNem}_q$, the branch points should be calculated. These branch points are shown in figure
\ref{nembranfig}. It refers to function $\mathrm{NemBran}$, that expresses the upper branch point of function $\mathrm{ArqNem}_q$ as function of $q$.
Below I describe, how to evaluate this function.
\vskip 6pt

Assume, some $q$ is given. We need to find solutions of equation $\mathrm{Nem}_q^{~\prime}(z)\!=\!0$.
This solution can be expressed in Mathematica language with code
 \begin{verbatim}
T[z_]=z+z^3+q z^4
s = Solve[T'[z]==0,z]
ReplaceAll[z,Extract[s,1]]
\end{verbatim}
The output indicates, how to program function NemBran, shown in figure \ref{nembranfig}:
\begin{verbatim}
z_type nembra(DB q){ z_type Q,v,V; 
  Q=q*q; 
  v=-1.-8.*Q+4.*sqrt(Q+4.*Q*Q); 
  V=pow(v,1./3.); 
   return (.25/q)*(-1.+1./V+V); }
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
z_type NemBran(DB q){ z_type z,zz=z*z; 
  z=nembra(q); return z*(1.+zz*(1.+q*z)); }
\end{verbatim}
%\sx{1.001}
{Here {\tt DB} denotes {\tt <double>}~ and~ {\tt z\_type} denotes {\tt complex<double>} ;
NemBran appears as combination of functions Nem and nembra. 
\vskip 6pt

Assume, some $q\!>\!0$ is given; let $x_0\!+\!\mathrm i y_0\!=\!\mathrm{NemBran}(q)$. 
For function $\mathrm{ArqNem}_q$, I draw the cut lines form $-\infty$ to zero, and from zero to point 
$(x_0,y_0)$ and to point $(x_0,-y_0)$. As the cut lines are specified, it is easy to program evaluation of
$\mathrm{ArqNem}_q$, picking up the corresponding branch of the solution. The C++ code is shown in Table \ref{T1}. One can extract the code also from the URL marked in figure \ref{nembranfig}.
% for details of implementation of $\mathrm{ArqNem}_q$.
The readers are invited to check numerically relations 
\be
\mathrm{Nem}_q\big(\mathrm{ArqNem}_q(z)\big)=z\\
\mathrm{ArcNem}_q\big(\mathrm{Nem}_q(z)\big)=z
\ee
and investigate the range of validity of each of these equation.
% The C++ implementation of function $\mathrm{ArcNem}_q$ is shown in table \ref{T1}.

\begin{table}
\caption{C++ implementation of function $\mathrm{ArqNem}_q$. Values of 
$q$ and corresponding $x_0,y_0$ should be already calculated and stored in global variables Q, tr, ti 
\label{T1}} \normalsize \baselineskip 13.4pt
~
\vskip -44pt
~

\begin{verbatim}
z_type arnemU(z_type z){ DB q=Q; DB q2=q*q; DB q3=q2*q;
z_type a=q-z; z_type b=1.+4.*q*z; z_type r=81.*(a*a)+12.*(b*b*b);
z_type R=-I*sqrt(-r);
z_type s=27.*a + 3.*R; z_type S=pow(s,1./3.);
z_type B=(0.26456684199469993*S)/q - (1.2599210498948732*b)/(q*S);
z_type h=0.25/q2 + B;
z_type H=I*sqrt(-h);
z_type g=0.5/q2  - B + (.25+2.*q2)/(q3*H);
z_type G=I*sqrt(-g);
return - 0.25/q - 0.5*H + 0.5*G ;}

z_type arnemD(z_type z){ DB q=Q; DB q2=q*q; DB q3=q2*q;
z_type a=q-z; z_type b=1.+4.*q*z; z_type r=81.*(a*a)+12.*(b*b*b);
z_type R=I*sqrt(-r);
z_type s=27.*a + 3.*R;  z_type S=pow(s,1./3.);
z_type B=(0.26456684199469993*S)/q - (1.2599210498948732*b)/(q*S);
z_type h=0.25/q2 + B;
z_type H=-I*sqrt(-h);
z_type g=0.5/q2  - B + (.25+2.*q2)/(q3*H);
z_type G=-I*sqrt(-g);
return - 0.25/q - 0.5*H + 0.5*G ;}

z_type arnemR(z_type z){ DB q=Q; DB q2=q*q; DB q3=q2*q;
z_type a=q-z; z_type b=1.+4.*q*z; z_type r=81.*(a*a)+12.*(b*b*b);
z_type R=sqrt(r); z_type s=27.*a + 3.*R;
z_type S=pow(s,1./3.);
z_type B=(0.26456684199469993*S)/q - (1.2599210498948732*b)/(q*S);
z_type h=0.25/q2 + B;
z_type H=sqrt(h);
z_type g=0.5/q2  - B + (.25+2.*q2)/(q3*H);
z_type G=sqrt(g);
return - 0.25/q - 0.5*H + 0.5*G ;}

z_type arnemL(z_type z){ DB q=Q; DB q2=q*q; DB q3=q2*q;
z_type a=q-z; z_type b=1.+4.*q*z; z_type r=81.*(a*a)+12.*(b*b*b);
z_type R=-sqrt(r);
z_type s=27.*a + 3.*R; z_type S=pow(s,1./3.);
z_type B=(0.26456684199469993*S)/q - (1.2599210498948732*b)/(q*S);
z_type h=0.25/q2 + B;
z_type H=sqrt(h);
z_type g=0.5/q2  - B + (.25+2.*q2)/(q3*H);
z_type G=sqrt(g);
return - 0.25/q - 0.5*H + 0.5*G ;}

z_type arqnem(z_type z){ DB x,y; x=Re(z);y=Im(z);
if( y>ti || (x<0 && y>=0)) return arnemU(z);
//if(y<0) return conj(arnemU(conj(z)));
if(y<-ti || (x<0 && y<=0)) return arnemD(z);
if(x*ti>fabs(y)*tr) return arnemR(z);
return arnemL(z);}
\end{verbatim}
\normalsize
%\rule{0pt}{40pt}
\end{table}

\section{SuNem}
\baselineskip 18.8pt

\begin{wrapfigure}{r}{150px} \normalsize
\sx{.33}{
%\begin{picture}(620,1020)
\begin{picture}(620,840)
\put(4,0){\ing{sunemplo4}}
\put(224,1000){\sx{3.4}{$y$}}
\put(224,900){\sx{3.2}{$9$}}
\put(224,800){\sx{3.2}{$8$}}
\put(224,700){\sx{3.2}{$7$}}
\put(224,600){\sx{3.2}{$6$}}
\put(224,500){\sx{3.2}{$5$}}
\put(224,400){\sx{3.2}{$4$}}
\put(224,300){\sx{3.2}{$3$}}
\put(224,200){\sx{3.2}{$2$}}
\put(225, 99){\sx{3.2}{$1$}}
%\put(420, -7){\sx{3.3}{$0$}}
\put( 88,14){\sx{3.3}{$-1$}}
\put(207,14){\sx{3.3}{$0$}}
\put(308,14){\sx{3.3}{$1$}}
\put(398,14){\sx{3.4}{$x$}}
\put(322,932){\sx{3.4}{\rot{88}$q\!=\!8$\ero}}%
\put(348,834){\sx{3.4}{\rot{87}$q\!=\!2$\ero}}%
\put(361,734){\sx{3.4}{\rot{86}$q\!=\!1$\ero}}%
\put(372,614){\sx{3.4}{\rot{85}$q\!=\!0.5$\ero}}%
\put(392,518){\sx{3.4}{\rot{83}$q\!=\!0$\ero}}%
\put(444,60){\sx{2.4}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sunemplo4t.jpg}\ero}}
\end{picture}}
\vskip -18pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{SuNem}_q(x)$ %versus $x$
% for various $q$ 
\label{sunemplo}}
\end{wrapfigure}

Functions 
$\mathrm{Nem}_q$ and
$\mathrm{ArqNem}_q\!=\!\mathrm{Nem}_q^{-1}$
are defined, implemented, tested and described above; they can be used for construction of superfunction $\mathrm{SuNem}_q$, abelfunction  $\mathrm{AuNem}_q\!=\!\mathrm{SuNem}_q^{-1}$ and corresponding non-integer iterates of the Nemtsov function. I begin with function $\mathrm{SuNem}_q$. It is shown in figure \ref{sunemplo} dor vvarious values of $q$.
%The numerical impelmentation is shown in Table.
In this section, I describe, how is it constructed.
\vskip 9pt

For the Nemtsov function $\mathrm{Nem}_q$, the superfunction  is solution $F$ of the transfer equation
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z\!+\!1)=\mathrm{Nem}_q(F(z)) ~
\eL{Feq}
In analogy with approach of the previous chapter,
I look for solution $F$ with the certain asymptotic behaviour,
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_q(z)\!=\!\frac{1}{\sqrt{-2 z}}\left(\! 1\!-\!\frac{q}{\sqrt{-2 z}}\! +\! O\Big( \frac{\ln(-z)}{z}\Big) \right)
~ ~ ~ ~ ~ ~  ~ ~
\iL{F}
\ee
In order to construct the computationally-efficient asymptotic approximation of superfunction $F_q$, define set of polynomials
\be
P_m(z)=\sum_{n=0}^{\mathrm{IntegerPart}[m/2]} a_{m,n} z^n
\eL{P}
where $a$ are constant coefficients. Then, I set
\be
F_{q,M}(z)=\varepsilon \left( 1- q \varepsilon + \sum_{m=2}^M P(\ln(-z)) \varepsilon^m \right)
\eL{FqM}
where 
\be
\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{-2 z}}
\eL{epsilon}
I substitute the approximation \rf{FqM} into the transfer equation \rf{Feq}. The asymptotic analysis of the residual (id est, its asymptotic minimisation) determines coefficients $a$.
The asymptotic representation \rf{P},\rf{FqM},\rf{epsilon} should approximate superfunction $F$ at least for large negative values of the argument. 
\vskip 6pt

The original (and non-trivial) part of this research is guessing of representation \rf{P},\rf{FqM},\rf{epsilon}.
This representation is a little bit more complicated, that the similar representation 
\rf{susinasymf},
\rf{susinFM},
\rf{susina} for function SuSin, described in the precious section. 
\vskip 6pt

Once representation \rf{P},\rf{FqM},\rf{epsilon} is written out, 
the following construction is straightforward.
This analysis can be performed with the Mathematica code shown in Table \ref{T2}. 


\begin{table}[t]
\caption{Computation of coefficients $a$ in equation \rf{P} \iL{T2}}
\normalsize \baselineskip 13.4pt
\begin{verbatim}
T[z_] = z + z^3 + q z^4
P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, IntegerPart[m/2]}]
A[1, 0] = -q; A[1, 1] = 0;
a[2, 0] = 0; A[2, 0] = 0;
F[m_,z_]:=1/(-2z)^(1/2)(1-q/(-2z)^(1/2)+
Sum[P[n,Log[-z]]/(-2z)^(n/2),{n,2,m}])

m = 2;
s[m] =Numerator[Normal[Series[
     (T[F[m,-1/x^2]]-F[m,-1/x^2+1])2^((m+1)/2)/x^(m+2),{x,0,1}]]]
t[m] = Numerator[Coefficient[Normal[s[m]], x] ]
sub[m] = Extract[Solve[t[m] == 0, a[m, 1]], 1]
SUB[m] = Simplify[sub[m]]
f[m, z_] = ReplaceAll[F[m, z], SUB[m]]

m = 3
s[m] =Simplify[ReplaceAll[Series[
(T[F[m,-1/x^2]]-F[m,-1/x^2+1])2^((m+3)/2)/x^(m+3),{x,0,0}],SUB[m-1]]];
t[m] = ReplaceAll[Normal[s[m]], Log[x] -> L];
u[m] = Table[Coefficient[t[m] L, L^n]==0, {n,1,1+IntegerPart[m/2]}];
tab[m] = Table[a[m, n], {n, 0, IntegerPart[m/2]}];
sub[m] = Extract[Solve[u[m], tab[m]], 1]
SUB[m] = Join[SUB[m-1], sub[m]];

(* and so on for  m=4,  m=5, etc. *)
\end{verbatim}
%\vskip -12pt
\end{table}
\vskip 6pt

%I do not arrange the loop with {\bf For} operator, in order to keep the code explicit and easy to translate to other programming languages.
Coefficients $a$ are chosen in such a way, that 
\be
F_{q,M}(z)=F_q(z)+O\big(\varepsilon^{M+1}\big)
\ee
Tens of coefficients $a$ in equation \rf{P} can be computed in such a way. The first coefficients are: %\newcommand \ts {\textstyle}
\vskip 6pt
$a_{2,0} = 0$ ~~, ~~~~~~~  ~~~~~~       $ a_{2,1} = \frac{1}{4} (3 + 2 q^2)$
\vskip 6pt
$a_{3,0} = q + 3 q^3$ ~,~  ~~~~~~ $a_{3,1} = -(3 q)/2 - q^3$
\vskip 6pt
$a_{4, 0}\!=\!\frac{1}{8} (5 \!-\! 4 q^2 \!-\! 44 q^4) $,~ 
$a_{4, 1}\!=\!\frac{1}{8} (-9 \!-\! 12 q^2 \!-\! 4 q^4)$,~
$a_{4, 2}\!=\! \frac{3}{32} (9 \!+\! 12 q^2\! +\! 4 q^4)$ 
\vskip 6pt
$a_{5, 0}\!=\! \frac{1}{12} (-39 q \!-\! 104 q^3 \!-\! 4 q^5)$,~
$a_{5, 1}\!=\! \frac{7}{4} (3 q \!+\! 8 q^3 \!+\! 4 q^5)$,~
$a_{5, 2}\!=\! -\frac{9 q}{4} \!-\! 3 q^3 \!-\! q^5$
\vskip 6pt
Coefficients $a$ happen to be polynomials with respect to parameter $q$.
For the following numerical implementation of superfunction, they are expressed through the Horner rule.
%in such a way 
The C++ implementation is loaded together with generators of figures of this chapter. 
\vskip 8pt

Assume given number $M$ of terms of sum in the asymptotic expansion \rf{FqM}. Then, the
superfunction $F_q$ can be defined as limit
\be
F_q(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Nem}_q^{\, n} \Big( F_{q,M}(z-n) \Big)
\eL{Flim}
I remind, the upper index after the name of the function indicates the number of its iterate.
%(In this notation, $\sin^2(x)=\sin(\sin(x))$, but not $\sin(x)^2$.)
%Due to the asymptotic behaviour of $F_{q,M}$ at large negative values of the real part of argument,
The limit does not depend on the number $M$. However, for large $M$, the limit converges faster.
%the precision of computation of superfunction happens to be about 14 decimal digits, that is close to the maximal precision available for the complex double variables in the numerical calculations.
%For the numerical implementation $M\!=\!30$ is chosen. Then, at $z\!-\!n$ of order of 10, 
%approximation $\mathrm{Nem}_q^{\, n} \big( F_{q,M}(z\!-\!n) \big)$
%provides about of 14 decimal digits.
%At large $M$, the limit in \rf{Flim} converges quickly. 
For $q$ of order of unity, and argument $z$ of order of unity, with $M\!=\!30$, it is sufficient to make $n\!=\!20$ iterates in order to approximate limit in equation \rf{Flim}
with 14 decimal digits. That greatly exceeds the precision, required to plot the camera-ready copies of all the figures presented. However, the extra digits help to reveal faults of the representation of function, if any mistake takes place.
% in the implementation. 
%For this reason, all the routines described are implemented with precision close to the maximal precision, allowed for the complex double variables.
% the algorithm above, function $F_q$ is implemented in C++; this implementation is used to generate the figures. 
%For real values of the argument, the explicit plot of function $F_q$ is shown in figure \ref{Sunempt}  for 
%$q\!=\!-1$, 
%$q\!=\!-0.5$, 
%$q\!=\!0$, 
%$q\!=\!0.5$, 
%$q\!=\!1$, 
%$q\!=\!2$ and for 
%$q\!=\!3$. 
\vskip 6pt

%At large negative value of $x$, function $F_q(x)$ decreases with increase of $q$;
%this is determined by the first term, dependent on $q$, in the expansion \ref{FqM}.
%However, the next term increase with increase of $q$, so, the curves in figure \ref{Sunempt} cross each other.
%At large negative $x$, this dependence is slow. I had to make t
%The scales in the abscissas and ordinates in figure \ref{Sunempt} differ for 100 times,
%in order to make the crossing of the curves visible.
%decreasing of $F_q$ with increase of $q$: the step of the grid lines in abscissas is 10, while that in ordinates is 0.1, counting only one persent of that in abscissas.

The transfer equation has translational invariance. If some $z \rightarrow F(z)$ is the solution, then, for a constant $C$, function $z \rightarrow F(z\!+\!C)$ is also solution, id est, also superfiunction of the same transfer function. 
%Below I use this invariance to simplify interpretation of the superfunction of the Nemtsov function.
In order to make figures more beautiful it is convenient, that at zero, the superfunction has value unity.
For this reason, I define superfunction $\mathrm{SuNem}_q$ as superfunction $F$ with displaced argument:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{SuNem}_q(z)=F_q(x_1\!+\!z)
\eL{SuNem}
where $x_1=x_1(q)$ is real solution of equation 
\be
F_q(x_1)=1
\ee
%This solution is shown in figure as function of $q$. 
%Dependence $x_1(q)$
%is shown in figure \ref{figsuno}. The dependence is not monotonous; on order to show better the general trend, the curve is a little bit extended to the negative values of $q$.
%In such a way, for function SuNem, relation
This provides condition
\be
\mathrm{SuNem}_q(0)=1
\ee
This condition is not so important to evaluate iterates of the Nemtsov function, but it helps to compare different superfunctions.
Many superfunctions, described in this Book, have value unity at zero.
\vskip 6pt

Definition \rf{SuNem} of function SuNem is used to generate the explicit plot in figure \ref{sunemplo} and also the
complex maps of $\mathrm{SuNem}_q$ for 
$q\!=\!0$,
$q\!=\!1$ and
$q\!=\!2$ in figure \ref{suma}.
These maps are symmetric with respect to reflection from the real axis, so, the only upper half of the complex plane is shown.% in each map.

\newcommand \axE {
\put(2,505){\sx{3.2}{$y$}}
\put(2,417){\sx{2.6}{$4$}}
\put(2,317){\sx{2.6}{$3$}}
\put(2,217){\sx{2.6}{$2$}}
\put(2,117){\sx{2.6}{$1$}}
\put(2,017){\sx{2.6}{$0$}}
\put(0, 0){\sx{2.6}{$-5$}}
\put(100, 0){\sx{2.6}{$-4$}}
\put(200, 0){\sx{2.6}{$-3$}}
\put(300, 0){\sx{2.6}{$-2$}}
\put(400, 0){\sx{2.6}{$-1$}}
\put(520, 0){\sx{2.6}{$0$}}
\put(620, 0){\sx{2.6}{$1$}}
\put(720, 0){\sx{2.6}{$2$}}
\put(820, 0){\sx{2.6}{$3$}}
\put(920, 0){\sx{2.6}{$4$}}
\put(1012,0){\sx{2.8}{$x$}}
}

\begin{figure}[tp]
\vskip -10pt
%\hskip -12pt
%\parindent 0pt
%\noindent
%\hskip -20pt \rule{4pt}{0pt}
{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sunem0ht.jpg}}

%\sx{.3}{\begin{picture}(1038,530)
\sx{.42}{\begin{picture}(1038,530) \normalsize
%\sx{.36}{\begin{picture}(2090,530)
%\put(50,40){\ing{sunem10q10ma6s}}
%\put(24,20){\ing{nem120ma}}
\put(20,20){\ing{sunem0h}}
\axE
%
\put(778,384){\sx{3}{\rot{57} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(610,498){\sx{3}{\rot{-73} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(140,429){\sx{3}{\rot{16} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(156, 32){\sx{3}{\rot{79} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(298, 36){\sx{3}{\rot{74} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(382, 35){\sx{3}{\rot{70} $u\!=\!0.6$\ero}}
\put(435, 31){\sx{3}{\rot{66} $u\!=\!0.7$\ero}}
\put(474, 29){\sx{3}{\rot{64} $u\!=\!0.8$\ero}}
\put(528, 26){\sx{3}{\rot{68} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(654,376){\sx{3}{\rot{-9} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(510,446){\sx{3}{\rot{39} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(298,416){\sx{3}{\rot{-84} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(100,282){\sx{3}{\rot{-41} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(50, 17){\sx{3}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(848, 19){\sx{3}{\rot{0} \bf huge values\ero}}
\put(828, 340){\sx{7}{\rot{0} $q\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 2pt

{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sunem1ht.jpg}}

\sx{.42}{\begin{picture}(1038,530) \normalsize
\put(20,20){\ing{sunem1h}}
\axE
%
\put(810,344){\sx{3}{\rot{49} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(542,514){\sx{3}{\rot{-65} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put( 44,134){\sx{3}{\rot{64} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(250, 38){\sx{3}{\rot{74} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(354, 36){\sx{3}{\rot{66} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(416, 34){\sx{3}{\rot{60} $u\!=\!0.6$\ero}}
\put(458, 32){\sx{3}{\rot{56} $u\!=\!0.7$\ero}}
\put(484, 30){\sx{3}{\rot{54} $u\!=\!0.8$\ero}}
\put(524, 26){\sx{3}{\rot{56} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(626,370){\sx{3}{\rot{-10} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(386,390){\sx{3}{\rot{70} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put( 86,400){\sx{3}{\rot{-62} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(136, 17){\sx{3}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(846, 19){\sx{3}{\rot{0} \bf huge values\ero}}

\put(838, 340){\sx{7}{\rot{0} $q\!=\!1$\ero}}
%\put(100,126){\sx{3}{\rot{61} $v\!=\!-0.1$\ero}}
%\put(380, 170){\sx{3}{\rot{-72} $v\!=\!-0.2$\ero}}
%
\end{picture}}
\vskip 2pt

{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sunem2ht.jpg}}

\sx{.42}{\begin{picture}(1038,530)
\put(20,20){\ing{sunem2h}} \normalsize
\axE
\put(810,328){\sx{3}{\rot{49} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(542,414){\sx{3}{\rot{-68} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(110, 40){\sx{3}{\rot{79} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(296, 38){\sx{3}{\rot{72} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(384, 36){\sx{3}{\rot{62} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(436, 34){\sx{3}{\rot{58} $u\!=\!0.6$\ero}}
\put(466, 32){\sx{3}{\rot{54} $u\!=\!0.7$\ero}}
\put(489, 30){\sx{3}{\rot{48} $u\!=\!0.8$\ero}}
\put(522, 26){\sx{3}{\rot{50} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(620,304){\sx{3}{\rot{-34} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(432,376){\sx{3}{\rot{57} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(132,400){\sx{3}{\rot{-65} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(140, 17){\sx{3}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(850, 19){\sx{3}{\rot{0} \bf huge values\ero}}
\put(848, 340){\sx{7}{\rot{0} $q\!=\!2$\ero}}
%
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip -4pt
\caption{
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{SuNem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$, 
%$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuNem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$, right column, 
for $q\!=\!0,1,2$
\iL{suma}}
%\vskip -11pt
\end{figure}
%Complex maps of function $\mathrm{SuNem}_q$ are shown in figure \ref{suma}
%for $q\!=\!0$, $q\!=\!1$ and $q\!=\!3$ with lines
%for $q\!=\!0,1,2$.
\vskip 6pt

Maps in figure \ref{suma} demonstrate the asymptotic behaviour of function SuNem.
In the most of the complex plane, the function slowly decays to zero.
This decay is determined by the leading term of the asymptotic expansion \rf{FqM}.
However, this asymptotic expansion is not valid in vicinity of the origin of coordinate,
nor in vicinity of the positive part of the real axis. 
In the half-strips $x\!>\!2$, $1\!<\!|y|\!<\!2$, the maps show complicated, oscillating behaviour of the function.
For positive values of the argument, function $\mathrm{SuNem}_q$
%and only in vicinity of the real axis it 
shows fast growth. This growth is seen both, in the explicit plot at the right hand side picture of figure
\ref{sunemplo} and in the complex maps in figure \ref{suma}.
\JP{
The asymptotics of this growth can be roughly estimated with analysis of superfunction of the transfer function 
\be
T(z)=q z^4
\eL{qz4}
for $q>0$ 
and  
%\be
$T(z)=z^3$
%\ee
for $q=0$; in these cases, the only leading term of the transfer function $\mathrm{Nem}_q$ is taken into account. 
For the transfer function $T$ by \rf{qz4}, the superfunction $f$ can be expressed with
\be  f(z) =  q^{-1/3}\exp\left(\frac{\ln(q^{1/3}(2\!+\!q))}{4} 4^z\right) \ee
coefficient $\ds \frac{\ln(q^{1/3}(2\!+\!q)}{4}$ is chosen in such a way, that
$\ds f(1)=\mathrm{SuNem}_q(1)$. 
For $q\ge 8$, graphic of function $y\!=\!f(x)$ looks similar to $y\!=\!\mathrm{SuNem}_q(x)$,
at least for $x\!>\!0$.
%For $q\ge 8$, graphic of function $f$ looks similar to that of function $\mathrm{SuNem}_q$,
%at least for positive values of the argument.
%This function is shown in figure  \ref{figasi} with thin dashed line
%The  maps in the hight hand column represent the Abel function 
%$\mathrm{AuNem}_q=\mathrm{SuNem}_q^{-1}$ %described in the next section.
}%JP
\vskip 8pt

For computation of iterates of the Nemtsov function $\mathrm{Nem}_q$,
% the implementation of the superfunction $\mathrm{SuNem}_q$ is necessary, but not sufficient. Also,
the Abel function $\mathrm{AuNem}_q\!=\!\mathrm{SuNem}_q^{-1}$ is also required. Function $\mathrm{AuNem}_q$ is described in the next section.

\section{AuNem}
In this section, I construct abelfunction for the Nemtsov function $\mathrm{Nem}_q$ by \rf{nem}.
This abeldunction is inverse of the superfunction, id est, 
$\mathrm{AuNem}_q\!=\!\mathrm{SuNem}_q^{-1}$.
\vskip 8pt

First, consider inverse function of the superfunction $F$ by \rf{F}; let $G_{q}\!=\!G\!=\!F^{-1}$. It 
can be expanded as follows:
\be \nonumber
\mathrm{G}_{q,M}(z)&=&
-\frac{1}{2 z^2}+\frac{q}{z}
+\frac{1}{2} \left(2 q^2\!+\!3\right) \log (z)
+\frac{q^2}{2}+\frac{1}{4} \left(2 q^2\!+\!3\right) \log (2)
\\ %\nonumber
&& 
+ ~ \sum _{n=1}^M c_n z^n  
\iL{auneqm}
\\
G_{q}(z)&=&\mathrm{G}_{q,M}(z) +O(z^{M+1})
\label{auneqa}
\eL{G}
This form can be obtained, inverting expansions \rf{F}, \rf{FqM} for superfunction $F_q$.
\vskip 8pt

Coefficients $c$ depend on $q$; these coefficients can be computed either with asymptotic analysis of equation
\be
G_{q,M}(F_{q,M}(x))=z
\ee
or from the Abel equation
\be
G_q(\mathrm{Nem}_q(z))=G_q(z)+1
\ee
Coefficients $c$ in equation \rf{auneqm} can be calculated in Mathematica with the code shown in Table
\ref{Gmat}.
\baselineskip 18pt

\begin{table}[!ht]
\caption{Mathematica code for calculation of coefficients $c$ in equation \rf{auneqm} \label{Gmat} }
%\small
%\footnotesize 
\normalsize
\baselineskip 13.6pt
\begin{verbatim}
T[z_] = z + z^3 + q z^4
P[m_,L_]:= Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, IntegerPart[m/2]}]
F[m_,z_]:=1/(-2z)^(1/2)(1-q/(-2z)^(1/2)+
                         Sum[P[n,Log[-z]]/(-2z)^(n/2),{n,2,m}])
G[m_,x_]:=-1/(2x^2)+q/x+q^2/2+1/4(3+2q^2)Log[2]+1/2 (3+2q^2)Log[x]+
                                                Sum[c[n]x^n,{n,1,m}]
Series[ReplaceAll[F[3,h+G[3, z]], a[2,1]-> 1/4 (3+2 q^2)], {z,0,4}] 
(*The line above is just test *)
m=1;
sg[m]=Coefficient[Series[G[m+3,T[z]]-G[m+3,z]-1,{z,0,3}], z^(m+2)]
st[m]=Solve[sg[m] == 0, c[m]]
su[m]=Extract[st[m], 1]
SU[m]= su[m];

m= 2; 
sf[m]=Series[ ReplaceAll[G[m+3,T[z]]-G[m+3,z]-1,SU[m-1]],{z,0,m+2}]
sg[m]=Simplify[Coefficient[sf[m] 2^m, z^(m+2)]]
st[m]= Solve[sg[m] == 0, c[m]]
SU[m]= Join[SU[m - 1], su[m]]

m = 3;
sf[m]=Series[ ReplaceAll[G[m+3,T[z]]-G[m+3,z]-1,SU[m-1]],{z,0,m+2}]
sg[m]=Simplify[Coefficient[sf[m] 2^m, z^(m+2)]]
st[m]= Solve[sg[m] == 0, c[m]]
su[m]= Extract[st[m], 1]
SU[m]= Join[SU[m-1], su[m]]

(*and so on for m=4, m-5, etc... *)
\end{verbatim}
%\normalsize
%\vskip -8pt
\end{table}

%From the asymptotic expansion, function 
\vskip 6pt
For an integer $M\!>\!0$, the abelfunction
$G_q$ can be evaluated through the asymptotic approximation $G_{q,M}$ as the limit
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
G_q(z)=
\lim_{n\rightarrow \infty} \Big(\mathrm{G}_{q,M}\big(\mathrm{ArqNem}_q^{~n}(z)\big)+n\Big)
%\lim_{n\rigtarrow \infty}
\eL{AuNemLim}
Then, the function AuNem is expressed through function $G$ with addition of the constant,
\be
\mathrm{AuNem}_q(z)=G_q(z)-G_q(1)
\ee
in such a way, that $\mathrm{AuNem}(1)\!=\!0$.
The readers are invited to check numerically the ranges of validity of relation
\be
\mathrm{SuNem}_q\big(\mathrm{AuNem}_q(z)\big)=z \\
\mathrm{AuNem}_q\big(\mathrm{SuNem}_q(z)\big)=z
\ee
and also estimate the residuals at the substitution of the numerical implementations into these relations.
\vskip 6pt

\begin{figure}
%\begin{center}
\parindent 0pt
\hskip 22pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Aunem0ht.jpg}\\
\hskip -9pt\sx{.2}{\begin{picture}(2060,1052)
\put(128,50){\ing{aunem0h}}
\put(80,1022){\sx{6}{$y$}}
\put(32,536){\sx{6}{$0.5$}}
\put(50,424){\sx{6}{$y_0$}}
\put(80,036){\sx{6}{$0$}}
\put(80, -7){\sx{6}{$-1$}}
\put(540,-6){\sx{6}{$-0.5$}}
\put(1118,-6){\sx{6}{$0$}}
\put(1590, -6){\sx{6}{$0.5$}}
\put(2096, -4){\sx{6}{$x$}}
\put(226,42){\sx{6}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1156,80){\sx{6}{\rot{89} \bf cut \ero}}
\put(540,958){\sx{7}{\rot{-40} $u\!=\!2$\ero}}
\put(420,770){\sx{7}{\rot{-22} $u\!=\!2.1$\ero}}
\put(350,544){\sx{7}{\rot{-8} $u\!=\!2.2$\ero}}
\put(346,264){\sx{7}{\rot{11} $u\!=\!2.3$\ero}}
\put(920,070){\sx{7}{\rot{64} $u\!=\!2.5$\ero}}
\put(1500,762){\sx{7}{\rot{47} $u\!=\!1$\ero}}
\put(1740,666){\sx{7}{\rot{0} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(1986,376){\sx{7}{\rot{-56} $u\!=\!0$\ero}}
\put(780,490){\sx{7}{\rot{80} $v\!=\!1.7$\ero}}
\put(880,480){\sx{7}{\rot{80} $v\!=\!1.8$\ero}}
\put(1200,768){\sx{7}{\rot{-1} $v\!=\!2$\ero}}
\put(1810,254){\sx{7}{\rot{48} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1860,32){\sx{7}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\hskip 22pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Aunem1ht.jpg}\\
\hskip -9pt\sx{.2}{\begin{picture}(2060,1052)
\put(128,50){\ing{aunem1h}}
\put(226,040){\sx{6.8}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1160,090){\sx{6.8}{\rot{73} \bf cut \ero}}
\put(80,1022){\sx{6}{$y$}}
\put(30,536){\sx{6}{$0.5$}}
\put(50,380){\sx{6}{$y_0$}}
\put(80,036){\sx{6}{$0$}}
\put(80, -7){\sx{6}{$-1$}}
\put(540,-6){\sx{6}{$-0.5$}}
\put(1118,-6){\sx{6}{$0$}}
\put(1190,-4){\sx{6}{$x_0$}}
\put(1590, -6){\sx{6}{$0.5$}}
\put(2096, -4){\sx{6}{$x$}}
\put(640,958){\sx{7}{\rot{-50} $u\!=\!1.4$\ero}}
\put(444,772){\sx{7}{\rot{-31} $u\!=\!1.5$\ero}}
\put(360,472){\sx{7}{\rot{-10} $u\!=\!1.6$\ero}}
\put(368,120){\sx{7}{\rot{11} $u\!=\!1.7$\ero}}
\put(910,70){\sx{7}{\rot{49} $u\!=\!1.8$\ero}}
%\put(286,958){\sx{8}{\rot{-10} $u\!=\!1.7$\ero}}
\put(1312,790){\sx{7}{\rot{82} $u\!=\!1$\ero}}
\put(1860,790){\sx{7}{\rot{-3} $u\!=\!0.5$\ero}}
\put(880,500){\sx{7}{\rot{60} $v\!=\!1.4$\ero}}
\put(976,460){\sx{7}{\rot{62} $v\!=\!1.5$\ero}}
\put(1720,250){\sx{7}{\rot{60} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1820,032){\sx{7}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\put(1986,376){\sx{7}{\rot{-56} $u\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\hskip 22pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Aunem2ht.jpg}\\
\hskip -9pt\sx{.2}{\begin{picture}(2360,1052)
%\put(128,50){\ing{aunem20ma}}
\put(128,50){\ing{aunem2h}}
\put(226,040){\sx{6.8}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1164,090){\sx{6.8}{\rot{73} \bf cut \ero}}
\put(80,1022){\sx{6}{$y$}}
\put(30,536){\sx{6}{$0.5$}}
\put(50,340){\sx{6}{$y_0$}}
\put(80,036){\sx{6}{$0$}}
%\put(-4,690){\sx{6.6}{$-y_0$}}
%\put(-18, 536){\sx{6}{$-0.5$}}
%\put(10, 34){\sx{6}{$-1$}}

\put(80, -7){\sx{6.001}{$-1$}}
\put(540,-6){\sx{6.001}{$-0.5$}}
\put(1118,-6){\sx{6.001}{$0$}}
\put(1198,-4){\sx{6.001}{$x_0$}}
\put(1590, -6){\sx{6.001}{$0.5$}}
\put(2096, -4){\sx{6.001}{$x$}}
%
\put(558,958){\sx{7}{\rot{-52} $u\!=\!1.2$\ero}}
\put(366,710){\sx{7}{\rot{-34} $u\!=\!1.3$\ero}}
\put(350,336){\sx{7}{\rot{-10} $u\!=\!1.4$\ero}}
\put(760,076){\sx{7}{\rot{28} $u\!=\!1.5$\ero}}
%\put(760,988){\sx{8}{\rot{-30} $u\!=\!1.5$\ero}}
\put(1072,870){\sx{7}{\rot{90} $u\!=\!1$\ero}}
\put(1302,776){\sx{7}{\rot{73} $u\!=\!0.8$\ero}}
\put(1840,780){\sx{7}{\rot{-5} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(1834,686){\sx{7}{\rot{-10} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(1834,612){\sx{7}{\rot{-18} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(1844,534){\sx{7}{\rot{-26} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(1844,470){\sx{7}{\rot{-35} $u\!=\!0$\ero}}
\put(1844,420){\sx{7}{\rot{-50} $u\!=\!-0.1$\ero}}
%\put(1844,370){\sx{8}{\rot{-62} $u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(756,620){\sx{7}{\rot{46} $v\!=\!1.2$\ero}}
\put(866,486){\sx{7}{\rot{56} $v\!=\!1.3$\ero}}
%
\put(1674,250){\sx{7}{\rot{65} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1820,032){\sx{7}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
%\put(1630, 864){\sx{8}{\rot{-72} $v\!=\!-1$\ero}}
%\put(1732,910){\sx{8}{\rot{88} $u\!=\!-1$\ero}}
%\put(2028,714){\sx{8}{\rot{54} $u\!=\!0$\ero}}
%\put(1866,386){\sx{8}{\rot{11} $u\!=\!0.3$\ero}}
%\put(1860,286){\sx{8}{\rot{6} $u\!=\!0.4$\ero}}
%\put(1840,180){\sx{8}{\rot{-5} $u\!=\!0.5$\ero}}
\end{picture}}
%\end{center}
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuNem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$ for 
$q\!=\!0$,
$q\!=\!1$,
$q\!=\!2$
%\label{aunema}}
\iL{aunema}}
\end{figure}
Complex maps of $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuNem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$ for 
$q\!=\!0$,
$q\!=\!1$ and
$q\!=\!2$ are shown in the $x,y$ plane in figure \ref{aunema}.
\vskip 8pt

The Readed is invited to compare the cut lines in figure \ref{aunema} with cuts in maps at the right hand side column of figure {suma}.
The cut lines of function $\mathrm{AuNem}_q$ are the same, as those of function $\mathrm{ArqNem}_q$;
because it is the first function to evaluate while computing through the asymptotic representation $G_{q,M}$ by equation \rf{AuNemLim}. 
The branch points are determined by function $\mathrm{NemBran}(q)$ shown in figure \ref{nembranfig}.
\vskip 8pt

Lines $v\!=\!\mathrm{const}$ in maps of figure \ref{aunema} approach the cut lines in pretty specific way, that corresponds to decrease of $u$, which represents the real part of the function. This means, that, if one goes along any line $v\!=\!\mathrm{const}$, increasing $u$, one approaches to the origin of coordinates, where the asymptotic representation is accurate, without to cross the cut lines.
This happens due to the specific choice of the inverse function $\mathrm{ArqNem}_q$,
with this goal, the cut lines of function  $\mathrm{ArqNem}_q$ are chosen in the function ArqNem.
(The default choice of the inverse function, provided by the routine ``Solve'' in Mathematica, does not provide this.)
\vskip 9pt

In such a way, the Abel function AuNem for the Nemtsov function is constructed and implemented.
With functions 
$\mathrm{SuNem}_q$ and 
$\mathrm{AuNem}_q$, the iterates
of function $\mathrm{Nem}_q$ 
% of the Nemtsov function 
can be calculated. 
They are shown in figures \ref{iteraplo}, \ref{niteramap}
%\ref{iteramap} 
and 
%They are 
described in the next section.

\begin{figure}[h]
\vskip 20pt
%\hskip -3pt
\sx{.0514}{\begin{picture}(4008,4108)
\put(0,4090){\sx{11.2}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itnem00plot.jpg}}}
%\put(20,3840){\sx{20}{$y\!=\!\mathrm{AuNem}_q(x)$}}
%\put(20,3840){\sx{20}{$y\!=\!\mathrm{nem}_2^n(x)$}}
\put(20,3900){\sx{20}{$y$}}
\put(20,2944){\sx{20}{$3$}}
\put(20,1940){\sx{20}{$2$}}
\put(20, 940){\sx{20}{$1$}}
%\put(10, 936){\sx{20}{$-1$}}
\put( 946,30){\sx{20}{$1$}}
\put(1950,30){\sx{20}{$2$}}
\put(2954,30){\sx{20}{$3$}}
\put(3870,30){\sx{20}{$x$}}
%
%\put(0,0){\ing{aunemplo}}
\put(0,0){\ing{itnem0}}
%
\put( 470,3450){\sx{18}{\rot{89} $n\!=\!4$\ero}}
\put( 630,3450){\sx{18}{\rot{88} $n\!=\!3$\ero}}
\put( 800,3450){\sx{18}{\rot{87} $n\!=\!2$\ero}}
\put(1356,3480){\sx{18}{\rot{80} $n\!=\!1$\ero}}
\put(1960,3420){\sx{18}{\rot{70} $n\!=\!0.5$\ero}}
\put(2150,3410){\sx{18}{\rot{66} $n\!=\!0.4$\ero}}
\put(2390,3400){\sx{18}{\rot{63} $n\!=\!0.3$\ero}}
\put(2640,3356){\sx{18}{\rot{56} $n\!=\!0.2$\ero}}
\put(2870,3200){\sx{18}{\rot{52} $n\!=\!0.1$\ero}}
\put(3100,3020){\sx{19}{\rot{45} $n\!=\!0$\ero}}
\put(3194,2730){\sx{18}{\rot{38} $n\!=\!-0.1$\ero}}
\put(3280,2470){\sx{18}{\rot{32} $n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(3280,2200){\sx{18}{\rot{26} $n\!=\!-0.3$\ero}}
\put(3250,1970){\sx{18}{\rot{22} $n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(3240,1810){\sx{18}{\rot{18} $n\!=\!-0.5$\ero}}
\put(3380,1230){\sx{18}{\rot{7} $n\!=\!-1$\ero}}
\put(3340,750){\sx{18}{\rot{2} $n\!=\!-2$\ero}}
\put(3340,550){\sx{18}{\rot{1} $n\!=\!-3$\ero}}
\put(3340,400){\sx{18}{\rot{0} $n\!=\!-4$\ero}}
%
\put(1058,2020){\sx{18}{\rot{78} $y\!=\!\mathrm{Nem}_0(x)$\ero}}
\put(1570,1500){\sx{29}{\rot{45} $y\!=\!x$\ero}}
\put(1740,920){\sx{18}{\rot{10} $y\!=\!\mathrm{ArqNem}_0(x)$\ero}}
\end{picture}} 
\JP{
\sx{.0514}{\begin{picture}(4008,4108)
\put(0,4090){\sx{11.2}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itnem00plot.jpg}}}
%\put(20,3840){\sx{20}{$y\!=\!\mathrm{AuNem}_q(x)$}}
%\put(20,3840){\sx{20}{$y\!=\!\mathrm{nem}_2^n(x)$}}
\put(20,3900){\sx{24}{$y$}}
\put(20,2944){\sx{24}{$3$}}
\put(20,1940){\sx{24}{$2$}}
\put(20, 940){\sx{24}{$1$}}
%\put(10, 936){\sx{20}{$-1$}}
\put( 946,30){\sx{24}{$1$}}
\put(1950,30){\sx{24}{$2$}}
\put(2954,30){\sx{24}{$3$}}
\put(3870,30){\sx{24}{$x$}}
%
%\put(0,0){\ing{aunemplo}}
\put(0,0){\ing{itnem1}}  %NOT USED!!
%
\put( 386,3450){\sx{20}{\rot{89} $n\!=\!4$\ero}}
\put( 526,3450){\sx{20}{\rot{88} $n\!=\!3$\ero}}
\put( 680,3450){\sx{20}{\rot{87} $n\!=\!2$\ero}}
\put(1116,3480){\sx{20}{\rot{84} $n\!=\!1$\ero}}
\put(1690,3420){\sx{20}{\rot{74} $n\!=\!0.5$\ero}}
\put(1890,3410){\sx{20}{\rot{71} $n\!=\!0.4$\ero}}
\put(2144,3400){\sx{20}{\rot{66} $n\!=\!0.3$\ero}}
\put(2460,3370){\sx{20}{\rot{62} $n\!=\!0.2$\ero}}
\put(2750,3200){\sx{20}{\rot{54} $n\!=\!0.1$\ero}}
\put(3100,3020){\sx{21}{\rot{45} $n\!=\!0$\ero}}
\put(3190,2620){\sx{20}{\rot{35} $n\!=\!-0.1$\ero}}
\put(3280,2290){\sx{20}{\rot{28} $n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(3336,2010){\sx{20}{\rot{22} $n\!=\!-0.3$\ero}}
\put(3350,1770){\sx{20}{\rot{17} $n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(3360,1580){\sx{20}{\rot{13} $n\!=\!-0.5$\ero}}
\put(3480,1016){\sx{20}{\rot{4} $n\!=\!-1$\ero}}
\put(3480,590){\sx{20}{\rot{1} $n\!=\!-2$\ero}}
\put(3480,430){\sx{20}{\rot{0} $n\!=\!-3$\ero}}
\put(3480,288){\sx{20}{\rot{0} $n\!=\!-4$\ero}}
%
\put( 900,2020){\sx{20}{\rot{81} $y\!=\!\mathrm{Nem}_1(x)$\ero}}
\put(1570,1500){\sx{21}{\rot{45} $y\!=\!x$\ero}}
\put(1800,784){\sx{20}{\rot{9} $y\!=\!\mathrm{ArqNem}_1(x)$\ero}}
\end{picture}} 
}%JP
\rule{4pt}{0pt}
\sx{.0514}{\begin{picture}(4000,4108)
\put(0,4090){\sx{11.2}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itnem20plot.jpg}}}
%\put(0,4090){\sx{11}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itnem20plot.jpg}}}
%\put(20,3840){\sx{20}{$y\!=\!\mathrm{AuNem}_q(x)$}}
%\put(20,3840){\sx{20}{$y\!=\!\mathrm{nem}_2^n(x)$}}
\put(20,3900){\sx{20}{$y$}}
\put(20,2944){\sx{20}{$3$}}
\put(20,1940){\sx{20}{$2$}}
\put(20, 940){\sx{20}{$1$}}
%\put(10, 936){\sx{20}{$-1$}}
\put( 946,30){\sx{20}{$1$}}
\put(1950,30){\sx{20}{$2$}}
\put(2954,30){\sx{20}{$3$}}
\put(3870,30){\sx{20}{$x$}}
%
%\put(0,0){\ing{aunemplo}}
\put(0,0){\ing{itnem2}}
%
\put( 340,3450){\sx{18}{\rot{89} $n\!=\!4$\ero}}
\put( 482,3450){\sx{18}{\rot{88} $n\!=\!3$\ero}}
\put( 620,3450){\sx{18}{\rot{87} $n\!=\!2$\ero}}
\put(1010,3480){\sx{18}{\rot{84} $n\!=\!1$\ero}}
\put(1578,3420){\sx{18}{\rot{76} $n\!=\!0.5$\ero}}
\put(1786,3420){\sx{18}{\rot{73} $n\!=\!0.4$\ero}}
\put(2040,3420){\sx{18}{\rot{66} $n\!=\!0.3$\ero}}
\put(2390,3420){\sx{18}{\rot{62} $n\!=\!0.2$\ero}}
\put(2730,3250){\sx{18}{\rot{54} $n\!=\!0.1$\ero}}
\put(3100,3020){\sx{19}{\rot{45} $n\!=\!0$\ero}}
\put(3190,2560){\sx{18}{\rot{35} $n\!=\!-0.1$\ero}}
\put(3280,2200){\sx{18}{\rot{28} $n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(3236,1906){\sx{18}{\rot{21} $n\!=\!-0.3$\ero}}
\put(3220,1630){\sx{18}{\rot{17} $n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(3200,1400){\sx{18}{\rot{13} $n\!=\!-0.5$\ero}}
\put(3380,900){\sx{18}{\rot{6} $n\!=\!-1$\ero}}
\put(3360,510){\sx{18}{\rot{1} $n\!=\!-2$\ero}}
\put(3360,380){\sx{18}{\rot{0} $n\!=\!-3$\ero}}
\put(3360,230){\sx{18}{\rot{0} $n\!=\!-4$\ero}}
%
\put( 840,2020){\sx{18}{\rot{83} $y\!=\!\mathrm{Nem}_2(x)$\ero}}
\put(1570,1500){\sx{19}{\rot{45} $y\!=\!x$\ero}}
\put(1800,720){\sx{18}{\rot{6} $y\!=\!\mathrm{ArqNem}_2(x)$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{
%Iterates of the Nemtsov function by \rf{Nqn} of real argument:
$y\!=\!\mathrm{Nem}_q^{\,n}(x)$ at $q\!=\!0$, left, and $q\!=\!2$, right, for various  $n$ by \rf{Nqn} 
%values of the number $n$ of iterate
 \label{iteraplo} }
\vskip -2pt
\end{figure}

\newcommand \scalite {\put(200,040){\sx{8}{\rot{0.} \bf cut \ero}}
\put(1130,090){\sx{8}{\rot{73} \bf cut \ero}}
\put(40,1022){\sx{8}{$y$}}
\put(-18,536){\sx{8}{$0.5$}}
\put(12,380){\sx{8}{$y_0$}}
\put(40,030){\sx{8}{$0$}}
\put(60, -22){\sx{8}{$-1$}}
\put(510,-22){\sx{8}{$-0.5$}}
\put(1084,-22){\sx{8}{$0$}}
\put(1150,-22){\sx{8}{$x_0$}}
\put(1560, -22){\sx{8}{$0.5$}}
\put(2076, -22){\sx{8}{$x$}}
}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Aunem2ht.jpg}\\
\begin{figure} 
\vskip -12pt
\sx{.8}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Nem1it.jpg}}
\sx{.1}{\begin{picture}(2120,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1n6}}
%\put(770,980){\sx{9}{\rot{-52} $u\!=\!0$\ero}}
\put(110,880){\sx{9}{\rot{-88} $u\!=\!-2$\ero}}
\put(412,880){\sx{9}{\rot{-80} $u\!=\!-1$\ero}}
\put(1270,594){\sx{9}{\rot{17} $u\!=\!0$\ero}}
\put(1850,110){\sx{9}{\rot{77} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(150,880){\sx{9}{\rot{14} $v\!=\!-1$\ero}}
\put(740,640){\sx{9}{\rot{20} $v\!=\!0$\ero}}
\put(140,290){\sx{9}{\rot{-20} $v\!=\!1$\ero}}
%
\put(1940,914){\sx{9}{\rot{-49} $v\!=\!2$\ero}}
\put(1810,534){\sx{9}{\rot{-31} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}} 
\sx{.1}{\begin{picture}(2100,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1m6}}
\put(680,920){\sx{9}{\rot{-17} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(650,700){\sx{9}{\rot{-7} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(650,486){\sx{9}{\rot{2} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(650,280){\sx{9}{\rot{14} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(730,100){\sx{9}{\rot{23} $u\!=\!0$\ero}}
%
\put(374,770){\sx{9}{\rot{85} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1226,800){\sx{9}{\rot{50} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1420,756){\sx{9}{\rot{40} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1580,660){\sx{9}{\rot{30} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1690,530){\sx{9}{\rot{22} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1760,370){\sx{9}{\rot{14} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1790,204){\sx{9}{\rot{6} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\sx{.1}{\begin{picture}(2120,1120)\scalite \put(100,50){\ing{nem1n5}}
%\put(640,814){\sx{9}{\rot{-33} $u\!=\!0$\ero}}
\put(1270,596){\sx{9}{\rot{30} $u\!=\!0$\ero}}
\put(244,600){\sx{9}{\rot{-59} $u\!=\!1$\ero}}
\put(1886,110){\sx{9}{\rot{79} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(260,710){\sx{9}{\rot{43} $v\!=\!-1$\ero}}
\put(918,740){\sx{9}{\rot{72} $v\!=\!0$\ero}}
%
\put(1940,1030){\sx{9}{\rot{-41} $v\!=\!2$\ero}}
\put(1670,700){\sx{9}{\rot{-36} $v\!=\!1$\ero}}
%
\put(1810,32){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}} 
\sx{.1}{\begin{picture}(2100,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1m5}}
\put(850,1024){\sx{9}{\rot{-32} $u\!=\!0.4$\ero}}
\put(750,860){\sx{9}{\rot{-26} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(700,674){\sx{9}{\rot{-18} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(670,500){\sx{9}{\rot{-10} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(670,314){\sx{9}{\rot{1} $u\!=\!0$\ero}}
\put(670,130){\sx{9}{\rot{10} $u\!=\!-0.1$\ero}}
%
\put(280,800){\sx{9}{\rot{75} $v\!=\!1.1$\ero}}
\put(500,770){\sx{9}{\rot{73} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1310,790){\sx{9}{\rot{42} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1480,730){\sx{9}{\rot{33} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1590,610){\sx{9}{\rot{26} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1700,490){\sx{9}{\rot{20} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1770,340){\sx{9}{\rot{13} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1790,190){\sx{9}{\rot{5} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\sx{.1}{\begin{picture}(2120,1120)\scalite \put(100,50){\ing{nem1n4}}
\put(1250,600){\sx{9}{\rot{40} $u\!=\!0$\ero}}
\put(1926,110){\sx{9}{\rot{82} $u\!=\!1$\ero}}
\put(126,230){\sx{9}{\rot{-30} $u\!=\!1$\ero}}

\put(284,710){\sx{9}{\rot{80} $v\!=\!-1$\ero}}
\put(840,700){\sx{9}{\rot{90} $v\!=\!0$\ero}}
%
%\put(1940,1030){\sx{9}{\rot{-41} $v\!=\!2$\ero}}
\put(1670,748){\sx{9}{\rot{-30} $v\!=\!1$\ero}}
%
\put(1810,32){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}} 
\sx{.1}{\begin{picture}(2100,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1m4}}
\put(870,970){\sx{9}{\rot{-42} $u\!=\!0.3$\ero}}
\put(780,830){\sx{9}{\rot{-36} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(720,676){\sx{9}{\rot{-32} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(700,510){\sx{9}{\rot{-23} $u\!=\!0$\ero}}
\put(690,340){\sx{9}{\rot{-13} $u\!=\!-0.1$\ero}}
\put(680,180){\sx{9}{\rot{-4} $u\!=\!-0.2$\ero}}
%
\put(344,720){\sx{9}{\rot{65} $v\!=\!1.1$\ero}}
\put(530,680){\sx{9}{\rot{64} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1320,734){\sx{9}{\rot{33} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1480,672){\sx{9}{\rot{25} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1590,566){\sx{9}{\rot{19} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1700,452){\sx{9}{\rot{14} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1770,320){\sx{9}{\rot{10} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1790,174){\sx{9}{\rot{5} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\sx{.1}{\begin{picture}(2120,1120)\scalite \put(100,50){\ing{nem1n3}}
\put(1240,630){\sx{9}{\rot{50} $u\!=\!0$\ero}}
\put(1970,110){\sx{9}{\rot{86} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(1670,800){\sx{9}{\rot{-22} $v\!=\!1$\ero}}
\put(660,750){\sx{9}{\rot{-70} $v\!=\!0$\ero}}
\put(226,894){\sx{9}{\rot{22} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(130,270){\sx{9}{\rot{-88} $v\!=\!1$\ero}}
\end{picture}} 
\sx{.1}{\begin{picture}(2100,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1m3}}
\put(880,960){\sx{9}{\rot{-50} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(810,820){\sx{9}{\rot{-46} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(734,690){\sx{9}{\rot{-42} $u\!=\!0$\ero}}
\put(650,580){\sx{9}{\rot{-39} $u\!=\!-0.1$\ero}}
\put(560,470){\sx{9}{\rot{-35} $u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(490,330){\sx{9}{\rot{-31} $u\!=\!-0.3$\ero}}
\put(420,200){\sx{9}{\rot{-28} $u\!=\!-0.4$\ero}}
%
\put(342,720){\sx{9}{\rot{52} $v\!=\!1.1$\ero}}
\put(500,666){\sx{9}{\rot{50} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1340,696){\sx{9}{\rot{25} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1490,630){\sx{9}{\rot{18} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1590,524){\sx{9}{\rot{15} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1700,420){\sx{9}{\rot{10} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1770,300){\sx{9}{\rot{5} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1790,166){\sx{9}{\rot{2} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\sx{.1}{\begin{picture}(2120,1120)\scalite \put(100,50){\ing{nem1n2}}
\put(338,840){\sx{9}{\rot{45} $u\!=\!-1$\ero}}
\put(1240,686){\sx{9}{\rot{65} $u\!=\!0$\ero}}
\put(2018,110){\sx{9}{\rot{87} $u\!=\!1$\ero}}
%
\put(1660,870){\sx{9.4}{\rot{-16} $v\!=\!1$\ero}}
\put(660,440){\sx{9}{\rot{-52} $v\!=\!0$\ero}}
\put(1800,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}} 
\sx{.1}{\begin{picture}(2100,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1m2}}
\put(1060,940){\sx{9}{\rot{-65} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(950,870){\sx{9}{\rot{-62} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(850,800){\sx{9}{\rot{-60} $u\!=\!0$\ero}}
\put(750,730){\sx{9}{\rot{-57} $u\!=\!-0.1$\ero}}
\put(650,660){\sx{9}{\rot{-55} $u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(540,560){\sx{9}{\rot{-52} $u\!=\!-0.3$\ero}}
\put(440,480){\sx{9}{\rot{-49} $u\!=\!-0.4$\ero}}
\put(340,390){\sx{9}{\rot{-48} $u\!=\!-0.5$\ero}}
%
\put(220,736){\sx{9}{\rot{34} $v\!=\!1.1$\ero}}
\put(370,670){\sx{9}{\rot{34} $v\!=\!1$\ero}}
\put(1280,900){\sx{9}{\rot{20} $v\!=\!0.8$\ero}}
\put(1420,694){\sx{9}{\rot{14} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1540,602){\sx{9}{\rot{12} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1620,500){\sx{9}{\rot{8} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1700,390){\sx{9}{\rot{8} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1770,276){\sx{9}{\rot{4} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1790,154){\sx{9}{\rot{2} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}

\sx{.1}{\begin{picture}(2120,1120)\scalite \put(100,50){\ing{nem1n1}}
\put(244,700){\sx{9}{\rot{70} $u\!=\!-1$\ero}}
\put(1225,840){\sx{9}{\rot{76} $u\!=\!0$\ero}}
\put(2070,110){\sx{9}{\rot{88} $u\!=\!1$\ero}}
\put(1810,924){\sx{9}{\rot{-9} $v\!=\!1$\ero}}
\put(660,244){\sx{9}{\rot{-26} $v\!=\!0$\ero}}
\put(1810,34){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}} 
\sx{.1}{\begin{picture}(2100,1100)\scalite \put(100,50){\ing{nem1m1}}
\put(1178,960){\sx{9}{\rot{-79} $u\!=\!0.2$\ero}}
\put(1060,960){\sx{9}{\rot{-79} $u\!=\!0.1$\ero}}
\put(964,896){\sx{9}{\rot{-76} $u\!=\!0$\ero}}
\put(850,870){\sx{9}{\rot{-73} $u\!=\!-0.1$\ero}}
\put(740,830){\sx{9}{\rot{-72} $u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(630,780){\sx{9}{\rot{-71} $u\!=\!-0.3$\ero}}
\put(530,720){\sx{9}{\rot{-70} $u\!=\!-0.4$\ero}}
\put(420,680){\sx{9}{\rot{-69} $u\!=\!-0.5$\ero}}
\put(320,640){\sx{9}{\rot{-69} $u\!=\!-0.6$\ero}}
\put(210,590){\sx{9}{\rot{-69} $u\!=\!-0.7$\ero}}
\put(110,500){\sx{9}{\rot{-68} $u\!=\!-0.8$\ero}}
\put(220,920){\sx{9}{\rot{19} $v\!=\!1.1$\ero}}
\put(370,840){\sx{9}{\rot{19} $v\!=\!1$\ero}}
%\put(1200,956){\sx{9}{\rot{10} $v\!=\!0.9$\ero}}
\put(1350,870){\sx{9}{\rot{8} $v\!=\!0.8$\ero}}
\put(1490,670){\sx{9}{\rot{7} $v\!=\!0.6$\ero}}
\put(1580,570){\sx{9}{\rot{5} $v\!=\!0.5$\ero}}
\put(1650,466){\sx{9}{\rot{3} $v\!=\!0.4$\ero}}
\put(1730,358){\sx{9}{\rot{3} $v\!=\!0.3$\ero}}
\put(1790,254){\sx{9}{\rot{2} $v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1800,144){\sx{9}{\rot{1} $v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1810,33){\sx{9}{\rot{0} $v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}
\caption{
%Complex maps of Iterates of the Nemtsov function by \rf{Nqn} at $q\!=\!1$;
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Nem}_1^{\,n}(x\!+\!\mathrm i y)$ by \rf{Nqn} for
$n=0.6$ .. $0.1$, left, and for  $n=-0.6$ .. $-0.1$, right
\iL{iteramap}
\label{niteramap}
 }
\end{figure}


\section{Iterates of the Nemtsov function}
With functions  $\mathrm{Nem}_q$ and $\mathrm{SuNem}_q$ from the previous sections,
the iterates of the Nemtsov function can be defined, 
%\rf{Tn};  ?
%I re-write it as follows:
\be
\mathrm{Nem}_q^{\,n}(z)=\mathrm{SuNem}_q\Big( n + \mathrm{AuNem}_q(z) \Big)
\eL{Nqn}

Figure \ref{iteraplo} shows the explicit plot $y\!=\!\mathrm{Nem}_q(x)$ for 
$q\!\rightarrow\!0$ in the left hand side picture and for $q\!=\!2$ in the right hand side picture, for various values of the number $n$ of iterate. The integer values of $n$ 
correspond to the thick lines.
\vskip 6pt
For $q\!=\!1$, complex maps of iterates $\mathrm{Nem}_1^{\,n}$ are shown in figure \ref{niteramap}. The figure shows, how, at the increase of number $n$ of iterate from $-1$ to $1$,
function $\mathrm{ArqNem}_1$ gradually changes to the identity function (with rectangular grid as the complex map) and then to the Nemtsov function $\mathrm{Nem}_1$.
\vskip 8pt

Iterates in figure \ref{iteraplo} look similar to iterates of other quickly growing holomorphic functions
%\cite{analuxp,vladie,sqrt2,fac,hikari,bookr}. 
\cite{analuxp,vladie,sqrt2,factorial,sutra}.
In particular, at $n\!\approx\! 0$, the iterate $\mathrm{Nem}_q^{\,n}$ looks similar to identical function; at $n\!=\!1$, it is just Nemtsov function $\mathrm{Nem}_q$, and at $n\!=\!-1$, it is the inverse function, id est, $\mathrm{ArqNem}_q$. 

Iterates of a growing real-holomorphic function are also real-holomorphic; the complex maps are symmetric with respect to reflection from the real axis, so, the only upper half of the complex plane is shown shown in figure \ref{iteramap}. The left column shows maps for the positive iterates; the number $n$ varies from $0.6$ at the top map with step $-0.1$ to $-0.1$ at the bottom map.
In the similar way, the right hand side column represents maps for $n$ from $-0.6$ at the top to $-0.1$ at the bottom. Only case with $q\!=\!1$ is presented, but one can download the generator of the figure and plot similar maps for other values of $q$, and, of course, other values of number $n$ of iterate; this number can be even complex.
\vskip 8pt

Iterates by \ref{Nqn} shown in figures  \ref{iteraplo},  \ref{iteramap} provide the smooth (holomorphis) transition from the Nemtsov function $\mathrm{Nem}_q$ to the identity function and then to the inverse function ArqNem. Iterates have the group property,
\be
T^{m+n}(z)=T^{m}(T^n(z))
\eL{Tmn}
This ratio holds only for certain range of values of parameters, that includes the positive part of the real axis for $z$. 
%This range of validity is discussed in the next section.
To keep the Book of reasonable thickness, I skip this analysis and invite Readers to do this as an exercise.
%In order to keep the Book of reasonable thickness, I skip out this analysis and suggest the Readers to do it as an exercise.
%\vskip 8pt

\section{End of exotic iteration}
\baselineskip 18.8pt

%\begin{wrapfigure}{r}{66pt}
\begin{wrapfigure}{r}{76pt}
\sx{.3}{\begin{picture}(100,160)
%\put(-18,-40){\ing{boris}}
\put(-8,-40){\ing{boris}}
\put(246,-12){\rot{90}\sx{2.2}{\url{http://nemtsov.ru}}\ero}
\end{picture}}
\caption{B.Nemtsov \label{boris}}
\end{wrapfigure}
%On this point, I stop consideration of the Nemtsov function and, in general, consideration of the exotic iteration.
%The exotic iteration allows to construct superfunctions and abelfunctions for a transfer functions $T$, that has real fixed point $L$ such that $T'(L)\!=\!1$, and $T''(L)\!=\!0$.  
%\vskip 5pt

The 4th order polynomial of special kind \rf{nem} is considered in this section. I call it Nemtsov function after Boris Nemtsov, see
fig. \ref{boris}; the need to denote this function coincided with the tragic event. This polynomial is treated as transfer function: the inverse function ArqNem, the superfunction SuNem and the abelfunction AuNem are constructed. 
%The most difficult part of the work with the Nemtsov function happened to be construction of the inverse function $\mathrm{ArqNem}_q$, that
%allows the efficient evaluation of 
%both $\mathrm{SuNem}_q$, and
 %$\mathrm{AuNem}_q$ in the whole complex plane.
\vskip 8pt
 
Construction of function ArqNem happened to be non-trivial; so, its map is shown in the right hand side column of figure \ref{nema} for various values of parameter. Choice of the cut lines of this function is important. The readers are invited to try to construct abelfunction with other choice of the cut lines and plot the complex maps of the result. And compare the resulting complex maps to those in figure \ref{aunema}. And the same for the iterates in figure \ref{iteramap}.
\vskip 8pt
 
Function Nem is my last attempt to construct a difficult-to-iterate growing real-holomomorphic function with real fixed point.
The fixed point is chosen at zero, because the update to the more general case is straightforward, it is specified in the last row of table
\ref{TableOfSuperfunctions}.
\vskip 8pt
%The choice of the cut lines provides the decreasing of the modulus of the argument after the multiple application of function ArqNem; following the line 
%$\Im(\mathrm{AuNem}_q(x\!+\!\mathrm i y)$ in figure \ref{aunema} leads to the origin of coordinates  (where the asymptotic expansion can be used of evaluation of abelfunction) without to cross any of the cut lines.
%Yet, I do not know, how to automatise the procedure of searching for the appropriate choice of the cut lines of the inverse of the transfer function.

%The Nemtsov function can be used as an example for constructing of the general algorithm of choice of the cut lines for the inverse function, suitable for the exotic iteration. This difficulty refers to the verification in of the result in the complex plane; the calculus for the real argument can be performed even with ``naive'' inversion of function.
%\vskip 6pt

%Any holomorphic function can be declared as "transfer function", and then, the iterates can be constructed with the method above.
%The formulas above allow the generalisation.
%The results above allow the extension, modification, mentioned in the last line of Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
%The exotic iterates can be constructed also for other transfer functions, that behave similarly to the identity function in vicinity of the fixed point.
%In analogy with the Nemtsov function, one can iterate more complicated polynomials that begin with linear term with coefficient unity.
%In addition to the Nemtsov function, other similar polynomials can be considered.
%In particular, iterates of sinh, arctan, arctanh, and many other functions can be treated in the similar way.
%Including those, that yet have no special name. The method seems to be pretty general.
%По аналогии с синусом, так можно строить итерации функций sinh, arctan, и многих других.
%, которые еще не имеют столь кратких и звучных общепринятых названий. Я предлагаю читателям построить итерации хоть одной из таких функций в качестве самостоятельного упражнения. Я надеюсь, что графопостроитель conto.cin, загруженный в Ситизендиум, ТОРИ и ещё на некоторые сайты, поможет нарисовать красивые картинки для такого упражнения.
%\vskip 2mm
%На основе рассмотренных выше примеров, я заключаю, что 
%Имеется формализм для построения суперфункции, которая на бесконечности стремится к стационарной точке передаточной функции. Особенно просто такой формализм интерпретируется, когда передаточная вещественно-голоморфна, имеет вещественную стационарную точку и является возрастающей функцией хотя бы в некоторой окрестности этой стационарной точки.  
%\vskip 6pt
%На этом я пока заканчиваю анализ 
%неограниченно-растущих 
%суперфункций, абельфункций и итераций для вещественно-голоморфных функций, имеющих хотя бы одну вещественную стационарную точку.
%В следующей главе рассмотрена передаточная функция, а именно - натуральная экспонента, у которой вещественных стационарных точек нет. 
% и самая простая супефункция - тетрация - стремится к одной из комплексных стационарных

%\chapter{Тетрация по основанию $\mathrm e$}
%\chapter{~ Натуральная тетрация ~ tet}

%With the Nemtsov function, I finish the analysis of exotic iteration.
%growing real - holomorphic transfer functions, that have at least one real fixed point.
%I believe, with the example above, the Reader already can construct superfunctions, abelfunctions and non-integer iterates for the exotic cases mentioned.
%So, I go ahead.
%\vskip 8pt

For the real-holomorphic growing transfer function with real fixed point, the suprfunction can be constructed with regular iteration
considered in chapter 6, if the derivative at fixed point is not unity, or with exotic iteration, if this derivative is unity.
Then, one can guess the heuristic ``solution'' with correct asymptotic behaviour of the superfunction, using analogy with the differential equation, discussed in the previous chapter; the same analogy works for the Nemtsov function too. This leads to iterates that I call ``exotic''.
The exotic iterates lead to pretty regular and real-holomorphic superfunctions, abelfunctions and correspondingly regular non-integer iterates of the transfer function.
\vskip 8pt

In the next chapter, I consider, in some sense, even more exotic case, when the transfer function has no real fixed point.
The example of such a function without real fixed point is just natural exponent, $T=\exp$.
Historically, namely this transfer function had been considered and iterated (it can be iterated any real or even complex number of times) 
\cite{analuxp}.
%In this book, I do not follow the historical sequence of publications, but present the simple cases first; so, the exotic iteration, SuSin, etcetera appear above.
%and the exp (that historically had been treated before the exotic iterate
%\vskip 5pt

%In some sense, the iterates considered in this chapter, and, in general, all that I call "exotic iteration", is not so exotic as the real-holomorphic function in the next %chapter, that has no real fixed points,  just common exponential. 
%% (neither "regular", nor "exotic"). The corespondent function happen to be just common exponential. 
%It is treated in the next Chapter.

%With notations established above, while the main formulas are already written, the case of tetration, considered in the next chapter, is also not so complicated. Please, relax for a while between the chapters, and go ahead. The relax seems to be necessary, because in the next Chapter I deal with transfer function, that has no real fixed points.
%For such a function, none of the approaches considered above can be applied as is; but the contour integration appears as the solution. 

\chapter{~ Natural tetration ~ tet}
\baselineskip 20pt

%\begin{wrapfigure}[28]{r}{175px}
\begin{wrapfigure}{r}{234px}
\parindent 0pt
%\sx{.5}{\begin{picture}(852,1002)
%\sx{.44}{\begin{picture}(852,962)
\hskip 8pt
\sx{.52}{\begin{picture}(436,888)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
%\zooma
\normalsize
%\put(184,989){\sx{2.8}{$y$}}
\put(184,689){\sx{2.8}{$y$}}
%\put(184, 893){\sx{2.6}{$7$}}
%\put(184, 793){\sx{2.6}{$6$}}
%\put(184, 693){\sx{2.6}{$5$}}
\put(184, 593){\sx{2.6}{$4$}}
\put(184, 493){\sx{2.6}{$3$}}
\put(184, 467){\sx{2.6}{$\mathrm e$}}
\put(184, 393){\sx{2.6}{$2$}}
\put(184, 293){\sx{2.6}{$1$}}
\put(184, 193){\sx{2.6}{$0$}}
\put(170, 092){\sx{2.6}{$-\!1$}}
%\put(-1, 010){\sx{2.6}{$-\!2$}}
%\put(016, -4){\sx{2.6}{$-\!2$}}
\put(080,176){\sx{2.6}{$-\!1$}}
\put(195,176){\sx{2.6}{$0$}}
\put(295,176){\sx{2.6}{$1$}}
\put(386,179){\sx{2.7}{$x$}}

%\put(0,0){\ing{TetPlot}}
\put(0,0){\ing{tetplo}}
\put(232,742){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
%\put(222,642){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
\put(024,44){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
\put(370,722){\sx{2.4}{$y\!=\!\mathrm e^x$}}
%\put(334,572){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm e^x$}}
\put(010,232){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm e^x$}}
\put(204,259){\sx{1.7}{$y\!=\!10\big(\mathrm{tet}(x)-(x\!+\!1)\big)$}}
\put(72,130){\sx{1.9}{$y\!=\!10\big(\mathrm{tet}(x)-(x\!+\!1)\big)$}}
\put(430,20){\sx{1.9}{\rot{90}{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TetPlotU.png}}\ero}}
\end{picture}} \vskip -8pt
\caption{%Натуральная тетрация 
\large
$y\!=\!\mathrm{tet}(x)\,$,
% толстая курва;
%для сравнения показаны также
$\,y\!=\!\exp(x)\,$, 
%тонкая курва, 
~and $\,y\!=\!10\big(\mathrm{tet}(x)-(x\!+\!1)\big)~$% курва промежуточной толщины.
\iL{TetPlot}}
\vskip 16pt
\end{wrapfigure}

%Здесь рассмотрен случай экспоненциальной передаточной функции, 
Here, I consider the exponential transfer function, $T\!=\!\exp$.
%а специальная суперфункция от натуральной экспоненты.
%$ называемая тетрацией $\mathrm {tet}$. 
%Для такой передаточной функции 
%\rf{Tez}, 
%передаточное уравнение 
%записывается в виде
For this transfer function, the transfer equation can be written as follows:
\be
f(z\!+\!1)=\exp(f(z)) ~ ~ ~
%\label{transferwxp}
\label{transferexp}
\ee
%Чтобы ограничить множество решений,  на искомое решение $f$ налагается условие
In order to narrow the set of solutions, the additional condition is assumed:
\be
f(0)=1
\label{f0172}
\ee
In order to provide the uniqueness, in addition, I require, that the solution $f(z)$ is holomorphic
%Чтобы ещё сузуть многообразие решений, я требую, чтобы решение $f(z)$ было 
%голоморфным во всей комплексной плоскости за исключением полупрямой 
at the whole complex plane except $z\!\le\!-2$, 
and also limited at least in the strip $\Re(z)\!\le\! 1$.
I refer the solution $f$ as ``tetration'' (or ``natural tetration'') and denote it with symbol $\mathrm{tet}$.
%Тогда решение $f$ называется тетрацией и обозначается символом $\mathrm{tet}$. Для вещественных значений аргумента, эта функция показана на рисунке \ref{TetPlot}. %В этой главе я рассказываю, как эта функция построена.
In this chapter I tell, how this function is constructed; I use the main formulas and pictures from publications
\cite{analuxp,vladie}.
\vskip 2mm

%\section{Motivation}
%Здесь речь идет об экспоненте по основанию $\mathrm e$, то есть натуральной экспоненте, обратной функции натурального логарифма.
%Надо отличать такую тетрацию от сходных суперфункций для экспоненты по другим основаниям. Поэтому предлагается также термин ``натуральная тетрация'', использованный в качестве названия этой главы.
%\vskip 2mm

Colleagues often ask questions not only about superfunctions and way of the evaluation, but also about guessing of properties of these functions. In particular, these questions refer to the properties of the natural tetration:
%, postulated in the preamble of this chapter
``How did you guess?''
\vskip 2mm

The questions about guessing are important not only for the history,
%ians, who deal with the history of science, 
but also for the colleagues, who want to use the similar way for other transfer functions, superfunctions and, perhaps, even to some more complicated objects. So, I consider these questions seriously. Especially, this apply to the natural exponent and the natural tetration, as the natural tetration is first non-trivial superfunction, for which the efficient algorithms of evaluation had been suggested and described \cite{analuxp,vladie}. 
\vskip 2mm

In this chapter, I provide not only the formulas and pictures for the natural exponental and the natural tetration, but also explanations, why namely this tetration should be considered and recognised as the most ``true'' and the ``most natural'' among various possible superfunctions; and why any researcher, following the same idea, should come to the same tetration.
\vskip 2mm

%Kоллеги спрашивают не только о том, как вычислять суперфункции для разных экзотических случаев (порою предсказывая, что для некоторой конкретной передаточной функции, суперфункцию построить не удастся),
%но и о том, как я догадался об асимптотическом поведении натуральной тетрации (а также других суперфункций). Такие вопросы задают не для того, чтобы во всех волнующих, шокирующих подробностях проследить сложный и опасный труд по угадыванию асимптотического поведения тетрации, а для того, чтобы похожим образом решать и другие задачи. Поэтому я отношусь к таким вопросам со всей серьезностью.
%строить и другие суперфункции.
%\vskip 2mm
 
%Чтобы ответить, эту главу пришлось превратить в некоторое подобие детективного романа, когда есть завязка, то есть уравнения \rf{transferexp}, \rf{f0172}, и предлагается ущучить голоморфное решение  $f\!=\!\mathrm{tet}$, которое научная общественность согласилась бы счесть самой что ни на есть настоящей и натуральной тетрацией. В этой главе я показываю, что выбора у меня, по существу, не было, и что натуральная тетрация получается совершенно естественным и натуральным образом.

%\section{Экспонента}
\section{Exponent}
%Прежде чем говорить о решении $f$ уравнений \rf{transferwxp}, \rf{f0172},
Before to deal with solution  $f$ of equations \rf{transferexp}, \rf{f0172},
it worth to remind properties of exponent.
%прийдется вспомнить свойства экспоненты.
%Для вещественного аргумента, график экспоненты показан на рисунке \ref{TetPlot} тонкой кривой.
For the real argument, graphic of exponent is shown in figure  \ref{TetPlot} with thin line.
%Комплексная карта передаточной функции $T\!=\!\exp$ показана на рисунке \ref{expMap}.
Complex map of the transfer function  $T=\exp$ is shown in figure \ref{expMap}.
% На рисунке \ref{ExpQ2ePlot} повторен график экспоненты по основанию $\mathrm e$, чтобы сравнить его с экспонентой по основанию $\sqrt{2}$; одна из суперфункций для экспоненты по основанию  $\sqrt{2}$ уже рассмотрена в главе \ref{ChapterQ2}.
\vskip 2mm

\newcommand \zoomax {
\put(18, 806){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 513){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 413){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-4$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(435, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(535, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(827,-4){\sx{3}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\parindent 0pt
%\sx{.25}{\begin{picture}(852,820)
%\sx{.24}{\begin{picture}(852,820)
\sx{.5}{\begin{picture}(852,820)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
\put(40,20){\ing{ExpMap}}
\zoomax
\put(100,726){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(100,568){\sx{4}{$u\!=\!0$}}
\put(100,411){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(100,252){\sx{4}{$u\!=\!0$}}
\put(100,094){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(455,677){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(455,532){\sx{4}{\rot{90}$v\!=\!1$\ero}} 
\put(525,532){\sx{4}{\rot{90}$v\!=\!2$\ero}}
\put(296,360){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}} 
\put(455,374){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}} 
\put(525,374){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put(455,208){\sx{4}{\rot{90}$v\!=\!-\!1$\ero}} 
\put(455,050){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-\!1$\ero}}
\end{picture}} 
\caption{\large  $u\!+\! \mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{expMap} % ~ ~ ~ \iL{ExpQ2ePlot}
}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\parindent 0pt
\normalsize
%\sx{.25}{\begin{picture}(852,820)
%\sx{.24}{\begin{picture}(852,820)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
%\put(40,20){\ing{ExpMap}}
\sx{.35}{\begin{picture}(1202,804)
%\zoomax
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}} 
\put(582,798){\sx{4.1}{$y$}} 
\put(582,709){\sx{4.1}{$7$}}
\put(582,609){\sx{4.1}{$6$}}
\put(582,509){\sx{4.1}{$5$}}
\put(582,409){\sx{4.1}{$4$}}
\put(582,309){\sx{4.1}{$3$}}
\put(582,209){\sx{4.1}{$2$}}
\put(582,109){\sx{4.1}{$1$}}
\put(080,-12){\sx{3.6}{$-5$}}
\put(180,-12){\sx{3.6}{$-4$}}
\put(281,-12){\sx{3.6}{$-3$}}
\put(381,-12){\sx{3.6}{$-2$}}
\put(482,-12){\sx{3.6}{$-\!1$}}
% \put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(704.7,-12){\sx{3.6}{$1$}}
\put(804.8,-12){\sx{3.6}{$2$}}
\put(904.9,-12){\sx{3.6}{$3$}}
\put(1004.0,-12){\sx{3.6}{$4$}}
\put(1104.2,-12){\sx{3.6}{$5$}}
\put(1192.5,-12){\sx{3.8}{$x$}}
\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
\put(1034,490){\sx{5.6}{\rot{66}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1094,444){\sx{5.7}{\rot{45}$y\!=\!x$\ero}}
\put(10,20){\ing{ExpQ2ePlot}}
\end{picture}
}
\caption{\large $~y\!=\!\exp(x)~$ and $~y\!=\!\exp_{\sqrt{2}}(x)$ ~ \iL{ExpQ2ePlot}
}
\end{figure}

%Для передаточной функции $T\!=\!\exp$, передаточное уравнение записывается в виде
%\be
%f(z\!+\!1)=\mathrm e^{f(z)}=\exp\!\big(f(z)\big)
%\eL{transfere}
%Разумеется, это уравнение отличается от уравнения \transferwx лишь фор
%Для вещественных значений аргумента, график натуральной экспоненты в сравнении с графиком экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ показан на рисунке \ref{ExpE2ePlot}.
%Тонкая линия по казывает $y=x$ выделяет вещественные стационарные точки экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, поясняя, как это у натуральной экспоненты нет вообще ни одной вещественной стационарной точки, в то время как у экспоненты по основаию $\sqrt{2}$ таких точек ажно две.

%Я надеюсь, что меня простят за то, что я говорю, пишу и рисую про такие элементарные функции. Книга должна выдерживать прямое попадание в руки даже самого необученного академика (Пусть А.Каминский не обижается, так как этот оборот не я придумал, а Братья Стругацкие \cite{stru}). 
%Дело в том, что экспонента везде гладкая, пока она не итерируется. Или даже пока итерируется, но целое неотрицательное число раз.
%А вот если смотреть, насколько она гладкая по количеству итераций, то вопрос о гладкости не так прост. (Я прошу Ю.Кузнецову не обижаться, так как поговорку ``вода гладкая, пока об неё не ударишься'' придумал тоже не я.)
%В старании писать ясно и понятно, чтобы даже Акира Ширакава понял, в этой главе я начинаю писать от экспоненты.
I hope to be not condemned for drawing so elementary functions as exponent. I did not do it in the previous section about sin; but for some elementary functions I provide the maps. The Book should allow the understanding, even if it happens to be in hand of a pure experimentalist. With the detailed descriptions of the elementary things, I hope, even 
%Aleksander Kaminskii
Akira Shirakawa and Yulya Kuznetsova can understand at least the main idea of the Book. 
%My slogan is ‘Book for everyone.’ No matter who. 
The Book must allow the reading even by the least-educated academician
\cite{stru}
\footnote{\url{http://royallib.com/read/Strugatsky_Arkady/Tale_of_the_Troika.html}  Tale of the Troika by Arkady and Boris Strugatsky. PROLOG.
{\em "..Our slogan is ‘elevators for everyone.’ No matter who. The elevator must be able to withstand the entrance of the least-educated academician.”}}.

\vskip 2mm

%Для меня, экспонента выступает как суперфункция от операции ``умножение на число  $\rme$'',  приблизительно  
The exponent can be considered as superfunction of function ``multiplication by constant number e''; 
$\mathrm e\!=\!\exp(1)\!\approx\!2.71828182846\,$. In such a way, exp is superfunction for the transfer function $T$ by
\be
T(z)=\mathrm e \, z
\eL{Tez}

%Повторение -- не мать остроумия,  но цель Книги -- не рассмешить читателя, а научить его пользоваться суперфункциями. 
%Книга должна выдерживать прямое попадание в руки самого необученного академика.
%Приходится писать об элементарных вещах, и, в частности, об элементарных функциях; чтобы даже Акира Ширакава не мог сказать, что формализм ``слишком сложный''. Поэтому в качестве передаточного уравнения я повторяю формулу из школьного курса алгебры:
I repeat the formula from the school course of algebra:
\be
f(z\!+\!1)=\mathrm e \, f(z)
\eL{expz1ez}
%Разумеется, это уравнение отличается от уравнения \rf{transferwxp}
%В принципе, решение $f$ этого уравнения можно строить методом регулярной итерации, вблизи стационарной точки $L\!=\!0$ 
%передаточной функции $T$ по формуле \rf{Tez}. Читателю рекоммендуется проделать это в качестве упражнения.
%Первичное разложение \rf{Lea2general} обрывается на первом же слагаемом, давая точное решение $f\!=\!\exp$.
The solution of this equation can be constructed with regular iteration, in vicinity of the fixed point $L\!=\!0$ of the transfer function $T$ by
\rf{Tez}.
The Reader is invited to make this exercise and check, that the primary expansion stops at the first term, giving the exact solution
$f\!=\!\exp$ at the first iteration.
\vskip 2mm

%Для передаточной функции $z\!\mapsto \mathrm e \,z$, запишу и уравнение Абеля:
For the transfer function $z\!\mapsto \mathrm e \,z$, I write also the Abel equation:
\be
g(\mathrm e \, z)=1+ g(z)
\eL{abelog}
%Это уравнение рассмотрено Генриком Траппманном 
Equation  \rf{abelog} is considered by Henryk Trappmann
\cite{log}. 
%Вероятно, Читатель уже догадывается, что в качестве решения Генрик получил натуральный логарифм, $g\!=\!\ln$. 
The Reader can guess, that Henryk got the natural logarithm as the solution, id est, $g\!=\!\ln$. 
Readers are invited to think, what additional requirements should be associated with equation
%Читатели приглашаются подумать, какие ещё требования надо присобачить к уравнению 
\rf{abelog}, in addition to equation 
\be g(1)=0\ee
%чтобы его решение 
in order to provide the uniqueness of the solution $g\!=\!\ln$.
% стало единственным. Любители и профессионалы строгой математической дедукции могут также подсмотреть ответ у Генрика  \cite{log}; я надеюсь, что рукописи не горят, и упомянутая статья будет доступна и в будущем.
\vskip 2mm
%Экспоненту можно определить как специальную суперфункцию от передаточной функции ``умножение на $\mathrm e$'', а именно,  везде голоморфное решение $f$ уравнения \rf{expz1ez} с периодом $P\!=\!2\pi \mathrm i$, такое что 
%In such a way, exponential 
%\bef(0)=1\ee
%Mне не удалось построить иного решения уравнения \rf{expz1ez}, обладающего такими свойствами.
%\vskip 2mm

\JP{
\begin{figure}[h]
\sx{.2}{\begin{picture}(1202,804)
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}} 
\put(590,792){\sx{4.2}{$y$}} 
\put(590,698){\sx{4.2}{$7$}}
\put(590,598){\sx{4.2}{$6$}}
\put(590,498){\sx{4.2}{$5$}}
\put(590,398){\sx{4.2}{$4$}}
\put(590,298){\sx{4.2}{$3$}}
\put(590,198){\sx{4.2}{$2$}}
\put(590,098){\sx{4.2}{$1$}}
% \put(080,-22){\sx{4}{$-5$}}
\put(180,-22){\sx{4}{$-4$}}
\put(281,-22){\sx{4}{$-3$}}
\put(381,-22){\sx{4}{$-2$}}
\put(482,-22){\sx{4}{$-\!1$}}
% \put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(703.7,-22){\sx{4}{$1$}}
\put(803.8,-22){\sx{4}{$2$}}
\put(903.9,-22){\sx{4}{$3$}}
\put(1004.0,-22){\sx{4}{$4$}}
\put(1104.1,-22){\sx{4}{$5$}}
\put(1192.2,-22){\sx{4.3}{$x$}}
\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
\put(1034,490){\sx{5.6}{\rot{66}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1094,444){\sx{5.7}{\rot{45}$y\!=\!x$\ero}}
\put(10,10){\ing{ExpQ2ePlot}}
\end{picture}}
\caption{График экспоненты по основанию $b\!=\!e$ в сравнении с экспонентой по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. \iL{ExpQ2ePlot}}
\end{figure}
}%JP
%График экспоненты представлен также на рисунке
Explicit plot of exp is shown in figure \ref{ExpQ2ePlot}. 
%(Эта же зависимость показана рисунке \ref{TetPlot} тонкой курвой.)
(The same dependence is shown with thin curve in figure \ref{TetPlot}.)
%Полезно сравнить его с 
%показанным на рисунке \ref{ExpQ2plot} 
%графиком экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, который пересекает прямую $y\!=\!x$. 
It worths to compare the graphic of the natural exponent to that of the exponent to base $b\!=\!\sqrt{2}$, which crosses the straight line $y\!=\!x$. 
%Для удобства эта кривая воспроизведена на рисунке 
This line is also shown in figure
\ref{ExpQ2ePlot}.
The graphic of the natural exponent
%График для натуральной экспоненты 
$y\!=\!\exp(x)$  
%прямую 
does not cross the line 
$y\!=\!x$.
%не пересекает. У натуральной экспоненты нет вещественных стационарных точек.
The natural exponent has no real fixed point.
\vskip 2mm

%Стационарная точка $L$ экспоненты и логарифма по основанию $b\!=\!\exp(a)$ есть решение уравнения $L=\log_b(L)$. 
%Это решение может быть выражена через функцию Тани, рассмотренную в главе 4:
Fixed point  $L$ of exponential and logarithm to base $b\!=\!\exp(a)$ is solution of equation $L\!=\!\log_b(L)$. 
This solution can be expressed through the Tania function, considered in chapter 4:

\be\!\!\!\!\!\!
L\!=\!\mathrm{filog}(a)\!=\!
\frac{\mathrm{Tania}(\ln(a)\!-\!1\!-\! \pi \mathrm i) }{-a}\!=\!
\frac{\mathrm{WrightOmega}(\ln(a)\!-\! \pi \mathrm i) }{-a}
\label{Lexp}
\ee
%Второе равенство в формуле \rf{Lexp} может рассматриваться как определение функции $\mathrm{filog}$, рассмотренной также в ТОРИ, \\
The second equality in formula \rf{Lexp} can be considered as definition of the new function filog. This function is described also in TORI, \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog}.\\
%Свойства функции $\mathrm{Tania}$ описаны в Первой главе; 
%Более подробно свойства функции $\mathrm{filog}$ рассмотрены в главе 18.
Function filog is considered in details below, in chapter 18. Here, we need this function only for the  single value of the argument, namely, $L=\mathrm{filog}(1)$.
As function Tania is already described, it should be considered as special function. In this sense, quantity $L$ should is exact:
%, not an approximation. However, the approximate value also can be evaluated:
%\vskip 2mm
%Kак видно из уравнения \rf{Lexp}, Tania является 
%модификацией известной специальной функции $\mathrm{WrightOmega}$ \cite{wright,david}. Ввиду того, что фиксированная точка $L$ выражается через известные специальные функции, этот параметр известен точно\footnote{Я прошу не обижаться ту Таню, которая до сих пор считает, что даже  $\pi$  есть число приближенное. В порядке попытки примирения, добавляю: в численных рассчетах и, в частности, при генерации рисунков, используются приближенные значения математических констант с аккуратностью порядка 15 значащих цифр.}.  
%В частности, 
%Для основания экспоненты $b\!=\!\mathrm e$, параметр $a\!=\!1$, это дает значение 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
L\!\!&=&- \mathrm{Tania}(-1\!-\!\pi\mathrm i) \nonumber \\
&\approx& 
  0.3181315052047641353%12654
+1.3372357014306894089%0116
\, \mathrm i
\label{expL}
\ee
%Приближение для $L$ с парой значащих цифр можно извлечь также непосредственно из рисунка \rf{figTaniaMap}, считая пальцем изолинии. 
The rough approximation (with two significant figures) for $L$  by \rf{expL} 
 can be found even from figure  \ref{figTaniaMap}, counting isolines with finger.
\vskip 2mm

%In such a way, 
Function Tania is used in this Book already twice: first, in chapter 2, as realistic superfunction for the transfer function Doya
(that describes increase of the intensity of light in a laser amplifier with simple model of continuously pumped of active medium) and, second time, here, as exact representation for the fixed point of exponent. This is the same function. Recycling, reusing of the results is base of any science, and the physical mathematics (see the Introduction) is not an exception.
%Таким образом, функция Tania используется в этой книге уже дважды: в главе 2, как реалистичная суперфункция для передаточной функции Doya, описывающей увеличение интенсивности света в усилителе с простой моделью накачки активной среды, и теперь, как способ точного представления фиксированной точки экспоненты. Это одна и та же Таня \footnote{
%Чтобы не показлось, что какая-либо Таня меня преследуют, в качестве апологии такому однообразию, сошлюсь на Философию Решетняка: 
%Сергей Решетняк обнаружил и экспериментально доказал, что лучше использовать одну Таню несколькими способами, чем несколько Тань - одним.}.  Для удобства склонения имени этой функции в соответствии с обычаями Русского языка, здесь используется также русскоязычная транслитерация Таня в том же значении, так что Tania$=$Таня.
\vskip 2mm

%Экспонента является вещественно-голоморфной функцией, то есть 
Exponent is real-holomorphic function, 
$\exp(z^*)=\exp(z)^*$;  
%поэтому число 
hence
$\,L^*\!\approx\! 0.1\!-\!1.3\,\mathrm i\,$
is also the fixed point. In principle, each of these fixed points can be used for the regular iteration, considered in chapter 6.
However, such iteration does not lead to the real-holomorphic superfunction. I wanted to suggest a way of evaluation of the real-holomorphic tetration, that could be used as the definition. In order to specify it, I assume, that there exist some special superfunction of the natural exponent, and this superfunction is characterised with specific 
behaviour. As the real part of the argument goes to $-\infty$, the superfunction approaches $L$ in the upper part of the complex half plane, and $L^*$ in the loser part. At the beginning, this is nothing more, but just guess.
In the next section, this guess is used 
%among other properties of tetration, in order 
to construct both, the definition and the way of evaluation. 
%тоже является её стационарной точкой. Можно ожидать, что при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента, вещественно-голоморфная суперэкспонента стремится к одному из значений $L$ или $L^*$. Такая догадка обсуждается в седующей секции.% в определении натуральной тетрации.

%\section{Эвристическая тетрация}
\section{Heuristic tetration}
\baselineskip 18pt

%После опубликования первой статьи про построение 
%вещественно-голоморфной тетрации \cite{analuxp}, многие коллеги задают мне одни и те же вопросы:
Since publication of the first article about real-holomorphic tetration, the colleague ask me similar questions:

``Why did you interested in holomorphic tetration?"

%``Как вы угадали асимптотическое поведение тетрации на $\pm \mathrm i \infty$?''
``How did you guess the asymptotic behaviour to tetration at  $\pm \mathrm i \infty$?''

%``Как вы угадали начальное приближение $\mathrm{fit}_3$?'' \cite{guess}. 
``How did you guess the initial approximation $\mathrm{fit}_3$?'' \cite{guess}. 

%Чтобы не уподобляться Рипу Ван Вникаю
In order not to be like Rip van Winkle \footnote{
%\url{http://lib.ru/INPROZ/IRWING/ripvanvinkl.txt} Вашингтон Ирвинг. Рип ван Винкль. Перевод А.С. Бобовича.  14 Jul 2000 19:52:31 GMT
\url{http://classiclit.about.com/library/bl-etexts/wirving/bl-wirving-rip.htm}
Rip Van Winkle by Washington Irving. (1783-1859)
}, 
revealing new and new details, %and motivations, that led me to the tetration, described in this section,
here I mention the only one of motivations, that is related to physics.
%вспоминая всё новые и новые подробности истории, которая надолго вышибла меня из Лазерной Науки,
%(которые, все вместе, привели к упомянутой аппроксимации), 
%а, с другой стороны, не становиться занудой, 
%повторяя одно и то же, 
%в этой секции я излагаю лишь одну из мотиваций.
\vskip 6pt

Initially, I wanted to use some fast-growing function in order to represent the factorial of the number of particles in the Bose-Einstein condensate, this factorial appears at the attempt to write-out the first approximation for the normalised multi-particle wave function. 
%Изначально, мне хотелось использовать какую-нибудь быстро растущую функцию для того, чтобы представлять факториал от числа частиц в Бозе-Эйнштейновском конденсате. Такой факториал возникает при попытке записать первое приближение для многочастичной волновой функции. 
%\vskip 2mm
The fast-growing function is described in the article by Hooshmand \cite{hooshmand}, but it happened to be not suitable for the asymptotic analysis, because it is not holomorphic.
%Быстро растущая функция предложена в статье Гусманда \cite{hooshmand}, но для асимптотического анализа она оказалась непригодной ввиду её неголоморфности. Гусманд описал линейное линейное приближение тетрации; это приближение дает две значащих цифры для тетрации, пока вещественная часть аргумента лежит в интервале $[-1,0]$. 
%Нетрудно написать соответствующее расширение через передаточное уравнение и для остальных точек комплексной плоскости:
The corresponding extension
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
f(z)=\mathrm{uxp}(z)=\!\left\{\!\!\!
\begin{array}{ccccc cc}
\ln\!\big({\rm uxp}(z\!+\!1)\big)~&{\rm at}&    \!&\!   \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\! -1 \\
                     z  +  1      ~&{\rm at}& -1 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\!  0 \\
\exp\!\big({\rm uxp}(z\!-\!1)\big)~&{\rm at}&  0 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!& 
\end{array}
\right.
\label{uxp}
\ee
has %too 
many cut lines, they divide the complex plane to almost separated strips.
Complex map of function uxp by \rf{uxp} is shown in the upper picture of figure \ref{analuxpmap} with lines of constant log amplitude $u$ and lines of constant phase $v$,
%Эта функция показана на верхней картинке (a) рисунка \ref{analuxp01} линиями постоянной логамплитуды $u$ и фазы  $v$,
\be
\exp(u\!+\!\mathrm i v) = f(x\!+\!\mathrm i y)
\ee
This representation is different from that, used for the most of complex maps in this Book;
usually, the lines of constant real part and those of constant imaginary part are drawn.
%But, w
While I explain, how did I get the holomorphic tetration, I represent maps in the same form, as they appear in the original paper \cite{analuxp}.
%Такое представление карты отличается от того, которое обычно используется для визуализации комплексных функций этой Книги. Обычно проводятся линии уровня вещественной и линии уровня мнимой частей значений функции. Однако представление карт в том же виде, как они были опубликованы в статье \cite{analuxp}, я считаю важным для ответа на вопрос, как я пришёл к эффективному представлению голоморфной тетрации.
\vskip 6pt

\begin{figure}
\normalsize
%\sx{1.3}{\begin{picture}(370,80)
\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(370,80)
\put(6,6){\includegraphics{analuxp01a}}
\put(12,60){\sx{3}{a}}
\put( 0,82){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,63){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0,43){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9,23){\sx{1.1}{$-1$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put(98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\put(95,52){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(177,57){\sx{.8}{\rot{58}$v\!=\!1$\ero}}
\put(172,24.2){\sx{.8}{\rot{32}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(190,66){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(180,45.8){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt

\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(370,96)
\put( 6,6){\includegraphics{analuxp01b}}
\put(12,60){\sx{3}{b}}
\put( 0,82){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,63){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0,43){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9,23){\sx{1.1}{$-1$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put( 98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\multiput(40,66)(90,21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1.4$}}
\multiput(93,77)(-90,-21){1}{\sx{.8}{$u\!=\!1.2$}}
\multiput(183,83)(-90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1.2$}}
\multiput(185,73)(-90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(184,46){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(184,20){\sx{.8}{$v\!=\!-1$}}
\put(176,21){\sx{.8}{\rot{42}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(211,39){\sx{.8}{\rot{90}{$u\!=\!1$}\ero}}
\multiput(4,34)(90,-21){2}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\multiput(37,26)(90,-21){1}{\sx{.8}{$v\!=\!-1.4$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt

\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(366,176)
\put( 6,-14){\includegraphics{analuxp01c}}
\put(35,153){\sx{1.001}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L\approx 0.3+1.3\mathrm i$}}
\put(33,13){\sx{1.001}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L^*\approx 0.3-1.3\mathrm i$}}
\put(12,140){\sx{3}{c}}
\put( 0,164){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,144){\sx{1.1}{$3$}}
\put( 0,124){\sx{1.1}{$2$}}
\put( 0,104){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0, 84){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9, 64){\sx{1.1}{$-1$}}
\put(-9, 44){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(-9, 24){\sx{1.1}{$-3$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put( 98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\multiput(271,159)(-90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\multiput(271,147)(-90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!1.2$}}
\multiput(185,113)(90,21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
%\put(184,86){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\multiput(184,60)(90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!-1$}}
\multiput(176,61)(89.4,-21){3}{\sx{.8}{\rot{42}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(211,79){\sx{.8}{\rot{90}{$u\!=\!1$}\ero}}
\multiput(40,106)(90,21){4}{\sx{.8}{$v\!=\!1.4$}}
\multiput(37,65)(90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!-1.4$}}
\multiput(5,75)(90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt

\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(366,176)
\put( 6,-14){\includegraphics{analuxp01d}}
\put(35,153){\sx{1.001}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L\approx 0.3+1.3\mathrm i$}}
\put(33,13){\sx{1.001}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L^*\approx 0.3-1.3\mathrm i$}}
\put(12,140){\sx{3}{d}}
\put( 0,162){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,144){\sx{1.1}{$3$}}
\put( 0,124){\sx{1.1}{$2$}}
\put( 0,104){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0, 84){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9, 64){\sx{1.1}{$-1$}}
\put(-9, 44){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(-9, 24){\sx{1.1}{$-3$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put( 98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\multiput(271,159)(-90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\multiput(271,147)(-90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!1.2$}}
\multiput(185,113)(90,21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(184,86){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\multiput(184,60)(90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!-1$}}
\multiput(176,61)(89.5,-21){3}{\sx{.8}{\rot{42}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(211,79){\sx{.8}{\rot{90}{$u\!=\!1$}\ero}}
\multiput(40,106)(90,21){4}{\sx{.8}{$v\!=\!1.4$}}
\multiput(37,65)(90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!-1.4$}}
\multiput(5,75)(90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\end{picture}}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Analuxp01u400.jpg}
\caption{\large $\exp(u\!+\!\mathrm i v)=f(x\!+\!\mathrm i y)$  
for the following functions:
%для следующих  функций:
$f\!=\!\mathrm{uxp}$, (a);
$f\!=\!\mathrm{Fit}_3$, (b); 
$f\!=\!\mathrm{Fit}_6$, (c); 
$f\!=\!\mathrm{tet}$, (d) % показаны уровнами логамплитуды и фазы: 
\label{analuxp01} 
\label{analuxp}
\iL{analuxpmap} }
\end{figure}

%\begin{parbox}{140px}{
%\sx{.3}{\begin{picture}(540,420)
%\put(0,0){\ing{otprotivnogo}}
%\end{picture}}%
%}
%\end{parbox}
%\begin{parbox}{342px}{
%На рисунке \ref{analuxp01}, вертикальные линии разреза области аналитичности делят комплексную плоскость на счетное множество почти не перекрывающихся полос. Такое поведение породило вопрос о том, можно ли предложить более голоморфное решение передаточного уравнения. 
As I already mention above, the vertical cuts of the range of holomorphism of function uxp divide the complex plane to almost independent strips seen in the top map in figure \ref{analuxpmap}. These strips raise the question: 
Is it possible to suggest a ``more holomorphic'' (id est, with less cuts) solution of the transfer equation \rf{transferexp}? 
Or no solution $f$ of the equation  \rf{transferexp} may have wide range of holomorphism?
%the wide range of holomorphism for such a function is not possible.
\vskip 6pt

At the first look into results by Hooshand \cite{hooshmand}, construction of the real-holomorphic solution seemed to be impossible.
On the other hand, the initial assumption used there, about monotonous derivative (for the real argument) of the superfunction of exp, looks doubtful.
I tried to construct some alternative proof, that the cuts are unavoidable, without to use the strange assumption.
%При беглом просмотре работы Гусманда, казалось, что это невозможно, хотя допущение о монотонности производной от решения, использованного для доказательства теорем в работе  \cite{hooshmand},
%казалось сомнительным. В целях упростить доказательство несуществования голоморфной тетрации, я начал изучать её свойства, ожидая на некотором этапе прийти к противоречию и оформить изящное доказательство ``от противного''. 
%Однако, н
I begun to investigate the case, assuming existence to the holomorphic solution. I expected to get some contradiction, and to use the contradiction for the proof. The holomorphic solution had been constructed, and 
no contradiction had been detected \cite{analuxp}; so, I had to accept the existence.
%I tried to construct different solution with the same properties, and these attempts leaded to the uniqueness
%\cite{uniabel}. Below I describe, how did that happen.
%%(Несуществование доказать не удалось; пришлось предположить, наоборот, существование.) %Происходило это следующим образом.
%%}\end{parbox}
\vskip 6pt

%\baselineskip 19.6pt
%Чтобы доказать несуществование функции, полезно её аппроксимировать и нарисовать. 
Historically, the construction of this solution begun with approximations.
%In order to prove the non-existing of a function, the approximations and their plots may help a lot.
%Я рассмотрел несколько элементарных функций, имеющих логарифмическую особенность в точке $-2$ и принимающих те же значения, что  и тетрация, при некоторых целых значениях аргумента. Одной из таких аппроксимаций является %функция  
I had considered several real-holomorphic elementary functions, that have logarithmic singularity at $-2$ and take the same values, as tetration, at few integer values of the argument. One of them (that happened to be better than some others) is
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{fit}_2(z) \!=\! 
\ln(2\!+\!z)& \nonumber \\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
+ (1\!+\!z)\left(
        1 + 
        \frac{z}{2}\exp\!\Big((z\!-\!1)s_2(z)\Big)
        			\Big(\!\mathrm e\! -2\! +\! \ln\frac{4}{3}	\Big)
		- \ln 2 
        \right)
        \label{fit2}
        \ee
%где
where
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
s_2(z) = \exp\!\Big(\exp(z-2.51)\Big)-0.6+0.08(z\!+\!1)
\eL{fit2s}
%Константы в выражении \rf{fit2s} выбраны так, чтобы минимизировать невязку при подстановке 
Constants in the expression \rf{fit2s} are chosen in order to minimise the residual at the substitution
$f\!=\!\mathrm{fit}_2$ 
into the transfer equation \rf{transferexp}.
This approximation could be improved, comparing \rf{fit2s} with the precise approximation through the Cauchy integral, considered below. However, at the heuristic search for the rough approximations, the representation through the Cauchy Integral had not yet been written; so, choosing the approximation, I had to use the residual as the criterion.
%в передаточное уравнение. Эту аппроксимацию можно улучшить, сравнивая \rf{fit2s} с аккуратным приближением. Однако, во время ``угадывания'' свойств тетрации, аккуратная аппроксимация тетрации и даже её определение ещё не существовали; поэтому пришлось минимизировать невязку. 
\vskip 6pt

%После построения функции $\mathrm{fit}_2$, оказалось, что линейная комбинация функций 
After construction of function $\mathrm{fit}_2$, 
it happened, that the linear combination of functions
%$f(z)\!=\!\mathrm{fit}_2(z)$ и $f(z)\!=\!\ln(\mathrm{fit}_2(z\!+\!1))$ 
$z\!\mapsto\!\mathrm{fit}_2(z)$ and  $z\!\mapsto\!\ln(\mathrm{fit}_2(z\!+\!1))$ 
gives the residual even smaller; 
%дает ещё меньшую невязку; так получилась аппроксимация 
in such a way, the approximation $\mathrm{fit}_3$ appeared:
\be
\mathrm{fit}_3(z) \!=\! 0.6\!~\mathrm{fit}_{2}(z)+0.4\!~\ln\big( \mathrm{fit}_{2}(z+1)\big)
\ee
%Область аппроксимации можно расширить; пусть
The range of approximation of tetration can be extended. Let
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!
\mathrm{Fit}_3(z) \!=\!  \left\{\!\!
\begin{array}{ccccc cc}
\ln\!\big({\rm Fit}_{3}(z\!+\!1)\big)~&{\rm at}&~   \!&\!   \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\! -1 \\
                \mathrm{fit}_{3}(z)           ~&{\rm at}& -1 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\!  0 \\
\exp\!\big({\rm Fit}_{3}(z\!-\!1)\big)~&{\rm at}&~ 0 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!& 
\end{array}
\right.
\eL{Fit3}
%Логамплитуда и фаза этой функции показаны на рисунке   
Logampliture and phase of this function are show in figure
\ref{analuxp01}b. 
\vskip 2mm

For comparison, two more maps are shown in figure \ref{analuxp01}, they are numbered as c and d.
%Для сравнения, на рисунке \ref{analuxp01} показаны ещё две карты  c и d. Они представляют, соответственно, асимптотическое приближение 
There represent the asymptotic approximation, %described in the next section,
$f=\mathrm{Fit}_6$
%that is accurate at large values of imaginary part of the argument,
%аккуратное при больших значениях мнимой части аргумента, и 
%соответственно, 
%тетрацию  
and tetration
$f=\mathrm{tet}$, 
%построенную с использованием её аккуратного представления через интеграл Коши и 
%описанную ниже, в секции 4, и являющуюся основной целью этой главы. 
described below in section 4; namely this tetration is goal of this chapter. 
\vskip 6pt

%Асимптотическое приближение
%представление выражается формулой
The asymptotic approximation
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Fit}_6(z) = \left\{
\begin{array}{c}
L+\exp(k(z\!+\!r))
 ~, ~ \Re(z)<-8
\\
\exp\Big(\mathrm{fit}_6(z\!-\!1)\Big)
~,~  \Re(z)\ge -8
\end{array}
\right.
\eL{Fit6}
is good at large values of imaginary part of the argument.
%Для натуральной тетрации, инкремент
For natural tetration, the increment 
$k\!=\!L$. 
This looks as just coincidence. However, everyone can check it with the asymptotic analysis, substituting 
the primary expression of $\mathrm{fit6}$ into the transfer equation \rf{transferexp}.
%Это может рассматриваться как совпадение, которое, впрочем, каждый может проверить с помощью достаточно примитивного асимптотического анализа. Значение 
%комплексной 
%константы 
Value of constant
$r\!\approx\! 1.075820830781 \!-\! 0.9466419207254 \,\mathrm i$ 
%happens to be the only 
appears as adjusting parameter of this approximation.
On the other hand, it seems to be approximation of the important mathematical constant.
%является единственным подгоночным параметром такой аппроксимации; это значение может рассматриваться приближенное значение точной фундаментальной математической константы
%\footnote{
%Я бы назвал её константой Кнезера. 
%Это одна из констант, требуемых для вычисления рассмотренных им разложений для итераций экспоненты 
I would call this $r$ with name ``The Kneser constant''. This is one of constants, required for the expansion of iterates of exponent discussed in 
\cite{kneser} and used for the approximation of tetration \cite{vladie}.
%}.
\vskip 6pt

%Функция $\mathrm{Fit}_6(z)$ аппроксимирует тетрацию $\mathrm{tet}(z)$ при $\Im(z)>0.4$; 
%функция $\mathrm{Fit}_6(z^*)^*$ аппроксимирует $\mathrm{tet}(z)$ при $\Im(z)< - 0.4$;
%комбинация этих функций показана на карте ``c'' рисунка \ref{analuxp01}.

Function $\mathrm{Fit}_6(z)$ approximates tetration $\mathrm{tet}(z)$ at $\Im(z)>0.4$; 
function $\mathrm{Fit}_6(z^*)^*$ approximates $\mathrm{tet}(z)$ at $\Im(z)< - 0.4$;
combination of these functions is shown in map  ``c'' in figure \ref{analuxp01}.
%Вблизи вещественной оси, то есть при $|\Im(z)|<0.4$, такая аппроксимация ведет себя отвратительно и эта полоса на карте оставлена белой.
In vicinity of the real axis, 
roughly,
in the strip $|\Im(z)|<0.4$, both these functions $\mathrm{Fit}_6(z)$ and $\mathrm{Fit}_6(z^*)^*$ look ugly,
and this strip in the map is left white.
%Анализ аппроксимации  $f\!=\!\mathrm{fit}_6$ и представление тетрации через интеграл Коши рассмотрены в последующих секциях.
\vskip 6pt

%В принципе, аппроксимации  $f\!=\!\mathrm{Fit}_3$ и  $f\!=\!\mathrm{Fit}_6$ по формулам \rf{Fit3} \rf{Fit6} 
Approximations $f\!=\!\mathrm{Fit}_3$ and  $f\!=\!\mathrm{Fit}_6$ by \rf{Fit3} \rf{Fit6} 
are already sufficient to plot the complex maps and explicit plots of tertration; together, they provide of order of 3 decimal digits in the range of maps shown in figure \ref{analuxpmap}. The last map "d" in figure  \ref{analuxpmap} visually looks as superposition of the maps "b" and "c" above; this gave the general view of tetration that had to be constructed.
%достаточны для построения карт и графиков тетрации; вместе, они обеспечивают порядка трех значащих цифр во всей комплексной плоскости. Однако, даже аппроксимация 
%Even the a
\vskip 6pt

%Approximation $\mathrm{Fit}_3$, by itself, 
The approximations above (even $\mathrm{Fit}_3$) allow to guess the asymptotic behaviour of tetration.
% \rf{Fit3}, позволяет догадаться, что, если голоморфное решение $f$ передаточного уравнения существует, то оно стремится к
%стационарным точкам $L$ или $L^*$ логарифма, когда мнимая часть аргумента стремится к плюс или минус бесконечности. Эти значения видны в левой верхней и левой нижней частях карт ``b'',  ``c'' и ``d'' на рисунке \ref{analuxp01}. Зная эти свойства и аккуратное представление тетрации, примитивные аппроксимации этой секции можно сильно улучшить; это улучшение описано во Владикавказском Математическом журнале \cite{vladie}. 
%Но здесь я лишь объясняю, откуда взялись постулаты в определении тетрации.
It should approach the fixed points $L$ or $L^*$ of logarithm, while the imaginary part of the argument approaches the plus or minus infinity. These values are indicated in maps ``c'' and ``d'' of figure  \ref{analuxpmap}.
\vskip 6pt

%Таким образом, эта секция поясняет, ``как я догадался'' о том, как ведет себя тетрация в окрестности мнимой оси. 
%Постулируя эти свойства тетрации, можно построить эффективные и аккуратные алгоритмы для её вычисления. 
%Такие постулаты перечислены в следующей секции.
%Один из таких алгоритмов, использующий интеграл Коши, рассмотрен в следующей секции.
In such a way, this section explains, how did I guess, which the asymptotic behaviour should the tetration have.
Postulating this behaviour, one can construct the algorithm for evaluation of tetration with any required precision.
%In this sense, the tetration becomes exact; such an algorithm can be used as the definition. 
The postulated properties of tetration 
%used to construct the algorithm 
are collected in the next section.

%\section{Свойства тетрации}
\section{Properties of tetration}
%\baselineskip 20.6pt

%Следуя рекомендациям коллег, друзей и родственников, изложение в этой Книге идет от простого к сложному.
Following recommendations by colleagues, friends and relatives, this content of this Book gradually goes from the simple examples to the more general formulas. In order to follow this way, in this chapter, I define only the natural tetration.
%Поэтому здесь пока определяется лишь натуральная тетрация.
%В этой секции рассмотрен специальный случай применения интеграла Коши к передаточному уравнению, а именно - для построения натуральной тетрации,
%когда передаточной функцией является обычная экспонента. 
%Эта секция продолжает пересказ статьи 
%This section defined the natural
%\cite{tet}
This section continues following article
\cite{analuxp} of year 2009.
. %Здесь предлагается определение тетрации и алгоритм для её вычисления.
\vskip 2mm

Since the two upper maps in figure \ref{analuxp01} were plotted, the main properties of this function are clear.
I postulate them below.
%После того, как пара верхних карт рисунка  \ref{analuxp01} была построена, основные свойства этой функции стали ясны. Оставалось только постулировать их, как определение натуральной тетрации, и использовать эти свойства для её вычисления. Эти свойства перечислены (повторены) ниже.
\vskip 2mm

%Решение  $F$ передаточного уравнения \rf{transferexp} с дополнительным условием $F(0)=0$ называется натуральной тетрацией или, для краткости, просто тетрацией, и обозначается символом $\mathrm{tet}$, если выполнены следующие условия.

Solution $F$ of the transfer equation \rf{transferexp} with additional condition $F(0)\!=\!0$ 
is called natural tetration, or simply tetration
$\mathrm{tet}$,
%если выполнены следующие условия.
if the following conditions are satisfied:
\vskip 2mm

{\bf Т1.} 
%Функция $F(z)$ вещественно-голоморфна во всей комплексной плоскости за исключением полупрямой $z\le -2$ ; то есть $F(z^*)=F(z)^*$.
%В точке $z\!=\!-2$, функция $F(z)$ имеет логарифмическую особенность и, соответственно, точку ветвления.
Function $F(z)$ is real-holomorphic in the whole complex plane except the halfline $z\le -2$. Id est, $F(z^*)\!=\!F(x)^*$.
% то есть $F(z^*)=F(z)^*$.
At $z\!=\!-2$, function $F(z)$ 
has logarithmic singularity, id est, the branch point.
\vskip 2mm

{\bf Т2.}  
%Функция $F(z)$ ограничена в полосе $|\Re(z)|\le 1$.
Function $F(z)$ is bounded in the strip $|\Re(z)|\le 1$.
\vskip 2mm

{\bf T3}. 
%Функция $F(z)$ стремится к стационарной точке $L$ в верхней части комплексной плоскости: для вещественных $x$ имеет место соотношение
Function $F(x)$ asymptotically approaches the fixed point $L$ in the upper half plane: for any real $x$, the relation below holds:
\be
\lim_{y \rightarrow + \infty} f(z+\mathrm i y)=L
~ ~ ~ ~ \eL{T715}
In addition, for positive $y$, the relation below holds:
%и для положительных значений $y$ имеет место соотношение
\be
\lim_{x \rightarrow - \infty} f(z+\mathrm i y)=L
~ ~ ~ ~ \eL{T716}
\vskip 2mm

{\bf T4.} 
%В полосе $~-1\le\Re(z)\le 2 ~$ выполняется условие 
In the strip $~-1\le\Re(z)\le 2 ~$, the following condition holds:
\be
\arg(F(z))<2 %\pi
\eL{argF}
\vskip 2mm

%Условия Т1-Т4 выше несколько избыточны. Можно надеяться, что дальнейшее совершенстование аппарата суперфункций поможет решить, которые из этих свойств  следует сохранить в определении тетрации, а какие оформить в виде теорем, следующих из укороченного определения и общих свойств голоморфных функций. Пока, пользуясь декларацией эвристичности,  все свойства  Т1-Т4 постулируются как части определения термина ``натуральная тетрация''.
Conditions T1-T4 above are a little bit redundant. The following development of the formalism of superfunctions is expected to indicate, which of these properties should be kept as definition of tetration, and which should appear as theorems, following from the shortened definition.
%While, all these properties are postulated as definition of natural tetration
\vskip 2mm

%Из требований \rf{T715} и \rf{T716} и условия вещественности  $f(z^*)=f(z)^*$ следует, что
From postulates \rf{T715}, \rf{T716} and real holomorphism  $f(z^*)=f(z)^*$, it follows, that
\be
\lim_{y \rightarrow - \infty} f(z+\mathrm i y)=L^*
~ ~ ~ ~ \eL{T717}
and for negative $y$, the relation below holds
%и для отрицательных значений $y$ имеет место соотношение
\be
\lim_{x \rightarrow - \infty} f(z+\mathrm i y)=L^*
~ ~ ~ ~ \eL{T718}
%Условия  \rf{T716}  и \rf{T718}  используются в следующей секции для построения и вычисления тетрации
%с помощью интеграла Коши.
These conditions are used in the next section for construction and evaluation of tetration through the Cauchy integral.

%\section{Интеграл Коши \label{section:IntegralCauchy}}
\section{Cauchy integral \label{section:IntegralCauchy}}
\baselineskip 18pt

%Для голоморфной функции $F$, имеет место формула Коши \cite{Cauchy}:
For holomorphic function $F$, the Cauchy formula takes place \cite{Cauchy}:
\be 
F(z) = \frac{1}{2\pi \rmi} \oint_{\Omega} ~ \frac{F(t)}{t\!-\!z}~  \mathrm d t
\eL{Cauchy}
where contour $\Omega$ belongs to the simply connected range of holomorphism of function $F$ and only once passes around point $z$ in the counter clock wise direction.
%где контур $\Omega$ интегрирования принадлежит односвязной области голоморфизма и один раз обходит точку $z$ против часовой стрелки.
%С помощью уравнения \rf{Cauchy}, передаточное уравнение 
With equation  \rf{Cauchy}, the transfer equation
\rf{transferexp}
leads to the integral equation for the values of superfunction along the imaginary axis
%For exponent, this equation is described in  
\cite{analuxp}. The description is repeated below.
%можно свести к интегральному уравнению для значений суперфункции вдоль мнимой оси. Для экспоненты, такое уравнение описано в статье  \cite{analuxp} и пересказано ниже.
% и впоследствии обобщено \cite{uniabel}. 
\vskip 6pt

%В этой секции описано такое применение интеграла Коши.
%Let $L$ and $L^*$ be conjugated fixed points of the real-holomorphic transfer function $T$. In order to construct superfunction $F$ that asumptorically approaches $L$ in the
%Let function $F$ be supposed to be holomorphic at least in some vicinity of the strip 
%Пусть функция $F$ предполагается голоморфной 

%Физик или математик, пользующийся формулой \rf{Cauchy}, имеет определенную свободу в выборе контура интегрирования. Он 
%в этом смысле он 
%подобен инженеру, проектирующему кольцевую дорогу для уединенного гористого полуострова. 
Engineer, physicist or mathematician, using formula \rf{Cauchy}, has certain freedom in choice of the contour of integration.
The researcher acts in a way, similar to that of an Engineer, who makes a project of the loop railroad for the rocky semi-island.
\vskip 3pt
%Добросовестный инженер постарается учесть расположение портов, селений, заводов, ферм, с тем, чтобы одной дорогой помочь по возможности большему количеству жителей добираться до тех мест, куда они едут. Кроме того, добросовестный инженер постарается избежать болот, крутых осыпей и узких извилистых ущелий, чтобы сделать дорогу быстрой, дешевой и безопасной. 
The smart engineer takes into account the locations of ports, cities, farms, industries, in order to help the people to reach the places of their destination. Also, the engineer tries to avoid swamps, steep slops, narrow curvy canyons, to make the railroad fast, cheap and safe.
\vskip 3pt

Vainglorious tyrant, dictator, already famous in sports, war, art, archeology and ornithology, who wants to show himself also as a powerful all-mighty engineer,
may draw a rectangle on the map, and promote it as a project of the trace of the railway. Such a `` project '' will require a lot of bridges, ramps, excavations and tunnels, makes him famous also as vain waster of the state budget and may bring him to the situation "no money" \footnote{
\sx{.8}{\url{http://weirdrussia.com/2016/05/28/meme-medvedev-says-we-have-no-money-but-you-hang-in-there/}}
Medvedev Says “We have no money, but you hang in there” (2016).\\ %May 23rd, Prime Minister Dmitry Medvedev got a reality check, during a visit to Crimea. ..\
\url{http://www.bbc.com/news/blogs-trending-36482124} Russian PM: 'No money for pensions, but have a good day!' 2016.06.09\\
\sx{.82}{\url{http://www.cnbc.com/2016/06/09/there-is-no-money-left-bye-russian-pm-causes-social-media-storm.html}}
Holly Ellyatt. 'There is no money left, bye!': Russian PM causes social media storm. 
.. "no money left" in Russia's budget.. "There just isn't any money now. .."}.
%Тщеславный диктатор, уже проявившися в спорте, войнах, живописи, археологии и оринтологии, и решивший показать себя ещё и в роли крутого инженера,  может нарисовать на карте прямоугольник и предложить его в качестве проекта трассы. Такой ``проект'' потребует много насыпей, выемок и туннелей, которые сильно просадят бюджет и дадут министрам дурной пример расточительства и головотяпства.
\vskip 3pt

Sorry, in the choice of the contour of integration, described in  \cite{analuxp}, 
I look like as a tyrant, rather than as a smart engineer: I choose the contour of integration in the shape of rectangle.
%я выступаю скорее как тщеславный диктатор, чем как добросовестный инженер: я выбираю контур интегрирования в виде прямоугольника. 
%В качестве оправдания такого волюнтаризма можно указать, что карта района, в котором прокладывался контур интегрирования, была ещё точно неизвестна. В качестве отягчающего обстоятельства можно указать, что драфт такой карты можно было бы построить на основе фитирования тетрации в окрестности вещественной оси и угадывания её асимптотического поведения на $\mathrm i \infty$. 
%Однако,
%экспоненциальной функции по основанию $ \mathrm e$, 
%Меня оправдывает лишь то, что на основе такого контура получается эффективный %(достаточно быстрый и точный) 
%алгоритм вычисления тетрации (суперфункции от экспоненты); первые комплексные карты тетрации были построены с таким алгоритмом.
The only excuse is, that the this contour leads to efficient way of evaluation of tetration. % and can be used as its definition.
\vskip 2mm

%Пусть $F$ является вещественно-голоморфным решением передаточного уравнения $F(z\!+\!1)=\mathrm e^{F(z)}$, 
Let $F$ be real-holomorphic of equation \rf{transferexp}; %I repeat it one more:  $F(z\!+\!1)=\mathrm e^{F(z)}$.
\JP{ \be \lim_{y\rightarrow \infty} F(x+\mathrm i y)=L \ee
Тогда 
\be \lim_{y\rightarrow - \infty} F(x+\mathrm i y)=L^* \ee    }%JP

%Пусть $A$ - вещественное число, такое большое, что $F(\mathrm i A) \!\approx\! L$ и, значит,  $F(\mathrm - i A) \!\approx\! L^*$ 
Let  $A$ be real positive number, so big, that $F(\mathrm i A) \!\approx\! L$ %and, therefore,  $F(\mathrm - i A) \!\approx\! L^*$ 

%Пусть область голоморфизма функции $F(z)$ включает область $-1\! \le\! \Re(z)\! \le\! 1$, и в этой области  $|\arg{F(z)}|<\pi$.
Let the range of hlomorphizm of function $F(z)$ includes the domain $-1\! \le\! \Re(z)\! \le\! 1$ and, in this range, let  $|\arg{F(z)}|<\pi$.
\vskip 4pt

%Такие условия позволяют превратить контурный интеграл в решаемое интегральное уравнение при подходящем выборе контура $\Omega$  в формуле Коши \rf{Cauchy}.
These conditions allow to convert the contour integral into the ``solvable'' integral equation; of course, at the appropriate choice of the contour of integration.
%\vskip 2mm
%Пока свойства функции $F$ неизвестны, и для её вычисления нет эффективного алгоритма, мы можем только предполагать и декларировать некоторые её свойства, по аналогии с библейским "Да будет свет!" \\
%Разумеется, после построения суперфункции $F$, такие декларации подлежат проверке; в частности, имеет смысл рассмотреть функцию $F$ на предмет её существования \cite{tet} и единственности \cite{uniabel}. 
%\vskip 2mm
%Пусть контур $\Omega$ состоит из четырех сегментов:\\
Let contour $\Omega$ consists of the four segments:\\
{\bf A.} %integration 
Segment along line $\Re(t)\!=\!1$ from $t=1\!-\!\rmi A$ to $t=1\!+\!\rmi A$.\\
{\bf B.} Segment from point $t=1\!+\!\rmi A$ to $t=-\!1\!+\rmi A$, passing above point $z$.\\
{\bf C.} Segment along line $\Re(t)=-1$ from $t=-\!1\!+\rmi A$ to $t=-\!1\!-\!\rmi A$.\\
{\bf D.} Segment from point $t=-\!1\!-\!\rmi A$ to $t=1\!-\!\rmi A$, passing below point $z$.
%{\bf A.} %интегрирование 
%вдоль линии $\Re(t)\!=\!1$ от $t=1\!-\!\rmi A$ до $t=1\!+\!\rmi A$.\\
%{\bf B.} %интегриривание 
%от точки $t=1\!+\!\rmi A$ до точки $t=-\!1\!+\rmi A$, проходя над точкой $z$.\\
%{\bf C.} %интегрирование 
%вдоль линии $\Re(t)=-1$ от $t=-\!1\!+\rmi A$ до $t=-\!1\!-\!\rmi A$.\\
%{\bf D.} %интегриривание 
%от точки $t=-\!1\!-\!\rmi A$ до точки $t=1\!-\!\rmi A$, проходя под точкой  $z$.
\vskip 3pt

%Для контура $\Omega$, интеграл Коши может быть записан так:
For this contour $\Omega$, the Cauchy integral can be written as follows:
\be 
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!&=&\! \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} \frac{F(1\!+\!\mathrm i p) \, \mathrm{d} p}{1+\mathrm i p - z}
- \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} \frac{F(-1\!+\!\mathrm i p) \, \mathrm d p}{-1+\mathrm i p - z}
\nonumber \\ && \rule{322pt}{0pt} 
%\iL{3dot2} 
\label{3dot2} 
\\
&&- ~ \frac{F_{\rm up}}{2\pi\mathrm i} \int_{-1-\mathrm i A}^{1-\mathrm i A} \, \frac{ \mathrm d t}{t\!-\!z}
+ \frac{F_{\rm down}}{2\pi\mathrm i} \int_{-1-\mathrm i A}^{-1-\mathrm i A} \, \frac{ \mathrm d t}{t\!-\!z}
\nonumber \ee
where  $F_{\rm up}$ и $F_{\rm down}$ 
%суть некоторые средние значения на участках {\bf B} и {\bf D} контура $\Omega$.
are some mean values of function $F$  in vicinity of the segments {\bf B} and {\bf D} of the contour $\Omega$.
\vskip 6pt

%С учетом передаточного уравнения \ref{transfereq}, предполагая, что для требуемой области значений, функция $T^{-1}$ голоморфна, уравнение  \rf{3dot2} может быть переписано с обычными интегралами:
Taking into account the transfer equation \ref{transfereq}, 
%предполагая, что для требуемой области значений,
and assuming holomorphism of function $T^{-1}$, equation  \rf{3dot2} can be rewritten as follows:
%записано в таком виде:
\be  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!=\! \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~ \frac{\exp\!\big(F(\mathrm i p)\big) \, \mathrm{d} p}{1+\mathrm i p - z}
- \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~\frac{\ln\!\big(F(\mathrm i p)\big) \, \mathrm d p}{-1+\mathrm i p - z} + K(z)
~ ~ \label{3dot3}
\ee
where %где
\be  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
K(z) &=& ~
F_{\rm up}  ~   \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1-\mathrm i A +z}{1-\mathrm i A - z} \right)
\nonumber \\
&+&F_{\rm down} \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1-\mathrm i A -z}{1-\mathrm i A + z} \right)
~ ~ \eL{K}
%Такая запись предполагает, что модуль фазы функции $F$ вдоль 
%%вещественной
%мнимой
%оси не превышает $\pi$, так что при интегрировании аргумент логарифма не проходит через отрицательные значения.
This representation implies that the modulus of phase of function $F$ along the imaginary axis remains less than $\pi$, so, 
the contour of integration does not cross the cut line of the logarithmic function in \rf{K}.
\vskip 6pt

%Уравнения \rf{3dot3},\rf{K} всё ещё точные. Разумеется, они становятся приближенными, если мы заменим $F_{\rm up}\!\rightarrow\! L$ и 
Equations \rf{3dot3},\rf{K} are still exact.
However, they become approximations, if we replace
 $F_{\rm up}\!\rightarrow\! L$ and $F_{\rm down}\!\rightarrow\! L^*$.
This replacement leads to the closed representation for $K$.
%Такая замена замыкает представление для $K$. 
%Получается решабельное интегральное уравнение для аппроксимации $F_A(\mathrm i y)$ распределения суперфункции $F$ вдоль мнимой оси, паметризованного переменной $y$:
We get the ``solvable'' integral equation for the approximation $F_A(\mathrm i y)$ of superfunction $F$
along the imaginary axis:
\be
F_A(\mathrm i y)= \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~ \frac{\exp\!\big(F_A(\mathrm i p)\big) \, \mathrm{d} p}{1+\mathrm i p - \mathrm i y} 
- \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~\frac{\ln\!\big(F_A(\mathrm i p)\big) \, \mathrm d p}{-1+\mathrm i p - \mathrm i y} 
%\nonumber\\ &&
+ K_A(\mathrm i y) 
\!\!\!\!\!\!\!\!
\nonumber \\
\label{3dot5}
\ee
%где
where
\be 
K_A(z) =
L    \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1\!-\!\mathrm i A \!+\!z}{1\!+\!\mathrm i A \!-\! z} \right)+
L^* \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1\!-\!\mathrm i A \!-\!z}{1\!+\!\mathrm i A \!+\! z} \right)
\nonumber \\
\label{KA}
\ee
%Уравнения \rf{3dot5} и \rf{KA},  в отличие от уравнений \ref {3dot3} и \rf{K}, замкнуты; они не содержат неизвестных параметров $F_{\rm up}$ и $F_{\rm down}$.
%Это позволяет использовать \rf{3dot5} и \rf{KA}  вычисления $F_A$.
Equations  \rf{3dot5} и \rf{KA} include no unknown parameters; neither  $F_{\rm up}$ not $F_{\rm down}$ appear there.
In such a way, equations  \rf{3dot5} and \rf{KA} can be used to calculate $F_A$.
\vskip 6pt

%Представление интеграла по верхней и по нижней частям контура в виде функции $K_A$ по формуле \rf{KA} не тривиально. В частности, при взглядe на выражение \rf{KA}, возникает искушение записать каждый логарифм в виде разности двух логарифмов, чтобы упростить выражения для аргументов логарифма. 
%Однако, для того, чтобы получить надежное представление для тетрации, этого делать не следует, так как в представлении  \rf{KA}, разрезы области голоморфизма 
%направлены в стороны от мнимой оси; это позволяет избежать приближения аргумента первичной аппроксимации для тетрации к границам области голоморфизма функции $K$. Для того чтобы представить эту функцию, её карта показана на рисунке \ref{mapK}.
Representation of the integral by the uppest and lowest pars of the contour $\Omega$ through function $K_A$ by  \rf{KA} is not trivial.
The first look at the expression causes the seduction to rewrite each logatightm as difference of two logarithms, in order to simplify the expression in the argument. However, in other to get a robust representation for tetration, this 
is not a good idea.
%should be avoided.
On the representation  \rf{KA}, the cuts are directed away from the imaginary axis; they go horizontally, parallel to the abscissa axis.
This helps to avoid approaching of the argument of the primary approximation of tetration to the 
boundaries of holomorphism of function 
$K_A$.
Complex map of function $K_A$ is shown in figure \ref{mapK} for $A\!=\!3$, $A\!=\!5$ and $A\!=\!10$ with lines
of constant logamplitude $\rho$ and constant phase $\phi$ such that $\exp(\rho\!+\!\mathrm i \varphi) \!=\! K_A(x\!+\mathrm i y)$ in the $x$, $y$ plane.

\begin{figure}[t]
\newcommand \analuka {
\put(7,89){\sx{.5}{$y$}}
\put(7,80.8){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,70.8){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,59.8){\sx{.5}{$1$}}
\put(7,49.8){\sx{.5}{$0$}}
\put(3,39.8){\sx{.5}{$-1$}}
\put(3,29.8){\sx{.5}{$-2$}}
\put(3,19.8){\sx{.5}{$-3$}}
\put(17.2,17){\sx{.5}{$-2$}}
\put(27.2,17){\sx{.5}{$-1$}}
\put(39.6,17){\sx{.5}{$0$}}
\put(49.7,17){\sx{.5}{$1$}}
\put(59.7,17){\sx{.5}{$2$}}
\put(69.7,17){\sx{.5}{$3$}}
\put(77.7,17){\sx{.5}{$x$}} 
}

%\sx{1.91}{\begin{picture}(88,104)
\sx{1.6}{\begin{picture}(88,104)
%%\put(0,0){\includegraphics{fig04}}
\put(0,0){\includegraphics{analuxp02a}}
\put(59,90){$A\!=\!3$}
\put(36,92){\sx{.46}{\rot{0.}$\rho\!=\!0$\ero}}
\put(36,10){\sx{.46}{\rot{0.}$\rho\!=\!0$\ero}}
\put(56,86){\sx{.46}{\rot{65}$\rho\!=\!0.2$\ero}}
\put(35,75){\sx{.46}{\rot{-6.}$\rho\!=\!-1$\ero}}
\put(14,63){\sx{.46}{\rot{76.}$\varphi\!=\!3$\ero}}
\put(32,59){\sx{.46}{\rot{84.}$\varphi\!=\!2$\ero}}
\put(39.6,58){\sx{.46}{\rot{66.}$\varphi\!=\!1$\ero}}
\put(35,36.6){\sx{.46}{\rot{21.}$\rho\!=\!-2$\ero}}
\put(35,26){\sx{.46}{\rot{8.}$\rho\!=\!-1$\ero}}
\put(66,64){\sx{.44}{\rot{60}$\rho\!=\!-1.6$\ero}}
\put(60,51){\sx{.44}{$\varphi\!=\!0$}}
\put(65.6,38.6){\sx{.44}{\rot{76}$\varphi\!=\!0$\ero}}
\analuka
\end{picture}}
\sx{1.6}{\begin{picture}(88,104)
\put(0,0){\includegraphics{analuxp02b}}
\put(59,90){$A\!=\!5$}
\put(36,94){\sx{.46}{\rot{-1.}$\rho\!=\!-1$\ero}}
\put(36.6,79.2){\sx{.46}{\rot{-12.}$\rho\!=\!-2$\ero}}
\put(26.4,62){\sx{.46}{\rot{90.}$\varphi\!=\!2$\ero}}
\put(35.2,59){\sx{.44}{\rot{60.}$\varphi\!=\!1$\ero}}
\put(34,36.6){\sx{.46}{\rot{38.}$\rho\!=\!-3$\ero}}
\put(35,22){\sx{.46}{\rot{8.}$\rho\!=\!-2$\ero}}
\put(68,51){\sx{.44}{$\varphi\!=\!0$}}
\put(76.8,26){\sx{.44}{\rot{69}$\varphi\!=\!0$\ero}}
%%\put(0,0){\includegraphics{fig04}}
\analuka
\end{picture}}
\sx{1.6}{\begin{picture}(80,104)
\put(0,0){\includegraphics{analuxp02c}}
\put(50,92){$A\!=\!10$}
\put(14,60){\sx{.46}{\rot{92.}$\varphi\!=\!2$\ero}}
\put(23.4,59){\sx{.44}{\rot{55.}$\varphi\!=\!1$\ero}}
\put(33,35.6){\sx{.46}{\rot{58.}$\rho\!=\!-4$\ero}}
\put(70.8,51){\sx{.44}{$\varphi\!=\!0$}}
\put(61,30){\sx{.44}{\rot{54}$\rho\!=\!-3.2$\ero}}
\put(71,23){\sx{.44}{\rot{40}$\rho\!=\!-3$\ero}}
\analuka
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Analuxp02t900.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $\exp(\rho\!+\!\mathrm i \varphi) \!=\! K_A(x\!+\mathrm i y)$ 
%по формуле \
by
\rf{KA} 
%для  
for
$A\!=\!3,5,10$ 
%$A\!=\!3$,
%$A\!=\!5$ and 
%$A\!=\!10$ 
\label{mapK}}
\end{figure}
\vskip 6pt

% больших значениях $A$, решение $F_A$ уравнения \rf{3dot5} дает хорошее приближение для суперфункции $F\approx F_A$;
Solution  $F_A$  of equation \rf{3dot5} can be approximated with the iterates, described below.
At  $A\gg1$, solution $F_A$ 
%уравнения \rf{3dot5} 
provides the good approximation for the superfunction $F\approx F_A$;
\be
F(z)=\lim_{A\rightarrow \infty} F_A(z)
\eL{tetF}

%\JP{
%Для того, чтобы получить тетрацию 
In order to get tetration
$\mathrm{tet}$, 
the additional condition
%надо обеспечить ещё выполнение условия
$\mathrm{tet}(0)\!=\!1$. 
should be satisfied. So, I define 
%Для этого я кладу
\be
\mathrm{tet}(z)=F(x_0+z)
\eL{tet}
%где
where $x_0$ 
%есть решение уравнения 
is solution of equation
$F(x_0)\!=\!1$. 
%Значение 
Value
$x_0$ 
%зависит от начального условия при итерационном решении уравнения 
depends on the initial condition at the iterations, and also on the order of update of the values of the discrete approximation of function $F_A$.
%\ref{3dot3}.
%для начального условия в виде аппроксимации \rf{Fit6}, $x_0$ оказывается порядка одной десятой.
%Это значение зависит ещё от параметра $A$, и поэтому не является фундаментальной математической константой.
For the initial approximation by \rf{Fit6}, the resulting $x_0$ happens to be or order of $0.1\,$; and it is important, that it remains smaller than unity. 
\vskip 6pt

Formula \rf{tet} can be considered as ``constructive definition'' of tetration tet, with all reverences about the existence and the uniqueness of the limit, at $A\!\rightarrow\!\infty$ and the limit of infinite increase of the number of points for the discrete approximation of the integrals. From the point of view of the ``pure'' mathematics, such a ``definition'' deserves critics, but I expect, with time, the ``pure mathematicians'' present a more efficient and elegant way of constructive definition of tetration.
For a while, tetration may remain as solution $f$ of the transfer equation $\mathrm e^{f(z})\!=\!f(z\!+\!1)$ bounded in the strip $|\Re(z)|<1$ with additional condition $f(0)\!=\!1$.  
\vskip 6pt
%}%JP
%Значение инкремента $k\!=\!L\!\approx 0.3\!+\!1.3\mathrm i$ в аппроксимации \ref{Fit6} указывает, что для имплементации complex double, разумное значение константы $A$ должно быть порядка 20. Оказалось, при $A\!=\!24$ невязка чуть меньше, и это значение было выбрано.
%\footnote{Используя формулу Коши дла численных рассчетов в первый раз, я не догадался до такой простой оценки и подбирал подходящее значение ``методом тыка'', минимизируя невязку численного решения при подстановке в передаточное уравнение. Я последовательно увеличивал значение $A$ до тех пор, пока невязка не стала порядка ошибок округления.}

For the approximation of limit in equation \rf{tetF}, some finite value of $A$ should be chosen.
Value of increment $k\!=\!L\!\approx 0.318\!+\!1.337\,\mathrm i\,$ in approximation \rf{Fit6} 
indicates, that for the complex double implementation, the reasonable value of constant $A$ should be of order of 20.
It happened, that for $A\!=\!24$, the residual is a little bit smaller, and this value is used for the primary numerical implementation
\footnote{Using the numerical implementation of the Cauchy integral for the first time, I did not guess the simple estimate through the increment $k$;
so I had to increase value of $A$ until the residual at the substitution of the primary approximation into the transfer equation \rf{transferexp} became of order of the rounding errors of the complex double arithmetics}.
\vskip 6pt

%Для численной имплементации уравнения \rf{3dot5}, интегралы можно заменить на их приближения по квадратурным формулам Гаусса-Лежандра; тогда уравнение можно решать методом итераций, обновляя значения  аппроксимации $F_A$ по одному. Попытка параллельного присвоения новых значений всему массиву $F$ приводит к расходящемуся алгоритму, но при подходящем выборе порядка присвоения (например, сперва четные узлы, а потом нечетные), после нескольких десятков итераций,  процедура дает аккуратное приближение для решения.
For the numerical implementation of equation  \rf{3dot5}, the integrals are replaced to their approximations with the Gauss-Legendre quadrature formula. Then, the resulting equation can be solved with iterations, updating values of the function one by one.
\vskip 6pt

The attempt of the parallel assignment of the new values (that is easy to program with the high-level programming languages) leaded to the diverging algorithm. In order to get the convergence, I update first the odd nodes, and then the even ones. Then, after some teens of iterates, the procedure provides the accurate solution with 14 significant figures; this precision is estimated, evaluating the residual in various tests of the internal self-consistency.
\footnote{following Axiom 4 (see Introduction), I made certain efforts trying to refute, negate the concepts of existence and uniqueness of tetration.}
\vskip 6pt

%Решение уравнения 
Solution of equation \rf{3dot5} approximates values of superfunction $F$ along the imaginary axis. Then, equation \rf{3dot3} 
extends this approximation to the strip
%аппроксимирует значения суперфункции  $F$ вдоль мнимой оси. Затем, уравнение \rf{3dot3} дает аппроксимацию функции  $F(z)$ %\rf{3dot5} аппроксимирует значения суперфункции  $F$ вдоль мнимой оси. Затем, уравнение \rf{3dot3} дает аппроксимацию функции  $F(z)$ в полосе 
\be
-1<\Re(z)<1 
\eL{strip1}
Accuracy of this primary approximation is poor in vicinity of the edges of the strip. Therefore, for the numerical implementation of tetration,
%Аккуратность 
%численной имплементации 
%такой аппроксимации для краев этой полосы хуже, чем для центральной части. Поэтому лучше использовать значения из более узкой полосы
the narrower strip is used,
\be
-\frac{1}{2}\le \Re(z) \le \frac{1}{2} 
\eL{striphalf}
%или ее окрестности, пользуясь по мере надобности формулой 
%или её окрестности
%пользуясь по мере надобности формулой
applying formula
\be
F(z)=T^n\big(F(z\!-\!n)\big)
\eL{Tn}
for some appropriate integer $n$, positive or negative, dependently on the sign of 
%при подходящем целом значении $n$, положительном или отрицательном в зависимости от знака 
$\Re(z)$. 
\vskip 6pt

%При увеличении параметра $A$ в уравнении \rf{3dot2}, функция $F$ стремится к решению передаточного уравнения 
%\rf{transferexp}. Tакое решение ещё не обеспечивает условия $F(0)\!=\!1$, но дает ключ к вычислению требуемой функции. %через уравнение \rf{tet}.

At the increasing of value of parameter $A$ in equation \rf{3dot2}, function $F$ 
approaches to the solution of the transfer equation \rf{transferexp}. 
This solution does not yet satisfy the condition
$F(0)\!=\!1$, 
but, the required tetration appears as the appropriate displacement of the argument with equation \rf{tet}.
\vskip 6pt

%На рисунке  \ref{mapK}, затенена полоса $|x|\!<\!0.5$, $|y|\!<\!4.5~$; это примерно та область, для которой значения функции $K_A$ используются для вычисления суперфункции $F$ при построении последней рисунка \ref{analuxp01}{\bf d}.
%Рисунок  \ref{mapK} показывает, что фаза ``постоянного'' слагаемого (то есть независимого от искомой функции) в правой части уравнения
%\rf{3dot5} не превышает двух и, таким образом, не превышает $\pi$. Это обосновывает (верифицирует) использование логарифма в формуле \rf{3dot3}.

In figure   \ref{mapK}, the strip $|x|\! \le \!0.5$, $|y|\! \le \!4.5~$ is shaded;
roughly, this is region, where the function $K_A$ is used at the evaluation of superfunction $F$ 
at the calculation of map in figure \ref{analuxp01}{\bf d}.
The complex maps % \ref{mapK} 
%indicates, 
verify, that the phase of reconstructed function 
%\rf{3dot5}
does not exceed 2; and therefore, does not exceed   $\pi$. 
This justifies use of logarithm in formula \rf{3dot3}.
However, this cannot be considered as a rigorous proof of existence and the uniqueness of the resulting function. I hope, the rigorous proof 
%of existence and uniqueness of tetration 
will be reported soon by the ``pure'' mathematicians. While I present only the computational evidence of the existence and the uniqueness.
\vskip 6pt

%В некоторых случаях 
%В принципе, $F(z\!-\!n)$ могло бы попасть на точку сингулярности или линию разреза функции $T$ или $T^{-1}$. Это указало бы, что построенная методом интеграла Коши суперфункция также сингулярна. Такое происходит при вещественном аргументе, меньшим или равным минус двум.
In general case, applying this method to general transfer function $T$ with complex fixed points, $F(z\!-\!n)$ could happen at the point of singularity of at the cut line of function $T$ or $T^{-1}$. 
This would indicate, that the resulting superfunction is also singular.
(For tetration, this happens at the real argument, equal to or smaller than $-2$.)
This may limit the range of applicability of the method suggested here.
\vskip 2mm
%В первых рассчетах, в качестве начальной пробной функции для итерационного решения уравнения 
%\rf{3dot5} использована аппроксимация $\mathrm{fit}_3$; потом выяснилось, что итерации с другими пробными функциями дают тот же результат.
%However, the precision of the numerical implementation is poor in 

In the first calculus, the approximation $\mathrm{fit}_3$ had been used as the initial probe function for the iterational solution of equation \rf{3dot5}.
Then it happened, that the iterates with other (more primitive) probe functions lead to the same result, providing the same tetration.
%\vskip 2mm
%С помощью алгоритма, описанного выше, в 2008 году впервые была построена тетрация \cite{analuxp}, то есть суперфункция для передаточной функции $T\!=\!\exp$. 
%При $A\!=\!24$, использование квадратурной формулы Гаусса-Лежандра с 2048ю узлами дает приближенное решение, которое, при подстановке в передаточное уравнение \rf{transfereq}, дает невязку порядка $10^{-14}$. Похоже, что использование переменных complex(double) дает порядка 14 корректных значащих цифр; это указывает на устойчивость алгоритма и дает надежду на его успешное применение для различных передаточных функций.
With the algorithm above, in 2008, the natural tetration had been constricted \cite{analuxp}.
% то есть суперфункция для передаточной функции $T\!=\!\exp$. 
For $A\!=\!24$, the Gauss-Legendre quadrature formula with 2048 nodes gives the accurate approximation: at the substitution into equation \rf{transfereq}, it gives the residual of order of $10^{-14}$, while the variables complex(double) 
are used. Of order of 14 significant figures of the solution can be evaluated in real time.
This indicates stability of evaluation of tetration through the Cauchy integral.
\vskip 6pt

%Описанный выше алгоритм использован при построении первых графиков тетрации по основанию $b>\exp(1/\mathrm e)$
%\cite{toritet,cztet}. В частности, с помощью этого алгоритма построена нижняя карта на рисунке \ref{analuxp01}. 
The algorithm above had been used to plot first maps and explicit plots of tetration to base 
 $b>\exp(1/\mathrm e)$
\cite{toritet,cztet}. In particular, this algorithm is used to plot the map at the bottom of figure \ref{analuxp01}. 
The direct representation through the Cauchy integral is fast enough to plot the maps and the explicit plots of tetration in real time.
However, it becomes slow, if the tetration is used for evaluation of other function, for example, its superfunction (pentation)
%, and higher ackermanns 
considered below in chapter 19. For the application of tetration, even faster approximations may have sense. One of them is considered in the next section.

\section{Taylor expansion at zero}
%\section{Разложение Тэйлора в нуле}
\baselineskip 19pt

I wanted the check the claim, that solution $f\!=\!\mathrm{tet}$ of equations \rf{transferexp} and \rf{transferexp},
that satisfies properties T1-T4, exists and is unique. As it is declared above, the numerical test does not substitute the rigorous proof, in the similar way, as the rigorous proof does not substitute the numerical tests. For the serious tests, it is important, that the function is fast to evaluate. In order to boost the evaluation, the approximations through the elementary functions had been suggested \cite{vladie}. One of them refers to the Taylor expansion at zero. It is considered in this section.
%Было интересно проверить заявление о том, что решение $f\!=\!\mathrm{tet}$ уравнений \rf{transferexp} и \rf{transferexp}, имеющее свойства Т1-Т4,
%существует и единственно \cite{analuxp}. В соответствии с декларацией Введения, даже строгое математическое доказательство не заменяет %численную проверку преложенного результата, так же, как
% дотошная 
%численная проверка не заменяет строгое математическое доказательство.
%\vskip 2mm
%Для серьезной проверки важно, чтобы алгоритм вычисления функции работал быстро. Для убыстрения предложены апроксимации тетрации через элементарные функции \cite{vladie,vladir}. %Целью этого анализа было построение ещё более эффективной аппроксимации тетрации, не требующей вычисления интеграла Коши, а также выявление внутренних противоречий концепции. 
%Одной из таких аппроксимаций является разложение Тэйлора в нуле, оно описано в этой секции.
\vskip 6pt

%В принципе, производные тертрации могут вычисляться дифференцированием представления \rf{3dot5}. Однако более аккуратные значения дает использование интерала Коши с контуром в виде окружности. Для вычисления производных в нуле, радиус этой окружности может быть больше единицы, и погрешность результата уменьшается за счет знаменателя в правой части уравнения \rf{Cauchy}. Так получены коэффициенты  в разложении
Derivatives of tetration can be calculated by differentiation of the primary representation by  \rf{3dot5}.
%However, m
More accurate values can be obtained with the Cauchy integral formula with the circular contour of integration
(assuming, that the primary representation is already implemented). Radius of this circle should be less than 2, and can be slightly larger than unity; then, the error of the result reduces due to denominator in the fraction under the integral in the right hand sidle of equation \rf{Cauchy}. In such a way, the coefficients  in the expansion below are evaluated.
\be \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{naiv}(z)&=&\sum_{n=0}^{N-1}c_{n}z^{n} 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
\iL{vladinaiv}
\\
\mathrm{tet}(z)&=&\mathrm{naiv}(z)+\mathcal{O}(z^{N})
~ ~ ~
%\mathrm{tet}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n
\eL{vladinaiv2}
%Approximations 
Evaluations of coefficients $c$ are shown in the first column of table
%Приближенные значения коэффициентов $c$ представлены в первом столбце таблицы 
\ref{vladitab1}. 


\begin{table}[t]
\caption{ %Таблица \ref{vladitab1}. 
Coefficients in expansions \rf{vladinaiv}, \rf{maclo} and \rf{vladitai} \label{vladitab1}}

%\begin{center}
%Таблица \ref{vladitab1}. Коэффициенты в разложениях \rf{vladinaiv}, \rf{maclo} и \rf{vladitai}
%\end{center}
\hskip -6pt
%\sx{1.08}
\sx{.94}
{\begin{tabular}{rrrrr}
$n$& $c_{n}~~~~~~~~~$& $s_{n}~~~~~~~~~$& $\Re(t_{n})~~~~~~~~~$ & $\Im(t_n)_{\rule{0pt}{12pt}}~~~~~~~~~$\\ 
%\input{table01}
\input{vladitab1}
\end{tabular}}
\end{table}
\vskip 2mm

%Соответствующий степенной ряд сходится при 
The Taylor expansion $\mathrm{tet}(z)$ at $z\!=\!0$ converges for 
$|z|\!<\!2$.
The radius of convergence is determined by the distance from the point of expansion (id est, from zero) to the nearest singularity, which is $-2$. 
%это расстояние от нуля до ближайшей особой точки, то есть до минус двух. 
\vskip 2mm

%Для численной имплементации) выбрано значение 
For the numerical implementation, the number of terms chosen 
$N\!=\!50$.
%Комплексная карта приближения naiv по формуле 
Complex map of the resulting naive approximation by 
\rf{vladinaiv}
%при $n\!=\!49$ 
%показанa на левой фигуре рисунка 
is shown in the left hand side of figure 
\ref{vladi04map} 
%линиями постоянной вещественной части и линиями постоянной мнимой части, 
with lines of constant real part and content imaginary part,
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$. 
%Дополнительные толстые линии указывают уровни
%Additional 
The thick lines show levels
$u\!=\!\Re(L)$ 
%и 
and
$v\!=\!\pm \Im(L)$.
\vskip 2mm

%Чтобы показать невязку при подстановке аппроксимации $f\!=\!\mathrm{naiv}$ в передаточное уравнение \rf{transferexp}, в центральной и правой частях рисунка \ref{vladi04} показаны карты согласий
In order to 
%shown
verify the precision of the approximation $f\!=\!\mathrm{naiv}$,
% \rf{transferexp}, 
the central and the right hand side pictures of figure \ref{vladi04} show the maps of agreements
 \be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\rm naiv1}(z)=-\lg\left( \frac
{|\ln(\mathrm{naiv}(z\!+\!1)-\mathrm{naiv}(z)|}
{|\ln(\mathrm{naiv}(z\!+\!1)|+|\mathrm{naiv}(z)|} \right)
\label{vladienaivD1}
\ee
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\rm naiv2}(z)=-\lg\left( \frac
{|\exp(\mathrm{naiv}(z\!-\!1)-\mathrm{naiv}(z)|}
{|\exp(\mathrm{naiv}(z\!-\!1)|+|\mathrm{naiv}(z)|} \right)
\label{vladienaivD2}
\ee
%Функции согласия оценивают, сколько значащих цифр можно получить с помощью аппроксимации naiv по формуле 
Functions of agreement $D$ indicate, how many significant figures of tetration can be expected to appear at evaluation of tetration with approximation ``naive'' by \rf{vladinaiv}. 
%Проведены уровни 
Levels 
$D\!=\!1,2,4,6,8,10,12,14$ are shown.
Level $D\!=\!1$ is shown with thick lines.
Symbol ``15'' indicates the domain, where the agreement is better than 14.
We may expect, at
%Символ "15" указывает область, где согласие больше четырнадцати. Можно ожидать, что при
$|z|\!<\!1$, 
the polynomial by 
%полином по  формуле 
\rf{vladinaiv} 
%дает порядка 14 значащих цифр. Это близко к максимальной точности, достижимой с переменными ``complex double''. 
provides of order of 14 significant figures; this is close to the maximal precision for variables complex double.
\vskip 6pt

\newcommand \vladiax
{
\put(-3,58){\sx{.5}{$y$}}
\put(-3,49){\sx{.5}{$2$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$0$}}
\put(-7,19){\sx{.5}{$-1$}}
\put(-7, 9){\sx{.5}{$-2$}}
\put( 6  ,-4){\sx{.5}{$-2$}}
\put(17  ,-4){\sx{.5}{$-1$}}
\put(30,-4){\sx{.5}{$0$}}
\put(40,  -4){\sx{.5}{$1$}}
\put(50,  -4){\sx{.5}{$2$}}
\put(58, -4){\sx{.5}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\begin{center}
%~\sx{2.33}{\begin{picture}(70,60)
~\sx{2.02}{\begin{picture}(70,60)
\put(0,0){\includegraphics{vladi04a}}
\put(25,24){\sx{.4}{\rot{90} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(32,51){\sx{.4}{\rot{-61} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(35,11){\sx{.4}{\rot{61} $ v\!=\!\Im(L^*)$ \ero }}
\vladiax
\end{picture}}
\sx{2.02}{\begin{picture}(70,60)
\put(0,0){\includegraphics{vladi04b}}
\vladiax
\put(23,29){\sx{.55}{$15$}}
\put(43, 53){\sx{.55}{$D_{1}\!<\!1$}}
\end{picture}}
\sx{2.02}{\begin{picture}(58,60)
\put(0,0){\includegraphics{vladi04c}}
\vladiax
\put(32,29){\sx{.55}{$15$}}
\put(43,53){\sx{.55}{$D_{2}\!<\!1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi04.jpg}
\vskip -2pt
\caption{ %\large
%\EN{Approximation $f=\naiv(z)$ of $\tet$ with the truncated Taylor expansion (\ref{naiv}) at zero, the left picture; the agreements 
%$D_{1}$ and $D_{2}$ by (\ref{naivE}) and (\ref{naivL}), the central and the right ones.}%
%hand side pictures.}
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%по формуле 
by \rf{vladinaiv} for $N\!=\!50$, 
left; agreements
%слева; согласия  
$D_{1}\!=\!D_{\rm naiv1}(x\!+\mathrm i y)$ 
%и 
and
$D_{2}\!=\!D_{\rm naiv2}(x\!+\mathrm i y)$ 
%по формулам 
by
\rf{vladienaivD1} 
%и 
and
\rf{vladienaivD2},
% центральная и правая карты.
central and right hand side maps.
\iL{vladi04} 
\label{vladi04map}
}
\vskip 14pt
\end{figure}
%Полиномиальная аппроксимация $\mathrm{naiv}$ по формуле \rf{vladinaiv} может использоваться для аккуратного и быстрого вычисления тетрации, когда модуль аргумента меньше или порядка единицы. Для эффективной имплементации тетрации это хорошо, но не достаточно.
%В следующей секции описывается способ расширить область аппроксимации.

Evaluations with 50 terms is considered for verification of the expansion.
%; this verification is shown in figure \ref{vladi04}. 
At the evaluation of tetration, for example, at the implementation for real argument, the number of terms can be significantly reduced without loss of precision.
%, as it is sufficient to provide the precise approximation for argument in the interval from -1/2 to 1/2. But the extended range of the approximation is important as verification; it could reveal some mistake in the programming or in the initial formulas.
\vskip 8pt

The polynomial approximation $\mathrm{naiv}$ by \rf{vladinaiv}
can be used for the precise and fast evaluation of tetration, while the modulus of its argument is smaller or of order of unity.
For the efficient implementation, this is good, but it is not sufficient. In the next section, the advanced expansion is considered, that allows to extend the range of the approximation of tetration for moderate values of the argument.

%\section{Улучшенная аппроксимация}
\section{Improved approximation}
\baselineskip 19pt

%Область аккуратной аппроксимации тетрации вблизи нуля может быть расширена, если принять во внимание логарифмическую особенность тетрации.
The range of the accurate approximation of tetration can be extended, if we take into account the logarithmic singularity of tetration.
%То есть  ``выключить'' сингулярность в точке $-2$, раскладывая функцию $\tet(z)-\log(z\!+\!2)$ вместо функции $\tet(z)$. Такое разложение дает приближение
I  ``switch-out'' the singularity at $-2$, expanding function $\tet(z)-\log(z\!+\!2)$ instead of $\tet(z)$. 
This expansion gives the approximation below, I call it ``maclo'':
%Такое разложение дает приближение
%Явный учет соответствующего логарифма дает разложение
\be
\mathrm{maclo}(z)&=&\ln(z\!+\!2)
%+\sum_{n=0}^{N-1} s_{n} \left(\frac{z}{2}\right)^{n}~;~~~
+\sum_{n=0}^{N-1} s_{n} z^n~;~~~
\iL{maclo} \\
\tet(z)&=&\mathrm{maclo}(z)+\mathcal{O}(z^{N})
~.~\eL{macloN}
%Complex map of function maclo is shown in the left picture of figure \ref{vladi05}.
For $n=101$, function maclo is shown in the left map of figure  \ref{vladi05}.
\vskip 2mm

The series, used for approximation \rf{maclo} converges at $|z|\!<\!3$;
the function reproduces the logarithmic branch point and even part of the cut at $z\!<\!-2$.
Approximate values of first coefficients $s$ are shown in the second column of table \ref{vladitab1}. 
%Ряд в аппроксимации \rf{maclo} сходится при $|z|\!<\!3$, точно воспроизводя логарифмическую точку ветвления и даже кусочек разреза в направлении отрицательной части вещественной оси. Приближенные значения коэффициентов $s$ представлены во втором столбце таблицы \ref{vladitab1}. 
\vskip 2mm

\newcommand \vladimaclo {
\put(-5,58){\sx{.45}{$y$}}
\put(-3,49){\sx{.5}{$2$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$0$}}
\put(-5,19){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(-5, 9){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(55 , -4){\sx{.45}{$\Re(z)$}}
\put(50 , -4){\sx{.5}{$2$}}
\put(29.5,-4){\sx{.5}{$0$}}
\put( 6  ,-4){\sx{.5}{$-\!2$}}
}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\sx{2.33}{\begin{picture}(68,60)
~
\sx{2}{\begin{picture}(68,60)
\normalsize
%\put(0,0){\includegraphics{figmaclo}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi05a}}

\put(25,24){\sx{.4}{\rot{90} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(32.6,27){\sx{.4}{\rot{90} $ u\!=\!1$ \ero }}
\put(31,56){\sx{.4}{\rot{-67} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(33,5){\sx{.4}{\rot{67} $ v\!=\!\Im(L^*)$ \ero }}
\put(25,44.6){\sx{.4}{\rot{-31} $ v\!=\!1$ \ero }}
\put(28,16){\sx{.4}{\rot{37} $ v\!=\!-1$ \ero }}

\vladiax
\end{picture}} ~
\sx{2}{\begin{picture}(68,60)
%\put(0,0){\includegraphics{figmacloL}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi05b}}
\vladiax
\put(14,33){\sx{.52}{$D_{3}>14$}}
\put(43, 4){\sx{.52}{$D_{3}\!<\!1$}}
\end{picture}} ~
\sx{2}{\begin{picture}(60,60)
%\put(0,0){\includegraphics{figmacloE}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi05c}}
\vladiax
\put(23,33){\sx{.52}{$D_{4}>14$}}
\put(44, 3){\sx{.52}{$D_{4}\!<\!1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi05.jpg}
\vskip -4pt
\caption{
\large 
$\mathrm u\!+\!\mathrm i v \!= \! \mathrm{maclo}(x\!+\! \mathrm i y)$  
%по формуле
by \rf{maclo} 
%при 
at
$N\!=\!101$, 
left;
%слева; согласия 
agreements
$D_3$ и $D_4$ 
%по формулам 
by
\rf{macloE} и \rf{macloL}, 
%центр и справа.
centre and right
\label{vladi05}
\label{figmaclo}
}
\vskip 14pt
\end{figure}

%В этой секции (и в численной имплементации), для аппроксимации maclo выбрано значение  $N\!=\!101$; комплексная карта приближения такого приближения
%по формуле  \rf{maclo} показана на левой карте рисунка \ref{vladi05}.
\EN{The range of approximation of tetration $\tet$ with function $\mathrm{maclo}$ is 
%significantly 
wider, than that by the Taylor expansion of tetration at zero;
compare figure \ref{vladi04} and figure \ref{vladi05}.}%
\RU{Область аппроксимации тетрации функцией $\mathrm{maclo}$ шире, чем в случае непосредственного разложения тетрации в нуле.}
\EN{The central and right hand side maps of figure}%
\RU{На том же рисунке} 
\ref{figmaclo}
\EN{show agreements}\RU{показаны также карты согласий}
\be \!\!\!\!\!\!
D_{3}(z)&=&-\lg\! \left( \frac
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{maclo}(z\!+\!1)\big)-\mathrm{maclo}(z)\Big|}
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{maclo}(z\!+\!1)\big)\Big|+\Big|\mathrm{maclo}(z)\Big |} \right)
~~ \label{macloE}\\
\!\!\!\!\!\!
D_{4}(z)&=&-\lg\! \left( \frac
{\Big| \exp\!\big(\mathrm{maclo}(z\!-\!1)\big)-\mathrm{maclo}(z)\Big|}
{\Big| \exp\!\big(\mathrm{maclo}(z\!-\!1)\big)\Big|+\Big|\mathrm{maclo}(z)\Big |} \right)
~~
\label{macloL}
\ee
\EN{Within the central loop, the residuals at the substitution}
\RU{В центральной части комплексной плоскости, невязки при подстановке}
%$\mathrm{tet}\!\rightarrow\!\mathrm{maclo}$
$f\!\rightarrow\!\mathrm{maclo}$
\EN{into equations}\RU{в уравнениe} \rf{transferexp}
\EN{are of order of}\RU{имеют порядок величины} $10^{-15}$.
\vskip 6pt

\RU{При $|z|\!<\!2$, 
%$\mathrm{tet}\!\rightarrow\!\mathrm{maclo}$,
аппроксимация maclo с сотней слагаемых в сумме дает порядка четырнадцати значащих цифр. Эта аппроксимация использована при имплементации натуральной тетрации.}%RU
\EN{While $|z|\!<\!2$, the approximation $\mathrm{maclo}(z)$ with a hundred terms provides of order to 14 significant figures of tetration $\mathrm{tet}(z)$.}%EN
\RU{Левая карта рисунка \ref{vladi05} уже показывает, что при увеличении мнимой части аргумента, функция стремится к константе $L$:
линии  постоянной вещественной части становятся почти параллельными линиям постоянной мнимой части. Однако, когда модуль аргумента становится больше двух, аккуратность такого приближения быстро ухудшается. Чтобы ещё расширить область аппроксимации тетрации элементарными функциями, в следующей секции рассмотрено разложение натуральной тетрации в точке $3\mathrm i$. }%RU
\EN{However, while the module of the argument increases and becomes larger than two, the accuracy of this approximation quickly drops down. 
In order to even extend the range of the fast approximation, the Taylor expansion at some point at the imaginary axis can be used. In the next section, 
the Taylor expansion at point 
$3\,\mathrm i$ is described.}%EN
%\section{Разложение в точке $3\mathrm i$}
\section{Expansion of $\mathrm{tet}(z)$ at  $z\!=\!3\,\mathrm i$}
\baselineskip 20pt
For evaluation of tetration, we should cover some strip of unity width along the imaginary axis with 
good (fast and precise) approximations. The approximation maclo from the previous section
does not approximate tetration at point  $3\,\mathrm i$. For me, this is sufficient reason (or, may be, a pretext)
to prepare the Taylor expansion of tetration namely in this point
\footnote{Constant 3 appears as minimal integer number for which (with coefficient i) approximation maclo by \rf{maclo} fails.}.
This expansion is described below.
\RU{Для эффективного (быстрого и точного) алгоритма вычисления тетрации, достаточно обеспечить хорошие аппроксимации вдоль полосы единичной ширины вдоль мнимой оси. Какое бы большое число $N$ слагаемых в приближении maclo \rf{maclo} мы ни брали, это приближение плохо аппроксимирует тетрацию в точке $3\mathrm i$. Для меня это было серьезным поводом, чтобы вычислить коэффициенты разложения Тэйлора именно в этой точке. Такое разложение описано в этой секции.}%
\vskip 2mm

%Оборванное разложение Тэйлора функции $\mathrm{tet}(z)$ в точке $z\!=\!3\rmi$ я назвал именем  ``tai'' 
The truncated Taylor expansion of  $\mathrm{tet}(z)$ at point  $z\!=\!3\,\rmi$  is denoted with name ``tai''
(TAylor expansion centered at the Imaginary axis):
\be
%\tai(z)=\sum_{n=0}^{N-1} t_{n}\left(\frac{z\!-\!3\rmi}{2}\right)^{\!n}
\mathrm{tai}(z)=\sum_{n=0}^{N-1} t_{n}\left(z\!-\!3\,\mathrm i\right)^n
\label{tai}
\eL{vladitai} 
%Аппроксимации коэффициентов $t$ вычислены по формуле Коши; их вещественные и мнимые части представлены в последних двух столбцах таблицы
Approximations of the coefficients $t$ are calculated with the Cauchy integral. The real and imaginary parts of the first coefficients are presented in the last two columns of table
\ref{vladitab1}. 
The series converges at
%Ряд сходится при 
$|z\!-\!3\mathrm i |\!<\! \sqrt{2^2\!+\!3^2}\!=\!\sqrt{13}\!
%\approx 3.605551275463989
\approx\! 3.6~
$. 
%Для имплементации выбрано значение $N\!=\!51$; при этом, когда $|z\!-\!3\mathrm i |<2$,
For the numerical implementation I choose value $N\!=\!51$; then, at $|z\!-\!3\,\mathrm i |<2$,
%аппроксимация tai по формуле \rf{vladitai} дает порядка 14 значащих цифр. Комплексная карта этой функции представлена в левой части рисунка 
approximation tai by \rf{vladitai} provides of order of 14 significant figures.
The complex map or this approximation is shown in the left hand side of figure 
\ref{vladi06}. 


\newcommand \taiax {
\put(-3,76){\sx{.5}{$y$}}
\put(-3,69){\sx{.5}{$6$}}
\put(-3,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(-3,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(-3,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put(-5,-1){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put( 7  ,-4){\sx{.5}{$-\!3$}}
\put(17  ,-4){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(27  ,-4){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(40 , -4){\sx{.5}{$0$}}
\put(50 , -4){\sx{.5}{$1$}}
\put(60 , -4){\sx{.5}{$2$}}
\put(70 , -4){\sx{.5}{$3$}}
\put(79 , -4){\sx{.5}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
%\begin{center}
\vskip 22pt
\hskip 12pt
\sx{2.23}{\begin{picture}(100,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figtai3}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi06a}}

\put(13,55){\sx{.44}{\rot{-77} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(23,62.4){\sx{.44}{\rot{-77} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(34,65){\sx{.44}{\rot{-76} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(45.6,66){\sx{.44}{\rot{-76} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(57.6,65){\sx{.44}{\rot{-77} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
%\put(33,5){\sx{.4}{\rot{67} $ v\!=\!\Im(L^*)$ \ero }}

\put(42,7){\sx{.4}{\rot{86} $ u\!=\!1$ \ero }}
\put(35,24.6){\sx{.4}{\rot{-31} $ v\!=\!1$ \ero }}
%\put(28,16){\sx{.4}{\rot{37} $ v\!=\!-1$ \ero }}

\taiax
\end{picture}}
\sx{2.23}{\begin{picture}(80,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figtai3L}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi06b}}
\taiax
\put(26,40){\sx{.58}{$D_{5}\!>\!14$}}
\put(62,15){\sx{.58}{$D_{5}\!<\!1$}}
\end{picture}}
%\sx{2.4}{\begin{picture}(70,60)
%\put(0,0){\includegraphics{figtai3E}}
%\end{picture}}
%\end{center}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi06.jpg}
\vskip -2pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{tai}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
\RU{по формуле}%
\EN{by}
\rf{tai}
{at}
%при 
$N\!=\!51$
% и согласие
and agreement
$D_{5}(x\!+\!\mathrm i y)$
%по формуле
%(\ref{taiL}).
%by \rf{vladiD5}.
%$r=|\log(\tai(z+1))-\tai(z)|$.
\label{vladi06}
\label{figtai} }
\vskip 10pt
\end{figure}

%Правая картинка этого рисунка представляет функцию согласия 
The right hand side map in figure \ref{vladi06} shows the agreement
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_5(z) &=&-\lg\! \left( \frac
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{tai}(z\!+\!1)\big)-\mathrm{tai}(z)\Big|}
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{tai}(z\!+\!1)\big)\Big|+\Big|\mathrm{tai}(z)\Big |} \right)
~ 
\eL{vladiD5}
%Как и на рисунках \ref{vladi04} и \ref{vladi05}, линии уровня для функции согласия проведены с интервалом в два порядка величины; для значений внутри внутреннего контура, наблюдается согласие с четырнадцатью значащими цифрами.
As in figures  \ref{vladi04}, \ref{vladi05}, and \ref{vladi06}, the levels for the agreement are drown with increment 2, beginning with 2; one additional level $D_5\!=\!1$ is shown with thick line. Inside the inner loop, the agreement with at least 14 digits takes place.
\vskip 2mm

%Приближение tai по формуле \rf{vladitai} существенно расширяет область, в которой для натуральной тетрации имеется быстрый и аккуратный алгоритм.
%При положительных значениях $\Im(z)$, тертрация может быть аппроксимирована в виде 
Approximation tai by  \rf{vladitai} significantly extends the domain, where the tetration can be precisely evaluated through elementary functions. For positive values of  $\Im(z)$, tetration $\mathrm{tet}(z)$ can be approximated with
\be
\mathrm{tet}(z)\approx \mathrm{tai}(z)
\ee
%При отрицательных значениях $\Im(z)$, тертрация может быть аппроксимирована в виде 
For negative $\Im(z)$, tertian can be approximated with
\be
\mathrm{tet}(z)\approx \mathrm{tai}(z^*)^*
\ee
These representations are sufficient to plot map in figure  \ref{analuxp01}d.
I assume, that the transfer equation \rf{transferexp} is applied some integer number of times, in order 
use $\mathrm{tai}(z)$ with the argument from the strip $|\Re(z)| \!\le \!1/2$. 
%Такое представление вполне достаточно для построения рисунка \ref{analuxp01}d, то есть для вычисления с четырнадцатью знаками значений этой функции в поле карты. (Я предполагаю, что передаточное уравнение \rf{transferexp} применяется целое число раз с тем, чтобы вещественная часть аргумента не превышала половину.)
However, the expansions above  do not provide the accurate approximation of $\mathrm{tet}(z)$ at 
%Однако такое представление не обеспечивает аккуратной аппроксимации при 
$|\Im(z)|\!>\!5$.
\vskip 2mm

%В принципе, для быстрой и аккуратной имплементации тетрации в комплексной плоскости, можно написать аналогичное разложение Тэйлора в точке $5 \mathrm i$ (или даже $6\mathrm i$); это позволило бы ещё вдвое расширить область аппроксимации, и продолжать в том же духе повдоль мнимой оси.  
%Однако есть более изящное представление, а именно, асимптотическое разложение тетрации при больших значениях мнимой части аргумента. Это представление рассмотрено в следующей секции.
One could extend the range of approximation, using the truncated Taylor expansions at point $5\, \mathrm i$ (or even $6 \,\mathrm i$), this would significantly extend the range of approximation, and continue such an exercise with new and new points along the imaginary axis.
However, there exist more intelligent and elegant way to deal with cases, when the imaginary part of the argument is large.
This way is described in the next section.

\section{Asymptotic expansion
%\RU{Асимптотическое разложение}
}
\baselineskip 18pt
\EN{The approximation of $\mathrm{tet}$ at large values of its argument can be build up using the asymptotic representation}%
\RU{Аппроксимации функции  $\mathrm{tet}$ при больших значениях мнимой части аргумента получается
%(или сильно отрицательных значениях вещественной части) 
из асимптотического разложения}%
\be
\tet_{\cal A}(z)=L+\sum_{n,m} \mathcal{A}_{m,n} \exp\left( L n z + \alpha m z \right)
\eL{fimao}
%где 
$L\!\approx\! 0.31813150520476413 \!+\! 1.3372357014306895 \,\mathrm i$ 
%есть стационарная точка логарифма, 
is, as before, the fixed point of logarithm, $L\!=\!\ln(L)$, 
and $\mathcal A$ are constant coefficients.
%a $\mathcal A$ суть постоянные коэффициенты. Подстановка $f=\tet_{\cal A}$ в передаточное уравнение \rf{transferexp} дает цепочку уравнений для коэффициентов $\mathcal A$.
%Этих уравнений недостаточно, чтобы оределить ${\cal A}_{m,0}$, так что такое решение всё ещё имеет счетное множество подгоночных параметров для натуральных значений $m$. Трудность нахождения этих параметров ещё в 20м веке отмечал Хельмут Кнезер (Helmuth Kneser) \cite{kneser}. Однако даже небольшое количество слагаемых, принятых во внимание в оборванном ряде \rf{fimao}, может использоваться для вычисления тетрации в при достаточно больших значениях мнимой части аргумента. 
%Такое использование описано в этой секции.
\vskip 6pt

Substitution $f=\tet_{\cal A}$ into the transfer equation  \rf{transferexp} 
gives the chain of equations for coefficients  $\mathcal A$.
These equations do not determine ${\cal A}_{m,0}$; so, the solution still has the countable set of ``free'' parameters for natural $m$.
Difficulty of determination of these parameters had been discussed in 1950 by Hellmuth Kneser \cite{kneser}.
However, even a relatively small amount of terms taken into account in expansion \rf{fimao}
can be used for the precise approximation and evaluation of tetration at large values of the imaginary part of the argument.
\vskip 6pt

%Чтобы получить аккуратное приближение  тетрации для 
%области,  которая ещё не перекрыта предыдущими аппроксимациями,
%рассмотренными выше
%достаточнo учесть всего несколько слагаемых. %Сейчас я расскажу, как получаются соответствующие коэффициенты $\mathcal A$. 
%Пусть
Looking at the general (and a little bit ugly) expansion  \rf{fimao}, I suggest the approximate, but more beautiful formula
\newcommand \ve {\varepsilon}
\be 
{\rm fima}(z)=\sum_{n=0}^N a_n \ve^n +
\beta \ve \exp(2 \pi \rmi z)%\sum_{m=0}^M b_m \ve^m
%\beta \ve \exp(2 \pi \rmi z)\sum_{m=0}^M b_m \ve^m
%L+\ve+a_{2}\ve^{2}+a_{3}\ve^{3}+a_{4}\ve^{4}+a_{5}\ve^{5}
%+b_{11}\ve\rme^{2 \pi \rmi z}(1+
~,~\eL{fima}
%где малый параметр
where the small parameter
\be
\ve\!\!=\!\exp(Lz\!+\!Lr)
\eL{fimave}
%Подстановка 
Mnemonics of name fima is following: Functional expansion for large IMAginary part of the argument.
Substitution of
$f(z)\!=\!\mathrm{fima}(z)\!+\!O(\ve^{N+1})$
%\EN{where the small parameter is}\RU{где малый параметр}
into the transfer equation  \rf{transferexp} gives the coefficients
%дает коэффициенты
\be \!\!\!\!
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_0\!&\!=\!&~L~ ~\approx~ 
   0.31813150520%47641353 
+ 1.33723570143%06894089 
\, \rmi\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_1\!&\!=\!&~1~\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_2\!&\!=\!&\!\frac{1/2}{L-1}~\approx~ 
-0.1513148971%5565%17359
-0.2967488367%3224%13067
\, \rmi\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_3\!&\!=\!&\!\frac{a_{2}+1/6}{L^2-1}=\frac{2+L}{6(L\!-\!1)(L^2\!-\!1)} \approx \! 	
      - 0.036976%3094%0906762
\! +\! 0.098730%5443%1149697 
\, \rmi 
~~~~~~~\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_4\!&\!=\!&\!\!\frac{6+6L+5L^2+L^3}{24(L\!-\!1)^3(L\!+\!1)(L^2\!+\!L\!+\!1)}\approx 
%0.025811597973140139811 - 0.017386962126530755054
      0.02581%15979731%401398
 \!-\!0.01738%69621265%30755
\, \rmi~~ ~ ~ ~ ~\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_5\!&\!=\!&\!\frac{24\!+\!36L\!+\!46 L^2\!+\!40L^3 \!+\! 24 L^4 \!+\! 9 L^5 \!+\! L^6} 
                   {120(L\!-\!1)^4(L\!+\!1)^2(1\!+\!L+\!2L^2\!+\!L^3\!+\!L^4)}   \nonumber \\ 
                  & \approx&  
      -0.0079444196 
\!+\! 0.00057925018 
\, \rmi 
%\\
%-.0079444196024423593612 + 0.0005792501816899562848
%a_6\!&\!=\!&\!\frac{
%120\!+\!240 L\!+\!390 L^2 \!+\! 480 L^3 \!+\! 514 L^4 \!+\! 416 L^5 \!+\! 301 L^6 
%\!+\! 160 L^7 \!+\! 64 L^8 \!+\! 14 L^9 \!+\! L^{10}}
%{720(L\!-\!1)^5(L\!+\!1)^2(1\!+\!L^2)(1\!+\! L \!+\! L^2)(1 \!+\! L \!+\! L^2 \!+\! L^3 \!+\! L^4)}\\
%\nonumber \\
%b_{m}\!&\!=\!&\!(m\!+\!1) a_{m\!+\!1}
%\eL{fimavalua}
\label{fimavalua}
\ee
%разложения \rf{fimao} в 
%В приниципе, можно учитывать больше слагаемых, но оказывается, уже даже $N\!=\!5$
%позволяет позволяет, с учетом предыдущих разложений, перекрыть аккуратными аппроксимациями всю комплексную плоскость.
It is not difficult to take into account more terms, but $N\!=\!5$ already allows to cover the rest of the complex plane (not covered with approximations ``maclo'' and ``tai'') with accurate approximations of natural tetration.
\vskip 8pt

%эффективными аппроксимациями тетрации. 
%При этом $R$ и $\beta$ в правых частях формул \rf{fima} и \rf{fimave} остаются ``подгоночными'' параметрами. Их значения выбираются так, чтобы аппроксимировать тетрацию, вычисляемую чуть более медленным способом через интеграл Коши:
Coefficients  $R$ and $\beta$ in the right hand sides of formulas \rf{fima} and \rf{fimave} remain as ``adjusting parameters''.
Their values are chosen in order to approximate tetration, evaluated with a little bit slower Cauchy integral:
\be 
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
r&\approx&  1.0779614375280 - 0.94654096394782\,\mathrm i  ~ ~ ~ \iL{fimaR}~~~~\\
%1.077961437528 -0.946540963948 \,\mathrm i  ~ \iL{fimaR}\\
%\beta_0&\approx& 0.1223    ~    - 0.0237 ~ \mathrm i \iL{fimaB}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\beta&\approx& 0.12233176 - 0.02366108 ~ ~ ~ \mathrm i 
~~~~~~~~~ ~~~~~~~
\iL{fimaB}~~~~
\ee
These values can be interpreted as approximations of the fundamental mathematical constants.
I suggest to call them ``the Kneser constants'', as the expansion with these coefficients had been suggested in 1950 by H.Kneser \cite{kneser}. Many digits in approximations of these constants can be calculated, in a way, similar to that in centuries 19 and 20 the mathematicians competed in precision of evaluation of number $\pi$.
\vskip 6pt

\newcommand \fimax {
\put(17,52){\sx{.44}{$y$}}
%\put(17,55){\sx{.58}{$5$}}
\put(17,43){\sx{.44}{$4$}}
\put(17,33){\sx{.44}{$3$}}
\put(17,23){\sx{.44}{$2$}}
\put(17,13){\sx{.44}{$1$}}
\put(17,03){\sx{.44}{$0$}}
%\put(12, 5){\sx{.58}{$-1$}}
\put(26,0){\sx{.44}{$-7$}}
\put(36,0){\sx{.44}{$-6$}}
\put(46,0){\sx{.44}{$-5$}}
\put(56,0){\sx{.44}{$-4$}}
\put(66,0){\sx{.44}{$-3$}}
\put(76,0){\sx{.44}{$-2$}}
\put(86,0){\sx{.44}{$-1$}}
\put( 99,0){\sx{.44}{$0$}}
\put(109,0){\sx{.44}{$1$}}
\put(119,0){\sx{.44}{$2$}}
\put(129,0){\sx{.44}{$3$}}
\put(139,0){\sx{.44}{$4$}}
\put(149,0){\sx{.44}{$5$}}
\put(159,0){\sx{.44}{$6$}}
\put(169,0){\sx{.44}{$7$}}
\put(178,0){\sx{.44}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
%\begin{center}
\hskip -40pt
\sx{2.55}{\begin{picture}(200,50)
%\put(0,6){\includegraphics{figfima}}
\put(-1,-7){\includegraphics{vladi03a}}
\multiput(27,38)(22.7,4){4}{\sx{.4}{\rot{-76} $v\!=\!\Im(L)$\ero}}
\multiput(38,41)(22.7,4){4}{\sx{.4}{\rot{-76} $u\!=\!\Re(L)$\ero}}
%
\multiput(77,15)(44.5,10.6){3}{\sx{.4}{\rot{0} $u\!=\!0$\ero}}
\multiput(89,16.4)(44.5,10.6){2}{\sx{.4}{\rot{0} $v\!=\!1$\ero}}
\fimax
\end{picture}}

\hskip -40pt
\sx{2.55}{\begin{picture}(200,60)
%\put(0,6){\includegraphics{figfimaE}}
\put(-1,-7){\includegraphics{vladi03b}}
\fimax
\put( 64,48){\sx{.6}{$D_{\rm fifi}>14$}}
\put(151,8){\sx{.6}{$D_{\rm fifi}\!<\!1$}}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi03.jpg}
\vskip -4pt
\caption{%\large
%Верхнаяя карта: 
Top: $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{fima}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
by
%по формуле 
\rf{fima};
%нижняя карта: согласие 
bottom: map of
$D_{\rm fifi}=D_{\rm fifi}(x\!+\!\mathrm i y)$  
%по формуле 
by
\rf{fifi} %\rf{fimaE} 
%$~r\!=\!\big|\fima(z)\!-\!\exp(\fima(z\!-\!1))\big|~$, 
%\EN{in the complex $z$-plane}\RU{в комплексной $z$-плоскости}.
\label{vladi03}
\iL{figfima} }
\vskip 4pt
\end{figure}
%Комплексная карта функции fima с такими значениями показана на на верхней картинке рисунка \ref{vladi03}; представлена верхняя половина комплексной плоскости. В нижней части, плотность линий столь велика, что картограф всё равно не сумел бы их провести.
Complex map of function fima is shown in the top picture of figure  \ref{vladi03}; the upper half of the complex plane is shown. This map should be compared to the map of tetration in figure \ref{analuxpmap} (although the levels 
%%Для наглядности, на карте добавлены широкие линии уровней 
$\Re(L)$ 
%и
and $\Im(L)$ are not drawn in figure \ref{analuxpmap}) and to maps of other approximations in figures 
\ref{vladi04},
\ref{vladi05} and
\ref{vladi06}
\vskip 8pt

%Пока нет принципиальных ограничений на аккуратность вычисления тетрации через интеграл Коши, 
%этот алгоритм может считаться точным.
%эти значения могут считаться фундаментальными математическими константами. 
There is no fundamental limit on the precision of evaluation of tetration (for example, through the Cauchy integral), so, 
parameters $\beta$ and $r$ in should be considered as fundamental mathematical constants.
The numerical computations, described in this book, have precision of order of 14 decimal digits (that is close to the best precision achievable with variable complex double), and parameter $r$ is evaluated with the similar precision. Precision of evaluation of parameter $\beta$ is not so high; perhaps, calculus with variables ``long complex double'' are necessary to improve the precision of evaluation of $\beta$ and add more digits in the right hand side of equation \rf{fimaB}. 
%Численные рассчеты, представленные в этой книге, проведены с переменными ``complex double'', и аккуратность вычисления параметра $\beta$ хуже, чем параметра $r$. Читатели приглашаются повторить рассчеты в переменных ``long complex double'' и добавить к оценкам для $R$ и $\beta_0$ ещё десяток значащих цифр. Эти параметры могут считаться фундаментальными математическими константами. 
\vskip 2mm

\RU{
Для большей аккуратности, количество слагаемых в оборванном разложении \rf{fimao} может быть увеличено, но пока я не могу предложить изящного способа вычисления лидирующих коэффициентов $\mathcal A_{m,0}$. Их приxодится оценивать из условий
$\mathrm{tet}(z^*)\!=\!\mathrm{tet}(z)^*$ и $\mathrm {tet}(0)\!=\!1$; то есть использовать значения тетрации вне области аппроксимации этой функции её асимптотическим разложением \rf{fima}. Это обстоятельство отмечается в работе Кнезера \cite{kneser}; впрочем, там не оцениваются даже первые их этих лидирующих коэффициентов: в прошлом веке ещё не было алгоритма аккуратного вычисления тетрации через интеграл Коши, и у Кнезера не было компьютера, чтобы 
%численно оценивать интегралы Коши и через них - 
вычислать константы Кнезера через интеграл Коши.  Возможно, в будущем будет предложен 
%ещё 
более красивый способ вычисления этих констант.}%RU
\vskip 2mm

%Чтобы показать невязку при подстановке $f\!=\!\mathrm{fima}$ в передаточное уравнение \rf{transferexp}, на рисунке 
%построена карта функции согласия
In order to show the residual at the substitution $f\!=\!\mathrm{fima}$ into the transfer equation  \rf{transferexp}, figure
\rf{vladi03} shows the agreement
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\mathrm {fifi}}(z)=-\lg \left( \frac
{ | \mathrm{fima}(z)-\exp(\mathrm{fima}(z\!-\!1)) | }
{ | \mathrm{fima}(z)|+|\exp(\mathrm{fima}(z\!-\!1)) | }
\right)
\eL{fifi}
%Как и на предыдущих картах согласия, линии уровня проведены через два порядка величины, и лишь для уровня $D_{\mathrm{fifi}}\!=\!1$ сделано исключение; за этим уровнем, аппроксимация fima даже качественно не воспроизводит поведение натуральной тетрации. В верхней области, над верхней курвой, невязка мала и можно ожидать, что аппроксимация дает по крайней мере 14 значащих цифр,
%что близко к максимальной аккуратности при использовании переменных complex double.
This agreement can be considered as an estimate, for how many orders of magnitude the value of the function is larger, than the error of its evaluation with approximation fima. 
As in the previous maps of agreement, the levels are drown with interval two orders of magnitude; only for level $D_{\mathrm{fifi}}\!=\!1$, the exception is done; this level is shown with thick line. Below this level, the approximation fima does not reproduce even the qualitative behaviour of natural tetration. In the upper region, above the highest level, contrary, the approximation provides at least 14 significant figures, that is close to the maximal precision, achievable with variables complex double.
\vskip 2mm

%В окрестности мнимой оси, область применимости аппроксимации fima приближается к точке $3\mathrm i$. Это дает возможность сравнить аппроксимацию fima с аппроксимацией tai, полученной из разложения Тэйлора в этой точке в предыдущей секции. Такое сравнение рассмотрено в следующей секции.
This section suggests the asymptotic approximation denoted with name ``fima'' by \rf{fima}. Approximation fima is valid in the most of the upper part of the complex plane. Its conjugation
$z\mapsto \mathrm{fima}(z^*)^*$  provides the approximation for the most of the lower part of the complex plane.
With the transfer equation, these approximations can be extended also to the larger values of the real part of the argument.
Together with approximations ``maclo'' and ``tai'', the whole complex plane happens to be covered with overlapping regions, and for each of these region, the efficient approximation based on the series expansion, is described. Now it would be methodically correct to analyse, verify the overlappings, agreement of these approximations. This overlapping is considered in the next section. 
\vskip 2mm

%\section{Сравнение аппроксимаций}
\section{Comparison of approximations}
\baselineskip 18.6pt
%На основе представления тетрации через интеграл Коши, были вычислены коэффициенты различных разложений тертрации и её аппроксимации элементарными функциями. Интересно сравнить самосогласованность таких аппроксимаций. 
%В этой секции представлены карты функций согласия, указывающие области, где различные представления тетрации согласуются между собой.
On the base of representation of natural tetration through the Cauchy integral, 
the coefficients of various expansions of tetration are evaluated and the approximations with elementary functions are suggested.
In this section, the mutual agreement or these representations is analysed.
\vskip 2mm

%Для того, чтобы показать, насколько значения \rf{fimaR} и \rf{fimaB} согласу

\newcommand \tafiax {
\put(7,68){\sx{.5}{$y$}}
%\put(5,74){\sx{.5}{$\Im(z)$}}
%\put(7,69){\sx{.5}{$6$}}
\put(7,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(7,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(7,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(7, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put( 7  ,6){\sx{.5}{$-\!3$}}
\put(17  ,6){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(27  ,6){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(40 , 6){\sx{.5}{$0$}}
\put(50 , 6){\sx{.5}{$1$}}
\put(60 , 6){\sx{.5}{$2$}}
\put(70 , 6){\sx{.5}{$3$}}
%\put(78 , 6){\sx{.5}{$\Re(z)$}}
\put(78 , 6){\sx{.5}{$x$}}
}
\begin{figure}
\begin{center}
\sx{2.33}{\begin{picture}(96,75)
%\put(0,0){\includegraphics{figtaifima}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi07a}}
\tafiax
\put(31,54){\sx{.45}{$D\!>\!14$}}
\end{picture}}
\sx{2.33}{\begin{picture}(84,70)
%\put(0,0){\includegraphics{figtaimaclo}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi07b}}
\tafiax
\put(33,55){\sx{.52}{$D\!<\!1$}}
\put(33,24){\sx{.45}{$D\!>\!14$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -18pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi07.jpg}
\vskip -4pt
\caption{
\EN{Comparison of approximations tai by (\ref{tai}) to fima by 
%(\ref{vladifima})
(\ref{fima})
and to maclo by (\ref{maclo}): agreements $D\!=\!D_{6}(x\!+\!\mathrm i y)$ and $D\!=\!D_{7}(x\!+\!\mathrm i y)$ by 
%(\ref{fimatai}),(\ref{maclotai})
(\ref{D6}),(\ref{D7})
 in the complex z-plane.}
\RU{Карта согласия 
$D\!=\!D_{6}(x\!+\! \mathrm i y)$ 
по формуле \rf{vladiD6} и карта согласия $D\!=\!D_{7}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле 
\rf{vladiD7}
%\rf{vladiD5}),
%(\ref{maclotai}) в комплексной z-плоскости.
}
\iL{figco}
%\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
~ ~ ~ ~ ~ ~
\iL{vladi07}
}
\vskip 8pt
\end{figure}

%В левой части рисунка \ref{vladi07} показана функция согласия между аппроксимацией tai по формуле \rf{tai} и аппроксимацией fima по формуле  \rf{fima}
The left hand side of figure \ref{vladi07} 
shows the agreement of approximation tai by \rf{tai} with approximation fima by \rf{fima}:
\be
D_6(z)= - \ln \left( \frac
{|\mathrm{tai}(z) - \mathrm{fima}(z)|}
{|\mathrm{tai}(z)|+|\mathrm{fima}(z)|}
\right)
\label{D6}
\eL{vladiD6}
%В правой части рисунка \ref{vladi07} показана функция согласия между аппроксиацией tai \rf{tai} и аппроксимацией maclo 
The right hand side of figure \ref{vladi07} shows agreement of approximation tai by \rf{tai} 
with approximation maclo  by \rf{maclo}"
\be
D_7(z)= - \ln \left( \frac
{|\mathrm{tai}(z) - \mathrm{maclo}(z)|}
{|\mathrm{tai}(z)|+|\mathrm{maclo}(z)|}
\right)
\label{D7}
\eL{vladiD7}
%\chapter{Интеграл Коши и натуральная тетрация \iL{IntegralOfCauchy}}

%Рисунок 
%\ref{valdi07}
Figure \ref{figco}
%указывает, как выбирать аппроксимацию тетрации в зависимости от мнимой части аргумента
%при умеренных значениях 
indicates, how to choose the appropriate approximation of tetration dependently on the imaginary part of the argument $z$
at moderated values of $|\Re(z)|\!<\!1$. 
%Эту границу следует провести в области, где 
The boundary between the domains of the approximations should go through the loops, where 
$D>14$.
%Когда $|\Im(z)|\le 1.5$, пусть используется аппроксимация maclo;
While $|\Im(z)|\le 1.5$, 
let approximation maclo be used;
%при  
At $1.5< \Im(z) \le 4.5$, 
%пусть используется аппроксимация tai, a при ещё больших значениях, пусть используется fima.
let the approximation tai be used, and, at even larger values, let the evaluation be performed with approximation fima.

\EN{Looking at figure \ref{figco}, I suggest the following approximation:}% 
\RU{На основе рисунка \ref{figco}, я предлагаю следующую аппроксимацию:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm fse}(z)=\left\{ \begin{array}{ccrcccr} 
{\rm fima}(z)		&,&	 4.5&	\!<\!	&\Im(z)			\\
{\rm tai}(z)		&,&	 1.5&	\!<\!	&\Im(z)	&\!\le\!&	 4.5	\\
{\rm maclo}(z)		&,&	-1.5&	\le	&\Im(z) &\!\le\!&	 1.5	\\ 
{\rm tai}(z^{*})^{*}	&,&	-4.5&	\le	&\Im(z) &\!<\!&\!\!	-1.5	\\ 
{\rm fima}(z^{*})^{*}	&,&	&		&\Im(z)	&\!<\!&\!\!	-4.5  
\end{array}
\right.
\label{fse}
\eL{fsexp}
\EN{This approximation can be compared to previous results.}%
\RU{Эту аппроксомацию интересно сравнить с прямой оценкой тетрации через интеграл Коши.}
%\EN{Below, I analyze the deviation $\mathrm{fse}(z)-F_{4}(z)$, where $F_{4}(z)$ is approximation, obtained by the straightforward implementation of the contour integral}%
%\RU{Ниже анализируется отклонение  $\mathrm{fse}(z)-F_{4}(z)$, где $F_{4}(z)$ есть аппроксимация, полученная с помощью контурного интеграла}
%\cite{k}.
\EN{The left hand picture of figure} \RU{В левой части рисунка}
\ref{figcoF}
\EN{shows  the agreement} \RU{показано согласие}
\be
D_{8}(z)=-\lg\left( \frac
{|\mathrm{fse}(z)-F_{4}(z)|}
{|\mathrm{fse}(z)|+|F_{4}(z)|}
\right)
\eL{DfseF4}
\EN{of approximation $\mathrm{fse}$ with the approximation $F_{4}$ obtained through the direct implementation of the contour integral}%
\RU{аппроксимации $\mathrm{fse}$ с аппроксимацией $F_{4}$ тетрации через контурный интеграл}. %\cite{k}.
\vskip 2mm

\begin{figure}
\begin{center}
\sx{2.2}{\begin{picture}(100,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figsexpF4}}
%\put(0,0){\includegraphics{figcf4small}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi08a}}
\put(5,68){\sx{.45}{$\Im(z)$}}
\put(7,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(7,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(7,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(7, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put(72 , 6){\sx{.45}{$\Re(z)$}}
\put(60 , 6){\sx{.5}{$2$}}
\put(40 , 6){\sx{.5}{$0$}}
\put(17  ,6){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(25,62){\sx{.5}{$D\!>\!14$}}
\put(55,60){\sx{.5}{$12\!<\!D\!<\!14$}}
\put(68,20){\sx{.5}{$D\!<\!1$}}
\end{picture}}
\sx{2.2}{\begin{picture}(80,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figsexpF5}}
%\put(0,0){\includegraphics{figcf5small}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi08b}}
\put(5,68){\sx{.45}{$\Im(z)$}}
\put(7,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(7,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(7,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(7, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put(72 , 6){\sx{.45}{$\Re(z)$}}
\put(60 , 6){\sx{.5}{$2$}}
\put(40 , 6){\sx{.5}{$0$}}
\put(17  ,6){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(31,56){\sx{.5}{$D\!>\!14$}}
\put(68,20){\sx{.5}{$D\!<\!1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -16pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi08.jpg}
\vskip -4pt
\caption{
\EN{Agreement}\RU{Согласие} $D\!=\!D_{8}$ \EN{by}\RU{по формуле} (\ref{DfseF4}),
\EN{left; the similar agreement for the contour integral with base domain shifted for $-0.5$}%
\RU{слева; аналогичное согласие для контурного интеграла со сдвинутой на $-0.5$ базовой областью}
. \iL{vladi08}\label{figcoF}}
%independent 
%alternative approximation $F_{5}$ for displaced basic interval (right). \iL{figcoF}}
\vskip 6mm
\end{figure}
\EN{Figure}\RU{Рисунок}  \ref{figcoF}
\EN{reveals the defects of each approximation. The jumps at}%
\RU{выявляет дефекты использованных аппроксимаций. Скачки при} 
$\Im(z)\!=\!1.5$ \EN{and at}\RU{и при} $\Im(z)\!=\!2.5$
\EN{should be attributed to the transition from function}%
\RU{вызваны переходом от функции} $\mathrm{maclo}$ 
\EN{to function}\RU{к функции} $\mathrm{tai}$ 
\EN{and from function}\RU{и от функции} $\mathrm{tai}$
\EN{to function}\RU{к функции} $\mathrm{fima}$ 
\EN{in the combination}\RU{в комбинации} $\mathrm{FSE}$. 
%The% vertical 
\EN{Jumps at half-integer values of $\Re(z)$ should be attributed to the discontinuities of function $F_{4}$, which extends the approximation with the contour integral, valid for $|\Re(z)|<1$, from the interval $|\Re(z)|\le 1/2$.}
\RU{Скачки при полуцелых значениях $\Re(z)$ вызваны разрывами функции $F_{4}$, которая расширяет начальное приближение, справедливое для $|\Re(z)|<1$, используя $|\Re(z)|\le 1/2$ в качестве базового интервала.}
\EN{The rounding errors appear as irregular dots.}
\RU{Ошибки округления приводят нерегулярной структуре.}
\EN{Within the strip}\RU{Внутри полоски}  $|\Re(z)|<1.5$,
\EN{the irregularities of all three approximations are of order of}%
\RU{взаимные отклонения этих трех аппроксимаций имеют порядок величины}
 $10^{-14}$.
\vskip 2mm

%Задача была перекрыть хорошими (быстрыми и аккуратными) аппроксимациями хотя бы полосу 
The goal is to cover with efficient (fast and accurate) approximations at least the strip
$\Re(z)\le 0.5$;
% тогда значения во всей комплексной плоскости $z$ могут быть выражены через передаточное уравнение \rf{transferexp} в правой части комплексной полуплоскости и через ``обращенное'' уравнение
then, values of natural tetration for the whole complex plane can be expressed through the transfer equation  \rf{transferexp} in the right hand side of the complex plane, and through the `inverted'' equation
\be
\ln( \mathrm{tet}(z))=\mathrm{tet}(z\!-\!1)
\eL{rtanexp}
in the right hand side.
The left map in figure \rf{vladi08} indicates, that the goal is achieved; agreement with approximately 14 decimal digits takes place in significantly wider part of the complex plane.
The approximations above are used for the fast implementation. 
%Рисунок показывает, что эта цель достигнута; согласие порядка 14 десятичных цифр имеет место в гораздо более широкой области комплексной плоскости. Так сделана ``быстрая'' аппроксимация тетрации. Эта аппроксимация имеет такую же аккуратность (порядка 14 значащих цифр), как и исходное представление через интеграл Коши; но вычисляется быстрее, чем интеграл Коши.
%; для одного значения требуется порядка сотни флопов.
\vskip 2mm

After to see the agreement discussed above, I had declared, that since now, the natural tetration can be evaluated so fast and so precisely, as other special functions, known since century 20.
Then Henryk Trappmann asked me to make one additional numerical test. He wanted to see, if the same tetration can be evaluated, if I misplpace the contour $\Omega$ in the Cauchy integral \cite{Cauchy}, moving it to the right. I recognised this as a trap (which would correspond to the last name of Henryk): if we displace the contour to the right, the derivatives of tetration becomes larger, and, with the same algorithm, we get lower precision.  But I agreed to displace the contour for 1/2 to the left. 
%Когда я заявил, что тетрация считается столь же быстро и столь же аккуратно, как и другие специальные функции, Генрик Траппманн попросил меня сделать ещё один численный тест, а именно, сдвинуть базовую область, в которой вычисляется интеграл Коши. Чтобы вставить мне шпильку, коварный Генрик предложил сдвинуть контурный интеграл
% на несколько единиц 
%вправо, в сторону б\'oльших значений $\Re(z)$, подальше от логарифмической особенности тетрации в точке $-2$. К тому времени, некоторые карты рисунка \ref{analuxp01} уже были построены; я знал, что такое тетрация, например, от трёх или даже от полутора (см. также рисунок \ref{TetPlot}). Если хорошенько сдвинуть контур вправо, то 
%%в аналоге формулы \rf{3dot3} 
%прийдется работать с разными листами логарифма. Я посмотрел на рисунки и понял, что есть шанс сесть в лужу, как это делали учителя в советских школах. Они путались в безграмотных ``методичках'', дети вставляли им шпильки,
%, чтобы получить значения мнимой части, большие $\pi$. 
%дети вставляли шпильки несчастным учителям, запутавшимся в безграмотных ``методичках''; %из РОНО вынуждали нагло врать;
%Кроме шпилек, практиковалась постановка учителей в тупик и посадка их же в лужу; 
%потом этим учителям уже неучи в РОНО вставляли длинное перо, а директрисы метали икру,
% безграмотные администраторы, 
%как это показано на рисунке \ref{school}.
\JP{
\begin{figure}[h]
\vskip 20pt
\sx{.91}{\begin{picture}(454,102)
\large
\put(15,0){\sx{.23}{\ing{luzhu2}} }
\put(0,-6){\sx{.7}{\ing{spilk8}} }
\put(344,-10){\sx{.29}{\ing{mechet}} }
\put(194,-24){\sx{.36}{\ing{pero}} }
\put(194,-22){\color{white}\rule{280pt}{24pt}}
\put(470,-22){\color{white}\rule{40pt}{100pt}}
%\put(220,0){\sx{.42}{\ing{tupik}} }
\put(0,112){\sx{1.16}{\em вставили}}
\put(0, 98){\sx{1.16}{\em шпильку}}
\put(74,-8){\sx{1.2}{\em сел в лужу}}
% 
\put(210,103){\sx{1.2}{\em вставили}}
\put(210,88){\sx{1.2}{\em длинное}}
\put(210,72){\sx{1.2}{\em перо}}
\put(370,-7){\sx{1.2}{\em мечет икру}}
\end{picture}}
\caption{\large%Soviet school: 
Советская школа
%Историчке в классе вставили шпильку; учитель математики сел в лужу; историчку поставили в тупик; в РОНО историчке вставили длинное перо.
\iL{school}}
\end{figure}
}%JP
%Перспектива оказаться в роли советского учителя (рис. \ref{school}) мне не улыбалась, поэтому я честно признался, что интеграл Коши - не панацея, и сдвигать контур на несколько единиц вправо отказался. Читатели приглашаются проделать это в качестве поучительного упражнения и поймать момент, когда из-за разреза логарифма формула Коши для вычисления тетрации перестанет работать. Впрочем, я согласился сдвинуть контур интегрирования на 1/2 влево,
%у я указал, что аккуратность будет паршивой, даже если пробные значения будут умещаться в диапазон, принятый для переменной ``complex double''. Впрочем, я согласился сдвинуть контур интегрирования на половинку влево, 
\vskip 2mm

With the displaced contour, the same ab initio evaluation of tetration had been performed. 
Tetration $\mathrm{tet}(-1/2\!+\!iy)$ for real $y$ had been evaluated; then, with the Cauchy integral and equations 
\rf{transferexp},\rf{rtanexp}, the approximation had been extended to the whole complex plane, in the similar way as with the first algorithm of evaluation of tetration \cite{analuxp}. The result is compared to the approximations with expansions in the way, similar to that of by  \rf{DfseF4}; the new approximation is used instead of $F_4$. The resulting agreement is shown in the right hand side map in figure \rf{vladi08}.
%и pасчитать 
%ab inicio значения $\mathrm{tet}(z)$ вдоль вертикальной прямой $\Re(z)=1/2$. Потом, естественно, с помощью передаточного уравнения и интеграла Коши, вычисление распространяется на всю комплексную плоскость (за исключением луча $z\!\le\! -2$). Относительное отличие значений тетрации, подсчитанное с таким модифицированным алгоритмом, от рассчитанных ранее, оказалось порядка $10^{-14}$, как я и ожидал (и в чем хотел удостовериться Генрик). Значения, подсчитанные через такой модифицированный интеграл Коши, подставлены вместо функции $F_4$ в формулу 
%\rf{DfseF4}, и полученная функция согласия представлена в правой части рисунка \ref{vladi08}. 
\vskip 2mm

Figure \ref{vladi08} reveals defects of approximations mentioned above. The discontinuities in formula \rf{fsexp} are seen with horizontal jumps along lines 
$\Im(z)=1.5$ and $\Im(z)=4.5$.% , that are clearly shown with concentrated levels.
Discontinuities of the initial, ``primary'' approximation appear with the vertical jumps along half-integer values of $\Re(z)$.
The similar discontinuities are seen also for the evaluation with displaced contour at integer values of $\Re(z)$. All these jumps of the compared approximations are at the level of $10^{-14}$, and this confirms the declared estimate of the precision of the evaluation of the natural tetration.
\vskip 2mm

The agreement in the right hand side of figure  \ref{vladi08} happened to be even better, than that in the left hand side. Henryk had been satisfied with that test. For the natural tetration, the new contour of integration happened to be a little bit better, than the initial choice.
In such a way, the analogy with lazy engineer (or with stupid selfish tyrant), mentioned above, gets the confirmation: the initial contour of integration in the original publication \cite{analuxp} is not best. However, I still think, that the simplicity of that contour and the good agreement (figure \ref{vladi08}) should be considered as some kind of excuse for the voluntaristic choice of the contour.
%Для вычисления параметров для функций, аппроксимирующих тетрацию, требовались коэффициенты разложения  Тэйлора. Для них использовались контуры интегрирования с размером, б\'oльшим единицы, то есть более широким, чем область первичной аппроксимации через интеграл Коши; для вычисления вне области первичной аппроксимации использовано передаточное уравнение. Это обеспечивает определенную стабильность численной процедуры; погрешность приближения оказалась не больше (и, вероятно, даже меньше), чем погрешность исходного приближения. Для рассчетов со сдвинутым контуром (см. правую карту на рисунке \ref{vladi08}), согласие получилось не хуже, а, пожалуй, даже лучше, чем для исходного представления с симметричным расположением контура интегрирования. Это можно объяснить тем, что на карте тетрации (см. рисунок \ref{tetmap}), вдоль прямой 
%$x\!=\!-0.5$ функция изменяется меньше и медленнее, чем вдоль прямой $x\!=\!0$. 
\vskip 2mm
 
%Скепсис по поводу выбора контура интегрирования и аналогии с ленивым 
%проектировщиком
%инженером подтвердились. Изначальный контур интегрирования не оптимален; даже прямоугольный контур можно выбрать лучше (сдвинув его на 0.5 влево). Однако я всё ещё считаю, что простота этого контура оправдывает такой выбор.
\section{Implementation}
%\vskip 2mm

%После многочисленных тестов описанных выше быстрых аппроксимаций тетрации, была загружена имплементация fsexp.cin следующего алгоритма:
After the tests, described in the previous section, for the numerical implementation, the following approximation is used: 
$\mathrm{tet}(z)\approx \mathrm{FSE}(z)$, with
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm FSE}(z)=\left\{ \begin{array}{ccrcccr} 
{\rm FIMA}(z)		&,&	 4.5&	<	&\Im(z)			\\
{\rm TAI}(z)		&,&	 1.5&	<	&\Im(z)	&\le&	 4.5	\\
{\rm MACLO}(z)		&,&	-1.5&	\le	&\Im(z) &\le&	 1.5	\\ 
{\rm TAI}(z^{*})^{*}	&,&	-4.5&	\le	&\Im(z) &<&\!\!	-1.5	\\ 
{\rm FIMA}(z^{*})^{*}	&,&	&		&\Im(z)	&<&\!\!	-4.5  
\end{array}
\right.
\label{FSEXP}
\eL{FSE}
\EN{where}\RU{где} 
\be \!
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm FIMA}&\!=\!&
\left\{\!
\begin{array}{ccc}
		\mathrm{fima}(z)		&,&\!	\Im(z) 	>	4\!+\!0.2379\!~ \Re(z)\\
		\exp( {\rm FIMA}(z\!-\!1) )\!\!\!\!	&,&\!	\Im(z)	\le	4\!+\!0.2379\!~ \Re(z)
\end{array}
\right.
\label{FIMA}
\\
%\ee
%
%\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm TAI}&=&
\left\{
\begin{array}{ccccr}
		\mathrm{tai}(z)				&,&\!	|\Re(z)|\!	&\le&	0.5 \\
		~\log({\rm TAI}(z\!+\!1))	&,&	\Re(z)		&<&	-0.5 \\
		~\exp({\rm TAI}(z\!-\!1))	&,&	\Re(z)		&>&	0.5 
\end{array}
\right. \iL{TAI}
\\
%\ee
%\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm MACLO}&=&
\left\{
\begin{array}{ccccr}
		\mathrm{tai}(z)					&,&\!	|\Re(z)|\!	\!&\!\le\!&\!	0.5 \\
		\log({\rm MACLO}(z\!+\!1))\!\!\!\!	&,&	\Re(z)		\!&\!<\!&\!	-0.5 \\
		\exp({\rm MACLO}(z\!-\!1))\!\!\!\!	&,&	\Re(z)		\!&\!>\!&\!	0.5 
\end{array}
\right. \label{MACLO}
\ee

\EN{This approximation provides of order of 14 correct significant figures of the holomorphic tetration $\mathrm{tet}$}%
\RU{Эта аппрокцимация дает порядка 14ти верных десятичных знаков 
%голоморфной
тетрации $\mathrm{tet}$}
\EN{and agrees with the previous results}%
\RU{и согласуется с более ранними результатами} 
\cite{analuxp}.
%\cite{k}.
%Эта аппрокцимация дает по меньшей мере 14 верных десятичных знаков и согласуется с предыдыщими ресультатами.
\EN{Up to my knowledge, up to year 2016, function $\mathrm{FSE}$ above is the most precise and the fastest among ever reported approximations of the tetrational.
However, in 2016-2017, the new results by William Paulsen, Samuel Cowgill appear;
they are not included here. In such a way, the numerical implementation of tetration can be improved. 

Mnemonics of the name FSE is obvious: Fast Super Exponent. 
The C++ implementation of this algorithm is loaded as \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fsexp.cin} ; 
this approximation is used to plot the detailed map of tetration in figure 
\ref{tetmap}, used also for the cover of this Book.
}%EN
\RU{%Насколько я могу судить, 
Похоже, что эта аппроксимация быстрее и точнее всех аппрокцимаций
голоморфной тетрации, публиковавшихся до 2010 года.}%RU
% For comparison, the linear approximation uxp by \cite{u}, being interpreted as a approach 
%to the holomorphic tetration, gives only two significant figures, even in vicinity of the real axis.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\parindent 8pt
%\vskip 18pt
%\sx{.56}{\begin{picture}(852,820)
\sx{.5}{\begin{picture}(852,820)
\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
\zoomax
\put(60,415){\sx{2.8}{\bf cut}}
\put(340,548){\sx{3}{$v\!=\!1$}}
\put(360,414){\sx{3}{$v\!=\!0$}}
\put(760,414){\sx{3}{$v\!=\!0$}}
\put(340,280){\sx{3}{$v\!=\!-1$}}
%\put(70,800){\sx{2.5}{$f\approx L\approx0.318+1.337\,\mathrm i$}}
%\put(60,60){\sx{2.5}{$f\approx L^*\approx0.318-1.337\, \mathrm i$}}
%\put(100,638){\sx{2.5}{$v\!=\!1.4$}}
%\put(552,745){\sx{2.5}{$v\!=\!1.4$}}
\put(112,636){\sx{2.5}{\rot{-21}$v\!=\!1.4$\ero}}
\put(560,742){\sx{2.5}{\rot{-21}$v\!=\!1.4$\ero}}
\put(112,198){\sx{2.5}{\rot{20}$v\!=\!-\!1.4$\ero}}
\put(552, 90){\sx{2.5}{\rot{20}$v\!=\!-\!1.4$\ero}}
\put(662,716){\sx{2.5}{$u\!=\!0.2$}}
\put(216,606){\sx{2.5}{$u\!=\!0.2$}}
\put(660,642){\sx{3}{$u\!=\!0$}}
\put(210,536){\sx{3}{$u\!=\!0$}}
\put(386,628){\sx{2.5}{\rot{48}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(247,216){\sx{2.5}{\rot{23}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(480,140){\sx{2.5}{\rot{24}$u\!=\!0.4$\ero}}
\multiput(80,54)(232,-20){2}{\sx{3}{\rot{75}{$u\!=\!\Re(L)$}\ero}}
\multiput(190,30)(232,-20){2}{\sx{3}{\rot{75}{$v\!=\!\Im(L^*)$}\ero}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v\!=\! \mathrm{tet}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%; вдоль прямой $x\!=\!-1/2$, функция меняется мало и медленно. ~ 
\iL{tetmap}}
\end{figure}
%\vskip 2mm
 %Исторически,  тетрация по основанию $\mathrm e$  \cite{analuxp}
%(натуральная тетрация) была построена (вычислена) раньше, чем тетрации для других оснований \cite{e1e,sqrt2}.
%, и построение натуральной тетрации описано ниже. Таким же способом можно строить тетрацию и для других оснований $b>\exp(1/\mathrm e)$, а также суперфункции других реально-голоморфных передаточных функций, имеющих хотя бы одну пару комплексно-сопряженных стационарных точек \cite{uniabel} (являющихся аналогами параметров $L$ и $L^*$,  определенных выше), и не имеющие вещественных стационарных точек. 
%где стационарная точка $L$ определяется выражением \rf{expL}.

\EN{Many terms are kept in the approximations}\RU{Большое число слагаемых сохранено в аппроксимациях} (\ref{tai})
\EN{and}\RU{и} (\ref{maclo}) 
\EN{in order to provide the wide range of the overlapping in figures}%
\RU{для того, чтобы обеспечить их хорошее перекрытие на рисунках}
\ref{figco} \EN{and}\RU{и} \ref{figcoF}.
% and reveal the jumps of the approximations $F_{4}$ and $F_{5}$. % through the contour integral \cite{k}.
\EN{At the final step of the implementation, the number of terms can be reduced, boosting the algorithm, without loss of the precision.}%
\RU{При коммерческой имплементации таких алгоритмов,
количество слагаемых в аппроксимациях рядов может быть уменьшено без потери точности.}
\EN{In particular, this applies to the evaluation of tetration along the real axis: it is sufficient to approximate}
\RU{В частности, это относится к вычислению тетрации на вещественной оси; достаточно обеспечить хорошую аппро\-ксимацию функции} 
$\mathrm{tet}(z)$
\EN{for}\RU{для}
$|z|\le 1/2$,
\EN{using only a quarter of the radius of the precise approximation with function  $\mathrm{maclo}$. } 
\RU{что составляет всего четвертушку от радиуса круга, в котором аппроксимация тетрации функцией 
$\mathrm{maclo}$ дает 14 знаков.} 
\vskip 2mm

%Я прогнал много тестов, пытаясь выявить какие-либо противоречия в концепции о том, что существует, и только одна натуральная тетрация сиперфункция от экспонент 
%После детальной численной проверки и ещё многих тестов, которые не представлены в этой Кни 
\RU{Аппроксимации, описанные выше, позволяют быстро строить карты тетрации с высоким разрешением. 
Одна из таких карт показана на рисунке \ref{tetmap}.
Аккуратность в 14 значащих цифр допускает глубокие зумины такой карты, и, в частности, квази-хаотичного поведения тетрации в окрестности положительной части вещественной оси, где тетрация растет очень быстро (и, следовательно, её мнимая часть при отходе от вещественной оси изменяется тоже очень быстро). Читатели приглашаются скачать алгоритм вычисления тетрации fsexp.cin, графопостроитель conto.cin (с сайта ТОРИ или из Ситизендиума) и построить такие карты по собственному вкусу и усмотрению. 
Такая карта тетрации 
%(к сожалению в плохом разрешении) 
использована %на первой странице 
%предложена 
для обложки этой Книги.
%Карта в 1000х1000 точек строится в реальном времени и допускает многократное увеличение длш рассматривания деталей.
%\section{Detailed map of tetration}
}
\vskip 2mm

%Обратная функция к тетрации является называется атктетрацией. Это абельфункция экспоненты. То есть абельэкспонента. Она рассмотрена в следующей главе.

For iterates of the exponent, the inverse function, id est, arctetration, or abelexponent, is also required. This arctetration is considered in the next chapter.

%\chapter{~ Арктетрация %и итерации экспоненты
\chapter{~ Natural arctetration 
}
\baselineskip 18.6pt

\begin{figure}[h]
\vskip -36pt
\hskip -30pt
%\sx{2.66}{\begin{picture}(220,140)
\sx{2.5}{\begin{picture}(220,124)
%\put(0,0){\includegraphics{figslogG}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi02c}}
\put(17,114){\sx{.6}{$y$}}
\put(17, 99){\sx{.58}{$4$}}
\put(17, 89){\sx{.58}{$3$}}
\put(17, 79){\sx{.58}{$2$}}
\put(17, 69){\sx{.58}{$1$}}
\put(17, 59){\sx{.58}{$0$}}
\put(12, 49){\sx{.58}{$-1$}}
\put(12, 39){\sx{.58}{$-2$}}
\put(12, 29){\sx{.58}{$-3$}}
\put(12, 19){\sx{.58}{$-4$}}
\put(12,  9){\sx{.58}{$-5$}}
\put(178,5.2){\sx{.6}{$x$}}
%\put(180,4){\sx{.6}{$8$}}
\put(160,5.2){\sx{.6}{$6$}}
\put(140,5.2){\sx{.6}{$4$}}
\put(120,5.2){\sx{.6}{$2$}}
\put(100,5.2){\sx{.6}{$0$}}
\put( 76,5.2){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 56,5.2){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 36,5.2){\sx{.6}{$-6$}}
%\put(105,57){\sx{1}{$G$}}

\put( 64,119){\sx{.5}{$u\!=\!2.2$}}
\put( 94,119){\sx{.5}{$u\!=\!2$}}
\put(118,119){\sx{.5}{$v\!=\!0.6$}}
\put(148,119){\sx{.5}{$v\!=\!0.4$}}
%\put(182,100){\sx{.5}{$v\!=\!0.2$}}
%\put(182, 92){\sx{.5}{$u\!=\!1.8$}}
\put(166, 59.8){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\end{picture}}
\vskip -16pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi02.jpg}
\vskip -4pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ate}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
~ ~ ~ ~ \iL{vladi02c} ~ ~ ~ ~
\iL{figsexpG} }
\vskip 2pt
\end{figure}

%Обратная функция к натуральной тетрации
%то есть абельэкспонента, абельфункция от экспоненты, 
%обозначается здесь символом ate, так что 
The inverse function of tetration, id est, arctetration, or abelexponent,
is denoted with name ate; 
$\mathrm{ate}=\mathrm{tet}^{-1}$. 
%Комплексная карта арктетрации показана на рисунке
Complex map of arctetration is shown in figure 
\ref{vladi02c}.\vskip 2mm

%Арктетрация удовлетворяет уравнению Абеля
Arctetration satisfies the Abel equation
\be
\mathrm{ate}\Big(\exp(z)\Big)=\mathrm{ate}(z)+1
\label{abelex}
\eL{abelate}
%и дополнительному условию
and the additional condition
\be
\mathrm{ate}(1)=0
\eL{abelate10}
%Свойства этой функции и алгоритм для её аккуратного вычисления рассмотрены в этой главе.
Properties of functions ate and the algorithm for the evaluation are described in this chapter.

%\section{Вычисление арктетрации}
\section{Evaluation of arctetration}

%В принципе, а
%Aрктетрацию можно вычислять, как обратную функцию тетрации, используя
%, например,
%метод Ньютона.
%Как представление тетрации через интеграл Коши, так и её аппроксимации через элементарные функции позволяют выразить $\mathrm{tet}^\prime$.
%Поэтому $\mathrm{ate}(z)$ можно аппроксимировать как предел последовательности $g_n$ с рекуррентным соотношением 
Arctetration can be evaluated as inverse function of tetration, using the Newton method.
Function  $\mathrm{ate}(z)$ appears as limit of sequence $g_n$ with the recurrent relation
\be
g_{n+1}=g_n+\frac
{\mathrm{tet}(g_n) - z }
{\mathrm{tet}^{\prime}(g_n)}
\eL{atenewton}
The derivative of tetration can be approximated, differentiating the approximations of tetration with elementry functions described in the previous section. The representation through the Cauchy integral \cite{analuxp} also allows the straightforward differentiation. However, in this case, several iterates by \rf{atenewton} are required to evaluate the arctetration. 
\vskip 6pt

Evaluation of arctetration through tetration using equation \rf{atenewton} is significantly slower, than evaluation of tetration.
%Значительное количество итераций может быть медленным. Кроме того, всё равно встает вопрос о выборе такого начального условия $g_0$, при котором линии разреза ровно идут на $-\infty$, параллельно вещественной оси, а не дрыгаются как попало. Такое дрыгание очень даже бывает при использовании метода Ньютона с бестолковым выбором начального элемента последовательности \rf{atenewton}.
In addition, the initial approximation $g_0$ should be specified. This specification should carry about the cutlines. In Figure \ref{vladi02c}, these cut lines are drawn parallel to the real axis. Over-vice, the recurrence by \rf{atenewton} returns a value from any of branches of the corresponding multivalued function, and the question about the range of holomorphism becomes difficult.
\vskip 2mm

In order to get efficient approximation for the arctetration ate, I deal with the corresponding Abel equation \rf{abelate}, rather than with recurrences by \rf{atenewton}. 
It worth to approximate arctetration with some function, which reproduce at least the leading terms of the asymptotic expansion of ate. This approximation is constructed below.
%Имеет смысл рассмотреть асимптотические свойства решения уравнения Абеля. Такие свойства можно вывести из асимптотических свойств тетрации. Этот процесс можно механизировать с помощью функции InverseSeries софтвера ``Mathematica'' или её аналогов. 
%Кроме того, асимптотические разложения можно увидеть непосредственно из уравнения Абеля, и сразу потребовать, например, чтобы эта функция имела точки ветвления $L$ и $L^*$, которые являются по совместительству также и стационарными точками логарифма. 
%Я предлагаю читателям написать эффективные алгоритмы вычисления этой функции и не предлагаю их здесь, чтобы мне не сказали, что Книга занудна. 
%Арктетрацию достаточно аппроксимировать, например, в области, обозначенной в виде затененного серпа на рисунке \ref{vladi02c}. Представление для других значений аргумента может быть получено последовательным применением уравнения Абеля \rf{abelex}; при этом арктетрация некоторого аргумента выражается через арктетрацию от аргумента из затененной области.
\vskip 6pt

%Методом пристального всматривания можно понять, что решение уравнения Абеля  \rf{abelex} должно быть сингулярно в стационарных точках логарифма, $L$ и $L^*$. 
%Вблизи этих точек, при малом изменении аргумента арктетрации, её значение изменяется на единицу. 
Arctetration, as solution of the Abel equation \rf{abelex}, should have singularities in the fixed points of logarithm $L$ and $L^*$.
From the precious chapter, we already know, that the dominant term of the asymptotic expansion appears as the fixed point plus the appropriate exponential. This indicates, that the expansion of arctetration should begin with logarithm.
%Зная экспоненциальный доминирующий терм асимптотического разложения тетрации, можно догадаться, что доминирующим термом разложения арктетрации должен быть логарифм. Поэтому естественно строить первое приближение для абельэкспоненты $g$, аппроксимируя функцию
The efficient approximation of arctetration can be obtained through the expansion of function $h$ by
\be
h(z)=\mathrm{ate}(z)
- \frac{\ln(z\!-\!L)}{L}
- \frac{\ln(z\!-\!L^*)}{L^*}
\eL{atelo}
%Функцию $h$ можно разложить в ряд Тэйлора в точке единица. Такое разложение ведет к аппроксимации
Function $h$ can be expanded to the Taylor series at unity. This expansion leads to the approximation
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{fsl}(z) &=& \frac{\ln(z\!-\!L)}{L} + \frac{\ln(z\!-\!L^*)}{L^*} + \sum_{n=0}^{N-1} u_n \, (z\!-\!1)^n
\iL{fsl}\\  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ate}(z)&=&\mathrm{fsl}(z)+O(z\!-\!1)^N
\ee
%Первые тридцать коэффициентов $u$ этого разложения представлены в таблице 
Approximations of the first 30 coefficients of this expansion are shown in table 
\ref{vladitab2}. 
%Комплексная карта аппроксимации fsl по формуле \rf{fsl} при $N\!=\!70$ показана в левой части рисунка \ref{vladi10} в тех же обозначениях, что и на рисунке. Центральная часть карты на рисунка \ref{vladi10} выглядит как фрагмент карты рисунка \ref{vladi02c}. 
Complex map of function fsl by \rf{fsl} at $N\!=\!70$ is shown in the left hand side picture of figure \ref{vladi10} in the same notations, as in figure \ref{vladi02c}.
The central part of left map in figure \ref{vladi10} looks as a fragment from figure  \ref{vladi02c}.
\begin{table}[h]
%\begin{center}
%\title{Table 2. Approximations of the coefficients of the expansions (\ref{fsl}).}
%\title{\label{vladitab2}
\caption{\label{vladitab2} \large
	\EN{ Coefficients $u_{n}$ in expansion \rf{fsl}.}
	\RU{\large Коэффициенты $u_{n}$ в разложении \rf{fsl}}
}

\sx{1.05}{\begin{tabular}{rr|rr|rr}
$n$	& $~~~~~~~~~u_{n}~~~~~~~$ &
$~~n$	& $~~~~~~~~u_{n}~~~~~~~~$ &
$~~n$	& $~~~~~~~~u_{n}~~~~~~~~$ \\
% $~~~~~~~~~~~~~~\Re(v_{n,0})~~~~~~~$ & $\Im(v_{n,0})~~~~~~~$\\ % &\Re(a_{n,1} &\Im(a_{n,1})\\
\input{vladitab2}
\end{tabular}}
%\end{center}
\end{table}
\vskip 2mm

%На основе таких асимптотических представлений,
\newcommand \fsloax {
\put(-3,49){\sx{.45}{$y$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$0$}}
\put(-7,19){\sx{.5}{$-1$}}
\put(-7, 9){\sx{.5}{$-2$}}
\put( 7  ,5){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(20 , 5){\sx{.5}{$0$}}
\put(30 , 5){\sx{.5}{$1$}}
\put(40 , 5){\sx{.5}{$2$}}
\put(48 , 5){\sx{.45}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\hskip 18pt
%\sx{2.75}{\begin{picture}(60,55)
\sx{2.34}{\begin{picture}(60,55)
\put(0,0){\includegraphics{vladi10a}}
\fsloax
\end{picture}}
\sx{2.34}{\begin{picture}(60,55)
%\put(0,0){\includegraphics{figsloE}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi10b}}
\fsloax
\put(32,44){\sx{.5}{$D_{\rm A}\!<\!1$}}
\put(21,33){\sx{.55}{$15$}}
\end{picture}}
\sx{2.34}{\begin{picture}(50,55)
%\put(0,0){\includegraphics{figsloL}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi10c}}
\fsloax
\put(3,33){\sx{.5}{$D_{\rm B}\!<\!1$}}
\put(32,33){\sx{.55}{$15$}}
\end{picture}}
\vskip -16pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi10.jpg}
\vskip -4pt
\caption{%\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{slo}(x\!+\!\mathrm i y)$
\EN{by \rf{fsl}, left, and the agreements by } \RU{по формуле \rf{fsl} при $N\!=\!70$, слева, и согласия}
$D_{\mathrm{A}}\!=\!D_{\rm{A}}(x\!+\!\mathrm i y)$,
$D_{\mathrm{B}}\!=\!D_{\rm{B}}(x\!+\!\mathrm i y)$,
%$D\!=\!D_{\rm{d}}$ 
%по формулам
by formulas
\rf{sloE}, \rf{sloL}
%\EN{the domain $G$ by \rf{G} is shaded.} \RU{Область $G$ по формуле \rf{G} затенена.}
\label{vladi10} \label{figslo}}
\vskip 8pt
\end{figure}
%Oбласть применимости аппроксимации \ref{fsl} ограничена. Чтобы показать эту область, в центральной и правой части рисунка \ref{vladi10} показаны карты функций согласия
Range of validity of approximation  \ref{fsl} is limited. In order to show this range, the central and right hand side maps in figure \ref{vladi10} show the agreements
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\mathrm A}(z)&=&-\lg\!\left( \frac
{|\mathrm{fsl}(\exp(z))\!-\!1-\mathrm{fsl}(z)|}
{|\mathrm{fsl}(\exp(z))\!-\!1|+|\mathrm{fsl}(z)|}
\right) ~\iL{sloE}\\  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\mathrm B}(z)&=&-\lg\!\left( \frac
{|\mathrm{fsl}(\ln(z))\!+\!1-\mathrm{fsl}(z)|}
{|\mathrm{fsl}(\ln(z))\!+\!1|+|\mathrm{fsl}(z)|}
\right) ~\iL{sloL}
%
%D_{\rm B}&=&-\lg\!\Big| \fsl\!\big(\log(z)\big)+1-\fsl(z)\Big| ~\iL{sloL}
\ee
%Внутри внутренних контуров, согласие больше четырнадцати. Эти области отмечены символом $15$. Рисунок 
Inside the inner loops in the central and right hand side pictures of figure  \ref{vladi10}, the agreement is better than 14. These domains are marked with symbol ``15''.
Figure \ref{vladi10} indicates, that at 
%указывает, что при 
$|z\!-\!1|\!<\!1.4$, 
the approximation $\mathrm{fsl}(z)$ provides of order of 14 significant figures.
The precision of this approximation is a little bit worse in vicinity of fixed points $L$ and $L^*$.
This could be expected: First, there, the small variation of argument leads to the significant variation of value of function.
Second, these points are at the edge of the range of convergence of expansion in equation \rf{fsl}.
%, that should be approximated.
%аппроксимация fsl(z) по формуле \rf{fsl} обеспечивает порядка 14 значащих цифр. Аккуратность такого приближения несколько хуже в окрестности точек $L$ и $L^*$, то есть вблизи сингулярностей, где малое изменение аргумента влечет большое изменение значения, возвращаемого функцией.
\vskip 2mm

%С учетом этих свойств, асимптотическое поведение арктетрации может быть угадано, даже не а
%На основе приближения fsl, изготовлена численная имплементация функции ate; уравнение Абеля использовано, чтобы привести аргумент функции в область, заштрихованную на рисунках \ref{vladi02c} и \ref{vladi10}. Для численной имплеметации $\mathrm{FSL}$, в сумме в формуле \rf{fsl} использовано $N\!=\!128$ слагаемых. Получаемая при этом аккуратность приближается к максимально возможной для арифметики complex double. 
For implementation of natural arctetration, it is sufficient to prepare the efficient primary approximation for the domain
sickle, defined with
\be
\mathrm{sickle}=\{z \in \mathbb C : \Re(z)\ge L, |z|<L \}
\eL{sicle}
then, for other values of the argument, function can be expressed through the Abel equation \rf{abelate}.
The region sickle is shaded in maps of figures \ref{vladi02c}, \ref{vladi10}. This leads to implementation, denoted with
FSL. I check the self-consistency of implementation FSL with implementation FSE by \rf{FSE}. The numerical test of the relations below had been performed:
%В качестве теста такой имплементации, на рисунке \ref{vladi11} представлены результаты численной проверки соотношений
\be
\mathrm{ate}(\mathrm{tet}(z))=z  ~ ~ \iL{atetet}\\
\mathrm{tet}(\mathrm{ate}(z))=z ~ ~ \iL{tetate}
\ee
These relations are tested for the complex double implementations 
%для ``complex double'' имплементаций
$\mathrm{tet}\!\approx\! \mathrm{FSE}$ 
and
$\mathrm{ate}\!\approx\! \mathrm{FSL}$.
Figure \ref{vladi11} shows the maps of the agreements
%Показаны карты функций согласия 
\be
D_{\rm at}(z)= -\ln\left( \frac
{|\mathrm{FSL}(\mathrm{FSE}(z)) - z|}
{|\mathrm{FSL}(\mathrm{FSE}(z))| + |z|}
\right)
\iL{Dat} \label{FSLFSE}
\\
D_{\rm ta}(z)= -\ln\left( \frac
{|\mathrm{FSE}(\mathrm{FSL}(z)) - z|}
{|\mathrm{FSE}(\mathrm{FSL}(z))| + |z|}
\right)
\iL{Dta}\label{FSEFSL}
\ee

\newcommand \vladiEL {
\put(-18,590){\sx{2.3}{$y$}}
\put(-18,544){\sx{2.3}{4}}
\put(-18,494){\sx{2.3}{4}}
\put(-18,444){\sx{2.3}{3}}
\put(-18,394){\sx{2.3}{2}}
\put(-18,344){\sx{2.3}{1}}
\put(-18,294){\sx{2.3}{0}}
\put(-36,244){\sx{2.3}{$-1$}}
\put(-36,194){\sx{2.3}{$-2$}}
\put(-36,144){\sx{2.3}{$-3$}}
\put(-36, 94){\sx{2.3}{$-4$}}
\put(-36, 44){\sx{2.3}{$-5$}}
%\put(-20, -20){\sx{2.3}{$-4$}}
\put( 30, -20){\sx{2.3}{$-3$}}
\put( 80, -20){\sx{2.3}{$-2$}}
\put(130, -20){\sx{2.3}{$-1$}}
\put(196, -20){\sx{2.3}{$0$}}
\put(246, -20){\sx{2.3}{$1$}}
\put(296, -20){\sx{2.3}{$2$}}
\put(346, -20){\sx{2.3}{$3$}}
\put(392, -20){\sx{2.3}{$x$}}
}

\begin{figure}[t]
%\begin{center}
\vskip 16pt
\hskip 16pt
%\sx{.54}{\begin{picture}(472,580)
\sx{.47}{\begin{picture}(456,580)
%\put(0,0){\includegraphics{figslosexp}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi11a}}
\vladiEL
\put(110,520){\sx{2.8}{$10\!<\!D\!<\!13$}}
\put(154,420){\sx{2.4}{$12\!<D\!<\!14$}}
\put(160,310){\sx{2.8}{$D\!>\!14$}}
\put(154,168){\sx{2.4}{$12\!<D\!<\!14$}}
\put(110,64){\sx{2.8}{$10\!<\!D\!<\!12$}}
\put(20, 320){\sx{2.8}{$D\!<\!1$}}
\put(310,560){\sx{2.8}{$D\!<\!1$}}
\put(310,20){\sx{2.8}{$D\!<\!1$}}
\end{picture}}
\sx{.47}{\begin{picture}(388,580)
%\put(0,0){\includegraphics{figsexpslo}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi11b}}
\vladiEL
\put( 20,379){\sx{2.5}{$12\!<\!D\!<\!14$}}
\put( 20,210){\sx{2.5}{$12\!<\!D\!<\!14$}}
\put(200,310){\sx{3}{$D\!>\!14$}}
%\put(204,373){\sx{1}{11}}
%\put(204,226){\sx{1}{11}}
\end{picture}}
\vskip 6pt
%\end{center}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Vladi11.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $D\!=\!D_{\rm at}(x\!+\!\mathrm i y)$,
left, and
%слева, и  
$D\!=\!D_{\rm ta}(x\!+\!\mathrm i y)$, 
right, by 
%справа, по формулам 
(\ref{FSLFSE}) \EN{and}\RU{и} (\ref{FSEFSL}) 
%в плоскости $x,y$
\label{figslogsexp}
\iL{vladi11}
\label{figss}
}
\vskip 8pt
\end{figure}
\vskip 2mm

In figure \ref{vladi11}, the left hand side map shows 
$D=D_{\rm at}(x\!+\!\mathrm i y)$ and the right hand side map shows 
$D=D_{\rm ta}(x\!+\!\mathrm i y)$ in the $x$, $y$ planes.
The levels $D=\mathrm {const}$ are drawn with interval 2; as in other maps of agreement, the additional level $D=1$ is shown with thick line. This line indicates the boundary of the range of validity of relation \rf{atetet}.
\vskip 2mm

As for many other inverse functions, the range of validity to relation \rf{atetet} is limited.
%Как и для многих других обратных функций, область применимости соотношения \rf{atetet} ограничена;
%ширина полосы, где это соотношение имеет место, определяется асимптотической периодичностью тетрации в верхней и в нижней частях комплексной плоскости. При этом, вблизи вещественой оси полоса применимости расширяется и имеет ``клюв'', который, формально, уходит на плюс бесконечность.  Обратное соотношение, то есть \rf{tetate}, наоборот, имеет место почти во всей комплексной плоскости. 
Width of the strip, where the relation \rf{atetet} takes place, is determined by the asymptotic periodicity of tetration in the upper and the lower parts of the complex plane. In vicinity of the real axis, the strip becomes wider, showing some kind of 
%``beak'', that, formally, goes 
along the real axis to infinity. Thickness of this ``beak'' 
reduces quickly at the growth of the real part of the argument.
%, because of fast growth of tetration in vicinity of the real axis.
\vskip 2mm

%Таким образом, ч
%Численная проверка подтверждает самосогласованность имплементаций тетрации и арктетрации. Для переменных Complex double, при таких имплементациях получается порядка 14 значащих цифр.
The numerical tests confirm, that the approximations of tetration and arctetration are self-consistent. The complex double 
implementations provide of order of 14 significant figures.
%\section{О названиях}
\section{About names}
\baselineskip 21pt

%%Читатели, которые не боятся запутаться в терминах, могут эту секцию пропустить. Эта секция представляет собой лирическое отступление о терминологии. 
%%Численные и
%Имплементации тетрации и арктетрации
%%, описанные выше, 
%загружены в ТОРИ,\\
% по урлям 
The numerical implementations of algorithm FSE and FSL  described above are loaded to TORI as\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fsexp.cin} and\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fslog.cin}\\
The names of these routines are discussed in this section.
%Названия этих имплементаций обсуждаются в этой секции.
%Сетевые поисковики на FSEXP находят много сайтов, не имеющих никакого отношения к быстрым алгоритмам и суперфункциям от экспоненты.
%, и я, как честный исследователь, считаю нужным предупредить об этом читателей.
\vskip 2mm

%Названия 
%Имена функций FSEXP и FSLOG исторические. Ещё несколько лет назад некоторые авторы (и, к сожалению, даже я) называли тетрацию термином ``superexponential'', хотя тетрация является лишь специальным случаем суперэкспоненты, со специфическим асимптотическим поведением на $\pm \mathrm i \infty$, и дополнительными условиями. %в нуле и вещественности повдоль вещественной оси. 
Names of function FSEXP and FSLOG are historic. They may mean ``Fast Super EXPonential'' and ``Fast Super LOGarithm.
Hernryk Trappmann even wanted to add my last name to the identifier of each of these two functions.
He had believed, that ``my tetration'' is not unique, and not so principal, as I claim, using names ``tet'' and ``ate''. Henryk wanted to use names
``tet'' and ``ate'' for the ``true'' tetration and arctetration, ``more natural'', more ``true'', than the functions I had constricted. 
%Генрик Траппманн даже хотел к названию функции добавить мое имя; он до последнего момента 
\vskip 6pt 

After the long discussion and the heavy deduction, Henryk had to agree, that the functions I have constructed are unique
\cite{uniabel}, and, in this sense, true and the only true tetration and arctetration.
The routines FSEXP and FSLOG were already implemented that time, and I decided not to change the notations:
the poor sistem of notation is still better and causes less confusions, than two ``good'' systems of notations.
%ждал, что ``моя тетрация'' \cite{analuxp} окажется не единственной, не настоящей, и тогда имя ``tet'' можно будет использовать для ``настоящей'' %и самой что ни на есть 
%натуральной тетрации. 
\vskip 2mm

I need to mention, that name FSLOG (Fast Super LOGarithm)  is even more idiotic, than FSEXP.
Name FSLOG makes impression, that it is superfunction of logarithm, while it is not really so.
Superfunction of natural logarithm van be written as
\be
z \mapsto \mathrm{tet}(-z)
\ee
I think, this function does not deserve to have a special name assigned.
%Следует отметить, что имя FSLOG (Fast Super Logarithm) ещё более идиотское, чем FSEXP, так как оно создает впечатление, что это суперфункция от логарифма, что далеко не так. Суперфункцией от логарифма является $z \mapsto \mathrm{tet}(-z)$, a вовсе не ``суперлогарифм''. Впрочем, я надеюсь, что можно сделать ещё более быстрые имплементации этих функций, и назвать эти имплементации теми же именами, что и сами функции, то есть tet и ate. 
\vskip 2mm

%Я далек от евгенических идей рафинировать как человеческую породу, так и систему обозначений, и поэтому до сих пор пользуюсь рутинами, обозначенными идентификаторами FSEXP и FSLOG. Это позволяет, например, ставить вопрос о том, насколько приближенное значение, выдаваемое рутиной, отличается от точного. Когда функции tet и ate будут встроены в алгоритмические языки, то будет легко обозначать разницу между значениями функций, оцененных с помощью имплементаций tet и FSEXP; то же относится и к имепементациям арктетрации, FSLOG и ate. 
I am far from eugenic ideas to refine the human rase, nor the system of notations. The best system of notations should win the competition with other notations. All this should be considered as my excuse to keep names FSEXP and FSLOG for the approximations and the numerical implementations of tetration tet and arctetration ate.
\vskip 2mm

\RU{
После нудной дедукции  \cite{uniabel}, Генрика удалось убедить, что ``моя тетрация'' есть самая настоящая и самая натуральная
\footnote{Слово ``натуральный'' здесь играет как минимум двумя из своих возможных значений, указывая одновременно на подлинность этой функции и на то, что она по  основанию $\mathrm e\! \approx\! 2.71\,$.  Надеюсь, что термин ``натуральная тетрация'' не вызовет путаницы, какую вызвали во время СССР ``натуральные расписки''. Такие расписки организаторы финансовой пирамиды выдавали вкладчикам. Следователи, прокуроры, судьи и народные заседатели думали, что это юридический термин, использовали его, но не хотели демонстрировать своё невежество и никого не спрашивали о значении этого термина. Потом адвокат всё-таки спросила потерпевшего, что он имеет в виду, употребляя этот термин. После серии вопросов удалось выяснить, что так в криминальной среде называется нотариально заверенный документ, удостоверяющий, что деньги за автомобиль, который жулики обещали потерпевшим, уже получены. Дело чуть не лопнуло из-за того, что первый эшелон вкладчиков пирамиды составили работники прокуратуры, а второй - работники милиции, и участники первых слоев пирамиды обещанные им машины получили, и не хотели с ними расставаться, а захлебываться пирамида начала только после того, как тысячи ``натуральных расписок'' были проданы безграмотным шахтерам. Организаторы не признавали себя виновными и настаивали на том, что если бы им позволили и дальше торговать ``натуральными расписками'' на заводах, распространяя их среди рабочих (а потом - в колхозах, продавая ``натуральные расписки'' крестьянам), то шахтеры тоже получили бы обещанные автомобили. Впрочем, к чести советских судей, в конце концов махинация с ``натуральными расписками'' была квалифицирована как натуральное  жульничество, мошенничество, и организаторам пришлось ``натурально'' садиться в тюрьму или откупаться, уж как у кого получилось. Это вот такое длинное получилось объяснение термина ``натуральный''.
}. %
%Все остальные 
}%RU

%Другие (менее натуральные) суперэкспоненты по натуральному основанию можно по мере надобности получать преобразованием \rf{tif}.
Many superfunctions of natural exponent can be constructed with transformation \rf{tif}, just misplacing the argument of tetration with some periodic real-holomorphic function. The range of holomorphism of these transforms is narrower, than the range of holomorphism of tetration. Now, I see no need to give them special names.
\vskip 2mm

I expect, in future, even more efficient implementations for tetration will be suggested. Then, they may be called with the same names, as the name of the functions tet and ate, in the same way, as in the algorithmic languages the implementation of sin is denoted with the same name as the function.

\RU{
Для того, чтобы использовать это имя функции, tet, и для других значений основания $b$, в последующих главах основание указывается в виде правого нижнего индекса; тетрация по основанию $b$ то есть суперфункция от $\exp_b=\{ z \!\mapsto\! b^z\}$, экспоненты по основанию $b$, будет записываться в виде $\mathrm{tet}_b$, по аналогии с $\exp_b$ и $\log_b$.
}%RU
\vskip 2mm

\JP{
Имплементация тетрации tet называется FSEXP, аббревиатура от ``Fast Super EXPonential'',  а имплементация арктетрации ate называется FSLOG, что есть аббревиатура от ``Fast Super Logarithm''. Эти имена неудачные, хотя и уже исторические. Сейчас имена  FSEXP  и FSLOG  уже встроены во многие программы, в том числе и на нескольких ``виках''. Я опасаюсь создать путаницу и пока не берусь их переименовывать. Потому как лучше одна плохая система обозначений, чем две ``хороших''.
\vskip 2mm}

%Разобравшись с терминологией, можно использовать построенные выше инструменты, ``туллы'' (tools) для того, 
%чтобы итерировать натуральную экспоненту. Этому посвящена следующая секция.
%\section{Iterates of exponent}
After to eliminate the potential confusion with names, the tetration and arctetration can be used for the iterates of the exponent. These iterates are described in the next section.

%\section{Итерации Экспоненты}
\section{Iterates of exponent}

\baselineskip 18pt
\begin{figure}[t]
%\sx{.56}{\begin{picture}(802,802) 
%\sx{.62}{\begin{picture}(702,782) 
\sx{.53}{\begin{picture}(702,782) 
%\put(10,10){\ing{PowPlo}} 
%\put(0,0){\ing{TraItu3}} 
%\put(0,0){\ing{ExpIte4}} 
\put(0,0){\ing{expiteplot}} 
\put(411,788){\sx{3}{$y$}} 
\put(411,693.6){\sx{2.9}{$3$}} 
\put(411,593.4){\sx{2.9}{$2$}} 
\put(411,493.2){\sx{2.9}{$1$}} 
\put(411,393){\sx{2.9}{$0$}} 
\put(407,292.8){\sx{2.9}{$-1$}} 
\put(407,192.6){\sx{2.9}{$-2$}} 
\put(407,092.4){\sx{2.9}{$-3$}} 
 \put(081,408){\sx{2.9}{$-3$}} 
\put(181,408){\sx{2.9}{$-2$}} 
\put(281,408){\sx{2.9}{$-1$}} 
\put(396,408){\sx{2.9}{$0$}} 
\put(497,408){\sx{2.9}{$1$}} 
\put(597,408){\sx{2.9}{$2$}} 
\put(697,408){\sx{2.9}{$3$}} 
\put(787,408){\sx{3}{$x$}} 
 \put(6,748){\sx{3}{\rot{4}$n\!=\!3.2$\ero}} 
\put(6,708){\sx{3}{\rot{3}$n\!=\!3.1$\ero}} 
\put(6,675){\sx{3}{\rot{3}$n\!=\!3$\ero}} 
\put(5,643){\sx{3}{\rot{3}$n\!=\!2.9$\ero}} 
\put(5,497){\sx{3}{\rot{0}$n\!=\!2$\ero}} 
\put(4,397){\sx{2.9}{\rot{0}$n\!=\!1$\ero}} 
\put(6,345){\sx{3}{\rot{1}$n\!=\!0.6$\ero}} 
\put(7,308){\sx{3}{\rot{4}$n\!=\!0.4$\ero}} 
\put(7,280){\sx{3}{\rot{5}$n\!=\!0.3$\ero}} 
\put(8,244){\sx{3}{\rot{6}$n\!=\!0.2$\ero}} 
\put(9,185){\sx{3}{\rot{11}$n\!=\!0.1$\ero}} 
\put(48,34){\sx{3.1}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}} 
\put(202,5){\sx{3}{\rot{76}$n\!=\!-0.1$\ero}} 
\put(263,5){\sx{3}{\rot{82}$n\!=\!-0.2$\ero}} 
\put(299,5){\sx{3}{\rot{84}$n\!=\!-0.3$\ero}} 
\put(691,5){\sx{3}{\rot{84}$n\!=\!-3$\ero}} 
\put(724,5){\sx{3}{\rot{83}$n\!=\!-3.1$\ero}} 
\put(764,5){\sx{3}{\rot{82}$n\!=\!-3.2$\ero}} 
 
\put(484,600){\sx{3.7}{\rot{70}$y\!=\!\exp(x)$\ero}} 
\put(641,630){\sx{3.4}{\rot{44}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(650,484){\sx{3.6}{\rot{19}$y\!=\!\ln(x)$\ero}} 
\end{picture} }
\vskip -6pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpIte4T.jpg}
\vskip -8pt
\caption{\large 
$y\!=\!\exp^n(x)$ 
% по формуле 
by \rf{expn} 
%для различных 
for varuous
$n$ 
\iL{expiteplot} }
\vskip 4pt
\end{figure}

%Тетрация  и арктетрация, как суперфункция от экспоненты и её абельфункция, позволяют определить нецелые итерации экспоненты
Tetration tet and arctetration ate, as superfunction and abelfunction of exponent, specify, determine the non-integer iterates:
\be
\exp^n(z)=\mathrm{tet}(n+\mathrm{ate}(z))
\eL{expn}
%Число $n$ итераций не имеет надобности быть целым (хотя по прихоти Читателя может оказаться и целым).
Here, number $n$ of iterates, has no need to be integer (although, of course, can be integer too).
%\vskip 2mm
%Для вещественных значений аргумента, итерации по формуле \rf{expn} показаны на рисунке \ref{expiteplot},
For real values of argument, iterates of exponent by equation \rf{expn} are shown in figure \ref{expiteplot},
$y\!=\!\exp^n(x)$. 
%Случаи целых значений  $n$  (кроме $n\!=\!0$) выделены толстыми линиями. Эти линии соответствуют
Lines, that correspond to integer $n$ (except $n\!=\!0$), are thick. These lines correspond to
$y\!=\!\exp(\exp(\exp(x)))$,
$y\!=\!\exp(\exp(x))$,
$y\!=\!\exp(x)$,
$y\!=\!\ln(x)$,
$y\!=\!\ln(\ln(x))$,
$y\!=\!\ln(\ln(\ln(x)))$. Higher integer iterate happen to be out of range of the figure.
\vskip 2mm

Complex maps of iterates of the exponent are collected in figure \ref{expitemap}.
%Комплексные карты итераций экспоненты показаны на рисунке для 
%Карты симметричны относительно комплексного сопряжения, поэтому на каждой карте показана лишь верхняя часть комплексной плоскости. Этот рисунок показывает, как радиальная координатная сетка, соответствующая логарифму при $n\!=\!-1$, плавно переходит в однородную ректангулярную (соответствующую тождественной функции $n\!=\!0$ ) и затем - в периодическую структуру, соответствующую обычной экспоненте при $n\!=\!1$.
%\section{Map to iterates of exp}
%In this section, iterates of exponential of complex argument are considered. 
%The set of complex maps of exp is shown in figure 
\newcommand \LeLa {
\put(-24,384){\sx{4}{$y$}}
\put(-24,288){\sx{4}{$3$}}
\put(-24,188){\sx{4}{$2$}}
\put(-24,88){\sx{4}{$1$}}
\put(-24,-12){\sx{4}{$0$}}
}
\newcommand \DoLa {
\put(70,-36){\sx{3.8}{$-3$}}
\put(170,-36){\sx{3.8}{$-2$}}
\put(270,-36){\sx{3.8}{$-1$}}
\put(390,-36){\sx{3.8}{$0$}}
\put(490,-36){\sx{3.8}{$1$}}
\put(590,-36){\sx{3.8}{$2$}}
\put(690,-36){\sx{3.8}{$3$}}
\put(786,-36){\sx{3.8}{$x$}}
}
\begin{figure}%[H]
~
%\sx{.294}{\begin{picture}(802,402)
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{exp10map}} \LeLa \put(20,342){\sx{7}{$n\!=\!1$}} 
\put(46,300){\rot{0}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(50,144){\rot{0}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(46,-13){\rot{0}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(260,220){\rot{90}\sx{4.5}{$u\!=\!-0.2$} \ero}
\put(424,224){\rot{90}\sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero} 
\put(244,4){\rot{56}\sx{4.5}{$u\!=\!0.2$} \ero} 
\put(404,4){\rot{56}\sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(474,4){\rot{56}\sx{5}{$u\!=\!2$} \ero} 
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm10map}} \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-1$}} 

\put(30,144){\rot{56} \sx{5}{$u\!=\!1.4$}\ero} %%%%%%
\put(100,114){\rot{55} \sx{5}{$u\!=\!1.2$}\ero} %%%%%%
\put(160,102){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!1$}\ero} 

\put(2,42){\rot{-8} \sx{5}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(546,196){\rot{56} \sx{5}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(580,162){\rot{45} \sx{5}{$v\!=\!0.8$}\ero} 
\put(610,122){\rot{34} \sx{5}{$v\!=\!0.6$}\ero} 
\put(626,79){\rot{22} \sx{5}{$v\!=\!0.4$}\ero} 
\put(640,34){\rot{11} \sx{5}{$v\!=\!0.2$}\ero} 
\put(641,-12){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp09map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.9$}}
\put(50,202){\rot{20}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(400,182){\rot{56}\sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(178,2){\rot{54}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(430,146){\rot{7}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(432, 46){\rot{43}\sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(482, 10){\rot{52}\sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
 \end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm09map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.9$}} 
\put(180,198){\rot{27} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(270,14){\rot{47} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(606,250){\rot{48} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(636,134){\rot{29} \sx{5}{$v\!=\!0.6$} \ero}
\put(644,84){\rot{19} \sx{5}{$v\!=\!0.4$} \ero}
\put(648,32){\rot{10} \sx{5}{$v\!=\!0.2$} \ero}
\put(649,-13){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp08map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.8$}}
\put(168,198){\rot{35}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(390,182){\rot{66}\sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(430,146){\rot{13}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(40,0){\rot{46}\sx{3.8}{$u\!=\!-0.2$} \ero}
\put(242,2){\rot{54}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(432, 42){\rot{46}\sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(488, 1){\rot{59}\sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
 \end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm08map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.8$}} 
\put(184,192){\rot{27} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(230,36){\rot{34} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(6,1){\rot{52} \sx{4}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(166,3){\rot{54} \sx{4}{$u\!=\!0.2$} \ero}
\put(506,234){\rot{53} \sx{4}{$v\!\approx\!1.337$} \ero} 
\put(606,220){\rot{42} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(636,120){\rot{26} \sx{5}{$v\!=\!0.6$} \ero}
\put(644,76){\rot{16} \sx{5}{$v\!=\!0.4$} \ero}
\put(648,30){\rot{8} \sx{5}{$v\!=\!0.2$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp05map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.5$}} 
\put(360,294){\rot{11} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero} 
\put(382,222){\rot{22} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero} 
\put(420,146){\rot{38} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero} 
\put(490,99){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero} 
\put(550,82){\rot{58} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(600,66){\rot{62} \sx{5}{$u\!=\!3$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(680,90){\rot{-16} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,24){\rot{-8} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(210,154){\rot{78} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero} 
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm05map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.5$}}  
\put(602,386){\rot{-61} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(382,302){\rot{-41} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(20,272){\rot{-6} \sx{4.5}{$u\!\approx\!0.318$} \ero}
\put(82,206){\rot{-3} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(486,298){\rot{42} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,190){\rot{19} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp02map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.2$}}  \LeLa %\DoLa
\put(353,224){\rot{60} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(452,224){\rot{66} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(530,200){\rot{71} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(602,174){\rot{73} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(680,328){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!5$} \ero}
\put(680,260){\rot{-11} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,194){\rot{-10} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,125){\rot{-7} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,56){\rot{-3} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(200,240){\rot{-31} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm02map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.2$}}  %\DoLa 
\put(158,312){\rot{-57} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(302,326){\rot{-66} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(436,346){\rot{-71} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(566,388){\rot{-74} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
%\put(680,348){\rot{5} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,268){\rot{9} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(470,132){\rot{8} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
%\put(470,128){\rot{4.6} \sx{5}{$v\!\approx\!1.3372357$} \ero}
\put(680,124){\rot{4} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp01map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.1$}}  \LeLa \DoLa
\put(340,228){\rot{74} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(438,228){\rot{79} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(526,214){\rot{81} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(614,200){\rot{83} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(680,318){\rot{-6} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,237){\rot{-5} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,154){\rot{-4} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,72){\rot{-3} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}

\put(114,210){\rot{-19} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm01map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.1$}}  \DoLa 
\put(228,330){\rot{-74} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(346,352){\rot{-80} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(462,366){\rot{-82} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(576,386){\rot{-81} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(680,348){\rot{5} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,224){\rot{4} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(470,128){\rot{4} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
%\put(470,128){\rot{4.6} \sx{5}{$v\!\approx\!1.3372357$} \ero}
\put(680,104){\rot{3} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expitemap.jpg}
\vskip -2pt
\EN{\caption{Maps of iterates of natural exponent by \rf{uxexpxy}  \label{expitemap}}}
%\RU{\caption{Kарты итераций экспоненты по формуле \rf{uxexpxy}  \label{expitemap}}}
\RU{\caption{ $u\!+\!\mathrm i v=\exp^n(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{uxexpxy} для различных $n$ \iL{expitemap}}}
\end{figure}
%The left hand side column of the figure \ref{expitemap} shows positive iterations, $n\!=\!1$, $0.9$, $0.5$, $0.1$; the right hans side column shows the maps for $n\!=\!-1$, $-0.9$, $-0.5$, $-0.1$, which can be considered also as positive iteration of function $\ln=\exp^{-1}$. 
%Карты различных итераций экспоненты показаны на рисунке 
 %The 10 pictures show the complex maps of
%Дюжина изображений представляет
Twelve maps are shown for
\be
u\!+\!\mathrm i v = \exp^n(x\!+\!\mathrm i y)
\eL{uxexpxy}
%линиями $u\!=\mathrm{const}$ и линиями $v\!=\mathrm{const}$ 
with lines $u\!=\mathrm{const}$ and lines $v\!=\mathrm{const}$ 
%в плоскости $x,y$ для различных значений номера итерации $n$; 
in the $x$, $y$ plane for various values of the number $n$ of iterate;
this $n$ is printed with big font in the upper left corner of each map.
%это значение напечатано крупным фонтом 
%в левом верхнем углу каждой карты. Карты симметричны верх-низ (при отражении от вещественной оси, лишь мнимая часть значения функции меняет знак), поэтому представлены лишь верние половинки карт, выше вещественной оси. 
The maps are symmetric with respect to reflection from the abscissa axis (the only, the imaginary part of the function changes its sign).
So, the only upper part of the complex plane is presented in each map.
%Иначе на одной странице трудно уместить, всё такое мелкое получалось бы, что пришлось бы рассматривать в лупу. 
% this number is printed at the top left corner of each picture. As the maps are symmetric, the only upper half-planes are shown. 
%in the $x,y$ plane for various real values of number $n$ of iterate; this number is printed at the top left corner of each picture. As the maps are symmetric, the only upper half-planes are shown. 
\vskip 2mm

%В верхней части рисунка \ref{expitemap}, карты соответствуют $n\!=\!1$ и $n\!=\!-1$; это карты экспоненты и логарифма.
Maps at the top of figure \ref{expitemap} correspond to  $n\!=\!1$ and $n\!=\!-1$; these are complex maps of exponent and of logarithm.
%Карта экспоненты - это просто кусок карты из левой части рисунка 
First of them reproduces part of figure \ref{expMap}.
%these pictures are just map of the exponential and that of logarithm. 
%Экспонента голоморфна во всей комплексной плоскости. Однако логарифм имеет в нуле особую точку и разрез. Этот разрез на рисунке \ref{expitemap} обозначен символом {\bf cut}. 
The exponent is holomorphic in the whole complex plane, but the logarithm has branch point at zero and the cut along the negative part of the real axis.
%The exponential is entire function, it is holomorphic in the whole complex plane. 
%The logarithm is holomorphic in the whole plane except zero and cut along the negative part of the real axis. This half-line is marked with symbol ``cut''. 
%The top row of pictures in figure \ref{expitemap} corresponds to $n\!=\!1$ and $n\!=\!-1$; these pictures are just map of the exponential and that of logarithm. The exponential is entire function, it is holomorphic in the whole complex plane. The logarithm is holomorphic in the whole plane except zero and cut along the negative part of the real axis. This half-line is marked with symbol ``cut''. 
\vskip 2mm

The second and following rows of the figure represent the non-integer iterates. These iterates have two additional cuts along lines $y\!=\!\pm \Im(L)$; here 
%Вторая и последущие 
%Остальные строчки рисунка \ref{expitemap}  показывают нецелые итерации.
%ющиThe second and following rows of the figure represent the non-integer iterates. 
%These iterates have two additional cuts along the lines $y\!=\!\pm \Im(L)$, where 
%Эти итерации имеют дополнительны разрезы вдоль линий  $y\!=\!\pm \Im(L)$. Здесь
$L\!\approx\!
0.3181315
%0520476413 
\!+\! 
1.3372357
%014306895 
\, \mathrm i\,$ 
%есть стационарная точка логарифма, решение уравнения  $L=\ln(L)$.
is fixed point of logarithm, id est, solution of equation $L\!=\!\ln(L)$. By default, all the cut lines are directed parallel to the real axis (axis $x$ in the figure, abscissa) toward the negative direction of the real axis.
In such a way, for negative non-integer $n$, the map has 3 cut lines (and that in the lower half-plane is not seen, as it is out of field of view of the map).
\vskip 2mm

The thick lines in figure \ref{expitemap} corresponds to the integer values of $u$ or $v$. The thin lines are drawn with interval $0.2$; the additional lines $u\!=\!\Re(L)$ and $v\!=\!\Im(L)$ are also drawn. These lines always cross each other at the fixed point $L$.
%Толстые линии на рисунке \ref{expitemap} соответствуют целым значениям  $u$ или $v$.
%Тонкие линии проведены с интервалом  $0.2$; кроме того, добавлены тонкие
%дополнительные 
%линии $u\!=\!\Re(L)$ и $v\!=\!\pm\Im(L)$. 
%Эти линии пересекаются в точке, соответствующей значению $L$.
\vskip 2mm

Figure  \ref{expitemap} shows the gradual transition of the map for the exponential (top of the left column) the map for the logarithm (top of the right hand side column). As the number $n$ of iterate reduces from unity to zero, the web of the lines 
$u\!=\!\mathrm{const}$ and lines $v\!=\!\mathrm{const}$ rotate around the fixed point $L$, and become uniform rectangular grid at $n\!=\!0$. At this value, the horizontal cuts along lines $\pm \Im(L)$ disappear, but they appear again, as $n$ becomes negative non-integer. At $n\!<\!0$, the additional branch point comes from $-\infty$ at the real axis and moves toward zero, as $n$ becomes minus unity. With integer $n$, the branch points $L$ and $L^*$ disappear.
%Рисунок  \ref{expitemap} показывает плавный (голоморфный) переход от экспоненты (левая верхняя карта) к логарифму (правая верхняя карта). По мере того, как номер итерации $n$ постепенно уменьшается от единицы до нуля, сетка, образвованная линиями $u\!=\!\mathrm{const}$ и линиями $v\!=\!\mathrm{const}$ поворачивается вокруг стационарной точки $L$, и становится однородной прямоугольной штриховкой при $n\!=\!0$. При этом значении, разрезы вдоль линий $\pm \Im(L)$ исчезают, но они появляются вновь при дальнейшем уменьшении $n$, как только $n$ становится 
%чуть 
%меньше нуля. Кроме того, 
%дополнительная 
%ещё одна
%точка ветвления приходит с минус бесконечности и перемещается вдоль вещественной оси, приходя в ноль, когда $n$ принимает значение минус единица.
%При таком целом значении комплексные точки ветвления $L$ и $L^*$ исчезают.
\vskip 2mm

%Карты для нецелых итераций, подобные показанным на рисунке  \ref{expitemap}, можно строить и для других голоморфных функций, достаточно декларировать нужную функцию ``передаточной функцией'' и сделать для неё суперфункцию и абельфункцию.
% В частности, такие карты можно строить для функций, рассмотренных в этой Книге. 
%\vskip 2mm
%В частности, можно строить карты и нецелых итераций функций, рассмотренных в этой Книге. Читатели приглашаются скачать имплементации соответствующих суперфункций и абельфункций. Для построения комплексных карт можно использовать графопостроитель conto.cin, доступный на многих виках. % и, разумеется, среди генераторов рисунков для этой Книги.
Maps of non-integer iterates can be plotted also for other transfer functions, considered in this Book. The readers are 
%cordially 
invited to download the implementations of the superfunctions and the abelfunctions, and plot the corresponding complex maps of the iterates.

\section{Lessons of natural tetration and arctetration}

%На основе представления тетрации через интеграл Коши, как решения интегрального уравнения 
On the base of representation of tetration through the Cauchy integral, through the solution of the integral equation
\rf{3dot2}, 
one can express also derivatives of this function;
%можно выразить также и производные этой функции; дифференцирование подинтегральных выражений в правой части 
differentiation of the integrands in the right hand side of 
\rf{3dot2}
is straightforward.
%не вызывает затруднений. Именно так вычислены производные тетрации для чисто вещественных и чисто мнимых значений аргумента  в таблицах 1 и 2  работы 
Namely in this way, the derivatives of tetration for real and for pure imaginary values of the argument had been evaluated for the tables 1 and 2 in publication 
\cite{analuxp}. In this section, I suggest some philosophic speculations about tetration and arctetration.

%Однако, для численного поиска возможных внутренних противоречий упомянутой конжекции о существованиии и единственности, было желательно изготовить ещё более аккуратные и эффективные представления для функции и её производных, которые бы позволяли вычислять тетрацию столь же быстро, как в современных алгоритмических языках вычисляются специальные функции. Фактически, цель была придать тетрации статус специальной функции. Детали такого представления описаны во Владикавказском Математическом Журнале \cite{vladir}. После российского вторжения в Украину в 2014 году, российские научные журналы, и, в частности, Владикавказский журнал, навряд ли кто станет читать. Поэтому в этой Книге собраны основные формулы, использованные для такого представления, и графики для этих представлений. С такими представлениями, суперфункциями и, в частности, тетрацией, можно пользоваться и не читая оригинальные статьи.
\vskip 2mm

%Комплексная карта тетрации $\mathrm {tet}$ представлена на рисунке \ref{tetmap}, а её поведение вдоль вещественной оси показано на рисунке \ref{TetPlot}. 
%Свойства
Complex map of tetration $\mathrm {tet}$ is shown in figure \ref{tetmap}, and its behaviour along the real axis is shown in figure \ref{TetPlot}. 
%Свойства 
%\rf{tetrealho}-\rf{yeL} 
Properties
\rf{T715}-\rf{T718}
%были сперва наблюдены у различных аппроксимаций тетрации с помощью элементарных функций, а потом
% ``обоснованы'' и 
first were observed with various approximations of tetration with elementaty functions, and then postulated.
%постулированы. При аппроксимации, воспроизводилось поведение тетрации вблизи целых значениях аргумента, то есть 
The approximations reproduce values of tetration in vicinity of integer values of the argument,
\be
\mathrm{tet}(-2+\varepsilon) &=& \log(\varepsilon) +\mathrm{const}+O(\varepsilon) \\
\mathrm{tet}(-1)&=&0\\
\mathrm{tet}(0)&=&1\\
\mathrm{tet}(1)&=&\mathrm e\\
\mathrm{tet}(2)&=&\mathrm e^2
\ee
%Затем  м
Then, the agreement at the substitution of the fitting function into the transfer equation
%Минимизировалась невязка при подстановке фитирующей функции в передаточное уравнение 
\rf{transferexp} had been minimised for complex values of the argument.
%для комплексных значений аргумента. Когда алгоритм вычисления натуральной  тетрации через интеграл Коши уже известен \cite{analuxp}, и предложены эффективные аппроксимации через элементарные функции \cite{vladir}, примитивная аппроксимация $\mathrm{fit}_2$ по формуле \rf{fit2} может вызвать улыбку, но такое эвристическое фитирование отвечает на вопрос, который мне 
%несколько раз 
\vskip 2mm
The behaviour similar to properties 
\rf{T715}-\rf{T718}
had been detected with various fitting functions. 
Then these properties were formulated as definition of tetration, id est, just postulated.
%были обнаружены у нескольких различных фитирующих функций, эти свойства были были сформулированы как определение тетрации, то есть попросту постулированы. Целью таких постулатов было доказательство несуществования тетрации. Такое доказательство было бы интересто найти, так как доказательство,
%несуществания вещественно-голоморфной тетрации, 
First, I did not expect this set of postulates to be self-consistent. Contrary, I tried to find some contradiction;
I expected to use such a contradiction as a proof of non-existence of holomorphic tetration.
Such a non-existence would be an upgrade of the proof by
%предложенное Хошмандом  (
M.Hooshmand \cite{hooshmand}, 
that uses the doubtful assumption about monotonous behaviour of the derivative of tetration; I tried to find a proof, that does not use this assumption.
%опирается на сомнительное допущение (постулат) о монотонности производной от тетрации.
Expression of tetration through the Cauchy integral   \cite{analuxp} allows to make the precise approximations \cite{vladie},
and no internal contradictions in the assumptions  \rf{T715}-\rf{T718} had been detected. This leads to the conjecture about existence and uniqueness of tetration, that later had been confirmed with the careful analysis 
\cite{uniabel}.
I show the first primitive approximations in figure \ref{analuxpmap},  as they answer the frequent question by colleagues:
%задавали коллеги: 
``{\em How did you guess?}''. I think this heuristic approach can be used also for analysis of other (and more complicated) functional equations.
%(Как ты догадался?).
%\vskip 3mm
%После того, как свойства, похожие на  
%\rf{tetrealho}-\rf{yeL}, 
%Я искал внутренние противоречия допущения, что голоморфная тетрация, обладающая перечисленными выше свойствами, существует. При этом многие свойства натуральной тетрации были выявлены, и был изготовлен алгоритм, позволяющий быстро вычислять её с 14 значащими цифрами \cite{vladir}; но несуществование доказать не удалось. Провалились также попытки построить иную функцию, удовлетворяющую определению выше. Тогда существование и единственность такой функции пришлось оформить как конжекцию \cite{analuxp}. 
\vskip 2mm

%Имеются определенные успехи в доказательстве единственности соответствующей функции Абеля \cite{uniabel}, но простое и четкое доказательство существования и единственности тетрации ещё предстоит выработать. Здесь такое доказательство не представлено. В соответствии с целью, сформулированной во Введении, здесь свойства тетрации скорее объясняются, чем доказываются.
%\vskip 2mm

%Тетрация и арктетрация %существенно 
%расширяют арсенал функций, доступных для научных исследований. В частности, нецелые итерации могут могут расти быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты. Такое свойство может быть полезно при автоматическом фитировании, когда заранее не известно, похожа ли аппроксимируемая функция на экспоненту или логарифм; представление дает непрерывное многообразие промежуточных функций, включая случай тождественной функции (ни одной итерации экспоненты). Это же относится и к итерациям многих других специальных функций.
%\vskip 2mm

%\section{Ещё апология}
%\section{More apology}

Tetration and arctetration significantly extend the arsenal of functions, available for the description of physical phenomena.
In particular, the non-integer iterates of exponent can be useful in description of processes, that grow faster than any polynomial, but slower than any exponent.
%В любой деятельности, время от времени человеку требуется подтверждение, верификация того, что то, что он делает - важно и нужно. Чтение и написание Книги не являются исключениями. (Иначе получается ``И запоминайте заранее~ то, что вы поймете потом'' \footnote{% http://www.audiozvuk.com/children/1663-peppi-dlinnyj-chulok.html
%http://geo.web.ru/bards/Kim/part59.htm
%Пеппи Длинный Чулок. Песня Томми и Анники.}).
%Такая промежуточная верификация, апология представлена в этой секции. Фактически это заключение по главе o натуральной тетрации.
\vskip 2mm

%Следуя Аксимам ТОРИ, я ставлю преимущественно практические задачи. С точки зрения практики, важно не само доказательство, а уверенность в том (надежда на то), что заявленные свойства, допущения, аксиомы не приведут к противоречиям, и предлагаемые построения не вывалятся из категории ``Наука'' по первой же Аксиме ТОРИ, получив пустое множество в качестве области применения. Попытки опровергнуть конжекции, сформулированные в этой главе, могут рассматриваться как сильное указание, что в течение длительного времени (ну, скажем, большого по сравнению с длительностью человеческой жизни) такие конжекции не будут опровергнуты.
Following the TORI axioms, I formulate mainly the practical problems. From the point of view of applications, not the proof by itself is important, but the strong indication, that the system of postulates is not self-contradictory. The multiple (failed) attempts to reject the conjecture of existence and uniqueness can be considered as such indication.
\vskip 2mm

Some ``pure mathematicians'' believe, that the only rigorous proof has a scientific value. In order to show, that actually it is not so,
I suggest the example with the Euclid axioms of planimetry. Those axioms can be deduced from the properties of the coordinate plane.
It is not so difficult, although first, one had to provide the accurate definitions of sin and cos as solution of the corresponding system of differential equations, check that their properties lead to the Pythagoras theorem and other properties, known as the Euclid Axioms.
In the elementary school, however, till now, the teachers begin with the postulating the Euclid axioms.
I believe, the superfunctions should become a pretty elementary tool, and their properties (including those of tetration) could be just postulated - in the similar way, as the Euclid axioms. If someone wants to reduce the amount of axioms, one may begin wight he Euclud axioms, having no need to deal with tetration and other superfunctions. I hope, one day, the beautiful, short, simple and rigorous proof of the existence and uniqueness will be formulated.
%В качестве оправдания укажу, что даже уважаемые школьные учителя математики постулируют аксиомы Эвклида, вместо того, чтобы вывести, доказать их на основе свойств координатной плоскости. 
%(И иногда при этом садятся в лужу, как это показано на рисунке \ref{school}.)
%Таким образом, Читатели, любящие доказательства, могут начать с вывода аксиом Эвклида. Это нетрудно сделать, хотя сперва прийдется аккуратно определить функции sin и cos, координатную плоскость, теорему Пифагора, а из неё - всё остальное, включая теоремы о параллельных прямых, о ``равенстве'' треугольников и всё такое прочее. 
\vskip 2mm
%Обычно, для научного исследования, какие-то постулаты всё-таки принимать приходится, хотя чистые математики могут счесть их недостаточно обоснованными, см. рисунок \ref{ship}.
%Чтобы помочь  опровергать мои результаты, я загружаю генераторы рисунков Книги в категории\\

Form my side, I make all possible efforts in order to simplify refutation of my concept (for the case, if one day someone will be able to refute them). I load the figures from this book to my site as \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap}\\ 
and I supply them with generators in C++ and Latex. Everybody can reproduce the figures, and plot the new figures, trying to find a hint to any internal contradictions in the concepts suggested. Of course, any other alternative hypothesis can be considered too, as it is shown in figure \ref{sheep}.
%In particular, I load the efficient implementations of tetration and
\vskip 2mm

\vskip 2mm
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:BlackSheep.png}
\vskip 18pt
%\sx{.6}{\begin{picture}(404,360)
\sx{.8}{\begin{picture}(454,350)
\put(0,0){\ing{blacksheep}}
\put(-2,-2){\color{white} \rule{8pt}{356pt}}
\put(-2,-2){\color{white} \rule{458pt}{8pt}}
\put(456,-2){\color{white} \rule{8pt}{356pt}}
\put(-2,346){\color{white} \rule{458pt}{8pt}}
\end{picture}}\end{center}
\vskip -24pt
\caption{\large \baselineskip 18pt 
\RU{Два математика едут 
%в поезде из аэропорта 
на конференцию по суперфункциям и обсуждают чёрную овцу, которую они увидели из окна поезда: {\em Ваше допущение, уважаемый коллега, представляется мне не только не очевидным, но и совершенно не обоснованным. Всё, что мы можем заключить из этого наблюдения - что в этой стране существует по крайней мере одна овца или по крайней мере один барашек, и что по крайней мере правая сторона этого существа - черная.}}%RU
\EN{Two mathematicians go to the First International Congress on superfunctions, and discuss the color of the ship they see from the train: {\em Your assumption, dear colleague, seems to be not obvious, it is not supported with observations. 
Yet, all what we can conclude, that there is at least one sheep in this country, and at least the right hand side of this sheep is black.}}%RU
\iL{sheep}}
\vskip 12pt
\end{figure}

\RU{Увидев, как естественно и натурально получается натуральная тетрация, я построил похожие карты и для других оснований $b$, в частности, для $b\!=\!10$, $b\!=\!2$ и $b\!=\!1.5$,  но ничего особенно нового, чего трудно было бы предположить, поиграв с натуральной тетрацией, не обнаружил. Однако Генрик Траппманн попросил меня уменьшить основание $b$ ещё чуток, до
$b=\sqrt{2}$, и спросил, могу ли я вычислять таким же 
%макаром, то есть не макаром, конечно, а кошем, то есть 
интегралом Коши, тетрацию по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. Я подумал и сказал, что таким же методом не могу. Генрик стал смеяться, но я заявил, что если он так любит корень из двух, то я сделаю тетрацию и по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ тоже. И сделал \cite{sqrt2}. Основа использованного для этого формализма, то есть регулярная итерация, описана в главе  8.
%и, особенно, в секции 8.3. 
Применение этого формализма именно для тетрации по основанию $\sqrt{2}$ описано в следующей главе.}%RU
\EN{After to see, how the natural tetration comes from the Cauchy integral in a pretty natural way, I had constructed similar maps for other values of base $b$, namely, for $b\!=\!10$, $b\!=\!2$ and $b\!=\!1.5$,  
but I did not revealed any new property, that could be difficult to expect, looking at the natural tetration.
The most of curves in figure \ref{tet10bx}, considered later, can be plotted with the Cauchy integral by very similar algorithms.
I was sure, that my mission about tetration is finished. Then, Henryk Trappmann wanted still to reduce $b$; he asked me, wether I can evaluate in the similar way tetration to base
$b=\sqrt{2}$.
%макаром, то есть не макаром, конечно, а кошем, то есть 
%интегралом Коши, тетрацию по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. 
I had to confess, that I cannot. But I told, that I can do it by another way
%Я подумал и сказал, что таким же методом не могу. Генрик стал смеяться, но я заявил, что если он так любит корень из двух, то я сделаю тетрацию и по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ тоже. И сделал 
\cite{sqrt2}. That ``another way'' happened to be even simpler, than application of the Cauchi integral; so, I described it in the previous chapters as ``regular iteration''.
However, namely tetration to base $b\!=\!\sqrt{2}$ is not described above;  this tetration is matter
%Application of this formalism, id est, the regular iteration, is described in chapter 8.
%Tetration to base
% is described in 
of the next chapter.
 %описано в следующей главе.

 }%EN

%\chapter{Тетрация по основанию $b>1$}
%\chapter{~ Тетрация по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$}
\chapter{~ Tetration to base $b\!=\!\sqrt{2}$}
\baselineskip 20.4pt
%В этой Книге, кроме других суперфункций, рассмотрена тетрация. Поведение тетрации и её вычисление зависят от основания.
%используются построения предыдущих глав для вычисления тетрации по различным основaниям.
%Особенно простым становится вычисление тетрации по основанию $b\!>\!1$. Сперва рассматриваются примеры, а потом формулируются общие способы вычисления тетрации.
%\vskip 2mm

%Поведение тетрации вещественного аргумента показано на первой странице обложки. Это копия рисунка \ref{tet10bx}, на обложку добавлены лишь поясняющие формулы.Kривые $y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$ как функции $x$ проведены для различных значений основания $b$. В этой секции описано построение лишь одной кривой этого рисунка, а именно, кривой, соответствующей $b\!=\!\sqrt{2}$.
%\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}[14]{r}{206px}
%\begin{wrapfigure}[13]{r}{206px}
\begin{figure}[h]
\vskip -16pt
\hskip 66pt
%\sx{.2}{\begin{picture}(700,600)
\sx{.5}{\begin{picture}(610,620)
\put(0,0){\ing{sqrt27a}}
%\put(220,584){\sx{3.6}{$y=F_{2,1}(x)$}}
%\put(172,600){\sx{4}{$2$}}
%\put(172,670){\sx{4}{$y$}}
\put(172,600){\sx{4}{$2$}}
\put(172,500){\sx{4}{$1$}}
\put(140,298){\sx{4}{$-1$}}
\put(140,198){\sx{4}{$-2$}}
\put(140, 98){\sx{4}{$-3$}}
%\put(160,  0){\sx{3.8}{$-4$}}
\put( -9,366){\sx{4}{$-2$}}
\put( 89,366){\sx{4}{$-1$}}
\put(300,366){\sx{4}{$1$}}
\put(401,366){\sx{4}{$2$}}
\put(502,366){\sx{4}{$3$}}
\put(594,370){\sx{4.2}{$x$}}
%\put(600,420){\sx{4.2}{$x$}}
\put(340,530){\sx{4.3}{\rot{5}$y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$\ero}} 
\put(380,200){\sx{4.2}{\rot{-45}$y\!=\!-x$\ero}} 
\end{picture}} 
%\end{center}
\vskip -4pt
\hskip 50pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt27t.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ 
%$y=F_{2,1}(x)$ of real argument
% left; functions 
%$y=F_{2,1}(-F_{2,1}(x))+x$ and 
%$y=F_{2,1}(x)+F_{2,1}^{-1}(-x))$, right. 
\label{figreal}
\label{figJJ}
\label{figjj}
\iL{sqrt27a}
}
\vskip -4pt
\end{figure}

%В главе 13 определена и вычислена натуральная тетрация.
In chapter 13 above, the natural tetration is constructed and evaluated.
I mean, tetration to base
%То есть тетрация по основанию 
$b\!=\!\mathrm e \!\approx\! 2.71~$.
%In order to deal with tetration to 
For other bases, the definition of tetration should be generalised.
This generalisation is suggested in this chapter.
%Для того, чтобы говорить о тетрации по иным основаниям, определение тетрации надо обобщить. Такое обобщение предлагается в этой главе.
I try to follow the principles ``from simple to complicated'' and ``from specific to general''.
%Следуя принципу ``от простого - к сложному'', здесь используется специфическое значение основания 
First, I consider the specific base $b\!=\!\sqrt{2}$. 
%Для этого значения, график тетрации показан на рисунке 
For this base, the graphic of tetration is shown in figure 
\ref{sqrt27a}. 
Namely for this base, the graphic looks especially symmetric.
Below I show, that this is just visual impression, and the apparent symmetry $x\leftrightarrow -y$ is only approximation.
%Именно для этого значения основания, график тетрации выглядит красиво и симметрично. Ниже я показываю, что это впечатление обманчиво и эта симметрия лишь приближенная.
%\section{Определение}
\section{Definition}
\baselineskip 18.8pt

%Тетрацией по вещественному основанию $b\!>\!1$ называется функция $f\!=\!\mathrm{tet_b}$, 
%обладающая следующими свойствами:
Tetration to the real base $b\!>\!1$ is real-holomorhpic function  $f\!=\!\mathrm{tet_b}$, that satisfies the transfer equation 
\be
f(z\!+\!1)=b^{f(z)}
\eL{sqrt2transfer}
%по крайней мере для значений 
at least for $\Re(z)>-2$,
and is bounded at least in the range
%функция $f$ ограничена по крайней мере в полосе 
$|\Im(z)| \le 1$, and, in addition, the specific (the same for all $b$) value at zero is assumed:
%кроме того, подразумевается,  вещественная голоморфность такой тетрации и специфическое (общее для всех оснований $b$) значение в нуле:
\be
%f(z^*) &=& f(z)^* \\
f(0) &=& 1     ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\iL{sqrt2f01}
\ee
\vskip 2mm
Here,
%Я надеюсь, все ясно видят, что 
%Уравнение \rf{sqrt2transfer} имеет форму передаточного уравнения.
%Equation \rf{sqrt2transfer} can be considered as transfer equation.
%При этом $T\!=\!\exp_b$ выступает в роли передаточной функции.
function $T\!=\!\exp_b$ appears as the transfer function, and tetration $f$ as its superfunction.
\vskip 2mm

%Читатели приглашаются проследить, что натуральная тетрация 
The Reader is invited to check, that the natural tetration
$\mathrm{tet}\!=\!\mathrm{tet}_{\mathrm e}$,
%рассмотренная в главe 14, под такое определение тоже попадает.
considered in chapter 14, also falls into into this definition.
Below, the tetration to various bases is considered.
In particular, this chapter deals with the special case
%В других главах рассмотрена тетрация по другим разным основаниям. 
%Последнее условие, при $1\!<\!b\le \exp(1/\mathrm e)$, указывает, что по крайней мере вдоль мнимой оси, значения тетрации ограничены; в пределе больших значений вещественной части аргумента, тетрация стремится к стационарной точке соответствующей экспоненты, которая интерпретируется как передаточная функция.
%Этим тетрация отличается от растущей суперэкспоненты, показанной для случая $b\!=\!\sqrt{2}$ на рисунке \ref{sqrt2figf45b}.
%\vskip 2mm
%Но в этой главе в качестве примера %вычисления тетрации $\mathrm{tet}_b$ при $1\! < \!b\! < \! \exp(1/\mathrm e)$ 
%рассмотрен случай 
$b\!=\!\sqrt{2}$.
Exponential to this base is shown in figures
%Экспонента именно по этому основанию показана на рисунках 
\ref{exq2plo} and \ref{ExpQ2map}.
%Именно для этого основания в главе 9 построена растущая суперэкспонента
Namely for this case, in section 9, the growing super exponential 
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$, %её график показан на рисунке  
is constructed; graphic $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ is shown in figure 
\ref{sqrt23uplot}. %9.4.
%\ref{ExpQ2plot}.
%\ref{exq2plo}.
\vskip 2mm

%Теперь для этого же основания $b\!=\!\sqrt{2}$ строится другая суперэкспонента, тетрация.
%График тетрации на рисунке \ref{sqrt27a} существенно отличается от графика растущей суперэкспоненты
%$F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},3}$, показанного на рисунке 
Here, for the same base $b\!=\!\sqrt{2}$, id est, for the same transfer function, I describe another superexponent,
namely, tetration. Its explicit plot is shown in figure \ref{sqrt27a} 
and it is pretty different from the plot of the growing superexponent
$F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ shown in figure  
%\ref{sqrt2suexpPlot}.
\ref{sqrt23uplot}.

%\section{Пусть $b\!=\!\sqrt{2}$ }
%\section{Case of base $b\!=\!\sqrt{2}$ }
\section{Again regular iteration }
%\section{Суперфункция}
In this section, again I use the regular iteration, as in chapter 9, in other to construct another superfunction, namely, tetration,
for the exponential to base $\sqrt{2}$ as the transfer function.
%В качестве примера вычисления тетрации  
This construction appears as an example to evaluation of tetration
$\mathrm{tet}_b$ для $1\! < \!b\! < \! \exp(1/\mathrm e)$. 
%в этой 
%секции рассмотрим
%главе рассмотрен
%случай 
\vskip 6pt

In such a way, here I consider the case
$b\!=\!\sqrt{2}$. 
%График такой функции показан на рисунке
Explicit plot of this tetration is shown in figure 
\ref{sqrt27a}.
The construction below is quite analogous to the construction of the growing super exponent to the same base,
presented in chapter 9. Some formulas in this section are taken from publication
%Описанное ниже построение аналогично построению растущей суперэкспоненты по такому же основанию,
%представленному в главе 9. Многие формулы и рисунки этой секции взяты из публикации 
\cite{sqrt2}.
\vskip 2mm

%Стационарные точки экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ рассмотрены в Главе 9, см. рис. 
The fixed points of exponent to base $b\!=\!\sqrt{2}$ 
%рассмотрены в Главе 9, см. рис. 
%\ref{Expe1eplot}.
are considered in chapter 9, see figure \ref{ExpQ2plot}. These fixed points are 2 and 4. 
In that chapter, the superexponent $F_5=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ is built at the fixed point $L\!=\!4$.
%В той главе суперэкспонента $F_5=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ построена на стационарной точке $L\!=\!4$. Вдоль вещественной оси, такая суперэкспонента монотонно и неограниченно растет от четырех до бесконечности. Для той суперэкспоненты, уравнение $F_5(z)\!=\!1$ не имеет вещественных решений, и она не является тетрацией. Для того, чтобы построить тетрацию по такому основанию, следует использовать стационарную точку $L\!=\!2$. 
Along the real axis, that superexponential grows monotonously from 4 to infinity.
For that superexponent, the equation $F_5(z)\!=\!1$ has no real solution; that superexponent is not tetration.
In order to get tetration, we should use the fixed point $L\!=\!2$. This case is considered in this chapter.
The corresponding superfunction  $\Phi$ can be expanded as follows:
%Соответствующая суперфункция $\Phi$ раскладывается так:
\be
f(z)=2+\varepsilon+\sum_{m=2}^{M-1} v_m \varepsilon^m 
\eL{sqrt2fas}
\be
\Phi(z)=f(z)+O(\varepsilon^n)
\eL{sqrt2Phi}
%где
where
\be %\varepsilon
\ve=\exp(kz)
\eL{sqrt2ve}
while increment $k$ and coefficients $v$ are constants.
%а инкремент $k$ и коэффициенты $v$  являются константами.
%Подстановка асимптотического разложения $F\!=\!\Phi$ в передаточное уравнение 
Substitution of the asymptotic expansion  $F\!=\!\Phi$ in to the transfer equaiton
\be
F(z\!+\!1)=\exp\Big(\ln\Big(\sqrt{2}\Big) \, F(z)\Big)
\eL{sqrt2transfereq}
%дает соотношение для инкремента $k$ 
determines the increment
\be
k=\ln(\ln(2))\approx -0.3665129205816643
\eL{sqrt2k}
%и цепочку уравнений для коэффициентов $v$; в частности,
and leads to the chain of equations for coefficients $v$. I set $v_1\!=\!1$; then, 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{array}{rcl}
v_{2}=&\frac{\ln(2)/4}{\ln(2)-1} &\approx -0.56472283831773236365\\
v_{3}=&\!\!\frac{\ln(2)^{2}(2+\ln(2))/24} {(\ln(2)-1)(\ln(2)^2-1)} \!\! &\approx \phantom{-}0.33817758685118329988 
\end{array}
\eL{sqrt2v2}
%Приближенные з
%Значения коэффициентов $v$ 
%представлены
%предлагаются в таблице 
Approximate values of coefficients $v$ are collected in table 
\ref{sqrt2tablevV}. 
\vskip 2mm

%При фиксированном числе $M$ термов в правой части уравнения \rf{sqrt2fas}, функция $f$  может рассматриваться как аппроксимация 
%суперфункции экспоненты со специфической асимптотикой, а именно, которая, возрастая, стремится к стационарной точке 2. Такая суперфункция может быть определена как предел
At fixed number $M$ of terms in the right hand side of equation \rf{sqrt2fas}, function $f$ and be considered as approximation
of superfunction with certain asymptotics, namely, that grows at infinity, approaching the fixed point 2. 
This superfunction appears as limit
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\Phi(z)=\lim_{n \rightarrow \infty} T^{-n}(f(z\!+\!n))=\lim_{n \rightarrow \infty} \log_b^{\, n}(f(z\!+\!n))
\eL{sqrt2F}
%Ввиду того, что $f$ является асимптотическим решением предаточного уравнения \rf{sqrt2transfereq} и его ``эквивалента''
%As function $f$ is asymptotic solution of the transfer equation \rf{sqrt2transfereq} and its ``modification''
%\be
%\Phi(z)=\log_b( \Phi(z\!+\!1))
%\eL{sqrt2transfereL}
%функция $F$ по формуле \rf{sqrt2F} не зависит от числа $M$ слагаемых в правой части уравнения \rf{sqrt2fas}. 
%function $\Phi$ by \rf{sqrt2F}
does not depend on the number $M$ of terms in the right hand side of equation \rf{sqrt2fas}. 
However, at large $M$, the limit in the right hand side of \rf{sqrt2F} converges faster.
%Но при больших $M$, предел в правой части уравнения \rf{sqrt2F} сходится быстрее.
%Разумеется, скорость сходимости предела в правой части уравнения \rf{sqrt2F} растет при увеличении числа $M$. 
\vskip 2mm

%Для того, чтобы выполнить условие \rf{sqrt2f01}, тетрацию по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, то есть $f\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$  можно определить так:
Tetration to base $b\!=\!\sqrt{2}$ that satisfies condition  \rf{sqrt2f01}, appears as function $\Phi$ with displaced argument,
\be
\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(z)=\Phi(x_1\!+\!z)
\eL{sqrt2tetF}
%где 
where
$x_1 \!\approx\! 1.25155147882219$ 
%есть решение уравнения 
is solution of equation
$\Phi(x_1)\!=\!1$. 
%Читатели приглашаются проверить, что такая тетрация удовлетворяет требованиям, сформулированным в начале главы. Для вещественных значений аргумента, график этой тетрации показан на рисунке \ref{sqrt27a}.
%Комплексная карта тетрации по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ представлена на рисунке \ref{sqrt2tetmap}.
The readers are invited to verify, that this tetration satisfies  the conditions, formulated in the section 1 of this chapter.
For real values of the argument, graphic of this function is shown in figure \ref{sqrt27a}.
The complex map of tetration to base $b\!=\!\sqrt{2}$ is shown in figure \ref{sqrt2tetmap}.
\vskip 2mm

\begin{table}[t]
\caption{Approximations of coefficients $v$ and $V$ in expansios \rf{sqrt2fas}, \rf{sqrt2ateG} \label{sqrt2tablevV}}
%\caption{ Коэффициенты $v$ и $V$ в разложениях \rf{sqrt2fas}, \rf{sqrt2ateG} \label{sqrt2tablevV}}
%\rf{vz}, \rf{tq2L}  \label{sqrt2table1}}
%$a$ in \rf{an} and $c$ in \rf{cn}}
%\label{sqrt2table2} % WARNING! TABLE 1 has label "table2"
\begin{center} \vskip -4pt
\begin{tabular}{rrr}
$n$ & $v_{n}\pS\pS\pS$ & $V_{n}\pS\pS\pS$ \\
% $2^{n}a_{n}\pS\pS\pS$ & $c_{n}\pS\pS\pS$ & $8^{n}d_{n}\pS\pS\pS$ \\
\input{sqrt2table1}
\end{tabular}
\end{center}
%\vskip -18pt
\end{table}

\begin{figure}[h]
%\sx{2.24}{\begin{picture}(204,204)
\sx{2.001}{\begin{picture}(204,204)
\put(0,0){\ing{sqrt2f21ema}}
\put(6,206){\sx{.8}{$y$}}
\put(6,188){\sx{.8}{$8$}}
\put(6,168){\sx{.8}{$6$}}
\put(6,148){\sx{.8}{$4$}}
\put(6,128){\sx{.8}{$2$}}
\put(6,108){\sx{.8}{$0$}}
\put(-1, 88){\sx{.8}{$-2$}}
\put(-1, 68){\sx{.8}{$-4$}}
\put(-1, 48){\sx{.8}{$-6$}}
\put(-1, 28){\sx{.8}{$-8$}}
\put(24,2){\sx{.8}{$-8$}}
\put(44,2){\sx{.8}{$-6$}}
\put(64,2){\sx{.8}{$-4$}}
\put(84,2){\sx{.8}{$-2$}}
\put(110.5,2){\sx{.8}{$0$}}
\put(130.5,2){\sx{.8}{$2$}}
\put(150.5,2){\sx{.8}{$4$}}
\put(170.5,2){\sx{.8}{$6$}}
\put(190.5,2){\sx{.8}{$8$}}
\put(208.6,2){\sx{.8}{$x$}}
\put(82,182){\rot{90}$u\!=\!3$ \ero}
\put(23,163){\rot{-37}$u\!=\!3.8$ \ero}
\put(16,142){\rot{-9}$u\!=\!4$ \ero}
\put(16,107){\bf cut}
\put(16,73){\rot{9}$u\!=\!4$\ero}
\put(23,49){\rot{37}$u\!=\!3.8$ \ero}
\put(69,18){\rot{86}$u\!=\!3.2$ \ero}
\put(82,18){\rot{90}$u\!=\!3$ \ero}
\put(176,193.6){$v\!=\!0$}
\put(176,150){$u\!=\!2$}
\put(176,107.4){$v\!=\!0$}
\put(176,65){$u\!=\!2$}
\put(176,21.2){$v\!=\!0$}
\put(68,147){$v\!=\!1$}
\put(68,128){$v\!=\!2$}
\put(65,68){$v\!=\!-1$}
\put(110,161){\rot{65}$u\!=\!2.4$\ero}
\put(123,158){\rot{49}$u\!=\!2.2$\ero}
\put(122,114){\rot{40}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(109,84){\rot{36}$u\!=\!1.6$\ero}
\put(120,80){\rot{30}$u\!=\!1.8$\ero}
\put(88,43){\rot{27}$v\!=\!-0.4$\ero}
\put(98,32){\rot{22}$v\!=\!-0.2$\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2tetmap.jpg}
\vskip -2pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v= \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{sqrt2tetmap}}
\end{figure}

%Тетрация, построенная по формуле 
Tetration
%, constructed 
by \rf{sqrt2tetF}, 
%обладает следующими свойствами.  Функция периодична, её период $P$ чисто мнимый, 
%has the following properties. 
%The function
is periodic; the period $P$ is pure imaginary,
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P=P(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}})= 
-\frac{2 \pi \mathrm i}{\ln^2(2)}=
-\frac{2 \pi \mathrm i}{\ln(\ln(2)) } \approx  17.14314817935485 \, \mathrm i 
%- 0.36651292058166
\label{sqrt2T}
\label{sqrt2tetP}
\ee
%На всякий случай я 
%Напоминаю, что дважды логарифм $\ln^2(2)=\ln(\ln(2))$, но никак не $\ln(2)^2$, в соответствии с декларированными 
I remind, the double logarithm $\ln^2(2)\!=\!\ln(\ln(2))$, but does not mean $\ln(2)^2$, 
according to notations declared at the beginning of this Book.
%в соответствии с декларированными 
%в начале книги 
%обозначениями
\RU{
\footnote{Как уже отмечалось, операции взятия логарифма и ``верхний индекс 2'' не коммутируют, примерно так же, как не коммутируют координата и импульс в Квантовой Механике или как оператор ``царская'' не коммутирует с глаголом ``to vodka''. Если Читатель хоть раз употреблял водку царскую и выжил, то, вероятно, этот читатель сумел отличить её от ``царской водки'', и, таким образом, имеет некоторое представление о некоммутирующих операторах.}.
}%RU
\vskip 2mm

As it is claimed above, tetration
%Как и было заявлено, тетрация 
$\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(z)$ 
%голоморфна в полосе 
is holomorphic in the strip
$|\Re(z)|\!\le\! 1$. 
The range of holomorphism is much wider than this strip.
Tetration to base $\sqrt{2}$ is holomorphic in the whole complex plane,
except the countable set of branch points and the cut lines
%Область голоморфизма даже существенно шире этой полосы. Тетрация голоморфна во всей комплексной плоскости, за исключением счетного множества точек ветвления и соответствующих разрезов 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\{ z\in \mathnb C \Re(z)\le 2, ~ \Im(z)\!=\!n \Im(P) ~ \mathrm {for ~ integer~} n \}
\{ z\in \mathbb C:  \Re(z)\le 2, ~ \Im(z)\!=\!n \Im(P) ~,~  n\in \mathbb N \}
~ ~ ~ ~
\eL{sqrt2tetCuts}
Outside these cuts, tetration approaches the fixed points of the corresponding logarithm, to 2 or to 4,
at the increase or decrease of the real part of the argument, respectively.
%Вне этих разрезов, тетрация стремится к стационарным точкам логарифма, к двум или к четырем, при увеличении или при уменьшении вещественной части аргумента. 
%Впрочем, это математикам не понятно. А чтобы математикам понять, я напишу проще.
%Для 
%любых
%вещественных 
%значений
For any real
$y$,
\be
\lim_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)&=&2
\eL{sqrt2tetLim1}
%и для 
and for
$y\ne \Im(T) n$, $n\in \mathbb N$,
\be
\lim_{x \rightarrow -\infty} \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)&=&4
\eL{sqrt2tetLim2}
\vskip 2mm

%Для вещественных значений аргумента, $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ определена при $x\!>\!-2$. В точке $-2$, функция имеет логарифмическую особенность, как и тетрации по другим основаниям. При б\'oльших значениях аргумента, функция растет от минус бесконечности, проходит, как и тетрации по другим основаниям, через точки $(-1,0)$ и $(0,1)$, и дальше 
For real $x$, function $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ is defined at $x\!>\!-2$. In point  $-2$, 
the function has logarithmic singularity, as tetrations to other values of base.
The function grows from $-\infty$ at $-2$, passes through points 
 $(-1,0)$ и $(0,1)$, and continue to grow, 
%ограниченно 
%растет, приближась к своему предельному значению 2 на 
approaching its limit value 2 at
$+\infty$.
\vskip 2mm

%Есть несколько причин, по которым основание 
There are several reasons, why tetration to base
$b\!=\!\sqrt{2}$ 
is especially interesting.
%%особенно интересно.
%%Генрик Траппманн просил меня подробно рассмотреть тетрацию именно по основанию $\sqrt{2}$. 
Namely for this base $b\!=\!\sqrt{2}$, both real fixed points of $\log_b$ have integer values.
%Именно при таком основании обе стационарные точки логарифма выражаются целыми числами.
In addition, namely for this base, the graphic of function in figure 
%Кроме того, именно при таком основании, график функции на рисунке 
\ref{sqrt27a} 
seems to be symmetric with respect to reflection 
%кажется симметричным относительно отражения 
$x \leftrightarrow -y$. 
In order to stress this illusion, the additional line $y\!=\!-x$ is drawn in figure \ref{sqrt27a}.
%Чтобы подчеркнуть такую иллюзию, на рисунке \ref{sqrt27a} проведена дополнительная прямая $y\!=\!-x$. 
For analysis of the illusion mentioned, the inverse function should be constructed; I mean, arctetration 
$\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}^{~ -1}$.
%to the same base.
The complex map of this arctetration is shown in figure \ref{sqrt2atemap}. This function is described in the next section.
%Эта иллюзия будет более подробно обсуждаться ниже,  так как для её анализа 
%сперва надо построить обратную функцию, то есть арктетрацию. 
%нужна обратная функция, то есть арктетрация. 
%Комплексная карта арктетрации по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ показана на рисунке \ref{sqrt2atemap}.
%\vskip 2mm
%Примерно так, как в этой секции строится тетрация, может быть построена также и обратная функция, то естъ арктетрация.
%Построение этой функции 
%Её построение описано в следующей секции.

\begin{figure}[t]
%\sx{2.24}{\begin{picture}(204,204)
\sx{2.001}{\begin{picture}(204,204)
\put(0,0){\ing{sqrt2f21lma}}
\put(6,206){\sx{.8}{$y$}}
\put(6,188){\sx{.8}{$8$}}
\put(6,168){\sx{.8}{$6$}}
\put(6,148){\sx{.8}{$4$}}
\put(6,128){\sx{.8}{$2$}}
\put(6,108){\sx{.8}{$0$}}
\put(-1, 88){\sx{.8}{$-2$}}
\put(-1, 68){\sx{.8}{$-4$}}
\put(-1, 48){\sx{.8}{$-6$}}
\put(-1, 28){\sx{.8}{$-8$}}
\put(24,2){\sx{.8}{$-8$}}
\put(44,2){\sx{.8}{$-6$}}
\put(64,2){\sx{.8}{$-4$}}
\put(84,2){\sx{.8}{$-2$}}
\put(110.5,2){\sx{.8}{$0$}}
\put(130.5,2){\sx{.8}{$2$}}
\put(150.5,2){\sx{.8}{$4$}}
\put(170.5,2){\sx{.8}{$6$}}
\put(190.5,2){\sx{.8}{$8$}}
\put(208.6,2){\sx{.8}{$x$}}

\put(26,198){$v\!=\!0$}
\put(18,152){\rot{-2}$u\!=\!-2$\ero}
\put(26,107.4){$v\!=\!0$}  \put(176,108){\bf cut}
\put(18,62){\rot{1}$u\!=\!-2$\ero}
\put(26,17){$v\!=\!0$}
\put(96,172){\rot{20}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(106,158){\rot{20}$v\!=\!0.4$\ero}
\put(112,148){\rot{20}$v\!=\!0.6$\ero}
\put(121,139){\rot{20}$v\!=\!1$\ero}
\put(156,167){\rot{37}$u\!=\!-3$\ero}
\put(178,164){\rot{50}$v\!=\!0$\ero}
\put(74,95){\rot{-23}$u\!=\!-1.8$\ero}
\put(87,28){\rot{54}$u\!=\!-2.2$\ero}
\put(113,21){\rot{76}$u\!=\!-2.4$\ero}
\put(132,21){\rot{87}$u\!=\!-2.6$\ero}
\put(137,64){\rot{-79}$u\!=\!-2.8$\ero}
\put(151,51){\rot{-43}$u\!=\!-3$\ero}
\put(175,51){\rot{-48}$v\!=\!0$\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2atemap.jpg}
\vskip -2pt
\caption{$ u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{sqrt2atemap}}
\end{figure}

%\section{Арктетрация по основнанию $b\!=\!\sqrt{2}$}
\section{Arctetration to base $b\!=\!\sqrt{2}$}
\baselineskip 18.1pt

%Для обратной функции от тетрации, используется название арктетрация, по аналогии с арксинусом, арккосинусом и аркбесселем;
For the inverse function of tetration, I use name arctetration, in analogy with arcsin, arccos and arcBessel;
%минус первая итерация тетрации обозначается символом ate; основание, как и у тетрации или логарифма, указывается в виде нижнего индекса, то есть  
$\mathrm{ate}_b=\mathrm{tet}_b^{-1}$. 
%Арктетрация является абельфункцией экспоненты и удовлетворяет уравнению Абеля; для $b\!=\!\sqrt{2}$, это уравнение можно записать так:
Arctetration is abelfunction of exponent and satisfies the Abel equation. For base $b\!=\!\sqrt{2}$, this equation can be written as follows:
\be
G\Big( \Big(\sqrt{2}\Big)^z\Big)=G(z)+1
\eL{sqrt2abeleq}
%Одним из решений этого уравнения является арктетрация, $G\!=\!\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$. Чтобы сократить запись основания, в некоторых формулах этой главы, вместо $\sqrt{2}$, я пишу $b$, имея в виду, что $b\!=\!\sqrt{2}$. Комплексная карта арктетрации показана на рисунке
One of solutions of equation \rf{sqrt2abeleq} is arctetration
$G\!=\!\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$. 
Complex map of arctetration is shown in figure
\ref{sqrt2atemap}. 
%In this section I describe evaluation of this function.
\vskip 2mm

%Как и другие абельфункции и суперфункции, арктетрацию по основанию $\sqrt{2}$ можно вычислять через её асимптотическое разложение, используя, по мере надобности,  уравнение Абеля, чтобы привести аргумент в область, где асимпототическое разложение обеспечивает хорошую аппроксимацию. Как и для других абельфункций, для построения асимптотического разложения арктетрации $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$ есть два пути.
As other abelfunctions, arctetration to base $\sqrt{2}$ can be evaluated through its asymptotic expansion,
using the Abel equation \rf{sqrt2atemap} to bring the argument into the range, where the fruncated expansion
provides the required precision.
The asymptotic expansion for the arctetration can be obtained with the asymptotic expansion of tetration.
Also, the same expansion can be obtained directly from the Abel equation  \rf{sqrt2atemap};
%Во-первых, можно обратить асимптотическое разложение тетрации. Во-вторых, можно ``методом пристального всматривания'' угадать общий вид разложения соответствующей абельэкспоненты и сделать из неё арктетрацию, добавляя к значению абельэкспоненты соответствующую константу, чтобы обеспечить выполнение условия
%Then, 
we should add the constant to the solution in order to satisfy condition
$\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(1)\!=\!0$.
\vskip 2mm

%Каждым из способов, отмеченных выше, можно прийти к 
%следующему 
%асимптотическому разложению решения $G$ уравнения Абеля. Пусть
The two methods mentioned above lead to the same expansion
\be
g(z)
%эtilde F_{2,1,N}^{-1}(z)= \frac{1}{\kappa_2}\ds \log\!\left(\frac{1}{s_{2,1}}\sum_{n=1}^{N} V_{n}\cdot (z\!-\!2)^{n}
= \frac{1}{k} \ln\!\left(
%\frac{1}{1}
\sum_{n=1}^{M} V_{n}\cdot (z\!-\!2)^{n}
\right)
\label{tq2L}
\eL{sqrt2ateG}
%где $V$ суть постоянные коэффициенты. Константа $k=\ln^2(2)$ та же самая, что и в разложении \rf{sqrt2fas}-\rf{sqrt2ve}, см. уравнение \rf{sqrt2k}.
%Тогда решение $G$ уравнения Абеля можно представить асимптотически в виде
where $V$ are constant coefficients. Constant $k=\ln^2(2)$ 
is the same, as in the expansion \rf{sqrt2fas}-\rf{sqrt2ve}, see equation \rf{sqrt2k}.
Then, asymptotic solution $G$ of the Abel equation can be written as follows:
\be
G(z)=g(z)+O(z\!-\!2)^{M+1}
\eL{sqrt2GO}
%Подстановка такого представления в уравнение Абеля дает цепочку уравнений для коэффициентов $V$; в частности, 
Substitution of this expansion into the Abel equation  \rf{sqrt2abeleq} leads to the chain of equations for coefficients  $V$;
in particular, 
\newcommand \nn {\ln(2)}
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V_{1}=& 1\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V_{2}=& -v_2= \frac{1}{4} \frac{\ln(2)}{1-\ln(2)} &\approx 0.56472283831773236365 \\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V_{3}=&  \frac{\ln(2)^2}{24} \frac {1+2 \nn} {(1-\nn)^{2}(1+\nn)} &\approx 0.29964618138408807683 
%\\ V_{4}=&  \frac{\nn^{3}}{192}  \frac{1+6\nn+5\nn^{2}+6\nn}  {1-\nn-\nn^{2}+\nn^{4}+\nn^{5}-\nn^{6}}  &\approx\! 0.15593239048925425853
\ee 
%Приближенные значения коэффициентов $V$ представлены во втором (правом) столбце таблицы \ref{sqrt2tablevV}
Approximations of coefficients $V$ are collected in the second (and last) column of table \ref{sqrt2tablevV}.
\vskip 2mm

%С помощью асимптотического разложения \rf{sqrt2ateG}, решение $G$ уравнения Абеля можно выразить как предел
With asymptotic expansion \rf{sqrt2ateG}, the solution $G$ of the Abel equation   \rf{sqrt2abeleq} can be written as limit
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} 
g\!\left(  \exp_{\sqrt{2}}^{~  ~ n}(z) \right) -n
\eL{sqrt2Glim}
%Здесь, под знаком предела, функция $T\!=\!\exp_{\sqrt{2}}$ итерируется $n$ раз.
Here, in the argument of function $g$, function $\exp_{\sqrt{2}}$ is iterated $n$ times.
\vskip 2mm

\RU{
%\begin{wrapfigure}[17]{r}{112px}
\begin{wrapfigure}{r}{98px}
%\begin{wrapfigure}{r}{108px}
%\sx{.66}{\begin{picture}(140,350)
\sx{.6}{\begin{picture}(140,370)
\put(20,0){\ing{podmux}}
\put(20,0){\color{white} \rule{140pt}{50pt}}
\end{picture}}
\vskip -38pt
\caption{Девочка 
под мухой 
\label{podmux}}
\end{wrapfigure}
Я надеюсь, выражение ``под знаком предела'', как и выражение ``под знаком интеграла'' или более свойственное русскому языку выражение ``под мухой''  будет понято не буквально (см. рисунок \ref{podmux}), а в соответствии со здравым смыслом. Если последние два выражения можно заменить синонимами ``интегранд'' и, соответственно,  ``в состоянии алкогольного опьянения'', то для того, что пишут после знака $\lim$, нет устойчивого обозначения. \footnote{Я бы предложил термин ``лимитант'' или даже ``лимитчик'', но пока такие термины трудно назвать устоявшимися.
% в научной и околонаучной литературе. Тем более, что 
К тому же, в странах с рабовладельческим строем и паспортной системой прописок (и приписок), термин ``лимитчик'' может иметь иной смысл и обозначать подданного, которому в обмен на специальные услуги, милостью
% ивой волей 
начальства разрешили осуществить его (или её) конституционное право выбора места проживания.}
Поэтому мне приходится писать ``под знаком предела'', в надежде, что читатель 
%не лыком шит и 
разберется, где право, где низ и где предел.
\vskip 2mm
}%RU
%Для того, чтобы сделать арктетрацию, $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$, следует учесть не только асимптотические свойства тетрации по такому основанию, но и её значение в единице. Попросту, к значению функции надо добавить соответствующую константу, то есть
In order to make arctetration $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$, not only the asymptotic properties should be taken into account, but also the value at unity. So, I define tetration as
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!
\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z)=G(z) \!-\! G(1)\approx G(z) \!-\! 1.25155147882219
\label{sqrt2GG1}
\eL{q2G1}
%с тем, чтобы выполнялось условие 
that leads to the correct value
$\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(1)=0$. 
In previous publication
%В работе 
\cite{sqrt2}, 
%такая арктетрация обозначена символом 
This arctetration is denoted with symbol
${F_{2,1}}^{-1}$; 
constant $2$ in the subscript indicates the fixed point of the transfer function, at which the regular iteration is constructed, 
and content $1$ in the subscript indicates its value at zero.
As usually, the upper index indicates the number of iterate.
%, in such a way, that ${F_{2,1}}$ is tetration.
%константа $2$ в индексе указывает на стационарную точку передаточной функции, в которой строится регулярная итерация, а константа $1$ указывает на значение суперфункии в нуле. Как обычно, верхний индекс $-1$ указывает минус первую итерацию функции, то есть обратную функцию.
\vskip 2mm

In figure \ref{sqrt2atemap}, at the complex map of arctetration, its periodicity is seen. 
This periodicity follows from the representation of arctetration through limit in equation  \ref{sqrt2atemap}.
%На комплексной карте арктетрации на рисунке \ref{sqrt2atemap} видна её периодичность.
%Эта пероидичность следует из выражения такой арктетрации через предел \rf{sqrt2Glim}.
%, эта функция периодична.
%Период $P$ определяется 
%арктетрации 
%периодом экспоненты по основанию 
%$\sqrt{2}$, то есть
The period $P$ is determined by the period of the exponent to base $\sqrt{2}$; 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P\!=\!P(\mathrm{ate}_{\sqrt{2}})\!=\!\frac{4 \pi \mathrm i}{\ln(2)} \!\approx 18.129440567308775239 \, \mathrm i
\eL{sqrt2ateP}
Imaginary part of this period is slightly greater, than that for tetration to the same base, see equation \rf{sqrt2tetP}.

\vskip 6pt
%На рисунке \ref{sqrt2atemap}, изолинии воспроизводятся при трансляциях вдоль оси ординат на $\Im(P)$. Кроме того, ввиду вещественного голоморфизма арктетрации, карта симметрична по отношению к отражениям относительно оси абсцисс. Таким образом, кроме оси абсцисс, имеется счетное множество горизонтальных линий уровня, где
%мнимая часть арктетрации равна нулю; две такие линии $y\!=\!\pm \Im(P)/2\approx \pm 9.068$ умещаются на карте, показанной на рисунке. Сингулярности (точки ветвления) и соответствующие разрезы арктетрации по основанию $\sqrt{2}$ тоже воспроизводятся при таких трансляциях.
In figure  \ref{sqrt2atemap}, the isolines are reproduced at the translations along the ordinate axis for $\Im(P)$.
In addition, due to the real-holomorphism, the maps of tetration and arctetration are symmetric with respect to reflection from the real axis, id est, with respect to the up side down flip.
\vskip 2mm

In wide range of values of $z$, the identity
%Область значений $z$, в которoй выполнено тождество 
\be
\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z))=z
\eL{sqrt2tetatez}
is valid. This range is shaded in figure
%показана на рисунке 
\ref{sqrt2tetate}. %\ref{tetate}
Technically, the shading is realised as complex map of the left hand side of equation \rf{sqrt2tetatez}, treated as function of $z$ and plotted in coordinates $x\!=\!\Re(z)$ and $y\!=\!\Im(z)$.
%Рисунок представляет собой комплексную карту фуниции в левой части уравнения \rf{sqrt2tetatez}, и, в области применимости этого уравнения, уровни постоянной вещественной части функции и уровни постоянной мнимой её части параллельны координатным осям. 
While the equation  \rf{sqrt2tetatez} holds, the levels of the constant real part and levels of the imaginary part are parallel to the coordinate axes and form the uniform rectangular grid, that at the poor resolution looks as shading.
%Однако, в силу периодичности функции  $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$, соотношение \rf{sqrt2tetatez} не может выполняться для всей комплексной плоскости. 
However, the relation \rf{sqrt2tetatez} cannot hold in a strip wider than the period of function $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$;  so, the upper part and the lower part of the domain of the map are not shaded in this way.
In addition, the range of validity of equation  \rf{sqrt2tetatez} is limited at the right hand side with levels 
%Это общее правило: если голоморфная функция принимает какое - либо значение хотя бы в паре различных значений аргумента, то обратная функция не может угадать, которое из возможных значений возвращать, и область ``обратности'' этой функции ограничена. 
%Для того, чтобы лучше указать границы области применимости соотношения  \rf{sqrt2tetatez},  на той же карте рисунка  \ref{sqrt2tetate} проведены ещё линии уровня
\be
\Im\Big( \exp_{\sqrt{2}}^n (x\!+\!\mathrm i y)\Big)=\pm \frac{|P|}{2}=\pm \frac{2\, \pi}{\ln(2)}
\eL{sqrt2en}
drawn above the map in figure \ref{sqrt2tetate}
for integer $n=0,1,2,3,4$.
%для целых $n$ от нуля до четырех включительно.Такие линии ограничивают границы области применимости соотношения \rf{sqrt2tetatez}.
%В правой части карты, и особенно в окрестности вещественной оси, линии  \rf{sqrt2en} орбазуют достаточно сложную и путанную структуру; там соотношение \rf{sqrt2tetatez} не выполняется. 
In the mentioned right hand side of the figure, 
%and, especially, in vicinity of the real axis, 
relation \rf{sqrt2tetatez} also is not valid.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\sx{2}{\begin{picture}(204,204) 
%\sx{2}{\begin{picture}(204,196) 
\put(0,0){\ing{sqrt2tetatema}}
\put(0,0){\ing{sqrt2tetatemb}}
\put(6,206){\sx{.8}{$y$}}
\put(6,188){\sx{.8}{$8$}}
\put(6,168){\sx{.8}{$6$}}
\put(6,148){\sx{.8}{$4$}}
\put(6,128){\sx{.8}{$2$}}
\put(6,108){\sx{.8}{$0$}}
\put(-1, 88){\sx{.8}{$-2$}}
\put(-1, 68){\sx{.8}{$-4$}}
\put(-1, 48){\sx{.8}{$-6$}}
\put(-1, 28){\sx{.8}{$-8$}}
\put(24,2){\sx{.8}{$-8$}}
\put(44,2){\sx{.8}{$-6$}}
\put(64,2){\sx{.8}{$-4$}}
\put(84,2){\sx{.8}{$-2$}}
\put(110.5,2){\sx{.8}{$0$}}
\put(130.5,2){\sx{.8}{$2$}}
\put(150.5,2){\sx{.8}{$4$}}
\put(170.5,2){\sx{.8}{$6$}}
\put(190.5,2){\sx{.8}{$8$}}
\put(208.6,2){\sx{.8}{$x$}}

\put(26,107.4){$v\!=\!0$} 
\put(176,108){\bf cut}
\put(115,57.4){\rot{90}$u\!=\!0$\ero} 
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2tetatemap.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))$ \iL{sqrt2tetate}}
\vskip 2pt
\end{figure}

%Свойства арктетрации по основанию $\sqrt{2}$ позволяет анализировать иллюзию симметрии графика на рисунке \ref{sqrt27a}, график 
Figure \ref{sqrt2tetate} can be considered as verification, validation, test of implementation of arctetration to base $\sqrt{2}$.
These properties and the implementations of tetration and arctetration allow to analyse approximate the symmetry $y\!=\!-x$ of 
graphic $y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ shown in figure \ref{sqrt27a}. 
\vskip 6pt

The apparent symmetry of the plot in figure \ref{sqrt27a} had been declared 
in the preamble of this chapter. The consideration had been postponed until tetration and arctetration to base $\sqrt{2}$ are described.
%$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$
%выглядит симметричным по отношению к отражению относительно прямой $y\!=\!-x$. Такая приближенная симметрия означает, что для $x>-2$, имеет место соотношение
The approximate symmetry mentioned means, that for  $x>-2$, 
%the following relation holds
\be
\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x) &\approx& - \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x) ~ ~ ~
\eL{sqrt2approx}

Properties of tetration and arctetration to base $\sqrt{2}$ indicate, that the exact equality in \rf{sqrt2approx} can take only at the set of measure zero, due to very simple and pretty fundamental reason:
tetration in the left hand side and atctetration in the right hand side of \rf{sqrt2approx} have different (incompatible) periods.
\vskip 6pt

%Точное равенство в этом соотношении не имеет места (кроме нескольких специальных точек), так как период функции в левой части формулы 
Period of function in the left hand side of equation \rf{sqrt2approx}, see equation \rf{sqrt2tetP}, is 
$P\!\approx\! 17.143 \, \mathrm i$, 
%а период функции в правой части формулы 
while period in the right hand side of equation \rf{sqrt2approx}, see equation \rf{sqrt2ateP}, is 
$P\!\approx\! 18.129 \, \mathrm i$.
%id est, almost for
%то есть почти на 
%$\mathrm i$ 
%longer.
The different periods indicates, that these are different functions.
If two holomorphic functions coincide at the segment of finite length, they should coincide in the whole range of holomorphism.
Hence, there is no exact equality in  \rf{sqrt2approx},  for the most of $z$, nor for the exact symmetry in figure \ref{sqrt27a}.
\vskip 6pt

Deviation from the exact symmetry %in figure  \ref{sqrt2ansus}
%. This deviation is 
can be characterised with function
\be
\mathrm{devia}(x)=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x) + \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)
\eL{sqrt2simdevi}
It is shown in figure \ref{sqrt2ansus} with dashed line. 
Where the symmetry be exact, the dashed curve should follow the abscissa axis.
%При точной симметрии, эта кривая тоже легла бы на ось абсцисс.
\begin{figure}[h]
%\sx{4.8}{\begin{picture}(100,61.0)
\sx{4.1}{\begin{picture}(100,61.0)
\put(0,0){\ing{sqrt27b}}
\put(17,58.6){\sx{.36}{$y$}}
%\put(60,48){\sx{.4}{$y=F_{2,1}(x)+F_{2,1}^{-1}(\!-x)$}}
%\put(48, 8){\sx{.4}{$y=F_{2,1}(-F_{2,1}(x))+x$}}
\put(46,48){\sx{.4}{$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)+\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(\!-x)$}}
\put(47, 8){\sx{.4}{$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))+x$}}
%\put(184,600){\sx{3.3}{$2$}}
\put(12.3,50.0){\sx{.33}{$0.01$}}
\put(10.0,30.0){\sx{.33}{$-0.01$}}
\put(10.0,20.0){\sx{.33}{$-0.02$}}
\put(10.0,10.0){\sx{.33}{$-0.03$}}
%\put(160,  0){\sx{3.3}{$-4$}}
\put( -1,37.4){\sx{.33}{$-2$}}
\put( 9.0,37.4){\sx{.33}{$-1$}}
\put(30.2,37.4){\sx{.33}{$1$}}
\put(40.3,37.4){\sx{.33}{$2$}}
\put(50.3,37.4){\sx{.33}{$3$}}
\put(60.3,37.4){\sx{.33}{$4$}}
\put(70.4,37.4){\sx{.33}{$5$}}
\put(80.4,37.4){\sx{.33}{$6$}}
\put(90.4,37.4){\sx{.33}{$7$}}
\put(100.,37.6){\sx{.36}{$x$}}
%\put(603,377){\sx{3.4}{$4$}}
%\put(60.0,42.0){\sx{.42}{$x$}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt27u.png}
\vskip -8pt
%\caption{approximate character of symmetry \rf{sqrt2approx} \label{sqrt2ansus} \iL{sqrt27b}}
\caption{%\large 
%Приближенный характер ``симметрии'' \rf{sqrt2approx} рисунка \ref{sqrt27a}: 
Precision of ``symmetry'' of figure \ref{sqrt27a}:
$y\!=\!\mathrm{devia}(x)$
%по формуле
by
\rf{sqrt2simdevi}, dashed,
and 
$y\!=\!\mathrm{devib}(x)$ by \rf{q2tetatem},
 solid
\iL{sqrt27b}
\label{sqrt2ansus}
} 
\vskip 8pt
\end{figure}

Also, the deviation is characterized with function
%характеризующее приближенность соотношения \rf{sqrt2approx}. График $y=\mathrm{devi}(x)$ 
%показан на рисунке \ref{sqrt2ansus}. Отклонение оказалась порядка $10^{-3}$, то есть ``симметрия'' \rf{sqrt2approx} держится всего лишь с тремя значащими цифрами. При сильном зумине отклонение $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ от  $-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)$ можно было бы увидеть даже на рисунке \ref{sqrt27a}.
%Для сравнения, на рисунке \ref{sqrt2ansus} сплошной кривой показана также зависимость
\be
\mathrm{devib}(x)=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))+x
\eL{q2tetatem}
This dependence is shown in figure  \ref{sqrt2ansus} with solid line. Expression $-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ approximate function $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)$.
Again, at the exact symmetry, the solid line would be just abscissa axis. In such a way, figure \ref{sqrt2ansus} indicates the range of validity of the statement about the symmetry: it reproduce of order of 2 significant figures of tetration or arctetration to base $\sqrt{2}$; however, at the segment from $-1$ to $0$ in figure \ref{sqrt27b},
the ``symmetry'' holds with 4 signifivant figures; this is pretty sufficient to cause the illusion of symmetry in figure \ref{sqrt27a}.
\vskip 2mm

%Схожесть функций $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ и $y\!=\!-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)$ для вещественных $x$ может показаться случайной, хотя для этого есть серьезные предпосылки. Все тетрации по основанию $b\!>\!1$ имеют логарифмическую особенность точке $-2$, их графики имеет вертикальную асимптоту $x\!=\!-2$. Кроме того, графики для всех тетраций проходят череез точки $(-1,0)$ и $(0,-1)$. Кроме того, при $b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$, эти графики имеют горизонтальную асимптоту, соответствующую экспоненциальному стремлению тетрации к наименьшей из вещественных стационарных точек экспоненты. 
Similarity of dependences  $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ and $y\!=\!-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)$ for real $x$ may look occasional.
However, on the other hand, it is unavoidable for the following reasons. Every tetration to base $b\!>\!1$ has logarithmic singularity at 
point $-2$; the graphics approach vertical line $x\!=\!-2$. Graphics of all these tetrations pass through points  $(-1,0)$ and $(0,-1)$, which correspond to the symmetry discussed. In addition, for $b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$, all the graphics have the horizontal asymptotic for large values of the augment, they approach some positive quantity (which is fixed point of logarithm). For some value of base, this quantity is $2$, that corresponds to the apparent symmetry. This value of base is just $b\!=\!\sqrt{2}$, this base is chosen as an example in this chapter as illustration behaviour of tetration and arctetration to base $b$ at $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$.
%То, что эта асимптота оказалась на уровне $y\!=\!2$, есть следствие выбора основания $b\!=\!\sqrt{2}$, использованного в статье \cite{sqrt2} и в этой Книге для иллюстрации свойств тетрации 
%по основанию от единицы до 
%при $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$.
\vskip 2mm
%длиннее. Две голоморфные функции с несовместимой периодичностью не могут точно совпадать на отрезке конечной длины. 
%\vskip 2mm
%В 2009-2010 годax, приближенная симметрия графика на рисунке \ref{sqrt27a} вызвала дискуссию. 
%\footnote{I
In years 2009-2010, the apparent symmetry of graphic in figure \ref{sqrt27a} caused hard discussion.
%The opponents
%, being pretty innocent about theory of holomorphic functions (or, the literal translation from Russian, Theory of functions of complex variable), 
%had insisted, that the symmetry is exact. 
%They 
The opponents had claimed, that the symmetry is obvious and does not require any verification.
(Before, I had observed so strong believe in the wrong and absurd statements only in the USSR; Soviet veterans had insisted on concepts of sovetism, being unable to see internal contradictions of it.)
%Fortunately, the case with the symmetry in figure  \ref{sqrt27a} happened to be simpler than that of sovietism.
To convince the opponents, Henryk and I had elaborated two independent demonstrations, that the exact symmetry cannot take place. %without using of properties of these functions in the complex plane.
Both these proofs are presented in publication \cite{sqrt2}.
\vskip 2mm
%Чтобы убедить упертых оппонентов, 
%нам с Генриком пришлось представить ещё пару независимых доказательств того, 
%Чтобы убедить упертых оппонентов, 
%не знакомыми с основами матана, 
%нам с Генриком пришлось представить 
%Neither my proof, nor that by Henryk use the theory of holomorphic functions; the only asymptotic analysis (in my case) and the explicit evaluation in certain points (in the case by Henryk). The opponents were connived, they agreed with the proofs suggested. Both these proofs are presented in publication \cite{sqrt2}.
%I hope, that the Readers know some properties of holomorphic functions, so, the incompatibility of the periods mentioned above is sufficient for this Book.
%}
%\vskip 2mm
%иные доказательства того, что симметрия \rf{sqrt2approx} лишь приближенная. \footnote{
%Для тех, кто про мнимую единицу и свойства голоморфных функций знает лишь понаслышке (если вообще), Генрик и я придумали каждый по одному независимому доказательству, эти доказательства вообще не используют формализм теории функций комплексного переменного. Оба доказательства представлены в работе \cite{sqrt2}. } 
%Я не повторяю здесь длинный и тернистый исторический путь к формализму суперфункций, но приведу график, на котором показано отклонение
%I do not repeat here all the long and heavy way to the formalism of superfunction, but I show t

%Читателям в качестве упражнения предлагается построить ещё хотя бы одну голоморфную функцию, график которой проходил бы через точки
Readers are invited to invent some real-holomorphic function with graphic that passes through points
$(-1,0)$ 
%и
and 
$(-0,1)$, and exponentially  approach to the vertical line $x\!=\!-2$ and horizontal line $y\!=\!2$.
I suspect, such a function will be pretty similar to tetration to base $\sqrt{2}$.
%, и экспоненциально приближался к вертикальной асимптототе $x\!=\!-2$ и горизонтальной асимптоте $y\!=\!2$. И посмотреть, насколько график такой функции похож на график тетрации по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. Такие упражнения чрезвычайно полезны при анализе результатов наблюдений или численных экспериментов.
%Во многих случаях, удачный выбор голоморфной функции с требуемыми (наблюденными в экспериментах) свойствами существенно уменьшает количество параметров в модели и, соответственно, улучшает её предсказательную способность.
%\footnote{Однажды %в одном научном центре 
%коллеги попросили помочь параметризовать комплексную восприимчивость воды как функцию частоты. В качеств затравки предлагалось использовать два полинома, для вещественной и для мнимой части восприимчивости. Оказалось, что комплексная восприимчивость может быть аппроксимирована голоморфной функцией в виде суммы всего нескольких лоренцевских колокольчиков; при этом, требуемая точность достигалась при существенно меньшем количестве параметров.
%, а фитирующая функция воспроизвела (хотя и менее точно) даже те пики поглощения, которые лежали вне области частот, для которых производилось фитирование. Этот пример показывает, что хорошая модель может использоваться не только для интерполяции, но и для экстраполяции. Разумеется, если целью исследования является получение грантов на какую-либо псевдонауку, например, для предсказания катастрофического глобального потепления или, наоборот, похолодания (что для получения грантов почти эквивалентно глобальному потеплению), то полиномиальная аппроксимация может использоваться, чтобы гнать пургу.
%}
\vskip 2mm

With the suggestion above, I finish the description of arctetration to base $\sqrt{2}$.
%В этой секции описано построение арктетрации. По крайней мере в окрестности полупрямой $z\!<\!2$ имеет место соотношение \rf{sqrt2tetatez}, и в этой области тетрация и арктетрация могут использоваться для нецелого итерирования экспоненты. Это итерирование рассмотрено в следующей секции.
At lest in some vicinity of the half-line $z\!<\!2$, relation \rf{sqrt2tetatez} is valid, and the pair (tetration,arctetration) can be used to iterate the exponent. These iterates are considered in the next section.

%\section{Снова итерирую экспоненту по основанию $\sqrt{2}$}
\section{Again iterate exponent to base $\sqrt{2}$}

%Итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ рассматривались в главе 9 для больших значений вещественной части аргумента.
The real-holomorphic Iterates of exponent to base $\sqrt{2}$ are considered above, in Chapter 9, for large values of positive part of the argument, with functions 
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ and 
$\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$. 
Those iterates are presented first (and shown in figure \ref{iterEq2plot}), 
%\ref{iterEq2map},
because they look similar to iterates of other growing functions, considered in the first half of this Book.
%Здесь итерации этой экспоненты рассмотрены для малых и отрицательных значений аргумента. Я покажу, что такие итерации похожи, но 
%совсем 
%не эквивалентны.
However, tetration and arctetration, constructed in this chapter, also can used to iterate the exponent to base $\sqrt{2}$.
In this section, I show, that these iterates look similar in vicinity of the interval $(2,4)$; but far from this interval, the deviation becomes strong.
\vskip 2mm

%``Регулярная итерация'' функции регулярна в окрестности стационарной точки,
%на которой она строится. 
%этой функции, 
%Но эта итерация обычно не регулярна 
%(ветвится) 
%в других стационарных точках этой функции. 
%В качестве иллюстрации этого правила, в этой секции рассмотрена половинная итерация экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. 
The ``regular iteration'' described above, allows to iterate the function, and iterates are regular in vicinity of the fixed point of the transfer function, used to construct the superfunction and the abelfunction.
Bot these iterates may be not regular (have singularity, branch point) at the other fixed points of the same transfer function.
Below, the illustration of this statement is presented.\vskip 2mm

%Итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ можно строить на основе неограниченно растущей суперфункции $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},4}$ по формулам \rf{q2Fz4tilde20},\rf{sqrt2regi45},\rf{Ff45}.
%Такие итерации показаны на рисунке 
Iterates of exponent to base $\sqrt{2}$ constructed with the infinitely growing superfunction
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},4}$ by \rf{q2Fz4tilde20},\rf{sqrt2regi45},\rf{Ff45} are shown in figure
\ref{iterEq2plot}.
%Такие итерации показаны на рисунке \ref{iterEq2map}.
%\ref{Esqrt2ite12Map}.
%dima
%Такую половинную итерацию можно строить на основе растущей суперэкспоненты, рассмотренной в главе 3. 
%\be \exp_{\sqrt{2},4}^{~ ~ 1/2}(z)= F_{1,4}\left( \frac{1}{2}+ G_{1,4}(z)\right) \eL{sqrt2exp24}
%Карта такой половиннои и
%\vskip 2mm
%Однако итерации  экспоненты по такому основанию можно строить также на основе тетарции, описанной в этой главе,
Similar iterates can be constructed also with tetration, described in this chapter,
\be
\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ ~ n}(z)= \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\left( n+ \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z)\right)
\eL{sqrt2exptet}
%где символы ``,d'' в индексе указывают, что для построения суперэкспоненты (тетрации) использована меньшая из вещественных стационарных точек экспоненты. Такие итерации экспоненты представлены на рисунке \ref{sqrt2eitet}.
Here, symbol ``,d'' in the subscript indicates, that the lower, ``down'' fixed point of the transfer function is used for the asymptotic of the superfunction. 
%These iterates are shown in figure \ref{sqrt2eitet}.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.16}{ \begin{picture}(1446,1446) 
\sx{.29}{ \begin{picture}(1446,1446) 
%\put(10,10){\ing{IterPowPlot}} 
\put(40,40){\ing{Itereq2tlo}} 
\put(4,1420){\sx{4.4}{$y$}} 
\put(04,1333){\sx{4}{$6$}} 
\put(04,1233){\sx{4}{$5$}} 
\put(04,1133){\sx{4}{$4$}} 
\put(04,1033){\sx{4}{$3$}} 
\put(04, 933){\sx{4}{$2$}} 
\put(04, 833){\sx{4}{$1$}} 
\put(04, 733){\sx{4}{$0$}} 
\put(-24, 632){\sx{4}{$-1$}} 
\put(-24, 532){\sx{4}{$-2$}} 
\put(-24, 432){\sx{4}{$-3$}} 
\put(-24, 332){\sx{4}{$-4$}} 
\put(-24, 232){\sx{4}{$-5$}} 
\put(-24, 132){\sx{4}{$-6$}} 
\put(100,0){\sx{4}{$-6$}} 
\put(200,0){\sx{4}{$-5$}} 
\put(300,0){\sx{4}{$-4$}} 
\put(400,0){\sx{4}{$-3$}} 
\put(500,0){\sx{4}{$-2$}} 
\put(600,0){\sx{4}{$-1$}} 
\put(730,0){\sx{4}{$0$}} 
\put(830,0){\sx{4}{$1$}} 
\put(930,0){\sx{4}{$2$}} 
\put(1030,0){\sx{4}{$3$}} 
\put(1130,0){\sx{4}{$4$}} 
\put(1230,0){\sx{4}{$5$}} 
\put(1330,0){\sx{4}{$6$}} 
\put(1422,0){\sx{4}{$x$}} 
\put( 66,930){\sx{5.5}{\rot{0}$n\!\rightarrow + \infty$\ero}}
\put( 66,830){\sx{5.5}{\rot{1}$n\!=\!2$\ero}}
\put( 66,736){\sx{5.5}{\rot{3}$n\!=\!1$\ero}}
\put( 78,618){\sx{5.5}{\rot{5}$n\!=\!0.5$\ero}}
\put( 96,522){\sx{5.5}{\rot{11}$n\!=\!0.3$\ero}}
\put(116,448){\sx{5.5}{\rot{16}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(142,344){\sx{5.5}{\rot{25}$n\!=\!0.1$\ero}}
\put(212,190){\sx{5.8}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}}
\put(362,100){\sx{5.5}{\rot{64}$n\!=\!-0.1$\ero}}
\put(470, 60){\sx{5.5}{\rot{73}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(606, 50){\sx{5.5}{\rot{82}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(770, 50){\sx{5.5}{\rot{86}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(866, 50){\sx{5.5}{\rot{88}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(964, 50){\sx{5.5}{\rot{90}$n\!\rightarrow -\infty$\ero}}
\put(1222,1298){\sx{5.5}{\rot{74}$n\!=\!2$\ero}}
\put(1255,1288){\sx{5.5}{\rot{64}$n\!=\!1$\ero}}
\put(1302,1282){\sx{5.5}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}}
\put(1272,1208){\sx{5.5}{\rot{24}$n\!=\!-1$\ero}}
\end{picture} }
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2eitet.jpg}
\vskip -2pt
\caption{ $y\!=\! \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ n}(x)$ 
for various
%для различных 
$n$
%справа: $u\!+\!\mathrm i v\!=\! \exp_{\sqrt{2},2}^{~ 1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
\iL{sqrt2eitet}}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
%\raisebox{-4pt}{ 
%\sx{1.11}{\begin{picture}(280,205)
\sx{1.82}{\begin{picture}(280,205)
\put(0,0){\ing{sqrt26cuts}}
\put(0,0){\ing{sqrt26a}}
\put(6,207.7){\sx{.7}{$y$}}
\put(6,187.8){\sx{.7}{$8$}}
\put(6,167.8){\sx{.7}{$6$}}
\put(6,147.7){\sx{.7}{$4$}}
\put(6,127.7){\sx{.7}{$2$}}
\put(6,107.7){\sx{.7}{$0$}}
\put(0, 87.7){\sx{.7}{$-2$}}
\put(0, 67.6){\sx{.7}{$-4$}}
\put(0, 47.6){\sx{.7}{$-6$}}
\put(0, 27.5){\sx{.7}{$-8$}}
\put(3, 2){\sx{.7}{$-10$}}
\put( 27,2){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 47,2){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 67,2){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 87,2){\sx{.7}{$-2$}}
\put(111,2){\sx{.7}{$0$}}
\put(131,2){\sx{.7}{$2$}}
\put(151,2){\sx{.7}{$4$}}
\put(171,2){\sx{.7}{$6$}}
\put(191,2){\sx{.7}{$8$}}
\put(211,2){\sx{.7}{$x$}}
%\put( 27,127){\sx{3}{$\exp_{b,2}^{[1/2]}$}}
\put(23,198.6){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\put(33.7,92){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!-1.2$}\ero}
\put(59.6,96){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!-1$}\ero}
\put(102,98){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(122,99){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(136,99){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(215,207){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,199){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,192){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,184){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,175){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,108){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(87,145){\rot{-44}\sx{.9}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(61,122){\rot{-15}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
\put(63,108){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\put(62, 94){\rot{13}\sx{.8}{$v\!=\!-0.2$}\ero}
\put(215, 42){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215, 33){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215, 25){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215, 17){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(-23, 17){\sx{1.001}{$q\!=0$}}
\put(215, 10){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(23,17){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\end{picture}}
%}
\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2q2map600.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ %Слева: $y\!=\! \exp_{\sqrt{2},2}^{~ n}(x)$ для различных $n$; 
%справа: 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\! \exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{sqrt2q2map}}
\end{figure}

%На рисунке \ref{sqrt2eitet} показаны итерации $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{ ~ n}$ 
For real values of argument, iterates $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{ ~ n}$  by 
%по формуле 
\rf{sqrt2exptet} 
are shown in figure \ref{sqrt2eitet} for various real values of $n$.
%как функции вещественного аргумента для различных значений номера итерации $n$. Эти графики 
%вполне 
%аналогичны графикам рисунка \ref{iterEq2plot}, где показаны итерации, построенные на стационарной точке 4. По крайней мере толстые кривые, соответствующие целым значениям $n$, на этих картинках одни и те же (и они действительно строятся по тем же формулам). 
This figure is analogy of figure  \ref{iterEq2plot}, that represents the similar iterates built up with the 
infinitely growing superexponent $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ and corresponding abelexponent
 $\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$.
\vskip 3mm

%Графики на рисунках  \ref{sqrt2eitet} и \ref{iterEq2plot} похожи, и даже
Graphics in figures \ref{sqrt2eitet} and \ref{iterEq2plot} look similar.
The thick curves, for the integer iterates are, indeed, the same.
%для нецелых итераций, линии, построенные на стационарной точке 4, кажутся продолжениями линий для итераций, построенных на стационарной точке 2, то есть на основе тетрации и арктетрации по основанию $\sqrt{2}$. В области $2\!<\!x\!<\!4$, где оба представления имеют смысл, кривые для обоих таких представлений кажутся совпадающими. Я строил эти кривые на одном и том же графике, и зуммировал как только мог, но мне не удалось увидеть отличие. 
%Для половинной итерации ($n\!=\!1/2$) сравнение показано на рисунке \ref{sqrt2srav}. 
However, for the non-integer $n$, the iterates also look similar, the curves in figure \ref{sqrt2eitet} seem to be just extension, continuation of those in figure  \ref{iterEq2plot}. In the intermediate range, $2\!<\!x\!<\!4$, visually, the iterates 
$\exp_{\sqrt{2},\mathrm{d}}(x)$, 
evaluated through the tetration 
$\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$ and arctetration
$\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$, seems to be the same, as iterates
$\exp_{\sqrt{2},\mathrm{u}}(x)$, 
evaluated through the superexponent
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2}}$ and abelexponent
$\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2}}$.
Then I saw this coincidence first time, it looked strange, counter-intuitive and therefore interesting.
%Такое совпадение казалось странными, контр-интуитивным и интересным. Две различные голоморфные функции не могут тождественно совпадать на отрезке конечной длинны. Если они совпали на отрезке, то они должны совпадать и во всей связной области голоморфизма. 
The matter is, that two different holomorphic functions cannot coincide at the interval of finite length.
If they are identical at the part of the real axis from 2 to 4, then they must coincide in the whole connected range of holomorphism.
\vskip 2mm

%В качестве примера я рассмотрел половинную итерацию. Для верхней стационарной точки, карта половинной итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ показана на рисунке \ref{iterEq2map}. Для нижней стационарной точки, такая карта показана на рисунке 
As an example, I consider the case $n\!=\!1/2$; id est, the iterates of exponent number half.
The iterate constructed with growing exponent, id est, $\exp_{\sqrt{2},\mathrm{u}}^{~1/2}$
had been shown earlier in figure \ref{iterEq2map}.
The iterate $\exp_{\sqrt{2},\mathrm{d}}^{~1/2}$, constructed with tetration and arctetration, 
is shown in figure 
\ref{sqrt2q2map}.
These two maps are not the same.
% Эти карты далеко не тождественны. В частности,
The second of them is periodic (with period $4 \pi \mathrm i /\ln(2)\!\approx\! 18.12944 \, \mathrm i$), 
while the first one is not.
These two maps look similar only in vicinity of the interval (2,4) at the real axis.
%лишь вторая из этих функций периодична (с периодом $4 \pi \mathrm i /\ln(2)\!\approx\! 18.12944 \, \mathrm i$).
%При этом, в окрестности отрезка (2,4) на вещественной оси, эти карты похожи. Настолько же похожи графики этих половинных итераций для вещественного аргумента; эти графики сравниваются на рисунке \ref{sqrt2srav}.
\vskip 2mm

%Чтобы увидеть это, на правых картинках рисунков построены комплексные карты обоих половинных итераций экспоненты, для стационарной точки 4 на рисунке  \ref{iterEq2plot}  и для стационарной точки 2 на рисунке  \ref{sqrt2eitet}. Эти функции явно различны; и лишь вторая из них периодична (с периодом $P=4 \pi/\ln(2)\approx 18.12944 \, \mathrm i$). 

\begin{figure}[t]
%\sx{4}{\begin{picture}(146,74) 
\sx{3.4}{\begin{picture}(146,78) 
\put(0,0){\ing{sqrt26plo}} 
\put(61,76.7){\sx{.4}{$y$}}
\put(61,70.7){\sx{.4}{$6$}}
\put(61,60.7){\sx{.4}{$5$}}
\put(61,50.7){\sx{.4}{$4$}}
\put(61,40.6){\sx{.4}{$3$}}
\put(61,30.6){\sx{.4}{$2$}}
\put(61,20.6){\sx{.4}{$1$}}
\put(61,10.6){\sx{.4}{$0$}}
\put(10,6){\sx{.4}{$-5$}}
\put(20,6){\sx{.4}{$-4$}}
\put(30,6){\sx{.4}{$-3$}}
\put(40,6){\sx{.4}{$-2$}}
\put(50,6){\sx{.4}{$-1$}}
\put(63,6){\sx{.4}{$0$}}
\put(73,6){\sx{.4}{$1$}}
\put(83,6){\sx{.4}{$2$}}
\put(93,6){\sx{.4}{$3$}}
\put(103.1,6){\sx{.4}{$4$}}
\put(113.1,6){\sx{.4}{$5$}}
\put(121.6,6){\sx{.4}{$x$}}
\put(80.6,66){\sx{.5}{$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x)$}}
\put(24,16){\sx{.5}{$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x)$}}
\put(90,15.6){\sx{.5}{$y\!=\!10^{24}D(x)$}}
\end{picture}}
\vskip -6pt
\hskip 40pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2srav.png}
\vskip -4pt
\caption{
Comparison of the half iterates to base 
%Сравнение половинных итераций экспоненты по 
%основнанию
%основанию
$\sqrt{2}$, 
constructed at fixed point 2 (dashed) and at fixed point 2 (solid curve).
%построенных на стационарной точке 2 (пунктир) и на стационарной точке 4 (солидная курва). 
%В интервале от двух до четырех показана разница между этими двумя функциями по формуле 
%\rf{sqrt2F}, 
In the interval between these two points, the difference
\rf{sqrt2D}
is shown, scaled with factor
%умноженная на фактор 
$10^{24}$. \iL{sqrt2srav}}
\vskip 4pt
\end{figure}
\vskip 2mm

I felt myself confused about the identical behaviours of the half iterates along the interval $(2,4)$
of functions, that have different behaviour in the complex plane.
I thought, that I made an error implementing these functions. 
I even considered the absolutely fantastic hypothesis that I see the traces of the
{\em Mizugadro number}
\footnote{ \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Mizugadro_number} \\  
\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/mizugade.shtml} Mizugadro's number (2010-2011)}, that reveals the internal contraction in the system of postulates of arithmetics
(that is used in mathematical analysis and, in particular, in the theory of holomorphic functions).
%Я был в недоумении по поводу одинакового поведения половинных итераций вдоль отрезка $(2,4)$ и различного поведения этих функций в комплексной плоскости. Я склонялся к мысли о том, что я допустил ошибку, поскольку я верю в результаты 
%Теории Голоморфных Функций (или 
%ТФКП (Теория Функций Комплексного Переменного), а ещё больше - в аксиомы арифметики, на которых строится матан и, в частности, ТФКП. 
%Мне было трудно себе представить, что я нащупал след некого гипотетического {\em Числа Мизугадро}
%\footnote{\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml} Число Мизугадро}, для которого проявляется внутренняя противоречивость аксиом арифметики.
I had prepared the explicit plot the half iterates of the exponent to base $\sqrt{2}$, evaluated through the 
tetration and that evaluated through the super exponential $\mathrm{SuEx}_{\sqrt{2}}$; this plot is shown in figure
\ref{sqrt2srav}, and looked at the zoom-in of the central part; then at the zoom-in of that zoom-in, and so on, but I could not see
deviation of curve 
$y=\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x)$ from curve
$y=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x)$ .
\vskip 2mm

Searching for the error, as a working hypothesis, I assumed, that the precision of variables 
complex double (which is of order of 15 decimal digits) is not sufficient to see the difference
%В качестве рабочей гипотезы я предположил, что точности рассчетов с переменными 
%complex double недостаточно, чтобы увидеть различие между функциями 
between
$\exp_{\sqrt{2},d}^{~ 1/2}$ by formula \rf{sqrt2exptet} and 
$\exp_{\sqrt{2},u}^{~ 1/2}$ by formula \rf{Eq2T12}. 
%$\exp_{\sqrt{2},d}^{~ 1/2}$ по формуле \rf{sqrt2exptet} и 
%$\exp_{\sqrt{2},u}^{~ 1/2}$ по формуле \rf{Eq2T12}. 
I begun to compute the iterate with a hundred decimal digits;
the exact formulas and abilities of Maple and Mathematica allow this.
The deviation happened to be in 25th digit. This deviation can be characterised with difference
%\vskip 2mm
%Я начал считать итерации с сотней значащих цифр, точные формулы такое позволяют. 
%Выяснилось, что достаточно увеличить точность вдвое, то есть считать функции примерно с 30 значащими цифрами (вместо обычных 15 знаков), чтобы увидеть отличие. 
%Отличие оказалось в 25м знаке. Это отличие можно выразить функцией 
\be
%D(x)=10^{24} \Big( \exp_{\sqrt{2},4}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},2}^{~ 1/2}(x) \Big)$
D(x)= \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x) 
\eL{sqrt2D}
%Это отличие показано в нижней части рисунка 
This difference is shown at the bottom of figure \ref{sqrt2srav}. 
In order to see it, I had to scale it with factor $10^{24}$, as it is marked in the figure.
%Чтобы график функции $D$ не сливался с осью абсцисс, 
%значения этой функции пришлось масштабировать на 24 порядка величины.
%\vskip 2mm
%Для построения рисунка \ref{sqrt2srav}  использовался совтвер ``Мапле'' (xотя мог бы и Математика). Графические возможности в маплях паршивые (этому посвящена поэма ``Maple and tea''), но я импортировал таблицу, посчитанную в маплях, в C++, для которого у меня есть красивые графические процедуры. На рисунке \ref{sqrt2srav} показан случай половинной итерации функции $\exp_{\sqrt{2}}$. Половинная итерация, построенная на стационарной точке 2, проведена пунктиром, $y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x)$. Эта итерация, $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(z)$, регулярна по крайней мере в некоторой окрестности полупрямой $z\!<\!4$.  Половинная итерация, построенная на стационарной точке 4, проведена чуть более тонкой прямой,  $y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x)$. Эта итерация, то есть $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(z)$, регулярна по крайней мере в некоторой окрестности полупрямой $z\!<\!4$. Как уже отмечено выше, на отрезке $2\!<\!x\!<\!4$, обе итерации регулярны и весьма близки. Чтобы увидеть, насколько они близки, тонкой курвой показана разница
%\be
%D(x)=10^{24} \Big( \exp_{\sqrt{2},4}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},2}^{~ 1/2}(x) \Big)$
%D(x)= \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x) 
%\eL{sqrt2D}
%Для значений 
For
$|z\!-\!3|\!<\!2$, 
%функцию 
function
$D(z)$ 
can be approximated with the 7 parameter fit
%можно аппроксимировать семипараметрическим фитом
\be\!\!
\tilde D(z) \!=\!
2.48\!\cdot\!10^{-25}(z\!-\!2)(4\!-\!z)\Big(
1+0.120(z\!-\!3)+0.006(z\!-\!3)^2\Big) \!\times  \! \nonumber
%\pS
\\ %\pS 
\!\!\!\!
\sin\!\!\Big(.747\!-\!.068(z\!-\!3)\!+\!0.007(z\!-\!3)^2\!+\! p_{4}\ln(4\!-\!z) \!+\! p_{2}\ln(z\!-\!2) 
\Big) ~ ~ ~ ~\,
% \end{array}
\label{cDa}
\label{sqrt2Dfit}
\ee
%где 
where
$p_4= 2 \pi / {\ln(2 \ln(2))} \!\approx\! 19.23614904204285$\\% 4712$ \\
%и 
and
~ $p_2=\!-2 \pi /\ln^2(2) ~\approx ~ 17.14314817935485$ \\
%соответствуют периодам суперфункций от 
correspond to periods of the two superfunctions of
$\exp_{\sqrt{2}}$, 
%построенныем 
%построенным 
%на стационарных точках 4 и 2, см. формулы 
built up on the fixed points 4 and 3, see equations
\rf{q2k4}, \rf{q2P4} 
%и 
\rf{sqrt2tetP}. 
%Такой фит неплох: по крайней мере, на рисунке \ref{sqrt2srav}, даже при зумине на 24 порядка величины,
Тhis fit provides of order of two significant figures; at figure \ref{sqrt2srav}, the curves for
%кривые для 
$D$ and for $\tilde D$ 
almost coincide.
%почти сливаются. 
%Вероятно, фит 
%можно ещё улучшить; читателям предлагается сделать это в качестве самостоятельного упражнения.
%Потом я изготовил аппрохкимацию, фит, который по крайней мере с двумя значащими цифрами оценивает это отклонение
\vskip 2mm

%После построения графиков на рисунке \rf{sqrt2srav}, я осознал, что это первый случай в моей практике, когда точности ``double'' оказалось недостаточно для того, чтобы %нарисовать красивые (``camera-ready'') рисунки для научной статьи. Случай
%%, в общем-то, 
%поучительный: никакая точность численных 
%рассчетов
%не может считаться основанием для математических конжекций; уповать приходится на доказательства, здравый смысл и, конечно, аксиомы ТОРИ.
After to plot the bottom curve in figure  \rf{sqrt2srav}, I realised, that it is first case in my life, when the double precision, id est, 15 significant digits, 
happened to be not sufficient to see the difference between two functions, which have no small parameters.
This example gives a good lesson: the numeral calculus with high precision may provide serious evidence to refute, reject (or to verify) a conjecture. 
Whenever the rigorous proof is available of not, the numerical testing should be applied. The TORI axioms provide a good hint for the revision.
%: the revision should be performed, attempting to verify (or to negate) the conjecture.
\vskip 2mm

It should be noted, that my attempts to use the Maple-10 software for visualisation of difference $D$ by \rf{sqrt2D} failed.
%В защиту графических процедур, использующих переменные ``double'' и ``complex double'' 
%(работающих с точностью порядка 15и значащих цифр), упомяну софтвер ``Maple-10''. 
%Среди графических опций этого софта, мне не удалось найти графики с точностью лучше, чем ``float'', то есть примерно с семью десятичными значащими цифрами. Использование этого софтвера для серьезного асимптотического анализа и численной проверки получающихся разложений может приводить к конфузиям. Примеры того, какая ерунда при этом может получаться вместо графиков даже сравнительно простых функций, предложены в поэме ``Maple and tea''
I could not find way to plot graphics with precision better than just ``float'' 
\footnote{The poor precision of the graphic procedures in Maple-10 is described in the poem
\url{http://en.wikisource.org/wiki/Maple_and_Tea}  Maple and tea.
This is one few my texts, that are not yet removed from wikisource with pretext of protection of my author rights.
This is common practice at wikisource and other sites of Wikimedia projects: the Soviet veterans promote sovetism and remove 
texts of anti-Soviet authors with any absurd pretext; often, the claim for the violation of the author rights is used, 
even in cases, when the author gave permission to publish the files providing the free ("copyleft") licence.
The permission to use the author's file is usually removed together the file.
While the soviet veterans act as trolls and vandals in wiki-projects, I loaded the copy also to \url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/maple.shtml}
}. 

In order to plot the beautiful figure \rf{sqrt2D}, I had to save values of function
$D$ as a table, and then export this table to the C++ program. I hope, now there exist more straightforward ways to do the same; in particular, use of the fit
\label{sqrt2Dfit} provides the ``quick and dirty'' realisation. I expect, using the precise numerical solution, fit
\ref{sqrt2Dfit} can be significantly improved;
%, say, for the values of the argument $|z|<1.9$
the readers are invited to do this as an exercise.
%К сожалению, мне пока не удалось перевести эту поэму на русский язык. Если Россия не прекратит свое существование в течение ближайших лет (многие авторы, уже который год, предсказывают распад РФ ``в следующем году'' с завидным постоянством), а Мапле не исправится в последующих версиях, перевод этой поэмы на русский язык может представлять интерес и составить предмет для будущего исследования.
\vskip 2mm

%В этой секции показано, что и
%Итерация функции, регулярная в какой-либо её стационарной точке, может быть 
%очень даже 
%сингулярной в другой стационарной точке. При этом, для вещественных значений аргумента, такие различные итерации могут быть весьма похожи. На начало 21 века, даже самые прецизионные измерения не дают точности в 24 значащих цифры. В этом смысле, для многих физических приложений суперфункций и нецелых итераций, может быть не очень существенным, на какой из стационарных точек построена итерация. Разумеется, в каждом случае практического использования нецелых итераций голоморфной функции, желательно проверить, что используется именно та итерация, которая соответствует физически-осмысленному решению, или что разница между итерациями, построенными на разных стационарных точках, не превышает погрешности измерений. (Тогда можно ожидать, что паромы не будут тонуть, наскочив на рифы, реакторы не будут взрываться, а премьер-министрам не прийдется публично каяться и уходить в отставку перед лицом 
%многотысячной 
%толпы разгневанных сограждан.) 
Iterate of a function, regular at some of fixed points, often is singular in another fixed point.
Some exceptions, when the superfunction is expressed with elementary function, are mentioned in Chapter 4.
\vskip 2mm

%Таким образом, для каждой передаточной функции, может существовать несколько осмысленных суперфункций. Выбор наиболее подходящей из них должен осуществляться на основе дополнительных соображений, специфичных для каждого приложения. Для случая экспоненциальной передаточой функции $\exp_{\sqrt{2}}$, четыре наиболее физичных суперфункции представлены на рисунке  \ref{sqrt2sufuplot} и рассмотрены в следующей секции.
In such a way, for a given transfer function, there may exist many superfunctions, and some of them may be arguably declared as a ``true'' or ``principal'' superfunction.
For the case of transfer function $T=\exp_{\sqrt{2}}$, the four real-holomorphic superfunctions with various exponential asymptotics are considered in the next section.

~

\begin{figure}[t]
%\sx{2.46}{\begin{picture}(146,142) 
\sx{2.1}{\begin{picture}(146,142) 
%\put(10,10){\ing{IterPowPlot}} 
%\put(40,40){\ing{Itereq2tlo}} 
\put(0,0){\ing{sqrt23}} 
\put(95,139){\sx{.7}{$y$}}
\put(95,119){\sx{.6}{$8$}}
\put(95, 99){\sx{.6}{$6$}}
\put(95, 79){\sx{.6}{$4$}}
\put(95, 59){\sx{.6}{$2$}}
\put(91, 19){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 17,35){\sx{.6}{$-\!8$}}
\put( 37,35){\sx{.6}{$-\!6$}}
\put( 57,35){\sx{.6}{$-\!4$}}
\put( 77,35){\sx{.6}{$-\!2$}}
\put(120,35){\sx{.6}{$2$}}
\put(140,35){\sx{.6}{$4$}}
\put(160,35){\sx{.6}{$6$}}
\put(180,35){\sx{.6}{$8$}}
\put(198,35){\sx{.7}{$x$}}
%
\put(110,93){\sx{.6}{$y\!=\!F_{4,5}(x)\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$}}
%\put(116, 88){\sx{.7}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
\put(126, 69){\sx{.6}{$y\!=\!F_{2,3}(x)$,  $y\!=\!F_{4,3}(x)$}}
\put(126, 54){\sx{.6}{$y\!=\!F_{2,1}(x)\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$}}
%\put(108, 44){\sx{.7}{$y\!=\!10^{24}w(x)$}}
%\enp}
\put(126,44){\sx{.6}{$y\!=\!10^{24} d_{42}(x)$}}
\end{picture}}
\vskip -6pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2sufuplot.png}
\vskip -4pt
\caption{\large 
%Четыре суперэкспоненты по основнанию
Four superexponents to base $\sqrt{2}$ \iL{sqrt2sufuplot}}
\vskip 8pt
\end{figure}

%\section{Четыре суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$}
\section{Four superexponents to base $\sqrt{2}$}

%На основе предыдущего рассмотрения, можно выделить четыре ве\-щест\-венно-голоморфные суперфункции от функции $\exp_{\sqrt{2}}$.
%Эти суперфункции показаны на рисунке \ref{sqrt2sufuplot} и обсуждаются ниже.
On the base of consideration of previous chapters, one can built-up the four different real-holomorphic superfunctions for the transfer function $T=\exp_{\sqrt{2}}$.
These superexponentials are shown in figure 
\ref{sqrt2sufuplot} and discussed below. 
\vskip 2mm

Here I compare four functions; in publication \cite{sqrt2}, they are are called $F_{2,1}$, $F_{2,3}$, $F_{4,3}$ and $F_{4,2}$. 
Each of them is real-holomrphic solution of the transfer equation 
\be
F(z\!+\!1)=\Big(\sqrt{2}\Big)^{F(z)}
\ee
The first number in the superscript indicates the limiting value, that the function approaches exponentially; it is any of the two fixed points of the $\exp_{\sqrt{2}}$, id est, either 2 or 4.
The second number in the superscript indicates value of this function at zero.
\vskip 2mm
 
%Функция $F_{2,1}\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$ есть тетрация по основанию $\sqrt{2}$, та же, что и на рисунке \ref{sqrt27a}. Её свойства рассмотрены в этой главе в предыдущих параграфах.
%Это суперфункция экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, построенная на стационарной точке 2. В нуле эта функция принимает значение единица.
Function $F_{2,1}\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$ is tetration to base $\sqrt{2}$; the curve for $F_{2,1}$ is borrowed from the figure \ref{sqrt27a}.
Properties of this function are considered above in this chanter.
% Её свойства рассмотрены в этой главе в предыдущих параграфах.
It is superfunction of exponent to base $\sqrt{2}$, built up with the regular iteration at fixed point 2. 
As tetration to any other base, it takes value unity at zero.
\vskip 2mm

%Функция $F_{4,5}\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ относится к формуле \rf{Ff45}, с помощью этой функции и соответствующей абельэкспоненты $F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ 
%строятся итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, неограниченно растущие вдоль вещественной оси. Стационарная точка 4 использована в качестве асимптотического значения на минус бесконечности.  С помощью трансляции вдоль вещественной оси, обеспечено условие 
%$F_{4,5}(0)=5$.
Function $F_{4,5}\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ refers to formula \rf{Ff45}.
This function, together with its inverse function
 $F_{4,5}^{-1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$
 is used to built-up iterates of exponent to base $\sqrt{2}$;
 and these iterates grow up infinitely along the real axis.
 Fixed point 4 is used as the asymptotic value at minus infinity.
 With the appropriate translation along the real axis, the condition  $F_{4,5}(0)=5$ is achieved. 
\vskip 2mm

%Функция $F_{2,3}$ есть тетрация со сдвинутым аргументом, 
Function $F_{2.3}$ is tetration with displaced argument,
\be
F_{2,3}(z)=\tet_{\sqrt{2}}(z\!+\!z_{2,3})
\ee
\be
z_{2,3}=\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(3\!+\!\mathrm i o)\approx -3.3834692659172254+8.5715740896774228\,\mathrm i
\nonumber
\ee
However, $F_{2,3}$ has the same periodicity, as tetration $F_{2,1}$.
\vskip 2mm

%Функция $F_{4,3}$ есть растущая суперэкспонента со сдвинутым аргументом, 
Function $F_{2,3}$ is growing superexponent with displaced argument
\be
F_{4,3}(z)=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z\!+\!z_{4,3})
\ee
\be
z_{4,3}=\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(3\!+\!\mathrm i o)\approx 
3.015784890490347\!+\!9.618074521021425 \,\mathrm i
\nonumber
\ee

%Вдоль вещественной оси, функции $F_{2,3}$ и $F_{4,3}$ убывают от четырех на минус бесконечности до двух на плюс бесконечности.
Along the real axis, functions $F_{2,3}$ and $F_{4,3}$ decrease from 4 at minus infinity to 2 at plus infinity.
In figure \ref{sqrt2sufuplot}, curve $y\!=\!F_{2,3}$ overlaps well with curve $y\!=\!F_{4,3}$. 
The deviation is smaller, than the thickness of lines, and it is small compared to size of atoms, of which this book
(or the screen where it is watched) is built.
%На рисунке \ref{sqrt2sufuplot}, график функции  $F_{2,3}$,  сливается с графиком функции $F_{4,3}$. Отклонение не только меньше толщины линий, но и существенно меньше размеров молекул и атомов, из которых сделана эта Книга (или экран монитора, если вы читаете эту Книгу на компьютере). Чтобы все-таки показать отклонение
In otter to show the deviation, denote it with
\be
d_{42}(z)=F_{4,3}(z)-F_{2,3}(z)
\eL{d42}
%на рисунке \ref{sqrt2sufuplot} тонкой кривой построен график  $y\!=\! 10^{24} d_{42}(x)$ ; значения функции пришлось 
Tn figure \ref{sqrt2sufuplot}, the thin line shows  $y\!=\! 10^{24} d_{42}(x)$ ; 
I scale values of this difference for 24 orders of magnitude, to make it visible.
%масштабировать на 24 порядка величины.
%Такая схожесть имеется только в окрестности вещественной оси. Эти функции имеют различные периоды, одна из них имеет сингулярности, и поэтому они при всём желании не могут совпадать тождественно даже для вещественных значений аргумента.
This similarity takes place only in vicinity of the real axis. The functions have different periods, and one of them has singularities; so, they must be pretty different somewhere.
\vskip 2mm

%Сходство функций $F_{4,3}$ и $F_{2,3}$ обуславливает сходство итераций экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, показанных на рисунках 
Similarity of functions $F_{4,3}$ and $F_{2,3}$ determines the similarities of corresponding iterates of exponential to base $\sqrt{2}$.
These iterates are 
shown in figures
%показанных на рисунках 
%
%\ref{Esqrt2ite12Map} 
\ref{iterEq2plot},
\ref{iterEq2map},
\ref{sqrt2eitet} 
%и
and
\ref{sqrt2q2map}. 
%половинные итерации сравниваются также на рисунке 
For real values of the argument, the half iterates are compared also in figure
\ref{sqrt2srav}.
%The similarity indicates, that 
I expect, for application in physics (where the precision usually does not exceed 20 decimal digits),
%it may be not so important, which of the 
any of the two iterates is declared as the ``true iterate''. 
However, for some applications (for example, if the model refers to the complex numbers),
%any of the fixed points can be used for the applications; although in some cases, 
the difference may be important, and the fixed point should be specified.
%Можно ожидать, что в течение 21 века, точность измерений физических величин возрастет до 24 и более значащих цифр. Тогда разница между суперфункциями (или соответствующими нецелыми итерациями) наблюдаемых передаточных функций будет иметь прямое применение в измерительной технике. 
%Пока, то есть в начале 21 века, 
%можно ожидать, что для некоторых (или даже многих) измеренных передаточных функций с парой вещественных стационарных точек, любую из этих точек можно использовать для построения физически-осмысленных итераций, и погрешность измерений не позволит увидеть, что лишь одна из таких итераций является ``настоящей''.
\vskip 2mm

%\section{Комплексные итерации %экспоненты по основанию $\sqrt{2}$
\section{Complex iterates %экспоненты по основанию $\sqrt{2}$
}
%Когда 
%первый полный 
%черновик этой Книги был написан (и одобрен Редактором), 
%и я стал его читать, 
When the draft of the Russian version of this Book had been completed,
% and I began to read it, 
I found,
that the book had no maps of the complex iterates. I had declared that I can calculate any real or even complex iterate,
but all the examples refer to real iterate. 
I fill this gap in this section.
Here I describe two iterates number i. As this i appear with Roman font; one may guess, that it is not variable, but a constant, square root of $-1$.
%я обнаружил, что в Книге нет ни одной карты комплексной итерции.
%Я восполняю такой пробел в этой секции. Здесь я рассказываю про iтые итерации. Поскольку буква i набрана прямым шрифтом, Читатель может догадаться, что имеется в ввиду не переменная, а известная константа, корень из минус единицы.
\begin{figure}[t]
%\sx{1.16}{\begin{picture}(206,206)
\sx{2.04}{\begin{picture}(206,206)
%\put(6,5){\ing{Esqrt2ite13Map}}
%\put(6,5){\ing{04}}
\put(6,5){\ing{sqrt2diima}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,-1){\sx{.7}{$-\!10$}}
\put( 22,-1){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 42,-1){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 62,-1){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 82,-1){\sx{.7}{$-2$}}
\put(106,-1){\sx{.7}{$0$}}
\put(126,-1){\sx{.7}{$2$}}
\put(146,-1){\sx{.7}{$4$}}
\put(166,-1){\sx{.7}{$6$}}
\put(186,-1){\sx{.7}{$8$}}
\put(204,-1){\sx{.7}{$x$}}
\put(174,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(118,172.3){\sx{.99}{\rot{-16}$v\!=\!3$\ero}}
%\put(146,135){\sx{.99}{\rot{-29}$v\!=\!2$\ero}}
%\put(148,117){\sx{.99}{\rot{-33}$v\!=\!1$\ero}}
\put(125,139){\sx{.99}{\rot{-11}$v\!=\!2$\ero}}
\put(126,118){\sx{.99}{\rot{-3}$v\!=\!1$\ero}}
\put(121,103){\sx{.99}{\rot{6}$v\!=\!0$\ero}}
\put(119,94){\sx{.99}{\rot{3}$v\!=\!-1$\ero}}
%
\put(27,140){\sx{.99}{\rot{-30}$u\!=\!1$\ero}}
\put(91,91){\sx{.99}{\rot{7}$u\!=\!0$\ero}}
%
\put(117,180){\sx{.99}{\rot{74}$u\!=\!2$\ero}}
\put(155,168){\sx{.99}{\rot{58}$u\!=\!3$\ero}}
\put(155,120){\sx{.99}{\rot{55}$u\!=\!4$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2diimap80.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$
%, слева, и $u\!=\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$, справа, 
%по формуле
%, соответственно, 
by 
\rf{sqrt2dii} %и \rf{sqrt2uii} 
\iL{sqrt2itemap1}}
\vskip 2pt
\end{figure}
\vskip 2mm

%На рисунках \ref{sqrt2itemap1} и \ref{sqrt2itemap2} представлены карты функций
Figures \ref{sqrt2itemap1} and \ref{sqrt2itemap2} 
show the complex maps of iterates
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(z)=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\Big(\mathrm i + \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z)\Big)
\eL{sqrt2dii}
%и
and
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~~\mathrm i}(z)=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\Big(\mathrm i + \mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z)\Big)
\eL{sqrt2uii}

\begin{figure}[t]
%\sx{1.16}{\begin{picture}(206,200)
\sx{2.04}{\begin{picture}(206,200)
%\put(6,5){\ing{Esqrt2ite13Map}}
%\put(6,5){\ing{03}}
\put(6,5){\ing{sqrt2uiima}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
%\put(-2,-1){\sx{.7}{$-\!10$}}
\put( 22,-1){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 42,-1){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 62,-1){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 82,-1){\sx{.7}{$-2$}}
\put(106,-1){\sx{.7}{$0$}}
\put(126,-1){\sx{.7}{$2$}}
\put(146,-1){\sx{.7}{$4$}}
\put(166,-1){\sx{.7}{$6$}}
\put(186,-1){\sx{.7}{$8$}}
\put(204,-1){\sx{.7}{$x$}}
\put(024,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(118,173){\sx{.99}{\rot{-16}$v\!=\!3$\ero}}
\put(146,135){\sx{.99}{\rot{-29}$v\!=\!2$\ero}}
\put(148,117){\sx{.99}{\rot{-33}$v\!=\!1$\ero}}
\put(149,105){\sx{.99}{\rot{-40}$v\!=\!0$\ero}}
\put(149,096){\sx{.99}{\rot{-56}$v\!=\!-1$\ero}}
%
\put(57,140){\sx{.99}{\rot{-47}$u\!=\!1$\ero}}
%
\put(26,30){\sx{.99}{\rot{84}$v\!=\!100$\ero}}
\put(37,57){\sx{.99}{\rot{-74}$v\!=\!0$\ero}}
\put(39,83){\sx{.99}{\rot{-66}$v\!=\!-100$\ero}}
%
\put(51,99){\sx{.99}{\rot{-49}$u\!=\!-100$\ero}}
\put(53,87){\sx{.99}{\rot{-64}$u\!=\!100$\ero}}
%
\put(115.6,180){\sx{.99}{\rot{74}$u\!=\!2$\ero}}
\put(155,170){\sx{.99}{\rot{47}$u\!=\!3$\ero}}
\put(174.4,147.6){\sx{.99}{\rot{36}$u\!=\!4$\ero}}
\put(176,122){\sx{.99}{\rot{31}$u\!=\!5$\ero}}
\put(176,104){\sx{.99}{\rot{26}$u\!=\!6$\ero}}
\put(176,092){\sx{.99}{\rot{17}$u\!=\!7$\ero}}
\put(176,082){\sx{.99}{\rot{12}$u\!=\!8$\ero}}
\put(176,074){\sx{.99}{\rot{4}$u\!=\!9$\ero}}
\put(176,067){\sx{.99}{\rot{-2}$u\!=\!10$\ero}}
\put(176,055){\sx{.99}{\rot{-16}$u\!=\!12$\ero}}
\put(176,044){\sx{.99}{\rot{-28}$u\!=\!14$\ero}}
\put(176,033){\sx{.99}{\rot{-40}$u\!=\!16$\ero}}
\put(169,027){\sx{.99}{\rot{-48}$u\!=\!18$\ero}}
\put(159,025){\sx{.96}{\rot{-50}$u\!=\!20$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2uiimap80.jpg}
\vskip -6pt
\caption{
%$u\!=\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$, слева, и 
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле
%, соответственно, 
%\rf{sqrt2dii} и 
\rf{sqrt2uii} 
\iL{sqrt2itemap2}}
\vskip 2pt
\end{figure}

%Функция $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~\mathrm i}$ по формуле \rf{sqrt2dii} построена из тетрации и арктетрации рассмотренных в этой главе. 
%Функция $\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~\mathrm i}$ по формуле \rf{sqrt2uii} построена из растущей суперэкспоненты и соответствующей абельэкспоненты по такому же основанию, эти функции рассмотрены в главе 9. Эти пары функций близки в окрестности отрезка $(2,4)$, но сильно отличаются вдали от этого отрезка.
%Как и следовало ожидать, $\mathrm i$тые итерации, показанные на рисунках  \ref{sqrt2itemap1} и \ref{sqrt2itemap2}, тоже схожи в окрестности указанного отрезка, и тоже сильно отличаются вдали от начала координат.
Function $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~\mathrm i}$ by  \rf{sqrt2dii} is built up from the tetration and arctetration to base $\sqrt{2}$, considered in this chapter. 
Function $\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~\mathrm i}$ by \rf{sqrt2uii} is built up from the growing super exponent to base  $\sqrt{2}$ and the corresponding abelexponent;
these functions are considered in chapter 9.
These pairs of functions look similar in vicinity of the interval $(2,4)$, but they are pretty different being evaluated far from this interval.
As one could expect, the $\mathrm i$ th iterates, shown in figures   \ref{sqrt2itemap1} and \ref{sqrt2itemap2}, 
are also similar in vicinity of the interval mentioned, but  far from this interval, they deviate strongly.
\vskip 2mm
%\baselineskip 21pt

%Как и в случае вещественных итераций, каждая из предложенных комплексных итераций может быть вполне аргументированно квалифицирована как ``настоящая''. Выбор наиболее настоящей из них аналогичен случаю сказки Джорджа Орвелла (George Orwell) ``Скотский Хутор'' (Animal's farm 
As in the case of real iterates, each of considered here complex iterates can be arguably qualified as ``true''. In this sense, the are ``equal''.
In the similar sense, "all animals are equal" in the novel ``Animal's Farm'' by George Orwell
\footnote{
\url{http://msxnet.org/orwell/print/animal_farm.pdf} George Orwell. Animal Farm. 1945. .. {\em ``All animals are equal, but some of them are more equal than others''}.. }
%герои сказки декларируют, что ``все животные равны'', но скоро обнаруживают, что некоторые из них равнее других.
In the movel, soon it happens that ``All animals are equal, but some of them are more equal than others''.
In the similar sense, one of iterates, either   \ref{sqrt2itemap1} or \ref{sqrt2itemap2}, may be ``more equal'', if any
additional criterion arises from some physical reasons, 
%(that may be not taken into account in the consideration that leaded the iterates), 
specifying, for example, the asymptotic behaviour of the iterate at infinity. If only one of iterates reproduces the required behaviour, this iterate immediately becomes ``more equal'' than another.
%С итерациями имеет место похожий случай. Когда дополнительный критерий для суперфункции, абельфункции или нецелой итерации исходной передаточной функции предложен, и он позволяет выбрать ``правильную'' формулу, то можно декларировать, что одна из итераций \rf{sqrt2dii}, \rf{sqrt2uii} ``более настоящая'', чем другая.
\vskip 2mm

%Выбор ``самой что ни на есть настоящей'' итерации  какой-либо передаточной функции должен производиться на основе физической
%научной 
%интерпретации таких формул, то есть исходя из возможных приложений. В главе 9 рассмотрена неограниченно растущая (при вещественных значениях аргумента) суперэкспонента, а не тетрация. Такой выбор объясняется тем, что такая суперэкспонента дает итерации, более похожие на итерации других функций, представленных в начале книги. А вовсе не тем, что я считаю функцию $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ сколько-нибудь более ``настоящей'' суперэкспонентой, чем тетрацию $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$, рассмотренную в этой главе.
The example of this section once again confirms the general observation about non-integer iterates of a function, that have more than one fixed point:
the regular iterate, holomorphic in vicinity of some fixed point, has no meed to be holomorphic at another fixed point. The choice to the fixed point (and choice of the iterate) should involve the additional requirement, that may arise from the applications.
This general rule hold also for complex values of the number of iterate.
\vskip 2mm

%Пока мне трудно придумать физическую интерпретацию невещественных итераций голоморфных функций.
%Но, как упомянутый в главе 12 Портной (который шьет портки с произвольным количеством штанин), я считаю нужным включить в Книгу хотя бы один пример комплексной итерации. То есть хотя бы одно численное подтверждение моему заявлению, что в формулах номер итерации не имеет надобности быть вещественным.
%\vskip 2mm

%Вещественность номера итерации (а иногда даже и целость этого номера) может быть важна для приложений формулы в физических или иных исследованиях. С другой стороны, желательно, чтобы математический аппарат охватывал область значений несколько шире, чем та, для которых сегодня есть очевидное применение.
%Как только кому-либо 
%для чего-либо 
%потребуется комплексные, или, в частном случае, чисто мнимые итерации - в этой Книге для таких итераций уже есть 
%шикарный 
%формализм.
% Коллегу, которому требуются нецелые итерации, я приглашаю 
%даже не в швейный цех, а сразу 
%в примерочную.
%, и мы посмотрим, не жмет ли, не болтается ли, как смотрится и не надо ли подкоротить или сделать выточку. 
I expect, the integer iterates may appear more often that real; and the real iterate may appear more often than complex.
On the other hand, the mathematical formalism should cover an area, which is wider, than that required for the today's applications.
For this reason I consider the case with complex number of iterate as an important example, that shows the abilities of the formalism of superfunctions.
\vskip 6pt

Following the lessons I remember since the Soviet school, I wanted to say that ``the formalism of superfunctions is omni-potnent, because it is true''
\footnote{\url{http://www.marxists.org/archive/lenin/works/1913/mar/x01.htm} V.I.Lenin. The Three Sources and Three Component Parts of Marxism. Lenins Collected Works, Progress Publishers, 1977, Moscow, Vol.19, p.21-28. {.. \em The Marxist doctrine is omnipotent because it is true. ..}
}. 
On the other hand, the First TORI axiom prohibits consideration of omnipotent and almighty concepts in a scientific analysis; such doctrines and concepts are qualified as religious 
%a part of some religion 
\cite{mesto}. 
\vskip 6pt

Various iterates are available for a transfer function with several fixed points.
As soon, as the non-integer iterate of a holomorphic function with several fixed point is required, the additional conditions should be added to the formalism in order to decide, which of the iterates is ``more equal than others''.

\vskip 2mm
~

%\section{Воспроизводимость}
%\section{Reproducibility}
\section{Not all is done}

In this Book, I describe methods, that can be used to build-up (and evaluate)  superfunctions, and the iterates that can be expressed through the superfunctions and the abelfunctions. The properties of superfunctons and those of the iterates appear as illustrations of the methods. 
%However, 
I expect the Reader to use these methods not only for the transfer functions, considered in this book.
In particular, this chapter indicates the interesting (from my point of view) branch for the future research, namely, comparison of superfunctions and the corresponding iterates, that are regular in various fixed points, and look for some general criteria: in which cases, the iterates, built up at different real fixed points of some real-holomorphic transfer function, behave in the similar way in the interval between these fixed points. They happened to be very similar in the case of exponent to base $\sqrt{2}$. 
How about other growing transfer functions with two real fixed points?
\vskip 2mm

%Читатели приглашаются повторить рассчеты, представленные в этой главе. Это можно сделать и для других передаточных функций; например, для экспоненты по основанию $b$ от единицы до 
%$\exp(1/\mathrm e)$.
%Предлагается найти, построить, идентифицировать такую передаточную функцию функцию, для которой
%регулярные итерации, построенные на различных стационарных точках, существенно отличались бы. 
%\vskip 3mm

The Readers are invited to repeat the calculus, described in this Book (and in this Chapter) for other transfer functions.
As an example, I would suggest to experiment with polynomial transfer function.
\vskip 6pt

One example of the polynomial transfer function is shown in raw 5 of table \ref{TableOfSuperfunctions}, $T(z)\!=\!z^b$.
The readers may confirm, that the primary approximation with the regular iteration at the fixed point $z\!=\!1$
gives the series of expansion of the superfunction, that is just expansion of the ``outer'' exponent in superfunction $\exp(b^z)$.
Up to my knowledge, this is the only case, where the primary series by the regular iteration converges. 
%The reader may also consider the fixed point $z\!=\!0$, and try to build-up the exotic iteration described in Chapter 10.
The appropriate choice of the 0th approximation should cut the series at the first term.
%However, for more complicated polynomial, the some features of exponent to base $\sqrt{2}$, described in this chapter, may take place.
%And the same refers also to more complicated functions. 
I expect, many of transfer functions can be treated in such a way, and the corresponding superfunctions and abelfunctions can be built-up.
The goal of this Book not to describe all the examples, but to teach the Readers to to it by themselves. So, it is rather collection of tools, than collection of specific properties of the specific functions. 
%В качестве примера могу посоветовать поэкспериментировать с полиномиальной передаточной функцией. Я примерно представляю себе, что должно получиться в ответе. Если при этом вдруг возникнут какие-либо сложности, то я готов прийти на помощь.
\vskip 2mm

%For many colleagues, the tetration is of special interest, because it appears as 
%Построение и исследование тетрации, представленные в этой главе, естественным образом обобщаются для других значений основания $b$ натуральной тетрации, по крайней мере для 
Consideration of tetration to base $b\!=\!\sqrt{2}$, presented in this chapter, can be generalised to other values of base; in particular, for real values $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$. 
This generalisation is described in the next chapter.
%Такое обобщение рассмотрено в следующей главе.

%\chapter{~ Тетрация по основанию $b\!>\!1$}
\chapter{~ Tetration to base $b\!>\!1$}
\baselineskip 20.pt

%В предыдущих главах рассмотрены различные методы построения суперфункций от передаточных функций, когда эти функции имеют вещественные или комплексные стационарные точки. В частности, рассмотрены примеры экспоненциальной передаточной функции для оснований 
The previous chapters describe various methods of construction of superfunctions for the transfer functions that have real or complex fixed points.
In particular, the examples of the exponential transfer function are considered, $z\mapsto b^z$ for the cases
$b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\! 1.44$,
$b\!=\!\exp(1/\mathrm e) \!\approx\! 1.46$ 
%и 
and
$b\!=\!\mathrm e \!\approx\! 2.71~$.
%Читатели приглашаются использовать предложенные здесь методы и для других функций, и, в частности, для экспоненты по различным основаниям. Лучше начинать со случаев, когда основание вещественно, положительно и превышает единицу. При этом экспонента является возрастающей функцией вдоль всей вещественной оси, и интерпретация суперэкспоненты и абельэкспоненты особенно наглядна.
%The Readers are ini

In this chapter, I combine methods, described in the previous chapters, and describe tetration to the real base $b\!>\!1$.
For the real values of base, the interpretation of the superfunction, abelfunction and iterates of the exponent is especially explicit.

\begin{figure}[t]
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,122)
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,124)
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,125)
\sx{3.23}{\begin{picture}(155,125)
\put(0,0){\ing{tet10bx}}%  See GL/*.* for generators of the curves <br> 
%\put(-2,125){\sx{.7}{$y\!=\!{\rm tet}_{b}(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)=\exp_b(F(z))$ ~,~ $F(0)\!=\!1$}}
%\put( 0,125){\sx{.55}{$y\!=\!F(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)\!=\!\exp_b(F(z))$ ,~ $F(0)\!=\!1$}}
\put( 17,120){\sx{.6}{$y$}}
\put( 17,100){\sx{.6}{$8$}}
\put( 17,80){\sx{.6}{$6$}}
\put( 17,60){\sx{.6}{$4$}}
\put( 18,48){\sx{.6}{e}}
\put( 17,40){\sx{.6}{$2$}}
\put( 17,20){\sx{.6}{$0$}}
\put( 20.4,16){\sx{.6}{$0$}}
\put( 40.4,16){\sx{.6}{$2$}}
\put( 60.4,16){\sx{.6}{$4$}}
\put( 80.4,16){\sx{.6}{$6$}}
\put(100.4,16){\sx{.6}{$8$}}
\put(119,16){\sx{.6}{$10$}}
\put(128.6,16.2){\sx{.6}{$x$}}
%\put(2,90){\sx{.9}{$y\!=\!e\!\big(F_{1}(x\!+\!\rmi o)\big)$}}
%\put(183,105){\sx{1.001}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{1.001}{$y\!=\!\rme$}}
\put(26.6,86){\sx{.5}{\rot{90} $b\!\rightarrow\!\infty$ \ero } }
\put(31,106){\sx{.5}{\rot{88} $b\!=\!10$ \ero } }
%\put(39.2,106){\sx{.5}{\rot{86} $b\!=\! 3$ \ero } }
\put(42,87){\sx{.5}{\rot{87} $b\!=\! \rme$ \ero } }
\put(48.4,106){\sx{.5}{\rot{86} $b\!=\!2$ \ero } }
\put(53.3,106){\sx{.45}{\rot{85} $b\!=\!1.9$ \ero } }
\put(60.3,106){\sx{.45}{\rot{85} $b\!=\!1.8$ \ero } }
\put(68.4,106){\sx{.45}{\rot{84} $b\!=\!1.7$ \ero } }
\put(83,106){\sx{.45}{\rot{83} $b\!=\!1.6$ \ero } }
\put(128,106){\sx{.47}{\rot{80} $b\!=\!1.5$ \ero } }
%\put(55,88){\sx{1.3}{$y\!=\!\tet_b(x)$  } }
%\put(124,106){\sx{.6}{$b\!=\!1.5$}}
\put(109,46){\sx{.4}{\rot{2}$b\!=\!\exp(1/\rme)$\ero}}
\put(120,41.8){\sx{.34}{$b\!=\!\sqrt{2}$}}
\put(120,38){\sx{.36}{$b\!=\!1.4$}}
\put(120,33.6){\sx{.36}{$b\!=\!1.2$}}
%\put(115,29.6){\sx{.36}{$b\!=\!1.1$}}
\put(123,29){\sx{.36}{$b\!\rightarrow\!1$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetreal10bx10d.png}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://en.citizendium.org/wiki/File:Tetreal10bx10d.png}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$y=\mathrm{tet}_b(x)$ 
%для различных значений 
for various
$b$
%, построенные с использованием аппроксимации \rf{fit1} 
\iL{tet10bx}}
\end{figure}

%\section{Аппроксимация тетрации вблизи нуля}
\section{Approximation of tetration near zero}

%В случае основания 
For the base $b$ from the interval
$1\!<\!b \!<\! \exp(1/\mathrm e)$, 
tetration 
$\mathrm{tet}_b$ can be evaluated with regular iteration at the lowest (smallest) positive fixed point of the exponent to this base. 
For
$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$, it can be evaluated with the exotic iteration by equation \ref{e1etet}. 
%тетрация может вычисляться с помощью разложения вблизи стационарной точки. Для основания 
For
$b\!>\!1/\exp(1/\mathrm e)$,
the representation through the Cauchy integral can be used. In such a way, all the domain
%может использоваться представление тетрации через интеграл Коши. Таким образом, 
%весь интервал 
%вся область
$b\!>\!1$ 
%оказывается перекрыта эффективными алгоритмами вычисления 
is covered with the efficient algorithms for evaluation of 
$\mathrm{tet}_b$. 
\vskip 2mm

%Для вещественных значений аргумента, график $y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$ представлен на рисунке \ref{tet10bx}
%как функция $x$ при различных вещественных значениях параметра $b\!>\!1$. Аналогичные графики для арктетрации
%показаны на рисунке \ref{ate10bx}.
For real values of the argument, graphic $y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$ is shown in figure \ref{tet10bx}
versus $x$ for various values of base $b\!>\!1$. 
Similar plot for arctetration is shown in figure \ref{ate10bx}.
%Генератор рисунка загружен как \\
%\sx{.89}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t1064/index.php/File:Tetreal10bx10d.png}} \\
%и, на случай повторения кагебешной атаки на ТОРИ, по урлю\\
%\url{http://en.citizendium.org/wiki/File:Tetreal10bx10d.png} .

\vskip 2mm
%Рисунок \ref{tet10bx} для тетрации и рисунок \ref{ate10bx} 
Figure \ref{tet10bx} for tetration and figure \ref{ate10bx} for arctetration
%для арктетрации генерируются с помощью аппроксимаций. Для значений 
are generated, using the special approximation of tetration for 
$b\!<\!3$, 
%используется аппроксимация 
by function $\mathrm{fit1}$, 
defined with
%оределенная выражениями
%\be
\vskip 6pt
\baselineskip 17.4pt

$d\!=\!\ln(b)$
\vskip 6pt

$q\!=\!\sqrt{d}$
\vskip 6pt

$c_0\!=\! -1.0018+
\frac{0.1512848482(1.+33.0471529885 q-3.51771875598 d) q}
{1+3.2255053261256337 q}
+   \frac{\ln(2)-\frac{1}{2}}{d}$
\vskip 6pt

$c_1\!=\!
1.1 - 2.608785958462561(1 - 0.6663562294911147q) q - \frac{\ln(2)-\frac{5}{8}}{d}$
\vskip 6pt

$c_2\!=\!
-0.96 + 3.0912038297987596 \frac{(1\!+\!0.60213980487853d)q}{1 \!+\! 4.24046755648d}  + 
 \frac{\ln(2)-\frac{2}{3}}{d}$
\vskip 6pt

$c_3\!=\! 1.2\! -\! 10.44604984418533 \frac{(1\!+\!0.213756892843 q\!+\!0.369327525447 d) q}{1+4.9571563666 q + 7.702332166 d}
- \frac{ \ln(2)- \frac{131}{192}}{d} $

\be
\mathrm{fit1}_b(z)\!=\! (1\!+\!c_0z\!+\!c_1z^2\!+\!c_2z^3\!+\!c_3z^4)(z\!+\!1) 
%\nonumber \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+ \ln(z\!+\!2)  
-\frac{\ln(2)}{d} (1\!+\!z) \nonumber \\
\label{fit1}
\ee

%\begin{figure}[t]
%\begin{figure}[v]
\begin{figure}[t]
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,102)
\sx{3.23}{\begin{picture}(155,130)
\put(0,0){\ing{ate10bx}}
%\put(-2,125){\sx{.7}{$y\!=\!{\rm tet}_{b}(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)=\exp_b(F(z))$ ~,~ $F(0)\!=\!1$}}
%\put( 0,125){\sx{.55}{$y\!=\!F(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)\!=\!\exp_b(F(z))$ ,~ $F(0)\!=\!1$}}
\put( 17,130){\sx{.6}{$y$}}
\put( 14,120){\sx{.6}{$10$}}
\put( 17,100){\sx{.6}{$8$}}
\put( 17,80){\sx{.6}{$6$}}
\put( 17,60){\sx{.6}{$4$}}
%\put( 18,48){\sx{.6}{e}}
\put( 17,40){\sx{.6}{$2$}}
\put( 17,20){\sx{.6}{$0$}}
\put( 20.4,16){\sx{.6}{$0$}}
\put( 40.4,16){\sx{.6}{$2$}}
\put( 47.8,16.2){\sx{.6}{e}}
\put( 60.4,16){\sx{.6}{$4$}}
\put( 80.4,16){\sx{.6}{$6$}}
\put(100.4,16){\sx{.6}{$8$}}
\put(119,16){\sx{.6}{$10$}}
\put(128.6,16.2){\sx{.6}{$x$}}
%\put(2,90){\sx{.9}{$y\!=\!e\!\big(F_{1}(x\!+\!\rmi o)\big)$}}
%\put(183,105){\sx{1.001}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{1.001}{$y\!=\!\rme$}}
%\put(39.2,106){\sx{.5}{\rot{86} $b\!=\! 3$ \ero } }
\put(31.8,123){\sx{.35}{\rot{90}$b\!\rightarrow\!1$\ero}}
\put(36.4,120){\sx{.35}{\rot{90}$b\!=\!1.2$\ero}}
\put(40.5,120){\sx{.35}{\rot{90}$b\!=\!1.4$\ero}}
\put(44.8,120){\sx{.33}{\rot{90}$b\!=\!\sqrt{2}$\ero}}
\put(48.6,109){\sx{.38}{\rot{88}$b\!=\!\exp(1/\rme)$\ero}}
\put(106,124.5){\sx{.47}{\rot{10} $b\!=\!1.5$ \ero } }
\put(106,79){\sx{.45}{\rot{8} $b\!=\!1.6$ \ero } }
\put(106,64.2){\sx{.45}{\rot{7} $b\!=\!1.7$ \ero } }
\put(106,56.6){\sx{.45}{\rot{6} $b\!=\!1.8$ \ero } }
\put(106,50.4){\sx{.45}{\rot{5} $b\!=\!1.9$ \ero } }
\put(106,44.2){\sx{.5}{\rot{4} $b\!=\!2$ \ero } }
\put(94,39.6){\sx{.5}{\rot{5} $b\!=\! \rme$ \ero } }
\put(106,32){\sx{.5}{\rot{3} $b\!=\!10$ \ero } }
\put(96,22.4){\sx{.5}{\rot{0.} $b\!\rightarrow\!\infty$ \ero } }
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ater01.png}
\vskip -8pt
\caption{%\large
$y\!=\!\mathrm{ate}_b(x)$ 
%как функция $x$ 
%для различных значений 
for various
$b$ \iL{ate10bx}}
\vskip -8pt
\end{figure}

%Укажу, как была получена аппрохсимация \rf{fit1}. Я разложил выражение 
%Чтобы получить аппрохсимацию \rf{fit1}, выражение 
In order to get approximation \rf{fit1}, I expanded the expression
\be
\frac{\mathrm{tet}_b(z) - \ln(z\!+\!2) + \ln(2)/\ln(b) }{1\!+\!z}
\ee
%разложено в ряд Тэйлора по степеням $z$ при различных значениях $a=\ln(b)$. Коэффициенты этого разложения аппроксимированы как функции параметра $a$. Затем тетрация выражена через это разложение. Разложение оборвано, учтено всего несколько термов. Однако, для 
%$|z|\le1/2$, это приближение дает несколько значащих цифр для значения $\mathrm{tet}_b(z)$
%Такое представление использовано для $|\Re(z)|\le 1/2$; для иных значений $z$, используется представление через передаточное уравнение
into the Taylor series with powers of  $z$ for various values of (new) parameter  $d=\ln(b)$. 
Coefficients of this expansion are approximated as functions of parameter  $d$. 
Then, tetration is expressed through this expansion.
The series is truncated; only few terms are taken into account. 
For 
$|z|\le1/2$, the resulting approximation provides few correct decimal digits of $\mathrm{tet}_b(z)$.
This approximation is used for $|\Re(z)|\le 1/2$; for other values of $z$, 
value of tetration is represented through its values at the appropriate argument, using either
\be
\mathrm{tet}_b(z)=b^{\mathrm{tet}_b (z-1)}
\eL{tetbminus}
%или
or
\be
\mathrm{tet}_b(z)=\log_b\! \big(\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)\big)
\eL{tetbplus}
%в зависимости от знака 
dependently on  signum of 
$\Re(z)$. 
%Так можно вычислять тетрацию с несколькими знаками для умеренных значений 
In such a way, tetration can be evaluated with few decimal digits for moderate values of 
$|\Im(z)|$ 
%и 
and
$|\Im(b)|$.
%У меня пока нет столь же простой аппроксимации для больших значений  $|\Im(b)|$, хотя представление через интеграл Коши легко обобщается на случай комплексных значений основания $b$. В частности, такая аппроксимация годится для вещественных значений основания $b\!<\!5$, давая порядка четырех значащих цифр. Это вполне достаточно для того, чтобы дефекты аппроксимации не были видны даже при сильном зумине рисунка \ref{tet10bx}. Однако для $b\!=\!10$ аппроксимация несколько хуже, и для этого значения использовано первичное представление тетрации через интеграл Коши.
Yet, I have no similar approximation for larger values of  $|\Im(b)|$, 
although, the Cauchy integral can be generalised for various, even complex values of $b$;  
the example is considered below in chapter 18.
%В частности, такая аппроксимация годится для вещественных значений основания 
The range of validity of approximation $\mathrm{fit1_b}$ is wide; In particular, at
$b\!<\!5$, 
the approximation provides of order of four significant figures.
%давая порядка четырех значащих цифр. Это вполне достаточно для того, чтобы дефекты аппроксимации не были видны даже при сильном зумине рисунка \ref{tet10bx}. Однако для $b\!=\!10$ аппроксимация несколько хуже, и для этого значения использовано первичное представление тетрации через интеграл Коши.
This is sufficient precision for plotting of the camera-ready pictures, the defects of this approximation are not seen 
in figure 
\ref{tet10bx}. However, at $b\!=\!10$, the approximation is a little bit worse; for this value, the primary representation through the Cauchy integral is used. This refers to only single curve in the picture. 
\vskip 2mm

%Из рисунка \ref{tet10bx} можно проследить поведение тетрации вещественного аргумента при различных значениях основания $b\!>\!1$.
Figure \ref{tet10bx} shows behaviour of tetration of real argument at various values of base $b\!>\!1$:
\vskip 2mm

%В интервале значений $-2\!\le\! x\! \le\! -1$, тетрация $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ имеет отрицательные значения и растет с увеличением $b$.
In the interval $-2\!\le\! x\! \le\! -1$, tetration $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ has negative values and grows while  $b$ increases.
\vskip 6pt

%В интервале значений $-1\!\le\! x\! \le\! 0$, тетрация $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ имеет положительные значения и убывает с увеличением $b$.
In the interval $-1\!\le\! x\! \le\! 0$, tetration $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ has positive value and grows with increase of $b$.
\vskip 6pt

%При $x\!>\!0$, тетрация $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ имеет положительные значения и растет с увеличением $b$.
At $x\!>\!0$, tetration $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ has positive values and grows with increase of $b$.
\vskip 6pt

%В предельном случае $b \! \rightarrow \!1$, график тетрации $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$  приближается к асимптотам $x\!=\!-1$ и $y\!=\!1$.
In the limiting case $b \! \rightarrow \!1$, the curve  $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$  approaches the asymptotics $x\!=\!-1$ and $y\!=\!1$.
\vskip 6pt

%В предельном случае $b \! \rightarrow \! \infty$, график тетрации $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$  приближается к асимптотам $x\!=\!-2$ и $x\!=\!0$, а также к отрезку $-2\!<\! x \!<\! 0$ на оси абсцисс.
In the limiting case $b \! \rightarrow \! \infty$, curve $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$  approaches asymptotics $x\!=\!-2$ and $x\!=\!0$, 
and also $-2\!<\! x \!<\! 0$  at the abscissa axis.
\vskip 6pt

%При всех $b \! > \!1$, тетрация $\mathrm{tet}_b(x)$ является монотонно возрастающей функцией, и график $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ 
%проходит через точки $(-1,0)$, $(0,1)$ и $(1,b)$.
At all $b \! > \!1$, tetration $\mathrm{tet}_b(x)$ is monotonic function, and curve  $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ 
passes though points $(-1,0)$, $(0,1)$ and $(1,b)$.
\vskip 6pt

%Когда $b \! = \! \exp(1/\mathrm e)$, асимптотой становится линия $y\!=\!\mathrm{Filog}(1/\mathrm e)\!=\!\mathrm e$. Эта линия отмечена на графике в дополнение к ректангулярной сетке, соответствующей целочисленным значениям абсциссы или ординаты.
At $b \! = \! \exp(1/\mathrm e)$, the line $y\!=\!\mathrm{filog}(1/\mathrm e)\!=\!\mathrm e$ becomes asymptotics. 
this line is added to the rectangular grid at integer values of abscissas and ordinates.
\vskip 2mm

%При $1\! <\! b \! \le \! \exp(1/\mathrm e)$, с ростом $x$ график $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ приближается к горизонтальной асимптоте $y=\mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)$.
At $1\! <\! b \! \le \! \exp(1/\mathrm e)$, with grow of $x$ the curve $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ approaches the horizontal 
asymptotics  $y=\mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)$.
\vskip 2mm

%Функция filog и её имплементация представлены в ТОРИ, \\
Function filog expresses fixed points of logarithm as function of logarithm of its base. This function is considered in the next chapter. It is essential for evaluation of tetration of complex base.
While, suggest to compare the results of the previous chapters for the real base. This is matter of the next section.
%, following site TORI,
%they are described also TORI, \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog}  \\
%Некоторые свойства этой функции обсуждаются в следующей главе.
%Some of these properties 

\JP{

The inverse function of tetration, id est, arctetration, can be approximated in a way, similar to that of tetration.
I suggest, that the Readers prepare (and test) such an approximation by themselves; I did not do it.
Instead, for plotting of figure \ref{ate10bx}, I just reflected the curve of \ref{tet10bx} from the line $y\!=\!x$.
%В принципе, аналогичным образом можно строить аппроксимацию для арктетрации (абельэкспоненты) $\mathrm{ate}_b$. Не стремясь объять необъятное, для построения графика арктетрации вещественного аргумента, я отразил от прямой $y\!=\!x$ графики рисунка \ref{tet10bx}. Так построен рисунок \ref{ate10bx}.
\vskip 2mm

%При $x\!>\!-2$, имеет место соотношение
For $x\!>\!-2$, the following relation takes place:
\be 
\mathrm{ate}_b \Big( \mathrm{tet}_b(x) \Big)=x
\ee
In addition, for $b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$ and at least for real $x$ the following relation is valid:
%Кроме того, для $b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$ и по крайней мере для вещественных $x$ имеет место соотношение
\be 
\mathrm{tet}_b\Big( \mathrm{ate}_b(x) \Big) =x
\ee
%Это же соотношение имеет место и при  
The same relation is valid also for
$~1\!< \!b\! \le \! \exp(1/\mathrm e)~$, $~x \! < \! \mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)~$.
\vskip 4mm

%В широкой области значений $b$ и $x$, итерации экспоненты $\exp_b(z)=b^z$ могут быть представлены через тетрацию и арктетрацию
In wide range of base $b$ and argument $z$ iterates of exponent can be expressed through tetration and arctetration,
\be
\exp_b^{~n}(z)= \mathrm{tet}_b\Big(n+\mathrm{ate_b}(z) \Big)
\ee 
%Как обычно, в таком представлении число $n$ итерций не имеет необходимости быть целым; достаточно, чтобы аргумент  $z$ попадал в область голоморфизма функции $\mathrm{ate}_b$. Тогда, при $b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$, значение $n\!+\!\mathrm{ate}_b(z)$ попадет в область голоморфизма тетрации $\mathrm{tet}_b$.
As in other cases, the number $n$ of iterate has no need to be integer, but $z$ should belong to the range of holomorphizm of 
function $\mathrm{ate}_b$. Then, at $b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$, value $n\!+\!\mathrm{ate}_b(z)$ belongs to the range of holomorphism of tetration $\mathrm{tet}_b$.
}%JP

%\section{Различныe основания экспоненты и итерации}
\section{Various bases of exponent and the iterates}

%В этой секции сравниваются итерации экспоненты. Эти итерации рассмотерны в предыдыщих секциях; здесь предлагается обзор представленных ранее результатов. 
In this section, the iterates of exponent are compared. These iterates are considered in the previous sections.
Below, I overview the results.
\vskip 2mm

%Итерации экспоненты по основаниям $b\!=\!\mathrm e$, $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ и $b\!=\!\sqrt{2}$ представлены на рисунке 
%\ref{e1e14} как функции вещественного аргумента для различного номера $n$ итерации. Курвы проведены для $n\!= -2,-1, -0.9, -0.5, -0.1, 0, 0.1, 0.5, 0.9, 1,2$.  
Iterates of exponent to bases $b\!=\!\mathrm e$, $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ and $b\!=\!\sqrt{2}$ are shown in figure 
\ref{e1e14} 
%как функции вещественного аргумента для различного номера $n$ итерации. Курвы проведены для 
as functions of the real argument for various values of number $n$ of iterate. The curves are drawn for
$n\!=\!$ $-2$, $-1$, $-0.9$, $-0.5$, $-0.1$, $0$, $0.1$, $0.5$, $0.9$, $1$, $2$.  
\vskip 2mm
 
\begin{figure}
\newcommand \scalr {
\put(370,766){\sx{6}{$y$}}
\put(370,583){\sx{6}{$4$}}
\put(370,383){\sx{6}{$2$}}
\put(370,183){\sx{6}{$0$}}
\put( 600,150){\sx{6}{$2$}}
\put( 799,150){\sx{6}{$4$}}
\put( 998,150){\sx{6}{$6$}}
\put(1198,150){\sx{6}{$8$}}
\put(1380,150){\sx{6}{$x$}}
}
\hskip 24pt
\sx{.28}{\begin{picture}(1400,834)
\put(0,-10){\ing{e1e14az}}\scalr
\put(-90,620){\sx{10}{ \color{white}{\rule{25pt}{13pt}} }}
\put(-100,640){\sx{10}{ $b\!=\!\mathrm e$}}
\put( 810,666){\rot{51}\sx{4.4}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put( 925,696){\rot{45}\sx{4.8}{$n\!=\!0$}\ero}
\put( 934,600){\rot{37}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(1230,570){\rot{16}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(1220,436){\rot{8}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(1222,374){\rot{ 6}\sx{4.6}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(1230,230){\rot{ 4}\sx{4.6}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(446,525){\rot{81}\sx{4.3}{$y\!=\!\exp(\mathrm e^x)$}\ero}
\put(499,485){\rot{75}\sx{4.4}{$y\!=\!\exp(x)$}\ero}
\put(595,485){\rot{67}\sx{4.4}{$y\!=\!\sqrt{\exp}(x)$}\ero}
\put(840,426){\rot{19}\sx{4.6}{$y\!=\!\sqrt{\ln}(x)$}\ero}
\put(890,330){\rot{ 8}\sx{4.6}{$y\!=\!\ln(x)$}\ero}
\put(890,232){\rot{ 6}\sx{4.6}{$y\!=\!\ln(\ln(x))$}\ero}
\put(14,315){\rot{1}\sx{4.8}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,210){\rot{4}\sx{4.8}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(14,155){\rot{2}\sx{4.7}{$n\!=\!0.9$}\ero}
\put(20, 95){\rot{ 3}\sx{4.7}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(234,2){\rot{45}\sx{5.5}{$y\!=\!x$}\ero}
\put(450, 0){\rot{69}\sx{4.7}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(550,-2){\rot{62}\sx{4.5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}

\hskip 24pt
\sx{.28}{\begin{picture}(1400,834)
\put(0,-10){\ing{e1e14bz}}\scalr
\put(-80,620){\sx{10}{ \color{white}{\rule{34pt}{14pt}} }}
\put(-100,640){\sx{10}{ $b\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}$}}
\put( 374,456){\sx{6.5}{$\mathrm e$}}
\put( 674,158){\sx{6.5}{$\mathrm e$}}
\put( 800,680){\rot{75}\sx{4.5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put( 846,700){\rot{63}\sx{4.3}{$n\!=\!1$}\ero}
%\put( 910,760){\rot{65}\sx{4.01}{$n\!=\!0.9$}\ero}
%\put( 940,760){\rot{58}\sx{4.01}{$n\!=\!0.5$}\ero}
%\put(1010,805){\rot{50}\sx{4.01}{$0.1$}\ero}
%\put(1050,790){\rot{45}\sx{4.01}{$-0.1$}\ero}
%\put(1090,780){\rot{25}\sx{4.3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(1150,760){\rot{19}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(1220,740){\rot{15}\sx{4.5}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(1280,650){\rot{ 7}\sx{4.5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(940,630){\rot{18}\sx{4.5}{$y\!=\!\mathrm e \ln(x)$}\ero}
\put(860,560){\rot{11}\sx{4.5}{$y\!=\!\mathrm e \, \ln(\mathrm e \ln(x))$}\ero}
\put(14,318){\rot{1}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,233){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!1$}\ero}
\put( 290,325){\rot{12}\sx{4}{$y\!=\!\exp(\frac{1}{\mathrm e}\mathrm e^{x/\mathrm e})$}\ero}
\put( 190,250){\rot{14}\sx{4}{$y\!=\!\exp(x/\mathrm e)$}\ero}
\put(14,177){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!0.9$}\ero}
\put(20, 90){\rot{15}\sx{5}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(120,  0){\rot{33}\sx{5}{$n\!=\!0.1$}\ero}
%\put(220, 10){\rot{38}\sx{5.5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
%\put(280,-30){\rot{53}\sx{5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(370,-8){\rot{65}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(440,-10){\rot{75}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(498, -2){\rot{77}\sx{4.7}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(570,-2){\rot{82}\sx{4.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}

\hskip 24pt
\sx{.28}{\begin{picture}(1400,834)
\put(0,-10){\ing{e1e14cz}}\scalr
\put(-80,620){\sx{10}{ \color{white}{\rule{34pt}{15pt}} }}
\put(-100,640){\sx{10}{ $b\!=\!\sqrt{2}$}}
\put( 848,690){\rot{73}\sx{4.5}{$n\!=\!2$}\ero}
%\put( 900,750){\rot{65}\sx{4.1}{$n\!=\!1$}\ero}
%\put( 930,760){\rot{65}\sx{4.01}{$n\!=\!0.9$}\ero}
%\put( 960,760){\rot{58}\sx{4.01}{$n\!=\!0.5$}\ero}
%\put(1025,805){\rot{50}\sx{4.01}{$0.1$}\ero}
%\put(1050,800){\rot{45}\sx{4.01}{$-0.1$}\ero}
%\put(1060,780){\rot{25}\sx{4.3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(1110,780){\rot{19}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(1100,728){\rot{18}\sx{4.5}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(1260,690){\rot{ 7}\sx{4.5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put( 870,600){\rot{12}\sx{4.4}{$y\!=\!\ln_b(\ln_{b}(x))$}\ero}
\put(650,480){\rot{45}\sx{5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(730,435){\rot{45}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,318){\rot{1}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
%\put(390,340){\rot{9}\sx{5}{$y\!=\!2^{\frac{1}{2} 2^{x/2} }$}\ero}
%\put(390,340){\rot{10}\sx{5}{$y\!=\!\sqrt{2}^{\sqrt{2}^x }$}\ero}
\put(14,233){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!1$}\ero}
%\put(220,265){\rot{5}\sx{4}{$y\!=\!2^{x/2}$}\ero}
\put(210,260){\rot{7}\sx{5}{$y\!=\!b^{x}$}\ero}
\put(14,177){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!0.9$}\ero}
\put(20, 90){\rot{15}\sx{5}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(120,  0){\rot{33}\sx{5}{$n\!=\!0.1$}\ero}
%\put(220, 10){\rot{38}\sx{5.5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
%\put(280,-30){\rot{53}\sx{5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(370,-10){\rot{65}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(440,-10){\rot{75}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(498, 0){\rot{76}\sx{4.7}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(570,0){\rot{84}\sx{4.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -5pt
\hskip 26pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1e14z600.jpg}
\vskip -12pt
%\caption{\large $y\!=\!\exp_b^n(x)$, for various $n$ and for 
\caption{
\large 
$y\!=\!\exp_b^n(x)$ 
%для различных $n$ при 
for various $n$ at
$b\!=\!\mathrm e$, 
$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$,
$b\!=\!\sqrt{2}$
\iL{e1e14}}
\end{figure}

%На верхней картинке  рисунка \ref{e1e14} представлен случай $b\!=\!\mathrm e$; то есть показаны итерации обычной, натуральной экспоненты. Соответствующие итерации вычисляются через натуральную тетрацию tet и натуральную арктетацию ate: 
The upper picture in figure \ref{e1e14} represents the case $b\!=\!\mathrm e$; iterates of the natural exponents are shown.
These iterates are calculated through the natural tetration tet and natural arctetration ate, I repeat this formula once again:
\be
y=\exp^n(x)=\mathrm{tet}\Big( n + \mathrm{ate}(x) \Big)
\ee
%Схожие графики можно построить и для иных значений основания 
Similar pictures can be plotted also for other values of base
$b\!>\exp(1/\mathrm e)$. 
%Для такого основания, итерации, даже не целые, являются вещественно-голоморфными функциями по крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси. Одна и та же голоморфная функция может использоваться как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента. Стационарные точки натуральной экспоненты лежат достаточно далеко от вещественной оси, и, в некоторой окрестности вещественной оси, итерации экспоненты являются столь же гладкими, как и сама экспонента.
For these values of base, the real iterates are real-holomorphic functions at least in some vicinity of the real axis. In this area,
%While the fixed points of the exponent have complex values and do not approach the real axis, 
the iterates of the exponent are so smooth, as the exponent itself.
\vskip 2mm

%По мере уменьшения основания $b$, ширина полосы голоморфизма вдоль вещественной оси уменьшается, и при $b=\exp(1/\mathrm e)$ кривые для различных итераций сжимаются в пучок курв, проходящих через стационарную точку $\mathrm e$. Этот случай представлен на центральной картинке рисунка \ref{e1e14}. При этом нецелые итерации для значений аргумента, больших $\mathrm e$, уже не являются голоморфными продолжениями итераций, построенных для значений, б\'oльших $\mathrm e$. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, кривые, для итераций, построенных через тетрацию и арктетрацию, показаны пунктиром. В левой части графика пунктиром показаны кривые
As the base $b$, the width of the strip along the real axis (where the iterates are holomorphic) decrease;
at base 
$b=\exp(1/\mathrm e)$ 
all the curves for various iterates pass through the fixed point  $\mathrm e$. 
This case is shown in the central picture of figure \ref{e1e14}. 
Then, the non-integer iterates of exponents at argument, larger than $\mathrm e$, 
are not anymore holomorphic extensions of those for argument, smaller than $\mathrm e$. 
In order to stress this, the curves, plotted through tetration and arctetration, are shown with dashed lines
\be
y=\mathrm{exp}_{b,\mathrm d}^{~ n}(x)=\mathrm{tet}_b\Big(n+\mathrm{ate}_b(x)\Big) 
\ee
while the solid lines correspond to the iterates, expressed through the growing superexpponent SuExp,
\be
y=\mathrm{exp}_{b,\mathrm u}^{~ n}(x)=\mathrm{SuExp}_{b,3}\Big(n+\mathrm{AuExp}_{b,3}(x)\Big) 
\ee
%Тетрация $\mathrm{tet}_b$ по основанию $b\!=\! \eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ определена формулой 
Tetration $\mathrm{tet}_b$ to base $b\!=\! \eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ is determined with
\rf{e1etet},
%\rf{e1eF1},
%а арктетрация по этому основанию определена формулой 
and the arctetration to this base can be evaluated through
\rf{e1eG1}.
%Соответственно, растущая абельэкспонента определяется формулой 
In the similar way, the growing superexpenent is determined 
by \rf{e1eSuExp}
with
$\mathrm{SuExp}_{b,5}\!=\!F_3$, 
%а соответствующая абельэкспонента
and the corresponding abelexponent can be evaluated with
%\rf{e1eG1}.
%\rf{e1eAuExp}
%при 
%at
%$\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$. 
%Растущая суперэкспонента
%определена формулой \rf{Ff45} при 
%определена формулой 
%\rf{e1eG3}
\rf{e1eAuExp}
%при 
at
$\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$.
\vskip 2mm

%При значенях основания $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$, экспонента имеет две вещественные стационарные точки (см. фигуры \ref{ExpQ2plot}, \ref{expe1eplot}). Каждая из этих стационарных точек может использоваться для построения регулярной итерации. Однако нецелая итерация, построенная на одной из этих регулярных точек, не регулярна в другой стационарной точке. 
%Здесь в качестве примера выбрано значение $b\!=\!\sqrt{2}$. Итерации показаны
%в нижней картинке рисунка \ref{e1e14}. % для $b\!=\!\sqrt{2}$.
%Пунктиром проведены линии
For the real base $b$, at $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$, 
The exponent has two real fixed points
(See figures \ref{ExpQ2plot}, \ref{expe1eplot}). 
Each to these fixed points can be used for the regular iteration.
However, the non-integer iterate, regular at one fixed point, is singular at another one.
At the bottom picture of figure  \ref{e1e14}, value  $b\!=\!\sqrt{2}$ is chosen. 

Dashed lines corresponds to\be
y=\mathrm{exp}_{b,\mathrm d}^{~ n}(x)=\mathrm{tet}_b\Big(n+\mathrm{ate}_b(x)\Big) 
\ee
while the solid curves refer to
\be
y=\mathrm{exp}_{b,\mathrm u}^{~ n}(x)=\mathrm{SuExp}_{b,5}\Big(n+\mathrm{AuExp}_{b,5}(x)\Big) 
\ee
%Для нецелых значений номера $n$ итерации, стационарная точка 2 или 4 ограничивает область голоморфизма каждой из итерации. На отрезке от 2 до 4, каждая из итераций голоморфна, и различие между итерациами мало, порядка $10^{-24}$, см.рис. \ref{sqrt2srav}. Ввиду такой малости, пунктирные кривые на нижней картинке рисунка \ref{e1e14} кажутся совпадающими с соответствующими сплошными линиями. 
For non-integer number $n$ of iterate, the fixed point 2 or 4 limits the range of holomorphism of each iterate.
In the interval from 2 to 4, each of the two iterates is holomorphic, and the difference between these iterate is very small, of order of $10^{-24}$,
see figure  \ref{sqrt2srav}. Due to this smallness, the dashed lines at the bottom picture of figure \ref{e1e14} seem to coincide with the corresponding solid lines.
\vskip 2mm

%Аналогичная иллюзия имеет место для центральной картинки рисунка 
Similar illusion takes place for the central part of figure \ref{e1e14}; 
the dashed lines seem to be continuations of the corresponding solid lines.
%Таким образом, пример экспоненты указывает, что 
%для построения суперфункций и нецелых итераций следует выбрать, указать асимптотическое поведение искомой функции в комплексной плоскости; иначе могут существовать различные решения, и каждое из них можно аргументированно обосновывать как ``настоящую'' суперфункцию и, соответственно, ``настоящую'' нецелую итерацию. По этой причине, важно, чтобы изначально все суперфункции, абельфункции и нецелые итерации строились для комплексных значений аргумента.
The example with exponent show, that, in order to specify the non-integer iterate,
one should choose, establish the asymptotic behaviour of the superfunction in the complex plane.
Over-vice, there may exist various solutions, and each of them arguably can be declared as the ``true'' one.
In order to specify the superfunctions, they are considered for the complex argument.
%For complex argument, the small differende ($\sim10^{-24}$) become visible even with complex double precision. 

\JP{
\vskip 2mm

Algorithms of evaluation of functions, described in this Book, are implemented as complex double.
The URLs to get the algorithm are specified under each complex map or explicit plot of the Book.
For complex argument, the small difference ($\sim10^{-24}$) mentioned above, become visible even with complex double precision. 
However, the same algorithms can be used also for evaluation of suerfunctions, abelfunctions and iterates at real values of the argument.
%Алгоритмы вычисления функций использованных в этой Книге, 
%запрограммированы на C++ как complex double: их можно использовать как для комплексных значений аргумента, так и для вещественных. Если для каких-либо приложений требуются лишь вещественные значения аргумента, то переделать комплексное представление в вещественное легче, чем  обобщать вещественное на случай комплексного аргумента.
}
\section{%Непрерывность 
%Зависимость тетрации от основaния
Dependence of tetration on its base
}

%Графики тетрации вещественного аргумента, показанные на рисунке \rf{tet10bx}, позволяют предположить, что зависимость тетрации от основания (при постоянном аргументе) непрерывна (а может быть, даже и голоморфна) как функция основания.
Graphics of tetration of real argument, shown in figure  \rf{tet10bx}, allow to guess, that the dependence of tetration on the base (at fixed argument)
is continuous (and, perhaps, even holomorphic) function.
%Можно ожидать, что такая непрерывность имеет место не только для вещественных значений аргумента. Чтобы показать это, на рисунке \ref{e1e09} показаны карты тетрации $\tet_b$ для близких значений основания, а именно,
In order to show, that this refers not only to the real values of the argument, figure \ref{e1e09} shows 
the complex maps of tetration 
%для $b\!=\!1.5$ слева,
%для $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\! \approx\! 1.44$ в середке, и для
%для $b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\! 1.41$ справа.
for $b\!=\!1.5$ at left,
for $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\! \approx\! 1.44$ at center, and
for  $b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\! 1.41$ at right.

\begin{figure}[t]
\hskip 4pt
%\sx{1.93}{\begin{picture}(82,84) 
\sx{1.65}{\begin{picture}(82,84) 
\put(0,0){\ing{e1e09a15}}
\put(2,82){\sx{.5}{$y$}}
\put(2,73){\sx{.5}{$3$}}
\put(2,63){\sx{.5}{$2$}}
\put(2,53){\sx{.5}{$1$}}
\put(2,43){\sx{.5}{$0$}}
\put(-2,33){\sx{.5}{$-1$}}
\put(-2,23){\sx{.5}{$-2$}}
\put(-2,13){\sx{.5}{$-3$}}
\put(-2, 3){\sx{.5}{$-4$}}
\put( 1,0){\sx{.5}{$-4$}}
\put(11,0){\sx{.5}{$-3$}}
\put(21,0){\sx{.5}{$-2$}}
\put(31,0){\sx{.5}{$-1$}}
\put(45,0){\sx{.5}{$0$}}
\put(55,0){\sx{.5}{$1$}}
\put(65,0){\sx{.5}{$2$}}
\put(75,0){\sx{.5}{$3$}}
\put(84,.4){\sx{.5}{$x$}} 
\put(48,74){\sx{.5}{\rot{71}$v\!=\!1$\ero}}
\put(56,72){\sx{.5}{\rot{39}$v\!=\!0.8$\ero}}
\put(62,65.6){\sx{.5}{\rot{23}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(65,58){\sx{.5}{\rot{13}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(66,50.6){\sx{.5}{\rot{6}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(66,43.6){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\put(64,37){\sx{.5}{\rot{-7}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(63,30){\sx{.5}{\rot{-12}$v\!=\!-0.4$\ero}}
\put(43.4,21){\sx{.5}{\rot{-70}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(43,32){\sx{.5}{\rot{63}$u\!=\!1$\ero}}
\put(46,26){\sx{.5}{\rot{53}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(49,21){\sx{.5}{\rot{50}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(52,14.4){\sx{.5}{\rot{47}$u\!=\!1.8$\ero}}
\put(58,6){\sx{.5}{\rot{46}$u\!=\!2$\ero}}
 \end{picture}}
\sx{1.65}{\begin{picture}(82,84) 
\put(0,0){\ing{e1e09b}} 
\put(11,0){\sx{.5}{$-3$}}
\put(21,0){\sx{.5}{$-2$}}
\put(31,0){\sx{.5}{$-1$}}
\put(45,0){\sx{.5}{$0$}}
\put(55,0){\sx{.5}{$1$}}
\put(65,0){\sx{.5}{$2$}}
\put(75,0){\sx{.5}{$3$}}
\put(84,.4){\sx{.5}{$x$}} 
\put(42,60){\sx{.5}{\rot{86}$v\!=\!1$\ero}}
\put(46,61){\sx{.5}{\rot{79}$v\!=\!0.8$\ero}}
\put(52,62){\sx{.5}{\rot{64}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(58,59){\sx{.5}{\rot{46}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(63,52){\sx{.5}{\rot{26}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(66,43.6){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\put(60,36){\sx{.5}{\rot{-27}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(42,14){\sx{.5}{\rot{90}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(42,32.3){\sx{.5}{\rot{56}$u\!=\!1$\ero}}
\put(44,26){\sx{.5}{\rot{42}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(47,22){\sx{.5}{\rot{37}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(53,17){\sx{.5}{\rot{32}$u\!=\!1.8$\ero}}
\put(59,9){\sx{.5}{\rot{18}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
\sx{1.65}{\begin{picture}(80,84) 
\put(0,0){\ing{e1e09q2}} 
\put(11,0){\sx{.5}{$-3$}}
\put(21,0){\sx{.5}{$-2$}}
\put(31,0){\sx{.5}{$-1$}}
\put(45,0){\sx{.5}{$0$}}
\put(55,0){\sx{.5}{$1$}}
\put(65,0){\sx{.5}{$2$}}
\put(75,0){\sx{.5}{$3$}}
\put(84,.4){\sx{.5}{$x$}} 
\put(40.6,57){\sx{.5}{\rot{86}$v\!=\!1$\ero}}
\put(44,58){\sx{.5}{\rot{80}$v\!=\!0.8$\ero}}
\put(49,61){\sx{.5}{\rot{75}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(57,61){\sx{.5}{\rot{70}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(63,54){\sx{.5}{\rot{42}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(66,43.6){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\put(66,32){\sx{.5}{\rot{-60}$v\!=\!-0.2$\ero}}
%\put(40.6,16){\sx{.5}{\rot{86}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(24,4.8){\sx{.5}{\rot{31}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(42,32.3){\sx{.5}{\rot{56}$u\!=\!1$\ero}}
\put(47,28){\sx{.5}{\rot{48}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(49,24){\sx{.5}{\rot{33}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(50,17){\sx{.5}{\rot{13}$u\!=\!1.8$\ero}}
\put(50,9){\sx{.5}{\rot{-13}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 20pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1efig09abc1a150.png}
\vskip -4pt
\caption{%\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{tet}_b(x\!+\!\mathrm i y)$ for $b\!=\!1.5$, $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ and $b\!=\!\sqrt{2}$ \iL{e1e09}}
\end{figure}
\vskip 2mm

All the 3 maps in figure \ref{e1e09} look similar, although different algorithms are used for evaluation of tetration.
 %at the specified values of base. 
In principle, tetration to base $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$, for moderate values of the imaginary part of the argument, 
could be evaluated also through tetration with a little bit smaller or a little bit larger values of the base $b$,
%Все три карты, показанные на рисунке \ref{e1e09}, похожи, хотя совершенно разные алгоритмы использованы для вычисления тетрации при указанных значениях основания $b$.  В принципе, тетрацию по основанию $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ для умеренных значений мнимой части аргумента можно были бы вычислять через тетрацию при 
%чуть б\'oльших или при 
%чуть м\'eньших значениях $b$ как предел при 
as limit $b \rightarrow \exp(1/\mathrm e)$,
using the corresponding representation through the integral Cauchy (for bigger values) or with regular iteration (for smaller values).
% используя соответствующие представления. 
%vskip 2mm
%Читатели приглашаются рассчитать тетрацию при значениях основания $b\!\approx\! \exp(1/\mathrm e)$ и оценить, сколько корректных значащих цифр для тетрации $\mathrm{tet}_b$ можно получить таким способом, при условии, что используется арифметика с конечной точностью, например, complex double. Заодно, читатели могут проверить, что малость невязки при подстановке приближения тетрации в передаточное уравнение обеспечивает близость к более аккуратному представлению через разложение \rf{e1e24}. 
The Readers are invited to calculate tetration to base $b\!\approx\! \exp(1/\mathrm e)$ and estimate, 
how many significant figures can one achieved in such a way, assuming, that the arithmetics with finite precision is used. % (for example, complex double).
%Also, the Reader may check, that the smallness of the residual at substitution of the 
\vskip 2mm
\RU{
\begin{wrapfigure}{r}{80pt}
%\begin{wrapfigure}{r}{90pt}
\vskip -12pt
\sx{.3}{\begin{picture}(200,810)
\put(0,0){\ing{nepreryvnost}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Неразрывность \label{nepreryvnost}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure} }%RU

%При $b \!\rightarrow\! \exp(1/\mathrm e)$, эффективность алгоритмов для вычисления тетрации  (как через интеграл Коши, так и через регулярную итерацию) уменьшается. Поэтому Генрик Траппманн считал, что тетрация, рассмотренная как функция основания $b$, 
%в точке $b\!=\!\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ не является непрерывной, подобно тому, как это изображено на рисунке \ref{nepreryvnost}. Генрик хотел асимптотическое разложение именно для основания $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ 
At $b \!\rightarrow\! \exp(1/\mathrm e)$, the efficiency of evaluation of tetration (both through the Cauchy integral and through the regular iteration) reduces. For this reason, Henryk Trappmann had expected, that $\mathrm{tet}_b$ is not continuous function of $b$
at point  $b\!=\!\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$.
For this reason, Henryk wanted the asymptotic expansion namely for $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$, and it had been done
\footnote{
%Это было уже после того, как статья про четыре вещественно-голоморфные суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$ была направлена в Mathematics of computation \cite{sqrt2}; как видно, аппетит приходит во время еды.
That happened soon after the article about four real-holomorphic superexponentials to base $\sqrt{2}$ had been submitted to 
Mathematics of computation \cite{sqrt2}; as usually, the appetite comes while eating.}.
%Пришлось строить разложение 
I had suggested the expansion \rf{e1e24} and plotted pics for $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$, and Henryk had arranged a lot of mathematical deduction around it \cite{e1e}.
%$b\!=\!\eta$.
%Я надеюсь, Читатель уже понимает как можно угадывать разложения для экзотических итераций, и сможет написать аналогичное разложение суперфункций и для других передаточных функций, как только Читателю потребуется итерировать такие передаточные функции нецелое количество раз.
\vskip 6pt

I hope, the Reader already understands, how to guess the expansion for the exotic iterates, and can write the similar  expansion of superfunction
for any other transfer function, as soon as such an superfunction will be requested for any application.
The inversion of the series gives the expansions (and the precise approximations) for the corresponding abelfunctions.
\vskip 6pt

I hope, with the tools above, the colleague can evaluate any iterate of any holomorphic transfer function, not only real, but also complex.
The examples with iterates number $\mathrm i$ are shown in figures 
\ref{sqrt2itemap1} and
\ref{sqrt2itemap2} for the transfer function $T=\exp_{\sqrt{2}}$.
%Таким образом, я надеюсь, что у коллег не возникнет сложностей сосчитать не только $i$тую, но и  $\mathrm i$тую итерацию его или её передаточной функции.
\JP{
\footnote{
%Здесь $i$ есть переменная, которая может принимать всякие (и, в частности, вещественные) значения. 
Here, $i$ is variable, that can take various values; often, this letter is used as integer counter.
However $\mathrm i\!=\!\sqrt{-1}$ is, contrary, constant, that cannot take any other value.}
}
\vskip 6pt

After publications of the results presented above, the colleagues at the Henryk's forum had agreed, that the complex iterates, and in particular, those of
the exponent to various real base $b\!>\!1$, can be evaluated in a pretty regular way. However,
There were some doubts about iterates of the exponent to the complex base.
This case is considered in the next chapter.
%Даже если в стационарной точке производная этой передаточной функции равна единице.
%Благодаря суперфункциям, такое вычисление становится вполне возможным и естественным.
%\chapter{~ Тетрация по комплексному основанию}
%\chapter{~ Kомплексноe основаниe}
\chapter{~ Tetration to complex base}
\baselineskip 19pt

\JP{
\begin{wrapfigure}[18]{r}{100px}
\sx{.4}{\begin{picture}(300,450)
\put(0,0){\ing{tetco}}
\end{picture}}
\caption{ Комплексное основание \label{tetco}}
\end{wrapfigure}
}%

%В этой главе рассмотрена тетрация по комплексному основанию. То есть для передаточной функции $T(z)=b^z$, где основание
%$b$ является комплексным числом.
Here, tetration to complex base is considered. Id est, superfunction for the transfer function $T(z)=b^z$, where base $b$ is not 
%so 
real. In order to handle this case, I need an additional special function "filog"; it is also described in this chapter.
% Возможно, конечно, и иное интерпретации термина ``комплексное основание''
%(см. Фигуру \ref{tetco}), 
%В этой Книге основанием называется 
%именно 
%то, что возводится в степень аргумента при вычислении экспоненциальной передаточной функции.
%\fotnote{Если у Читателя есть основания предположить, что у меня нет оснований для такого определения термина ``основание'', то, пожалуйста, предложите Ваше определение}
%In this Book, base $b$ is that 
\vskip 6pt

%В принципе, суперфункцию от экспоненты можно строить с помощью регулярной итерации, примерно так же, как в Главе  16
%строится тетрация по основанию $\sqrt{2}$. При этом встает вопрос о том, около которой из стационарных точек %получающиеся 
%итерации экспоненты должны быть регулярными.
%Кроме того, для некоторых значений основания, вещественная часть инкремента $k$ равна нулю; 
%при этом 
%тогда
%решение трудно строить по его асимптотике.
%В качестве примера, Шелдон Левенштейн (Sheldon Levenstein) предложил значение $b=1.52598338517+0.0178411853321 \mathrm i$.
%Однако никаких особенностей, затрудняющих вучисление тетрации, для этого значения не обмаружено. 
In principle, the superfunction of the exponent to complex base can be constructed with regular iteration, in the similar way, as the tetration to base
$\sqrt{2}$ is constructed in Chapter 16.
However, the important question is, at which of the fixed points, the superfunction should be regular, and which of possible superfunction should be qualified as tetration. 
\vskip 6pt

In addition, at some values of the base, the exponential asymptotic solution has real part of the increment zero or close to zero; this makes the application of regular iteration difficult, if at al.
One of such cases is considered below in more details, as an example.
The representation of tetration through the Cauchi integral is not sensitive to the real part of the asymptotic increment of the solution; so, such a representation 
gives the efficient way of evaluation of tetration to complex base. However, the asymptotic behaviour of tetration in the upper and in the lower complex plane should be specified.

%In addition, I would like the tetration to complex base to approach the already constructer tetration to real base, as the imaginary part of the base approaches zero. The regular iteration does not provide this; so, the Cauchy integral should be used.
\vskip 6pt

The main idea of this chapter is to make superfunction that approaches one of the fixed points of the exponent at the upper half of the complex plane, and to another fixed point at the lower part of the complex half plane, using the assumption, that, for the complex base, the imaginary part of the asymptotic increment is not zero. 
\vskip 6pt

Question about the fixed points is important (as in the case of any other superfunction), and it should be considered.
This consideration is presented in the following section.
%Решение заключается в том, чтобы использовать 
%Ниже, я использую 
%метод интеграла Коши. Этот метод может применяться и для невещественных значений основания. Разумеется, для построения суперфункции $F$, следует указать, к которым из стационарных точек экспоненты по данному оснoванию должна эта функция стремиться при стремлении аргумента к $\mathrm i \infty$ и при стремлении аргумента к $- \mathrm i \infty$.  Из соображений простоты приходится потребовать, чтобы функция стремилась к стационарной точке экспоненты и, желательно, логарифма. 
%\vskip 3mm

%Для построения тетрации по комплексному основанию, следует выразить стационарные точки логарифма как функции
%этого основания.
%А ещё лучше
%- чтобы 
%не возиться с множеством разрезов
%-
%как функции логарифма этого основания.
%Этому посвящена следующая секция.

%\section{Стационарные точки логарифма}
\section{Fixed points of logarithm}
\baselineskip 18pt
This section is dedicated to relation between the base $b$ of the exponential and its fixed point $L$.
%\vskip 6pt
%Пусть $L=\mathrm{filog}(B)$ будет решением уравнения
Let $L=\mathrm{filog}(B)$ be solution of equation
\be
\ln(L)=BL
\eL{LL}
%Комплексная карта функции filog показана на рисунке 
Complex map of function filog is shown in figure
\ref{filogmap}.
%Зумин этой карты показан на рисунке 
The zoom-in of the central part of this map is shown in figure 
\ref{filogzo2}.
\begin{figure}[t]
%\sx{.24}{\begin{picture}(2000,2000)
\sx{.2}{\begin{picture}(2004,2004)
\put(50,40){\includegraphics{filogmap1}}
\put(16,2024){\sx{4.3}{$y$}}
\put(16,1828){\sx{4.2}{$8$}}
\put(16,1628){\sx{4.2}{$6$}}
\put(16,1428){\sx{4.2}{$4$}}
\put(16,1228){\sx{4.2}{$2$}}
\put(16,1028){\sx{4.2}{$0$}}
\put(-11,828){\sx{4}{$-2$}}
\put(-11,628){\sx{4}{$-4$}}
\put(-11,428){\sx{4}{$-6$}}
\put(-11,228){\sx{4}{$-8$}}
\put(-8,0){\sx{4}{$-10$}}
\put(204,0){\sx{4}{$-8$}}
\put(404,0){\sx{4}{$-6$}}
\put(604,0){\sx{4}{$-4$}}
\put(804,0){\sx{4}{$-2$}}
\put(1046,0){\sx{4}{$0$}}
\put(1246,0){\sx{4}{$2$}}
\put(1446,0){\sx{4}{$4$}}
\put(1646,0){\sx{4}{$6$}}
\put(1846,0){\sx{4}{$8$}}
\put(2036,0){\sx{4.2}{$x$}}
%\put(40, 2){\sx{.8}{$1/\rme$}}
%\put(108, 0){\sx{1}{$1$}}
%\put(164, 2){\sx{.8}{$\pi/2$}}
\put(1600,1480){\sx{6}{\rot{55}$u\!=\!0$ \ero} }
\put(270,1240){\sx{6}{\rot{60}$u\!=\!0.2$ \ero} }
\put(800,1070){\sx{6}{\rot{55}$u\!=\!0.4$ \ero} }
\put(90,910){\sx{6}{\rot{16}$u\!=\!0$ \ero} }
\put(286,470){\sx{6}{\rot{70}$u\!=\!-0.2$ \ero} }
\put(1686,970){\sx{6}{\rot{-30}$u\!=\!-0.2$ \ero} }
\put(1686,610){\sx{6}{\rot{26}$v\!=\!0.2$ \ero} }
\put(1316,210){\sx{6}{\rot{-56}$v\!=\!0$ \ero} }
\put( 330,444){\sx{6}{\rot{5}$v\!=\!-0.4$ \ero} }
\put( 700,10){\sx{6}{\rot{56}$v\!=\!-0.2$ \ero} }
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Filogbigmap100.png}
\vskip -8pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{filog}(x\!+\!\mathrm i y)$ ,
as solution
%карта решения
%решение 
$L\!=\!\mathrm{filog}(B)$
%уравнения 
of 
%equation
\rf{LL} \label{filogmap} } 
\vskip 8pt
\end{figure}
%Нетрудно видеть, что если 
%\vskip 2mm
%Пусть
Let
\be
B=\ln(b)
\eL{Bb}
%тогда  $\mathrm{filog}(B)$ выражает стационарную точку $L_1$ логарифма по основанию $b$; другая стационарная точка $L_2$
%определяется комплексным сопряжением:
Then  $\mathrm{filog}(B)$ determines the fixed point $L_1$ of logarithm to base $b$; another fixed point $L_2$
is determined with the complex conjugation:
\be
L_1&=&\mathrm{fllog}(B)  ~ ~\iL{L1filog}\\
L_2&=&\mathrm{filog}(B^*)^*
\eL{L2filog}

\begin{figure}[h]
%JP
{\sx{1.32}{\begin{picture}(208,208)
\put(8,8){\includegraphics{filogzoo}}
\put(4,207){$1$}
\put(0,147){$y$}
\put(4,107){$0$}
\put(-3, 8){$-\!1$}
\put(2, 0){$-\!1$}
\put(108, 0){$0$}
\put(140, 2){\sx{.8}{$1/\rme$}}
\put(209, 0){\sx{1}{$1$}}
\put(264, 2){\sx{.8}{$\pi/2$}}
\put(307, 2){\sx{.9}{$x$}}
\put(186,42){\sx{1}{\rot{68}$v\!=\!2$ \ero} }
\put(250,49){\sx{.6}{\rot{84}$v\!=\!1.2$ \ero} }
\put(282,43){\sx{1}{\rot{82}$v\!=\!1$ \ero} }
\put(283,161){\sx{.6}{\rot{-40}$v\!=\!0.8$ \ero} }
\put(250,143){\sx{.6}{\rot{60}$u\!=\!0.2$ \ero} }
\put(284,117){\sx{1}{\rot{37}$u\!=\!0$ \ero} }%
\put(284,74){\sx{.6}{\rot{5}$u\!=\!-0.2$ \ero} }
\put(28.4,120){\sx{.7}{\rot{79}$u\!=\!0.6$\ero}}
\put(84.4,113){\sx{.7}{\rot{74}$u\!=\!0.8$\ero}}
\end{picture}}
}%JP
\vskip 16pt

%\sx{.48}{\begin{picture}(1020,1000)
\sx{.4}{\begin{picture}(1020,1000)
\put(10,10){\includegraphics{filogzo2}}
\put(0,1012){\sx{2.3}{$y$}}
\put(-7,914){\sx{2.3}{$\frac{4}{10}$}}
\put(-7,814){\sx{2.3}{$\frac{3}{10}$}}
\put(-7,714){\sx{2.3}{$\frac{2}{10}$}}
\put(-7,614){\sx{2.3}{$\frac{1}{10}$}}
\put( 2,514){\sx{2.3}{$0$}}
\put(-7,414){\sx{2.3}{$\frac{-\!1}{10}$}}
\put(-7,314){\sx{2.3}{$\frac{-\!1}{5}$}}
\put(-7,214){\sx{2.3}{$\frac{-\!3}{10}$}}
\put(-7,114){\sx{2.3}{$\frac{-\!2}{5}$}}
\put(-7, 14){\sx{2.3}{$\frac{-\!1}{2}$}}
\put(90, -1){\sx{2.3}{$-0.4$}}
\put(190, -1){\sx{2.3}{$-0.3$}}
\put(290, -1){\sx{2.3}{$-0.2$}}
\put(390, -1){\sx{2.3}{$-0.1$}}
\put(516, -1){\sx{2.3}{$0$}}
\put(609, -1){\sx{2.3}{$0.1$}}
\put(709, -1){\sx{2.3}{$0.2$}}
\put(809, -1){\sx{2.3}{$0.3$}}
\put(866, -1){\sx{2.2}{$1/\mathrm e$}}
\put(910, -1){\sx{2.3}{$0.4$}}
\put(1010, 0){\sx{2.4}{$x$}}
\put(250,540){\sx{3}{\rot{82}$u\!=\!0.8$ \ero} }
\put(530,540){\sx{3}{\rot{81}$u\!=\!1$ \ero} }
\put(680,524){\sx{2.8}{\rot{77}$u\!=\!1.2$ \ero} }
\put(768,524){\sx{2.8}{\rot{72}$u\!=\!1.4$ \ero} }
\put(816,524){\sx{2.8}{\rot{56}$u\!=\!1.6$ \ero} }
\put(600,684){\sx{2.8}{\rot{-33}$v\!=\!0.2$ \ero} }
\put(720,798){\sx{2.8}{\rot{-62}$v\!=\!0.4$ \ero} }
\put(820,490){\sx{3}{\rot{-4}$v\!=\!1$ \ero} }
\put(820,466){\sx{3}{\rot{-12}$v\!=\!2$ \ero} }
\put(808,446){\sx{3}{\rot{-26}$v\!=\!3$ \ero} }
\put(768,372){\sx{3}{\rot{36}$u\!=\!5$ \ero} }
\put(770,350){\sx{3}{\rot{26}$u\!=\!4$ \ero} }
\put(770,324){\sx{3}{\rot{16}$u\!=\!3$ \ero} }
\put(768,297){\sx{3}{\rot{2}$u\!=\!2$ \ero} }
\put(766,262){\sx{3}{\rot{-8}$u\!=\!1$ \ero} }
\put(752,230){\sx{3}{\rot{-28}$u\!=\!0$ \ero} }
\put(94,99){\sx{3}{\rot{41}$v\!=\!-2$ \ero} }
\put(162,50){\sx{3}{\rot{57}$v\!=\!-1$ \ero} }
\put(242,30){\sx{3}{\rot{75}$v\!=\!0$ \ero} }
\put(315,30){\sx{3}{\rot{87}$v\!=\!1$ \ero} }
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 18pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Figlogzo2t.jpg}
\vskip -6pt
\caption{%Zoomin from figure \ref{filogmap} \iL{filogzo2} 
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{filog}(x\!+\!\mathrm i y)$, 
zoom-in from the central part of figure
%зумины центральной части фигуры  
\ref{filogmap} \iL{filogzo2} 
}
\vskip -406pt
\end{figure}

\rule{0pt}{200pt}

\newpage
%\baselineskip 17pt

%Для того, чтобы не иметь дела с многочисленными точками ветвления (branchpoints) и соответствующими бранчами (branch), листами вспомогательных функций, удобно рассматривать в качестве параметра не базу $b$ , a её логарифм $B$. Чтобы показать структуру тех ветвлений функции filog, которые представляются неизбежными, 
Function filog can be expressed through the special function Tania by \rf{taniaprim} as follows:
%and with the [[WrightOmega]] function.
%For moderate valus of $\Im(\ln (z))$, the relation through function [[WrightOmega]] can be used
%For moderate valus of $\Im(\ln (z))$, the relation through function [[WrightOmega]] can be used
%$\displaystyle \mathrm{Filog}(z)= \frac{\mathrm{WrightOmega}\!\big(\ln(z)-\pi \mathrm{i}\big)}{-z}$
%More robust is relation through the Tania function,
%Функцию Filog  можно выразить через функцию Tania
\be
\displaystyle \mathrm{filog}(z)= \frac{\mathrm{Tania}\big(\ln(z)-1- \pi \mathrm{i}\big)}{-z} 
\ee
%Для построения тетрации по комплексному основанию, здесь указана именно Таня, по формуле \rf{taniaprim}, а не похожая на неё WrightOmega.
%Читатели приглашаются попробовать воспроизвести рисунки \ref{filogmap} и \ref{filogzo2}, используя ВрайтОмегу вместо Тани, и посмотреть, что получится вместо красивой карты.
Note, that here, namely Tania is used, but not WrightOmega, which looks similar to Tania in vicinity of the real axis.
The Readers are invited to try to reproduce figure  \ref{filogmap}, using WrightOmega instead of Tania, and look,
what does it give instead of the beautiful map.
\vskip 2mm
%Стационарные точки логарифма являются стационарными точками экспоненты, но не все стационарные точки экспоненты при этом являются стационарными точками логарифма. Следуя общей методике упрощения (Аксиома ТОРИ о плюрализме), естественно в первую очередь рассматривать функцию с простым поведением, и именно её называть термином ``тетрация''. 
%Поэтому стационарные точки логарифма представляют интерес. 
%\vskip 2mm

%Содержание этой секции в значительной степени представляет собой пересказ статьи  
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog} о функции filog. Эта 
%Функция Filog определяет стационарные точки логарифма по заданному основанию $b$:
Function filog determines the fixed points of logarithm (which are also fixed point of the exponent) to base $b$:
\be
L_1&=&\mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)  ~ ~\iL{L1filob}\\
L_2&=&\mathrm{filog}\big(\ln(b^*)\big)^*
\eL{L2filob}
%На 
At $\pm \mathrm i \infty$, 
%тетрация должна стремиться к этим стационарным точкам. Tребования (допущения) об асимптотическом поведении тетрации позволяют использовать интеграл Коши для её вычисления. В следующей секции предлжен пример использования функции filog
%для детерминации асимптотического поведения тетрации по комплексному основанию.
tetration should approach these fixed points.
This assumption 
%about the asymptotic behaviour allows 
to use the Cauchy  integral for the definition (and evaluation)
%\vskip 2mm
%$\pm \mathrm i \infty$
%Комплексная карта функции filog, показанная на рисунке \ref{filogmap}, а также её зумин на рисунке  \ref{filogzo2}
%загружены в ТОРИ по адресам \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Figlogzo2t.jpg} и \\
%Там же доступны генераторы этих рисунков.
%
\section{Tetration to the Sheldon base}
\baselineskip 17pt

%В 2012 году, Шелдон Левенштейн (Sheldon Levenstein) выразил сомнения в том, что Интеграл Коши, рассмотренный в предыдущей главе, может быть полезен для вычисления тетрации по комплексному основанию. Особенно сложным считался случай, когда основание 
%В этой секции рассмотрена тетрация по основанию Шелдона,
This section describes the tetration to the Sheldon base,
\be
b=1.52598338517+0.0178411853321 \,\mathrm i
\eL{sheldonS}
%Это название образовано от имени Шелдон Левенштейн (Sheldon Levenstein); в 2012 году Шелдон ожидал, что при вычислении тетрации по такому основанию возникнут сложности. Верятно, он имел в виду, что для одной из стационарных точек экспоненты по такому основанию,
%регулярная итерация затруднительна, так как вещественная часть соответствующего инкремента $k$ близка к нулю.
This number is named after Sheldon Levenstein. In 2015, Sheldon had expected, that the namely this base causes difficulties at evaluation of tetration.
%Perhaps, he thought, that at one of he fixed points of the exponent to this base, the regular iteration is difficult, as the real part of the increment $k$ is close to zero.
%Он не сумел объяснить, почему именно такое значение особенно интересно, и не указал, их каких соображений он выбрал это число. Возможно, десятичные цифры в формуле \rf{sheldonS}
%кодируют код к бронированной двери сокровищницы какого-нибудь советского ветерана или криминального авторитета какой-либо банановой республики. Однако Шелдон выразил желание посмотреть на карту тетрации именно по основанию Шелдона. 
%\vskip 2mm
%Это был единственный запрос от коллег на вычисление тетрации по специфическому комплексному основанию
%и заявка Шелдона удовлетворена. Комплексная карта такой тетрации показана на рисунке  
It was the only request from colleagues to evaluate tetration to the specific complex base;
and this request had been fulfilled. 
\vskip 6pt

Complex map of tetration to the Sheldon base is shown in the top picture of figure 
\ref{sheldonmap}. Explicit plot of this function is shown in 
the central picture of that figure.
The bottom picture shows the explicit plot of tetation to Sheldon base along the imaginary part. This tetration has complex values; so, the graphics are drawn for the real and for the imaginary parts.
%figure \ref{tetsheldor}. 
%Behavious of these functions along the real axis and that along the imaginary axis are shown in figures
%\ref{tetsheldor} and
%\ref{tetsheldoi}.
%Below I describe the evaluation of this function.
\vskip 6pt

In this section I assume, that value of $b$ is determined with equation \rf{sheldonS}. I consider this as an example; 
tetration to other values can be calculated 
%and considered 
in the similar way.
\vskip 6pt

It is convenient to define $B=\ln(b)$. Then, the fixed points of logarithm to base $b$, id est, solutions  $L$ of equation  $\ln_b(L)\!=\!L$, can be expressed through function filog, described in the previous section:
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\! L_1 = \mathrm{filog}(B) ~ \approx 2.0565398441043761 \!+\! 1.1445267140098765 ~ \mathrm i \label{sheldonL1}\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\! L_2\!=\! \mathrm{filog}(B^*)^*\! \approx 2.2284359658711805 \!-\! 1.3507994961102865 ~ \mathrm i
%\\ %B=\ln(b)
\label{sheldonL2}
\ee
\newpage
%\begin{figure}[h]
%test
%\end{figure}
\begin{figure}[h]
%\vskip -20pt
%\sx{.81}{\begin{picture}(602,211)
%\vskip -1pt
\hskip 9pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetsheldonmap03.png}
\vskip 4pt
\sx{.7}{\begin{picture}(602,211)
\put(10,10){\ing{tetsheldonmap}}
\put(2,206){$y$}
\put(2,188){$8$}
\put(2,168){$6$}
\put(2,148){$4$}
\put(2,128){$2$}
\put(2,108){$0$}
\put(-6,88){$-2$}
\put(-6,68){$-4$}
\put(-6,48){$-6$}
\put(-6,28){$-8$}
%\put(0,8){-10}\put(261,0){$-4$}
\put(-1,0){$-30$}
\put( 49,0){$-25$}
\put( 99,0){$-20$}
\put(149,0){$-15$}
\put(199,0){$-10$}
%\put(222,0){$-8$}
%\put(242,0){$-6$}
\put(252,0){$-5$}
%\put(262,0){$-4$}
%\put(282,0){$-2$}
\put(309,0){$0$}
\put(329,0){$2$}
\put(349,0){$4$}
\put(369,0){$6$}
\put(389,0){$8$}
\put(407,0){$10$}
\put(457,0){$15$}
\put(507,0){$20$}
\put(557,0){$25$}
\put(607,1){$x$}
\multiput(24,180)(118,-1){5}{$v\!=\!1.2$}
\multiput(70,180)(118,-1){5}{$u\!=\!2$}
\multiput(112,158)(118,-1){5}{\rot{-50}$v\!=\!1$\ero}
\multiput(102,142)(118,-1){5}{\rot{-35}$v\!=\!0.8$\ero}
\put(336,107){\rot{-11}$v\!=\!0$\ero}
\multiput(206, 92)(119,-22){4}{$v\!=\!-1$}
\multiput(70, 84)(119,-22){4}{$u\!=\!1.2$}
\multiput(110, 76)(119,-22){4}{$v\!=\!-1.4$}
\put(420,199){\sx{1.3}{$u+\mathrm i v \approx 2.0565+1.1445 \,\mathrm i$}}
\put(30,26){\sx{1.3}{$u+\mathrm i v \approx 2.2284-1.3508 \,\mathrm i$}}
\end{picture}}
\vskip 12pt
\JP{
\caption{
%\large
 $u\!+\!\mathrm i v\!=\! \mathrm{tet}_b(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%для 
for
$b\!\approx\!
   1.52598%338517 
\!+\! 0.01784%11853321
\,\mathrm i $, 
%см.
see \rf{sheldonS} \label{sheldonmap} }
\end{figure}

\begin{figure}[h]
%\sx{.132}{
}%JP

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Shelr80.png}
\vskip 6pt
\sx{.162}{
\begin{picture}(3202,1304)
%\put(0,0){\ing{04}}
%\put(0,0){\ing{tetshelim}}
%\put(0,0){\ing{tetsheldore}}
\put(0,0){\ing{tetsheldor4}}
\put(168,1286){\sx{6.7}{$y$}}
\put(170,1190){\sx{6}{$6$}}
\put(170,1090){\sx{6}{$5$}}
\put(170, 990){\sx{6}{$4$}}
\put(170, 890){\sx{6}{$3$}}
\put(170, 790){\sx{6}{$2$}}
\put(170, 690){\sx{6}{$1$}}
%\put(170, 590){\sx{6}{$0$}}
\put(120, 490){\sx{6}{$-1$}}
\put(120, 390){\sx{6}{$-2$}}
\put(120, 290){\sx{6}{$-3$}}
\put(120, 190){\sx{6}{$-4$}}
\put(120, 90){\sx{6}{$-5$}}

\put(60, 550){\sx{6}{$-1$}}
%\put(190, 550){\sx{6}{$0$}}
\put(294, 550){\sx{6}{$1$}}
\put(394, 550){\sx{6}{$2$}}
\put(494, 550){\sx{6}{$3$}}
\put(594, 550){\sx{6}{$4$}}
\put(694, 550){\sx{6}{$5$}}
\put(794, 550){\sx{6}{$6$}}
\put(894, 550){\sx{6}{$7$}}
\put(994, 550){\sx{6}{$8$}}
\put(1094, 550){\sx{6}{$9$}}
\put(1180, 550){\sx{6}{$10$}}
\put(1280, 550){\sx{6}{$11$}}
\put(1380, 550){\sx{6}{$12$}}
\put(1480, 550){\sx{6}{$13$}}
\put(1580, 550){\sx{6}{$14$}}
\put(1680, 550){\sx{6}{$15$}}
\put(1780, 550){\sx{6}{$16$}}
\put(1880, 550){\sx{6}{$17$}}
\put(1980, 550){\sx{6}{$18$}}
\put(2080, 550){\sx{6}{$19$}}
\put(2180, 550){\sx{6}{$20$}}
\put(2280, 550){\sx{6}{$21$}}
\put(2380, 550){\sx{6}{$22$}}
\put(2480, 550){\sx{6}{$23$}}
%\put(2580, 550){\sx{6}{$24$}}
%\put(2680, 550){\sx{6}{$25$}}
%\put(2780, 550){\sx{6}{$26$}}
%\put(2880, 550){\sx{6}{$27$}}
%\put(2980, 550){\sx{6}{$28$}}
%\put(3080, 550){\sx{6}{$29$}}
%\put(3174, 550){\sx{6.7}{$x$}}
\put(2574, 550){\sx{6.7}{$x$}}

\put(330,800){\sx{7.1}{\rot{20}$y\!=\! \Re\big(\mathrm{tet}_b(x)\big)$\ero}}
\put(420,756){\sx{7}{\rot{10}$y\!=\! \mathrm{tet}_{1.5}(x)$\ero}}
\put(320,636){\sx{7.1}{\rot{6}$y\!=\! \Im\big(\mathrm{tet}_b(x)\big)$\ero}}
%\put(320,550){\sx{7}{\rot{2}$y\!=\! \Im\big(\mathrm{tet}_b(x)\big)$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 12pt
\JP{
\caption{ $y\!=\!\Im(\mathrm{tet}_b(x))$ and
$y\!=\!\Re(\mathrm{tet}_b(x))$ for $b\!\approx\!
   1.52598%338517 
\!+\! 0.01784%11853321
\,\mathrm i $, thick curves; the thin curve reproduces graphic 
$y\!=\!\mathrm{tet}_{1.5}(x)~$ from figure \ref{tet10bx}
\iL{tetsheldor} }
\vskip 8pt
\end{figure}
\vskip 10pt

\begin{figure}[h]
}%JP

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Shelima600.png}
\vskip 4pt
%\sx{.132}{
\sx{2.1}{\begin{picture}(602,62)
%\put(0,0){\ing{04}}
\put(0,0){\ing{tetsheldoi}}
\put(97,59){\sx{.6}{$y$}}
\put(97,49){\sx{.6}{$2$}}
\put(97,39){\sx{.6}{$1$}}
\put(97,29){\sx{.6}{$0$}}
\put(92,19){\sx{.6}{$-1$}}
\put(92, 9){\sx{.6}{$-2$}}

\put(15,25){\sx{.6}{$-8$}}
\put(35,25){\sx{.6}{$-6$}}
\put(55,25){\sx{.6}{$-4$}}
\put(75,25){\sx{.6}{$-2$}}
\put(100,25){\sx{.6}{$0$}}
\put(120,25){\sx{.6}{$2$}}
\put(140,25){\sx{.6}{$4$}}
\put(160,25){\sx{.6}{$6$}}
\put(180,25){\sx{.6}{$8$}}
\put(199,25){\sx{.6}{$x$}}

\put(10,56){\sx{.7}{$y\!=\! \Re\big(\mathrm{tet}_b(\mathrm i x)\big)$}}
\put(10,11){\sx{.7}{$y\!=\! \Im\big(\mathrm{tet}_b(\mathrm i x)\big)$}}
\end{picture}}

%\vskip -2pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Shelima600.png}
\vskip 4pt
\caption{
%\large 
Tetration to base $b \!=\! 1.52598338517 \!+\! 0.0178411853321
\,\mathrm i ~$: $  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$
Top map: 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\! \mathrm{tet}_b(x\!+\!\mathrm i y)$ ~;~ ~
$~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ $
Intermediate plot: 
$y\!=\!\Im(\mathrm{tet}_b(x))$ and
$y\!=\!\Re(\mathrm{tet}_b(x))$, thick curves; $~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$
the thin curve shows 
$y\!=\!\mathrm{tet}_{1.5}(x)\,$ from figure \ref{tet10bx} ;$~ ~ ~ ~ ~~~ ~~  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$
%\iL{tetsheldor} 
Bottom plot: 
$y\!=\!\Im(\mathrm{tet}_b(\mathrm i x))$ and
$y\!=\!\Re(\mathrm{tet}_b(\mathrm i x))$  $~ ~ ~$
 \iL{sheldonmap}
 \label{tetsheldor}
 \label{tetsheldoi}
  }
 \vskip -190pt
\end{figure}

~
\vskip 80pt
~
\newpage

%Следуя традициям советской шкокы
%, и при этом указал значение основания, тетрация по которму его интересует. Генрик Траппманн тоже интересовался тетрацией по комплексному основанию, но Генрика интересовала тетрация по какому попало основанию.  Запрос Генрика более обоснован, чем запрос Шелдона. Однако, до сих пор я ещё не запрограммировал четырехмерный графопостроитель, чтобы строить вещественную и мнимую части тетрации в четырех измерениях, две координаты для вещественной и мнимой части основания, и две координаты для вещественной и мнимой части аргумента. Лишь по этой причине удовлетворена заявка Шелдона, я не заявка Генрика.
\RU{
\vskip 2mm
\begin{wrapfigure}{r}{120px}
\vskip -2pt
\sx{.46}{\begin{picture}(400,270)
\put(0,0){\ing{opis}}
\put(0,0){\color{white}\rule{400px}{60px}}
\put(42,36){\sx{2.2}{\em Милиционеры}}
\put(68,6){\sx{2.2}{\em описывают}}
\put(64,-24){\sx{2.2}{\em имущество}}
%\put(0,20}{\sx{2}{\em fff}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\caption{Опись %имущества
%Как принято описывать интересные вещи в Советской Школе 
\label{opis}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure} }%RU
%\baselineskip 21pt
%Ниже, я, следуя трацициям Советской Школы (рисунок \ref{opis}), описываю тетрацию по основанию Шелдона.
%Я думаю, что Генрик и сам может рассчитать тетрацию по любому основанию, которое ему понадобится для приложений или просто взбредет в голову. Того же я ожидаю от Читателя. Теперь положение Читателя даже лучше, чем было положение Шелдона или Генрика, когда мы обсуждали тетрацию по комплексному основанию. Потому как ниже, в этой главе, и в этой самой секции, описана тетрация по основанию Шелдона. Я стараюсь описывать эту тетрацию наиболее простым (хотя и не самым общим) способом, помня уроки и знания, которые я (порой без разрешения учителей) вынес ещё из Советской Школы ).
%В отличие от миллиционеров (считающих, что если они что-то описали, то никто другой уже этим пользоваться не может), я приглашаю Читателей и Коллег пользоваться описанной здесь тетрацией по мере того, как кому-либо такая тетрация потребуется. Таким образом, а надеюсь, что с помощью описанных выше методов можно  вычислять тетрацию для таких значений основания $b$, какое требуется в задачах уважаемых и благородных Читателей и Коллег, даже если они (не коллеги, а оснивания) комплексны.
%\vskip 2mm
%Тетрация по другому комплексному основанию может строиться по такому же алгоритму с мимимальной адаптацией. (Потребуется пересчитать значение фиксированной точки, оценить скорость стремления тетрации к этой точке и выбрать подходящее значение высоты прямоугольника, использованного в качестве контура интегрирования в формуле Коши.)
%хотя и ничем не мотивированный запрос на вычисление тетрации по комплексному основанию и я решил его удовлетворить.
%Других указаний на какие-либо комплексные значения основания, по каким-либо причинам представляющие особенныи интерес, пока не наблюдается; поэтому 
%\vskip 2mm
%Я надеюсь, что я достаточно подробно объяснил, почему именно основание Шелдона \rf{sheldonS} взято в качестве примера. 
%Комплексная  карта тетрации по такому основанию представлена на рисунке \ref{sheldonmap}; сейчас я расскажу, как она вычисляется.
% такая тетрация.
\vskip 2mm

%В этой секции предполагается, что основание $b$ определено формулой \rf{sheldonS}.
%Стационарные точки логарифма по основанию $b$, то есть решения $L$ уравнения  $\ln_b(L)\!=\!L$, выражаются через функцию filog:

%где
where constant $B$ is evaluated as follows:
\be
B=\ln(b)\approx 0.4227073870410604 + 0.0116910660021443 \mathrm i
\ee

%Решение $F$ с асимптотиками 
Solution $F$ of the transfer equation $b^{F(z)}=F(z\!+\!1)$ with asymptotics
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!&\!=\!&\!L_1\!+\! \exp( k_1 z \!+\! \phi_1) + \mathcal O(\exp( 2 k_1 z))~ ~ \text{при} ~ ~ \Im(z)\!\rightarrow  \infty ~
\label{sheldonFasUp}
\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!&\!=\!&\!L_2\!+\! \exp( k_2 z \!+\! \phi_2) + \mathcal O(\exp( 2 k_2 z))~ ~ \text{при} ~ ~ \Im(z)\!\rightarrow\! - \infty ~
\label{sheldonFasDown}
\ee
can be considered in the similar way, as for tetration to real base, larger than the Henryk base
%строится так же, как и для тетрации по вещественному основанию, б\'oльшему основания Генрика 
$\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$. 
Even the same contour of integration can be used.
%Подстановкa асимптотических решений в передаточное уравнение определяет инкременты
Subslitution of the asymptotic solutions \rf{sheldonFasUp}, \rf{sheldonFasDown} into the transfer equation determines the increments
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
k_1 \!&\!=\!&\! \ln(L_1 b) \approx \! -0.0047589243931785 \!+\! 0.5354935770338939\, \mathrm i 
\label{sheldonkup}\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
k_2 \!&\!=\!&\! \ln(L_2 b) \approx ~  ~ 0.0970758595007548 \!-\! 0.517289596155984\,\mathrm i
\label{sheldonkdown}\ee
%Соответственно, решение имет квазипериод 
The solution has quasiperiod
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P_1= \frac{2 \pi \mathrm i} {k_1} \approx 
11.7325200133916496
\!-\! 
0.1042667514229599 \,\mathrm i 
\label{sheldonPup}
\ee
%в верхней части комплексной плоскости и квазипериод 
in the upper part of the complex plane, and quasiperiod
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P_2=\frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx  
11.7331504449085493
 \!-\! 
2.2018723603861230 \, \mathrm i
\label{sheldonPdown}
\ee
%в нижней части комплексной плоскости. 
in the lower part of the complex plane,
\vskip 2mm

%Сформулированных выше свойств достаточно для того, чтобы через интеграл Коши выразить решение $F(z)$
%передаточного уравнения 
The properties above are sufficient to express the solution $F(z)$ of the transfer equation
\be
F(z\!+\!1)=\exp\Big(B\, F(z)\Big)
\eL{sheldonTra}
%вдоль полосы 
through the Cauchy integral.
% First, the expression is for the strip $|\Re(z)|\!<\!1$. 
%Такое построение аналогично построению тетрации по основанию 
This construction is quite analogous to that for the tetration to base
$\mathrm e$,
%описанному в главе 14, поэтому я не повторяю описание контура интегрирования и детали итерационной процедуры,
%дающей аппроксимацию решения. Как и для вещественного основания,
%% $b\!>\!\exp(1/\mhtrm e)$,
described in chapter 14; therefore I do not repeat here the description of the contour of integration nor the iterational procedure,
that provides the approximations of the solution.
%тетрация выражается через решение $F$:
%$b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$, 
The tetration is expressed through the solution $F$ in the following form:
\be
\mathrm{tet}_b(z)=F(z_1+z)
\eL{sheldonTetDef}
%где $z_1$ есть решение уравнения $F(z_1)=1$.
where $z_1$ is solution of equation  $F(z_1)=1$.
%Как и для вещественного основания $b\!>\!\exp(1/\mhtrm e)$, для основания Шелдона,
%Используя передаточное уравнение 
Using equation 
\rf{sheldonTra}, 
the solution can be extended at least to the right hand side of the complex plane.
%решение можно распространить 
%по крайней мере на правую часть комплексной плоскости. Что касается левой части, то во Втором квадранте координатной плоскости (то есть при $x\!<\!0$, $y\!>\!0$) возникнут разрезы, неизбежные при использовании логарифмической функции. K сожалению, такие разрезы не уместились в области карты, показанной на рисунке \ref{sheldonmap}, хоть я и делаю этот рисунок во всю ширину страницы. То, что такие разрезы (и точки ветвления) имеются, Читатель может видеть из асимптотики \rf{sheldonFasUp}, поскольку для основания Шелдона мнимая часть периода $P_1$ отрицательна.
As for the left hand side, in the Second quadrant of the complex plane, the branch points and the cutlines appear.
These cutlines appear at the use of the logarithmic function to extend the solution to the direction of negative values of the real part of the argument. 
\vskip 6pt

Unfortunately, the most of cut lines do not fit the frame of map in figure  \ref{sheldonmap}, althogh I make it in the whole width of the page.
The asymptotic  \rf{sheldonFasUp} indicates, that these cuts are unavoidable, while the imaginary part of quasi period $P_1$ is negative.
% 2mm
%Каждый раз, когда тетрация принимает значение ноль, 
%на единичку слева 
%имеется точка ветвления и соответствующий разрез области голоморфизма. Такие разрезы типичном и для других тетраций, даже по вещественному основанию, когда применяется формула
Each time, when the tetration takes value zero, there is branch point at value of the argument, for unity smaller.
These cuts are unavoidable also for other tetrations, while formula
\be
F(z)={\log_b}^m (F(z\!+\!m))
\ee
%для такого целого $m$, что значение $z\!+\!m$ попадает в полосу $|\Re(z)|\le 1/2$, где формула Коши дает аккуратную первичную аппроксимацию.
is used for some integer $m$ such that value $z\!+\!m$ belongs to the strip $\{z \in \mathbb C : |\Re(z)|\le 1/2 \}$.
%В этом смысле тетрация по основанию Шелдона аналогична тетрации по вещественному основанию.
%\section{Поведение тетрации по комплексному основанию}
%\section{Область тронной ракушки}
In this sense, the tetration to the Sheldon base is similar to tetration to the real base.

\section{Shell-Thron region}
\baselineskip 19pt

%В окрестности начала координат и п
%При умеренных значениях арумента $z$, тетрация  $\mathrm{tet}_b(z)$ выглядит гладкой функцией основания $b$. 
For moderate values of argument  $z$, tetration  $\mathrm{tet}_b(z)$ looks as a smooth function of base $b$. 
%При больших значениях $\Re(z)$, в зависимости от основания, тетрация либо имеет сложное, квази-хаотическое поведение, либо стремится к одной из своих стационарных точек.
At large values of $\Re(z)$, dependently on the base, tetration either has complicated, quasi-chaotic behaviour, 
or approaches some of the fixed point of the corresponding logarithm.
%На сайте Эретранде, область стремления к стационарному значению названа Shell-Thron region
At the site ``Eretrande'',
the range of values of base $b$, for which the tetration approaches its limiting value, is called Shell-Thron region
\footnote{ Shell-Thron region:\\ \url{http://math.eretrandre.org/hyperops_wiki/index.php?title=Shell-Thron_region}. }.
Such a name seems to be commonly accepted, and I even suggest the Russian literal translation
``Область Тронной Ракушки''
for the Russian version of this Book.
However, yet, it is difficult to predict, how convenient and stable are these names.
 %К сожалению, я не смог извлечь оттуда результатов, которые я бы счел подходящими для этой Книги.
%\vskip 2mm
%Можно образовать ``кальку'', переведя английское название как ``Область Тронной Ракушки''. 
%Русскоязычных публикаций о тетрации пока мало, и 
%Пока трудно судить о том, насколько такое название удобно.
\vskip 2mm

In this Book, I am interested mainly the tools for evaluation of superfunctions, and resolving the paradoxes, that 
are discussed among colleagues.
% who are interested in tetration.
Consideration of many examples, that cause no doubts, fall out of scope of this Book.
%I hope, with the tools of this Book, the Reader can consider the examples.
\vskip 2mm

In principle, at the iterates of exponent to complex base, we have to deal with the 6-dimensional space.
Coordinates of this space are the real and imaginary parts of base $b$ (or real and imaginary parts of its logarithm,
$B\!=\!\ln(b)$), 
the real and imaginary parts of the argument,and
the real and imaginary parts of the number of iterate.
There may be many interesting effects hidden in the 6-dimensional space.
The detailed description of these effects may require a special book, dedicated namely to tetration to complex base.
Since year 2010, Henryk Trappmann tries to compose such a book \cite{bitbucket} 
(I had promised to provide all the algorithms and pictures he needs for this, and all the pictures requested up to date are already plotted an included there). I hope, one day Henryk gets good grant for this activity and will be able to polish the text to the state he considers as satisfactory.
While I still see no principal problem, that cause serious difficulty at the evaluation of the corresponding iterates; so, I do not include parts of 
\cite{bitbucket} to this Book. For this reason, analysis of the Shell-Thron region is presented here in a declarative form.
\vskip 2mm

I hope, the Readers can plot all the pictures that are necessary for illustration of tetration to the complex base,
using the tools described above. However, if any difficulties of paradoxes appear in the analysis, I shall try to consider and to resolve them.
This point of view is described by the Russian writers Arkadi \& Boris Strugatski in the novel ``Monday begins on saturday''
\cite{ponedelnik}: {\em .. It's nonsense to look for a solution if it already exists. We are talking about how to deal with a problem that has no solution. ..}
\vskip 2mm

I hope, the Readers can evaluate tetration to other bases by themselves, using the tools any examples above. Following the idea mentioned, I continue to deal with cases that are believed to have ``no solution''.
One of the such cases refer to the superfunction of tetration; let it be called ``pentation''.
In order to bring is to the textbook case (see figure \ref{textbookcase}), this function, among other ackermanns, is considered in the next chapter.

\begin{figure}[b]
%\sx{.8}{\begin{picture}(200,200)
%\begin{center}
\hskip 140pt
\sx{.4}{\begin{picture}(200,200)
\put(0,0){\ing{textbookcase}}
\end{picture}}
%\end{center}
\caption{\large Textbook case \label{textbookcase}}
\end{figure}
%В принципе, при итерировании экспоненты, можно говорить о шестимерном пространстве. Координатами такого пространства являются вещественная и мнимая части основания $b$, вещественная и мнимая части аргумента и вещественная и мнимая части номера итерации.
%В шестимерном пространстве могут быть спрятаны нетривиальные эффекты, заслуживающие исследования. Я надеюсь, что их рассмотрение не вызовет сложностей, и поэтому такие эффекты не рассмотрены в этой книге.
%Следуя принципу, сформулированному в книге ``Понедельник начинается в субботу'', я
%Я  стараюсь работать над такими проблемами, которые считаются неразрешимыми
%\cite{ponedelnik}.
%\vskip 2mm
%\section{Ещё работа}
%Я представил один-единственный пример вычисления тетрации по комплексному основанию. Предложенные в этой Книге инструменты
% и, в частности, представление тетрации через интеграл Коши, 
%позволяют вычислять тетрацию по такому основанию, по какому потребуется.
%от такого комплексного аргумента, какой потребуется. 
%И не только тетрацию. В следующей главе рассмотрен случай, когда тетрация выступает в роли передаточной функции, и вычисляется её суперфункция.
%\vskip 2mm

%Возможно, Читателю покажется, что какие-либо случаи представляют особенный интерес, ведут к каким-либо парадоксам, противоречиям. Я надеюсь, что я достаточно заинтересовал Читателя
%красотой построенных комплексных карт, и Читатель сможет либо рассмотреть особенно интересный случай самостоятельно, или объяснить мне, почему такой случай ``не получается'' методами, предложенными выше.
%\vskip 2mm
%Я стараюсь не строить теорию драконов, сферических лошадей в вакууме и тому подобных явлений. Для того, чтобы такая теория была интересна, требуется ``затравка'' - или какое-то противоречие, парадокс, или какие-то, хотя бы мысленные, приложения. В соответствии с аксиомами ТОРИ, такие приложения требуются хотя бы для того, чтобы подтверждать (или опровергать) результаты исследований. Поэтому я на этом пока заканчиваю рассмотрение тетрации по комплексному основанию.}%JP

%\chapter{~ Аскерманны
\chapter{~ Ackermanns
% и заметки о национальном вопросе 
\label{Ackermanns}}
\baselineskip 17pt

\begin{wrapfigure}{r}{118pt}
\sx{.4}{
\begin{picture}(100,100)
\put(0,300){\ing{Ackermann_Wilhelm}}
\put(20,220){\sx{2.2}{W.Ackermann}}
\put(280,70){\sx{1.4}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ackermann.jpg}\ero}}
%\put(290,50){\sx{1.44}{\rot{90}\url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ackermann_Wilhelm.jpg}\ero}}
\end{picture}}
\vskip -130pt
\caption{
%Wilhelm Ackermann 
\label{Wilhelm}}
\end{wrapfigure}
\hskip 140pt
\begin{parbox}{500pt}
{\small \baselineskip 11pt 
\vskip -20pt
%Old story, c
%Century 20: \\---Abgam, did you hear, one of us sank ``Titanic''. \\--- Wou! Who did that? \\--- One says, 
%some 
%Aisbegg!
%his name is
%Ice Berg did!
\vskip 1mm
%Old story, c
%Century 21: \\ --- Abgam, do you know, one man asks hoggible questions!  \\--- Who is that man? \\--- 
--- Do you know, one man asks hoggible questions!  \\--- Who is that man? \\--- 
%One says, some 
He is called Askeg-man!
\vskip 2mm
\RU{
Перевод с Английского:
\vskip 1mm
Старая история, 20й век: \\--- Абгам, слыхал, наши ``Титаник'' потопили! \\ --- Да ну! А кто?\\ --- Я точно не знаю, но говогят, какой-то Айсбегг!
\vskip 1mm
Старая история, 21й век: \\--- Абгам, ты слыхал, один из наших задает ужжасные вопгосы..\\ --- Да ну! А кто?\\ --- Говогят, какой-то Аскегманн!\\
}%
} 
\end{parbox}
%\chapter{Тетрация по основанию e}

%Я надеюсь, что предложенный выше эпиграф не послужит причиной обвинения меня в антисемитизме. Среди моих соавторов есть и весьма германские арийцы, и столь же семитские евреи. Я вижу особенности каждой из указанных наций; я ценю как еврейскую ``ментальность'' (достаточно выраженную в так называемых ``еврейских анекдотах''), так и арийскую педантичность (столь же выраженную в историях и шутках про ``немцев''). Для эффективного научного исследования требуется и то, и другое. Примерно так, для забрасывания баскетбольного мяча в сетку, особенно эффективны качества высоченного бразильца, а для рекордов по спелеологии более важны качества тщедушного вьетнамца или африканского пигмея. Научные исследования отличаются тем, что трудно предсказать, что потребуется: мяч в сетку или пролезть в узкую щель. Одинаково глупо как настаивать на том, что нации ``равны'' (и запрещать обсуждать очевидное различие), так и заявлять, что кто-то из них, вообще, ``лучше'' (и на этом основании требовать для кого-то из них каких-либо специальных прав и привилегий). Я считаю, что такое лирическое отступление помогает понять ментальность и идеологию аскерманнов, о которых идет речь в этой главе.
\JP{
I hope, the epigraph above will not be used as a pretext to blame me as antisemit.
Among my coauthors, very arian germans can be detected, as well as pretty semitic jews. So, I keep my right to indicate both strong and week sides of each race. I appreciate both, the jew's ``mentality" (well expressed in so-called jew jokes) and the arian pedantizm (often expressed in the jokes about ``Germans''). Both quality can be useful in the scientific research, but not so often (if at all) they combine in a single researcher. It is counter-productive to insist, that ``all nations are equal'', while the differences are obvious and known, in the same way, as it is not vice to declare that some to them are, generally, ``better'' than other and insist on some privileges based on the national superiority. I hope, such nationalistic exercise helps to understand the origin to declare some of ackermanns described below, to be superior, than others. So, I stop this digression and turn to the definitions, based on the chapters above. }
%``some to them are more equal that others''
%\vskip 3mm

%Для вещественного параметра $b\!>\!1$, называемого базой, тетрацией называется решение $f\!=\!\mathrm{tet}_b$
%In this chapter, I deal only with the real values of base. 
%In this Chapter, 
Here I retell some results for %the
holomorphic ackermanns, tetration and pentation \cite{pentation}.
For base $b\!>\!1$, 
tetration $f\!=\!\mathrm{tet}_b$
%передаточного 
%уравнений
is solution of equations
\be
f(z\!+\!1)=b^{f(z)}   ~ ~ ~, ~ ~ ~ f(0)=1
\eL{tetb}
%голоморфное по крайней мере в области 
holomorphic at least in range
\be
z \in \bC : \Re(z)>-2 
\eL{htetb1}
%и ограниченное в области 
that is limited in range
\be
z \in \bC : |\Re(z)| \le 1 
\eL{htetb12}
%Исторически, тетрация по основанию e оказалась первой нетривиальной суперфукцией, для которой удалось построить эффективное решение \cite{analuxp}. Случай $b=\mathrm e$ рассматривается в этой главе.

%Уравнение \rf{tetb} является частным случаем 
%уравнений 
%цепочки Аскерманна
Equation \rf{tetb} appears as special case of the 
%chain of the 
Ackermann equations
\be
\!A_1(z)&\!=\!&b+z ~,~z \in \bC ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ \iL{Acker1}\\
\!A_n(1)&\!=\!&b ~,~ n\in \bN, n\!\ge\!1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~\iL{Acker2}\\
\!\!\!\!A_n(z\!+\!1)\!\!&\!=\!&\!A_{n-1}\big(A_n(z) \big) ~,~ n\in \mathbb{N}, n > 1 ~ ~ \iL{Acker3}~ ~ ~ ~ ~
\ee
%Функции $A$ здесь называются аскерманами (с маленькой буквы), чтобы не путать их с великим и могучим математиком Вильгельмом Аскерманном (Wilhelm Ackermann) 
I call functions $A$ ``ackermanns'' in order to avoid confusion with 
%famous 
mathematician Wilhelm Ackermann, shown in figure \ref{Wilhelm}. His last name, to make difference from the name of the function, is written with 
%very 
Capital letter  \cite{acker}. Ackermanns $A$ are subject of this chapter. However, for the highest ackernanns, the range of holomorphism 
%and the asymptotic behaviour have 
has
no need to be the same as condition \rf{htetb1} %,\rf{htetb12} 
for tetration. This range, as well as the asymptotic behaviour of highest ackermanns should be specified. I cannot yet provide the general specification; below, I suggest only the first approach to the problem.
%Именно об аскерманнах идет речь в этой главе. 
\vskip 5pt

%Первые три аскерманна являются элементатными функциями. Интерес представляет 
%построение высших аскерманнов. Такое построение помогает, в частности, проверить, отточить
%общие методы построения суперфункций.
For base $b\!=\!2$, the explicit plots of the first four ackermanna are shown in figure \ref{acker2t} with thick lines,
solid, solid, dotted and dashed. 
The thin lines refers to another (and more conventional) system of notations, described in the next section.
%First three ackermanns are elementary functions. I describe the
%It is interesting to construct higher ackermanns. 
%This can be considered as at least a good example, to guess, to develop, to test and to polish the general methods 
%of construction and evaluation of superfunctions.
\vskip 2mm

%Для основания $b\!=\!2$, Графики первых четырех аскерманнов показаны на рисунке 
%\ref{acker2t} жирными кривыми: сплошной, сплошной, точковой и пунктиром.
%Тонкие кривые относятся несколько иной системе обозначений, рассмотренной в следующей секции.
%Для первых аскерманнов есть специальные названия.
% \vskip 2mm
%\newpage
%~

\rule{0pt}{494pt}

\begin{figure}[h]
\vskip -500pt
%\sx{.5}{\begin{picture}(408,1006) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\sx{.7}{\begin{picture}(308,506) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\sx{.4}{\begin{picture}(308,506) %\put(12,0){\ing{penma}}
\sx{.69}{\begin{picture}(308,1006) %\put(12,0){\ing{penma}}
\put(0,0){\ing{acker2}}
\put(281,988){\sx{3.001}{$y$}}
\put(279,895){\sx{3.001}{$6$}}
\put(279,795){\sx{3.001}{$5$}}
\put(279,694){\sx{3.001}{$4$}}
\put(279,594){\sx{3.001}{$3$}}
\put(279,468){\sx{3.001}{$\mathrm e$}}
\put(279,494){\sx{3.001}{$2$}}
\put(279,394){\sx{3.001}{$1$}}
\put(279,294){\sx{3.001}{$0$}}
\put(258,193){\sx{3.001}{$-1$}}
\put(258, 93){\sx{3.001}{$-2$}}
\put( 80,274){\sx{3.001}{$-2$}}
\put(180,274){\sx{3.001}{$-1$}}
\put(296,274){\sx{3.001}{$0$}}
\put(396,274){\sx{3.001}{$1$}}
\put(496,274){\sx{3.001}{$2$}}
\put(586,274){\sx{3.001}{$x$}}
%
%\put(242,620){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathcal{A}(4,x)\!=\! A_2(x\!+\!3)\!-\!3\!=\!\mathrm{tet}_2(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(248,720){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathcal{A}(4,x)\!=\! A_{2,4}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(312,720){\sx{1.8}{\rot{80}$y\!=\!\mathcal{A}(3,x)\!=\! A_{2,3}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(348,712){\sx{1.8}{\rot{63}$y\!=\!\mathcal{A}(2,x)\!=\! A_{2,2}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(314,526){\sx{1.8}{\rot{45}$y\!=\!\mathcal{A}(1,x)\!=\! A_{2,1}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}

%\put(438,714){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
%\put(538,912){\sx{1.8}{\rot{82}$y\!=\!\mathrm{tet}_2(x)$\ero}}
\put(526,822){\sx{1.8}{\rot{82}$y\!=\!A_{2,4}(x)\!=\!\mathrm{tet}_2(x)$\ero}}
%\put(578,892){\sx{1.8}{\rot{73}$y\!=\!2^x$\ero}}
\put(566,858){\sx{1.8}{\rot{73}$y\!=\!A_{2,3}(x)\!=\!2^x$\ero}}
\put(566,792){\sx{1.8}{\rot{62}$y\!=\!A_{2,2}(x)\!=\!\mathrm{2}x$\ero}}
%\put(478,628){\sx{1.8}{\rot{50}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
\put(520,696){\sx{1.96}{\rot{44}$y\!=\!A_{2,1}(x)\!=\!2\!+\!x$\ero}}
%
%\put(86,222){\sx{1.9}{\rot{11}$y\!=\!\mathrm{exp}(x)$\ero}}
%\put(20,30){\sx{1.9}{\rot{30}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(32,326){\sx{1.9}{\rot{3}$y\!=\!2^x$\ero}}
\put(132,4){\sx{1.9}{\rot{81}$y\!=\!\mathrm{tet}_2(x)$\ero}}
\put(178,8){\sx{1.9}{\rot{66}$y\!=\!\mathrm{2} x$\ero}}
%
%\put(308, 13){\sx{2.2}{$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt \hskip 1pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Acker2t400.jpg}
\vskip -10pt
\caption{
%Сравнение обозначений для двоичных аскерманнов 
Comparison of definitions for binary ackermanns
\iL{acker2t}}
%\vskip -500pt
\vskip -12pt
\end{figure}
%\rule{0pt}{500pt}

\section{Binary ackermanns}
\baselineskip 18pt
%\section{Двоичные аскерманны}

%Ранее, аскерманны рассматривались преимущественно по основанию $b\!=\!2$. Чтобы не путать их с аскерманнами по другим основаниям, аскерманны по основанию 2 я называю бинарными, или классическими, или каноническими. Я не знаю, какой из этих терминов (и из этих ли) окажется более удобным.
In century 20, the ackermanns are considered mainly  (or even exclusively)  for the base $b\!=\!2$, and mainly (or even exclusively) for integer values of the argument. I call ackermanns to base $b\!=\!2$ as ``binary'' ackermanns.
\vskip 2mm

%Для бинарных аскерманнов используются специальные обозначения. Номер аскерманна записывается в виде дополнительного, первого аргумента, а значение основания $b$ не указывается вовсе. В некотором смысле это оправдано: какой смысл указывать основание, если оно всегда константа, равная двум?
For the binary ackermanns, the special notations are used. The number of ackermann is written as additional, first argument, and the base $b$ is not indicated at all; there is no need to indicate it, as it remains to be two.
%Связь классических (и пока общепринятых) обозначений для $b\!=\!2$ с аскерманнами по формулам 
Relation of the classical (and usual for today) notations for the ackermanns by
\rf{Acker1}
\rf{Acker2}
\rf{Acker3} 
%можно выразить простой формулой
can be expressed with the simple formula
\be
\mathcal{A}(m,z)=A_{2,m}(z+3)-3
\eL{asa3}
%В частности, 
In particular,
\be
A_{2,1}(x)&=\!&2+x=\mathcal A(1,x\!+\!3)-3=\mathcal A(1,x) \\
A_{2,2}(x)&=\!& ~2\, x ~=\mathcal A(2,x\!+\!3)-3 \\
A_{2,3}(x)&=\!&\exp_2(x)\!=\mathcal A(3,x\!+\!3)-3=2^x \\
A_{2,4}(x)&=\!&\mathrm{tet}_2(x)=\mathcal A(3,x\!+\!3)-3
\ee
\vskip 2mm

%Чтобы показать связь между $A$ с индексом и одним аргументом и $\mathcal A$ без индекса, но с двумя аргументами, на рисунке \ref{acker2t} 
Figure  \ref{acker2t} shows relation between the single-argument function $A$ 
%с индексом и одним аргументом и 
with subscripts %and single argument 
and conventional
$\mathcal A$ 
without subscript, but with two arguments.
%без индекса, но с двумя аргументами.
%, на рисунке \ref{acker2t} 
%оба
%такие аскерманны построены как функции вещественного аргумента.
Four ackermanns are plotted as functions of real argument;
%\vskip 1mm
$y\!=\!A_{2,m}(x)~$ for $~m=1,2,3,4$ 
%показаны толстыми линиями (сплошной, сплошной, точковой, и пунктиром );
are shown with thick lines (solid, solid, dotted and dashed);
%\vskip 1mm
dependences
$y\!=\!\mathcal{A}(m,x)~$ for $~m=1,2,3,4$ 
%показаны тонкими линиями (сплошной, сплошной, точковой, и пунктиром ).
are shown with thin lines (solid, solid, dotted and dashed);
\vskip 2mm

%Ввиду соотношения  \rf{asa3}, толстые линии образуются из тонких смещением, трансляцией на 3 единицы вдоль оси $x$ и настолько же по оси $y$. Лишь прямая для первого аскерманна при такой трансляции переходит сама в себя. 
Due to relation \rf{asa3}, the thick lines in Fig.\ref{acker2t} can be 
obtained
%constructed
from thick lines by translation for 3 units along $x$ axis and for the same along the ordinate axis; the only straight line for the First ackermann stays at its place at such a transform.
\vskip 2mm

%Специально для бинарных аскерманнов, системa уравнений 
Especially for the binary ackermanns, the system of equations
\rf{Acker1},
\rf{Acker2},
\rf{Acker3}
%может быть слегка расширена, чтобы включать ``нулевой'' аскерманн. Уравнения для $\mathcal A$ могут быть записаны так:
can be a little but extended, in order to include the ``zeroth" ackermann. Equations for  $\mathcal A$ can be written as follows:
\be
\!\!\!\!\!\!\mathcal A(0,z)&=&z+1 \\
\!\!\!\!\!\!\mathcal A(m\!+\!1,0)&=&\mathcal A(m,1)\\
\!\!\!\!\!\!\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)&=&\!\mathcal A\Big(m,\mathcal A(m\!+\!1,z)\Big) ~
\eL{ackerbi}
%Смещение и аргумента функции, и значения этой функции по формуле \rf{asa3} соответствует преобразованию сопряжения. Поэтому передаточное уравнение \rf{ackerbi} для бинарного аскерманна в ``классических'' обозначениях имеет такой же вид, как и передаточное уравнение  \rf{Acker3}.
Displacemenr of both, argument and the function, by formula \rf{asa3} can be qualified as conjugation. The transfer equation \rf{ackerbi} for the binary ackermann in the ``classical'' notations has the same form, as the transfer equation \rf{Acker3}.

\vskip 2mm
%Одним из применений аскерманнов является обозначение больших чисел (для вещественного аргумента).
One of applications of the ackermanns is to denote the huge numbers (for real moderate values of the argument).
%За счет смещения аргумента, канонические бинарные аскерманны могут создавать видимость несколько более быстрого роста, чем аскерманны по формулам 
Due to the displacement of the argument, the canonical ackermanns can make illusion of a little bit more fast growth, than the ackermanns by 
\rf{Acker1},
\rf{Acker2},
\rf{Acker3}. 
%Однако, для приложений, такое ``ускорение'' навряд ли существенно; и обозначения в формулах 
However, for the applications, this ``acceleration'' is not important. I think, the notations in formulas 
\rf{Acker1},\rf{Acker2},\rf{Acker3} 
%мне представляются более удобными, чем канонические. 
are better than the canonical notations.
%Потому как в обозначениях 
In notations
\rf{Acker1},
\rf{Acker2},\rf{Acker3},
%третий аскерманн оказывается просто экспонентой, четвертый - просто тетрацией, и так далее. Кроме того, если рассматривать свойства голоморфизма и итерации по последнему аргументу, а остальные аргументы (основание  $b$ и номер аскерманна $m$) считать параметрами, то удобно записывать эти параметры в виде индекса. 
the third ackermann happens to be just exponent, the fourth - just tetration, and so on.
In addition, I consider ackrmanns as superfunctions, holomorphic with respect to the last argument; so, it is good, to keep this argument single. The base $b$
and the number of the ackermann appear as parameters; they can be specified in the subscript.
%Я надеюсь, что у Читателя не возникнет проблем с использованием соотношения \rf{asa3} для перехода из одной системы обозначений в другую. 
I hope, the Reader will meet no problems using relation  \rf{asa3} for the conversion from one system of notations to another one.

\section{Names and notations}
%\section{Названия}

%B 20 веке, функции Аскерманна обычно рассматривались для основания $b\!=\!2$ и только для целых значений $z$.
As I had mentioned above, in century 20, the functions of Ackermanns are considered for base  $b\!=\!2$ and only for integer values of the argument $z$.
%Пока не видно принципиальных ограничений, которые препятствовали бы вычислению такой функции для комлексных значений 
%$b$ и $z$; разумеется, подходящие требования на область голоморфизма должны быть сформулированы.
While, I see no fundamental limits, that would prohibit existence and evaluation of these functions for various, including complex, 
values of $b$ and $z$; however, the appropriate requirement on the range of holomorphism should be formulated.
%Есть надежда, что для всех аскерманов можно потребовать голоморфизма по крайней мере в некоторой окрестности  вещественной оси. Решение передаточного уравнения не единственно, поэтому следует либо указывать способ построения каждого аскерманна, либо изобретать требования на поведение аскерманнов в комплексной плоскости.
% а также ограниченности по крайней мере в некоторой полосе, параллельной мнимой оси.

I hope, for all ackermanns, we may require the real holomorphism at least in some vicinity of at least some part to the real axis.
In general, the solution of the transfer equation is not unique; so, we should indicate also the way of construction of each ackermann, or to guess
(invent, postulate) its behaviour in the complex plane, following the idea, used to construct natural tetration described in chapter 14.
\vskip 6pt

%На начало 21 века можно считать общепринятыми следующие имена для нескольких первых аскерманнов:
%Несколько первых аскерманнов имеют специальные названия:
%разработаны эффективные алгоритмы для вычисления $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $A_4$; аналогично мо
%Эти функции имеют общепринятые названия:
%For the beginning of century 21, s
Several ackermanns already have special names:

$A_{b,1}~=~ z\mapsto b\!+\!z$, 
%добавление константы 
addition of constant
$b$,

$A_{b,2} ~=~ z\mapsto b z$, 
%умножение на константу 
multiplication by constant
$b$,

$A_{b,3}~=~ \exp_b ~=~ z\!\mapsto\! \mathrm{pow}(b,z)~=~z\!\mapsto\! b^z$, 
%экспонента по основанию 
exponent to base 
$b$,

$A_{b,4}~= ~\mathrm{tet}_b~=~ z \mapsto \mathrm{tet}_b(z)$, 
%тетрация по основанию 
tetration to base
$b$,

$A_{b,5}~=~ \mathrm{pen}_b~=~ z \mapsto \mathrm{pen}_b(z)$, 
%пентация по основанию 
pentation to base
$b$.
\vskip 2mm

%Следующиe функции могут обозначаться символами 
The following functions can be denoted with sumbols
$\mathrm{hex}_b$,  $\mathrm{hep}_b$, $\mathrm{oct}_b$,..
and be called, accordingly, with terms
%и называться, соответственно, терминaми 
%``гексация'' (hexation), ``гептация'' (heptation), ``октация'' (octation) и т.д.
``hexation'', ``heptation'', ``octation''
and so on.
% и т.д. Такие обозначения получаются при транслитерации 
%на русский и английский язык 
%латинских числительных и сокращении имен функций до трех букв. 
These notations appear at the truncation of latin names of numbers to three characters.
\RU{
\footnote{Суперфункции расширяют возможности 
%русского языка 
посылать на три буквы. В принципе, для гексации можно было бы использовать латинское слово sextus (“sixth”, шесть) и oбразовать термин ``сексация'', обозначая соответствующую функцию $\mathrm{sex}_b$. Однако, судя по тому, какие сайты предлагают базы данных при поиске с ключевым словом  $\mathrm{sex}_b$, человеческая цивилизация ещё не вполне созрела для %использования 
сексации, и для суперфункции от пентации, то есть для шестого аскерманна, лучше использовать термин ``гексация''. %при итерациях пентации.
} 
}%RU
\vskip 6pt

%Изначально, формализм суперфункций разрабатывался для тетрации, то есть суперфункции от экспоненты. Однако этот формализм может применяться и для других передаточных функций, и, в частности, для различных аскерманнов. Как пример, в следующей секции рассмотрена пентация.
Initially, the formalism of sulerfunctions had been developed for tetration, id est, for superfunction of the exponent, for the Fourth ackermann.
However, this formalism can be applied also for other functions, and, in particular, for various ackermanns.
As an example, in the next section I consider the 5th ackermann, the pentation.

%\rule{0pt}{330pt}
%\section{Пентация}
\section{Pentation}

%Если  Математику дать чайник, газовую плиту, спички и кран с водой, и попросить вскипятить чай, то он нальет в чайник воду, зажжет газ и поставит чайник на огонь. Но если после этого Математика ещё раз попросят вскипятить чай, когда вода уже в чайнике, а газ горит, то Математик выльет воду, погасит газ и произнесёт заклинание: {\bf ``Задача сведена к предыдущей''}.
%If mathematics give kettle, gas stove, matches and water tap and ask boil tea, pour it into the kettle water, ignite the gas and put the kettle on the fire. But if after that Mathematics again asked to boil tea when the water in the kettle, and the gas is lit, the mathematician pour water quench gas and utter spell: {\ bf `` The problem is reduced to the previous ''}.

If you give to some true Mathematician the teapot, the gas stove, the matches and water tap, and ask 
to prepare tea, the Mathematician puts water into the teapot, ignites the gas and put the teapot on the fire.
If the Mathematician finds the tea powder, then, perhaps, he or she even drop it into the hot water after to see the boiling and switch off the gas.
But if, after that, the Mathematician again is asked to prepare the tea, while the water is already in the tea pot, and the gas fire at the stove is ready..
Ooh.. You may guess, that the true Mathematician shuts down the gas, drops the water from the teapot and spells the magic sentence:
 {\bf ``The problem is reduced to the previous one!''}.
\vskip 6pt
%%В этой книге из аскерманнов рассмотрена только тетрация. Я стараюсь не включать в Книгу неопубликованные результаты. Это не потому, что мне жалко, а потому, что есть надежда, что рецензенты научных журналов повылавливали бы хотя бы самые грубые ошибки, если вдруг чего не так.
%%Поэтому я здесь не показываю пентацию и более высокие аскерманны. Они могут строиться по аналогии с тетрацией и другими суперфинлциями. Чтобы показать эту аналогию, 
%Я надеюсь, что методами, описанными в выше, Читатель уже и сам
%%(даже если он не знает, ни отчего умер Пушкин, ни как очищают политуру), 
%может вычислять суперфункции и, в частности, тех аскерманнов, какие ему понадобятся.
% с такой аккуратностью, которая при этом потребуется. 

I hope, with methods, described above, and keeping in mind the previous paragraph, 
the Reader already can calculate the superfunctions, just following the general algorithms from this Book.
%by himself/herself.
On the other hand, I am more physicists, than mathematician. 
(The mathematician colleagues have no doubt in this, although some physicists express the opposite opinion.)
%Однако я больше физик, чем математик. 
%Хотя я и и считаю, что задача построения суперфункции от тетрации сведена к предыдущей,  
Therefore, instead of to spell the magic sentence {\bf ``The problem is reduced to the previous one!''},
in this chapter, I suggest one more example of evaluation of ackermann.
%Поэтому, вместо того, чтобы произнести заклинание ``задача сведена к предыдущей'', я предлагаю пример вычисления ещё одного аскерманна, %а именно - 
%натуральной пентации, то есть
This example refers to the natural pentation, id est,
$\mathrm{pen}=\mathrm{pen}_\mathrm{e}=A_{\mathrm e,5}$.
\vskip 6pt

%\begin{wrapfigure}{r}{242px}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\vskip -2pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(702,702)\put(0,0){\ing{tet5loplo}}
%\sx{.338}{\begin{picture}(702,702)\put(0,0){\ing{tet5loplo}}
\sx{.6}{\begin{picture}(702,702)\put(0,0){\ing{tet5loplo}}
\put( 172,680){\sx{4}{$y$}}
\put( 172,590){\sx{4}{$4$}}
\put( 182,467){\sx{4}{e}}
\put( 172,390){\sx{4}{$2$}}
\put( 172,190){\sx{4}{$0$}}
\put( 194,164){\sx{4}{$0$}}
\put( 394,164){\sx{4}{$2$}}
\put( 594,164){\sx{4}{$4$}}
\put( 686,166){\sx{4}{$x$}}
\put(344,570){\sx{4}{\rot{80} $b\!=\! \rme$ \ero } }
\put(522,574){\sx{4}{\rot{66} $b\!=\!1.7$ \ero } }
\put(600,603){\sx{4}{\rot{64} $b\!=\!\tau$ \ero } }
\put(550,492){\sx{4}{\rot{42} $b\!=\!1.6$ \ero } }
%\put(574,422){\sx{4}{\rot{13} $b\!=\!1.5$ \ero } }
\put(580,438){\sx{4}{\rot{14} $b\!=\!1.5$ \ero } }
\put(592,400){\sx{4}{\rot{7} $b\!=\! \eta$ \ero}}
\put(574,345){\sx{4}{\rot{2}$b\!=\!\sqrt{2}$\ero}}
\put(130,504){\sx{4}{$L_{\tau,1}$}}
\put(500,164){\sx{4}{$L_{\tau,1}$}}
\put(-2,219){\sx{4}{$L_{\mathrm e,0}$}}
\put(202,6){\sx{4}{$L_{\mathrm e,0}$}}
\end{picture}}
\vskip 1pt
%\sx{.7}
{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tet5loplot.jpg}}
\vskip -4pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$, 
%фрагмент рисунка 
fragment of figure
\ref{tet10bx}; 
%добавлены прямая 
line
$y\!=\!x$ 
%и график 
and 
$y\!=\!\mathrm{tet}_\tau(x)$
are added
%с некоторыми дополнениями 
 \label{tet5loplot}}
\vskip -8pt
%\end{wrapfigure}
\end{figure}

%Ключевой вопрос при построении суперфункции - о стационарных точках передаточной функции.
%, и пентация - не исключение. 
At the construction of a superfunction, the key question is about the fixed points of the transfer function.
%Для пентации передаточной функцией является тетрация tet, рассмотренная в главе 14. 
For pentation, the transfer function is tetration, considered in chapter 14.
%Для тетрции есть эффективный алгоритм FSEXP, залитый на всякие вики под именем fsexp.cin; так что я считаю, что с вычислением тетрации, арктетрации и её производных проблем уже нет.
%Bещественые стационарные точки тетрации показаны на рисунке \ref{tet5loplot}. Это модификация рисунка \ref{tet10bx}:
The real fixed points of tetration are shown in figure \ref{tet5loplot}. This is modification of figure \ref{tet10bx}:
%некоторые кривые убраны; добавлена кривая для тетрации по основанию
some lines are removed, and the new curve for tetration to base
$b\!=\!\tau\!\approx\!1.63532$ is added. Here, $\tau$ is specific values of base, at which the curve $y\!=\!\mathrm{tet}_\tau(x)$
touches the line $y\!=\!x$.
%где $\tau$ есть такое основание, что кривая $y\!=\!\mathrm{tet}_\tau(x)$ касается прямой $y\!=\!x$. Точка касания имеет координаты 
The point of touching has coordinates
$(L_{\tau,1},L_{\tau,1})$, 
%при этом 
and
$L_{\tau,1}\approx 3.087$.
%Для этого значения на рисунке 
For this value, the additional grid lines are added in figure 
\ref{tet5loplot}.
%проведены дополнительные линии координатной сетки. 
\vskip 6pt

%При значениях основания $b\!>\!\tau$, тетрация $\mathrm{tet}_b$ имеет только одну вещественную стационарную точку, и это, в частности, случай натуральной тетрации $\mathrm{tet}=\mathrm{tet}_\mathrm e$. Для натуральной тетрации, эта стационарная точка 
At base $b\!>\!\tau$, tetration  $\mathrm{tet}_b$ has the only one real fixed point. In particular, this refers to the case of natural tetration
$\mathrm{tet}=\mathrm{tet}_\mathrm e$. For natural tetration, this point is 
$L\!=\!L_{\mathrm e,0}\!\approx\! -1.85035452902718$, 
%и для этого значения на рисунке 
and for this value, also the additional grid lines are shown in figure
\ref{tet5loplot}.
%тоже проведены дополнительные координатные линии. 
%Именно эта стационарная точка тетрации выбрана для построения натуральной пентации pen, то есть пятого аскерманна по основанию 
Namely this point is chosen to built-up the natural pentation pen, id est, for the fifth ackermann to base
$\mathrm e\!=\!\exp(1)\!\approx\! 2.71~$.
As the Reader can see, not so many options we have in this case.
\vskip 6pt

%Натуральной пентацией, или пятым аскерманом по основанию $\mathrm e$, я называю суперфункцию от тетрации, построенную регулярной итерацией на стационарной точке 
The growing real-holomorphic superfunction of natural tetration, that is constructed with regular iteration at the fixed point
$L_{\mathrm e,0}$ %\!\approx\! -1.85035452902718$ 
and approaches this fixed point at $-\infty$, I call the fifth ackermann, or pentation.
%и приближающуюся к этой стационарной точке на минус бесконечности.
%График пентации показан толстой курвой на рисунке 
Graphic of pentation is shown in figure \ref{penplo}. I describe the construction below.
\newpage
%\begin{wrapfigure}{r}{244pt}
\begin{figure}[t]
\normalsize
%\vskip -4pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(608,1008) \put(0,0){\ing{penplo}}
\sx{.7}{\begin{picture}(608,908) \put(0,0){\ing{penplo7}}
%\sx{.35}{\begin{picture}(608,908) \put(0,0){\ing{penplo7}}
\put(377,894){\sx{3.2}{$y$}}
%\put(377,895){\sx{3.2}{$7$}}
\put(377,795){\sx{3.2}{$6$}}
\put(377,695){\sx{3.2}{$5$}}
\put(377,594){\sx{3.2}{$4$}}
\put(377,494){\sx{3.2}{$3$}}
\put(377,466){\sx{3.2}{$\mathrm e$}}
\put(377,394){\sx{3.2}{$2$}}
\put(377,294){\sx{3.2}{$1$}}
\put(377,194){\sx{3.2}{$0$}}
\put(358, 93){\sx{3.2}{$-1$}}
\put(80,174){\sx{3.2}{$-3$}}
\put(180,174){\sx{3.2}{$-2$}}
\put(280,174){\sx{3.2}{$-1$}}
\put(396,174){\sx{3.2}{$0$}}
\put(496,174){\sx{3.2}{$1$}}
\put(590,174){\sx{3.2}{$x$}}
\put(242,406){\sx{3.6}{\rot{85}$y\!=\!L+\exp(k(x\!+\!x_1))$\ero}}
%
%\put(560,510){\sx{3.6}{\rot{84}$y\!=\!L+\exp(k(x\!+\!x_1))$\ero}}
%\put(532,708){\sx{3.6}{\rot{86}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
%\put(446,370){\sx{3.9}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(534,472){\sx{4}{\rot{75}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
%\put(366,236){\sx{2.3}{$y\!=\!10(\mathrm{pen}(x)\!-\!1\!-\!x)$}}
%\put(416,239){\sx{3.4}{$y=10\,\delta(x)$}}
\put(8,236){\sx{3.3}{$y=10\,\delta(x)$}}
%\put(366, 8){\sx{3.3}{$L$}}
%\put(312, 9){\sx{3.2}{$y\!=\!L$}}
\put(252, 10){\sx{3.2}{$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$}}
%\put(640,10){\sx{2.5}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penplot.jpg} \ero}}
\end{picture}}
\vskip 2pt {\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penplot.jpg}}
\vskip 2pt
\caption{
%\large
$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$ 
%по формуле 
by
\rf{pendef}, 
%её асимптотика %по формулe
its asymptotic
\rf{pen01e},
%и погрешность линейной аппроксимации по формуле 
and deviation of the linear approximation by
\rf{pendelta}
\label{penplo}}
\vskip -400pt
%\end{wrapfigure}
\end{figure}
~
\newpage
%\baselineskip 19.6pt
\baselineskip 17.6pt
%very strange, why so difficult is to place fig at the page I like?

%Методами
%Аскерманны могут вычисляться с помощью методов, представленные в этой Книге. На рисунке \ref{tet5loplot} показан графический поиск стационарных точек тетрации. Именно эти стационарные точки определяют поведение супертетрации, и, в частности, следующего аскерманна, а именно - натуральной пентации 
%$\mathrm{pen}\!=\!\mathrm{pen}_\mathrm e\!=\!A_{\mathrm e,5}$.
%Пентация удовлетворяет передаточному уравнению

%Для передаточной функции $\tet$, уравнение для суперфункции $F$ записывается так:
%For the transfer function tet, the equation for the superfunction $F$ can be written as follows:
For superfunction $F$ of transfer function tet, the transfer equation is
\be\!\!\!\!
%\mathrm{pen}(z\!+\!1)=\mathrm{tet}\Big( \mathrm{pen}(z)\Big)
F(z\!+\!1)=\mathrm{tet}\Big( F(z)\Big)
\label{TranPen}
\ee
%Я строю растущее вдоль вещественной оси решение $F$ этого уравнения методом регулярной итерации на стационарной точке тетрации 
I construct the growing along the real axis solution $F$ by the regular iteration at the
% real
fixed point of tetration
$L\!=\!L_{\mathrm e,5,0}\!\approx\! -1.85035452902718$; 
%I try to simplify the selective browsing of this book; so, I  and repeat 
I mention the key point of the construction below.
%чтобы упростить выборочное чтение лишь некоторых глав этой книги, я привожу ниже ключевые формулы этого построения. 
\vskip 6pt

%Для некоторого натурального числа $M$, я ищу асимптотическое решение $F$ уравнения \rf{TranPen}:
For some natural number $M\!>\!1$, I search the solution  $F$ of equation \rf{TranPen} in the following form:
\be
F(z)=f(z) + O(\varepsilon^M)
\eL{penF}
%где
where
\be
f(z)&=&L_{\mathrm e,4,0}+\sum_{m=1}^{M-1} a_m \varepsilon^m   ~ ~ ~ \iL{penf}
\\
\varepsilon&=&\exp(k z) ~ ~ ~ ~ ~ ~
\eL{penepsilon}
Here, the positive constant 
$k$ has sense of the increment of the growth of superfunction at large negative values of the argument,
%имеет смысл инкремента роста суперфункции при больших отрицательных значениях аргумента,
and $a$ are real coefficients.
%суть вещественные коэффициенты. Для простоты, удобно положить 
For simplicity, I set
$a_1\!=\!1$. 
%Здесь положительная константа $k$ имеет смысл инкремента роста суперфункции при больших отрицательных значениях аргумента,
%а $a$ суть вещественные коэффициенты. Для простоты, удобно положить $a_1\!=\!1$. 
%Подстановка представления \rf{penF}, \rf{penf}
%в передаточное уравнение \rf{TranPen} и асимптотический анализ с малым параметром $\varepsilon$ дают оценки инкремента
%$k\!\approx\! 1.86573322821$ и первых коэффициентов:
%$a_2\!\approx\!-0.6263241$, $a_3\!\approx\! 0.4827~$.
%При $M\!=\!4$, эти значения для супертетрации определяют первичную аппроксимацию $f$  по формуле \rf{penf}. Такая аппроксимация хороша при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента супертетрации. 
%Затем, для целых $n$,  я определяю
Substitution of representations
\rf{penF}, \rf{penf}
to the transfer equation
%в передаточное уравнение 
\rf{TranPen} 
%\rf{transfertet}
and the asymptotic analysis with small parameter
%и асимптотический анализ с малым параметром 
$\varepsilon$ 
%дают оценки инкремента
give
\be
k=\ln\big(\mathrm{tet}'(L)\big) \approx 1.865733
%F_n(z)=\mathrm{tet}^n(f(z-n))
\label{kpen}
\ee
%\eL{pentalim}
and the coefficients $a$; in particular,
\be
a_2 =\!&\!\displaystyle \frac{\mathrm{tet}''(L)/2}{\Big(\mathrm{tet}'(L)\!-\!1\Big)\mathrm{tet}'(L)}     \!&\!\approx -0.6263241 \\
a_3 =\!&\!  \displaystyle \frac{\mathrm{tet}''(L)a_2+\mathrm{tet}'''(L)}{\Big(\mathrm{tet}'(L)^2\!-\!1\Big)\mathrm{tet}'(L)}   \!&\!\approx ~ ~  0.4827
\ee
%\rule{0pt}{410pt}
\baselineskip 20pt
%\baselineskip 17pt
For the numerical implementation, in \rf{penf}, I choose $M\!=\!4$; this is sufficient to evaluate pentation with 14 significant figures and to plot all the figures of this article in real time.
%, these values provide the primary approximate $f$ through formula 
%эти значения для супертетрации определяют первичную аппроксимацию $f$  по формуле
% Такая аппроксимация хороша при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента супертетрации. 
%Затем, для целых $n$,  я определяю
This approximation is good for large negative values of the real part of argument of supertetration.
Then, for integer $n$, I define
\be
F_n(z)=\mathrm{tet}^n(f(z-n))
\eL{pentalim}
The exact superfunction $F$ appears as limit
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!
F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} F_n(z)
\eL{flim}
%While $f$ is asymptotic solution, this 
The limit does not depend on the chosen number $M$ of terms in the asymptotic expansion.
However, the larger is $M$, the faster the limit in \rf{flim} does converge.
%Ввиду того, что $f$ есть асимптотическое решение, этот предел не зависит от выбранного номера $M$; разумеется, при больших значениях  $M$, предел сходится быстрее, чем для малых.
\vskip 2mm

The pentation appears as superfunction $F$ with displaced argument:
\be
\mathrm{pen}(z)=A_{\mathrm e,4}(z)=F(x_5\!+\!z)
\eL{pendef}
where $x_5\!\approx\!2.24817%45%1898
$ is solution of equation $F(x_5)\!=\!1$.
Complex map of this pentation is shown in figure \ref{penmap}.%, announced above.


%\begin{wrapfigure}{r}{340px}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\begin{center}
%\sx{.4}{\begin{picture}(824,820)
%\sx{.6}{\begin{picture}(824,820)
\sx{.5}{\begin{picture}(824,820)
%\put(12,0){\ing{24}}
\put(12,0){\ing{penma}}
\put(8,808){\sx{3}{$y$}}
\put(8,709){\sx{3}{$3$}}
\put(8,609){\sx{3}{$2$}}
\put(8,509){\sx{3}{$1$}}
\put(8,409){\sx{3}{$0$}}
\put(-12,309){\sx{3}{$-1$}}
\put(-12,209){\sx{3}{$-2$}}
\put(-12,109){\sx{3}{$-3$}}
\put(-12,9){\sx{3}{$-4$}}
\put(4,-8){\sx{3}{$-4$}}
\put(104,-8){\sx{3}{$-3$}}
\put(204,-8){\sx{3}{$-2$}}
\put(304,-8){\sx{3}{$-1$}}
\put(427,-8){\sx{3}{$0$}}
\put(527,-8){\sx{3}{$1$}}
\put(627,-8){\sx{3}{$2$}}
\put(727,-8){\sx{3}{$3$}}
\put(821,-8){\sx{3}{$x$}}
\put(36, 747){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(30, 664){\sx{3.3}{\rot{-4}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 578){\sx{4}{$v\!=\!0$}} \put(760, 580){\sx{4}{\bf cut}}
\put(30, 498){\sx{3.3}{\rot{2}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 409){\sx{4}{$v\!=\!0$}}%
\put(30, 324){\sx{3.3}{\rot{-2}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 240){\sx{4}{$v\!=\!0$}} \put(760, 241){\sx{4}{\bf cut}}
\put(30, 158){\sx{3.3}{\rot{2}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 71){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
%
\put(326, 638){\sx{4}{$v\!=\!-1$}}
\put(340, 520){\sx{4}{$v\!=\!1$}}
\put(326, 298){\sx{4}{$v\!=\!-1$}}
\put(336, 182){\sx{4}{$v\!=\!1$}}
%
\put(250, 352){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(348, 362){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(448, 372){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(522, 372){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -9pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penmap.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{pen}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{pendef} \iL{penmap}}
\vskip 18pt
%\end{wrapfigure}
%\vskip -400pt
\end{figure}
%Чтобы для пятого аскерманна получить требуемое значение $\mathrm e$  в единице, я определяю этого аскерманна как функцю $F$ со смещенным аргументом,
%\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!
%\mathrm{pen}(z)=F(x_1\!+\!z)
%\eL{pendef}
%где  $x_1$ есть решение уравнения $F(x_1)\!=\!1$.
%Такое построение я принимаю за определение пентации. Для вещественных значений аргумента, график пентации показан на рисунке \ref{penplo} толстой линией.
\vskip 6pt

The real-real plot of pentation by \rf{pendef} is shown in figure  \ref{penplo} with thick curve. The additional horizontal grid line
$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$ shows the asymptotic at large negative values of the argument. The thin curve shows the 
%Another 
more advanced
asymptotic
%, the first approximation
\be
y\!=\!L_{\mathrm e, 4,0}+\exp(k(x\!+\!x_5))
\eL{pen01e}
%is also shown with thin curve.
%\vskip 2mm

Pentation is holomorphic at least for $|\Re(z)|\!<\!|P|/2\approx 1.6838%38
$,
where $P\!=\!2\pi\mathrm i /k $ is period; pentation, as exponential, is periodic function.
A little bit more than two periods are covered by the range of the map at figure 
\ref{penmap}.
Pentation has the countable set of cut lines, parallel to the real axis. In figure \ref{penmap},
these cuts are marked with dashed lines.

%Для построения чистовых рисунков, достаточно взять $M\!=\!4$, и  для аппроксимации предела в формуле \rf{pentalim} выбрать значение  $n\!=\!7$. 
%Условие $\mathrm{tet}(0)\!=\!1$ эквивалентно уравнению $F(x_1)\!=\!1$ и дает оценку $x_1\!\approx\!2.24817451898~$; теперь алгоритм вычисления пентации готов к употреблению.
%Указанные значения я поличил практически за один день и практически вручную, так как лаптоп с Математикой, как обычно, снова гавкнулся, а я хочу дописать книгу до того, как снова инсталлировать Математику.
%Для более эффективной имплементации можно 
%попросить какую-нибудь Математику 
%подсчитать ещё с десяток коэффициентов $a$ и добавить в алгоритм автоматическую оценку количества итераций в формуле \rf{pentalim}, необходимого для быстрой оценки предела с высокой аккуратностью.
%Я решил, что для построения рисунков в этой Книге достаточно формулы с 12 знаками, а больше получить трудно, так как моя численная иплементация тетрации дает всего 14 значащих цифр. 
%прогнать тесты, подобные тем, которые описаны в предыдущих главах.
\vskip 6pt

%На рисунке \ref{penplo}, дополнительная горизонтальная линия указывает предельное значение $L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$, эта линия позаимствована с рисунка \ref{tet5loplot}. Она указывает предельное значение пентации на минус бесконечности, это горизонтальная асимптота графика пентации. Кроме того, на рисунке более тонкой кривой показана экспоненциальная асимптотика пентации, 
\JP{ DUPLICATE!!!
In figure \ref{penplo}, the additional horizontal line line indicates ordinate $L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$, 
this line is borrowed from figure
\ref{tet5loplot}. 
It indicates the limiting value of pentation at minus infinity; this is horizontal asymptote of the graphic of pentation.
In addition, the thin line shows the exponential (id est, a little bit more advanced) asymptotic
\be
y=L_{\mathrm e,4,0}+\exp(k (x\!+\!x_1))
\label{pen01e}
\ee
%Эта асимптотика соответствует значению $M\!=\!2$ в первичной аппроксимации пентации по формуле \rf{penf}.
This asymptotic corresponds to value $M\!=\!2$ in the primary approximation of dentition by formula \rf{penf}.
\vskip 2mm}

%В окрестности отрезка длины 2 на отрицательной части вещественной  оси, 
%Пентация может быть аппроксимирована линейной функцией,
In vicinity of the segment of length 2 at the negative part of the real axis,
pentation can be approximated with the linear function,
\be
\mathrm{pen}(x)\approx 1+x
\eL{penlin}
%При $-2.1\!<\! x \! <\! 0.1$, аппроксимация \rf{penlin} дает около двух значащих цифр. Погрешность аппроксимации \rf{penlin} может быть выражена функцией 
At $-2.1\!<\! x \! <\! 0.1$, approximation \rf{penlin} provides two significant figures. 
Deviation
%Error 
of this approximation from pentation pen can be expressed with function
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\delta(x)=\mathrm{pen}(x) -(1\!+\!x) ~
\label{pendelta}
\ee
%Если построить эту зависимость на рисунке \ref{penplo} как есть, то она со
%\newpage
%\begin{parbox}{200px}{
This 
deviation
%error 
is shown in figure \ref{penplo} with thin line;
%Тонкая кривая на рисунке \ref{penplo} показывает эту погрешноcть.
%Чтобы она была видна, её пришлось умножить на 10; иначе она сливалась с осью абсцисс. Таким образом, построена кривая
% масштабированную с коэффициентом 10,
it is scaled with factor 10;
% in order to make it visible; the 
curve 
$y=10\, \delta(x)$
%}\end{parbox}%и погре
is drawn.
\vskip 2mm

%Интересно, что линейная фукция в правой части \rf{penlin} аппроксимирует также и предыдущего аскерманна, то есть тетрацию, график которой показан на рисунке \ref{TetPlot}.
%Для тетрации функция в правой части формулы
%\rf{penlin} тоже дает около двух значащих цифр, но область применимости линейной аппроксимации пентации шире, чем область применимости этой аппроксимации для тетрации.
%It should be noted that t
The linear function in the right hand side of equation \rf{penlin} 
approximates also the previous ackermann, id est, tetration; its graphic is show in figure
\ref{TetPlot}.
For tetration, the function in the right hand side of formula
\rf{penlin} also gives of order of two significant figures;
however, the range of this approximation for pentation is twice wider, than for tetration.
%, показанной на рисунке \ref{TetPlot}.
\vskip 2mm

%Для комплексных значений аргумента, комплексная карта пентации по формуле 
%\rf{pendef} показана на рисунке \ref{penmap}. 
Complex map of pentation by
\rf{pendef} 
%is shown 
in figure \ref{penmap} demonstrates, that
%Пентация голоморфна в левой части карты.  Когда вещественная часть аргумента стремится к минус бесконечности, пентация экспоненциально стремится к предельному значению 
%$L_{\mathrm e, 0}\approx −1.8503545290271812$
$\mathrm{pen}(z)$ is holomorphic at least for $\Re(z)<-2.5\,$. As the real part of the argument approaches minus infinity,
pentation exponentially approaches the limiting case
$L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}\!\approx\! -1.850354529$,
%указанному на рисунке 
shown in figure 
\ref{tet5loplot}.
%Чтобы показать это более наглядно, на рисунке 
In order to show this explicitly, the light strip in figure 
\ref{penmap} 
indicates the additional level
%толстой светлой полосой показан дополнительный уровень 
$u\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$.
\vskip 2mm

%Пентация периодична, её период $P$ определяется инкрементом $k$, то есть, в конечном счете,  производной тетрации в стационарной точке $L_{\mathrm e,4,0}$. Этот период чисто мнимый, 
Pentation is periodic; its period $P$ is determined by the increment $k$, 
id est, by the derivative of tetration at its fixed point
$L_{\mathrm e,4,0}$:
%Этот период чисто мнимый, 
%This period is pure imaginary,
\be
%P=\frac{2\pi\mathrm i}{k} \approx 
P=\frac{2 \, \pi \, \mathrm i}{k} \approx 3.36767615657879 \, \rm i 
\eL{penP}
%На комплексной карте пентации, при трансляциях на целое число периодов, линии постоянной вещественной части функции и линии постоянной мнимой её части воспроизводятся. Воспроизводятся также и разрезы области голоморфизма.
The period is pure imaginary;
the complex map of pentation reproduces itself at translations for integer factor of the period.
The cuts of the range of holomorphism are also reproduced.
\vskip 2mm
%\newpage
%\rule{0pt}{400pt}
%Вдоль вещественной оси, пентация быстро растет (гораздо ещё по сравнению с тетрацией). Как и для других быстро растущих функций, карта пентации в окрестности положительной части веществeнной оси имеет сложную структуру; пентация изменяется с охренительными производными. Посторитель карт conto.cin не смог провести линии так часто, и эта область осталась пустой. Чтобы хоть как-то показать её структуру, на рисунке \ref{penzoo} показан зумин карты с рисунка 
%\ref{penplo}. 
Along the real axis, pentation shows very fast growth, faster, than that of natural tetration.
% it is fast even compare to that of tetration.
As maps of many other fast-growing functions, the map of pentation has complicated structure in vicinity of the real axis.
Pentation varies with huge derivatives, that correspond to enormous density of the levels at the complex map. The plotter could not draw the huge amount of lines, and so, the narrow region in vicinity of the real axis in figure
\ref{penmap} is left empty. The same applies to the translations for integer factor of period $P$.
In order to shown behaviour of pentation in vicinity of the real axis and in vicinity of the cut line, figure \ref{penzoo} shows the zoom-in from the figure \ref{penmap}.
%Рост аскерманнов, начиная даже с тетрации (а пентация и подавно) существенно опережает возможности зуммирования.
%However, the growth of the ackermanns, beginning with tetration, greatly suppurates the abilities of zooming of the complex maps.
\vskip 2mm

%Mетоды построения суперфункций могут использоваться для построения более высоких аскерманнов. В частности, как только рост тетрации окажется недостаточно быстрым для каких-либо приложений, можно построить голоморфную пентацию. На минус бесконечности пентация стремиться к стационарной точке $L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}\!\approx \!-1.850354529$ такой, что  $L=\mathrm{tet}(L)$. Более подробно стационарные точки пентации обсуждаются в следующей секции.
%Я пишу этот пример для натуральной тетрации, следуя принципу ``от простого к сложному''. 
%Разумеется, я надеюсь, что то же можно делать и для комплексных значений основания. 
%\vskip 2mm

General methods of construction of superfunctions can be used to build-up the ackermanns.
%In particular, if, for some application,
If the growth of tetration happens to be not sufficiently fast, the pentation described above, 
can be used. The highest ackermanns can be constructed in the similar way.
In particular, the fixed points of pentation indicate the way to build-up its superfunction, id est, the next ackermann.
Fixed points of tetration are considered in the next section.

\begin{figure}
%\sx{.975}{\begin{picture}(512,208)
\sx{.82}{\begin{picture}(512,208)
%\put(12,0){\ing{24}}
%\put(12,0){\ing{penma}}
\put(8,9){\ing{penzoo}}
\put(1,205){\sx{1.2}{$y$}}
\put(-.4,176.8){\sx{1.1}{$\frac{P}{2 \rm i}$}}
\put(130,177){\sx{1.2}{\bf cut}}
\put(1,158){\sx{1.1}{$\frac{3}{2}$}}
\put(1,107){\sx{1.2}{$1$}}
\put(1,057){\sx{1.17}{$\frac{1}{2}$}}
\put(1,7){\sx{1.2}{$0$}}
\put(50,0.4){\sx{1.12}{$-2$}}
\put(150,0.4){\sx{1.12}{$-1$}}
\put(258,0.5){\sx{1.12}{$0$}}
\put(358.4,0.5){\sx{1.12}{$1$}}
\put(459,0.5){\sx{1.12}{$2$}}
\put(505,0.5){\sx{1.12}{$x$}}
%
\put(392,73){\sx{1.7}{\rot{61}$v\!=\!2$\ero}}
\put(212,120){\sx{1.7}{\rot{0}$v\!=\!1$\ero}}
\put(195.6,5.8){\sx{1.7}{\rot{0}$v\!=\!0$\ero}}
%
\put(063,17){\sx{1.7}{\rot{78}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(166,18){\sx{1.7}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(265,18){\sx{1.7}{\rot{81}$u\!=\!1$\ero}} 
\put(334,15){\sx{1.7}{\rot{65}$u\!=\!2$\ero}}
%
\put(29.5,146){\sx{1.2}{$L$}}
\put(361.4,162.3){\sx{1.2}{$L$}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penzoo25t400.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{pen}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%по формуле 
by \rf{pendef}, 
%зумин рисунка 
zoom-in from figure
\ref{penmap} \iL{penzoo}}
\vskip 1pt
\end{figure}
%\section{Заключение по aскерманнам}
%\section{Стационарные точки пентации}
\section{Fixed poins of pentation and future work}
%\baselineskip 18pt

In this section I suggest some hint, how can one built-up the next ackermann, hexation, using the fixed points of pentation.
Actually, here I do not construct hexation (because, anyway, I have to stop somewhere); I only mention the way to do it.
\vskip 2mm

%Чтобы сделать следующего, шестого аскерманна (гексацию), следует построить аркпентацию $\mathrm{ape}\!=\!\mathrm{pen}^{-1}$.
%Mожно обратить асимптотическое разложение для пентации либо получить такое же разложение асимптотическим анализом соответствующего уравнения Абеля.
%\vskip 2mm
As usually, one should begin with the fixed points, id est, solutions $L$ of  
%$\mathrm{pen}(L)=L$ 
\be
\mathrm {pen}(L)=L
\eL{penLeq}
%should be analysed.
Some of the solutions are shown in figure \ref{penzoo}, these solutions are marked with character $L$. They correspond to
%Для того, чтобы показать, что суперфункции пентации могут строиться обычным способом, по аналогии с тетрацией, на рисунке \ref{penzoo} указаны две стационарные точки пентации, они обозначены символом $L$ и снабжены дополнительными координатными линиями. Их приближенные значения можно найти, считая пальцем координатные линии и линии уровня. Эту значения суть
\be
L&=&L_{\mathrm e, 5,0}\approx -2.260+1.384 \, \mathrm i \\
L&=&L_{\mathrm e, 5,1}\approx ~ 1.057+1.546 \, \mathrm i
\eL{penL1}
%Ещё имеются значения вблизи вещественной оси; в частности,
There are also solutions in vicinity of the real axis
\be
L&=&L_{\mathrm e, 5,2}\approx 3.43+0.07 \, \mathrm i \\
L&=&L_{\mathrm e, 5,3}\approx 4.39+0.11 \, \mathrm i
\eL{penL3}
but they do not fit the frame of the map on figure \ref{penzoo}.
%но они не поместились на странице. Пентация вещественно голоморфна, поэтому значения $L^*$ также являются стационарными точками.
%Читатели приглашаются числено решить уравнение 
The readers are invited to solve numerically equation \rf{penLeq}
%\be
%\mathrm {pen}(L)=L
%\eL{penLeq}
%и уточнить значения
%раcсчитать хотя бы 12 значащих цифр для значений 
and to adjust values of
$L_{\mathrm e, 5,0}$ 
%и
$L_{\mathrm e, 5,1}$.
% Если тетрация и арктетрация сделаны с 14ю значащими цифрами, то можно надеяться получить хотя бы 12 значащих цифр для пентации, аркпентации и их стационарных точек.
%\vskip 2mm
%Я ожидаю, что для пентации можно построить суперфункцию, гексацию hex, как вещественно-голоморфное решение $F$ уравнения
I expect, one can find the real-holomorphic solution $F$ to equation
\be
F(z\!+\!1)=\mathrm{pen}\Big( F(z) \Big)
\ee
%с дополнительными условиями
with additional conditions
\be
F(0)\!=\!1 ~,~~
F(\mathrm i \infty) \!=\! L_{\mathrm e, 5,0} ~,~~
%F(\mathrm -i \infty) &=& L_{\mathrm e, 5,0}^{~~~*} 
\ee
The readers are invited to find this solution and interpret it as hexation, id est, the 6th ackermann.
\vskip 8pt

At this point, I stop constructing new ackermanns. I want to compare the first 5 ackermanns. It is mater of the next section.

%Читатели приглашаются построить такую гексацию и, в частности, нарисовать для неё графики и комплексную карту. Стационарная точка гексации определяет асимптотическое поведение следующего, седьмого аскерманна; он может называться гептацией, и так далее. 
%При этом предыдущий аскерманн используется как передаточная функция, и новый аскерманн получается как соответствующая суперфункция.
%В принципе, дополнительные линии разрезов могут ограничить применение интеграла Коши, и 
%\vskip 2mm

%Таким образом, методами, предложенными в этой Книге, Читатель и сам может по мере надобности строить следующие аскерманны. При этом предыдущий аскерманн используется как передаточная функция, и новый аскерманн получается как соответствующая суперфункция. Будет интересно посмотреть, сколько таких аскерманнов найдут применение в физике и как далеко можно продвинуться  по этому пути. 
\newpage

%\section{Сравнение натуральных aскерманнов}
\section{Comparison of natural ackermanns}
\baselineskip 19pt
%В этой секции сравниваются свойства первых пяти функций Аскерманна для натурального основания, 
In this section I compare the first 5 ackermanns for the natural base $b\!=\!\mathrm e$. In such a way, I overview results for ackermanns.
%и для вещественного аргумента. Графики этих функций показаны на рисунке 
For real values of argument, these functions are plotted in figure 
\ref{ackerplo}. 
\vskip 3mm

\begin{figure}[h]
\normalsize
\vskip  4pt
%\sx{.82}{\begin{picture}(608,806) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\sx{.7}{\begin{picture}(608,906) %\put(12,0){\ing{penma}}
\sx{.7}{\begin{picture}(608,808) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\put(0,0){\ing{ackerp}}
\put(0,0){\ing{ackerplo}}
\put(277,788){\sx{3.001}{$y$}}
%\put(277,795){\sx{3.001}{$6$}}
\put(277,695){\sx{3.001}{$5$}}
\put(277,594){\sx{3.001}{$4$}}
\put(277,494){\sx{3.001}{$3$}}
\put(278,468){\sx{3.001}{$\mathrm e$}}
\put(277,394){\sx{3.001}{$2$}}
\put(277,294){\sx{3.001}{$1$}}
\put(277,194){\sx{3.001}{$0$}}
\put(258, 93){\sx{3.001}{$-1$}}
\put( 80,174){\sx{3.001}{$-2$}}
\put(180,174){\sx{3.001}{$-1$}}
\put(296,174){\sx{3.001}{$0$}}
\put(396,174){\sx{3.001}{$1$}}
\put(496,174){\sx{3.001}{$2$}}
\put(586,174){\sx{3.001}{$x$}}
\put(438,714){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(460,716){\sx{1.8}{\rot{82}$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$\ero}}
\put(478,712){\sx{1.8}{\rot{77}$y\!=\!\mathrm{exp}(x)$\ero}}
%\put(488,686){\sx{1.8}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{e}x$\ero}}
\put(508,712){\sx{1.8}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{e}x$\ero}}
%\put(478,628){\sx{1.8}{\rot{50}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
%\put(528,708){\sx{1.9}{\rot{44}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
\put(554,708){\sx{1.9}{\rot{45}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
%
\put(86,222){\sx{1.9}{\rot{11}$y\!=\!\mathrm{exp}(x)$\ero}}
\put(20,30){\sx{1.9}{\rot{30}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(138,22){\sx{1.9}{\rot{74}$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$\ero}}
\put(252,22){\sx{1.9}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{e} x$\ero}}
%
\put(308, 13){\sx{2.2}{$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ackerplot400.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\normalsize $y\!=\!A_{\mathrm e,n}(x)$ for $n\!=\!1,2,3,4,5$ \iL{ackerplo}}
\vskip -400pt
\end{figure}
\newpage
%\rule{0px}{400px}
%Для случая натурального основания. $b\!=\!\mathrm e$,  я не указываю основание в индексе, то есть\\
Functions plotted in figure \ref{ackerplo} are:\\
$A_{\mathrm e,1}(z) = \mathrm e\!+\!z$, 
%добавление константы 
addition of constant
$\mathrm e$,\\
$A_{\mathrm e,2}(z) = \mathrm e\, z$, 
%умножение на константу 
multiplication to constant
$\mathrm e$,\\
$A_{\mathrm e,3}(z)= \exp(z)= \mathrm e^z$, 
%натуральная экспонента
natural exponent
,\\
$A_{\mathrm e,4}(z)=\mathrm{tet}(z)$, 
%тетрация по основанию 
tetration to base 
$\mathrm e$,\\
$A_{\mathrm e,5}(z)=\mathrm{pen}(z)$, 
%пентация по основанию 
pentation to base
$\mathrm e$.
\vskip 1mm

%Именно эти обозначения без индекса использованы для маркировки кривых 
These notations are used to mark curves
$y\!=\!A_{\mathrm e,n}(x)$ 
%на рисунке 
at figure
\ref{ackerplo}. 
As usually, if the base is not specified at the subscript, it is assumed to be $\mathrm e$, base of natural exponent and that of natural logarithm.

\vskip 2mm
%Поведение тетрации и пентации на отрезке от $-1$ до $1$ сходно.
%Однако, даже на этом отрезке, расстояние между кривыми достигает ширины линий и заметно на рисунке 
Tetration and pentation at the segment $[-1,1]$ look similar. However, at the printing with good resolution,
the deviation is seen, it exceeds the width of the lines in figure 
\ref{ackerplo}.
%Чтобы различие между кривыми было видно, рисунок \ref{ackerplo} пришлось сделать во всю страницу.
\vskip 2mm

I expect, the tetration already has the growth fast enough to describe the fastest function that may 
appear in the applications. However, the main property of the scientific revolution is that they are unexpected.
If for some case, the growth of tetration is not fast enough, the pentation or even higher sckermanns can be implemented, using the tools from this Book.
\vskip 4mm
%Возможно,  для каких-либо приложений понадобится тетрация по комплексному основанию или даже более высокие аскерманны по комплексному основанию. Такие аскерманны могут вычисляться методами, представленными в этой Книге, и их вычисление не требует каких-либо специфических еврейских трюков, ни специфической германской педантичности. Я надеюсь, что Исследователь любой национальности сможет вычислить этих аскерманнов, и, в частности, тетрацию, и пентацию, как только они потребуются в каких-либо изысканиях или приложениях, или даже из спортивно-научного интереса, и с такой аккуратностью, которая ему потребуется.

%\section{Синдром последнего коэффициента}

When I plotted the pentation, I ask myself: "Why not to do in the similar way the next ackermann?"
The answer is simple: I already know, how to do it. And the Reader, if reached here, also knows.
Anyway, the Book should be finished at some moment, see figure \ref{veslo}.
\vskip 2mm

Instead of to add more examples for the tools described above, I think, it is more important to consider at least one example, when the tools above do not work. This example correspond to the transfer function, that has no fixed points at all - neither real, nor even complex.
Such an example is considered in the next chapter, and, while typing this, I believe, that will be the last example in this Book.
%In order to answer, I need 

\JP{
\section{Last coefficient sindrom}
%
%\vskip 2mm
Я спрашиваю себя: ``{\em почему бы не сделать гексацию так же, как уже сделана тетрация и пентация?''}. Для того, чтобы объяснить это, мне прийдется копипастнуть ещё одно лирическое отступление. 
\vskip 3mm

Допустим, исследователь придумал совершенно новую и безумно красивую функцию. Он строит график, ну, скажем, от $-4$ до $4$. Не все пышные округлости функции умещаются на графике, и исследователь строит её же от $-10$ до $10$. Но последняя осцилляция не видна, и он расширяет область значений до интервала $[-11,11]$. И так далее. Наконец, когда график расширился настолько, что центральную часть уже видно только в лупу, исследователь начинает вычислять, ну, скажем, её разложение в ряд Тэйлора. Он считает первые 5 коэффициентов и вклеивает их в свою фундаментальную статью. Он смотрит на них, и ему кажется, что следующий коэффициент мог бы помочь пониманию. Он считает шестой коэффициент и расширяет таблицу. Но ему тут же кажется, что еще один (только один!) коэффициент сильно улучшит статью...
\vskip 1mm

- Стоп, - оборвет меня Читатель, - Что за чушь? Он что, больной?.. 
\vskip 1mm

Да, дорогой Читатель, да; именно так. Эта болезнь называется Синдром Последнего Коэффициента. Примерно так же в повести о Хадже Насреддине ростовщик Джафар каждый раз мечтает наполнить золотом еще один (только один!) горшок 
\footnote{ \url{http://coollib.net/b/43714/read} Леонид Соловьев. Возмутитель спокойствия. (Повесть о Хадже Насреддине) ..во дворе собрались многочисленные родственники Джафара. Многие из них были должны ему и надеялись, что сегодня на радостях он простит долги. Напрасно они надеялись: ростовщик слышал через закрытую дверь голоса своих должников и злобно усмехался в душе. «Я скажу им сегодня, что прощаю долги, – думал он, – но расписок я им не верну, расписки останутся у меня. И они, успокоившись, начнут беспечную жизнь, а я ничего не скажу, я буду молчать, но втайне все время подсчитывать. И когда на каждую таньга долга нарастет еще десять таньга и сумма долга превысит стоимость домов, садов и виноградников, принадлежащих ныне моим должникам, я позову судью, откажусь от своего обещания, предъявлю расписки, продам все их имущество, оставлю их нищими и наполню золотом еще один горшок!»}. Примерно так же маньяк-убийца, получив высшую власть, каждый раз думает, что теперь достаточно ``убрать'' (так на чекистском жаргоне называется политическое убийство) пару кляузников (всего двух!), и стране настанет полный порядок. Или как алкоголик каждый раз хочет только одну (единственную!) рюмку водки. 
\vskip 1mm

Все упомянутые лица больны синдромом последнего коэффициента. Я тоже страдаю от этого недуга. В порядке лечения, я не включаю сюда гексацию, то есть шестого аскерманна, ни даже аркпентацию, которая нужна для построения шестого аскерманна методом Коши - тем же методом, которым строится натуральная (и не только) тетрация. 
\vskip 2mm

Сколько бы аскерманнов я не загрузил, всегда будет такой, для которого  в Книге ещё нет ни одного рисунка. Есть и иная мотивация к тому, чтобы в какой-то момент остановиться с этой Книгой - чтобы все-таки закончить Книгу в этом веке. Эта мотивация показана на рисунке \ref{veslo}.
\vskip 4mm

%\newpage

На этом я заканчиваю рассмотрение регулярных и не очень итраций, а также прочих интегралов Коши. Надеюсь, что читатель уже понял, чем Фудоки отличаются от Нибелунгов,  
и может самостоятельно построить всех аскерманнов, которые ему понадобятся.
\vskip 3mm

Теперь гораздо важнее рассмотреть хотя бы один случай, когда методы, описанные выше, не работают. Такое очень даже может приключиться, если у трансцендентной передаточной функции вообще нет стационарных точек. Пример такой функции рассмотрен в следующей главе.
}
 %\JP{
%\begin{wrapfigure}{r}{230px}
%\rule{200}{200}
%\rule{200px}{200pt}
%{\color{red}\rule{200}{200}}

\begin{figure}[b]
\sx{.35}{\begin{picture}(500,330)
\put(140,-10){\ing{veslo}}
\put(377,299){\color{white}\rule{400pt}{160pt}}
%\put(390,390){\sx{3}{No rafting!}}
%\put(390,400){\sx{3}{Sit and finish}}
%\put(390,400){\sx{3}{Sit and finish}}
\put(390,350){\sx{3}{No rafting! Sit and finish your divine}}
\put(390,310){\sx{3}{Book ``Superfunctions''}}
%\put(200,200){\rule{200}{200}}
%\put(400,-100){\sx{2}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Veslo.png}\ero}}
\put(100,420){\sx{2.8}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Veslo.png}}}
\end{picture}}
\vskip -18pt
\caption{%\large  %Девушка с веслом 
%No rafting! 
%Go w
Wash yourself and finish your divine opera {\em Khovanshina}!
\cite{erofeev} 
%\footnote{
%\url{http://books.google.co.jp/books?id=9B7aarMNw4AC&q=opera#v=snippet&q=opera&f=false}
%Venedikt Erofeev. Moscow to the end of the line. (Moskva-Petushki)
%Publisher:	New York : Taplinger Pub. Co., 1980, p.80: .. Get up.
%Go wash yourself and finish your divine opera {\em Khovanshina!}. ..}
%}
%Никакой гребли, пока не допишешь свою Книгу! 
\label{veslo} ~ ~ ~ ~}
\vskip -12pt
\end{figure}

%Давайте лечиться вместе. В качестве первого упражнения, я не буду считать двенадцатый коэффициент моей цепной дроби, попробую заменить его одной (единственной и неповторимой) кружкой выпивки. А маньяк пусть пожалеет очередную жертву и взамен почитает какого-нибудь Достоевского, что ли. Тогда, может быть, его последними словами станут "..не стоят одной слезинки...", а не банальное "И ты, Брут..." 


%\setcounter{chapter}{9}
%\chapter{~ Без стационарных точек}
\chapter{~ Without fixed points}
%\baselineskip 19.5pt
\baselineskip 17.6pt

In this chapter I describe the last (for this book) example of the transfer function, I consider function without fixed points. I suggest, that the Reader tries to invent, to guess, to write-out  some entire function without fixed points, before to look at the formula below.
\vskip 2mm

For the transfer function without fixed points, neither method of regular iteration, nor the representation through the Cauchy integral can be applied as is for the primary evaluation of superfunction.
For this reason, this example is interesting and deserves the special chapter.
%Below I describe the function without fixed points, give it name, and describe its superfunction.
%As this example is last, I hope, the Reader will try to read it especially carefully. 
%В этой главе рассмотрен пример передаточной функции без стационарных точек. Для такой функции
%трудно применить метод регулярной итерации или метод Коши, использованные в предыдущих главах.
%Однако, тем не менее, даже для такой передаточной функции можно построить суперфункцию, абельфункцию и, соответственно, нецелые итетации.
%Ниже
%рассмотрен пример такой функции; при этом 
%пересказывается содержание статьи 
Here, I retell results published recently \cite{sutra}.

%\begin{wrapfigure}[25]{r}{216px}
\begin{wrapfigure}{r}{216px}
%\begin{wrapfigure}{r}{170px}
\vskip -18pt
\normalsize
%\sx{.3}{\begin{picture}(604,780)
%\sx{.32}{\begin{picture}(604,660)
\sx{.41}{\begin{picture}(604,660)
%\put(10,10){\ing{PowPlo}}
\put(0,0){\ing{traplot}}
\put(280,784){\sx{3.4}{$y$}}
\put(280,693){\sx{3.4}{$4$}}
\put(224,666){\sx{3.4}{$1\!+\!\rm e$}}
\put(280,593){\sx{3.4}{$3$}}
\put(280,566){\sx{3.4}{$\rm e$}}
\put(280,493){\sx{3.4}{$2$}}
\put(280,393){\sx{3.4}{$1$}}
\put(280,294){\sx{3.4}{$0$}}
\put(252,191){\sx{3.4}{$-1$}}
\put(252,091){\sx{3.4}{$-2$}}
\put(070,272){\sx{3.4}{$-2$}}
\put(170,272){\sx{3.4}{$-1$}}
\put(294,272){\sx{3.4}{$0$}}
\put(394,272){\sx{3.4}{$1$}}
%\put(497,308){\sx{2.4}{$2$}}
\put(482,274){\sx{3.4}{$x$}}
\put(24,342){\sx{3.4}{$y\!=\!\exp(x)$}}
\put(56,42){\sx{3.4}{$y\!=\!\mathrm{tra}(x)$}}
\put(534,0){\sx{2.33}{\rot{90}\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraplotT.jpg}\ero}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraplotT.jpg}
\caption{\large
%$y\!=\!\mathrm{tra}(x)$, thick curve, and $~y\!=\!\exp(x)$, thin line 
$y\!=\!\mathrm{tra}(x)$ 
%и  
and
$y\!=\!\exp(x)$
\label{traplot}}
\vskip -24pt
\end{wrapfigure}

%\section{Функция Трапманна}
\section{Trappmann function}

%В этой Книге, 
%как и в ТОРИ, 
%функцией Траппманна называется элементарная функция
I give name `Trappmann function'' to the elementary function
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{tra}(z)=\exp(z)+z
%\eL{tra}
\label{tra}
\ee
%Эта функция показана на рисунке 
Function tra has no fixed point; equation
$\mathrm{tra}(L)\!=\!L$ has no solution.
Function tra is compared to exponent in figure 
\ref{traplot}.
%in comparison with exponent. 
%в сравнении с экспонентой.
\vskip 6pt

%Функция tra должна была стать ловушкой (``trap''), чтобы поймать меня на заявлении о том, что
%я могу построить суперфункцию (а также абельфункцию и соответствующие итерации) для какой ни попади передаточной функции.
Function tra had been expected to be a trap, trump, to catch me on my 
%pretentious 
claim, that I can build-up
a superfunction for any growing real-holomorphic transfer function.
% As one could guess, 
Henryk Trappmann had suggested this function; so, I use first three caracters of his family name to denote it.
\vskip 6pt

%On the other hand, 
Word ``trap'' can be interpreted also as gate, a way to the future successes in solving of various transfer equations and iterates of tricky functions.
%In such a way, 
We see, function tra
%, although is elementary, 
deserves the special name.
%Впрочем, английское слово ``trap'' можно интерпретировать также как трап, то есть путь к дальнейшим успехам в решениях передаточных уравнений и итерированиях всяческих функций. 
%Таким образом, функция tra, хоть и является элементарой, чрезвычайно важна я заслуживает специального имени.
%Это такое лирическое отступление для того, чтобы обосновать присвоение специального имени целой элементарной функции $\mathrm{tra}$.
\vskip 6pt

%График функции $\mathrm{tra}$ по формуле \rf{tra} показан на рисунке \ref{traplot} толстой курвой. Для сравнения, тонкой курвой представлена экспонента, $y\!=\!\exp(x)$ . \vskip 2mm

%Комплексная карта функции $\mathrm{tra}$ по формуле \rf{tra} показанa на рисунке \ref{tramap}. 
%%Кривые постоянной вещественной части, $u\!=\!\rm const$, образуют периодическую структуру в направлении оси $y$, эта координата имеет смысл мнимой оси. 
\newcommand \zoomaxs {
\put(18,1206){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18,1113){\sx{3}{$5$}}
\put(18,1013){\sx{3}{$4$}}
\put(18, 913){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 813){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 513){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 413){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-4$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-5$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-6$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-6$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-5$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(414, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(514, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(835, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(935, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(1035, -5){\sx{3}{$4$}}
\put(1135, -5){\sx{3}{$5$}}
\put(1227,-4){\sx{3}{$x$}}
}
%\begin{wrapfigure}[2]{l}{530px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.4}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.34}{\begin{picture}(1252,1220)
\put(40,20){\ing{tramap}}
\zoomaxs
\put(90,1116){\sx{4}{$v\!=\!5$}}
\put(90,1015){\sx{4}{$v\!=\!4$}}
\put(90,914){\sx{4}{$v\!=\!3$}}
\put(90,813){\sx{4}{$v\!=\!2$}}
\put(90,712){\sx{4}{$v\!=\!1$}}
\put(90,611){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(90,510){\sx{4}{$v\!=\!-1$}}
\put(90,409){\sx{4}{$v\!=\!-2$}}
\put(90,308){\sx{4}{$v\!=\!-3$}}
\put(90,207){\sx{4}{$v\!=\!-4$}}
\put(90,106){\sx{4}{$v\!=\!-5$}}
\put(257,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-4$\ero}}
\put(355,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-3$\ero}}
\put(447,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(534,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(600,572){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(656,574){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(990,678){\sx{4}{\rot{-15}$v\!=\!16$\ero}}
\put(990,550){\sx{4}{\rot{9}$v\!=\!-16$\ero}}
\put(998,507){\sx{4}{\rot{-11}$u\!=\!16$\ero}}
\put(996,380){\sx{4}{\rot{13}$u\!=\!-16$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{tra}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{tra} \iL{tramap}}
\vskip 2pt
%\end{figure}
\end{figure}
Complex map of function tra by \rf{tra} is shown in figure \ref{tramap}. 
In the right hand side of the figure, the map looks similar to that go exponent:
at the background of the exponential growth, the linear addition in the right hand side of equation \rf{tra} does not look impressive.
In the left hand side of the map, contrary, the exponent becomes negligible, and the lines of constant real part and those of constant imaginary part of the function form almost uniform grid of lines, parallel to the coordinate axes.
%В правой части рисунка, карта похожа на карту экспоненты, так как на фоне экспоненциального роста линейная добавка в формуле \rf{tra} смотрится бледно.  В левой  части рисунка карта похожа на карту тождественной функции; линии постоянной вещественной части и линии постоянной мнимой части образуют ровную сетку прямых, параллельных координатным осям. 
\vskip 2mm
%Именно это обстоятельство наводит на мысль о том, как должна итеририваться такая функция. Как учил Иешуа Га Ноцри, говорить правду легко и приятно; столь же легко и приятно итерировать тождественную функцию. 
%И это указывает, как итерировать почти тождественную функцию. 
Similar property, at least in some part of the complex plane, is shown by the inverse function, id est,
%Аналогичным свойством  (почти тождественность) обладает обратная функция, то есть 
$\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$.
%по крайней мере, в некоторой окрестности отрицательной части вещественной оси.
%Карта функции ArcTra показана на рисунке 
Complex map of ArcTra is shown in figure \ref{arctranmap}.
I consider its evaluation in the next section.
%В следующей секции а рассказываю, как вычисляется функция ArcTra.


%\begin{wrapfigure}[2]{l}{530px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.4}{\begin{picture}(1252,1220)
%\begin{figure}
%\sx{.116}{\begin{picture}(2102,2094)
%\sx{.232}{\begin{picture}(2102,2094)
\sx{.2}{\begin{picture}(2102,2094)
%\put(40,20){\ing{ArcTraMap}}
\put(98,88){\ing{arctranmap}}
\put(40,2048){\sx{8}{$y$}}
\put(40,1870){\sx{7}{$8$}}
\put(40,1670){\sx{7}{$6$}}
\put(40,1470){\sx{7}{$4$}}
\put(40,1270){\sx{7}{$2$}}
\put(40,1070){\sx{7}{$0$}}
\put(-12,870){\sx{7}{$-2$}}
\put(-12,670){\sx{7}{$-4$}}
\put(-12,470){\sx{7}{$-6$}}
\put(-12,270){\sx{7}{$-8$}}
\put(002, 28){\sx{7}{$-\!10$}}
\put(220, 28){\sx{7}{$-8$}}
\put(420, 28){\sx{7}{$-6$}}
\put(620, 28){\sx{7}{$-4$}}
\put(820, 28){\sx{7}{$-2$}}
\put(1088, 28){\sx{7}{$0$}}
\put(1288, 28){\sx{7}{$2$}}
\put(1488, 28){\sx{7}{$4$}}
\put(1688, 28){\sx{7}{$6$}}
\put(1888, 28){\sx{7}{$8$}}
\put(2058, 28){\sx{7}{$x$}}
\put(160,1370){\sx{9}{$v\!=\!3$}}
\put(160,1270){\sx{9}{$v\!=\!2$}}
\put(160,1170){\sx{9}{$v\!=\!1$}}
\put(160,1070){\sx{9}{$v\!=\!0$}}
\put(160,970){\sx{9}{$v\!=\!-1$}}
\put(160,870){\sx{9}{$v\!=\!-2$}}
\put(160,770){\sx{9}{$v\!=\!-3$}}
%\put(432,992){\sx{8}{\rot{90}$u\!=\!-7$\ero}}
\put(532,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-6$\ero}}
\put(632,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-5$\ero}}
\put(732,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-4$\ero}}
\put(828,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-3$\ero}}
\put(931,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(1066,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(1230,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(1502,994){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(2070,994){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
%\sx{.2}{\begin{picture}(1800,1800)
%\put(0,0){\ing{arctranmap}}
%\end{picture}}
\vskip -8pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{ArcTra}(x\!+\!\mathrm i y)$ ~   \iL{arctranmap}}
\vskip 6pt
\end{figure}

%~
%\rule{0pt}{480pt}

%\section{ArcTra, обратная функция от траппманна}
\section{ArcTra, inverse of trappmann}
\baselineskip 19.8pt

%Чтобы итерировать функцию Траппманна tra, я имею в виду нецелые итерации, следует сперва научиться вычислять её целые итерации. Для целых положительных значений номера итерации, вопросов с итерацией не возникает; просто применяем функцию tra столько раз, сколько нужно. Для вычисления целых отрицательных итераций, требуется алгоритм для обратной функции; примерно так же, как для вычисления нецелых итераций экспоненты требуется не только сама экспонента, но и её обратная функция, то есть логарифм.
%Пусть эта обратная функция от траппманна называется ArcTra, %по аналогии с арксинусом и арктангенсом и аркбесселем; 
%так что 
In order to iterate a function, I mean non-integer iterates, first, we need to learn to evaluate the integer iterates.
For positive integer number of iterate, we may apply the function to the argument so many times as necessary.
As for the negative iterates, we need the efficient algorithm for the inverse function.
Let this inverse function be called ArcTra, in analogy tithe ArcSin, ArcTan and ArcBessel;
in some wide range to values of the argument (that includes the real axis), the ArcTra should satisfy equation
\be
\mathrm{tra}\Big( \mathrm{ArcTra}(z)\Big)=z
\eL{traArcTra}
%в некоторой широкой области значений $z$, включающей, по крайней мере, всю вещественную ось.
%Комплексная карта функции ArcTra показана на рисунке 
Complex map of function ArcTra is shown in figure 
\ref{arctranmap}.
%Функция ArcTra описана в этой секции.
\vskip 2mm
\begin{wrapfigure}{r}{190px}
\vskip -22pt
\sx{.40}{\begin{picture}(400,580)
\put(0,-12){\ing{optic}}
\put(500,0){\sx{1.8}{\rot{90}\url{File:LinearNonlinearOptic.png} \ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{%\large
%Линейная оптика и нелинейная оптика 
Linear versus nonlinear
%Linear optics and nonlinear optics
\label{optic}}
\vskip -10pt
\end{wrapfigure}

%В этой секции я рассказываю, как строится функция ArcTra. А в этом параграфе объясню, почему я такое описание вклеиваю в Книгу.
Perhaps, I should explain, why I describe in this Book so elementary thing, as building-up of inverse function.
%Ещё в прошлом веке мне приходилось объяснять студентам, интересовавшимся нелинейной оптикой (которая тогда была в моде), что за каждым так называемым ``нелинейным'' эффектом имеется довольно много вполне линейной науки. До того, как имеется понимание линейных оптических эффектов,
In century 20, I used to deal with students interested in nonlinear optics and quantum optics.
Some of them were smart \cite{edua}, but some students had problem even with linear optics.
It costed to me certain efforts, to explain them, that there is a lot of pretty ``linear'' science behind every so-called ``nonlinear'' phenomenon, as it is shown in figure \ref{optic}.
In the similar way, it is vain to discuss non-integer iterate, while even the negative integer iterates are not yet implemented. I describe the implementation of function ArcTra in this section.
%говорить о нелинейной оптике бессмысленно, за исключением, разве, случая, показанного на рисунке \ref{optic}. Аналогично, до того, как читатель свободно вычисляет целые отрицательные итерации передаточной функции, бессмысленно говорить о её нецелых итерациях. 
\vskip 2mm

%Во время СССР, в России была некоторая наука, и известными заведениями советской школы были Физфак и Физтех. Для того, чтобы объяснить разницу между этими заведениями, предлагали такой пример: Выпускник Физтеха, хотя и может чего-то рассчитать, совершенно не понимает смысла полученной формулы и поэтому не может ей пользоваться. Выпускник физфака, наоборот, всё понимает, хотя сам подсчитать ничего не может. Это я к тому, что Читатели, которых интересуют картинки суперфункции, но не интересует, как они получились, могут пропустить эту секцию. Тогда про этих читателей, как про выпускников Физфака, можно будет сказать, что они всё понимают.
During the USSR, there was some science there. The famous institutes of the so-called "Soviet School"
were Fizfak (Физфак, Physics department of the Moscow State University) and 
Fiztech (Физтех, Moscow Phisics-Technical Institute). As one can guess, Fizfak used to deal with fundamental science, and Fiztech did with the applied one. In order to 
compare a
%show difference between 
specialist graduated from Fizfak to that graduated from Fiztech, in the USSR, the following example is popular.
One, graduated from Fiztech, can calculate or ensemble everything. But he/she understands close to nothing. As for one graduated from Fizfak - Oooh.. he or she understands everything, although can calculate close to nothing. I remind that story for the analogy with figures of this section. Readers, who are interested in the beautiful pictures, may look at the complex maps presented in this section. Then, these Readers can be qualified with specification ``understand everything''. As those graduated from Fizfak.
\vskip 2mm

\EN{For the implementation of the Abel function for the transfer function tra, the inverse function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$ is used.
Unfortunately, as in the case of ArcSin and ArcFactorial, I could not find any complex double implementation of ArcTra, and I had to make it by myself.
This is general rule: for the efficient implementation of the non-integer iterates of some transfer function 
\footnote{In principle, any holomorphic function can be declared as ``transfer function''. I still specify that tra is ``transfer function'', in order to indicate my intention to iterate it and to distinguish it from its superfunction and its Abel function.} , the inverse function also should be implemented.
In order to show the underwater stones, that may appear at calculation of superfunctions, in this section, the efficient implementation of function ArcTra is described.}
\vskip 2mm

\RU{Как уже отмечено выше, функция tra является элементарной, и не составляет труда сосчитать её производную:}%
It is not difficult to calculate the derivative of function tra:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{tra}(z)=z+\exp(z) ~~, ~~~ \mathrm{tra}^{\prime}(z)=1+\exp(z)
%\nonumber
~ ~ ~ ~~
\eL{traagain}
\EN{The Newton method 
%allows get 
gives a
good precision evaluating solution $f$ of equation}%
\RU{Для построения функции ArcTra требуется 
%найти 
решение $f$ уравнения}%
\be
\mathrm{tra}(f)\!=\!z
\eL{traf}
\RU{Последовательность $f_n$ аппроксимаций решения $f$ можно строить методом Ньютона, }
\be
f_{n+1}=f_n + \frac{z-\mathrm{tra}(f_n)}{\mathrm{tra}'(f_n)} ~ ~ ~ ~ ~
\eL{arctranewton}
\RU{при подходящем начальном значении $f_0$. Я считаю, что начальное значение подходит, если в пределе}
\be
f=\lim_{n\rightarrow \infty} f_n
\eL{arctralim}
\RU{решение $f$ оказывается на том листе многолистной функции, который мне нравится.
%(что я считаю категорическим императивом).
Как уже отмечено, мне нравится, когда линии разреза идут от точек ветвления прямо в направлении минус бесконечности, параллельно вещественной оси. Именно так идут разрезы на рисунке \ref{arctranmap}. Мелкая сетка, образованная изолиниями в полосе вдоль отрицательной части вещественной оси, то есть оси $x$ на рисунке \ref{arctranmap}, достаточно четко указывает положение разрезов, так что я не стал отмечать их дополнительным пунктиром.
%Кроме того, для решения желательно, чтобы требуемая точность (ну, скажем, 15 значащих цифр) достигалась в несколько итераций по формуле  
%\rf{arctranewton}.
}%
\EN{under a simple condition: the initial approximation $f_0$ indicates the correct branch of the resulting inverse function.
It is general rule, that any non-trivial holomorphic function (and, especially, entire function) has some 
points, where its derivative is zero; and these points provide branches of the inverse function. For this reason, for the robust implementation, the correct choice of the initial approximation is essential: over-vice, the resulting function may return values from different branches in some almost random, almost unpredictable way.
In order to indicate the correct branch, the 
%two 
expansions below are used.}
\vskip 2mm

\RU{Для построения начального приближения, я использую различные разложения функции ArcTra, в зависимости от значения аргумента $z$ в формуле \rf{traf}. Сейчас я их перечислю.}%
\EN{Expansions of tra in vicinity of the saddle points $\pm \pi \mathrm i$ can be inverted, giving the expansions of ArcTra in vicinity of 
$-1\pm \mathrm i \pi$. These expansions determine the positions of the branch points, and the direction of the cut lines, seen in figure
\ref{arctranmap}.}
\vskip 2mm

\EN{Consideration of the exponential in \rf{traagain} as a small parameter and as a big parameter gives two more asymptotic expansions.
Together with the Taylor expansion at unity and the expansions at the branch points, these expansions cover all the complex plane with the appropriate primary approximations, providing several correct decimal digits of the primary estimate $f_0$ of value of function ArcTra. Then, few iterations 
by \rf{arctranewton} already reach the maximal precision (15 
%or 16 
digits),
available for the complex double variables.
This algorithm is used in the numerical implementations of ArcTra and AuTra.
\footnote{
Details of the algorithm and the maps of the primary approximations for ArcTra  are loaded to the special page \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcTra} .}}
\vskip 3mm

%$\mathrm{strip}= \{ z \in \mathbb C: \Re(z)\!<\!0, |\Im(z)|<\pi  \}$, there is special expansion:
\RU{Проще всего  арктраппманн раскладывается вблизи отрицательной части вещественной оси.
%\be \mathrm{ArcTra}(z)= z-\mathrm e^z +\mathrm e^{2z} -\frac{1}{2}\mathrm e^{3z}+.. % O(\mathrm e^{4z})$ \ee
Такое разложение дает на первичную аппроксимацию}%
The easiest expansion is at the negative part of the real axis:
\be
\mathrm{ArcTra}(z) \approx 
\mathrm{app}_4(z)=z-\mathrm e^z
+\mathrm e^{2z}
-\frac{1}{2}\mathrm e^{3z}
\ee
%Читателям предлагается построить карту функции согласия
The Readers are invited to plot the map of the agreement function 
\be
\mathcal A_4(z)= 
-\lg \left(
\frac{  |\mathrm{tra}(\mathrm{app_4}(z))-z| }
       { |\mathrm{tra}(\mathrm{app_4}(z))| + |z|}
\right)
\ee
\vskip 4mm

%Expansions at infinity, logarithmic growth
%Логарифмический рост функции ArcTra при больших значениях вещественной части аргумента можно ухватить асимптотическим разложением.
The logarithmic growth of function ArcTra can be caught with the asymptotic expansion
\JP{
\be\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcTra}(z)= L\,\left( 1
+\frac{-1}{z}
+\frac{1\!-\!L/2}{z^2}
+\frac{-1+3 L/2 -L^2/3}{z^3}
+\frac{1-3L+11L^2/6-L^3/4}{z^4}
%+\frac{-1+5L-35L^2/6+25L^3/12-L^4/5}{z^5}
\right)+.. ~ ~
%O\left(\frac{L}{z}\right)^5
\ee
где
%where 
$L=\ln(z)$.
%The expansion is valid fof $z\in \mathbb C $ $\backslash (\mathrm{strip} \cup \partial\, \mathrm{strip})$, where
%$\mathrm{strip}= \{ z \in \mathbb C: \Re(z)\!<\!0, |\Im(z)|<\pi  \}$.
%This expansion indicates the primary approximation
}%JP
%Такое разложение даёт аппроксимацию
This expansion provides the approximation
\be
\mathrm{ArcTra}(z)\approx  \mathrm{app_3}(z) =  
\ln(z) \left(1+ \frac{1}{z} \sum_{m=0}^M \frac{P_m(\ln(z))}{z^m}\right)
\ee
where $P_m$ is polynomial of $m$th order. In particular,
%где  $P_m$ есть полином степени $m$, В частности,
\be
P_0(\ell)&=&\!\! -1 \\
P_1(\ell)&=&~ 1-\ell/2 \\
P_2(\ell)&=&\!\!-1+3 \ell/2 -\ell^2/3  \\
P_3(\ell)&=&~ 1-3L+11\ell^2/6-\ell^3/4  \\
P_4(\ell)&=&\!\! -1+5\ell-35\ell^2/6+25\ell^3/12-\ell^4/5 
\ee
\vskip 4mm

%Разложение Тэйлора в единице для арктраппманна дает приближение
The Taylor expansion of function tra at unity gives the approximation
\be
\mathrm{ArcTra}(z) \approx \mathrm{app}_1(z) =\sum_{n=1}^M c_n (z-1)^n
\eL{arctrap1}
%Несколько десятков коэффициентов этого разложения легко получить, обращая ряд разложения функции tra в нуле; это дает асимптотическое разложение арктраппманна в таком виде:
Some tens of coefficients $c$ of this expansion can be calculated, inverting the Taylor expansion of function tea at zero; the beginning of the expansion can be written as follows:
\vskip 2mm

$\mathrm{ArcTra}(1\!+\!z)\!=\!\frac{z}{2}-\frac{z^2}{16}$ $
+\frac{z^3}{192}$ $
+\frac{z^4}{3072}$ $
-\frac{13 z^5}{61440}$ $
+\frac{47 z^6}{1474560}$ $
+\frac{73 z^7}{41287680}$ $
-\frac{2447 z^8}{1321205760}\!+..$\JP{ $

+\frac{16811 z^9}{47563407360} + .. $ $
+\frac{15551 z^{10}}{1902536294400}$ $
-\frac{1726511 z^{11}}{83711596953600}$ $
+\frac{18994849 z^{12}}{4018156653772800}$ $
-\frac{10979677 z^{13}}{208944145996185600}$ $
-\frac{2983409137 z^{14}}{11700872175786393600}$ $
+\frac{48421103257 z^{15}}{702052330547183616000}$ $
-\frac{135002366063 z^{16}}{44931349155019751424000}$ $
-\frac{778870772857 z^{17}}{235025518657026392064000}$ $
+\frac{232033147779359 z^{18}}{219983885462976702971904000}$ $
-\frac{1305952009204319 z^{19}}{16718775295186229425864704000}$ $
-\frac{58740282660173759 z^{20}}{1337502023614898354069176320000}$ $
+\frac{1862057132555380307 z^{21}}{112350169983651461741810810880000}$ $
+O\left(z^{22}\right)$
}%JP
\vskip 2mm
%При $M\!=\!21$, для  $|z|\!<\!1$, такая аппроксимация дает по крайней мере 12 значащих цифр.
At $M\!=\!21$, for  $|z|\!<\!1$, this approximation provides at least 12 significant figures.
\vskip 4mm

%Разложение арктраппманна в точке $-1-\mathrm i \pi$ можно записать так:
Expansion of ArcTra at point $-1-\mathrm i \pi$ can be written as follows:
\be \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcTra}(z)\!
&\!\approx\!& \mathrm{app}_2(z)= 
\sum_{m=1}^{M} c_m^{~*} \, (z\!+\!1\!+\!\mathrm i \pi)^{m/2}
\nonumber \\
&\!=\!&\!
-\mathrm i \pi
+\mathrm i \sqrt{2} \sqrt{z\!+\!\mathrm i \pi\! +\!1}
+\frac{1}{3} (z\!+\!\mathrm i \pi \!+\!1)
\nonumber \\
&&\!
-\frac{\mathrm i (z\!+\!\mathrm i \pi \!+\!1)^{3/2}}{9 \sqrt{2}}
-\frac{2}{135} (z\!+\!\mathrm i \pi \!+\!1)^2
+.. 
\ee
\JP{$
+\frac{\mathrm i (z+\mathrm i \pi +1)^{5/2}}{540 \sqrt{2}}$ $
-\frac{4 (z+\mathrm i \pi +1)^3}{8505}$ $
+\frac{139 \mathrm i (z+\mathrm i \pi +1)^{7/2}}{340200 \sqrt{2}}$ $
+\frac{2 (z+\mathrm i \pi +1)^4}{25515}$ $
-\frac{571 \mathrm i (z+\mathrm i \pi +1)^{9/2}}{73483200 \sqrt{2}}$ $
+\frac{1124 (z+\mathrm i \pi +1)^5}{189448875}$ $
+O\left((z+\mathrm i \pi +1)^{11/2}\right)$ }%JP
%В более компактном (и более удобном для численной имплементации) виде, это разложение записывается так:
In more compact (and more efficient for the numerical implementation) form, this expansion can be re-written as follows:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{ArcTra}(-\!1\! -\!\mathrm i \pi \!+\! 2 t^2)=
\mathrm{ArcTra}\big(\!-1 \!-\!\mathrm i \pi \!+\! 2 t^2\big)&=&
-\mathrm i \pi
+2 \mathrm i t
+\frac{2 t^2}{3}
-\frac{2 \mathrm i t^3}{9}
-\frac{8 t^4}{135}
\nonumber \\ &&
+\frac{\mathrm i t^5}{135}
-\frac{32 t^6}{8505}
+\frac{139 \mathrm i t^7}{42525}
%+\frac{32 t^8}{25515}
%-\frac{571 \mathrm i t^9}{4592700}
%+\frac{35968 t^{10}}{189448875}$ $
%+ O(t^{11})$}
+..
\ee
%и, соответственно, ``сопряженное'' разложение имеет вид
with 
%natural
obvious
modification for the ``conjugated'' region
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{ArcTra}(-\!1\! -\!\mathrm i \pi \!+\! 2 t^2)=
\mathrm{ArcTra}\Big(-1 + \mathrm i \pi + 2 t^2\Big)&=&
\mathrm i \pi
-2 \mathrm i t
+\frac{2 t^2}{3}
+\frac{2 \mathrm i t^3}{9}
-\frac{8 t^4}{135}
\nonumber \\ &&
-\frac{\mathrm i t^5}{135}
-\frac{32 t^6}{8505}
-\frac{139 \mathrm i t^7}{42525}
%+\frac{32 t^8}{25515}
%-\frac{571 \mathrm i t^9}{4592700}
%+\frac{35968 t^{10}}{189448875}$ $
%+ O(t^{11})$}
+..
\ee
%где $t$ имеет смысл алгебраической функции от аргумента арктрапманна,
where $t$ has sense of algebraic function of argument $z$ of the arctrappmann,
\be
t=\sqrt{\frac{z+1-\mathrm i \pi}{2}}
\eL{arctrait}
%Разрез корневой функции в формуле \rf{arctrait} автоматически определяет линии разреза функции ArcTra, которые видны на рисунке 
The cut of the square root function in \rf{arctrait} automatically determines the cut lines of function ArcTra, 
seen in figure
\ref{arctranmap}.
%Я предлагаю Читателю в качестве упражнения построить карты функций согласия
I invite the Reader to plot the maps of the agreement functions
\be
\mathcal A_m(z)= \displaystyle 
-\lg \left(
\frac{  |\mathrm{tra}(\mathrm{app}_m(z))-z| }
       { |\mathrm{tra}(\mathrm{app}_m(z))| + |z|}
\right)
\ee
%в комплексной плоскости, 
in the complex plane
$z\!=\!x\!+\!\mathrm i y$ 
%для 
for
$m=1,2,3,4$, 
%то есть для четырех первичных аппроксимаций, предлагаемых в этой секции.
id est, for the four primary approximations suggested in this section.
\vskip 2mm

%Когда аппроксимации, описанные выше, запрограммированы и названы именами 
When the approximations above are implementd and called with names
arctra1,
arctra2,
arctra3,
arctra4,
% численная имплементация функции ArcTra, имеющая разрезы, как это показано на рисунке \ref{arctranmap} осуществлена с помощью 
%алгоритма, копипастнутого ниже: 
the numeral implementation of function ArcTra can follow the algorithm below:
\begin{verbatim}
z_type arctran(z_type z) { DB x=Re(z), y=Im(z);
if( x>2.) return arctra3(z);
DB Y=fabs(y);
if(Y<M_PI){ if(x<-1.5) return arctra4(z);
            if(Y<2.) return arctra1(z); }
if( Y>5. || x<-4. ) return arctra3(z);
if( y>0. ) return arctra2(z);
return conj( arctra2(conj(z)) );
}
\end{verbatim}

%Кроме быстрого и аккуратного представления через разаложения, представленные выше, арктраппманн можно выразить через функцию Таня, определенную в главе 5:
Alternatively, function
ArcTra can be expressed through the Tania function \rf{taniaprim}:
% described in chapter 5:
\be
\mathrm{ArcTra}(z)=z-\mathrm{Tania}(z\!-\!1)
\eL{ArcTraTania}
%Таким образом, в этой Книге, мы имеем Таню уже трижды, причем тремя разными способами:
%используется 
%уже трижды: 
In such a way, in this Book, function Tania is used already 3 times in three pretty different ways:
First, in the simple model of the laser amplifier,
then, in the representation of function flog, and, en fin, now, as an alternative implementation of ArcTra.
%This is the same Tania, and, I hope, some Tanias may enjoy this excersices and no one Tania be injured.
%сперва в простой модели лазерного усилителя, затем, как представление функции filog, и теперь, как способ имплементации арктраппманна. Я надеюсь, что при написании этой книги, ни одна Таня не пострадала. Представление через функцию Таня может использоваться для сравнения, проверки различных представлений.
\vskip 6pt

%По крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси, арктраппманн можно представить также через специальные функции
At least on vicinity of the real axis, function Tania can be expressed also through other special functions namely, 
LambertW 
%и
and
WrightOmega, 
%см.
see 
\rf{TaniaWright}.
%\rf{LambertWTania}.
%\rf{TaniaLambertW}. 
%Однако для численных проверок вблизи предела точности вычислений, первичные представления, описанные в этой секции, дают более аккуратные результаты. Читателям предлагается сравнить различные представления арктраппманна и оценить их аккуратность.
In principle, one could use those representations instead of the implementation described above.
However, at large $z$, Tania shows the growth similar to the proportional; so, the numerical implementation of ArcTra through Tania may cause loss of precision due to the rounding errors.
%For this reason, for the numerical testing of representations of AuTra, the special implementation of ArcTra, described above, is used.
However, the special implementation of ArcTra specifid above, had been used for the testing of the numerical implementation of function Tania.
\vskip 6pt

%Кроме того, ArcTra может быть выражена через функцию Su
%\vskip 2mm
%In the similar way,
%this approximation returns at least 12 signifivant figures while $|z-1|<1$. 
%The precision can be characterised with the agreement
%Кроме передаточной функции $T=\mathrm{tra}$ и обратной функции $T^{-1}=\mathrm {ArcTra}$, описанной в этой секции, для нецелых итераций функции Траппманна требуются её суперфункция, которую я назову SuTra, и абельфункция, которую я назову $\mathrm{AuTra}=\mathrm{SuTra}^{-1}$. Функция SuTra строится в следующей секции.
%\section{Супертраппманн}

While both tra and ArcTra are described and implemented,
function tra can be iterated, using the representation through the superfunction and the abelfunction.
I call these functions SuTra and AuTra; then, as usually,
\be
\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)
\eL{tranz}
In such a way I announce the future consideration:
Function SuTra is 
%considered 
described
in the next section, and function AuTra is treated soon after that section.

%\end{document}
\section{Supertrappmann}
\baselineskip17.8pt

%\begin{wrapfigure}{r}{224px}
\begin{wrapfigure}{r}{250px}
\vskip -28pt
%\sx{.277}{\begin{picture}(602,800)
\sx{.315}{\begin{picture}(602,800)
\normalsize
\put(510,794){\sx{4}{$y$}}
\put(420,566){\sx{3.8}{$1\!+\!\mathrm e$}}
\put(510,690){\sx{4}{$5$}}
\put(510,590){\sx{4}{$4$}}
\put(510,490){\sx{4}{$3$}}
\put(510,390){\sx{4}{$2$}}
\put(510,289){\sx{4}{$1$}}
\put(512,187){\sx{4}{$0$}}
\put(490, 87){\sx{4}{$-\!1$}}
%\put(325,098){\sx{4}{$0$}}
\put(068,206){\sx{4}{$-4$}}
\put(168,206){\sx{4}{$-3$}}
\put(200,180){\sx{4}{$-\mathrm e$}}
\put(268,206){\sx{4}{$-2$}}
\put(368,206){\sx{4}{$-1$}}
\put(491,206){\sx{4}{$0$}}
\put(592,206){\sx{4}{$1$}}
\put(692,206){\sx{4}{$2$}}
\put(778,206){\sx{4}{$x$}}
\put(662,308){\sx{4.2}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{SuTra}(x)$\ero}}
\put(240,318){\sx{3.8}{\rot{0}$y\!=\!-\!\ln(-x)$\ero}}
\put(0,0){\ing{sutraplo}}
%\put(0,0){\ing{SuTraplo3}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\sx{.61}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuTraPlo3T.jpg}}
\vskip -6pt
%\caption{$y\!=\!\mathrm{SuTra}(x)$, thick curve, ~and~ $y\!=\!-\ln(-x)$, thin curve \label{sutraplot}}
\caption{$y\!=\!\mathrm{SuTra}(x)$ and $y\!=\!-\ln(-x)$  \label{sutraplot}}
\vskip -2pt
\end{wrapfigure}

%Как указано выше, функция Траппманна не имеет стационарных точек.
As it is mentioned above, the Trappmann function tra has no fixed points.
%В отсутствие стационарных точек, нельзя применять ``как есть'' метотоды построения суперфункций, рассмотренные в предыдущих главах. В связи с этим,  Генрик Траппманн ожидал, что для передаточной функции \rf{tra} будет трудно построить суперфункцию. %В связи с этим, в этой Книге (как и в ТОРИ), эта функция называется Функцией Траппманна.
For this reason, the methods described in the previous chapters of this Book, cannot be applied ``as is''.
Henryk Trappmann had expected, that it will be difficult, to construct superfunction for the function tra, if at all.
\vskip 6pt

However, the simple and efficient way to construct and evaluate SuTra, which is superfunction for the Trappmann 
function, exist. Plot of function SuTra is shown in figure \ref{sutraplot} and compared to the graphic of its asymptotic.
Below I describe the construction of this function.
%Вопреки ожиданиям, для суперфункции от Функции Траппманна \rf{tra} существует простое представление (и даже не одно).
%Для такой суперфункции здесь использовано имя SuTra, и она показана на рисунке \ref{sutraplot}. Ниже я рассказываю, как строится эта функция.
%Во-первых, возрастающее вдоль вещественной оси решение можно выразить через суперфункцию ZuZex передаточной функции zex, рассмотренной ранее.
%Во-вторых, решение с логарифмической асимптотикой можно найти и непосредственно. Эти асимптотики эквивалентны, и дают одну и ту же суперфункцию SuZex,
%показанную на рисунках . 
%Ниже описано построение и вычисление такой суперфункции; перессказываются основные элементы статьи  \cite{sutra}.
\vskip 6pt
%\baselineskip 21pt
 
%Однако даже для такой передаточной функции можно построить суперфункцию. 
%Сперва я расскажу про хинт (hint, или, более по-русски, финт), с помощью которого можно угадать поведение суперфункции 
Many colleagues, instead of to trace the deduction, ask first ``How did you guess?'' Following such an interest, 
first, I describe the hint, that leads to the efficient representation of function SuTra.
For the transfer function tra, and its superfunction $F$, the transfer equation can be written as follows:
%Для функции Траппманна, передаточное уравнение можно записать так:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z\!+\!1)=\mathrm{tra}(F(z))=F(z)+\exp(F(z))
\eL{trantrap}
%Или даже так:
and re-written in the following form:
\be
F(z\!+\!1)-F(z)=\exp(F(z))%\approx 1- F(z)
\eL{trantrap1}
%В левой части уравнения \rf{trantrap1} имеется что-то, напоминающее производную функции $F$. 
%Наиболее простой вид среди медленно меняющихся функций имеет логарифм. 
%Уравнение 
In the left hand side of equation  \rf{trantrap1}, I see something, that looks similar to derivative of function $F$.
This similarity can be expressed with approximate equation
\be
\frac{\mathrm d F}{\mathrm d z} \approx \frac{1}{\exp(-F)}
\ee
%дает
that gives
\be
\int \exp(-F) \mathrm d F \approx \int \mathrm d z
\ee
\be
\exp(-F) \approx - z
\ee
This relation indicates, that expansion of superfunction $F$ may begin with the logarithmic term, namely the term,
%which is 
shown in figure \ref{sutraplot}.

%Таким образом, разложение функции $F$ может начинаться с логарифмического терма.
However, the ``heuristic solution'' above is not a solution at all; in the best case, it is only the asymptotic approximation.
Substitution of the approximation of function $F$ into the transfer equation
%Подстановка такого эвристического решения в передаточное уравнение  
\rf{trantrap} gives, of course, some residual. 
%дает невязку, и эта невязка указывает следующий терм разложения. 
%Поэтому естественно ожидать, что асимптотическое разложение 
%функции $F$ при больших отрицательных значениях аргумента начнется с логарифмической функции, с тем, чтобы дать в правой части уравнения 
%\rf{trantrap1} нечто в первом приближении линейное по $z$. 
%Поэтому 
This residual indicates the form of the next term of the expansion; and so on.
%Угадав таким образов форму асимптотики, я ищу асимптотическое представление для решения $F$ в таком виде:
In such a way, I guess the form of the asymptotic solution $F$:
\be
F(z)=F_M(z)+O\left( \frac{\ln(-z)}{z}\right)^{M+1}
\eL{sutraFMO}
%где $M$ есть натуральное число, а 
where $M$ is natural number, and
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
F_M(z)=-\ln(-z)+\sum_{m=1}^{M} P_m\Big(\ln(-z)\Big) \, z^{-m}
\eL{sutraFM}
where 
%где
\be
P_m(z)=\sum_{n=1}^m a_{m,n} z^n
\eL{sutraP}
%Подставляя представление \rf{trantrap} в передаточное уравнение \rf{trantrap} и собирая слагаемые с одинаковыми степенями $z$ и $\ln(-z)$, я получаю цепочку уравнений для коэффициентов $a$. 
%Первые из этих коэффициентов показаны в таблице
Substituting this expansion into the transfer equation \rf{trantrap}, I collect terms with equal powers of $z$ and equal powers of  $\ln(-z)$. This gives both, verification of the form of the asymptotic expansion \rf{sutraFM},\rf{sutraP}
and values of coefficients $a$.
Several coefficients $a$, calculated in this way,
are shown in Table 
\ref{table:sutracoe}.
\begin{table}[h]
\caption{\EN{Coefficients $a$ in the expansion}\RU{Коэффициенты $a$ в разложении} \rf{sutraFMO},\rf{sutraFM} \label{table:sutracoe}}
%\sx{1.05}
%\be
\sx{1.14}
{$
\begin{array}{ccccccccccc}
 0 & -\frac{1}{2} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} & a_{1,6} & a_{1,7} & a_{1,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{1}{6} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8} & a_{2,3} &  a_{2,4} & a_{2,5} & a_{2,6} & a_{2,7} & a_{2,8} \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{7}{48} & -\frac{7}{24} & \frac{3}{16} & -\frac{1}{24} & a_{3,4} & a_{3,5} & a_{3,6} & a_{3,7} &  a_{3,8} \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{647}{4320} & -\frac{35}{96} & \frac{5}{16} & -\frac{11}{96} & \frac{1}{64} & a_{4,5} & a_{4,6} & a_{4,7} & a_{4,8} \rule{0pt}{14pt}  \\
 \frac{1427}{8640} & -\frac{4163}{8640} & \frac{25}{48} & -\frac{17}{64} & \frac{25}{384} & -\frac{1}{160} & a_{5,6} & a_{5,7} & a_{5,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{1380863}{7257600} & -\frac{1883}{2880} &  \frac{5963}{6912} & -\frac{653}{1152} & \frac{305}{1536} & -\frac{137}{3840} & \frac{1}{384} & a_{6,7} & a_{6,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{3278773}{14515200} & -\frac{2171723}{2419200} & \frac{97603}{69120} & -\frac{3961}{3456} & \frac{537}{1024} & -\frac{263}{1920} & \frac{49}{2560}  & -\frac{1}{896} & a_{7,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{251790467}{914457600} & -\frac{35981749}{29030400} & \frac{1049251}{460800} & -\frac{920881}{414720} & \frac{69953}{55296} & -\frac{13381}{30720} & \frac{4123}{46080} & -\frac{363}{35840} & \frac{1}{2048}  \rule{0pt}{14pt} 
\end{array}$}
\end{table}
%\ee

%Вычисление коэффициентов $а$ можно автоматизировать.
%
%, используя алгоритмические языки высокого уровня. 
\vskip 3mm

%На Математике, коэффициенты $a$ можно находить с помощью такой программы:
Using Mathematica, coefficients $a$ can be found with the following code:
\normalsize
{\baselineskip 15pt
\begin{verbatim}
T[z_] = z + Exp[z];
Clear [n, m, M];
P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, m}]; P[m, L];
F[z_]=-Log[-z]+a[1,1] Log[-z]/z+Sum[P[m,Log[-z]]/z^m,{m,2,M}]
M = 12;
F1x = F[-1/x + 1];
Ftx = T[F[-1/x]];
s[1] = Series[F1x - Ftx, {x, 0, 2}];
t[1] = Extract[Solve [Coefficient[s[1], x^2] == 0, {a[1, 1]}], 1]
A[1, 1] = ReplaceAll[a[1, 1], t[1]];
su[1] = t[1]

m = 2; s[m] = ReplaceAll[Series[F1x - Ftx, {x, 0, m + 1}], su[m]];
t[m] = Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m + 1)];
u[m] = Collect[t[m], L];
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n + 1)] == 0, {n, 0, m}];
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}];
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1];
su[m + 1] = Join[su[m], ad[m]];
ReplaceAll[ReplaceAll[F[x], su[m + 1]], Log[-x] -> L]

m = 3; s[m] = ReplaceAll[Series[F1x - Ftx, {x, 0, m + 1}], su[m]];
t[m] = Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m + 1)];
u[m] = Collect[t[m], L];
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n + 1)] == 0, {n, 0, m}];
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}];
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1];
su[m + 1] = Join[su[m], ad[m]];
ReplaceAll[ReplaceAll[F[x], su[m + 1]], Log[-x] -> L]
\end{verbatim}
}
\large
\baselineskip 19.8pt
\vskip 2mm
%и так далее для 
and so on
$m\!=\!4$, $m\!=\!5$, etc.
I do not arrange here the loop ``For'' with respect to $m$, in order to keep the code explicit and simplify the tracing step by step.
\vskip 2mm

Expression \rf{sutraFM} can be considered as primary approximation of superfunction of the Trappmann function \rf{tra}. Then, the exact
solution $F$ of the transfer equation 
appears as limit
%can be constructed as follows:
% \begin{wrapfigure}{l}{224px}
%Выражение \rf{sutraFM} 
%%может быть рассмотрено как 
%%определяет 
%определяет
%асимптотику
%суперфункции для передаточной функциии \rf{tra}. Точное решение $F$ передаточного уравнения \rf{trantrap} записывается так: 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)=\lim_{k \rightarrow \infty} \mathrm{tra}^k\big(F_M(z\!-\!k)\big)
\eL{exa}
In order to get superfunction SuTra, that satisfies also the additional condition
%Чтобы получить суперфункцию SuTra, которая удовлетворяет ещё дополнительному условию
\be
\mathrm{SuTra}(0)=0
\eL{SuTra0}
%я определяю
I set
%define
\be
\mathrm{SuTra}(z)=F(z+x_0)
\eL{SuTraDef}
where $x_0 \!\approx\! -1.1259817765745026$ is real solution of equation
%где $x_0 \!\approx\! -1.1259817765745026$ есть вещественное решение уравнения
\be
F(x_0)=0
\eL{x00}
Figure \ref{sutraplot} shows $y=\mathrm{SuTra}(x)$ versus $x$.
For comparison, the thin curve shows the leafing term of the asymptotic representation of  $\mathrm{SuTra}$, 
id est, 
%Рисунок \ref{sutraplot} показывает $y=\mathrm{SuTra}(x)$ как функцию $x$. Для сравнения, тонкой курвой показан также лидирующий терм асимптотики функции $\mathrm{SuTra}$ при больших отрицательных значениях аргумента, то есть 
$y=-\ln(-x)$. 
%В левой части рисунка функция приближается к её асимптотике.
In the left hand side of the figure, graphic of SuTra approaches its asymptotic.
\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip 21pt
%\sx{.23}{\begin{picture}(2002,2002)
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002)
\put(-49,1950){\sx{8}{$y$}}
\put(-49,1780){\sx{7}{$8$}}
\put(-49,1580){\sx{7}{$6$}}
\put(-49,1380){\sx{7}{$4$}}
\put(-49,1180){\sx{7}{$2$}}
\put(-49,0980){\sx{7}{$0$}}
\put(-109,780){\sx{7}{$-2$}}
\put(-109,580){\sx{7}{$-4$}}
\put(-109,380){\sx{7}{$-6$}}
\put(-109,180){\sx{7}{$-8$}}
\put(120, 6){\sx{7}{$-8$}}
\put(320, 6){\sx{7}{$-6$}}
\put(520, 6){\sx{7}{$-4$}}
\put(720, 6){\sx{7}{$-2$}}
\put(988, 6){\sx{7}{$0$}}
\put(1188, 6){\sx{7}{$2$}}
\put(1388, 6){\sx{7}{$4$}}
\put(1588, 6){\sx{7}{$6$}}
\put(1788, 6){\sx{7}{$8$}}
\put(1958, 6){\sx{8}{$x$}}
\put(0,0){\ing{sutranmap}}
\put(200,1414){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2.2$\ero}}
\put(352,1328){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(462,1238){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.8$\ero}}
\put(574,1188){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.6$\ero}}
\put(652,1130){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.4$\ero}}
\put(722,1070){\sx{7}{\rot{58}$u\!=\!-1.2$\ero}}
\put(790,1050){\sx{7}{\rot{59}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(1518,1200){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!3$\ero}}
\put(1277,1590){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!2$\ero}}
\put(618,1632){\sx{7}{\rot{-53}$v\!=\!1$\ero}}
\put(340,1128){\sx{7}{\rot{-10}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(310,0984){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(330,0832){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(642,0332){\sx{7}{\rot{53}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(1209,488){\sx{7}{\rot{-70}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(1490,772){\sx{7}{\rot{-11}$v\!=\!-3$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuTraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{SuTra}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{SuTraDef} \iL{sutramap}}
\end{figure}
\vskip 2mm

%Комплексная карта функции $\mathrm{SuTra}$ показана на рисунке \ref{sutramap}. 
Complex map of function $\mathrm{SuTra}$ is shown in figure \ref{sutramap}. 
Being far from the positive part of the real axis, function SuTra looks similar to
%Вдали от начала координат и вдали от положительной части вещественной оси, SuTra похожа на функцию 
function $z \rightarrow -\ln(-z)$, 
as it is suggested by the leading term of its asymptotic representation.
Lines of the constant real part look similar to circles, while lines of constant imaginary part look similar to the straight lines;
this make the map to look similar to the map of logarithm. 
\vskip 2mm

%как это предлагается её асимптотическим представлением. При этом линии постоянной вещественной части SuTra похожи на окружности, а линии постоянной мнимой части похожи на прямые линии. Сходства нет вблизи нуля (где логарифм имеет особенность), и вблизи положительной части вещественной оси. Этого можно было ожидать: по построению, функция SuTra голоморфна и не имеет особых точек, то  есть это целая функция. Целая функция не может хорошо аппроксимировать сингулярную функцию вблизи её сингулярностей и разрезов. 
\vskip 2mm
%\end{document}
\RU{
В правой части рисунка \ref{sutramap}, в окрестности положительной части вещественной оси, функция $\mathrm{SuTra}$ остается голоморфной, но она очень быстро растет (быстрее любой экспоненты), и даже самый хороший графопостроитель не может провести соответствующие линии уровня. (И даже если бы он смог такое сделать, получающийся файл не поместился бы ни в один компьютер.) Поэтому эта часть рисунка осталась пустой, эта пустота выглядит как ручка, на которой держится голоморфная иммитация сингулярности в нуле, и, в некотором, смысле, вся ТФКП. Потому как если кто построит целую голоморфную функцию с логарифмической асимптотикой, но без такой ``ручки'', то вся  ТФКП (с аксиомами Арифметики вместе) посыпется. Такая ``ручка'' неизбежна при аппроксимации сингулярной функции целой функцией.}
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.12}{\begin{picture}(2002,2002)
\sx{.104}{\begin{picture}(2000,2002)
\put(30,1950){\sx{8}{$y$}}
\put(30,1780){\sx{7}{$8$}}
\put(30,1580){\sx{7}{$6$}}
\put(30,1380){\sx{7}{$4$}}
\put(30,1180){\sx{7}{$2$}}
\put(30,0980){\sx{7}{$0$}}
\put(-22,780){\sx{7}{$-2$}}
\put(-22,580){\sx{7}{$-4$}}
\put(-22,380){\sx{7}{$-6$}}
\put(-22,180){\sx{7}{$-8$}}
\put(120, 6){\sx{7}{$-8$}}
\put(320, 6){\sx{7}{$-6$}}
\put(520, 6){\sx{7}{$-4$}}
\put(720, 6){\sx{7}{$-2$}}
\put(988, 6){\sx{7}{$0$}}
\put(1188, 6){\sx{7}{$2$}}
\put(1388, 6){\sx{7}{$4$}}
\put(1588, 6){\sx{7}{$6$}}
\put(1788, 6){\sx{7}{$8$}}
\put(1958, 6){\sx{8}{$x$}}
%\put(0,0){\ing{SuTraMap}}
\put(0,0){\ing{sutra2map}} 
\put(0,0){\ing{mlogmap}} 
%\zoomax % 
\put(200,1414){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2.2$\ero}} 
\put(352,1328){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2$\ero}} 
\put(462,1238){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.8$\ero}}
\put(1277,1590){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!2$\ero}}
\put(596,1632){\sx{7}{\rot{-55}$v\!=\!1$\ero}}
\put(340,1128){\sx{7}{\rot{-10}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(310,0984){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(330,0832){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(620,0332){\sx{7}{\rot{55}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(1209,488){\sx{7}{\rot{-70}$v\!=\!-2$\ero}}
%\put(1490,772){\sx{7}{\rot{-11}$v\!=\!-3$\ero}}
\end{picture}}
\rule{1pt}{0pt}
%\sx{.12}{\begin{picture}(2002,2002)
\sx{.104}{\begin{picture}(2000,2002)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}} 
%\put(40,20){\ing{ExpMap}}
\put(30,1950){\sx{8}{$y$}}
\put(30,1780){\sx{7}{$8$}}
\put(30,1580){\sx{7}{$6$}}
\put(30,1380){\sx{7}{$4$}}
\put(30,1180){\sx{7}{$2$}}
\put(30,0980){\sx{7}{$0$}}
\put(-22,780){\sx{7}{$-2$}}
\put(-22,580){\sx{7}{$-4$}}
\put(-22,380){\sx{7}{$-6$}}
\put(-22,180){\sx{7}{$-8$}}
\put(120, 6){\sx{7}{$-8$}}
\put(320, 6){\sx{7}{$-6$}}
\put(520, 6){\sx{7}{$-4$}}
\put(720, 6){\sx{7}{$-2$}}
\put(988, 6){\sx{7}{$0$}}
\put(1188, 6){\sx{7}{$2$}}
\put(1388, 6){\sx{7}{$4$}}
\put(1588, 6){\sx{7}{$6$}}
\put(1788, 6){\sx{7}{$8$}}
\put(1958, 6){\sx{8}{$x$}}
%\put(0,0){\ing{SuTraMap}}
\put(0,0){\ing{sutra4map}} 
\put(0,0){\ing{mlogmap}} 
%\zoomax % 
\put(200,1414){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2.2$\ero}} 
\put(352,1328){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2$\ero}} 
\put(462,1238){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.8$\ero}}
\put(1277,1590){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!2$\ero}}
\put(596,1632){\sx{7}{\rot{-55}$v\!=\!1$\ero}}
\put(340,1128){\sx{7}{\rot{-10}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(310,0984){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(330,0832){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(620,0332){\sx{7}{\rot{55}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(1209,488){\sx{7}{\rot{-70}$v\!=\!-2$\ero}}
%\put(1490,772){\sx{7}{\rot{-11}$v\!=\!-3$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
{
%\large 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sutralomap.jpg}}
\vskip -8pt
\caption{\large
%Карты функций 
Complex maps of functions $f_2$ by
\rf{sutra2} 
%и
and $f_4$ \rf{sutra4}, 
%наложенные на карту функции 
overlapped with map of function $f_\infty$ by
\rf{sutrafinfty}
\label{sutralomap}}
\vskip 8pt
\end{figure}
%Чтобы показать, как логарифмическая функция 
I would like to show, how the logarithmic function
$z\rightarrow -\ln(-z)$ 
%аппроксимируется целой функцией, 
%на рисунке 
can be approximated with the entire function.
Figure \ref{sutralomap} shows complex maps of the entire functions
%изображены 
%наложения 
%карты целых функций 
\be
f_2(z)=\mathrm {SuTra}(2z)+\ln(2) \label{sutra2}\\
f_4(z)=\mathrm {SuTra}(4z)+\ln(4) \label{sutra4}
\ee
%Для сравнения, эти карты наложены на карту функции
for comparison, each of these maps is overlapped with the map of 
\be
f_{\infty}(z)=-\ln(-z) \label{sutrafinfty}
\ee
%На правой картинке рисунка \rf{sutralomap}, уровни двух функций настолько близки, что трудно сразу понять, к какой из функций относится каждый уровень.
In the right hand side picture of figure  \rf{sutralomap}, the levels of different functions are so close, that it is difficult to see,
which of functions does each level corresponds to.
%Таким образом, п
%Последовательность целых функций
For all 
$z$, 
%за исключением нуля и отрицательной части вещественной оси. 
except zero and positive part of the real axis, sequence 
%of functions
\be
\Phi_n(z)=-\Big(\mathrm {SuTra}(-nz)+\ln(n) \Big) \label{sutn}
\eL{phin}
%при больших значениях 
at big $n$ 
%асимптотически аппроксимирует 
%asymptotically 
approximates
$\ln(z)$.
%при любых значениях 
\RU{
\footnote{В окрестности положительной части вещественной оси, при конечном $n$,  функция $\Phi_n$ сильно дергается; по сравнению с ней, даже выживший из ума 
%фашиствующий 
диктатор, оказывающий всем соседям ``братскую помощь'', выглядит образцом постоянства и здравомыслия.} 
}%
%Насколько мне известно, выражение \rf{sutn} имеет самую широкую область аппроксимации логарифма целой функцией среди всех, предложенных по крайней мере до публикации 
Up to my knowledge, expression \rf{sutn} provides the range of approximation of logarithm with entire functions,
that is wider than that of all approximations ever suggested before publication 
%of
\cite{sutra}.
\vskip 2mm

I have no idea, what for the approximation of logarithm with entire function can be used.
This approximation appears here as a by-product at construction of function SuTra.
But if someone needs such an approximation, it is done and it is here,
formula \rf{phin}.
\section{Implementation of SuTra and the testing}
%\RU{\section{ SuTra, имплементация супертраппманна}}
\baselineskip 21pt
%В заголовке секции, фамилия ``Траппманн'' написана с маленькой буквы, чтобы показать, что речь идет не о самом Генрике Траппманне, а о суперфункции для функции tra, которую я назвал его 
%фамилией.
%именем. 
%В этой секции рассмотрена численная имплементация 
%супертраппманна
%этой функции.
%This section describes implementation of supertrappmann. 
%\vskip 2mm

The key parameters of any approximation are the range of applicability, the precision and the
number of elementary operations that should be performed for each evaluation. 
%Ключевые вопросы для любой аппроксимации - в какой области эта аппроксимация работает, сколько значащих цифр она дает и сколько операций требуется выполнить, чтобы с этой аппроксимацией получить требуемую величину.
If the range of applicability is wide (for example, cover the range of holomorphism of the approximated function), the precision is close to the that allowed at the computer representation of numbers, and
the complex maps can be plotted in real time, then I qualify the solution as ``exact''.
This implies, that, if, for some reason, the precision needs to be improved, the implementation of the high precision code is straightforward, id est, can be realised with the same formulas.

%Если область применимости охватывает все мыслимые приложения, погрешность приближается к имманентной погрешности округления чисел при их представлении в компьютере, а все комплексные карты для этой функции строятся в реальном времени, то я условно называю решение точным.
%При этом подразумевается, что когда получаемой точности не хватит, с помощью точного решения алгоритм можно уточнить, чтобы получить ещё более точный алгоритм, который даст точно такую точность, которая требуется. Такой фразой я хочу хотя бы приблизительно показать многообразие   
%значений, которые может иметь термин ``точный''. 
\vskip 2mm

If some function is supplied with definition, the properties are described, and the efficient precise algorithm for the evaluation is presented, I treat such a function as a ``special function''.
Then, if the solution of some problem is explicitly expressed in terms of the special functions,
I call it ``exact solution''.
I place this 
%discourse 
explanation here form my old coauthor, who believed, that even $\pi$ is approximate number.
However, the fundamental mathematical constants are, contrary, exact numbers, in the sense mentioned above; neither $\pi$, nor values of superfunctions constrcted in this Book are exceptions:
they are exact and can be evaluated with any required precision.
%Если для функции есть определение, известны её свойства, и уже есть эффективный алгоритм для её вычисления, эта функция должна рассматриваться как специальная. Если решение какой-либо задачи просто и явно выражено через такую функцию, то это  решение должно квалифицироваться как ``точное''.
\vskip 2mm

Following the ideology of the preamble of this section, I consider here
the range of values of the argument $z$, at which the approximation $F_M(z\!+\!x_0)$
%Ниже я рассматриваю область значений $z$, при которых  $F_M(z\!+\!x_0)$
%по формуле 
by \rf{sutraFM} 
%является хорошим приближением для выражения 
can be considered as good approximation of
$\mathrm{SuTra}(z)$. 
Then I describe the algorithm, based on this analysis.
\vskip 2mm

%Из практических соображений (чтобы получить complex double численную имплементацию),
%оказалось удобным взять 12 слагаемых в разложении, то есть $M\!=\!12$. Для дюжины терминов, исследовалась функция согласия
For the practical reasons (in order to get the complex double implementation, that can be easily reproduced and verified), I took 12 terms in the expansion, id est, $M\!=\!12$.
For the dozen terms, the agreement
\be
\mathcal A(z)= - \lg\! \left( \frac
{ |  F_M(z\!+\!x_0)- \mathrm {SuTra}(z) | }
{ |  F_M(z\!+\!x_0) | + |\mathrm {SuTra}(z) | }
\right)
\eL{sutraA}
had been analysed. Levels of this function are shown in figure 
%Уровни этой функции показаны на рисунке 
\ref{sutraAmap}.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}[2]{l}{510px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.112}{\begin{picture}(4402,2002)
\sx{.096}{\begin{picture}(4402,2002)
\put(0,0){\ing{sutrapag}}
\put(44,1955){\sx{8}{$y$}}
\put(04,1775){\sx{8}{$18$}}
\put(04,1575){\sx{8}{$16$}}
\put(04,1375){\sx{8}{$14$}}
\put(04,1175){\sx{8}{$12$}}
\put(04, 975){\sx{8}{$10$}}
\put(040, 775){\sx{8}{$8$}}
\put(040, 575){\sx{8}{$6$}}
\put(040, 375){\sx{8}{$4$}}
\put(040, 175){\sx{8}{$2$}}
%\put(020, 80){\sx{8}{$1$}}
\put(040, -25){\sx{8}{$0$}}
\put(0108,-77){\sx{7}{$-18$}}
\put(0308,-77){\sx{7}{$-16$}}
\put(0508,-77){\sx{7}{$-14$}}
\put(0708,-77){\sx{7}{$-12$}}
\put(0908,-77){\sx{7}{$-10$}}
\put(1140,-80){\sx{8}{$-8$}}
\put(1340,-80){\sx{8}{$-6$}}
\put(1540,-80){\sx{8}{$-4$}}
\put(1740,-80){\sx{8}{$-2$}}
\put(1992,-80){\sx{8}{$0$}}
\put(2192,-80){\sx{8}{$2$}}
\put(2392,-80){\sx{8}{4}}
\put(2592,-80){\sx{8}{6}}
\put(2792,-80){\sx{8}{8}}
\put(2970,-80){\sx{8}{10}}
\put(3170,-80){\sx{8}{12}}
\put(3370,-80){\sx{8}{14}}
\put(3570,-80){\sx{8}{16}}
\put(3770,-80){\sx{8}{18}}
\put(3970,-80){\sx{8}{20}}
\put(4192,-80){\sx{8}{$x$}}
\put(180,1860){\sx{16}{Range used for approximation of SuTra}}
\put(400,1200){\sx{19}{$\mathcal A \!>\! 15$}}
\put(2020,1520){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!15$}}
\put(2020,1250){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!14$}}
\put(2020,1040){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!13$}}
\put(2020,0840){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!12$}}
\put(2030,0488){\sx{16}{$\mathcal A \!=\!9$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sutraamap.jpg}
\vskip -2pt
\caption{
%\large 
Map of $\mathcal A=\mathcal A(x\!+\!\mathrm i y)$  by \rf{sutraA} \label{sutraAmap}}
%\caption{Карта функции согласия $\mathcal A=\mathcal A(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле \rf{sutraA} \iL{sutraAmap}}
\vskip 6pt
\end{figure}

%Для точности complex double, то есть с пятнадцатью значащими цифрами, значения вне контура, показанного толстой курвой, могут быть использованы (и используются в алгоритме) ``как есть''. Для иных значений требуется формула 
For the precision complex double, %id est with approximately 15 decimal digits, the
values outside the ``thick'' contour in figure \ref{sutraAmap} can be used ``as is''.
For other values, formula 

\be
\mathrm{SuTra} (z)=\mathrm{tra}^k(\mathrm{SuTra}(z\!-\!k))
\eL{SuTrak}
is used with appropriate 
%value of 
$k$,
%с таким целым значением $k$, чтобы самый внутренний аргумент оказался вне толстого контура на рисунке  
in such a way, that the inner argument is outside the ``thick'' contour in figure
\ref{sutraAmap}. 
This thick contour is not part of the map; it is formed with the segment along the line
%Этот ``толстый контур'' не является частью карты, он образован отрезком прямой вдоль 
$x\!=\!-11$,
arc with centre at point $(5,0)$ of radius 18, and the half-line along $y\!=\!6$.
%окружностью с центром в точке $(5,0)$ и полупрямой вдоль линии $y\!=\!6$. Вне этого контура, погрешность вычисления супертраппманна определяется не несовершенством аппроксимирующей функции, а ошибками округления при использовании переменных complex double.

Outside the thick contour in figure \ref{sutraAmap}, the 
%errors
precision
of evaluation of function SuTra 
%are
is limited
mainly by the rounding errors. 
%due to the finite precision of the complex double arithmetics in the computer implementation.
Values outside the ``thick contour'' are used for the numerical implementation directly. For other values, 
formula \ref{SuTrak} is used with appropriate value of $k$. This algorithm is used for the numerical implementation of function SuTra,
%. This implementation is loaded to
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Sutran.cin}
\vskip 6pt

%При построении остальных рисунков этой главы, при каждом вычислении функции SuTra, функцию tra приходится оценивать порядка десятка раз. Таким образом, представление функции SuTra всего лишь на порядок величины более медленно, чем вычисление таких общепризнанных специальных функций как exp, erfc или BesselJ. Это одна из причин, по которым я квалифицирую функцию SuTra как специальную.
At the evaluation of function SuTra,
function tra should be evaluated of order of ten times. (However, this depend on the initial value).
Function tra is fast, because $\mathrm{tra}(z)\!=\!z\!+\!\exp(z)$.
In such a way, the evaluation of SuTra is only for an order of magnitude slower, than evaluation of other special functions like exp, erfc or BesselJ.
This is one of reasons why I qualify SuTra as special function.
\vskip 6pt

For iterates of the Trappmann function, I need also the inverse function, $\mathrm{AuTra}={\mathrm{SuTra}^{}-1}$. This function is shown in figure \ref{autraplot}
and described in the next section.

\newpage
%~
%\rule{0pt}{284pt}
%\newpage
%\section{AuTra, абельфункция траппманна}
\section{AuTra, abelfunction of trappmann}
\baselineskip 21pt

%\begin{wrapfigure}{r}{210px}
%\begin{wrapfigure}{r}{225px}
%\begin{wrapfigure}{r}{240px}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\vskip -2pt
\hskip -4pt
%\sx{.51}{\begin{picture}(402,400)
\sx{1}{\begin{picture}(402,400)
\put(112,391){\sx{2.2}{$y$}}
\put(112,296){\sx{2.2}{$1$}}
\put(112,196){\sx{2.2}{$0$}}
\put(102, 96){\sx{2.2}{$-1$}}
\put(99,180){\sx{2.2}{$0$}}
\put(199,182){\sx{2.2}{$1$}}
\put(299,182){\sx{2.2}{$2$}}
\put(390,182){\sx{2.2}{$x$}}
\put(0,0){\ing{autraplo}}
\put(154,304){\sx{2}{\rot{35}$y\!=\!c_0\!+\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}$\ero}}
%\put(170,310){\sx{2}{\rot{39}$y\!=\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}$\ero}}
\put(267,325){\sx{2.2}{\rot{17}$y\!=\!\mathrm{AuTra}(x)$\ero}}
%\put(185,128){\sx{2.2}{$y\!=\!x/2\!-\!\mathrm e^x\!+\!1.1259817765745026-exp(x)/6.+exp(2*x)/16)$}}
%\put(210,122){\sx{2}{$y\!=\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}\!-\!\mathrm e^x/6$}}
\put(170,122){\sx{2}{$y\!=\!c_0\!+\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}\!-\!\mathrm e^x/6$}}
\end{picture}}
\vskip -6pt
%\sx{.7}
{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Autraplot.jpg}}
\vskip -8pt
\caption{
%\large 
$y\!=\!\mathrm{AuTra}(x)$ 
%по формуле
by \rf{AuTraDef}
and two %~ ~ ~ ~ ~ ~  
its asymptotics by 
%и две асимптотики от
%по формуле 
\rf{sutrasy} 
\label{autraplot}}
\vskip 8pt
%\end{wrapfigure}
\end{figure}
%В этой секции строится обратная функция к функции tra; для неё предлагается имя AuTra. График этой функции показан на рисунке \ref{autraplot}. Для сравнения, тонкими линиями
%на этом же рисунке 
%показаны две оборванные серии асимптотического разложения этой функции при больших отрицательных значениях аргумента.
This section describes evaluation of the inverse function of SuTra,
id est, the Abel function for the Trappmann function tra.
I call this abelfunction AuTra. Its explicit plot is shown in figure
\ref{autraplot}; for comparison, in the same picture, the two asymptotics of function AuTra are shown.
\vskip 2mm

%Here, I 
%\vskip 2mm
%Комплексная карта функции AuTra показана на рисунке \ref{autraMap}. 
Complex map of function AuTra is shown in figure \ref{autraMap}. 
%Ниже описано
% эффективный алгоритм для 
%Её вычисление  описано
%рассмотрено 
%ниже.
\vskip 2mm

%Для передаточной функции Траппманна, абельфункция $G$ удовлетворяет уравнению Абеля
For the transfer function tra, the abelfunction $G$ satisfies the Abel equation
\be
G(\mathrm{tra}(z))=G(z)+1
\eL{abeltraeq}
%Асимптотическое поведение решения можно угадать, переписав это уравнение в таком виде:
In order to see the asymptotic expansion of the solution $G$, I rewrite this equation as
\be
G(z+\mathrm e^z)-G(z)=1
\eL{abeltraeq1}
and expand the left hand side, using $\mathrm e^z$ as small parameter: 
%Выражение в левой части похоже на производную, %то есть
\be
G'(z) \mathrm e^z +G''(z) e^{2z}/2+.. \approx 1
\eL{abeltraeq3}
%``Методом пристального всматривания'' 
%Из такого уравнения получается %доминирующая 
%Из такой аналогии можно угадать %доминирующая 
%асимптотическое разложение функции $G$:
This expansion allows to guess the asymptotic solution:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
G(z)\approx \frac{z}{2}-\mathrm e^{-z}
-\frac{\mathrm e^z}{6}
+\frac{\mathrm e^{2 z}}{16}
-\frac{19 \mathrm e^{3 z}}{540}
+\frac{\mathrm e^{4 z}}{48}
-\frac{41 \mathrm  e^{5 z}}{4200}
+ \mathcal O( \mathrm  e^{6 z})
\label{sutrasy}
\ee
%Такое разложение годится больших отрицательных значений $z$.
\EN{The coefficients of the expansion above  are calculated and evaluated with the Mathematica code below:}%
\RU{Коэффициенты разложения \rf{sutrasy} получены с помощью Математики, 
использована вот такая программа:}%
\normalsize 

\baselineskip 15pt
\begin{verbatim}
tra[z_]=z+Exp[z];
g0[z_] = z/2 - Exp[-z] + Sum[c[n] Exp[n z], {n, 1, 20}]
n = 1; s[n] = Series[g0[Log[t]] + 1 - g0[tra[Log[t]]], {t,0,n+1}]
u[n] = Extract[Solve[Coefficient[s[n], t^(n+1)] == 0, c[n]], 1]
g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
For[n = 1, n < 20, n++;
   s[n] = Series[ g[n-1,Log[t]]+1-g[n-1,tra[Log[t]]],{t,0,n+1}];
   u[n] = Extract[Solve[Coefficient[s[n], t^(n+1)] == 0, c[n]],1];
   g[n,z_] = ReplaceAll[g[n-1, z], u[n]];        ]
g[n, z]
Table[Coefficient[g[n, z], Exp[n z]], {n, 1, 20}]
N[Table[Coefficient[g[n, z], Exp[n z]], {n, 1, 20}], 18]
\end{verbatim}
\large

\baselineskip 18pt
%Те же коэффициенты могут быть получены и обращением асимптотического разложения функции SuTra.
The same coefficients can be obtained also by the inversion of the asymptotic expansion of function SuTra.
%Отмечу, что и асимптотика функции AuTra, и код для её вычисления проще, чем асимптотика \rf{sutraFM} и аналогичный код для функции SuTra по формуле \rf{SuTraDef}.
% поэтому он представлен выше.
Note, that the asymptotic expansion of AuTra is simpler, than that of SuTra.
\vskip 2mm

\EN{For some fixed integer $M$, define the primary approximation as truncation of the series above:}%
\RU{Для некоторого натурального числа $M$, я определяю функцию $G_M$ как оборванную сумму для разложения \rf{sutrasy}; пусть}%
\be
G_M(z)=\frac{z}{2}-\mathrm e^{-z}
\displaystyle +\sum_{m=1}^{M} c_m \mathrm e^{mz} 
\eL{autraGM}
\EN{Define function $G$ as limit}%
\RU{В этой секции, я определяю функцию $G$ как предел}%
\be
G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} (G_M(\mathrm{ArcTra}^n(z))+n)
\eL{autraG}
AuTra can be expressed through $G$ with
%Функцию AuTra можно выразить через  $G$ по формуле
\be\!\!\!\!
\mathrm{AuTra}(z)=G(z)-G(0) \approx G(z)+1.1259817765745026
\label{AuTraDef}
\ee
The constant $G(0)$ can be interpreted also as negative of coefficient $x_0$ in equation \rf{x00}, id est, $x_0\!=\!-G(0)$.
%Константу $G(0)$ можно интерпретировать как коэффициент $-c_0$, то есть $c_0\!=\!-G(0)$. 
\vskip 2mm

For the numerical implementation, we need to choose the appropriate number $M$ in 
%\rf{autragM} 
and to determine the number $n$ of iterations approximating limit in equation \rf{autraG}. 
%Для численной имплементации, следует выбрать подходящее число $M$ в формуле 
%\rf{autragM}
%\rf{autraGM},
%а также номер $n$ для аппроксимации предела в формуле
%\rf{autraGM}.
For the complex double arithmetics, the reasonable choice is $M\!=\!9$. Then, the primary approximation 
%Я выбрал $M\!=\!9$; тогда первичное приближение
\be
\mathrm{SuTra}(x+\mathrm i y)\approx g_9(x+\mathrm i y)
\label{SuTrappro}
\ee
is used for the region defined with condition
%можно использовать в области
\be
|y|\!<\!3 ~ ~ \mathrm{and} ~ ~ |y|/3\!+\!x\!<\! 3.5
\label{sutraregion}
\ee

%\begin{wrapfigure}[28]{l}{190px}
\begin{figure}[t]
\normalsize
%\sx{.33}{\begin{picture}(610,810)
%\sx{.27}{\begin{picture}(610,810)
\begin{center}
%\sx{.56}{\begin{picture}(610,810)
\sx{.54}{\begin{picture}(610,810)
%\put(1,1){\ing{logq2map}}
%\put(0,0){\ing{autran0m9tes64}}
\put(0,0){\ing{autrantes}}
\put(-20,782){\sx{3.6}{$y$}}
\put(-19,691){\sx{3}{$3$}}
\put(-19,591){\sx{3}{$2$}}
\put(-19,491){\sx{3}{$1$}}
\put(-19,391){\sx{3}{$0$}}
\put(-47,291){\sx{3}{$-1$}}
\put(-47,191){\sx{3}{$-2$}}
\put(-47,091){\sx{3}{$-3$}}
%\put(590,2){\sx{.7}{\rot{80}$v\!=\!4$\ero}}
\put(078,3){\sx{3}{$-4$}}
\put(178,3){\sx{3}{$-3$}}
\put(278,3){\sx{3}{$-2$}}
\put(378,3){\sx{3}{$-1$}}
\put(494,3){\sx{3}{$0$}}
\put(580,3){\sx{3.6}{$x$}}
\put(210,750){\sx{2.8}{$\mathcal A \!<\! 1$}}
\put(276,350){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!15$\ero}}
\put(332,350){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!12$\ero}}
\put(386,360){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!9$\ero}}
\put(440,360){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!6$\ero}}
\put(500,260){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!3$\ero}}
\put(542,260){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!1$\ero}}
\put(528,390){\sx{2.8}{$\mathcal A \!<\! 1$}}
%\put(111,412){\sx{3}{$\mathcal A > 16$}}
\put(166,142){\sx{2.8}{$\mathcal A \!\approx\! 16$}}
%\put(530,155){\sx{2.8}{$\mathcal A \!<\! 1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -12pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Autran0m9tes64t.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
Map of agreement  $\mathcal A=A(x\!+\!\mathrm i y)$  by  \rf{AuTraAgre}; range \rf{sutraregion} is shaded
%Карта согласия  
$\mathcal A=A(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле  \rf{AuTraAgre}
%затененная область соответствует формуле \rf{sutraregion} 
\iL{autraAgreMap}}
%\vskip 9pt
\end{figure}

%Эта область на рисунке
This region is shaded in the figure 
\ref{autraAgreMap} 
%затенена. 
Also, at the same figure, the map of agreement $A$ is shown,
%На том же рисунке показана карта согласия

\be\!
\mathcal A(z)\!=\!-\lg\!\!\left( \frac{ |\mathrm{SuTra}(g_M(z))\!-\!z|}{ |\mathrm{SuTra}(g_M(z))|\!+\!|z|} \right)
\label{AuTraAgre}
\ee
Map in figure \rf{autraAgreMap} can be considered also as the numerical verification of relation 
%Рисунок \rf{autraAgreMap} можно рассматривать также как численное подтверждение соотношения
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{SuTra}(\mathrm{AuTra}(z))=z 
\eL{SuTraAu}
In the shaded range, for the numerical implementation, the relation \rf{SuTraAu} holds with at least 15 decimal digits; as it is supposed to be while
AuTra is abelfunction, corresponding to superfunction SuTra for the transfer function tra.
%В затененной области, для численной имплементации, соотношение \rf{SuTraAu} держится по крайней мере с 15 знаками. Собственно, так и должно быть, пока
%AuTra есть абельфункция, соответствующая суперфункции SuTra от передаточной функции tra.
\vskip 2mm

%Область, где используется первичное приближение, можно расширить,
Region, where the primary approximation is used, can be optimised,
%Tприближая её на рисунке 
approaching to the level
%\ref{autraAgreMap} к уровню 
$\mathcal A\!=\!15$
and improving the algorithm. I suggest, the Reader can do the as an exercise;
I hope, the reader will not forget to test the improved algorithm.
%и оптимизируя алгоритм. Я оставляю это Читателю в качестве упражнения
%и надеюсь, что Читатель не забудет протестировать улучшенный алгоритм.
\vskip 2mm

The primary approximation \rf{SuTrappro} can be used only in the narrow range of values of the argument shaded in figure {autraAgreMap}.
%Первичное приближение \rf{SuTrappro} используется ``как есть'' лишь для значений $x\!+\!\mathrm i y$ 
%удовлетворяющих соотношению \rf{sutraregion} (затененная область на рисунке \rf{autraAgreMap}).
If the initial argument $z\!=\! x\!+\!\mathrm i y$ happens to be outside the shaded region, then, the function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{Tra}^{-1}$ is applied $n$ times with such $n$, that the argument comes to the shaded range. Then, approximation
%Если аргумент $z\!=\! x\!+\!\mathrm i y$ оказывается вне этой области, то функция  $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{Tra}^{-1}$ применяется к аргументу $n$ раз,
%столько раз, сколько нужно, чтобы результат попадал в затененную область. Затем используется формула
\be
\mathrm{AuTra}(z) \approx g_9( \mathrm{ArcTra}^n(z))+n  ~ ~ ~ ~
\eL{AuTrag9}
is used to evaluate the function. 
%Форму ``затененной'' области можно оптимизировать, но тогда алгоритм станет чуть сложнее. Такая оптимизация может иметь смысл непосредственно перед тем, как встраивать в имплементацию функции AuTra в какой-либо софтвер.
\vskip 2mm

%Разрезы области голоморфизма функции ArcTra определяют и разрезы функции AuTra. Эти разрезы видны на рисунках \ref{arctranmap} и \ref{autraMap}.
The cuts of the range of holomorphism of function ArcTra determine also the cuts the range of holomorphism of function AuTra. 
%Эти разрезы видны на рисунках 
These cuts are seen in figures \ref{arctranmap} 
%и
and
\ref{autraMap}.
\RU{При больших значениях $|z|$, функция $\mathrm{AuTra}(z)$ медленно растет, за исключением полу-полосы $\Re(z)\!<\!0$, $|\Im(z)|\!<\!\pi$. В этой полуполосе, при больших отрицательных значениях $\Re(z)$, 
%функция  $\mathrm{AuTra}(z)$ убывает 
экспоненциально. В частности, это относится к поведению функции при вещественных значениях аргумента. Такое поведение согласуется со свойствами функции SuTra, график которой показан на рисунке \ref{sutraplot}.}%
\EN{At large $|z|$, function $\mathrm{AuTra}(z)$ shows the slow growth, except the half-strip $\Re(z)\!<\!0$, $|\Im(z)|\!<\!\pi$.
In this half-strip, at large negative values of $\Re(z)$, function  $|\mathrm{AuTra}(z)|$ increases exponentially.
In particular, this refers to the real values of the argument.
This behaviour agrees with that of SuTra shown in figure
\ref{sutraplot}.}%
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\vskip -4pt
\begin{center}
%\sx{.23}{\begin{picture}(2102,2094)
\sx{.2}{\begin{picture}(2102,2094)
%\sx{.116}{\begin{picture}(2102,2094)
%\sx{.2}{\begin{picture}(2102,2094)
%\put(98,88){\ing{AuTraMap}}
\put(98,88){\ing{autranma}}
\put(40,2048){\sx{8}{$y$}}
\put(40,1870){\sx{7}{$8$}}
\put(40,1670){\sx{7}{$6$}}
\put(40,1470){\sx{7}{$4$}}
\put(40,1270){\sx{7}{$2$}}
\put(40,1070){\sx{7}{$0$}}
\put(-12,870){\sx{7}{$-2$}}
\put(-12,670){\sx{7}{$-4$}}
\put(-12,470){\sx{7}{$-6$}}
\put(-12,270){\sx{7}{$-8$}}
\put(002, 28){\sx{7}{$-\!10$}}
\put(220, 28){\sx{7}{$-8$}}
\put(420, 28){\sx{7}{$-6$}}
\put(620, 28){\sx{7}{$-4$}}
\put(820, 28){\sx{7}{$-2$}}
\put(1088, 28){\sx{7}{$0$}}
\put(1288, 28){\sx{7}{$2$}}
\put(1488, 28){\sx{7}{$4$}}
\put(1688, 28){\sx{7}{$6$}}
\put(1888, 28){\sx{7}{$8$}}
\put(2058, 28){\sx{7}{$x$}}
\put(218,1384){\sx{10}{\bf cut}}
\put(218, 752){\sx{10}{\bf cut}}
%
\put( 224,1836){\sx{8}{\rot{35}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put( 1590,1496){\sx{8}{\rot{70}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put( 1800,1360){\sx{8}{\rot{38}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put( 140,1068){\sx{9}{$v\!=\!0$}}
\put(1874,1068){\sx{9}{$v\!=\!0$}}
\put( 1740, 814){\sx{8}{\rot{-40}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put( 194, 306){\sx{8}{\rot{-35}$v\!=\!-0.6$\ero}}
%
\put( 606, 1920){\sx{9}{\rot{-64}$u\!=\!3$\ero}}
\put( 1500, 992){\sx{8.2}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put( 1626, 960){\sx{8}{\rot{90}$u\!=\!2.2$\ero}}
\put( 1842, 960){\sx{8}{\rot{90}$u\!=\!2.4$\ero}}
\put( 1724, 400){\sx{8}{\rot{22}$u\!=\!2.6$\ero}}
\put( 670, 290){\sx{9}{\rot{60}$u\!=\!3$\ero}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -16pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuTraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuTra}(x\!+\mathrm i y)$
% left, and $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ArcTra}(x\!+\mathrm i y)$,  
\iL{autraMap}}
\vskip -4pt
\end{figure}

\RU{В этой секции, в порядке численной проверки имплементации функции AuTra, используется функция функция SuTra.
Читaтель приглашается стащить имплементации этих функций и оценить невязки при подстановке таких приближeний в уравнение Абеля \rf{abeltraeq}  и передаточное уравнение \rf{trantrap}. Мне кажется, что я сделал эти имплементации близко к той точности, какую только можно получить для переменных complex double. }%
%This implementation is used to plot the complex map of function AuTra shown in the left hand side of figure \ref{autraAgreMap}. For comparison, in the right hand side of the same figure, map of function ArcTra is also shown.
%The cut lines of function ArcTra determine also the cut lines of function AuTra. This implementation is used to plot the complex map of function AuTra shown in the left hand side of figure {autraAgreMap}. For comparison, in the right hand side of the same figure, map of function ArcTra is also shown.
\EN{Readers are invited to download the generators of the figures of this chapter, together with implementations of SuTra and AuTra, 
and investigate numerically the ranges of applicability of identities
\be
\rm{AuTra}(\mathrm{SuTra}(z))=z ~, ~
\rm{SuTra}(\mathrm{AuTra}(z))=z
\ee
 }%
\vskip 2mm

\RU{С функциями SuTra и AuTra, потроенными в этой главе, нетрудно считать нецелые итерации функции Траппманна. Этому посвящена следующая секция.}%
\EN{With functions SuTra and AuTra, described in this chapter, one can evaluate the non-integer iterates of function tra.
These iterates are described in the next section.}%

%\section{Итерации траппманна}
\section{Iterates of trappmann}
\baselineskip 19pt

\RU{В этой секции
%Я надеюсь, что Читатель понимает, что 
итерируется не сам Генрик Траппманн, а функция Траппманна $\mathrm{tra}(z)\!=\!z\!+\!\mathrm e^z$.
Как и для других передаточных функций, итерации выражаются через суперфункцию и абельфункцию; то есть, в данном случае, через SuTra и  AuTra, построенные в этой главе:}%
With functions SuTra and AuTra, the iterate of the Trappmann function can be expressed as follows:
%Функции SuTra и  AuTra, построенные 
%the iterate of the Trappmann function can be expressed as follows:
\be
\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)
\eL{traite}
%Как и при итерациях других передатчных функций, номер итерации функции Траппманна не имеет надобности быть целым, ни даже вещественным. Но может быть и вещественным. Для нескольких вещественныx значений $n$,
As usually, the number $n$ of iterate has no need to be integer. For real value of the argument and some real values of the number $n$, the iterates of the Trappmann function are shown in figure 
%графики $y=\mathrm{tra}(x)$ по формуле \rf{traite} показаны на рисунке 
\ref{traiteplot}.
\vskip 2mm

%As for other transfer functions, 
Iterates of function $\mathrm{tra}(z)=z\!+\!\mathrm e^z$ look 
%in a way, 
similar to those of other growing transfer functions. 
%In particular, t
These iterates provide the smooth transfer from the function 
$\mathrm{tra}$  to its inverse function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$, and zeroth iterate 
%corresponds to 
is the identity function.

%\begin{wrapfigure}{l}{500px}
\begin{figure}[t]
\vskip 4pt
%\sx{.8}{\begin{picture}(602,602)
\sx{.7}{\begin{picture}(602,602)
%\put(10,10){\ing{PowPlo}}
\put(0,0){\ing{tranit}}
\put(311,590){\sx{2.5}{$y$}}
\put(311,495){\sx{2.4}{$2$}}
\put(311,395){\sx{2.4}{$1$}}
\put(311,295){\sx{2.4}{$0$}}
\put(307,194){\sx{2.4}{$-1$}}
\put(307,093.4){\sx{2.4}{$-2$}}

\put(083,308){\sx{2.4}{$-2$}}
\put(183,308){\sx{2.4}{$-1$}}
\put(297,308){\sx{2.4}{$0$}}
\put(397,308){\sx{2.4}{$1$}}
\put(497,308){\sx{2.4}{$2$}}
\put(590,308){\sx{2.5}{$x$}}

\put(96,531){\sx{2.4}{\rot{87}$n\!=\!10$\ero}}
\put(122,532){\sx{2.4}{\rot{87}$n\!=\!8$\ero}}
%\put(137,532){\sx{2.4}{\rot{86}$n\!=\!7$\ero}}
\put(156,532){\sx{2.4}{\rot{85}$n\!=\!6$\ero}}
\put(177,532){\sx{2.4}{\rot{84}$n\!=\!5$\ero}}
\put(204,532){\sx{2.4}{\rot{83}$n\!=\!4$\ero}}
\put(238,532){\sx{2.4}{\rot{82}$n\!=\!3$\ero}}
\put(287,532){\sx{2.4}{\rot{79}$n\!=\!2$\ero}}
\put(366,532){\sx{2.4}{\rot{71}$n\!=\!1$\ero}}
%\put(264,350){\sx{3.1}{\rot{61}$y\!=\!x\!+\!\mathrm e^x$\ero}}
%\put(427,528){\sx{2.3}{\rot{62}$c\!=\!0.6$\ero}}
\put(448,528){\sx{2.4}{\rot{60}$n\!=\!0.4$\ero}}
\put(469,530){\sx{2.4}{\rot{57}$n\!=\!0.3$\ero}}
\put(491,532){\sx{2.4}{\rot{53}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(517,534){\sx{2.4}{\rot{49}$n\!=\!0.1$\ero}}

\put(541,531){\sx{2.4}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}}
% <br> 
\put(521,462){\sx{2.4}{\rot{37}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(517,423){\sx{2.4}{\rot{30}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(527,349){\sx{2.4}{\rot{17}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(524,272){\sx{2.4}{\rot{8}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(523,222){\sx{2.4}{\rot{6}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(522,188){\sx{2.4}{\rot{4}$n\!=\!-4$\ero}}
\put(521,161){\sx{2.4}{\rot{3}$n\!=\!-5$\ero}}
\put(520,141){\sx{2.4}{\rot{2}$n\!=\!-6$\ero}}
%\put(523,122){\sx{2.4}{\rot{1}$n\!=\!-7$\ero}}
\put(518,107){\sx{2.4}{\rot{1}$n\!=\!-8$\ero}}
\put(510,81){\sx{2.4}{\rot{1}$n\!=\!-10$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 14pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraitT.jpg}
\vskip -10pt
\caption{\large
$y\!=\!\mathrm{tra}^n(x)$ versus $x$ for various  $n$ by \rf{traite} \label{traiteplot}}
\vskip 12pt
%\end{wrapfigure}
%~
%\rule{0pt}{490pt}
\end{figure}

%\baselineskip 19pt
%\vskip 2mm
%Итерации функции $\mathrm{tra}(z)=z\!+\!\mathrm e^z$ на рисунке \ref{traiteplot} смотрятся схоже с итерациями других голоморфных передаточных функций.  $\mathrm{tra}$ 
% to its inverse function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$.
%Рисунок показывает постепенный, голоморфный переход от функции Траппманна $\mathrm{tra}$ к арктраппманну $\mathrm{ArcTra}\!=\!\mathrm{tra}^{-1}$. Oтсутствие и функции стационарных точек не препятствует её итерированию.
%\vskip 3mm


\section{Relation to other functions}
%\RU{\section{Связь с другими функциями}}%RU
\baselineskip 19pt

Function SuTra can be expressed through function SuZex 
\be
\mathrm{SuTra}(z)=\mathrm{SuZex}(\ln(z))
\eL{SuTraSuZex}
and function AuTra can be expressed through function AuZex 
%Функция AuTra может быть выражена через функцию AuZex, рассмотренную в главе 12 
\be
\mathrm{AuTra}(z)=\exp(\mathrm{AuZex})
\eL{AuTraAuZex}
%and function SuTra can be expressed through SuZex.
One can look at expansions of SuZex and AuZex from chapter 12 and see, that 
%the same asymptotic 
expansions for functions SuTra and AuTra can be obtained with relations \rf{SuTraSuZex} and \rf{AuTraAuZex}.
%Аналогично, функция  SuTra может быть выражена через функцию SuZex
%Functions Su
\RU{
Ввиду того, что логарифм - довольно медленная функция, численныe имплементации через представления 
\rf{AuTraAuZex} и \rf{SuTraSuZex}
несколько менее эффективны для итерации функции Траппманна, чем алгоритмы, представленные в этой главе.
Кроме того, первичная аппроксимация арктраппманна легче позволяет увидеть, что эта функция целая, то есть не имеет особых точек. Попросту говоря, голоморфна везде, куда ни попади. }%
%Again, 
However, these representations  
%\rf{SuTraSuZex}
%and
%\rf{AuTraAuZex}
may loss some precision, especially in the regions where the logarithm has low derivative,
and the exponential has high derivative. So, for the numerical tests, I use the special representations from the previous sections.
%In addition, with use of logarithm, it is difficult to see that SuTra is entire function.
\vskip 2mm

In order to make the deep test of relations, suggested in this Book, the robust representations are required for all the functions involved.
For these reasons, the special representations and implementations for functions ArcTra, SuTra and AuTra are described above.
The readers are invited to make the asymptotical analysis for the relations above. Also, the numerical verification can be used.
For moderate values of the argument, the representation of SuTra through SuZex loss only few decimal digits in the precision.
I load the descriptions of functions mentioned in this section,\\
% ArcZex, AuZex, and Suzex are loaded as 
%Для того, ч
%Чтобы помочь Читателю повторить выкладки и проверить их графически, 
%в ТОРИ загружены 
%я загрузил описания функций  ArcZex, AuZex, и Suzex:\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcZex} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuZex} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuZex}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcTra}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuTra},\\
together with their complex double numerical implementations.
\vskip 2mm

\RU{На этом я заканчиваю рассмотрение функции Таппманна. И вообще заканчиваю рассмотрение примеров всяческих суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Если Вы дочитали досюда, то Вы и сами можете строить супрфункции, абельфункции и нецелые итерации для всевозможных передаточных функций. Для таких передаточных функций, у которых есть вещественные стационарные точки и для таких, у которых вещественных стационарных точек нет. И даже для таких, у которых 
вовсе нет
%нет даже комплексных 
стационарных точек.
%Таким образом, в итерациях фнкции Таппманна не удалось обнаружить каких-либо уж очень специфических свойств, которые сделали бы их вычисление существенно сложнее, чем вычисление итераций других функций.
}%
\EN{On this I finish the consideration of the Trappmann function and its iterates. 
And at this point I finish consideration of examples of transfer functions, superfunctions, abelfunctions and the non-integer iterates.
Perhaps, I should explain, why I had spent so many efforts on this. I think, the best explanation is to remind the old folkloric story below.
}%
\vskip 3mm

\baselineskip 15pt
\EN{\em
Оne-legged friend of one Taylor asked him to sew the special one leg pants.
%pants with one leg.
He payed well for the custom pants, but he needed also the pants for his dog, who, as himself, had lost one leg long time ago.Taylor sewed the pants for that 3-leg dog. The pants were beautiful, and friend of friend asked him the same for his normal, 4-leg dog..
The story is  long, the starfishеs and octopuses are mentioned there. En fin, the Taylor had elaborated tools to sew pantaloons for creatures with arbitrary number $n$ of legs.
And if tomorrow some extraterrestrials with $n$ legs come, the Taylor already has pantaloons for them.
%Then he became a tailor to sew pants with six legs in, in case if someone will bring a new breed of dog with 6 feet, and at the same time - coats for birds with two heads, is shown in Figure \ ref {exoti}. (It is expected that they will become popular in Russia after the Chernobyl disaster; this fact is taken into account on the emblem of the Russian Federation.)
% Fee, so long that it would need a couple of feet to the stomach does not drag on the ground; and
%Finally, tailor sewed pants with an arbitrary number of legs.
% Seven trousers, trousers and eight, and so on. In mimiatyure, he realized mad printer model.
% When it was discovered that the octopus is not 7 extremities (as one would expect from the name), and 8.
%And if tomorrow the Earth visit alien who has $ n $ is finite, then a tailor for this alien is already finished pants. % So Welcome to Earth!
}%EN

\RU{
Рассказывают, что один Портной сошёл с ума. А случилось это так: одноногий приятель Портного попросил его сшить 
%штаны 
портки
с одной штаниной.
Приятель хорошо заплатил за эти 
%штаны
портки, но ему потребовались еще портки с тремя штанинами для его собаки, которая, как и он, была калекой. 
А потом Знакомый приятеля попросил такие же портки для своей собаки, которая была вполне нормальной (разве что мерзла зимой) и штанин потребовалось четыре. Потом Портной стал шить портки с шестью штанинами, на тот случай, если кто выведет новую породу собаки с 6ю лапами, а заодно - сюртуки для птиц с двумя головами, показанными на рисунке \ref{exoti}. (Ожидалось, что они станут популярны в России после Чернобыльской катастрофы; это обстоятельство учтено на гербе РФ.)
%таксы, столь длинной, что ей потребуются ещё пара ног, чтобы живот не волочился по земле; а 
Наконец, Портной сшил портки с произвольным количеством штанин.
%с семью штанинами, и с восемью штанинами, и так далее. В мимиатюре, он реализовал модель бешеного принтера.
% когда выяснилось, что у осьминогов не 7 конечностей (как можно было бы ожидать, исходя из названия), а 8. 
И если завтра Землю посетит инопланетянин, у которого $n$ конечностей, то у Портного для этого инопланетянина уже есть готовые портки. %Так что Добро пожаловать на Землю!
}
\vskip 3mm
\baselineskip 18pt

I typed the story above in order to explain better, what is scientific research and what do the researchers. You may consider this as a kind of joke, 
but if someone needs to approximate, for example, the logarithmic function with entire functions, - then, like the Taylor mentioned, I already have such an approximation; it can be expressed through SuTra by formula  \rf{phin}. This may be considered as a small specific addition to various motivations
suggested in the Preface. 
\vskip 2mm

On this point I stop the main body of the Book and go to overview the results presented above.
This makes the content of the next chapter.

%Я рассказал историю про Портного для того, чтобы лучше объяснить Читателю, что такое математика и чем занимаются математики. Я 
%сейчас не могу себе представить ситуацию, в которой кому-либо потребуется аппроксимировать элементарную функцию $\ln$ целыми функциями. Но если кому-то вдруг такое потребуется, то 
%для логарифма
%у меня такая аппроксимация уже есть, это функция $\Phi_n$ по формуле \rf{phin}. 
%И это одна из причин, почему я считаю важной эту главу.
%\vskip 2mm
%Эта численная имплементация обсуждается в следущей секции.

%\chapter{Discussion}
%\chapter{~ Заключение}
\chapter{~ Conclusion}
\baselineskip 19.6pt

\begin{wrapfigure}{r}{140px}
\begin{center}
%\begin{picture}(224,220)
\begin{picture}(124,40)
%\put(0,0){\sx{.96}{\ing{oglavleni}}}
%\put(0,0){\sx{-.5}[.5]{\ing{oglavleni}}
\put(0,0){\sx{.5}{\ing{oglavleni}}
%\label{oglavleni}
}
\end{picture}
\end{center}
\vskip -17.8pt
\caption{\large %Читатель
%Я надеюсь, что Книгу можно читать, даже не загладывая в список литературы. Поэтому 
%Список литературы в самом конце % \rule{200px}{0px}
%\caption{Многие начинают читать книги с оглавлений % \rule{200px}{0px}
%Здесь Оглавление вначале. 
\label{content}
\label{oglavleni}}
\end{wrapfigure}

%\RU{ Эта глава  обсуждает то же, что и Введение. Отличие этой главы от Введения в том, что здесь я предполагаю, что Читатель уже хотя бы просмотрел некоторые из глав Книги (рис. \ref{oglavleni}). и, хотя бы, ``нахватался терминологии''; и поэтому термины можно использовать без специальных пояснений. Так что здесь скорее напоминание, чем изложение.  Чтобы пояснить смысл этого Заключения, напомню притчу.}%

%\EN{
This chapter discusses the same, as the Introduction.
The main difference of this chapter from the introduction is, that I assume, that the reader already has browsed at least some of the previous chapters,
as it is shown in figure \ref{oglavleni}, and understands sense of some notations used.
% и, хотя бы, ``нахватался терминологии''; и поэтому термины можно использовать без специальных пояснений. Так что здесь скорее напоминание, чем изложение. 
%Чтобы пояснить смысл этого Заключения, напомню притчу.
In order to show the need of conclusion, I remind the old leyend.
%}%EN

\vskip 5mm

%\normalsize
\baselineskip 15pt
\RU{
Один 
император 
решил изучить историю. Он поручил министерству науки разработать полный курс истории. Министры работали над таким учебником 
много лет. Наконец, во дворец 
приехал грузовик с заказанным тысячетомником. Император понял, что он за всю жизнь не сможет прочесть такой курс, и попросил его сократить. Ведущие историки работали над вторым изданием ещё несколько лет, и вот, в большом чемодане, императору был доставлен десятитомник. Но император к тому времени стал слаб глазами, и не мог осилить даже десятитомник. Историкам пришлось опять перерабатывать учебник, и через год к императору пришёл главный Историк и торжественно вручил ему брошюру "Краткий курс истории императорского двора". Император к тому времени уже заболел, и не мог прочесть даже эту брошюру. Он спросил Историка, можно ли этот курс переработать и сократить. Историк ответил: ``{\em Нового издания не надо. Я расскажу Вам прямо сейчас: Люди рождались, страдали и умирали.}''}
%\vskip 2mm
\EN{One
emperor
wanted to study history. He ordered the Ministry of Science to develop a full course of the world-wide history.
The greatest scientists were working on this tutorial during
many years. Finally, the heavy truck arrived with thousands volumes of "Complete Course of the World History".
The Emperor realised that all his life will not be sufficient to read this course.
The Emperor asker the President of the Ministry of Science to shorten the course.
The historians worked on the second edition during few years, and then, in a big pack,
"Trilogy of the World History" had been delivered to the Emperor.
But the Emperor already had weak eyes, and he could not read that Trilogy.
Again, the historians had to shorten the course.
A year later, the Top Historist came to the Emperor and gave him the pamphlet "A Brief History of the Imperial Family."
Emperor was old and ill, and could not even read that brochure. He asked Historist, whether the brochure can be reduced.
Historist answered: ``{\em No new edition is necessary. I'll tell you right now: People were born, suffered and died.}''
}%EN
\vskip 5mm

\large
\baselineskip 19pt
%Как Историк в причте, я предвосхищаю желание Читателя и стараюсь изложить тему суперфункций короче.
%Ниже, основные результаты Книги представлены в одной секции.
Several colleagues had told me, that this Book is too thick, and asked, if it can be shorter. 
As the historian in the story above, I follow the requests and describe the topic of superfunctions briefly.
Below, the main results of the Book are collected in a single section.
%\section{Основные результаты}
\section{Basic results}

\RU{Голоморфные функции можно итерировать. Какую попало голоморфную функцию $T$ можно обозвать ``передаточной функцией''.}%RU
%%, особенно если эта функция определена в достаточно широкой области значений аргумента. Я имею в виду, что если число $z$ попадает в область определения, то число $T(z)$ тоже из этой области. В частности, хорошо работать с целыми функциями, у которых особых точек вообще нет. %Впрочем, факториал и дробно-линейные функции тоже годятся. 
%%Разумеется, в этом случае на карте её суперфункции, а также на карте её нецелых итераций могут возникнуть дополнительные особые точки и даже линии разреза.
\RU{Для передаточной функции $T$ можно построить суперфункцию как решение $F$ передаточного уравнения}%RU
\EN{Holomorphic functions can be iterated. The iterates can be expressed through the superfunction and the abelfunction;
then, the number of iterate has no need to be integer.}%EN
\vskip 2mm

In order to iterate some holomorphic function $T$, first, I declare it as ``transfer function''.
Then, I construct for the superfunction $F$, that is solution of the transfer equation
\be
F(z\!+\!1)=T\Big(F(z)\Big)  \nonumber
\ee
%Обратную функцию, то есть $G\!=\!F^{-1}$ я называю соответствующей функцией Абеля, или абельфункцией.
%Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля
I need also the inverse function, $G\!=\!F^{-1}$. I call it ``Abel function'' or ``abelfunction''. It satisfies the Abel equation
\be
G\Big(T(z)\Big)=G(z)+1  \nonumber
\ee
%%В некоторых случаях, абельфункцию строить даже проще, чем суперфункцию
%Когда суперфункция $F$ и абельфункция $G$ установлены, итерации функции $T$ выражаются в виде
When superfunction $F$ and the Abel function $G$ are established, the iterates of function $T$ can be expressed as
\be
T^n(z)=F\Big(n+G(z)\Big)  \nonumber
\ee
%где номер итерации $n$ не имеет надобности быть целым числом; передаточную функцию можно итерировать также нецелое, дробное и даже комплексное количество ``разов''. При этом, для целого $n$, 
where the number $n$ of iterate has no need to be integer;
the transfer function can be iterated some non-integer, rational or even complex number of times.
However, for the integer $n$, the conventional expression of iterates holds:
\be
 {{T^n(z)}\atop{\phantom{sub}}} {{=}\atop{\phantom{sub}}}{{\underbrace{T\!\Big(T\!\big( .. T(z).. \big)\Big)}}\atop{n ~\mathrm{evaluations~of~ function~} T}}
\nonumber
\ee
\vskip 2mm

%Решение передаточного уравнения не единственно. Если какое-нибудь решение $F$ найдено, то еще одно решение  $f$ может быть построено модификацией аргумента,
Solution of the transfer equation is not unique. If some solution $F$ is found, then, one additional solution $f$ 
can be constructed with modification of the argument,
\be
f(z)=F\Big(z+\theta(z)\Big)
\nonumber\ee
%где 
where
$\theta$
% есть голоморфная периодическая функция с периодом единица. Соответственно может строиться и новая абельфункция 
is periodic holomorphic function with period unity. Accordingly, the new abelfunction
$g$ can be established.
%При этом новая суперфункция и соответствующая абельфункция могут давать иные итерации передаточной функции.
Then, the new superfunction and the corresponding abelfunction will provide new, different iterates of the transfer function.
\vskip 2mm

%Произвол в выборе суперфункции может быть уменьшен, если зафиксировать асимптотическое поведение этой функции в комплексной плоскости.
%В частности, с
Variety of superfunctions can be narrowed, if we establish, postulate the asymptotic behaviour of the superfunction in the complex plane. 
%Суперфункции с несложным поведением %в комплексной плоскости 
%я считаю основными. 
The superfunction with simple asymptotic behaviour I treated as principal.
%Остальные можно получать периодической модификацией аргумента. 
Other superfunctions can be expressed with modification of argument of the principal superfunction.
%Голоморфная периодическая функция растет по крайней мере экспоненциально (как это делают в направлении мнимой оси синус и косинус), и даже малая такая модификация легко проявляется в комплексной плоскости. Поэтому для нецелых итераций следует рассматривать функции в комплексной плоскости; даже если они будут применяться для вещественных значений аргумента.
Holomorphic periodic function grows at least exponentialy (as sin and cosine to in the direction of imaginary axis); even a small periodic modification is easy to reveal in the complex plane.
For this reason, for uniqueness, it is important to build-up the superfunctions for the complex argument,
even if they are supposed to be used for the real argument.
%Критерий голоморфизма указывает, которая из суперфункций имеет физический смысл и должна рассматриваться как ``настоящая''.
The criterion of holomorphism indicates, which of superfunctions is expected to have the physical sense and should be considered as ``true'' one.
\vskip 2mm

%Для многих суперфункций и абельфункций есть специальные имена. Такие функции собраны в Таблице 1. Некоторые из них общеизвестны, и для их использования не требуется знать, что они являются суперфункциями.
Some superfunctions and abelfunctions have special names.
These functions are collected in Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
Some of them are widely known; one may use them without to know, that they are superfunctions.
\vskip 2mm

%В принципе, для любой голоморфной функции $F$ можно построить обратную функцию $G$ и определить 
In principle, for any holomorphic function $F$, one can built-up the inverse function $G=F^{-1}$ and define
$T(z)=F\big(1+G(z)\big)$.
%Тогда такую $T$  можно считать передаточной функцией, для которой известны суперфункция $F$, абельфункция $G$ и нецелые итерации $T^n$.
Then, such function $T$ can be treated as transfer function with known superfunction $F$, abelfunction $G$ and non-integer iterates
$T^n(z)=F\big(n+G(z)\big)$.
\vskip 2mm

%Обратная задача, то есть построение суперфункции $F$ для заданной передаточной функции $T$, рассмотрена в этой Книге.
%При этом построении ключевым является вопрос о стационарных точках передаточной функции, то есть о решениях $L$ уравнения 
The inverse problem, id est, construction of superfunction $F$ for some given transfer function $T$, is considered in this Book.
For this construction, the key question is about the fixed points of the transfer function, id est, about solutions $L$ of the 
equation
\be
L=T(L)
\nonumber\ee
%Как физик, я интересуюсь прежде всего вещественно-голоморфными функциями, для которых 
As physicist, I am interested mainly in the real-holomorphic functions, for which $T(z^*)\!=\!T(z)^*$.
In order to reduce variety of solutions of the transfer equation, I postulate, that the superfunction approaches the fixed point $L$ 
at the infinity.
%Я сформулировал нахальный тезис, что я могу построить суперфункцию $F$, абельфункцию $G$ и нецелые итерации для какой попало передаточной функции $T$. В поддержку этого тезиса, в Книге рассмотрены примеры, когда функция имеет хотя бы одну вещественную стационарную точку, $L^*=L$; примеры, когда функция таковой точки не имеет, но имеет комплексные стационарные точки; а также пример передаточной функции, у которой вообще ни одной стационарной точки нет.
\vskip 2mm

%Для разных функций, предложены методы построения асимптотического разложения суперфункции, которoe приближается к стационарной точке $L$ на бесконечности. С помощью передаточного уравнения, из асимтотического разложения, суперфункция может вычисляться с любой аккуратностью; в этом смысле построено точное решение.
%Для вещественно-голоморфной передаточной функции физической системы с вещественной стационарной точкой, метод регулярной итерации дает решение, имеющее физический смысл.
%%Для опровержения, рефутации этой концепции достаточно предложить модель однородного фильтра (например, лазерного усилителя), для которого регулярная итерация не сходится к физически-осмысленному решению.

Methods of asymptotic expansions of the superfunctions are suggested in the Book. At infinity, the superfunction is postulated to approach the fixed point of the transfer function. In many cases, this approach is exponential; and, in many cases, the exact superfunction appears as the limit at the multiple application of the transfer function to the asymptotic solution with displaced argument.
\vskip 2mm

%Может случиться, что все стационарные точки $L$ передаточной функции $T$ являются комплексными, как это имеет место для натуральной экспоненты. При этом суперфункцию можно выразить через интеграл Коши и решение соответствующего интегрального уравнения. Исторически, первая комплексная карта суперфункции от экспоненты, а именно - натуральная тетрация, была построена с помощью такого представления. В верхней части комплексной плоскости такая тетрация стремится к одной из стационарных точек, а в нижней - к её комплексному сопряжению (которое также является стационарной точкой экспоненты). Комплексная карта натуральной тетрации показана на рисунке \ref{tetmap} и на первой странице обложки.
%%Тетрацию можно строить даже для комплексных значений основания $b$; пример комплексной карты тетрации по основанию
%%$b\!=\!1.52598338517+0.0178411853321 \mathrm i$ показан на рисунке \ref{sheldonmap}.
It may happen, that all the fixed points $L$ of the transfer function $T$ are complex, not real. In particular, this is case of the natural exponent.
Then, the superfunction can be expressed through the Cauchy integral and solution of the corresponding integral equation.
Historically, the first complex map of superfunction of exponent, had been constructed with this representation.
Complex map of tetration is shown in figure \ref{tetmap} and at the First page of the cover of this Book.
Tetration tet appears as solution of the transfer equation
\be
\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)= \mathrm e^{\mathrm{tet}_b(z)} ~,~
\mathrm{tet}_b(0)=1
\nonumber\ee
$\mathrm{tet}_b(z)$ is supposed to be bounded in the strip $|\Re(z)| \!\le\! 1$.
%такое, что $\mathrm{tet}_b(z)$ ограниченнa в полосе $|\Re(z)| \!\le\! 1$. 
%Для вещественных $b\!>\!1$ и вещественных $x$, зависимость $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ показана на рисунке \ref{tet10bx}. 
For real $b\!>\!1$ and real $x$, dependence $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ is shown in figure \ref{tet10bx}. 
%Тетрацию можно строить даже для комплексного основания; 
%пример комплексной 
%картa тетрации по основанию
Tetration can be constructed also for the complex base; the example with
$b\!=\!1.52598338517\!+\!0.0178411853321\, \mathrm i$ 
%показанa на рисунке 
is shown in figure
\ref{sheldonmap}.
\vskip 2mm

%Может статься, что передаточная функция $T$ вовсе не имеет стационарных точек. Примером такой функции является функция Траппманна
It may happen, that the transfer function $T$ has no fixed point at all. One example of such a function is the Trappmann function
\be
T(z)=\mathrm{tra}(z)=z+\exp(z)
\nonumber\ee
%Однако и для такой передаточной функции можно угадать асимптотическое поведение суперфунции и восстановить эту суперфункцию. Карта супертраппманна показана на рисунке \ref{sutramap}. Эта целая функция с логарифмической асимптотикой; похоже, что до публикации \cite{sutra}, ни одной такой функции представлено не было.
However, even for this function, the superfunction can be constructed. It is called SuTra; its map is shoe in figure  \ref{sutramap}.
This is entire function with logarithmic asymptotic; up to my knowledge, before publication  \cite{sutra}, no one such function had been suggested.
%%\section{Послесловие и приложения \iL{ArterwordAndNotations}}
\vskip 2mm

%ажным видом суперфункции я считаю тетрацию, то есть решение $\mathrm{tet}_b$ передаточного уравнений

%Многие из приведенных в Книге примеров предложены в попытках придумать передаточную функцию, для которой  трудно построить суперфункцию. Пока все примеры получаются; возможность построения суперфункций является научным фактом. 

Since 2010, I claim, that I can construct the superfunction $F$, abelfunction $G$ and non-integer iterates for any
growing real-holomorphic transfer function $T$. This Book describes the sequence of attempts to negate, refute this claim.
All these attempts failed: I could not find any transfer function, for which I cannot construct the superfunction.
In support of my claim, the Book presents examples of transfer function with real fixed point(s), examples with complex fixed points, and the example of the transfer function without any fixed point.
%Many examples in this Book had been suggested as attempts to build-up the transited 
While all the tests are successful, the ability of construction of superfunctions can be interpreted as a scientific fact.
\vskip 2mm

%Выше я перечислил, что сделано. Но ещё много можно сделать по поводу суперфункций.
%Этому посвящена следующая секция.
I just have mentioned, what is done. But, as usually, a lot of can be done about superfunctions.
The next section is dedicated to this.

%\section{Основные фантазии}
%\section{Будущая работа}
\section{Future work}
\baselineskip 19.6pt
%Я постарался изложить в Книге то, что известно про суперфункции и итерации. Но всегда остаются фантазии о том, что ещё было бы интересно посчитать и нарисовать. Эти фантазии собраны ниже.
I tried to collect that I know about superfunctions and iterates, in this Book. However, always some fantasies remain, what else would be interesting to do. Some of these fantasies are collected below.
\vskip 2mm

%Будущей работы могут потребовать более строгие доказательства существования и единственности суперфункций, а также уточнения дополнительных условий, требуемых для этой единственности.
The more efficient, more simple and more rigorous proofs of the existence and uniqueness of superfunction may require the future work, and also the additional conditions, that should be applied in order to provide the uniqueness of superfunction.
\vskip 2mm

%Будущей работой может быть применение предлагаемых функций в физике, и, в частности, в 
%лазерной науке,
%физике лазеров, 
%где физический смысл суперфункций и нецелых итераций особенно нагляден.
Application of superfunctions into the laser science may be subject for the future analysis.
Especially, this refers to the laser science, where the physical sense of superfunctions and the non-integer iterates is especially explicit.
\vskip 2mm

%Будущей работой может быть исследование специального случая суперфункций, а именно - аскерманнов.
%На рисунке \ref{ackerplo}, для основания e, построены графики первых пяти аскерманнов - 
%добавления константы, 
%умножения на константу,
%экспоненты,
%тетрации
%и пентации.
%Думаю, что такие графики (и комплексные карты) можно строить и для более высоких аскерманов.
The future work may be related to the specific case of superfunctions, namely, ackermanns.
Figure \ref{ackerplo} shows the graphics for the first five ackermanns:
addition of constant,
multiplication to constant,
exponent,
tetration and
pentation.
I think, similar graphics can be constructed also for higher ackermanns.
%Трудность может быть связана с появлением у высших аскерманнов 
%множественных точек ветвления и соответствующих разрезов.
%Такие разрезы ограничивают область голоморфизма, и, таким образом, область применимости предложенных в Книге методов построения суперфункций.
%Возможно, для высших аскерманнов прийдется работать с многолистными функциями.
\vskip 2mm

%Будущей работой может быть также программирование и численная имплементация различных суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. В языке Математика уже даже есть название, ``Nest'', для обозначения каких попало итераций; и дело за тем, чтобы обеспечить системную поддержку таких итераций.

%Будущей работой может быть автоматизация построения суперфункций. Я имею в виду алгоритм, который 
%найдет у передаточной функции подходящие стационарные точки (если они есть), выберет подходящую асимптотику для суперфункции, построит соответствующее разложение суперфункции и абельфункции и вычислит требуемую итерацию (даже не целую, даже комплексную) для такой функции. 
%В языке ``Mathematica'' уже даже есть название для такой процедуры, она называется Nest. 
%Но пока её можно использовать лишь в тех случаях, когда количество итераций выражается целым числом.
The important suggestion for the future work is related with the automatisation of construction of superfunctions.
I mean the automatic algorithm, that begins with the transfer function, searches for the appropriate fixed points of this function
(if the transfer function has fixed points), chooses the appropriate asymptotic for the superfunction, use it to build-up the superfunction,
build-up the corresponding abelfunction and calculates the non-initeger iterates.
The software Mathematica already has name for such a procedure; it is called Nest.
Up to date of preparation of this Book, the routine Nest can deal only with very special case, namely, when the number of iterate is expressed with positive integer constant; in other cases, the 
call is interpreted as error.
%routine reduces the error message instead of the result. 
The upgrade of that routine for the real and complex number of iterate would be intersting.

%Пока её можно использовать лишь в тех случаях, когда количество итераций выражается целым числом.
\vskip 2mm

Fantasies and curiosity should be motivations for any serious scientific research.
I collect the tools that can be used in this work. Many of them are described in this Book.
%Фантазии и любопытство являются основным стимулом любой серьезной научной работы.
%Я собираю инструменты, с помощью которых это любопытство может удовлетворяться.
%Я надеюсь, что эта Книга будет полезна 
%как справочное руководство 
%в такой работе.

%\section{Обозначения \label{Notations}}
\section{Notations \label{Notations}}
\baselineskip 18pt

%Я стараюсь использовать обозначения, единые для всей Книги. Для этого пришлось отойти от систем обозначений, использованных в оригинальных журнальных публикациях. Чтобы не запутаться, некоторые обозначения представлены в виде таблиц %\ref{russianABC},
I try to use the same notations through the whole Book. In order to approach this, some notations are different from those used in the original publications. The notations are collected in tables
\ref{englishABC}, \ref{greekABC}.
%\vskip 2mm
%Not all notations are presented in the tables below. 
I collect the most important notations, and those, that often cause confusions.
%Не все обозначения уместились в таблицах. Я стараюсь указывать самые важные, и, особенно, те, которые часто вызывают конфузии.

~
%\end{document}

\newcommand \qq {$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$&$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$}
\RU{
\begin{table}[h]
%\title{notations Обозначения}
\caption{Notations:Latin alphabet \label{russianABC}}
%\sx{1.2}{\bf Таблица 3. Обозначения: русский алфавит}
\vskip 4pt

\begin{tabular}{lr}
Абель Нильс Генрик \qq Изобретатель функции Абеля и уравнения Абеля \\
абель\qq приставка к имени функции для обозначения абельфункции\\
абельфункция \qq ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ решение уравнения Абеля, обратная фукция к суперфункции\\
Аскерманн \qq Изобретатель функций Аскерманна \\
aскерманн \qq  функция Аскерманна \\
Генрик Траппманн  \qq (Henryk Trappmann) мой критик, оппонент и соавтор  \\
Итерация номер $n$ \qq решение $f^n$ уравнений $f^{n+1}(z)=f(f^n(z))$,~ $f^1\!=\!f$ \\ 
Кнезер Хельмут \qq Изобретатель половинной итерации экспоненты  \\
Комплексная карта \qq представление голоморфной функции изолиниями\\
\qq её вещественной и мнимой частей (или изолиниями её модуля и фазы)\\
Корень из факториала  \qq  $\mathrm{Factorial}^{1/2}(z)$, решение $h$ уравнения $h(h(z))=z!$ \\
Обращение (функции) \qq нахождение обратной функции, InverseFunction\\
Передаточная функция  \qq  зависимость выхода усилителя от входa,\\
                                          \qq функция $T$ в передаточном уравнении\\
Передаточное уравнение \qq  $F(z\!+\!1)=T(F(z))$ \\
Супер \qq приставка для обозначения её суперфункции \\
Суперфункция \qq решение $F$ передаточного уравнения $F(z\!+\!1)\!=\!T(F(z))$ \\
%Тетрация \qq одна из суперфункций экспоненты\\
Тетрация \qq решение  tet уравнений $\mathrm{tet}(z\!+\!1)\!=\!\exp(\mathrm{tet}(z))$ ,~  $\mathrm \tet(0)\!=\!1$\\
Тетрация по основанию $b$ \qq решение  уравнений $\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)\!=\!b^{\mathrm{tet}_b(z)}$,~  $\mathrm \tet(0)\!=\!1$\\
%Трансферное уравнение \qq ~ ~ ~ ~ основное уравнение для суперфункции\\
Траппманн Генрик   \qq (Henryk Trappmann) мой критик, оппонент и соавтор  \\
Уравнение Абеля \qq $G(T(z))=G(z)+1$ \\
Усилитель  \qq  фильтр, в котором выход может быть больше входа \\
Функция Абеля  \qq  абельфункция. Обратная функция от суперфункции \\
Функция Дойя \qq $\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{LambertW}(z \mathrm e^{z+1})$, см. также формулу \rf{Doya} \\
Функция Келлера \qq $\mathrm{Keller}(z)=z+\ln\!\Big(\mathrm e- \mathrm e ^{-z} (\mathrm e\!-\!1)\Big)$, см. формулу \rf{KellerDef}  \\
Функция Таня \qq  Решение уравнения $\mathrm{Tania}'(z)=\frac{\mathrm{Tania}(z)}{1+\mathrm{Tania}(z)}$ \\
Фукция Шока \qq  $\mathrm{Shoka}(z)=z+\ln\!\Big(\mathrm e ^{-z}\!+\! \mathrm e\!-\!1\Big)$, см. формулу \rf{Shoka}  \\
Фильтр  \qq  физическая имплементация передаточной функции \\
\end{tabular}
\end{table}
}%RU
%\end{document}
\begin{table}[h]
%\title{notations Обозначения}
\caption{Notations, Latin alphabet \label{englishABC}}
%\sx{1.2}{\bf Таблица 4. Обозначения}
%\baselineskip 11pt
\vskip 1mm
\begin{tabular}{lr}
%$A$ & \hskip -9pt большой параметр для в тетрации через Коши\\
$\mathcal A(m,z)=\mathcal A\Big(m\!-\!1,\mathcal A(m,z\!-\!1)\Big) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ \qq %канонический аскерманн,
canonical ackermann \rf{ackerbi}\\
$A_{b,n}$ \qq 
%аскерманн порядка 
ackermann to base $b$ of order $n$, \rf{asa3}\\
%$a=\ln(b)$ & Логарифм основания для натуральной тетрации \\
$a_n$ \qq 
%Коэффициенты в асимптотических разложениях 
Coefficients in various asymptotic expansions\\
$\mathrm{AuExp}_b=\mathrm{SuExp}_b^{-1}$ & growing abelexponent to base $b$ \\
%абельэкспонента по основанию $b$\\
AuTra \qq Abel function for the Trappmann function\\
%абельтраппманн\\
AuSin \qq 
%aбельсинус \\
abelsine\\
$\mathrm{Arc}$ \qq 
% приставка, указывающая на обратную функцию\\
prefix indicating the inverse function\\
$b$ \qq base of ackermanns, \rf{tetb}\\
%$c$ & количество итераций функции \\
$c_n$ \qq coefficients in expansions, for ex., \rf{e1egpm} or \rf{arctrap1} \\
$C_n$ \qq %Коэффициенты в разложении 
coefficients in expansions, for ex., \rf{GC}\\
%$d$ & количество итераций функции \\
$\mathrm e=\exp(1)\approx 2.7$ \qq %основание натуральных логарифмов\\
base of natural logarithms\\
$\exp$ \qq 
%экспонента по основанию 
exponent to base
$\mathrm e$ \\
$\exp_b$ \qq 
%экспонента по основанию 
exponent to base 
$b$ \\
$F$ \qq 
%Имя, используемое для различных суперфункций\\
Name, used to denote superfunctions\\
$\mathrm{Factorial}(z)=z!$ \qq 
%голоморфное решение уравнения 
holomorphic solution of equations 
$z!=z\, (z\!-\!1)!$\\
$f$ \qq %имя, используемое для каких попало функций\\
name used for various functions\\
$G=F^{-1}$ \qq name used to denote abelfundtions\\
%имя, используемое для обозначения абельфункций \\
$h\!=\!\mathrm{Elu}_s^{0.5}$
%$h=T^{1/2}$ 
\qq  half iterate of logistic operator \\
%имя, используемое для обозначения половинной итерации \\
%$\Im$ & неголоморфная функция, мнимая часть аргумента\\
$\mathrm i=\sqrt{-1}$ \qq 
%мнимая единица, 
imaginary unit
$\mathrm i^2=-1$ \\
$i$ \qq variable, usually it takes integer values\\
%переменная, принимающая целые значения\\
%$j$ & Неужели нашлась буква, ещё не использованная в формулах?\\
$K$ \qq 
%затычка для контурного интеграла   
plug for the contour integral rf{K}, or $\mathrm e^k$
\\
$k$ \qq %инкремент асимптотического представления суперфункции\\
increment in the asymptotic representation of superfunction \rf{Lea2}\\
$L$ \qq 
%стационарная точка суперфункции $Т$, так что  $T(L)=L$ \\
fixed point of transfer function $T$, id est, solution of  ~ $T(L)\!=\!L$ \\
%$\mathrm{LogisticOperator}& (z)=s\,z\,(1\!-\!z)$ логистический оператор \rf{logisticop} \\
%$\mathrm{LogisticSequence}$ \qq одна из суперфункций логистического оператора\\
$\ln$ \qq %Логарифм по основанию 
logarithm to base $\mathrm e$\\
$\log_b$ \qq 
%Логарифм по основанию 
Logarithm to base $\mathrm b$\\
$M$ &  %количество термов в оборванных сериях\\
number of terms in truncated series\\
%$m$ & используется как немой индекс суммирования\\
%$n$ & \hskip -16pt  используется как номер итерации и как немой индекс суммирования\\
$O$ \qq  %функция, которая растет не быстрее своего аргумента  \\
some function that grows-up not faster than its argument\\
$P$ \qq \hskip -28pt % период или асимптотический период; функция, обратная к $Q$\\
period or asymptotic period; also is used as inverse of function $Q$\\
$Q$ &  \hskip -24pt  %Используется как функция, обратная к $P$ \\ 
is used as inverse function of $P$ in table \ref{TableOfSuperfunctions}\\
%$\Re$ \qq  \hskip -24pt  неголоморфная функция, вещественная часть аргумента\\
$\mathrm{Super}$ \qq  %приставка, указывающая на её суперфункцию\\
prefix to name of function, indicating its sperfunction\\
$s$ & %Параметр логистического оператора 
parameter of the logistic operator \rf{logisticop} \\
$T$ & %Передаточная функция\\
transfer function\\
%$t$ & используется как переменная интегрирования\\
$\mathrm{tet}$ &  %натуральная тетрация 
natural tetration \rf{tet}, \cite{analuxp}\\
$\mathrm{tet}_b$ \qq  %решение $f$ уравнения $f(z\!+\!1)=b^{f(z)}$, см. рисунок \ref{tet10bx} \\
solution $f$ of equaitons $f(z\!+\!1)\!=\!b^{f(z)}$,~  $f(0)\!=\!1$, see fig. \ref{tet10bx} \\
$u$ \qq %вещественная часть функции на комплексных картах \\
real part of function in the complex map\\
$v$ \qq %мнимая часть функции на комплексных картах \\
%$w$ \qq Неужто нашлась буква, которую я ещё не задействовал?\\
imaginary part of function in the complex map\\
$x$ \qq %используется в качестве немого аргумента как вещественное число\\
used as dummy parameter, that takes real values\\
$y$ \qq %используется в качестве немого аргумента\\
used as dummy parameter, that takes real values\\
$z$ \qq %используется в качестве немого аргумента как комплексное число\\
used as dummy parameter, that takes complex values; often $z\!=\! x \!+\!\mathrm i y$ \\
\end{tabular}
\vskip -200pt
\end{table}
\newpage

\begin{table}
%\title{notations Обозначения}
%\caption{Обозначения, греческий алфавит \label{greekABC}}
\caption{Notations, Greek alphabet \label{greekABC}}
%\sx{1.2}{\bf Таблица 4. Обозначения}
\vskip 3mm
\begin{tabular}{lr}
%$\alpha$ & Похоже что, ещё не все греческие буквы задействованы в Книге.. Позор!\\
$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$  & %используются как коэффициенты в разложениях \\
used as parameters in the expansions\\
$\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.444667861 \!\!\!$ \qq 
%основание Генрика \\
Henryk base\\
$\varepsilon=\exp(kz)$ & %малый параметр в разложении суперфункции\\
small parameter in the expansion of superfunctions\\
$\theta$ & %голоморфная периодичная функция с периодом единица  \\
holomorphic periodic function with period unity\\
$\zeta$ & $\ds \zeta(z)\!=\! \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}$ ,  
%Функция Римана 
Riemann function
\rf{u2u3zeta},  \cite{gr,IRENE}\\
$\Omega$ & 
%Контур интегрирования в формуле Коши, 
contour of integration in the Cauchy formula
\rf{Cauchy}\\ ~\\~
\end{tabular}
\end{table}
%\newpage
%\chapter*{Послесловие}
%\section{Послесловие} 
\section{Afterwards} 
\baselineskip 18pt
%Я постарался изложить в Книге мои основные результаты по суперфункциям и итерациям.
The first (Russian) version of this Book happened thicker, than I had expected. 
%Книга получилась толще, чем я ожидал. И могла бы быть ещё толще. Потому как всегда кажется, что если добавить одну {\small мааленькую формулу}, то Читателю станет ещё понятнее.
It could be much thicker; because all the time, there is the evil illusion, that some additional {\small small formula}
should greatly simplify the understanding. However, with each formula from the book, several additional pictures can be plotted.
%Почти к каждой формуле в этой Книге можно построить ещё несколько рисунков.
%, и то, если считать только такие, которые  как будто сами просятся на графопостроитель. 
However, I think, for the Reader, it will be much better, to plot some picture, than to see the gallery of similar figures in the Book.
%Однако я думаю, что для Читателя будет полезнее построить их самостоятельно, чем увидеть галлерею однотипных рисунков. 
\vskip 6pt

%Желание чего-то добавить является перманентным, поэтому мне останавливаться приходится волевым образом. 
%Я старался сделать книгу покороче. Я не включил исследование того, что творится с 
%тетрацией и арктетрцией 
%построенными функциями за линиями разрезов области аналитичности. Я не включил примеров итерации экспоненты по комплексному основанию. И ещё много других примеров. Это те примеры, которые не вызвали интереса у коллег и по которым не ожидается вопросов.
%, которые, как мне кажется, в первой половине 21го века будет не очень интересны читателям.
%Разумеется, 
I tried to make this Book shorter, than its first Russian version. Actually, the Book happened to be longer, thicker, because I include here the chapter about the Nemtsov function
$\mathrm{Nem}_q(x)\!=\!x\!+\!x^3\!+\!qx^4$; this is important example of the exotic iteration of transfer function with the specific expansion at the fixed point.
\vskip 2mm

Some things are still dropped out from the Book.
I did not include the holomorphic extension of tetration beyond the cut lines.
I did not include figures to iterates of the exponent to complex base.
And I did not include many other figures, assuming, that the Readers can download the generators of the figures and plot all modifications they need.
%Такие примеры могут быть представлены по специальным запросам от коллег. ``Доказательства'' (желательно опубликованные), что чего-то ``сделать невозможно'' будут рассмотрены как важная причина, чтобы сделать это самое \cite{ponedelnik}.
%, и возможности компьютеров оперировать с длинными текстами растут быстрее, чем я пишу..
\vskip 6pt

The Readers are invited to download algorithms, figures and their generators from 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}; with these tools, the colleague may continue from that points of research, where I am now.
I believe, this is correct style of making science, where all the results are available for researchers. This is supposed to simplify the verification and refutation
(if anything is seriously wrong), as well as revealing and correction of mistakes in formulas and bugs in the algorithms.
I invite the colleagues to expose their results in a similar way.

%Я изложил основные формулы и методы, туллы, ``Теоретические основы'', инструменты, с которыми получены формулы и рисунки. Я надеюсь, что выведение новых формул такого типа и построение соответствующих рисунков не вызовет сложностей. 
%В частности, я почти не предлагаю рисунков для экспоненты по комплексному основанию, так как считаю, что читатель и сам сумеет построить соответствующую тетрацию, арктетрацию и нецелые итерации.
%В качестве прpico имера я построил лишь тетрацию по основанию Шелдона, её комплексная карта показана на рисунке \ref{sheldonmap}. 
%Я не представил карту аркпентации и высших аскерманнов. И ещё много чего, что можно было бы 
%рассчитать с предложенным формализмом.
%её комплексная карта показана на рисунке \ref{sheldonmap}.
%\vskip 2mm

%Теперь я стараюсь собрать на одном развороте хотя бы основные результаты. Я надеюсь, что хотя бы некоторые толковые читатели смогут пользоваться этими результатами, даже не читая Книгу. Мне иногда очень помогает сознание того, что я могу пролистнуть несколько страниц назад и увидеть чужую формулу; тогда я могу вывести её и сам).
%\vskip 2mm
\newpage

%\JP
{
\begin{figure}
\begin{center}
\sx{.34}{\begin{picture}(640,470)
\put(0,0){\ing{DevchonkaRoux}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -18pt
%\caption{Близкие родственники, без которых эта Книга не была бы написана \label{DevchonkaRoux}}
\caption{Near relatives, whose existence is essential for writing of this Book \label{DevchonkaRoux}}
\end{figure}}%JP

\section{Acknowledgement}
\baselineskip 17.9pt

%Я благодарен родственникам (рисунок \ref{DevchonkaRoux}), которые отнеслись с пониманием к этой Книге и к тому, что её написание потребовало намного больше времени и усилий, чем ожидалось.
I am grateful to relatives (Figure \ref{DevchonkaRoux}) for the tolerance with respect to this Book, it took much more time and efforts, than expected.
\vskip 2pt

\begin{wrapfigure}{r}{180px}
%\vskip 18pt
%\sx{.36}{\begin{picture}(800,620)
\sx{.266}{\begin{picture}(800,490)
\put(0,-40){\ing{bookwormbw}}
\end{picture}}
%\vskip -24pt
\caption{
%Carl Spitzweg 
Bookorm \cite{bookworm}
%К.Шпицвег
% подбирает публикации по суперфункциям
%сортирует рекоммендованную литературу по суперфункциям ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Spitzweg}
\label{bookworm}}
%\vskip -18pt
\end{wrapfigure}

%Я благодарен  коллегам, которые помогли подобрать литературy по суперфункциям (рис. \ref{bookworm}) и 
%установить сервер, базу данных и медиавики: без них я бы запутался в сотнях файлов, нужных для этой Книги. 
%Теперь я могу на вопросы про суперфункции отвечать или ``{\em Этого не знает никто}'', или ``{\em Это есть в моей Книге}'', см. рис. 
I am grateful to colleagues, who helped me to collect the literature on superfunctions (Figure \ref{bookworm}) 
and arrange the server, database and mediawiki: without these instruments, I would get lost among a thousand files used for generation of this Book. 

The goal was to get possibility to answer the questions on superfunctions with either {\em Nobody knows this!} or
{\em Das ist in meinem Buch!} (see figure \ref{ainu}). Perhaps, this goal is not reachable; the new algorithms 
%of evaluation of superfunctions 
are expected to be reported \cite{paulsen}. Tanks to colleagues who keep doing superfunctions.

%\ref{ainu}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\sx{.16}{\begin{picture}(2100,1500)
\vskip 8pt
\sx{.12}{\begin{picture}(2100,1500)
\put(0,0){\ing{ainu}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -24pt
\caption{Das ist in meinem Buch! \iL{ainu}}
%\caption{Es ist in meinem BuchDas ist em Mein Buch! \iL{ainu}}
%\caption{Уставший айн отдыхает у костра \iL{ainu}}
\vskip -24pt
\end{figure}

%\chapter{~ Приложения}
\chapter{~ Supplement \label{supplement}}
\baselineskip 21pt

%\section{Про обложку}
\section{About the cover}
%\begin{picture}(0,28)
\begin{picture}(0,230)
%\put(156,-84){\sx{.166}{\ing{tetma050}}}
\put(0,0){\sx{.28}{\ing{tetma050}}}
%\put(156,-84){\sx{.166}{\ing{tetma050}}}
\end{picture}
\vskip `8pt

At the front cover of this book, the map is shown,
%На обложке - карта \\
%использовано изображение \\
from \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg}
%(К сожалению, на обложке оно воспроизвoдится с плохим разрешением.)
\vskip 2mm

This is one of versions of figure \ref{tetmap}; 
%с карты убраны некоторые детали,
%поясняющие надписи, 
%убраны линии уровней $\Re(L)$ и $\pm\Im(L)$, 
%а область, накрываемая картой, расширена так, чтобы использовать всю ширину рамки, предложенной редакцией.
Some details and labels are removed in order to simplify the aesthetic view.
\vskip 4mm

%В первоначальной версии, для обложки использовались 
%графики тетрации по различным основаниям, то есть рисунок \ref{tet10bx}, а затем - 
%комплексная карта абельсинуса с рисунка
%\ref{ausinmap}. Однако, отношение высота/ширина этих рисунков плохо подходит для  установленного прототипа обложки.
%Поэтому в качестве главного изображения обложки Книги использована карта функции tet.
The cover of the Russian version is loaded as \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Covervi.jpg}
%на следующем рзвороте.
%
\vskip 3mm

%На последней странице обложки использованя фотография\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG}
%от Zilberberg Kosty, сделанная 4 
%March
%марта 2012 года, когда я только начал писать эту Книгу.
%04 Mar 2012 10:24:13 +0400.
%Оба изображения допускают свободное распространение, но желательно указывать авторов.
%\vskip 3mm

%Для форзацев я хотел использовать таблицы линков и таблицы английских ключевых слов.
%Однако, Редакция не предоставляет такой возможности; и эти таблицы 
%перенесены в Заключение.

\JP{
\section{О рисунках}

Рисунки в этой книге, в основном, трех типов. Это или обычные графики, 
то, что называется (explicit plot), или комплексные карты (complex map), или
рисунки, выполненные вручную, то есть карандашом, ручкой или фломастером
(cartoon).
Первые два типа рисунков может воспроизвести (и модифицировать) каждый, у кого на компьютере инсталлированы C++  и Латекс.
Для этого требуются генераторы. Эти генераторы доступны в интернете.
В частности, я загружаю рисунки и их генераторы
%первых двух типов можно найти в по урлям\\
в такие категории:
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw}\\
хотя для последней категории я пока не могу представить простых алгоритмов для воспроизведения и модификации.
}%JP
\JP{
\vskip 2mm

Чтобы облегчить поиск генераторов, ниже указываю урли рисунков. Некоторые урли длинноваты.
Потом я надеюсь сократить их до\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK}/FIGS/fig00.00 ~ или даже до\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK}/fig00.00.
\vskip 2mm

\begin{tabular}{c r r}
\ref{content} & \pageref{content} & \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Oglavleni.png} \\

\ref{uronila} & & \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Uronila.jpg} \\

\ref{stuchit} & & \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Stuchit.png}\\

%\ref{dragon} \sx{.8}{\url{litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}
\ref{dragon} & & \sx{.83}{\url{http://litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}
\end{tabular}

\normalsize

\ref{content} \pageref{content} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Oglavleni.png} 

\ref{uronila}  \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Uronila.jpg} 

\ref{stuchit} ~ \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Stuchit.png}

%\ref{dragon} \sx{.8}{\url{litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}
\ref{dragon} \sx{.83}{\url{http://litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}

\ref{dragon} \url{http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html}

\ref{SqrtFactorialLogo} 
\sx{.73}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt(factorial)LOGOintegralLOGO.jpg}}

\ref{martini}
\sx{.9}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:DevchonkaMartini.png}}

\ref{itelin125} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg} 

\ref{bookworm} ~ \sx{.9}{\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg}}

\large
}%comment

\section{Maple and tea \label{MapleAndTea}}
\baselineskip 16.7pt
Here is the company C of computers; they master:\\
Per each two years, their PCs run twice faster.
\vskip 1mm

Here is company S of the soft; they work hard as plowers,\\
So, each new release runs 0.7 times slower;\\
The soft is to run at the user's PC,\\
Which is made, of course, by the company C.
\vskip 1mm

Here is user U, buys from C and from S,\\
the newest model and the latest release.\\
U presses some key, say, key number K;\\
The soft S responds, with some delay,\\
during some time, say, during time t,\\
to let user U to have some tea.
\vskip 1mm

How many releases per year does sell S to U\\
to let him have tea, while he has nothing to do,\\
just waiting response by the soft to key K,\\
keeping the same time t of delay,\\
neutralizing the efforts of company C\\
to run faster U's task at his modern PC?
\vskip 1mm

This problem above is not correct, because\\
The tea-concern, together with C, of course,\\\
support the efforts of the company S\\
to make even bigger the newest release,\\
To force U buy more tea and a newest PC,\\
to boost business of C and the concern of tea.
\vskip 2mm

(2007)

\begin{figure}[t]
\sx{.52}{\begin{picture}(360,390)
\put(-12,0){\ing{MaplePlotLog02}}
\end{picture}}
\sx{.52}{\begin{picture}(400,390)
\put(0,0){\ing{MapleImpPlotErf02}}
\end{picture}}
\vskip -16pt
\caption{The reader should have Maple-10 installed, in order to reproduce the plots above with the codes supplied at the top of each picture \label{figmaple}}
\end{figure}

\RU{
\section{Debris}
\baselineskip 19.2pt

В этой секции собираются кусочки, которые выкинуты из основного текста; в частности, рисунки.
%В некоторых случаях, это рисунки и стихи, которые создавались для того, чтобы улучшить форматирование. Во многих случаях, такой рисунок или стишок добавляется, например, чтобы рисунок поместился на той же странице, где и формула, по которой он построен; или чтобы пара похожих рисунков оказалась на одном развороте. При изменении формата, такие рисунки из текста выкидывались. 
Думаю, что эти рисунки дополняют основной текст Книги и могут помочь его и её пониманию. Некоторые из таких прибамбасов собраны в этой секции.
\vskip 4mm

{\bf О путанице} \footnote{ \url{http://www.youtube.com/watch?v=xFmXDo8LT5k}
В.С.Высоцкий. Много неясного в странной стране.
}
\vskip 8pt

\baselineskip 16pt
\begin{wrapfigure}{r}{144px}
\vskip -24pt
\sx{.3}{\begin{picture}(670,340)
\put(-40,0){\ing{krysha2}}
\end{picture}}
%\vskip -2mm
\caption{Если Читатель запутался, пусть не упорствует, пока
%Если чего не получается, надо не упорствовать, пока 
крыша не съедет, а спрашивает 
\label{krysha2}}
\vskip -4mm
\end{wrapfigure}

Много неясного там, где матан\\
Можно запутаться и заблудиться:\\
Даже мурашки залазят в карман,\\
Чтобы при случае нам пригориться
\vskip 1mm
Даже коллега германский узнал\\
Как обеспечить единственность функций,\\
Что нам дает здесь Коши интеграл\\
И применье дизъюнкций - конъюнкций.
\vskip 1mm
Вдруг сингулярность, и нужен разрез -\\
Струсишь ли сразу? Взрежешь ли смело?\\
Раз уж в комплексный анализ залез -\\
В точкаx ветвленья - все дело!

\vskip 16pt
{\bf О терме}
\baselineskip 19pt
\vskip 3pt

\begin{wrapfigure}{r}{90pt}
\vskip 28pt
\sx{.2}{\begin{picture}(300,400)
\put(10,0){\ing{chlenkor}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Член-$~$ корреспондент %$\!\!\!\!\!\!$
\label{chlenkor}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}

В этой книге, слагаемые функционального ряда называются термами.
Терм - это англицизм, транслитерация английского слова term.
Оно означает слагаемое в представлении %(обычно асимптотическом) какой-либо 
функции в виде ряда.
\vskip 2mm

Русофилы
%, а также англофобы, 
вместо слова ``терм'' используют слово ``член''. Это слово имеет и иные значения, например, в сочетании ``Член-корреспондент'' (рис. \ref{chlenkor}). Профессор матана мог воскликнуть: {\em ``Посмотрите, какой у меня тут член стоит!''}, чтобы студенты проснулись, посмотрели на доску и увидели, какое интересное %выражение появилось
слагаемое получилось 
в сумме. В ответ на партах писали стишки:
\vskip 1mm

\baselineskip 16pt {\em
Где бы член найти нам впору,\\
Чтоб поставить в зад Тэйлору?\\
Оба члена хороши, \\
И Лагранжа, и Коши!}
\vskip 2mm

\baselineskip 19pt
Чтобы избежать инсинуаций, я использую термин ``терм'', а не ``член''.
%Одной из промежуточных целей этой книги я считаю устранение путаницы. Я понимаю, что русофилы со списанными результатами ЕГЭ и диссертациями, фальшивыми учеными степенями и высокими чинами  способны испохабить любые термины и любые изображения, но пока они ещё не ввели обозначения ``терм-корреспондент'', слово ``терм'' я считаю наиболее адекватным для этой Книги.
\newpage
}%RU
\JP{
%\section{Рациональная функция, более общий случай}
\section{Rational function, more general case}
\baselineskip 21pt

Для многих других случаев, итерации функции  $Т$  по формуле \rf{Tuvwz}
могут быть выражены через формулы предыдущей секции с помощью линейного сопряжения.
Я повторю формулу  \rf{Tuvwz}: 
\be
T(z)=\frac{U+V z}{W+z}
\nonumber
\ee

Теперь пусть 
\be 
 r &=&\sqrt{U+\Big(\frac{U\!-\!V}{2}\Big)^2 } \\
A&=&\frac{V\!-\!W}{2}-r \\
B&=&\frac{V\!+\!W}{2}+r \\
c&=&\frac{2U+V^2+W^2-2(V\!+\!W)r}{2(VW-U)} \\
P(z)&=&A+Bz \\
Q(z)&=&(z-A)/B
\ee
Тогда функция  $T$ по формуле  \rf{Tuvwz} может быть выражена как сопряжение функции $t$ по формуле \rf{tzcz}:
\be T(z)=P( t ( Q (z) ))
\eL{TPtQ}
Ввиду того, что $P(Q(z))=z$, итерации функции $T$ выражаются через итерации функции  $t$:
\be T^n(z)=P(t^n(Q(z)) \eL{TnPtnQ}
%All functions $P$, $t^n$ and $Q$ are defined above, and $t^n$ is expressed in a way, that does not require the number $n$ of iteration to be integer.
Функции $P$, $t^n$ и $Q$ определены выше, и $t^n$ выражена через формулу \rf{tnzfg} таким образом, который не требует, что число итераций $n$ было целым.
\vskip 4mm

В порядке упражнения, читателям предлагается проверить, что для итераций, определенных по формуле \rf{TnPtnQ}, 
\be
T^{m+n}(z)=T^m(T^n(z))
\eL{Tmn}
Ленивые читатели при этом могут пользоваться Математикой (то есть которая  Mathematica), Кленом (который Maple) или ещё каким-либо подходящим софтвером. Это нужно хотя бы для того, 
чтобы указать мне на опечатку, если я ошибся.
%Если чего не получится, это может указывать на опечатку, и о ней надо сообщить мне. Я надеюсь, что опечаток нет, так как у меня соотношение \rf{Tmn} для такой функции получилось. 
\vskip 4mm

%Совсем ленивым читателям на этом упражнении предлагается прекратить штудирование этой Книги и скроллить ``по диагонали'' (листать, если у Вас отпечатанный вариант) прямо к той формуле, которая Вам требуется, так как изучение без упражнений смысла не имеет. 
Я надеюсь, что все формулы этой Книги могут использоваться даже без того, чтобы прослеживать, как они получаются. Однако какие-либо тесты, в соответствии а определением термина ``наука'', для нужной Вам формулы прогнать всё-таки рекоммендуется. %, и если чего не получается, желательно собщить об этом мне.
%The representation above is not unique; in principle, $r$ can be replaced to $-r$
\vskip 4mm

Итерация функции $T$ могут быть выражена так, чтобы показать, что она тоже рациональная функция:
%эта итерация также является дробно-линейной функцией: 
%However, the $n$th iteration of function $T$ can be written also in a way, that explicitly shows that it is also linear fraction;
\be T^n(z)=\frac{U_n+V_n z}{w_n+z}\eL{drobnit}
%Evaluation through equation ( 03), (15), (05),(06), and comparison to (01) give the coefficients:
Здесь $U_n=U$ и от $n$ не зависит; остальные параметры таковы: %выражаются следующим образом:
\be V_n &=& \frac{1}{2} \left(r \left(\frac{2^{n+2}}{2^n-\left(-\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{U-V W}\right)^n}-2\right)+V-W\right) 
\nonumber \\
&=&  r \left(\frac{2^{n+1}}{2^n-\left(-\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{U-V W}\right)^n}-1\right)+\frac{V-W}{2}
\ee

\be W_n &=&  \frac{1}{2} \left(r \left(\frac{2^{n+2}}{2^n-\left(\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{V W-U}\right)^n}-2\right)-V+W\right)
\nonumber \\
&=&  r \left(\frac{2^{n+1}}{2^n-\left(\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{V W-U}\right)^n}-1\right)+\frac{-V+W}{2}
\nonumber \\
&=&  V_n + W - V 
\ee

\JP{Рассмотрение выражения
\be \frac{U+V_n\frac{U+Vz}{W+z}}{W_n+ \frac{U+Vz}{W+z}}= 
\frac{U \frac{W+U_n}{V+W_n}+ \frac{U+V_n V}{V+W_n} z}{ \frac{U+W_n W}{V+W_n}+z}
\ee
показывает, что для соотношения $U_n=U$ требуется выполнение тождества
\be
W+U_n=V+W_n
\ee
и читатели приглашаются проверить, что такое тождество действительно имеет место. }%JP
Для представления \rf{drobnit} итерации дробно-линейной функции $T$ через дробно-линейную функцию, групповое соотношение 
\rf{Tmn} так же может быть проверено; со всеми предлагаемыми выше спекуляциями насчет того, как, с моей точки зрения, можно и нужно изучать и делать Науку.  
%того, что лучше подсмотреть, как получаются предлагаемые формулы, до того, как вывод становится громоздким.
%\section{Ещё специальный случай дробно-линейной функции}
\vskip 2mm

Выражения этого параграфа получены с помощью софтвера Мathe\-ma\-tica. Вероятно, Читателю проще получить их самостоятельно (с помощью того же пакета), чем прослеживать этот вывод. Поэтому такой случай попал в Приложения, а не в основной текст Книги. 
}%JP

\newpage
\begin{figure}[h]
\vskip -16pt
\sx{1.3}{\begin{picture}(328,412)
\put(10,9){\includegraphics{ausintay40}}
\put(2,400){\sx{1.2}{$y$}}
\put(2,306){\sx{1.2}{$1$}}
\put(2,206){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-7,106){\sx{1.2}{$-1$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(9,-1){\sx{1.2}{$0$}}
\put(109,-1){\sx{1.2}{$1$}}
\put(157,-1){\sx{1.2}{$\pi/2$}}
\put(209,-1){\sx{1.2}{$2$}}
\put(309,-1){\sx{1.2}{$3$}}
\put(319,-1){\sx{1.2}{$x$}}
\put(184,208){$v\!=\!0$}
\put(98,200){\rot{90}$u\!=\!2$\ero}
\put(114,200){\rot{90}$u\!=\!1$\ero}
\put(147,186){\rot{41}$u\!=\!0$\ero}
\put(136,131){\rot{-40}$u\!=\!-1$\ero}
\put(125,93){\rot{23}$v\!=\!0$\ero}
\put(92,288){\rot{66}$u\!=\!-2$\ero}
\put(131,282){\rot{31}$u\!=\!-1$\ero}
%\put(159,244){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
%\put(172,250){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(148,260){$u\!=\!-0.5$}
%\put(186,250){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(86,158){\rot{90}$v\!=\!3$\ero}
\put(100,155){\rot{90}$v\!=\!2$\ero}
\put(122,148){\rot{90}$v\!=\!1$\ero}
\put(159,144){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(172,144){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(186,138){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
\put(340,30){\rot{90}\sx{.9}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausintay40t50.jpg}}\ero}
\end{picture}}
%\vskip -2pt
%\hskip 24pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausintay40t50.jpg}
\vskip -10pt
\caption{Map of the Taylor expansion $f$ of AuSin with 40 terms \label{ausintay40} in the standard notations.
$u\!+\!\mathrm i v=f(x\!+\!\mathrm i y)$. \label{ausinte}
} \label{ausintee}
%\caption{\large Карта разложения Тэйлора функции  AuSin с 40 термами \label{ausintay40}}
\vskip -90pt
\end{figure}

\rule{0pt}{70pt}

%{\bf 3. Taylor expansion of Ausin}
\section{Taylor expansion of  AuSin}
%{\bf Разложение Тэйлора для функции Ausin}
%\vskip 1mm
\baselineskip 17pt

%В главе 13 упоминается разложение Тэйлора в точке $\pi/2$ функции AuSin, \rf{ausintaylor}. На рисунке \ref{ausintay40} представлена карта частичной суммы этого разложения с 40 термами. Эту карту полезно сравнить с рисунком 
In chapter 13, the Taylor expansion of function AuSin at  $\pi/2$ is mentioned, \rf{ausintaylor}. 
In figure \ref{ausintay40}, the complex map of the truncated series with 40 terms is shown. 
%Эту карту полезно сравнить с рисунком 
This map should be compared to Figure
\ref{ausinmap}. 
%Такая аппроксимация дает порядка 14 значащих цифр, пока параметр разложения не превышает единицы.
%Коэффициенты этого разложения можно использовать для вычисления коэффициентов разложения суперсинуса в нуле.
Such an expansion can be used to boost the precise evaluation of AuSin for values of the argument in vicinity of $\pi/2$. Also,
coefficients of this expansion can be used for evaluation of coefficients of expansion of SuSun at zero; for example, wight routine InverseSeries.
\newpage

\RU{
{\bf О тетрации по основанию $b<\eta$}
\baselineskip 21pt
\vskip 4mm

В этом приложении я ещё раз объясняю, почему я включил в Книгу специальную главу
о тетрации по основанию $\sqrt{2}$. Такое объяснение восходит к классикам Русской литературы
\footnote{ 
\url{http://literatura5.narod.ru/nekrasov_doroga.html}
%http://ru.wikisource.org/wiki/Железная_дорога_(Некрасов)} 
Некрасов Николай Алексеевич (1821 – 1878). Железная дорога. (1864)}.
\vskip 8mm

Грустно надулись мои оппоненты,\\
Критику выдали мне на "ура": \\
В книге, хоть есть ключевые моменты,\\
Но матанализа тоже гора!
\vskip 4mm
Видом нелепым Коши-интеграла\\
Души студентов негоже смущать.\\
Если бы Книга теперь показала\\
Лучшую сторону.. - Рад покзать.
%Лучшую сторону.. - Рад показать.
\vskip 4mm

При основании меньше, чем $\eta$\\
Есть для тетраций простой алгоритм;\\
Каждый, кто здесь прочитает про это,\\
Схватит резерча научного ритм.
\vskip 4mm

Кто увидал красоту итераций\\
Тот поимел размодернейший tool;\\
Для курсовых, да и для диссертаций\\
И голоморфнейших фитов разгул!

\newpage
}%JP

\JP{
{\bf О фонтах}
\baselineskip 21pt
\vskip 4mm

Про то, когда какой следует употреблять фонт (шрифт), написано в каждом серьезном журнале.
Однако во многих случаях, авторы статей, которые приходят на рецензию, как будто нарочно используют какие попало шрифты. Особенно в индексе. Поставят, например, в индексе какую-либо букву, италиксом (кривым шрифотм), что бы читатель гадал, какие значения может принимать эта переменная. А потом выясняется, что эта буква - лишь метка, потому что авторы выучили лишь часть латинского алфавита и им не хватает букв, чтобы обозначить разные переменные разными буквами, и индекс используется, чтобы все-таки как-то отличать эти переменные; но авторы поленились переключить фонт, чтобы такой индекс был прямым шрифтом.
Я старался, чтобы такая критика не относилась к этой Книге.
\vskip 3mm

Я верю, что Читатель отличает $i$ от $\mathrm i$. Прямым шрифтом обозначаются имена функций (если в имени больше одного символа) и абсолютные математические константы, например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .. , $\mathrm e$, $\mathrm i$; а кривым шрифтом обозначаются переменные $a$, $b$, $c$, $d$, $f$, $g$, $h$, $i$, $j$, .. $z$, $A$, ..
\vskip 3mm

Имеется сложный вопрос о том, что делать, если автор пишет, например, что $c$ (или $C$) является константой. Думаю, что подходящим ответом является декларация, что такое $c$ является относительной константой, которая у разных авторов (и даже в разных статьях одного автора) может иметь разный смысл. 
\vskip 3mm

Имеется плохой тон, обозначать переменные цифрами. Например, в советских школах, безграмотные инспекторы РОНО могли спрашивать %школьников,
учеников,
на сколько увеличивается {\em 2} при умножении на {\em 3}.~\footnote{\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/lessonsrono.shtml}  Инспекция из Роно} ~ Я надеюсь, что обозначения этой Книги более понятны.
%Читатель не будет путать переменные и константы, и никогда не сядет в лужу, как %это обычно делали 
%неучи из советских министерств и инспектриссы из РОНО.

%\vskip 3mm
\newpage
}%JP

\JP{
\section{Конжекция о почти идентичной функции}
\baselineskip 19.8pt

Я и мои коллеги предпринимали попытки доказать (или опровергнуть) рассуждение, использованное выше, о том, что функция  $\mathcal F(z)$ вида \rf{calF} в полосе $0\le \Re(z)\le 1$ принимает все значения, за исключением, быть может, одного; но пока у нас нет строгого доказательства. Такое рассуждение можно сформулировать в виде конжекции:
\vskip 2mm

Для %любой отличной от константы 
голоморфной периодичной функции $\theta$ с вещественным периодом $\tau$,
функция $z\mapsto z\!+\!\theta(z)$ в области $ \{ z\in \bC: |\Re(z)|\le \tau/2 \}$ принимает все значения из $\bC$, за исключением, быть может, одного. 
\vskip 2mm

Я надеюсь, что эта гипотеза, эта концепция не потребует стольких усилий, сколько потребовала знаменитая Теорема Ферма, хотя до сих пор мне не удалось найти ни одного математика, который бы взялся строго доказать её или предложил бы пример функции, которая эту гипотезу опровергает. После доказательства, такое утверждение могло бы называться {\bf Теорема о почти идентичной функции}. Смысл такого названия в том, что даже небольшое периодичное искажение идентичной функции дают функцию, которая принимает все значения даже на одном периоде. Пока эта теорема не доказана, её уместно называть гипотезой.
\vskip 2mm

Гипотеза о почти идентичной функции важна для единственности решения передаточного уравнения.
Если передаточная функция, или её обратная функция, имеет хотя бы одну сингулярность,
то преобразование голоморфной суперфункции по формуле \rf{tif} сужает область голоморфизма.
В этом смысле требование голоморфизма является ключевым для единственности суперфункций.
\vskip 2mm

%\section{Эвристичность}
Рассуждения предыдущей секции, главы, да и всей Книги, не являются строгими доказательствами.
Они лишь указывают, почему для голоморфной передаточной функции обычно удается построить единственную суперфункцию. Неограниченный рост ``почти идентичной'' функции объясняет, как, почему и в каких случаях можно ожидать единственности суперфункции. 
\vskip 2mm

В следующих главах рассмотрены  и другие передаточные функции. Для них тоже строятся суперфункции, даже если они не выражаются простым образом через функции, известные в 20м веке.

В частности, строятся суперфункции, которые не выражаются через функции, признанные специальными в 20м веке;
и предлагаются общие методы построения суперфункций для голоморфных передаточных функций общего вида.
\vskip 2mm

Наиболее известной из таких суперфункций является тетрация, то есть суперфункция от экспоненты, суперекспонента.
С помощью тетрации и арктетрации можно вычислять ``квардатный корень из экспоненты'',
то есть такую функцию $\varphi=\exp^{1/2}=\sqrt{\exp}~$;  $~\varphi(\varphi(x))=\exp(x)$ в широкой области значений $x$.
Такая функция рассматривалась в середине прошлого века Хельмутом Кнезером (Hellmuth Kneser) \cite{kneser}, хотя в прошлом веке не было предложено эффективного способа её вычисления и ни одной карты этой функции построено не было. С помощью формул и алгоритмов из этой книги, комплексные карты и явные графики таких функций могут строиться в реальном времени на любом компьютере. В принципе, все рисунки из этой книги, вместе с генераторами (то есть кодами на С++, которые генерируют эти рисунки) загружаются в ТОРИ \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}, и могут использоваться в качестве прототипов. 
Если я не успел или забыл загрузить генератор какого-либо рисунка, то мне можно об этом напомнить по адресу dima(ГАВ!)ils.uec.ac.jp и указать, какой именно рисунок вызывает повышенный интерес и/или трудности при загрузке или генерации.
\vskip 2mm

{Когда в Японии перебои с электричеством (как это было, например, после Фукушимской катастрофы \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fukushima_disaster}), или по иным причинам (см.рис. \ref{uronila}), Мизугадро недоступно, то многие рисунки (и генераторы) можно стащить также с ситизендиума, найдя их по ключевым словам (и там тоже можно оставлять просьбы о загрузке недостающих рисунков и их генераторов). В этом смысле все рисунки и все алгоритмы из этой книги можно легко получить и использовать. Использование и размещение этих рисунков на всевозможных сайтах разрешается и даже приветствуется, ибо именно таким образом ``рукописи не горят'' \cite{bulga}. Желательно указывать источник, откуда Вы стащили рисунок или его генератор. 
%Это нужно не столько для того, чтобы застолбить мое авторство, сколько для того, чтобы было легче отследить ошибки, которые, вероятно, в некоторых файлах имеются. Моя мама говорит, что после всех исправлений и корректур, в любом тексте можно найти по крайней мере три ошибки. Кроме того, важно, чтобы я не принимал передранный у меня результат за независимое оригинальное исследование, подтверждающее мою концепцию. (Как видно из Предисловия, претензии автора на ``открытие века'' грандиозны, поэтому нет никакого смысла подогревать эту манию величия некорректными копипастами.) 
}
\vskip 1mm

В целях упрощения подачи материала, ниже изложение оригинального материала начинается с регулярной итерации; чтобы начинать с совсем простого и идти к чуть более сложному. Исторически, результаты получались в обратной последовательности: сперва через интеграл Коши была построена тетрация по основанию е \cite{analuxp}; потом, по просьбе моего соавтора, был сделан алгоритм регулярной итерации \cite{sqrt2} для более простых случаев, и только потом последовала амбициозная претензия на то, что я могу построить суперфункцию для любой передаточной функции \cite{factorial} и, в частности, для передаточной функции лазерного усилителя \cite{2013or}. 
%(Обычно, формулировка претензий на эпохальное открытие является самой простой частью любой работы.)
 \vskip 2mm
 
Этой главой заканчивается рассмотрение суперфункций, которые были известны ещё с прошлого века, и начинается рассмотрение суперфункций, которые пока не удается выразить через функции, описанные еще с прошлого века.
%известные ранее специальные функции. 
Надеюсь, что многие из этих новых функций удастся загнать в официально признанное множество специальных функций.
 \vskip 2mm
 
Что считать ``специальной функцией''? - этот вопрос терминологичи. 
Для меня, ``специальной функцией'' является такая, для которой есть определение, известно асимптотическое поведение и доступна численная имплементация, которая позволяет оценить её по крайней мере с 14 десятичными значащими цифрами в той части комплексной плоскости, где значение этой функции всё ещё может быть представлено в виде традиционного ``комплекс доубле''. Желательно, чтобы указанные определение, свойства и алгоритмы были доступны коллегам (то есть опубликованы); чтобы исследователь, упоминая некоторую суперфункцию, не отвечал на вопросы в стиле ``К сожалению, описание этой функции находится в закрытой части открытия''; такую ``засекреченную'' функцию лучше не называть специальной.
\vskip 2mm

\newpage
}%JP

%\section{Сайты}
\section{Sites \label{SupplementSites}}
\baselineskip 16pt
%Цель Книги - не привлечь внимание Читателя к перечисленным ниже сайтам, но 
%предложить описание суперфункций, которое избавит Читателя от 
%дать читателям самосогласованный формализм суперфункций, избавив их от 
%надобности лазить по таким сайтам. 
Goal to his Book is not to attract attention of Reader to the cites below,
but to provide the description of superfunctions, that releases the reader from need to browse the sites below.
\vskip 2mm

{\normalsize
\baselineskip 14pt
\url{http://allmybase.com/dropbox/tetration.pdf}

\url{http://cdn.bitbucket.org/bo198214/bunch/downloads/main.pdf} H.Trappmann, D.Kouznetsov. 5+ methods for real analytic tetration. June 28, 2010.

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Cauchy-Riemann_equations}

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Superfunction}

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Tetrational}

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Holomorphic_function}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_equation}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_function}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_integral_formula}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Hellmuth_Kneser}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Superfunction}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration}

\url{http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php}

\url{http://math.stackexchange.com/tags/tetration}

\url{http://mathworld.wolfram.com/Tetration.html}

%\url{http://mathoverflow.net/questions/45277/how-close-are-we-to-extending-tetration-to-the-real-and-complex-numbers}

\url{http://oeis.org/wiki/Tetration}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Abel_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcShoka}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuSin}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuTra}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuZex}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Complex_map}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Doya_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Factorial}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Holopmorphic_extension_of_Collatz_Subsequence}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Keller_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Logistic_sequence}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Regular_iteration}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Shoka_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfunction}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfactorial}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuSin}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Table_of_superfunctions}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tetration}

\url{http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Superfunction}

\url{http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Tetration}

\url{http://www.tetration.org/Tetration/index.html}  D.Geisler. What lies beyond exponentiation? %2012 

\url{http://www.youtube.com/watch?v=z-mfxP1Tmfw}  Kasane Teto. Tetration $\uparrow\uparrow$. 2012. %по-японски
\vskip -18pt
}


%\section{Новые термины}
\section{New notations \label{NewNotations}}
\baselineskip 18.2pt
%В будущем м
%Могут потребоваться %новые 
%обозначения, не упомянутые в Книге:
In future, the new notations will be requested. Below, I suggest tentative names for them:
% that are not used in this Book:
\vskip 1mm

{\bf %Трансферирование 
Transferation}.
% Для данной функции $f$, построение предаточной функции 
For given function $f$, construction of the transfer function
$T(z)\!=\!f\big(1\!+\!f^{-1}(z)\big)$.
%Для такой передаточной функции $T$, фунция $f$ является суперфункцией.
For this transfer function $T$, function $f$ is superfunction and $f^{-1}$ is abelfunction.
\vskip 1mm

{\bf %Трансфирование} (
Transation}. %Для данной функции $f$, построение предаточной функции 
For given function $f$, construction of the transfer function
$T(z)\!=\!f^{-1}\big(1\!+\!f(z)\big)$.
For this transfer function $T$, function $f^{-1}$ is superfunction and $f$ is abelfunction.
%Для такой передаточной функции $T$, функция  $f$ является абельфункцией.
\vskip 1mm

{\bf %Суперирирование} (s
Superation}. %Для данной функции $f$, построение суперфункции $F$ как решения 
%передаточного 
%уравнения 
For given function $f$, construction of superfunction $F$ as solution of equation
$F(z\!+\!1)\!=\! f\big(F(z)\big)$. 
%При этом $f$ выступает как передаточная функция.
%Для такой передаточной функции  $f$ является абельфункцией.
In this case, $f$ appears as transfer function.
\vskip 1mm

{\bf %Супирование} (s
Supation}. %Для данной функции $f$, построение абельфункции $G$ как решения  уравнения Абеля 
For given function $f$, construction of abelfunction $G$ as solution of the Abel equation
$G\big(f(z)\big)\!=\!G(z)\!+\!1$. In this case also $f$ appears as a transfer function.
\vskip 1mm

\begin{wrapfigure}{l}{182pt}
\normalsize
\vskip -4pt
\sx{1.06}{\begin{picture}(170,180)
%\put(10,177){\sx{1.4}{$F$}}
\put(10,172){\sx{1.4}{$F$}}
%\put(10,23){\rot{90}\sx{1.1}{$\leftarrow$ трансферирование $\leftarrow$}\ero}
\put(10,28){\rot{90}\sx{1.2}{$\leftarrow$ transferation $\leftarrow$}\ero}
%\put(23,26){\rot{90}\sx{1.1}{$\longrightarrow$ суперирование $\longrightarrow$}\ero}
\put(23,30){\rot{90}\sx{1.2}{$\longrightarrow$ superation $\longrightarrow$}\ero}
\put(6,4){\sx{1.4}{$T$}} \put(150,6) {\sx{1.4}{$G$}}
%\put(28,13){\sx{1.1}{$\longrightarrow$ супирование $\longrightarrow$}}
\put(32,13){\sx{1.2}{$\longrightarrow$ supation $\longrightarrow$}}
%\put(24,0){\sx{1.1}{$\leftarrow$ трансфирование $\leftarrow$}}
\put(28,0){\sx{1.2}{$\leftarrow$ transfation $\leftarrow$}}
\put(38,160){\rot{-49}\sx{1.19}{$\longleftarrow$ ~ InverseFunction ~ $\longrightarrow$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{ \large $T$, $F$ and  $G\!=\!F^{-1}$ 
\label{figTFG}}
\vskip -38pt
\end{wrapfigure}

%Трансферирование есть обратная операция по отношению к суперированию. Tрансфирование есть обратная операция по отношению к супированию.
Transferation is inverse operation with respect to suppuration.
Transfation is inverse operation with respect to supation.
%Это показано на рисунке \ref{figTFG} для передаточной функции $T$, суперфункции $F$ и абельфункции $G$.
This is shown in figure  \ref{figTFG} for the transfer function $T$, superfunction $F$ and abelfunction $G$.
%В таких терминах, можно сказать, что э
\vskip 2mm

%Эта Книга посвящена суперированию и супированию,
%а также требованиям, которые надо добавлять, 
%%к передаточному уравнению и уравнению Абеля, 
%%для того, 
%чтобы эти операции были однозначными.
This Book is dedicated to superation and supation,
and also to the additional requirements, that provide the uniqueness of superfunction $F$ and abelfunction $G$.
\vskip 2mm

%В этой Книге я не использую  показанные на рисунке \ref{figTFG} новые слова; пока в них нет большой нужды.
%%Пока построение суперфункций, абельфункций и итераций не автоматизировано,
%%нет нужды в специальном слове для обозначения операции нахождения суперфункции.
In this Book, I do not use the new words shown in figure \ref{figTFG}; while, there is no need to use them.
%Примерно так же не требовалось специальных слов для дифференцирования и интегрирования, пока эти операции не стали рутинами.
In the similar way, there was no need in the special terms for differentiation and integration, until these operations became routines.
%Однако предложенные тут термины (или их эквиваленты) понадобятся при реализации автоматического построения суперфункций и абельфункций. 
%Такое построение уже упомянуто в этой главе. 
However, the terms shown in figure \ref{figTFG} will be requested as soon as the automatic construction of superfunctions and abelfunctions will be realised.
%В языке ``Mathematica'' для суперирования уже есть имя ``Nest''; пока такая процедура поддерживается лишь для натуральных значений числа итераций.
In language Mathematica, for the superation, there exist name Nest (until year 2017, this routine is supported only for natural values of the number of iterate).
\vskip 2mm

I am not sure, which names from figure \ref{figTFG} will be usual. 
For this reason, I do not use these names in the Book. However, the operations, mentioned in figure \ref{figTFG} exist; they will require some names.

%Уже пора для предложенных операций  выработать удобные обозначения, допускающие естественный перевод по крайней мере на английский язык.
%Некоторые  английские термины собраны ниже.

%\section{English abstract: Superfunctions}
\section{Extended abstract}
\Large 
\baselineskip 23pt

The Book is dedicated to construction of superfunction $F$ and abelfunction $G$ for given transfer function $T$.
The formalism of superfunctions is considered with examples, that are presented in ready-to-use form.
The reader is supposed to know something about the complex numbers and elementary functions.
 
\vskip 4mm

The superfunction is solution of  the transfer equation 

$F(z\!+\!1)=T\big(F(z)\big)$

The abelfunction $G=F^{-1}$ satisfies the Abel equation 

$G\big(T(z)\big)=G(z)+1$

In order to provide the uniqueness of solution, the additional requirements on $F$ are applied,
referring to its behaviour in the complex plane.
\vskip 4mm

The $n$th iterate of function 
$T$
is denoted with superscript:
\be
 {{T^n(z)}\atop{\phantom{sub}}} {{=}\atop{\phantom{sub}}}{{\underbrace{T\!\Big(T\!\big( .. T(z).. \big)\Big)}}\atop{n ~\mathrm{evaluations~of~ function~} T}}
\nonumber
\ee
With superfunction $F$ and  abelfunction $G$, the iterate is expressed as ~
$T^n(z)=F\big(n\!+\!G(z)\big)$ . 
In this representation, the number $n$ of iterate has no need to be integer.
\vskip 4mm

Examples of superfunctions are considered and collected as Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
Superfunctions are constructed for sin, factorial, exponential, tetration and other functions.

Many explicit plots and complex maps for these functions, superfunctions, and iterates are included. 
The figures are loaded also to TORI together with their generators at

\sx{.98}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}}
\vskip 4mm

The formalism of superfunctions greatly extends the set of functions available for applications in the scientific research.


\section{Keywords \label{keywords}}

{\large In this section, I suggest the essence of the notations}
%I list the most important functions described in the Book
\Large
\baselineskip 36pt

$T$ ~ ~ ~ ~ ~ Transfer function

$T\big(F(z)\big)=F(z\!+\!1)$ ~ ~ ~ Transfer equation, superfunction

$G\big(T(z)\big)=G(z)+1$ ~ ~ ~ Abel equation, abelfunction

$F\big(G(z)\big)=z$ ~ ~ ~ ~ ~ Identity function

$T^n(z)=F\big(n+G(z)\big)$ ~ ~ ~ $n$th iterate
\vskip 8pt

$\ds F(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm i} \oint \frac{F(t) \, \mathrm d t}{t-z}$ ~ ~ ~ Cauchy integral
\vskip 8pt

$\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)=b^{\mathrm{tet}_b(z)}$ ~ ~ ~ tetration to base $b$

$\mathrm{tet}_b(0)=1$ ~, ~ ~  $\mathrm{tet}_b\big(\mathrm{ate}_b(z)\big)=z$

$\mathrm{ate}_b(b^z)=\mathrm{ate}_b(z)+1$ ~ ~ arctetration to base $b$

$\exp_b^{~n}(z)=\mathrm{tet}_b\big(n+\mathrm{ate}_b(z)\big)$ ~ ~ $n$th iterate of function ~ $z\!\mapsto\! b^z$
\vskip 8pt

$\ds \mathrm{Tania}^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{Tania}(z)}{\mathrm{Tania}(z)\!+\!1}$ ~ ~   Tania function,~  $\ds \mathrm{Tania}(0)\!=\!1$ 
\vskip 8pt

$\ds \mathrm{Doya}(z)=\mathrm{Tania}\big(1\!+\!\mathrm{ArcTania}(z)\big)$ ~ ~   Doya function

$\ds \mathrm{Shoka}(z)=z+\ln(\mathrm e^{-z}\!+\!\mathrm e \!-\! 1)$ ~ Shoka function

$\ds \mathrm{Keller}(z)=\mathrm{Shoka}\big(1\!+\!\mathrm{ArcShoka}(z)\big)$ ~ ~   Keller function

$\ds \mathrm{tra}(z)=z+\exp(z)$ ~ ~ ~  Trappmann function

$\ds \mathrm{zex}(z)=z\,\exp(z)$ ~ ~ ~ ~ Zex function

\large
\baselineskip 20pt

%\section{Библиография}
\begin{thebibliography}{99} \label{references}
%\baselineskip 18.8pt
\baselineskip 17.8pt
%\vskip -44pt
\bibitem{Rabelais} %\begin{picture}(0,0) \put(-30,50){\rule{300pt}{30pt}} \end{picture}
%\url{http://royallib.ru/read/rable_fransua/gargantyua_i_pantagryuel__II.html#0} \\
%Франсуа Рабле. Гаргантюа и Пантагрюэль. (1564, %2010-
%2013) %cite01%\url{https://en.wikisource.org/wiki/Gargantua}
\url{https://en.wikisource.org/wiki/Gargantua/The_Author%27s_Prologue_to_the_First_Book}
%\href{https://en.wikisource.org/wiki/Gargantua/The_Author's_Prologue_to_the_First_Book}
%{https://en.wikisource.org/wiki/Gargantua/The_Author%27s_Prologue_to_the_First_Book}
Gargantua by François Rabelais, translated by Thomas Urquhart and Peter Antony Motteux.
{\em 
..Most noble and illustrious drinkers, and you thrice precious pockified blades (for to you, and none else, do I dedicate my writings),
%Whereunto (in your opinion) doth this little flourish of a preamble tend? For so much as you, my good disciples, and some other jolly fools of ease and leisure, 
%.. reading the pleasant titles of some books of our invention,..% as Gargantua, Pantagruel..
}

\bibitem{moliere}
%\url{http://www.lib.ru/MOLIER/meshanin.txt}
%Жан-Батист Мольер. Мещанин во дворянстве. (1670) Перевод Н. Любимова. Mon, 02 Feb 1998 16:34:53 GMT.
%..  {\em
% Г-н  Журден. 
%Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. ..}%cite02
\url{http://moliere-in-english.com/bourgeois.html} J.B. Moliere. The Bourgeois Gentleman. (1670)
%Comedy-Ballet presented at Chambord, for the entertainment of the King, in the month of %October 1670, and to the public in Paris for the first time at the Palais-Royal Theater 23 %November 1670.
English adaptation by Timothy Mooney. Act Two, Scene Four. {\em .. These forty years now, I've been speaking in prose without knowing it! ..} 
%\\
%\url{http://www.gutenberg.org/files/2992/2992-h/2992-h.htm}
%J.B.Moliere. 
%%THE MIDDLE CLASS GENTLEMAN 
%The middle  class gentleman.(Le Bourgeois Gentilhomme). Translated by Philip Dwight Jones. Act 2, scene 4. .. 
%{\em MONSIEUR JOURDAIN: By my faith! For more than forty years I have been speaking prose without knowing anything about it, and I am much obliged to you for having taught me that.}

\bibitem{abel}
\url{https://eudml.org/doc/183045}
%\url{http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0001&DMDID=dmdlog6}
N.H.Abel. "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig ver\"anderlichen Gr\"ossen $x$ und $y$, wie $f(x, y)$, welche die Eigenschaft haben, dafs $f(z,f(x,y))$ eine symmetrische Function vom $z,x$ und $y$ ist.. Journal f\"ur die reine und angewandte Mathematik, V.1 (1826)  Z.11–15. %cite03

\bibitem{xutore} 
%\url{http://ilibrary.ru/text/1088/p.1/index.html}  \\
%Н.В.Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки. (1832, 1996, 2013) %cite04
{\normalsize \url{http://xixvek.wordpress.com/2013/03/27/translation-comparison-evenings-at-a-farmhouse-near-dikanka}}
%\url{https://xixvek.wordpress.com/2013/03/27/translation-comparison-evenings-at-a-farmhouse-near-dikanka/}
N.V.Gogol. Evenings at a Farmhouse near Dikanka. MARCH 27, 2013. 
{\em “What oddity is this: Evenings on a Farm near Dikanka? What sort of Evenings have we here? And thrust into the world by a beekeeper! God protect us! As though geese enough had not been plucked for pens and rags turned into paper! As though folks enough of all classes had not covered their fingers with inkstains! The whim must take a beekeeper to follow their example! Really there is such a lot of paper nowadays that it takes time to think what to wrap in it.”}

\bibitem{gogol}
%\url{http://www.klassika.ru/read.html?proza/gogol/dushi.txt&page=25} 
%Н.В.Гоголь. Мертвые души. Глава 7. (1842) %cite05
\url{http://archive.org/stream/deadsoulsgog00gogouoft/deadsoulsgog00gogouoft_djvu.txt}
THE WORKS OF NIKOLAY GOGOL. DEAD SOULS. VOL. I. Translated by Constance Qarnett.. Digitized by the Internet Archive in 2007
% with funding from IVIicrosoft Corporation.
{\em .. Happy is the traveller who, after a long and weari-some journey.. }
\JP{%\small 
\renewcommand\baselinestretch{.2}
\baselineskip 1pt %\em 
.. Happy is the traveller who, after a long and weari-some journey with its cold and sleet, mud, postingstation superintendents waked out of their sleep, jingling bells, repairs, disputes, drivers, blacksmiths and all sorts of rascals of the road, sees at last the familiar roof with its lights flying to meet him. And there rise before his mind the familiar rooms, the delighted outcry of the servants running out to meet him, the noise and racing footsteps of his children, and the soothing gentle words interspersed with passionate kisses that are able to efface everything gloomy from the memory. Happy the man with a family and nook of his own, but woe to the bachelor ! \\
Happy the writer who, passing by tedious and repulsive characters that impress us by their painful reality, attaches himself to characters that display the loftiest virtues of humanity, who, from the great whirlpool of human figures flitting by him daily, has selected only the few exceptions, who has never tuned his lyre to a less exalted key, has never stooped from his 
pinnacle to his poor, insignificant fellow-creatures, but without touching the earth has devoted himself entirely to his elevated images that are utterly remote from it. His fair portion is doubly worthy of envy ; he lives in the midst of them as in the midst of his own family ; and, at the same time, his fame resounds far and wide. He clouds men's vision with enchanting incense; he flatters them marvellously, covering up the gloomy side of life, and exhibiting to them the noble man. All run after him, clapping their hands and eagerly following his triumphal chariot. \\
They call him a great world-famed poet, soaring high above every other genius as the eagle soars above the other birds of the air. Young ardent hearts are thrilled at his very name ; responsive tears gleam in every eye. . . . No one is his equal in power — he is a god ! But quite other is the portion, and very different is the destiny of the writer who has the temerity to bring to the surface what is ever before men's sight and  is unseen by their indifferent eyes — all the terrible overwhelming mire of trivialities in which our life is entangled, all that is hidden in the often cold, petty everyday characters with which our bitter and dreary path through life swarms, and with the strong hand of a relentless sculptor dares to present them bold and distinct to the gaze of all ! It is not for him to receive the applause of the people, it is not his lot to behold the grateful tears and single-hearted rapture of souls stirred by his words ; no girl of sixteen, with her head turned, flies to meet him with heroic enthusiasm. It is not his lot to lose himself in the sweet enchantment of sounds he has himself evoked. And lastly, it is not his lot to escape the contemporary critic, the hypocritical callous contemporary critic, who will call his cherished creations mean and insignificant, will assign him an ignoble place in the ranks of writers who have insulted humanity, will attribute to him the qualities of his heroes, will strip him of heart and soul and the divine fire of talent. For the contemporary critic does not recognise that the telescope through which we behold the sun and the microscope which unfolds to us the movements of unnoticed insects are equally marvellous. For the contemporary critic does not recognise that great spiritual depth is needed to light up a picture of ignoble life and transform it into a gem of creative art. For the contem-porary critic does not admit that the laughter of lofty delight is worthy to stand beside exalted lyrical emotion, and that there is all the world of difference between it and the antics of clowns at a fair ! All this the critic of to-day does not admit, and he will turn it all into the censure and dishonour of the unrecognised writer. Without sympathy, without response, without compassion, he is left by the roadside like the traveller without a family. Hard is his lot and bitterly he feels his loneliness. ..}%JP

\bibitem{fatou}
\url{http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1919__47__161_0}\\
 P. Fatou. Sur les équations fonctionnelles. Bulletin de la Société Mathématique de France, 47 (1919), p. 161-271. %cite06
 
 \bibitem{acker}
\url{http://www.springerlink.com/content/px2g58k5j3q45535/}\\
Wilhelm Ackermann. Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen.  %MATHEMATISCHE ANNALEN
Mathematische Annalen {\bf 99}, Number 1(1928), Z.118-133. %cite07

 \bibitem{bulga} 
%\url{http://vehi.net/mbulgakov/master/24.html} \\
%Михаил Булгаков. Мастер и Маргарита. Глава 24. Извлечение Мастера. { \em    .. Рукописи не горят. ..} (1928, 1940, 1967).
\url{http://www.masterandmargarita.eu/estore/pdf/eben001_mastermargarita_glenny.pdf}
Mikhail Bulgakov. The Master and Margarita. Translated from the russian by Michael Glenny. Collins and Harvill Press, London, 1967.
Chapter 24. The Master is Released.  .. {\em Manuscripts don't burn.} ..
%cite08  newpage

\bibitem{boy}
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/File:Boy_on_snow_sled,_1945.jpg} Father of JGKlein. Boy on snow sled, 1945. %cite09

\bibitem{kneser}
\url{http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002175851} ~
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/Relle.pdf} 
Hellmuth Kneser. Reelle analytische L\"osungen der Gleichung $\phi(\phi(x))=e^x$. Equationes Mathematicae, Journal fur die reine und angewandte Mathematik {\bf 187} 56–67 (1950) %cite10

\bibitem{szekeres}
\url{http://link.springer.com/article/10.1007\%2FBF02559539} 
%\url{http://link.springer.com/article/10.1007\%2FBF02559539#page-1}
G.Szekeres. Regular iteration of real and complex functions. Acta Mathematica
1958, Volume 100, Issue 3-4, pp 203-258. %cite11

\bibitem{wright} \url{http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183523043}
E.M.Wright. Solution of the equation $ze^z=a$. Bulletin of the American Mathematical Society {\bf 65}, p.89-93 (1959). %cite12

\bibitem{gr}
%И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений — 4-е издание. — М.: Наука, 1963. 
%{\small
%\url{http://books.google.co.jp/books/about/Таблицы_интегралов_су.html?id=OxAbAQAAIAAJ&redir_esc=y}
%\\
%(авторы команды $\backslash$url$\{..\}$ считают, что именно такое представление урля  удобно для читателей)}
%cite13
\url{http://www.mathtable.com/gr/} Gradshteyn and Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. (Many editions)

\bibitem{ponedelnik} %cite14
%\url{http://litvinovs.net/pantry/migunov_monday_begins_on_saturday/} Евгений Мигунов. «Понедельник начинается в субботу» в иллюстрациях. 1965, 1979.
%\url{http://ru.wikipedia.org/wiki/Понедельник_начинается_в_субботу}
%{\em .. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. ..}
%\url{http://worldtracker.org/media/library/English%20Literature/S/Strugatsky,%20Arkady%20&%20Boris/Arkady%20&%20Boris%20Strugatsky%20-%20Monday%20begins%20on%20Saturday.pdf}
\url{http://aldaniel.narod.ru/strmbs.htm}
MONDAY BEGINS ON SATURDAY by Arkadi \& Boris Strugatski.
Translated by Leonid Renen.
DAW BOOKS, INC. DONALD A. WOLLHEIM, PUBLISHER
1301 Avenue of the Americas,  New York, N. Y. 10019
ENGLISH TRANSLATION copyright © 1977
{\em .. It's nonsense to look for  a solution if it already exists.  We are talking about
how to  deal with a  problem that has no solution. ..}

\bibitem{erofeev} 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Petushki}\\
%В.Ерофеев. Москва-Петушки. 1967. % Глава 20: Электроугли — 43-й километр.
%{\em Почему-то в России никто не знает, отчего умер Пушкин..  
%Вставай! Иди умойся и садись дописывать свою божественную оперу «Хованщина»}..%cite15
\url{http://books.google.co.jp/books?id=9B7aarMNw4AC&q=opera#v=snippet&q=opera&f=false}
Venedikt Erofeev. Moscow to the end of the line. (Moskva-Petushki)
Publisher:	New York : Taplinger Pub. Co., 1980, p.80: .. Get up.
Go wash yourself and finish your divine opera {\em Khovanshina!}.

\bibitem{stru}
\url{http://www.rusf.ru/abs/books/sot-201.htm}\\
А.Н.Стругацикй, Б.Н.Стругацкий. Сказка о тройке - 2. 1968 {\em Лифт должен выдерживать прямое попадание в кабину самого необученного академика.} 
In Russian. English translation:
\url{http://royallib.com/read/Strugatsky_Arkady/Tale_of_the_Troika.html}  Tale of the Troika by Arkady and Boris Strugatsky. PROLOG.
{\em "..Our slogan is ‘elevators for everyone.’ No matter who. The elevator must be able to withstand the entrance of the least-educated academician.”}

\bibitem{ecale}
\url{http://mathdoc.emath.fr/PMO/PDF/E_ECALLE_67_74_09.pdf}
Jean Ecalle. Teorie des Invariants Holomorphes.  Universite Paris XI U.E.R. Mathematique 91405 ORSAY France (1974) %cite17

\bibitem{IRENE}
%\url{http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_803.htm}\\
%М.Абрамовиц, И.Стегун. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979.
%(Английская версия доступна онлине.) %cite18
%\url{http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf}
\url{http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_803.htm}
Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions. 
Author	Milton Abramowitz and Irene Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,
Publisher	United States Department of Commerce, National Bureau of Standards (NBS), 1964. p.803: Zeta function.

\bibitem{pomeau}\url{http://link.springer.com/article/10.1007/BF01197757#page-1} ~ 
Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent Transition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems.
Communications in Mathematical Physics, 1980, v.74, p.189.%cite19

\bibitem{Eckmann81}
\url{http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Eckmann81.pdf}\\
\url{http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v53/i4/p643_1}\\
J.-P. Eckmann. Roads to turbulence in dissipative dynamical systems. Rev. Mod. Phys. 53, 643–654 (1981). %cite20

\bibitem{L3}%cite21
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/003040188590330X}
{%\em 
Hnilo A. A.} Chaotic (as the logistic map) laser cavity. Optics Communications {\bf 53}. (1985). P.194-196. %cite21

\bibitem{L2} %cite22
%\url{http://www.phy.duke.edu/research/photon/qelectron/pubs/AdvancesAMO54_615_2007.pdf}
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1049250X06540108}
{%\em
Illing L., Gauthier D.J., Roy R.}
Controlling optical chaos, spatio-temporal dynamics, and patterns.
Advances in atomic, molecular and optical physics. {\bf 54}, (1987). P. 616-797. %cite22

\bibitem{klavanur} 
%\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/klavanur.shtml}  Д.Кузнецов. Клава и Нюра. (1989, in Russian) %cite23
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Klava_and_Nura}  (1989; English translation 2016)

\bibitem{walker} %cite24
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022247X9190029Y}
Peter L Walker, On the solutions of an abelian functional equation, Journal of mathematical
analysis and applications 155 (1991), 93–110.

\bibitem{L1992}%cite25
%Tufillaro, Nicholas; Tyler Abbott, Jeremiah Reilly 
{\em Tufillaro N., Tyler A., Jeremiah R.} 
An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. 1992. NY. 
%Addison-Wesley New York. ISBN 0-201-55441-0.

\bibitem{walter} \url{http://www.ams.org/journals/bull/1993-29-02/S0273-0979-1993-00432-4/S0273-0979-1993-00432-4.pdf}
W.Bergweiler. Iteration of meromorphic functions. Bulletin (New Series) of the American Mathematical society, v.29, No.2 (1993) p.151-188.%cite26

\bibitem{shapiro} %cite27
\url{http://www.math.msu.edu/~shapiro/Pubvit/Downloads/RieszExpo/RieszExpo.pdf}
Joel H. Shapiro. Composition Operators and Schr\"oder’s Functional Equation. Contemporary Mathematics 213 (1998), 213–228.

\bibitem{edua}
\url{http://elibrary.ru/item.asp?id=14996367} \\
%http://www.maik.rssi.ru/cgi-bin/search.pl?type=abstract&name=optics&number=10&year=99&page=594
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/gomez.pdf}
D.Kouznetsov, E.Gomez. 
Self-Modulation of Optical Pulses in a Kerr Medium and Limits of the Single-Mode Approximation
%Kuznetsov D., Gómez E.
%Optics and Spectroscopy. 1999. Т. 87. № 4. С. 594-602.
%Automodulation of optical pulses and limits of single-mode approximation. 
%Russian version: Optica i Spectroscopia, 1999, v.87, No.4, pp.648-656. 
%English version: 
Optics and Spectroscopy, 1999, v.87, No.4, pp.594-602.

\bibitem{L2000}%cite28
%Strogatz, Steven (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0453-6.
{\em Strogatz S.} Nonlinear Dynamics and Chaos. NY, 2000. 
%Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0453-6.

\bibitem{keller1} \url{https://edit.ethz.ch/ulp/publications/paper/2001/152__APB_73__653__2001_.pdf}\\
R.Paschotta, U.Keller. Passive mode locking with slow saturable absorbers. Appl. Phys. B 73, 653–662 (2001) %cite29

\bibitem{L2003} %cite30
%Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.
{\em Sprott J. C.} Chaos and Time-Series Analysis. Oxford 2003. %cite30

\bibitem{slab1} %cite31
\url{http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=1278604}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ieee3.pdf}
D.Kouznetsov, J.V.Moloney. Highly efficient, high gain, short wavelenght and power scalable incoherent diode slab-pumped fibre laser amplifier. -- IEEE Journal of Quantum Electronics, v.39, No.11, p.1452-1461 (2003).

\bibitem{slab2} %cite32
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/01278604.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/01278604.pdf} ~
D.Kouznetsov, J.V.Moloney. Slab delivery of incoherent pump light to double-clad fibre amplifiers: An analytic approach. -- IEEE Journal of Quantum Electronics, 2004, v.40, Issue 4, p.378-383.

\bibitem{slab3}  %cite33
%\url{http://tori.ils.uec.ac.jp/PAPERS/ieee3.pdf} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ieee3.pdf} \\
P.Kano, D.Kouznetsov, J.V.Moloney, M.Brio. Slab delivery of incoherent pump light to double-clad fibre amplifiers: Numerical simulations. -- IEEE Journal of Quantum Electronics, 2004, v.40, No.9, p.1301-1305.

\bibitem{keller2} \url{http://www.ulp.ethz.ch/publications/paper/2004/200__APB_79__331__2004_.pdf}
M.Haiml, R.Grange, U.Keller. Optical characterization of semicondutcor saturable absorbers. Appl.Phys. B 79, 331-339 (2004)  %cite34

\bibitem{kandi}
\url{http://ofvp.phys.msu.ru/pdf/Kandidov_70.pdf} В.М.Гордиенко, В.К.Новик. О времени и факультете, о кафедре и о себе... 70-ти летие профессора В.П.Кандидова. (2007.12.05, In Russian). 
\footnote{
{\em По итогам студенческого голосования победителями оказались значок с изображением рычага, поднимающего Землю, и нынешний с хорошо известной эмблемой в виде корня из факториала, вписанными в букву Ф. Этот значок, созданный студентом кафедры биофизики А.Сарвазяном, привлекал своей простотой и выразительностью. Тогда эмблема этого значка подверглась жесткой критике со стороны руководства факультета, поскольку она не имеет физического смысла, математически абсурдна и идеологически бессодержательна. Уступая просьбам комсомольцев, партком (профессор А.И.Кузовников) согласился на то, чтобы значок выпустить малой серией, только на один год, с тем, чтобы в дальнейшем создать настоящий символ для студентов факультета. Сейчас, как не парадоксально, эмблема первого значка вошла в официальный бланк и печать факультета.}\\
English translation:\\
{\em According to the results of the student vote, winners were the icon with the image of the lever, raising the Earth, and the current from the well-known emblem of the root of factorial, inscribed in the letter $\Phi$. This icon is created by the student  Department of Biophysics, A.Sarvazyanom; it is attracted by its simplicity and expressiveness. Then the icon emblem has undergone harsh criticism from the Faculty of management, since it has no physical meaning, mathematically absurd and ideologically vacuous. Yielding to the requests of the Komsomol, the party committee (Professor A.I.Kuzovnikov) agreed that the icon to release a series of small, only one year, so that in the future to create a real symbol for the Faculty students. Now, paradoxically, the emblem of the first icon was included in the official form and faculty printing. ..}
}

\bibitem{sado}
\url{http://www.nkj.ru/archive/articles/1023/} В.Садовничий. ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! Наука и жизнь, 2005, номер 1. (In Russian)

\bibitem{akira0} %cite35
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/CoupledOptRev.pdf} 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/CoupledOptRev.pdf}\\
D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, A.Shirakawa, K.Ueda. Limits of coherent addition of lasers: simple estimate. -- Optical Review, 2005, v.12, No.6 (2005) 445-447.

\bibitem{thin}  %cite36
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2005josab.pdf} %article;
D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, K.Takaichi, K.Ueda. High-power single mode solid state laser with short unstable cavity. JOSA B, v.22, Issue 8, p.1605-1619 (2005).
\bibitem{thine}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2005josaber.pdf} Ibid: Erratum.  %cite37

\bibitem{fidi2} \url{http://www.nature.com/nphoton/journal/vsample/nsample/full/nphoton.2006.6.html}
Hamamatsu Photonics K.K. Laser group. The fibre Disk Laser explained.
Nature Photonics sample, - pp14 - 15 (2006).% doi:10.1038/nphoton.2006.6
 %cite38
 
%\url{http://jap.aip.org/resource/1/japiau/v92/i1/p180_s1} R.S.Quimby. Range of validity of McCumber theory in relating absorption and emission cross sections J. Appl. Phys. 92 p.180–187 (2002)
%\url{http://josab.osa.org/abstract.cfm?id=97826} R.M.Martin, R.S.Quimby. Experimental evidence of the validity of the McCumber theory relating emission and absorption for rare-earth glasses JOSAB 23 p.1770–1775 (2006)
%\url{http://josab.osa.org/abstract.cfm?id=84730} D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, K.Takaichi, K.Ueda. Single-mode solid-state laser with short wide unstable cavity JOSAB 22 p.1605–1619 (2005)
\bibitem{perpe1}
\url{http://apl.aip.org/resource/1/applab/v88/i22/p221117_s1} Wenxue Li, Haifeng Pan, Liang’en Ding, Heping Zeng, Wei Lu, Guangjun Zhao, Chengfeng Yan, Liangbi Su, and Jun Xu. Efficient diode-pumped $\rm Yb:Gd_2 Si O_5$ laser. Appl.Phys.Lett. v.88, 221117 (2006)

\bibitem{perpe2}
\url{http://dx.doi.org/10.1364/OE.14.006681} Wenxue Li, Shixiang Xu, Haifeng Pan, Liangen Ding, Heping Zeng, Wei Lu, Chunlei Guo, Guangjun Zhao, Chengfeng Yan, Liangbi Su, and Jun Xu. Efficient tunable diode-pumped Yb:LYSO laser. Optics Express, Vol. 14, Issue 15, pp. 6681-6686 (2006), doi 10.1364/OPEX.14.000686

\bibitem{perpe3}%43
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0038109805010094}\\
\url{http://210.72.9.5:8080/thesis/2006/2/17/142414.pdf} C.Yan, G.Zhao, L.Zhang, J.Xu, X.Liang, D.Juan, W.Li, H.Pan, L.Ding, H.Zeng. A new Yb-doped oxyorthosilicate laser crystal: $\rm Yb: Gd_2 Si O_5$. Solid State Comm. v.137, 451-455 (2006)

\bibitem{perpe4}%44
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/ApplPhysLett_90_066101.pdf} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ApplPhysLett_90_066101.pdf} D. Kouznetsov. Comment on Efficient diode-pumped Yb:Gd2SiO5 laser. Appl.Phys.Lett.88,221117(2006). %APL, v.90, p.066101 (2007)

\bibitem{perpe5}%45
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2007mc.pdf} D.Kouznetsov. Broadband laser materials and the McCumber relation. Chinese Optics Letters v.5, p.S240–S242 (2007)

\bibitem{perpe6}%46
\url{http://apl.aip.org/resource/1/applab/v90/i6/p066103_s1} G.Zhao. Response to Comment on Efficient diode-pumped Yb:Gd2SiO5 laser. Appl. Phys. Lett. v.90, 066101 (2007) %APL 90 p.066103 (2007)

\bibitem{BissonEffect}%47
\sx{.96}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ApplPhysLett_90_201901.pdf}}
J.-F.Bisson, D.Kouznetsov, K.Ueda, S.T.Fredrich-Thornton, K.Petermann, G.Huber. Switching of emissivity and photoconductivity in highly doped Yb3+:Y2O3 and Lu2O3 ceramics. -- Applied Physics Letters, 90, 201901 (2007) ; doi:10.1063/1.2739318

\bibitem{hooshmand}  %48
\url{http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10652460500422247} 
M.H.Hooshmand. Ultra power and ultra exponential functions. Integral Transforms and Special Functions, 2006, 17 (8): 549–558. %doi:10.1080/10652460500422247.

\bibitem{bisson}  %49
\sx{.98}{\url{http://apl.aip.org/resource/1/applab/v90/i20/p201901_s1}}
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/ApplPhysLett_90_201901.pdf}\\
\sx{.92}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ApplPhysLett_90_201901.pdf}}
%{\small \url{http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=APPLAB000090000020201901000001&idtype=cvips&gifs=yes}}\\
J.-F.Bisson, D.Kouznetsov, K.Ueda, T.Fredrich-Thornton, K.Petermann, G.Huber. Switching of emissivity and photoconductivity in highly doped Yb3+:Y2O3 and Lu2O3 ceramics. -- Applied Physics Letters, 90, 201901 (2007).%; doi:10.1063/1.2739318

\bibitem{tea} %50
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Maple_and_tea}
\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/maple.shtml}\\
\url{http://en.wikisource.org/wiki/Maple_and_Tea}\\
D.Kouznetsov. Maple and Tea. (2007)
%(Извините, пока нет русской версии, только по-английски)

\bibitem{kandidov} \url{http://ofvp.phys.msu.ru/pdf/Kandidov_70.pdf}\\
В.М.Гордиенко, В.К.Новик. О времени и факультете, о кафедре и о себе...
70-ти летие профессора В.П.Кандидова. (2007.12.05, in Russian) %51

\bibitem{gac} %52
%\url{http://th-www.il.uj.edu.pl/acta/vol39/abs/v39p1019.pdf}
\url{http://inis.iaea.org/search/search.aspx?orig_q=RN:39069239}
J.M.Gac, J.J.Zebrowski. Giant suppression of the activation rate in dynamical systems with chaotic transitions.
%GIANT SUPPRESSION OF THE ACTIVATION RATE IN DYNAMICAL SYSTEMS EXHIBITING CHAOTIC TRANSITIONS.
Acta Physica Polonica B, 2008, v.39, p.1019. 

\bibitem{analuxp} %53
\url{http://www.ams.org/mcom/2009-78-267/S0025-5718-09-02188-7/home.html}\\
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009analuxpRepri.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2009analuxpRepri.pdf}\\
D.Kouznetsov. Analytic solution of F(z+1)=exp(F(z)) in complex z-plane. Mathematics of Computation {\bf 78} (2009), 1647-1670.

\bibitem{L1} %54 WHY \sx{\url{..}} fails below??
%\url{http://resources.metapress.com/pdf-preview.axd?code=fj3w2p2675vh7q37&size=largest}
{\url{http://link.springer.com/article/10.3103/S1068335609050054#page-1}}
{Gorbuklov M.V., Maslova Yu.Ya., Chaban O.I., Shabalin Yu.V.}
Period doubling cascade and deterministic chaos in a laser self-mode-locked by the combination of intertial negative and positive feedbacks.
Bulletin of the Lebedev Physics Institute, {\bf 36}. No.5. (2009). P.150-156.   
%~ Russian original: {Горбунков М.В., Маслова Ю.Я., Чабан О.И., Шабалин Ю.В.} Краткие Сообщения по физике, {\bf 36}. N.5. (2009). P.150-156.

\bibitem{L2009} %cite46
\url{http://www.springerlink.com/content/d73u677140l3j826/}\\
{Bjerkl\"ov K.}
%Strange Nonlinear Attractors in the quasi-periodic family.
SNA’s in the Quasi-Periodic Quadratic Family
Communications in Mathematical Physics. {\bf 286}. 2009. P.137--161
\JP{
SNA’s in the Quasi-Periodic Quadratic Family
Journal Communications in Mathematical Physics
Publisher       Springer Berlin / Heidelberg
ISSN    0010-3616 (Print) 1432-0916 (Online)
Issue   Volume 286, Number 1 / February, 2009
DOI     10.1007/s00220-008-0626-y
Pages   137-161
Subject Collection      Physics and Astronomy
SpringerLink Date       Tuesday, September 09, 2008
}%

\bibitem{topology} \sx{.9}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Lesson_of_quantum_topology}}
% \url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/lessontopo.shtml}\\
%Д.Кузнецов. Урок квантовой топологии. 2009. %cite47

\bibitem{elutin} %57
\EN{ {Elutin P. V.}
The holomorphic extension of the logistic mapping is ambitious program...
The continual generalization of the logistic mapping will worth your time and efforts, if you can reveal the model
that gives the law of the evolution $F(t)$ - or determine the characteristics $F(t)$, boundaries of the time derivatives). - Private communication, Oct 9, 2009 5:32 PM.}%
\RU{ {\em Елютин П. В.} 
Думаю, задача, понятая как ``КОНТИНУАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ'', будет стоить Ваших усилий и времени, если удастся выявить модель, порождением которой является закон движения $X(t)$ - или определить континуальные характеристики $X(t)$ (например, границы значений производных по времени).
Частное сообщение, Oct 9, 2009 5:32 PM.}\RU

\bibitem{physmat} %58
\url{http://iopscience.iop.org/1742-6596/237/1/012016/pdf/1742-6596_237_1_012016.pdf}\\
P.G.L.Leach and M.C.Nucci. Point and counterpoint between Mathematical Physics and Physical Mathematics.
Journal of Physics: Conference Series {\bf 237} (2010) 012016.
%       doi:10.1088/1742-6596/237/1/012016

\bibitem{euclid} \url{https://projecteuclid.org/euclid.jpm} The Journal of Physical Mathematics is a scholarly, peer-reviewed, and fully refereed journal dedicated to publishing high-quality research articles and selected review articles in the fields of physically motivated mathematics and mathematical methods of physics. //
The Journal of Physical Mathematics was published by Ashdin Publishing until 2013. Beginning in 2017, this journal will no longer be included in Euclid Prime or distributed by Project Euclid. 

\bibitem{sqrt2} %cite60
%\sx{.662}
\url{http://www.jointmathematicsmeetings.org/journals/mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/S0025-5718-10-02342-2.pdf}
\url{http://www.ams.org/journals/mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/home.html} 
\url{http://eretrandre.org/rb/files/Kouznetsov2009_215.pdf}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010q2.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010q2.pdf}\\
D.Kouznetsov, H.Trappmann. Portrait of the four regular super-exponentials to base sqrt(2). Mathematics of Computation, 2010, v.79, p.1727-1756.

%\bibitem{facr} %cite51
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010superfar.pdf}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010superfar.pdf}\\
%Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень из факториала.
%Вестник Московского Университета, серия 3 , No.1 (2010), стр.1-14.\\
\bibitem{facit} %cite51
\url{http://www.springerlink.com/content/qt31671237421111/fulltext.pdf?page=1} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010superfae.pdf}
D.Kouznetsov, H.Trappmann. Superfunctions and square root of factorial. Moscow University Physics Bulletin, 2010, v.65, No.1, p.6-12

\bibitem{vladir}  %cite52
\url{http://www.emis.ams.org/journals/VMJ/articles/2010_2_4.pdf}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2009vladir.pdf}  
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009vladir.pdf}
Д.Кузнецов. Тетрация как специальная функция. Владикавказский математический журнал, 2010, т.12, вып. 2, стр.31-45. 
(In Russian. See the English version below.)

\bibitem{vladie}  %cite53
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010vladie.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010vladie.pdf} ~
D.Kouznetsov. Tetration as special function. Vladikavkaz Mathematical Journal, 2010, v.12, issue 2, p.31-45. 

\bibitem{factorial}%cite54
\url{http://www.springerlink.com/content/qt31671237421111/fulltext.pdf?page=1}
%Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень из факториала. 
D.Kouznetsov, H.Trappmann. Superfunctions and square root of factorial. Moscow University Physics Bulletin, 2010, v.65, No.1, p.6-12. 
(Russian version: Вестник Московского Университета, серия 3, 2010 No.1, стр.8-14.)

\bibitem{bitbucket} %65
\sx{.96}{\url{http://cdn.bitbucket.org/bo198214/bunch/downloads/main.pdf}} H.Trappmann, D.Kouznetsov. 5+ methods for real analytic tetration. June 28, 2010.

\bibitem{ufn}%cite66
\url{http://ufn.ru/tribune/trib120111} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Place_of_science_in_the_human_knowledge}
Д.Кузнецов. Место науки и физики в человеческом знании. УФН, т.181 ``Трибуна'', стр.1-9 (2010, In Russian. See the English version below).
%English translation: D.Kouznetsov. Place of science and physics in human knowledge.

\bibitem{mesto} %cite67
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Mestoe}\\
D.Kouznetsov. Place of science in human knowledge. (2011)

\bibitem{logistic}%78
%\sx{.99}{\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010logistir.pdf}}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010logistir.pdf}\\
%Д.Ю.Кузнецов. Континуальное обобщение логистического отображения. Вестник Московского Университета, серия 3 (2010) No.2, стр.23-30. 
\sx{.99}{\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010logistie.pdf}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010logistie.pdf}\\
D.Kouznetsov. Continual generalisation of the Logistic sequence. Moscow State University Physics Bulletin, 3 (2010) No.2, стр.23-30. 

\bibitem{mizugadronumber} 
%\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml} Д.Кузнецов. Число Мизугадро. (2010)%cite58
\url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/mizugade.shtml} D.Kouznetsov. Mizugadro's number. (2010)\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Mizugadro_number_dream} 

\bibitem{yoneda} H.Yoneda. Recovery of intensity inside the amplifier from its transfer function is impossible. Private communication, 2010. %cite59

%\bibitem{kaminski} А.Каминский. Нет смысла анализировать передаточную функцию усилителя, не указав конкретную модель для активной среды. Частное сообщение, 2011. %cite60
\bibitem{kaminski} A.Kaminskii. 
There is no sense to analyse the transfer function of the amplifier without to specify the model for the active medium. Private communication,
2011. %cite60

%\bibitem{smile} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/smile.shtml}\\ Д.Кузнецов. Улыбка. 07/10/2011.%cite61

%\bibitem{lomodrev} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lomodrev.shtml}. Д.Кузнецов. Директорство Ломодрева. 2011.

%\bibitem{bereza}  A. Shirakawa: It is not possible to reconstruct the intensity inside the amplifier just from its transfer function. Private communication, 2011. %cite62

\bibitem{uniabel}%cite63
\url{http://www.springerlink.com/content/u7327836m2850246/}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2011uniabel.pdf}\\
%\url{http://tori.ils.uec.ac.jp/PAPERS/2011uniabel.pdf}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2011uniabel.pdf} \\
H.Trappmann, D.Kouznetsov. Uniqueness of Analytic Abel Functions in Absence of a Real Fixed Point. Aequationes Mathematicae, v.81, p.65-76 (2011)

\bibitem{akira1} A.Shirakawa. It is not possible to reconstruct the intensity inside the amplified just from its transfer function.
Private communication, 2011.%cite64

\bibitem{akira2} A.Shirakawa. The formalism of superfunctions is too complicated and therefore cannot be used.
Private communication, 2012.10.09.%cite65

\bibitem{kur}%cite66
%\url{http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/dynsyst/Iteration%20of%20sin(x).pdf
\url{http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/dynsyst}\\
Kursernas Hemsidor. Introduction to Dynamical Systems. 2012.  
%The course treats fundamental notions in the theory of discrete-time dynamical systems..
Derivation of Niclas Carlsson's formula. Let function $f(x)$ be $sin(x)$. 
We want to evaluate, approximately .the value of the n-th iterate of $f(x)$. 
Niclas Carlsson obtained empirically the following formula $f^n(x)\approx \sqrt{\frac{3}{n}}$, $x\approx 1$, $n$ large .. If the formula is correct it will take $3 \cdot\! 10^{10}$.. steps to reach 0.00001 starting from 1. ..After 60000 iterations the value is 0.0071 and the discrepancy  -4.7323e-007. 
 
\bibitem{car} 
%\url{http://server.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html}
\url{http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html}
Thomas Curtright. Continuous iterates continue to be interesting, after 150 years of study. (2011-2013)
As a first illustration, we display the continuous iterates of the sine function, $\sin_{[t]}(x)$. Note that the maximum values at $x = \pi/2$ are approximately given by $\exp[(1-\sqrt{t}) \ln(\pi/2)]$.%cite67

\bibitem{fizmat} %Л. С. СЫЧЕВА.«ФИЗИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА» АРХИМЕДА, ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И МЕХАНИЗМЫ НОВАЦИЙ В МАТЕМАТИКЕ. %ΣΧΟΛΗ Vol. 6. 2 (2012).
\url{http://www.nsu.ru/classics/schole/6/6-2-sych.pdf} 
Л.С.Сычева. Физическая математика Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике. Школа, том 6, номер 2 (2012, in Russian).%cite68

\bibitem{e1e}%cite69
\url{http://www.ams.org/journals/mcom/0000-000-00/S0025-5718-2012-02590-7/S0025-5718-2012-02590-7.pdf}
% Journal version (the registration may be required), or 
%\sx{.914}{\url{https://bitbucket.org/bo198214/e1e/raw/64beab23fa73/main.pdf}}
\sx{.96}{\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2012e1eMcom2590.pdf}}
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2011e1e.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012e1eMcom2590.pdf} ~
H.Trappmann, D.Kouznetsov. Computation of the Two Regular Super-Exponentials to base exp(1/e). Mathematics of Computation, 2012,
{\bf 81},
% February 8.
p.2207-2227.
%ISSN 1088-6842(e) ISSN 0025-5718(p) 

%\bibitem{tania} 
%\bibitem{2012transfer} 
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2012transfer.pdf}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012transfer.pdf}  
%D.Kouznetsov.  Transfer function of an amplifier and characterization of Materials. (Preprint ILS, 2012)

\bibitem{kvashenko}%cite70
\url{http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html} Квашенко Андрей Николаевич. Драконы. (2007-2013, in Russian)

\bibitem{unichtozheniepr}%80
%\sx{.36}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013physToday.pdf}
D.Kouznetsov. Corruption in Russian science. Preprint, 2013.

\bibitem{unichtozhenie}%81
{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Destruscir}}
Д.Кузнецов. Уничтожение науки в РФ. (Russian version)

\bibitem{2013jmp}%cite82
\sx{.88}{\url{http://www.scirp.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=36560}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013jmp.pdf} \\ 
D.Kouznetsov. TORI axioms and the applications in physics. Journal of Modern Physics, 2013, v.4, p.1151-1156.

\bibitem{thailand}%cite83
\url{http://www.ingentaconnect.com/content/asp/asl/2013/00000019/00000003/art00071}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012thaiSuper.pdf}\\
D.Kouznetsov. Recovery of Properties of a Material from Transfer Function of a Bulk Sample (Theory). Advanced Science Letters, Volume 19, Number 3, March 2013, pp. 1035-1038(4).

\bibitem{2013or}%\bibitem{superlaser}%cite74
\sx{.94}{\url{http://link.springer.com/article/10.1007/s10043-013-0058-6}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013or2.pdf}
D.Kouznetsov. Superfunctions for amplifiers. Optical Review, July 2013, V. 20, Issue 4, p. 321-326. 

\bibitem{log}%cite75
\url{http://arxiv.org/abs/1008.1409v2}
Henryk Trappmann. The Intuitive Logarithm. October 14, 2013.

\bibitem{guess}%cite76
Michael Moldenhauer. Question about tetration method. Private communication, Sat, 9 Nov 2013 01:11:53 -0800 (PST).
{\em ..how did you come up with the high-quality initial approximation fit\_3 mentioned in your paper about
the tetrational function? }

\bibitem{sutra}%cite77
\url{http://www.m-hikari.com/ams/ams-2013/ams-129-132-2013/kouznetsovAMS129-132-2013.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013hikari.pdf}\\
D.Kouznetsov. Entire function with logarithmic asymptotic. Applied Mathematical Sciences, 2013, v.7, No.131, p.6527-6541. 

\bibitem{pentation}
\url{http://www.sciencepublishinggroup.com/journal/paperinfo?journalid=147&doi=10.11648/j.acm.20140306.14}
Dmitrii Kouznetsov. Evaluation of Holomorphic Ackermanns.
Applied and Computational Mathematics 
Volume 3, Issue 6, December 2014, Pages: 307-314 
%Received: Nov. 21, 2014; Accepted: Dec. 17, 2014; Published: Dec. 27, 2014
%Views 1611      Downloads 141

\bibitem{bonet}
\url{http://dx.doi.org/10.1007/s00020-014-2175-4}
%José Bonet, Paweł Domański.
Jose Bonet, Pawel Domanski.
%@ 0378-620X
%J Integral Equations and Operator Theory
%R 10.1007/s00020-014-2175-4
%T 
Abel’s Functional Equation and Eigenvalues of Composition Operators on Spaces of Real Analytic Functions.
Integral Equations and Operator Theory, 
Published online: 2014 August 19. 
%U http://dx.doi.org/10.1007/s00020-014-2175-4
%I Springer Basel
%8 2014-08-19
%K Primary 47B33
%K 46E10
%K 39B12
%K Secondary 47A15
%K 47A75
%K 39B22
%K 30D05
%K Spaces of real analytic functions
%K composition operator
%K eigenvalues and eigenvectors
%K spectrum
%K Abel’s functional equation
%K iteration semigroup
%K iteration root
%A Bonet, José
%A Domański, Paweł

\bibitem{susin}
\url{http://www.pphmj.com/references/8246.htm}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2014susinL.pdf} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2014susin.pdf}
D.Kouznetsov. Super sin. Far East Jourmal of Mathematical Science, v.85, No.2, 2014, pages 219-238.

\bibitem{paulsen2016}
%\url{http://kkms.org/index.php/kjm/article/view/428}
\url{http://kkms.org/index.php/kjm/article/view/428/302}
%William Paulsen.
W.Paulsen.
Finding the natural solution to f(f(x))=exp(x).
The Korean Journal of Mathematics, 2016,  Vol 24, No 1 (2016), p. 81-106.

\bibitem{paulsen}
\url{http://myweb.astate.edu/wpaulsen/tetration.html}
William Paulsen. Tetration is repeated exponentiation. (2016).
{\em The authors also devised a quick way of computing F(z) to 50 places of accuracy. From this, they could have Mathematica draw complex contour maps of the function F(z). For example, here is the contour map for the base b = 2: ..}

\bibitem{paulsengowgill}
\url{https://link.springer.com/article/10.1007/s10444-017-9524-1}
W.Paulsen. Solving $F(z \!+\! 1) = b^{F(z)}$ in the complex plane.
Advances in Computational Mathematics,  07 March 2017.

\bibitem{paulsenex}
\url{https://search.proquest.com/openview/cb7af40083915e275005ffca4bfd4685/1}
Cowgill, Samuel. Exploring Tetration in the Complex Plane. Arkansas State University, ProQuest Dissertations Publishing, 2017. 10263680.

\bibitem{wikiabel} \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_equation}

\bibitem{nest} \url{http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Nest.html}

\bibitem{conto.cin} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Conto.cin}

\bibitem{cz.conto.cin} \url{http://en.citizendium.org/wiki/Conto.cin}

%\bibitem{jokes} \url{http://n-t.ru/ri/fz/fz210.htm} Физики продолжают шутить. Инструкция для читателя научных статей. © НиТ. Раритетные издания, 1998. «... портативный...» (Снабжен двумя ручками).

\bibitem{science} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Science}

\bibitem{sciencer} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Hayka}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Наука} 
Наука

\bibitem{Hayka} \url{http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/hayka.shtml} Наука

%\bibitem{Cauchy} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Koshir}
\bibitem{Cauchy} \sx{.98}{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_integral_formula}}
%\url{http://ru.wikipedia.org/wiki/Интегральная_формула_Коши} 
%Интегральная формула Коши
% линк на статью в википедии занимает несколько строк 

\bibitem{toritet} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tetration}

\bibitem{cztet} \url{http://en.citizendium.org/wiki/Tetration}

\bibitem{tania} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania_function} \\
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Doya} ~
D.Kouznetsov. Tania function. 

\bibitem{doya} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Doya_function} \\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Doya} ~
%D.Kouznetsov. Doya function. 
%\url{http://tori.ils.uec.ac.jp/doya.htm} 

\bibitem{Keller} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Keller_function}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Keller} ~
%D.Kouznetsov. Keller function.

\bibitem{Shoka}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Shoka_function}\\ 
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Shoka} ~
%D.Kouznetsov. Shoka function.

\bibitem{collatz} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Holomorphic_extension_of_the_Collatz_subsequence}

\bibitem{LambertW} 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW}
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/LambertW}

\bibitem{LambertWm} \url{http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html}

\bibitem{LambertWs} \url{http://en.citizendium.org/wiki/Lambert_W_function}

\bibitem{LambertWw} \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function}

\bibitem{david} \url{http://www.orcca.on.ca/TechReports/TechReports/2000/TR-00-12.pdf}\\
Robert M. Corless, David J. Jeffrey. On the Wright $\omega$ function.

\bibitem{valerie}
\url{http://valerie.doya.free.fr/Doya_CV.html}
Valérie DOYA. Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex2, France. (2014)

\bibitem{bookworm}
\url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg}
Carl Spitzweg. The Bookworm. 1850.
\end{thebibliography}

\newpage
\pagestyle{empty}
~
\newpage
% Back cover
\pagestyle{empty}
\parindent 0pt 

\definecolor{darkblue}{cmyk}{1,1,0,0}
\definecolor{very}{cmyk}{1,1,0,0.5}
%\definecolor{bottom}{cmyk}{0,1,1,0}
\normalsize
\hskip -100pt
\sx{1.35}{\begin{picture}(400,510)
%\put(0,-100){\ing{cover0}}
%\put(44,266){\color{darkblue} \rule{360px}{260px}}
\put(0,260){\color{darkblue} \rule{500px}{290px}}
\put(30,394){ \sx{.92}{\begin{parbox}{412pt}  {\large \baselineskip 15pt \color{white} \sf 
\hyphenpenalty=100000
Tools for evaluation of superfunctions, abelfunctions and non-integer iterates of holomorphic functions are collected.
For a given transfer function T, the superfunction is solution F of the transfer equation F(z+1)=T(F(z)) . The abelfunction is inverse of F.
In particular, superfunctions of factorial, exponent, sin are suggested. Also, the holomorphic extensions of the logistic sequence and those of the Ackermann functions are considered. 
Among ackermanns, the tetration (mainly to the base b>1) and natural pentation (to base b=e) are presented. The efficient algorithm for the evaluation of superfunctions and abelfunctions are described. The graphics and complex maps are plotted. The possible applications are discussed.
Superfunctions significantly extend the set of functions that can be used in scientific research and technical design.
Generators of figures are loaded to the site TORI, http://mizugadro.mydns.jp for the free downloading. With these generators, the Readers can reproduce (and modify) the figures from the Book. The Book is intended to be applied and popular. I try to avoid the complicated formulas, but some basic knowledge of the complex arithmetics, Cauchy integral and the principles of the asymptotical analysis should help at the reading.
}\end{parbox}}}

%\put(144,70){\color{white} \rule{260px}{120px}}
\put(148,132){ \sx{.92}{\begin{parbox}{290pt}  {\large \baselineskip 12pt  {\bf Dmitrii Kouznetsov} \sf  \color{very}
\vskip 4pt
Graduated from the Physics Department of the
Moscow State University (1980). Work: USSR, Mexico, USA, Japan.
Century 20: Proven the\\
quantum stability of the optical soliton, suggested\\
the low bound of the quantum noise of nonlinear\\
amplifier, indicated the limit of the single mode\\
approximation in the quantum optics. Century 21:\\
Theory of ridged atomic mirrors, formalism of\\
superfunctions, TORI axioms. 

}\end{parbox}}}
%\put(30,50){\sx{.3}{\ing{359px-IMG_0712dima}}}
\put(30,50){\sx{.3}{\ing{dima}}}

\put(0,-74){\color{bottom} \rule{500pt}{40pt}}
\end{picture}}

\end{document}

%\end{document}
\newpage 
\pagestyle{empty}
\begin{picture}(300,440) \put(0,-200){\ing{cover2}} \end{picture}\\

\newpage
\pagestyle{empty}
\sx{1.4}{\begin{picture}(426,729)
%\put(-110,-80){\sx{1.4){\ing{coverview2}}}
%\put(-16,0){\ing{coverview2}}
\put(-64,140){\ing{coverview2}}
\put(426,0){\color{white}\rule{200px}{800px}}
\end{picture}}
\end{document}
