%\documentclass[12pt,]{book}
%\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{book} With this, at the printing, page numbers are a but cut.
\documentclass[12pt,oneside]{book} %hope, this is better.
\usepackage{geometry}
\paperheight 297mm
%\newcommand \EN[1] {{#1}}   	% make the English version
\newcommand \EN[1] {{}}    	% suppress the English version
\newcommand \RU[1] {{#1}}   	% make the Russian version (in this document not supported)
%\newcommand \RU[1] {{}}      	% suppress the Russian version
%The Japanese version is not yet supported. While \JP is used to suppress several lines at once.
\newcommand \JP[1] {{}}   	 % ореsuppress some text
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsbsy,graphicx}
\usepackage{rotating}
\usepackage{hyperref} 
\usepackage{wrapfig}
%\renewcommand\baselinestretch{.94}
%\renewcommand\baselinestretch{1.15}
\renewcommand\baselinestretch{1.2}
%\textwidth 175mm
\textwidth 150mm
\oddsidemargin 5mm
%\evensidemargin -16mm
\topmargin -17mm
%\topmargin -22mm
\textheight 257mm
\pagestyle{plain}
\large

\JP{
\textwidth 175mm
\textheight 250mm
\oddsidemargin 5mm
\evensidemargin -16mm
\topmargin -22mm
}

\usepackage{color}
\definecolor{rose}{rgb}{1,.9,1}
\renewcommand\thesection{\arabic{section}}
%renewcommand\refname{Список литературы} %This does not work 
\renewcommand\figurename{Рис.}

%\addtolength{\skip\footins}{10mm plus 2mm}
%http://my.safaribooksonline.com/book/graphic-design/0201362996/basic-formatting-tools/ch03lev1sec2
\addtolength{\skip\footins}{8pt}

%\renewcommand\refname{References}
%\renewcommand\figurename{Fig.}
%\allowdisplaybreaks
%\multlinegap10pt
% Команды автора: Author's commands
\newcommand \be {\begin{eqnarray}}
\newcommand \ee {\end{eqnarray} }
\newcommand \sx {\scalebox}
\newcommand \rme {{\rm e}}	 %%makes the base of natural logarithms Roman font 
%\newcommand \rme {{e}}	%%makes the base of natural logarithms Italics font; choose one of these
\newcommand \rmi {{\rm i}}	 %%imaginary unity is always roman font
\newcommand \ds {\displaystyle}
\newcommand \bN {\mathbb{N}}
\newcommand \bC {\mathbb{C}}
\newcommand \bR {\mathbb{R}}
\newcommand \cO {\mathcal{O}}
\newcommand \cF {\mathcal{F}}
\newcommand \rot {\begin{rotate}}
\newcommand \ero {\end{rotate}}
\newcommand \nS {\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
\newcommand \pS {{~}~{~}}
\newcommand \fac {\mathrm{Factorial}}
\newcommand {\rf}[1] {(\ref{#1})}
%\newcommand{\iL}[1] {~\label{#1}\pS \rm[#1]\nS}	%make the labels visible
\newcommand{\iL}[1] {\label{#1}}			%make the labels invisible; choose one of these options
\newcommand \eL[1] {\iL{#1}\ee}
\newcommand \ing \includegraphics
\newcommand \tet {\mathrm{tet}}
\begin{document}

\pagestyle{empty}
\setcounter{page}{2014}
%\pagestyle{empty}
\begin{picture}(426,729)
%\put(-510,-80){\sx{1.4){\ing{coverview2}}}
\put(-738,-64){\sx{1.4}{\ing{coverview2}}}
	\put(-100,320){\color{white}\rule{800px}{458px}}
%	\put(-86,420){\color{rose}\rule{800px}{560px}}
%\put(-90,0){\color{green}\rule{90px}{200px}}
\put(-96,480){\sx{.37}{\ing{tetma100}} }
%\put(458,380){\sx{.2726}{\ing{tetma}}
	\put(139,424){\sx{3}{\sf Дмитрий Кузнецов}}
	\put(66,354){\sx{5}{\sf Суперфункции }}
	\put(67,354){\sx{5}{\sf Суперфункции }}

%\put(-16,0){\ing{coverview2}}
%\put(-454,0){\ing{coverview2}}
%\put(-90,0){\color{white}\rule{90px}{800px}}
\JP{
	\put(457,274){\color{white}\rule{450pt}{327pt}}
	\put(458,380){\sx{.2726}{\ing{tetma}}}
	\put(649,344){\sx{2}{\sf Дмитрий Кузнецов}}
	\put(576,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
	\put(577,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
	\put(457,274){\color{white}\rule{450pt}{327pt}}
}
%	\put(3,274){\color{white}\rule{450pt}{327pt}}
%	\put(4,380){\sx{.2726}{\ing{tetma}}}  %
%	\put(4,380){\sx{.2726}{\ing{tetma050}}}  %
%	\put(155,344){\sx{2}{\sf Дмитрий Кузнецов}}
%	\put(72,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
%	\put(73,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
%\put(80,77){\sx{3}{\sf 2014}}
\put(70,40){\sx{4}{\sf 2014}}
%\put(180,-28){\sx{4}{\sf 2014}}
\end{picture}

%\url{https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0}

\parindent 0pt

https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Covervi.jpg} 

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg}  cover map

\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf}

\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Book}

\vskip 3mm

This version is generated \today

%\vskip -300pt
\setcounter{page}{2014}

%\newpage

%\begin{center}
%\setcounter{page}{2014} \begin{picture}(300,440) \put(-100,-200){\ing{cover2}} \end{picture}\\
\setcounter{page}{2014}
\begin{picture}(300,440)
\put(-100,-400){\ing{cover3}}
\end{picture}\\
\setcounter{page}{2014}
\begin{picture}(300,440)
\put(-100,-400){\ing{cover4}}
\end{picture}\\
\setcounter{page}{2014}
\begin{picture}(300,440)
\put(-100,-400){\ing{cover5}}
\end{picture}
%\begin{picture}{400px}{600px}
%\put(0,0}{\ing{cover2}}
%\end{picture}
%\end{center}
\newpage

\setcounter{page}{1}
\pagestyle{plain}

\baselineskip 19.2pt
\tableofcontents 
\vskip 14pt

%{\bf \sx{1.1}{Литература} ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 313} 
%\rule{200pt}{0pt}



{\bf \sx{1.06}{Литература} \rule{306pt}{0pt} 319} 

\large
\chapter{~ Предисловие}
\baselineskip 19.6pt

\parindent 0pt
%\hspace{-3cm}\rule{30mm}{1mm} Проверка, что поля слева имеют ширину 3 см.
%\hspace{-2cm}\rule{20mm}{1mm}  Потом вместо этой вставки сюда предполагается встроить значок физфака МГУ.
%\hspace{-1cm}\rule{10mm}{1mm}
\begin{wrapfigure}{r}{88px}
\sx{.4}{\begin{picture}(220,20)
\put(-12,0){\ing{oblakoV}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Фигура Маяковского\label{oblako}}
\vskip -4pt
\end{wrapfigure}
Я пишу это предисловие из уважения к моим учителям Английского языка, которые считают, что любая писанина (даже если она не очень по-английски), каждый том, глава должны начинаться с %хотя бы краткого, но 
Предисловия (или даже Вступления) и заканчиваться
%, хотя бы кратким, но 
Послесловием.
Схожее мнение, ещё в СССР, высказывали учителя русской литературы, объяснявшие  школьникам облако в штанах (рис.\ref{oblako}) и прочие %пикантные 
детали соцреализма.
\vskip 4mm

%введения, и заканчиваться, хотя бы кратким, но выведением читателя из ступора, в который может его ввести научный (или не очень научный) текст. 
Это предисловие пишется не для читателей.  Оно пишется для тех, кто Книгу читать не будет:
%\vskip 1mm
\vskip 2mm

{\bf Для редакторов}, издателей и продавцов, которые работают с тысячами книг и которым надо за минуту понять, почему именно эта Книга должна (по мнению автора) стоять на первом месте в списке рекомендованной литературы.
%\vskip 1mm
\vskip 2mm

{\bf Для опытных критиков}, которым достаточно прочесть две страницы, чтобы написать рецензию:
«Это что за невидаль: ``Тетрация, суперфункции''? Что это за ``суперфункции''? Мало нам %экстрасенсов, 
сверхпроводимости, сверхтекучести, сверхразрешения, суперсимметрии, супергравитации, суперструн и других ``супернаук'', и мало нам суперменов, супермаркетов и суперинфляции, и вот, на тебе, теперь ещё  ``суперфункции''! И швырнул в свет какой-то лазерщик! Слава Богу! Ещё мало забили интернет всякими текстами и извели леса на бумагу! Ещё мало народу, всякого звания и сброду, застряло у мониторов! Дернула же охота и лазерщика потащиться вслед за другими! Право, печатной бумаги развелось столько, что не придумаешь скоро, что бы такое завернуть в нее». \cite{xutore}
%\vskip 1mm
\vskip 2mm

\JP{
\begin{wrapfigure}[0]{r}{160px}
%\vskip 18pt
%\sx{.36}{\begin{picture}(800,620)
\sx{.2}{\begin{picture}(600,300)
\put(50,50){\ing{bookwormbw}}
\end{picture}}
\vskip -24pt
\caption{К.%арл 
Шпицвег 
%сортирует рекоммендованную литературу по суперфункциям ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Spitzweg}
\label{bookworm}}
%\vskip -18pt
\end{wrapfigure} }%JP
%\baselineskip 20pt
%\begin{parbox}{260px}{
{\bf Для библиотекарей}, % и коллекционеров, 
%библиотеки которых не полны без этой Книги, и 
которым надо выбрать для этой Книги подходящую полку
на самом видном месте,
%(рис. \ref{bookworm}), 
чтобы её было легко найти среди книг про суперсимметрию, сверхтекучесть, сверхпроводимость, суперменов и супермаркеты.
%\footnote{ %сортирует рекоммендованную литературу по суперфункциям ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg}
%Карл Шпицвег. Книжный червь.
%}
%~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Spitzweg}
%\vskip 1mm
%}\end{parbox}

\vskip 2mm

{\bf Для коллег}, которые удивляются, с какой стати лазерщик, вместо того, чтобы рекламировать оптические керамики, развивая Прикладную Лазерную Науку (за которую дают гранты), вдруг 
%заинтересовался 
занялся
суперфункциями (за которые пока грантов не дают), и ведёт себя как простак, который не знает, где в суши спрятана рыбка (так в стране Восходящего Солнца может звучать русская Теорема о том, с какой стороны у бутерброда масло).
%\vskip 1mm
\vskip 2mm

{\bf Для родственников} и друзей, которые учат меня жить и рекламировать мои результаты.
Судя по предварительным отзывам, они лучше меня понимают, где в суши спрятана упомянутая выше рыбка, и как её съесть, совмещая полезное с приятным. Впрочем, исследование взаимопонимания между родственниками и друзьями 
\cite{klavanur} %\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/klavanur.shtml 
не включено в этот труд и публикуется отдельно.
\vskip 4mm
%\vskip 2mm

%Таким образом, л
Любители чтения увлекательного и благопристойного \cite{Rabelais},
% http://royallib.ru/read/rable_fransua/gargantyua_i_pantagryuel__II.html#0
уставшие от сальных шуток Панурга и желающие хлебнуть чуток физической математики 
\cite{fizmat,physmat}, либо интересующиеся именно тетрацией и прочими суперфункциями, могут диагоналить отсюда прямо к главе 2.

%\ref{Chapter1}. 
\section{Физическая математика}
\baselineskip 19.8pt

%В этой секции обсуждается жанр книги и её место в общей структуре человеческого знания.
%\vskip 2mm
Меня спрашивали, как я бы характеризовал жанр этой книги. Я бруснул поисковики, и получается, что ближе всего подходит термин ``физическая математика'' \cite{fizmat,physmat}. Такой порядок слов выбран, чтобы не путать её с математической физикой.
%Чуточку дальше - ``научная философия'' или даже ``научная религия''.
%Я не могу и не хочу доказывать аксиомы ТОРИ, упомянутые выше, я просто верю в них; поэтому эту Книгу можно считать также религиозной. 
%Это первая последовательная попытка применения религии ТОРИ к практической деятельности. 
%\vskip 2mm
\vskip 2mm

Термин ``физическая математика'' означает, что для математики не делается исключений, и для проверки математических гипотез используются те же методы, какие приняты и для других наук и, в частности, для физики. Строгое математическое доказательство на основе сформулированных в самом начале аксиом при этом является %одним из 
допустимым методом исследования, но не 
%категорическим 
императивом. Разумеется, приветствуется перевод эвристических утверждений этой Книги на строгий язык чистых математиков.
%, то есть доказательство (или опровержение) предлагаемых здесь концепций. 
%\vskip 2mm
\vskip 2mm

Желательно не путать физическую математику и математическую физику.
Физическая математика использует методы физики и прочих естественных наук в математике (зачастую вместо общепринятой математически-строгой дедукции). 
\vskip 2mm

Математическая физика применяет методы, типичные для математики, к уравнениям, которые пришли из физики. Физическая математика похожа на математическую физику, примерно как Царская Водка
%, то есть $\rm H_2\,S\,O_4+2\, H\,Cl$ 
%похожа на Водку Царскую, то есть $\rm 3\, H_2\,O + 2\, C_2\,H_5\,O\,H$ (см. рисунок 
%\vskip 2mm
похожа на водочное царство. Для внутреннего употребления водка царская может быть более подходящим напитком, особенно для любителей, чем царская водка (рис.  \ref{vodkac}). % {\em царская водка} выглядит более красочно, 
\begin{figure}
\sx{.4}{\begin{picture}(800,500)
\put(0,0){\ing{cvodka}}
\end{picture}} ~
\sx{.36}{\begin{picture}(140,600)
\put(0,0){\ing{vodkac}}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\sx{.87}{\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aqua_regia_in_Davenport_Laboratories.jpg}}
\caption{
%Царская водка, $\rm H_2\,S\,O_4+2\, H\,Cl$,  слева и водка царская,
%$\rm 3\, H_2\,O + 2\, C_2\,H_5\,O\,H$, справа \label{vodkac}}
Царская водка, $\rm H_2\,S\,O_4+2\, H\,Cl$  и водка царская,
%похожа на Водку Царскую, то есть 
$\rm 3\, H_2\,O + 2\, C_2\,H_5\,O\,H$ \label{vodkac}}
%\vskip 8pt
\end{figure}
\vskip 2mm

В этой Книге используется именно физическая математика, а не царская водка, не водка царская и даже не математическая физика. Результаты, представленные здесь, носят прикладной характер.
%В частности, 
Mне представляется наиболее интересным приложение результатов к Лазерной науке.
Поэтому я стараюсь писать популярно, чтобы это могли понять даже лазерщики; Книга рассчитана на 
%прямое 
попадание в руки даже самого необученного академика. 
%Чтобы подчеркнуть это, в Книге указываются области для дальнейшей работы.
%Кроме доказательства предлагаемых здесь конжекций, интересным было бы их опровержение.
%Я пытался опровергнуть все предлагаемые здесь конжекции, но мне это не удалось.
%Может быть, это удастся Вам.
\vskip 2mm

Некоторые тексты физической математики \cite{fizmat} я считаю сложными\footnote{Например, я не сумел проследить ``физический'' вывод работы \cite{fizmat} о том, что площадь под параболой равна 4/3 от площади в вписанного треугольника}.
%, предложенный там в качестве иллюстрации}.
% того, чем физическая математика отличается от математической физики.
%Но я учусь на чужих ошибках и н
Надеюсь, что дедукция в этой Книге  более прозрачна. %В частности, для иллюстрации разницы между физической математикой и математической физикой предлагается пример отличия водки царской от царской водки.


\section{Аксиомы ТОРИ}
\baselineskip 19.2pt
В этой Книге %, при получении оригинальных результатов и при их интерпретации, 
используются Аксиомы ТОРИ. 
В этой секции предлагается краткий пересказ описания этих аксиом из УФН \cite{ufn} и J. of Modern Physics \cite{2013jmp}.
\vskip 2mm

{\bf Наукой называется область человеческого знания, человеческих достижений и деятельности, связанная с выработкой специального языка, то есть системы обозначений и концепций для описания воспроизводимых явлений любой природы, характеризующегося следующими аксиомами}:
\vskip 2mm
%\baselineskip 20.6pt

{\bf 1. Применимость.} Каждая научная концепция имеет ограниченную область применимости, отличную от пустого множества и полного множества.
\vskip 1mm

{\bf 2. Верификабельность.} Каждая концепция может быть подтверждена: Не используя эту концепцию, можно описать некоторый специфический эксперимент с таким специфическим результатом, который подтверждает концепцию.
\vskip 1mm

{\bf 3. Опровержимость (Опровергабельность).} Каждая концепция может быть опровергнута (то есть, отвергнута): в терминах этой концепции можно описать некоторый специфический эксперимент с таким специфическим результатом, который указывает, что концепция ошибочна.
\vskip 1mm

{\bf 4. Внутренняя непротиворечивость.} В концепции не найдено внутренних противоречий.
\vskip 1mm

{\bf 5. Принцип соответствия.} Если область применимости новой концепции пересекается с областью применимости другой, уже принятой и подтвержденной концепции, то новая концепция или воспроизводит результаты старой концепции, или указывает способ доказать, что старая концепция ошибочна. (Например, ошибочной может быть оценка области применимости старой концепции.)
\vskip 1mm

{\bf 6. Плюрализм и простота.} Допускается сосуществование взаимно-противоречивых концепций, удовлетворяющих критериям (1-5). Если две взаимно-противоречивых концепции имеют одну и ту же область применимости, то более простая из них имеет приоритет и рассматривается как основная по отношению к более сложной.
\vskip 2mm

%Перечисленные выше аксиомы оказались удобными, и для упрощения упоминания, я называю их ``Аксиомы ТОРИ''
%(TORI axioms). 
Именно эти аксиомы, 1-6, я называю термином ``Аксиомы ТОРИ''.
На аксиомах  ТОРИ (и для приложения этих аксиом) в 2011 году был построен сайт http://tori.ils.uec.ac.jp/TORI,
который просуществовал 2 года. 2013.02.27, сайт был атакован политиками от науки и доступ к нему был уничтожен
\footnote{
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tori_attacked} \\
\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/toriattacked.shtml} D.Kouznetsov. TORI attacked (2013)};
стоило трудов создать его клон \url{http://mizugadro.mydna.jp/t}. 
%Сайт был весьма критическим. 
Судя по
% анонимным 
письмам, предшествовавшим атаке, причиной агрессии
явилась критическая статья, подготовленная для журнала Physics Today
\footnote{\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013physToday.pdf} D.Kouznetsov. Corruption in Russian science. 2013, preprint}.
%\cite{2013PhysToday}.
К сожалению, именно так
%им образом 
политики 
%от науки 
отвечают на критику, когда им нечего возразить по существу. Надеюсь, что эти политики выплачивают администрации нашего университета значительную сумму за каждый день, пока сайт ТОРИ недоступен по его оригинальному урлю. У меня нет других сколько-нибудь логичных объяснений действиям университетской администрации, постфактум одобрившей варварскую атаку.
\vskip 2mm

Основные результаты, представленные в ТОРИ, удалось опубликовать в научных журналах \cite{2013or,2013jmp,sutra,susin}. Для удобства ссылок, для перечисленных выше аксиом потребовался специальный термин. Тогда-то я и назвал их ``Аксиомы ТОРИ''   (TORI axioms).
%Таким вот образом, 
Эта Книга построена и написана на основе аксиом ТОРИ.
\vskip 2mm

Термин ТОРИ означает ``Теоретические Основы Революционных Исследований''. Я предполагаю, что если какое научное исследование не сулит революции в какой-либо области науки или технологии, то не очень понятно, зачем вообще оно нужно (я имею в виду иные мотивации, кроме получения и распила грантов).
\vskip 2mm

ТОРИ %происходит от
есть русификация названия
%английского 
%термина 
TORI  ({\bf T}ools for {\bf O}utstanding {\bf R}e\-search and {\bf I}nvestigation).
Имеется в виду, что в том, что иногда называют термином ``современная наука'', очень много похожих, однотипных исследований, которые с трудом удовлетворяют аксиомам ТОРИ, если вообще (if at al). Поэтому все нетривиальные исследования волей-неволей должны быть ``Outstanding''. В ТОРИ собираются инструменты, формализмы, алгоритмы для таких исследований.
\vskip 2mm

% С марта по 27 февраля 2013 года сайт с таким названием был доступен по урлю http://tori.ils.uec.ac.jp/TORI . Сайт был весьма критическим. Когда эта критика коснулась достижений ``научного'' центра Сколково \cite{2013PhysToday}, \vskip 2mm
Через несколько месяцев после упомянутой 
%выше 
атаки, 
%Когда 
клон ТОРИ удалось установить на новом сервере, 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t}; и я продолжаю грузить туда инструменты, которые мне кажутся подходящими для революционных исследований. В частности, в ТОРИ загружаются алгоритмы и картинки, использованные в этой Книге:\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}\\
В идеале, генератор каждого рисунка может быть скачан, скомпилирован, просчитан и, при надобности, 
%легко 
модифицирован Читателем.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{204pt}
\vskip -8pt
\sx{.5}{\begin{picture}(300,400)
\put(-12,0){\ing{uro2}}
\end{picture}}
\vskip -18pt
\caption{Сайт недоступен \label{uronila}}
\vskip -10pt
\end{wrapfigure}
Я гружу генераторы также и на другие серверы.
%чтобы у политиков не создавалось впечатления, что они могут вовсе закрыть доступ к моим ресурсам, атаковав ещё один сервер. 
В Приложениях, я предлагаю ссылки на разные интернет-ресурсы, 
на тот случай, если какой-либо сервер недоступен
(рис. \ref{uronila}).
Таким образом Читатель может использовать и развивать формализм суперфункций с того самого места, до которого дошел я. 
%Можно использовать и те алгоритмы, инструменты (``tools''), которые не включены в эту Книгу. 
Эти генераторы %комментариями, чтобы их 
можно использовать, даже не повторяя предложенные в Книге выкладки. 
%И даже в том случае, если Читатель не согласен с какими-либо из Аксиом ТОРИ. Эти ТОРИ могут помочь даже тем, кто в них не верит.
\vskip 2mm

Я надеюсь, что читатели будут указывать источники, откуда они скачивают алгоритмы и картинки. Это нужно не для того, %чтобы застолбить моё авторство, но на тот случай, если вдруг где опечатка или методическая ошибка. Чтобы было легко 
чтобы застолбить моё авторство, но на тот случай, если 
вдруг где опечатка или, не дай Бог, методическая ошибка. 
Ошибки в книге, вероятно, есть. Редакторы и корректоры издательства Lambert Academic Press
не только не правят рукописи, предназначенные для публикации, но и даже не читают их. 
Появление этого абзаца в Книге будет тому наглядным свидетельством.  Поэтому, если чего не так, то ругать нужно автора, а не редактора.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{200pt}
\vskip 24pt
\sx{.3}{\begin{picture}(400,340)
\put(0,0){\ing{stuchit}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{Стучите - и вам откроют \label{stuchit}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}
Eсли при генерации (или модификации) рисунков возникают проблемы, то критику надо слать в адрес автора, dima(a)ils.uec.ac.jp~
%Аккуратное цитирование помогает найти этого автора. 
И указать, какой алгоритм не работает так, как это описано в Книге. Чтобы исправить. Чтобы всё заработало. Таким образом, если чего не выходит, надо не упроствовать, 
%пока крыша не съедет (рис. \ref{krysha}), 
а спрашивать. Стучите, и вам откроют \footnote{\url{http://www.bible.by/nt-slovo-life/read/40/07/} От Матвея, глава 7: ..  Просите – и получите, ищите – и найдете, стучите – и вам откроют.} (рис. \ref{stuchit}).
%Помогает отследить перекрестные ссылки и исправить везде, где такая ошибка успела нагадить. 
%Кроме того, ссылка на алгоритм из ТОРИ поможет мне не принять передранный у меня тулл за независимое подтверждение моих результатов. 
%Таким образом, я рассчитываю на взаимопомощь.

\section{Зачем эта книга}
%\normalsize
\baselineskip 21pt

После публикации статьи про голоморфную тетрацию \cite{analuxp},
%\cite{tet},
я надеялся, что математики сподобятся проделать всю остальную работу по суперфункциям сами. Увы... 
\vskip 2mm

Прошло пять лет, а суперфункции, в частности, тетрация и суперфакториал, до сих пор не появились в описаниях алгоритмических языков. Дo сих пор функция Nest \cite{nest} в языке ``Математика'' требует, чтобы число итераций было целым; а если кто-то аппроксимирует неизвестную колоколообразную функцию, то обычно фантазия коллег не идет дальше Гауссовой экспоненты. В лучшем случае выбирают между Гауссом, гиперболическим секантом и Лоренцом. А ведь можно использовать ещё, например, половинную итерацию экспоненты, то есть такую функцию $f$, что $f(f(z))=\exp(z)$.
И есть ещё много всяких функций такого рода. 
\vskip 2mm

Почти весь матан в школах и вузах построен на первых трех аскерманнах (функциях Аскерманна: сложение, умножение, экспоненцирование) и их обратных функциях в различных комбинациях. Этот арсенал можно значительно расширить за счет нецелых итераций.
%, хотя бы для случая, когда $\Re(z)>-2$. 
Но для этого нужны суперфункции.
\vskip 2mm

Когда физики исследуют нелинейный отклик среды, образец стараются делать оптически-тонким, чтобы можно было пренебречь изменением усиления или поглощения при изменении интенсивности. Можно улучшить точность, взяв образец потолще, измерить передаточную функцию этого образца с несколькими знаками, и восстановить распределение интенсивности по мере усиления или поглощения света в образце \cite{thailand,2013or}. Но для этого нужно уметь строить суперфункции.
\vskip 2mm

Многие исследователи считают, что именно их работа чрезвычайно важна. Я не являюсь исключением. С моей точки зрения, тетрация и арктетрация, как и другие суперфункции и абельфункции, столь же важны для науки 21 века, как экспонента и логарифм важны для науки в 19м и в 20м веках. 
То есть ожидается научная революция, столь же значительная, как открытие того, что с экспонентой и логарифмом можно легко вычислять любую, даже дробную (или даже комплексную) степень числа. С суперфункциями и абельфункциями легко вычислять любую, даже дробную (или даже комплексную) итерацию практически любой голоморфной функции. Для этого нужны суперфункции.
\vskip 2mm

%Таким образом, эта книга - воплощение глобальных амбиций и авотра.
Для использования суперфункций нужно знать их свойства и уметь их быстро и аккуратно вычислять. Я этому уже научился. Эта книга для того, чтобы вы тоже могли их вычислять.
\vskip 2mm

Когда я объяснял редактору (и рецензентам), почему нашу статью про корень из факториала \cite{facr}
надо опубликовать в Вестнике Московского Университета, я привел такой пример:
\vskip 1mm

{\em Приезжает студент физфака в деревню, а там колхозник, то есть уже, конечно, не колхозник, а ударник капиталистического труда, видит на студенте значок физфака в виде корня из факториала, и спрашивает:``а что это значит?'' - а студент не знает..}
\vskip 1mm

Судя по переписке и её результату, рецензенты сочли этот аргумент убедительным. Корень из факториала - это такая функция $f$, что $f(f(x))=x!$, хотя бы для всех $x\!>\!1$.  Эту функцию нетрудно вычислять. Но для этого надо знать, что такое суперфункция и что такое абельфункция. Для того, чтобы каждый, кто интересуется, мог это знать, пишется эта книга.
\vskip 2mm

Когда основы формализма суперфункций были уже созданы, один из моих соавторов, Акира Ширакава (Akira Shirakawa)
\cite{akira0} 
заявил о невозможности восстановления интенсивности света в усилителе из его передаточной функции
\cite{akira1},
а когда алгоритм
%формализм
для такого восстановления \cite{sqrt2,thailand,2013or}
%(регулярная итерация) 
был представлен, пожаловался, что формулы сложны \cite{akira2}. При всех взаимных недоразумениях, я %считаю Ширакаву специалистом в области волоконных лазеров и 
хочу учесть его замечания. 
%Как видно из преамбулы, 
В этой Книге я стараюсь цитировать не только научные статьи 
%(хотя не всегда это получается) 
и стараюсь избегать сложной математики, хотя бы в некоторых рисунках. Однако, я все же надеюсь, что читатель  знает, чем интеграл отличается от логарифма, и умеет извлекать квадратный корень из минус единицы. Такой читатель, вероятно, является узким специалистом, и может не знать, чем Фудоки отличаются от Нибелунгов, отчего умер Пушкин и как очищают политуру \cite{erofeev}. Поэтому я стараюсь не злоупотреблять лирическими отступлениями. Чтобы пояснить, что я имею в виду, предложу только один пример:
%\section{О лирических отступлениях}
%Чтобы пояснить, почему я рассматриваю тот или иной случай, используются лирические отступления. Я надеюсь, что у Редактора длинные ножницы, и если с этими ``отступлениями'' я вылетаю из рекоммендованного размера файла, то Редактор эти отступления подавит. Пример лирического отступления копипастнут (с незначительными модификациями) ниже.
\vskip 3mm
\baselineskip 21pt

Счастлив путник, который после длинной, скучной дороги с её холодами, духотой автобусов, промозглой сыростью аэрокондиционеров в залах ожидания, с тупой придирчивостью консулов и пограничников, отложенными рейсами, въедливыми таможенниками, охочими до грязного белья солдатами спецконтролей, перебранками с везущими в противоположную сторону таксистами, видит, наконец, знакомую крышу с несущимися навстречу огоньками, и предстанут пред ним знакомые комнаты, радостный крик выбежавших навстречу людей, шум и беготня детей и успокоительные тихие речи, прерываемые пылающими лобзаниями, властными истребить все печальное из памяти. Счастлив семьянин, у кого есть такой угол, но горе холостяку!
Счастлив автор, который проходит мимо результатов странных, необычных, поражающих своим противоречием с общепринятой парадигмой, но находит и описывает случаи, являющие высокое достоинство Науки, который из великого омута ежедневно вращающихся вопросов избрал одни немногие исключения, для которых и так есть известные ответы, который не изменял ни разу возвышенного строя своей лиры, не ниспускался с вершины своей к неразрешенным вопросам, и, не касаясь земли, весь повергался в свои хвалебные песнопения, далеко отторгнутые от каких-либо несогласий и конфликтов. Вдвойне завиден прекрасный удел его: он среди подобных ему коллег, как в родной семье; а между тем далеко и громко разносится его слава. 
Он окурил упоительным куревом людские очи; он чудно польстил им, сокрыв печальное в науки и жизни, показав им прекрасные и высокие достижения современников. Всё, рукоплеща, несется за ним и мчится вслед за торжественной его колесницей. Великим всемирным ученым именуют его, парящим высоко над всеми другими гениями мира, как парит орел над другими высоко летающими. При одном имени его уже объемлются трепетом молодые пылкие сердца, ответные слезы ему блещут во всех очах... Нет равного ему в силе - он Бог! 
Но не таков удел, и другая судьба исследователя, дерзнувшего вызвать наружу все, что ежеминутно пред очами и чего не зрят равнодушные очи, - всю страшную, потрясающую тину мелочей, опутавших нашу науку, всю глубину холодных, раздробленных, повседневных и мелких исследований, которыми кишат научные журналы и программы конференций, подчас горькая и скучная дорога, и крепкою силою неумолимого резца дерзнувшего выставить их выпукло и ярко на всенародные очи! Ему не собрать народных рукоплесканий, ему не зреть признательных слез и единодушного восторга взволнованных им душ; к нему не полетит навстречу шестнадцатилетняя девушка с закружившеюся головою и геройским увлеченьем; ему не позабыться в сладком обаяньи им же исторгнутых звуков; ему не избежать, наконец, от современного суда, лицемерно-бесчувственного современного Ученого Совета, который назовет ничтожными и низкими им лелеянные созданья, отведет ему презренный угол в ряду исследователей, оскорбляющих человечество и религиозные чувства, придаст ему качества им же цитированных и критикуемых коллег, отнимет от него и сердце, и душу, и божественное пламя таланта. Ибо не признает Ученый Совет, что одни и те же уравнения могут описывать волны света, и волны звука, и волны на поверхности лазурного океана, что равно чудны нелинейные эффекты в стеклах, кристаллах и керамиках, в тонких оптических волокнах и в толстых образцах; не признает Ученый Совет, что высокий восторженный смех достоин стать рядом с высоким научным устремлением, и что целая пропасть между ним и кривляньем балаганного скомороха! Не признает сего Ученый Совет и все обратит в упрек и поношенье непризнанному исследователю; без разделенья, без ответа, без участья, как бессемейный путник, останется он один посреди дороги. Сурово его поприще, и горько почувствует он свое одиночество. %Такие исследования проводились в России с 19 века 
\cite{gogol}
%http://www.klassika.ru/read.html?proza/gogol/dushi.txt&page=25
\vskip 3mm

\baselineskip 21pt
%В соответствии с вышеизложенной декларацией, 
Философские упражнения о месте науки в человеческом знании \cite{ufn,mesto} также публикуются отдельно. Известный философ позапрошлого века Козьма Прутков указал, что нельзя объять необъятное. Чтобы в дальнейшем избежать, по возможности, длинных лирических отступлений, подобных приведенному выше, постараюсь  сразу указать, что в этой Книге есть и чего в ней нет.

\section{Что в книге есть }
\baselineskip 21pt

В книге предлагается общий подход для построения суперфункций и различные алгоритмы для их вычисления. Выбор алгоритма зависит от того, каковы стационарные точки передаточной функции (и есть ли у передаточной функции хоть какие-то стационарные точки) и какие свойства требуются от суперфункции. 
\vskip 3mm

Я рассказываю про свойства и поведение суперфункций и абельфункций.
(После общения с германскими коллегами, я не могу подавить искушение писать такие слова слитно.)
Для данной функции $T$, суперфункцией называется решение $F$ уравнения
\be
F(z\!+\!1)=T(F(z))
\nonumber \ee
Функцию $T$ я называю передаточной функцией.
Абельфункцией я называю функцию, обратную от суперфункции. Через них выражаются нецелые итерации передаточной функции.
В книге предлагаются способы их эффективного вычисления. 
Эффективного - значит, быстрого и с маленькой погрешностью. Например,
при использовании арифметики complex double, суперфункции и абельфункции оцениваются примерно с 14 значащими цифрами, а комплексные карты этих функций могут строиться в реальном времени.
%\vskip 2mm
Я 
%складываю
гружу
генераторы рисунков в ТОРИ %tori.ils.uec.ac.jp
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t}; Читатели могут проверить их на компьютере.
\vskip 3mm

По умолчанию, предполагается, что параметры имеют вещественные значения, а аргументы функций имеют комплексные значения. Однако, я больше физик, чем математик (хотя мои соавторы-физики обычно высказывают противоположное мнение), и для физических приложений вещественные значения аргументов и функций представляют особенный интерес. 
Поэтому графики 
%вещественно-голоморфных 
функций при вещественных значениях аргумента тоже представлены. Я считаю, что такой вещизм оправдан прикладным и популярным характером этой Книги.
%целью, сформулированной выше.

%В книге есть обсуждения парадоксов, которые вызывали дискуссии.

\section{Чего в книге нет}
\baselineskip 21pt

В Книге нет четких и аккуратных указаний значений, которые могут принимать параметры и аргументы функций.
Такое исследование предлагается читателям в качестве упражнений.
\vskip 2mm

Я стараюсь определять функции так, чтобы хотя бы окрестность положительной части вещественной оси попадала в область голоморфизма, но не всегда это возможно. Похоже, что это первая монография с описанием эффективного вычисления голоморфных суперфункций, и в ней неизбежен несколько эвристический стиль изложения. К сожалению, один из немногих чистых математиков -- Генрик Траппманн, который шел рядом с рубанком, веником и совком, сметая грязь и превращая топорную работу плотника в математически строгое доказательство -- занялся бизнесом, хотя его недавняя публикация \cite{log}, как мне кажется, заслуживает внимания.
%. В этом смысле эта книга может считаться топорной работой. 
% - как топорной работой (буквально) был первый в мире мост, сделанный исключительно с помощью топора.
\vskip 2mm

%Нельзя объять необъятное. С моей точки зрения, построение математически-строгой теории суперфункций -- это новая область математического анализа, и требуется целый институт (или, как минимум, специальная лаборатория, кафедра с многочисленным штатом квалифицированных математиков) для аккуратной и строгой разработки этой темы. Но и даже в этом случае, потребуется некоторая популяризация результатов с тем, чтобы их смысл могли понять и неспециалисты; хотя бы для того, чтобы решить, хочется ли им становиться специалистами именно в этой области. Как известно, специалист подобен флюсу: его полнота односторонняя.
%\vskip 2mm
%По этим же причинам в
В книге нет строгих доказательств сходимости, существования и единственности решений.
Сюда не включены доказательства, выработанные в сотрудничестве с Генриком. %Траппманном (Henryk Trappmann).
Особо въедливым читателям предлагается скачать оригинальные статьи
\cite{sqrt2,e1e,uniabel,log}, 
продраться сквозь дедукцию, выписанную с германской педантичностью Генрика, и задавать 
%автору и соавтору 
вопросы. %, если где чего не ясно. 
Указания на ошибки, если таковые там есть, особенно приветствуются.
\vskip 2mm

История развития теории суперфункций и функций Абеля начинается примерно с 19 века и может быть весьма интересна, но она выходит за рамки темы этой книги. Oбзоры древних публикаций можно найти в интернете по ключевым словам 
{\bf 
Abel function, 
iterated functions,
tetration, 
superexponential, 
super\-function}.
Искать лучше по английски, так как наука в РФ превратилась в искусство по ``отмыванию'' бюджета 
\footnote{\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/desciencer.shtml} Уничтожение науки в РФ}, и это отражается на качестве русскоязычных научных (и не очень) публикаций \cite{unichtozhenie}. Настоящая книга является попыткой противопоставить этой тенденции русскоязычный пример того, что я называю термином ``наука''
\cite{ufn,mesto,science,sciencer,Hayka}. А заодно показать коллегам, что не издательство красит Книгу, а Книга - издательство.
\vskip 2mm

В книге нет подробного цитирования работ коллег, которые пытались вычислять суперфункции и абельфункции в течение последней пары веков. Чтобы понять, чем занимались на эту тему в прошлые века, можно посмотреть работы  Генрика Нильса Абеля (Neils Henryk Abel) \cite{abel}, Петера Фато (P. Fatou) \cite{fatou},  Хельмута Кнезера (Hellmuth Kneser) \cite{kneser},
Жана Екале (Jean Ecalle) \cite{ecale}, Г.Сзекереса (G.Szekeres) \cite{szekeres} и Петера Валкера  (Peter Walker) \cite{walker}.  Ещё обзоры публикаций  по теме представлены в %дополнительных 
линках, перечисленных в приложении.
%на второй странице обложки.
%в преамбуле как ``интернет-ресурсы''.  
\vskip 2mm

Я вижу аналогию с тем, что в современном учебнике географии не обязательно рисовать Землю на трех китах, плавающих в мировом океане. Читатель 
%(а возможно и Редактор) 
может счесть такую аналогию чересчур претенциозной; однако, многочисленные методы вычисления суперфункций, предложенные коллегами, столь неэффективны, что с ними пока НИКОМУ не удалось построить комплексные карты этих функций. Судя по публикациям, с такими алгоритмами не построено ни одной,  
вообще ни одной карты тетрации. Генрик 
%Траппманн
объясняет это тем, что у меня очень хороший графопостроитель 
conto.cin, который быстро и аккуратно проводит линии уровня, правильно интерпретируя разрезы области аналитичности и сингулярности... 
\vskip 2mm

Я считаю, что дело в удобном математическом представлении функций и эффективных алгоритмах, а не в графопостроителе. Поэтому в этой книге нет описания моего графопостроителя; его можно скачать из ТОРИ 
\cite{conto.cin} или из Ситизендиума \cite{cz.conto.cin} и использовать, даже не зная, как он работает. 
Кроме того, если запастись терпением в стиле ``to press a key, to have a tea'' \cite{tea}, то качественные графики можно строить и из Математики, или даже из Мапле, если примириться с тем, что прийдется корячиться с подробной сеткой, а размер файлов для комплексных карт будет существенно больше, чем при создании EPS файлов прямо из C++ процедурой ``conto.cin'' .
\vskip 2mm

Аналогично, в книге нет кодов программ, использованных для вычисления функций и построения графиков.
Во-первых, описания алгоритмов достаточно подробны, сами алгоритмы просты, и даже студент после одного семестра изучения какого-либо языка программирования, поддерживающего комплексную арифметику, может легко воспроизвести их. Во-вторых, никто не станет отцифровывать, перепечатывать из бумажного издания код, который можно скачать из интернета.  Коды рисунков и программ, использованных в Книге, доступны в ТОРИ, Ситизендиуме и других сходных ресурсах. 
%Мне, как Есенину, хотелось бы, задрав штаны \url{http://az.lib.ru/e/esenin_s_a/text_0260.shtml}, бежать за застойным веком;
%даже Есенину это не очень-то удалось, но я стараюсь. 
%В частности, 
Поэтому, вместо текстов программ, я помещаю ссылки.  
\vskip 2mm

В книге нет последовательного изложения свойств уравнения Шрёдера. %\cite{schroeder}, 
Мне не удалось построить пример, который бы решался с функциями Шрёдера \\
\url{http://mathworld.wolfram.com/SchroedersEquation.html}  \\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Schroeder_equation} \\
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Schröder's_equation}, non-ascii url looks ugly in the text
но не решался бы с суперфункциями. 
\vskip 2mm

\JP{
%\setcounter{figure}{2}
\begin{figure}[t]
%\sx{.4}{\begin{picture}(500,800)
\sx{.33}{\begin{picture}(500,720)
\put(-10,0){\ing{MuseumNew.jpg}}
\end{picture}} ~ ~
%\sx{.6}{\begin{picture}(469,405)
\sx{.48}{\begin{picture}(469,405)
\put(10,72){\ing{Kva7}}
\end{picture}}
\vskip -40pt
\caption{Скелеты драконов в сказках Стругацких \cite{ponedelnik} и А.Н.Квашенко 
\cite{kvashenko}  \iL{dragon} }
\end{figure}
}%JP
В книге нет описаний ``драконов'' 
\footnote{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Dragon},
%(рисунок \ref{dragon}), 
то есть таких объектов, которые, вроде бы, и могли бы существовать, но почему-то их существования предъявить не удается и комплексные карты для них тоже не построены. Драконоведение, как оно изложено в аннотации курса лекций, который с 2007 года (и, возможно, до сих пор) читает на Мехмате МГУ профессор всяческих наук, лауреат многочисленных наград и премий Андрей Николаевич Квашенко 
\footnote{ \url{http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html}
\url{http://mmmf.msu.ru/lect/lect9.html} Андрей Николаевич КВАШЕНКО. Драконы.  2007-2013},
не удовлетворяет Аксиомам ТОРИ,  и поэтому в Книге не представлено.
%\footnote{Из-за упомянутой неопровержимости, я не считаю нужным даже комментировать скелет дракона с точки зрения даже элементарной механики.}
% (и не было бы представлено, даже если бы для описания драконов использовались суперфункции).
Впрочем, как только с помощью суперфункций, или ещё как, кто-либо предложит способ опровергнуть гипотезу о существовании драконов, эта гипотеза удовлетворит Аксиоме 3 (об опровержимости), и тогда я могу всерьез  рассматривать даже такую гипотезу. 
\vskip 2mm

В отличие от драконологии, мои результаты, в принципе, опровергнуть можно. Для этого достаточно указать пример, в котором суперфункция, построенная описанными в Книге методами, не удовлетворяет передаточному уравнению (или дополнительным условиям, добавляемым для её единственности). Или построить две различные суперфункции, удовлетворяющие условиям, которые, по замыслу, 
должны обеспечить единственность. Или, хотя бы, предложить такую передаточную функцию, для которой нельзя построить суперфункцию методами, описанными в этой Книге. Пока мне не встретилась такая передаточная функция, для которой я бы не мог построить суперфункцию. Поэтому таких передаточных функций в этой Книге нет.
%То есть если для какой функции я не могу предложить эффективный алгоритм вычисления и нарисовать графики, иллюстрирующие её поведение на вещественной оси и в комплексной плоскости, то описание такой функции в Книгу не попало бы, даже если бы мне такую функцию удалось придумать и построить
%\footnote{``Но раз я её выдумала, значит, она есть!''}.
\vskip 2mm

Многие, как и я, ещё с младенчества, предпочитают листать книжку и смотреть картинки, вместо того, чтобы читать текст. 
Поэтому я старался, чтобы каждая страница Книги была иллюстрирована хотя бы одним рисунком. 
%Я прошу у читателей прощения, если 
Пока 
%мне это не удалось, 
на некоторых страницах нет рисунков.
Я надеюсь исправить это упущение в следующих изданиях.
\vskip 2mm

Кроме того, в книге нет многих других примеров, которые, как мне кажется, можно рассмотреть аналогичным образом, но решения для которых мне не удалось найти в литературе. 
%Потому как Читатель - это не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь. То есть указать, как строить суперфункции и нецелые итерации.
% ни решить самостоятельно. 
Однако, я старался собрать здесь все известные суперфункции, чтобы
потом отдыхать (рис. \ref{ainu}) и на вопросы про итерации и суперфункции отвечать либо ``Этого не знает никто'', либо ``Это есть в моей Книге''. 
\vskip 2mm

Если всё-же какая-либо важная и красивая суперфункция ускользнула от великого и могучего гуглевского серча, то, пожалуйста, сообщите мне об этом. Тогда я постараюсь и её оприходовать, задействовав, если потребуется, всю мощь дарственного аппарата суперфункций, абельфункций, ТФКП и прочего матана.
\vskip 2mm

%%Некоторые релевантные интернет-ресурсы предложены также на второй странице обложки.
%В связи с некоторой национальной специализацией науки в начале 21 века (например, открытие графенов в странах Западной цивилизации против открывания графинов, нанофильтров для истребления дафний, гравицап и прочих РАЕНизмов в России), пока поиск на английские ключевые слова более результативен.
%\vskip 2mm

%Сперва надо разобраться, как получается, а потом можно разбираться, как можно было бы делать иначе, и почему не получается, если делать иначе.
%Таким образом, я выкладываю то, что есть у меня, а если кто-то считает, что может сделать лучше, пусть сделает.
%\chapter{Introduction}
\chapter{~ Введение \label{Chapter1}}
\vskip 20pt

Итерации и Суперфункции возникают в физике естественным образом при описании последовательности похожих преобразований чего-либо в однородной физической системе. Это может быть ослабление ударной волны в одной из последовательных секций автомобильного глушителя. Это может быть накопление массы снежным комом, который раз за разом скатывается с холма, покрытого липким снегом. Это может быть изменение интенсивности в световой волне при прохождении одной секции лазерного усилителя или просветляемого поглотителя. Простор для фантазии.
\vskip 2mm

Если состояние системы до преобразования описывается параметром $x$, а после - параметром  $y$, и эти две величины связаны соотношением  $y\!=\!T(x)$, то функция  $T$ называется передаточной функцией. Можно рассмотреть постепенное изменение соответствующей величины от значения $x$ к значению $y$, в зависимости от координаты, вдоль которой усилитель считается однородным.
Эта зависимость называется суперфункцией от функции $T$. Такие суперфункции являются объектом исследования; им посвящена эта Книга.
\vskip 2mm

В принципе, для каждого процесса последовательного применения одного и того же преобразования, можно строить физические модели, и сравнивать результаты измерений с предсказаниями модели. Это методически-корректный подход, и большинство коллег в каждом случае работает именно с моделями. При этом нет надобности 
%решать так называемые ``обратные задачи'', то есть 
восстанавливать что-либо по результатам измерений; достаточно обобщить, расширить модель вплоть до того, чтобы предсказывать, какое показание следует ожидать от гальванометра или осциллоскопа или секундомера в том или ином случае. Методом перебора возможных моделей, задачу можно решать без всяких суперфункций. Однако это не единственный путь.
\vskip 2mm

В физике известны также обратные задачи, когда модель какого-либо процесса неизвестна (или, наоборот, имеется столько моделей, что трудно примерять к результатам экспериментов каждую), и предлагается восстановить по результатам измерений %какие-либо
характеристики системы, не предполагая какую-либо специфическую модель процессов в этой системе.
\vskip 2mm

В этой Книге предполагается, что измерена передаточная функция системы, и по этой функции предлагается восстановить преобразование сигнала в системе. Чтобы рассматривать достаточно общий случай, такая система называется фильтром.

\section{Фильтры и обозначения}

С точки зрения физики, итерация описывает последовательную комбинацию фильтров.
Пусть каждый фильтр характеризуется передаточной функцией (Transfer function) $T$.
Если на входе фильтра имеется сигнал $z$, то сигнал на выходе фильтра будет $T(z)$.
\vskip 2mm

В этой книге рассмотрен простой случай, когда сигнал выражается одним числом, вещественным или комплексным.
В принципе, термин ``передаточная функция'' допускает обобщение на многомерный случай, тогда эта функция превращается в функционал;
аргумент $z$ мог бы иметь смысл вектора или функции. 
%Однако, 
Как выяснилось, даже одномерный случай вызывает много недоумений и конфузов (некоторые примеры такого рода упомянуты в последующих главах). 
\vskip 2mm

Продвигать многомерные обобщения, пока коллеги сомневаются даже в одномерном случае, представляется методически некорректным. В соответствии с определением Науки \cite{ufn,science}, сперва следует представить результаты по простейшему случаю, который всё ещё опровергает устоявшуюся точку зрения о том, что восстановление распределения сигнала внутри однородной нелинейной системы по её передаточной функции невозможно \cite{yoneda,kaminski,smile,akira1,akira2}.
Рассмотрение комплексных значений аргумента передаточной функции позволяет сузить класс возможных решений, и в этом смысле существенно важнее, чем рассмотрение многомерного сигнала. Поэтому в этой книге считается, что передаточная функция и её суперфункция определены для комплексных значений аргумента; кроме того, предполагается, что каждая из этих функций голоморфна в той области, которая требуется для рассмотрения.
\vskip 2mm

Сигнал на выходе фильтра (например, усилителя) может быть подан на вход еще одного такого  фильтра, и тогда сигнал на выходе второго фильтра будет
\be
T(T(z))=T^2(z)
\ee
Здесь используется обозначение с верхним индексом. 
%Это не я такое обозначение придумал, 
Вальтер Бергвеилер
%(WALTER BERGWEILER) 
(Walter Bergweiler)
использовал такие обозначения ещё в прошлом веке \cite{walter}. 
Если после имени функции следует верхний индекс (и это не штрих, указывающий производную), то этот индекс указывает номер итерации функции. В частности, нулевая итерация есть идентичная функция (которая равна своему аргументу),
\be
T^0(z)=z
\ee
Первая итерация от функции есть она сама, а минус первая итерация соответствует обратной функции. Например, для %синусоидальной 
функции $T\!=\!\sin$, 
\be
\sin^{-1}(z)&=&\arcsin(z) \\
\sin^{0}(z)&=&z\\
\sin^{1}(z)&=&\sin(z)\\
\sin^{2}(z)&=&\sin(\sin(z))
\ee
В некоторых учебниках используется (хотя и не декларируется) обозначение, в котором $\sin^a(z)$ имеет смысл $\sin(z)^a$. Такое обозначение приводит к путанице. Например, при $a\!=\!-1$, это выражение может указывать на $\arcsin(z)$, но может указывать также и на  $\ds \frac{1}{\sin(z)}$. 
\vskip 2mm

В этой Книге, 
%чтобы избежать двусмысленностей,
число в верхнем правом индексе при имени функции указывает число итераций (или номер итерации), и никогда не указывает степень, в которую следует возвести результат выполнения функции. Когда следует сперва вычислить синус числа $z$, а потом результат возвести во вторую степень, то это записывается как  $\sin(z)^2$. Я надеюсь, что Читатель может отличить константу или переменную (или иное арифметическое выражение) в верхнем индексе от штриха, который обозначает дифференцирование, и путаницы не будет.
\vskip 2mm

Иногда, при указании количества итераций, вместо $f^{n}(z)$ пишут $f^{\circ n}(z)$, по аналогии с использованием операции ``кружочек'' $\circ$ в выражениях вроде
$~\sin(\sin(z))\!=\!\sin\circ\sin(z)~$. 
В этой Книге, верхний индекс после имени функции используется либо для указания производной, если это штрих, 
%или использованы скобки, 
либо для указания количества итераций (если 
%все выражение в скобки не берется и 
это 
%выражение 
не штрих). Поэтому символ ``кружочек'' не использован. В качестве оправдания для такой сокращенной записи можно напомнить, что в частном случае, когда число итераций равно минус единице, обратную функцию от  $f$ записывают в виде $f^{-1}$, и обычно не пишут $f^{\circ -1}(z)$. Разумеется, символ $\circ$  может быть восстановлен добавлением команды $\backslash$circ в латексную версию Книги в тех местах, где в формуле указано число итераций функции.
\vskip 2mm

Выражения  $f^n(z)$ , $f(z^n)$ и $f(z)^n$ не должны конфузироваться.
В первом случае функция  $f$ итерируется  $n$ раз, во втором функция оценивается при значении аргумента  $z^n$, а в третьем - функция вычисляется при  значении аргумента $z$, а результат возводится в  $n$тую степень.
%На примере $f\!=\!\mathrm{Factorial}$, это иллюстрируется   3 на рисунках \ref{facit} \ref{factoblia}.
\vskip 2mm

Идея этой Книги в том, что функция может итерироваться не обязательно целое число раз.
Зависимость результата такого итерирования от числа итераций и есть суперфункция. Для физических приложений, особенно интересны случаи, когда такая суперфункция вещественно-голоморфна; то есть имеет вещественные значения по крайней мере вдоль некоторой части вещественной оси и допускает аналитическое продолжение в область комплексных значений аргумента; это соответствует комплексному числу итераций.

\section{Гнездо}
\baselineskip 20pt

Для итераций в языке программирования ``Математика'' есть специальная функция, которую можно назвать ``гнездо'', делая не слишком удачную кальку с английского слова Nest \cite{nest}. Впрочем, можно транслитерировать английское слово как ``Нест'' и склонять его в соответствии с обычаями русского языка: Нест, Неста, Несту, Нест, Нестом, о Несте. В некоторых текстовых редакторах при этом приходится подавлять поползновения автоматических корректоров заменить букву Н на букву М. Нест используется для итераций.
\vskip 2mm

При использовании Неста требуется указать три аргумента. Первый аргумент указывает имя функции, которая итерируется. Второй указывает начальное значение при итерациях, а последний, третий аргумент указывает число итераций. Обращение к Несту имеет следующий вид: 
\vskip 2mm

\hskip 44mm
Nest[{ \em f , x , z }]
\vskip 2mm

В программировании на Математике, аргумент функции указывают в квадратных скобках; и такая запись обозначает выражение $f^z(x)$.
\vskip 2mm

По крайней мере до 2014 года, имплементация  Неста не позволяет использовать его в случаях, когда последний аргумент не выражается целой константой, натуральным числом. 
(Даже нулевая и минус первая итерация запрещены.)
%\vskip 2mm

Возникает естественный вопрос: ``Какой смысл может иметь нецелая итерация функции?''
Этот вопрос обсуждается
%рассмотрен 
в следующей секции.

\section{Волоконный усилитель}
Рассмотрим волоконный лазерный усилитель.
Предположим, Изготовитель дает Физику кусок активного оптического волокна длинной, скажем, один метр, и систему накачки, с тем, чтобы Физик узнал, как изменяется интенсивность света в волокне по мере усиления,
но не разрешает разрезать волокно и смотреть, что там у него внутри; Физик лишь верит, что волокно
однородно и равномерно освещено источником накачки. Для того, чтобы считать накачку равномерной, предположим, что используется схема поперечной накачки \cite{slab1,slab2, slab3, fidi2}. 
Физик может измерить передаточную функцию $T$ этого волокна. На основе этой передаточной функции, Физик может сказать, какая будет передаточная функция у аналогичного двухметрового волокна. В предположении, что накачка доставляется вместе с волокном и поэтому её интенсивность не зависит от длины усилителя, передаточная функция двухметрового усилителя будет $T^2$, трехметрового 
$T^3$, четырехметрового  $T^4$, и так далее. Но какая будет при этом передаточная функция у волокна длины $z$ метров при нецелом значении $z$?
\vskip 2mm

На языке ``Математика'', такая функция могла бы выражаться в виде $T^z(x)=\mathrm{Nest}[T,x,z]$. 
%К сожалению, 
В современной реализации этого языка, последний аргумент должен быть выражен целым числом; иначе ``Математика'' выдает сообщение об ошибке!
\vskip 2mm

Можно ли выразить нецелую итерацию предаточной функции в виде уравнения?
Оказывается, это сделать можно, и такое уравнение представлено в следующей секции.

\section{Передаточное уравнение}
%В книге ``Физики шутят'', предлагается такое определение термина ``портативный'' (переносной или переносный): снабжен двумя ручками \cite{jokes}.
%\vskip 2mm
%В учебниках по уравнениям матфизики, уравнением переноса называется диффур в частных производных с первой производной по каждой координате.
%\vskip 2mm

В этой Книге, передаточным уравнением (transfer equation) называется уравнение, которое указывает, как должен изменяется сигнал внутри фильтра (усилителя) с тем, чтобы сигнал на выходе выражался передаточной функцией от сигнала на входе. При переносе, передаче сигнала в усилителе на единичную длину, сигнал преобразуется функцией $T$:
\be
F(z\!+\!1)=T\big(F(z)\big)
\iL{transfereq}
\ee
Здесь, как и в предыдущей секции, буквой $T$ обозначена передаточная функция,
$z$ - координата, вдоль которой распространяется сигнал (усиливаемый свет, или звук, или ещё чего-нибудь эдакое),
и функция $F$ выражает зависимость сигнала от этой координаты.
(В Лазерной Науке, сигналом называется усиливаемое излучение, иногда видимый свет, даже если никакая информация с этим излучением не передается.)
Если длина усилителя не точно один метр, то без ограничения общности можно взять длину усилителя за новую единицу измерения.
%Поэтому не обязательно вводить в уравнение переноса ещё одну переменную.
%\vskip 2mm
Решение $F$ уравнения  \rf{transfereq} называется суперфункцией по отношению к передаточной функции  $T$. В соответствии с Аксиомой ТОРИ номер 6, о простоте, я по умолчанию считаю, что и передаточная функция $T$, и суперфункция $F$ голоморфны в той области, коротая требуется для рассмотрения.
\vskip 2mm

Обратная функция, то есть  $G\!=\!F^{-1}$, называется абельфункцией, или функцией Абеля, для передаточной функции $T$.
Абельфункция $G\!=\!F^{-1}$ удовлетворяет уравнению Абеля
\be
G(T(z))=G(z)+1
\iL{abeleq}
\ee
Уравнения \rf{transfereq} и  \rf{abeleq} получаются одно из другого заменой переменной.
Читатели приглашаются проделать это несложное преобразование в порядке упражнения (или подсмотреть этот вывод в какой-нибудь Википедии \cite{wikiabel} ).
\vskip 2mm

Уравнение \rf{transfereq} тоже иногда называют уравнением Абеля, и это может вызвать путаницу. Чтобы избежать путаницы, я называю соотношение \rf{transfereq} передаточным уравнением, и лишь уравнение, похожее на \rf{abeleq}, - уравнением Абеля.
\vskip 2mm

Решение $F$ уравнения \rf{transfereq} я называю суперфункцией, а решение $G$ уравнения уравнение \rf{abeleq} называю aбельфункцией. В общем случае решения не единственны. Я выбираю решения так, что $F(G(z))\!=\!z$ в некоторой области значений $z$; обычно в некоторой окрестности вещественной оси или, хотя бы, в окрестности некоторого отрезка вещественной оси.
\vskip 2mm

Вернемся к задаче об Изготовителе и Физике, упомянутой в предыдущей секции.
Допустим, Физику удалось найти решение $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq}, имеющее физический смысл. Тогда он может построить 
%функцию Абеля, то есть 
абельфункцию $G=F^{-1}$ и выразить передаточную функцию усилителя произвольной длины $z$:
\be
T^z(x)=F(z+G(x))
\eL{Tzx}
Таким образом, решение задачи о восстановлении передаточной функции усилителя произвольной длины по
передаточной функции $T$ усилителя единичной длины сводится к нахождению подходящего решения $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq} и построению соответствующей обратной функции $G$. Тогда передаточная функция усилителя длины $z$ выражается явным образом \rf{Tzx}. 

\section{Множественность решений}
\baselineskip 19.8pt

Решение $F$ уравнения \rf{transfereq} не единственно.
Можно сузить множество решений, если выбрать значение функции 
$F$  в нуле, то есть потребовать, чтобы 
\be
F(0)=F_0
\eL{f0}
где $F_0$ есть фиксированная константа. Во многих случаях, эта константа не влияет на восстановление нецелой итерации передаточной функции по формуле  \rf{Tzx} в том смысле, что при преобразовании
\be
\tilde F(z)=F(z\!+\!x_0)
~,~
\tilde G(z)=G(z)\!-\!x_0 
\eL{zo}
и подстановке $F \rightarrow \tilde F$, $G\rightarrow \tilde G$ в уравнение \rf{Tzx} , получаемое значение для нецелой итерации передаточной функции не меняется.
\vskip 2mm

Однако даже после такого сужения, решение не становится единственным. Если $F$ решение, то новое решение $\tilde f$
можно построить по формуле
\be
\tilde f(z)=F\big(z+\theta(z)\big)
\eL{tif}
где $\theta$ есть голоморфная периодичная функция с периодом единица. При  $\theta(0)=0$, даже условие \rf{f0} для суперфункции $\tilde f$ сохраняется.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{150px}
\begin{picture}(196,64)
\put(4,0){\sx{.7}{\ing{SqrtFactorialLogo}}}
%\put(10,0){\sx{.666}{\ing{s}}}
\end{picture}
\vskip -2pt
\caption{Значок Физфака МГУ 
%(слева) в сравнении со значком 
и значок Мехмата% (справа) 
%\small \iL{SqrtFactorialLogo}
\label{SqrtFactorialLogo}
}\vskip -3mm
\end{wrapfigure}

Неоднозначность указывает, что могут быть разные способы восстановления нецелой итерации передаточной функции. Поэтому многие думали, что нецелые итерации функций смысла не имеют. В частности, считалось \cite{kandidov}, что не имеет смысла 
выражение $\sqrt{\,!\,}=\mathrm{Factorial}^{1/2}$,
означающее половинную итерацию от факториала. Это выражение используется в качестве эмблемы Физфака МГУ
(см.рис. \ref{SqrtFactorialLogo})
с 1950 года, и было интересно придать ему четкий физический и математический смысл. Это удалось сделать только в 2009 году \cite{facr}, когда был построен аппарат суперфункций.
%Это удалось сделать, потребовав, чтобы решение  $f$ уравнения \rf{tif} было голоморфной функцией.
%\cite{facr}. Поведение соответствующего легендарного "корня из вакториала", то есть половинной итерации функции "Факториал", показано на рисунке 1 толстой кривой. Для сравнения, тонкая кривая показывает поведение функции "Факториал".
\vskip 2mm

Воображение у математиков развито сильнее, чем у физиков. В частности,
%фантазия слегка опережает математику. 
% в использовании формализмов, доказательная сторона которых не завершена. 
вопрос о математическом смысле нанизывания Мёбиуса на знак интеграла, напрашивающийся при взгляде на эмблему Mехмата (правая часть рисунка  \ref{SqrtFactorialLogo}), до сих пор не имеет %удовлетворительного
ответа. Возможно, значок Мехмата тоже приобретет смысл в ходе дальнейшего развития суперфункций, когда 
%будет изобретён 
потребуется
новый вид контурного интеграла, в котором функция выворачивается наизнанку, и для его обозначения потребуется Мёбиус.
%заменить обычный интеграл на контурный.
%заменить обычный интеграл на контурный.
%, и голоморфное обобщение топологических зарядов от натуральных чисел к комплексным всё ещё ждет своей реализации.
\vskip 2mm

Проблема нахождения нецелой и, частности, половинной итерации передаточной функции возникает не только при феноменологическом рассмотрении идеализированного усилителя. Похожая задача возникает при анализе неустойчивости работы реактивного двигателя; в простейшем (одномерном) приближении, возникновение и исчезновение неустойчивости по сценарию Помо-Манневиля (Pomeau-Manneville scenario) \cite{pomeau,gac}  описывается квадратичной передаточной функцией. Сходные уравнения используются при анализе устойчивости аттракторов
\cite{Eckmann81}.
%; процесс описывается уравнением $x_{n+1}=F(x_n)~,~x_0=y$.
По крайней мере для одномерных моделей, при этом можно построить абельфункцию и суперфункцию \cite{logistic}, и, соответственно, нецелые итерации передаточной функции.
\vskip 2mm

Наблюдение сходства в построении суперфункций помогло сформулировать задачу о построении суперфункций, абельфнкций и соответствующих нецелых итераций передаточной функции достаточно общим образом. Принципиальным для построения решения (то есть нахождения алгоритма для его вычисления с требуемой точностью) является выбор дополнительных условий, которые обеспечивают единственность этого решения. 

%Наиболее универсальным является требование голоморфизма в достаточно широкой области; такое требование позволяет сильно сузить класс решений. Услове

\section{Постановка задачи}

Допустим, известна некоторая передаточная функция $T$, голоморфная в некоторой достаточно широкой области значений аргумента...
\vskip 2mm

Какие дополнительные условия надо наложить на суперфункцию $F$ (или на абельфункцию $G=F^{-1}$)  для того, чтобы передаточное уравнение \rf{transfereq} (или уравнение Абеля \rf{abeleq}) имело единственное решение?
\vskip 2mm

Как формулировать эти условия для того, чтобы это решение имело физический смысл?
\vskip 2mm

Как вычислять суперфункцию и абельфункцию, удовлетворяющие сформулированным условиям?
\vskip 2mm

Как проверить, то вычислена именно та функция, которая имеет физический смысл?
\vskip 2mm

Целью Книги являются ответы на такие вопросы, изложение этих ответов в максимально простой и подробной форме.
По большей части, эти ответы являются упрощенным пересказом опубликованных ранее 
%результатов
статей
\cite{analuxp,sqrt2,vladir,logistic,factorial,e1e,susin,sutra,2013or}. 
%Я стараюсь не включать в Книгу результаты, которые не проверялись рецензентами научных журналов. %(хотя рецензенты не всегда отлавливают ошибки \cite{}).
\vskip 2mm

В следующей главе 
%рассмотрены некоторые 
предложены примеры суперфункций и абельфункций, а в последующих главах разобраны общие алгоритмы их вычисления и применение к физическим задачам. 
Описание состояния физической системы с помощью одного параметра уже является сильным приближением, и хотя бы для этого случая желательно представить решение в простом и ``точном'' виде.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{r}{240px}
%\sx{.33}{\begin{picture}(300,940)
\begin{wrapfigure}{r}{180px}
\vskip -14pt
\sx{.25}{\begin{picture}(300,920)
\put(20,-40){\ing{DevchonkaMartini}}
\end{picture}}
\vskip -2mm
\caption{\large %Девчонка покупает 
Сухой Мартини \label{martini}}
\vskip -4mm
\end{wrapfigure}

Для примеров хотелось бы использовать не сложные функции. Имеется некоторая терминологическая сложность в том, чтобы квалифицировать некоторые функции как не сложные для рассмотрения. Хотелось бы использовать привычное для физиков (и не только) прилагательное ``простой'',
однако в математике этот термин, применительно к функции, может означать еще, что функция измерима.
\footnote{
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_function}
%\\ $\rm \backslash url\{http://ru.wikipedia.org/wiki/$Простая\_функция\} \\
Простая функция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.}
Таким образом, слова ``не сложный'' приходится писать отдельно, так как слово ``простой'' может иметь иной смысл.
Примерно так же прилагательное ``сухой'', применённое к вину или к Мартини, радикально меняет своё значение (см. рис. \ref{martini}).
Если Вы можете предложить ещё более простые (менее сложные, но всё ещё не тривиальные) примеры, дайте знать.
%\vskip 3mm
%На этом я заканчиваю общий трёп про суперфункции. В следующей главе появляются, наконец, примеры суперфункций.

\chapter{~ Примеры суперфункций \label{ExamplesOfSuperfunctions}}
\baselineskip 21pt

Прежде чем вычислять суперфункции и абельфункции для каких попало передаточных функций, имеет смысл посмотреть, в каких случаях суперфункция и абельфункция могут быть представлены в виде несложной комбинации хорошо известных функций. Книга задумана как популярная, поэтому уместно начать с таких примеров. Они рассмотрены в этой главе. %Таким образом, э
Эта глава может рассматриваться как продолжение введения: для 
%рассмотрения
анализа
приведенных здесь примеров не требуется каких-либо специальных методов построения суперфункций.
\vskip 2mm

В предыдущей главе суперфункция $F$ для передаточной функции $T$ определяется как решение уравнения
\rf{transfereq}
\be
\nonumber
F(z+1)=T(F(z))
\ee
Чтобы не тянуть кота в долгий ящик, %за хвост
%, в этой главе перечислены примеры суперфункций,
%в следующей секции 
ниже
предлагается таблица суперфункций, 
%рассмотренных 
представленных
в этой Книге;
в последующих секциях и главах, свойства этих суперфункций рассмотрены более подробно.

\section{Таблица суперфункций}

\begin{table}%\title{Table of SuperFunctions}
\begin{center}
%{\bf TABLE 1. Examples of SuperFunctions}
%\baselineskip 22pt
\caption{Примеры суперфункций, $~T(z)=f\Big(1+g(z)\Big)$  \label{TableOfSuperfunctions}}
\hskip -1mm
\newcommand \vv {\rule{0pt}{22pt}}
\sx{.95}{\baselineskip 28pt\begin{tabular}{r|l|l|l|c}
&$\!T(z)\!
%=\! f(1\!+\!g(z))\!
		$&$f(z)    		$&$g(z)=f^{-1}(z)            $& замечание \\  \hline
1&$c				$&$ c			$& Не существует & \vv \\			
2&$\!z\!+\!1		$&$b+z			$&$z-b			$&$b\in \bC		$ \vv\\
3&$b+z		$&$b z + c		$&$(z-c)/b				$&$b\ne 0		$ \vv\\
4&$b z + c		$&$b^z+\frac{c}{1-b}$&$\log_{b}\!\left(z-\frac{c}{1-b}\right) $& $b\!\ne\!0$, $b\ne 1$, \cite{log} \vv\\ 
5&$b^z 		$&${\rm tet}_b(z)		$&${\rm ate}_b(z)	$& \cite{analuxp,sqrt2,e1e} \vv\\
6&$z^b 		$&$\exp(b^z)		$&$\log_{b}\!\big(\ln(z)\big)	$&\!\rf{Pow}, $b\!>\!0$, $b\!\ne\! -1$ \vv\\ 
7&$-a^2/z		$&$\ds a \tan\Big(\frac{2}{\pi}z\Big)	$&$\ds \frac{2}{\pi}\arctan(z/a)	$&$ a>0$ \vv\\ 
8&$\ds \frac{z}{c+z}	$&$\ds \frac{1-c}{1-c^z}$&$\ds \log_c\Big(1-\frac{1-c}{z}\Big)	$&$ c\ne 0~$, $~ c\ne 1$ \vv\\ 
9$\vv$&$\ds \frac{z}{1+z}	$&$\ds 1/z$&$1/z$&$f\!=\!g$; $~T^n(z)\!=\!\frac{z}{1+n z}$  \vv\\ 
10&$\ln(b\!+\!\rme^z)	$&$\ln(bz)		$&$\rme^z/b	$&$b\ne 0$  \vv\\
11&$(a^b\!+\!z^b)^{1/b}	$&$az^{1/b}		$&$(z/a)^b	$&$a\!>\!0$, $b\!\ne\!0	$ \vv\\
12&$2z \sqrt{1\!-\!z^2}	$&$\sin(\pi 2^z)		$&$\log_2\!\big(\arcsin(z)/\pi\big)$& \vv\\
13&$2z\sqrt{1\!+\!z^2}$&$\sinh(2^z)$&$\log_2\!\left(\ln\left(z+\sqrt{z^2\!+\!1}\!~\right)\!/\pi\right)\!$& \vv\\
14&$2z^2-1		$&$\cos(\pi 2^z)	$&$\log_2(\arccos(z))	$&  \vv\\
15&$2z^2-1		$&$\cosh(\pi 2^z)$&$\log_2\!\left(\ln\left(z+\sqrt{z^2\!-\!1}\!~\right)\!/\pi\right)\!$& \vv\\
16&$2z/(1\!-\!z^2)	$&$\tan(2^z)		$&$\log_2(\arctan(z))	$&  \vv\\
17&$2z/(1\!+\!z^2)$&$\tanh(2^z)$& $\ds\log_2\!\left(2\ln\!\left(\frac{z\!+\!1}{z\!-\!1}\right)\right)$&  \vv\\
18&$\fac(z)\!$&${\rm SuFac}(z)\!$&${\!\rm AuFac}(z)$& \rf{regufac}, \rf{abelfac3e} ; \cite{facr} \vv\\
19&$b\,z\,(1\!-\!z)$&$\! \mathrm{LogisticSequence}_b(z) \! $&$	 \mathrm{LogisticSequence}_b^{-1}(z)$& \rf{logilim}, \rf{AbelLogistic} ;  \cite{logistic} \vv\\
%$\!16\vv_{\rule{0pt}{11pt}}$&$\mathrm{LambertW}(z \rme ^z+t) $&$ \mathrm{Tania}(tz) $&$(z+\ln(z)-1)/t $& \cite{tania} \\
20&$\mathrm{Doya}^t(z) $&$ \mathrm{Tania}(tz) $&$(z+\ln(z)-1)/t $&$\!$\rf{Doya}, \rf{taniaprim} \vv\\% ; \cite{2013or,doya} \\
21&$\mathrm{Keller}^t(z) $&$ \mathrm{Shoka}(tz) $&$\mathrm{ArcShoka}(z)/t $&$\!$\rf{KellerDef}, \rf{Shoka} \vv\\% ; \cite{2013or,Keller,Shoka} \\
22&$\sin(z) $&$ \mathrm{SuSin}(tz) $&$\mathrm{AuSin}(z)/t $& \rf{susindef}, \cite{susin}  \vv\\
23&$z \exp(z) $&$ \mathrm{SuZex}(tz) $&$\mathrm{AuZex}(z)/t $& \rf{zexDef} \cite{sutra}  \vv\\
24&$z+\exp(z) $&$ \mathrm{SuTra}(tz) $&$\mathrm{AuTra}(z)/t $& \rf{tra} \cite{sutra}  \vv\\
\hline
&$P(T(Q(z)))\vv \!$& $P(f(z))$ & $g(Q(z))$ & $P(Q(z))\!=\!z$%, $P(Q(z))\!=\!z$
\\  \hline
\end{tabular}}
\end{center}
\end{table}

В этой секции представлена таблицa суперфункций. Есть аналогии между таблицей суперфункций и таблицей интегралов. Эта аналогия рассмотрена ниже.
\vskip 2mm

Операция дифференцирования проще, чем операция интегрирования; по крайней мере в тех случаях, когда исходная функция выражена через несложную комбинацию специальных функций.
Один из моих учителей квантовой механики, Владимир Кривченков (и, вероятно, не он первый) говорил, что дифференцировать можно научить даже обезьяну, но с интегрированием труднее. В ту эпоху задача считалась решенной, если решение удавалось выразить в виде формулы, которую можно найти в Градштейне-Рыжике; так называлась большая толстая черная книга %(Толще Библии)
``Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений''
\cite{gr}. Тогда еще не было настольных компьютеров, умеющих дифференцировать и интегрировать,  и такая книга была одним из основных инструментов любого серьезного исследователя. Составление таблиц интегралов было важным, трудным (и, вероятно, нудным) делом.
\vskip 2mm

Одним из способов составления таблицы интегралов является составление таблиц производных.
Берется абы-какая несложная комбинация известных специальных функций и дифференцируется. Если результат удается упростить настолько, что его можно уместить на одной строчке таблицы, то он декларируется как интегранд, который ``удалось проинтегрировать'', а исходная ``абы-какая несложная комбинация'' декларируется как результат интегрирования; такой интегранд и такой ``результат'' заносятся в таблицу.
\vskip 2mm

Аналогично можно поступать и с суперфункциями. 
Берётся абы-какая несложная комбинация $f$ специальных функций и обращается.
Если $g=f^{-1}$ удается представить в виде несложной комбинации специальных функций 
(результат умещается в ячейке таблицы), 
и если при этом в ячейке таблицы умещается выражение
\be
T(z)=f(1+g(z))
\eL{tfg}
то функция $T$ декларируется как {\em передаточная функция, для которой удалось построить суперфункцию и абельфункцию} и заносится в первый столбец таблицы; функция   
$f$ декларируется как построенная для этой $T$ суперфункция, а функция 
$g$ декларируется как соответствующая абельфункция.
\vskip 2mm

Таким образом получена таблица 3.1, но туда добавлены еще некоторые функции, построение которых описано в последующих главах.
%Имеется в виду, что е
Если свойства функции известны, то есть известны её область голоморфизма и асимптотические разложения, и имеется эффективный алгоритм для её вычисления, то функция считается специальной; в этом случае, вместо громоздкого представления, в таблице суперфункций достаточно указать имя этой функции.
\vskip 2mm

Таблица суперфункций -- 
%важное достижение теории суперфункций, 
это базовый набор инструментов для вычисления нецелых итераций. Поэтому эта таблица выделена в особую главу. В последующих главах рассказывается, как вычислять суперфункии и абельфункции таблицы 3.1.

\section{Построение элементарных суперфункций}

В этой секции рассказано, как получены первые строчки таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}.
Для поиска ``подходящих'' триад (передаточная функция, суперфункция, абельфункция) использован сортвер  Mathematica. В качестве примера, ниже показано, как получена и проверена 12я
%десятая 
строка таблицы.
\vskip -6mm

~{\bf %\large
\begin{verbatim}
f[z_] = Sin[Pi 2^z]
g[z_] = Log[ArcSin[z]/Pi]/Log[2]
f[g[z]]
T[z_]=2 z Sqrt[1 - z^2]
Simplify[T[z] - f[1 + g[z]]]
\end{verbatim}
}
%\baselineskip 14pt
% Почему-то вербатимная таблица переустанавливает расстояние между строками.
В языке  Mathematica, аргумент функции всегда указывается в квадратных скобках. Каких-либо иных, специфичных для Математики, трюков при этом не использовано, так что перевод такого кода на другие языки прост. Я надеюсь, что каждый может легко запрограммировать элементарные суперфункции из таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}, и поэтому здесь не привожу их графики.
\vskip 2mm

Аналогичный поиск 
%несложных 
суперфункций проводился также с софтвером ``Maple''. Целью была проверка на буги софта ``Математика'', а также надежда, что канадский Клен выявит какие-нибудь новые несложные пары ($f$,$g$), пропущенные американской программой.
Несколько бугов программы ``Matematica'' были выявлены, сообщены администраторам Вольфрама и уже исправлены в текущей версии Математики, но новых 
%несложных 
элементатных
суперфункций обнаружить не удалось. Я буду признателен коллегам, которые укажут новые, умещающиеся в одной строчке таблицы триады ($T$, $f$, $g$) элементарных функций.
\vskip 2mm

Для элементарных суперфункций из таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}, проверка может быть проведена и без компьютера, с карандашом и бумагой; для этого достаточно знания математики в программе общеобразовательной школы. 
%Впрочем, для российских чиновников ``нулевых'' годов, такое упражнение не рекомендуется:  
Судя по запуску в 2008 году на околоземную орбиту спутника ``Юбилейный'' с вечным двигателем на борту, в России даже министры не знают 
элементарных вещей, поэтому стараюсь ориентироваться на самый базовый уровень читателей..
%даже закона сохранения энергии-импульса и, вероятно, их образование соответствует уровню детского сада; такую гипотезу подтверждает также их лексика. Так что если Вы не сумели воспроизвести какую-либо строчку таблицы, то либо вы могли бы работать министром в РФ начала 21 века, либо вам 
Если Вы не можете воспроизвести какую-либо формулу их Книги, то Вам
надо обратиться ко мне за помощью. Я буду благодарен читателям, которые найдут и укажут мне на ошибки, и, в частности, в таблице \ref{TableOfSuperfunctions}, если они там есть.
\vskip 2mm

В таблице \ref{TableOfSuperfunctions} собраны лишь самые простые из суперфункций. С помощью последней строчки таблицы, эти функции могут быть модифицированы. Любая пара взаимно-обратных функций $P$ и $Q$ определяет преобразование, которое может применяться к предыдущим строчкам,  давая новые передаточные функции и соответствующие суперфункции и абельфункции.
\vskip 2mm

Несложное масштабирование связывает квадратичную передаточную функцию в 14й и 15й строках таблицы с логистичеким оператором 
(logistic operator) в 19 строке, если параметр  $b\!=\!4$; в этом случае логистическая последовательность выражается элементарной функцией и её
обобщение на случай нецелых значений аргумента тривиально. С помощью аппарата суперфункций, такое континуальное обобщение логистической последовательности возможно и при иных значениях параметра \cite{logistic}.
\vskip 2mm

Частным случаем преобразования суперфункции является сдвиг её аргумента на константу. В некоторых случаях трудно распознать такой сдвиг: например, суперфункции в 14й и 15й строчках таблицы соответствуют одной и той же передаточной функции $T(z)\!=\!2z^2\!-\!1$; и эти суперфункции получаются одна из другой трансляцией аргумента на константу $\rmi \pi \ln(2)/2$. Сходные соотношения имеют место и для других суперфункций. Для суперфункций от экспоненты по основанию $b$  при $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\rme)~$ \cite{sqrt2}, этот случай рассмотрен в Девятой главе.
\vskip 2mm

Аналогично, новые расширения таблицы суперфункций можно строить преобразованиями уже представленных в ней функций. Формулы для такого преобразования представлены в последней строке таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}.

\section{Имплементация суперфункций}

В простых случаях, имплементации суперфункций и абельфункций тривиальны; их представления через элементарные функции могут быть запрограммированы ``как есть''. Для более сложных случаев, особенно для комплексного аргумента, следует позаботиться о том, как пройдут линии разреза области голоморфизма.
%По умолчанию, в этой Книге, как и на сайте ТОРИ, 
Я стараюсь, чтобы разрезы были прямыми и шли параллельно оси абсцисс в направлении убывания абсцисс, хотя не всегда это возможно.
\vskip 2mm

Для эффективной имплементации суперфункций, приходится сшивать, склеивать несколько аппроксимаций.
К представлению, применимому вблизи вещественной оси, приклеиваются представления, адекватные при значительных значениях мнимой части аргумента.
Или к представлению, эффективному при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента, приклеивается представление, полученное с помощью передаточного уравнения. Если клей хорош, то не только значения функции, но и значения всех её производных оказываются непрерывными, и можно говорить о том, что аппроксимирована голоморфная функция. Когда погрешность такой аппроксимации можно уменьшать до любого требуемого значения, можно говорить, что построена точная суперфункция. 
%\vskip 2mm
\footnote{
Задача математика, собирающего  представления голоморфной функции, проще, чем задача хирурга, к которому привезли 
%несколько грузовиков 
руки, ноги, животы и головы пассажиров и экипажа самолета, сбитого террористами, и предложили собрать их них 
несколько сот 
%здоровых 
живых граждан. По крайней мере, кусочки функций можно начинать склеивать сразу, не дожидаясь, пока их выкупят у террористов, сбивших самолет.}
%\begin{figure}
%\sx{.5}{\begin{picture}(1200,600)
%\put(0,0){ \ing{Priklei}}
%\end{picture}}
%\caption{Бытовой смысл термина ``приклеить'' \iL{priklei}}
%\end{figure}
%Приклеивание представлений голоморфных функций отличается от приклеивания решений волнового уравнения с кусочно-непрерывным потенциалом; и оба эти случая существенно отличаются от бытового использование термина ``приклеивать'', показанного на рис. \ref{priklei}.
%\vskip 2mm

\JP{
Представления и имплементации элементарных суперфункций рассмотрены в следующей главе.
В последующих главах рассмотренны случаи, когда суперфункцию можно выразить через специальные функции (то есть уже описанные в учебниках),
а также случаи, когда описания суперфункций доступны пока лишь в научных журналах. Я стараюсь не включать в Книгу оригинальные (то есть не опубликованные ранее) результаты.
}

\chapter{~ Элементарные суперфункции}
\baselineskip 19pt

Для того, чтобы использовать суперфункции, рассмотренные в этой главе, вовсе не обязательно знать, что они являются суперфункциями. Примерно так же герой Мольера, Журден использует в разговорной речи прозу, и ему до поры %до времени 
нет надобности знать, что он говорит прозой
\cite{moliere}. Однако как только появляется поэзия, для того, как он говорит, нужен специальный термин ``прoза''. 
Аналогично, для того, чтобы объяснить свойства нетривиальных суперфункций, мне сперва приходится рассказать о свойствах тривиальных.
%Этим свойствам 
Таким суперфункциям
посвящена эта глава.
\vskip 2mm

В начальной школе, изучение функций начинают с линейной функции. Это достаточно простой случай.
Чтобы коллеги не говорили, что формализм суперфункций слишком сложен, мне приходится начинать именно с линейной функции. Приметы итераций линейной функции рассмотрены в следующей секции.

\section{Итерации линейной функции}

\begin{figure}[t] 
\hskip 12pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(1002,900)
%\sx{.44}{\begin{picture}(960,970)
%\begin{center}
%\sx{.28}{\begin{picture}(960,970)
\sx{.4}{\begin{picture}(960,970)
\put(0,0){\ing{itelin125}}
\put(480,984){\sx{3}{$y$}}
\put(480,892){\sx{3}{$4$}}
\put(480,792){\sx{3}{$3$}}
\put(480,692){\sx{3}{$2$}}
\put(480,592){\sx{3}{$1$}}
\put(479,492){\sx{3}{$0$}}
\put(454,391){\sx{3}{$-1$}}
\put(454,291){\sx{3}{$-2$}}
\put(454,191){\sx{3}{$-3$}}
\put(454,91){\sx{3}{$-4$}}
\put(70,475){\sx{3}{$-4$}}
\put(170,475){\sx{3}{$-3$}}
\put(270,475){\sx{3}{$-2$}}
\put(370,475){\sx{3}{$-1$}}
\put(495,475){\sx{3}{$0$}}
\put(595,475){\sx{3}{$1$}}
\put(695,475){\sx{3}{$2$}}
\put(795,475){\sx{3}{$3$}}
\put(895,475){\sx{3}{$4$}}
\put(984,476){\sx{3.1}{$x$}}
\put(410,870){\rot{89}\sx{3.1}{$n\!\rightarrow\!\infty$}\ero}
\put(440,870){\rot{84}\sx{3.1}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(470,870){\rot{82}\sx{3.1}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(530,870){\rot{74}\sx{3.1}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(616,870){\rot{65}\sx{3.1}{$n\!=\!1.2$}\ero}
\put(646,870){\rot{62}\sx{3.1}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(682,870){\rot{59}\sx{3.1}{$n\!=\!0.8$}\ero}
\put(724,870){\rot{57}\sx{3.1}{$n\!=\!0.6$}\ero}
\put(768,870){\rot{53}\sx{3.1}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(822,870){\rot{48}\sx{3.1}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(880,867){\rot{45}\sx{3.1}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(890,813){\rot{41}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(889,760){\rot{36}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(889,712){\rot{32}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.6$}\ero}
\put(889,671){\rot{29}\sx{3.1}{$n\!=\!-0.8$}\ero}
\put(889,633){\rot{26}\sx{3.1}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(905,518){\rot{13}\sx{3.1}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(900,424){\rot{2}\sx{3.1}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(874,392){\rot{.01}\sx{3.1}{$n\!\rightarrow\!-\infty$}\ero}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip -2pt
\hskip 18pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg} 
\vskip -4mm
\caption{%\large
Итерации линейной функции \rf{TABz} при $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$;  проведены линии $y\!=\!T^n(x)$  для различных $n$
%Использовано представление \rf{itelin125},
\iL{itelin125}}
\vskip 4pt
\end{figure}
Рассмотрим передаточную функцию
\be T(z)=A+B z \eL{TABz}
Пример такой функции показан на рисунке \ref{itelin125} для $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$. 
%генератор этого рисунка загружен в ТОРИ по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg} 
%На рисунке \ref{itelin125}, 
График $~y\!=\!T^n(x)$ построен для различных значений $n$.
%Для наглядности п
Проведены также линии, соответствующие плюс бесконечной (вертикальная прямая) и минус бесконечной (горизонтальная прямая) итерациям.
 %$n$я 
Энная итерация функции $T$ может быть представлена в таком виде:
\be
T^n(z)=A\frac{B^n-1}{B-1}+B^n z
\eL{TABzn}
Именно это представление использовано для генерации рисунка \ref{itelin125}. 
%Генератор рисунка загружен в ТОРИ по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg}.
\vskip 2mm

Все графики на рисунке представляют собой прямые линии, пересекающиеся в точке $(L,L)$ координатной плоскости. Стационарная точка (fixed point) $L$ функции $T$, определенной формулой \ref{TABz}, задается уравнением $A+BL=L$, то есть
\be
L=A/(1-B)
\eL{Llin}
При $B\!\rightarrow \!1$, стационарная точка убегает на бесконечность, и графики итераций становятся параллельными прямыми. 
Для $A\!=\!1$, $B\!=\!2~$, получается значение $L\!=\!-1$, поэтому линии на рисунке  \ref{itelin125} пересекаются в точке $(-1,-1)$.
Представление \rf{TABzn} можно получить также по общей формуле \rf{Tzx} с суперфункцией
\be
F(z)=A\frac{1-B^z}{1-B}
\eL{FTABz}
и абельфункцией
\be G(z)=\log_b\Big(1+\frac{B-1}{A} z\Big)
\eL{GTABz}

В частном случае $B\!=\!1$, передаточная функция не имеет стационарных точек, и представления \rf{TABzn}, \rf{FTABz}, \rf{GTABz} не применимы. Для этого случая, то есть $T(z)\!=\!A\!+\!z$, суперфункция и абельфункция могут быть записаны так:
\be
F(z)=Az ~,~  ~  G(z)=z/A
\ee
их комбинация дает
\be
T^n(z)=F(1+G(z))=A~(n+z/A)=An+z
\ee
Это упражнение доступно даже школьнику, и пусть его проделает тот, кто считает, что
``формализм суперфункций слишком сложен''.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{200px}
\hskip -2pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(1278,464)
%\begin{center}
%\vskip 18pt
\sx{.33}{\begin{picture}(600,200)
\put(10,0){\ing{izpishki}}
\end{picture}}
\hskip -4pt
\caption{\large Из пушки по воробьям \label{izpishki}}
%\hskip -8pt
\end{wrapfigure}
%\section{Дробно-линейная функция}

Для линейной передаточной функции  \rf{TABz}, использование суперфункции 
\rf{FTABz} и  абельфункции \rf{GTABz} 
соответствует термину
%можно квалифицировать термином 
``Стрелять из пушки по воробьям''
(рис. \ref{izpishki}). 
Однако этот пример показывает, как работают в паре суперфункция и абельфункция.

\section{Рациональная функция}
\baselineskip 20.4pt

\begin{figure}[h]
\hskip 22pt
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002) 
\put(-70,1950){\sx{8}{$y$}} 
\put(-70,1780){\sx{7}{$8$}} 
\put(-70,1580){\sx{7}{$6$}} 
\put(-70,1380){\sx{7}{$4$}} 
\put(-70,1180){\sx{7}{$2$}} 
\put(-70,0980){\sx{7}{$0$}} 
\put(-110,780){\sx{7}{$-2$}} 
\put(-110,580){\sx{7}{$-4$}} 
\put(-110,380){\sx{7}{$-6$}} 
\put(-110,180){\sx{7}{$-8$}} 
\put(120, -66){\sx{7}{$-8$}} 
\put(320,-66){\sx{7}{$-6$}} 
\put(520,-66){\sx{7}{$-4$}} 
\put(720,-66){\sx{7}{$-2$}} 
\put(988,-66){\sx{7}{$0$}} 
\put(1188,-66){\sx{7}{$2$}} 
\put(1388,-66){\sx{7}{$4$}} 
\put(1588,-66){\sx{7}{$6$}} 
\put(1788,-66){\sx{7}{$8$}} 
\put(1958,-66){\sx{8}{$x$}} 
\put(0,0){\ing{f1xmap}} 
\put(0930,1666){\sx{8}{$u\!=\!0$}}
\put(1430,1666){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}}
\put(1030,1490){\sx{8}{$v\!=\!0.2$}}
\put(1660,1430){\sx{8}{$u\!=\!-0.1$}} 
\put(120,1320){\sx{8}{$u\!=\!0.1$}} 
\put(280,1120){\sx{8}{$v\!=\!0.2$}} 
\put(1480,1120){\sx{8}{$u\!=\!-0.2$}} 
\put(200,982){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(1610,982){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(640,438){\sx{8}{$v\!=\!-0.2$}}
\put(930,306){\sx{8}{$u\!=\!0$}}
\put(1410,176){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}} 
\end{picture}} 
\vskip 16pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:F1xmapT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\! T(x\!+\!\mathrm i y)=1/(x\!+\!\mathrm i y)$ 
\iL{f1xmap}  }
\vskip 4pt
\end{figure}

\begin{figure}[h]
%\sx{.24}{\begin{picture}(1004,1004)
\sx{.42}{\begin{picture}(1004,1004)
\put(479,984){\sx{3}{$y$}}
\put(479,892){\sx{3}{$4$}}
\put(479,792){\sx{3}{$3$}}
\put(479,692){\sx{3}{$2$}}
\put(479,592){\sx{3}{$1$}}
\put(479,492){\sx{3}{$0$}}
\put(459,392){\sx{3}{$-1$}}
\put(459,292){\sx{3}{$-2$}}
\put(459,192){\sx{3}{$-3$}}
\put(459, 92){\sx{3}{$-4$}}
\put( 78,474){\sx{3}{$-4$}}
\put(178,474){\sx{3}{$-3$}}
\put(278,474){\sx{3}{$-2$}}
\put(378,474){\sx{3}{$-1$}}
\put(494,474){\sx{3}{$0$}}
\put(594,474){\sx{3}{$1$}}
\put(694,474){\sx{3}{$2$}}
\put(794,474){\sx{3}{$3$}}
\put(986,475){\sx{3}{$x$}}
\put(0,0){\ing{frac1z}}
\put( 62,886){\rot{44}\sx{3}{$n\!=\!1.7$}\ero}
\put(166,774){\rot{44}\sx{3}{$n\!=\!1.6$}\ero}
\put(176,678){\rot{30}\sx{3}{$n\!=\!1.5$}\ero}
\put(180,626){\rot{20}\sx{3}{$n\!=\!1.4$}\ero}
\put(180,588){\rot{16}\sx{3}{$n\!=\!1.3$}\ero}
\put(180,563){\rot{11}\sx{3}{$n\!=\!1.2$}\ero}
\put(180,523){\rot{9}\sx{3}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(180,441){\rot{7}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(568,866){\rot{84}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,866){\rot{80}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(665,866){\rot{78}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(734,866){\rot{69}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(840,827){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(866,714){\rot{20}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(866,643){\rot{12}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(866,602){\rot{8}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(866,572){\rot{05}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(866,529){\rot{04}\sx{3}{$n\!=\!-0.6$}\ero}
\put(866,466){\rot{02}\sx{3}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(866,426){\rot{04}\sx{3}{$n\!=\!-1.2$}\ero}
\put(866,368){\rot{07}\sx{3}{$n\!=\!-1.4$}\ero}
\put(870,320){\rot{09}\sx{3}{$n\!=\!-1.5$}\ero}
\put(872,230){\rot{20}\sx{3}{$n\!=\!-1.6$}\ero}
\put(882, 30){\rot{44}\sx{3}{$n\!=\!-1.7$}\ero}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Frac1zt.jpg}
\caption{\large $y\!=\!T^n(x)$  для  функции $T(z)\!=\!-1/z$ при различных $n$ 
%\rf{frac1z}. 
%Генераторы этих изображений загружены в ТОРИ по урлям
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg} и
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Gz2z1mapT.jpg}
%\EN{Map of function $t(z)=-1/z$ by \rf{Tuvwz} at $~u\!=\!0~$, $~v\!=\!-1~$, $~w\!=\!0~$; $~\mu + \mathrm \nu= T(x+\mathrm i y)$, left picture; explicit plot of iterations of $t$ by \rf{frac1z}, right picture.  }%EN
 \label{f1ziteplot} 
}
%\iL{frac1z}}
\end{figure}

Обобщением линейной функции является дробно-линейная функция. Она же называется ``рациональная функция''.
%Её итерация может быть представлена как тоже дробно-линейная функция.
\EN{As a sample , the complex map of function $T(z)=-1/z$ is shown in figure \ref{f1xmap}}
Как пример, на рисунке \ref{f1xmap} показана карта функции  
\be
T(z)=-1/z 
\eL{Tzm1z}
%Генератор этого рисунка загружен по урлю \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg}.
Для такой функции, уровни постоянной вещественной части и уровни постоянной мнимой части суть окружности, и все эти окружности проходят через начало координат.
\vskip 2mm

Для вещественного аргумента, итерации этой функции показаны на рисунке \ref{f1ziteplot}. Передаточная функция по формуле \rf{Tzm1z} интересна тем, что она самоинверсна (self-inverse), 
$T^{-1}\!=\!T$. Например, на рисунке \ref{f1ziteplot} нет специальной кривой, соответствующей $n\!=\!2$: она совпадает с прямой $y\!=\!x$.
%Я загрузил генераторы рисунков \ref{f1xmap} и \ref{f1ziteplot} по урлям\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:F1xmapT.jpg}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Frac1zt.jpg}\\
Ниже я рассказываю, как вычисляются такие итерации и как строятся эти рисунки.
\vskip 2mm

Нетрудно рассмотреть даже чуть более общий случай. Пусть 
\be T(z)=-a^2/z \eL{mta2z}
где $a$ есть константа. Для   $a\!=\!1$,  комплексная карта такой передаточной функции представлена на рисунке \ref{f1xmap}. Итерации этой функции показаны в правой части рисунка 
\ref{f1ziteplot}.
%\ref{frac1z}.
\vskip 2mm

Для  передаточной функции по формуле \rf{mta2z}, суперфункция 
может быть записана в виде
\be F(z)= a~ \tan\Big(\frac{\pi}{2} z\Big)\ee
а соответствующая Абельфункция
\be
G(z)=F^{-1}(z)= \frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac{z}{a}\right) \ee
При этом  $n$ная 
итерация записывается в виде
%Then, the $n$th iteration of the [[transfer function]] $T$ by (40) can be expressed as follows:
\be
T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\ee
 Суперфункция и абельфункция для такой передаточной функции представлены в седьмой строчке таблицы 
 \ref{TableOfSuperfunctions}. При $a\!=\!1$, такое представление может использоваться для рисунка \ref{f1ziteplot}.
\vskip 2mm

Дробно-линейная функция 
%eщё более 
общего вида может выглядеть так:
\be
T(z)=\frac{U+V z}{W+z}
\eL{Tuvwz}
где $U$, $V$ и $W$ суть параметры. 
Случай линейной функции, рассмотренный в предыдущей секции, может быть получен как предельный переход  
$W\!\rightarrow\! \infty$ при постоянных значениях $U/W$ и $V/W$. \\
Функция по формуле \rf{Tzm1z} получается при $U\!=\!-1$, $V\!=\!0$, $W\!=\!0$.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.22}{\begin{picture}(704,704)
%\sx{.6}{\begin{picture}(704,704) 
%\hskip 20px
\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
\put(0,0){\ing{fracit05}}
\put(104,684){\sx{3}{$y$}}
\put(104,592){\sx{3}{$5$}}
\put(104,492){\sx{3}{$4$}}
\put(104,392){\sx{3}{$3$}}
\put(104,292){\sx{3}{$2$}}
\put(104,192){\sx{3}{$1$}}
\put(194,104){\sx{3}{$1$}}
\put(294,104){\sx{3}{$2$}}
\put(394,104){\sx{3}{$3$}}
\put(494,104){\sx{3}{$4$}}
\put(594,104){\sx{3}{$5$}}
\put(686,105){\sx{3}{$x$}}
\put(18,313){\rot{76}\sx{3.2}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(68,204){\rot{78}\sx{3.2}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,152){\rot{12}\sx{3.2}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(201,560){\rot{88}\sx{3.2}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(247,558){\rot{86}\sx{3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(265,558){\rot{84}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(293,558){\rot{82}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(334,558){\rot{78}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(406,558){\rot{67}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(580,567){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(608,407){\rot{19}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(607,324){\rot{11}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(606,279){\rot{7}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(605,250){\rot{5}\sx{3}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(604,230){\rot{2}\sx{2.9}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,184){\sx{3.1}{$n\!=\!1$}}
\put(620,160){\sx{3.1}{$n\!=\!2$}}
\put(162, 0){\rot{70}\sx{2.9}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(204, 50){\rot{10}\sx{2.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(308, 0){\rot{10}\sx{2.9}{$n\!=\!-1$}\ero}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit05t150.jpg}
\caption{ $y=t^n(x)$ для \rf{tzcz} при  $c=0.5$ 
%слева; $c=1$ в центре, и $c=2$ справа 
\iL{c05} }
\end{figure}
Предложу ещё пример передаточной функции, тоже специальный случай формулы \rf{Tuvwz}.
%Особенно простой вид итераций дробно-линейной функции  $Т$ по формуле  \rf{Tuvwz} получается в случае, когда эта функция имеет вещественные стационарные точки; тогда нецелые итерации выражаются тоже в виде дробно-линейной функции (хотя, вероятно, с другими значениями параметров). 
Пусть 
\be t(z)=\frac{z}{c+z} \eL{tzcz}
тогда 
\be t^n(z)= \frac{z}{\ds c^n+\frac{1\!-\!c^n}{1\!-\!c} z}
\eL{tnzc}
%where $u$, $v$ and $w$ are constants. The case of linear function, consideren in the previous section, can be re
Для  $c=0.5$,
% $c=1$ и $c=2$, 
итерации функции $t$ показаны на рисунке \ref{c05}.
Аналогичным образом, итерации функции $f$ по формуле \rf{tnzc}
%where $u$, $v$ and $w$ are constants. The case of linear function, consideren in the previous section, can be re
для  $c\!=\!1$  показаны на рисунке \ref{c10}, a для  $c\!=\!2$  такие итерации показаны на рисунке \ref{c20}.
Я выделил целые итерации толстыми линиями; иначе, по рисунку, эта ``целостность'' не видна. Такое свойство 
%вообще 
типично для итераций вещественно-голоморфных возрастающих функций: их итерации выглядят столь же естественно, как и сами функции.
\vskip 2mm

%Я ориентируясь на читателей, которые любят картинки больше, чем формулы. Поэтому я сперва объясняю, что на картинках, а потом рассказываю, как они строятся.
\begin{figure}[t]
%\sx{.22}{\begin{picture}(704,704)
%\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
%\hskip 20px
\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
\put(79,684){\sx{3}{$y$}}
\put(79,592){\sx{3}{$5$}}
\put(79,492){\sx{3}{$4$}}
\put(79,392){\sx{3}{$3$}}
\put(79,292){\sx{3}{$2$}}
\put(79,192){\sx{3}{$1$}}
\put(79,92){\sx{3}{$0$}}
\put(94,74){\sx{3}{$0$}}
\put(194,74){\sx{3}{$1$}}
\put(294,74){\sx{3}{$2$}}
\put(394,74){\sx{3}{$3$}}
\put(494,74){\sx{3}{$4$}}
\put(594,74){\sx{3}{$5$}}
\put(686,75){\sx{3}{$x$}}
\put(0,0){\ing{fracit10}}
\put(20,200){\rot{70}\sx{3.2}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(40,154){\rot{69}\sx{3.2}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(6,122){\rot{22}\sx{3.2}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(128, 0){\rot{49}\sx{2.9}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(203, 43){\rot{4}\sx{2.9}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(207,6){\rot{11}\sx{2.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(194,560){\rot{87}\sx{3.2}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(252,558){\rot{85}\sx{3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(274,558){\rot{83}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(304,558){\rot{79}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(352,558){\rot{76}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(424,558){\rot{64}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(580,567){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(610,429){\rot{23}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(608,343){\rot{14}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(607,294){\rot{8}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(606,260){\rot{6}\sx{3}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(605,236){\rot{4}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,178){\sx{3.2}{$n\!=\!1$}}
\put(620,139){\sx{3.2}{$n\!=\!2$}}
\end{picture}} 
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit10t150.jpg}
\caption{ $y\!=\!t^n(x)$ для \rf{tzcz} при  $c\!=\!1$ 
%слева; $c=1$ в центре, и $c=2$ справа 
\iL{c10} }
\end{figure}

\begin{figure}[t]
%\sx{.22}{\begin{picture}(704,704)
%\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
%\hskip 40px
\sx{.6}{\begin{picture}(704,704)
\put(79,684){\sx{3}{$y$}}
\put(79,592){\sx{3}{$5$}}
\put(79,492){\sx{3}{$4$}}
\put(79,392){\sx{3}{$3$}}
\put(79,292){\sx{3}{$2$}}
\put(79,192){\sx{3}{$1$}}
\put(79,92){\sx{3}{$0$}}
\put(94,74){\sx{3}{$0$}}
\put(194,74){\sx{3}{$1$}}
\put(294,74){\sx{3}{$2$}}
\put(394,74){\sx{3}{$3$}}
\put(494,74){\sx{3}{$4$}}
\put(594,74){\sx{3}{$5$}}
\put(686,75){\sx{3}{$x$}}
\put(0,0){\ing{fracit20}}
\put(182,560){\rot{87}\sx{3.2}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(250,558){\rot{83}\sx{3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(278,558){\rot{82}\sx{3}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(313,558){\rot{78}\sx{3}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(363,558){\rot{72}\sx{3}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(440,558){\rot{62}\sx{3}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(580,567){\rot{45}\sx{3}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(610,444){\rot{29}\sx{3}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(608,358){\rot{17}\sx{3}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(607,303){\rot{11}\sx{3}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(606,265){\rot{8}\sx{3}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(605,238){\rot{5}\sx{3}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(620,166){\sx{3.2}{$n\!=\!1$}}
\put(620,120){\sx{3.2}{$n\!=\!2$}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit20t150.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $y\!=\!t^n(x)$ для \rf{tzcz} при  $c\!=\!2$  \iL{c20} }
\end{figure}
%Редакторы этой книги - Алина Платоненко и сменившая её Виктория Самойлова - предлагают разные форматы
%для этой Книги. Теперь оказывается, что рисунки и формулы, приготовленные в прежнем формате, не умещаются; всё приходится форматировать заново, и нумерация рисунков изменяется. Когда этот формат и нумерация устаканятся, можно будет загрузить генераторы рисунков под их номерами в Книге. Пока 
%Я загрузил генераторы рисунков 
%этой секции, то есть рисунков
% \ref{c05}, \ref{c10}, \ref{c20}, \ref{fzfracmap}, \ref{fzfracmap} по таким урлям:\\
% \ref{c05}, \ref{c10}, \ref{c20}, \ref{fzfracmap}, \ref{fzfracmap} по таким урлям:\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit05t150.jpg}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit10t150.jpg}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit20t150.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg} и \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Gz2z1mapT.jpg} . 
\vskip 2mm

%Расскажу, как строятся рисунки \ref{c05}, \ref{c10} и \ref{c20}.
Для передаточной  функции $t$ в виде \rf{tzcz}, суперфункция $f$ может быть выбрана так: %в таком виде:
\be
f(z)=\frac{c-1}{c^z-c}
\eL{fzfrac}
Соответствующая абельфункция $g=f^{-1}$ записывается так:
\be
g(z)=\log_c\Big(1+\frac{c\!-\!1}{z}\Big)
\eL{gzfrac}
Для значения $c\!=\!2$, комплексная карта суперфункции $f$ по формуле \rf{fzfrac} показана на рисунке 
\ref{fzfracmap}. Аналогичная карта соответствующей абельфунции $g$ показана на рисунке 
\ref{gzfracmap}. 

\begin{figure}[h]
\hskip 22pt
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002) 
\put(-70,1950){\sx{8}{$y$}} 
\put(-70,1780){\sx{7}{$8$}} 
\put(-70,1580){\sx{7}{$6$}} 
\put(-70,1380){\sx{7}{$4$}} 
\put(-70,1180){\sx{7}{$2$}} 
\put(-70,0980){\sx{7}{$0$}} 
\put(-122,780){\sx{7}{$-2$}} 
\put(-122,580){\sx{7}{$-4$}} 
\put(-122,380){\sx{7}{$-6$}} 
\put(-122,180){\sx{7}{$-8$}} 
\put(120,-66){\sx{7}{$-8$}} 
\put(320,-66){\sx{7}{$-6$}} 
\put(520,-66){\sx{7}{$-4$}} 
\put(720,-66){\sx{7}{$-2$}} 
\put(988,-66){\sx{7}{$0$}} 
\put(1188,-66){\sx{7}{$2$}} 
\put(1388,-66){\sx{7}{$4$}} 
\put(1588,-66){\sx{7}{$6$}} 
\put(1788,-66){\sx{7}{$8$}} 
\put(1958,-66){\sx{8}{$x$}} 
\put(0,0){\ing{fz2z1map}} 
%\zoomax 
\put(310,1888){\sx{8}{$v\!=\!0$}}	 \put(1710,1888){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(310,1666){\sx{8}{$v\!=\!-0.5$}}	 \put(1710,1666){\sx{8}{$u\!=\!0$}} 
\put(310,1432){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(310,1208){\sx{8}{$u\!=\!-0.5$}}	 \put(1710,1206){\sx{8}{\rot{1}$u\!=\!0$\ero}} 
\put(310,984){\sx{8}{$v\!=\!0$}}	 \put(1710,980){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(1710,758){\sx{8}{\rot{-1}$u\!=\!0$\ero}} %
\put(310,522){\sx{8}{$v\!=\!0$}}	
\put(310,748){\sx{8}{$u\!=\!-0.5$}}	 \put(1710,300){\sx{8}{$u\!=\!0$}}%
\put(310,300){\sx{8}{$u\!=\!-0.5$}} 
\put(310,76){\sx{8}{$v\!=\!0$}} \put(1710,76){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(1300,1360){\sx{8}{$u\!=\!-0.1$}}
\put(1340,1120){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}}
\put(1360,1020){\sx{8}{$u\!=\!0.1$}}
\put(1334,850){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}}
\end{picture}} 
\vskip 12pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
%Complex maps of functions 
$u\!+\!\mathrm i v=f(x\!+\!\mathrm i y)$
по формулe \rf{fzfrac} при $c\!=\!2$
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
%=\Phi=f(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and 
%$\Phi=g(x\!+\!\mathrm i y)$, right, plotted
%by \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac};
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
\iL{fzfracmap}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\hskip 22pt
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002)
\put(-70,1950){\sx{8}{$y$}} 
\put(-70,1780){\sx{7}{$8$}} 
\put(-70,1580){\sx{7}{$6$}} 
\put(-70,1380){\sx{7}{$4$}} 
\put(-70,1180){\sx{7}{$2$}} 
\put(-70,0980){\sx{7}{$0$}} 
\put(-122,780){\sx{7}{$-2$}} 
\put(-122,580){\sx{7}{$-4$}} 
\put(-122,380){\sx{7}{$-6$}} 
\put(-122,180){\sx{7}{$-8$}} 
\put(120,-66){\sx{7}{$-8$}} 
\put(320,-66){\sx{7}{$-6$}} 
\put(520,-66){\sx{7}{$-4$}} 
\put(720,-66){\sx{7}{$-2$}} 
\put(988,-66){\sx{7}{$0$}} 
\put(1188,-66){\sx{7}{$2$}} 
\put(1388,-66){\sx{7}{$4$}} 
\put(1588,-66){\sx{7}{$6$}} 
\put(1788,-66){\sx{7}{$8$}} 
\put(1958,-66){\sx{8}{$x$}} 
\put(0,0){\ing{gz2z1map}} 
\put(880,1920){\sx{8}{$u\!=\!0$}} 
\put(210,1888){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}} \put(1610,1888){\sx{8}{$v\!=\!-0.1$}} 
\put(250,980){\sx{8}{$v\!=\!0$}} \put(1740,980){\sx{8}{$v\!=\!0$}} 
\put(80,850){\sx{8}{$u\!=\!-0.2$}} \put(1600,860){\sx{8}{$u\!=\!0.2$}} 
\put(1040,250){\sx{8}{$v\!=\!0.2$}}
\put(250,232){\sx{8}{$u\!=\!-0.1$}} \put(1740,260){\sx{8}{$u\!=\!0.1$}} 
\put(210,110){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}} \put(1610,110){\sx{8}{$v\!=\!0.1$}} 
\put(880,120){\sx{8}{$u\!=\!0$}} 
\end{picture}} 
\vskip 12pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Gz2z1mapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=g(x\!+\!\mathrm i y)$%right, plotted by \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac};
по формуле \rf{gzfrac} при $c\!=\!2$
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
%=\Phi=f(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and 
%$\Phi=g(x\!+\!\mathrm i y)$, right, plotted
%by \rf{fzfrac} and \rf{gzfrac};
%$\mu=\Re(\Phi)$ and 
%$\nu=\Im(\Phi)$.
\iL{gzfracmap}}
\end{figure}

%Function $f$ is periodic; the period $\mathcal P=2 \pi \mathrm i / \ln(c) $. For real values of $c$ this period is pure imaginary.
Функция $f$ по формуле \rf{fzfrac} периодична; её период 
\be
%\mathcal 
P=2 \pi \mathrm i / \ln(c)
\ee
При $c\!=\!2$, этот период  $P \!=\! 2 \pi \mathrm i/ \ln(2) \!\approx\! 9.06472 \,\mathrm i$;
на рисунке \ref{fzfracmap} уместилось чуть больше двух периодов.
Для вещественных значений параметра $c$,  период $P$ чисто мнимый; структура линий на рисунке  \ref{fzfracmap}  воспроизводится при трансляциях на $|P|$ вдоль оси $y$.
\vskip 2mm

%Function $g$ has cutline between branch points $c-1$ and $0$. For real values of $c$ this cutline is at the real axis.
Обратная функция $g\!=\!f^{-1}$, то есть абельфункция по формуле \rf{gzfrac}  имеет линию разреза между точками ветвления. Эти точки суть $c\!-\!1$ и ноль. Для вещественных значений $c$, эта линия разреза лежит на вещественной оси. Линии на рисунке \ref{gzfracmap} симметричны по отношению к отражению относительно прямой $\Re(x)=(c\!-\!1)/2$.
\vskip 2mm

С суперфункцией  $f$ и абельфункцией $g$ по формулам \rf{fzfrac} и \rf{gzfrac}, итерации передаточной функции $t$ могут быть записаны как обычно,
\be
t^n(z)=f(n+g(z))
%\nonumber
\eL{tnzfg}
\EN{The readers are invited to check, that this representation agree with expression \rf{tnzcz}.
It is better to do this exercise for the simple case of linear fraction, because for some functions considered in the following chapters, the expression}%
Читатели приглашаются проверить, что такое общее представление согласуется со специальным выражением \rf{tnzc}.
Лучше начинать делать такие проверки для формул этой главы, поскольку для функций последующих глав это чуть сложнее. 
\vskip 2mm

Рисунки этой секции достаточно элементарны. Тем не менее, я приглашаю Читателей стащить и воспроизвести их; возможно, с несколько иными значениями параметров. 
\vskip 2mm

Для читателей, которые интересуются суперфункциями, полезно проверить, что  $t^{1/2} \circ t^{1/2} \!=\!t$, или что $t^{1/3} \circ t^{1/3} \circ t^{1/3} \!=\!t$ или ещё что-нибудь такое, что могло бы уличить меня, если я в чем-то ошибся. Требование опровержимости (Аксиома ТОРИ номер 3) предложено вовсе не для того, чтобы им восхищаться и любоваться, а для того, чтобы применять по мере изучения и развития наук. 
%Последующие примеры чуть сложнее, и начинать лучше с простых. 
%\vskip 2mm
%Итерации Дробно-линейной (и она же - рациональная) функции 
%во многих случаях выражаются тоже через рациональную функцию. В следующей секции рассмотрен ещё случай такой функции.
\section{Итерации возведения в степень}
\baselineskip 19.6pt

В этой секции рассмотрена функция ``возведение в степень'', то есть
\be
T(z)=\mathrm{Pow}_a(z)=z^a
\eL{Pow}
Для $a\!=\!2$, карта функции $T$ 
%по формуле \rf{Pow} 
показана на рисунке \ref{z2itmap}.
%, генератор://
%Генераторы изображений загружены в ТОРИ, см.
%Я загрузил генератор этого изображения по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Z2itmapT.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterPowPlotT.jpg}

\begin{figure}[t]
%\sx{.36}{\begin{picture}(1004,1004) 
\sx{.4}{\begin{picture}(1004,1004) 
\put(40,20){\ing{z2itmap}} 
\put(15,1008){\sx{3.3}{$y$}}
\put(15,910){\sx{3.3}{$4$}}
\put(15,810){\sx{3.3}{$3$}}
\put(15,710){\sx{3.3}{$2$}}
\put(15,610){\sx{3.3}{$1$}}
\put(15,510){\sx{3.3}{$0$}}
\put(-8,410){\sx{3.3}{$-1$}}
\put(-8,310){\sx{3.3}{$-2$}}
\put(-8,210){\sx{3.3}{$-3$}}
\put(-8,110){\sx{3.3}{$-4$}}
\put(-8,10){\sx{3.3}{$-5$}}
\put(8,-9){\sx{3.3}{$-5$}}
\put(108,-9){\sx{3.3}{$-4$}}
\put(208,-9){\sx{3.3}{$-3$}}
\put(308,-9){\sx{3.3}{$-2$}}
\put(408,-9){\sx{3.3}{$-1$}}
\put(534,-9){\sx{3.3}{$0$}}
\put(634,-9){\sx{3.3}{$1$}}
\put(734,-9){\sx{3.3}{$2$}}
\put(834,-9){\sx{3.3}{$3$}}
\put(934,-9){\sx{3.3}{$4$}}
\put(1026,-9){\sx{3.3}{$x$}}
\put(889,649){\sx{5}{\rot{-15}$v\!=\!10$\ero}}
\put(884,579){\sx{5}{\rot{-7}$v\!=\!5$\ero}}
\put(884,510){\sx{5}{$v\!=\!0$}}
\put(884,438){\sx{5}{\rot{6}$v\!=\!-5$\ero}}
\put(890,338){\sx{5}{\rot{-58}$u\!=\!10$\ero}}
\put(838,308){\sx{5}{\rot{-55}$u\!=\!5$\ero}}
\put(784,264){\sx{5}{\rot{-45}$u\!=\!0$\ero}}
\put(726,214){\sx{5}{\rot{-37}$u\!=\!-5$\ero}}
\put(706,154){\sx{5}{\rot{-33}$u\!=\!-10$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 25pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Z2itmapT.jpg}
\vskip -6pt

\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=T(x\!+\!\mathrm i y) =(x\!+\!\mathrm i y)^2$,
%$T(z)\!=\!z^2$ по 
формулa \rf{Pow} для $a\!=\!2$
%справа: итерации этой функции, $y\!=\!T^n(x)\!=\!\mathrm{Pow_2}^n(x)$ для различных $n$. 
\iL{z2itmap}
}
\vskip 8pt
\end{figure}
%\vskip 2mm

Итерации степенной функции $T$ по формуле \rf{Pow} пишу так:
\be
T^n(z) =
{\mathrm{Pow}_a}^n(z)=z^{a^n}= \mathrm{Pow}_a\Big( \mathrm{Pow}_a \big(... \mathrm{Pow}_a(z).. \big)\Big)
\label{Pown} \ee
В правой части формулы \rf{Pown}, операция $ \mathrm{Pow}_a$ применяется $n$ раз.
В соответствии с общей идеологией Второй главы, параметр  $n$ не имеет необходимости быть целым.
\vskip 2mm

На рисунке \ref{IterPowPlot} функция $T^n$ по формуле \rf{Pown} для $a\!=\!2$ показана для различных значений  $n$.

\begin{figure}[t]
%\sx{.231}{\begin{picture}(1002,1012) 
\sx{.4}{\begin{picture}(1002,1012) 
\put(10,10){\ing{IterPowPlot}}
\put(11,976){\sx{4}{$x^{2^n}$}} 
\put(11,898){\sx{4}{$9$}} 
\put(11,798){\sx{4}{$8$}} 
\put(11,698){\sx{4}{$7$}} 
\put(11,598){\sx{4}{$6$}} 
\put(11,498){\sx{4}{$5$}} 
\put(11,398){\sx{4}{$4$}} 
\put(11,298){\sx{4}{$3$}} 
\put(11,198){\sx{4}{$2$}} 
\put(11,098){\sx{4}{$1$}} 
\put(100,16){\sx{4}{$1$}} 
\put(200,16){\sx{4}{$2$}} 
\put(301,16){\sx{4}{$3$}} 
\put(401,16){\sx{4}{$4$}} 
\put(502,16){\sx{4}{$5$}} 
\put(602,16){\sx{4}{$6$}} 
\put(703,16){\sx{4}{$7$}} 
\put(803,16){\sx{4}{$8$}} 
\put(903,16){\sx{4}{$9$}} 
\put(990,16){\sx{4}{$x$}}  
\put(112,850){\sx{3.8}{\rot{90}$n\!\rightarrow \infty $\ero}} 
\put(152,866){\sx{3.8}{\rot{88}$n\!=\!3$\ero}} 
\put(191,870){\sx{3.8}{\rot{87}$n\!=\!2$\ero}} 
\put(325,921){\sx{3.8}{\rot{81}$n\!=\!1$\ero}} 
\put(461,893){\sx{3.6}{\rot{70}$n\!=\!0.6$\ero}} 
\put(509,894){\sx{3.6}{\rot{69}$n\!=\!0.5$\ero}} 
\put(563,895){\sx{3.6}{\rot{63}$n\!=\!0.4$\ero}} 
\put(630,897){\sx{3.6}{\rot{59}$n\!=\!0.3$\ero}} 
\put(713,900){\sx{3.6}{\rot{54}$n\!=\!0.2$\ero}} 
\put(826,913){\sx{3.6}{\rot{50}$n\!=\!0.1$\ero}} 
\put(928,932){\sx{3.8}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}} 
\put(894,778){\sx{3.6}{\rot{39}$n\!=\!-0.1$\ero}} 
\put(888,676){\sx{3.6}{\rot{33}$n\!=\!-0.2$\ero}} 
\put(884,596){\sx{3.6}{\rot{28}$n\!=\!-0.3$\ero}} 
\put(877,528){\sx{3.6}{\rot{24}$n\!=\!-0.4$\ero}} 
\put(871,476){\sx{3.6}{\rot{19}$n\!=\!-0.5$\ero}} 
\put(870,429){\sx{3.6}{\rot{17}$n\!=\!-0.6$\ero}} 
\put(890,297){\sx{3.8}{\rot{8}$n\!=\!-1$\ero}} 
\put(884,172){\sx{3.8}{\rot{1}$n\!=\!-2$\ero}} 
\put(881,132){\sx{3.8}{\rot{.3}$n\!=\!-3$\ero}} 
\put(852,100){\sx{3.6}{\rot{.1}$n\!\rightarrow - \infty$\ero}} 
\end{picture}} % 
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterPowPlotT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
%Слева: комплексная карта функции $T(z)\!=\!z^2$ по формуле \rf{Pow} для $a\!=\!2$,
%здесь $\mu\!+\!\mathrm i \nu=T(x\!+\!\mathrm i y) =(x\!+\!\mathrm i y)^2$ ;
$y\!=\!T^n(x)\!=\!\mathrm{Pow_2}^n(x)$ для различных $n$. 
%Генераторы изображений загружены в ТОРИ, см.
\iL{IterPowPlot}
\label{IterPowPlotA}}
\vskip 2mm
\end{figure}
\vskip 2mm

Итерации степенной функции вычисляются по общей формуле
\be \nonumber
T^n(x)=F\Big(n+G(x)\Big)
\eL{againTc}
где $F$ есть суперфункция для передаточной функции $T$; её можно представить в виде
\be F(z)=\exp\Big(\exp(\ln(a)\, z)\Big) = \exp^2\big(\ln(a)\,z\big) \eL{powF}
%\be F(z)=\exp\big(\ln(a)\, z\big) \eL{powF}
и $G$ есть для неё же Абельфункция.
%\footnote{Если эта Книга попадется филологам, то они, вероятно, могут объяснить, как образуются прилагательное от местоимения ``она''. Мне хочется использовать формы ``ейная абельфункция'' или даже ``еёйная абельфункция'', но я помню, что моя учительница Русского языка очень просила нас так не делать. Ну, да Бог с ней, с грамматикой; я надеюсь, читатели понимают, о какой абельфункции идет речь.}
Это абельфункция для передаточной функции $T$ по формуле \rf{Pow}.
Эту абельфункцию можно записать так:
\be  G(z)=\ln\Big(\ln(z)\Big)/\ln(a) = \ln^2(z)/\ln(a) \eL{powG} 
Tакое представлениe степенной функции соответствует шестой строке таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}.
\vskip 2mm

Для  $T(z)\!=\!z^2$, имеют место соотношения
\be
T^2(z)=T(z^2)=T(z)^2
\eL{fnz}

Имеет место распространенное заблуждение, что соотношения \rf{fnz} или некоторые их несложные эквиваленты должны выполняться и для других передаточных функций $T$ тоже, не только для степенной функции $T$ по формуле \rf{Pow} . Многие конфузии связаны с таким заблуждением. Это обстоятельство обсуждается также в другой главе в связи с итерациями факториала, см. рис. \ref{facit}.
\vskip 2mm

Для передаточной функции $T$ вида \rf{Pow}, итерация \rf{again} может быть упрощена;
\be
T^n(z) =\exp^2\Big(\ln(a)\big(n+\ln^2(z)/\ln(a)\big)\Big)=z^{a^n}
\eL{zbc}
Таким образом, итерации передаточной функции $T$ по формуле \rf{Pow} можно выразить через несложную элементарную функцию.
\vskip 2mm

На рисунке \ref{IterPowPlot} представлены итерации степенной функции по формуле \rf{zbc}. Толстые линии соответствуют целым итерациям.
%, первой и минус первой. 
Тождественная функция $y\!=\!x$ соответствуют нулевой итерации. 
В области между нулем и единицей кривые сливаются, и поэтому проведены только для $n\!=\!0$ и для $n\!=\!1$.
С помощью экспоненты и логарифма эти итерации выражаются в несложном и компактном виде по формуле  \rf{zbc}.
\vskip 2mm

Глядя, как легко и красиво получаются (и упрощаются) итерации передаточной функции $T$ по 
формуле \rf{Pow}, можно ожидать, что таким же образом можно строить нецелые итерации и других функций. При этом, при непрерывном изменении числа итераций от единицы до минус единицы, функция плавно переходит в свою обратную функцию.
\vskip 2mm

Ниже, по мере построения новых суперфукций и абельфункций, предлагаются ещё примеры нецелых итераций.  При этом нецелая итерация 
выражается не как дробная степень, но через соответствующую комбинацию суперфункции и абельфункции.
В соответствии с декларациями Введения, я и дальше стараюсь обеспечить оппонентов богатыми возможностями, инструментами, ``туллами'' (tools) для эффективной и конструктивной критики. То есть 
подробно рассказываю, как получаются красивые картинки.
\JP{
Формулы этой главы, как, впрочем, и последующих глав, выписываются подробно с тем, чтобы создать условия для конструктивного обсуждения, чтобы такое обсуждение не выглядело как разгром, показанный на рисунке \ref{grom}.

~

\begin{figure}[h]
\sx{.5}{\ing{Gromit}}
\caption{Конструктивные формулы должны допускать опровержение, с тем, чтобы их обсуждение носило академический характер \iL{grom}}
\end{figure}
}

\chapter{~ Таня и Шока}
\baselineskip 19.2pt

%\begin{wrapfigure}{l}{230px}
\begin{figure}[h]
\vskip -26pt
\begin{center}
\sx{.44}{%\ing{ShokoTania}}
\begin{picture}(802,400)
\put(0,0){\includegraphics{ShokoTania}}
\put(380,380){\sx{3.2}{$y$}}
%\put(380,392){\sx{3.2}{$4$}}
\put(380,292){\sx{3.2}{$3$}}
\put(380,192){\sx{3.2}{$2$}}
\put(380, 92){\sx{3.2}{$1$}}
\put( 75,-34){\sx{3.2}{$-\!3$}}
\put(175,-34){\sx{3.2}{$-\!2$}}
\put(275,-34){\sx{3.2}{$-\!1$}}
\put(394,-34){\sx{3.2}{$0$}}
\put(494,-34){\sx{3.2}{$1$}}
\put(594,-34){\sx{3.2}{$2$}}
\put(694,-34){\sx{3.2}{$3$}}
\put(784,-34){\sx{3.2}{$x$}}
\put(442,140){\sx{3.2}{\rot{41} $y\!=\!\mathrm{Shoka}(x)$\ero}}
\put(468,102){\sx{3.2}{\rot{32} $y\!=\!\mathrm{Tania}(x)$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 16pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokotaniaT.png}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{
%Функции Shoka и Tania вещественного аргумента 
Функции Шока и Таня. %Генератор:
%{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokotaniaT.png}}
\iL{shokataniaplot}
\label{ShokaTaniaplot}}
\vskip -4pt
\end{figure}

В этой главе рассмотрены некоторые почти элементарные суперфункции, которые могут иметь приложения в лазерной науке; эти функции можно выразить так:
\be
\mathrm{Shoka}(z)&=&z+\ln(\mathrm e^{-z}\!+\!\mathrm e\!-\!1)  \iL{shoka0}\\
\mathrm{Tania}(z)&=&\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1)  \iL{Tania0}\label{TaniaWright}
\ee
по крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси. При $|\Im(z)|\!\ge\! \pi$, 
функция $\mathrm{WrightOmega}(z)$ ведет себя плохо (её разрезы не там, где мне хотелось бы); поэтому приходится использовать для функции имя Tania. Представления \rf{shoka0},\rf{Tania0} годятся, в частности, для вещественных значений аргумента и могут быть использованы для построения рисунка \ref{ShokaTaniaplot}. 
\vskip 2mm

Ниже я объясняю, почему эти функции важны для лазерной науки и интересны как примеры суперфункций.
%Здесь, термин ``почти элементарная функция'' означает либо конечную комбинацию элементарных функций (то есть по сути тоже элементарную функцию, как это имеет место в случае функций Келлер, Шока и АркШока), либо несложную комбинацию специальных функций, давно описанных в литературе (как это имеет место в случае функций Таня и Дойя). Эти функции могут иметь применение в физике лазеров, и поэтому они выделены в особую главу.
%\vskip 2mm
%Названия передаточных функций, образующие заголовок, любезно предоставлены, соответственно, Таней и Шокой,
%показанными на рисунке \ref{taniashokadraw}. 
%Надеюсь, что читатели легко отличат их от передаточных функций, которые теперь имеют те же имена, и такой оверлпад имен не вызовет путаницы.
Практически, это пересказ статей 
%про указанные функции 
\cite{thailand,2013or}. 
Эта глава (за исключением первой секции) может быть полезна узким специалистам, работающим в лазерной науке.
\JP{
\vskip 2mm\begin{figure}[h]
\begin{center}
\sx{.5}{\begin{picture}(400,240)
\put(0,-40){\ing{taniashoka}}
\end{picture}}
\end{center}
\caption{Таня и Шока \iL{taniashokadraw}}
\vskip -8pt
\end{figure}
%\end{wrapfigure}
}%JP

\section{Об узких специалистах}
\baselineskip 19pt
Предупреждение. Узким специалистам лучше пропустить этy секцию: она содержит критическое мнение об узких специалистах и может оскорбить их религиозные чувства.
\vskip 2mm

%\begin{parbox}{80px}
\begin{wrapfigure}{r}{90pt}
\sx{.7}{\begin{picture}(80,290)
\put(8,10){\ing{Drink02}}
\end{picture}}
\caption{Узкий специалист \label{drink}}
\end{wrapfigure}
%\begin{parbox}{400px}

Узкие специалисты подобны инопланетянину зайцу Бо, которому кажется, что все только и думают, как бы сказать чего-нибудь нехорошее про зайцев
\footnote{ \url{http://www.youtube.com/watch?v=OCndqQqHlQo} Магазинчик Бо. Эпизод 23. Сень Бо-Гэ. Mar 1, 2013. {\em А ещё он говорил что-то нехорошее про зайцев!..}}. Известный классик Русской литературы Козьма Прутков обнаружил и указал, что узкий специалист подобен флюсу: его полнота односторонняя. Узкий специалист может легко понять и даже проделать вычисления, если он видит за ними реалистичную жизненную ситуацию. Например, человек может встретить трудности, складывая два числа, 250 и 250. Однако, если ему сказать, что речь идет о граммах водки, он мгновенно проведет необходимые рассчеты и сразу скажет ответ: {\em ``Да это же Поллитра!''}; последнее слово будет произнесено с уважением и придыханием. Это придыхание укажет присутствующим, 
%что назвать его ``любителем выпить'' совершенно не правильно; по части выпить он
что он любитель выбить, и вероятно, даже не просто любитель, а  профессионал и, возможно, даже узкий специалист (рис. \ref{drink}). Аналогично, узкому специалисту-лазерщику трудно понять, что такое ``передаточная функция'', до тех пор, пока ему не скажут, что некоторый параметр (мощность, интенсивность, флюенция или энергия светового импульса) на выходе лазерного усилителя рассматривается как функция аналогичного параметра на входе в усилитель.
%Таким образом, эта глава для лазерщиков. 
%\end{parbox} ~
\vskip 3mm

%Ещё warning. 
Функции Дойя и Келлер, определяемые в этой главе ниже, могут быть интерпретированы как передаточные функции
% некоторого 
идеализированного
% (но всё ещё реалистичного) 
лазерного усилителя. Читатели, равнодушные к лазерной науке, могут рассматривать эти функции как абстрактные математические объекты; или даже вовсе пропустить эту главу, за исключением, может быть, секции  5 (``О единственности решения''): секция 5 может помочь тем, кто собирается раскритиковать эту Книгу или даже просто сказать что-нибудь нехорошее про лазерщиков.

%Я стараюсь писать формулы так, чтобы их можно было использовать без того, чтобы штудировать всю Книгу.

\section{Таня и Арктаня}
%Комплексные карты функции $\mathrm{Tania}$ у её обратной функции представлены на рисунке \ref{figTaniaMap}. Функция  $\mathrm{Tania}$ вещественного аргумента показана на рисунке \ref{TaniaPlot}. %\ref{TP}.
%\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{2.2}{\begin{picture}(172,168)
\put(6,5){\ing{taniamap}}
\put(2,162){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(3,116){\sx{.6}{$\pi$ ~ \bf cut}}
\put(23,100){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(20, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(23,68){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,53){\sx{.6}{$-\pi$ ~ \bf cut}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put(139,154){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!6$}\ero}
\put(138,143){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!5$}\ero}
\put(137,132){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(136,121){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(135,109){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 89, 83){\rot{82}\sx{.8}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(106, 81){\rot{84}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(134, 97){\rot{-4}\sx{.8}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(134, 84){\rot{0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(134, 72){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!1$}\ero}
\put(133, 60){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!2$}\ero}
\put(134, 48){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!3$}\ero}
\put(135, 36){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!4$}\ero}
\put(136, 25){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!5$}\ero}
\put(137, 14){\rot{3}\sx{.72}{$v\!=\!-\!6$}\ero}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -12pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png}
\vskip -4pt
\caption{
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Tania}(x\!+\!\mathrm i y)$
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png}
\iL{TaniaMap}
\label{figTaniaMap}
}
\end{figure}

Пусть функция Tania будет решением $f$ дифференциального уравнения
\be \!\!\!\!\!
f'(z)= \frac{f(z)}{1+f(z)}
\eL{taniaprim}
с граничным условием $f(0)\!=\!1$,
%\eL{f01tania}
где контур интегрирования уравнения \rf{taniaprim}
%для $\mathrm{Tania}(z)$
идет сперва от нуля до мнимой части $z$ вдоль мнимой оси, а затем вдоль прямой, параллельной вещественной оси, идет в точку $z$. 
%график функции Tania для вещественного аргумента, представленная на р
Рисунок \ref{ShokaTaniaplot} показывает свойства функции Tania для вещественного аргумента.
Эта функция положительна и монотонно возрастает. В сторону отрицательных значений аргумента, функция экспоненциально затухает. При больших значениях аргумента, Таня растет почти линейно. В нуле эта функция равна единице и растет с производной 1/2. Комплексная карта этого решения показана на рисунке \ref{figTaniaMap}.
%; генератор:
%{\normalsize \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png} }
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{2.2}{\begin{picture}(162,168)
\put(6,5){\ing{arctaniamap}}
\put(2,162){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(59,85){\sx{.6}{\bf cut}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 81.4, 23){\rot{81}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 91.6, 23){\rot{81}\sx{.8}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(101, 22){\rot{81}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(111, 21){\rot{83}\sx{.8}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(120.4, 21){\rot{84}\sx{.8}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(139,155){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!8$}\ero}
\put(138,146){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!7$}\ero}
\put(138,136){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!6$}\ero}
\put(138,127){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!5$}\ero}
\put(137,118){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(136,109){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(135,100){\rot{4}\sx{.8}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(134, 92){\rot{3}\sx{.8}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(134, 84){\rot{0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(134, 76){\rot{-3}\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}\ero}
\put(133, 68){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}\ero}
\put(134, 59){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}\ero}
\put(135, 51){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}\ero}
\put(135, 41){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}\ero}
\put(135, 32){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}\ero}
\put(136, 23){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}\ero}
\put(137, 14){\rot{-5}\sx{.8}{$v\!=\!-\!8$}\ero}
\end{picture} } 
%\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png}
\end{center}
\vskip -16pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{ArcTania}(x\!+\!\mathrm i y)$
%$f\!=\!\mathrm{ArcTania}(z)$
\label{figArcTaniaMap}
\iL{ArcTaniaMap}
}
\end{figure}

Изменение контура интегрирования уравнения \rf{taniaprim} не влияет на значение функции до тех пор, пока этот контур не пересекает линии разреза $ \Re(z)\!<\!-1$, $\Im(z)\!=\!\pm \pi$.
В частности, при вещественных значениях $x$, для $f(x)$, интегрирование 
%уравнения \rf{taniaprim} 
может осуществляться от 0 до $x$ вдоль вещественной оси. 
\vskip 2mm

Уравнение \rf{taniaprim} легко ``решается'' в том смысле, что обратную функцию $g\!=\!f^{-1}$
от решения удается выразить через элементарные функции. Чтобы не путать её с другими функциями, обозначаемыми тоже буквой $g$, в этой Книге (хотя и не только здесь) я обозначаю её именем ArcTania; то есть $\mathrm{ArcTania}=\mathrm{Tania}^{-1}$, и эта АркТаня является элементарной функцией:
\be
\mathrm{ArcTania}(z)=z+\ln(z)-1 ~ ~ ~
\eL{ArcTaniaz}
Комплексная карта функции ArcTania представлена на рисунке \ref{figArcTaniaMap}. 
%Генератор этого рисунка на C++ я уплоаднул в ТОРИ по урлю
%\ref{figArcTaniaMap} и 
%{\normalsize
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png}
%}
\vskip 2mm
%

В представлениях функций Tania и ArcTania нет комплексных констант.
Эти функции вещественно голоморфны:
\be 
\mathrm{Tania}(z^*)=\mathrm{Tania}(z)^* ~,~~ \mathrm{ArcTania}(z^*)=\mathrm{ArcTania}(z)^*
%\eL{Taniastar}
\label{Taniastar}
\ee

Функции Tania и ArcTania похожи на линейную функцию при больших значениях аргумента, но Таня имеет два разреза при мнимой части аргумента $\pm \pi$, a  ArcTania  имеет только один разрез вдоль отрицательной части вещественной оси.
Асимптотическое (почти линейное) поведение функции $\mathrm{Tania}(z)$ при большиx значениях $|z|\!\gg\! 1$
универсально почти для всей комплексной плоскости, за исключением полосы $\Re(z) \!<\!0$,  $|\Im(z)|\!\le\! \pi$.
В полосе   $|\Im(z)|\!<\! \pi$, при $\Re(z) \!\rightarrow\! -\infty$, функция $\mathrm{Tania}(z)$ экспоненциально убывает, что соответствует графику поведения этой функции при вещественных значениях аргумента.
\vskip 2mm

Для умеренных значений мнимой части аргумента, функция 
$\mathrm{Tania}$ может быть выражена через известную \cite{wright,david} специальную функцию WrightOmega:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1)
\eL{TaniaWrightOmegaPlus}
Есть несколько оправданий для введения новой функции, которая легко выражается через известную функцию:

1. Для 
%сохранения традиции, по возможности, 
удобства оценок, желательно, чтобы суперфункция в нуле принимала целое значение,
%выражалась наименьшим целым числом, большим фиксированной точки, на которой она построена. 
Функция Tania будет такой суперфункцией для примера, рассматриваемого ниже. 
%2. Описание функции WrightOmega попалась автору уже после того, как для функции Tania были изготовлены и загружены на разные вики эффективные (быстрые, надежные и аккуратные) численные представления на C++. 

2. Имя Tania короче, чем WrightOmega, и допускает простую русскоязычную транслитерацию ``Таня''. При этом появляется возможность склонять имя этой функции по падежам в соответствии с традициями грамматики русского языка. 

3. В комплексной плоскости Таня как решение уравнения \rf{taniaprim} ведет себя проще, чем функция WrightOmega, представленная в алгоритмических языках программирования. 

Использование нового имени позволит избежать  путаницы, если одновременно потребуются обе функции, функция WrightOmega со счетным множеством разрезов и функция Таня с её двумя разрезами, видными на левой карте рисунка \ref{figTaniaMap}. Читатели приглашаются построить карты обеих функций, Тани и ВрайтОмеги\cite{wright,david}, и проверить, что только в полосе вдоль вещественной оси эти функции получаются одна из другой трансляцией аргумента на единицу.
\vskip 2mm

Вдоль вещественной оси (и даже в её окрестности) нет надобности как-то различать $\mathrm{Tania}(z)$ и $\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1)$. Однако, для 
%некоторых
суперфункций, выход в комплексную область важен для единственности решения, а иногда и для вычисления. Поэтому здесь суперфункции сразу рассматриваются для комплексного переменного. При этом функция Таня имеет меньше разрезов, чем функция WrightOmega, и этим проще.
\vskip 2mm

%\begin{parbox}{18cm}{
Для эффективного вычисления функции Tania могут использоваться её асимптотические разложения.
Объединение областей применимости этих разложений накрывает всю комплексную плоскость.
%}
%\end{parbox}
\vskip 2mm

%At large values of the argument, Tania shows almost linear growth and can be expanded as follows:
\sx{1.01}{При больших значениях аргумента, Таню можно разложить так:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=z + 1\!-\!\ln(z) 
+\frac{ \ln(z)\!-\!1}{z} 
+\frac{\ln(z)^2\!-\!4\ln(z)\!+\!3}{2z^2} + ..
%+ O\left( \frac{\ln(z)^2}{z^3}\right)
%+\frac{2 \ln(z)^2 - 15 \ln(z) + 30 \ln(z) -17}{ 6 z^3} 
%+ O\Big( \frac{\ln(z)}{z}\Big)^4
\label{TaniaBigz}
\ee
\JP{
или даже так:
\be
\mathrm{Tania}(z)\!&=&\! (z\!+\!1)\!-\!\ln(z\!+\!1) 
+\frac{ \ln(z\!+\!1)}{z+1}
+\left(\frac{ \ln(z\!+\!1)}{z+1}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{2}-\ln(z\!+\!1)^{-1}\right)
\nonumber\\
&&+\left(\frac{ \ln(z\!+\!1)}{z+1}\right)^{\!3} \left(
                    \frac{1}{3}-\frac{3}{4} \ln(z\!+\!1)^{-1}+ \ln(z\!+\!1)^{-2}\right)
\nonumber\\
&&+\left(\frac{ \ln(z\!+\!1)}{z+1}\right)^{\!4} \left(
                    \frac{1}{4}-\frac{11}{\!5} \ln(z\!+\!1)^{-1}+3\ln(z\!+\!1)^{-2}-\ln(z\!+\!1)^{-3}\right)
\nonumber\\
&&+ O\left( \frac{\ln(z\!+\!1)}{z+1}\right)^{\!5}
\eL{TaniaBigza}
}%JP
%Such an expression shows that the effective small parameter of the expansion is $\frac{\ln(z\!+\!1)}{z+1}$.
При отрицательных значениях $\Re(z)$, такое разложение годится, пока $|\Im(z)| \!>\! \pi$.
Для представления Тани между линиями разреза (см. рис. \ref{TaniaMap}) удобно ввести параметр  $\varepsilon=\exp(1\!+\!z)$; тогда Таню можно разложить так:
\be
\mathrm{Tania}(z) =
%~\sim~
 \varepsilon
-\varepsilon^2+\frac{3}{2}\varepsilon^3 -\frac{8}{3}\varepsilon^4+\frac{125}{24}\varepsilon^5+ O(\varepsilon^6)
\label{TaniaMezdu}
\ee
%при $\varepsilon=\exp(1\!+\!z)$.
\vskip 2mm

Вблизи точки ветвления, годится разложение
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=
-1+3t-3t^2
+\frac{3}{4} t^3
+\frac{3}{10}t^4
+\frac{9}{160}t^5
%-\frac{3}{70}t^6
%-\frac{1251}{22400} t^7 
%-\frac{9}{280} t^8
+..
\label{TaniaL}
\ee
где ~
$\ds
t= \mathrm{i} \sqrt{ \frac{2}{9} (z\!+\!2\!-\!\pi \mathrm i )~}
$.
\vskip 2mm

Кроме того, можно пользоваться разложением Тэйлора в нуле
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Tania}(z)=1 
+\frac{z}{2}
+\frac{z^2}{16}
-\frac{z^3}{192}
-\frac{z^4}{3072}
+\frac{13 z^5}{61440}
-\frac{47 z^6}{1474560}
%+\frac{73 z^7}{41287680}
+ ..
\label{TaniaTay}
\ee
\vskip 2mm

Комбинируя разложения выше, можно получить для Тани ``нулевое'' приближение, пусть оно называется $s_0$, с несколькими значащими цифрами для всей комплексной плоскости.
Затем, для достижения предельной точности переменных ``complex double'', требуется всего 
%несколько 
три или четыре
итерации по методу Ньютона
\be
s_{n+1}=s_n + \frac{z-\mathrm{ArcTania}(s_n)}{\mathrm{ArcTania}'(s_n)}
~ ~ ~ \eL{ssTania}
где
$\mathrm{ArcTania}'(z)\!=\!1\!+\!1/z$  есть производная АркТани. При этом Таню можно вычислять почти столь же быстро, как и элементарные функции. Так устроена C++ имплементация Тани, загруженная по урлю ~
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania.cin
\vskip 2mm

\JP{В соответствии с декларацией из параграфа 1.3, разрезы области голоморфизма функции Tania направлены горизонтально влево (то есть в направлении, противоположном направлению вещественной оси). С учетом ветвления логарифма, все листы функции
LambertW могут быть легко выражены через функцию Tania по формуле \rf{LambertWTania}, но лишь полоса вдоль вещественой оси 
соответствует представлению \rf{TaniaLambertW} функции Tania через функцию LambertW. Поэтому лучше рассматривать функцию Tania как первичную, а функцию LambertW вычислять, используя выражение \rf{LambertWTania} или аналогичное представление через функцию WrightOmega 
(при условии, что дле неё имеется эффективная имплементация).
}

Элементарные функции, упомянутые в таблице \ref{TableOfSuperfunctions}, и, в частности, Таня и АркТаня, имеют широкую область голоморфизма. Интуитивно понятно, что если суперфункция выражена несложной элементарной функцией, то, вероятно, именно она имеет физический смысл, 
%и можно ожидать, 
а суперфункция, получаемая преобразованием \rf{tif}, есть что-то дополнительное, искусственное и менее физичное. Также, можно ожидать, что преобразованная функция будет иметь более узкую область голоморфизма; это даёт критерий  ``физичности'' решения передаточного уравнения \rf{transfereq}. Критерий простоты указан в последней, Шестой аксиоме ТОРИ, упомянутой Главе 2.
Согласно этой аксиоме, от специальных суперфункций приходится ожидать наиболее простого поведения в комплексной плоскости.
\vskip 2mm

%В этом параграфе рассмотрен пример суперфункции, которая не выражается через элементарную функцию, но может быть представлена в терминах специальных функций. Поведение суперфункций в комплексной плоскости существенно для их единственности; поэтому функции прийдется вычислять и определять для комплексных значений аргумента. 
%Разумеется, поведение этих функций вдоль вещественной оси тоже должно быть рассмотрено. 
Функция Таня проще, чем специальная функция WrightOmega. Поэтому Таня может рассматириваться как первичная функция, и использоваться для имплементации ВрайтОмеги, как, впрочем, и для аппроксимации каких-либо зависимостей в Лазерной Физике и прочих науках.
\vskip 2mm 

Функция Tania имеет простой физический смысл. Это зависимость интенсивности света от координаты в однородном усилителе с простой моделью активной среды  \cite{thailand,2013or}. При этом координата измеряется в единицах,
обратных ненасыщенному усилению, а интенсивность измеряется в единицах интенсивности насыщения.\vskip 2mm

%\JP{
\begin{wrapfigure}{r}{75pt}
\vskip -16pt
\sx{.75}{\begin{picture}(97,142)
\put(0,0){\ing{ValerieDoya.jpg}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
%\caption{Valerie Doya \cite{valerie} \label{valerie}}
\caption{V. Doya \cite{valerie} \label{valerie}}
\vskip -4pt
\end{wrapfigure}
В этой Книге, функция Таня встречается много раз. В этой главе, Таня появляется как суперфункция от передаточной функции, рассмотренной в следующей секции. При этом использован трюк, упомяный в описании таблицы \ref{TableOfSuperfunctions}:  сперва выбирается суперфункция,
% и её обратная функция, 
а потом для неё строится передаточная функция. Tакая передаточная функция названа именем Doya. Я благодарен Валерии Доуя (рис. \ref{valerie}), которая любезно разрешила использовать её
%разрешила изпользовать её 
фамилию для обозначения функции, нужной в Лазерной Науке и в этой Книге.
%}%JP
%Этой функции посвящена следующая секция.
\vskip 2mm

%Для умеренных значений мнимой части аргумента, функция  $\mathrm{Tania}$ может быть выражена через известную специальную функцию WrightOmega \cite{wright,david}:
%\be \mathrm{Tania}(z)=\mathrm{WrightOmega}(z\!+\!1) \eL{TaniaWright}

\section{Передаточная функция Doya}

\begin{figure}[t]
\hskip -6pt
%\sx{2.8}{ \begin{picture}(83,81)
\sx{2.4}{ \begin{picture}(83,81)
\put(1,1){\ing{doya10map4b}} 
\put(-.5,79.6){\sx{.4}{$t$}}
\put(-1,71){\sx{.4}{$3$}}
\put(-1,61){\sx{.4}{$2$}}
\put(-1,51){\sx{.4}{$1$}}
\put(-1,41){\sx{.4}{$0$}}
\put(-4,31){\sx{.4}{$-1$}}
\put(-4,21){\sx{.4}{$-2$}}
\put(-4,11){\sx{.4}{$-3$}}
\put(9,-1.5){\sx{.4}{$-3$}}
\put(18,-1.5){\sx{.4}{$-2$}}
\put(28,-1.5){\sx{.4}{$-1$}}
\put(41,-1.5){\sx{.4}{0}}
\put(51,-1.5){\sx{.4}{1}}
\put(61,-1.5){\sx{.4}{2}}
\put(71,-1.5){\sx{.4}{3}}
\put(79.8,-1.2){\sx{.42}{$x$}}
\put(11,60){\rot{85}\sx{.6}{$u\!=\!-2$}\ero}
\put(22,59){\rot{88}\sx{.6}{$u\!=\!-1$}\ero}
\put(34,63){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(46,63){\rot{93}\sx{.6}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(56,63){\rot{93}\sx{.6}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(66,63){\rot{93}\sx{.6}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(68,69){\rot{1}\sx{.6}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(68,60){\rot{1}\sx{.6}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(68,50){\rot{1}\sx{.6}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(68,40.6){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(63,30.6){\rot{-1}\sx{.6}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(63,20.8){\rot{-1}\sx{.6}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put(63,11.4){\rot{-2}\sx{.6}{$v\!=\!-3$}\ero}
\end{picture}
}
\sx{2.4}{ \begin{picture}(41,81)
\put(1,1){\ing{doyam10map4b}}
\put(-.5,79.6){\sx{.4}{$t$}}
\put(-1,71){\sx{.4}{$3$}}
\put(-1,61){\sx{.4}{$2$}}
\put(-1,51){\sx{.4}{$1$}}
\put(-1,41){\sx{.4}{$0$}}
\put(-4,31){\sx{.4}{$-1$}}
\put(-4,21){\sx{.4}{$-2$}}
\put(-4,11){\sx{.4}{$-3$}}
\put(9,-1.5){\sx{.4}{$-3$}}
\put(18,-1.5){\sx{.4}{$-2$}}
\put(28,-1.5){\sx{.4}{$-1$}}
\put(41,-1.5){\sx{.4}{0}}
\put(51,-1.5){\sx{.4}{1}}
\put(61,-1.5){\sx{.4}{2}}
\put(71,-1.5){\sx{.4}{3}}
\put(79.8,-1.2){\sx{.42}{$x$}}
\put(6,72){\rot{6}\sx{.6}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(6,62){\rot{4}\sx{.6}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(6,51.5){\rot{2}\sx{.6}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(6,40.6){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(5,30){\rot{-7}\sx{.6}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(4,19){\rot{-4}\sx{.6}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put(3.3,9){\rot{-2}\sx{.6}{$v\!=\!-3$}\ero}
\put(66,40.6){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(42,40.6){\rot{60}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(59,37){\rot{86}\sx{.6}{$u\!=\!1$}\ero}
\end{picture}
}\\ \normalsize
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya10map4bT60.png}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doyam10map4bT100.png}
\vspace{-2mm}
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Doya}(x\!+\!\mathrm i y)$, слева, и
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Doya}^{-1}(x\!+\!\mathrm i y)$, справа
%Генераторы:
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doyam10map4bT100.png}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya10map4bT60.png}
 \label{DoyaMap} \label{figDoyaMap}}
\end{figure}

С рассмотренными выше функциями Tania и ArcTania, легко построить ``решабельную'' передаточную функцию, пусть она называется Doya,
в таком виде:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)=\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{Tania}\big(1+\mathrm{ArcTania}(z)\big)
\eL{Doya}
Комплексная карта фукции Doya, а также карта обратной функции $\mathrm{ArcDoya}=\mathrm{Doya}^{-1}$
показаны на рисунке \ref{figDoyaMap}. На бесконечности, эти функции похожи на тождественную функцию, но имеют особенности (точки ветвления и разрезы) вблизи начала координат.
\vskip 2mm

Свойства функции Doya описаны в ТОРИ \cite{doya}; представлен также эффективный алгоритм для её вычисления.
В окрестности вещественной оси, Дойя может быть выражена через известную функцию LambertW \cite{LambertW}:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{LambertW}\!\big(z \, \mathrm e^{z+1} \big) 
\eL{DoyaLambertW}

%\begin{wrapfigure}{l}{200px}
\begin{figure}
%\vskip -4pt
\begin{center}
\sx{.75}{ \begin{picture}(410,410)
\put(1,9){\ing{doyaplo}}
\put(-12,394){\sx{2.8}{$y$}}
\put(-12,303){\sx{2.8}{$3$}}
\put(-12,203){\sx{2.8}{$2$}}
\put(-12,103){\sx{2.8}{$1$}}
\put(0,-9){\sx{2.5}{$0$}}
\put(100,-9){\sx{2.5}{$1$}}
\put(200,-9){\sx{2.5}{$2$}}
\put(300,-9){\sx{2.5}{$3$}}
\put(392,-7){\sx{2.6}{$x$}}
 %\put(560,214){\rot{37}\sx{4}{$y=\mathrm{Tania}(x)$}\ero}
\put(30,342){\rot{74}\sx{2.8}{$n\!=\!6$}\ero}
\put(54,342){\rot{68}\sx{2.8}{$n\!=\!5$}\ero}
\put(90,346){\rot{55}\sx{2.8}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(146,348){\rot{53}\sx{2.8}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(210,350){\rot{50}\sx{2.8}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(270,340){\rot{48}\sx{2.8}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(324,318){\rot{45}\sx{3.0}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(332,252){\rot{43}\sx{2.8}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(332,184){\rot{40}\sx{2.8}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(332,125){\rot{36}\sx{2.8}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(330,76){\rot{30}\sx{2.8}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(320,36){\rot{22}\sx{2.8}{$n\!=\!-5$}\ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:DoyaPlotT100.png}
\end{center}
\vskip -16pt 
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{Doya}^n(x)$ по формуле \rf{DT} \iL{doyaplo}
\label{doyaite}
}
\vskip 2pt
\end{figure}

%Карта функции $\mathrm{Doya}_t$ в комплексной плоскости построена на рисунке 2.4 для $t\!=\!1$ и для $t\!=\!-1$. 
%Эта же функция LambertW может использоваться для вычисления функции Таня (см. \rf{TaniaLambertW}) при умеренных значениях мнимой части аргумента.

В соответствии с определением \rf{Doya}, Таня является суперфункцией Дойи, а АркТаня - её абельфункцией.
Соответственно, $n$ная  итерация Дойи выражается так:
%Для $n$й итерации Дойи, то есть для передаточной функции $T=\mathrm{Doya}^n$, суперфункция $f$ и абельфункция  $g$ могут быть выражены через Таню и Арктаню так:
%Уровни функции $f\!=\!\mathrm{Doya}^t(x)$ в плоскости $x$, $t$ показаны на рисунке \ref{figDoyast}. Уровень $f\!=\!1$ соответствует кривой на рисунке 2.1, повернутой на угол $-90$ градусов; это соответствует функции ArcTania от аргумента, взятого с обратным знаком.
%, поскольку \be
%\mathrm{Doya}_t^{-1}=\mathrm{Doya}^{-t} \eL{Doya} \vskip 2mm
% Для передаточной функции $T\!=\!\mathrm{Doya}_t$, суперфункция и абельфункция выражаются так: 
%\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%f(z)=\mathrm{Tania}(nz) ~ ~ ~, ~ ~ ~
%g(z)=\mathrm{ArcTania}(z)/n
%\eL{Doyat}
%Соответствено, 
\be
\mathrm{Doya}^n(z)=\mathrm{Tania}\Big(n+\mathrm{ArcTania}(z)\Big)
\eL{DT}
%Эти итерации показаны на рисунке 
Это представление использовано для построения рисунка
\ref{doyaplo}; графики показывают $y\!=\!\mathrm{Doya}^n(x)$ для различных значений $n$. 
%Кривые, соответствующие целым значениям $n$, выделены толстыми линиями.
\vskip 2mm

%Для значений $z$ вблизи вещественной оси, итерации такой передаточной функции могут быть выражены также через функцию LambertW,
%\be \mathrm{Doya}^n(z)=\mathrm{LambertW}(z \rme ^z\!+\!n) \eL{aga}
Свойства функции Таня проще, чем свойства функции LambertW, и поведение Тани в комплексной плоскости проще, чем поведение функции WrightOmega. Поэтому 
здесь в качестве ``основной'' функции выбрана Таня.%, а не LambertW.
%, и использовать Таню для вычисления  LambertW. В частности, при построении графиков используются аппроксимации непосредственно Тани, а не её представления через LambertW.
%как это представлено в Таблице 1.
\vskip 2mm
%\newpage

Функции Дойя и Таня имеют ясный физический смысл. Они соответствуют простой модели однородного лазерного усилителя, работающего в непрерывном режиме.  
Функция Дойя есть передаточная функция такого усилителя; она выражает зависимость 
%обезразмеренной 
интенсивности сигнала на выходе от интенсивности сигнала на входе;
интенсивность накачки выбрана так, что в линейном режиме (для слабого сигнала) сигнал усиливается ровно в $\mathrm e$ раз.
(Здесь интенсивность измеряется в единицах насыщения.)
Функция Таня выражает зависимость сигнала от координаты вдоль направления распространения усиливаемого сигнала \cite{thailand,2013or}.
\vskip 2mm

\JP{
\begin{wrapfigure}{r}{300px}
\sx{.5}{\begin{picture}(400,240)
\put(10,-10){\ing{hillary}}
\end{picture}}
\caption{В лазерной науке слово ``сигнал'' имеет значение, отличное от бытового.
%Хиллари включает сигнал, по которому $10^6$ агентов США %в России 
%начинают протесты %против мошенничества на выборах 
\iL{signal}}
\end{wrapfigure}

Как указано во Введении, на лазерном жаргоне сигналом называется усиливаемое излучение, даже в тех случаях, когда это излучение непрерывно и никакой информации не передает. Это значение слова ``сигнал'' существенно отличается от значения, в котором этот термин используется агитаторами и пропагандистами (см. рис \ref{signal}). Надеюсь, такая неоднозначность термина ``сигнал'' не вызовет конфузии при описании применимости суперфункций к лазерной науке.
\vskip 2mm
}%JP
Функции, аналогичные функциям Дойя и Таня, могут быть построены также и для импульсного режима усиления сигнала. Такие функции рассмотрены в следующей секции.

\section{Келлер, Шока и АркШока}

\begin{figure}[t]
\begin{center}
 %\sx{1.2}{ \begin{picture}(174,165)
 \sx{2.4}{ \begin{picture}(174,172)
 \put(6,5){\ing{KellerMap}}
 \put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
 \put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
 \put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
 \put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
 \put(18,147){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
 \put(18,84){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(18,20.8){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
 \put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
 \put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
 \put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
 \put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
 \put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
 \put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
 \put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
 \put( 79.5, 109){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
 \put( 97.0, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
 \put(108.8, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
 \put(119.4, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!4$}\ero}
 \put(129.6, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!5$}\ero}
 \put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
 \put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
 \put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
 \put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
 \put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
 \put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
 \put(132,  94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
 \put(132,  84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
 \put(132,  73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
 \put(132,  63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
 \put(132,  53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
 \put(132,  43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
 \put(132,  33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
 \put(132,  23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
 \put(132,  13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
 \end{picture}}
 \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png}
 \end{center}
 \vskip -18pt
 \caption{\large
 $u\!+\!v=\mathrm{Keller}(x\!+\!\mathrm i y)$. 
  %Генератор:
 %\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcKellerMapT.png} и
 \iL{KellerMap} }
 \end{figure}

Волновой пакет света в однородном усилителе характризуется его энергией или флюенцией, если его можно считать однородным по поперечному сечению. 
Грубо говоре, флюенция - это энергия на площадь. При этом передаточной функцией 
однородного усилителя является зависимость флюенции на выходе от флюенции на входе.
В простой модели, эта зависимость выражается функцией Келлера, и она рассмотрена в этой секции.
Функцию Келлера я определяю так:
\be
\mathrm{Keller}(z)=z+ \ln\!\Big(\mathrm e - \mathrm e^{-z}(\mathrm e-1) \Big)
\eL{KellerDef}
Комплексная карта этой функции показана на рисунке \ref{KellerMap}. \\
%Генератор этого рисунка я загрузил по урлю\\
 %\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png}
\begin{figure}[t]
  \sx{2.4}{ \begin{picture}(164,172)
\put(6,5){\ing{ArcKellerMap}}
\put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(3,116){\sx{.6}{$\pi$}}
\put(18,115.6){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(120,116.7){\sx{.4}{\bf cut}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-2,53){\sx{.6}{$-\pi$}}
\put(18,52.4){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(11,20.4){\sx{.8}{$v\!\approx\! -\!2\pi$}}
\put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 67.2, 75){\rot{90}\sx{.5}{$u\!=\!-0.4$}\ero}
\put( 89.8, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(107., 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(118.6, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(129.2, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
\put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
\put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
\put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
\put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
\put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
\put(132, 94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(132, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(132, 73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
\put(132, 63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
\put(132, 53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
\put(132, 43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
\put(132, 33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
\put(132, 23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
\put(132, 13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 28pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large  $u\!+\!v=\mathrm{ArcKeller}(x\!+\!\mathrm i y)$. 
 %Генераторы:
 %\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcKellerMapT.png} и
 \iL{ArcKellerMap} }
\end{figure}
\vskip 2mm

Обратная функция $\mathrm{ArcKeller}=\mathrm{Keller}^{-1}$ записывается так
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcKeller}(z)=z+\ln\!\left( \frac{1}{\mathrm e}+\frac{\mathrm e \!-\!1}{\mathrm e}\, \mathrm e^{-z} \right)
\eL{ArcKellerDef}
Комлекснaя картa функциии ArcKeller  показана на рисунке \ref{ArcKellerMap}.
%Генератор этой карты загружен по урлю \\
% \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcKellerMapT.png}
%а сравнение функции  Keller с функцией  Doya для вещественных положительных значений аргумента показано на рисунке \ref{KellerDoya}.

Карты функций Keller и ArcKeller выглядят похоже; имеет место соотношение
\be
\mathrm{ArcKeller}(z)=\mathrm{Keller}(z-\mathrm i \pi -1)-1+\mathrm i \pi
\ee
\vskip 2mm

В работах Келлера \cite{keller1,keller2} используется иное представление,
%, которое можно записать в виде 
\be
\mathrm{Keller}(z)= \ln\Big( 1+ \mathrm e \, (\mathrm e^z -1) \Big)
\eL{KellerLit}
Такое представление  эквиваленто выражению \rf{KellerDef}, пока $|\Im(z)|\!<\!\pi$, и, в частности, для вещественных значений аргумента. 

%\begin{wrapfigure}{l}{0.36\textwidth}
%\begin{wrapfigure}{r}{220px}
%\sx{.7}{ \begin{picture}(300,410)
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{.92}{ \begin{picture}(300,410)
\put(-4,-4){\ing{KellerDoya}}
\put(4,384){\sx{3}{$y$}} 
\put(5,290){\sx{3}{$3$}} 
\put(5,190){\sx{3}{$2$}} 
\put(5, 90){\sx{3}{$1$}} 
%\put(0,-8){\sx{2.5}{$0$}}
\put(92,4){\sx{3}{$1$}}
\put(192,4){\sx{3}{$2$}} 
\put(280,4){\sx{3}{$x$}} 
\put(150,250){\rot{48}\sx{2.4}{$y\!=\!\mathrm{Keller}(x)$}\ero}
\put(180,210){\rot{47}\sx{2.4}{$y\!=\!\mathrm{Doya}(x)$}\ero}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerDoyaT.png}
\end{center}
\vskip -16pt
\caption{\large Сравнение функций  Keller и Doya, см.\rf{KellerDef} и \rf{Doya}
%Generator: {\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerDoyaT.png}}
%$\!\!\!\!\!\!$ \small \iL{Keller}}
\label{Keller}}
\vskip 4pt
\end{figure}


График функции Келлера вещественного аргумента показан на рисунке \ref{Keller} в сравнении с графиком функции Doya, рассмотренной в предыдущей секции. Обе функции растут от нуля в нуле тангенсом e; потом рост становится почти линейным, и на бесконечности каждая их этих функций растет с тангенсом единица. При этом Келлер принимает значения на несколько десятых больше, чем Дойя.
\vskip 2mm

По аналогии с передаточной функцией Doya, % её суперфункцией Tania и Абельфункцией ArcTania, 
функцию Keller тоже можно интерпретировать как передаточную функцию.
Эта функция описывают усиление коротких световых импульсов в лазерной среде; при этом, аргумент передаточной функции имеет смысл флюенции (энергии на площадь) светового импульса на входе в усилитель, измеренной в единицах флюенции насыщения. 
Такой же смысл имеют значения этой функции, эти значения соответствуют флюенции на выходе.
%Комплексная карта функции Келлера и карта её обратной функции показаны на рисунке \ref{KellerMap}. Итерации функции Келлера показаны на рисунке \ref{KellerPlot}; ниже рассказано, как они получаются.
\vskip 2mm

Oписание световых импульсов обычно сложнее, чем рассмотрение стационарного режима (имеется дополнительный параметр, время). 
%Поэтому рассмотрение этого случая следует после случая усиления непрерывного сигнала. 
Однако для простой модели импульсного усилителя, %случае %определенном смысле, этот случай даже проще предыдущего, так как 
передаточная функция, её суперфункция и абельфункция выражаются через элементарные функции; итерации функции Келлера тоже оказываются элементарными функциями. В этом смысле передаточная функция Келлера проще, чем передаточная функция Doya.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{l}{0.41\textwidth}
%\begin{wrapfigure}{l}{200px}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{.8}{ \begin{picture}(410,412)
%\put(1,9){\ing{doyaplo}}
\put(1,9){\ing{kellerplo}}
\put(-12,394){\sx{2.8}{$y$}}
\put(-12,303){\sx{2.8}{$3$}}
\put(-12,203){\sx{2.8}{$2$}}
\put(-12,103){\sx{2.8}{$1$}}
\put(0,-9){\sx{2.5}{$0$}}
\put(100,-9){\sx{2.5}{$1$}}
\put(200,-9){\sx{2.5}{$2$}}
\put(300,-9){\sx{2.5}{$3$}}
\put(392,-7){\sx{2.6}{$x$}}
 %\put(560,214){\rot{37}\sx{4}{$y=\mathrm{Tania}(x)$}\ero}
%\put(18,344){\rot{83}\sx{2.7}{$n\!=\!6$}\ero}
\put(28,344){\rot{76}\sx{2.7}{$n\!=\!5$}\ero}
\put(52,346){\rot{66}\sx{2.8}{$n\!=\!4$}\ero}
\put(100,348){\rot{55}\sx{2.8}{$n\!=\!3$}\ero}
\put(172,350){\rot{50}\sx{2.8}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(251,340){\rot{48}\sx{2.8}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(324,318){\rot{45}\sx{3.0}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(332,233){\rot{43}\sx{2.8}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(332,148){\rot{40}\sx{2.8}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(332,82){\rot{33}\sx{2.8}{$n\!=\!-3$}\ero}
\put(320,36){\rot{20}\sx{2.8}{$n\!=\!-4$}\ero}
\put(316,20){\rot{7}\sx{2.8}{$n\!=\!-5$}\ero}
\end{picture} }
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerPlotT.png}
\end{center}
\vskip -14pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{Keller}^n(x)$ .
% Генератор:
%Итерации функции Keller 
%{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerPlotT.png}}
\iL{kellerite}
\label{KellerPlot}}
\vskip 2pt
\end{figure}


Итерации функции Keller, показанные на рисунке \ref{KellerPlot},
также схожи с итерациями функции Doya, показанными на рисунке \ref{doyaplo}. В соответствии с общей формулой, итерации функции Келлера строятся через её суперфункцию и абельфункцию.
Для функции Келлера, суперфункцией и абельфункцией являются функции Shoka и ArcShoka, задаваемые формулами
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
 \mathrm{Shoka}(z)=z+\ln\!\Big( \mathrm e^{-z} +\mathrm e -1\Big)
\eL{Shoka}
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcShoka}(z)= z + \ln \!\left(\! \frac{1\!-\!\mathrm e^{-z}}{\mathrm e \!-\!1} \right)\!\!
\eL{ArcShoka}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\sx{2.4}{\begin{picture}(174,170)
\put(6,5){\ing{ShokaMap}}
\put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
\put(3,116){\sx{.6}{$\pi$}}
\put(18,161.4){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(11,150){\sx{.8}{$v\!\approx\!2\pi$}}
\put(18,131.2){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(18,115.6){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(120,116.7){\sx{.4}{\bf cut}}
\put(18,100){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(18, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(18,68){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-2,53){\sx{.6}{$-\pi$}}
\put(18,52.4){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(18,36.5){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(11,20.4){\sx{.8}{$v\!\approx\! -\!2\pi$}}
\put(18,7){\sx{.8}{$u\!=\!0$}}
\put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 89.8, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(102.4, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(113.4, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(124.0, 77){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
\put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
\put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
\put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
\put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
\put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
\put(132, 94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(132, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(132, 73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
\put(132, 63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
\put(132, 53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
\put(132, 43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
\put(132, 33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
\put(132, 23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
\put(132, 13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
\end{picture}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{Shoka}(x\!+\!\mathrm i y)$
% и $f\!=\!\mathrm{ArcShoka}$ по формулам  \rf{Shoka} и \rf{ArcShoka}: $u\!+\!\mathrm i v\!=\!f(x\!+\!\mathrm i y)$. Генераторы: {\small
 \iL{ShokaMap}}
\vskip 4pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\sx{2.4}{ \begin{picture}(174,174)
\put(6,5){\ing{ArcShokaMap}}
\put(2,163){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
% \put(3,116){\sx{.6}{$\pi$}}
\put(18,147){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
\put(18,84){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(-2,64){\sx{.6}{$-2$}}
\put(18,20.8){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(-2,44){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-2,24){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
\put( 86.5, 108){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(102.6, 107){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(114.2, 107){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(124.6, 107){\rot{90}\sx{.7}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(132,154.4){\sx{.8}{$v\!=\!7$}}
\put(132,144.3){\sx{.8}{$v\!=\!6$}}
\put(132,134.3){\sx{.8}{$v\!=\!5$}}
\put(132,124.2){\sx{.8}{$v\!=\!4$}}
\put(132,114.2){\sx{.8}{$v\!=\!3$}}
\put(132,104.2){\sx{.8}{$v\!=\!2$}}
\put(132, 94.2){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(132, 84){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(132, 73.9){\sx{.8}{$v\!=\!-\!1$}}
\put(132, 63.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!2$}}
\put(132, 53.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!3$}}
\put(132, 43.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!4$}}
\put(132, 33.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!5$}}
\put(132, 23.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!6$}}
\put(132, 13.4){\sx{.8}{$v\!=\!-\!7$}}
\end{picture}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png}
\end{center}
\vskip -16pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{ArcShoka}(x\!+\!\mathrm i y)$. 
%Генераторы: {\small
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png}}  и \small{
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png}}
 \iL{ArcShokaMap}}
\vskip 4pt 
\end{figure}

Комплексные карты функций Шока и АркШока показаны на рисунках
\ref{ShokaMap} и \ref{ArcShokaMap}. 
%Я загрузил генераторы этих рисунков по урлям\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png}  и \\
%\small{
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png}
Эти функции аналогичны функциям Таня и АркТаня, и тоже описывающим усиление света в активной лазерной среде с простой кинетикой, но не для непрерывного режима, а для коротких импульсов.
\vskip 2mm

Функции Tania и Shoka сравниваются для вещественных значений аргумента на рисунке 
\ref{shokataniaplot}. 
Обе эти функции в левой части графика имеют экспоненциальный рост с единичным инкрементом; обе проходят через точку (0,1), и обе растут почти линейно в правой части графика.
\vskip 2mm

Комплексные карты функций Шока и АркШока на рисункax \ref{ShokaMap} и \ref{ArcShokaMap} похожи.
Одна из них получается из другой смещением на константу аргумента и добавлением другой константы к значению. Это можно выразить соотношением
\be  \!\!\!\!\!
\mathrm{ArcShoka}(z)=\mathrm{Shoka}\big(z-\mathrm i \pi -\ln(\mathrm e\!-\!1)\big)-\ln(\mathrm e\!-\!1)+\mathrm i \pi
\label{ashsh}\ee
В окрестности положительной части вещественной оси, карты на рисунке \ref{ShokaMap},
похожи на карты рисунка \ref{figTaniaMap} для функции Tania,
хотя простым преобразованием получить Таню из Арктани или из Шоки 
не удается. Mне не известно аналога формулы \ref{ashsh} для Тани и АркТани.
%трудно.
Есть и качественные различия: функция Таня имеет всего две линии разреза (и две точки ветвления), а функция Шока 
имеет их счетное множество. Обратные функции, АркТаня и АркШока, имеют сходные структуры разрезов.
\vskip 2mm

Все четыре функции (Таня, АркТаня, Шока и АркШока) похожи на линейную функцию при больших значениях вещественной части аргумента; в правой части кoмплексных карт, структура линий уровня вещественной и мнимой части становится похожа на обычную прямоугольную сетку из прямых линий.
Это же можно сказать о функциях Дойя и Келлер.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{120px}
%\begin{wrapfigure}{r}{0.19\textwidth}
\sx{5}{\begin{picture}(16,28)
\put(1,-1){\ing{doya500}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{ Эврика!$\!\!\!\!\!\!\!\!$
%Открытие суперфункций
%Символ эвристичности с рис. \ref{figDoyaMap}) 
%\iL{eureka}}
\label{eureka0}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}
Сходства и различия в поведении четырех функций (Дойя, Келлер, Шока и Таня) проявляется ярче всего в комплексной плоскости. В качестве ещё одной особенности, типичной для функции Дойя, на рисунке \ref{eureka0} показан зумин из левой части рисунка 
%\ref{DoyaMap}. 
\ref{DoyaMap}. 
Изображена комплексная карта функции Doya,  $u\!+\!\mathrm i v \!=\!\mathrm{Doya}(x\!+\!\mathrm i y)$. Карта повернута на 90 градусов против часовой стрелки. Толстыми линиями показаны уровни 
$u\!=\!-0.4$,  
$v\!=\!\pm 1.2$~, 
$v\!=\!\pm 1.4$~
При этом карта похожа на человека, который увидел в раскрытой книге нечто удивительное.
Генератор этого рисунка загружен по урлю\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya500.png}\\
Читатели приглашаются проверить, что три параметра, указанные с двумя значащими цифрами, воспроизводят структуру, показанную на рисунке \ref{eureka0}. 
%В остальных функциях этой главы, да, пожалуй, и этой книги, таких свойств не видно.
\vskip 2mm

%Теперь я 
%немного 
%поспекулирую отностиельно применения функций, определенных в этой главе, для лазерной науки. 
Схожесть передаточных функций Дойя и Келлер, и, соответственно, схожесть их суперфункций Таня и Шока, указывают, что для анализа нелинейных сред по их передаточным функциям, эти функции должны измеряться с несколькими значащими цифрами. Это представляется возможным, так как для измерения передаточных функций не требуется регистрации малых изменений интенсивности или флюенции. В эпоху, когда частота измеряется с 18ю значащими цифрами, можно померить передаточную функцию хотя бы с шестью знаками. В принципе, для этого достаточно зарегистрировать порядка $10^{12}$  фотонов на каждое значение; то есть, использовав всего $10^{15}$ фотонов, можно затабулировать передаточную функцию на тысяче значений. Тогда данные о передаточных функциях и, соответственно, их суперфункции (то есть распределение интенсивности или флюенции, в зависимости от случая, вдоль усилителя) можно использовать для выбора модели активной среды. 
При этом количество параметров модели уменьшается на единицу, один из параметров, а именно - длинна усилителя, может бытъ исключен из модели.
\vskip 2mm

%Как видно из рисунка \ref{Keller}, качественные измерения не позволяют отличить даже случай усиления непрерывного излучения от случая усиления коротких  импульсов. Количественные измерения отклика среды позволили бы увидеть границы области применимости общепринятых моделей; формализм суперфункций предлагается как способ обработки результатов таких измерений.

\section{О единственности решения}
\baselineskip 20pt

%Пусть задано некоторое значение параметра $t$.
Предыдущая секция подразумевает, что суперфункция для данной передаточной функции успешно восстанавливается.
В связи с этим, имеет смысл вспомнить указание Введения о том, что для данной передаточной функции, суперфункция не единственна. 
\vskip 2mm

Во Второй главе, в таблице \ref{TableOfSuperfunctions} предложены примеры передаточных функций и их суперфункции. Среди них есть два примера реалистичных функций, которые могут быть реализованы в лазерной науке,  в эксперименте, на оптической скамье. Это функции 
$T\!=\!\mathrm{Doya}$ и $T\!=\!\mathrm{Keller}$, рассмотренные в этой главе. Для этих функций  суперфункциями являются функции
$F=\mathrm{Tania}$ и, соответственно, $F\!=\!\mathrm{Shoka}$. Эти же функции можно получить как решения дифференциальных уравнений для несложных физических моделей нелинейной среды. Поэтому физичность таких решений не вызывает сомнений. Однако, легкость и красота, с которой получаются суперфункции и абельфункции для передаточых функций $T\!=\!\mathrm{Doya}$ и $T\!=\!\mathrm{Keller}$, не должны вызывать иллюзий относительно единственности решения %трансферного
передаточного уравнения \rf{transfereq}; ввиду важности этого уравнения, оно повторено здесь:
\be
F(z\!+\!1)=T\!\Big(F(z)\Big)
\nonumber
\ee
Чтобы уменьшить многообразие решений, можно потребовать, что вдоль вещественной оси суперфункция монотонна, что она асимптотически стремится к стационарной точке передаточной функции (в случае $T\!=\!\mathrm{Doya}$ и $T\!=\!\mathrm{Keller}$, стационарной точкой является ноль), и что значение суперфункции в некоторой точке зафиксировано (для Тани и Шоки ``руками'' задано, что  $F(0)\!=\!1$). Однако таких условий для единственности решения недостаточно.
\vskip 2mm

%\section{Модифицированная суперфункция}
Как уже указано во Введении, для данной передаточной функции, суперфункция не единственна.
Здесь предложен критерий, как среди различных суперфункций распознать ``настоящую'', то есть ту,
которая, как ожидается, соответствует %реальной 
физической ситуации.
% и допускает интерпретацию в терминах наблюдаемых физических величин.
\vskip 2mm

\JP{ суперфункция $F$ и абельфункция $G$
выражаются формулами \rf{Doyat}. Аналогичные выражения для передаточной функции 
Иные суперфункции для этой же передаточной функции можно строить по формуле
\rf{tif}. В частности, можно взять}%JP

Пусть $\theta$ - вещественно-голоморфная периодичная функция с периодом единица, и пусть $\theta(0)\!=\!0$.
Пусть
\be
\mathcal F(z)=F\!\Big(z+\theta(z)\Big)
\eL{calF}
В частности, можно положить 
\be
\theta(z)=\mu \sin(2 \pi z)
\eL{zetamu}
где $\mu$ - вещественный малый параметр.
Полученная функция  $\mathcal F$ удовлетворяет тому же 
%трансферному
передаточному уравнению \rf{transfereq}, что и  $F$, и принимает то же значение в нуле. При монотонной суперфункции  $F$, для умеренных значений $\mu$ , полученная суперфункция  $\mathcal F$
тоже монотонна, и, работая со значениями функций при вещественных значениях аргумента, трудно понять, какую из функций $F$, $\mathcal F$ считать ``настоящей'', и которая из них получена периодичной модификацией аргумента.
%(Даже если вдоль вещественной оси прередаточная функция  $T$ измерена с хорошей точностью.)
\vskip 2mm

Выбор ``настоящей'' функции %сильно 
упрощается, если рассмотреть комплексные значения аргумента.
По этой причине в этой Книге
%главе, как, впрочем, и в последующих, 
рассматриваются комплексные значения аргумента и строятся комплексные карты 
%трансферных 
передаточных функций, а также их обратных функций, суперфункций и абельфункций.
\vskip 2mm

Если $\theta$ в комплексной плоскости имеет сингулярности, то можно ожидать, что в тех же точках модифицированная функция $\mathcal F$ тоже сингулярна. Если  $\theta$ - целая функция, то есть не имеет сингулярностей, то можно ожидать, что в полосе, например, $0\!\le\! \Re(z)\! <\!1$, выражение $z\!+\!\theta(z)$ принимает почти все значения, в том числе и такие, при которых либо 
$T$, либо её обратная функция $T^{-1}$ сингулярны 
\footnote{Это типичный случай, когда по крайней мере одна из функций $T$ и $T^{-1}$ имеет особенности. Исключением является лишь линейная функция}.
Тогда в полосе
 $-1\!\le\! \Re(z) \!<\!2$ функция $\mathcal F(z)$ имеет особенности.
\vskip 2mm

Критерий ``истинности'', физичности суперфункции может быть построен на основе её поведения 
в комплексной плоскости: ``настоящая'' суперфункция та, которая имеет меньше сингулярностей (либо не имеет их вовсе).
%\vskip 2mm
%Любая 
Голоморфная периодичная добавка к аргументу суперфункции изменяет её асимптотические свойства в направлении мнимой оси. 
Поэтому
%Таким образом, можно ожидать, что 
спецификация регулярного поведения суперфункции в комплексной плоскости существенно уменьшает многообразие решений или даже
%, может быть, 
обеспечивает единственность решения.
 
\section{Конжекция о почти идентичной функции}
\baselineskip 19.8pt

Я и мои коллеги предпринимали попытки доказать (или опровергнуть) рассуждение, использованное выше, о том, что функция  $\mathcal F(z)$ вида \rf{calF} в полосе $0\le \Re(z)\le 1$ принимает все значения, за исключением, быть может, одного; но пока у нас нет строгого доказательства. Такое рассуждение можно сформулировать в виде конжекции:
\vskip 2mm

Для %любой отличной от константы 
голоморфной периодичной функции $\theta$ с вещественным периодом $\tau$,
функция $z\mapsto z\!+\!\theta(z)$ в области $ \{ z\in \bC: |\Re(z)|\le \tau/2 \}$ принимает все значения из $\bC$, за исключением, быть может, одного. 
\vskip 2mm

Я надеюсь, что эта гипотеза, эта концепция не потребует стольких усилий, сколько потребовала знаменитая Теорема Ферма, хотя до сих пор мне не удалось найти ни одного математика, который бы взялся строго доказать её или предложил бы пример функции, которая эту гипотезу опровергает. После доказательства, такое утверждение могло бы называться {\bf Теорема о почти идентичной функции}. Смысл такого названия в том, что даже небольшое периодичное искажение идентичной функции дают функцию, которая принимает все значения даже на одном периоде. Пока эта теорема не доказана, её уместно называть гипотезой.
\vskip 2mm

Гипотеза о почти идентичной функции важна для единственности решения передаточного уравнения.
Если передаточная функция, или её обратная функция, имеет хотя бы одну сингулярность,
то преобразование голоморфной суперфункции по формуле \rf{tif} сужает область голоморфизма.
В этом смысле требование голоморфизма является ключевым для единственности суперфункций.
\vskip 2mm

%\section{Эвристичность}
Рассуждения предыдущей секции, главы, да и всей Книги, не являются строгими доказательствами.
Они лишь указывают, почему для голоморфной передаточной функции обычно удается построить единственную суперфункцию. Неограниченный рост ``почти идентичной'' функции объясняет, как, почему и в каких случаях можно ожидать единственности суперфункции. 
\vskip 2mm

В следующих главах рассмотрены  и другие передаточные функции. Для них тоже строятся суперфункции, даже если они не выражаются простым образом через функции, известные в 20м веке.
\JP{
В частности, строятся суперфункции, которые не выражаются через функции, признанные специальными в 20м веке;
и предлагаются общие методы построения суперфункций для голоморфных передаточных функций общего вида.
\vskip 2mm

Наиболее известной из таких суперфункций является тетрация, то есть суперфункция от экспоненты, суперекспонента.
С помощью тетрации и арктетрации можно вычислять ``квардатный корень из экспоненты'',
то есть такую функцию $\varphi=\exp^{1/2}=\sqrt{\exp}~$;  $~\varphi(\varphi(x))=\exp(x)$ в широкой области значений $x$.
Такая функция рассматривалась в середине прошлого века Хельмутом Кнезером (Hellmuth Kneser) \cite{kneser}, хотя в прошлом веке не было предложено эффективного способа её вычисления и ни одной карты этой функции построено не было. С помощью формул и алгоритмов из этой книги, комплексные карты и явные графики таких функций могут строиться в реальном времени на любом компьютере. В принципе, все рисунки из этой книги, вместе с генераторами (то есть кодами на С++, которые генерируют эти рисунки) загружаются в ТОРИ \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}, и могут использоваться в качестве прототипов. 
Если я не успел или забыл загрузить генератор какого-либо рисунка, то мне можно об этом напомнить по адресу dima(ГАВ!)ils.uec.ac.jp и указать, какой именно рисунок вызывает повышенный интерес и/или трудности при загрузке или генерации.
\vskip 2mm

{Когда в Японии перебои с электричеством (как это было, например, после Фукушимской катастрофы \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fukushima_disaster}), или по иным причинам (см.рис. \ref{uronila}), Мизугадро недоступно, то многие рисунки (и генераторы) можно стащить также с ситизендиума, найдя их по ключевым словам (и там тоже можно оставлять просьбы о загрузке недостающих рисунков и их генераторов). В этом смысле все рисунки и все алгоритмы из этой книги можно легко получить и использовать. Использование и размещение этих рисунков на всевозможных сайтах разрешается и даже приветствуется, ибо именно таким образом ``рукописи не горят'' \cite{bulga}. Желательно указывать источник, откуда Вы стащили рисунок или его генератор. 
%Это нужно не столько для того, чтобы застолбить мое авторство, сколько для того, чтобы было легче отследить ошибки, которые, вероятно, в некоторых файлах имеются. Моя мама говорит, что после всех исправлений и корректур, в любом тексте можно найти по крайней мере три ошибки. Кроме того, важно, чтобы я не принимал передранный у меня результат за независимое оригинальное исследование, подтверждающее мою концепцию. (Как видно из Предисловия, претензии автора на ``открытие века'' грандиозны, поэтому нет никакого смысла подогревать эту манию величия некорректными копипастами.) 
}
\vskip 1mm

В целях упрощения подачи материала, ниже изложение оригинального материала начинается с регулярной итерации; чтобы начинать с совсем простого и идти к чуть более сложному. Исторически, результаты получались в обратной последовательности: сперва через интеграл Коши была построена тетрация по основанию е \cite{analuxp}; потом, по просьбе моего соавтора, был сделан алгоритм регулярной итерации \cite{sqrt2} для более простых случаев, и только потом последовала амбициозная претензия на то, что я могу построить суперфункцию для любой передаточной функции \cite{factorial} и, в частности, для передаточной функции лазерного усилителя \cite{2013or}. 
%(Обычно, формулировка претензий на эпохальное открытие является самой простой частью любой работы.)
 \vskip 2mm
 
Этой главой заканчивается рассмотрение суперфункций, которые были известны ещё с прошлого века, и начинается рассмотрение суперфункций, которые пока не удается выразить через функции, описанные еще с прошлого века.
%известные ранее специальные функции. 
Надеюсь, что многие из этих новых функций удастся загнать в официально признанное множество специальных функций.
 \vskip 2mm
 
Что считать ``специальной функцией''? - этот вопрос терминологичи. 
Для меня, ``специальной функцией'' является такая, для которой есть определение, известно асимптотическое поведение и доступна численная имплементация, которая позволяет оценить её по крайней мере с 14 десятичными значащими цифрами в той части комплексной плоскости, где значение этой функции всё ещё может быть представлено в виде традиционного ``комплекс доубле''. Желательно, чтобы указанные определение, свойства и алгоритмы были доступны коллегам (то есть опубликованы); чтобы исследователь, упоминая некоторую суперфункцию, не отвечал на вопросы в стиле ``К сожалению, описание этой функции находится в закрытой части открытия''; такую ``засекреченную'' функцию лучше не называть специальной.
\vskip 2mm
 
Я считаю, что по моим формулам
можно построить физичную суперфункцию от какой попало физичной и аналитичной передаточной функции.
По замыслу, эти алгоритмы должны работать даже в тех случаях, когда для суперфункции и абельфункции нет простых выражений через ранее описанные специальные функции. Эти алгоритмы описаны в последующих главах. Таким образом в этой главе я заканчиваю описание того, что такое суперфункция и опасения, почему мои претензии могут показаться чрезмерными. В следующих главах я пытаюсь обосновать эти претензии, и оставляю читателям судить о том, насколько эта попытка успешна. Наиболее простым с точки зрения вычислений и интерпретации является случай вещественно-аналитической передаточной функции $T$, которая имеет стационарную точку
$L$, то есть $T(L)\!=\!L$, если при этом $T'(L)\! >\! 0$  и $T'(L)\!\ne\! 1$ . При этом нетрудно построить суперфункцию, которая асимптотически приближается к $L$; соответствующая итерация передаточной функции оказывается регулярной (то есть голоморфной) в окрестности точки $L$. 
Этот случай рассмотрен в следующей главе.
}%JP

\chapter{~ Регулярная итерация \label{Regular iteration}}

Регулярная итерация есть способ построения нецелых итераций передаточной функции, которые регулярны в окрестности её стационарной точки. Обычно имеется в виду, что стационарная точка вещественна. 
\vskip 2mm

В принципе, регулярная итерация может использоваться и для случаев, когда стационарная точка передаточной функции не вещественна. При этом суперфункция может строиться по тем же формулам,  но получаемая суперфункция тоже не вещественна и её применение в физике проблематично. Поэтому в этой главе я в первую очередь имею в виду случай вещественно-голоморфной передаточной функции, её вещественной стационарной точки и её вещественно-голоморфной суперфункции. 
\vskip 2mm

Речь идет о решениях $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq} %, я его повторю:
\be
F(z\!+\!1)=T\big(F(z)\big)
\nonumber 
\ee
%Я стараюсь для примеров использовать несложные передаточные функции, то есть элементарные или почти элементарные (факториал).
Я считаю, что передаточная функция $T$ реально-голоморфна и стационарная точка $L$ вещественна; $T(L)\!=\!L$. 
Для определенности предположим, что $T'(L)\!>\!0$.
\footnote{Предположение $T'(L)\!>\!0$  естественно. Случай $T'(L)\!<\!0$ трудно интерпретировать в терминах вещественных значений нецелой итерации, так как ${T^n}^\prime(L)$ должна стремиться  к единце при $n\!\rightarrow\!0$. Читатели могут рассмотреть также случай, когда $T'(L)\!=\!0$.
 } 
Ниже, рассмотрена общая формула, а потом предлагаются несколько её реализаций для специфических передаточных функций. 

\section{Общая формула}
\baselineskip 19.2pt

Для передаточного уравнения  \rf{transfereq}, решение $F$, экспоненциально стремящееся к  $L$, можно аппроксимировать так:
%в таком виде:
\be
\tilde{F}(z)=L+\varepsilon+a_2 \varepsilon^2+ a_2 \varepsilon^3 + ..
\eL{Lea2general}
где
\be
\varepsilon=\exp(kz)
\eL{Lea2}
Здесь $k$ есть константа, имеющая смысл инкремента, и $a$ суть тоже константы, не зависящие от $z$. Имея в виду приложения к физике (и, в частности, к лазерной науке), здесь рассматривается случай, когда передаточная функция $T$
и её суперфункция $F$
вещественно-голоморфны, то есть 
$T(z^*)=T(z)^*$  и 
$F(z^*)=F(z)^*$.
\vskip 2mm

В принципе, рассмотрение можно обобщить, добавляя в правую часть уравнения \rf{Lea2general} слагаемые, не полиномиальные по $\varepsilon$.
Следуя декларациям Введения, здесь я рассматриваю простой (хотя и нетривиальный) случай.
\vskip 2mm

При подстановке $F \rightarrow \tilde F$ в передаточное уравнение \rf{transfereq}
\be
F(z+1)=T(F(z))
\nonumber
\ee
в левой части уравнения оказывается выражение
\be
\tilde F(z\!+\!1)=L+\mathrm e^k \varepsilon+ a_2 \mathrm e^{2k} \varepsilon^2 + a_3 \mathrm e^{3k} \varepsilon^3 + ..
\eL{iteraz1}
а в правой - 
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(\tilde F(z))&=&L  + T' \cdot \varepsilon+ T' \cdot a_2 \varepsilon^2 + T' \cdot a_3 \mathrm \varepsilon^3 + .. \nonumber \\
&&+ \frac{T''}{2} (\varepsilon\!+\! a_2 \varepsilon^2 \!+\! ..)^2 + \frac{T'''}{6} (\varepsilon\!+\! ..)^3 + ..
\eL{i2}
где $T' =T'(L)$, $T'' =T''(L)$, $T''' =T'''(L)$, ..
\vskip 2mm

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon$ в выражениях \rf{iteraz1} и \rf{i2} дает уравнение для параметра $k$ и коэффициентов $a$:
\be
\mathrm e^k &=& T' \\
\mathrm e^{2k} a_2 &=& T' a_2 + T''/2 \\
\mathrm e^{3k} a_3 &=& T' a_3 + T''a_2 + T'''/6 \\
.. \nonumber
\ee
Цепочка таких уравнений легко решается и определает 
\be
k&=& \ln(T')  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{k38}\\
a_2&=& \frac{T''/2}{(T'-1)T'} ~ ~ ~ ~ \iL{a2.39}\\
a_3&=& \frac{T''a_2+T'''/6}{((T')^2-1)T'} \\
.. \nonumber
\ee
Для несложных передаточных функций, встроенные операции асимптотического анализа в таких пакетах как Математика и Клен позволяют в реальном времени вычислять десятки коэффициентов $a$. Оборванный ряд в представлении \rf{Lea2general} дает хорошую аппроксимацию для $F$ при $\varepsilon\ll 1$. Для положительных значений $k$, это соответствует большим отрицательным значениям $\Re(z)$. Для иных значений, для аппроксимации суперфункции 
%может 
используется итерация
\be
F(z)\approx T^n \Big( \tilde F (z-n) \Big)
\eL{regi}
%С подачи Генрика Траппманна, 
при достаточно больших положительных значениях $n$ для положительного $k$ и
при достаточно больших отрицательных значениях $n$ для отрицательного $k$.
(Случай $k\!=\!0$ квалифицируется как экзотический и рассматривается ниже в специальной главе про экзотические итерации.)
Tакое представление 
%названо ``регулярной итерацией''; 
во многих случаях позволяет оценивать суперфункцию с требуемой точностью. В частности, так оценивается суперэкспонента по основанию $b<\exp(1/\mathrm e)$
\cite{sqrt2}, суперфакториал \cite{facr} и голоморфные расширения логистической последовательности \cite{logistic}
и подпоследовательности Коллатза
%and the holomorphic extension of the Collatz subsequence
\cite{collatz}.
\vskip 2mm

Этот случай называется регулярной итерацией, так как итерация по формуле \rf{Tzx}, то есть
$T^n(z)=F\big(n\!+\!F^{-1}(z)\big)$ оказывается голоморфной (``регулярной'') функцией в окрестности стационарной точки $z\!=\!L$.
В случае вещественных значений $L$, можно ожидать, что именно регулярная итерация соответствует физически-осмысленному решению $F$ передаточного уравнения \rf{transfereq}. 
%Такое ожидание можно считать конжекцией. 
Следуя аксиомам ТОРИ, я пытаюсь подтвердить или опровергнуть эту конжекцию. Подтверждения получились, а насчет опровержения - после нескольких лет поисков, мне не удалось найти ни одного случая, когда физически-осмысленное решение передаточного уравнения
\rf{transfereq}
для %случая 
$T(L)\!=\!L$, $T'(L)\!>\!0$, $L\!=\!L^*$
не выражалось бы через регулярную итерацию. В этом смысле можно считать научным фактом, что именно регулярная итерация дает физически-осмысленное решение.

\section{Метод проб и ошибок против дедукции}
\baselineskip 20.2pt

Этот раздел пишется для тех математиков, которые считают дедукцию царицей доказательств, а все проверки с частными случаями считают упражнениями ниже своего достоинства. Ниже предлагается философское (и несколько лирическое) отступление от генеральной линии изложения. Речь идет об интерпретации термина ``научный факт'', использованного в предыдущей секции.
\vskip 2mm

Мне приходилось иметь дело с математиками, которые в качестве подтверждения концепции признают только её строгий математический вывод. Я был склонен принять такую точку зрения, но меня отвратило одно неумолимое эмпирическое наблюдение:
Результаты, полученные в результате ``чистой'', строгой дедукции, чаще оказываются ошибочными, чем ``догадки'' (конжекции), сделанные на основе анализа частных случаев и подтвержденные попытками опровергнуть результат.
\vskip 2mm

Об одном случае, иллюстрирующем упомянутую выше закономерность, рассказал Юрий Широков. 
Он работал с одной Аспиранткой, и предложил ей рассчитать некоторую физическую зависимость. Аспирантка долго мучилась с выводом, но провела рассчет и принесла формулу. Юрий посмотрел и сказал: ``У вас ошибка''. 
Аспирантка
% удивилась. Она 
повторила свои выкладки, и стала настаивать на своем результате. 
%Она требовала, чтобы Юрий проверил её рассчеты. 
Она требовала, чтобы Юрий проверил её рассчеты.
Юрий проверять рассчеты не хотел. Аспирантка почти насильно заставила Юрия проследить её дедукцию. Они вместе проверяли строчку за строчкой, Юрий читал и говорил ``Угу'',
но в последней строчке, когда потребовалось применить формулу из справочника, Юрий сказал: ``Здесь ошибка''.
Аспирантка открыла Градштейна-Рыжика и показала формулу. Юрий посмотрел на формулу и повторил, что формула неверна.
В той формуле было достаточно положить параметр равным нулю, чтобы увидеть, что равенство нарушено.
Аспирантка обиделась: в списке опечаток, который добавлялся к каждому новому переизданию,
% и с каждым разом становился всё длиннее, 
про пресловутую формулу ничего не было. Юрий сказал:``Значит, будет''. Но он не смог убедить Аспирантку, что если она пользуется неверной формулой, и не считает нужным сделать проверку, хотя бы для 
%нескольких 
частных случаев, то это её вина.
\vskip 3mm

Я тоже не без греха. В рассчет усиления при выжигании пространственных дыр закралась ошибка \cite{thin,thine}. Общая формула не использовалась для оценок, и ошибка не была выявлена сразу. С тех пор я не надеюсь, что соавторы выловят ошибки, и стараюсь не предлагать рассчеты, которые не используются для построения рисунков и формулировки основного ``мессаджа'' (абстракта и заключения) статьи. Это соответствует аксиоме 6: надо рассматривать самые простые построения, которые всё ещё приводят к нетривиальной концепции.
\vskip 3mm
   
Иногда мне не удавалось убедить коллег, указывая на противоречия их концепций; приходилось продираться сквозь выкладки и публиковать соответствующий ерратум. Некоторые такие примеры упомянуты в УФН \cite{ufn} и J.Mod.Phys.\cite{2013jmp}. 
На основе этих наблюдений, я считаю, что применение аксиом ТОРИ более эффективно и надежно, чем громоздкая дедукция, претендующая на математическую строгость. В идеале, конечно, желательно сочетать и математическую строгость, и 
%дотошную 
всяческие
проверки частных случаев, асимптотик и численных рассчетов.
\vskip 3mm

Всего один раз я столкнулся со случаем, когда четырнадцати значащих цифр оказалось недостаточно для численного опровержения гипотезы о том, что две голоморфные функции тождественно совпадают \cite{sqrt2}. Я был почти уверен в том, что эта разница вылезет при достаточно аккуратных рассчетах, так как две голоморфных функции не могут совпадать на вещественной оси, если они отличаются хоть где-то в связной области их голоморфизма. 
%Оказалось достаточным заменить переменные ``double'' на ``long double''; д
Для вещественнoго аргумента, разница между значениями функций проявляется в 25-м десятичном знаке.
Этот случай упомянут ниже в главе 16.
\vskip 3mm

В физической математике, строгая дедукция не является царицей доказательств; примерно так же, как в правовом обществе признание обвиняемого не является царицей доказательств его вины. Если утверждение удается доказать строго, то есть вывести на основе четкой математической выкладки - хорошо, но это не избавляет исследователя от необходимости проверять частные случаи и пытаться 
построить хотя бы один опровергающий пример. 
В следующей секции я пытаюсь построить такой опровергающий пример.
%я делаю ``регулярную итерацию'' передаточной функции, для которой я ответ известен. 
\JP{
Если же простая гипотеза предсказывает сразу ворох специальных и нетривиальных явлений, и не удается найти ни одного контрпримера
--
%я считаю её 
я считаю её
научным фактом,
и именно такие факты я предлагаю в этой книге. 
Если Вам удастся опровергнуть хотя бы одну из моих конжекций, вы можете написать об этом научную статью, и предложить более правильную формулу, которая, в частности, будет объяснять, почему во всех рассмотренных мной случаях моя формула хорошо работает. Я стараюсь помочь Вам писать такую статью, и в этой Книге я собираю формулы и алгоритмы, которые можно использовать при написании опровергающей статьи. 
\vskip 2mm

В соответствии с Третьей аксиомой ТОРИ, мои утверждения опровержимы; достаточно найти, построить хотя бы один случай, когда формула приводит к противоречию, чтобы опровергнуть её. Все нетривиальные примеры, в которых формула хорошо работает и дает ожидаемый результат, могут рассматриваться как неудачные попытки её опровержения. В следующей секции я пытаюсь опровергнуть метод регулярной итерации, предлагаемые в этой главе, используя для этого задачу с известным ответом.
}%JP

\section{Пример с известным ответом: опять Doya.}
\baselineskip 19pt

\begin{wrapfigure}{r}{170px}
\normalsize
\hskip 11pt 
\sx{.8}{\begin{picture}(200,298)
\put(0,0){\ing{doyaplot1}}
\put(-7,300){\sx{1.6}{$y$}}
%\put(-36,300){\sx{1.7}{$T(z)$}}
\put(-7,200){\sx{1.6}{$2$}}
\put(-7,100){\sx{1.6}{$1$}}
\put(0,-11){\sx{1.6}{0}}
\put(100,-11){\sx{1.6}{1}}
\put(198,-11){\sx{1.6}{$z$}}
\put( 38,110){\rot{70}{\sx{1.7}{$y=\mathrm e\, z$}}\ero}
\put( 58,110){\rot{55}{\sx{1.7}{$y=T(z)$}}\ero}
\put( 24,30){\sx{1.6}{$y=\mathrm e\, z - \mathrm e (\mathrm e\!-\!1) z^2$}}
\end{picture}} 
%\caption{Left: Transfer function $T$ by (\ref{doya1}) and its approximations. %\rule{77pt}{2pt}
%Right: superfunction $F$ and its approximations $\tilde F$ by the regular iteration (\ref{regi}) for $n\!=\!0 .. 4$.}
\caption{$T\!=\!\mathrm{Doya}$ 
%по формуле \rf{doya1} 
и её линейная и квадратичная аппроксимации 
%\label{f0fig}
\label{f0fig}
}
\vskip -18pt
\end{wrapfigure}

В этой секции я показываю, как работает регулярная итерация. 
%Здесь рассмотрено построение суперфункции для усилителя, передаточной функцией которого является %функция $T\!=\!\mathrm{Doya}$ из прошлок секции,
%, рассмотренная в предыдущей главе, 
Для этого используется пример с известным ответом, а именно - функция
Doya из предыдыщей главы, формула \rf{Doya}. 
График этой функции повторен на рисунке \ref{f0fig} толстой 
кривой.
\vskip 2mm

%зеленой курвой.
Для функции Doya, суперфункцией является 
%функция  
$F\!=\!\mathrm{Tania}$; свойства этих функций и способы их вычисления описаны  \cite{2013or,tania,doya}. Однако допустим, что мы (Читатель и я) не знаем простого аналитического представления суперфункции $F$ 
%через функцию  Tania, 
не знаем её асимптотического поведения, разложения в ряд и т.п.; однако из физических соображений подозреваем, что на минус бесконечности  $F$ экспоненциально стремится к стационарной точке $L\!=\!0$ функции Doya, и пытаемся вычислять суперфункцию $F$ с помощью регулярной итерации.
\vskip 2mm

Пусть вдоль вещественной оси и её окрестностей, передаточная функция выражается по формуле \rf{DoyaLambertW}, я повторю её ещё раз:
%чтобы Вам не листать:
\be 
T(z)=\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{LambertW}(1\!+\!z\, \mathrm e^z)
\eL{doya1}
Свойства функции LambertW 
\cite{LambertW,LambertWm,LambertWs,LambertWw} известны; в принципе, эта функция может рассматриваться без ссылок на функцию Tania, 
эмулируя ситуацию, когда суперфункция $F$ неизвестна.
\vskip 2mm

%График функции $T\!=\!\mathrm{Doya}$ представлен на рисунке \ref{doya1} толстой курвой.
Передаточная функция $T\!=\!\mathrm{Doya}$ может описывать некоторый идеализированный усилитель с насыщением, в пренебрежении спонтанной эмиссией излучения; при этом стационарная точка $L\!=\!0$,  поскольку $T(0)\!=\!0$. При малой интенсивности на входе, коэффициент усиления равен $\mathrm e$, но при интенсивностях порядка единицы, усиление насыщается; тогда приращение интенсивности при прохождении усилителя слабо зависит от интенсивности на входе.
\vskip 2mm

При малых значениях аргумента, функция $T$ может быть аппроксимирована полиномом;
\be 
\mathrm{Doya}(z)=\mathrm e z - \mathrm e (\mathrm e \!-\!1) z^2 + O(z^2) ~ ~
\eL{DoyaExpa}
при этом $T'(0)\!=\!\mathrm e$ и $T''(0)\!=\!- 2 \mathrm e (\mathrm e \!-\!1)$. 
Линейная и квадратичная аппроксимации функции  $T$ тоже показаны на рисунке \ref{f0fig}.
% тонкими линиями.
\vskip 2mm

Для регулярной итерации, по формулам \rf{k38} и \rf{a2.39} находим, что для такой передаточной функции $k\!=\!1$, и  $a_2\!=\!-1$.
Таким образом, первичное приближение с одним слагаемым для суперфункции - это просто экспонента,
\be
\tilde F(z)=\exp(z)
\ee
а учет двух слагаемых дает 
\be
\tilde F(z)=\exp(z)-\exp(2z)
\ee
%For this case, the fixed point 
Эти первичные аппроксимации показаны 
на рисунке
%в правой части рисунка  
\ref{regufig} верхней и нижней кривыми.
На этом же графике построены четыре итерации этих первичных аппроксимаций по формуле (\ref{regi}) для $n\!=\!0 .. 4$.
Эти аппроксимации приближаются к точному решению 
\begin{figure}
\begin{center}
\sx{.5}{
\begin{picture}(800,408)
\put(0,0){\ing{simudoya}}
\put(-10,298){\sx{2.2}{$3$}}
\put(-10,198){\sx{2.2}{$2$}}
\put(-10, 98){\sx{2.2}{$1$}}
\put( 88,-16){\sx{2.2}{$-2$}}
\put(188,-16){\sx{2.2}{$-1$}}
\put(299,-16){\sx{2.2}{$0$}}
\put(400,-16){\sx{2.2}{$1$}}
\put(500,-16){\sx{2.2}{$2$}}
\put(600,-16){\sx{2.2}{$3$}}
\put(700,-16){\sx{2.2}{$4$}}
\put(798,-16){\sx{2.2}{$x$}}
\put(366,206){\rot{65}\sx{1.9}{$\exp(x)$}\ero}
\put(436,206){\rot{66}\sx{1.9}{$T(\exp(x\!-\!1))$}\ero}
\put(530,266){\rot{66}\sx{1.9}{$T^2(\exp(x\!-\!2))$}\ero}
\put(580,266){\rot{60}\sx{1.9}{$T^3(\exp(x\!-\!3))$}\ero}
\put(620,266){\rot{55}\sx{1.9}{$T^4(\exp(x\!-\!4))$}\ero}
\put(733,322){\rot{41}\sx{2}{$F(x)$}\ero}
\put(534,160){\sx{1.85}{$T^4(\exp(x\!-\!4)\!-\!\exp(2(x\!-\!4)))$}}
\put(508,116){\sx{1.86}{$T^3(\exp(x\!-\!3)-\exp(2(x\!-\!3)))$}}
\put(418,64){\sx{1.86}{$T^2(\exp(x\!-\!2)-\exp(2(x\!-\!2)))$}}
\put(280,35){\sx{1.86}{$T(\exp(x\!-\!1)-\exp(2(x\!-\!1)))$}}
\put(160,11){\sx{1.86}{$\exp(x)-\exp(2x))$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SimudoyaTb.png}
\end{center}
\vskip -14pt
%\caption{Left: Transfer function $T$ by (\ref{doya1}) and its approximations. %\rule{77pt}{2pt}
%Right: superfunction $F$ and its approximations $\tilde F$ by the regular iteration (\ref{regi}) for $n\!=\!0 .. 4$.}
\caption{суперфункция $F$ и её аппроксимации $\tilde F$ по формуле (\ref{regi}) для $n\!=\!0 .. 4$}
%\caption{You can embed figures using the \texttt{\textbackslash includegraphics} command. EPS is the only format that can be embedded. Basically, figures should appear where they are cited in the text. You do not need to separate figures from the main text when you use \LaTeX\ for preparing your manuscript.}
\label{regufig}
\vskip 4pt
%\label{f0fig}
\end{figure}
\be
F(z)=\mathrm{Tania}(z\!-\!1)=\mathrm{WrightOmega}(z)
\ee
показанному 
%в правой части рисунка
на фисунке \ref{regufig} чуть более толстой кривой.
\vskip 2mm

Пример с передаточной функцией Doya показывает эффективность регулярной итерации.
% для реалистичных передаточных функций с вещественной стационарной точкой. %Именно функция Tania, к которой сходятся итерации, имеет физический смысл.
В последующих главах Книги рассмотрены ещё передаточные функции, для которых регулярная итерация даёт красивые суперфункции.

\section{Уравнение Шрёдера}
\baselineskip 21pt

Именно для регулярной итерации, наряду с формализмом суперфункций (представленным в этой Книге), может использоваться формализм функций Шрёдера 
% Ни в коей мере не претендуя на полноту цитирования, 
%глубину дриллинга и длину описания, цитирую несколько работ на эту тему:
\cite{szekeres,shapiro} (не представленный в этой Книге). 
По английски %она 
функция Шрёдера 
называется
Schroeder Function, а по-германски - Schr\"oderfunction. Можно предложить также русский аналог, составное слово шрёдерфункция. 
\vskip 2mm

Вероятно, даже самые страстные секретутки знают, в чем заключается функция шрёдера, а именно, в том, чтобы резать бумагу.
% и уничтожать улики их деятельности по отмыванию и обналичиванию бюджетных денег, а также по их перепрятыванию в банки цивилизованных стран, чтобы даже суровая сентенция ``с конфискацией''  (см. рисунок \ref{opis}) не уничтожала плоды многих лет тяжелого труда во славу Родины. 
Однако в математике (и даже физической математике), для передаточной функции $T$, функцией Шрёдера называется не уничтожение документов, а решение $g$ уравнения Шрёдера
\be
g(T(z))=s\, g(z)
\eL{schroederEq}
где $s$ есть некоторая константа. Обычно предполагают, что $T(0)\!=\!0$, то есть ноль является стационарной точкой передаточной функции.
Решение уравнения %Шрёдера 
\rf{schroederEq} можно искать в виде асимптотического разложения 
\be
g(z)=\sum_{p=1}^{\infty} a_p \, z^p 
\eL{schroederexpa}
где коэффициенты $a$ не зависят от $z$.
Даже если серия в правой части выражения \rf{schroederexpa} расходится, такое представление можно использовать для аппроксимации $g$ при малых значениях модуля аргумента. При этом сколь угодно точное (с любой требуемой точностью) решение $g$ может быть получено применением уравнения 
\rf{schroederEq} или его обратного
\be
g(z)= s \, g\Big(T^{-1}(z)\Big)
\eL{schroederEr}
в зависимости от того, что меньше, $|T(z)|$ или $|T^{-1}(z)|$.
\vskip 2mm

Чтобы не повторять здесь формализм функций Шрёдера, отмечу, что имеет место аналогия между функцией Шрёдера и функцией Абеля. Пусть
\be
G(z)=\log_s(g(z))
\eL{shroederabel}
логарифмируя обе части уравнения \rf{schroederEq}, я получаю уравнение
\be
G(T(z))=1+G(z)
\eL{analo}
что есть ничто иное как уравнение Абеля для той же самой передаточной функции $T$.
Похожим образом выражается аналог суперфункции. Читателю предлагается построить регулярные итерации каких-либо передаточных функций, рассмотренных в этой Книге, используя функцию Шрёдера и её обратную функцию вместо стандартного (по крайней мере для этой Книги) использования абельфункции и суперфункции. Регулярные итерации, построенные для стационарной точки ноль с помощью функции Шрёдера и её обратной функции, совпадают с итерациями, построенными через функцию Абеля и суперфункцию. 
\vskip 2mm

Таким образом, использование формализма Шрёдера, там, где он применим, не дает ничего нового по сравнению с использованием формализма суперфункций. Поэтому в этой Книге я решил воздержаться от рассмотрения этого формализма. Впрочем, если кто-либо предложит пример, который решается с помощью функций Шрёдера, но не решается через функции Абеля, я готов пересмотреть моё отношение к функции Шрёдера и уравнению Шрёдера.
\vskip 4mm

На этом я заканчиваю спекуляции на тему Шрёдера и возращаюсь к суперфункциям, абельфункциям и итерациям. В следующей главе рассмотрены регулярные итерации относительно простой квадратичной функции, а именно - логистического оператора, или логистического отображения.

\begin{wrapfigure}{r}{174px}
%\begin{figure}[h]
\begin{center}
\normalsize
\vskip 2pt
\sx{.66}{\begin{picture}(200,110)
\put(0,0){\ing{monoxid}}
\put(84,64){\sx{4}{O}}
\put(24,30){\sx{4}{H}}
\put(144,30){\sx{4}{H}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{Дигидрогена моноксид \label{monoxid}}
\end{wrapfigure}
Название ``логистическое отображение'' выглядит абсурдно длинным, примерно как  ``дигедрогена моноксид'' (рис. \ref{monoxid}), но именно 
термин ``логистическое отображение'' использется коллегами. Когда устоится более короткое название, я готов 
использовать более удобные обозначения. 
%улучшить терминологию. %Итак, если кто интересуется логистическим отображением и генерируемой им последовательностью, я приглашаю читать следующую главу. 

%\chapter{ ~  {Логистическая последовательность}}
\chapter{ ~ ~Логистическoe отображение}

Термином ``логистический оператор'' или ``логистическое отображение'' ({\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map})
%\url{http://www.sgtnd.narod.ru/wts/rus/kruzh/logistic.htm} 
%Логистическое отображение и бифуркационные деревья
обозначается квадратичная функция
\be
T(z)=s\, z \, (1\!-\!z)
\eL{logisticop}
Параметр  $s$ обычно считается положительным числом.
Логистическая последовательность $F$ определяется 
логистическим уравнением
%соотношением 
\be
F(z\!+\!1)=T(F(z))
\eL{LOGEQ}
которое дословно совпадает с передаточным уравнением \rf{transfereq}, и, по существу, таковым и является;
ещё требуется задать начальное условие $F(0)$. Обычно подразумевается, что $0\!<\!F(0)\!<\!1$.
%\EN{In the publications about the logistic equation, the parameter $z$ is assumed to be integer }%
\vskip 2mm

В публикациях про 
%логистическое 
уравнение \rf{LOGEQ} с передаточной функцией \rf{logisticop},  аргумент функции $F$ считается целым числом
\cite{L1992,L2000,L2003,L2009}. Уравнение \rf{LOGEQ} ``ухватывает'' некоторые свойства перехода физических систем к хаосу 
\cite{L1,L2,L3}. Итерации передаточной функции \rf{logisticop} можно рассматривать как грубое
%, эвристическое 
приближение для описания стохастических физических систем и задач гидро- и аэро- динамики, а также переходного поведения стохастических лазеров, в частности, вблизи одномодового режима генерации. 
\vskip 2mm

Мой учитель квантовой механики Елютин Павел Вячеславович, узнав о моих амбициях в связи с суперфункциями,
%(и претензиях на то, что я могу построить нецелую итерацию для любой реально-голоморфной передаточной функции), 
попросил  \cite{elutin} меня построить половинную итерацию логистического отображения и континуальное обобщение логистической последовательности  \rf{logisticop}, что я и сделал \cite{logistic}. 
%К сожалению, Павел отказался принять участие в написании статьи \cite{logistic} о такой итерации, и если там что не так в мотивации этого рассмотрения, то ругайте меня (а не Учителя). 
Oсновныe результаты упомянутой статьи представлены в этой главе.

\JP{ Исторически, сперва была построена голоморфная суперэкспонента (тетрация) по основанию $\mathrm e$, 
потом - тетрация по основанию $\sqrt{2}$, потом - суперфакториал, и только потом - голоморфное расширение логистической последовательности. Однако логистический оператор, который является квадратичной функцией, во многих отношениях проще, чем факториал и экспонента. Кроме того, для $s=4$, голоморфное расширение логистической последовательности, то есть суперфункция для передаточной функции $T$ по формуле \rf{logisticop}, выражается элементарной функцией.
Я занимаюсь физикой и математикой, но не историей физики и математики. Поэтому, вместо того, чтобы излагать результаты в последовательности, в которой они были получены, я начинаю с простых примеров и потом перехожу к более сложным. }%JP

\section{Логистичесская последовательность}
\baselineskip 21pt

\newcommand \fiax {
\put(0,108){\sx{.9}{1}}
%\put(-9, 84){\sx{.9}{0.25}}
%\put( -4, 58){\sx{.9}{0.5}}
\put(0, 58){\sx{.9}{$\frac{1}{2}$}}
%\put(-9, 34){\sx{.9}{0.25}}
\put( 0,  8){\sx{.9}{0}}
\put(  8,  0){\sx{.9}{0}}
\put( 55,  0){\sx{.9}{0.5}}
\put(108,  0){\sx{.9}{1}}
}
\newcommand \figOne{
\begin{center}\hskip -4pt
\sx{1.04}{\begin{picture}(130,126) \put(8,8){\ing{logi1a3}} \fiax \put(-2,124){\sx{1}{$y\!=\!T^{n}(x)$}}
\put(31,63){\rot{51}\sx{.85}{$n\!=1$}\ero}
\put(33,53){\rot{49}\sx{.85}{$n\!=0.8$}\ero}
\put(39,48){\rot{48}\sx{.85}{$n\!=0.5$}\ero}
\put(44,40){\rot{46}\sx{.85}{$n\!=0.2$}\ero}
\put(121,  0){\sx{.9}{$x$}}
\put(43,18){\sx{1.8}{$s\!=\!3$}}
\end{picture}}
\sx{1.04}{\begin{picture}(130,126) \put(8,8){\ing{logi1a4}} \fiax \put(-2,124){\sx{1}{$y\!=\!T^{n}(x)$}}
\put(32,84){\rot{57}\sx{.9}{$n\!=1$}\ero}
\put(39,70){\rot{54}\sx{.88}{$n\!=0.8$}\ero}
\put(46,65){\rot{51}\sx{.88}{$n\!=0.5$}\ero}
\put(54,54){\rot{49}\sx{.9}{$n\!=0.2$}\ero}
\put(121,  0){\sx{.9}{$x$}}
\put(43,18){\sx{1.8}{$s\!=\!4$}}
\end{picture}}
\sx{1.04}{\begin{picture}(140,136) \put(8,8){\ing{logi1a5}} \fiax \put(-2,124){\sx{1}{$y$}}
\put(34,107){\rot{61}\sx{.93}{$n\!=1$}\ero}
\put(45, 90){\rot{59}\sx{.92}{$n\!=0.8$}\ero}
\put(53, 77){\rot{55}\sx{.92}{$n\!=0.5$}\ero}
\put(58, 60){\rot{50}\sx{.92}{$n\!=0.2$}\ero}
\put(128,  0){\sx{.9}{$x$}}
\put(43,18){\sx{1.8}{$s\!=\!5$}}
\end{picture}}
\end{center}
}
\newcommand \capOne{
Итерации логистического отображения \rf{logisticop}: $y\!=\! T^{n}(x)$
%как функции вещественного $x$ 
\EN{
for $s\!=\!3$, left; 
for $s\!=\!4$, center; 
for $s\!=\!5$, right; curves for 
$n\!=\!1$,
$n\!=\!0.8$,
$n\!=\!0.5$,
$n\!=\!0.2$ are drawn. }%
\RU{
для $s\!=\!3$, слева; 
для $s\!=\!4$, по центру; 
для $s\!=\!5$, справа}
%построены кривые для 
%$n\!=\!1$,
%$n\!=\!0.8$,
%$n\!=\!0.5$,
%$n\!=\!0.2$ }%
\iL{Logi1a345T300}
}
\begin{figure}
\figOne 
\vskip -4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi1a345T300.png}
\vskip -6pt
\caption{\capOne~
\label{figlogi1} }  
\vskip 4pt
\end{figure}

Графики итераций логистического отображения $T$, определенного формулой \rf{logisticop}, как функций вещественного аргумента, представлены на рисунке \ref{figlogi1} для $s\!=\!3$ (левая картинка) $s\!=\!4$ (центральная картинка) и $s\!=\!5$ (правая картинка); показаны итерации  $y\!=\!T^n(x)$ для $n\!=\!0.2$, $n\!=\!0.5$, $n\!=\!0.8$ и $n\!=\!1$.
%Генератор этого рисунка загружен в ТОРИ по урлю\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi1a345T300.png}
\vskip 2mm

Все графики  рисунке \ref{figlogi1} построены по одной и той же формуле,
\be
T^n(z)=F(n+G(z))
\eL{ite}
где $F$ есть суперфункция, решение уравнения \rf{LOGEQ}, а  $G\!=\!F^{-1}$ есть её обратная функция (то есть абельфункция логистического отображения). Суперфункция  $F$, собственно, и есть ``голоморфное расширение логистической последовательности''. 
Суперфункция  $F$ построена с помощью регулярной итерации, описанной в предыдущей главе.
%начале этой главы.
\vskip 2mm

При построении суперфункции, ключевым является вопрос о стационарных точках передаточной функции.
Для квадратичной передаточной функции $T$ по формуле \rf{logisticop}, уравнение $T(z)\!=\!z$ имеет два
решения, $z\!=\!0$ и $z\!=\!1\!-\!1/s$. Первое из этих решений не зависит от $s$. Это решение используется для вычисления ``голоморфного расширения логистической последоветельности'', то есть суперфункции $F$, и абельфункции $G\!=\!F^{-1}$ и, соответственно, для построения рисунка  \ref{figlogi1} по формуле \rf{ite}.
Это вычисление описано ниже.

\section{Стационарная точка $L\!=\!0$}
\vskip 21pt

\begin{figure}[t]
\sx{2.6}{\begin{picture}(166,24)
\put( 1,1){\includegraphics{logi6}}
%\put( 64,48){\sx{.6}{$F(x)$}}
\put( 50,16){\sx{.4}{$F(x)$}}
\put( 0,22){\sx{.33}{$1$}}
\put( 0, 3){\sx{.33}{$0$}}
%\put( -1, 3){\sx{.4}{$-1$}}
\put( 20, 0){\sx{.33}{$-2$}}
\put( 40, 0){\sx{.33}{$-1$}}
\put( 62.5, 0){\sx{.33}{$0$}}
\put( 82.5, 0){\sx{.33}{$1$}}
\put(102.5, 0){\sx{.33}{$2$}}
\put(122.5, 0){\sx{.33}{$3$}}
\put(142.5, 0){\sx{.33}{$4$}}
\put(162, 0){\sx{.33}{$x$}}
\put(91,15.5){\sx{.3}{$s\!=\!3$}}
\put(91,11){\sx{.3}{$s\!=\!3.4$}}
\put(93, 5){\sx{.3}{$s\!=\!3.8$}}
\end{picture}}
\vskip  10pt

\sx{2.6}{\begin{picture}(166,44)
\put( 1,1){\includegraphics{logi5}}
%\put( 64,48){\sx{.6}{$F(x)$}}
\put( 50,36){\sx{.4}{$F(x)$}}
\put(  0,41.5){\sx{.3}{$1$}}
\put(  0,22){\sx{.3}{$0$}}
\put( -1, 2){\sx{.3}{$-\!1$}}
\put( 20, 0){\sx{.3}{$-2$}}
\put( 40, 0){\sx{.3}{$-1$}}
\put( 62.5, 0){\sx{.3}{$0$}}
\put( 82.5, 0){\sx{.3}{$1$}}
\put(102.5, 0){\sx{.3}{$2$}}
\put(122.5, 0){\sx{.3}{$3$}}
\put(142.5, 0){\sx{.3}{$4$}}
\put(162, 0){\sx{.3}{$x$}}
\put(91.3,29){\sx{.3}{$s\!=\!3.9$}}
%\put(91,21){\sx{.3}{$s\!=\!4$}}
\put(92.5, 19.5){\sx{.3}{$s\!=\!4.1$}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LogisticSecK2.jpg}
\vskip -10pt
\caption{\large $F(x)\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s(x)$ по формулам \rf{as},\rf{regi}, \rf{logilim}  для $s\!=\!3$, $s\!=\!3.4$, $s\!=\!3.8$, вверху и для $s\!=\!3.9$, $s\!=\!4$, $s\!=\!4.1$, внизу 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LogisticSecK2.jpg}
\iL{logi56}}
\vskip 4pt
\end{figure}

Для логистической передаточной функции $T$ по формуле \rf{logisticop}, в разложении
\rf{Lea2general} можно положить $k\!=\!\log s$; тогда  $\varepsilon\!=\!s^z$; это дает разложение для начальной аппроксимации суперфункции в виде
\be
\tilde F(z)= \sum_{n=1}^{N-1} a_{n} s^{nz} + \mathcal{O}(s^{Nz})
\eL{as}
%для некоторого натурального числа $N$. 
%\vskip 2mm
Для соответствия с представлением \rf{Lea2general}, удобно положить %также
 $a_1\!=\!1$.
Выбор этого коэффициента влияет лишь на трансляцию аргумента полученной суперфункции. % на константу.
%\vskip 2mm
%Дифференцирование квадратичной предаточной функции не вызывает проблем, и, 
Формулы \rf{a2.39} определяют коэффициенты $a$. В частности,
\be
a_{2}&=& \frac{1}{1\!-\!s}  ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ \iL{logia2}\\
a_{3}&=& \frac{2}{(1\!-\!s)(1\!-\!s^2)} ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~\iL{logia3}\\
a_{4}&=& \frac{5+s}{(1\!-\!s)(1\!-\!s^2)(1-s^3)} ~~~~~~\iL{logia4}
\ee
%Несколько десятков этих коэффициентов нетрудно оценить, используя пакеты ``Mathematica'' или ``Maple''.
Первичное приближение $\tilde F(z)$  по формуле \rf{as} пригодно для аккуратного (прецизионного) вычисления суперфункции $F(z)$ для больших отрицательных значений $\Re(z)$. 
%Для иных значений используется  формула \rf{regi}.
%Затем, голоморфное расширение логистической последовательности, или, попросту, л
Логистическая последовательность $F$, показанная на рисунке \ref{logi56},  получается как предел
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z)&=& \mathrm{LogisticSequence}_s(z) \nonumber \\
&=&
\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{LogisticOperator}_s^{~n}\Big(\tilde F(z\!-\!n)\Big) ~ ~
\label{logilim}
\ee
%Это определение указывает способ вычисления логистической последовательности для нецелых значений аргумента.
%Таким образом можно вычислять суперфункцию $F$, то есть голоморфное расширение логистической последовательности, с любой требуемой точностью.  


Для вещественных значений аргумента, графики суперфункции  $F\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s$ построены на рисунке \ref{logi56} при $s\!=\!3$, $s\!=\!3.4$, $s\!=\!3.8$ на верхней картинке и при $s\!=\!3.9$, $s\!=\!4$, $s\!=\!4.1$ на нижней картинке.
Для $s\!=\!3$, $s\!=\!4$ и $s\!=\!5$, комплексные карты функции $F\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s$ пoказаны на рисунках 
\ref{logi2c3},
\ref{logi2c4},
\ref{logi2c5}.
%Генераторы этих рисунков загружены по урлям \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.png}
\vskip 2mm

\newcommand \axes {
\normalsize
\put(  5,126){\sx{.6}{$y$}}
\put(  5,106.4){\sx{.6}{$2$}}
\put(  5, 86.4){\sx{.6}{$1$}}
\put(  5, 66.4){\sx{.6}{$0$}}
\put( 0, 46.4){\sx{.6}{$-1$}}
\put( 0, 26.4){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 24,  1){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 44,  1){\sx{.6}{$-1$}}
\put( 68.4,  1){\sx{.6}{$0$}}
\put( 89.2,  1){\sx{.6}{$1$}}
\put(109.2,  1){\sx{.6}{$2$}}
\put(126,  1){\sx{.6}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip -4pt
\sx{3.3}{\begin{picture}(130,130) \put( 8,6){\ing{logi2c3}}
\put(12,124){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 96){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(11.4, 66.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 37){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 9){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(32,60){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.1$}\ero}
\put(45,60){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.2$}\ero}
\put(86,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(106,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(126,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(54,72){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!0.1$}\ero}
\put(52,60){\rot{0}\sx{.6}{$v\!=\!-0.1$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{LogisticSequane}_3(x\!+\! \mathrm i y)$.
%$F$ для $s\!=\!3$ слева,% $s\!=\!4$ в центре и  $s\!=\!5$ справа;  
%Генераторы: 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png} и
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png}
\iL{logi2c3}
}
\vskip 4pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip -4pt
\sx{3.3}{\begin{picture}(130,130) \put( 8,6){\ing{logi2c4}}
\put(12,112){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 89.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 66.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 43.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 21){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(40,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.1$}\ero}
\put(50,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.2$}\ero}
%
\put(85.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(105.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(126,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(54,71.2){\rot{-8}\sx{.6}{$v\!=\!0.1$}\ero}
\put(51,61){\rot{5}\sx{.6}{$v\!=\!-0.1$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png} 
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{LogisticSequane}_4(x\!+\! \mathrm i y)$
\iL{logi2c4}
}
\vskip 4pt
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip -4pt
\sx{3.3}{\begin{picture}(130,130) \put( 8,6){\ing{logi2c5}}
\put(12,105.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 86.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 66.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12, 46.8){\rot{ 0}\sx{.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(12, 27.4){\rot{ 0}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}

\put(44,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.1$}\ero}
\put(53,58){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!0.2$}\ero}
%
\put(76.8,61){\rot{90}\sx{.6}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(85.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(105.4,61){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(126,60){\rot{90}\sx{.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
%\put(54,71.2){\rot{-8}\sx{.6}{$v\!=\!0.1$}\ero}
%\put(51,61){\rot{5}\sx{.6}{$v\!=\!-0.1$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.png} % it is not loaded
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{LogisticSequane}_5(x\!+\! \mathrm i y)$
\iL{logi2c5}
}
\vskip 4pt
\end{figure}
\vskip 2mm

Пока  $s\!<\!3.5$ (то есть не превышает ``констант Помо-Манневилля'' \cite{logistic,pomeau,gac}  ), голоморфное расширение $F$ логистической последовательности, как и сама последоветельность, демонстрирует достаточно однообразные осцилляции. При б\'oльших значениях этого параметра, осцилляции, по мере увеличения аргумента, становятся более сложными и более тесными; наблюдения поведения функции $F$ лишь при целочисленных значениях аргумента создает впечатление квазислучайной последовательности. Пока $s\!\le\!4$, при вещественном $x$, функция $F(x)$ колеблется, не выходя из сегмента [0,1], и лишь при $s\!=\!4$ касается краев этого сегмента при каждом колебании. При $s\!>\!4$, функция имеет ``провалы'', которые становятся все более глубокими при увеличении значений аргумента и/или параметра $s$. 
\vskip 2mm

При $s\!=\!4$, голоморфное расширение логистической последовательности можно представить в виде элементарной функции, 
\be
F(z)=(1-\cos(2^z))/2
\eL{logicos}
Для $s\!=\!4$, соответствующую кривую в нижней части рисунка \ref{logi56} можно было бы провести и без метода регулярной итерации. Совпадение значений для случая, когда ответ известен, является тестом, независимым подтверждением адекватности регулярной итерации как метода построения физически-осмысленных суперфункций.
\vskip 2mm

При рассмотрении голоморфного расширения  $F$ в комплексной плоскости, её поведение полностью регулярно. Разумеется, колебания этой функции становятся все более частыми по мере увеличения вещественной части аргумента.
% и увеличения значения параметра $s$.
%Комплексные карты функции $F(x)$ представлены на рисунке для $s\!=\!3$, $s\!=\!4$, $s\!=\!5$.
\vskip 3mm

Функция $F$, построенная на основе регулярной итерации,
%является целой (то есть голоморфна везде) и 
периодича; её период 
\be
P= 2 \pi \rm i / \ln(s)
\eL{logiperiod}
Эта периодичность 
%ясно 
видна на комплексных картах рисунков \ref{logi2c5}, \ref{logi2c5}, \ref{logi2c5}: изолинии воспроизводятся при соответствующих трансляциях вдоль оси ординат. На этих картах помещается чуть больше одного периода.
\vskip 2mm

Голоморфное расширение логистической последовательности устраняет мистику стохастичности. Последовательности при различных начальных условиях (причем не обязательно вещественных) умещаются  на одной комплексной карте.
\vskip 2mm

На основе голоморфного расширения логистической последовательности, можно строить, в частности, половинную итерацию передаточной функции, упомянутую в преамбуле этой главы; но для этого нужна ещё обратная функция,  $G\!=\!\mathrm{ArcLogisticSequence}_s\!=\!\mathrm{LogisticSequence}_s^{-1}$, то есть функция Абеля (или абельфункция) логистического оператора \rf{logisticop}.
Карты этой абельфункции показаны на рисунках \ref{logi2d3}, \ref{logi2d4}, \ref{logi2d5} для
$s\!=\!3$,
$s\!=\!4$ и
$s\!=\!3$.
Эта абельфункция рассмотрена в следующей секции.

\begin{figure}[t]
%\sx{1.18}{\begin{picture}(140,140) \put( 10, 10){\ing{logi2d3}}
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) 
\normalsize
\put( 8, 6){\ing{logi2d3}}
\put(67,99){\rot{ 72}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
\put(61, 39){\rot{-74}\sx{.99}{$v\!=\!-2$}\ero}
\put(40, 80){\rot{36}\sx{.99}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(86, 76){\rot{-3 }\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(86, 56){\rot{0 }\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
{\put( 14,66){\bf cut}}
{\put(111,66){\bf cut}}
%\RU{\put(13,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
%\RU{\put(98,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
\put(38, 51){\rot{-35}\sx{.9}{$u\!=\!0$}\ero}
\axes \end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3T1500.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3t1500.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large 
%по формулам \rf{GC},\rf{Git} для $s\!=\!3$ слева, $s\!=\!4$ в центре и  $s\!=\!5$ справа;  
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{ArcLogistic}_3(x\!+\! \mathrm i y)$ %для $s\!=\!3$ 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3T1500.png}
\iL{logi2d3}}
\vskip -4pt
\end{figure}

\section{Абельфункция для логистического оператора}

\begin{figure}[t]
\normalsize
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put( 8, 6){\ing{logi2d4}}
\put( 52, 88){\rot{0}\sx{.99}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 17,98){\rot{-36}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 92, 90.2){\rot{-2}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put( 91, 41){\rot{0}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put( 16, 30){\rot{36}\sx{.99}{$v\!=\!-2$}\ero}
{\put(12,66){\bf cut} }
{\put(109,66){\bf cut} }
%\RU{\put(11,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
%\RU{\put(96,66){\sx{.9}{\bf разрез}} }
\axes \end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d4T1500.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d4t1500.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
%Комплексные карты функции $G$, вычисляемой по формулам \rf{GC},\rf{Git} для $s\!=\!3$ слева, $s\!=\!4$ в центре и  $s\!=\!5$ справа;  
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{ArcLogistic}_4(x\!+\! \mathrm i y)$.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3T1500.png}
\iL{logi2d4}
}
\end{figure}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put( 8, 6){\ing{logi2d5}}
\put(47, 78){\rot{30}\sx{.99}{$u\!=\!0$}\ero}
\put( 85,100){\rot{37}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put( 76, 38){\rot{-40}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
%\EN{\put(14,66){\bf cut} }%
%\EN{\put(111,66){\bf cut} }%
%\RU{\put(13,66){\sx{.8}{\bf разрез}} }%
%\RU{\put(98,66){\sx{.8}{\bf разрез}} }%
\put(13,66){\sx{.8}{\bf cut}} 
\put(114,66){\sx{.8}{\bf cut}}
\axes \end{picture}} 
\vskip 2pt
\hskip 36pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5T1500.png}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5t1500.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large %по формулам \rf{GC},\rf{Git} для  $s\!=\!5$;  
$u\!+\!\mathrm i v =  \mathrm{ArcLogistic}_5(x\!+\! \mathrm i y)$.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5T1500.png}
\iL{logi2d5}
}
\vskip -4pt
\end{figure}
%Абельфункция $G$ вычисляется аналогично вычислению суперфункции $F$ с помощью регулярной итерации. Это вычисление описано ниже.
Функция, обратная к суперфункции $F$, или абельфункция $G=F^{-1}$, удовлетворяет уравнению Абеля
\be
G(T(z))=G(z)+1
\eL{GT}
%Грубо говоря, абельфункция считает, сколько раз надо применить передаточную функцию к некоторой константе, чтобы получить значение её аргумента.
Комплексные карты функции $G$ представлены на рисункax \ref{logi2d3}, \ref{logi2d4}, \ref{logi2d5}~.
% в тех же обозначениях, что и карты суперфункций $F$ на рисунке \ref{logi2c}; то есть на рисунке \ref{logi2d}, $u\!+\!\mathrm i v=G(x\!+\!\mathrm i y)$.
Асимптотическое разложение $\tilde G$ для абельфункции $G$ может быть получено обращением разложения \rf{as} для суперфункции $F$;
\be
\tilde G(z)&=&\log_s \left( \sum_{n=1}^{N-1} C_n z^n +O(z^{N})\right)  \iL{GC}
\ee
На языке Matematica для этого есть 
%специальная 
процедура InverseSeries. 
\vskip 2mm

Коэффициенты $C$ можно получить также 
%обращением асимптотического разложения \rf{as} суперфункции $F$.
%Цепочка уравнений для коэффициентов $C$ может быть получена также 
подстановкой разложения \rf{GC} в уравнение Абеля \rf{GT} при $T(z)=s\,z\,(1\!-\!z)$
и приравниванием коэффициентов при равных степенях $z$. В частности,
%Математика и Мапле позволяют вычислить несколько десятков коэффициентов $C$
%; читатель может сделать это самостоятельно в качестве упражнения. 
%Для первых коэффициентов получаются следующие выражения: 
\be
C_1&=&1 \\
C_2&=& \frac{1}{s-1}\\
C_3&=& \frac{ 3s}{ (s-1)(s^2-1)}\\
C_3&=& \frac{ (s^2\!-\!5)s}{ (s\!-\!1)(s^2\!-\!1)(s^3\!-\!1)}
\ee
Оборванная серия разложения \rf{GC} дает способ вычисления абельфункции $G$ при малых значениях аргумента. При больших значениях аргумента используется представление 
\be
G(z)\approx \tilde G(T^{-n}(z))+n
\eL{Git}
для целого $n$. Целые отрицательные итерации передаточной функции вычисляются с использованием обратной функции
\be
T^{-1}(z)=\mathrm{ArcLogisticOperator}_s(z)=\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{z}{s}}
\label{logiTm1}
\ee
%Для функции Абеля, 
Абельфункция логистического оператора получается как предел
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcLogisticSequence}_s(z)=G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \Big( \tilde G(T^{-n}(z))+n \Big) ~ ~ ~
\label{AbelLogistic}
\ee
где символ $\tilde G$ обозначает оборванную серию в разложении \rf{GC}.
Такое представление используется для построения рисунков 
\ref{logi2d3}, 
\ref{logi2d4}, 
\ref{logi2d5}~. 
Это же представление использовано для итераций,
%$~\mathrm{LogisticSeuquence}_s^{~n}(z)\!=\!T^n(z)\!=\!F(n\!+\!G(z))$, 
показанных на рисунке \ref{figlogi1}.
при
$s\!=\!3$,
$s\!=\!4$ и
$s\!=\!5$. 
\vskip 3mm

Функция $\mathrm{ArcLogisticOperator}_s(z)$ по формуле \rf{logiTm1} имеет точку ветвления $z\!=\!s/4$. Это ветвление обуславливает ветвление логистической последовательнности $\mathrm{ArcLogistic}_s$ и разрезы в правых частях карт, показанных на рисунках \ref{logi2d3}, 
\ref{logi2d4}, 
\ref{logi2d5}~. Соответствующее ветвление имеют и нецелые итерации, показанные на рисунке \ref{Logi1a345T300}.
\vskip 3mm

Частным случаем нецелой итерации явлается половинная итерация, упомянутая в преамбуле этой главы.
Kарты половинной итерации показаны на рисунках
%\ref{logiha},
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4},
\ref{logi2b5}.
Следующая секция посвящена этой половинной итерации. 
\newpage

\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130)
\normalsize
\put( 8, 6){\ing{logi2b3}}
\put( 12, 91){\rot{ 6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put( 12, 66){\rot{ 0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(  5, 40){\rot{-6}\sx{.8}{$v\!=\!-4$}\ero}
\put(112,106){\rot{ 50}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(110, 26){\rot{-52}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(24, 7){\rot{73}\sx{.8}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put(37.8, 8){\rot{69}\sx{.8}{$u\!=\!-2$}\ero}
\put(50, 8){\rot{65}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(62, 8){\rot{57}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
%
%\EN{\put(107,68){\bf cut}}%
%\RU{\put(94,68){\sx{.8}{\bf разрез}}}%
\axes \end{picture}}

\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2b3t1000.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large %Карта функции %$h\!=\! \mathrm{LogisticOperator}_3^{0.5)$; 
\large $u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{LogisticOperator}_3^{1/2}(x\!+\! \mathrm i y)$.
\iL{logi2b3}}
\vskip 4pt
\end{figure}

\section{Половинная итерация %логистического оператора
}
\baselineskip 19pt

\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(140,130) \put( 8, 6){\ing{logi2b4}}
\put(12,88){\rot{ 6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(14,66){\rot{ 0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(9,43){\rot{-7}\sx{.8}{$v\!=\!-4$}\ero}
\put(112,106){\rot{ 50}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(110, 26){\rot{-52}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(28, 8){\rot{75}\sx{.8}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put(39, 08){\rot{68}\sx{.8}{$u\!=\!-2$}\ero}
\put(50.4, 08){\rot{65}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(61, 08){\rot{58}\sx{.8}{$u\!=\!2$}\ero}
%
%\EN{\put(111,70){\bf cut}}%
%\RU{\put(98,70){\sx{.8}{\bf разрез}}}%
\axes 
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2s4t.jpg}
\vskip -6pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{LogisticOperator}_4^{0.5}(x\!+\! \mathrm i y)$
\iL{logi2b4}
}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put( 8, 6){\ing{logi2b5}}
\put(14,87){\rot{ 6}\sx{.8}{$v\!=\!4$}\ero}
\put(12,66){\rot{ 0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(12,44){\rot{-7}\sx{.8}{$v\!=\!-4$}\ero}
\put(112,106){\rot{ 50}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(110, 26){\rot{-53}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(29, 9){\rot{72}\sx{.8}{$u\!=\!-4$}\ero}
\put(51, 10){\rot{64}\sx{.8}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(73.4, 8){\rot{53}\sx{.8}{$u\!=\!4$}\ero}
%\EN{\put(111,70){\bf cut}}%
%\RU{\put(98,70){\sx{.8}{\bf разрез}}}%
\axes \end{picture}}
\vskip 4pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2s5t.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v = \mathrm{LogisticOperator}_5^{0.5}(x\!+\! \mathrm i y)$
\iL{logi2b5}
}
\vskip 4pt
\end{figure}

%\begin{wrapfigure}{l}{130px}
\begin{figure}[t]
\sx{3.2}{\begin{picture}(130,130) \put(8,6){\ing{logi2q}}\axes 
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{\large $u\!+\! \mathrm i v =$ $-1.8(-(x\!+\!\mathrm i y))^{\sqrt{2}}$ \label{wrap37}
}\vskip 1pt
\end{figure}

С функциями $F$ и $G=F^{-1}$, итерации передаточной функции $T$ выражаются по формуле \rf{ite}. Именно так построены графики на рисунке \ref{figlogi1}. 
%Генератор центральной части этого рисунка доступен также в ТОРИ, \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Logistic_sequence}; вероятно, в будущем туда будут добавлены онлайновые версии с генераторами (на С++) и для других рисунков.
%\vskip 2mm
В частности, $T^{0.5}$ по формуле \rf{ite} являeтся решением задачи, поставленной Елютиным: построена функция 
\be \!\!\!\!
h\!=\! \mathrm{LogisticOperator}_s^{0.5}
~ ~ ~ ~ ~
\eL{logih}
такая, что её вторая итерация дает логистический оператор \rf{logisticop}; то есть для некоторого множества значений $z$, имеет место соотношение
\be \!\!\!\!\!
h^2(z)=h(h(z))=T(z)=\mathrm{LogisticOperator}_s(z)=s\,z\,(1\!-\!z) ~
\label{h2}
\ee
%Выражение \ref{figlogi1} может использоваться не только для целых и не %только для вещественных значений $z$. 
Комплексные карты функции $h$ представлены на рисункax 
%\ref{logiha}
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4} и
\ref{logi2b5} для различных $s$. 
%Эти рисунки похожи:
%, при больших значениях аргумента, половиная итерация 
%При больших значениях аргумента, в функции LogisticOperator по формуле \rf{logisticop} 
%доминирует квадратичный терм, 
\be
\mathrm{LogisticOperator}_s(z)\approx  \tau(z)=-s (-z)^2
\eL{lopbig}
Итерации  функции $\tau$ могут вычисляться по аналогии с итерациями передаточной функции по формуле
\rf{Pow}. Читатели приглашаются построить для такой тау суперфункцию и абельфункцию. Половинная итерация 
может быть записана так
\be
\tau^{1/2}(z)=-\alpha (-z)^{\sqrt{2}}
\eL{logita}
где $\alpha=s^{1/(1+\sqrt{2})}$ есть константа, и эта константа медленно зависит от параметра $s$.
На рисунке \ref{wrap37} показана карта функции $\tau^{1/2}$ по формуле \ref{logita} при $\alpha=1.8$; она похожа на все три карты на рисунках
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4} и
\ref{logi2b5}~, соответствующих различным значениям $s$. В этих рисунках не удается направить линию разреза влево, и линии разреза, отмеченные пунктиром, пришлось направить вправо.
%
%\vskip 2mm
%в тех же обозначениях, что и на рисунках \ref{logi2c} и \ref{logi2d}. 
%Для сравнения, на рисунке \ref{wrap37} показана аналогичная карта для половинной итерации квадратичной %функии, то есть  $u\!+\! \mathrm i v =-1.8(-(x\!+\!\mathrm i y))^{\sqrt{2}}$. 
\vskip 2mm

При больших значениях
$x^2\!+\!y^2$, карта рисунка \ref{wrap37}  похожа на карты рисунков 
\ref{logi2b3},
\ref{logi2b4} и
\ref{logi2b5}~;
% \ref{logi2b3}, \ref{logi2b3} и \ref{logi2b3};
лучше даже сказать, что все эти четыре карты похожи между собой. Различие заметно лишь при значениях аргумента порядка единицы. Карты пришлось сделать во всю ширину страницы для того, чтобы это различие было видно без лупы.
\vskip 2mm

После того, как нецелая итерация какой-либо функции построена, полезно проверить, 
что дают итерации такой итерации. В частности, вторая итерация половинной итерации какой-либо передаточной функции должна давать эту передаточную функцию. Для передаточной функции
$\mathrm{LogisticOperator}_s$ и её половинной итерации $h\!=\!\mathrm{LogisticOperator}_s^{0.5}$,
такая проверка представлена на рисунке 
%\ref{logi3e}.
\ref{logiha300}. Показана карта функции $h^2$ для   $s\!=\!3$, $s\!=\!4$ и $s\!=\!5$, то есть для тех же значений параметра, для которых явные графики половинной (и не только половинной) итерации логистического оператора построены на рисунке 
\ref {Logi1a345T300}.
%В качестве проверки соотношения \rf{h2}, на рисунке  представлены карты функции $h^2$. 
%\vskip 2mm
В левой части карт рисунка \ref{logiha300},
%\ref{logi3e},
вторая итерация функции $h$ совпадает с логистическим отображением.
Драные линии указывают границы области применимости соотношения \rf{h2}. 
\vskip 2mm

Формула $h(h(z))\!=\!T(z)$ годится по крайней мере при $\Re(z)\!<\!1/2~$. 
Oб этом можно догадаться также из рисунка
%это означает, что  аргумент ещё не достиг максимума половинной итерации, видного также на рисунке 
%\ref{Logi1a345T300}.
%Комплексные карты функции $h$ представлены на рисунке. 
Таким образом, голоморфное расширение логистической последовательности и соответствующие нецелые итерации логистического отображения соответствуют интуитивным ожиданиям насчет таких функций.
%Для значений аргумента слева от этих линий, функция $h$ может рассматриваться как половинная итерация логистического оператора. 
%На разрезах функция  $h^2$ скачет и справа от этих линий свойства квадратичной передаточной функции $T$ не воспроизводятся даже качественно; в частности, от функции $G$, функция  $h$, а за ней и $h^2$ перенимают разрез вдоль положительной части вещественной оси. 
%Когда вещественная часть аргумента меньше $1/2$, и, в частности, в отрицательном направлении вещественной оси,  вещественная часть передаточной функции является монотонной функцией от вещественной части аргумента, и имеет место соотношение $h^2=T$.
%Аналогичные карты можно построить и для иных значений параметра $s$; в частности, для $s\!=\!4$ и $s\!=\!5$, для этих значений область применимости соотношения $h^2=T$ оказывается чуть шире.
%\vskip 2mm
\newpage

\begin{figure}[t]
%\color{red} \rule{200px}{400px}
\vskip 12pt
\hskip 2pt
\sx{1.32}{\begin{picture}(320,120)
\put(16,16){\ing{logihalf3}}
\put(22,86){\sx{3}{$s\!=\!3$}}
\put(8,112){\sx{1.2}{$y$}}
\put(8, 64.4){\sx{1.17}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}}
\put(8, 14){\sx{1.2}{$0$}}
\put(60,5){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(166,5){\sx{1.2}{$0$}}
\put(266,5){\sx{1.2}{$1$}}
\put(312,5){\sx{1.24}{$x$}}
\put(26,49.2){\sx{1.2}{\rot{12} $v\!=\!4$ \ero}}
\put(29,32){\sx{1.2}{\rot{6} $v\!=\!2$ \ero}}
\put(30,15){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
\put(222.4,32){\sx{1.2}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(238,24){\sx{1.2}{\rot{58}\bf cut \ero}}
\put(288,15){\sx{1.2}{\rot{0}\bf cut \ero}}
\put(170,113){\sx{1.2}{\rot{-20}$u\!=\!3$\ero}}
\put(161,100){\sx{1.2}{\rot{-30}$u\!=\!2$\ero}}
\put(151,87){\sx{1.2}{\rot{-41}$u\!=\!1$\ero}}
\put(136.6,76){\sx{1.2}{\rot{-54}$u\!=\!0$\ero}}
\put(125,68){\sx{1.2}{\rot{-72}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(112,64){\sx{1.2}{\rot{-79}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(97,59){\sx{1.2}{\rot{-81}$u\!=\!-3$\ero}}
\put(84,56){\sx{1.2}{\rot{-83}$u\!=\!-4$\ero}}
\end{picture}}
%\vskip 4pt
\vskip 12pt

\hskip 2pt
\sx{1.32}{\begin{picture}(320,120)
\put(16,16){\ing{logihalf4}}
\put(22,86){\sx{3}{$s\!=\!4$}}
\put(8,112){\sx{1.2}{$y$}}
\put(8, 64.4){\sx{1.17}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}}
\put(8, 14){\sx{1.2}{$0$}}
\put(60,5){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(166,5){\sx{1.2}{$0$}}
\put(266,5){\sx{1.2}{$1$}}
\put(312,5){\sx{1.24}{$x$}}
\put(26,40){\sx{1.2}{\rot{9} $v\!=\!4$ \ero}}
\put(29,27.7){\sx{1.2}{\rot{5} $v\!=\!2$ \ero}}
\put(30,15){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
\put(222.4,32){\sx{1.2}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(251,24){\sx{1.2}{\rot{69}\bf cut \ero}}
\put(288,15){\sx{1.2}{\rot{0}\bf cut \ero}}
\put(170,114){\sx{1.2}{\rot{-19}$u\!=\!4$\ero}}
\put(162,105){\sx{1.2}{\rot{-30}$u\!=\!3$\ero}}
\put(155,95){\sx{1.2}{\rot{-37}$u\!=\!2$\ero}}
\put(146,85){\sx{1.2}{\rot{-43}$u\!=\!1$\ero}}
\put(137,77){\sx{1.2}{\rot{-54}$u\!=\!0$\ero}}
\put(127.4,72){\sx{1.2}{\rot{-69}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(117.6,65){\sx{1.2}{\rot{-75}$u\!=\!-2$\ero}}%
\put(106.6,62){\sx{1.2}{\rot{-78}$u\!=\!-3$\ero}}%
\put(97.6,59){\sx{1.2}{\rot{-82}$u\!=\!-4$\ero}}
\end{picture}}
%\vskip 4pt
\vskip 12pt

\hskip 2pt
\sx{1.32}{\begin{picture}(320,220)
\put(16,16){\ing{logihal5}}
\put(22,186){\sx{3}{$s\!=\!5$}}
\put(8,212){\sx{1.2}{$y$}}
\put(8,164.5){\sx{1.17}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}}
\put(8,114){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-2,64.5){\sx{1.16}{$\displaystyle-\frac{1}{2}$}}
\put(-1,14){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(60,5){\sx{1.2}{$-1$}}
\put(166,5){\sx{1.2}{$0$}}
\put(266,5){\sx{1.2}{$1$}}
\put(312,5){\sx{1.24}{$x$}}
\put(26,137){\sx{1.2}{\rot{9} $v\!=\!4$ \ero}}
\put(29,125){\sx{1.2}{\rot{4} $v\!=\!2$ \ero}}
\put(30,114.5){\sx{1.2}{$v\!=\!0$}}
\put(28,105){\sx{1.2}{\rot{-4} $v\!=\!-2$ \ero}}
\put(25,94){\sx{1.2}{\rot{-9} $v\!=\!-4$ \ero}}
%
\put(172,201.8){\sx{1.2}{\rot{-22} $u\!=\!4$ \ero}}
\put(167,192.8){\sx{1.2}{\rot{-29} $u\!=\!3$ \ero}}
\put(159.8,183.8){\sx{1.2}{\rot{-36} $u\!=\!2$ \ero}}
\put(152,176){\sx{1.2}{\rot{-47} $u\!=\!1$ \ero}}
%
\put(82,21){\sx{1.2}{\rot{60} $u\!=\!-4$ \ero}}
\put(95,18){\sx{1.2}{\rot{56} $u\!=\!-2$ \ero}}
\put(110,17){\sx{1.2}{\rot{48} $u\!=\!0$ \ero}}
\put(130,17){\sx{1.2}{\rot{40} $u\!=\!2$ \ero}}
\put(156,17){\sx{1.2}{\rot{30} $u\!=\!4$ \ero}}
%
\put(263,124){\sx{1.2}{\rot{74}\bf cut \ero}}
\put(298,115){\sx{1.2}{\rot{0}\bf cut \ero}}
\put(222.4,102){\sx{1.2}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logiha300.jpg}
\vskip -1pt
\caption{\large
%Область применимости соотношения $h^2\!=\!T$ 
%\rf{h2}: 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!h(h(x\!+\!\mathrm i y))$
по формуле \rf{logih}
для 
$s\!=\!3$, 
$s\!=\!4$ и 
$s\!=\!5$ 
 \label{logiha300}}
\vskip -400pt
\end{figure}

\rule{0pt}{400pt}
\newpage

%Таким образом, концепция том, что вторая итерация от половинной итерации передаточной функции совпадает с передаточной функцией, имеет ограниченную область применимости. 

%Для вещественнoго
% значений 
%аргумента, о
%Oб этом можно догадаться также из рисунка
%это означает, что  аргумент ещё не достиг максимума половинной итерации, видного также на рисунке 
%\ref{Logi1a345T300}.
%Комплексные карты функции $h$ представлены на рисунке. 
%Таким образом, голоморфное расширение логистической последовательности и соответствующие нецелые итерации логистического отображения соответствуют интуитивным ожиданиям насчет таких функций.

\section{Иная стационарная точка, $L=1-1/s$}
\baselineskip 19pt

Голоморфное расширение $F$  логистической последовательности по формулам   \rf{as},\rf{regi}   регулярно и периодично, причем период 
\rf{logiperiod} чисто мнимый и слабо (логарифмически) зависит от параметра $s$. Однако такое расширение далеко не единственно.
По аналогии с регулярной итерацией на основе стационарной точки $L\!=\!0$, можно построить решение, которое на минус бесконечности стремится к другой стационарной точке передаточной функции, а именно, $L\!=\!1\!-\!1/s$. 
%В этой подсекции описано 
Tакое решение показано на рисунке \ref{inaya}.
\vskip 2mm
\begin{figure}[t]
%\sx{3.04}{\begin{picture}(140,20) 
\sx{2.6}{\begin{picture}(140,20) 
\put( 1, 1){\ing{logi5b4x}}
\put( 1, 21.8){\sx{.3}{$1$}}
\put( 1, 2){\sx{.3}{$0$}}

\put( 20.2,  0){\sx{.3}{$-4$}}
\put( 40.2,  0){\sx{.3}{$-3$}}
\put( 60.2,  0){\sx{.3}{$-2$}}
\put( 80.2,  0){\sx{.3}{$-1$}}
\put(102.6,  0){\sx{.3}{$0$}}
\put( 122.7,  0){\sx{.3}{$1$}}
\put(142.7,  0){\sx{.3}{$2$}}
\put(161,  0.4){\sx{.3}{$x$}}
\end{picture}}
%\sx{3.04}{\begin{picture}(140,85) 
\sx{2.6}{\begin{picture}(140,85) 
\put( 1, 1){\ing{logi5a4x}}
\put(  1, 81){\sx{.3}{$y$}}
\put(  1, 62){\sx{.3}{$1$}}
\put(  1, 42){\sx{.3}{$0$}}
\put( -1, 22){\sx{.3}{$-\!1$}}
%\put( -1, 2){\sx{.3}{$-\!2$}}
\put( 20.2,  0){\sx{.3}{$-4$}}
\put( 40.2,  0){\sx{.3}{$-3$}}
\put( 60.2,  0){\sx{.3}{$-2$}}
\put( 80.2,  0){\sx{.3}{$-1$}}
\put(102.6,  0){\sx{.3}{$0$}}
\put( 122.7,  0){\sx{.3}{$1$}}
\put(142.7,  0){\sx{.3}{$2$}}
\put(161,  0.4){\sx{.3}{$x$}}
\put(5.5,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(25.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(45.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(65.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(85.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(105.6,39.6){\sx{.3}{\rot{90}$v\!=\!0$\ero}}
\put(8,42.3){\sx{.3}{$v\!=\!0$}}
\put(20,39){\sx{.3}{\rot{90}$u\!=\!0.7$\ero}}
\put(30.6,38.6){\sx{.3}{\rot{90}$u\!=\!0.7$\ero}}
\put(37.4,38.4){\sx{.3}{\rot{90}$u\!=\!0.8$\ero}}

\put(50,45.3){\sx{.3}{$v\!=\!-0.1$}}
\put(52,42.3){\sx{.3}{$v\!=\!0$}}
\put(52,39.3){\sx{.3}{$v\!=\!0.1$}}

%\put(68,44.3){\sx{.25}{$v\!=\!0.1$}}
\put(69,42.3){\sx{.3}{$v\!=\!0$}}
%\put(67,40.3){\sx{.25}{$v\!=\!-0.1$}}

\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{График голоморфного расширения $F(x)$ логистической последовательности, построенного вблизи стационарной точки $L=1\!-\!1/s$ %логистической передаточной функции \ref{logisticop} 
по формулам \rf{L11s},\rf{regi} %, верхняя картинка;  
и комплексная карта этого расширения для $s\!=\!4$;
%нижняя картинка, 
$u\!+\!\mathrm i v=F(x\!+\!\mathrm i y)$
\label{inaya}
}
\end{figure}

По аналогии с регулярной итерацией, описанной в начале этой главы, асимптотическое решение 
передаточного уравнения \rf{transfereq} для логистической передаточной функции \rf{logisticop}  около стационарной точки $L=1-1/s$ может строиться в виде 
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\tilde F(z)&=&\frac{s-1}s
+\sum_{n=1}^{N-1} d_n \, \Big( (s\!-\!2)^z \cos(\pi z+\varphi) \Big)^{\!n} \iL{logina}\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)&=&\tilde F(z) + O\!\Big( (s\!-\!2)^z \cos(\pi z+\varphi) \Big)^{\!N}
~ ~\eL{L11s} 
где $d$ суть вещественные коэффициенты и $\varphi$ есть вещественный параметр.
Подстановка такого разложения в передаточное уравнение \ref{transfereq} и приравнивание коэффициентов при $z$ в одинаковых степенях дает цепочку уравнений для коэффициентов $d$. Как и ранее, 
%можно 
удобно положить 
%первый коэффициент равным единице, то есть 
$d_{1}=1$; тогда
\be
d_2&=&\frac{-s}{(s-1)(s-2)}  \nonumber \\
d_3&=&\frac{-s^2}{(s-1)(s-2)(s-3)}   ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{logid2}\\
d_4&=&\frac{-(s-7)^3\, s^3}{(s-2)(s-3)(s^3-8s^2+22s-21)} 
\nonumber
\ee
\vskip 2mm
%Такие пакеты как ``Математика'' позволяют выразить в терминах элементарных функций порядка десятка первых коэффициентов $d$.
Такой ряд дает аккуратную аппроксимацию суперфункции $F(z)$, пока эффективный параметр разложения, то есть 
$(s\!-\!2)^z \cos(\pi z +\varphi)$, мал. Оборванная серия \rf{L11s} обеспечивает порядка десятка значащих цифр при
\be
\pi |\Im(z)| \!+\! \ln(s\!-\!2) \Re(z) <4
\ee
Расширения области адекватности с помощью итераций \rf{regi} дает определение алгоритм вычисления такой суперфункции $F$: 
\be
% Error!     F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))
F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n\big(\tilde F(z\!-\!n)\big)
\eL{inoelim}
%Этот алгоритм использован при построении рисунка. 
%\vskip 2mm
Суперфункция по формуле \rf{inoelim}  асимптотически периодична; асимптотический период
\be
P=\frac{2\pi}{\ln(s\!-\!2)\, \mathrm i+\pi}
\eL{logiquasiP}
в верхней полуплоскости и $P^*$ в нижней полуплоскости.
\vskip 2mm

В отличие от суперфункции, построенной регулярной итерацией около нуля, выбор обратной функции (то есть абельфункции) для функции с разложением \rf{L11s} достаточно сложен; трудно решить, которая из осцилляций ``настоящая'';  но в принципе функция, показанная на рисунке 
тоже может считаться голоморфным обобщением логистического оператора. В соответствии с Шестой аксиомой ТОРИ, наиболее простое из решений я считаю основным, а более сложное - дополнительным. %В данном случае, таким дополнительным решением является
\vskip 2mm

Как и во многих случаях, обычная регулярная итерация (в данном случае около нуля) дает наиболее простое (и в этом смысле ``физичное") решение. Ещё один такой случай рассмотрен в следующей главе.


%\chapter{Суперфакториал}
%\chapter{~ Факториал}
\chapter{~ Корень из факториалa}
\baselineskip 21pt

%В прошлом веке, 
Ещё во время СССР,  мой учитель квантовой механики, П.В.Елютин, в порядке издевательства над несчастными студентами, предложил дать физический смысл оператору ``корень из факториала'', 
уже тогда известному как символ
%который 
%с 1950 года является символом 
%физического факультета 
Физфака МГУ (рис. \ref{SqrtFactorialLogo}). 
Я предложил, что корень из факториала - это такая функция, вторая итерация которой
есть факториал. То есть решение $h$ уравнения
\be
h(h(z))\!=\!z!
\eL{hhzfac}
Однако тогда я не смог указать способа вычисления этой функции; я не знал, что формализм для вычисления таких функций будет создан лишь в 21м веке. 
\vskip 3mm

После успешного вычисления тетрации по основанию $\sqrt{2}$, опубликованного в журнале ``Mathematics of Computation''
\cite{sqrt2}, задача Елютина оказалась вполне решабельной; решение опубликовано в Вестнике МГУ 
%(и он же - ``Moscow University Physics Bulletin'') 
(Moscow University Physics Bulletin)
за 2009 год \cite{factorial}. 
Уже после публикации про факториал, выяснилось, что Елютина больше интересует не половинная итерация факториала, а 
половинная итерация логистического отображения и, соответственно, континуальное обобщение логистической последовательности
\cite{logistic}. Такое обобщение оказалось даже проще факториала, и поэтому в этой Книге изложено раньше, в предыдущей главе.
А в этой главе я пересказываю основые идеи публикации  \cite{factorial} про корень из факториала.
\vskip 3mm

%Для простоты, я предполагаю, что суперфункция факториала на бесконечности (по крайней мере в некоторых направлениах удаления от начала координат) стремится к одной из стационарных точек, а именно, к максимальной из них.
Прежде, чем итерировать факториал, полезно посмотреть на график факториала 
(рисунок \ref{figfac}) и вспомнить его свойства. Эти свойства перечислены в следующей секции.

\begin{figure}[h]
%\begin{wrapfigure}{r}[0pt]{250pt}
%\vskip -200pt
%\sx{3.3}{\begin{picture}(80,132)
%\sx{2.5}{\begin{picture}(80,128)
%\sx{2.7}{\begin{picture}(80,130)
\sx{4.96}{\begin{picture}(80,136)
\put(0,0){\ing{factoreal}}
% y axis
\put(38.3,132.1){\sx{.3}{$y$}}
\put(38.3,120.1){\sx{.3}{$5$}}
\put(38.3,110.1){\sx{.3}{$4$}}
\put(38.2,100.1){\sx{.3}{$3$}}
\put(38.1,90.1){\sx{.3}{$2$}}
\put(38, 80.1){\sx{.3}{$1$}}
\put(38, 74.9){\sx{.28}{$\nu_0$}}
\put(41.5,67.5){\sx{.28}{$1/\mu_1$}}
\put(36,60.1){\sx{.3}{$-1$}}
\put(36,50.1){\sx{.3}{$-2$}}
\put(42,34.9){\sx{.28}{$\mu_1$}}
\put(36,40.1){\sx{.3}{$-3$}}
\put(36,30.1){\sx{.3}{$-4$}}
\put(36,20.1){\sx{.3}{$-5$}}
% now the x-axis
\put( 8, 67){\sx{.3}{$-3$}}
\put(18, 67){\sx{.3}{$-2$}}
\put(24.6, 71.8){\sx{.28}{$\nu_1$}}
\put(28, 67){\sx{.3}{$-1$}}
\put(44.2, 71.8){\sx{.28}{$\nu_0$}}
\put(48.8, 71.8){\sx{.28}{$\mu_0$}}
\put(50.3, 67.1){\sx{.3}{$1$}}
\put(60.3, 67.2){\sx{.3}{$2$}}
\put(70.3, 67.3){\sx{.3}{$3$}}
\put(78, 67.6){\sx{.3}{$x$}}
%\put(36,10.1){\sx{.3}{$-7$}}
\put(66,125){\sx{.28}{$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$}}
\put(78,112){\sx{.29}{$y\!=\!x$}}
%\put(64, 95){\sx{.29}{$y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$}}
\put(64, 91){\sx{.28}{\rot{12}$y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$\ero}}
\put(63,76.4){\sx{.28}{\rot{-10}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)^{-1}$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -8mm
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FactoReal.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large Факториал и похожие функции
%$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$
%и связанные с факториалом функции 
%$y\!=\!x$, $y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ и  $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)^{-1}$ 
%как функции $x$. 
\label{figfac}}
\vskip -200pt
\end{figure}

\rule{0pt}{200pt}

\baselineskip 19pt
\newcommand \ax {
\put( 10,342){\sx{1.4}{$y$}}
\put( 10,307){\sx{1.3}{$6$}}
\put( 10,267){\sx{1.3}{$4$}}
\put( 10,227){\sx{1.3}{$2$}}
\put( 10,187){\sx{1.3}{$0$}}
\put(  0,147){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(  0,107){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(  0, 67){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(  0, 27){\sx{1.3}{$-8$}}
\put( 50, 18){\sx{1.3}{$-6$}}
\put( 90, 18){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(130, 18){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(178, 18){\sx{1.3}{$0$}}
\put(218, 18){\sx{1.3}{$2$}}
\put(258, 18){\sx{1.3}{$4$}}
\put(298, 18){\sx{1.3}{$6$}}
\put(334, 19){\sx{1.4}{$x$}}
}
\begin{figure}[h]
%\hskip -5pt
\sx{1.2}{\begin{picture}(346,346) \ax
\put(-20,-10){\includegraphics{facmap}}
%\put(266,246){\rot{-14}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(286,225){\rot{-7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(288,207){\rot{-5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(299,187){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}}
\put(288,168){\rot{5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(286,150){\rot{7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%
\put(103,100){\rot{54}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(117,100){\rot{53}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(135,100){\rot{54}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(152,100){\rot{54}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(167, 99){\rot{50}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(182, 95){\rot{41}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(194, 85){\rot{39}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(201, 73){\rot{35}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\put(208, 61){\rot{33}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(215, 49){\rot{28}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -20pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Factorialz.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large
$u\!+\! \mathrm i v=\mathrm{Factorial}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{facmap}
}
\end{figure}

\section{Факториал и его стационарные точки}

Для построения суперфункции какой бы то ни было передаточной функции, вопрос о её стационарных точках очень важен. Вещественные стационарные точки факториала суть решения $L$ уравнения
\be
\mathrm{Factorial}(L)=L
\ee
Для вещественных значений аргумента,  график факториала построен на рисунке \ref{figfac} толстой кривой, $y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$.
Стационарные точки соответствуют пересечениям этой кривой с прямой $y\!=\!x$.

% красной курвой.
Для сравнения, на рисунке показаны также графики функций $\mathrm{Factorial}^{-1}$ и $z \!\mapsto\! \mathrm{Factorial}(z)^{-1}$.
\vskip 4mm

Kомплексные карты факториала и аркфакториала показаны на рисунках \ref{facmap} и \ref{arcfacmap}. 
%На этих рисунках стационарные точки факториала и аркфакториала. 
%\vskip 2mm
\vskip 2mm

%\rule{0pt}{200pt}
%\newpage

\begin{figure}[t]
\sx{1.2}{\begin{picture}(346,346) \ax
\put(-20,-10){\includegraphics{afacmap}}
\put(158,348){\rot{-73}\sx{1.5}{$v\!=\!1.2$}\ero}
\put(102,349){\rot{-54}\sx{1.5}{$v\!=\!1.4$}\ero}
\put( 61,315){\rot{-36}\sx{1.5}{$v\!=\!1.6$}\ero}
\put( 40,268){\rot{-18}\sx{1.5}{$v\!=\!1.8$}\ero}
\put( 39,234){\rot{ -2}\sx{1.5}{$v\!=\!2$}\ero}
\put( 32,188){\sx{1.8}{\bf cut}}
\put( 33,152){\sx{1.5}{$v\!=\!-2$}}
\put( 36,101){\rot{19}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.8$}\ero}
\put( 64, 56){\rot{37}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.6$}\ero}
\put(114, 30){\rot{56}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.4$}\ero}
\put(166, 27){\rot{74}\sx{1.5}{$v\!=\!-1.2$}\ero}
%
\put(225,308){\rot{82}\sx{1.5}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(216, 83){\rot{-87}\sx{1.5}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(244, 89){\rot{-68}\sx{1.5}{$v\!=\!-0.8$}\ero}
\put(253,293){\rot{62}\sx{1.5}{$v\!=\!0.8$}\ero}
\put(280,276){\rot{45}\sx{1.5}{$v\!=\!0.6$}\ero}
\put(302,250){\rot{30}\sx{1.5}{$v\!=\!0.4$}\ero}
\put(298,222){\rot{18}\sx{1.5}{$v\!=\!0.2$}\ero}
\put(304,187){\sx{1.6}{$v$=0}}
%\put(300,162){\rot{-15}\sx{1.5}{$q\!=\!-0.2$}\ero}
\put(264,132){\rot{54}\sx{1.5}{$u$=2.8}\ero}
\put(280,110){\rot{50}\sx{1.5}{$u$=3}\ero}
\put(290, 71){\rot{44}\sx{1.5}{$u$=3.2}\ero}
\put(300, 41){\rot{39}\sx{1.5}{$u$=3.4}\ero}
\end{picture}}
\vskip -24pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AfacmapT800.png}
\vskip -8pt
\caption{
%$u\!+\! \mathrm i v=\mathrm{Factorial}(x\!+\!\mathrm i y)$, слева, и 
$u\!+\! \mathrm i v=\mathrm{ArcFactorial}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{arcfacmap}
}
\end{figure}
\vskip 2mm


%\section{Факториал и его стационарные точки}
%\section{Стационарные точки}
%\baselineskip 21pt

Численные имплементации факториала и аркфакториала, необходимые для регулярной итерации, в интернете найти было сложно. Софтвер ``Mathematica'' распознает факториал как встроенную функцию, но вычисляет её медленно,
%численные рассчеты при этом требуют стольно времени, что я не в состоянии выбить соответствующее количество чая, следуя правилу 
``To press a key, to have a tea''.  Пакет ``Maple'' оказался не лучше
%, а десятая версия этого ``клена'' - много хуже 
\cite{tea}. 
\vskip 2mm

При вычисления суперфункции, передаточная функция вызывается несколько раз, и важно, чтобы она вычислялась быстро. 
%(Примерно так же, пока не было быстрых рутин для умножения и деления, не было и надежды сделать эффективную имплементацию экспоненты.)
%Поэтому факториал и аркфакториал пришлось программировать.
%, используя известные разложения Гамма-функции и её логарифма.
Рутины для факториала и аркфакториала типа ``Complex double''
на языке C++ загружены по урлям\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fac.cin} и \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Afacc.cin}
\vskip 2mm

График факториала представлен на рисунке \ref{figfac}. На этом же рисунке представлены графики  
$y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ и $y\!=\!\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$.
%главным образом затем, 
%Эти графики напоминают разницу между случаем, когда функция итерируется $n$ раз (в данном случае функция факториал итерируется минус один раз, то есть вычисляется обратная функция) и случаем, когда значение функции возводится в степень  $n$ (в данном случае результат возводится в минус первую степень). На графике 
Отмечены также первые экстремальные точки факториала, локальный минимум в точке 
$x\!=\!\nu_0$
и локальный максимум в точке
$x\!=\!\nu_1$; 
значения функции факториал в этих точках обозначены соответственно, как $\mu_0$ и $\mu_1$.
Функция $\mathrm{Factorial}^{-1}(x)$ в точке $x\!=\!\mu_0$ имеет точку ветвления, и в этой точке имеет значение  $\nu_0$.
\vskip 2mm

%Для того, чтобы не злоупотреблять математическими обозначениями, д
%Здесь для обратной функции используется также обозначение аркфакториал, или ArcFactorial. 
В широкой области значений аргумента, комбинация факториала и аркфакториала эквивалентна тождественной функции, значение которой равно её аргументу. Эта функция показана на рисунке \ref{figfac} тонкой линией. Эта линия проведена на рисунке  \ref{figfac} не для того, чтобы напомнить читателю, что такое тождественная функция
\footnote{Предполагается, что это каждый младенец знает. У нас почему-то никто не знает, от чего умер Пушкин и чем фудоки отличаются от нибелунгов, а как очищают политуру \cite{erofeev} и что такое тождественная функция, и нас все знают.}, а чтобы показать, выделить вещественные стационарные точки факториала. Поэтому на рисунке \ref{figfac} прямая $y\!=\!x$ продолжена влево, где соотношение $\mathrm{Factorial}(\mathrm{ArcFactorial}(x))\!=\!x$ вызывает сомнения.
\vskip 2mm

Стационарными точками факториала являются решения $L$ уравнения
\be
\mathrm{Factorial}(L)=L
\eL{FLL}
На рисунке  \ref{figfac} поместилось четыре такие точки: $L\!=\!2$, $L\!=\!1$,  $L\!\approx\!-3.15$ и   $L\!\approx\!-3.95$; и ещё счетное множество таких точек осталось слева, за пределами рисунка.
 %и за пределами страницы. 
В принципе, каждая из этих точек может быть использована для регулярной итерации. То есть для построения асимптотического разложения суперфункции и вычисления этой суперфункции,  суперфакториала.
В этой главе, в качестве стационарной точки для регулярной итерации выбрано только одно значение, а именно  $L\!=\!2$.
Именно эта стационарная точка дает вещественно-голоморфную суперфункцию, неограниченно (и весьма быстро) растущую на бесконечности.
\vskip 2mm

%\subsection{Факториал и Аркфакториал в комплексной плоскости}
%Для того, чтобы выявить дефекты в имплементации голоморфной функции, полезно построить её график в комплексной плоскости. 
Kомплексные карты факториала и аркфакториала представлены на рисунке \ref{facmap}. Свойства факториала можно найти, в частности,\\
в ТОРИ
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/Factorial},\\
на Ситизендиуме \url{http://en.citizendium.org/wiki/factorial},\\
в Википедии \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial}\\ 
%и других сайтах, можно выбрать сайт, соответствующий личным преференциям Читателя. 
В связи с подавлением науки в России \cite{unichtozhenie}, англоязычные описания специальных функций лучше русскоязычных.
%\footnote{Русская версия этой Книги может рассматириваться как русофильское стремление несколько исправить это положение в пользу русской культуры и русского языка}.
В следующей секции, свойства факториала используются для построения его суперфункции, то есть суперфакториала.

\section{Регулярная итерация для суперфакториала}
\baselineskip  19.9pt

Имеется счетное множество вещественных стационарных точек факториала.
Интуитивно представляется, что суперфункция факториала, как и его абельфункция, должна быть монотонно растущей функцией по крайней мере в направлении вещественной оси. 
%При этом нецелые положительные итерации факториала тоже будут монотонными функциями. С целью построения этих функций 
Чтобы обеспечить такой рост, выбрана наибольшая вещественная стационарная точка, а именно, $L\!=\!2$. Здесь описано построение суперфакториала, который стремится к этой стационарной точке при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента.
\vskip 2mm

В соответствии с общей формулой \rf{Lea2general}, для регулярной итерации вблизи стационарной точки $L\!=\!2$ используется асимптотическое разложение суперфункции $F$ от факториала:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!%\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)=L+\exp(kx)+a_2 \exp(2kz)+..=L+\varepsilon+a_2 \varepsilon^2+ ..
\label{superfacass}
\ee
В соответствии с общими формулами \rf{k38}, \rf{a2.39}, .., подстановка такого разложения в передаточное уравнение
\be
\mathrm{Factorial}\big(F(z)\big)=F(z\!+\!1)
\eL{Tfac}
дает значение инкремента 
\be\!\!\!\!\!\!
&k=\ln(K)=\ln\!\big(3+2\!~\fac'(0)\big)=\ln(3-2\!~\gamma) \nonumber \\
\!\!\!\!\!\!
&~ ~ \approx 0.61278745233070836381366079016859252
\eL{fack}
\EN{where}%
\RU{где}
$\gamma\!=\!-\Gamma'(1)\!
\approx\! 0.5772156649%0153286060651209008240243
$
есть постоянная Эйлера.

Для коэффициентов  $a$ получаются такие выражения:
\be a_2&\!=\!& \frac{\pi^2+6\gamma^{2}-18\gamma+6}{12(3-5\gamma+2\gamma^{2})} \approx 0.798731835172434541585621%072345730147
\\
a_{3}&\!=\!&\! \Big( 
-36-39\pi^2
-738\gamma^2+
324\gamma+
99\pi^2\gamma-60\pi^2\gamma^2-\pi^4+24\gamma^5
\nonumber\\
&&+ 594\gamma^3-120\zeta(3)\gamma+48\zeta(3)\gamma^2+12\gamma^3\pi^2+72\zeta(3)-204\gamma^4 \Big) /  \nonumber\\
&& \Big(144(-18+69\gamma-104\gamma^2+77\gamma^3-28\gamma^4+4\gamma^5) \Big) 
\nonumber\\
&\approx & 0.5778809754764832358038%07592348110748
\label{u2u3zeta}
\ee
%\eL{u2u3}
\EN{where}\RU{где буквой $\zeta$ обозначена Дзета-функция Римана \cite{IRENE},} 
$\dsИ
\zeta(z) \!=\! \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}
$. %\eL{zeta}
%=\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
%\EN{is the Riemann zeta-function}

Здесь используется только $\zeta(3)\!\approx\! 1.202056903~$, то есть значение этой функции лишь в одной точке.
\EN{Similar (but longer) expressions can be obtained for other coefficients $a$;
few first coefficients are evaluated in Table 2. In addition,
we set $u_0\!=\!2$ and $u_1\!=\!1$.}%
\vskip 2mm

Похожие (но более громоздкие) выражения получаются и для других коэффициентов $a$;
приближенные значения этих коэффициентов приведены в первом столбце таблицы \ref{CoefficientsAUFac}.
Кроме того, для численных имплементаций, удобно принять $a_0\!=\!2$ и $a_1\!=\!1$; тогда частичная сумма в асимптотическом разложении \rf{superfacass} программируется в одну строчку.
\begin{table}[t] %\label{table2} does not work
%\vskip 12pt
\begin{center}
%\RU{\large Таблица 2. Коэффициенты $a$ и $U$ в разложениях \rf{superfacass} и \rf{abelFacExp}.}
%\EN{\large Table 2. Coefficients $a$ and $U$ in the expansions \rf{2expansion} and \rf{asf2}.} 
\caption{Коэффициенты $a$ и $U$ в разложениях \rf{superfacass} и \rf{abelFacExp} \label{CoefficientsAUFac}}
\begin{tabular}{rrrr}
$n$ & ~~~ $~ a_{n}\phantom{0.1234567890123}$ & $~U_{n}\phantom{0.1234567890123}$& \rule{0pt}{14pt} \\
%\input{table2}
$ 2$&$ 0.7987318351724345 $&$-0.7987318351724345$& \rule{0pt}{14pt}\\ 
$ 3$&$ 0.5778809754764832 $&$ 0.6980641135593670$&\\ 
$ 4$&$ 0.3939788096629718 $&$-0.6339640557572815$&\\ 
$ 5$&$ 0.2575339580323327 $&$ 0.5884152357911399$&\\ 
$ 6$&$ 0.1629019581037053 $&$-0.5538887519936520$&\\ 
$ 7$&$ 0.1002824191713524 $&$ 0.5265479025985924$&\\ 
$ 8$&$ 0.0603184725913977 $&$-0.5041914604280215$&\\ 
$ 9$&$ 0.0355544582258062 $&$ 0.4854529800293392$&\\ 
$10$&$ 0.0205859954874424 $&$-0.4694346809094714$&
%end of table2 (it is included instead of to use \input.
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\vskip 2mm

Ввиду положительности параметра $k$, разложение \rf{superfacass}  дает хорошее приближение $\tilde F$ для суперфункции $F$  от факториала при больших отрицательных значениях аргумента. Для иных значений аргумента,
%, в соответствии с методом регулярной итерации, 
используется выражение
\be
F(z) \approx \mathrm{Factorial}^n\!\Big(\tilde F(z\!-\!n) \Big) 
\eL{regufac}
при достаточно большом натуральном  $n$. Для значений  $\Re(z)$ порядка единицы, достаточно итерировать факториал всего несколько раз, чтобы требуемое значение $\varepsilon$ стало порядка одной десятой; тогда полтора десятка
слагаемых в разложении \rf{superfacass} дают около четырнадцати верных значащих цифр в оценке значения $F(z)$.
%Это приближение использовано для численной имплементации суперфакториала, на ситизендиуме, \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuFac.cin}
%и построения комплексной карты суперфакториала, показанной на рисунке \ref{SuperFacMap}. 
\vskip 2mm

Удобно, когда в нуле функция принимает целочисленное значение. Для растущей передаточной функции, это значение должно быть все ещё больше соответствующей стационарной точки. Если стационарная точка $L\!=\!2$, то естественно положить суперфакториал в нуле равным трем. Чтобы зафиксировать это значение суперфункции в нуле, пусть
%$~\mathrm{SuperFactorial}(0)\!=\!3~$, я кладу
\be
\mathrm{SuFac}(z) = F(z_3\!+\!z) 
\eL{SuFac}
где $z_3 \approx - 0.91938596545217788$ есть вещественное решение уравнения $F(z_3)\!=\!3$. Тогда
$~\mathrm{SuFac}(0)\!=\!3~$.
\vskip 2mm

Суперфункция от факториала может называться суперфакториалом, а обратная функция - абельфакториалом. Однако
названия SuperFactorial и AbelFactorial длинные; вместо них я пишу SuFac и AuFac. Такие имена соответствуют простой мнемонике: имя передаточной функции сокращается до трех букв; приставка Su соответствует суперфункции, построенной на максимальной (upper) стационарной точке, а приставка Au указывает на соответствующую абельфункцию. В случае успешного применения абельфункций в золотодобывающей промышленности, целью которой декларируется золото, Au, такое обозначений примет особенно пикантный смысл, и тогда систему обознечений прийдется пересмотреть.
%Так вычисляется суперфакториал в генераторе рисунка \ref{SuperFacMap} и других рисунков; эти генераторы доступны в ТОРИ в статье ``SuperFactorial''. 
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{264px}
%\sx{.28}{ \begin{picture}(602,970)
\vskip -4pt
\normalsize
\sx{.32}{ \begin{picture}(602,998)
\put(0,0){\includegraphics{SuperFacPlot}}
\put(372,978){\sx{5}{$y$}}
\put(372,891){\sx{5}{$9$}}
\put(372,791){\sx{5}{$8$}}
\put(372,691){\sx{5}{$7$}}
\put(372,591){\sx{5}{$6$}}
\put(372,491){\sx{5}{$5$}}
\put(372,391){\sx{5}{$4$}}
\put(372,291){\sx{5}{$3$}}
\put(372,191){\sx{5}{$2$}}
\put(372,91){\sx{5}{$1$}}
\put( 066,-42){\sx{5}{$-\!3$}}
\put(166,-42){\sx{5}{$-\!2$}}
\put(266,-42){\sx{5}{$-\!1$}}
\put(391,-42){\sx{5}{$0$}}
\put(491,-42){\sx{5}{$1$}}
\put(591,-42){\sx{5}{$2$}}
\put(691,-42){\sx{5}{$3$}}
\put(777,-42){\sx{5}{$x$}}
%\put(532,440){\sx{5}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{SuperFactorial}(x)$\ero}}
\put(532,440){\sx{5}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{SuFac}(x)$\ero}}
%\put(660,450){\sx{4}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}} %
\put(740,500){\sx{5}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}}
\end{picture} }
\vskip 8pt
\caption{\large Суперфакториал и факториал %вещественного аргумента. 
\label{SuperFacPlot}
%$\!\!\!\!\!\!$ \iL{SuperFacPlot}
}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}

Вдоль вещественной оси, суперфакториал быстро растет, далеко обгоняя факториал (который иногда приводят как пример быстро растущей функции). График суперфакториала по формуле \rf{SuFac} в сравнении с факториалом показан на рисунке \ref{SuperFacPlot}.
\vskip 2mm

График факториала проходит через точки\\ (0,1), (1,1), (2,2), (3,6).
%, (4,24); последняя точка не поместилась на рисунке. 

График суперфакториала проходит через точки (0,3), (1,6), (2,720); последняя точка не поместилась на рисунке.
%Впрочем, следующая за ней точка с целой абсциссой, то есть  (3,720!), не поместилась бы даже в видимой части Вселенной; такой вот быстрый у суперфакториала рост.
% Из-за большой производной, на картах суперфакториала на рисунке \ref{SuperFacMap}, область вдоль вещественной оси осталась белой; даже мой графопостроитель не в состоянии провести многие гуглоплексы  линий на сантиметр графика. (1 гуглоплекс, согласно википедии, равен $10^{10^{100}}$). 
%Рост суперфакториала сравним с ростом натуральной тетрации, показанной на первой странице обложки этой Книги.
%Даже у тетрации по основанию $\mathrm e$, рассмотренной в следующей главе, рост чуть более умеренный, чем у суперфакториала.
\vskip 2mm

Комплексная карта суперфакториала представлена на рисунке \ref{SuperFacMap}.
Суперфакториал является периодичной функцией. Как и у других суперфукций, построенных регулярной итерацией у вещественной стационарной точки вещественно-голоморфной передаточной функции, период $P$ чисто мнимый.
На рисунке \ref{SuperFacMap} уместилось чуть меньше двух периодов.

\begin{figure}[h]
%\vskip 8pt
\hskip 24pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Superfactocomple1.png}
\vskip 4pt
\hskip -12mm
%\sx{1.333}{ \begin{picture}(362,362)
\sx{1.25}{ \begin{picture}(302,362)
\put(0,0){\ing{SuperFacMap}}
 \put(30,357){\sx{1.3}{$y$}}
 \put(30,317){\sx{1.3}{$6$}}
 \put(30,277){\sx{1.3}{$4$}}
 \put(30,237){\sx{1.3}{$2$}}
 \put(29,196){\sx{1.3}{$0$}}
 \put(20,156){\sx{1.3}{$-2$}}
 \put(20,116){\sx{1.3}{$-4$}}
 \put(20,76){\sx{1.3}{$-6$}}
 \put(20,36){\sx{1.3}{$-8$}}
 \put(70,30){\sx{1.3}{$-6$}}
 \put(110,30){\sx{1.3}{$-4$}}
 \put(150,30){\sx{1.3}{$-2$}}
 \put(198,30){\sx{1.3}{$0$}}
 \put(238,30){\sx{1.3}{$2$}}
 \put(278,30){\sx{1.3}{$4$}}
 \put(318,30){\sx{1.3}{$6$}}
 \put(354,30){\sx{1.3}{$x$}}
\put(50,344){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
\put(50,306){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(50,255){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
\put(50,204){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(50,152){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
\put(50,100){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(50,049){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
 % column<br>
\put(122,342){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
\put(135,314){\sx{1.2}{$u\!=\!1.8$}}
\put(252,314){\sx{1.2}{$u\!=\!1.2$}}
\put(136,265){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
\put(125,210){\sx{1.2}{$u\!=\!2.2$}}
\put(125,130){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
\put(134,084){\sx{1.2}{$u\!=\!1.8$}}
\put(252,084){\sx{1.2}{$u\!=\!1.2$}}
\put(134,054){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
% column<br>
\put(322,343){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(322,306){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(322,269){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(266,247){$u\!=\!0.8856031944$}
\put(332,231){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(329,164){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(322,137){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(322,100){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
\put(322, 50){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
 \end{picture}}
 
 \hskip -4pt
 \sx{.78}{ \begin{picture}(362,210)
 %\sx{.88}{ \begin{picture}(362,210)
 \put(0,0){\ing{SuperFacZoom}}
 
\put(4,216){\sx{1.8}{$y$}}
\put(4,194){\sx{1.8}{$2$}}
\put(4,095){\sx{1.8}{$1$}}
\put(097,3){\sx{1.8}{$1$}}
\put(197,3){\sx{1.8}{$2$}}
\put(297,3){\sx{1.8}{$3$}}
\put(397,3){\sx{1.8}{$4$}}
\put(497,3){\sx{1.8}{$5$}}
\put(536,3){\sx{1.8}{$x$}}

\put(360,210){\sx{1.6}{$u\!=\!0.8856031944$}}
%\put(316,178){\sx{1.3}{$u\!=\!0.8$}}
\put(311,198){\sx{1.3}{\rot{-51}$u\!=\!0.8$\ero}}
\put(146,159){\sx{2}{ \rot{62}$u\!=\!1$\ero }}
\put(172,117){\sx{2}{ \rot{1}$u\!=\!0$\ero }}
\put(020,163){\sx{2}{ \rot{-37}$u\!=\!2$\ero }}
\put(018,053){\sx{2}{ \rot{ 22}$u\!=\!3$\ero }}
\put(051,06){\sx{2}{ \rot{ 53}$u\!=\!4$\ero }}

\put(082,183){\sx{2}{ \rot{2}$v\!=\!1$\ero }}
\put(081,083){\sx{2}{ \rot{46}$v\!=\!2$\ero }}
\put(306,148){\sx{2}{ \rot{0.}$v\!=\!0$\ero }}
\put(406,148){\sx{2}{ \rot{0.}$v\!=\!0$\ero }}
 \end{picture}
 }
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sfaczoo300.png}
\vskip -4pt
\caption{ %Комплексная карта суперфакториала, 
 %$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{SuperFactorial}(x\!+\!\mathrm i y)$
 $u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{SuFac}(x\!+\!\mathrm i y)$
 и зумин центральной части карты \label{SuperFacMap}}
 \vskip -408pt
\end{figure}

\newpage


Для суперфакториала, период
\be
P=\frac{2\pi \mathrm i}{k} =2\pi \mathrm i \, \ln\!\big(3\!+\! 2\, \mathrm{Factorial}^\prime(0)\big)
\approx 10.253449681156%0279265772640691397 
\,\mathrm i
\ee 

В полосax 
$x>2$, $|\Im(z) + n P|<1$, для целых $n$, суперфакториал имеет счетное множество сингулярностей.
При пересчете значения от кривой $v\!=\!0$ с помощью передаточного уравнения на единицу вправо, каждый полюс 
функции факториал дает сигнулярность суперфакториала. Как и другие сингулярные суперфункции, карта суперфакториала имеет фрактальный характер: структуры, образованные линиями $v\!=\!0$, воспроизводятся при единичных трансляциях вправо, и обрастают новыми 
%похожими 
деталями. Эти детали видны на нижней карте рисунка \ref{SuperFacMap}.
%; чтобы показать их, пришлось снабдить рисунок зумином.
Вне указанных полос, суперфакториал голоморфен, и стремится к стационарной точке факториала $L\!=\!2$ в левой полуплоскости и к стационарной точке  $L\!=\!1$ в правой полуплоскости. 
\vskip 2mm

Быстрому росту суперфакториала можно противопоставить медленный рост обратной функции, то есть 
%В качестве противоположности суперфакториалу (и его быстрому росту), Комплексная карта обратной функции, то есть 
абельфакториала. Его карта показана на рисунке \ref{AbelFactorialMap};  эта функция строится в следующей секции.
% показана на рисунке \ref{AbelFactorialMap}.  В следующей секции рассказано, как вычисляется эта функция.

%\begin{figure}
%\hskip -40pt
%\sx{1.44}{ \begin{picture}(362,362)
\begin{figure}[t]
\hskip -34pt
%\sx{1.4}{ \begin{picture}(322,356)
\sx{1.25}{ \begin{picture}(322,356)
\put(0,0){\ing{AbelFacMap}}
\put(30,357){\sx{1.3}{$y$}}
\put(30,317){\sx{1.3}{$6$}}
\put(30,277){\sx{1.3}{$4$}}
\put(30,237){\sx{1.3}{$2$}}
\put(29,196){\sx{1.3}{$0$}}
\put(20,156){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(20,116){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(20,76){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(20,36){\sx{1.3}{$-8$}}
\put(70,30){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(110,30){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(150,30){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(198,30){\sx{1.3}{$0$}}
\put(238,30){\sx{1.3}{$2$}}
\put(278,30){\sx{1.3}{$4$}}
\put(318,30){\sx{1.3}{$6$}}
\put(354,30){\sx{1.3}{$x$}}
\put(50,306){\sx{1.3}{$u\!=\!1.8$}}
\put(50,255){\sx{1.3}{$v\!=\!0.6$}}
\put(90,198){\sx{1.3}{\bf cut}} %central%
\put(50,150){\sx{1.3}{$v\!=\!-0.6$}}
\put(48,90){\sx{1.3}{$u\!=\!1.8$}}
% column
\put(170,344){\sx{1.3}{$u\!=\!1.6$}}
%\put(250,314){\sx{1.3}{$u\!=\!1.2$}}
\put(119,230){\sx{1.3}{$v\!=\!0.8$}}
\put(109,170){\sx{1.3}{$v\!=\!-\!0.8$}}
\put(144,090){\sx{1.3}{$u\!=\!1.6$}}
\put(94,068){\sx{1.3}{$v\!=\!-0.6$}}
\put(252,084){\sx{1.3}{$u\!=\!1.4$}}
% column
\put(319,344){\sx{1.3}{$u\!=\!1.4$}}
\put(304,306){\sx{1.3}{$v\!=\!0.4$}}
\put(313,278){\sx{1.3}{$u\!=\!1.2$}}
\put(309,236){\sx{1.3}{$v\!=\!0.2$}}
%\put(266,247){\sx{1.}{$u\!=\!0.8856031944$}}
\put(306,209){\sx{1.3}{$u\!=\!1$}}
\put(331,198){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}} %central
\put(312,118){\sx{1.3}{$u\!=\!1.2$}}
\put(304,90){\sx{1.3}{$v\!=\!-0.4$}}
\put(320, 50){\sx{1.3}{$u\!=\!1.4$}}
\end{picture}}
\vskip -14mm
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AbelFacMapT.jpg}
\vskip -4mm
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AbelFactorial}(x\!+\!\mathrm i y)$. \iL{AbelFactorialMap} \label{File:AbelFacMapT.jpg}}
\vskip -2mm
\end{figure}

\section{АбельФакториал}

Обращение серии  асимптотического разложения суперфакториала дает разложение обратной функции, то есть абельфакториала, ( или арксуперфакториала), в виде
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\tilde G(z)=
\frac{1}{k} \ln\!\left(\sum_{n=1}^{N-1}U_{n}(z\!-\!2)^{n}+\mathcal{O}(z\!-\!2)^N\right)
\eL{abelFacExp}
Значение параметра $k$ определяется тем же выражением \rf{fack}, что и в разложении суперфакториала; 
\be
U_1 &=\!&1 \\
U_2&=\!&\!-\frac{\pi^2+6\gamma^{2}-18\gamma+6}{12(3-5\gamma+2\gamma^{2})} \approx 0.7987318
\eL{UAFac}
и так далее. 
Приближенные значения коэффициентов $U$ предложены в правом столбце таблицы 
%\ref{CoefficientsAUFac}
\ref{CoefficientsAUFac}. 
\vskip 2mm

Для значений $z$, сильно отличающихся от 2, рекуррентно применяется формула
\be
\!\!\!\!\!G(z) = G\Big(\mathrm{ArcFactorial}(z)\Big)+1
\eL{AbelFacDrugaya}
до тех пор, пока $|z\!-\!2|$ станет малым и разложение \rf{abelFacExp} начнет давать аккуратные значения.
%Применение 
Такая рекурренция определяет разрез абельфакториала; разрез идет вдоль вещественной оси и уходит на минус бесконечность.
%В этой Книге, как и в ТОРИ, такое направление линии разреза является дефолтным, и применяется во всех случаях, когда требуется разрезать комплексную плоскость на кусочки, в которых какая-либо функция является голоморфной, и направления этих разрезов не предопределены поставленной задачей.
\vskip 2mm

Ввиду того, что 
%$\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)$ и, соответственно, 
$\mathrm{SuFac}(0)\!=\!3$,
для абельфункции от факториала, назову её
$\mathrm{AuFac}\!=\!\mathrm{AbelFactorial}\!=\!\mathrm{SuFac}^{-1}$,
надо обеспечить условие $\mathrm{AuFac}(3)\!=\!0$. Для этого надо сдвинуть значение функции $G$ на константу $z_3\!=\!G(0)\!\approx\! -0.91938596545218$; то есть абельфакториал аппроксимируется как
\be
\mathrm{AuFac}(z) \approx \mathrm{AuFac}_n(z) = G \Big(\mathrm{ArcFactorial}^n(z)\Big)+n-z_3
\label{abelfac3}
\ee
для достаточно большого натурального числа $n$. 
\vskip 2mm

Такая аппроксимация не должна создавать впечатления, что построено лишь приближенное решение. Точную формулу можно выразить через предел, то есть
\be
\mathrm{AuFac}(z) =\lim_{n\rightarrow \infty}  \mathrm{AuFac}_n(z)
\eL{abelfac3e}
При этом абельфакториал оказывается обратной функцией суперфакториала. 
В частности, такой алгоритм использован для построения рисунка \ref{AbelFactorialMap}. %и \ref{AbelFactorialPlot}.
%генераторы этих рисунков можно стащить из ТОРИ.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{r}{210px}
\begin{wrapfigure}{r}{262px}
\normalsize
%\sx{.25}{\begin{picture}(806,640)
\sx{.326}{\begin{picture}(806,580)
%\put(0,0){\includegraphics{SuperFacPlot}} %
\put(0,0){\includegraphics{AbelFacPlo}}
\put(9,595){\sx{4}{$y$}}
\put(9,503){\sx{4}{$2$}}
\put(9,403){\sx{4}{$1$}}
\put(9,303){\sx{4}{$0$}}
\put(-2,203){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(-2,103){\sx{4}{$-\!2$}}
\put(093,282){\sx{4}{$1$}}
\put(193,282){\sx{4}{$2$}}
\put(293,282){\sx{4}{$3$}}
\put(393,282){\sx{4}{$4$}}
\put(493,282){\sx{4}{$5$}}
\put(593,282){\sx{4}{$6$}}
\put(693,282){\sx{4}{$7$}}
\put(782,282){\sx{4}{$x$}}
%\put(352,540){\sx{4.2}{\rot{8.8}$y\!=\!\mathrm{ArcFactorial}(x)$\ero}}
\put(330,524){\sx{5}{\rot{8.8}$y\!=\!\mathrm{ArcFactorial}(x)$\ero}}
%\put(660,450){\sx{4}{\rot{83}$y\!=\!\mathrm{Factorial}(x)$\ero}} %
%\put(350,380){\sx{4.2}{\rot{10}$y\!=\!\mathrm{AuFac}(x)$\ero}}
\put(380,390){\sx{5}{\rot{10}$y\!=\!\mathrm{AuFac}(x)$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{\large Aркфакториал и абельфакториал% вещественого аргумента 
\label{AbelFactorialPlot}}
%\iL{AbelFactorialPlot}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}

Абельфакториал сравнивается с аркфакториалом на рисунке 
\ref{AbelFactorialPlot}. График аркфакториала проходит через точки %(\nu_0,\mu_0)\approx(0.84, 0.48), 
(1,1), (2,2), (6,3), (24,4), хотя последняя точка уже за пределами рисунка и страницы. График абельфакториала проходит через точки (3,0), (6,1), (720,2), хотя последняя точка находится не только за пределами страницы, но и за пределами комнаты, в которой пишется эта книга; а следующая точка, в которой абельфакториал принимает целое значение, то есть (720!,3), оказывается 
%не только за пределами комнаты, но 
далеко за пределами нашей Галактики. % , и наблюдаемой части нашей Вселенной.
% (похожая ситуация имеет место в случае суперфакториала). 
\vskip 2mm

Абельфакториал растет очень медленно. Если аргумент этой функции реализован как некоторая физическая величина (расстояние, масса, заряд и т.п.), измеренная в сколько-нибудь разумных единицах, то не в человеческих возможностях сделать эту величину такой большой, что абельфакториал от нее достигнет трех. 
\vskip 2mm
%Для практических применений, суперфакториал от трех (или, чтобы с запасом, четырех) может рассматриваться как физическое приближение {\em Числа Мизугадро} \cite{mizugadronumber}, как только таковое число понадобится для построения какой-либо хоть сколько-нибудь научной концепции.
%\vskip 2mm
%В  этой Книге предложены определенные восторги по поводу очень быстрого роста суперфакториала (и сходных суперфункций) и очень медленного роста абельфакториала (и сходных абельфункций). Эти восторги вполне аналогичны спекуляциям прошлого и позапрошлого веков относительно быстрого роста экспоненты и медленного роста логарифма. 
%На сегодня, аналогии и сравнения для быстро растущих функций представляются исчерпанными рассуждениями выше. Будет интересно посмотреть рассуждения о ещё более быстро растущих функциях (их нетрудно построить), когда рост суперфакториала окажется недостаточным для описания роста каких-либо физических величин и процессов.

Когда функции SuFac и AuFac построены, можно строить итерации факториала. Эти итерации рассмотрены в следующей секции.

\section{Итерации факториала}
С помощью суперфакториала и абельфакториала, итерация номер $n$  факториала 
%по формуле 
записывается в виде
\be
h(z)=\mathrm{Factorial}^n(z)=\mathrm{SuFac}\Big(n+\mathrm{AuFac}(z)\Big) 
\eL{Facc}

\begin{figure}[t]
\hskip 2pt
\sx{.42}{\begin{picture}(1000,1004)
\put(0,0){\ing{facit}}% 
\put(4,984){\sx{4}{$y$}}
\put(4,890){\sx{4}{$9$}}
\put(4,790){\sx{4}{$8$}}
\put(4,690){\sx{4}{$7$}}
\put(4,590){\sx{4}{$6$}}
\put(4,490){\sx{4}{$5$}}
\put(4,390){\sx{4}{$4$}}
\put(4,290){\sx{4}{$3$}}
\put(4,190){\sx{4}{$2$}}
\put(4, 90){\sx{4}{$1$}}
\put(92,4){\sx{4}{$1$}}
\put(192,4){\sx{4}{$2$}}
\put(292,4){\sx{4}{$3$}}
\put(392,4){\sx{4}{$4$}}
\put(492,4){\sx{4}{$5$}}
\put(592,4){\sx{4}{$6$}}
\put(692,4){\sx{4}{$7$}}
\put(792,4){\sx{4}{$8$}}
\put(892,4){\sx{4}{$9$}}
\put(982,4){\sx{4.1}{$x$}}
\put(212,830){\rot{89}\sx{5}{$n\!\rightarrow\!\infty$}\ero}
\put(262,824){\rot{87}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(340,816){\rot{83}\sx{5}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(454,806){\rot{78}\sx{5}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(494,806){\rot{74}\sx{5}{$n\!=\!0.4$}\ero}
\put(544,806){\rot{68}\sx{5}{$n\!=\!0.3$}\ero}
\put(606,806){\rot{61}\sx{5}{$n\!=\!0.2$}\ero}
\put(698,806){\rot{54}\sx{5}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put(766,744){\rot{45}\sx{5.2}{$n\!=\!0$}\ero}
\put(770,638){\rot{34}\sx{5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(770,556){\rot{27}\sx{5}{$n\!=\!-0.2$}\ero}
\put(770,494){\rot{21}\sx{5}{$n\!=\!-0.3$}\ero}
\put(770,450){\rot{15}\sx{5}{$n\!=\!-0.4$}\ero}
\put(770,414){\rot{11}\sx{5}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(770,311){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(770,232){\rot{1}\sx{5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(770,183){\rot{.01}\sx{5}{$n\!\rightarrow\!-\infty$}\ero}
\end{picture}}%$\!\!\!\!$
\vskip 2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FacitT.jpg}
\vskip -2pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm {Factorial}^n(x)$ при различных значениях  $n$
%, слева,
%и карта половинной итерации $h$ по формуле \rf{Facc}; $u\!+\!\mathrm i v=h(x\!+\!\mathrm i y)$, справа. 
\iL{facit}}
\vskip 4pt
\end{figure}

В таком представлении, параметр $n$ не имеет надобности быть целым числом.
%, и может выражаться даже комплексным. 
На рисунке \ref{facit} показан график $y\!=\!\mathrm{Factorial}^n(x)$ для различных значений $n$.
Рисунок \ref{facit} аналогичен рисункам \ref{itelin125}, 
%\ref{frac1z},
\ref{f1ziteplot},
\ref{c05}, \ref{IterPowPlot}, \ref{KellerPlot},
где показаны итерации других функций, хотя для нецелых итераций факториала нет компактного представления через специальные функции, описанные в справочниках 20го века. 
%Надеюсь, в 21м веке, некоторые суперфункции из этой Книги будут добавлены в справочники.
%; тогда разница между итерациями факториала и итерациями других функций из первых глав Книги станет ещё менее существенной.
\vskip 2mm

\begin{figure}[h]
\vskip 8pt
\hskip -24pt
%{\sx{.72}{\begin{picture}(362,330)
{\sx{1.22}{\begin{picture}(362,364)
\put(0,0){\ing{QFacMap}}
\put(30,357){\sx{1.3}{$y$}}
\put(30,317){\sx{1.3}{$6$}}
\put(30,277){\sx{1.3}{$4$}}
\put(30,237){\sx{1.3}{$2$}}
\put(29,196){\sx{1.3}{$0$}}
\put(20,156){\sx{1.3}{$-2$}}
\put(20,116){\sx{1.3}{$-4$}}
\put(20,76){\sx{1.3}{$-6$}}
\put(20,36){\sx{1.2}{$-8$}}
\put(70,30){\sx{1.1}{$-6$}}
\put(111,30){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(151,30){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(199,30){\sx{1.1}{$0$}}
\put(239,30){\sx{1.1}{$2$}}
\put(279,30){\sx{1.1}{$4$}}
\put(319,30){\sx{1.1}{$6$}}
\put(355,30){\sx{1.1}{$x$}}
\put(70,198){\sx{1.3}{\bf cut}} %central
\put(47,162){\sx{1.3}{\rot{72}$u\!=\!0$\ero}}
\put(99,161){\sx{1.3}{\rot{80}$v\!=\!0$\ero}}
\put(139,162){\sx{1.3}{\rot{89}$u\!=\!0$\ero}}
\put(164,204){\sx{1.3}{\rot{77}$v\!=\!0$\ero}}
\put(177,200){\sx{1.2}{\rot{56}$u\!=\!0$\ero}}
\put(82,116){\sx{1.1}{\rot{0.}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(86,102){\sx{1.1}{\rot{0.}$u\!=\!0.6$\ero}}
\put(137,128){\sx{1.1}{\rot{0.}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(332,252){\sx{1.3}{\rot{23}$u\!=\!8$\ero}}
\put(331,220){\sx{1.3}{\rot{-12}$v\!=\!8$\ero}}
\put(321,174){\sx{1.3}{\rot{9}$v\!=\!-8$\ero}}
\put(319,102){\sx{1.3}{\rot{-7}$u\!=\!-8$\ero}}
\end{picture}}}
\vskip -36pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:QFacMapT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large  $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{Factorial}^{0.5}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{QFacMap}}
\vskip -.2mm
\end{figure}

При $n\!=\!1/2$, формула \rf{Facc} дает корень из факториала, то есть половинную итерацию факториала.
Карта функции $h\!=\!\mathrm{Factorial}^{1/2}$ показана на рисунке \ref{QFacMap}. Именно эта функция может быть обозначена символом \sx{1.2}{$\sqrt{\,!\,}\,$}, используемoм на знаке Физфака МГУ, обсуждаемом во Введении и показанном на рисунке \ref{SqrtFactorialLogo}.
\vskip 2mm

Концепция корня из факториала вызвала конфузии и дискуссии. Некоторые коллеги отказывались видеть разницу между выражениями 
$\mathrm{Factorial}^{1/2}(z)$ и
$\mathrm{Factorial}(z)^{1/2}$, интерпретируя
$\sqrt{\mathrm{Factorial}}(z)$ как эквивалент
$\sqrt{\mathrm{Factorial}(z)}$. Чтобы устранить, наконец, путаницу, функция $h\!=\!\mathrm{Factorial}^{1/2}$ рассмотрена здесь более подробно.
%Комплексная карта функции $h$ показана
%=\mathrm{Factorial}^{0.5}$  построена 
%на рисунке \ref{QFacMap}.
\vskip 2mm

Ключевым для проверки и верификации предлагаемой здесь интерпретации функции \sx{1.2}{$\sqrt{\,!\,}\,$}, корня из факториала, является исследование области применимости соотношения
%$u\!+\!\mathrm i v=h(x\!+\!\mathrm i y)$.  В широкой области значений $z$ имеет место соотношение
\be
h(h(z))=\mathrm{Factorial}(z)=z!   
\eL{hh}
Карта функции $h^2$ в левой части уравнения \rf{hh} показана на рисунке \ref{QQFacMap}. Этот рисунок можно сравнить с 
рисунком \ref{facmap}, где показана карта факториала. 
\vskip 2mm
\begin{figure}[t]
%\sx{.72}{\begin{picture}(346,352) \ax
\sx{1.22}{\begin{picture}(362,362) \ax
\put(-20,-10){\includegraphics{QQFacMap}}
%\put(266,246){\rot{-14}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
%\put(286,225){\rot{-7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
%\put(288,207){\rot{-5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(182,263){\rot{42}\sx{1.6}{\bf cut}\ero}
\put(299,187){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}}
%\put(288,168){\rot{5}\sx{1.6}{$u\!=\!0$}\ero}
%\put(286,150){\rot{7}\sx{1.6}{$v\!=\!0$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -25pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=h^2(x\!+\!\mathrm i y)$.
\iL{QQFacMap}}
\end{figure}

В правой части рисунка \ref{QQFacMap}, карта функции $h\circ h$ совпадает с картой факториала.
По крайней мере в полосе $\Re(z)\!>\!1$, $|\Im(z)| \!\le\! 4$, соотношение  \rf{hh} выполняется; полученный ``корень из факториала'' ведет себя в соответствии с интуитивными ожиданиями относительно этой функции.
% в широкой области значений аргумента; эта область включает б\'oльшую часть вещественной оси. 
%В комплексной плоскости есть разрезы, они ограничивают 
Область применимости соотношения \rf{hh} ограничена разрезами. Такие разрезы типичны при итерации функций, если номер итерации не выражается натуральным числом.
%; в частности, разрезы обычно имеются у обратной функции от %любой сколько-нибудь нетривиальной целой функции.

\section{Применение и спекуляции}

Факториал не является экзотикой, исключением. С помощью формализма суперфункций, нецелые итерации можно строить для любой сколько-нибудь осмысленной голоморфной передаточной функции.
\vskip 2mm

%В качестве теста, комплексная карта второй итерации от $h$ корня из факториала представлена в левой части рисунка \rf{QFacMap}. В правой части, на эту карту наложена карта факториала с рисунка \ref{facmap}. В правой части, карты перекрываются; по крайней мере справа от стационарной точки факториала $L\!=\!2$ имеется широкая (и расширяющаяся) полоса, в которой выполняется соотношение \rf{hh}. В частности, оно выполняется для вещественных значений аргумента, больших единицы. Символ половинной итерации факториала, или ``корень из факториала'' $\sqrt{\,!\,}$, используется с 1950 года в качестве эмблемы Физфака МГУ, но лишь в 2009 году был предложен алгоритм для вычисления этой функции \cite{facr}. Таким образом, рисунок \ref{QFacMap} придает эмблеме Физфака четкий физический и математический смысл.
%\vskip 2mm

Нецелые итерации функций
%, даже при рассмотрении лишь вещественного аргумента, сильно 
расширяют инструментарий, например, для аппроксимации (фиттинга) различных неизвестных функций. К любой аппроксимирующей функции добавляется возможность итерировать её произвольное количество раз. 
%В частности, нецелыми итерациями экспоненты или факториала можно аппроксимировать зависимости, которые растут быстрее любого полинома, но медленнее любой растущей экспоненты. 
% Если исследователь не знает, какая зависимость доминирует - лофарифмиче
%Такое расширение можно сравнить с открытием дробной степени чисел: для функции, которая растет быстрее любой линейной функции, но медленнее любой параболы, может оказаться подходящей, например, функция вида $x \mapsto x^{3/2}$. 
\vskip 2mm

%\JP{
%\begin{figure}[t]
\begin{wrapfigure}{r}{208px}
\vskip -24pt
\sx{.27}{\begin{picture}(1013,600)
\put(-2,0){\ing{purgu}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
\caption{\large
%Безграмотный выбор фитирующей функции предсказывает глобальное потепление и используется как повод, чтобы 
%Смысл термина 
Что значит {\em гнать пургу}  \label{purgu}}
\vskip -24pt
\end{wrapfigure}
%}%JP
Расширение инструментария 
%для аппроксимаций за счет нецелых итераций особенно 
важно для экстраполяций. Удачная фитирующая функция имеет мало параметров, это улучшает предсказательную способность экстраполяции. Безграмотное (или жульническое) использование примитивных аппроксимаций с множеством параметров ведет к неверным результатам. Примером такой концепции является 
%скандально известное 
``глобальное потепление'' \footnote{ 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Purgu.png} Глобальное потепление \\
\url{http://rus.ruvr.ru/2009/12/18/3089576/} 18 декабря 2009, 18:22. Россия будет бороться с потеплением вне зависимости от результатов саммита. Дмитрий Медведев рассказал о лидирующей роли России в борьбе с глобальным потеплением.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Глобальное_потепление}
 }, с помощью которого жулики гонят пургу (рис. \ref{purgu}) и пилят бюджет.
% и гонят пургу, как это показано на рисунке \ref{purgu}. 
Я надеюсь, что нецелые итерации факториала не будут использоваться для такого мошенничества - хотя бы потому, что суперфункции позволят уменьшить число подгоночных параметров и ограничить возможности для всяческих артефактов в предсказаниях
- как умышленных, так и невольных.
% на основе научных концепций.
\vskip 2mm

Факториал является быстро растущей функции с вещественной стационарной точкой. Стационарная точка 4 использована для построения суперфакториала, абельфакториала и нецелых итераций факториала. Ещё пример быстрорастущей передаточной функции с вещественной стационарной точкой рассмотрен в следующей главе.

\chapter{~ Экспонента по основанию sqrt(2) ~ \label{ChapterQ2}}
\baselineskip 19pt

%\begin{wrapfigure}[15]{l}[0pt]{260pt}
\begin{figure}[h]

\sx{.333}{\begin{picture}(1202,670) %\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
\put(590,790){\sx{4.2}{$y$}}
\put(590,698){\sx{4.2}{$7$}}
\put(590,598){\sx{4.2}{$6$}}
\put(590,498){\sx{4.2}{$5$}}
\put(590,398){\sx{4.2}{$4$}}
\put(590,298){\sx{4.2}{$3$}}
\put(590,198){\sx{4.2}{$2$}}
\put(590,098){\sx{4.2}{$1$}} 
\put(080,-22){\sx{4}{$-5$}}
\put(180,-22){\sx{4}{$-4$}}
\put(281,-22){\sx{4}{$-3$}}
\put(381,-22){\sx{4}{$-2$}}
\put(482,-22){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(703.7,-22){\sx{4}{$1$}}
\put(803.8,-22){\sx{4}{$2$}}
\put(903.9,-22){\sx{4}{$3$}}
\put(1004.0,-22){\sx{4}{$4$}}
\put(1104.1,-22){\sx{4}{$5$}}
\put(1192.2,-22){\sx{4.3}{$x$}}
\put(1034,490){\sx{5.6}{\rot{66}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1094,444){\sx{5.7}{\rot{45}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2plotT.png}
\vskip -4pt
\caption{\normalsize Экспонента по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$
%и её стационарные точки. 
%Генератор рисунка загружен как 
%{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2plotT.png}}
%$\!\!\!\!\!\!\!$
\label{exq2plo}
\label{ExpQ2plot}
}
\end{figure}

Экспонента по основанию $\sqrt{2}$ оказалась первой в истории человечества передаточной функцией, для которой методом регулярной итерации была построена суперфункция \cite{sqrt2}. 
%Лишь потом этот же метод был применен к логистическому оператору и к факториалу, рассмотренным в предыдущих главах. 
%\vskip 2mm
Экспонента по основанию $\sqrt{2}$ определяется через обычную, натуральную экспоненту;
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(z)=\exp_{\sqrt{2}}(z)=\exp\!\Big( \ln(\sqrt{2}) z\Big) = \exp\!\left(\frac{\ln(2)}{2}\, z\right)
\eL{Texpq2}
График такой передаточной функции $T$ показан на рисунке 
%\ref{ExpQ2plot}. 
\ref{exq2plo}. Основание $\sqrt{2}$ привлекательно тем, что, для такой экспоненты работает метод регулярной итерации, причем стационарные точки $L\!=\!2$ и $L\!=\!4$ выражаются натуральными числами.
Эти точки обозначены пересечением кривой $y\!=\!T(x)$ и прямой $y\!=\!x$.

\begin{figure} [t] %1.48
%\sx{1.44}{\begin{picture}(162,162) 
\hskip 18pt
\sx{2.5}{\begin{picture}(162,162) 
\put(1,1){\ing{ExpQ2map}} 
\put(-3,159.9){\sx{.6}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-8, 0){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-4,-4){\sx{.6}{$-8$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.6}{$x$}}
\put(13,125.6){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(13,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(13,034.8){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(38,119){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(58,119){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.7,119){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!1$\ero}}
\put(104.7,119){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!2$\ero}}
\put(116.4,119){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!3$\ero}}
%
\put(38,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(58,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.6,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(104.6,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put(116.4,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!3$\ero}}
%
\put(39,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(59,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.4$\ero}}
\put(84.6,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(104.6,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-2$\ero}}
\end{picture}} 
\vskip 6pt
\hskip 32pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2mapT.png}
\vskip -6pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2}}(x\!+\mathrm i y)$
%Карты экспоненты и логарифма по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ по формулам \rf{Texpq2}, \rf{Tm1q2}. 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expq2mapT1000.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logq2mapT1000.jpg}
\label{ExpQ2map}}
\end{figure}

\begin{figure} [h] 
\hskip 18pt
\sx{2.5}
{\begin{picture}(162,162)
\put(1,1){\ing{LogQ2map}}
\put(-3,159.9){\sx{.6}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-8, 0){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-4,-4){\sx{.6}{$-8$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.6}{$x$}}
\put(095,139.2){\sx{.7}{\rot{80}$v\!=\!4$\ero}}
\put(114,132.2){\sx{.7}{\rot{60}$v\!=\!3$\ero}}
\put(129,118.6){\sx{.7}{\rot{40}$v\!=\!2$\ero}}
\put(138,100.2){\sx{.7}{\rot{20}$v\!=\!1$\ero}}
\put(004,084.2){\sx{.66}{$v\!=\!9$}}
\put(141,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(003,076){\sx{.66}{$v\!=\!-9$}}
%\put(140,059){\sx{.7}{\rot{-20}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(136,061){\sx{.66}{\rot{-21}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(125,044){\sx{.66}{\rot{-41}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(109.4,032){\sx{.66}{\rot{-61}$v\!=\!-3$\ero}}
%\put(091.2,025){\sx{.66}{\rot{-79}$v\!=\!-4$\ero}}
\put(80,051){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!3$\ero}}
\put(83,039.6){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!4$\ero}}
\put(86,023.3){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!5$\ero}}
\put(90,000.2){\sx{.66}{\rot{11}$u\!=\!6$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 6pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2mapT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\log_{\sqrt{2}}(x\!+\mathrm i y)$
%Карты экспоненты и логарифма по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ по формулам \rf{Texpq2}, \rf{Tm1q2}. 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expq2mapT1000.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logq2mapT1000.jpg}
\iL{LogQ2map}}
\end{figure}

\JP{ Юля попросила меня в Книге идти от простого к сложному. Как уже упомянуто в начале, в жизни все часто происходит гораздо по-другому, то есть от сложного к простому. Случай натуральной экспоненты (то есть по основанию $\mathrm e$) сложнее, чем случай экспоненты по основанию $\sqrt{2}$), и именно для этого случая вещественно-голоморфная суперфункция (то есть суперэкспонента) была построена раньше. Однако я стараюсь следовать совету Юли хотя бы в Книге, и сперва рассказываю про более простой случай, а именно, про неограниченно растущую суперфункцию экспоненты по основанию $\sqrt{2}$.
Этот случай во многом похож на случай факториала; растущая суперфункция такой экспоненты строится по тем же формулам, что и для факториала, и, к тому же, ведет себя схожим образом.
}%JP
Комплексная карта экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ показанa на рисунке \ref{ExpQ2map}. 
Эта функция периодична, её период
\be
P=\frac{2 \,\pi\, \mathrm i}{ \ln(b) }=\frac{2 \,\pi\, \mathrm i}{ \ln\Big(\sqrt{2} \Big) } \approx 18.1294405673 \,\mathrm i
\ee
На рисунке \ref{ExpQ2map} уместилось чуть меньше одного периода. 
\vskip 2mm

\JP{
Чтобы проследить построение суперфункции для экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, полезно вспомнить свойства такой  передаточной функции. Эти свойства рассмотрены ниже.
\vskip 2mm

Пусть передаточная функция 
\be \!\!\!
T(z)=b^z=(\sqrt{2})^z=\exp_{\sqrt{2}}(z)=\exp\Big( \frac{\ln(2)}{2} z\Big)
\eL{Texpq2}
при $b\!=\!\sqrt{2}$; это значение, по умолчанию, принято в этой секции. Обратная функция
\be 
T^{-1}(z)=\log_{\sqrt{2}}(z)=\log_b(z)=\frac{2}{\ln(2)} \ln(z)
\eL{Tm1q2}
}%JP

Чтобы вычислять экспоненту, нужно знать свойства умножения и его обратной операции, то есть деления. Примерно так же, для того, чтобы вычислять итерации экспоненты и суперэкспоненту, нужно знать свойства экспоненты её обратной функции.
%операции, то есть логарифма. 
%\JP{
Иначе может случиться, что после лекции об устройстве паровоза, курсант-машинист спросит, куда в паровозе запрягаются лошади, а после курса атомной физики - о том, как откачивают воздух из пространства между ядром и электронами.
% \footnote{может быть, я ошибаюсь, и так уже не спрашивают. Потому как не знают значения терминов  ``запрягать'' и ``лошадь''. (А если слышали слово ``лошадь'', то разве что в сочетании ``сферическая лошадь в вакууме''.) Теперь студенты продвинутые и задают более умные вопросы, например, по атомной физике и, в частности, о том, как откачивают воздух из пространства между ядром и электронами}.
%Короче, чтобы не уподобляться Ярмонкину, у которого, подъезжая к станции, слетела шляпа, я, подъезжая к суперфункции от экспоненты и итерациям этой экспоненты, сперва представляю её карту, чтобы она не слетела. А заодно представляю и её обратную функцию, то есть логарифм по тому же основанию.
%}%JP
Для экспоненты по основанию $b$, обратной функцией является логарифм по основанию $b$, то есть
минус первая итерация: % от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ есть логарифм:
\be
T^{-1}(z)=\log_{\sqrt{2}}(z)=\log_b(z)=\frac{2}{\ln(2)} \ln(z)
%\eL{Tm1q2}
\eL{logsqrt2}
Комплексная карта логарифма по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ показана на рисунке \ref{LogQ2map}. Эта функция имеет разрез вдоль отрицательной части вещественной оси, и её скачок на этом разрезе определяется периодом экспоненты:
\be
\log_{\sqrt{2}}(x+\mathrm i o) -
\log_{\sqrt{2}}(x-\mathrm i o) = P \approx 18.1294405673 \, \mathrm i
\label{logq2jump}
\ee
для $x\!<\!0$. На рисунке \ref{LogQ2map}, уровни 
$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9$ и
$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9$ близки к отрицательной части вещественной оси.
\vskip 2mm

Стационарные точки экспоненты $L\!=\!2$ и $L\!=\!4$ являются также и стационарными точками логарифма, их видно на рисункax \ref{ExpQ2plot}, \ref{ExpQ2map} и \ref{LogQ2map}.  В этой главе описано построение суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$ регулярной итерацией на стационарной точке  $L\!=\!4$.
Следующая секция рассказывает, как строится такая суперэкспонента.
%В принципе, экспонента не сложнее факториала; во-всяком случае после того, как её основание фиксировано. Поэтому в этой секции рассмотрены суперфункции, получающиеся регулярной итерацией у разных стационарных точек. Полож

\section{Суперфункция на стационарной точке $L\!=\!4$}
%\baselineskip 19.4pt
\baselineskip 21pt

\begin{wrapfigure}{r}{202px}
\normalsize
\vskip -4pt
%\sx{.256}
\sx{.25}{
%\begin{picture}(808,1308) 
%\put(0,0){\ing{sqrt23u}} 
\begin{picture}(808,2020) 
\put(0,0){\ing{sqrt23uplo}} 
\put(368,2062){\sx{4.4}{$y$}}
\put(350,1992){\sx{4.4}{$20$}}
\put(350,1892){\sx{4.4}{$19$}}
\put(350,1792){\sx{4.4}{$18$}}
\put(350,1692){\sx{4.4}{$17$}}
\put(350,1592){\sx{4.4}{$16$}}
\put(350,1492){\sx{4.4}{$15$}}
\put(350,1392){\sx{4.4}{$14$}}
\put(350,1292){\sx{4.4}{$13$}}
\put(350,1192){\sx{4.4}{$12$}}
\put(350,1092){\sx{4.4}{$11$}}
\put(350,992){\sx{4.4}{$10$}}
\put(370,892){\sx{4.4}{$9$}}
\put(370,792){\sx{4.4}{$8$}}
\put(370,692){\sx{4.4}{$7$}}
\put(370,592){\sx{4.4}{$6$}}
\put(370,491){\sx{4.4}{$5$}}
\put(370,391){\sx{4.4}{$4$}}
\put(370,290){\sx{4.4}{$3$}}
\put(370,190){\sx{4.4}{$2$}}
\put(370,90){\sx{4.4}{$1$}}
\put(64,-36){\sx{4.4}{$-3$}}
\put(164,-36){\sx{4.4}{$-2$}}
\put(264,-36){\sx{4.4}{$-1$}}
\put(394,-36){\sx{4.4}{$0$}}
\put(494,-36){\sx{4.4}{$1$}}
\put(594,-36){\sx{4.4}{$2$}}
\put(694,-36){\sx{4.4}{$3$}}
\put(782,-36){\sx{4.4}{$x$}}
%\put(546,654){\sx{4.5}{\rot{72}$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$\ero}}
\put(644,644){\sx{4.5}{\rot{76}$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$\ero}}
\put(550,186){\sx{5.5}{\rot{43}$y\!=\!\exp_{\sqrt{2}}(x)$\ero}}
\end{picture} }
\vskip -2pt
\caption{\large $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$ по формуле \rf{Ff45} \iL{sqrt23uplot}}
\end{wrapfigure}

%Пусть $L\!=\!4$. 
В главе 6 рассказано, как строятся итерации, регулярные в окрестности стационарной точки.
Здесь этот метод адаптирован для построения суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$, асимптотически стремящейся к стационарной точке $L\!=\!4$ при больших отрицательных значениях аргумента, и неограниченно растущей при положительных значениях аргумента.
Эта функция названа $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ и её график показан на рисунке \ref{sqrt23uplot}.
Ниже рассказывается, как строится эта функция. 
\vskip 3mm

Я использую общую формулу  
%\rf{iteraz1}
\rf{Lea2general}
%для 
асимптотического разложения суперфункции $F$, которая на минус бесконечности стремится к этой стационарной точке.
% (имеется в виду, что к минус бесконечности стремится веществанная часть аргумента). 
Для передаточной фуникции $T\!=\!\exp_{\sqrt{2}}$, эту формулу можно записать  так:
\be \!\!\!\!\!
%f(z)=\sum_{n=0}^{N-1}\, a_n\, \exp(nkz) + O\Big(\exp(Nkz) \Big).
f(z)\!=\!\sum_{n=0}^{N-1}\, a_n\, \rme^{nkz} \!+\! O\big(\rme^{Nkz} \big)~
\label{q2Fz4} \ee
причем $a_0\!=\!L\!=\!4$,  $a_1\!=\!1$.
\vskip 2mm

\begin{table} [h]
%\caption{Приближенные значения коэффициентов $a$ и $U$ в разложениях \rf{q2Fz4}, \rf{q2Gz4} для суперекспоненты $F$ и абельeкспоненты $G$ по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ , построенных у стационарной точки $L\!=\!4~$. \iL{tableq2a4}  }
\vskip -12pt
\caption{\large Kоэффициенты $a$ и $U$ в разложениях \rf{q2Fz4}, \rf{q2Gz4} 
%для суперекспоненты $F$ и абельeкспоненты $G$ по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ , построенных 
%для $L\!=\!4$ 
\label{tableq2a4} }
\vskip -8pt
\begin{center}
\large
\begin{tabular}{rrr} $n$ & $a_{n} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$ & $U_{n} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~$ \\ \input{tableq2L4}
\end{tabular}
\end{center}
\vskip -4pt
\end{table}
%В принципе, к
Kоэффициент $a_1$ можно было бы выбрать произвольно, но тогда все остальные коэффициенты оказались бы зависимыми от  $a_1$. Поэтому удобно положить $a_1\!=\!1$. Подстановка разложения \rf{q2Fz4} в передаточное уравнение 
\be
F(z\!+\!1)=\Big(\sqrt{2}\Big)^{F(z)} \eL{q2Transfereq}
в соответствии с общeй формулой \rf{k38}
%, \rf{a2.39}, etc. 
дает
\be\!\!\!\!\!\!
k\!=\!\ln\!\Big({\exp_{b}}'(4)\Big)\!=\!\ln\!\Big(4\ln(\sqrt{2})\Big)\!=\! \ln(2\ln(2)) \!\approx\!
%\ln( 1.3862943611199) \approx 
0.32663425997828%098238
\label{q2k4} 
\ee
%This value determines periodicity of the superfunction; its period
определяя период суперфункции
\be
P=P_4=\frac{2\,\pi\,\mathrm i}{k}= \frac{2 \pi \mathrm i }{\ln(2 \ln(2))}
\approx  19.236149042042854712 \, \mathrm i
\label{q2P4}
\ee
Затем, учет высших слагаемых в разложении по малому параметру $\mathrm e^{kz}$ 
%дает выражения для коэффициентов 
определяет коэффициенты $a$; в частности
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
a_2\!&\!=\displaystyle ~ ~ \frac{\ln(2)/4}{1-2 \ln(2)} \!&\!\approx\! 0.448587431195261%22890 
~ ~
\label{q2a2}\\
a_3\!&\!=\displaystyle \!\frac
{\Big(1 \!-\! \ln(2)\Big) \, \ln(2)^2/12}
{1\!-\!2\ln(2)\!-\!4\ln(2)^2\!+\!8\ln(2)^3} 
\!& \!\approx\! 0.1903722467978067%5668 ~
~ ~
\label{q2L4a23}
\ee
Для более высоких коэффициентов получаются
% похожие, хотя и 
более громоздкие выражения. В первом столбце таблицы \ref{tableq2a4} предложены приближенные значения коэффициентов $a$ в разложении \rf{q2Fz4}.
На основе $N\!=\!20$ таких коэффициентов построено первичное приближение $\tilde f$ для суперфункции $f$, то есть 
\be
\tilde f(z)=\sum_{n=0}^{19}\, a_n\, \exp(nkz)
\eL{q2Fz4tilde20}  \begin{figure}[t]
%\put(100,100){\sx{4}{mapeq2tildeF4}}
%\begin{center}
\sx{2.}{ \begin{picture}(208,205)
\put(6,5){\ing{sqrt2figf45b}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,00){\sx{.6}{$-10$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-8$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 82,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(166,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(186,0){\sx{.6}{$8$}}
\put(203,0){\sx{.7}{$x$}}
\put(20,199.4){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(20,151){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
\put(20,103){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(20,56){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
\put(20,07){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(072,161){\rot{46}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
\put(090,150){\rot{52}\sx{.8}{$v\!=\!0.4$}\ero}
\put(067,114){\rot{46}\sx{.8}{$u\!=\!4.2$}\ero}
\put(084,107){\rot{52}\sx{.8}{$u\!=\!4.4$}\ero}
% 0 
\put(071,73){\rot{44}\sx{.8}{$v\!=\!-0.2$}\ero}
\put(072.4, 11){\rot{66}\sx{.8}{$u\!=\!3.8$}\ero}
\put(098, 11){\rot{74}\sx{.8}{$u\!=\!3.6$}\ero}
\put(113.8, 11){\rot{77}\sx{.8}{$u\!=\!3.4$}\ero}
\put(127, 11){\rot{80}\sx{.8}{$u\!=\!3.2$}\ero}
\put(140.2, 11){\rot{88}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figf45bT.png}
\vskip -12pt
\caption{ \large
%Слева: Карта первичного приближения  $\tilde F$ для регулярной итерации суперфункции $F$ от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, построенного на стационарной точке $L\!=\!4$ с учетом 20 слагаемых в разложении \rf{q2Fz4},
$~u\!+\! \mathrm i v = \tilde f ( x\!-\!1.11520724513161 + \mathrm i \, y )$
%справа: Карта соответствупщей суперфункции $F$  по формуле \rf{Ff45}, $~u\!+\!\mathrm i v=F(x\!+\! \mathrm i y)$ .
%$\!\!\!\!\!\!$ 
%\iL{sqrt2figf45b} ~ ~ \iL{mapeq2F4}
\iL{sqrt2figf45b} ~ ~ ~  \iL{mapeq2F4}
}
\end{figure}
\vskip -18pt
Аппроксимация $\tilde f$ показана на рисунке \ref{sqrt2figf45b}. Для удобства сравнения с другими картами, аргумент функции на этом рисунке сдвинут на вещественную константу $x_{45}\!\approx\!- 1.11520724513161$; смысл этой константы объясняется ниже.
\vskip 2mm

%такая константа для суперфункции
%$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2}}(z) \approx \tilde f(x_5\!+\!z)$ обеспечивает условие $\mathrm{SuExp}(0)\!=\!5$.
Невязка при подстановке приближения \rf{q2Fz4tilde20} в передаточное уравнение \rf{q2Transfereq} становится порядка ошибок округления при $\Re(z)\!<\!-3$. %практически, 
Приближение \rf{q2Fz4tilde20} уже позволяет построить комплексную карту суперфункции в левой части комплексной полуплоскости. 
\vskip 3mm

\begin{figure}[t]
%\put(100,100){\sx{4}{mapeq2tildeF4}}
%\begin{center}
%\sx{1.16}{ \begin{picture}(208,205)
\sx{2}{ \begin{picture}(208,205)
 \put(6,5){\ing{sqrt2figf45e}}
 \put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
 \put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
 \put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
 \put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
 \put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
 \put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
 \put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
 \put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
 \put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
 \put(-2,00){\sx{.6}{$-10$}}
 \put( 22,0){\sx{.6}{$-8$}}
 \put( 42,0){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 62,0){\sx{.6}{$-4$}}
 \put( 82,0){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(106,0){\sx{.6}{$0$}}
 \put(126,0){\sx{.6}{$2$}}
 \put(146,0){\sx{.6}{$4$}}
 \put(166,0){\sx{.6}{$6$}}
 \put(186,0){\sx{.6}{$8$}}
 \put(203,0){\sx{.7}{$x$}}
 \put(20,199.4){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
 \put(20,151){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
 \put(20,103){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
 \put(20,56){\sx{.99}{$u\!=\!4$}}
 \put(20,07){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
 \put(072,161){\rot{46}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
 \put(090,150){\rot{52}\sx{.8}{$v\!=\!0.4$}\ero}
 \put(067,114){\rot{46}\sx{.8}{$u\!=\!4.2$}\ero}
 \put(084,107){\rot{52}\sx{.8}{$u\!=\!4.4$}\ero}
 % 0 <br>
 \put(071,73){\rot{44}\sx{.8}{$v\!=\!-0.2$}\ero}
 \put(072.4, 11){\rot{66}\sx{.8}{$u\!=\!3.8$}\ero}
 \put(098, 11){\rot{74}\sx{.8}{$u\!=\!3.6$}\ero}
 \put(113.8, 11){\rot{77}\sx{.8}{$u\!=\!3.4$}\ero}
 \put(127, 11){\rot{80}\sx{.8}{$u\!=\!3.2$}\ero}
 \put(140.2, 11){\rot{88}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
 \put(140.8,177){\rot{90}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
 \put(178,150){\rot{9}\sx{.99}{$u\!=\!2$}\ero}
 \put(128,154){\rot{0.}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
 \put(128,136){\rot{0.}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
 \put(125,054){\rot{0.}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
 \put(178,057){\rot{-10}\sx{.99}{$u\!=\!2$}\ero}
 \end{picture} }
\vskip -1pt
\hskip 23pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figf45eT.png}
\vskip -8pt
\caption{
%Слева: Карта первичного приближения  $\tilde F$ для регулярной итерации суперфункции $F$ от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, построенного на стационарной точке $L\!=\!4$ с учетом 20 слагаемых в разложении \rf{q2Fz4},
%$~u\!+\! \mathrm i v = \tilde f ( x\!-\!1.11520724513161 + \mathrm i \, y )$ ;
%справа: Карта соответствупщей суперфункции $F$  по формуле \rf{Ff45}, 
$~u\!+\!\mathrm i v= \mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x\!+\! \mathrm i y)$
%$\!\!\!\!\!\!$ 
%\iL{sqrt2figf45b} ~ ~ \iL{mapeq2F4}
%\iL{sqrt2fig45bg} ~ ~ \iL{mapeq2F4}
\iL{sqrt2f45map}
}
\end{figure}
\JP{ Левая часть рисунка \ref{sqrt2figf45b} показывает комплексную карту этой функции линиями $u=\rm const$ и линиями $v=\rm const$, где, как и на других картах,  вещественные $u$ и $v$ определяются соотношениями
\be
 u\!+\! \mathrm i v = \tilde f \Big( x\!-\!1.11520724513161 + \mathrm i \, y \Big)
\eL{sdvi1112}
Константа 1.11520724513161 выбрана для удобства сравнения этой карты с картой суперфункции $F_{45}$, для которой 
$F_{45}(0)\!=\!5$;  константа 5 есть наименьшее целое число, превышающее значение $L\!=\!4$.
\vskip 2mm
Методом регулярной итерации 
}%JP
Суперфункция $f$ получается как предел
\be
f(z)= \lim_{n\rightarrow \infty}{\exp_b}^n\Big( \tilde f(z\!-\!n) \Big)
\eL{sqrt2regi45}
%Для целых положительных значений $n$ итерация экспоненты не представляет сложностей.
Ввиду того, что $\tilde f$ есть асимптотическое решение, этот предел не зависит от числа слагаемых в приближении
\rf{q2Fz4tilde20}. Вместо девятнадцати, можно было бы выбрать иную константу. Однако, чем больше слагаемых, тем быстрее сходится предел. Выбирая число 19, я имел в виду имплементацию Complex double. Тогда, для аппроксимации $f$ с 14ю значащими цифрами,
%требуемое $n$ оказывается порядка вещественной части аргумента суперфункции.
достаточно выбрать $n\!>\! \Re(z)\!+\!3$. 
\vskip 3mm

\large
Удобно, когда в нуле суперфункция принимает значение 5. Это наименьшее целое число, большее использованной стационарной точки $L=4$. Такую функцию можно записать как
\be
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z)=F(z)=f(x_{45}+z)
\eL{Ff45}
где $x_{45} \approx -1.11520724513161$ есть решение уравнения
%\be
$f(x_{45})\!=\!0$.
%\eL{x45}
%Именно на эту константу сдвинут аргумент функции  на рисунке \ref{sqrt2figf45b}.  
Карта функции $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ по формуле  \rf{Ff45} показана 
на рисунке \ref{sqrt2f45map}. 
%на рисунке \ref{sqrt2figf45е}. 
В левой комплексной полуплоскости карты функций 
$z \!\mapsto\! \tilde f(z\!+\!x_{45})$ и $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ практически совпадают.
(Надеюсь, что рисунки  \ref{sqrt2figf45b} и  \ref{sqrt2f45map} окажутся на одном развороте Книги.)
Таким образом, первичная аппроксимация $\tilde f$ распространяется на всю комплексную плоскость.
\vskip 2mm

%Таким образом, д
Для передаточной функции $Т$ в виде экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$,
регулярная итерация на основе стационарной точки $L\!=\!4$ дает голоморфную во всей комплексной плоскости суперфункцию $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$. 
График этой функции показан на рисунке 
\ref{sqrt23uplot}. Комплексная карта функции $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ показана на рисунке \ref{sqrt2f45map}. 
\vskip 2mm

Значение в нуле выбрано в виде наименьшего целого числа, превышающего $L$, то есть $F(0)\!=\!5$. Тогда функцию $F$ можно интерпретировать как итерацию экспоненты с начальным значением 5:
\be
F(z)=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z)=\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^z(5) ~ ~ ~ ~ ~ 
\eL{expq2z5}
где индекс u указывает, что имеется в виду регулярная итерация, построенная на верхней (upper) стационарной точке. Для такой итерации требуется 
%В следующей секции для такой суперэкспоненты строится обратнная функция, то есть 
абельэкспонента $G\!=\!F^{-1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$. Эта абельэкспонента строится в следующей секции.

%В этой формуле экспонента по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ итерируется $z$ раз с начальным значением 5. Эта экспонента может итеритоваться не целое число раз, а произвольное; в частности, дробное или даже комплексное;.
% то есть  $z$ в формуле \rf{expq2z5} не имеет необходимости быть целым числом. 
%Для того, чтобы выразить (и вычислять) такие итерации, требуется соответствующая функция Абеля, или Абельфункция. 
%\footnote{Редактор попросила, чтобы первое издание Книги было по-русски. Но это место перевести не удалось:\\
%``In order to be able to evaluate the non-integer iterates, one needs also the Abel function''. Слова ``be able'' и ``the Abel'' звучат очень сходно; по крайней мере в тех случаях, когда их произносит человек, который до 10 лет вообще не говорил по-английски.
%To be able to enable\\
%Iteration pretty stable\\
%Second column of the Table\\
%Gives tools by Henryk Abel.
%}

\section{Абельфункция на стационарной точке $L\!=\!4$}
\baselineskip 19.6pt

Для того, чтобы вычислять нецелые итерации передаточной функции, рассмотренной выше, то есть экспоненты по основанию  $b\!=\!\sqrt{2}$,
% с любым начальным значением (а не только с начальным значением 5), 
требуется построить соответствующую абельфункцию $G\!=\!F^{-1}$, то есть обратить функцию $F$ в формуле  \rf{expq2z5}. Построение такой абельфункции описано ниже.
%в этой подсекции.
\vskip 2mm

Разложение для Абельфункции $g=f^{-1}$ можно получить, обращая 
%выражение  
асимптотику
\rf{q2Fz4}. Это дает для абельфункции $g$ разложение $\tilde g$, для которого
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\exp(k\tilde g(z))=\sum_{n=1}^{N-1} \, U_m \, (z\!-\!L)^n +  O(z\!-\!4)^N
\iL{q2Gz4} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
\label{expq2gass}
\ee
Для рассчета коэффициентов  $U$ следует отметить, что $U_0\!=\!0$; это означает, что стационарная точка в качестве аргумента должна уводить абельфункцию на бесконечность.
Далее, в соответствии с разложением \rf{q2Fz4}, $U_1\!=\!1$ и $U_2\!=\!-a_2$.
Пока коэффициенты $a$ представлены в символьном виде (то есть бесконечно точно), Математика или Клен без потери точности может вычислять по ним коэффициенты $U$ разложения  \rf{expq2gass}.
Функция, которая осуществляет такое преобразование, называется {\bf InverseSeries}.
%Вероятно, такая же функция есть и в других софтах, так что не обязательно привязываться именно к Математике или к Клену. 
В частности, 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
U_2\!=\!&\!\displaystyle ~ ~ \frac{\ln(2)/4}{1-2\ln(2)} &\!\approx\! -0.4485874311952612289
\label{eq2U2} \\
 \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
U_3\!=\! &\! \displaystyle \! \frac{\Big(1\!+\!4\ln(2)\Big) \ln(2)^2/24}{1\!-\!2\ln(2)\!-\!4\ln(2)^2\!+\!8\ln(2)^3} \!\!&\! \approx 0.21208912005491969757
\label{eq2U3}
\ee
Приближенные значения коэффициентов $U$ предложены в правом столбце таблицы 
\ref{tableq2a4}.
Эти же коэффициенты можно получить также и независимо от разложения для суперфункции, а именно, подставляя разложение 
\be
\tilde  g(z)=\frac{1}{k} \,  \ln\!\left( \sum_{n=1}^{N-1} \, U_m \, (z\!-\!L)^n +  O(z\!-\!4)^N \right)
\eL{eq2ga}
в уравнение Абеля
\be
g(\exp_b(z))=g(z)+1
\eL{eq2gass}
%Читатели приглашаются проверить формулы \rf{eq2U2},\rf{eq2U3}.
%, так как в оригинальных статьях есть опечатки). 
Для того, чтобы несколько термов разложения $\tilde g(z)$ по формуле \rf{eq2ga} умещались на экране или в тетради, имеет смысл ввести новую переменную для малого параметра $z\!-\!L\!=\!z\!-\!4$. Тогда первые коэффициенты $U$ в разложении \rf{expq2gass} можно найти даже без помощи компьютера.
%При работе вблизи положительной части вещественной оси, брать логарифм от произведения (а потом его же - от экспоненты), легко и приятно. (Как уже сказано в Предисловии, предполагается, что читатель знает, чем от интеграла отличается логарифм; то есть, есть надежда, что он сможет разложить логарифм в ряд Тэйлора вблизи единицы.)
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
\sx{2}{ \begin{picture}(208,205)
\put(6,5){\ing{sqrt2figL45e}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,00){\sx{.6}{$-10$}}
\put( 22,0){\sx{.6}{$-8$}}
\put( 42,0){\sx{.6}{$-6$}}
\put( 62,0){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 82,0){\sx{.6}{$-2$}}
\put(106,0){\sx{.6}{$0$}}
\put(126,0){\sx{.6}{$2$}}
\put(146,0){\sx{.6}{$4$}}
\put(166,0){\sx{.6}{$6$}}
\put(186,0){\sx{.6}{$8$}}
\put(203,0){\sx{.7}{$x$}}
\put(020,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(182,103.5){\sx{.99}{$v\!=\!0$}}
\put(97,200){\rot{-73}\sx{.99}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(175,182){\rot{12}\sx{.99}{$u\!=\!3.4$}\ero}
\put(182,153){\rot{-21}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(185,55){\rot{21}\sx{.99}{$u\!=\!3$}\ero}
\put(174,25){\rot{-13}\sx{.99}{$u\!=\!3.4$}\ero}
\put(103.4,15){\rot{71}\sx{.99}{$u\!=\!4$}\ero}
\put(074.6,29){\rot{42}\sx{.99}{$u\!=\!4.2$}\ero}
\put(059,60){\rot{7}\sx{.99}{$u\!=\!4.4$}\ero}
\put(160,189){\rot{-60}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(147,6){\rot{42}\sx{.99}{$v\!=\!-1$}\ero}
\put(42,163){\rot{64}\sx{.99}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(113,122){\rot{65}\sx{.99}{$v\!=\!2$}\ero}
\end{picture}} 
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figL45eT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large
%Карта абельэкспоненты по oснванию $\sqrt{2}$ 
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
по формуле \rf{eq2G} 
\label{sqrt2figL45e}}
\end{figure}
Первичное разложение $\tilde g(z)$ аппроксимирует абельфункцию $g(z)$ при $|z\!-\!4|\!<\!2$. 
Для иных значений, используется итерация с помощью уравнения Абеля. Абельфункция $G=F^{-1}$, карта которой показана на рисунке 
\ref{sqrt2figL45e}, получается как предел таких итераций:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z)=G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \tilde g \Big(\log_b(z\!-\!n)\Big)+n + x_{45}
\eL{eq2G}
\EN{where $x_{45}\approx -1.11520724513161$ is the same constant by equation \rf{x45} that appeared in the expansion of the superexponential $F$, F(0)\!=\!5$. In equation \rf{eq2G}, this constant provides condition $G(5)\!=\!0$, as it is supposed to be for the inverse function of $F$}%EN
где $x_{45}\approx -1.11520724513161$ есть та же самая константа,
%\rf{x45}, 
которая появилась в представлении для суперфункции $F$, чтобы обеспечить условие $F(0)\!=\!5$. 
В уравнениии \rf{eq2G}, эта константа обеспечивает условие  $G(5)\!=\!0$, которое должно выполняться для обратной функции от функции $F$.
\vskip 2mm

На рисунке \ref{sqrt2figL45e}, символ {\bf cut} указывает разрез области 
голоморфизма.
%аналитичности. 
Это общее правило: если некоторая нетривиальная голоморфная  функция не имеет особых точек, 
то хотя бы один разрез есть у её обратной функции. 
В случае функции  $G$, разрез идет вдоль вещественной оси от стационарной точки $L\!=\!4$ до минус бесконечности. В этой стационарной точке, абельфункция $G$ имеет логарифмическую особенность. Эта особенность соответствует экспоненциальному стремлению суперфункции $F$ к стационарной точке $L\!=\!4$ на минус бесконечности.
\vskip 2mm

Читатели приглашаются построить карту области, в которой выполняется соотношение
%\be
%F(G(z))=z
%\eL{FGzz}
%В более длинных обозначениях эта формула записывается так:
\be
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\Big(
\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z) \Big) = z
\eL{SuExpAuExpQ23}

%\section{Об обозначениях}

Ниже предлагается небольшое 
лирическое отступление про обозначения.
В этой Книге используются короткие имена
$Т$ для передаточной функции, 
$F$ для суперфункции и 
$G\!=\!F^{-1}$
для суперфункции в тех случаях, когда понятно, о какой передаточной функции идет речь и которая из суперфункций имеется в виду.
Такие краткие обозначения удобны, чтобы формула умещалась на одной строчке.
%Это особенно нужно после того, как Редактор предложила увеличить до трех сантиметров поля и увеличить по крайней мере до 14pt размер шрифта, которым печатается эта Книга (что сильно уменьшает количество символов, умещающихся на одной строчке и на одной странице). Однако некоторым функциям нужны и полные имена.
%\vskip 2mm
%В этой главе речь идет об основании $b\!=\!\sqrt{2}$, и используются краткие имена $F$ и $G$ для построенных здесь %суперэкспоненты и абельэкспоненты, неограниченно растущих при больших вещественных значениях аргумента. 
Однако, для того, чтобы на функции этой главы было удобно ссылаться и из других глав, предложены также более длинные имена 
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\!=\!F$ и
$\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\!=\!G$. Мнемоника этих имен проста. Первая буква указывает на то, что речь идет о суперфункции (Superfunction) или, соответственно об абельфункции (Abel function).
Вторая буква указывает на то, что использована наибольшая (``верхняя'', ``Upper'') стационарная точка передаточной функции. Последующие три символа указывают имя передаточной функции, exp. Для того, чтобы не путать такую запись с экспонентой, первая буква капитализирована, то есть сделана заглавной. Индекс указывает основание экспоненты 
и значение суперэкспоненты в нуле.
\vskip 2mm

%Я надеюсь, что такие обозначения не вызовут конфузий. Я готов рассмотреть также и иные варианты для этих названий, как только кто-либо их читателей и/или коллег предложит более удобные обозначения.
%\vskip 4pt
Длинные названия $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ и $\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ существенны для сравнения различных итераций экспоненты, предложенного в последующих главах. Для начала, в следующей секции рассмотрена такая итерация, которая неограниченно растет вдоль вещественной оси; поведение такой итерации экспоненты похоже на поведение итераций других функций, рассмотренных в предыдущих главах.

\section{Итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$}
\baselineskip 19.2pt
На основе суперфункции  и абельфункции, итерация номер $n$ экспоненты по основанию  $\sqrt{2}$
может быть предствлена так:
%по общей формуле 
%\be
%T^n(z)=(\exp_{\sqrt{2}})^n(z) = F\big(n+G(z)\big)
%\eL{exp45c}
%Применительно к неограниченно растущей суперфункции и абельфункции, я переписываю эту формулу в более универсальных обозначениях:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T^n(z) = \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~n}(z) =
\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5} \Big( n \!+\! \mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z)\Big)
\eL{q2Tn5}
Эта формула годится по крайней мере для $\Re(z)\!>\!4$, а практически (если выбрать верхний или нижний берег разреза функции $\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$) и для всей комплексной плоскости за исключением полупрямой $ z \!\le\!2$. Для вещественных значений аргумента, такие итерации показаны на рисунке \ref{iterEq2plot}.
%\vskip 2mm
\begin{figure}[t]
%\sx{.17}{\begin{picture}(1400,1400)
\sx{.3}{\begin{picture}(1400,1400)
\put(1,1){\ing{IterEq2plot}} 
\put(11,1384){\sx{4.4}{$y$}} 
\put(04,1290){\sx{4}{$13$}} 
\put(04,1190){\sx{4}{$12$}} 
\put(04,1090){\sx{4}{$11$}} 
\put(04,990){\sx{4}{$10$}} 
\put(11,890){\sx{4}{$9$}} 
\put(11,790){\sx{4}{$8$}} 
\put(11,690){\sx{4}{$7$}} 
\put(11,590){\sx{4}{$6$}} 
\put(11,490){\sx{4}{$5$}} 
\put(11,390){\sx{4}{$4$}} 
\put(11,290){\sx{4}{$3$}} 
\put(11,190){\sx{4}{$2$}} 
\put(11,090){\sx{4}{$1$}} 
\put(91,6){\sx{4}{$1$}} 
\put(191,6){\sx{4}{$2$}} 
\put(291,6){\sx{4}{$3$}} 
\put(391,6){\sx{4}{$4$}} 
\put(492,6){\sx{4}{$5$}} 
\put(592,6){\sx{4}{$6$}} 
\put(693,6){\sx{4}{$7$}} 
\put(794,6){\sx{4}{$8$}} 
\put(894,6){\sx{4}{$9$}} 
\put(982,6){\sx{4}{$10$}} 
\put(1082,6){\sx{4}{$11$}} 
\put(1182,6){\sx{4}{$12$}} 
\put(1282,6){\sx{4}{$13$}} 
\put(1380,6){\sx{4.4}{$x$}} 
\put(416,1158){\sx{5}{\rot{90}$n\!\rightarrow \! \infty$\ero}} 
\put(518,1250){\sx{5}{\rot{88}$n\!=\!3$\ero}}
\put(590,1250){\sx{5}{\rot{84}$n\!=\!2$\ero}}
\put(750,1250){\sx{5}{\rot{78}$n\!=\!1$\ero}}
\put(800,1240){\sx{5}{\rot{74}$n\!=\!0.8$\ero}}
\put(872,1240){\sx{5}{\rot{71}$n\!=\!0.6$\ero}}
\put(961,1240){\sx{5}{\rot{64}$n\!=\!0.4$\ero}}
\put(1084,1240){\sx{5}{\rot{54}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(1172,1152){\sx{5.5}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}}
\put(1230,1040){\sx{5}{\rot{34}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(1210, 912){\sx{5}{\rot{26}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(1204, 824){\sx{5}{\rot{19}$n\!=\!-0.6$\ero}}
\put(1200, 758){\sx{5}{\rot{15}$n\!=\!-0.8$\ero}}
\put(1210, 707){\sx{5}{\rot{11}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(1234, 558){\sx{5}{\rot{4}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(1234, 492){\sx{5}{\rot{2}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(694, 1032){\sx{6.6}{\rot{72}$y\!=\!b^x$\ero}}
\put(870,610){\sx{6}{\rot{16}$y\!=\!\log_b(x)$\ero}}
\put(825,510){\sx{6}{\rot{6}$y\!=\!\log_b^{~2}(x)$\ero}}
\put(600,200){\sx{11}{$b\!=\!\sqrt{2}$}}
\put(872,852){\sx{6}{\rot{44}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(1180,374){\sx{5}{\rot{0.1}$n\!\rightarrow\!-\infty$\ero}} 
\end{picture}}
\vskip -2pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterEq2plotT.jpg}
\vskip -8pt
\caption{\large
% Слева: Итерации экспоненты по основанию $b=\sqrt{2}$ от вещественного аргумента; 
$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ n}(x)$ по формуле  
\rf{q2Tn5}
%\rf{exp45c} 
для различных $n$. 
%Справа:
%Карта функции $T^{1/2}$ по формуле \rf{Eq2T12} ; $u+\mathrm i v=T^{1/2}(x+\mathrm i y)$. 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FacitT.jpg} 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Esqrt2ite12mapT80.jpg}
%\iL{Esqrt2ite12Map} ~ ~ ~ ~
\iL{iterEq2plot}}
%\vskip -2mm
\end{figure}
%Это растущая итерация экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$.
Эти итерации монотонно растут.
\vskip 2mm

Для $n\!=\!1/2$, комплексная карта этой функция показана на рисунке %This function is shown in figure 
\ref{iterEq2map}. Это половинная итерация экспоненты.
% \vskip 2mm
\begin{figure}[t]
\sx{2}{ \begin{picture}(202,202) 
\put(6,5){\ing{esqrt2ite12map}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,-1){\sx{.7}{$-\!10$}}
\put( 22,-1){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 42,-1){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 62,-1){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 82,-1){\sx{.7}{$-2$}}
\put(106,-1){\sx{.7}{$0$}}
\put(126,-1){\sx{.7}{$2$}}
\put(146,-1){\sx{.7}{$4$}}
\put(166,-1){\sx{.7}{$6$}}
\put(186,-1){\sx{.7}{$8$}}
\put(204,-1){\sx{.7}{$x$}}
\put(056,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(179,135.6){\sx{.9}{\rot{-19}$v\!=\!6$\ero}}
\put(175,126){\sx{.9}{\rot{-14}$v\!=\!4$\ero}}
\put(173,116){\sx{.9}{\rot{-10}$v\!=\!2$\ero}}
\put(172,103.2){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\put(172,091.7){\sx{.9}{\rot{6}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(174,080.4){\sx{.9}{\rot{12}$v\!=\!-4$\ero}}
\put(066,161){\sx{.9}{\rot{4}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(076,138.4){\sx{.9}{\rot{25}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(098,121){\sx{.9}{\rot{54}$u\!=\!0$\ero}}
\put(116.4,114){\sx{.9}{\rot{68}$u\!=\!1$\ero}}
\put(129.8,110){\sx{.9}{\rot{76}$u\!=\!2$\ero}}
\put(149.6,105){\sx{.9}{\rot{81}$u\!=\!4$\ero}}
\put(164.4,103){\sx{.9}{\rot{83}$u\!=\!6$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 20pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Esqrt2ite12mapT80.jpg}
\vskip -9pt
\caption{\large
%Слева: Итерации экспоненты по основанию $b=\sqrt{2}$ от вещественного аргумента; $T^n(x)$ по формуле  \rf{exp45c} для различных значений $n$. Справа:
%Карта функции $T^{1/2}$ по формуле \rf{Eq2T12} ; 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!T^{1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{Eq2T12}.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FacitT.jpg} 
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Esqrt2ite12mapT80.jpg}
%\iL{Esqrt2ite12Map} ~ ~ ~ ~
\iL{iterEq2map}}
\vskip -2mm
\end{figure}

%Для того, чтобы не спутать такие итерации с иными, рассмотренными ниже в главах про тетрацию,
%Имеет смысл использовать несколько более длинные и более универсальные обозначения, 
%SuExp и AuExp для растущей суперэкспоненты и соответствующей абелэкспоненты. Эти обозначения позволят избежать путаницы в последующих главах при сравнении с иными итерациями такой экспоненты (построенными на её иной стационарной точке).
%В ``универсальных'' обозначениях, и
Итерацию, показанную на рисунке  \ref{iterEq2map}, можно записать так:
\be \!\!\!\!\!\!\!
T^{1/2}(z)
\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{1/2}
\!=\!F\!\left(\!\frac{1}{2}\!+\!G(z)\!\right)
\!=\!
\mathrm{SuExp}_{\!\sqrt{2},5}\!\left(\!\frac{1}{2} \!+\! \mathrm{AuExp}_{\!\sqrt{2},5}(z)\!\right)
\label{Eq2T12}
\ee
Символ $u$ в индексе указывает, что для регулярной итерации экспоненты использована б\'oльшая (высшая, ``upper'') среди её вещественных стационарных точек.
\vskip 2mm

Абельфункция $G$, построенная на стационарной точке $L\!=\!4$, имеет в этой точке логарифмическую особенность и, соответственно, точку ветвления. Однако, суперфункция $F$ периодична; эта периодичность ``нейтрализует'' ветвление, и поэтому итерация передаточной функции в этой точке особенности не имеет.
При этом в другой стационарной точке имеется ещё одна точа ветвления, которая  периодичностью суперфункции не нейтрализуется.
Поэтому нецелые итерации передаточной функции, построенные по формуле \rf{q2Tn5}, имеют только одну точку ветвления, а именно, 2. Функция $T^{1/2}(z)$ по формуле \rf{Eq2T12} голоморфна в комплексной плоскости с разрезом $z\!\le\!2$.
%В качестве примера нецелой итерации, карта соответствующей половинной итерации экспоненты  по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$  построена на рисунке
\vskip 2mm

Примерно так же, как в этой секции построены итерации экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ на стационарной точке $L\!=\!4$, можно строить итерации и на другой стационарной точке, $L\!=\!2$, и для нецелых итераций получаются, вообще говоря, разные функции. Поэтому, если у передаточной функции есть более одной вещественной стационарной точки, то при нецелом итерировании 
желательно указывать, к которой из стационарных точек относится итерация. 
\vskip 2mm

\section{Результаты этой главы}
Теперь я постараюсь собрать основные результаты этой главы.
Для функций этой главы используются обозначения 
\be
F&=&\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}  \\
G&=&\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\\
\exp_b^{~n}&=&\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~n}  ~ ~ ~ ~ ~ ~ \iL{expbc}\label{expbn}
\ee
Первые буквы S и A использованных имен указывают, что речь идет о суперфункции или об абельфункции от экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. Вторая буква названия указывает, что использована верхняя (upper)  стационарная точка такой экспоненты. Цифра 5 в индексе указывает значение в нуле, выбранное для суперфункции.
В случая итерации экспоненты, результат не зависит от того, какое значение выбрано в нуле (предполагается, что $G\!=\!F^{-1}$), и поэтому в формуле \rf{expbc} значение суперфункции в нуле можно не указывать.
\vskip 2mm

Возможность итерирования какой попало функции сильно расширяет инструментарий доступных голоморфных функций. В частности, нецелые итерации экспоненты или факториала могут использоваться для описания процессов, растущих быстрее любой степенной функции, но медленнее любой растущей экспоненциальной функции. Формализм суперфункций %как важное достижение, которое 
может вывести теорию и практику аппроксимации (то есть моделирования) физических процессов на качественно новый уровень.

\section{Большой камень}
\baselineskip 20pt

Путешественник или восходитель, вскарабкавшийся на хребет или каменистый перевал, и чуток оборзевший от тяжёлого подъема, может обозреть дальнейший путь. Так же Читатель (а также и автор), прочтя, как получилось изложение регулярной итерации, может обозреть, какие ещё случаи итераций можно (и нужно) рассмотреть. Такое обозрение предлагается ниже.
\vskip 2mm

В этой секции представлен своего рода ``промежуточный финиш''. То есть обзор нескольких глав Книги.
Представленные выше результаты могут создать впечатление, что изучение итераций, суперфункций и абельфункций закончено, и осталось только применять общую формулу регулярной итерации к всяческим специальным функциям. Однако это не совсем так,  и построенная выше ``регулярная итерация'' работает не всегда. Чтобы указать на это, я пишу эту секцию.
\vskip 2mm

Итерации быстро растущих функций ведут себя похожим образом. Можно сравнить рисунок  \ref{iterEq2plot} с рисунком 
%\ref{IterPowPlot}
\ref{IterPowPlotA} 
%4.11 ???
для итераций степенной функции и с рисунком \ref{facit} для итераций факториала. 
Итерации степенной функции выражаются через степенную же функцию (с другим показателем),
Итерации рациональной функции выражаются рациональнуп же функцию (с другими параметрами).
Однало для многих других передаточных функций аналогичных представлений для итераций нет.
При этом многие свойства суперфункций, то есть поведение на бесконечности, периодичность, голоморфизм и т.п., для разных случаев сходны. На основе такого сходства было предложено 
%достаточно 
нахальное утверждение, что я умею строить физически-осмысленные суперфункции, соответствующие абельфункции и, соответственно, нецелые итерации для какой попало возрастающей вещественно-голоморфной передаточной функции.
\vskip 2mm

%И что, мало того, я берусь научить всех коллег строить такие суперфункции, абельфункции и нецелые итерации.
С тех пор я сравниваю себя Богом Всемогущим, и задаюсь вопросом о том, может ли такой Бог создать столь большой камень, что сам не сможет сдвинуть его с места. То есть пытаюсь придумать такую голоморфную передаточную функцию, для которой я не могу построить физически-осмысленную суперфункцию.
\vskip 2mm

В качестве кандидата на упомянутый 
%в предыдущем параграфе "
``камень'' можно рассмотреть какую-нибудь передаточную функцию с сингулярностью, с тем, чтобы при применении передаточной функции к значениям суперфункции получались значения, которые заставляет функцию ``скакать'' 
через её сингулярность.
%через её сингулярность. БАД
При этом алгоритм наткнется на необходимость вычислять передаточную функцию от значения, которое не входит в область её голоморфизма, и вместо суперфункции выдаст сообщение об ошибке.
%``Извините'', или ``Ни фигась?!'', или даже нечто ещё менее цензурное, в соответствии с фантазиями программиста, предусмотревшего такую возможность.
То есть я не смогу предложить итерацию, которая непрерывным (голоморфным) образом переходит через  сингулярность передаточной фукции и буду вынужден признать, что мое заявление про ``какую попало функцию'' слишком претенциозно. И оппоненты восторжествуют.
\vskip 2mm

\JP{
%\begin{wrapfigure}[19]{right}{300px}
%\sx{.4}{\begin{picture}(500,400)
%\put(0,0){\ing{stone}}
%\end{picture}}
\begin{wrapfigure}[14]{right}{268px}
%\begin{wrapfigure}{right}{268px}
\sx{.36}{\begin{picture}(500,390)
\put(0,0){\ing{stone}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Может ли Бог создать камень такой большой, что сам не сможет сдвинуть его с места? 
%(Ответ: конечно, может, если вооружится верным и всесильным учением Маркса) 
\label{stone}} \vskip -2pt
\end{wrapfigure} }%JP
Простым примером упомянутой сингулярной передаточной функции является $T(z)=-1/z$, рассмотренная в Главе 4. Такая функция растет, и столь быстро, что в нуле имеет сингулярность, и непрерывная (и голоморфная) итерация сквозь эту сингулярность могла бы вызвать трудности. Впрочем, оказалось, что именно для этого случая суперфункция не только существует, но выражается в терминах элементарных функций. 
\vskip 2mm

В принципе, 
сингулярную 
передаточную функцию можно модифицировать, чтобы её запись становилась сложнее, чтобы я запутался в алгебре, и декларировал такую передаточную функцию как ``нерешабельную''. Вероятно, такая передаточная функция будет иметь точки ветвления, чтобы алгоритм не смог обойти сингулярности, а попытки использовать интеграл Коши 
\footnote{Суть формулы Коши в том, что $F(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint \frac{F(t)\, \mathrm d\, t}{t-z}$ . Коши (кошки) обходят ``свою'' территорию по замкнутому контуру; если на этом контуре с функцией всё в порядке, то коши считают, что и внутри контура всё тоже слава Богу. Эта концепция является научной и имеет ограниченную область применимости; она применима только для голоморфных функций $F$. 
%В других случаях обычно имеет место обратный принцип, а именно: {\em Если где-то всё ``Слава Богу!'', то где-то - ``Не дай Бог!''}
}, расмотренный ниже (см. формулу \rf{Cauchi}),
натыкались на %соответствующие 
разрезы области голоморфизма. Тогда можно будет говорить, что эта передаточная функция и есть камень, который Бог не может сдвинуть с места. И я буду вынужден признать, что оппоненты закинули в мой огород Оочень большой камень. 
%, как это показано на рисунке \ref{stone}.
\vskip 2mm

В качестве других 
%нерешабельных 
примеров можно предложить %построение вещественно-голоморфной суперфункции для 
передаточную функцию, которая не имеет удобных для рассчетов стационарных точек; тогда регулярная итерация, предложенная в этой секции, не применима. %дает простой и эффективный алгоритм.
Простым примером функции с ``неудобными'' стационарными точками является экспонента по основанию 
$b\!>\!\exp(1/\mathrm  e)$, и, в частности, натуральная экспонента, которая получается при $b\!=\!\mathrm e$. 
То есть передаточная функция $\mathrm T\!=\!\exp$.
\vskip 2mm

Исторически получилось так, что именно для натуральной экспоненты комплексная карта суперфункции, а именно 
-
тетрации \cite{analuxp}, оказалась построена раньше, чем для других оснований $b$.
После этого встал вопрос о применимости использованного при этом алгоритма для случаев $0\!<\! b\! \le\! \exp(1/\mathrm e)$. 
Алгоритм оказался не применимым, и пришлось строить формализм регулярной итерации, предложенный в этой главе. 
Этот алгоритм оказался проще, чем формализм для натуральной тетрации \cite{analuxp}, и поэтому в этой Книге изложен раньше. Как указано в Предисловии, для этой Книги я сразу и категорично отвергаю исторический порядок изложения,
хотя упорядочиваю цитируемую литературу в хронологическом порядке.
\vskip 2mm

Профессиональные историки могут поднять работы 
Абеля \cite{abel},
Фато \cite{fatou}, 
Кнезера \cite{kneser},
Сзекереса \cite{szekeres},
Экале \cite{ecale}
и других коллег, чтобы представить исторический процесс создания аппарата суперфункций во всех 
%волнующих 
%и возбуждающох 
%деталях и 
деликатных подробностях.
Я надеюсь, что в цивилизованных странах цензура не будет препятствовать публикации и распространению подробной монографии по истории создания суперфункций. Однако это всё-таки ``совсем другая история''
\cite{ponedelnik}, и такая история выходит за рамки декларированной темы этой Книги. 
%Таким образом, 
Я оставляю историю создания формализма суперфункций для соответствующих узких специалистов
\footnote{Узкая специализация вполне соответствует общему направлению развития человеческой цивилизации. %Говорят, что в
В современных больницах даже клизму ставят два специалиста: один их них знает, как, а другой - куда.}.
\vskip 2mm

Таким образом, я начинаю с совсем простого, и торжественно заявляю: предложенный выше метод построения суперфункции и абельфункции (и нецелых итераций) не универсален.
Может статься, что передаточная функция хоть и имеет вещественную стационарную точку, но применение регулярной итерации, как она изложена выше, невозможно, так как знаменатели формул \rf{a2.39} принимают значение ноль.
Такой случай рассмотрен в следующей главе.
%Один из таких случаев рассмотрен в следующей главе.
% точек, или что стационарные точки есть
\JP{
\vskip 2mm

Случаев, когда регулярная итерация ``не работает'', много. Поэтому глав потренуется ещё много.
В упомянутом выше примере с натуральной экспонентой, передаточная функция имеет комплексные стационарные точки. Две из них выбраны в качестве асимптотических значений суперфункции на бесконечности. Такой выбор позволяет построить вещественно-голоморфную суперфункцию, вещественно-голоморфную абельфункцию и, соответственно, выразить нецелые итерации в виде вещестенно-голоморфных функций. Этому ниже посвящена специальная глава.
\vskip 2mm

В упомянутом выше примере с натуральной экспонентой, передаточная функция имеет комплексные стационарные точки. Две из них выбраны в качестве асимптотических значений суперфункции на бесконечности. Такой выбор позволяет построить вещественно-голоморфную суперфункцию, вещественно-голоморфную абельфункцию и, соответственно, выразить нецелые итерации в виде вещестенно-голоморфных функций. Этому в Книге также посвящена специальная глава.
\vskip 2mm

Может статься, что передаточная функция вовсе не имеет стационарных точек. Пример такой функции также рассмотрен в специальной главе. 
\vskip 2mm

На таком многообещающем экскурсе я заканчиваю промежуточное обозрение перспектив будущего изложения и перехожу к следующей главе, а именно, про экзотические итерации, когда вещественно голоморфная передаточная функция имеет стационарную точку, но её производная в этой точке равна единице. %, и подход этой главы не может быть применен как есть.

%\chapter{tesssss Экзотические итерации}
}%JP

\chapter{~ Экзотические итерации}
\vskip 21pt

Регулярная итерация по формулам \rf{Lea2general}-\rf{regi} не является универсальным способом построения суперфункции. В частности, 
разложение \rf{Lea2general} становится недопустимым,  когда производная передаточной функции в стационарной точке становится единицей, то есть
\be
T(L)=L~&,&~~T'(L)=1
\eL{Tprimeu}
При этом выражение $T'\!-\!1=T'(L)\!-\!1$ в знаменателе правой части формулы \rf{a2.39} обращается в ноль, лишая смысла коэффициенты в разложении  \rf{Lea2general}. Такое совпадение можно назвать экзотикой (рис. \ref{exoti}); это определяет название главы.
\vskip 2mm

На основе указанного выше обстоятельства, ожидалось, что вычисление суперфункций для случая $T^{\prime}(L)\!=\!1$ будет сложным, медленным и с большой погрешностью.
В этой главе показано, что эффективные способы вычисления суперфункций, абельфункций, и, соответственно, нецелых итераций существуют и для этого случая. %, как и случай регулшрной хотя и не тривиальный, но не безнадежный с точки зрения построения эффективного алгоритма для вычисления суперфункций.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\sx{.6}{\begin{picture}(300,250)
%\put(0,0){\ing{exotica1}}
%\put(0,0){\ing{exotica1}}
\put(0,0){\ing{exo1}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{Экзотикой называется то, что встречается нечасто, если вообще \label{exoti}}
%\caption{экзотика \iL{exо1}}
\end{figure}

\section{Единичая производная}
\baselineskip 19.4pt

В этой секции показано, как по коэффициентам разложения передаточной функции в стационарной точке построить алгоритм для вычисления суперфункции.  \JP{
Эта секция, вероятно, наиболее проста для понимания. Дело в том, что
когда пишется эта подсекция, у меня сдох компьютер с Математикой.
Переговоры с Вольфрамом относительно переиначивания лицензии на другой компьютер требуют определенной моральной концентрации, и я решил сперва дописать Книгу. Поэтому формулы этой подсекции пишутся вручную; то есть для общего случая подсчитано всего два коэффициента. Оправданием является соответствие с формулами, полученными ранее, и, в частности, для случая тетрации по основанию $\exp(1/mathrm e)$ \cite{e1e}. %Таким образом,
При этом формулы особенно кратки и этим могут понравиться читателю. Разумеется, для быстрых рассчетов с 14ю десятичными знаками желательно загрузить какой-либо мощный пакет и аккуратно оценить порядка десятка коэффициентов разложения. Однако, если эти формулу получены без привлечения технических средств, то у читателя есть надежда, что проверить их тоже можно без технических средств, то есть с карандашом и бумагой.}%
%\vskip 2mm
Для простоты предположим, что стационарная точка равна нулю, то есть $L\!=\!0$.
Если это условие по каким-либо причинам не выполнено, то суперфункцию $F$ можно представить в виде 
\be
F(z)=f(z)+L
\eL{FfL}
и тогда для функции $f$ получаются формулы
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
f(z\!+\!1)=F(z\!+\!1)-L=T(F(z))\!-\!L=T(L\!+\!f(z))-L
\label{FfL1}
\ee
При этом можно определить
\be
T_{\mathrm {new}}(z)= T(L+z)-L
\ee
и интерпретировать эту $T_{\mathrm {new}}$ как новую передаточную функцию, для которой $f$ будет суперфункцией.
В дальнейшем, в этой секции, индекс $_{\mathrm {new}}$ не пишется. Фактически предполагается, что 
\be
T(0)=0
\ee
\vskip 2mm

Пусть разложение Тэйлора передаточной функции в нуле имеет вид
\be
T(z)= z+ v z^2 + w z^3 + ..
\eL{TExpan}
причём $v\!\ne \!0$.
Для такой передаточной функции невозможно построить суперфункцию, на бесконечности экспоненциально стремящуюся к нулю.
Однако можно построить функцию, которая убывает примерно как обратная пропорциональная зависимость. Пусть 
\be
f(z)= \frac{a}{z}+\frac{b \ell}{z^2}+\frac{\alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma}{z^3} + ..
\eL{FExpan}
$a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ суть константы, a $\ell\!=\!\ln(z)$. 
Ниже показано, как, зная коэффициенты $v$ и $w$ разложения \rf{TExpan} передаточной функции, найти коэффициенты $a$ и $b$ в разложении \rf{FExpan}.
% (Но не коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$) ; для них необходимо указать следующие коэффициенты в разложении  \rf{TExpan}; желательно также перенести Математику на работающий компьютер.)
\vskip 3mm

Для преобразования аргумента $z\mapsto z\!+\!1$, преобразование выражений в 
асимптотическом представлении \rf{FExpan}
%передаточном уравнении 
осуществляется следующим образом:
\be
\frac{1}{z}&\mapsto& \frac{1}{z\!+\!1}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{\!-1}= \frac{1}{z}- \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{z^3}+ ..\\
\frac{1}{z^2}&\mapsto& \frac{1}{(z\!+\!1)^2}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{\!-2}= \frac{1}{z}- \frac{2}{z^2}+ \frac{3}{z^3}+ ..\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!   \rule{0pt}{28pt}
\ell\!=\!\ln(z) &\mapsto& \ln(z\!+\!1)=\ln\!\left( z \cdot\left (1+\frac{1}{z} \right) \right) \nonumber\\
&& ~ ~ ~ ~=\ln(z)+\ln\!\left (1+\frac{1}{z} \right)  %\nonumber\\ && 
=  \ell + \frac{1}{z}- \frac{1}{2z^2}+ ..
\ee
С этими заготовками, левая часть передаточного уравнения
\be
f(z\!+\!1)=T(f(z))
\eL{transff}
записывается в таком виде:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
f(z\!+\!1)\!=\!&\!\! \displaystyle \frac{a}{z}-\frac{a}{z^2}+\frac{a}{z^3}+\frac{b \ell+b/z}{z^2}\left(1-\frac{2}{z}\right)+ \frac{\alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma}{z^3} + .. ~ ~ ~ ~ ~ ~ \nonumber\\
=\!&\!\!\!\!\!\!\!\! \displaystyle  \frac{a}{z}+\frac{1}{z^2} \Big(\! -\!a\! +\! b \ell \Big)+\frac{1}{z^3} \Big(\!a\!+\!b - 2b\ell + \alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma  \Big) + .. 
\label{fplus1ttp}
\ee
Тогда правая часть уравнения \rf{transff} записывается так:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T(f(z))= %\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
 \displaystyle \frac{a}{z}+\frac{ b \ell}{z^2}+ \frac{  \alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma }{z^3}+ v\cdot\left(\frac{a}{z}+\frac{b\ell}{z^2}\right) + .. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  \nonumber\\
\displaystyle =\!
%\frac{a}{z} + \frac{1}{z^2}\Big( b \ell +v a^2 \Big) 
\frac{a}{z} + \frac{1}{z^2}\Big( b \ell +b a^2 \Big) 
+ \frac{1}{z^3}\Big( \alpha \ell^2\!+\!\beta \ell\!+\!\gamma\! +\! 2 v a b \ell \!+\! w a^3 \Big)+\!.. 
\label{fplus1tt}
\ee
Следует приравнять правые части уравнений \rf{fplus1ttp} и \rf{fplus1tt}.
Коэффициенты при  $\frac{1}{z}$ совпадают сами.
Для того, чтобы совпадали коэффициенты  при  $\frac{1}{z^2}$, следует потребовать, чтобы
\be
 -a  = va^2
\eL{ava2}
Для того, чтобы совпадали коэффициенты  при  $\frac{1}{z^3}$, следует потребовать, чтобы
\be
 a+b-2b\ell  = 2 v a b \ell + w a^3
\eL{f1tttttt}
Ввиду того, что $\ell=\ln(z)$, то есть зависит от $z$, а уравнение \rf{f1tttttt} должно иметь место для разных $z$, из этого уравнения получаются два 
требования:
%уравнения:
\be
 -2b  = 2 v a b 
 \eL{again}
которое, при $b\!\ne\! 0$, дает то же, что и \rf{ava2}, а также
\be
 a+b=w a^3
\eL{f1tttt}
Решая эти уравнения, получаю:
\be
a=\frac{-1}{v} ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~ b=\frac{-w}{v^3}+\frac{1}{v} 
\eL{avbwv}
%Таким образом к
Коэффициенты асимптотического разложения \rf{FExpan} 
%$f$ 
определяются коэффициентами разложения
\rf{TExpan} передаточной функции. 
\vskip 2mm

Далее, как в случае обычной регулярной итерации, асимптотическое решение распространяется на всю комплексую плоскость применением одной из формул
\be
f(z)=T^n\Big(f(z-n)\Big)
\eL{iterA}
или
\be
f(z)=T^{-n}\Big(f(z+n)\Big)
\eL{iterB}
с тем, чтобы сделать аргумент суперфункции большим, приводя его в область, где асимптотическое разложение 
\rf{FExpan} дает требуемую точность. Выбор одной из формул \rf{iterA} или \rf{iterB} определяет разрезы получаемой функции.  Для того, чтобы изменить направление линии разреза, может потребоваться заменить  $\ell=\ln(z)$ на $\ell=\ln(-z)$.
\vskip 3mm

В принципе, с даже с двумя слагаемыми, такое представление суперфункции позволяет строить качественные карты суперфункций в реальном времени. Вероятно, такое представление достаточно для применений в физике и других науках, где точность измерения передаточной функции обычно существенно меньше 14 значащих цифр. 
\vskip 3mm

Для проверочных рассчетов с высокой точностью желательно подсчитать ещё несколько коэффициентов разложения суперфункции, тогда параметр $n$ можно брать меньше и погрешность уменьшается. С помощью пакета ``Mathematica'', десятки коэффициентов в разложении \rf{FExpan} могут быть вычислены. 
Затем, через уравнения \rf{iterA} или \rf{iterB}, асимптотическое представление решения определяет точную суперфункцию и распространяется на всю (или почти всю) комплексную плоскость.

%Такое решение предполагает, что коэффициент $b$ в разложении \rf{FExpan} отличен от нуля.
%Один из специальных случаев, когда это не так, а именно, $T\!=\!\sin$, рассмтрен в специальной главе.

\section{Отличная от нуля стационарная точка}
\baselineskip 19pt

Формулы предыдущей секции  написаны для передаточной функции, стационарнарной точкой которой является ноль, и производная в этой стационарной функции в нуле равна единице.
При этом упомянуто, что эти формулы допускают обобщение на случай, когда стационарная точка  не равна нулю. Такой случай рассмотрен ниже.
\vskip 2mm

Допустим, требуется построить суперфункцию $\mathcal F$ для передаточной функции $\mathcal T$, которая на бесконечности стремится к её стационарной точке $\mathcal L$, 
то есть
$\mathcal T(\mathcal L)=\mathcal L$,
и при этом $\mathcal T^\prime(\mathcal L)=1$.
\vskip 2mm

Пусть новая передаточная функция $T$ связана с исходной передаточной функцией $\mathcal T$ соотношением
\be
T(z)=\mathcal T(z+\mathcal L) -L
\eL{TzTzL}
Если $\mathcal L$ есть стационарная точка передаточной  функции $\mathcal T$,
то  $L=0$ есть стационарная точка передаточной  функции $T$.

Суперфункция $\mathcal F$ для передаточной функции $\mathcal T$ 
\be
F(z)=\mathcal F(z)-\mathcal L
\eL{FzFzL}
%Таким же 
Схожим
образом преобразуется и
%обратная функция, то есть 
абельфункция  $G=F^{-1}$:
\be
G(z)=\mathcal G(z+\mathcal L)
\eL{GzGzL}
Читатель может проверить, что если в некоторой области значений $z$ выполняется
$F(G(z))\!=\!1$, то и в некоторой области значений $z$ выполняется
$\mathcal F(\mathcal G(z))\!=\!1$, и наоборот.
Таким образом, рассмотрения случая $T(L)\!=\!L$, $T^{\prime}(L)\!=\!1$ сводится к рассмотрению случая
 $T(0)\!=\!0$, $T^{\prime}(0)\!=\!1$, рассмотренного в предыдущей секции.
\vskip 2mm

\JP{
Таким образом, угаданная асимптотика суперфункции позволяет быстро и аккуратно вычислять её, не напрягая особенно компьютер. Такой способ вычисления представляется порядков на 10 более эффективным, чем иные алгоритмы, которые удалось скачать из интернета.
Как это указано в Предисловии, такую неэффективность алгоритмов, рассмотренных в плоть до 2009 года, я считаю достаточным основанием и оправданием для того, чтобы не рассматривать и не описывать алгоритмы, предложенные коллегами, по крайней мере в этой книге. Если кто-либо их коллег предложит представление, которое ещё хотя бы на порядок величины эффективнее предложенного выше; то он, в свою очередь, может игнорировать представление этой секции как антикварное и не эффективное. 
\vskip 2mm 
}%JP

В следующей главе, предложенные здесь формулы применяются для вычисления суперфункции экспоненты по основанию
$b\!=\! \exp(1/\mathrm e)$. %\approx 1.444667861009$.
Этот случай рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна, и константу $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786101$ можно назвать константой Генрика или основанием Генрика 
\footnote
{ Название ``{\bf Основание Генрика}'' несколько двусмысленно, примерно как ``{\bf Защита Лужина}'', или ``{\bf Изобретение Вальса}'', или комбинация ``{\bf РОЙ МЕДВЕДЕВ --- Они кружились вокруг Сталина}''.
Вероятно, удачное название и должно быть двусмысленым, чтобы читатель подумал, как бы такое защитить Лужина, или о том, где и когда изобретён Вальс, или представил себе медведей (или даже ``медведёв''), которые, как пчёлы, роем кружат вокруг Сталина,
% как это показано на рисунке \ref{roy}, 
или попытался вспомнить,  кто и как основал Генрика. }. Карта такой экспоненты, карта её обратной функции и явный график для вещественных значений аргумента показаны в следующей главе на рисункax  11.2, 11.3, \ref{expe1eplot}. 

\JP{
\begin{figure}[h]
%\sx{.8}{\begin{picture}(600,500)
\begin{center}
\sx{.5}{\begin{picture}(600,600)
\put(0,0){\ing{roy}}
\end{picture}}
\end{center}
\caption{РОЙ МЕДВЕДЕВ, кружатся вокруг Сталина \label{roy}}
\end{figure}
}

\chapter{~ Экспонента по основанию $\exp(1/\mathrm e)$}
\baselineskip 20.6pt

%\begin{wrapfigure}{r}{340pt}
\begin{figure}[h]
\normalsize
%\sx{.41}{\begin{picture}(1202,850)
%\sx{.28}{\begin{picture}(1202,850)
\sx{.344}{\begin{picture}(1202,820)
\put(590,792){\sx{4.2}{$y$}}
\put(590,698){\sx{4.2}{$7$}} 
\put(590,598){\sx{4.2}{$6$}}
\put(590,498){\sx{4.2}{$5$}}
\put(590,398){\sx{4.2}{$4$}}
\put(590,298){\sx{4.2}{$3$}}
\put(620,274){\sx{4.2}{$\mathrm e$}}
\put(590,198){\sx{4.2}{$2$}}
\put(590,098){\sx{4.2}{$1$}}
\put(080,-22){\sx{4}{$-5$}}
\put(180,-22){\sx{4}{$-4$}}
\put(281,-22){\sx{4}{$-3$}}
\put(381,-22){\sx{4}{$-2$}}
\put(482,-22){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(703.7,-22){\sx{4}{$1$}}
\put(803.8,-22){\sx{4}{$2$}}
\put(877.,16){\sx{4}{$\mathrm e$}}
\put(903.9,-22){\sx{4}{$3$}}
\put(1004.0,-22){\sx{4}{$4$}}
\put(1104.1,-22){\sx{4}{$5$}}
%\put(1192.2,-22){\sx{4.3}{$x$}}
\put(1196,-22){\sx{4.3}{$x$}}
%\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
\put(1118,678){\sx{4.5}{\rot{69}$y\!=\!\eta^x$\ero}}
%\put(1076,606){\sx{4.1}{\rot{67}$y\!=\!\exp_{\eta}(x)$\ero}}
%\put(1100,520){\sx{4}{\rot{62}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1130,550){\sx{4}{\rot{61}$y\!=\!(\sqrt{2})^x$\ero}}
\put(1134,488){\sx{5}{\rot{45.1}$y\!=\!x$\ero}}
\put(10,10){\ing{expe1eplot}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\hskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $y\!=\! b^x$
%Экспонента вещественного аргумента 
для %оснований
$~b\!=\!\eta\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!\approx\! 1.44466786~$ и 
$~b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\!
1.41421356$  
\label{expe1eplot}}  
\vskip 4pt
\end{figure}

В этой главе рассмотрен специальный случай экспоненты по основанию $b\!=\!\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786~$. То есть речь идет о функции $T$
по формуле
\be \!\!\!\!
\mathcal T(z)=\eta^z=\exp_{\eta} (z)=\exp(\ln(\eta)\, z)=\exp(z/ \mathrm e)
\eL{etaz} 
График этой экспоненты показан на рисунке \ref{expe1eplot} толстой кривой. 
%Для того, чтобы можно было разглядеть, как эта курва касается прямой $y=x$, рисунок \ref{expe1eplot}  пришлось сделать во всю ширину страницы.
%\vskip 2mm
%\begin{wrapfigure}[20]{l}{320px}
%\begin{figure}\caption{plot of exponential to base $\eta$ in comparison to that to base $\sqrt{2}$.
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg} \iL{expe1eplot}}
%\end{wrapfigure}
%\end{figure}
Для сравнения, 
%рисунке \ref{expe1eplot} 
тонкой кривой показана также экспонента по основанию $\sqrt{2}$, рассмотренная в главе 9; тонкая кривая 
%и тонкая курва рисунка \ref{expe1eplot} 
воспроизводит график рисунка \ref{ExpQ2plot}. Кривые на рисунка \ref{expe1eplot} близки; при умеренных 
и отрицательных
значениях абсциссы они почти сливаются.  Однако поведение в окрестностях стационарных точек различно, и это предопределяет различное %разницу в %асимптотическом 
поведениие соответствующих суперфункций в комплексной плоскости.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%~ \sx{1.44}{\begin{picture}(164,160) 
\hskip 16pt
\sx{2.5}{\begin{picture}(164,160) 
%\begin{center}
%\sx{1.1}{\begin{picture}(164,160) 
\put(1,1){\ing{expe1emap}} 
\put(-3,159.9){\sx{.7}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.7}{$x$}}
\put(13,123){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(13,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(13,037.2){\sx{.7}{$u\!=\!0$}}
\put(40,117){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(59,117){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.7,117){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!1$\ero}}
\put(104.7,117){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!2$\ero}}
\put(115,117){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!3$\ero}}
\put(40,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(59,73){\sx{.6}{\rot{90}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(84.6,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(104,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put(115,74){\sx{.7}{\rot{90}$u\!=\!3$\ero}}
\put(40,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(59,24){\sx{.6}{\rot{90}$v\!=\!-0.4$\ero}}
\put(84.6,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(104,26){\sx{.7}{\rot{90}$v\!=\!-2$\ero}}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip 8pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg}
%http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\eta}(x\!+\!\mathrm i y)~$
\iL{expe1emap}}
\end{figure}

Комплексная карта функции $\exp_{\eta}$  показана на рисунке \ref{expe1emap}.
Эта карта похожа на карту рисунка \ref{ExpQ2map}; незначительно отличается лишь период. 
Для основания $\eta$, этот период 
\be
P_{\exp_\eta}=2\, \pi \, \mathrm i \, \mathrm e \approx 17.0794684453 \, \mathrm i
\ee
Забавно, что такая простая формула объединяет сразу три фундаментальные математические константы: $\pi$, $\mathrm i$, и $\mathrm e$. К тому же, основание Генрика $\eta\!=\!\exp^2(-1)\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.44466786101$ тоже является  математической константой. Чуть меньше одного периода уместилось на карте \ref{expe1emap}.
% Экспонента по вещественному основанию вещественно-голоморфна, $\exp_b(z^*)\!=\!\exp_b(z)^*$,
%так что каждый сам может домыслить нe только этот период, но  и бесконечное число осцилляций этой функции повдоль мнимой оси комплексной карты.
\vskip 6pt

\begin{figure}[t]
%~ \sx{1.44}{\begin{picture}(164,160) 
%\begin{center}
%\sx{1.1}
\hskip 16pt
\sx{2.5}{\begin{picture}(164,160) 
\put(1,1){\ing{loge1emap}} 
\put(-3,159.9){\sx{.7}{$y$}}
\put(-3,140){\sx{.6}{$6$}}
\put(-3,120){\sx{.6}{$4$}}
\put(-3,100){\sx{.6}{$2$}}
\put(-3,80){\sx{.6}{$0$}}
\put(-8,60){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-8,40){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-8,20){\sx{.6}{$-6$}}
\put(16,-4){\sx{.6}{$-6$}}
\put(36,-4){\sx{.6}{$-4$}}
\put(56,-4){\sx{.6}{$-2$}}
\put(81,-4){\sx{.6}{$0$}}
\put(101,-4){\sx{.6}{$2$}}
\put(121,-4){\sx{.6}{$4$}}
\put(141,-4){\sx{.6}{$6$}}
\put(159.6,-4){\sx{.7}{$x$}}
\put(090,139.2){\sx{.7}{\rot{82}$v\!=\!4$\ero}} 
\put(109.6,132){\sx{.7}{\rot{62}$v\!=\!3$\ero}} 
\put(126,118.6){\sx{.7}{\rot{43}$v\!=\!2$\ero}} 
\put(136,100.6){\sx{.7}{\rot{21}$v\!=\!1$\ero}} 
\put(039,138){\sx{.66}{\rot{-54}$v\!=\!6$\ero}}
\put(022,118.2){\sx{.66}{\rot{-32}$v\!=\!7$\ero}}
\put(013,094){\sx{.66}{\rot{-11}$v\!=\!8$\ero}}
\put(140,080.2){\sx{.7}{$v\!=\!0$}}
\put(010,066){\sx{.66}{\rot{9}$v\!=\!-8$\ero}}
\put(020,039.8){\sx{.66}{\rot{33}$v\!=\!-7$\ero}}
\put(039.6,021){\sx{.66}{\rot{53}$v\!=\!-6$\ero}}
\put(133,060.5){\sx{.66}{\rot{-21}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(123,042.6){\sx{.66}{\rot{-42}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(105.4,032){\sx{.66}{\rot{-63}$v\!=\!-3$\ero}}
\put(72,066){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!1$\ero}}
\put(72,059){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!2$\ero}}
\put(72,050){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!3$\ero}} 
\put(72,036.6){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!4$\ero}}
\put(72,017){\sx{.66}{\rot{1}$u\!=\!5$\ero}}
\put(24,81){\sx{.6}{\bf разрез}}
\end{picture}}
%\end{center}
\vskip 6pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Loge1emapT1000.jpg}
%http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg
\vskip -4pt
\caption{\large  $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\log_{\eta}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{loge1emap}}
\end{figure}

Комплексная картa обратной функции, то есть $\log_{\eta}\!=\! \exp_{\eta}^{-1}$, показана на рисунке \ref{loge1emap}. Эта карта похожа на карту логарифма по основанию $\sqrt{2}$, представленную в главе 9 на рисунке \ref{LogQ2map}; на том рисунке сетка изолиний чуть гуще: линия уровня $u\!=\!6$ целиком умещается на карте, а на карте рисунка \ref{loge1emap} она уместилась лишь частично;
а уровень $v\!=\!\pm 9$ %для экспоненты по основанию Генрика вообще 
оказался за линией разреза.
%вне основного листа, показанного на рисунке.
\vskip 2mm

Значение $b\!=\!\eta$ есть максимальное основание, при котором экспонента всё ещё имеет вещественную стационарную точку. Для такой  экспоненты  
%такому основанию
% $\eta$ 
в этой главе строятся суперфункция, абельфункция и итерации.
%следующей секции
%, для %формализм экзотической итерации применяется случаю
%строится суперфункция.
%\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!=\!\exp^2(-1)$.
\section{Суперэкспонента по основанию 
%Генрика, 
$\eta\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}\!=\!\exp^2(-1)$}
\baselineskip 19.1pt

%Этот случай рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна.  
Генрик Траппманн считал, что для экспоненты по основанию
\be
\eta=\exp(1/\mathrm e)=\exp^2(-1)\approx 1.44466786101
\eL{eta}
эффективный алгоритм вычисления суперфункций построить нельзя. Генрик был далеко не одинок в таком мнении; такое же мение высказывали многие коллеги, в том числе участники его форума. Это же мнение в публикации 1991 года выражал Петр Волкер (Peter L Walker) %, On the solutions of an abelian functional equation, Journal of mathematical analysis and applications 155 (1991), 93–110.
\cite{walker}. Чтобы переубедить Генрика, нам с ним пришлось писать специальную статью для журнала Mathematics of Computation \cite{e1e}; её часть перессказана в этой главе.
\vskip 2mm

Пусть передаточная фукция $\mathcal T$ определяется формулой \ref{etaz} предыдущей секции; пусть
\be \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!
\mathcal T(z)\!=\!\eta^z\!=\!\exp_{\eta} (z)\!=\!\exp\!\big(\ln(\eta)\, z\big)\!=\!\exp(z/ \mathrm e) 
\eL{calTetaz}

Чтобы применить формализм экзотической итерации, следует определить новую передаточную функцию $Т$
по формуле \rf{TzTzL}; для случая \rf{calTetaz} 
%это дает новую передаточную функцию
получается передаточная функция
\be
T(z)=\exp\big((z\!+\!\mathrm e)/\mathrm e\big)-\mathrm e=\exp(z/\mathrm e+1)-\mathrm e
\eL{Te1e}
Для такой передаточной функции 
\be
T(0) &=&0    \\
T^{\prime}(0)&=& 1 \\
T^{\prime\prime}(0)&=& 2\,  v ~=~1/\mathrm e \\
T^{\prime\prime\prime}(0)&=& 6\, w ~=~ 1/\mathrm e ^2\\
 ... \\
T^{(n)}(0)&=&1/\mathrm e ^{n-1}
\ee
В последней строчке, в левой части, верхний индекс указывает не номер итерации, а номер производной.
\vskip 2mm

В принципе, для этого случая, экзотические итерации, описанные в начале главы, можно применять как есть. 
Разложение \rf{TExpan} записывается так:
\be
T(z)=z+\frac{1}{2\mathrm e}z^2+\frac{1}{6 \mathrm e} z^3+..
\ee
Для $v=\frac{1}{2\mathrm e}$ и $w=\frac{1}{6\mathrm e^2}$, формулы \rf{avbwv} дают
\be
a&=&- 2e\approx  - 5.43656365691809\\
b&=&-\frac{\mathrm e}{3} + \frac{1}{8\mathrm e^3} \approx   1.604598172578777
 %1.36787944117
\ee

При этом первичнaя аппроксимация $f$ для суперфункции \rf{FExpan} приобретает такой вид:
\be
\tilde f(z)&=& -\frac{1}{z} + \Big(1+\frac{1}{\mathrm e}\Big)\frac{\ln(\pm z)}{z^2}+..
\eL{fe1ez2}

Ещё несколько слагаемых в этом разложении можно вычислить аналитически; особенно если при этом используются какие-нибудь Математики или Клены. Оборванный ряд, даже с двумя слагаемыми, аппроксимирует суперфункцию. Для $|z| \!>\! 100$, такая формула дает несколько корректных значащих цифр. Для остальных значений следует многократно использовать передаточное уравнение, выражая суперфункцию требуемого аргумента через суперфункцию от достаточно большого аргумента, сдвигая значение, при котором используется первичное приближение, вправо или влево, параллельно вещественной оси. 
Такой алгоритм позволяет строить комплексные карты суперфункции с хорошим разрешением и в реальном времени.
\vskip 2mm

Для аккуратного приближения суперфункции и проверки, имеет смысл несколько модифицировать разложение.
Для вычисления 
%именно 
суперфункций от экспоненты по основанию Генрика, лучше использовать разложение 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\tilde F(z)=\frac{-2\mathrm e}{z}\left(1+\sum_{m=1}^M \frac{P_m\big(\!-\ln(\pm z)\big)}{(3z)^m}+ \mathcal O\Big( \ln(\pm z)/z \Big)^{M+1} \right)
\label{e1e24}
\ee
%where 
где
\be
P_m(x)=\sum_{n=0}^m c_{m,n} x^n
\eL{e1ePm}
Koэффициенты $c$ получаются при подстановке разложения \rf{e1e24} в передаточное уравнение
\be
\tilde F(z\!+\!1)=\exp\Big(\tilde F(z)/\mathrm e+1\Big) - \mathrm e
\nonumber
\ee 
и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях 
%$\ln(z)$ и 
$z$ в правой и левой частях равенства. 
Первые пять полиномов $P$ представлены ниже:
\be
P_{1}(t)&=&t \\
P_{2}(t)&=&t^{2}+t+1/2 \\
P_{3}(t)&=&t^{3}+\frac{ 5}{ 2}t^{2}+\frac{  5}{2}t    +\frac{ 7}{10} \\
P_{4}(t)&=&t^{4}+\frac{13}{ 3}t^{3}+\frac{ 45}{6}t^{2}+\frac{53}{10}t    +\frac{ 67}{60} \\
P_{5}(t)&=&t^{5}+\frac{77}{12}t^{4}+\frac{101}{6}t^{3}+\frac{83}{ 4}t^{2}+\frac{653}{60}t+\frac{2701}{1680}
\label{Pc}
\ee

Как и для регулярных итераций, используется предел 
\be
F(z)=\lim_{n\rightarrow \pm \infty} T^n (f(z-n))
\eL{e1elim}
где функция $f$ получена обрывом асимптотического ряда в формуле \rf{e1e24}, а $n$ выбирается положительным или отрицательным в зависимости от того, верхний или нижний знак использован в аргументе полиномов $P$ в формуле \rf{e1e24}.
\vskip 2mm

Удобно определить такие суперфункции, которые имеют целочисленное значение в нуле, используя трансляцию аргумента:
\be 
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{tet}_{\exp(1/\mathrm e)}(z)&=&F_1(z)=f(z\!+\!x_1)  \iL{e1etet}\\
\mathrm{tet}_{\eta}(z)&=&F_1(z)=f(z\!+\!x_1)  \iL{e1etet}\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(z)&=& F_3(z)=f(z\!+\!x_3)  \iL{e1eSuExp}
\ee
где константы 
$x_1\!\approx\!  2.798248154231454$ и $x_3\!\approx\! -20.28740458994004$ выбраны так, чтобы обеспечить соотношения $F_1(0)\!=\!1$ и $F_3(0)\!=\!3$. 

Функция $\mathrm{tet}_{\eta}$ соответствует верхнему значению выражения $\pm$  в формулах \rf{e1e24}, \rf{e1elim},
a функция \rf{e1eSuExp} - нижнему. Таким образом, $F_1$ и $F_3$ суть совсем разные функции, и их трудно выразить одну через другую простым преобразованием.
%Для того, чтобы эти функции имели смысл, для тетрациив формулах 
%\vskip 2mm
В формулах \rf{e1etet} и \rf{e1eSuExp}, для этих функций предложены новые и чуть более длинные имена $\mathrm{tet}_{\exp(1/\mathrm e)}$
и $\mathrm{SuExp}_{\exp(1/\mathrm e)}$.
Это делается для того, чтобы облегчить их идентификацию при использовании в других главах этой Книги, где рассматриваются суперфункции  от экспоненты по другим основаниям, то есть где не обязательно 
%$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$.
$b\!=\!\eta$.
Первое из этих названий, 
%$\mathrm{tet}_{\exp(1/\mathrm e)}$, 
$\mathrm{tet}_{\eta}$, 
совершенно естественно, и указывает, что речь идет о тетрации; для тетрации по любому основанию $b$, подразумевается условие
$\tet_{b}(0)\!=\!1$. Более подробно свойства тетрации рассматриваются в специальной главе.
%Такой выбор естественен.
\vskip 2mm

Выбор значения в нуле для растущей суперфункции $F_3$ не так прост.
В работах \cite{sqrt2,e1e} (и не только там), для растущей вещественно-голоморфной суперфункции, построенной на некоторой вещественной стационарной точке $L$ передаточной фукции, в качестве значения в нуле выбирается наименьшее целое число, б\'oльшее $L$. Такой выбор оправдан, когда в работе рассматривается лишь одна передаточная функция без параметров (или с фиксированными значениями параметров). Однако такой выбор приводит к кусочно-непре\-рыв\-ной (то есть не голоморфной) функции  при рассмотрении зависимости суперфункции от этого параметра. 
Поэтому, на случай если такая зависимость потребуется, предлагается обозначение 
%$\mathrm{SuExp}_{\exp(1/\mathrm e),3}$; 
$\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$; 
при этом значение в нуле указывается в виде дополнительного индекса.
\vskip 2mm

\begin{figure}\begin{center}{
%\sx{2.1}{\begin{picture}(340,126)
%\hskip 2pt
%\sx{1.82}{\begin{picture}(340,126)
\sx{1.82}{\begin{picture}(340,124)
%\put(0,0){\ing{fige1efre}}
%\put(0,0){\ing{fige1ew13}}
\put(0,0){\ing{e1eplot}}
\put( 26,119){\sx{.8}{$y$}}
\put( 27,100){\sx{.7}{$8$}}
\put( 27,80){\sx{.7}{$6$}}
\put( 27,60){\sx{.7}{$4$}}
\put( 27,40){\sx{.7}{$2$}}
\put( 27,20){\sx{.7}{$0$}}
\put( 30,14){\sx{.7}{$0$}}
\put( 50,14){\sx{.7}{$2$}}
\put( 70,14){\sx{.7}{$4$}}
\put( 90,14){\sx{.7}{$6$}}
\put(110,14){\sx{.7}{$8$}}
\put(128,14){\sx{.7}{$10$}}
\put(149,14){\sx{.7}{$12$}}
\put(169,14){\sx{.7}{$14$}}
\put(189,14){\sx{.7}{$16$}}
\put(209,14){\sx{.7}{$18$}}
\put(229,14){\sx{.8}{$x$}}
\put(6,120){\sx{.7}{\rot{-88}$y\!=\!\Re\!\Big(F_{1}(x\!+\!\rmi o)\Big)$\ero}}
%\put(183,95){\sx{1.}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{1.}{$y\!=\!\rme$}}
%\put(193,40){\sx{1.}{$y\!=\!F_{1}(x)$}}  %Dima's new latex does not like this
%\put(183,95){\sx{.8}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(148,95){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{.8}{$y\!=\!\rme$}}
%\put(136,38){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)$}}
\put(126,95){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)$}}
\put(148,38){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)$}}
\put(193,52){\sx{.8}{$y\!=\!\mathrm e$}}
\end{picture}}
}\end{center}
\vskip -19pt
\hskip 9pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eplot8.png}
\vskip -4pt
\caption{\large 
%Two super-exponentials to base 
Две суперэкспоненты по основанию $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ 
%versus real argument
%and
%by equations e1e1 and e1e3;
%the horizontal line shows 
%the asymptotic $y\!=\!\rme$; circles represent the data from \cite{walker123}.
%
\label{fig1}
\label{fige1e1}
%~\iL{fig1e1fre}$\!\!\!\!$
~\iL{e1eplot}$\!\!\!\!$
}
\end{figure}

Для вещественного аргумента, графики функций $F_1$ и $F_3$ показаны на рисунке \ref{e1eplot}.
Комплексные карты этих суперфункций показаны на рисунке \ref{e1emap}. Эти функции весьма различны. 
Чтобы освободить обозначения $F$ с индексами для других функций, рассматриваемых в других главах, пришлось дать им специальные именa, $\mathrm{tet}_\eta\!=\!F_1$, и  $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}\!=\!F_3$.
\vskip 2mm

\newcommand \figaxe {
\put( -6,304){\sx{1}{$y$}}
\put( -11,289){\sx{1}{$14$}}
\put( -11,269){\sx{1}{$12$}}
\put( -11,249){\sx{1}{$10$}}
\put( -7,229){\sx{1}{$8$}}
\put( -7,209){\sx{1}{$6$}}
\put( -7,189){\sx{1}{$4$}}
\put( -7,169){\sx{1}{$2$}}
\put( -7, 149){\sx{1}{$0$}}
\put(-17,129){\sx{1}{$-2$}}
\put(-17,109){\sx{1}{$-4$}}
\put(-17,  89){\sx{1}{$-6$}}
\put(-17,  69){\sx{1}{$-8$}}
\put(-21,  49){\sx{1}{$-10$}}
\put(-21,  29){\sx{1}{$-12$}}
\put(-21,   9){\sx{1}{$-14$}}
%\put(-13, 79){\sx{1}{$-6$}}
\put(398,-7.5){\sx{1}{$x$}}
\put(377,-8){\sx{.9}{$28$}}
\put(357,-8){\sx{.9}{$26$}}
\put(337,-8){\sx{.9}{$24$}}
\put(317,-8){\sx{.9}{$22$}}
\put(297,-8){\sx{.9}{$20$}}
\put(277,-8){\sx{.9}{$18$}}
\put(257,-8){\sx{.9}{$16$}}
\put(237,-8){\sx{.9}{$14$}}
\put(217,-8){\sx{.9}{$12$}}
\put(197,-8){\sx{.9}{$10$}}
\put(179,-8){\sx{.9}{$8$}}
\put(159,-8){\sx{.9}{$6$}}
\put(139,-8){\sx{.9}{$4$}}
\put(119,-8){\sx{.9}{$2$}}
\put( 99,-8){\sx{.9}{$0$}}
\put( 73,-8){\sx{.9}{$-2$}}
\put( 53,-8){\sx{.9}{$-4$}}
\put( 33,-8){\sx{.9}{$-6$}}
\put( 13,-8){\sx{.9}{$-8$}}
}

\begin{figure}
\begin{center}
%\sx{.98}{\begin{picture}(415,310) 
 \sx{.96}{\begin{picture}(410,310) 
\put(0,0){\ing{e1etf}} 
 \figaxe
 \put(  4,225){\sx{1.3}{$u\!=\!3$}}
 \put( 22,288){\sx{1.1}{$u\!=\!2.8$}}  \put(108,288){\sx{1.1}{$u\!=\!2.6$}}
 \put( 22,   8){\sx{1.1}{$u\!=\!2.8$}}  \put(108,    8){\sx{1.1}{$u\!=\!2.6$}}
 \put(112,250){\sx{1.1}{$v\!=\!0.4$}}
 \put(120,  40){\sx{1.1}{$v\!=\!-0.4$}}
 %\put(140,230){\sx{1.1}{$p\!=\!2.4$}}
 \put(214,110){\sx{1.1}{$u\!=\!2.4$}}
 %\put(140, 64){\sx{1.1}{$p\!=\!2.4$}}
 %\put(160,198){\sx{1.1}{$q\!=\!0.2$}}
 \put(190,260){\sx{1.1}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(130,156){\sx{1.3}{$u\!=\!2$}}
 \put(277, 148.4){\sx{1.3}{$v\!=\!0$}}
 \put(158,132){\sx{1.1}{$u\!=\!2.2$}}
 \put(190, 17){\sx{1.1}{$v\!=\!-0.2$}}
 \end{picture}}
\vskip 8pt

 %\sx{.98}{\begin{picture}(415,320) 
 \sx{.96}{\begin{picture}(410,320) 
 \put(0,0){\ing{e1egf} }  % suppress this string to boost
 \figaxe
 \put(100,194){\sx{1.4}{$u\!=\!3$}}
 \put(150,280){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(150, 30){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
 \put(218,224){\sx{1.2}{$v\!=\!0.4$}}
 \put(264,260){\sx{1.2}{$u\!=\!2.8$}}
 \put(258, 38){\sx{1.2}{$u\!=\!2.8$}}
 \put(308,260){\sx{1.2}{$u\!=\!2.6$}}
 \put(308, 39){\sx{1.2}{$u\!=\!2.6$}}
 \put(350,250){\sx{1.2}{$v\!=\!0.4$}}
 \put(390,239){\sx{1.2}{$u\!=\!2.4$}}
 \put(390, 59){\sx{1.2}{$u\!=\!2.4$}}
 \put(390,205){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(380, 88){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
 \put(352, 73){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.4$}}
 \put(390,172){\sx{1.2}{$u\!=\!2.2$}}
 \put(390,122){\sx{1.2}{$u\!=\!2.2$}}
 \put(403,158){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
 \put(403,143){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
 \put(362,130){\sx{1.4}{$u\!=\!2$}}
 \put(174,165){\sx{1.2}{$u\!=\!3.2$}}
 \put( 60,148){\sx{1.4}{$v\!=\!0$}}
 \put(334,149){\sx{.9}{\bf huge values}}
 \end{picture}}
\end{center}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eSuMap600.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{tet}_\eta(\!x\!+\!\rmi y)\!=\!F_1(\!x\!+\!\rmi y)$ 
по формуле \rf{e1etet}, сверху,  и 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(\!x\!+\!\rmi y)\!=\!F_3(\!x\!+\!\rmi y)$ по формуле \rf{e1eSuExp}, снизу \iL{e1efig2}
\label{figmapf}
\label{e1emap}
}
\end{figure}

Вдоль вещественной оси, функция $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ неограниченно возрастает при положительных значениях аргумента, и стремится к предельному значению $\mathrm e$ при больших отрицательных значениях аргумента. K этому же значению функция стремится и в остальной части комплексной плоскости, за исключением полосы вдоль положительного направления вещественной оси.
\vskip 2mm

Функция $\mathrm{tet}_\eta$, наоборот, при больших значениях аргумента приближается к предельному значению $\eta$, но в точке $-2$ имеет логарифмическую особенность, при приближении к ней вдоль вещественной оси, функция уходит на минус бесконечность. Это свойство типично для класса функций, которые я называю термином тетрация; это суперфункции от экспоненты по некоторому фиксированному основанию (в данном случае - по основанию Генрика), удовлетворяющие определенным дополнительным условиям: в нуле эта функция равна единице и остается ограниченной по крайней мере в полосе шириной 2  вдоль мнимой оси. Более подробно, тетрации рассмотрены ниже, в последующих главах. Я упоминаю их здесь, лишь чтобы обосновать обозначение  
%$\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$.
$\mathrm{tet}_{\eta}$.

\JP{{\bf Лирическое отступление.}
Когда я копипастил сюда рисунки, я понял, что присутствие в стране русскоязычных резидентов
может использоваться путинистами как предлог для вооруженного вторжения в страну, где я живу и работаю.
Поэтому те части, которые ещё не загружены, будут писаться по-английски. March 20.2014.
{\bf Warning.}
While I copy pasted these figures, I realise, that presence of the Russian-speaking residents in a country
can be used by putinists as a pretext for the military invasion. For this reason, since now (2014, March),
the Russian language is not recommended at all. Perhaps, the parts of this book, that ate not yet loaded, will be loaded in English.}%JP
\vskip 2mm

С помощью суперфункций от экспоненты по основанию Генрика $\eta$, можно выразить итерации этой эксспоненты.
Но для этого нужны ещё абельфункции. Эти абельфункции рассмотрены в следующей секции.

\section{Абельэкспонента по основанию Генрика}

Исторически, экспонента по основанию Генрика $\eta$ была первой передаточной функцией, для которой построены итерации, которые я
%, пока условно, обо
назвал ``экзотическими''. Экзотика в том, что регулярная итерация, голоморфная в окрестности стационарной точки, для таких функций невозможна \cite{e1e}. Однако итерации, голоморфные в широкой области значений аргумента, существуют. Для построения таких итераций, кроме суперфункции, требуется также функция Абеля. Эта функция рассмотрена ниже.
\vskip 2mm

\EN{In the similar way one can construct the efficient representation for the inverse functions.
Let $G_1=F_1^{-1}$ and $G_3=F_3^{-1}$. Maps of these functions are shown in figure }%RN
\RU{
%Похожим образом можно представить и абельфункции. 
Пусть $G_1=F_1^{-1}$ and $G_3=F_3^{-1}$. Комплексные карты этих функций показаны на рисунке }%RU
\ref{e1efig3}.
%Эти карты построены следующим образом. вскип 
 \EN{For evaluation of functions $G_1$ and $G_3$,  the asymptotic representations are used:}%EN
 \RU{Для вычисления функций $G_1$ и $G_3$,  использованы асимптотические представления}
\begin{figure}
\begin{center}
 \sx{1.}{\begin{picture}(415,310) 
 \put(0,0){\ing{e1eti} } % suppress to boost
 \figaxe
 \put(10,233){\sx{1.4}{$v\!=\!0$}} 
 \put(142,245){\sx{1.}{$u\!=\!-3$}}
 \put(142,225){\sx{1.}{$u\!=\!-3$}}
 \put(10,192){\sx{1.6}{$u\!=\!-2$}}
 \put(10,147){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}}
 \put(10,108){\sx{1.6}{$u\!=\!-2$}}
 \put(10, 61){\sx{1.6}{$v\!=\!0$}} 
 \put(142, 72){\sx{1.}{$u\!=\!-3$}}
 \put(142, 52){\sx{1.}{$u\!=\!-3$}}
 \put(229,290){\sx{1.4}{\bf complicated structure}} 
 \put(250,230){\sx{1.5}{$G_1(x\!+\!\rmi y) \approx -3$}} 
 \put(229,148){\sx{1.4}{\bf complicated structure}} 
 \put(250,60){\sx{1.6}{$G_1(x\!+\!\rmi y) \approx -3$}} 
 \put(229,5){\sx{1.4}{\bf complicated structure}} 
 \end{picture}}
 \vskip 8pt
 \sx{1.}{\begin{picture}(415,320) 
 \put(0,0){\ing{e1egi} }  % suppress below to boost
 \figaxe
 \put(  4,220){\sx{1.2}{$u\!=\!19$}} 
 %\put(166,216){\sx{1.4}{$p\!=\!18$}}
 \put(352,276){\sx{1.2}{$v\!=\!0.2$}}
 \put(350, 26){\sx{1.2}{$v\!=\!-0.2$}}
 \put(350,186){\sx{1.2}{$u\!=\!18.4$}}
 \put(270,176){\sx{1.2}{$u\!=\!18.2$}}
 \put(233,158){\sx{1.2}{$u\!=\!18$}}
 \put(  4, 74){\sx{1.2}{$u\!=\!19$}} 
% \put(166, 80){\sx{1.4}{$p\!=\!18$}}
 \put(20,186){\sx{1.2}{$v\!=\!1$}}
 \put(20,110){\sx{1.2}{$v\!=\!-1$}}
 \put(20,148.4){\sx{1.2}{\bf cut }} 
 \put(377,148.4){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
 \end{picture}}
\end{center}
\vskip 4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eAuMap600.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
%Super-logarithms, id est, 
\EN{The Abel functions  $f\!=\!G_1(z)$ , top, and $f\!=\!G_3(z)$, bottom, in the same notations as in figure}%EN
\RU{
%Абельэкспоненты по основанию $\eta$:  
%$u\!+\!\mathrm i v\!=\!G_1(x\!+\!\mathrm i y)\!$ , сверху, и
%$u\!+\!\mathrm i v\!=\!G_3(x\!+\!\mathrm i y)\!$ , снизу}%RU \ref{e1efig2}.
$u\!+\!\mathrm i v
\!=\!G_1(x\!+\!\mathrm i y)
\!=\! \mathrm{ate}_\eta(x\!+\!\mathrm i y)\!$
по формуле \rf{e1eate}, сверху, и
$u\!+\!\mathrm i v
\!=\!G_3(x\!+\!\mathrm i y)
\!=\! \mathrm{AuExp}_{\eta,3}(x\!+\!\mathrm i y)\!$ по формуле \rf{e1eAuExp}, снизу}%RU \ref{e1efig2}.
\iL{e1efig3} ~ ~ ~ ~ ~
%\label{fige1e2}
\label{e1efigi} $\!\!\!\!\!\!\!\!$
}
\end{figure}
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
g_{\pm}(z)=\alpha(g)\approx \frac{\ln(\pm t)}{3}+\frac{2}{t}+\sum_{n=1}^{15} c_n t^n + O(t^{16})
\eL{e1egpm}

\EN{where}
\RU{где}
 $g\!=\!(z-\rme)/\rme$.
\EN{The coefficients $c$ can be found inverting the expansion for the superfunction, and also by
substituting expansion \rf{e1egpm} into the Abel equation}%EN
\RU{Коэффициенты $c$ можно найти, обращая разложение \rf{e1e24} для суперфункции.
Эти же коэффициенты получаются при подстановке разложения \rf{e1egpm} в уравнение Абеля}
\be
%g(z)+1=g\Big( \exp\big(g(z)/ \mathrm e\big) \Big)
g(z)+1=g\Big( \exp(z/ \mathrm e) \Big)
\eL{e1eAbeleq}

\EN{The truncation of the series, id est, omitting of $O$ in the right hand side of \rf{e1egpm}, provides 
the algorithm  for evaluation of the abelfunction $g$ with at least 15 significant figures, while $|t|<1/2$.
For larger values, the argument of $g$ should be transformed, using the equation \rf{e1eAbeleq}.}%EN
\RU{Обрывание асимптотической серии, то есть выкидывание символа $O$ из правой части 
уравнения  \rf{e1egpm}, дает алгоритм для вычисления абельфункции $g$ примерно с 15 
значащими цифрами, пока $|t|<1/2$.
Для иных значений аргумента, для вычисления функции $g$ следует использовать уравнение \rf{e1eAbeleq}. }%RU
Я хочу рассматривать такое заявление как определение, и надеюсь, что Читатель сам может написать соответствующий предел как представление точной абельфункции.
\vskip 2mm

\EN{Then the inverse functions $G_1\!=\!F_1^{-1}$ and $G_3\!=\!F_3^{-1}$ can be defined, adding the corresponding constants,}%EN
\RU{Абельфункции $G_1\!=\!F_1^{-1}$ и  $G_3\!=\!F_3^{-1}$
можно определить, добавляя к значениям функций $g$ соответствующие константы,}
\be\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{ate}_{\exp(1/\mathrm e)}(z)
\mathrm{ate}_{\eta}(z)
=G_1(z)=g(z)-g(1)\approx g(z) - 3.029297214418
\label{e1eate}
\label{e1eG1}
\ee
\EN{where the upper sign in \rf{e1egpm} is used, and}%EN
\RU{где использован верхний знак в формуле \rf{e1egpm}, и}%RU
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuExp}_{\eta,3}\!=\!G_3(z)\!=\!g(z)\!-\!g(3)\!\approx\! g(z) \!+\! 20.0563555297533789
\label{e1eAuExp}
\ee
\EN{where the lower sign in \rf{e1egpm} is used.}%EN
\RU{где использован нижний знак в формуле \rf{e1egpm}. }%RU
\vskip 2mm

\EN{The additional names ate and AuExp are introduced in order to simplify identification and referencing to this function from other chapters.}
\RU{Дополнительные более длинные имена AuExp и ate вводятся здесь для того, чтобы упростить ссылки на эти функции из других глав и, возможно, из других публикаций. Мнемоника этих имен проста. AuExp указывает, что речь идет о функции Абеля; следующая буква указывает, что суперфункция голоморфна по крайней мере для значений аргумента над, сверху (``up'') от стационарной точки.
Имя ate указывает, что речь идет об арктетрации.
%по основанию Генрика, такое имя выбрано, чтобы обеспечить соответствие с функциями, рассмотренными в других главах. 
Эти более длинные имена позволяют избежать путаницы при использовании букв $F$ и $G$ для обозначения других функций в других главах.
}%RU
\vskip 2mm

\EN{This representations above provide relations $G_1(1)\!=\!0$ and $G_3(3)\!=\!0$, as it is supposed to be for the inverse functions of $F_1$ and $F_3$.
The numerical test confirms, that in wide ranges of values $z$,
the relations }%
\RU{Представления \rf{e1eG1} и \rf{e1eAuExp} автоматически обеспечивают выполнения соотношений
 $G_1(1)\!=\!0$ and $G_3(3)\!=\!0$, 
как это и должно быть для обратных функций от $F_1$ и $F_3$.
Численная проверка подтверждает, что в широких областах значений $z$,
сотношения }%
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_1(G_1(z))\!=\!z\,  ,  ~
F_3(G_3(z))\!=\!z\,  ,  ~
F_1(G_1(z))\!=\!z\,  ,  ~
G_3(F_3(z))\!=\!z ~
\label{e1eId}
\ee
\EN{hold with 14 significant figures. The readers are invited to plot the map of the agreement function}%
\RU{воспроизводятся с четырнадцатью значащими цифрами.
Читатели приглашаются построить функции согласия}%
\be\!\!
A(z)=-\lg\left( \frac{|F(G(z))-z|}{|F(G(z))|+|z|}\right)
\eL{e1eA}
\RU{добавляя в этой формуле подходящие индексы 1 или 3 к функциям $F$ и $G$ и заменяя}
\EN{adding appropriate subscripts and exchanging}
$F\leftrightarrow G$.
\EN{as numerical check of equalities in statement \ref{e1eId}. Levels of $A(x\!+\!\mathrm i y)$ in the $x,y$ plane indicate, where the algorithm works without loss of precision, id set, close to the maximal precision allowed for the complex double variables.}%EN
\RU{Такое построение дает численную проверку соотношений \rf{e1eId}. Уровни $A(x\!+\!\mathrm i y)$ в плоскости $x,y$  подтверждают, что алгоритмы работают вблизи максимальной точности, достижимой с переменными complex double.}%RU
\vskip 2mm

Абельфункция $\mathrm{AuExp}_{\eta,3}\!=\!G_3$, вместе с суперфункцией $\mathrm{SuExp}_{\eta,3}\!=\!F_3$ из предыдущей секции, позволяет определить неограниченно возрастающие итерации экспоненты по основанию Генрика $\eta=\exp(1/\mathrm e)$.  Эти итерации рассмотрены в следующей секции.

\section{Итерации}

\EN{With function $F_3$ and $G_3$, one can express the iterates of exponential to base $\exp(1/\mathrm e)$. 
For $T(z)\!=\!\exp(z/\mathrm e)$,}
\RU{С функциями  $F_3\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}$ и $G_3\!=\!\mathrm{AuExp}_{\eta,3}$, можно выразить растущие итерации экспоненты по основанию $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$. В этой главе рассмотрены лишь неограниченно растущие (вдоль вещественной оси) итерации; такие итерации похожи на растущие итерации других функций, рассмотренные в предыдущих главах.
\vskip 2mm

Для $T(z)\!=\!\exp(z/\mathrm e)=\exp_\eta(z)$,}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
T^n(z)\!=\!\exp_{\eta,\mathrm u}^n(z)
\!=\!F_3(n\!+\!G_3(z))
\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}\Big(n\!+\!\mathrm{AuExp}_{\eta,3}(z)\Big)
\label{e1eF3G3}
\ee
%Здесь, для удобства использования обозначений вне этой главы, предложены более длинные имена $\mathrm{SuExp}_\eta$ и $\mathrm{AuExp}_\eta$. 
Индекс u у итераций экспоненты указывает, что для итераций использована растущая суперфункция (та, которая, для вещественных значений аргумента, на бесконечности идет вверх, ``up'').
\vskip 2mm

\EN{In the representation \rf{e1eF1G1}, argument $z$ has no need to be real. For $n\!=\!1/2$, the complex map of the half iteration of exponential to base $\exp(1/\mathrm e)$ is shown in figure \rf{e1eghalf}.}%EN
\RU{В представлении \rf{e1eF3G3}, ни номер итерации $n$, ни аргумент$z$ не имеют надобности быть целыми, ни даже вещественными. Но, разумеется, они могут и быть таковыми.}%
\vskip 2mm

%Для вещественных значений аргумента, итерации $y=\exp_{\eta,\mathrm u}^n(x)$ как функции $x$ в координатной плоскости $x,y$
%В частности, при $n\!=\!1/2$, комплексная карта растущей половинной итерации экспоненты  по основанию $\exp(1/\mathrm e)$ показана на рисунке \rf{e1eghalf}.
%RU
\EN{For real values of argument $T^n(x)$ versus $x$ for various values of number $n$ of iteration is shown in figure \ref{e1eiter}. The thick curves correspond to the integer values of $n$. The non-integer iterates are holomorphic at least in some vicinity of the ray $x>\mathrm e$. 
The integer iterates can be extended to $-\infty$ for positive $b$ or to the closest vertical asymptotic of the corresponding logarithm for negative number of iteration. The diagonal of the First quadrant of the coordinate plane corresponds to the identity function.}%EN

\RU{На рисунке \ref{e1eiter} показаны итерации $T^n(x)$ по формуле \rf{e1eF3G3} как функции вещественного аргумента $x$, для нескольких вещественных значений номера итерации $n$. Толстые курвы соответствуют целым значениям $n$. Нецелые итерации голоморфны по крайней мере в некоторой окрестности луча $x\!>\!\mathrm e$. При целых неотрицательных значениях $n$, итерации голоморфны для любых значений аргумента. Диагональ Первого квадранта координатной плоскости соответствует нулевой итерации и идентичной функции.
\vskip 2mm

Нецелые итерации показаны тонкими линиями.
Такие нецелые итерации определены для случая комплексного аргумента, либо для положительного аргумента,
большего $\mathrm e$, но они не определены для вещественного аргумента, меньшего $\mathrm e$.
Поэтому тонкие кривые на рисунке \ref{e1eiter}  остаются в области 
$x\!>\!\eta$, $y\!>\!\eta$; 
%в частности, 
их нельзя продолжить в третий квадрант.
}%RU
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.44}{\begin{picture}(1042,1024)
%\sx{.48}{\begin{picture}(1042,1044)
\sx{.4}{\begin{picture}(1042,1008)
\put(1,1016){\sx{4.2}{$y$}}
\put(0,922){\sx{4.2}{$9$}} 
\put(0,822){\sx{4.2}{$8$}} 
\put(0,722){\sx{4.2}{$7$}} 
\put(0,622){\sx{4.2}{$6$}}
\put(0,522){\sx{4.2}{$5$}}
\put(0,422){\sx{4.2}{$4$}}
\put(0,324){\sx{4.2}{$3$}}
\put(0,294){\sx{4.2}{$\mathrm e$}}
\put(0,220){\sx{4.2}{$2$}}
\put(0,120){\sx{4.2}{$1$}}
\put(0,20){\sx{4.2}{$0$}}
\put(22,-8){\sx{4}{$0$}}
\put(122,-8){\sx{4}{$1$}}
\put(222,-8){\sx{4}{$2$}}
\put(297,-7){\sx{4}{$\mathrm e$}}
\put(322,-8){\sx{4}{$3$}}
\put(422,-8){\sx{4}{$4$}}
\put(522,-8){\sx{4}{$5$}}
\put(622,-8){\sx{4}{$6$}}
\put(722,-8){\sx{4}{$7$}}
\put(822,-8){\sx{4}{$8$}}
\put(922,-8){\sx{4}{$9$}}
\put(1016,-7){\sx{4.1}{$x$}}
%\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
%\put(1118,678){\sx{4.5}{\rot{69}$y\!=\!\eta^x$\ero}}
%\put(1076,606){\sx{4.1}{\rot{67}$y\!=\!\exp_{\eta}(x)$\ero}}
\put(24,24){\ing{e1eiter}}
%\put(10,10){\ing{expe1eplot}}
\put(316,826){\sx{4.9}{\rot{90}$n\!\rightarrow\!+\infty$\ero}}
\put(322, 46){\sx{4.9}{\rot{90}$n\!\rightarrow\!-\infty$\ero}}
\put(416,886){\sx{4.6}{\rot{86}$n\!=\!5$\ero}}
\put(476,886){\sx{4.6}{\rot{84}$n\!=\!3$\ero}}
\put(524,886){\sx{4.6}{\rot{80}$n\!=\!2$\ero}}
\put(630,886){\sx{4.6}{\rot{72}$n\!=\!1$\ero}}
\put(708,886){\sx{4.4}{\rot{66}$n\!=\!0.6$\ero}}
\put(758,886){\sx{4.4}{\rot{60}$n\!=\!0.4$\ero}}
\put(810,872){\sx{4.4}{\rot{52}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(894,876){\sx{4.6}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}}
\put(891,792){\sx{4.4}{\rot{36}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(878,720){\sx{4.4}{\rot{29}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(878,600){\sx{4.6}{\rot{16}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(878,498){\sx{4.6}{\rot{ 7}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(878,448){\sx{4.6}{\rot{ 2}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(878,394){\sx{4.6}{\rot{1}$n\!=\!-5$\ero}}
\put(70,292){\sx{4.9}{\rot{1}$n\!\rightarrow\!+\infty$\ero}}
\put(830,292){\sx{4.9}{\rot{1}$n\!\rightarrow\!-\infty$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eiterT.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\large
%$y=T^n(x)$ 
$y=\exp_{\eta,\mathrm u}^{~n}(x)$ 
\EN{by \rf{e1eF3G3} versus $x$ for various $n$}%EN
\RU{по формуле \rf{e1eF3G3} 
%как функция $x$ 
для различных $n$}%RU
\iL{e1eiter} }
%\vskip -14pt
\end{figure}
\vskip 2mm

\newcommand \figaxeh {
\put( -6,300){\sx{1}{$y$}}
\put( -10,289){\sx{1}{$14$}}
\put( -10,269){\sx{1}{$12$}}
\put( -10,249){\sx{1}{$10$}}
\put( -6,229){\sx{1}{$8$}}
\put( -6,209){\sx{1}{$6$}}
\put( -6,189){\sx{1}{$4$}}
\put( -6,169){\sx{1}{$2$}}
\put( -6, 149){\sx{1}{$0$}}
\put(-14,129){\sx{1}{$-2$}}
\put(-14,109){\sx{1}{$-4$}}
\put(-14,  89){\sx{1}{$-6$}}
\put(-14,  69){\sx{1}{$-8$}}
\put(-18,  49){\sx{1}{$-10$}}
\put(-18,  29){\sx{1}{$-12$}}
\put(-18,   9){\sx{1}{$-14$}}
%\put(-13, 79){\sx{1}{$-6$}}
\put(400,-6.5){\sx{1}{$x$}}
\put(379,-7){\sx{.9}{$28$}}
\put(359,-7){\sx{.9}{$26$}}
\put(339,-7){\sx{.9}{$24$}}
\put(319,-7){\sx{.9}{$22$}}
\put(299,-7){\sx{.9}{$20$}}
\put(279,-7){\sx{.9}{$18$}}
\put(259,-7){\sx{.9}{$16$}}
\put(239,-7){\sx{.9}{$14$}}
\put(219,-7){\sx{.9}{$12$}}
\put(199,-7){\sx{.9}{$10$}}
\put(181,-7){\sx{.9}{$8$}}
\put(161,-7){\sx{.9}{$6$}}
\put(141,-7){\sx{.9}{$4$}}
\put(121,-7){\sx{.9}{$2$}}
\put(101,-7){\sx{.9}{$0$}}
\put( 75,-7){\sx{.9}{$-2$}}
\put( 55,-7){\sx{.9}{$-4$}}
\put( 35,-7){\sx{.9}{$-6$}}
\put( 15,-7){\sx{.9}{$-8$}}
}
\begin{figure}[h]
\hskip 18pt
%\sx{1.18}{\begin{picture}(262,312) 
%\sx{1.1}{\begin{picture}(262,312) 
\sx{1.}{\begin{picture}(262,312) 
\put(2,2){\ing{e1eghalf}} 
\figaxeh
%\put( 21,182){\sx{1.3}{\rot{53} \textcolor{white}{\rule{26pt}{9pt}}\ero}}
\put( 18,182){\sx{1.3}{\rot{49} $v\!=\!-1$\ero}}
%\put( 61,173){\sx{1.3}{\rot{85} \textcolor{white}{\rule{23pt}{9pt}}\ero}}
\put( 61,175){\sx{1.3}{\rot{82} $v\!=\!0$\ero}}
\put(16,150.2){\sx{1.4}{\bf cut - - - - - - -}} 
%\put(257,148.4){\sx{1.3}{$q\!=\!0$}}
%\put(307,148.4){\sx{1.7}{$\exp_{b,3}^{[0.5]}(z)\!\rightarrow\!\infty$}}
	\put(316,297){\sx{1.1}{\rot{16}$u\!=\!10$\ero}}
	\put(323,288){\sx{1.1}{\rot{20}$u\!=\!20$\ero}}
%	\put(338,274){\sx{1.1}{\rot{40}$u\!=\!40$\ero}}
	\put(343,266){\sx{1.1}{\rot{48}$u\!=\!50$\ero}}
	\put(358,254){\sx{1.1}{\rot{56}$u\!=\!70$\ero}}
	\put(378,244){\sx{1.1}{\rot{60}$u\!=\!100$\ero}}

\put(373,236){\sx{1.1}{\rot{-18}$v\!=\!100$\ero}}
\put(357,198){\sx{1.1}{\rot{-9}$v\!=\!50$\ero}}
\put(350,170){\sx{1.1}{\rot{-2}$v\!=\!20$\ero}}
\put(349,160){\sx{1.1}{\rot{-1}$v\!=\!10$\ero}}
\put(349,150){\sx{1.1}{$v\!=\!0$}}
\put(349,141){\sx{1.1}{\rot{1}$v\!=\!-10$\ero}}
\put(350,131){\sx{1.1}{\rot{2}$v\!=\!-20$\ero}}
\put(357,104){\sx{1.1}{\rot{9}$v\!=\!-50$\ero}}
%\put(142,225){\sx{.9}{\rot{-52}  \textcolor{white}{\rule{22pt}{9pt}} \ero }}
\put(166,249){\sx{1.}{\rot{-60} $v\!=\!15$\ero}}
\put(144,229){\sx{1.}{\rot{-54} $v\!=\!9$\ero}}
\put(130,218){\sx{1.}{\rot{-53} $v\!=\!6$\ero}}
%\put( 99,175){\sx{1.2}{ \rot{45}  \textcolor{white}{\rule{19pt}{10pt}} \ero }}
\put( 99,174){\sx{1.2}{\rot{45} $u\!=\!0$\ero}}
%\put(117,165){\sx{1.2}{\rot{57}  \textcolor{white}{\rule{20pt}{9pt}} \ero }}
\put(113,166){\sx{1.2}{\rot{57} $u\!=\!1$\ero}}
%\put(136,155){\sx{1.2}{\rot{72}  \textcolor{white}{\rule{21pt}{9pt}} \ero }}
\put(136,156){\sx{1.2}{\rot{72} $u\!=\!3$\ero}}
\end{picture}}
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\eta,\mathrm u}^{1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле  \rf{e1eF3G3}  для $n\!=\!1/2$  \iL{e1eghalf}}
\end{figure}

\RU{Нецелые итерация по формуле \rf{e1eF3G3}
имеют разрез вдоль вещественной оси от $-\infty$ до $\mathrm e\approx 2.71$; 
поэтому тонкие курвы на рисунке \ref{e1eiter} нельзя продолжить за стационарную точку. Чтобы пояснить неизбежность этого разреза, на рисунке \ref{e1eghalf} показан пример половинной итерации, $n\!=\!1/2$.
На комплексной карте половинной итерации этот разрез обозначен символом {\bf cut}.
}
\vskip 3mm

\RU{Как и другие комплексные карты вещественно-голоморфных функций, карта на рисунке 
\ref{e1eghalf} симметрична ``верх-низ'', так как}%
\be
\exp_{\eta,\mathrm u}^{1/2}(z^*)=
\exp_{\eta,\mathrm u}^{1/2}(z)^*
\ee
Для того, чтобы напомнить эту симметрию, я строю карты, помещая начало координат в середку изображения. Однако, когда места на странице не хватает, приходится жертвовать такой наглядностью, и строить лишь верхнюю половину карты. 
Я надеюсь, что у Читателя достаточно воображения для того, чтобы мыслено приставить к экрану зеркало и столь же мысленно увидеть в нем нижнюю часть комплексной карты. С рассчетом на это, на рисунке  \ref{e1e000map} показаны итерации экспоненты по основанию $\eta$ и для других $n$.  В частности, карта, соответствующая $n\!=\!0.5$, соответствует зумину из центральной части рисунка \ref{e1eghalf}.

\JP{
такой же разрез имеют и иные нецелые итерации, карты которых показаны на рисунке  \ref{e1e000map}. Эти итерации вещественно голоморфны, это обуславливает симметрию линий уровня относительно вещественной оси; поэтому на рисунке \ref{e1e000map} представлены лишь положительные значения мнимой части аргумента..}%RU
\vskip 2mm

\RU{Рисунок  \ref{e1e000map} показывает, как непрерывно и постепенно, при увеличении номера итерации от минус единицы до единицы, комплексная карта итерации изменяется от карты логарифма по основанию $\eta$ (верхняя правая карта) к карте тождественной функции (которая есть однородная прямоугольная сетка и поэтому не нарисована внизу) и затем к карте экспоненты по основанию $\eta$ (верхняя левая карта). 
\vskip 2mm

Аналогичные карты можно построить и для других передаточных функций. Одна из них рассмотрена в следующей главе.
%Я не загружаю в Книгу все такие карты, но а надеюсь, что Читатель может загрузить имплементации суперфункций, абельфункций и построить такие карты самостоятельно.
%Ниже, аналогичная эволюция прослеживается также и для итераций натуральной экспоненты.
}%RU
\vskip 2mm

\JP{
The half-iteration of the exponential to base 
$\exp(1/\mathrm e)$ has the cut line from the fixed point 
$\mathrm e\approx 2.71$ to 
$-\infty$. 
This cut line domes from the cut of the corresponding Abel function $G_3$. In the rest of the complex plane, the half iteration is holomorphic. In particular, $F^{1/2}(z)$ holomorphic in vicinity of the half-line $z\!>\!\mathrm e$; and at least in vicinity of this line, the relation holds
\be
T^{1/2}\Big(T^{1/2}(z)\Big)=T(z)
\eL{e1e1212}
Readers are invited to plot the complex map of the left hand side of equation \rf{e1e1212} and to compare it with the map the exponential to base $\exp(1/\mathrm e)$.
\vskip 2mm

The maps of the iterates
\be
\exp_{\eta,\mathrm u}^n=\mathrm{SuExp}_{\eta}(n+\mathrm{AuExp}(z))
%\iL{bad}
\label{e1eite}
\label{SuExpEnAuExp}
\ee
are shown in Figure
\ref{e1e000map} for various values of $n$.
\vskip 2mm
}%JP

\begin{figure}[t]
\newcommand \LeLa {
\put(-24,384){\sx{4}{$y$}}
\put(-24,288){\sx{4}{$3$}}
\put(-24,188){\sx{4}{$2$}}
\put(-24,88){\sx{4}{$1$}}
\put(-24,-12){\sx{4}{$0$}}
}
\newcommand \DoLa {
\put(70,-36){\sx{3.8}{$-3$}}
\put(170,-36){\sx{3.8}{$-2$}}
\put(270,-36){\sx{3.8}{$-1$}}
\put(390,-36){\sx{3.8}{$0$}}
\put(490,-36){\sx{3.8}{$1$}}
\put(590,-36){\sx{3.8}{$2$}}
\put(690,-36){\sx{3.8}{$3$}}
\put(786,-36){\sx{3.8}{$x$}}
}
%\begin{figure}%[H]
~
%\sx{.294}{\begin{picture}(802,402) 
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{e1e010map}} \LeLa 
\put(20,342){\sx{7}{$n\!=\!1$}} 
\put(36,180){\rot{38} \sx{5}{$u\!=\!0.2$} \ero}%%%%%
\put(176,88){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(276,050){\rot{64} \sx{5}{$u\!=\!0.6$} \ero}%%
\put(422,064){\rot{64} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(606,048){\rot{68} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(686,328){\rot{-53} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} %%%
\put(680,195){\rot{-34} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(678,86){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em10map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-1$}} 
\put(128,112){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!3$}\ero} %
\put(210,72){\rot{50} \sx{5}{$u\!=\!2$}\ero} %
\put(264,40){\rot{48} \sx{5}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(298,10){\rot{48} \sx{5}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(42,54){\rot{-9} \sx{5}{$v\!=\!8$}\ero}
\put(530,222){\rot{62} \sx{5}{$v\!=\!3$}\ero} 
\put(596,154){\rot{42} \sx{5}{$v\!=\!2$}\ero} 
\put(638, 76){\rot{21} \sx{5}{$v\!=\!1$}\ero} 
%\put(641,-12){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e009map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.9$}}
\put( 06,277){\rot{16} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(120,114){\rot{51} \sx{5}{$u\!=\!0.2$} \ero}
\put(240,079){\rot{60} \sx{5}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(438,064){\rot{65} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(610,048){\rot{70} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(686,328){\rot{-53} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} %%%
\put(680,195){\rot{-34} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(678,86){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em09map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.9$}} 
\put(70,196){\rot{41} \sx{5}{$u\!=\!3$} \ero}
\put(146,112){\rot{41} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(204, 62){\rot{41} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}%%%
\put(258, 35){\rot{38} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}%%%
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(542,236){\rot{57} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} 
\put(606,166){\rot{39} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero} 
\put(644,80){\rot{19} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(649,-13){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{e1e008map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.8$}}
\put( 46,152){\rot{35} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(194,100){\rot{53} \sx{5}{$u\!=\!0.2$} \ero}
\put(284,079){\rot{60} \sx{5}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(444,060){\rot{65} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(606,048){\rot{70} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(682,314){\rot{-46} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} %%%
\put(680,192){\rot{-30} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(678,86){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{e1em08map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.8$}} 
\put(92,192){\rot{29} \sx{5}{$u\!=\!3$} \ero}
\put(146,112){\rot{31} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(190, 56){\rot{30} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}%%%
\put(216, 6){\rot{30} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}%%%
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(544,238){\rot{50} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero} 
\put(608,166){\rot{34} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero} 
\put(646,80){\rot{16} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(649,-13){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e005map}} \LeLa 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.5$}} 
%\put(74,158){\rot{56} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
%\put(214,082){\rot{66} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(278,066){\rot{67} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(482,054){\rot{76} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(616,048){\rot{80} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(686,388){\rot{-34} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,288){\rot{-26} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,185){\rot{-16} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,86){\rot{-9} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em05map}}  
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.5$}}  
\put(412,372){\rot{-45} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}%%%
\put(336,308){\rot{-42} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(274,242){\rot{-34} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(148,202){\rot{-17} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(094,122){\rot{-8} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(598,280){\rot{29} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}%%%%
\put(638,186){\rot{18} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(666, 86){\rot{10} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e002map}} 
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.2$}}  \LeLa %\DoLa
\put(74,158){\rot{56} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
\put(214,082){\rot{66} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(378,066){\rot{79} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(506,054){\rot{84} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(616,048){\rot{84} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,376){\rot{-12} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,282){\rot{-10} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,185){\rot{-7} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,86){\rot{-4} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
%\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
%\put(200,240){\rot{-31} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em02map}}  
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.2$}}  %\DoLa 
\put(162,282){\rot{-62} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
\put(248,312){\rot{-67} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(344,318){\rot{-69} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(436,346){\rot{-72} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(534,372){\rot{-75} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}%%%
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(642,289){\rot{12} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}%%%%
\put(658,186){\rot{9} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(666, 86){\rot{4} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}\vskip 8pt

~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1e001map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.1$}}  \LeLa \DoLa
\put(290,150){\rot{78} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(402,136){\rot{79} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(514,124){\rot{84} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(618,118){\rot{86} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(684,382){\rot{-7} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(678,285){\rot{-6} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(674,186){\rot{-4} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(672,86){\rot{-1} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
%\put(114,210){\rot{-19} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.25}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{e1em01map}}  
\put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.1$}}  \DoLa 
\put(176,310){\rot{-76} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero}
\put(269,326){\rot{-78} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(366,350){\rot{-81} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(462,366){\rot{-82} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(562,386){\rot{-84} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
%\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(654,289){\rot{6} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(662,185){\rot{5} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
%\put(460,106){\rot{4} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
%\put(470,128){\rot{4.6} \sx{5}{$v\!\approx\!1.3372357$} \ero}
\put(670,87){\rot{1} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
%\put(682,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\end{picture}}
\caption{\large
Комплексные карты итераций экспоненты по основанию Генрика:
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\eta,\mathrm u}^{~n}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
\EN{by equation }%
\RU{по формуле }%
%\rf{e1eite}
\rf{e1eF3G3}
для различных $n$
%\rf{SuExpEnAuExp}
\iL{e1e000map}}
\end{figure}

\JP{
\EN{Example with transfer function $T$ by \rf{Te1e} had been considered by request  from Henryk Trappmann \cite{e1e}.
Historically, this was first example with transfer function, that has real fixed point, $\mathrm e$, but does not allow the standard non-integer rerate, regutar in vicinity of this point. Henrik had expected, that the precise evaluation of the superfunction and the Abel function will be difficult, if at al.}
\RU{Пример с передаточной функцией $T$ по формуле \rf{Te1e} был рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна (Henryk Trappmann) \cite{e1e}. Исторически, это был первый пример итераций вещественно-голоморфной функции,
которая имеет вещестсвенную стационарную точку, а именно, число $\mathrm e$, 
но не допускает обычные регулярные итерации в окрестности этой точки. Генрик ожидал, что 
аккуратное вычисление суперфункции, абельфункции и итераций для такой передаточной функции окажется затруднительным (и поэтому особенно интересным), или же даже вовсе невозможным. 
Разумеется, учет логарифма в асимптотическом разложении позволяет строить быстрые и аккуратные алгоритмы для вычисления суперфункции, абельфункции и нецелых итераций.}
\vskip 2mm


\EN{In the similar way, the readers are invited to plot also iterations with}%EN
\RU{Похожим образом, Читатели приглашаются построить также итерации по формуле}%RU
\be
T^n(z)=\exp_{\eta,\mathrm d}(z)=F_1(n+G_1(z))=\mathrm{tet}_\eta(n+\mathrm{ate}_\eta(z))
\eL{e1eF1G1}
\EN{that are holomorphic in vicinity of $z<\mathrm e$. However, for non-integer $n$, the iterates by \rf{e1eF1G1} are not analytical continuations of those by\rf{e1eF3G3}; one needs high precision (for example, long double) in order to see the deviation along the real axis.}%EN
\RU{которые голоморфны по крайней мере в окрестности $z\!<\!\mathrm e$. }%RU
Здесь для удобства использования для в других главах (где символы $F$ и $G$ могут обозначать иные суперфункции и абельфукции) предложены более длинные имена
$\mathrm{tet}_{\eta}=F_1$ и $\mathrm{ate}_{\eta}=G_1=F_1^{-1}$. Индекс $d$ в формуле \rf{e1eF1G1} указывает, что для вычисления итерации использована суперфункция, голоморфная ниже (down) стационарной точки, то есть при значениях аргумента, меньших $\eta$ и близлежащей области комплексной плоскости.
\vskip 2mm

\RU{В следующих главах, рассматриваются ещё примеры вещественно-голоморфных передаточных функций, у каждой из которых есть вещественная стационарная точка, но регулярная итерация во окрестности такой точки невозможна. Там для таких передаточных функций тоже строятся эксотические итерации.}
\EN{In the next Chapter, one more example is considered, where the derivative of the transfer function is unity at the fixed point. This function is just sin, well known since the elementary school; so, I feel, it should be included in this Book.}
}%JP

%\chapter{$\mathrn{zex}(z)=z \exp(z)$}
%\chapter{~ LambertW and its iterates}
\chapter{~ Функции LambertW и zex %$\mathrm{zex}(z)=z \exp(z)$
}
\baselineskip 20pt

%\begin{figure}{h}
\begin{wrapfigure}[1]{r}{408px}
%\vskip -24pt
%\hskip 20pt
\normalsize
\sx{.6}{\begin{picture}(608,380)
 \put(1,9){\ing{zexplo2}}
 \put(388,398){\sx{2.9}{$y$}}
 \put(409,378){\sx{3.1}{$\mathrm e$}}
 \put(388,303){\sx{2.8}{$2$}}
 \put(388,203){\sx{2.8}{$1$}}
 \put(388,103){\sx{2.8}{$0$}}
 \put(409,70){\sx{2.6}{$-\!1/\mathrm e$}}
 \put( 86, 90){\sx{2.5}{$-\!3$}}
 \put(186, 90){\sx{2.5}{$-\!2$}}
 \put(286,90){\sx{2.5}{$-\!1$}}
 % \put(300,-9){\sx{2.5}{$0$}}
 \put(500,90){\sx{2.5}{$1$}}
 \put(600,90){\sx{2.5}{$2$}}
 %\put(598,90){\sx{2.6}{$x$}}
 \put(630,90){\sx{2.6}{$x$}}
 \put(455,180){\sx{3}{$y\!=\!\mathrm{zex}(x)$}}
 \end{picture}}
 \vskip -12pt
\hskip 10pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexPlot.png}
\vskip -4pt 
\caption{\large
$~y\!=\!\mathrm{zex}(x)\!=\!x \, \exp(x)$ \label{zexplot}}
\vskip -300pt
\end{wrapfigure}
~

\rule{0pt}{274pt}

\EN{This chapter deals with function}
\RU{ В этой главе рассматривается функция} ArcLambertW,
\be 
%\!\!\!\!\!\!\!\! \mathrm{ArcLambertW}(z) \!&\!=\!&\! \mathrm{ArcProductLog}(z) \nonumber\\
%&\!=\!&\! \mathrm{zex}(z) = z \exp(z)
\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcLambertW}(z) = \mathrm{ArcProductLog}(z) 
= \mathrm{zex}(z) = z \exp(z)
\label{zexDef}
\ee
%\label{zexDef}
%\ee

%\begin{wrapfigure}[12]{r}{210px}
Длинное имя ArcLambertW эквивалентно ещё более длинному обозначению ArcProductLog. Такие имена напоминают ``{\em монохид дигедрогена}''
%, которое выглядит устрашающе (и используется для мистификаций), но обозначает обычную воду, $\rm H_2O$ 
(см. рис. \ref{monoxid}). То есть формально, вроде, правильно, обратная функция по отношению к функции ProductLog вполне может называться ArcProductLog, но использовать такое обозначение в формулах неудобно.
% \footnote{Особенно после того, как Редактор попросила поля расширить, а шрифт укрупнить}. 
Поэтому я использую обозначение zex. Для вещественного аргумента, график функции zex по формуле \rf{zexDef} представлен на рисунке \ref{zexplot}.
\vskip 2mm

Короткое имя zex образовано из первых трех букв последнего выражения в формуле \rf{zexDef}. Эта функция используется для иллюстрации общей идеи построения ``экзотических'' итераций 
передаточной функции, у которой производная в стационарной точке равна единице. То есть как бы для закрепления материала.
\vskip 2mm

Название этой Главы указывает, что речь идет о функция LambertW. Однако мне удобнее работать с функцией zex, которая проще; хотя бы потому, что у неё нет особых точек. В моё оправдание замечу, что построение итераций функции zex эквивалентно построению итераций функции  LambertW. И даже эквивалентно построению итераций функции ProductLog, которая то же, что и  LambertW. Потому как
$\mathrm{zex}^{-n}\!=\!\mathrm{LambertW}^n$, и номер итерации $n$ может принимать не только что отрицательные, а ажно комлексные значения. Так что если кто умеет итериривать функцию zex, то он/она 
умеет итерировать и функцию LambertW. И наоборот.
\vskip 2mm

%Кроме того, н
Название главы должно быть видным и гуглебельным. Название LambertW известно широко, а в названии zex 
%некоторые 
поисковики пытаются исправлять первую букву, чтобы предложить миллионы коммерческих ссылок. Содержание таких ссылок выходит за пределы темы этой Книги, поэтому в названии главы упоминаeтся не zex, а LambertW.
\vskip 2mm

Я надеюсь, что Читатель не смутится названием, и сам сможет провести все рассчеты этой главы, по аналогии с тем, как в предыдущей секции это сделано для экспоненты по основанию Генрика ($\eta\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}$). 
Однако я помню старое правило, что если на докладе за первой партой сидят
Софья Ковалевская и Леонард Эйлер, а на последней парте --- Надя Кискина и Вася Пупкин, то обращаться надо к Наде и Васе; тогда, может быть, Софья и Леонард поймут хотя бы основную идею доклада и зададут ``самые мучительные социальные вопросы'' \cite{erofeev}.
\vskip 2mm

%Нильс Бор и Хидеки Юкава, а на последней парте - Джон Смит и Вася Пупкин, то обращаться надо к Смиту и к Пупкину; тогда, может быть, Бор и Юкава поймут хотя бы основную идею доклада. 
Адаптируя такое правило к этой Книге, в этой главе я описываю, как для функции zex строятся суперфункция, абельфункция и нецелые итерации. Потому как повторение, хоть и не мать остроумия, но всё ещё мать учения. Я рекомендую Читателям делать выкладки самостоятельно, и лишь иногда подглядывать в книгу, чтобы выудить хинт (подсказку) или подтвердить правильность формулы.

%\section{Функции zex и  LambertW}
\section{Голоморфный zex}
\baselineskip 20.8pt
График функции zex по формуле \rf{zexDef} показан на рисунке \ref{zexplot}.
При больших отрицательных значениях аргумента zex стремится к нулю, и убывает от нуля на минус бесконечности до значения $-1/\mathrm e$ в точке $-1$, затем растет. График проходит через точку $(0,0)$, и в нуле производная функции  zex равна единице. Именно поэтому итерации зекса квалифицируются как экзотические. При б\'oльших значениях аргумента  zex продолжает быстро расти до бесконечности.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.194}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.34}{\begin{picture}(1252,1220)
\put(40,20){\ing{zexmap}}
\put(18,1206){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18,1113){\sx{3}{$5$}}
\put(18,1013){\sx{3}{$4$}}
\put(18, 913){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 813){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 513){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 413){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-4$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-5$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-6$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-6$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-5$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(414, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(514, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(835, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(935, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(1035, -5){\sx{3}{$4$}}
\put(1135, -5){\sx{3}{$5$}}
\put(1227,-4){\sx{3}{$x$}}
\put(90,1162){\sx{4}{\rot{7}$u\!=\!0$\ero}}
\put(90,987){\sx{4}{\rot{6}$v\!=\!0$\ero}}
\put(90,802){\sx{4}{\rot{5}$u\!=\!0$\ero}}
\put(90,611){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(404,545){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(980,641){\sx{4}{\rot{-4}$v\!=\!16$\ero}}
\put(970,581){\sx{4}{\rot{3}$v\!=\!-16$\ero}}
\put(978,517){\sx{4}{\rot{-7}$u\!=\!16$\ero}}
\put(970,458){\sx{4}{\rot{-1}$u\!=\!-16$\ero}}
\put(90,421){\sx{4}{\rot{-5}$u\!=\!0$\ero}}
\put(90,237){\sx{4}{\rot{-6}$v\!=\!0$\ero}}
\put(90, 61){\sx{4}{\rot{-7}$u\!=\!0$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexD6mapT100.png}
\vskip -6pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{zex}(x\!+\!\mathrm i y)$ by \rf{zexDef} %слева; $u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{ArcZex}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\! \mathrm{LambertW}(x\!+\!\mathrm i y)$ , справа 
\iL{zexmap}}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
 %\sx{1.44}{ \begin{picture}(164,165)
 \sx{2.44}{ \begin{picture}(164,165)
 %\put(6,5){\ing{taniacontour}}
% \put(6,5){\ing{productlogmap}}
 \put(6,5){\ing{lambertwmap}}
 \put(2,162){\sx{.7}{$y$}}
 \put(2,144){\sx{.6}{$6$}}
 \put(2,124){\sx{.6}{$4$}}
 \put(2,104){\sx{.6}{$2$}}
 \put(4,118){ \sx{.8}{\rot{-36}$v\!=\!1.8$\ero}}
 \put(3,96){ \sx{.8}{\rot{-20}$v\!=\!2$\ero}}
 \put(2, 84){\sx{.6}{$0$}}
 \put(8, 84){\sx{.8}{\bf cut}}
 \put(7,72){\sx{.7}{\rot{18}$v\!=\!-\!2$\ero}}
 \put(-3,64){\sx{.6}{$-2$}}
 \put(-3,44){\sx{.6}{$-4$}}
 \put(-3,24){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 22,0){\sx{.6}{$-6$}}
 \put( 42,0){\sx{.6}{$-4$}}
 \put( 62,0){\sx{.6}{$-2$}}
 \put( 86,0){\sx{.6}{$0$}}
 \put(106,0){\sx{.6}{$2$}}
 \put(126,0){\sx{.6}{$4$}}
 \put(146,0){\sx{.6}{$6$}}
 \put(164,0){\sx{.7}{$x$}}
 \put( 43, 73){\rot{-39}\sx{.8}{$u\!=\!0.8$}\ero}
 \put( 41, 57){\rot{-27}\sx{.84}{$u\!=\!1$}\ero}
 \put( 39, 40){\rot{-19}\sx{.8}{$u\!=\!1.2$}\ero}
 \put( 33, 21){\rot{-18}\sx{.8}{$u\!=\!1.4$}\ero}
 \put( 85, 145){\rot{83}\sx{.82}{$v\!=\!1$}\ero}
 \put(137, 102){\rot{17}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
 \put(144, 84){\rot{0}\sx{.8}{$v\!=\!0$}\ero}
 \put(140, 65){\rot{-16}\sx{.72}{$v\!=\!-\!0.2$}\ero}
 \put(134, 46){\rot{-32}\sx{.72}{$v\!=\!-0.4$}\ero}
 \put( 79, 33){\rot{-80}\sx{.86}{$v\!=\!-1$}\ero}
 \end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LambertWmap150.png}
\vskip -2pt
\caption{ \large
$u\!+\!\mathrm i v \!=\! \mathrm{ArcZex}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\! \mathrm{LambertW}(x\!+\!\mathrm i y)$  
\label{arczexmap}}
\end{figure}

Комплексная карта функции  zex представлена на рисунке \ref{zexmap}.
Эта функция является целой. То есть голоморфна где ни попади.
\vskip 2mm

%В правой части представлена карта обратной функции, то есть функции LambertW.
Карта обратной функции, то есть
\be
\mathrm{zex}^{-1}=\mathrm{ArcZex}=\mathrm{zex}^{-1}=\mathrm{LambertW}
\ee
показана на рисунке  \ref{arczexmap}. Эта функция имеет разрез, обозначенный символом  {\bf cut}.
\vskip 2mm

%B правой части рисунка \ref{zexmap} представлена карта обратной %фуннкции, то есть $\mathrm{ArcZex}=\mathrm{zex}^{-1}=\mathrm{LambertW}$. 
Функцию LambertW можно определить как решение $F$ дифференциального уравнения
\be
F'(z)= \frac{F(z)}{(1+F(z))~z}
\eL{LambertWdifur}
с дополнительным условием $F(0)\!=\!0$, где контур интегрирования идет от нуля вдоль мнимой оси до мнимой части аргумента, а потом, параллельно вещественной оси, до значения аргумента. Решая уравнение \rf{LambertWdifur}, Читатель может проследить, что обратная функция от решения есть zex. 
\vskip 2mm

\EN{LambertW function is related to the Tania function}
\RU{Функцию LambertW можно выразить через функцию Таня, определенную формулой} \rf{taniaprim}:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{Tania}(z)=\mathrm{LambertW}\Big(\exp(1\!+\!z)\Big) \\
%~$,  $~\mathrm{WrightOmega}(z)=\mathrm{LambertW}\Big(\exp(z)\Big)~~$, $~|\Im(z)|\!<\!\pi$
\mathrm{LambertW}(z)=\mathrm{Tania}\Big(\ln(z)-1\Big)
\eL{taniaLambertW}
\EN{As the imaginary part of the logarithm is limited to the $-\pi,\pi$ range, in this expression, the argument of the tania function is always inside the strip along the real part, seen in the complex map of the Tania function in figure}%EN
\RU{Мнимая часть значений логарифма всегда находится в интервале от  $-\pi$ до $\pi$. 
Поэтому в выражении \rf{taniaLambertW}, разрезы функции Таня (см. рисунок \ref{figTaniaMap}) не добавляют разрезов к области голоморфизма функции LambertW. Эта функция имеет только один разрез, от логарифма в аргументе Тани в правой части уравнения \rf{taniaLambertW}. 
Этот разрез идет от точки ветвления $-1/\mathrm e$ до минус бесконечности.
%На рисунке \ref{zexmap}, этот разрез обозначен символом {\bf cut}.
}
% 
\vskip 2mm

%Мне не попалось хорошей (быстрой, надежной и аккуратной) имплементации complex double для функции LambertW на языке C++, и мне пришлось делать её самому. Для нее использованы вполне очевидные разложения. Эти разложения перечислены ниже.
\RU{Мне не попалось хорошей имплементации complex double для фунции LambertW  на языке C++,
на котором у меня написаны хорошие графопостроители. Поэтому мне пришлось делать такую имплементацию самому. Для этой имплементации использованы вполне очевидные разложения. Эти разложения перечислены ниже.
}
\vskip 2mm

\EN{For small values of argument, LambertW can be expanded as follows:}
\RU{Для малых значений аргумента, есть разложение 
%функции LambertW 
в нуле:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 
\mathrm{LambertW}(z)\!\!&=&
z\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n\!+\!1)^{n-1}}{n!} (-z)^n 
\nonumber\\
&=&\!\!
z \!-\! z^2 \!+\!\frac{3 z^3}{2}
\!-\!\frac{8z^4}{3}
\!+\!\frac{125z^5}{24}
\!-\!\frac{54 z^6}{5}
\!+\!\frac{16807 z^7}{720} +.. ~
\ee
\EN{The series converges at}\RU{Ряд сходится при}
$|z|\!<\! 1/\mathrm{e} \!\approx\! 0.367879~$.
\EN{With 48 terms, at $|z|\!\le 0.2$, the sum provides at least 16 correct decimal digits.}
\RU{При учете 48 слагаемых, для $|z|\!\le 0.2$, такая суммя дает для $\mathrm{LambertW}(z)$ 
по крайней мере 16 корректных значащих цифр.}
\vskip 2mm

\EN{The expansion at of the branch point can be written as follows:}
\RU{Разложение вблизи точки ветвления можно записать так:}
\be \!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\!\! 
&\ds \mathrm{LambertW}\Big(\frac{-1}{\mathrm e} + \frac{t^2}{2\mathrm e}\Big)
\!=-1
+t 
-\frac{t^2}{3} 
+\frac{11 t^3}{72} 
-\frac{43 t^4}{540} 
+\frac{769 t^5}{17280} 
- \frac{221 t^6}{8505}  \!\!\!\!  \nonumber\\ 
\!\!\!\!\!& \ds \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 
+\frac{680863 t^7}{43545600} 
-\frac{1963 t^8}{204120} 
+\frac{226287557 t^9}{37623398400} 
-\frac{5776369 t^{10}}{1515591000} +.. \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\ee
% <!-- $\displaystyle  ~+~O(t^{11})$!-->
\EN{The expansion can be used for approximation of LambertW while } %
\RU{Такое разложение можно использовать для аппроксимации функции LambertW при}
$|t|\!<\!1$, 
\EN{id est, while the argument of LambertW is close to}
\RU{то есть когда аргумент функции LambertW близок к значению}
 $-\exp(-1)\!\approx\!  -0.367879~$. 
\vskip 2mm

\EN{For large values of $|z|$, using notations $L\!=\ln(z)$ and $M\!=\!\ln^2(z)$  the expansion of $\mathrm{LambertW}(z)$ can be written as follows:}%
\RU{Для больших значений $|z|$, обозначу $L\!=\ln(z)$ и $M\!=\!\ln(L)\!=\!\ln^2(z)$; тогда разложение для $\mathrm{LambertW}(z)$ можно записать так:}%

\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{LambertW}(z)~ = ~ ~ ~ ~ ~ L - M +\frac{M}{L}
+ ~ \frac{M(-2+M)}{2L^2} ~ ~ ~ ~\nonumber\\
+\, \frac{M(6-9M+2M^2)}{6L^3} ~~~~\nonumber\\
+\, \frac{M(-12+36M-22M^2+3M^3)}{12 L^4} ~~~~\nonumber\\
+\, \frac{M(60-300M+350M^2-125M^3+12M^4)}{60L^5}~~~~\nonumber\\
+\frac{M(-120+900M-1700M^2+1125M^3-274M^4+20 M^5)}{120L^6} ~~~~\nonumber\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+~ O\Big(\frac{M}{L}\Big)^7 ~ ~ ~
\label{LambertWLM}
\ee
\EN{where the effective parameter of expansion seems to be }%EN
%\RU{При этом эффективный малый параметр разложения }%RU
\RU{При этом малым параметрoм разложения является }%RU
$\varepsilon\!=\!\ln^2(z)/\ln(z)$; 
\EN{at $|\varepsilon| \!\ll\! 1$, the asymptotics \rf{LambertWLM} can be used for the evaluation of LambertW.}%
\RU{при $|\varepsilon| \!\ll\! 1$, разложение \rf{LambertWLM} дает аккуратную аппроксимацию функции LambertW.}%
\vskip 2mm

\EN{As usually, the upper superscript after the function indicates the number of iterations, and the upper superscript after the argument and the closing parenthesis indicates the power that is assumed to be evaluated after the evaluation of the function.
However, $\ln^{-1}(z)=\exp(z)$ should not be confused with $1/\ln(z)$, nor
$\ln^{2}(z)=\ln(\ln(z))$ should be confused with $\ln(z)^2$, and so on.}%EN
\RU{Как обычно, верхний индекс после имени функции указывает номер итерации, вычисление второй (то есть целой) итерации логарифма не вызывает сложностей, а верхний индекс после того, как указан аргумент и закрыта скобка, указывает степень, в которую следует возвести результат вычисления функции. Таким образом,  выражение $\ln^{-1}(z)=\exp(z)$ не следует путать с выражением $1/\ln(z)$, 
а выражение $\ln^{2}(z)\!=\!\ln(\ln(z))$ не должно конфузироваться с выражением $\ln(z)^2$. }%RU
Это соответствует общей системе обозначений, принятых в этой Книге.
\vskip 2mm

\EN{The asymptotics above allow to implement the efficient and precise algorithm for evaluation of LambertW. The C++ implementation is loaded as }%EN
\RU{Предлагаемые выше разложения позволяют написать эффективный (быстрый и аккуратный) алгоритм для вычисления обратной функции для zex, то есть функции LambertW. Его имплементация на языке C++ загружена по урлю \\}%RU
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW.cin}.
\vskip 2mm

\RU{Функция $\mathrm{LambertW}\!=\!\mathrm{zex}^{-1}$ требуется для вычисления итераций функции zex через её суперфукцию и абельфункцию. Суперфункция для передаточной функции zex рассмотрена в следующей секции.}

\section{SuZex}

\EN{Superfunction for the transfer function zex is solution $F$ of the transfer equation}
\RU{Суперфункцией для передаточной функции zex по формуле \rf{zexDef} является решение $F$ 
передаточного уравнения}
\be
F(z\!+\!1)=\mathrm{zex}\Big(F(z)\Big)
\eL{suzexFeq}
\EN{For some integer $M>1$, search for the asymptotic expansion of the solution in the following form:}%
\RU{Для некоторого целого числа $M\!>\!1$, ищу решение  $F$ 
%этого уравнения 
в таком виде:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)=F_M(z)+ O\left(\frac{\ln(\pm z)^{M+1}}{z^{M+2}}\right) ~~~~~~~
\eL{SuZexFMa}
\EN{where}%
\RU{где}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_M(z)=  -\frac{1}{z} + \frac{\frac{1}{2}\ln(\pm z) }{ z^2} +
\frac{1}{z}
\sum_{m=2}^{M} \frac{P_m\Big(\ln(\pm z)\Big)}{z^m} ~
\eL{SuZexFM}

\be 
P_m(z)=\sum_{n=0}^{m} c_{m,n} (-z)^n ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~
\eL{SuZexP}

\EN{The coefficients $c$ can be found by substitution of expansion \rf{SuZexFMa} into the transfer equation \rf{suzexFeq}. 
The example of the primitive Mathematica code that does this is shown below: }%
\RU{Коэффициенты $c$ в формуле \rf{SuZexP} можно найти подстановкой разложения
\rf{SuZexFMa} в передаточное уравнение \rf{suzexFeq}. 
Для этого может использоваться следующая программа на языке Математика:}%

\vskip -12pt ~
\begin{verbatim}
zex[z_] = z Exp[z];
Foo[z_] = -1/z + a Log[z]/z^2
Soo = Series[Foo[z+1]-zex[Foo[z]], {z,Infinity,3}]
Eoo = Coefficient[Soo,1/z^3]
Ao = Extract[Solve[Eoo==0, a], 1]
F2o[z_] = ReplaceAll[Foo[z], Ao]
F20[z_] = F2o[z] + (a Log[z]^2 + b Log[z] + c)/z^3
S2o = Series[F20[z+1] - zex[F20[z]], {z,Infinity,4}]
S20 = ReplaceAll[S2o, Log[1/z] -> -L]
E2o = Coefficient[S20, 1/z^4]
E22 = Coefficient[E2o, L^2]
A1 = Extract[Extract[Solve[E22==0, a], 1], 1]
E2A = ReplaceAll[E2o, A1]
E21 = Coefficient[E2A, L]
B1 = Extract[Extract[Solve[E21==0, b], 1], 1]
E2B = ReplaceAll[E2A, B1]
C1 = Extract[Extract[Solve[E2B==0, c], 1], 1]
F3o[z_] = ReplaceAll[F20[z], {A1, B1, C1}]
F30[z_] = F3o[z]+(a Log[z]^3+b Log[z]^2+c Log[z]+d)/z^4
S3o = Series[F30[z+1] - zex[F30[z]], {z, Infinity, 5}]
S30 = ReplaceAll[S3o, Log[1/z] -> -L]
E3o = Coefficient[S30, 1/z^5]
E33 = Coefficient[E3o, L^3]
A3 = Extract[Extract[Solve[E33==0, a], 1], 1]
E3a = ReplaceAll[E3o, A3]
E32 = Coefficient[E3a, L^2]
B3 = Extract[Extract[Solve[E32==0, b], 1], 1]
E3b = ReplaceAll[E3a, B3]
E31 = Coefficient[E3b, L]
C3 = Extract[Extract[Solve[E31==0, c], 1], 1]
E3c = ReplaceAll[E3b, C3]
D3 = Extract[Extract[Solve[E3c == 0, d], 1], 1]
F4o[z_] = ReplaceAll[F30[z], {A3, B3, C3, D3}]
F40[z_] = F4o[z] +
      (a Log[z]^4+b Log[z]^3+c Log[z]^2+d Log[z]+e)/z^5
S4o = Series[F40[z+1] - zex[F40[z]], {z, Infinity, 6}]
\end{verbatim}
\EN{Such a calculus leads to the following asymptotics:}%
\RU{Такой рассчет дает следующую асиммптотику:}
\be \!\!\!\!\!\!
F(z)\!&\!=\!&  -\frac{1}{z}
+
\frac{\frac{1}{2}\ell }{ z^2}
+
\frac{\frac{-1}{4}\ell^2 +\frac{1}{4}\ell-\frac{1}{6}}{z^3_{\phantom{p}} } 
+ 
\frac{\frac{ 1}{8}\ell^3 +\frac{-5}{16}\ell^2+\frac{3}{8}\ell+\frac{-7}{48}  }{z^4_{\phantom{p}}} 
\nonumber \\ &&
+ ~
\frac{\frac{-1}{16}\ell^4+\frac{13}{48}\ell^3+\frac{-17}{32}\ell^2+\frac{23}{48}\ell+\frac{-707}{4320} }{z^5_{\phantom{p}}}
\nonumber \\ &&
+~
\frac{\frac{ 1}{32}\ell^5+\frac{-77}{384}\ell^4+\frac{37}{64}\ell^3+\frac{-83}{96}\ell^2+\frac{1121}{1728}\ell + \frac{-1637}{8640}  }{z^6_{\phantom{p}}} 
\nonumber \\ &&
+ ~
\frac{\frac{-1}{64}\ell^6+\frac{87}{640}\ell^5+\frac{-205}{384}\ell^4+\frac{443}{384}\ell^3+\frac{-1619}{1152}\ell^2+\frac{15427}{17280}\ell + \frac{-274133}{1209600}  }{z^6} \nonumber \\ &&
+ ~
O\left(\frac{\ell^7}{z^8}\right)
\ee
где $\ell=\ln(-z)$.

%\begin{wrapfigure}{l}{166px}
%\begin{wrapfigure}{l}{175px}
\begin{wrapfigure}{l}{178px}
\normalsize
\vskip 6pt
\sx{.34}{\begin{picture}(1202,1102)
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
\put(322,1090){\sx{4}{$y$}}
\put(292,372){\sx{4}{$\mathrm e$}}
\put(315, 62){\sx{4}{$-\!1/\mathrm e$}}
\put(325,998){\sx{4}{$9$}}
\put(325,898){\sx{4}{$8$}}
\put(325,798){\sx{4}{$7$}}
\put(325,698){\sx{4}{$6$}}
\put(325,598){\sx{4}{$5$}}
\put(325,498){\sx{4}{$4$}}
\put(325,398){\sx{4}{$3$}}
\put(325,298){\sx{4}{$2$}}
\put(325,198){\sx{4}{$1$}}
%\put(325,098){\sx{4}{$0$}}

\put(078,116){\sx{4}{$-\!2$}}
\put(178,116){\sx{4}{$-\!1$}}
\put(304,116){\sx{4}{$0$}}
\put(404,116){\sx{4}{$1$}}
\put(490,116){\sx{4}{$x$}}

\put(12,188){\sx{4}{\rot{0}$y\!=\!\mathrm{SuZex}(x)$\ero}}
\put(358,162){\sx{4}{\rot{0}$y\!=\!x\mathrm{e}^x$\ero}}
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}}
%\put(10,10){\ing{SuZexPlot511}}
\put(10,10){\ing{suzexplo}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
\caption{\large
$~ ~y=\mathrm{SuZex}(x)~ ~  ~ ~ ~ ~ $  по формуле \rf{SuZexDef} 
\label{suzexplo} }
\vskip 16pt
\end{wrapfigure}

Для некоторого фиксированного числа $M$, суперфункцию $F$  можно выразить через её $M$ную асимптотику в таком виде:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z) =\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{zex}^n\!\Big(F_M(z\!-\!n)\Big)
\label{SuZexFdef}
\ee
\EN{Due to the asymptotic behaviour of function $F_M$, the resulting $F$ does not depend on the number $M$ of terms taken into account in the primary approximation. However, the rate of convergence of the limit for larger $M$ is higher.}%
\RU{Поскольку $F_M$ является асимптотическим решением, получающаяся суперфункция $F$ не зависит от числа $M$ термов, принимаемых во внимание в первичном приближении.
Разумеется, с увеличением числа $M$ скорость сходимости увеличивается.}%
\vskip 2mm

%In order to simplify the comparison of different representations of the superfunction, it is convenient to  
%define the misplaced function
Чтобы упростить сравнения различных суперфункций, удобно определить ``сдвинутую'' функцию
%, а именно,
\be
\mathrm{SuZex}(z)=F(z_1\!+\!z)
\label{SuZexDef}
\ee
\EN{where $z_1\!\approx\! -1.1259817765745026$ is solution of equation $F(z_1)\!=\!1$.}%
\RU{где $z_1\!\approx\! -1.1259817765745026$ есть решение уравнения $F(z_1)\!=\!1$. }%
\EN{This definition gives a way to evaluate the superfunction of zex. }%
%\RU{Такое определение дает способ вычисления суперфункции от передаточной функции zex. }%
\EN{The complex double implementation in C++ is loaded as }%
Имплементация такого алгоритма 
на 
%языке 
C++ загружена в
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuZex.cin}
\vskip 2mm

\EN{For real values of argument, the explicit plot of function SuZex is shown in figure }%
График функции  SuZex  показан на рисунке
%\RU{Для вещественных значений аргумента, график функции SuZex показан на рисунке }%
\ref{suzexplo} 
толстой кривой. Для сравнения, тонкая линия показывает функцию zex.
Эти курвы пересекаются в точке $(1,\mathrm e)$, 
а также вблизи точки $(1.4,6.2)$. Для вещественных значений аргумента, SuZexp есть положительная монотонно возрастающая функция.
На минус бесконечности она приближается к нулю, 
как предписывает асимптотика \rf{SuZexFM}. 
SuZex принимает значение единица в нуле,
и затем быстро растет при положительных значениях аргумента.
\EN{with thick line. For comparison, the thin line shows the zex function, id set, $y\!=\!z\exp(z)$. These curves cross points $(1,\mathrm e)$ 
and in vicinity of point $(1.4,6.2)$.
\vskip 2mm

For real values of argument, SuZexp is positive monotonously growing function. At $-\infty$, it approaches zero, as the asymptotic representation
\rf{SuZexFM} prescribes. 

Then, the curve passes through point $(0,1)$, and then - through point $(1,\mathrm e)$.
At this point it grows a little bit slower, than function zex, but soon overdoes the zex, showing very fast growth, faster, than the growth of any exponential.
}
\vskip 2mm

Комплексная карта функции SuZex показана 
%в левой части 
на рисунке \ref{suzexmap}.
Ввиду быстрого роста этой функции при положительных значениях аргумента,
уровни не удалось провести в окрестности луча $x\!>\!1$; эта полоса осталась пустой.
%В правой части этого рисунка показана карта обратной функция, то есть функции $\mathrm{AuZex}=\mathrm{SuZex}^{-1}$.
%Функция AuZex, которая является абельфункцияй для передаточной функции zex, рассмотрена в следующей секции.
Функция SuZex голоморфна во всей комплексной плоскости. То есть это целая функция. В следующей секции, для неё строится обратная функция. 

\EN{
The same behaviour can be seen also at figure \ref{suzexmap}, that represents the complex map of function SuZex.
this function is entire, id set, holomorphic in the whole complex plane. The inverse function,  shown in the right hand side of figure \ref{suzexmap},
is considered in the next section.}

%\begin{wrapfigure}[3]{l}{600px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.2}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.34}{\begin{picture}(1252,1220)
\put(40,20){\ing{suzexmap}}
\put(18,1206){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18,1113){\sx{3}{$5$}}
\put(18,1013){\sx{3}{$4$}}
\put(18, 913){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 813){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 513){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 413){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-4$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-5$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-6$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-6$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-5$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(414, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(514, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(835, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(935, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(1035, -5){\sx{3}{$4$}}
\put(1135, -5){\sx{3}{$5$}}
\put(1227,-4){\sx{3}{$x$}}
\put(290,611){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(183,560){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(468,560){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(696,118){\sx{4}{\rot{83}$u\!=\!0$\ero}}
\put(980,236){\sx{4}{\rot{24}$u\!=\!-0.2$\ero}}
\put(790, 44){\sx{4}{\rot{38}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuZexMapT.jpg}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuZexD1mapT.png}
\vskip -4pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v =\mathrm{SuZex}(x\!+\!\mathrm i y)$
\label{suzexmap}}
\end{figure}
%\vskip 400pt
%\end{wrapfigure}
%~
%\rule{0pt}{250pt}
%~
%\vskip 2mm
%\begin{wrapfigure}[3]{l}{600px}

\begin{figure}[t]
%\sx{.12}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.2}{\begin{picture}(2052,2020)
\put(100,100){\ing{auzexmap2}}
\put(40,2048){\sx{8}{$y$}}
\put(40,1880){\sx{7}{$8$}}
\put(40,1680){\sx{7}{$6$}}
\put(40,1480){\sx{7}{$4$}}
\put(40,1280){\sx{7}{$2$}}
\put(40,1080){\sx{7}{$0$}}
\put(-12,880){\sx{7}{$-2$}}
\put(-12,680){\sx{7}{$-4$}}
\put(-12,480){\sx{7}{$-6$}}
\put(-12,280){\sx{7}{$-8$}}
\put(002, 28){\sx{7}{$-\!10$}}
\put(220, 28){\sx{7}{$-8$}}
\put(420, 28){\sx{7}{$-6$}}
\put(620, 28){\sx{7}{$-4$}}
\put(820, 28){\sx{7}{$-2$}}
\put(1088, 28){\sx{7}{$0$}}
\put(1288, 28){\sx{7}{$2$}}
\put(1488, 28){\sx{7}{$4$}}
\put(1688, 28){\sx{7}{$6$}}
\put(1888, 28){\sx{7}{$8$}}
\put(2058, 28){\sx{7}{$x$}}
\put(258,1088){\sx{8}{\bf cut}}
%
\put(500,1840){\sx{8}{\rot{0}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(500,0310){\sx{8}{\rot{0}$v\!=\!-0.6$\ero}}
\put(444,0510){\sx{8}{\rot{62}$u\!=\!2$\ero}}
%
\put(1610,1312){\sx{8}{\rot{42}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(1770,1082){\sx{8}{$v\!=\!0$}}
\put(1650,0912){\sx{8}{\rot{80}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(1950,0802){\sx{8}{\rot{70}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(1650,0808){\sx{8}{\rot{-48}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuZexMapT.jpg}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuZexD1mapT.png}
\vskip -8pt
\caption{\large
%$u\!+\!\mathrm i v =\mathrm{SuZex}(x\!+\!\mathrm i y)$, left, and
$u\!+\!\mathrm i v =\mathrm{AuZex}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{auzexmap}}
\end{figure}
%\vskip 400pt
%\end{wrapfigure}
%~
%\rule{0pt}{250pt}
%~
%\vskip 2mm

\section{AuZex}
\EN{Complex map of function $\mathrm{AuZex}=\mathrm{SuZex}^{-1}$, id est, abelfunction for the transferfunction zex, is shown in the right hand side of figure \ref{auzexmap}. This section describes properties of function AuZex. }%
\RU{Комплексная карта функции $\mathrm{AuZex}=\mathrm{SuZex}^{-1}$, то есть абельфункции для передаточной функции $\mathrm{zex}(z)\!=\!z\,\exp(z)$, показана в правой части рисунка \ref{auzexmap}.  Эта секция описывает свойства функции AuZex.}%
\vskip 2mm

\EN{The asymptotic expansion for the abelfunction for the transfer function AuZex can be obtained inverting the expansion of function SuZex, described in the previous section. However, one may consider as well the Abel equation for the abelfunction $G$ :}%
\RU{Асимптотическое разложение функции AuZex можно получить, обращая разложение функции SuZex, рассмотренное в предыдущей секции. Однако тот же результат можно получить проще, рассмотрев уравнение Абеля %для абельфункции  $G$ :
}%
\be
G(\mathrm{zex}(z))=G(z)+1
\eL{AuZexGeq}

\EN{The asymptotics of solution $G=\mathrm{AuZex}$ can be expressed with }%
\RU{Асимптотика ршения $G=\mathrm{AuZex}$ может быть записана так: }%
\be
G(z) \approx \frac{-1}{z}+\frac{1}{2}\ln(z)+\sum_{n=0}^N ~ b_n z^n +..
\ee
\EN{Coefficients $b_n$ for $n>1$ can be found substituting this expansion into the abel equation \rf{AuZexGeq}.
This asymptotics provides the precise approximation for small values of $z$; at large values, the inverse of the Abel equation should be applied.
For some fixed $M$, let }%
\RU{Коэффициенты  $b_n$ для $n>1$ можно найти, подставляя такое разложение в уравнение Аблея \rf{AuZexGeq}.
Такая асимптотика дает аккуратные значения функции для малых $z$; при больших значениях аргумента можно использовать уравнение Абеля, чтобы выразить значение функции через функцию от меньшего значения аргумента.
Для некоторого фиксированного натурального числа $M$, пусть }%
\be
G_{M}(z) \approx \frac{-1}{z}+\frac{1}{2}\ln(z)+\sum_{m=0}^M ~ b_n z^n
\eL{zexGas}
%and let 
и пусть 
\be
\mathrm{AuZex}(z) 
=\lim_{n\rightarrow \infty} F_M\Big(\mathrm{zex}^{-n}(z)\Big)+n
\nonumber \\
= \lim_{n\rightarrow \infty} F_M\Big(\mathrm{LambertW}^{\, n}(z)\Big)+n
\ee
%Coefficient $C_0$ is chosen in such a way, that $\mathrm{AuZex}(1)=0$; then, the relation 
Коэффициент  $b_0$ выбирается так, чтобы $\mathrm{AuZex}(1)=0$; тогда соотношение
\be
\mathrm{SuZex}\Big(\mathrm{AuZex}(z)\Big)=z
\eL{SuAuZexz}
выполняется в широкой области значений $z$,  за исключением нуля и отрицательной части вещественной оси.
\vskip 2mm
%holds in wide range of values of $z$, except the negative part of the real axis.

%WIth Mathematica software, the coefficients $b$ of the asymptotic expansion can be calculated with the code below.
Коэффициенты $b$ разложения \rf{zexGas} можно вычислять с помощью копипастнутой ниже программы на языке Mathematica:
{\small \begin{verbatim}
zex[z_] = z Exp[z];
S[k_, L_] = Sum[a[k, m] L^m, {m, 0, k}]
F[K_, z_, L_] = Sum[S[k, L]/z^(k + 1), {k, 0, K}]
Series[zex[F[4,z,L]] - F[4, z+1,L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,3}]
a[0,0] = -1; 
Series[zex[F[4, z, L]] - F[4, z+1, L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,3}]
a[1, 1] = 1/2; a[1, 0] = 0; 
Simplify[Series[zex[F[5,z,L]] - F[5,z+1, L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,4}]]

n = 2; 
s[n]=Series[zex[F[n+3,z,L]]-F[n+3,z+1,L+Log[1+1/z]],{z,Infinity,n+2}];
For[k = 0, k<=n,k++,m=n-k; 
a[n,m] = ReplaceAll[a[n, m],So1[Coefficient[s[n] L,L*L^m] == 0, a[n,m]]]; 
Print[n, Space, k, Space, m, Space, a[n, m] ] ]

n = 3;
s[n]=Series[zex[F[n+3,z,L]]-F[n+3,z+1,L+Log[1+1/z]],{z,Infinity,n+2}];
For[k = 0, k<=n,k++,m=n-k; 
a[n,m] = ReplaceAll[a[n, m],So1[Coefficient[s[n] L,L*L^m] == 0, a[n,m]]]; 
Print[n, Space, k, Space, m, Space, a[n, m] ] ]
\end{verbatim}} %Для нагладности, в этой програме нет цикла
и так далее для б\'oльших значений 
%and so on for higher 
$n$.
%The readers are cordially invited to practice with the code and optimise it, in order to get many coefficients at once automatically.
%This provides the good skills and tools for the asymptotical analysis and other non-trivial methods of scientific research.
%\vskip 2mm
%The first 9 coefficients are copypasted below:
\vskip 2mm

Первые 9 коэффициентов разложения 
\rf{zexGas}
%предложены 
%в следующей 
собраны в таблице: 

\be
\begin{array}{c|ccl}
n &  b_n & &{\rm ~approximation ~ of~ ~} b_n\\ \hline 
1 & -1/6 &\approx&-0.1666666666666666667\\
2 & 1/16 &\approx& ~ ~ \, 0.0625\\
3 & -19/540&\approx& -0.0351851851851851852 \\
4 & 1/48&\approx& ~ ~ \, 0.0208333333333333333 \\
5 & -41/4200&\approx& -0.0097619047619047619\\
6 & 37/103680&\approx& ~ ~ \, 0.00035686728395061728\\
7 & 18349/3175200&\approx&~ ~ \, 0.005778848576467624  \\
8 & -443/80640 &\approx&  -0.005493551587301587\\
9 &  55721/21555072&\approx&   -0.002585052835824441
\end{array}
\label{bArray}
\ee

%The readers are invited to check that asymptotically (for small $z$), relation
Читатели приглашашаются проверить, что асимптотически, а также и численно, выполняется соотношение
\be
\mathrm{SuZex}(\mathrm{AuZex}(z))=z
\ee
%holds.
\vskip 2mm

%The readers are invited also to use the same method (and similar Mathematica code) in order to construct superfunctions and abelfunctions for other transfer functions with unity derivative at the fixed point.

%\section{Iterates of zex}
\section{Итерации функции zex}

%With functions SuZex and AuZex, described in the previous sections, the iterates of function zex can be expressed as follows:
С функциями SuZex и AuZex, описанными в предыдущих секциях, итерации функции zex выражаются так:
\be
\mathrm{zex}^n(z)=\mathrm{SuZex}\Big(n+\mathrm{AuZex}(z)\Big)
\eL{zexn}
%As usually, the number $n$ of iterate has no need to be integer; it can be real or even complex.
Как обычно, номер $n$ итерации не имеет надобности быть целым; это число может быть даже комплексным.
\vskip 2mm

%Iterates $y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ versus $x$ for different $n$ are shown in figure \ref{zexiteplo}.
%The integer iterates are shown with thick lines.
Итерации $y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ как функции $x$ для некоторых вещественных значений $n$ показаны на рисунке \ref{zexiteplo}. Курвы для целых значений $n$ выделены толстыми линиями.
\vskip 2mm

%The readers are invited to check the relation
Читателям предлагается проверить соотношение
\be
\mathrm{zex}^n\Big(\mathrm{zex}^m(z)\Big)=
\mathrm{zex}^{m+n}(z)
\eL{zexiteran}
хотя бы для нескольких значений чисел $m$ и $n$. Это можно сделать с помощью асимптотического анализа
(особенно если у читателя инсталлирована какая-нибудь Математика или Клен). Кроме того,
это можно сделать численно, причем даже для комплексных значений $m$, $n$ и $z$, и охарактеризовать область применимости соотношения
\rf{zexiteran}.
%Tакое соотношение должно иметь место по крайней мере в некоторой окрестности вещественных значений аргумента и параметров.
%and describe the range of validty in simple terms.
%At least this relation should hold in some vicinity of the positive part of the real axis for values of the parameters.
\vskip 2mm

Итерации функции zex 
выглядят похоже на итерации других быстро растущих функций с вещественной стационарной точкой. Итерирование сохраняет единичную производную в этой точке, поэтому все кривые на рисунке \ref{zexiteplo} подходят к стационарной точке (то есть к началу координат) под углом 45 градусов к оси абсцисс. Такое свойство сохраняется и для
% небыстро растущих 
других передаточных функций с единичной производной в стационарной точке.
Ещё одна такая передаточной функции рассмотрена в следующей главе.

\begin{figure}[h]
%\hskip 62pt
%\sx{.25}{\begin{picture}(1202,1202) 
\vskip 8pt
\sx{.35}{\begin{picture}(1208,1208) 
%\put(10,10){\ing{IterPowPlot}} 
%\put(10,10){\ing{IterEq2plot}} 
\put(0,0){\ing{zexIteplo}} 
\put(11,1184){\sx{4.4}{$y$}} 
\put(04,1090){\sx{4}{$11$}} 
\put(04,990){\sx{4}{$10$}} 
\put(11,890){\sx{4}{$9$}} 
\put(11,790){\sx{4}{$8$}} 
\put(11,690){\sx{4}{$7$}} 
\put(11,590){\sx{4}{$6$}} 
\put(11,490){\sx{4}{$5$}} 
\put(11,390){\sx{4}{$4$}} 
\put(11,290){\sx{4}{$3$}} 
\put(11,190){\sx{4}{$2$}} 
\put(11,090){\sx{4}{$1$}} 
 
\put(91,6){\sx{4}{$1$}} 
\put(191,6){\sx{4}{$2$}} 
\put(291,6){\sx{4}{$3$}} 
\put(391,6){\sx{4}{$4$}} 
\put(492,6){\sx{4}{$5$}} 
\put(592,6){\sx{4}{$6$}} 
\put(693,6){\sx{4}{$7$}} 
\put(794,6){\sx{4}{$8$}} 
\put(894,6){\sx{4}{$9$}} 
\put(982,6){\sx{4}{$10$}} 
\put(1082,6){\sx{4}{$11$}} 
\put(1180,6){\sx{4.4}{$x$}} 
  
\put(96,1058){\sx{5}{\rot{88}$n\!=\!2$\ero}} 
\put(196,1058){\sx{5}{\rot{88}$n\!=\!1$\ero}} 
\put(168,706){\sx{4.5}{\rot{86}$y\!=\!\mathrm{zex}(x)$\ero}} 
%
\put(512,1030){\sx{5}{\rot{72}$n\!=\!0.3$\ero}} 
\put(629,1032){\sx{5}{\rot{64}$n\!=\!0.2$\ero}} 
\put(804,1037){\sx{5}{\rot{56}$n\!=\!0.1$\ero}} 
 
\put(1072,1052){\sx{5}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}} 
\put(772,752){\sx{5}{\rot{44}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(1028,762){\sx{5}{\rot{32}$n\!=\!-0.1$\ero}} 
\put(1014,590){\sx{5}{\rot{23}$n\!=\!-0.2$\ero}} 
\put(1006,470){\sx{5}{\rot{17}$n\!=\!-0.3$\ero}} 
%
\put(510,128){\sx{4.3}{\rot{3}$y\!=\!\mathrm{LambertW}(x)$\ero}} 
\put(1010,164){\sx{5}{\rot{2}$n\!=\!-1$\ero}} 
\put(1010,65){\sx{5}{\rot{0}$n\!=\!-2$\ero}} 
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexIteT.jpg}
\vskip -2pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{zex}^n(x)$ по формуле  \rf{zexn} для различных $n$ \iL{zexiteplo}}
\end{figure}
\vskip 2mm

%\chapter{Super sin and iterates of sin}
\chapter{~ Суперсинус и итерации синуса}
\baselineskip 21pt

%This chapter deals with transfer function 
В этой главе рассмотрена передаточная функция $T\!=\!\sin$. 
%This function is often used in various applications, so, I think, it deserves a special chapter.
Это хороший пример для иллюстрации нетривиальных итераций; потому как иногда коллега, когда ему предлагают привести пример элементарной функции, долго думает, а потом говорит: ``Ну,.. скажем, синус.''
%s good example to illustrate the construction of non-trivial iterate. Iterates of sin had been considered since century 19, 
%but the rough approximations had been suggested only in 2011 
\vskip 3mm

Итерации синуса рассматриваются давно, 
%с 19 века,
но лишь в 2011 году были предложены простые (хотя и грубые) аппроксимации для таких итераций \cite{kur,car}. Затем, в 2014 году,  
%Then in 2014, the efficient approximation had been reported in the 
вычисление нецелых итераций синуса доложено в журнале 
Far East Journal of Mathematical Science \cite{susin}. Ниже пересказываются ключевые моменты этой публикации.
\vskip 3mm

Я надеюсь, что Читатель 
%имеет доступ к компьютеру и 
может сам построить комплексные карты синуса и арксинуса;
арксинус в этой главе тоже понадобится. Я рекомендую 
%Читателю
проделать это упражнение, ибо без таких упражнений чтение 
%ололонаучной литературы 
превращается в пустую забаву. Полюбовавшись на карты синуса и арксинуса, можно переходить к чтению следующей секции, в которой строится суперсинус, показанный на рисунке \ref{susinplot}.

\begin{figure}[b]
%\sx{.48}{\begin{picture}(1016,204)
\sx{.412}{\begin{picture}(1016,208)
\put(20,1){\includegraphics{susinplot}}
\put(2,197){\sx{2.4}{$y$}}
\put(-1,151){\sx{2.8}{$\frac{\pi}{2}$}}
\put(2,93){\sx{2.4}{$1$}}
\put(2,-5){\sx{2.4}{$0$}}
\put(15,-22){\sx{2.4}{$0$}}
\put(115,-22){\sx{2.4}{$1$}}
\put(215,-22){\sx{2.4}{$2$}}
\put(315,-22){\sx{2.4}{$3$}}
\put(415,-22){\sx{2.4}{$4$}}
\put(516,-22){\sx{2.4}{$5$}}
\put(616,-22){\sx{2.4}{$6$}}
\put(717,-22){\sx{2.4}{$7$}}
\put(817,-22){\sx{2.4}{$8$}}
\put(917,-22){\sx{2.4}{$9$}}
\put(1010,-22){\sx{2.5}{$x$}}
%\put(45,134){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$}}
\put(140,166){\sx{2.8}{$y\!=\! \sqrt{3/x}$}}
\put(135,56){\sx{2.8}{$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Susinplot.jpg}
\vskip -6pt
%\caption{$y=\mathrm{SuSin}(x)$ by \rf{susindef} versus $x$, thick curve, and its asymptotic, thin curve \iL{susinplot} }
\caption{\large
$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$ по формуле \rf{susindef} и асимптотика 
%по формуле
\rf{susin1o}  \iL{susinplot} }
\end{figure}

%The key points from that publications are repeated below.

%I hope, everybody knows what is sin. Since the orthodoxal christian religion gradually becomes the key discipline at Russian schools, 
%sin is supposed to be considered both, at the classes of religion and those of mathematics. So, the Russian-speaking readers are expected to be pretty familiar with all kind of sins. I suggest that the readers plot the graphic of function sin and its complex map by themselves.

%\section{Super sin}
\section{Суперсинус SuSin}

%Superfunction of sin, called SuSin, is shown in figure 
Суперфункция синуса, я назвал её SuSin, показана на рисунке \ref{susinplot}. 
Здесь я рассказываю, как строится эта функция. 
\vskip 2mm

Для суперфукции $F$ oт синуса, передаточное уравнение 
таково:
%записывается так:
\be
F(z\!+\!1)=\sin\Big(F(z)\Big)
\eL{Fz1sinFz}
%In this section, the special solution $F=\mathrm {SuSin}$ is constructed with the following properties:
Ниже строится решение $F=\mathrm {SuSin}$ с такими свойствами:
\be
\mathrm{SuSun}(0)&=&\pi/2   ~ ~ ~ ~ ~ \iL{susinp2}\\
\mathrm{SuSun}(z)&=&\sqrt{\frac{3}{z}}\left(1+O\left(\frac{\ln(z)}{z}\right)\right)
\eL{susin1o}
%The leasing term of the right hand side of \rf{susin1o} can be guessed replacing $F(z\!+\!1)$ to $F(z)+F^\prime(z)$ in the left hand side of equation \rf{Fz1sinFz} and solving the resulting differential equation. However, there is certain residual at the substitution of such an approximation into \rf{Fz1sinFz}; and the form of this residual allows to guess the next term in expansion \rf{susin1o}.
Лидирующий терм в правой части асимптотики \rf{susin1o} можно угадать, заменяя в левой части уравнения \rf{Fz1sinFz} выражение
$F(z\!+\!1)$ на $F(z)\!+\!F^\prime(z)$ .
Получающееся 
при этом 
дифференциальное уравнение легко решается и дает $F(z)\!\approx\!\sqrt{3/z}$.
При подстановке такого эвристического решения в исходное передаточное уравнение \rf{Fz1sinFz}, получается невязка. Эта невязка позволяет угадать следующий терм разложения  \rf{susin1o}. Тогда Дьявол-искуситель утрет свою пасть и скажет: ``Ну вот, дело сделано. Можете преспокойно повторить его и продолжать в том же духе!''.. 
\footnote{\url{http://www.dolit.net/author/7649/ebook/25941/mann_tomas/izbrannik/read/3} Томас Манн. Божий избранник. Собрание сочинений. Том 6. Государственное издательство художественной литературы; Москва; 1960.}
В результате получается следующее асимптотическое разложение для суперфункции $F$:
%This leads to the following asymptotic approximation for the superfunction $f$:
\be
F(z)=F_M(z)+O\left( \frac{\ln(z)^{M+1}}{z^{M+3/2}} \right)
~ ~ ~ \eL{susinasymf}
%where
где
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F_M(z)=\sqrt{\frac{3}{z}}\left(1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}+\sum_{m=2}^M P_m(\ln(z)) \, z^{-m} 
\right)
\eL{susinFM}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P_M(z)=\sum_{n=0}^m a_{m,n} (-z)^m ~~~~~~~~~
\eL{susina}
%and coefficients $a$ are constants. These constants can be calculated with the Mathematica code below:
и коэффициенты $a$ суть константы. Эти константы можно вычислить с помощью программы на языке Mathematica:
\baselineskip  19pt
{\small \baselineskip 15pt
\begin{verbatim}
P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, m}]
F[z_] = Sqrt[3/z] ( 1 + Sum[P[m, Log[z]]/z^m, {m, 1, M}])
M = 9; a[1, 0] = 0;
F1x = F[1 + 1/x];
Ftx = Sin[F[1/x]];
s[1] = Series[(F1x - Ftx)/Sqrt[x], {x, 0, 2}]
t[1] = Extract[Solve [Coefficient[s[1], x^2] == 0, {a[1, 1]}], 1]
A[1, 1] = ReplaceAll[a[1, 1], t[1]]
su[1] = t[1]

m=2;
s[m]=Simplify[ReplaceAll[Series[(F1x-Ftx)/Sqrt[3 x],{x,0,m+1}], su[m-1]]]
t[m] = Simplify[Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m+1)]]
u[m] = Simplify[Collect[t[m], L]]
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n+1)] == 0, {n, 0, m}]
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}]
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1]
su[m] = Join[su[m - 1], ad[m]]

m=3;
s[m]=Simplify[ReplaceAll[Series[(F1x-Ftx)/Sqrt[3 x],{x,0,m+1}],su[m-1]]]
t[m] = Simplify[Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m+1)]]
u[m] = Simplify[Collect[t[m], L]]
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n+1)] == 0, {n, 0, m}]
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}]
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1]
su[m] = Join[su[m - 1], ad[m]]
. . .
\end{verbatim}
}
%Получающиеся 
Значения коэффициентов $a$ показаны в таблице   \ref{tablesusin}.
%and so on. The resulting coefficients are shown in table \ref{tablesusin}.

\begin{table}[h]
\caption{Table of coefficients $a$ in equation \rf{susina}   \label{tablesusin}}
%\sx{.83}{$\!\begin{array}{ccccccccc}
\hskip -4pt
$\begin{array}{ccccccccc}
%a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3} & a_{0,4} & a_{0,5} & a_{0,6} & a_{0,7} & a_{0,8} \\
a_{1,0} & \frac{3}{10} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} &  a_{1,5} & a_{1,6} & a_{1,7} & %a_{1,8} 
\rule{0pt}{13pt}\\
\frac{79}{700} & \frac{9}{50} & \frac{27}{200} & a_{2,3} & a_{2,4} & a_{2,5} & a_{2,6} & a_{2,7}
% & a_{2,8}
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{411}{3500} & \frac{1941}{7000} & \frac{27}{125} & \frac{27}{400} & a_{3,4} & a_{3,5} & a_{3,6} & a_{3,7}
%  & a_{3,8}  
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{1606257}{10780000} & \frac{7227}{17500} & \frac{1683}{4000} & \frac{1917}{10000} & \frac{567}{16000} & a_{4,5} & a_{4,6} & a_{4,7}
% &  a_{4,8}
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{140345627}{700700000} & \frac{70079931}{107800000}  & \frac{566973}{700000} & \frac{98739}{200000} & \frac{7533}{50000} & \frac{15309}{800000} & a_{5,6} &
a_{5,7}%& a_{5,8}
 \rule{0pt}{14pt}\\
\frac{137678711441}{490490000000} & \frac{7364523}{7007000} & \frac{305491257}{196000000} & \frac{4155111}{3500000} & \frac{796311}{1600000} & \frac{2218347}{20000000} & \frac{168399}{16000000} &  a_{6,7}
% & a_{6,8}  
\rule{0pt}{14pt}\\
\frac{25317035192599}{62537475000000} \!\!&
\frac{8462569406199}{4904900000000} \!\!&
\frac{32174780481}{10780000000} \!\!&
\frac{5367503637}{1960000000} \!\!&
\frac{407711313}{280000000} \!\!&
\frac{181900809}{400000000} \!\!&
\frac{1960281}{25000000} \!\!&
\frac{938223}{160000000}
% & a_{7,8} 
\rule{0pt}{14pt}
\JP{
\\
\frac{20390161579066727223}{34157135012000000000} &
\frac{1191102095494119}{416916500000000} &
\frac{111297984941043}{19619600000000} &
\frac{164937331809}{26950000000} &
\frac{310033164249}{78400000000} &
\frac{11083463037}{7000000000} &
\frac{3104886087}{8000000000} &
\frac{301983147}{5600000000} &
\frac{8444007}{2560000000}  \rule{0pt}{14pt}
}
\end{array}$
\end{table}
\vskip 2mm

Теперь для синуса можно определить суперфункцию $F$ как предел
%For some positive integer $M$, define function $F$ with
\be
F=\lim_{k \rightarrow \infty} \arcsin^k(F_M(z+k))
\eL{SuSinF}
для некоторого фиксированного числа $M$ термов в разложении 
\rf{susinFM}.
%While function $F$ by 
%equation 
%\rf{SuSinF} is asymptotic solution of the transfer equation, the resulting $F$ does not depend on the number $M$ of terms taken into account in the expansion \rf{susinFM}. However, the larger, $M$, the faster is convergence of the limit in \rf{SuSinF}. This gives efficient algorithm for evaluation of superfunction $F$ for the transfer function $\sin$.
При $M\!>\!2$, функция $F$ по формуле \rf{SuSinF} 
является асимптотическим решением передаточного уравнения 
\rf{Fz1sinFz}, и %поэтому 
предел в формуле \rf{SuSinF} от $M$ уже не зависит. 
Однако от $M$
%Разумеется от этого числа, то есть количества термов в уравнении \ref{susinFM}, 
зависит скорость сходимости при 
%численной 
имплементации представления \rf{SuSinF}. 
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}{L}{344pt}
%\sx{.17}{ \begin{picture}(2016,2044)
%\begin{wrapfigure}{L}{314pt}
\begin{figure}[t]
%\vskip -16pt
%\sx{.15}{ \begin{picture}(2016,2044)
\sx{.2}{ \begin{picture}(2016,2044)
\put(48,40){\includegraphics{susinmap}}
\put(4,2018){\sx{5.4}{$y$}}
\put(4,1824){\sx{5}{$8$}}
\put(4,1624){\sx{5}{$6$}}
\put(4,1424){\sx{5}{$4$}}
\put(4,1224){\sx{5}{$2$}}
\put(4,1024){\sx{5}{$0$}}
\put(-28,824){\sx{5}{$-2$}}
\put(-28,624){\sx{5}{$-4$}}
\put(-28,424){\sx{5}{$-6$}}
\put(-28,224){\sx{5}{$-8$}}
\put(-8,-9){\sx{5}{$-10$}}
\put(200,-8){\sx{5}{$-8$}}
\put(400,-8){\sx{5}{$-6$}}
\put(600,-8){\sx{5}{$-4$}}
\put(800,-8){\sx{5}{$-2$}}
\put(1040,-8){\sx{5}{$0$}}
\put(1241,-8){\sx{5}{$2$}}
\put(1442,-8){\sx{5}{$4$}}
\put(1643,-8){\sx{5}{$6$}}
\put(1843,-8){\sx{5}{$8$}}
\put(2028,-8){\sx{5.2}{$x$}}
\put(1436,930){\sx{7}{\rot{89}$u\!=\!0.7$\ero}}
\put(1640,930){\sx{7}{\rot{89}$u\!=\!0.6$\ero}}
\put(1980,930){\sx{7}{\rot{89}$u\!=\!0.5$\ero}}
\put(1520,1660){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(1790,1406){\sx{7}{\rot{36}$v\!=\!-0.1$\ero}}
\put(250,1030){\sx{5.2}{\bf cut}}
\put(928,1148){\sx{7}{\rot{0.}$u\!=\!1$\ero}}
\put(668,1080){\sx{7}{\rot{0.}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(688,960){\sx{7}{\rot{0.}$v\!=\!1$\ero}}
\put(1680,1024){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(1740,664){\sx{7}{\rot{-35}$v\!=\!0.1$\ero}}
\put(1478,418){\sx{7}{\rot{-68}$v\!=\!0.2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Susinmap.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{SuSin}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{susindef} \label{susinmap} }
\end{figure}
%In order to get
%For superfunction, declared in the beginning of the section, id est, satisfying equation \rf{susinp2}, define
Для суперфункции, %декларированной в начале этой секции, то есть 
удовлетворяющей 
%не только передаточному уравнению \rf{Fz1sinFz} и асимптотическому условию \rf{susin1o}, но 
ещё и дополнительному условию \rf{susinp2}, требуется обеспечить определенное значение этой функции в нуле, или, что проще, в единице. Поэтому я кладу
\be\!\!\!
\mathrm{SuSin}(z)=F(z\!+\!x_1)
%\eL{susindef}
\label{susindef} \ee
%where $x_1\!\approx\! 1.4304553465288~$ is solution of equation 
где $x_1\!\approx\! 1.4304553465288~$ есть решение уравнения
\be \!\!\!\!
F(1\!+\!x_1)=1
%\eL{susinx1}
\label{susinx1}\ee
При этом требуемое значение в нуле получается автоматически,
% из-за передаточного уравнения, поскольку
так как
$\mathrm{SuSin}(0)\!=\!\arcsin(\mathrm{SuSin}(1))\!=\!\arcsin(1)\!=\!\pi/2$.

\vskip 2mm
График функции SuSin по формуле \rf{susindef} показан на рисунке 
\ref{susinplot}. Комплексная карта этой функции покзана на рисунке \ref{susinmap}.
%\vskip 2mm
%This function is shown in figures \ref{susinplot} and \ref{susinmap}.
%Complex map of function SuSin is shown in figure \ref{susinmap}
%Equation \rf{susinx1}
%automatically
%provides  $\mathrm{SuSin}(1)\!=\!1$ and $\mathrm{SuSin}(0)\!=\!\arcsin(1)\!=\!\pi/2$.
%Then,  $\mathrm{SuSin}(n) = \sin^n(\pi/2)$ 
%can be interpreted as the result of $n$ applications of function sin to initial argument 
%$\pi/2$, giving sense to this expression for non-integer and even non-real (complex) number $n$ of iteration.
%Plot of the function SuSin is shown in figure 
%\ref{susinplot}.
%\vskip 2mm
%Function SuSin has sqrt-type singularity as zero, and it has cut line along the negative part of the real axis. In the rest of the complex plane it is holomorphic.
%At infinity,  SuSin slowly decays to zero, according to its asymptotic \rf{susin1o}. This asymptotic is shown in figure \ref{susinplot} with thin line. 
Для вещественного аргумента, функция SuSin определена на положительной части вещественной оси, имеет значение 
$\pi/2$ и минус бесконечную производную в нуле. Затем, эта функция нудно, медленно и монотонно убывает до нуля на плюс бесконечности. В комплексной плоскости функция SuSin также убывает на бесконечности, но имеет ещё и разрез области голоморфизма вдоль отрицательной части вещественной оси. На рисунке  \ref{susinmap} этот разрез обозначен обозначен символом {\bf cut}.
\vskip 2mm

Синус отличается от других передаточных функций, рассмотренных в этой Книге,  тем, что эта функция в стационарной точке растет медленее своего аргумента. Соответственно, суперфунция  SuSin (рис. \ref{susinplot}) не возрастает, а убывает. Через первичное представление суперсинуса, нетрудно рассчитать его свойства, и, в частности, асимптотическое разложение в нуле.
Я надеюсь, что при надобности, читатели без особых проблем могут вычислить коэффициенты такого разложения.
Такое разложение может быть получено обращением разложения 
%\footnote{такое разложение использовано в генераторе карты
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausintay40t50.jpg}}
в точке $\pi/2$ функции AuSin, рассмотренной в следующей секции.
%\vskip 2mm


%In this Book, SuSin is first example of superfunction, for which the transfer function shows growth slower than linear. In this case, for positive values of the argument (id set, karger than the fixed point), the superfunction is monotonically decreasing, as it is seen in Figure \ref{susinplot}. One could expect the inverse function (Abel sin) to decrease, at least for some moderate positive values of the argument. This inverse function is considered in the next section.

%\begin{wrapfigure}[28]{r}{180px}

\section{Абельсинус AuSin}
\baselineskip 19.6pt

%\begin{wrapfigure}[16]{r}{172px}
\begin{wrapfigure}{r}{200px}
\normalsize
\vskip -40pt
\sx{.6}{\begin{picture}(320,431)
%\sx{.6}{\begin{picture}(320,431)
\put(14,16){\includegraphics{ausinplo}}
\put(1,420){\sx{2.2}{$y$}}
%\put(-1,151){\sx{2.8}{$\frac{\pi}{2}$}}
\put(0,308){\sx{2.2}{$3$}}
\put(0,208){\sx{2.2}{$2$}}
\put(0,108){\sx{2.2}{$1$}}
\put(0,8){\sx{2.2}{$0$}}
\put(10,-4){\sx{2.2}{$0$}}
\put(110,-4){\sx{2.2}{$1$}}
\put(151,-4){\sx{2.1}{$\pi/2$}}
\put(210,-4){\sx{2.2}{$2$}}
\put(320,-3){\sx{2.2}{$x$}}
%\put(140,166){\sx{2.8}{$y\!=\! \sqrt{3/x}$}}
%\put(135,56){\sx{2.8}{$y\!=\!\mathrm{SuSin}(x)$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{\large
$y\!=\!\mathrm{AuSin}(x)$ \label{ausinplot}}
\vskip 2pt
\end{wrapfigure}

%\section{Abel sin}
%The inverse function of super sin can be called AbelSin. For the sinusoidal transfer function, for superfunction $F$, the Abel function $G=F^{-1}$ satisfies the Abel equation
Обратная функция от суперсинуса есть абельсинус, пусть она называется $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$. 
График функции показан AuSin показан на рисунке \ref{ausinplot}. Эта секция рассказывает, как строится такая функция.
\vskip 2mm

Функция  $G\!=\!\mathrm{AuSin}$ удовлетворяет уравнению Абеля
 \be
 G(\sin(x))=G(z)+1
\label{abelsineq}
\ee
Из свойств суперсинуса следует, что такое решение должно иметь определенные асимптотические свойства, а именно,
\be
G(z)=\frac{2}{z^2} +O(\ln(z))
\eL{AbelsinGas}
Как и для других абельфункций, решение с требуемыми 
%асимптотическими
свойствами можно получить, обращая асимптотическое представление для суперфункции.
%; в данном случае это разложение \rf{susinFM} для суперсинуса. 
Однако это же разложение для абельфункции $G$ проще получить 
%абельсинуса 
независимо, из уравнения Абеля \rf{abelsineq}.
%, и адаптировать его, добавив подходящую константу,
%\vskip 2mm
%Abel sin can be constructed in analogy with super sin. The solution $G$ of the Abel equation \rf{abelsineq} with the asymptotic representation
%can be constructed, in such a way, that $G\!=\!F^{-1}$. 
%Then, the constant $x_1$ should be added, id est,
Затем, добавление константы  $x_1$ дает абельфункцию
%\begin{parbox}{204pt}{
\be %\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuSin}(z)=G(z)+x_1
%\eL{ausinG}
\label{ausinG}
\ee
удовлетворяющую соотношению
\be
\mathrm{AuSin}(\pi/2)=0
\eL{ausinp2}
как это и должно быть для функции, 
обратной суперсинусу, построенному в предыдущей секции. Остается 
%найти 
построить
разложение функции $G\!=\!F^{-1}$.
\vskip 2mm

%First, construct the approximation of function $G$, let
Асимптотическую аппроксимацию 
%для функции $G$ 
я ищу в виде разложения
\be\!\!\!\!\!\!
G_M(z)\!=\!\frac{3}{z^2}\!+\!\frac{5}{6}\ln(z)\!+\!\!\sum_{m=1}^M c_m z^{2m} ~ ~
%\eL{sinGM}
\label{sinGM}\ee
%Subsitution of $g(z) = G_M+O(z^{2M+2})$ into the Abel equation \rf{abelsineq} gives the coefficients $c$. In particular, 
Подстановка $g(z) = G_M+O(z^{2M+2})$ в уравнение Абеля \rf{abelsineq} дает коэффициенты $c$. В частности, 
\be
c_1&\!=\!& ~ ~ \frac{79}{1050} \\
c_2&\!=\!& ~ ~ \frac{29}{2625} \rule{0pt}{19pt}\\
c_3&\!=\!&\frac{91543}{36382500}\rule{0pt}{19pt}\\
c_4&\!=\!&\!\!\frac{18222899}{28378350000} \rule{0pt}{19pt}
%, c[5] -> 88627739/573024375000 c[6]->3899439883/142468185234375
%c[7]->-(32544553328689/116721334798818750000)
\label{abelisinc}
\ee
%Then, for some fixed $M$,  function $G$ can be expressed as limit
Для фиксированного $M$,  функция $G$ вычисляется как предел
%}\end{parbox}
%\new page
\be\!\!\!\!\!
G(z)\!=\!\lim_{k\rightarrow \infty} G_M(\sin^k(z))-k
\eL{singlim}
%\label{singlim}\ee
%Then, $\mathrm{AuSin}\!=\!\mathrm{SuSin}^{-1}$ can be expressed as follows:
Соответственно, $\mathrm{AuSin}\!=\!\mathrm{SuSin}^{-1}$ выражается через эту функцию $G$:
\be
\mathrm{AuSin}(z)=G(z)-G(\pi/2)
\eL{AuSinDe}
%\label{AuSinDe} \ee
%This representation is shown to plot figure \ref{ausinplot}. The complex map of function AuSIn is shown in figure
%Это представление использовано для построения рисунков.
% \ref{ausinplot} и \ref{ausinmap}. 
%The complex map of function AuSIn is shown in figure
%\ref{ausinmap}.
%\vskip 2mm

%in order to get $\mathrm{AuSin}\!=\!\mathrm{SuSin}^{-1}$. 
%For real values of the argument, function AuSin is shown in figure ref{ausinplot}.
%This section describes the way of the efficient evaluation of function AuSin.

%\begin{wrapfigure}[0]{r}{260px}
\begin{figure}[h]
%\begin{figure}[h]
%\vskip -190pt
%\sx{.88}{\begin{picture}(308,420)
%\sx{.9}{\begin{picture}(308,420)
\hskip 8pt
\sx{1.28}{\begin{picture}(308,420)
%\put(10,9){\includegraphics{52}} %extended less details
\put(10,9){\includegraphics{ausinmap}} %extended
%\put(10,9){\includegraphics{ausin4hmap}} %small
\put(2,406){\sx{1.2}{$y$}}
\put(2,306){\sx{1.2}{$1$}}
\put(2,206){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-7,106){\sx{1.2}{$-1$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(9,-1){\sx{1.2}{$0$}}
\put(109,-1){\sx{1.2}{$1$}}
\put(157,-1){\sx{1.2}{$\pi/2$}}
\put(209,-1){\sx{1.2}{$2$}}
\put(309,-1){\sx{1.2}{$3$}}
\put(319,-1){\sx{1.2}{$x$}}
\put(184,208){$v\!=\!0$}
\put(98,200){\rot{90}$u\!=\!2$\ero}
\put(114,200){\rot{90}$u\!=\!1$\ero}
\put(147,186){\rot{41}$u\!=\!0$\ero}
\put(136,131){\rot{-40}$u\!=\!-1$\ero}
\put(125,93){\rot{23}$v\!=\!0$\ero}
\put(92,288){\rot{66}$u\!=\!-2$\ero}
\put(131,282){\rot{31}$u\!=\!-1$\ero}
%\put(159,244){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
%\put(172,250){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(148,260){$u\!=\!-0.5$}
%\put(186,250){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(86,158){\rot{90}$v\!=\!3$\ero}
\put(100,155){\rot{90}$v\!=\!2$\ero}
\put(122,148){\rot{90}$v\!=\!1$\ero}
\put(159,144){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(172,144){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(186,138){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinmap52r5.jpg}
\vskip -9pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuSin}(x\!+\mathrm i y)$  по формуле \rf{AuSinDe}~ \iL{ausinmap}}
\vskip -64pt
\end{figure}
 
\rule{0pt}{64pt}Терм $G(\pi/2)\!\approx\! 2.089622719729524$ в уравнении \rf{AuSinDe} 
обеспечивает условие \rf{ausinp2}.
%\be
%\mathrm{AuSin}(\pi/2)=1
%\ee
Комплексная карта абельсинуса по формуле \rf{AuSinDe} показана на рисунке 
\ref{ausinmap}. Эта карта
%Карта на рисунке \ref{ausinmap} 
симметрична верх-низ, так как 
$\mathrm{AuSin}(z^*)\!=\!\mathrm{AuSin}(z)^*$. Кроме того, карта симметрична относительно отражений от оси $x\!=\!\pi/2$; первое же вычисление функции sin в формуле \rf{singlim} обеспечивает эту симметрию. 
%Судя по отзывам, карта функции AuSin на рисунке \ref{ausinmap} есть наиболее впечатляющее исображение, по крайней мере в этой Книге. 
%\vskip 2mm
В центральная части рисунка \ref{ausinmap} предел 
\rf{singlim} сходится и регулярным образом определяет голоморфную фукцию. На перефирии появляются 
%снгулярности и 
разрезы.%; там графопостроитель не сумел провести линии уровня, и эти области на рисунке остались пустыми.
\vskip 2mm

Oбласть применимости соотношения
\be
\mathrm{SuSin}\Big(\mathrm{AuSin}(z)\Big)=z
\eL{SuSinA}
ограничена. Аналогичые ограничения имеются и для других обратных функций, в частности, для синуса и арксинуса. Oбласть применимости соотношения \rf{SuSinA} показана на рисунке  \ref{susinrange} мелкой прямоугольной сеткой. 
\vskip 2mm
\begin{figure}[h]
%\begin{figure}[h]
%\vskip -190pt
%\sx{.88}{\begin{picture}(308,420)
%\sx{.9}{\begin{picture}(308,420)
\hskip 8pt
\sx{1.28}{\begin{picture}(308,420)
\put(10,9){\includegraphics{susinau}}
\put(10,9){\includegraphics{susinau2}}
\put(2,406){\sx{1.2}{$y$}}
\put(2,306){\sx{1.2}{$1$}}
\put(2,206){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-7,106){\sx{1.2}{$-1$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(9,-1){\sx{1.2}{$0$}}
\put(109,-1){\sx{1.2}{$1$}}
\put(157,-1){\sx{1.2}{$\pi/2$}}
\put(209,-1){\sx{1.2}{$2$}}
\put(309,-1){\sx{1.2}{$3$}}
\put(319,-1){\sx{1.2}{$x$}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinsusinmapt50.jpg}
\vskip -8pt
%\caption{$u\!+\!\mathrm i v=h(x\!+\!\mathrm i y)$  and lines $\Im(\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!0$  ~ \label{susinrange}}
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!h(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле \rf{susinausin};
линии $\Im(\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!0$
\label{susinrange}}
\vskip -200pt
\end{figure}
\newpage 
%Фактически,
Технически,  рис. \ref{susinrange} представляет комплексную карту функции
\be 
h(z)=\mathrm{SuSin}\Big(\mathrm{AuSin}(z)\Big)
\label{susinausin}
\ee
В левой части карты на фигуре \ref{susinausin}, вблизи положительной части вещественной оси, фукция $h$ есть идентичная функция, $h(z)\!=\!z$; линии постоянной вещественной части и линии постоянной мнимой части - прямые. Эти линии и образуют частую сетку, которая визуально воспринимается как штриховка. Заштрихованная таким образом область ограничена линиями  $\Im(\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!0$; эти линии заимствованы из рисунка  \ref{ausinmap}.
%In the numerical computation, Inside the shaded region, the relation $h(z)=z$ holds with 14 decimal digits, that provides the numerical confirmation of validity of the representation. 
При численной имплементации, в заштрихованной области соотношение  $h(z)=z$ держится с 14ю значащими цифрами; я интерпретирую это как подтверждение адекватности  численного представления функций SuSin и AuSin.
\vskip 2mm

%Я загрузил генератор рисунка \ref{susinausin} на\\
%\sx{.94}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinsusinmapt50.jpg}}
Читатели могут %модифцировать его и 
построить также карту функции согласия
%The readers are cordially invited to download the generator of the figure and modify it, to plot the map of the agreement function
\be
%\rule{260pt}{0pt}
A(z)=-\lg\left( \frac{|h(z)-z|}{|h(z)|+|z|}\right)
\iL{aausinsu}\ee
Такое согласие позволяет проверить аккуратность численного представления. Это обычно, что представление для обратной функции от голоморфной функции имеет ограниченную область применимости. Такое ограничение неизбежно при обращении любой сколько-нибудь нетривиальной голоморфной функции.
%and to verify, that in the shaded part, relation $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$ holds with at least 14 decimal digits.
%At the right hans side of the figure \ref{susinrange}, relation  $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$ is not valid; $\mathrm{AuSin}(x\!+\!\mathrm i y)$ is symmetric with respect to line $x=\pi/2$ and cannot distinguish values for the right hand side in figure \ref{ausinplot} from those at the left hand side.
\vskip 2mm

\begin{wraptable}{r}{138pt}
\vskip -22pt
\caption{ \label{ausintaytab}}
%\begin{parbox}{300pt}{
%\be
$\,
\begin{array}{cc}
n & b_n\\
0 & 0 \\
1 & 2.29163807440958 \\
2 & 1.96043852439688 \\
3 & 1.07862851256147 \\
4 & 0.59622997993395 \\
5 & 0.28333997139829 \\
6 & 0.14193261194548 \\
7 & 0.06423734271234 \\
8 & 0.03026687705508 \\
9 & 0.01351721250427
\end{array}
$
\vskip -12pt
%}\end{parbox}
\end{wraptable}

Для эффективной численной имплементации абельсинуса, полезны и иные разложения. Наиболее простым 
%и практичным 
из них представляется 
разложение в ряд Тэйлора в точке $\pi/2$. Это разложение имеет такой вид:
%Expansion at $\pi/2$ has the following form:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{AuSin}\left( \frac{\pi}{2}+t \right) =
\sum_{n=1}^{\infty} b_n t^{2n}
\label{ausintaylor}
\ee
%The first coefficients $b$ of this expansion are evaluated in the table below:
Приближенные значения коэффициентов $b$ разложения \rf{ausintaylor} оценены с помощью контурного интеграла, с использованием первичной аппроксимации через функцию $G$ по формулам \rf{sinGM}, \rf{singlim}, \rf{AuSinDe}.
Значения этих коэффициентов  показаны в таблице \ref{ausintaytab}.
\vskip 2mm

Ряд в разложении \rf{ausintaylor} сходится при $|t|\!<\!\pi/2$. Достаточно взять несколько десятков термов этого разложения, и такая аппроксимация сможет воспроизвести б\'oльшую часть рисункa \ref{ausinmap}. Я предлагаю читателям построить такую карту (или посмотреть на неё в Приложении).
\vskip 2mm

При учете вполне умеренного количества термов разложения \rf{ausintaylor}, численные аппроксимации абельсинуса дают точность, по крайней мере не хуже, чем точность при использовании исходного асимптотического разложения по формулам  \rf{sinGM}, \rf{singlim}, \rf{AuSinDe}. Разумеется, исходное разложение всё равно требуется для вычисления, аппроксимации коэффициентов вторичных разложений. Оптимизация таких представлений имеет смысл для того, чтобы встраивать их в софтвер, и по мере возможности, улучшать, как и другие ``built-in'' функции, когда каждая микросекунда при вычислении дает важное изменение наблюдаемого быстродействия. Однако даже примитивные имплементации, используемые в этой Книге, позволяют строить все графики и комплексные карты в реальном времени. Я рассматриваю это как указание на высокую эффективность и важность предлагаемых здесь формул.

%\section{Iterated sin}
\section{Итерации синуса}
%With functions $\mathrm{SuSin}$ and $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$, defined relier in this chapter, the iterates of sin can be expressed as follows:
С функциями $\mathrm{SuSin}$ и $\mathrm{AuSin}=\mathrm{SuSin}^{-1}$, определенными в предыдыщих секциях, итерации синуса могут быть представлены
так:
% в таком виде:
\be
\sin^n(z)=\mathrm{SuSin}\Big(n+\mathrm{AuSin}(z)\Big)
\eL{sinn}
Эта формула вполне аналогична представлениям итераций других голоморгных функций через их суперфункции и абельфункции. Как обычно, номер итерации $n$ не имеет надобности быть целым и может быть ажно комплексным; но, в частности, может быть и вещественным.
Для нескольких вещественных значений $n$ и для вещественных значений аргумента, итерарации синуса по формуле 
\rf{sinn} представлены на рисунке  \ref{sinite}.
%This formula is looks pretty similar to representations of any other function with determined superfunction and the corresponding Abel function.
%In this representation, number $n$ of iterates has no need to be integer; it can be real and even complex.
%For real values of number $n$ of iterates, $\sin^n(x)$ is plotted versus $x$  in figure \ref{sinite}.

\begin{figure}[t]
\hskip 6pt
%\sx{1.53}{\begin{picture}(328,168)
\sx{1.3}{\begin{picture}(328,168)
\put(4,9){\includegraphics{sinite}}
\put(-1.6,162){\sx{1.}{$y$}}
\put(-1.6,106){\sx{1.}{$1$}}
\put(-1.6, 06){\sx{1.}{$0$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(3,0){\sx{1.}{$0$}}
\put(103,0){\sx{1.}{$1$}}
\put(153,0){\sx{1.}{$\pi/2$}}
\put(203,0){\sx{1.}{$2$}}
\put(303,0){\sx{1.}{$3$}}
\put(315,0){\sx{1.}{$x$}}
\put(24.6,115){\sx{.8}{\rot{89}$n\!=\!-100$\ero}}
\put(42.6,115){\sx{.8}{\rot{89}$n\!=\!-20$\ero}}
\put(53,115){\sx{.8}{\rot{87}$n\!=\!-10$\ero}}
\put(67,115){\sx{.8}{\rot{85}$n\!= -5$\ero}}
%\put(70,115){\sx{.8}{\rot{82}$n\!=\!-4$\ero}}
\put(77,115){\sx{.8}{\rot{82}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(84.3,115){\sx{.8}{\rot{79}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(94,112){\sx{.8}{\rot{68}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(123.4,134){\sx{.8}{\rot{63}$n\!=\! -0.2$\ero}}
\put(146,147){\sx{.9}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}}
\put(142,140){\sx{.8}{\rot{10}$n\!= 0.1$\ero}}
\put(140,131.6){\sx{.8}{\rot{10}$n\!= 0.2$\ero}}
\put(139,122){\sx{.8}{\rot{9}$n\!= 0.4$\ero}}
\put(110,95){\sx{.8}{\rot{21}$n\!= 1$\ero}}
\put(110,84.3){\sx{.8}{\rot{13}$n\!= 2$\ero}}
\put(110,77.3){\sx{.8}{\rot{8}$n\!= 3$\ero}}
%\put(110,72){\sx{.8}{\rot{6}$n\!= 4$\ero}}
\put(110,67){\sx{.8}{\rot{6}$n\!= 5$\ero}}
\put(110,53){\sx{.8}{$n\!=\! 10$}}
\put(110,42.3){\sx{.8}{$n\!= 20$}}
\put(110,24.3){\sx{.8}{$n\!=\!100$}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sinplo2t100.jpg}
\vskip -8pt
%\caption{ $y\!=\! \sin^n(x)$ versus $x$ for various $n$ \iL{sinite}}
\caption{\large $y\!=\! \sin^n(x)$ по формуле \rf{sinn} для различных $n$ \iL{sinite}}
\end{figure}
\vskip 2mm

%For positive number $n$ of iterate, graphics of $y=\sin^n(x)$ are symmetric with respect to line $x\!=\!\pi/2$, and, the larger is $n$, the closer the curve approach the abscissa axis. 
Для положительных значений номера итерации $n$, графики $y\!=\!\sin^n(x)$ симметричны относительно оси $x\!=\!\pi/2$,
как это и должно быть из-за представления абельсинуса формулами \rf{singlim} и \rf{AuSinDe}. Чем больше $n$, тем ближе график приближается к вещественной оси.
\vskip 2mm

%For negative $n$, the graphic reaches the branch point at $y=\pi/2$ and cannont be continued be continued above, as the iterates get complex values. A usually, the 0th iterate corresponds to the identity function, $\sin^0(x)=x$, and this relation holds while $x<\pi/2$.
Для отрицательных значений $n$, график $y\!=\!\sin^n(x)$ достигает точки ветвления при $y\!=\!\pi/2$ и не может быть продолжен, так как соответствующие итерации принимают комплексные значения. Как обычно, нулевая итерация соответствует тождественной функции, $\sin^0(x)\!=\!x$, и это соотношение держится, пока $0\!<\!x\!<\!\pi/2$.
\vskip 2mm

Через итерации синуса \rf{sinn}, суперсинус можно представить так: %в таком виде:
\be
\mathrm{SuSin}(z)= \sin^z(\pi/2)
\eL{susinzsin} 
С точки зрения вычислений, такое представление имеет мало смысла, так как итерации синуса  в правой части формулы \rf{susinzsin} всё равно прийдется вычислять, используя аппрoксимации суперсинуса (и, возможно, даже абельсинуса). Однако, когда нецелые итерации функций будут ``зашиваться'', встраиваться в новые версии алгоритмических языков высокого уровня, в софтер, встанет вопрос об удобной мнемонике для названий соответствующих процедур, алгоритмов. Тогда выражение  \rf{susinzsin} можно использовать как подсказку для удачного выбора обозначений. Формула указывает, что функцию sin применили $z$ раз, причем в качестве начального значения аргумента выбрано число $\pi/2$.
\vskip 2mm
%\vskip 2mm

Читатели приглашаются использовать итерации синуса.
%скачать численные имплементации суперсинуса и абельсинуса и построить ещё какие-нибудь графики с такими функциями. 
Я загрузил иплементации суперсинуса и абельсинуса по урлям\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Susin.cin} и \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Ausin.cin} 
%The readers are invited to load the generator of the figure and plot real and imaginary parts of the iterates at complex values of number $n$ of iteration.
%However, it is difficult to cover any representative set of cases while both, number of iterates and argument are complex numbers; perhaps, many beautiful figures can be plotted playing with the same implementation of SuSin and AuSin.

\begin{figure}[h]
%\sx{2}{\begin{picture}(248,116)
%\hskip 36pt
\hskip 30pt
%\sx{1.98}{\begin{picture}(248,116)
\sx{1.69}{\begin{picture}(248,116)
%\put(4,9){\includegraphics{sinplo1}}pew=
%\put(0,0){\sx{1.6}{\includegraphics{Boy_on_snow_sled,_1945}}}
\put(-16,0){\rot{1}\sx{.14}{\includegraphics{boy04}}\ero}
\put(14,9){\includegraphics{boy}}
\put(3,28){\sx{1.}{$y$}}
\put(0,16){\sx{1.}{$0.1$}}
\put(0, 06){\sx{1.}{$0$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(13,0){\sx{1.}{$0$}}
\put(113,0){\sx{1.}{$1$}}
\put(163,0){\sx{1.}{$\pi/2$}}
\put(213,0){\sx{1.}{$2$}}
%\put(313,0){\sx{1.}{$3$}}
\put(224,0){\sx{1.}{$x$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Boyt100.jpg}
\vskip -4pt
%\caption{Boy at the sledge and $y\!=\!\sin^n(\pi/2)\!-\!\sin^n(x)~$ for $~n\!=\!100$ \label{boy}}
\caption{\large Фитинг формы полоза: $y\!=\!\sin^n(\pi/2)\!-\!\sin^n(x)~$ для $~n\!=\!100$ \label{boy}}
\vskip -4pt
\end{figure}
%For the physical applications, the real number of iterate is simpler to interpret, than the complex iterate. Keeping in mind the application, I suggest the example of parameterisation of the shape of the sled runner with high iterate of sin. This example is shown in figure 
%Вещественное количество итераций легче применить к физике, чем комплексное. Имея в виду приложения, на  тиси
В качестве примера использования итераций синуса, на рисунке \ref{boy} показана параметризация формы полоза санок формулой
\be
y =\sin^n(\pi/2)\!-\!\sin^n(x)
\ee
Фото взято из Викимедии
% Photo of the sled (with a boy in it) is taken from Wikimedia Common
\cite{boy}. 
Курва сответствует перевернутой 100й итерации синуса. Фото сдвинуто так, чтобы привести последнюю опору санок в точку с координатами $(\pi/2, 0)$, повернуто так, чтобы в этой точке полоз шёл горизонтально, и масштабировано так, чтобы привести передний край полоза в точку с координатой $x\!=\!0$. Тогда номер итерации $n\!=\!100$ является единственным подгоночным параметром такой параметризации. 
%The curve that overlaps wight he sled runner is 100th iterate of sin; the number of it erate $n\!=\!100$ is the only adjusted parameter used for the figging.
%(however, the photo is shifted, scaled and rotated, in order to gave the tip at $x=0$ and the last support of the sled runner at $\pi/2$; it is assumed that in this point the sled runner is horizontal.
%\vskip 2mm
%Generator of figure \ref{boy} 
%explicitly uses the fact, that $n$ is integer. Following the TORI axioms, I chose the simplest implementation among possible.
%The readers may load the implementations of functions $\mathrm{SuSin}$ and $\mathrm{AuSin}$ and plot the fit for non-integer number $n$ of iterates, trying to improve the fitting.
%However, one may try to fit with the iterates also other dependences; for example, the shape of other sled runners.
%\chapter{Тетрация по основанию $\mathrm e$}
\vskip 2mm

%Я надеюсь, что Читатель уловил основные идеи построения нетривиальных итераций, и может построить суперфункции и абельфункции и для других случаев, когда вещественно-голоморфная передаточная функция имеет вещественную стационарную точку, и, в частности, в тех случаях, когда первая производная в этой точке равна единице, а вторая производная равна нулю. 

По аналогии с синусом, так можно строить итерации функций sinh, arctan, и многих других.
%, которые еще не имеют столь кратких и звучных общепринятых названий. Я предлагаю читателям построить итерации хоть одной из таких функций в качестве самостоятельного упражнения. Я надеюсь, что графопостроитель conto.cin, загруженный в Ситизендиум, ТОРИ и ещё на некоторые сайты, поможет нарисовать красивые картинки для такого упражнения.
%\vskip 2mm
%На основе рассмотренных выше примеров, я заключаю, что 
Имеется формализм для построения суперфункции, которая на бесконечности стремится к стационарной точке передаточной функции. Особенно просто такой формализм интерпретируется, когда передаточная вещественно-голоморфна, имеет вещественную стационарную точку и является возрастающей функцией хотя бы в некоторой окрестности этой стационарной точки.  
\vskip 2mm

На этом я пока заканчиваю анализ 
%неограниченно-растущих 
суперфункций, абельфункций и итераций для вещественно-голоморфных функций, имеющих хотя бы одну вещественную стационарную точку.
В следующей главе рассмотрена передаточная функция, а именно - натуральная экспонента, у которой вещественных стационарных точек нет. 
% и самая простая супедункция - тетрация - стремится к одной из комплексных стационарных

%\chapter{Тетрация по основанию $\mathrm e$}
\chapter{~ Натуральная тетрация ~ tet}
\baselineskip 20pt

%\begin{wrapfigure}[28]{r}{175px}
\begin{wrapfigure}{r}{232px}
\parindent 0pt
%\sx{.5}{\begin{picture}(852,1002)
%\sx{.44}{\begin{picture}(852,962)
\sx{.5}{\begin{picture}(444,888)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
%\zooma
\normalsize
%\put(184,989){\sx{2.8}{$y$}}
\put(184,689){\sx{2.8}{$y$}}
%\put(184, 893){\sx{2.6}{$7$}}
%\put(184, 793){\sx{2.6}{$6$}}
%\put(184, 693){\sx{2.6}{$5$}}
\put(184, 593){\sx{2.6}{$4$}}
\put(184, 493){\sx{2.6}{$3$}}
\put(184, 467){\sx{2.6}{$\mathrm e$}}
\put(184, 393){\sx{2.6}{$2$}}
\put(184, 293){\sx{2.6}{$1$}}
\put(184, 193){\sx{2.6}{$0$}}
\put(170, 092){\sx{2.6}{$-\!1$}}
%\put(-1, 010){\sx{2.6}{$-\!2$}}
%\put(016, -4){\sx{2.6}{$-\!2$}}
\put(080,176){\sx{2.6}{$-\!1$}}
\put(195,176){\sx{2.6}{$0$}}
\put(295,176){\sx{2.6}{$1$}}
\put(386,179){\sx{2.7}{$x$}}

%\put(0,0){\ing{TetPlot}}
\put(0,0){\ing{tetplo}}
\put(232,742){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
%\put(222,642){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
\put(024,44){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
\put(372,722){\sx{2.4}{$y\!=\!\mathrm e^x$}}
%\put(334,572){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm e^x$}}
\put(010,232){\sx{2.5}{$y\!=\!\mathrm e^x$}}
\put(204,259){\sx{1.7}{$y\!=\!10\Big(\mathrm{tet}(x)-(x\!+\!1)\Big)$}}
\put(72,130){\sx{1.9}{$y\!=\!10\Big(\mathrm{tet}(x)-(x\!+\!1)\Big)$}}
\end{picture}} \rot{90}{\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TetPlotU.png}}\ero
\vskip -4pt
\caption{%Натуральная тетрация 
\large
$y\!=\!\mathrm{tet}(x)~$,
% толстая курва;
%для сравнения показаны также
$~y\!=\!\exp(x)~$ , 
%тонкая курва, 
и $y\!=\!10\big(\mathrm{tet}(x)-(x\!+\!1)\big)~$% курва промежуточной толщины.
\iL{TetPlot}}
\vskip 16pt
\end{wrapfigure}

Здесь рассмотрен случай экспоненциальной передаточной функции, $T\!=\!\mathrm{exp}$.
%а специальная суперфункция от натуральной экспоненты.
%$ называемая тетрацией $\mathrm {tet}$. 
Для такой 
передаточной 
функции 
%\rf{Tez}, 
передаточное уравнение 
%записывается в виде
\be
f(z\!+\!1)=\exp(f(z)) ~ ~ ~
\label{transferwxp}
\label{transferexp}
\ee
Чтобы ограничить множество решений,  на искомое решение $f$ 
налагается
%накладывается 
%дополнительное 
условие
\be
f(0)=1
\label{f0172}
\ee
Чтобы ещё сузуть многообразие решений, я требую, чтобы решение $f(z)$ было 
голоморфным во всей комплексной плоскости за исключением полупрямой $z\!<\!0$, 
a также ограниченным по крайней мере в полосе $\Re(z)\!\le\! 1$.
Тогда решение $f$ называется тетрацией и обозначается символом $\mathrm{tet}$. Для вещественных значений аргумента, эта функция показана на рисунке \ref{TetPlot}. %В этой главе я рассказываю, как эта функция построена.
\vskip 2mm

%Здесь речь идет об экспоненте по основанию $\mathrm e$, то есть натуральной экспоненте, обратной функции натурального логарифма.
Надо отличать такую тетрацию от сходных суперфункций для экспоненты по другим основаниям. Поэтому предлагается также термин ``натуральная тетрация'', использованный в качестве названия этой главы.
\vskip 2mm

Kоллеги спрашивают не только о том, как вычислять суперфункции для разных экзотических случаев
(порою предсказывая, что для некоторой конкретной передаточной функции, суперфункцию построить не удастся),
но и о том, как я догадался об асимптотическом поведении натуральной тетрации (а также других суперфункций). Такие вопросы задают не для того, чтобы во всех волнующих, шокирующих подробностях проследить сложный и опасный труд по угадыванию асимптотического поведения тетрации, а для того, чтобы похожим образом решать и другие задачи. Поэтому я отношусь к таким вопросам со всей серьезностью.
%строить и другие суперфункции.
\vskip 2mm
 
Чтобы ответить, эту главу пришлось превратить в некоторое подобие детективного романа, когда есть завязка, то есть уравнения \rf{transferwxp}, \rf{f0172}, и предлагается ущучить голоморфное решение  $f\!=\!\mathrm{tet}$, которое научная общественность согласилась бы счесть самой что ни на есть настоящей и натуральной тетрацией. В этой главе я показываю, что выбора у меня, по существу, не было, и что натуральная тетрация получается совершенно естественным и натуральным образом.

\section{Экспонента}
Прежде чем говорить о решении $f$ уравнений \rf{transferwxp}, \rf{f0172},
прийдется вспомнить свойства экспоненты. Для вещественного аргумента, график экспоненты показан на рисунке \ref{TetPlot} тонкой кривой.
Комплексная карта передаточной функции $T\!=\!\exp$ показана 
%в левой части 
на рисунке \ref{expMap}. На рисунке \ref{ExpQ2ePlot} повторен график экспоненты по основанию $\mathrm e$, чтобы сравнить его с экспонентой по основанию $\sqrt{2}$; одна из суперфункций для экспоненты по основанию  $\sqrt{2}$ уже рассмотрена в главе \ref{ChapterQ2}.
\vskip 2mm

\newcommand \zoomax {
\put(18, 806){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 513){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 413){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-4$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(435, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(535, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(827,-4){\sx{3}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\parindent 0pt
%\sx{.25}{\begin{picture}(852,820)
%\sx{.24}{\begin{picture}(852,820)
\sx{.5}{\begin{picture}(852,820)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
\put(40,20){\ing{ExpMap}}
\zoomax
\put(100,726){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(100,568){\sx{4}{$u\!=\!0$}}
\put(100,411){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(100,252){\sx{4}{$u\!=\!0$}}
\put(100,094){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(455,677){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(455,532){\sx{4}{\rot{90}$v\!=\!1$\ero}} 
\put(525,532){\sx{4}{\rot{90}$v\!=\!2$\ero}}
\put(296,360){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0.2$\ero}} 
\put(455,374){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}} 
\put(525,374){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put(455,208){\sx{4}{\rot{90}$v\!=\!-\!1$\ero}} 
\put(455,050){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-\!1$\ero}}
\end{picture}} 
\caption{\large  $u\!+\! \mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{expMap} % ~ ~ ~ \iL{ExpQ2ePlot}
}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\parindent 0pt
\normalsize
%\sx{.25}{\begin{picture}(852,820)
%\sx{.24}{\begin{picture}(852,820)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
%\put(40,20){\ing{ExpMap}}
\sx{.35}{\begin{picture}(1202,804)
%\zoomax
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}} 
\put(582,798){\sx{4.1}{$y$}} 
\put(582,709){\sx{4.1}{$7$}}
\put(582,609){\sx{4.1}{$6$}}
\put(582,509){\sx{4.1}{$5$}}
\put(582,409){\sx{4.1}{$4$}}
\put(582,309){\sx{4.1}{$3$}}
\put(582,209){\sx{4.1}{$2$}}
\put(582,109){\sx{4.1}{$1$}}
\put(080,-12){\sx{3.6}{$-5$}}
\put(180,-12){\sx{3.6}{$-4$}}
\put(281,-12){\sx{3.6}{$-3$}}
\put(381,-12){\sx{3.6}{$-2$}}
\put(482,-12){\sx{3.6}{$-\!1$}}
% \put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(704.7,-12){\sx{3.6}{$1$}}
\put(804.8,-12){\sx{3.6}{$2$}}
\put(904.9,-12){\sx{3.6}{$3$}}
\put(1004.0,-12){\sx{3.6}{$4$}}
\put(1104.2,-12){\sx{3.6}{$5$}}
\put(1192.5,-12){\sx{3.8}{$x$}}
\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
\put(1034,490){\sx{5.6}{\rot{66}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1094,444){\sx{5.7}{\rot{45}$y\!=\!x$\ero}}
\put(10,20){\ing{ExpQ2ePlot}}
\end{picture}
}
\caption{\large $~y\!=\!\exp(x)~$ и $~y\!=\!\exp_{\sqrt{2}}(x)$ ~ \iL{ExpQ2ePlot}
}
\end{figure}

%Для передаточной функции $T\!=\!\exp$, передаточное уравнение записывается в виде
%\be
%f(z\!+\!1)=\mathrm e^{f(z)}=\exp\!\big(f(z)\big)
%\eL{transfere}
%Разумеется, это уравнение отличается от уравнения \transferwx лишь фор

%Для вещественных значений аргумента, график натуральной экспоненты в сравнении с графиком экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ показан на рисунке \ref{ExpE2ePlot}.
%Тонкая линия по казывает $y=x$ выделяет вещественные стационарные точки экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, поясняя, как это у натуральной экспоненты нет вообще ни одной вещественной стационарной точки, в то время как у экспоненты по основаию $\sqrt{2}$ таких точек ажно две.

Я надеюсь, что меня простят за то, что я говорю, пишу и рисую про такие элементарные функции. Книга должна выдерживать прямое попадание в руки даже самого необученного академика (Пусть А.Каминский не обижается, так как этот оборот не я придумал, а Братья Стругацкие \cite{stru}). 
Дело в том, что экспонента везде гладкая, пока она не итерируется. Или даже пока итерируется, но целое неотрицательное число раз.
А вот если смотреть, насколько она гладкая по количеству итераций, то вопрос о гладкости не так прост. (Я прошу Ю.Кузнецову не обижаться, так как поговорку ``вода гладкая, пока об неё не ударишься'' придумал тоже не я.)
В старании писать ясно и понятно, чтобы даже Акира Ширакава понял, в этой главе я начинаю писать от экспоненты.
\vskip 2mm

Для меня, экспонента выступает как суперфункция от операции ``умножение на число  $\rme$'',  приблизительно - на $2.71828182846$:
\be
T(z)=\mathrm e \, z
\eL{Tez}

Повторение -- не мать остроумия,  но цель Книги -- не рассмешить читателя, а научить его пользоваться суперфункциями. 
%Книга должна выдерживать прямое попадание в руки самого необученного академика.
Приходится писать об элементарных вещах, и, в частности, об элементарных функциях; чтобы даже Акира Ширакава не мог сказать, что формализм ``слишком сложный''. Поэтому в качестве передаточного уравнения я повторяю формулу из школьного курса алгебры:
\be
f(z\!+\!1)=\mathrm e \, f(z)
\eL{expz1ez}
%Разумеется, это уравнение отличается от уравнения \rf{transferwxp}
В принципе, решение $f$ этого уравнения можно строить методом регулярной итерации, вблизи стационарной точки $L\!=\!0$ 
передаточной функции $T$ по формуле \rf{Tez}. Читателю рекоммендуется проделать это в качестве упражнения.
Первичное разложение \rf{Lea2general} обрывается на первом же слагаемом, давая точное решение $f\!=\!\exp$.
\vskip 2mm

Для 
%такой 
передаточной функции $z\!\mapsto \mathrm e \,z$, запишу и уравнение Абеля:
\be
g(\mathrm e \, z)=1+ g(z)
\eL{abelog}
Это уравнение рассмотрено Генриком Траппманном \cite{log}. Вероятно, Читатель уже догадывается, что в качестве решения Генрик получил натуральный логарифм, $g\!=\!\ln$. Читатели приглашаются подумать, какие ещё требования надо присобачить к уравнению \rf{abelog}, чтобы его решение $g\!=\!\ln$ стало единственным. Любители и профессионалы строгой математической дедукции могут также подсмотреть ответ у Генрика  \cite{log}; я надеюсь, что рукописи не горят, и упомянутая статья будет доступна и в будущем.
\vskip 2mm

Экспоненту можно определить как специальную суперфункцию от передаточной функции ``умножение на $\mathrm e$'', а именно,  везде голоморфное решение $f$ уравнения \rf{expz1ez} с периодом $P\!=\!2\pi \mathrm i$, такое что 
\be
f(0)=1\ee
Mне не удалось построить иного решения уравнения \rf{expz1ez}, обладающего такими свойствами.
\vskip 2mm

\JP{
\begin{figure}[h]
\sx{.2}{\begin{picture}(1202,804)
%\put(10,10){\ing{ExpQ2plot}} 
\put(590,792){\sx{4.2}{$y$}} 
\put(590,698){\sx{4.2}{$7$}}
\put(590,598){\sx{4.2}{$6$}}
\put(590,498){\sx{4.2}{$5$}}
\put(590,398){\sx{4.2}{$4$}}
\put(590,298){\sx{4.2}{$3$}}
\put(590,198){\sx{4.2}{$2$}}
\put(590,098){\sx{4.2}{$1$}}
% \put(080,-22){\sx{4}{$-5$}}
\put(180,-22){\sx{4}{$-4$}}
\put(281,-22){\sx{4}{$-3$}}
\put(381,-22){\sx{4}{$-2$}}
\put(482,-22){\sx{4}{$-\!1$}}
% \put(603.6,-22){\sx{4}{$0$}}
\put(703.7,-22){\sx{4}{$1$}}
\put(803.8,-22){\sx{4}{$2$}}
\put(903.9,-22){\sx{4}{$3$}}
\put(1004.0,-22){\sx{4}{$4$}}
\put(1104.1,-22){\sx{4}{$5$}}
\put(1192.2,-22){\sx{4.3}{$x$}}
\put(0815,520){\sx{5.6}{\rot{78}$y\!=\!\exp(x)$\ero}}
\put(1034,490){\sx{5.6}{\rot{66}$y\!=\!\exp_{_{\!\!\sqrt{2}}}(x)$\ero}}
\put(1094,444){\sx{5.7}{\rot{45}$y\!=\!x$\ero}}
\put(10,10){\ing{ExpQ2ePlot}}
\end{picture}}
\caption{График экспоненты по основанию $b\!=\!e$ в сравнении с экспонентой по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. \iL{ExpQ2ePlot}}
\end{figure}
}%JP
График экспоненты представлен также на рисунке \ref{ExpQ2ePlot}. (Эта же зависимость показана рисунке \ref{TetPlot} тонкой курвой.)
Полезно сравнить его с 
%показанным на рисунке \ref{ExpQ2plot} 
графиком экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, который пересекает прямую $y\!=\!x$. Для удобства эта кривая воспроизведена на рисунке \ref{ExpQ2ePlot}.
График для натуральной экспоненты $y\!=\!\exp(x)$  прямую $y\!=\!x$ не пересекает. У натуральной экспоненты нет вещественных стационарных точек.
\vskip 2mm

Стационарная точка $L$ экспоненты и логарифма по основанию $b\!=\!\exp(a)$ есть решение уравнения $L=\log_b(L)$. Это решение
может быть выражена через функцию Тани, рассмотренную в главе 4:
\be\!\!\!\!\!\!
L\!=\!\mathrm{filog}(a)\!=\!
\frac{\mathrm{Tania}(\ln(a)\!-\!1\!-\! \pi \mathrm i) }{-a}\!=\!
\frac{\mathrm{WrightOmega}(\ln(a)\!-\! \pi \mathrm i) }{-a}
\label{Lexp}
\ee
Второе равенство в формуле \rf{Lexp} может рассматриваться как определение функции $\mathrm{filog}$, рассмотренной также в ТОРИ, \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog}.\\
%Свойства функции $\mathrm{Tania}$ описаны в Первой главе; 
Более подробно свойства функции $\mathrm{filog}$ рассмотрены в главе 18.
\vskip 2mm

Kак видно из уравнения \rf{Lexp}, Tania является 
%незначительной 
модификацией известной специальной функции $\mathrm{WrightOmega}$ \cite{wright,david}. Ввиду того, что фиксированная точка $L$ выражается через известные специальные функции, этот параметр известен точно\footnote{Я прошу не обижаться ту Таню, которая до сих пор считает, что даже  $\pi$  есть число приближенное. В порядке попытки примирения, добавляю: в численных рассчетах и, в частности, при генерации рисунков, используются приближенные значения математических констант с аккуратностью порядка 15 значащих цифр.}.  
%В частности, 
Для основания экспоненты $b\!=\!\mathrm e$, параметр $a\!=\!1$, это дает значение 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
L\!\!&=&- \mathrm{Tania}(-1\!-\!\pi\mathrm i) \nonumber \\
&\approx& 
  0.3181315052047641353%12654
+1.3372357014306894089%0116
\, \mathrm i
\label{expL}
\ee
Приближение для $L$ с парой значащих цифр можно извлечь также непосредственно из рисунка \rf{figTaniaMap}, считая пальцем изолинии. 
\vskip 2mm

Таким образом, функция Tania используется в этой книге уже дважды: в главе 2, как реалистичная суперфункция для передаточной функции Doya, описывающей увеличение интенсивности света в усилителе с простой моделью накачки активной среды, и теперь, как способ точного представления фиксированной точки экспоненты. Это одна и та же Таня \footnote{
%Чтобы не показлось, что какая-либо Таня меня преследуют, в качестве апологии такому однообразию, сошлюсь на Философию Решетняка: 
Сергей Решетняк обнаружил и экспериментально доказал, что лучше использовать одну Таню несколькими способами, чем несколько Тань - одним.}.  Для удобства склонения имени этой функции в соответствии с обычаями Русского языка, здесь используется также русскоязычная транслитерация Таня в том же значении, так что Tania$=$Таня.
\vskip 2mm

Экспонента является вещественно-голоморфной функцией, то есть $\exp(z^*)=\exp(z)^*$;  поэтому число 
$L^*\!\approx\! 0.1\!-\!1.3\,\mathrm i$
тоже является её стационарной точкой. Можно ожидать, что при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента, вещественно-голоморфная суперэкспонента стремится к одному из значений $L$ или $L^*$. Такая догадка обсуждается в седующей секции.% в определении натуральной тетрации.

\section{Эвристическая тетрация}

После опубликования первой статьи про построение 
вещественно-голоморфной тетрации \cite{analuxp}, многие коллеги задают мне одни и те же вопросы:

``Как вы угадали асимптотическое поведение тетрации на $\pm \mathrm i \infty$?''

``Как вы угадали начальное приближение $\mathrm{fit}_3$?'' \cite{guess}. 

Чтобы не уподобляться Рипу Ван Винклю
\footnote{
\url{http://lib.ru/INPROZ/IRWING/ripvanvinkl.txt}
Вашингтон Ирвинг. Рип ван Винкль. Перевод А.С. Бобовича. 
14 Jul 2000 19:52:31 GMT}, вспоминая всё новые и новые подробности истории, которая надолго вышибла меня из Лазерной Науки,
%(которые, все вместе, привели к упомянутой аппроксимации), 
%а, с другой стороны, не становиться занудой, 
%повторяя одно и то же, 
в этой секции я излагаю лишь одну из мотиваций.
\vskip 2mm

Изначально, мне хотелось использовать какую-нибудь быстро растущую функцию для того, чтобы представлять факториал от числа частиц в Бозе-Эйнштейновском конденсате. Такой факториал возникает при попытке записать первое приближение для многочастичной волновой функции. 
\vskip 2mm

Быстро растущая функция предложена в статье Гусманда \cite{hooshmand}, но для асимптотического анализа она оказалась непригодной ввиду её неголоморфности. Гусманд описал линейное линейное приближение тетрации; это приближение дает две значащих цифры для тетрации, пока вещественная часть аргумента лежит в интервале $[-1,0]$. 
Нетрудно написать соответствующее расширение через передаточное уравнение и для остальных точек комплексной плоскости:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
f(z)=\mathrm{uxp}(z)=\!\left\{\!\!\!
\begin{array}{ccccc cc}
\ln\!\big({\rm uxp}(z\!+\!1)\big)~&{\rm at}&    \!&\!   \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\! -1 \\
                     z  +  1      ~&{\rm at}& -1 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\!  0 \\
\exp\!\big({\rm uxp}(z\!-\!1)\big)~&{\rm at}&  0 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!& 
\end{array}
\right.
\label{uxp}
\ee

\begin{figure}
\normalsize
%\sx{1.3}{\begin{picture}(370,80)
\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(370,80)
%\put(5,5){\includegraphics{fig01a}}
\put(6,6){\includegraphics{analuxp01a}}
\put(12,60){\sx{3}{a}}
\put( 0,82){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,63){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0,43){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9,23){\sx{1.1}{$-1$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put(98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\put(95,52){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(177,57){\sx{.8}{\rot{58}$v\!=\!1$\ero}}
\put(172,24.2){\sx{.8}{\rot{32}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(190,66){\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(180,45.8){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt

\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(370,96)
\put( 6,6){\includegraphics{analuxp01b}}
\put(12,60){\sx{3}{b}}
\put( 0,82){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,63){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0,43){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9,23){\sx{1.1}{$-1$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put( 98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\multiput(40,66)(90,21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1.4$}}
\multiput(93,77)(-90,-21){1}{\sx{.8}{$u\!=\!1.2$}}
\multiput(183,83)(-90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1.2$}}
\multiput(185,73)(-90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(184,46){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\put(184,20){\sx{.8}{$v\!=\!-1$}}
\put(176,21){\sx{.8}{\rot{42}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(211,39){\sx{.8}{\rot{90}{$u\!=\!1$}\ero}}
\multiput(4,34)(90,-21){2}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\multiput(37,26)(90,-21){1}{\sx{.8}{$v\!=\!-1.4$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt

\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(366,176)
\put( 6,-14){\includegraphics{analuxp01c}}
\put(35,153){\sx{1.}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L\approx 0.3+1.3\mathrm i$}}
\put(33,13){\sx{1.}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L^*\approx 0.3-1.3\mathrm i$}}
\put(12,140){\sx{3}{c}}
\put( 0,164){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,144){\sx{1.1}{$3$}}
\put( 0,124){\sx{1.1}{$2$}}
\put( 0,104){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0, 84){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9, 64){\sx{1.1}{$-1$}}
\put(-9, 44){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(-9, 24){\sx{1.1}{$-3$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put( 98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\multiput(271,159)(-90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\multiput(271,147)(-90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!1.2$}}
\multiput(185,113)(90,21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
%\put(184,86){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\multiput(184,60)(90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!-1$}}
\multiput(176,61)(89.4,-21){3}{\sx{.8}{\rot{42}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(211,79){\sx{.8}{\rot{90}{$u\!=\!1$}\ero}}
\multiput(40,106)(90,21){4}{\sx{.8}{$v\!=\!1.4$}}
\multiput(37,65)(90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!-1.4$}}
\multiput(5,75)(90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt

\hskip 8pt
\sx{1.12}{\begin{picture}(366,176)
\put( 6,-14){\includegraphics{analuxp01d}}
\put(35,153){\sx{1.}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L\approx 0.3+1.3\mathrm i$}}
\put(33,13){\sx{1.}{$u\!+\!\mathrm i v \approx L^*\approx 0.3-1.3\mathrm i$}}
\put(12,140){\sx{3}{d}}
\put( 0,162){\sx{1.2}{$y$}}
\put( 0,144){\sx{1.1}{$3$}}
\put( 0,124){\sx{1.1}{$2$}}
\put( 0,104){\sx{1.1}{$1$}}
\put( 0, 84){\sx{1.1}{$0$}}
\put(-9, 64){\sx{1.1}{$-1$}}
\put(-9, 44){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(-9, 24){\sx{1.1}{$-3$}}
\put( 18,-2){\sx{1.1}{$-8$}}
\put( 58,-2){\sx{1.1}{$-6$}}
\put( 98,-2){\sx{1.1}{$-4$}}
\put(138,-2){\sx{1.1}{$-2$}}
\put(186,-2){\sx{1.1}{$0$}}
\put(226,-2){\sx{1.1}{$2$}}
\put(266,-2){\sx{1.1}{$4$}}
\put(306,-2){\sx{1.1}{$6$}}
\put(346,-2){\sx{1.1}{$8$}}
\put(362,-2){\sx{1.2}{$x$}}
\multiput(271,159)(-90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}
\multiput(271,147)(-90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!1.2$}}
\multiput(185,113)(90,21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!1$}}
\put(184,86){\sx{.8}{$v\!=\!0$}}
\multiput(184,60)(90,-21){2}{\sx{.8}{$v\!=\!-1$}}
\multiput(176,61)(89.5,-21){3}{\sx{.8}{\rot{42}{$u\!=\!0$}\ero}}
\put(211,79){\sx{.8}{\rot{90}{$u\!=\!1$}\ero}}
\multiput(40,106)(90,21){4}{\sx{.8}{$v\!=\!1.4$}}
\multiput(37,65)(90,-21){3}{\sx{.8}{$v\!=\!-1.4$}}
\multiput(5,75)(90,-21){4}{\sx{.8}{$u\!=\!0.4$}}

\end{picture}}
\caption{\large $\exp(u\!+\!\mathrm i v)=f(x\!+\!\mathrm i y)$  для следующих  функций:
$f\!=\!\mathrm{uxp}$, (a), 
$f\!=\!\mathrm{Fit}_3$, (b), 
$f\!=\!\mathrm{Fit}_6$, (c), 
$f\!=\!\mathrm{tet}$, (d) % показаны уровнами логамплитуды и фазы: 
\label{analuxp01} 
\label{analuxp}
\iL{analuxpmap} }
\end{figure}

Эта функция показана на верхней картинке (a) рисунка \ref{analuxp01} линиями постоянной логамплитуды $u$ и фазы  $v$,
\be
\exp(u\!+\!\mathrm i v) = f(x\!+\!\mathrm i y)
\ee
Такое представление карты отличается от того, которое обычно используется для визуализации комплексных функций этой Книги. Обычно проводятся линии уровня вещественной и линии уровня мнимой частей значений функции. Однако представление карт в том же виде, как они были опубликованы в статье \cite{analuxp}, я считаю важным для ответа на вопрос, как я пришёл к эффективному представлению голоморфной тетрации.
\vskip 2mm

%\begin{parbox}{140px}{
%\sx{.3}{\begin{picture}(540,420)
%\put(0,0){\ing{otprotivnogo}}
%\end{picture}}%
%}
%\end{parbox}
%\begin{parbox}{342px}{
На рисунке \ref{analuxp01}, вертикальные линии разреза области аналитичности делят комплексную плоскость на счетное множество почти не перекрывающихся полос. Такое поведение породило вопрос о том, можно ли предложить более голоморфное решение передаточного уравнения. 
При беглом просмотре работы Гусманда, казалось, что это невозможно, хотя допущение о монотонности производной от решения, использованного для доказательства теорем в работе  \cite{hooshmand},
казалось сомнительным. В целях упростить доказательство несуществования голоморфной тетрации, я начал изучать её свойства, ожидая на некотором этапе прийти к противоречию и оформить изящное доказательство ``от противного''. 
%Однако, н
(Несуществование доказать не удалось; пришлось предположить, наоборот, существование.) %Происходило это следующим образом.
%}\end{parbox}
\vskip 2mm

\baselineskip 19.6pt
Чтобы доказать несуществование функции, полезно её аппроксимировать и нарисовать. 
Я рассмотрел несколько элементарных функций, имеющих логарифмическую особенность в точке $-2$ и принимающих те же значения, что 
и тетрация, при некоторых целых значениях аргумента. Одной из таких аппроксимаций является %функция  
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{fit}_2(z) \!=\! 
\ln(2\!+\!z)& \nonumber \\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
+ (1\!+\!z)\left(
        1 + 
        \frac{z}{2}\exp\!\Big((z\!-\!1)s_2(z)\Big)
        			\Big(\!\mathrm e\! -2\! +\! \ln\frac{4}{3}	\Big)
		- \ln 2 
        \right)
        \label{fit2}
        \ee
где
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
s_2(z) = \exp\!\Big(\exp(z-2.51)\Big)-0.6+0.08(z\!+\!1)
\eL{fit2s}
Константы в выражении \rf{fit2s} выбраны так, чтобы минимизировать невязку при подстановке $f\!=\!\mathrm{fit}_2$ в передаточное уравнение. Эту аппроксимацию можно улучшить, сравнивая \rf{fit2s} с аккуратным приближением. Однако, во время ``угадывания'' свойств тетрации, аккуратная аппроксимация тетрации и даже её определение ещё не существовали; поэтому пришлось минимизировать невязку. 
\vskip 2mm

После построения функции $\mathrm{fit}_2$, оказалось, что линейная комбинация функций 
%$f(z)\!=\!\mathrm{fit}_2(z)$ и $f(z)\!=\!\ln(\mathrm{fit}_2(z\!+\!1))$ 
$z\!\mapsto\!\mathrm{fit}_2(z)$ и $z\!\mapsto\!\ln(\mathrm{fit}_2(z\!+\!1))$ 
дает ещё меньшую невязку; так получилась аппроксимация $\mathrm{fit}_3$:
\be
\mathrm{fit}_3(z) \!=\! 0.6\!~\mathrm{fit}_{2}(z)+0.4\!~\ln\big( \mathrm{fit}_{2}(z+1)\big)
\ee
%Чтобы расширить область аппроксимации, на основе функции  $\mathrm{fit}_3$ построена функция  $\mathrm{Fit}_3$,
Область аппроксимации можно расширить; пусть
%, на основе функции  $\mathrm{fit}_3$ построена функция  $\mathrm{Fit}_3$,
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!
\mathrm{Fit}_3(z) \!=\!  \left\{\!\!
\begin{array}{ccccc cc}
\ln\!\big({\rm Fit}_{3}(z\!+\!1)\big)~&{\rm at}&~   \!&\!   \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\! -1 \\
                \mathrm{fit}_{3}(z)           ~&{\rm at}& -1 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!&\! \le \!&\!  0 \\
\exp\!\big({\rm Fit}_{3}(z\!-\!1)\big)~&{\rm at}&~ 0 \!&\! < \!&\! \Re(z) \!& 
\end{array}
\right.
\eL{Fit3}
Логамплитуда и фаза этой функции показаны на рисунке   \ref{analuxp01}b. 
\vskip 2mm

Для сравнения, на рисунке \ref{analuxp01} показаны ещё две карты  c и d. Они представляют, соответственно,
асимптотическое приближение $f=\mathrm{Fit}_6$, аккуратное при больших значениях мнимой части аргумента, и 
%соответственно, 
тетрацию  $f=\mathrm{tet}$, 
%построенную с использованием её аккуратного представления через интеграл Коши и 
описанную ниже, в секции 4, и являющуюся основной целью этой главы. 
\vskip 2mm

Асимптотическое приближение
%представление выражается формулой
\be
\mathrm{Fit}_6(z) = \left\{
\begin{array}{c}
L+\exp(k(z\!+\!r))
 ~, ~ \Re(z)<-8
\\
\exp\Big(\mathrm{fit}_6(z\!-\!1)\Big)
~,~  \Re(z)\ge -8
\end{array}
\right.
\eL{Fit6}
Для натуральной тетрации, инкремент $k\!=\!L$. Это может рассматриваться как совпадение, которое, впрочем, каждый может проверить с помощью достаточно примитивного асимптотического анализа. Значение 
%комплексной 
константы $r\!\approx\! 1.075820830781 \!-\! 0.9466419207254 \,\mathrm i$ является единственным подгоночным параметром такой аппроксимации; это значение может рассматриваться приближенное значение точной фундаментальной математической константы
\footnote{
Я бы назвал её константой Кнезера. 
Это одна из констант, требуемых для вычисления рассмотренных им разложений для итераций экспоненты 
\cite{kneser}
}.
Функция $\mathrm{Fit}_6(z)$ аппроксимирует тетрацию $\mathrm{tet}(z)$ при $\Im(z)>0.4$; 
функция $\mathrm{Fit}_6(z^*)^*$ аппроксимирует $\mathrm{tet}(z)$ при $\Im(z)< - 0.4$; комбинация этих функций показана на карте ``c'' рисунка \ref{analuxp01}.
Вблизи вещественной оси, то есть при $|\Im(z)|<0.4$, такая аппроксимация ведет себя отвратительно и эта полоса на карте оставлена белой.
%Анализ аппроксимации  $f\!=\!\mathrm{fit}_6$ и представление тетрации через интеграл Коши рассмотрены в последующих секциях.
\vskip 2mm

В принципе, аппроксимации  $f\!=\!\mathrm{Fit}_3$ и  $f\!=\!\mathrm{Fit}_6$ по формулам \rf{Fit3} \rf{Fit6} достаточны для построения карт и графиков тетрации; вместе, они обеспечивают порядка трех значащих цифр во всей комплексной плоскости. Однако, даже аппроксимация $\mathrm{Fit}_3$, см. \rf{Fit3}, позволяет догадаться, что, если голоморфное решение $f$ передаточного уравнения существует, то оно стремится к
стационарным точкам $L$ или $L^*$ логарифма, когда мнимая часть аргумента стремится к плюс или минус бесконечности. Эти значения видны в левой верхней и левой нижней частях карт ``b'',  ``c'' и ``d'' на рисунке \ref{analuxp01}. Зная эти свойства и аккуратное представление тетрации, примитивные аппроксимации этой секции можно сильно улучшить; это улучшение описано во Владикавказском Математическом журнале \cite{vladie}. 
%Но здесь я лишь объясняю, откуда взялись постулаты в определении тетрации.
\vskip 2mm

Таким образом, эта секция поясняет, ``как я догадался'' о том, как ведет себя тетрация в окрестности мнимой оси. 
Постулируя эти свойства тетрации, можно построить эффективные и аккуратные алгоритмы для её вычисления. 
Такие постулаты перечислены в следующей секции.
%Один из таких алгоритмов, использующий интеграл Коши, рассмотрен в следующей секции.

\section{Свойства тетрации}
\baselineskip 20.6pt

Следуя рекомендациям коллег, друзей и родственников, изложение в этой Книге идет от простого к сложному.
Поэтому здесь пока определяется лишь натуральная тетрация.
%В этой секции рассмотрен специальный случай применения интеграла Коши к передаточному уравнению, а именно - для построения натуральной тетрации,
%когда передаточной функцией является обычная экспонента. 
Эта секция продолжает пересказ статьи 
%\cite{tet}
\cite{analuxp}. %Здесь предлагается определение тетрации и алгоритм для её вычисления.
\vskip 2mm

После того, как пара верхних карт рисунка  \ref{analuxp01} была построена, основные свойства этой функции стали ясны. Оставалось только постулировать их, как определение натуральной тетрации, и использовать эти свойства для её вычисления. Эти свойства перечислены (повторены) ниже.
\vskip 2mm

Решение  $F$ передаточного уравнения \rf{transferwxp} с дополнительным условием $F(0)=0$ называется натуральной тетрацией или, для краткости, просто тетрацией, и обозначается символом $\mathrm{tet}$,
если выполнены следующие условия.
\vskip 2mm

{\bf Т1.} Функция $F(z)$ вещественно-голоморфна во всей комплексной плоскости за исключением полупрямой $z\le -2$ ; то есть $F(z^*)=F(z)^*$.
В точке $z\!=\!-2$, функция $F(z)$ имеет логарифмическую особенность и, соответственно, точку ветвления.
\vskip 2mm

{\bf Т2.}  Функция $F(z)$ ограничена в полосе $|\Re(z)|\le 1$.
\vskip 2mm

{\bf T3}. Функция $F(z)$ стремится к стационарной точке $L$ в верхней части комплексной плоскости: для вещественных $x$ имеет место соотношение
\be
\lim_{y \rightarrow + \infty} f(z+\mathrm i y)=L
~ ~ ~ ~ \eL{T715}
и для положительных значений $y$ имеет место соотношение
\be
\lim_{x \rightarrow - \infty} f(z+\mathrm i y)=L
~ ~ ~ ~ \eL{T716}
\vskip 2mm

{\bf T4.} В полосе $~-1\le\Re(z)\le 2 ~$ выполняется условие 
\be
\arg(F(z))<2 %\pi
\eL{argF}
\vskip 2mm

Условия Т1-Т4 выше несколько избыточны. Можно надеяться, что дальнейшее совершенстование аппарата суперфункций поможет решить, которые из этих свойств 
следует сохранить в определении тетрации, а какие оформить в виде теорем, следующих из укороченного определения и общих свойств голоморфных функций. Пока, пользуясь декларацией эвристичности, 
все свойства  Т1-Т4 постулируются как части определения термина ``натуральная тетрация''.
\vskip 2mm

Из требований \rf{T715} и \rf{T716} и условия вещественности  $f(z^*)=f(z)^*$ следует, что
\be
\lim_{y \rightarrow - \infty} f(z+\mathrm i y)=L^*
~ ~ ~ ~ \eL{T717}
и для отрицательных значений $y$ имеет место соотношение
\be
\lim_{x \rightarrow - \infty} f(z+\mathrm i y)=L^*
~ ~ ~ ~ \eL{T718}

Условия  \rf{T716}  и \rf{T718}  используются в следующей секции для построения и вычисления тетрации
с помощью интеграла Коши.
%\vskip 2mm

\section{Интеграл Коши \label{section:IntegralCauchi}}

Для голоморфной функции $F$, имеет место формула Коши \cite{Cauchi}:
\be 
F(z) = \frac{1}{2\pi \rmi} \oint_{\Omega} ~ \frac{F(t)}{t\!-\!z}~  \mathrm d t
\eL{Cauchi}
где контур $\Omega$ интегрирования принадлежит односвязной области голоморфизма и один раз обходит точку $z$ против часовой стрелки.
С помощью уравнения \rf{Cauchi}, передаточное уравнение 
\rf{transferexp}
%\rf{transfereq}
%is fixed point of logarithm, id e 	. From the condition of the real holomorphism, 
можно свести к интегральному уравнению для значений суперфункции вдоль мнимой оси. Для экспоненты, такое уравнение описано в статье  \cite{analuxp} и пересказано ниже.
% и впоследствии обобщено \cite{uniabel}. 
\vskip 2mm

%В этой секции описано такое применение интеграла Коши.
%Let $L$ and $L^*$ be conjugated fixed points of the real-holomorphic transfer function $T$. In order to construct superfunction $F$ that asumptorically approaches $L$ in the
%Let function $F$ be supposed to be holomorphic at least in some vicinity of the strip 
%Пусть функция $F$ предполагается голоморфной 
Физик или математик, пользующийся формулой \rf{Cauchi}, имеет определенную свободу в выборе контура интегрирования. Он 
%в этом смысле он 
подобен инженеру, проектирующему кольцевую дорогу для уединенного гористого полуострова. 
\vskip 2mm
Добросовестный инженер постарается учесть расположение портов, селений, заводов, ферм, с тем, чтобы одной дорогой помочь по возможности большему количеству жителей добираться до тех мест, куда они едут. Кроме того, добросовестный инженер постарается избежать болот, крутых осыпей и узких извилистых ущелий, чтобы сделать дорогу быстрой, дешевой и безопасной. 
\vskip 2mm

Тщеславный диктатор, уже проявившися в спорте, войнах, живописи, археологии и оринтологии, и решивший показать себя ещё и в роли крутого инженера,  может нарисовать на карте прямоугольник и предложить его в качестве проекта трассы. Такой ``проект'' потребует много насыпей, выемок и туннелей, которые сильно просадят бюджет и дадут министрам дурной пример расточительства и головотяпства.
\vskip 2mm

К сожалению, в выборе контура интегрирования, предложенном в статье  \cite{analuxp}, я выступаю скорее как тщеславный диктатор, чем как добросовестный инженер: я выбираю контур интегрирования в виде прямоугольника. 
%В качестве оправдания такого волюнтаризма можно указать, что карта района, в котором прокладывался контур интегрирования, была ещё точно неизвестна. В качестве отягчающего обстоятельства можно указать, что драфт такой карты можно было бы построить на основе фитирования тетрации в окрестности вещественной оси и угадывания её асимптотического поведения на $\mathrm i \infty$. 
%Однако,
%экспоненциальной функции по основанию $ \mathrm e$, 
Меня оправдывает лишь то, что на основе такого контура получается эффективный %(достаточно быстрый и точный) 
алгоритм вычисления тетрации (суперфункции от экспоненты); первые комплексные карты тетрации были построены с таким алгоритмом.
\vskip 2mm

Пусть $F$ является вещественно-голоморфным решением передаточного уравнения $F(z\!+\!1)=\mathrm e^{F(z)}$, 
\JP{ \be \lim_{y\rightarrow \infty} F(x+\mathrm i y)=L \ee
Тогда 
\be \lim_{y\rightarrow - \infty} F(x+\mathrm i y)=L^* \ee    }%JP

Пусть $A$ - вещественное число, такое большое, что $F(\mathrm i A) \!\approx\! L$ и, значит,  $F(\mathrm - i A) \!\approx\! L^*$ 

Пусть область голоморфизма функции $F(z)$ включает область $-1\! \le\! \Re(z)\! \le\! 1$, и в этой области  $|\arg{F(z)}|<\pi$.
\vskip 2mm

Такие условия позволяют превратить контурный интеграл в решаемое интегральное уравнение при подходящем выборе контура $\Omega$  в формуле Коши \rf{Cauchi}.
%\vskip 2mm
%Пока свойства функции $F$ неизвестны, и для её вычисления нет эффективного алгоритма, мы можем только предполагать и декларировать некоторые её свойства, по аналогии с библейским "Да будет свет!" \\
%Разумеется, после построения суперфункции $F$, такие декларации подлежат проверке; в частности, имеет смысл рассмотреть функцию $F$ на предмет её существования \cite{tet} и единственности \cite{uniabel}. 
%\vskip 2mm
Пусть контур $\Omega$ состоит из четырех сегментов:\\
%{\bf A.} integration along the line $\Re(t)\!=\!1$ from $t=1\!-\!\rmi A$ to $t=1\!+\!\rmi A$.\\
%{\bf B.} integration from point $t=1\!+\!\rmi A$ to $t=-\!1\!+\rmi A$, passing above point $z$.\\
%{\bf C.} integration along the line $\Re(t)=-1$ from $t=-\!1\!+\rmi A$ to $t=-\!1\!-\!\rmi A$.\\
%{\bf D.} integration from point $t=-\!1\!-\!\rmi A$ to $t=1\!-\!\rmi A$, passing below point $z$.
{\bf A.} %интегрирование 
вдоль линии $\Re(t)\!=\!1$ от $t=1\!-\!\rmi A$ до $t=1\!+\!\rmi A$.\\
{\bf B.} %интегриривание 
от точки $t=1\!+\!\rmi A$ до точки $t=-\!1\!+\rmi A$, проходя над точкой $z$.\\
{\bf C.} %интегрирование 
вдоль линии $\Re(t)=-1$ от $t=-\!1\!+\rmi A$ до $t=-\!1\!-\!\rmi A$.\\
{\bf D.} %интегриривание 
от точки $t=-\!1\!-\!\rmi A$ до точки $t=1\!-\!\rmi A$, проходя под точкой  $z$.
\vskip 2mm

Для контура $\Omega$, интеграл Коши может быть записан так:
\be 
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!&=&\! \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} \frac{F(1\!+\!\mathrm i p) \, \mathrm{d} p}{1+\mathrm i p - z}
- \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} \frac{F(-1\!+\!\mathrm i p) \, \mathrm d p}{-1+\mathrm i p - z}
\nonumber \\ && \rule{322pt}{0pt} 
%\iL{3dot2} 
\label{3dot2} 
\\
&&- ~ \frac{F_{\rm up}}{2\pi\mathrm i} \int_{-1-\mathrm i A}^{1-\mathrm i A} \, \frac{ \mathrm d t}{t\!-\!z}
+ \frac{F_{\rm down}}{2\pi\mathrm i} \int_{-1-\mathrm i A}^{-1-\mathrm i A} \, \frac{ \mathrm d t}{t\!-\!z}
\nonumber \ee
где  $F_{\rm up}$ и $F_{\rm down}$ суть некоторые средние значения на участках {\bf B} и {\bf D} контура $\Omega$.
\vskip 2mm

С учетом передаточного уравнения \ref{transfereq}, предполагая, что для требуемой области значений, функция $T^{-1}$ голоморфна, уравнение  \rf{3dot2} может быть 
переписано с обычными интегралами:
%записано в таком виде:
\be  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!=\! \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~ \frac{\exp\!\big(F(\mathrm i p)\big) \, \mathrm{d} p}{1+\mathrm i p - z}
- \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~\frac{\ln\!\big(F(\mathrm i p)\big) \, \mathrm d p}{-1+\mathrm i p - z} + K(z)
~ ~ \label{3dot3}
\ee
где
\be  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
K(z) &=& ~
F_{\rm up}  ~   \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1-\mathrm i A +z}{1-\mathrm i A - z} \right)
\nonumber \\
&+&F_{\rm down} \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1-\mathrm i A -z}{1-\mathrm i A + z} \right)
~ ~ \eL{K}
Такая запись предполагает, что модуль фазы функции $F$ вдоль 
%вещественной 
мнимой
оси не превышает $\pi$, так что при интегрировании аргумент логарифма не проходит через отрицательные значения.
\vskip 2mm

Уравнения \rf{3dot3},\rf{K} всё ещё точные. Разумеется, они становятся приближенными, если мы заменим $F_{\rm up}\!\rightarrow\! L$ и $F_{\rm down}\!\rightarrow\! L^*$.
Такая замена замыкает представление для $K$. Получается решабельное интегральное уравнение для аппроксимации $F_A(\mathrm i y)$ распределения суперфункции $F$ вдоль мнимой оси,
паметризованного переменной $y$:
\be
F_A(\mathrm i y)= \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~ \frac{\exp\!\big(F_A(\mathrm i p)\big) \, \mathrm{d} p}{1+\mathrm i p - \mathrm i y} 
- \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^{A} ~\frac{\ln\!\big(F_A(\mathrm i p)\big) \, \mathrm d p}{-1+\mathrm i p - \mathrm i y} 
%\nonumber\\ &&
+ K_A(\mathrm i y) 
\!\!\!\!\!\!\!\!
\nonumber \\
\label{3dot5}
\ee
где
\be 
K_A(z) =
L    \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1\!-\!\mathrm i A \!+\!z}{1\!+\!\mathrm i A \!-\! z} \right)+
L^* \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \ln \frac{ 1\!-\!\mathrm i A \!-\!z}{1\!+\!\mathrm i A \!+\! z} \right)
\nonumber \\
\label{KA}
\ee
Уравнения \rf{3dot5} и \rf{KA},  в отличие от уравнений \ref {3dot3} и \rf{K}, замкнуты; они не содержат неизвестных параметров $F_{\rm up}$ и $F_{\rm down}$.
Это позволяет использовать \rf{3dot5} и \rf{KA}  вычисления $F_A$.
\vskip 2mm

Представление интеграла по верхней и по нижней частям контура в виде функции $K_A$ по формуле \rf{KA} не тривиально. В частности, при взглядe на выражение \rf{KA}, возникает искушение записать каждый логарифм в виде разности двух логарифмов, чтобы упростить выражения для аргументов логарифма. 
Однако, для того, чтобы получить надежное представление для тетрации, этого делать не следует, так как в представлении  \rf{KA}, разрезы области голоморфизма 
направлены в стороны от мнимой оси; это позволяет избежать приближения аргумента первичной аппроксимации для тетрации к границам области голоморфизма функции $K_A$. Для того чтобы представить эту функцию, её карта показана на рисунке \ref{mapK}.

\begin{figure}[t]
\newcommand \analuka {
\put(7,89){\sx{.5}{$y$}}
\put(7,80.8){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,70.8){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,59.8){\sx{.5}{$1$}}
\put(7,49.8){\sx{.5}{$0$}}
\put(3,39.8){\sx{.5}{$-1$}}
\put(3,29.8){\sx{.5}{$-2$}}
\put(3,19.8){\sx{.5}{$-3$}}
\put(17.2,17){\sx{.5}{$-2$}}
\put(27.2,17){\sx{.5}{$-1$}}
\put(39.6,17){\sx{.5}{$0$}}
\put(49.7,17){\sx{.5}{$1$}}
\put(59.7,17){\sx{.5}{$2$}}
\put(69.7,17){\sx{.5}{$3$}}
\put(77.7,17){\sx{.5}{$x$}} 
}

%\sx{1.91}{\begin{picture}(88,104)
\sx{1.6}{\begin{picture}(88,104)
%%\put(0,0){\includegraphics{fig04}}
\put(0,0){\includegraphics{analuxp02a}}
\put(59,90){$A\!=\!3$}
\put(36,92){\sx{.46}{\rot{0.}$\rho\!=\!0$\ero}}
\put(36,10){\sx{.46}{\rot{0.}$\rho\!=\!0$\ero}}
\put(56,86){\sx{.46}{\rot{65}$\rho\!=\!0.2$\ero}}
\put(35,75){\sx{.46}{\rot{-6.}$\rho\!=\!-1$\ero}}
\put(14,63){\sx{.46}{\rot{76.}$\varphi\!=\!3$\ero}}
\put(32,59){\sx{.46}{\rot{84.}$\varphi\!=\!2$\ero}}
\put(39.6,58){\sx{.46}{\rot{66.}$\varphi\!=\!1$\ero}}
\put(35,36.6){\sx{.46}{\rot{21.}$\rho\!=\!-2$\ero}}
\put(35,26){\sx{.46}{\rot{8.}$\rho\!=\!-1$\ero}}
\put(66,64){\sx{.44}{\rot{60}$\rho\!=\!-1.6$\ero}}
\put(60,51){\sx{.44}{$\varphi\!=\!0$}}
\put(65.6,38.6){\sx{.44}{\rot{76}$\varphi\!=\!0$\ero}}
\analuka
\end{picture}}
\sx{1.6}{\begin{picture}(88,104)
\put(0,0){\includegraphics{analuxp02b}}
\put(59,90){$A\!=\!5$}
\put(36,94){\sx{.46}{\rot{-1.}$\rho\!=\!-1$\ero}}
\put(36.6,79.2){\sx{.46}{\rot{-12.}$\rho\!=\!-2$\ero}}
\put(26.4,62){\sx{.46}{\rot{90.}$\varphi\!=\!2$\ero}}
\put(35.2,59){\sx{.44}{\rot{60.}$\varphi\!=\!1$\ero}}
\put(34,36.6){\sx{.46}{\rot{38.}$\rho\!=\!-3$\ero}}
\put(35,22){\sx{.46}{\rot{8.}$\rho\!=\!-2$\ero}}
\put(68,51){\sx{.44}{$\varphi\!=\!0$}}
\put(76.8,26){\sx{.44}{\rot{69}$\varphi\!=\!0$\ero}}
%%\put(0,0){\includegraphics{fig04}}
\analuka
\end{picture}}
\sx{1.6}{\begin{picture}(80,104)
\put(0,0){\includegraphics{analuxp02c}}
\put(50,92){$A\!=\!10$}
\put(14,60){\sx{.46}{\rot{92.}$\varphi\!=\!2$\ero}}
\put(23.4,59){\sx{.44}{\rot{55.}$\varphi\!=\!1$\ero}}
\put(33,35.6){\sx{.46}{\rot{58.}$\rho\!=\!-4$\ero}}
\put(70.8,51){\sx{.44}{$\varphi\!=\!0$}}
\put(61,30){\sx{.44}{\rot{54}$\rho\!=\!-3.2$\ero}}
\put(71,23){\sx{.44}{\rot{40}$\rho\!=\!-3$\ero}}
\analuka
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Analuxp02t900.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $\exp(\rho\!+\!\mathrm i \varphi) \!=\! K_A(x\!+\mathrm i y)$ по формуле \rf{KA} для  $A\!=\!3,5,10$ \label{mapK}}
\end{figure}
\vskip 2mm

При больших значениях $A$, решение $F_A$ уравнения \rf{3dot5} дает хорошее приближение для суперфункции $F\approx F_A$;
\be
F(z)=\lim_{A\rightarrow \infty} F_A(z)
\eL{tetF}

Для того, чтобы получить тетрацию $\mathrm{tet}$, 
надо обеспечить ещё выполнение условия
$\mathrm{tet}(0)\!=\!1$. 
Для этого я кладу
\be
\mathrm{tet}(z)=F(x_0+z)
\eL{tet}
где $x_0$ есть решение уравнения $F(x_0)\!=\!1$. Значение $x_0$ зависит от начального условия при итерационном решении уравнения 
\ref{3dot3};
для начального условия в виде аппроксимации \rf{Fit6}, $x_0$ оказывается порядка одной десятой.
Это значение зависит ещё от параметра $A$, и поэтому не является фундаментальной математической константой.
\vskip 2mm

Значение инкремента $k\!=\!L$ в аппроксимации \rf{Fit6} указывает, что для имплементации complex double, разумное значение константы $A$ должно быть порядка 20. Оказалось, при $A\!=\!24$ невязка чуть меньше, и это значение было выбрано.
\footnote{Используя формулу Коши дла численных рассчетов в первый раз, я не догадался до такой простой оценки и подбирал подходящее значение ``методом тыка'', минимизируя невязку численного решения при подстановке в передаточное уравнение. Я последовательно увеличивал значение $A$ до тех пор, пока невязка не стала порядка ошибок округления.}
\vskip 2mm

Для численной имплементации уравнения \rf{3dot5}, интегралы можно заменить на их приближения по квадратурным формулам Гаусса-Лежандра; тогда уравнение можно решать методом итераций, обновляя значения  аппроксимации $F_A$ по одному. Попытка параллельного присвоения новых значений всему массиву $F$ приводит к расходящемуся алгоритму, но при подходящем выборе порядка присвоения (например, сперва четные узлы, а потом нечетные), после нескольких десятков итераций, 
процедура дает аккуратное приближение для решения.
\vskip 2mm

Решение уравнения 
\rf{3dot5} аппроксимирует значения суперфункции  $F$ вдоль мнимой оси. Затем, уравнение \rf{3dot3} дает аппроксимацию функции  $F(z)$ в полосе 
\be
-1<\Re(z)<1 
\eL{strip1}
Аккуратность 
%численной имплементации 
такой аппроксимации для краев этой полосы хуже, чем для центральной части. Поэтому лучше использовать значения из более узкой полосы
\be
-\frac{1}{2}\le \Re(z) \le \frac{1}{2} 
\eL{striphalf}
%или ее окрестности, пользуясь по мере надобности формулой 
%или её окрестности
пользуясь по мере надобности формулой
\be
F(z)=T^n\big(F(z\!-\!n)\big)
\eL{Tn}
при подходящем целом значении $n$, положительном или отрицательном в зависимости от знака $\Re(z)$. 
\vskip 2mm

При увеличении параметра $A$ в уравнении \rf{3dot2}, функция $F$ стремится к решению передаточного уравнения 
\rf{transferexp}. Tакое решение ещё не обеспечивает условия $F(0)\!=\!1$, но дает ключ к вычислению требуемой функции через уравнение \rf{tet}.
\vskip 2mm

На рисунке  \ref{mapK}, затенена полоса $|x|\!<\!0.5$, $|y|\!<\!4.5~$; это примерно та область, для которой значения функции $K_A$ используются для вычисления суперфункции $F$ при построении последней рисунка \ref{analuxp01}{\bf d}.
Рисунок  \ref{mapK} показывает, что фаза ``постоянного'' слагаемого (то есть независимого от искомой функции) в правой части уравнения
\rf{3dot5} не превышает двух и, таким образом, не превышает $\pi$. Это обосновывает (верифицирует) использование логарифма в формуле \rf{3dot3}.
\vskip 2mm

%В некоторых случаях 
В принципе, $F(z\!-\!n)$ могло бы попасть на точку сингулярности или линию разреза функции $T$ или $T^{-1}$. Это указало бы, что построенная методом интеграла Коши суперфункция также сингулярна. Такое происходит при вещественном аргументе, меньшим или равным минус двум.
\vskip 2mm

В первых рассчетах, в качестве начальной пробной функции для итерационного решения уравнения 
\rf{3dot5} использована аппроксимация $\mathrm{fit}_3$; потом выяснилось, что итерации с другими пробными функциями дают тот же результат.
%However, the precision of the numerical implementation is poor in 
\vskip 2mm

С помощью алгоритма, описанного выше, в 2008 году впервые была построена тетрация \cite{analuxp}, то есть суперфункция для передаточной функции $T\!=\!\exp$. 
При $A\!=\!24$, использование квадратурной формулы Гаусса-Лежандра с 2048ю узлами дает приближенное решение, которое, при подстановке в передаточное уравнение \rf{transfereq}, дает невязку порядка $10^{-14}$. Похоже, что использование переменных complex(double) дает порядка 14 корректных значащих цифр; это указывает на устойчивость алгоритма и дает надежду на его успешное применение для различных передаточных функций.
\vskip 4mm

Описанный выше алгоритм использован при построении первых графиков тетрации по основанию $b>\exp(1/\mathrm e)$
\cite{toritet,cztet}. В частности, с помощью этого алгоритма построена нижняя карта на рисунке \ref{analuxp01}. 
\vskip 2mm

Для того, чтобы поднять статус тетрации до специальной функции, были разработаны также численные аппроксимации, более быстрые, чем вычисление контурного интеграла, и столь же точные (прецизионные, обеспечивающие порядка 14 значащих цифр).
Эти аппроксимации рассмотрены в следующих секциях,  ниже пересказаны некоторые результаты публикации 2010 года ``Тетрация как специальная функция'' \cite{vladir,vladie}.

%\section{Taylor expansion at zero}
\section{Разложение Тэйлора в нуле}
\baselineskip 21pt

Было интересно проверить заявление о том, что решение $f\!=\!\mathrm{tet}$ уравнений \rf{transferexp} и \rf{transferexp}, имеющее свойства Т1-Т4,
существует и единственно \cite{analuxp}. В соответствии с декларацией Введения, даже строгое математическое доказательство не заменяет 
%дотошную 
численную проверку предлагаемого результата, так же, как
% дотошная 
численная проверка не заменяет строгое математическое доказательство.
\vskip 2mm

Для серьезной проверки важно, чтобы алгоритм вычисления функции работал быстро. Для убыстрения предложены апроксимации тетрации через элементарные функции \cite{vladie,vladir}. %Целью этого анализа было построение ещё более эффективной аппроксимации тетрации, не требующей вычисления интеграла Коши, а также выявление внутренних противоречий концепции. 
Одной из таких аппроксимаций является разложение Тэйлора в нуле, оно описано в этой секции.
\vskip 2mm

В принципе, производные тетрации могут вычисляться дифференцированием представления \rf{3dot5}. Однако более аккуратные значения дает использование интерала Коши с контуром в виде окружности. Для вычисления производных в нуле, радиус этой окружности может быть больше единицы, и погрешность результата уменьшается за счет знаменателя в правой части уравнения \rf{Cauchi}. Так получены коэффициенты 
в разложении
\be \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{naiv}(z)&=&\sum_{n=0}^{N-1}c_{n}z^{n} 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
\iL{vladinaiv}
\\
\mathrm{tet}(z)&=&\mathrm{naiv}(z)+\mathcal{O}(z^{N})
~ ~ ~
%\mathrm{tet}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n
\eL{vladinaiv2}
Приближенные значения коэффициентов $c$ представлены в первом столбце таблицы \ref{vladitab1}. Соответствующий степенной ряд сходится при 
$|z|\!<\!2$, это расстояние от нуля до ближайшей особой точки, то есть до минус двух. 
\vskip 2mm

Для численной имплементации выбрано значение $N\!=\!50$.
Комплексная карта приближения naiv по формуле \rf{vladinaiv}
%при $n\!=\!49$ 
показанa на левой фигуре рисунка \ref{vladi04map} линиями постоянной вещественной части и линиями постоянной мнимой части, 
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$. Дополнительные толстые линии указывают уровни
$u\!=\!\Re(L)$ и $v\!=\!\pm \Im(L)$.
\vskip 2mm

Чтобы показать невязку при подстановке аппроксимации $f\!=\!\mathrm{naiv}$ в передаточное уравнение \rf{transferexp}, в центральной и правой частях рисунка \ref{vladi04} показаны карты согласий
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\rm naiv1}(z)=-\lg\left( \frac
{|\ln(\mathrm{naiv}(z\!+\!1)-\mathrm{naiv}(z)|}
{|\ln(\mathrm{naiv}(z\!+\!1)|+|\mathrm{naiv}(z)|} \right)
\label{vladienaivD1}
\ee
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\rm naiv2}(z)=-\lg\left( \frac
{|\exp(\mathrm{naiv}(z\!-\!1)-\mathrm{naiv}(z)|}
{|\exp(\mathrm{naiv}(z\!-\!1)|+|\mathrm{naiv}(z)|} \right)
\label{vladienaivD2}
\ee
Функции согласия оценивают, сколько значащих цифр можно получить с помощью аппроксимации naiv по формуле \rf{vladinaiv}. Проведены уровни 
$D\!=\!1,2,4,6,8,10,11,12,14$.  Символ "15" указывает область, где согласие больше четырнадцати. Можно ожидать, что при
$|z|\!<\!1$, полином по  формуле \rf{vladinaiv} дает порядка 14 значащих цифр. Это близко к максимальной точности, достижимой с переменными ``complex double''. 
\newcommand \vladiax
{
\put(-3,58){\sx{.5}{$y$}}
\put(-3,49){\sx{.5}{$2$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$0$}}
\put(-7,19){\sx{.5}{$-1$}}
\put(-7, 9){\sx{.5}{$-2$}}
\put( 6  ,-4){\sx{.5}{$-2$}}
\put(17  ,-4){\sx{.5}{$-1$}}
\put(30,-4){\sx{.5}{$0$}}
\put(40,  -4){\sx{.5}{$1$}}
\put(50,  -4){\sx{.5}{$2$}}
\put(58, -4){\sx{.5}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\normalsize
\begin{center}
%~\sx{2.33}{\begin{picture}(70,60)
~\sx{2.02}{\begin{picture}(70,60)
\put(0,0){\includegraphics{vladi04a}}
\put(25,24){\sx{.4}{\rot{90} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(32,51){\sx{.4}{\rot{-61} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(35,11){\sx{.4}{\rot{61} $ v\!=\!\Im(L^*)$ \ero }}
\vladiax
\end{picture}}
\sx{2.02}{\begin{picture}(70,60)
\put(0,0){\includegraphics{vladi04b}}
\vladiax
\put(23,29){\sx{.55}{$15$}}
\put(43, 53){\sx{.55}{$D_{1}\!<\!1$}}
\end{picture}}
\sx{2.02}{\begin{picture}(58,60)
\put(0,0){\includegraphics{vladi04c}}
\vladiax
\put(32,29){\sx{.55}{$15$}}
\put(43,53){\sx{.55}{$D_{2}\!<\!1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\caption{ \large
%\EN{Approximation $f=\naiv(z)$ of $\tet$ with the truncated Taylor expansion (\ref{naiv}) at zero, the left picture; the agreements 
%$D_{1}$ and $D_{2}$ by (\ref{naivE}) and (\ref{naivL}), the central and the right ones.}%
%hand side pictures.}
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{vladinaiv}, слева;
согласия  $D_{1}\!=\!D_{1}(x\!+\mathrm i y)$ и $D_{2}\!=\!D_{2}(x\!+\mathrm i y)$ по формулам \rf{vladienaivD1} и \rf{vladienaivD2}, центральная и правая карты.
\iL{vladi04} 
\label{vladi04map}
}
\end{figure}


\begin{table}[h]
\title{ tablica
\EN{Table  \ref{vladitab1}. Coefficients of the series}%
{Таблица  \ref{vladitab1}. Приближенные значения коэффициентов в разложениях}
 (\ref{naiv}), (\ref{maclo}) \EN{and}\RU{и} (\ref{tai}).\\ \label{vladietab1}
}
\begin{center}
Таблица \ref{vladitab1}. Коэффициенты в разложениях \rf{vladinaiv}, \rf{maclo} и \rf{vladitai}
\label{vladitab1}
\end{center}
\hskip -6pt
%\sx{1.08}
\sx{.94}
{\begin{tabular}{rrrrr}
$n$& $c_{n}~~~~~~~~~$& $s_{n}~~~~~~~~~$& $\Re(t_{n})~~~~~~~~~$ & $\Im(t_n)_{\rule{0pt}{12pt}}~~~~~~~~~$\\ 
%\input{table01}
\input{vladitab1}
\end{tabular}}
\end{table}
\vskip 2mm

Полиномиальная аппроксимация $\mathrm{naiv}$ по формуле \rf{vladinaiv} может использоваться для аккуратного и быстрого вычисления тетрации, когда модуль аргумента меньше или порядка единицы. Для эффективной имплементации тетрации это хорошо, но не достаточно.
В следующей секции описывается способ расширить область аппроксимации.

\section{Улучшенная аппроксимация}
Область аккуратной аппроксимации тетрации вблизи нуля может быть расширена, если принять во внимание логарифмическую особенность тетрации.
То есть  ``выключить'' сингулярность в точке $-2$, раскладывая функцию $\tet(z)-\log(z\!+\!2)$ вместо функции $\tet(z)$. Такое разложение дает приближение
%Явный учет соответствующего логарифма дает разложение
\be
\mathrm{maclo}(z)&=&\ln(z\!+\!2)
%+\sum_{n=0}^{N-1} s_{n} \left(\frac{z}{2}\right)^{n}~;~~~
+\sum_{n=0}^{N-1} s_{n} z^n~;~~~
\iL{maclo} \\
\tet(z)&=&\mathrm{maclo}(z)+\mathcal{O}(z^{N})
~.~\eL{macloN}
Ряд в аппроксимации \rf{maclo} сходится при $|z|\!<\!3$, точно воспроизводя логарифмическую точку ветвления и даже кусочек разреза в направлении отрицательной части вещественной оси. Приближенные значения коэффициентов $s$ представлены во втором столбце таблицы \ref{vladitab1}. 
\vskip 2mm

\newcommand \vladimaclo {
\put(-5,58){\sx{.45}{$y$}}
\put(-3,49){\sx{.5}{$2$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$0$}}
\put(-5,19){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(-5, 9){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(55 , -4){\sx{.45}{$\Re(z)$}}
\put(50 , -4){\sx{.5}{$2$}}
\put(29.5,-4){\sx{.5}{$0$}}
\put( 6  ,-4){\sx{.5}{$-\!2$}}
}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\sx{2.33}{\begin{picture}(68,60)
~
\sx{2}{\begin{picture}(68,60)
\normalsize
%\put(0,0){\includegraphics{figmaclo}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi05a}}

\put(25,24){\sx{.4}{\rot{90} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(32.6,27){\sx{.4}{\rot{90} $ u\!=\!1$ \ero }}
\put(31,56){\sx{.4}{\rot{-67} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(33,5){\sx{.4}{\rot{67} $ v\!=\!\Im(L^*)$ \ero }}
\put(25,44.6){\sx{.4}{\rot{-31} $ v\!=\!1$ \ero }}
\put(28,16){\sx{.4}{\rot{37} $ v\!=\!-1$ \ero }}

\vladiax
\end{picture}} ~
\sx{2}{\begin{picture}(68,60)
%\put(0,0){\includegraphics{figmacloL}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi05b}}
\vladiax
\put(14,33){\sx{.52}{$D_{3}>14$}}
\put(43, 4){\sx{.52}{$D_{3}\!<\!1$}}
\end{picture}} ~
\sx{2}{\begin{picture}(60,60)
%\put(0,0){\includegraphics{figmacloE}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi05c}}
\vladiax
\put(23,33){\sx{.52}{$D_{4}>14$}}
\put(44, 3){\sx{.52}{$D_{4}\!<\!1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -8pt
\caption{
\large 
$\mathrm u\!+\!\mathrm i v \!= \! \mathrm{maclo}(x\!+\! \mathrm i y)$  
по формуле \rf{maclo} при $N\!=\!101$, слева;
согласия $D_3$ и $D_4$ 
по формулам \rf{macloE} и \rf{macloL}, центр и справа.
\label{vladi05}
\label{figmaclo}
}
\end{figure}

В этой секции (и в численной имплементации), для аппроксимации maclo выбрано значение  $N\!=\!101$; комплексная карта такого приближения
по формуле  \rf{maclo} показана на левой карте рисунка \ref{vladi05}.
\EN{The range of approximation of $\tet$ with function $\mathrm{maclo}$ is significantly wider, than that by the Taylor expansion of $\mathrmet$ at zero.}%
\RU{Область аппроксимации тетрации функцией $\mathrm{maclo}$ 
%намного 
шире, чем в случае непосредственного разложения тетрации в нуле.}
\EN{The right hand side of the same figure}%
\RU{На том же рисунке} \ref{figmaclo}
\EN{shows also the agreements}\RU{показаны также карты согласий}
\be \!\!\!\!\!\!
D_{3}(z)&=&-\lg\! \left( \frac
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{maclo}(z\!+\!1)\big)-\mathrm{maclo}(z)\Big|}
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{maclo}(z\!+\!1)\big)\Big|+\Big|\mathrm{maclo}(z)\Big |} \right)
~~ \label{macloE}\\
\!\!\!\!\!\!
D_{4}(z)&=&-\lg\! \left( \frac
{\Big| \exp\!\big(\mathrm{maclo}(z\!-\!1)\big)-\mathrm{maclo}(z)\Big|}
{\Big| \exp\!\big(\mathrm{maclo}(z\!-\!1)\big)\Big|+\Big|\mathrm{maclo}(z)\Big |} \right)
~~
\label{macloL}
\ee
\EN{Within the central loop, the residuals at the substitution}%
\RU{В центральной части комплексной плоскости, невязки при подстановке}
%$\mathrm{tet}\!\rightarrow\!\mathrm{maclo}$
$f\!\rightarrow\!\mathrm{maclo}$
\EN{into equations}\RU{в уравнениe} \rf{transferexp}, %\ref{log})
\EN{are of order of}\RU{имеют порядок величины} $10^{-15}$.
При $|z|\!<\!2$, 
%$\mathrm{tet}\!\rightarrow\!\mathrm{maclo}$,
аппроксимация maclo с сотней слагаемых в сумме дает порядка четырнадцати значащих цифр. Эта аппроксимация использована при имплементации натуральной тетрации. 
\vskip 2mm

Левая карта рисунка \ref{vladi05} уже показывает, что при увеличении мнимой части аргумента, функция стремится к константе $L$:
линии  постоянной вещественной части становятся почти параллельными линиям постоянной мнимой части. Однако, когда модуль аргумента становится больше двух, аккуратность такого приближения быстро ухудшается. Чтобы ещё расширить область аппроксимации тетрации элементарными функциями, в следующей секции рассмотрено разложение натуральной тетрации в точке $3\mathrm i$. 

\newcommand \taiax {
\put(-3,76){\sx{.5}{$y$}}
\put(-3,69){\sx{.5}{$6$}}
\put(-3,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(-3,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(-3,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put(-5,-1){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put( 7  ,-4){\sx{.5}{$-\!3$}}
\put(17  ,-4){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(27  ,-4){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(40 , -4){\sx{.5}{$0$}}
\put(50 , -4){\sx{.5}{$1$}}
\put(60 , -4){\sx{.5}{$2$}}
\put(70 , -4){\sx{.5}{$3$}}
\put(79 , -4){\sx{.5}{$x$}}
}
\begin{figure}[h]
%\begin{center}
\vskip 22pt
\hskip 12pt
\sx{2.23}{\begin{picture}(100,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figtai3}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi06a}}

\put(13,55){\sx{.44}{\rot{-77} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(23,62.4){\sx{.44}{\rot{-77} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(34,65){\sx{.44}{\rot{-76} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
\put(45.6,66){\sx{.44}{\rot{-76} $ u\!=\!\Re(L)$ \ero }}
\put(57.6,65){\sx{.44}{\rot{-77} $ v\!=\!\Im(L)$ \ero }}
%\put(33,5){\sx{.4}{\rot{67} $ v\!=\!\Im(L^*)$ \ero }}

\put(42,7){\sx{.4}{\rot{86} $ u\!=\!1$ \ero }}
\put(35,24.6){\sx{.4}{\rot{-31} $ v\!=\!1$ \ero }}
%\put(28,16){\sx{.4}{\rot{37} $ v\!=\!-1$ \ero }}

\taiax
\end{picture}}
\sx{2.23}{\begin{picture}(80,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figtai3L}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi06b}}
\taiax
\put(26,40){\sx{.58}{$D_{5}\!>\!14$}}
\put(62,15){\sx{.58}{$D_{5}\!<\!1$}}
\end{picture}}
%\sx{2.4}{\begin{picture}(70,60)
%\put(0,0){\includegraphics{figtai3E}}
%\end{picture}}
%\end{center}
\vskip -2pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{tai}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{tai}
при $N\!=\!51$
 и согласие
$D_{5}$
по формуле
%(\ref{taiL}).
\rf{vladiD5}.
%$r=|\log(\tai(z+1))-\tai(z)|$.
\label{vladi06}
\iL{figtai} }
\vskip -8pt
\end{figure}

\section{Разложение в точке $3\mathrm i$}
\baselineskip 20pt
Для эффективного (быстрого и точного) алгоритма вычисления тетрации, достаточно обеспечить хорошие аппроксимации вдоль полосы единичной ширины вдоль мнимой оси. Какое бы большое число $N$ слагаемых в приближении maclo \rf{maclo} мы ни брали, это приближение плохо аппроксимирует тетрацию в точке $3\mathrm i$. Для меня это было серьезным поводом, чтобы вычислить коэффициенты разложения Тэйлора именно в этой точке. Такое разложение описано в этой секции.
\vskip 2mm

Оборванное разложение Тэйлора функции $\mathrm{tet}(z)$ в точке $z\!=\!3\rmi$ я назвал именем  ``tai'' (TAylor expansion centered at the Imaginary axis):
\be
%\tai(z)=\sum_{n=0}^{N-1} t_{n}\left(\frac{z\!-\!3\rmi}{2}\right)^{\!n}
\mathrm{tai}(z)=\sum_{n=0}^{N-1} t_{n}\left(z\!-\!3 \mathrm i \right)^n
\label{tai}
\eL{vladitai} 
Аппроксимации коэффициентов $t$ вычислены по формуле Коши; их вещественные и мнимые части представлены в последних двух столбцах таблицы
\ref{vladitab1}. Ряд сходится при $|z\!-\!3\mathrm i |\!<\! \sqrt{2^2\!+\!3^2}\!=\!\sqrt{13}\!
%\approx 3.605551275463989
\approx\! 3.6~
$. Для имплементации выбрано значение $N\!=\!51$; при этом, когда $|z\!-\!3\mathrm i |<2$,
аппроксимация tai по формуле \rf{vladitai} дает порядка 14 значащих цифр. Комплексная карта этой функции представлена в левой части рисунка 
\ref{vladi06}. Правая картинка этого рисунка представляет функцию согласия 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_5(z) &=&-\lg\! \left( \frac
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{tai}(z\!+\!1)\big)-\mathrm{tai}(z)\Big|}
{\Big| \ln\!\big(\mathrm{tai}(z\!+\!1)\big)\Big|+\Big|\mathrm{tai}(z)\Big |} \right)
~ 
\eL{vladiD5}
Как и на рисунках \ref{vladi04} и \ref{vladi05}, линии уровня для функции согласия проведены с интервалом в два порядка величины; для значений внутри внутреннего контура, наблюдается согласие с четырнадцатью значащими цифрами.
\vskip 2mm

Приближение tai по формуле \rf{vladitai} существенно расширяет область, в которой для натуральной тетрации имеется быстрый и аккуратный алгоритм.
При положительных значениях $\Im(z)$, тетрация может быть аппроксимирована в виде 
\be
\mathrm{tet}(z)\approx \mathrm{tai}(z)
\ee
При отрицательных значениях $\Im(z)$, тетрация может быть аппроксимирована в виде 
\be
\mathrm{tet}(z)\approx \mathrm{tai}(z^*)^*
\ee
Такое представление вполне достаточно для построения рисунка \ref{analuxp01}d, то есть для вычисления с четырнадцатью знаками значений этой функции в поле карты. (Я предполагаю, что передаточное уравнение \rf{transferexp} применяется целое число раз с тем, чтобы вещественная часть аргумента не превышала половину.)
Однако такое представление не обеспечивает аккуратной аппроксимации при $|\Im(z)|>5$.
\vskip 2mm

В принципе, для быстрой и аккуратной имплементации тетрации в комплексной плоскости, можно написать аналогичное разложение Тэйлора в точке $5 \mathrm i$ (или даже $6\mathrm i$); это позволило бы ещё вдвое расширить область аппроксимации, и продолжать в том же духе повдоль мнимой оси.  
Однако есть более изящное представление, а именно, асимптотическое разложение тетрации при больших значениях мнимой части аргумента. Это представление рассмотрено в следующей секции.

\section{\EN{Asymptotic expansion}\RU{Асимптотическое разложение}}
\baselineskip 19.5pt
\EN{The approximation of $\mathrm{tet}$ at large values of its argument can be build up using the asymptotic representation}%
\RU{Аппроксимации функции  $\mathrm{tet}$ при больших значениях мнимой части аргумента получается
%(или сильно отрицательных значениях вещественной части) 
из асимптотического разложения}%
\be
\tet_{\cal A}(z)=L+\sum_{n,m} \mathcal{A}_{m,n} \exp\left( L n z + \alpha m z \right)
\eL{fimao}
где $L\!\approx\! 0.31813150520476413 \!+\! 1.3372357014306895 \,\mathrm i$ есть стационарная точка логарифма, $L\!=\!\ln(L)$, a 
$\mathcal A$ суть постоянные коэффициенты. Подстановка $f=\tet_{\cal A}$ в передаточное уравнение \rf{transferexp} дает цепочку уравнений для коэффициентов $\mathcal A$.
Этих уравнений недостаточно, чтобы оределить ${\cal A}_{m,0}$, так что такое решение всё ещё имеет счетное множество подгоночных параметров для натуральных значений $m$. Трудность нахождения этих параметров ещё в 20м веке отмечал Хельмут Кнезер (Helmuth Kneser) \cite{kneser}. Однако даже небольшое количество слагаемых, принятых во внимание в оборванном ряде \rf{fimao}, может использоваться для вычисления тетрации в при достаточно больших значениях мнимой части аргумента. 
%Такое использование описано в этой секции.
\vskip 2mm

%Я декларировал, что эта Книга является прикладной. Применительно к вычислению асимптотики тетрации, такой прикладной характер п
Чтобы получить аккуратное приближение  тетрации для 
%той части комплексной плоскости, 
области, 
которая ещё не перекрыта 
предыдущими аппроксимациями,
%рассмотренными выше
%предыдущими 
%представлениями, оказалось 
достаточнo учесть всего несколько слагаемых. %Сейчас я расскажу, как получаются соответствующие коэффициенты $\mathcal A$. 
Пусть
\newcommand \ve {\varepsilon}
\be 
{\rm fima}(z)=\sum_{n=0}^N a_n \ve^n +
\beta \ve \exp(2 \pi \rmi z)%\sum_{m=0}^M b_m \ve^m
%\beta \ve \exp(2 \pi \rmi z)\sum_{m=0}^M b_m \ve^m
%L+\ve+a_{2}\ve^{2}+a_{3}\ve^{3}+a_{4}\ve^{4}+a_{5}\ve^{5}
%+b_{11}\ve\rme^{2 \pi \rmi z}(1+
~,~\eL{fima}
где малый параметр
\be
\ve\!\!=\!\exp(Lz\!+\!Lr)
\eL{fimave}
Подстановка $f(z)=\mathrm{fima}(z)+O(\ve^{N+1})$
%\EN{where the small parameter is}\RU{где малый параметр}
дает коэффициенты
\be \!\!\!\!
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_0\!&\!=\!&~L~ ~\approx~ 
   0.31813150520%47641353 
+ 1.33723570143%06894089 
\, \rmi\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_1\!&\!=\!&~1~\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_2\!&\!=\!&\!\frac{1/2}{L-1}~\approx~ 
-0.1513148971%5565%17359
-0.2967488367%3224%13067
\, \rmi\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_3\!&\!=\!&\!\frac{a_{2}+1/6}{L^2-1}=\frac{2+L}{6(L\!-\!1)(L^2\!-\!1)} \approx \! 	
      - 0.036976%3094%0906762
\! +\! 0.098730%5443%1149697 
\, \rmi 
~~~~~~~\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_4\!&\!=\!&\!\!\frac{6+6L+5L^2+L^3}{24(L\!-\!1)^3(L\!+\!1)(L^2\!+\!L\!+\!1)}\approx 
%0.025811597973140139811 - 0.017386962126530755054
      0.02581%15979731%401398
 \!-\!0.01738%69621265%30755
\, \rmi~~ ~ ~ ~ ~\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!a_5\!&\!=\!&\!\frac{24\!+\!36L\!+\!46 L^2\!+\!40L^3 \!+\! 24 L^4 \!+\! 9 L^5 \!+\! L^6} 
                   {120(L\!-\!1)^4(L\!+\!1)^2(1\!+\!L+\!2L^2\!+\!L^3\!+\!L^4)}   \nonumber \\ 
                  & \approx&  
      -0.0079444196 
\!+\! 0.00057925018 
\, \rmi 
%\\
%-.0079444196024423593612 + 0.0005792501816899562848
%a_6\!&\!=\!&\!\frac{
%120\!+\!240 L\!+\!390 L^2 \!+\! 480 L^3 \!+\! 514 L^4 \!+\! 416 L^5 \!+\! 301 L^6 
%\!+\! 160 L^7 \!+\! 64 L^8 \!+\! 14 L^9 \!+\! L^{10}}
%{720(L\!-\!1)^5(L\!+\!1)^2(1\!+\!L^2)(1\!+\! L \!+\! L^2)(1 \!+\! L \!+\! L^2 \!+\! L^3 \!+\! L^4)}\\
%\nonumber \\
%b_{m}\!&\!=\!&\!(m\!+\!1) a_{m\!+\!1}
%\eL{fimavalua}
\label{fimavalua}
\ee
%разложения \rf{fimao} в 
В приниципе, можно учитывать больше слагаемых, но оказывается, уже даже $N\!=\!5$
позволяет позволяет, с учетом предыдущих разложений, перекрыть аккуратными аппроксимациями всю комплексную плоскость.
%эффективными аппроксимациями тетрации. 
При этом $R$ и $\beta$ в правых частях формул \rf{fima} и \rf{fimave} остаются ``подгоночными'' параметрами. Их значения выбираются так, чтобы аппроксимировать тетрацию, вычисляемую чуть более медленным способом через интеграл Коши:
\be 
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
r&\approx&  1.0779614375280 - 0.94654096394782\,\mathrm i  ~ \iL{fimaR}~~~~\\
%1.077961437528 -0.946540963948 \,\mathrm i  ~ \iL{fimaR}\\
%\beta_0&\approx& 0.1223    ~    - 0.0237 ~ \mathrm i \iL{fimaB}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\beta&\approx& 0.12233176 - 0.02366108 ~ \mathrm i 
~~~~~~~~~ ~~~~~~~
\iL{fimaB}~~~~
\ee
Комплексная карта функции fima с такими значениями показана на верхней картинке рисунка \ref{vladi03}; представлена верхняя половина комплексной плоскости. В нижней части, плотность линий столь велика, что картограф всё равно не сумел бы их провести.
Для наглядности, на карте добавлены широкие линии уровней $\Re(L)$ и $\Im(L)$. 
\vskip 2mm

\newcommand \fimax {
\put(17,52){\sx{.44}{$y$}}
%\put(17,55){\sx{.58}{$5$}}
\put(17,43){\sx{.44}{$4$}}
\put(17,33){\sx{.44}{$3$}}
\put(17,23){\sx{.44}{$2$}}
\put(17,13){\sx{.44}{$1$}}
\put(17,03){\sx{.44}{$0$}}
%\put(12, 5){\sx{.58}{$-1$}}
\put(26,0){\sx{.44}{$-7$}}
\put(36,0){\sx{.44}{$-6$}}
\put(46,0){\sx{.44}{$-5$}}
\put(56,0){\sx{.44}{$-4$}}
\put(66,0){\sx{.44}{$-3$}}
\put(76,0){\sx{.44}{$-2$}}
\put(86,0){\sx{.44}{$-1$}}
\put( 99,0){\sx{.44}{$0$}}
\put(109,0){\sx{.44}{$1$}}
\put(119,0){\sx{.44}{$2$}}
\put(129,0){\sx{.44}{$3$}}
\put(139,0){\sx{.44}{$4$}}
\put(149,0){\sx{.44}{$5$}}
\put(159,0){\sx{.44}{$6$}}
\put(169,0){\sx{.44}{$7$}}
\put(178,0){\sx{.44}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
%\begin{center}
\hskip -40pt
\sx{2.55}{\begin{picture}(200,60)
%\put(0,6){\includegraphics{figfima}}
\put(-1,-7){\includegraphics{vladi03a}}
\multiput(27,38)(22.7,4){4}{\sx{.4}{\rot{-76} $v\!=\!\Im(L)$\ero}}
\multiput(38,41)(22.7,4){4}{\sx{.4}{\rot{-76} $u\!=\!\Re(L)$\ero}}
%
\multiput(77,15)(44.5,10.6){3}{\sx{.4}{\rot{0} $u\!=\!0$\ero}}
\multiput(89,16.4)(44.5,10.6){2}{\sx{.4}{\rot{0} $v\!=\!1$\ero}}
\fimax
\end{picture}}

\hskip -40pt
\sx{2.55}{\begin{picture}(200,65)
%\put(0,6){\includegraphics{figfimaE}}
\put(-1,-7){\includegraphics{vladi03b}}
\fimax
\put( 64,48){\sx{.6}{$D_{\rm fifi}>14$}}
\put(151,8){\sx{.6}{$D_{\rm fifi}\!<\!1$}}
\end{picture}}
%\end{center}
\caption{\large
Верхнаяя карта: $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{fima}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{fima};
нижняя карта: согласие $D_{\rm fifi}$  по формуле \rf{fifi} %\rf{fimaE} 
%$~r\!=\!\big|\fima(z)\!-\!\exp(\fima(z\!-\!1))\big|~$, 
%\EN{in the complex $z$-plane}\RU{в комплексной $z$-плоскости}.
\label{vladi03}
\iL{figfima} }
\end{figure}

Пока нет принципиальных ограничений на аккуратность вычисления тетрации через интеграл Коши, 
этот алгоритм может считаться точным.
%эти значения могут считаться фундаментальными математическими константами. 
Численные рассчеты, представленные в этой книге, проведены с переменными ``complex double'', и аккуратность вычисления параметра $\beta$ хуже, чем параметра $r$. Читатели приглашаются повторить рассчеты в переменных ``long complex double'' и добавить к оценкам для $r$ и $\beta_0$ ещё десяток значащих цифр. Эти параметры могут считаться фундаментальными математическими константами. 
\vskip 2mm

Для большей аккуратности, количество слагаемых в оборванном разложении \rf{fimao} может быть увеличено, но пока я не могу предложить изящного способа вычисления лидирующих коэффициентов $\mathcal A_{m,0}$. Их приxодится оценивать из условий
$\mathrm{tet}(z^*)\!=\!\mathrm{tet}(z)^*$ и $\mathrm {tet}(0)\!=\!1$; то есть использовать значения тетрации вне области аппроксимации этой функции её асимптотическим разложением \rf{fima}. Это обстоятельство отмечается в работе Кнезера \cite{kneser}; впрочем, там не оцениваются даже первые из этих лидирующих коэффициентов: в прошлом веке ещё не было алгоритма аккуратного вычисления тетрации через интеграл Коши, и у Кнезера не было компьютера, чтобы 
%численно оценивать интегралы Коши и через них - 
вычислать константы Кнезера через интеграл Коши.  Возможно, в будущем будет предложен 
%ещё 
более красивый способ вычисления этих констант.
\vskip 2mm

Чтобы показать невязку при подстановке $f\!=\!\mathrm{fima}$ в передаточное уравнение \rf{transferexp}, на рисунке 
построена карта функции согласия
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\mathrm {fifi}}(z)=-\lg \left( \frac
{ | \mathrm{fima}(z)-\exp(\mathrm{fima}(z\!-\!1)) | }
{ | \mathrm{fima}(z)|+|\exp(\mathrm{fima}(z\!-\!1)) | }
\right)
\eL{fifi}
Как и на предыдущих картах согласия, линии уровня проведены через два порядка величины, и лишь для уровня $D_{\mathrm{fifi}}\!=\!1$ сделано исключение; за этим уровнем, аппроксимация fima даже качественно не воспроизводит поведение натуральной тетрации. В верхней области, над верхней курвой, невязка мала и можно ожидать, что аппроксимация дает по крайней мере 14 значащих цифр,
что близко к максимальной аккуратности при использовании переменных complex double.
\vskip 2mm

В окрестности мнимой оси, область применимости аппроксимации fima приближается к точке $3\mathrm i$. Это дает возможность сравнить аппроксимацию fima с аппроксимацией tai, полученной из разложения Тэйлора в этой точке в предыдущей секции. Такое сравнение рассмотрено в следующей секции.
\vskip 2mm

\section{Сравнение аппроксимаций}

На основе представления тетрации через интеграл Коши, были вычислены коэффициенты различных разложений тетрации и её аппроксимации элементарными функциями. Интересно сравнить самосогласованность таких аппроксимаций. 
В этой секции представлены карты функций согласия, указывающие области, где различные представления тетрации согласуются между собой.
\vskip 2mm

%Для того, чтобы показать, насколько значения \rf{fimaR} и \rf{fimaB} согласу

\newcommand \tafiax {
\put(7,68){\sx{.5}{$y$}}
%\put(5,74){\sx{.5}{$\Im(z)$}}
%\put(7,69){\sx{.5}{$6$}}
\put(7,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(7,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(7,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(7, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put( 7  ,6){\sx{.5}{$-\!3$}}
\put(17  ,6){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(27  ,6){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(40 , 6){\sx{.5}{$0$}}
\put(50 , 6){\sx{.5}{$1$}}
\put(60 , 6){\sx{.5}{$2$}}
\put(70 , 6){\sx{.5}{$3$}}
%\put(78 , 6){\sx{.5}{$\Re(z)$}}
\put(78 , 6){\sx{.5}{$x$}}
}
\begin{figure}
\begin{center}
\sx{2.33}{\begin{picture}(96,75)
%\put(0,0){\includegraphics{figtaifima}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi07a}}
\tafiax
\put(31,54){\sx{.45}{$D\!>\!14$}}
\end{picture}}
\sx{2.33}{\begin{picture}(84,70)
%\put(0,0){\includegraphics{figtaimaclo}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi07b}}
\tafiax
\put(33,55){\sx{.52}{$D\!<\!1$}}
\put(33,24){\sx{.45}{$D\!>\!14$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -12pt
\caption{
\EN{Comparison of approximations tai by (\ref{tai}) to fima by (\ref{vladifima}) and to maclo by (\ref{maclo}): agreements $D\!=\!D_{6}(x\!+\!)$ and $D\!=\!D_{7}$ by (\ref{fimatai}),(\ref{maclotai}) in the complex z-plane.}
\RU{Карта согласия $D\!=\!D_{6}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{vladiD6} и карта согласия $D\!=\!D_{7}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле 
\rf{vladiD7}
%\rf{vladiD5}),
%(\ref{maclotai}) в комплексной z-плоскости.
}
\iL{figco}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%~ ~ ~ ~ ~ ~
\label{vladi07}
}
\end{figure}

В левой части рисунка \ref{vladi07} показана функция согласия между аппроксимацией tai по формуле \rf{tai} и аппроксимацией fima по формуле  \rf{fima}
\be
D_6(z)= - \ln \left( \frac
{|\mathrm{tai}(z) - \mathrm{fima}(z)|}
{|\mathrm{tai}(z)|+|\mathrm{fima}(z)|}
\right)
\eL{vladiD6}
В правой части рисунка \ref{vladi07} показана функция согласия между аппроксиацией tai \rf{tai} и аппроксимацией maclo \rf{maclo}
\be
D_7(z)= - \ln \left( \frac
{|\mathrm{tai}(z) - \mathrm{maclo}(z)|}
{|\mathrm{tai}(z)|+|\mathrm{maclo}(z)|}
\right)
\eL{vladiD7}
%\chapter{Интеграл Коши и натуральная тетрация \iL{IntegralOfCauchi}}

Рисунок 
%\ref{valdi07}
\ref{figco}
указывает, как выбирать аппроксимацию тетрации в зависимости от мнимой части аргумента
при умеренных значениях $|\Re(z)|\!<\!1$. Эту границу следует провести в области, где $D>14$.
Когда $|\Im(z)|\le 1.5$, пусть используется аппроксимация maclo;
при   $1.5< \Im(z) \le 4.5$, пусть используется аппроксимация tai, a при ещё больших значениях, пусть используется fima.

\EN{On the base of figure \ref{figco}, I suggest the following approximation:}% 
\RU{На основе рисунка \ref{figco}, я предлагаю следующую аппроксимацию:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm fse}(z)=\left\{ \begin{array}{ccrcccr} 
{\rm fima}(z)		&,&	 4.5&	\!<\!	&\Im(z)			\\
{\rm tai}(z)		&,&	 1.5&	\!<\!	&\Im(z)	&\!\le\!&	 4.5	\\
{\rm maclo}(z)		&,&	-1.5&	\le	&\Im(z) &\!\le\!&	 1.5	\\ 
{\rm tai}(z^{*})^{*}	&,&	-4.5&	\le	&\Im(z) &\!<\!&\!\!	-1.5	\\ 
{\rm fima}(z^{*})^{*}	&,&	&		&\Im(z)	&\!<\!&\!\!	-4.5  
\end{array}
\right.
\label{fse}
\eL{fsexp}
\EN{This approximation can be compared to previous results.}%
\RU{Эту аппроксомацию интересно сравнить с прямой оценкой тетрации через интеграл Коши.}
%\EN{Below, I analyze the deviation $\mathrm{fse}(z)-F_{4}(z)$, where $F_{4}(z)$ is approximation, obtained by the straightforward implementation of the contour integral}%
%\RU{Ниже анализируется отклонение  $\mathrm{fse}(z)-F_{4}(z)$, где $F_{4}(z)$ есть аппроксимация, полученная с помощью контурного интеграла}
%\cite{k}.
\EN{The left hand picture of figure} \RU{В левой части рисунка}
\ref{figcoF}
\EN{shows  the agreement} \RU{показано согласие}
\be
D_{8}(z)=-\lg\left( \frac
{|\mathrm{fse}(z)-F_{4}(z)|}
{|\mathrm{fse}(z)|+|F_{4}(z)|}
\right)
\eL{DfseF4}
\EN{of approximation $\mathrm{fse}$ with the approximation $F_{4}$ obtained through the direct implementation of the contour integral}%
\RU{аппроксимации $\mathrm{fse}$ с аппроксимацией $F_{4}$ тетрации через контурный интеграл}. %\cite{k}.
\vskip 2mm

\begin{figure}
\begin{center}
\sx{2.2}{\begin{picture}(100,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figsexpF4}}
%\put(0,0){\includegraphics{figcf4small}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi08a}}
\put(5,68){\sx{.45}{$\Im(z)$}}
\put(7,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(7,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(7,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(7, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put(72 , 6){\sx{.45}{$\Re(z)$}}
\put(60 , 6){\sx{.5}{$2$}}
\put(40 , 6){\sx{.5}{$0$}}
\put(17  ,6){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(25,62){\sx{.5}{$D\!>\!14$}}
\put(55,60){\sx{.5}{$12\!<\!D\!<\!14$}}
\put(68,20){\sx{.5}{$D\!<\!1$}}
\end{picture}}
\sx{2.2}{\begin{picture}(80,80)
%\put(0,0){\includegraphics{figsexpF5}}
%\put(0,0){\includegraphics{figcf5small}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi08b}}
\put(5,68){\sx{.45}{$\Im(z)$}}
\put(7,59){\sx{.5}{$5$}}
\put(7,49){\sx{.5}{$4$}}
\put(7,39){\sx{.5}{$3$}}
\put(7,29){\sx{.5}{$2$}}
\put(7,19){\sx{.5}{$1$}}
\put(7, 9){\sx{.5}{$0$}}
\put(72 , 6){\sx{.45}{$\Re(z)$}}
\put(60 , 6){\sx{.5}{$2$}}
\put(40 , 6){\sx{.5}{$0$}}
\put(17  ,6){\sx{.5}{$-\!2$}}
\put(31,56){\sx{.5}{$D\!>\!14$}}
\put(68,20){\sx{.5}{$D\!<\!1$}}
\end{picture}}
\vskip -5mm
\end{center}
\caption{
\EN{Agreement}\RU{Согласие} $D\!=\!D_{8}$ \EN{by}\RU{по формуле} (\ref{DfseF4}),
\EN{left; the similar agreement for the contour integral with base domain shifted for $-0.5$}%
\RU{слева; аналогичное согласие для контурного интеграла со сдвинутой на $-0.5$ базовой областью}
. \iL{vladi08}\label{figcoF}}
%independent 
%alternative approximation $F_{5}$ for displaced basic interval (right). \iL{figcoF}}
\end{figure}
\EN{Figure}\RU{Рисунок}  \ref{figcoF}
\EN{reveals the defects of each approximation. The jumps at}%
\RU{выявляет дефекты использованных аппроксимаций. Скачки при} 
$\Im(z)\!=\!1.5$ \EN{and at}\RU{и при} $\Im(z)\!=\!2.5$
\EN{should be attributed to the transition from function}%
\RU{вызваны переходом от функции} $\mathrm{maclo}$ 
\EN{to function}\RU{к функции} $\mathrm{tai}$ 
\EN{and from function}\RU{и от функции} $\mathrm{tai}$
\EN{to function}\RU{к функции} $\mathrm{fima}$ 
\EN{in the combination}\RU{в комбинации} $\mathrm{FSE}$. 
%The% vertical 
\EN{Jumps at half-integer values of $\Re(z)$ should be attributed to the discontinuities of function $F_{4}$, which extends the approximation with the contour integral, valid for $|\Re(z)|<1$, from the interval $|\Re(z)|\le 1/2$.}
\RU{Скачки при полуцелых значениях $\Re(z)$ вызваны разрывами функции $F_{4}$, которая расширяет начальное приближение, справедливое для $|\Re(z)|<1$, используя $|\Re(z)|\le 1/2$ в качестве базового интервала.}
\EN{The rounding errors appear as irregular dots.}
\RU{Ошибки округления приводят к нерегулярной структуре.}
\EN{Within the strip}\RU{Внутри полоски}  $|\Re(z)|<1.5$,
\EN{the irregularities of all three approximations are of order of}%
\RU{взаимные отклонения этих трех аппроксимаций имеют порядок величины}
 $10^{-14}$.
\vskip 2mm

Задача была перекрыть хорошими (быстрыми и аккуратными) аппроксимациями хотя бы полосу $\Re(z)\le 0.5$; тогда значения во всей комплексной плоскости $z$ могут быть выражены через передаточное уравнение \rf{transferexp} в правой части комплексной полуплоскости и через ``обращенное'' уравнение
\be
\ln( \mathrm{tet}(z))=\mathrm{tet}(z\!-\!1)
\eL{rtanexp}
Рисунок показывает, что эта цель достигнута; согласие порядка 14 десятичных цифр имеет место в гораздо более широкой области комплексной плоскости. Так сделана ``быстрая'' аппроксимация тетрации. Эта аппроксимация имеет такую же аккуратность (порядка 14 значащих цифр), как и исходное представление через интеграл Коши; но вычисляется быстрее, чем интеграл Коши.
%; для одного значения требуется порядка сотни флопов.
\vskip 2mm

Когда я заявил, что тетрация считается столь же быстро и столь же аккуратно, как и другие специальные функции, Генрик Траппманн попросил меня сделать ещё один численный тест, а именно, сдвинуть базовую область, в которой вычисляется интеграл Коши. Чтобы вставить мне шпильку, коварный Генрик предложил сдвинуть контурный интеграл
% на несколько единиц 
вправо, в сторону б\'oльших значений $\Re(z)$, подальше от логарифмической особенности тетрации в точке $-2$. К тому времени, некоторые карты рисунка \ref{analuxp01} уже были построены; я знал, что такое тетрация, например, от трёх или даже от полутора (см. также рисунок \ref{TetPlot}). Если хорошенько сдвинуть контур вправо, то 
%в аналоге формулы \rf{3dot3} 
прийдется работать с разными листами логарифма. Я посмотрел на рисунки и понял, что есть шанс сесть в лужу, как это делали учителя в советских школах. Они путались в безграмотных ``методичках'', дети вставляли им шпильки,
%, чтобы получить значения мнимой части, большие $\pi$. 
%дети вставляли шпильки несчастным учителям, запутавшимся в безграмотных ``методичках''; %из РОНО вынуждали нагло врать;
%Кроме шпилек, практиковалась постановка учителей в тупик и посадка их же в лужу; 
потом этим учителям уже неучи в РОНО вставляли длинное перо, а директрисы метали икру,
% безграмотные администраторы, 
как это показано на рисунке \ref{school}.

\begin{figure}[h]
\vskip 20pt
\sx{.91}{\begin{picture}(454,102)
\large
\put(15,0){\sx{.23}{\ing{luzhu2}} }
\put(0,-6){\sx{.7}{\ing{spilk8}} }
\put(344,-10){\sx{.29}{\ing{mechet}} }
\put(194,-24){\sx{.36}{\ing{pero}} }
\put(194,-22){\color{white}\rule{280pt}{24pt}}
\put(470,-22){\color{white}\rule{40pt}{100pt}}
%\put(220,0){\sx{.42}{\ing{tupik}} }
\put(0,112){\sx{1.16}{\em вставили}}
\put(0, 98){\sx{1.16}{\em шпильку}}
\put(74,-8){\sx{1.2}{\em сел в лужу}}
% 
\put(210,103){\sx{1.2}{\em вставили}}
\put(210,88){\sx{1.2}{\em длинное}}
\put(210,72){\sx{1.2}{\em перо}}
\put(370,-7){\sx{1.2}{\em мечет икру}}
\end{picture}}
\caption{\large%Soviet school: 
Советская школа
%Историчке в классе вставили шпильку; учитель математики сел в лужу; историчку поставили в тупик; в РОНО историчке вставили длинное перо.
\iL{school}}
\end{figure}

Перспектива оказаться в роли советского учителя (рис. \ref{school}) мне не улыбалась, поэтому я честно признался, что интеграл Коши - не панацея, и сдвигать контур на несколько единиц вправо отказался. Читатели приглашаются проделать это в качестве поучительного упражнения и поймать момент, когда из-за разреза логарифма формула Коши для вычисления тетрации перестанет работать. Впрочем, я согласился сдвинуть контур интегрирования на 1/2 влево,
%у я указал, что аккуратность будет паршивой, даже если пробные значения будут умещаться в диапазон, принятый для переменной ``complex double''. Впрочем, я согласился сдвинуть контур интегрирования на половинку влево, 
и pасчитать 
ab inicio значения $\mathrm{tet}(z)$ вдоль вертикальной прямой $\Re(z)=1/2$. Потом, естественно, с помощью передаточного уравнения и интеграла Коши, вычисление распространяется на всю комплексную плоскость (за исключением луча $z\!\le\! -2$). Относительное отличие значений тетрации, подсчитанное с таким модифицированным алгоритмом, от рассчитанных ранее, оказалось порядка $10^{-14}$, как я и ожидал (и в чем хотел удостовериться Генрик). Значения, подсчитанные через такой модифицированный интеграл Коши, подставлены вместо функции $F_4$ в формулу 
\rf{DfseF4}, и полученная функция согласия представлена в правой части рисунка \ref{vladi08}. 
\vskip 2mm

Для вычисления параметров для функций, аппроксимирующих тетрацию, требовались коэффициенты разложения  Тэйлора. Для них использовались контуры интегрирования с размером, б\'oльшим единицы, то есть более широким, чем область первичной аппроксимации через интеграл Коши; для вычисления вне области первичной аппроксимации использовано передаточное уравнение. Это обеспечивает определенную стабильность численной процедуры; погрешность приближения оказалась не больше (и, вероятно, даже меньше), чем погрешность исходного приближения. Для рассчетов со сдвинутым контуром (см. правую карту на рисунке \ref{vladi08}), согласие получилось не хуже, а, пожалуй, даже лучше, чем для исходного представления с симметричным расположением контура интегрирования. Это можно объяснить тем, что на карте тетрации (см. рисунок \ref{tetmap}), вдоль прямой 
$x\!=\!-0.5$ функция изменяется меньше и медленнее, чем вдоль прямой $x\!=\!0$. 
\vskip 2mm
 
Скепсис по поводу выбора контура интегрирования и аналогии с ленивым 
%проектировщиком
инженером подтвердились. Изначальный контур интегрирования не оптимален; даже прямоугольный контур можно выбрать лучше (сдвинув его на 0.5 влево). Однако я всё ещё считаю, что простота этого контура оправдывает такой выбор.
\vskip 2mm

После многочисленных тестов описанных выше быстрых аппроксимаций тетрации, была загружена имплементация fsexp.cin следующего алгоритма:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm FSE}(z)=\left\{ \begin{array}{ccrcccr} 
{\rm FIMA}(z)		&,&	 4.5&	<	&\Im(z)			\\
{\rm TAI}(z)		&,&	 1.5&	<	&\Im(z)	&\le&	 4.5	\\
{\rm MACLO}(z)		&,&	-1.5&	\le	&\Im(z) &\le&	 1.5	\\ 
{\rm TAI}(z^{*})^{*}	&,&	-4.5&	\le	&\Im(z) &<&\!\!	-1.5	\\ 
{\rm FIMA}(z^{*})^{*}	&,&	&		&\Im(z)	&<&\!\!	-4.5  
\end{array}
\right.
\label{FSEXP}
\eL{FSE}
\EN{where}\RU{где} 
%\end{document}
\be \!
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm FIMA}&\!=\!&
\left\{\!
\begin{array}{ccc}
		\mathrm{fima}(z)		&,&\!	\Im(z) 	>	4\!+\!0.2379\!~ \Re(z)\\
		\exp( {\rm FIMA}(z\!-\!1) )\!\!\!\!	&,&\!	\Im(z)	\le	4\!+\!0.2379\!~ \Re(z)
\end{array}
\right.
\label{FIMA}
\\
%\ee
%
%\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm TAI}&=&
\left\{
\begin{array}{ccccr}
		\mathrm{tai}(z)				&,&\!	|\Re(z)|\!	&\le&	0.5 \\
		~\log({\rm TAI}(z\!+\!1))	&,&	\Re(z)		&<&	-0.5 \\
		~\exp({\rm TAI}(z\!-\!1))	&,&	\Re(z)		&>&	0.5 
\end{array}
\right. \iL{TAI}
\\
%\ee
%\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
{\rm MACLO}&=&
\left\{
\begin{array}{ccccr}
		\mathrm{tai}(z)					&,&\!	|\Re(z)|\!	\!&\!\le\!&\!	0.5 \\
		\log({\rm MACLO}(z\!+\!1))\!\!\!\!	&,&	\Re(z)		\!&\!<\!&\!	-0.5 \\
		\exp({\rm MACLO}(z\!-\!1))\!\!\!\!	&,&	\Re(z)		\!&\!>\!&\!	0.5 
\end{array}
\right. \label{MACLO}
\ee

\EN{This approximation provides of order of 14 correct significant figures of the holomorphic tetration $\mathrm{tet}$}%
\RU{Эта аппрокцимация дает порядка 14ти верных десятичных знаков 
%голоморфной
тетрации $\mathrm{tet}$}
\EN{and agrees with the previous results}%
\RU{и согласуется с более ранними результатами} 
\cite{analuxp}.
%\cite{k}.
%Эта аппрокцимация дает по меньшей мере 14 верных десятичных знаков и согласуется с предыдыщими ресультатами.
%\end{document}
\EN{Up to my knowledge, the function $\FSE$ is the most precise and the fastest among ever reported approximations of the tetrational.}
\RU{
%Насколько я могу судить, 
Похоже, что эта аппроксимация быстрее и точнее всех аппрокцимаций
голоморфной тетрации, публиковавшихся до 2010 года.}
% For comparison, the linear approximation uxp by \cite{u}, being interpreted as a approach 
%to the holomorphic tetration, gives only two significant figures, even in vicinity of the real axis.
\vskip 2mm

\EN{Many terms are kept in the approximations}\RU{Большое число слагаемых сохранено в аппроксимациях} (\ref{tai})
\EN{and}\RU{и} (\ref{maclo}) 
\EN{in order to provide the wide range of the overlapping in figures}%
\RU{для того, чтобы обеспечить их хорошее перекрытие на рисунках}
\ref{figco} \EN{and}\RU{и} \ref{figcoF}.
% and reveal the jumps of the approximations $F_{4}$ and $F_{5}$. % through the contour integral \cite{k}.
\EN{At the final step of the implementation, the number of terms can be reduced, boosting the algorithm without loss of the precision.}%
\RU{При коммерческой имплементации таких алгоритмов,
количество слагаемых в аппроксимациях рядов может быть уменьшено без потери точности.}
\EN{In particular, this applies to the evaluation of tetration along the real axis: it is sufficient to have a good approximation of}
\RU{В частности, это относится к вычислению тетрации на вещественной оси; достаточно обеспечить хорошую аппро\-ксимацию функции} 
$\mathrm{tet}(z)$
\EN{for}\RU{для}
$|z|\le 1/2$,
\EN{which is only a quarter of the radius of the precise approximation with function  $\mathrm{maclo}$. } 
\RU{что составляет всего четвертушку от радиуса круга, в котором аппроксимация тетрации функцией 
$\mathrm{maclo}$ дает 14 знаков.}
\vskip 2mm

%Я прогнал много тестов, пытаясь выявить какие-либо противоречия в концепции о том, что существует, и только одна натуральная тетрация сиперфункция от экспонент 
%После детальной численной проверки и ещё многих тестов, которые не представлены в этой Кни 
Аппроксимации, описанные выше, позволяют быстро строить карты тетрации с высоким разрешением. 
Одна из таких карт показана на рисунке \ref{tetmap}.
Аккуратность в 14 значащих цифр допускает глубокие зумины такой карты, и, в частности, квази-хаотичного поведения тетрации в окрестности положительной части вещественной оси, где тетрация растет очень быстро (и, следовательно, её мнимая часть при отходе от вещественной оси изменяется тоже очень быстро). Читатели приглашаются скачать алгоритм вычисления тетрации fsexp.cin, графопостроитель conto.cin (с сайта ТОРИ или из Ситизендиума) и построить такие карты по собственному вкусу и усмотрению. 
Такая карта тетрации 
%(к сожалению в плохом разрешении) 
использована %на первой странице 
%предложена 
для обложки этой Книги.
%Карта в 1000х1000 точек строится в реальном времени и допускает многоктатное увеличение длш рассматривания деталей.
%\section{Detailed map of tetration}
\vskip 2mm

Обратная функция к тетрации является называется арктетрацией. Это абельфункция экспоненты. То есть абельэкспонента. Она рассмотрена в следующей главе.

\begin{figure}[h]
%\parindent 8pt
\vskip 18pt
%\sx{.56}{\begin{picture}(852,820)
\sx{.5}{\begin{picture}(852,820)
\put(40,20){\ing{b271tMap3}}
\zoomax
\put(60,415){\sx{2.8}{\bf cut}}
\put(340,548){\sx{3}{$v\!=\!1$}}
\put(360,414){\sx{3}{$v\!=\!0$}}
\put(760,414){\sx{3}{$v\!=\!0$}}
\put(340,280){\sx{3}{$v\!=\!-1$}}
%\put(70,800){\sx{2.5}{$f\approx L\approx0.318+1.337\,\mathrm i$}}
%\put(60,60){\sx{2.5}{$f\approx L^*\approx0.318-1.337\, \mathrm i$}}
%\put(100,638){\sx{2.5}{$v\!=\!1.4$}}
%\put(552,745){\sx{2.5}{$v\!=\!1.4$}}
\put(112,636){\sx{2.5}{\rot{-21}$v\!=\!1.4$\ero}}
\put(560,742){\sx{2.5}{\rot{-21}$v\!=\!1.4$\ero}}
\put(112,198){\sx{2.5}{\rot{20}$v\!=\!-\!1.4$\ero}}
\put(552, 90){\sx{2.5}{\rot{20}$v\!=\!-\!1.4$\ero}}
\put(662,716){\sx{2.5}{$u\!=\!0.2$}}
\put(216,606){\sx{2.5}{$u\!=\!0.2$}}
\put(660,642){\sx{3}{$u\!=\!0$}}
\put(210,536){\sx{3}{$u\!=\!0$}}
\put(386,628){\sx{2.5}{\rot{48}$u\!=\!0.4$\ero}}
\put(247,216){\sx{2.5}{\rot{23}$u\!=\!0.2$\ero}}
\put(480,140){\sx{2.5}{\rot{24}$u\!=\!0.4$\ero}}
\multiput(80,54)(232,-20){2}{\sx{3}{\rot{75}{$u\!=\!\Re(L)$}\ero}}
\multiput(190,30)(232,-20){2}{\sx{3}{\rot{75}{$v\!=\!\Im(L^*)$}\ero}}
\end{picture}}
\vskip 2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg}
\vskip -4pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v\!=\! \mathrm{tet}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
%; вдоль прямой $x\!=\!-1/2$, функция меняется мало и медленно. ~ 
\iL{tetmap}}
\end{figure}
%\vskip 2mm
 %Исторически,  тетрация по основанию $\mathrm e$  \cite{analuxp}
%(натуральная тетрация) была построена (вычислена) раньше, чем тетрации для других оснований \cite{e1e,sqrt2}.
%, и построение натуральной тетрации описано ниже. Таким же способом можно строить тетрацию и для других оснований $b>\exp(1/\mathrm e)$, а также суперфункции других реально-голоморфных передаточных функций, имеющих хотя бы одну пару комплексно-сопряженных стационарных точек \cite{uniabel} (являющихся аналогами параметров $L$ и $L^*$,  определенных выше), и не имеющие вещественных стационарных точек. 
%где стационарная точка $L$ определяется выражением \rf{expL}.

\chapter{~ Арктетрация %и итерации экспоненты
}
\baselineskip 20pt

\begin{figure}[h]
\vskip -36pt
\hskip -30pt
%\sx{2.66}{\begin{picture}(220,140)
\sx{2.5}{\begin{picture}(220,130)
%\put(0,0){\includegraphics{figslogG}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi02c}}
\put(17,114){\sx{.6}{$y$}}
\put(17, 99){\sx{.58}{$4$}}
\put(17, 89){\sx{.58}{$3$}}
\put(17, 79){\sx{.58}{$2$}}
\put(17, 69){\sx{.58}{$1$}}
\put(17, 59){\sx{.58}{$0$}}
\put(12, 49){\sx{.58}{$-1$}}
\put(12, 39){\sx{.58}{$-2$}}
\put(12, 29){\sx{.58}{$-3$}}
\put(12, 19){\sx{.58}{$-4$}}
\put(12,  9){\sx{.58}{$-5$}}
\put(178,4){\sx{.6}{$x$}}
%\put(180,4){\sx{.6}{$8$}}
\put(160,4){\sx{.6}{$6$}}
\put(140,4){\sx{.6}{$4$}}
\put(120,4){\sx{.6}{$2$}}
\put(100,4){\sx{.6}{$0$}}
\put( 76,4){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 56,4){\sx{.6}{$-4$}}
\put( 36,4){\sx{.6}{$-6$}}
%\put(105,57){\sx{1}{$G$}}

\put( 64,120){\sx{.5}{$u\!=\!2.2$}}
\put( 94,120){\sx{.5}{$u\!=\!2$}}
\put(118,120){\sx{.5}{$v\!=\!0.6$}}
\put(148,120){\sx{.5}{$v\!=\!0.4$}}
%\put(182,100){\sx{.5}{$v\!=\!0.2$}}
%\put(182, 92){\sx{.5}{$u\!=\!1.8$}}
\put(166, 59.8){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\end{picture}}
\vskip -16pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ate}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
~ ~ ~ ~ \iL{vladi02c} ~ ~ ~ ~
\iL{figsexpG} }
\vskip -4pt
\end{figure}

Обратная функция к натуральной тетрации
%то есть абельэкспонента, абельфункция от экспоненты, 
обозначается здесь символом ate, так что $\mathrm{ate}=\mathrm{tet}^{-1}$. 
Комплексная карта арктетрации показана на рисунке \ref{vladi02c}.\vskip 2mm

Арктетрация удовлетворяет уравнению Абеля
\be
\mathrm{ate}\Big(\exp(z)\Big)=\mathrm{ate}(z)+1
\label{abelex}
\eL{abelate}
и дополнительному условию
\be
\mathrm{ate}(1)=0
\eL{abelate10}
Свойства этой функции и алгоритм для её аккуратного вычисления рассмотрены в этой главе.

\section{Вычисление арктетрации}

%В принципе, а
Aрктетрацию можно вычислять, как обратную функцию тетрации, используя
%, например,
метод Ньютона.
Как представление тетрации через интеграл Коши, так и её аппроксимации через элементарные функции позволяют выразить $\mathrm{tet}^\prime$.
Поэтому $\mathrm{ate}(z)$ можно аппроксимировать как предел последовательности $g_n$ с рекуррентным соотношением 
\be
g_{n+1}=g_n+\frac
{\mathrm{tet}(g_n) - z }
{\mathrm{tet}^{\prime}(g_n)}
\eL{atenewton}
Значительное количество итераций может быть медленным. Кроме того, всё равно встает вопрос о выборе такого начального условия $g_0$, при котором линии разреза ровно идут на $-\infty$, параллельно вещественной оси, а не дрыгаются как попало. Такое дрыгание очень даже бывает при использовании метода Ньютона с бестолковым выбором начального элемента последовательности \rf{atenewton}.
\vskip 2mm

Имеет смысл рассмотреть асимптотические свойства решения уравнения Абеля. Такие свойства можно вывести из асимптотических свойств тетрации. Этот процесс можно механизировать с помощью функции InverseSeries софтвера ``Mathematica'' или её аналогов. 
Кроме того, асимптотические разложения можно увидеть непосредственно из уравнения Абеля, и сразу потребовать, например, чтобы эта функция имела точки ветвления $L$ и $L^*$, которые являются по совместительству также и стационарными точками логарифма. 
%Я предлагаю читателям написать эффективные алгоритмы вычисления этой функции и не предлагаю их здесь, чтобы мне не сказали, что Книга занудна. 
Арктетрацию достаточно аппроксимировать, например, в области, обозначенной в виде затененного серпа на рисунке \ref{vladi02c}. Представление для других значений аргумента может быть получено последовательным применением уравнения Абеля \rf{abelex}; при этом арктетрация некоторого аргумента выражается через арктетрацию от аргумента из затененной области.
\vskip 2mm

Методом пристального всматривания можно понять, что решение уравнения Абеля  \rf{abelex} должно быть сингулярно в стационарных точках логарифма, $L$ и $L^*$. 
%Вблизи этих точек, при малом изменении аргумента арктетрации, её значение изменяется на единицу. 
Зная экспоненциальный доминирующий терм асимптотического разложения тетрации, можно догадаться, что доминирующим термом разложения арктетрации должен быть логарифм. Поэтому естественно строить первое приближение для абельэкспоненты $g$, аппроксимируя функцию
\be
h(z)=\mathrm{ate}(z)
- \frac{\ln(z\!-\!L)}{L}
- \frac{\ln(z\!-\!L^*)}{L^*}
\eL{atelo}
Функцию $h$ можно разложить в ряд Тэйлора в точке единица. Такое разложение ведет к аппроксимации
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{fsl}(z) &=& \frac{\ln(z\!-\!L)}{L} + \frac{\ln(z\!-\!L^*)}{L^*} + \sum_{n=0}^{N-1} u_n \, (z\!-\!1)^n
\iL{fsl}\\  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ate}(z)&=&\mathrm{fsl}(z)+O(z\!-\!1)^N
\ee
Первые тридцать коэффициентов $u$ этого разложения представлены в таблице \ref{vladitab2}.
\begin{table}[h]
\begin{center}
%\title{Table 2. Approximations of the coefficients of the expansions (\ref{fsl}).}
%\title{\label{vladitab2}

\caption{\label{vladitab2} \large
	\EN{Table \ref{vladitab2}. Coefficients $u_{n}$ in expansion \rf{fsl}.}
	\RU{\large Коэффициенты $u_{n}$ в разложении \rf{fsl}}
}

\sx{1.05}{\begin{tabular}{rr|rr|rr}
$n$	& $~~~~~~~~~u_{n}~~~~~~~$ &
$~~n$	& $~~~~~~~~u_{n}~~~~~~~~$ &
$~~n$	& $~~~~~~~~u_{n}~~~~~~~~$ \\
% $~~~~~~~~~~~~~~\Re(v_{n,0})~~~~~~~$ & $\Im(v_{n,0})~~~~~~~$\\ % &\Re(a_{n,1} &\Im(a_{n,1})\\
\input{vladitab2}
\end{tabular}}
\end{center}
\end{table}
\vskip 2mm

Комплексная карта аппроксимации fsl по формуле \rf{fsl} при $N\!=\!70$ показана в левой части рисунка \ref{vladi10} в тех же обозначениях, что и на рисунке \ref{vladi02c}. Центральная часть карты на рисунка \ref{vladi10} выглядит как фрагмент карты рисунка \ref{vladi02c}. 
\vskip 2mm

Oбласть применимости аппроксимации \ref{fsl} ограничена. Чтобы показать эту область, в центральной и правой части рисунка \ref{vladi10} показаны карты функций согласия
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\mathrm A}(z)&=&-\lg\!\left( \frac
{|\mathrm{fsl}(\exp(z))\!-\!1-\mathrm{fsl}(z)|}
{|\mathrm{fsl}(\exp(z))\!-\!1|+|\mathrm{fsl}(z)|}
\right) ~\iL{sloE}\\  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
D_{\mathrm B}(z)&=&-\lg\!\left( \frac
{|\mathrm{fsl}(\ln(z))\!+\!1-\mathrm{fsl}(z)|}
{|\mathrm{fsl}(\ln(z))\!+\!1|+|\mathrm{fsl}(z)|}
\right) ~\iL{sloL}
%
%D_{\rm B}&=&-\lg\!\Big| \fsl\!\big(\log(z)\big)+1-\fsl(z)\Big| ~\iL{sloL}
\ee
Внутри внутренних контуров, согласие больше четырнадцати. Эти области отмечены символом $15$. Рисунок 
\ref{vladi10} указывает, что при $|z\!-\!1|\!<\!1.4$, аппроксимация $\mathrm{fsl}(z)$ по формуле \rf{fsl} обеспечивает порядка 14 значащих цифр. Аккуратность такого приближения несколько хуже в окрестности точек $L$ и $L^*$, то есть вблизи сингулярностей, где малое изменение аргумента влечет большое изменение значения, возвращаемого функцией.
\vskip 2mm

%На основе таких асимптотических представлений,
\newcommand \fsloax {
\put(-3,49){\sx{.45}{$y$}}
\put(-3,39){\sx{.5}{$1$}}
\put(-3,29){\sx{.5}{$0$}}
\put(-7,19){\sx{.5}{$-1$}}
\put(-7, 9){\sx{.5}{$-2$}}
\put( 7  ,5){\sx{.5}{$-\!1$}}
\put(20 , 5){\sx{.5}{$0$}}
\put(30 , 5){\sx{.5}{$1$}}
\put(40 , 5){\sx{.5}{$2$}}
\put(48 , 5){\sx{.45}{$x$}}
}
\begin{figure}[t]
\hskip 18pt
%\sx{2.75}{\begin{picture}(60,55)
\sx{2.34}{\begin{picture}(60,55)
\put(0,0){\includegraphics{vladi10a}}
\fsloax
\end{picture}}
\sx{2.34}{\begin{picture}(60,55)
%\put(0,0){\includegraphics{figsloE}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi10b}}
\fsloax
\put(32,44){\sx{.5}{$D_{\rm A}\!<\!1$}}
\put(21,33){\sx{.55}{$15$}}
\end{picture}}
\sx{2.34}{\begin{picture}(50,55)
%\put(0,0){\includegraphics{figsloL}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi10c}}
\fsloax
\put(3,33){\sx{.5}{$D_{\rm B}\!<\!1$}}
\put(32,33){\sx{.55}{$15$}}
\end{picture}}
\vskip -5mm
\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{slo}(x\!+\!\mathrm i y)$
\EN{by \rf{fsl}, left, and the agreements by } \RU{по формуле \rf{fsl} при $N\!=\!70$, слева, и согласия}
$D_{\mathrm{A}}\!=\!D_{\rm{A}}(x\!+\!\mathrm i y)$,
$D_{\mathrm{B}}\!=\!D_{\rm{B}}(x\!+\!\mathrm i y)$,
%$D\!=\!D_{\rm{d}}$ 
по формулам
\rf{sloE}, \rf{sloL}
%\EN{the domain $G$ by \rf{G} is shaded.} \RU{Область $G$ по формуле \rf{G} затенена.}
\label{vladi10} \label{figslo}}
\end{figure}
%\end{document}
%С учетом этих свойств, асимптотическое поведение арктетрации может быть угадано, даже не а

На основе приближения fsl, изготовлена численная имплементация функции ate; уравнение Абеля использовано, чтобы привести аргумент функции в область, заштрихованную на рисунках \ref{vladi02c} и \ref{vladi10}. Для численной имплеметации $\mathrm{FSL}$, в сумме в формуле \rf{fsl} использовано $N\!=\!128$ слагаемых. Получаемая при этом аккуратность приближается к максимально возможной для арифметики complex double. 
В качестве теста такой имплементации, на рисунке \ref{vladi11} представлены результаты численной проверки соотношений
\be
\mathrm{ate}(\mathrm{tet}(z))=z  ~ ~ \iL{atetet}\\
\mathrm{tet}(\mathrm{ate}(z))=z ~ ~ \iL{tetate}
\ee
для ``complex double'' имплементаций
$\mathrm{tet}\!\approx\! \mathrm{FSE}$ и 
$\mathrm{ate}\!\approx\! \mathrm{FSL}$.
Показаны карты функций согласия 
\be
D_{\rm at}(z)= -\ln\left( \frac
{|\mathrm{FSL}(\mathrm{FSE}(z)) - z|}
{|\mathrm{FSL}(\mathrm{FSE}(z))| + |z|}
\right)
\iL{Dat} \label{FSLFSE}
\\
D_{\rm ta}(z)= -\ln\left( \frac
{|\mathrm{FSE}(\mathrm{FSL}(z)) - z|}
{|\mathrm{FSE}(\mathrm{FSL}(z))| + |z|}
\right)
\iL{Dta}\label{FSEFSL}
\ee

\newcommand \vladiEL {
\put(-18,590){\sx{2.3}{$y$}}
\put(-18,544){\sx{2.3}{4}}
\put(-18,494){\sx{2.3}{4}}
\put(-18,444){\sx{2.3}{3}}
\put(-18,394){\sx{2.3}{2}}
\put(-18,344){\sx{2.3}{1}}
\put(-18,294){\sx{2.3}{0}}
\put(-36,244){\sx{2.3}{$-1$}}
\put(-36,194){\sx{2.3}{$-2$}}
\put(-36,144){\sx{2.3}{$-3$}}
\put(-36, 94){\sx{2.3}{$-4$}}
\put(-36, 44){\sx{2.3}{$-5$}}
%\put(-20, -20){\sx{2.3}{$-4$}}
\put( 30, -20){\sx{2.3}{$-3$}}
\put( 80, -20){\sx{2.3}{$-2$}}
\put(130, -20){\sx{2.3}{$-1$}}
\put(196, -20){\sx{2.3}{$0$}}
\put(246, -20){\sx{2.3}{$1$}}
\put(296, -20){\sx{2.3}{$2$}}
\put(346, -20){\sx{2.3}{$3$}}
\put(392, -20){\sx{2.3}{$x$}}
}

\begin{figure}[t]
%\begin{center}
\vskip 16pt
\hskip 16pt
%\sx{.54}{\begin{picture}(472,580)
\sx{.47}{\begin{picture}(456,580)
%\put(0,0){\includegraphics{figslosexp}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi11a}}
\vladiEL
\put(110,520){\sx{2.8}{$10\!<\!D\!<\!12$}}
\put(154,420){\sx{2.4}{$12\!<D\!<\!14$}}
\put(160,310){\sx{2.8}{$D\!>\!14$}}
\put(154,168){\sx{2.4}{$12\!<D\!<\!14$}}
\put(110,64){\sx{2.8}{$10\!<\!D\!<\!12$}}
\put(20, 320){\sx{2.8}{$D\!<\!1$}}
\put(310,560){\sx{2.8}{$D\!<\!1$}}
\put(310,20){\sx{2.8}{$D\!<\!1$}}
\end{picture}}
\sx{.47}{\begin{picture}(388,580)
%\put(0,0){\includegraphics{figsexpslo}}
\put(0,0){\includegraphics{vladi11b}}
\vladiEL
\put( 20,379){\sx{2.5}{$12\!<\!D\!<\!14$}}
\put( 20,210){\sx{2.5}{$12\!<\!D\!<\!14$}}
\put(200,310){\sx{3}{$D\!>\!14$}}
%\put(204,373){\sx{1}{11}}
%\put(204,226){\sx{1}{11}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
%\end{center}
\caption{\large $D\!=\!D_{\rm at}(x\!+\!\mathrm i y)$, слева, и  $D\!=\!D_{\rm ta}(x\!+\!\mathrm i y)$, справа,
по формулам (\ref{FSLFSE}) \EN{and}\RU{и} (\ref{FSEFSL}) 
%в плоскости $x,y$
\label{figslogsexp}
\iL{vladi11}
\label{figss}
}
\end{figure}

Как и для многих других обратных функций, область применимости соотношения \rf{atetet} ограничена;
ширина полосы, где это соотношение имеет место, определяется асимптотической периодичностью тетрации в верхней и в нижней частях комплексной плоскости. При этом, вблизи вещественой оси полоса применимости расширяется и имеет ``клюв'', который, формально, уходит на плюс бесконечность.  Обратное соотношение, то есть \rf{tetate}, наоборот, имеет место почти во всей комплексной плоскости. 
\vskip 2mm

%Таким образом, ч
Численная проверка подтверждает самосогласованность имплементаций тетрации и арктетрации. Для переменных Complex double, при таких имплементациях получается порядка 14 значащих цифр.
\section{О названиях}

%Читатели, которые не боятся запутаться в терминах, могут эту секцию пропустить. Эта секция представляет собой лирическое отступление о терминологии. 
%Численные и
Имплементации тетрации и арктетрации
%, описанные выше, 
загружены в ТОРИ,\\
% по урлям 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fsexp.cin} и\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fslog.cin}\\
Названия этих имплементаций обсуждаются в этой секции.
%Сетевые поисковики на FSEXP находят много сайтов, не имеющих никакого отношения к быстрым алгоритмам и суперфункциям от экспоненты.
%, и я, как честный исследователь, считаю нужным предупредить об этом читателей.
\vskip 2mm

%Названия 
Имена функций FSEXP и FSLOG исторические. Ещё несколько лет назад некоторые авторы (и, к сожалению, даже я) называли тетрацию термином ``superexponential'', хотя тетрация является лишь специальным случаем суперэкспоненты, со специфическим асимптотическим поведением на $\pm \mathrm i \infty$, и дополнительными условиями. %в нуле и вещественности повдоль вещественной оси. 
Генрик Траппманн даже хотел к названию функции добавить мое имя; он до последнего момента \cite{uniabel} ждал, что ``моя тетрация'' \cite{analuxp} окажется не единственной, не настоящей, и тогда имя ``tet'' можно будет использовать для ``настоящей'' %и самой что ни на есть 
натуральной тетрации. 
\vskip 2mm

После нудной дедукции  \cite{uniabel}, Генрика удалось убедить, что ``моя тетрация'' есть самая настоящая и самая натуральная
\footnote{Слово ``натуральный'' здесь играет как минимум двумя из своих возможных значений, указывая одновременно на подлинность этой функции и на то, что она по  основанию $\mathrm e\! \approx\! 2.71\,$.  Надеюсь, что термин ``натуральная тетрация'' не вызовет путаницы, какую вызвали во время СССР ``натуральные расписки''. Такие расписки организаторы финансовой пирамиды выдавали вкладчикам. Следователи, прокуроры, судьи и народные заседатели думали, что это юридический термин, использовали его, но не хотели демонстрировать своё невежество и никого не спрашивали о значении этого термина. Потом адвокат всё-таки спросила потерпевшего, что он имеет в виду, употребляя этот термин. После серии вопросов удалось выяснить, что так в криминальной среде называется нотариально заверенный документ, удостоверяющий, что деньги за автомобиль, который жулики обещали потерпевшим, уже получены. Дело чуть не лопнуло из-за того, что первый эшелон вкладчиков пирамиды составили работники прокуратуры, а второй - работники милиции, и участники первых слоев пирамиды обещанные им машины получили, и не хотели с ними расставаться, а захлебываться пирамида начала только после того, как тысячи ``натуральных расписок'' были проданы безграмотным шахтерам. Организаторы не признавали себя виновными и настаивали на том, что если бы им позволили и дальше торговать ``натуральными расписками'' на заводах, распространяя их среди рабочих (а потом - в колхозах, продавая ``натуральные расписки'' крестьянам), то шахтеры тоже получили бы обещанные автомобили. Впрочем, к чести советских судей, в конце концов махинация с ``натуральными расписками'' была квалифицирована как натуральное  жульничество, мошенничество, и организаторам пришлось ``натурально'' садиться в тюрьму или откупаться, уж как у кого получилось. Это вот такое длинное получилось объяснение термина ``натуральный''.
}. %
%Все остальные 
Другие (менее натуральные) суперэкспоненты по натуральному основанию можно по мере надобности получать преобразованием \rf{tif}.
\vskip 2mm

Для того, чтобы использовать это имя функции, tet, и для других значений основания $b$, в последующих главах основание указывается в виде правого нижнего индекса; тетрация по основанию $b$ то есть суперфункция от $\exp_b=\{ z \!\mapsto\! b^z\}$, экспоненты по основанию $b$, будет записываться в виде $\mathrm{tet}_b$, по аналогии с $\exp_b$ и $\log_b$.
\vskip 2mm

Имплементация тетрации tet называется FSEXP, аббревиатура от ``Fast Super EXPonential'',  а имплементация арктетрации ate называется FSLOG, что есть аббревиатура от ``Fast Super Logarithm''. Эти имена неудачные, хотя и уже исторические. Сейчас имена  FSEXP  и FSLOG  уже встроены во многие программы, в том числе и на нескольких ``виках''. Я опасаюсь создать путаницу и пока не берусь их переименовывать. Потому как лучше одна плохая система обозначений, чем две ``хороших''.
\vskip 2mm

Следует отметить, что имя FSLOG (Fast Super Logarithm) ещё более идиотское, чем FSEXP, так как оно создает впечатление, что это суперфункция от логарифма, что далеко не так. Суперфункцией от логарифма является $z \mapsto \mathrm{tet}(-z)$, a вовсе не ``суперлогарифм''. Впрочем, я надеюсь, что можно сделать ещё более быстрые имплементации этих функций, и назвать эти имплементации теми же именами, что и сами функции, то есть tet и ate. 
\vskip 2mm

Я далек от евгенических идей рафинировать как человеческую породу, так и систему обозначений, и поэтому до сих пор пользуюсь рутинами, обозначенными идентификаторами FSEXP и FSLOG. Это позволяет, например, ставить вопрос о том, насколько приближенное значение, выдаваемое рутиной, отличается от точного. Когда функции tet и ate будут встроены в алгоритмические языки, то будет легко обозначать разницу между значениями функций, оцененных с помощью имплементаций tet и FSEXP; то же относится и к имепементациям арктетрации, FSLOG и ate. 
\vskip 2mm

Разобравшись с терминологией, можно использовать построенные выше инструменты, ``туллы'' (tools) для того, 
чтобы итерировать натуральную экспоненту. Этому посвящена следующая секция.
%\section{Iterates of exponent}

\section{Итерации Экспоненты}

Тетрация  и арктетрация, как суперфункция от экспоненты и её абельфункция, позволяют определить нецелые итерации экспоненты
\be
\exp^n(z)=\mathrm{tet}(n+\mathrm{ate}(z))
\eL{expn}
Число $n$ итераций не имеет надобности быть целым (хотя по прихоти Читателя может оказаться и целым).
\vskip 2mm

Для вещественных значений аргумента, итерации по формуле \rf{expn} показаны на рисунке \ref{expiteplot},
$y\!=\!\exp^n(x)$. Случаи целых значений  $n$  (кроме $n\!=\!0$) выделены толстыми линиями. Эти линии соответствуют
$y\!=\!\exp(\exp(\exp(x)))$,
$y\!=\!\exp(\exp(x))$,
$y\!=\!\exp(x)$,
$y\!=\!\ln(x)$,
$y\!=\!\ln(\ln(x))$,
$y\!=\!\ln(\ln(\ln(x)))$.
\vskip 2mm

%Комплексные карты итераций экспоненты показаны на рисунке для 
%Карты симметричны относительно комплексного сопряжения, поэтому на каждой карте показана лишь верхняя часть комплексной плоскости. Этот рисунок показывает, как радиальная координатная сетка, соответствующая логарифму при $n\!=\!-1$, плавно переходит в однородную ректангулярную (соответствующую тождественной функции $n\!=\!0$ ) и затем - в периодическую структуру, соответствующую обычной экспоненте при $n\!=\!1$.

\begin{figure}[t]
%\sx{.56}{\begin{picture}(802,802) 
%\sx{.62}{\begin{picture}(702,782) 
\sx{.53}{\begin{picture}(702,782) 
%\put(10,10){\ing{PowPlo}} 
%\put(0,0){\ing{TraItu3}} 
%\put(0,0){\ing{ExpIte4}} 
\put(0,0){\ing{expiteplot}} 
\put(411,788){\sx{3}{$y$}} 
\put(411,693.6){\sx{2.9}{$3$}} 
\put(411,593.4){\sx{2.9}{$2$}} 
\put(411,493.2){\sx{2.9}{$1$}} 
\put(411,393){\sx{2.9}{$0$}} 
\put(407,292.8){\sx{2.9}{$-1$}} 
\put(407,192.6){\sx{2.9}{$-2$}} 
\put(407,092.4){\sx{2.9}{$-3$}} 
 
\put(081,408){\sx{2.9}{$-3$}} 
\put(181,408){\sx{2.9}{$-2$}} 
\put(281,408){\sx{2.9}{$-1$}} 
\put(396,408){\sx{2.9}{$0$}} 
\put(497,408){\sx{2.9}{$1$}} 
\put(597,408){\sx{2.9}{$2$}} 
\put(697,408){\sx{2.9}{$3$}} 
\put(787,408){\sx{3}{$x$}} 
 
\put(6,748){\sx{3}{\rot{4}$n\!=\!3.2$\ero}} 
\put(6,708){\sx{3}{\rot{3}$n\!=\!3.1$\ero}} 
\put(6,675){\sx{3}{\rot{3}$n\!=\!3$\ero}} 
\put(5,643){\sx{3}{\rot{3}$n\!=\!2.9$\ero}} 
\put(5,497){\sx{3}{\rot{0}$n\!=\!2$\ero}} 
\put(4,397){\sx{2.9}{\rot{0}$n\!=\!1$\ero}} 
\put(6,345){\sx{3}{\rot{1}$n\!=\!0.6$\ero}} 
%
\put(7,308){\sx{3}{\rot{4}$n\!=\!0.4$\ero}} 
\put(7,280){\sx{3}{\rot{5}$n\!=\!0.3$\ero}} 
\put(8,244){\sx{3}{\rot{6}$n\!=\!0.2$\ero}} 
\put(9,185){\sx{3}{\rot{11}$n\!=\!0.1$\ero}} 
 
\put(48,34){\sx{3.1}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}} 
\put(202,5){\sx{3}{\rot{76}$n\!=\!-0.1$\ero}} 
\put(263,5){\sx{3}{\rot{82}$n\!=\!-0.2$\ero}} 
\put(299,5){\sx{3}{\rot{84}$n\!=\!-0.3$\ero}} 
\put(691,5){\sx{3}{\rot{84}$n\!=\!-3$\ero}} 
\put(724,5){\sx{3}{\rot{83}$n\!=\!-3.1$\ero}} 
\put(764,5){\sx{3}{\rot{82}$n\!=\!-3.2$\ero}} 
 
\put(484,600){\sx{3.7}{\rot{70}$y\!=\!\exp(x)$\ero}} 
\put(641,630){\sx{3.4}{\rot{44}$y\!=\!x$\ero}} 
\put(650,484){\sx{3.6}{\rot{19}$y\!=\!\ln(x)$\ero}} 
\end{picture} }
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpIte4T.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $y\!=\!\exp^n(x)$  по формуле \rf{expn} для различных $n$ \iL{expiteplot} }
\vskip -4pt
\end{figure}

%\section{Map to iterates of exp}
%In this section, iterates of exponential of complex argument are considered. 
%The set of complex maps of exp is shown in figure 

\newcommand \LeLa {
\put(-24,384){\sx{4}{$y$}}
\put(-24,288){\sx{4}{$3$}}
\put(-24,188){\sx{4}{$2$}}
\put(-24,88){\sx{4}{$1$}}
\put(-24,-12){\sx{4}{$0$}}
}
\newcommand \DoLa {
\put(70,-36){\sx{3.8}{$-3$}}
\put(170,-36){\sx{3.8}{$-2$}}
\put(270,-36){\sx{3.8}{$-1$}}
\put(390,-36){\sx{3.8}{$0$}}
\put(490,-36){\sx{3.8}{$1$}}
\put(590,-36){\sx{3.8}{$2$}}
\put(690,-36){\sx{3.8}{$3$}}
\put(786,-36){\sx{3.8}{$x$}}
}
\begin{figure}%[H]
~
%\sx{.294}{\begin{picture}(802,402)
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) 
\put(0,0){\ing{exp10map}} \LeLa \put(20,342){\sx{7}{$n\!=\!1$}} 
\put(46,300){\rot{0}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(50,144){\rot{0}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(46,-13){\rot{0}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(260,220){\rot{90}\sx{4.5}{$u\!=\!-0.2$} \ero}
\put(424,224){\rot{90}\sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero} 
\put(244,4){\rot{56}\sx{4.5}{$u\!=\!0.2$} \ero} 
\put(404,4){\rot{56}\sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(474,4){\rot{56}\sx{5}{$u\!=\!2$} \ero} 
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm10map}} \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-1$}} 

\put(30,144){\rot{56} \sx{5}{$u\!=\!1.4$}\ero} %%%%%%
\put(100,114){\rot{55} \sx{5}{$u\!=\!1.2$}\ero} %%%%%%
\put(160,102){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!1$}\ero} 

\put(2,42){\rot{-8} \sx{5}{$v\!=\!3$}\ero}
\put(546,196){\rot{56} \sx{5}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(580,162){\rot{45} \sx{5}{$v\!=\!0.8$}\ero} 
\put(610,122){\rot{34} \sx{5}{$v\!=\!0.6$}\ero} 
\put(626,79){\rot{22} \sx{5}{$v\!=\!0.4$}\ero} 
\put(640,34){\rot{11} \sx{5}{$v\!=\!0.2$}\ero} 
\put(641,-12){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp09map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.9$}}
\put(50,202){\rot{20}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(400,182){\rot{56}\sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(178,2){\rot{54}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(430,146){\rot{7}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(432, 46){\rot{43}\sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(482, 10){\rot{52}\sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
 \end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm09map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.9$}} 
\put(180,198){\rot{27} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(270,14){\rot{47} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(606,250){\rot{48} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(636,134){\rot{29} \sx{5}{$v\!=\!0.6$} \ero}
\put(644,84){\rot{19} \sx{5}{$v\!=\!0.4$} \ero}
\put(648,32){\rot{10} \sx{5}{$v\!=\!0.2$} \ero}
\put(649,-13){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$}\ero} 
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp08map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.8$}}
\put(168,198){\rot{35}\sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(390,182){\rot{66}\sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(430,146){\rot{13}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(40,0){\rot{46}\sx{3.8}{$u\!=\!-0.2$} \ero}
\put(242,2){\rot{54}\sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(432, 42){\rot{46}\sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(488, 1){\rot{59}\sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
 \end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm08map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.8$}} 
\put(184,192){\rot{27} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(230,36){\rot{34} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(6,1){\rot{52} \sx{4}{$u\!=\!0.4$} \ero}
\put(166,3){\rot{54} \sx{4}{$u\!=\!0.2$} \ero}
\put(506,234){\rot{53} \sx{4}{$v\!\approx\!1.337$} \ero} 
\put(606,220){\rot{42} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero} 
\put(636,120){\rot{26} \sx{5}{$v\!=\!0.6$} \ero}
\put(644,76){\rot{16} \sx{5}{$v\!=\!0.4$} \ero}
\put(648,30){\rot{8} \sx{5}{$v\!=\!0.2$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp05map}} \LeLa  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.5$}} 
\put(360,294){\rot{11} \sx{5}{$u\!=\!-2$} \ero} 
\put(382,222){\rot{22} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero} 
\put(420,146){\rot{38} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero} 
\put(490,99){\rot{54} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero} 
\put(550,82){\rot{58} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(600,66){\rot{62} \sx{5}{$u\!=\!3$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}} 
\put(680,90){\rot{-16} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,24){\rot{-8} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(210,154){\rot{78} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero} 
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm05map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.5$}}  
\put(602,386){\rot{-61} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(382,302){\rot{-41} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(20,272){\rot{-6} \sx{4.5}{$u\!\approx\!0.318$} \ero}
\put(82,206){\rot{-3} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(486,298){\rot{42} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,190){\rot{19} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}
\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp02map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.2$}}  \LeLa %\DoLa
\put(353,224){\rot{60} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(452,224){\rot{66} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(530,200){\rot{71} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(602,174){\rot{73} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(680,328){\rot{-15} \sx{5}{$v\!=\!5$} \ero}
\put(680,260){\rot{-11} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,194){\rot{-10} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,125){\rot{-7} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,56){\rot{-3} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(200,240){\rot{-31} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm02map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.2$}}  %\DoLa 
\put(158,312){\rot{-57} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(302,326){\rot{-66} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(436,346){\rot{-71} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(566,388){\rot{-74} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
%\put(680,348){\rot{5} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,268){\rot{9} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(470,132){\rot{8} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
%\put(470,128){\rot{4.6} \sx{5}{$v\!\approx\!1.3372357$} \ero}
\put(680,124){\rot{4} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(680,-14){\rot{0} \sx{5}{$v\!=\!0$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}\vskip 8pt

~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exp01map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!0.1$}}  \LeLa \DoLa
\put(340,228){\rot{74} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(438,228){\rot{79} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(526,214){\rot{81} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(614,200){\rot{83} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(680,318){\rot{-6} \sx{5}{$v\!=\!4$} \ero}
\put(680,237){\rot{-5} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,154){\rot{-4} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(680,72){\rot{-3} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}

\put(114,210){\rot{-19} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
\end{picture}} ~
\sx{.26}{\begin{picture}(802,402) \put(0,0){\ing{exm01map}}  \put(20,340){\sx{7}{$n\!=\!-0.1$}}  \DoLa 
\put(228,330){\rot{-74} \sx{5}{$u\!=\!-1$} \ero}
\put(346,352){\rot{-80} \sx{5}{$u\!=\!0$} \ero}
\put(462,366){\rot{-82} \sx{5}{$u\!=\!1$} \ero}
\put(576,386){\rot{-81} \sx{5}{$u\!=\!2$} \ero}
\put(10,122){\sx{5}{\bf cut}}
\put(680,348){\rot{5} \sx{5}{$v\!=\!3$} \ero}
\put(680,224){\rot{4} \sx{5}{$v\!=\!2$} \ero}
\put(470,128){\rot{4} \sx{4.6}{$v\!\approx\!1.337$} \ero}
%\put(470,128){\rot{4.6} \sx{5}{$v\!\approx\!1.3372357$} \ero}
\put(680,104){\rot{3} \sx{5}{$v\!=\!1$} \ero}
\put(8,-13){\sx{5}{\bf cut}} 
\end{picture}}

\vskip 8pt
\EN{\caption{Maps of iterates of natural exponent by \rf{uxexpxy}  \label{expitemap}}}
%\RU{\caption{Kарты итераций экспоненты по формуле \rf{uxexpxy}  \label{expitemap}}}
\RU{\caption{ $u\!+\!\mathrm i v=\exp^n(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{uxexpxy} для различных $n$ \iL{expitemap}}}
\end{figure}

%The left hand side column of the figure \ref{expitemap} shows positive iterations, $n\!=\!1$, $0.9$, $0.5$, $0.1$; the right hans side column shows the maps for $n\!=\!-1$, $-0.9$, $-0.5$, $-0.1$, which can be considered also as positive iteration of function $\ln=\exp^{-1}$. 
Карты различных итераций экспоненты показаны на рисунке 
\ref{expitemap}. %The 10 pictures show the complex maps of
Дюжина изображений представляет
\be
u\!+\!\mathrm i v = \exp^n(x\!+\!\mathrm i y)
\eL{uxexpxy}
линиями $u\!=\mathrm{const}$ и линиями $v\!=\mathrm{const}$ 
в плоскости $x,y$ для различных значений номера итерации $n$; это значение напечатано крупным фонтом 
в левом верхнем углу каждой карты. Карты симметричны верх-низ (при отражении от вещественной оси, лишь мнимая часть значения функции меняет знак), поэтому представлены лишь верние половинки карт, выше вещественной оси. 
%Иначе на одной странице трудно уместить, всё такое мелкое получалось бы, что пришлось бы рассматривать в лупу. 
% this number is printed at the top left corner of each picture. As the maps are symmetric, the only upper half-planes are shown. 
%in the $x,y$ plane for various real values of number $n$ of iterate; this number is printed at the top left corner of each picture. As the maps are symmetric, the only upper half-planes are shown. 
\vskip 2mm

В верхней части рисунка \ref{expitemap}, карты соответствуют $n\!=\!1$ и $n\!=\!-1$; это карты экспоненты и логарифма.
Карта экспоненты - это просто кусок карты 
%из левой части 
рисунка \ref{expMap}.
%these pictures are just map of the exponential and that of logarithm. 
Экспонента голоморфна во всей комплексной плоскости. Однако логарифм имеет в нуле особую точку и разрез. Этот разрез на рисунке \ref{expitemap} обозначен символом {\bf cut}. 
%The exponential is entire function, it is holomorphic in the whole complex plane. 
%The logarithm is holomorphic in the whole plane except zero and cut along the negative part of the real axis. This half-line is marked with symbol ``cut''. 
%The top row of pictures in figure \ref{expitemap} corresponds to $n\!=\!1$ and $n\!=\!-1$; these pictures are just map of the exponential and that of logarithm. The exponential is entire function, it is holomorphic in the whole complex plane. The logarithm is holomorphic in the whole plane except zero and cut along the negative part of the real axis. This half-line is marked with symbol ``cut''. 
\vskip 2mm

%The second and following rows of the figure represent the non-integer iterates. These iterates have two additional cuts along the lines $y\!=\!\pm \Im(L)$, where 
%Вторая и последущие 
Остальные строчки рисунка \ref{expitemap}  показывают нецелые итерации.
%ющиThe second and following rows of the figure represent the non-integer iterates. 
%These iterates have two additional cuts along the lines $y\!=\!\pm \Im(L)$, where 
Эти итерации имеют дополнительны разрезы вдоль линий  $y\!=\!\pm \Im(L)$. Здесь
$L\!\approx\!
0.31813150520476413 \!+\! 
1.3372357014306895 \, \mathrm i$ 
есть стационарная точка логарифма, решение уравнения  $L=\ln(L)$.
%s fixed point of logarithm, id set, solution of equation $L=\ln(L)$. By default, all the cut lines are directed parallel to the real axis (axis $x$ in the figure, abascissa) toward the negative part to the real axis.
%In such a way, for negative non-integer $n$, the map has 3 cut lines (and that in the lower half-plane is not seen, as it is our of field of view of the map).
\vskip 2mm

%The thick lines in figure \ref{expitemap} corresponds to the integer values of $u$ or $v$. The thin lines are drawn with interval $0.2$; and the additional lines $u\!=\!\Re(L)$ and $v\!=\!\Im(L)$ are drawn. However, these lines always cross each other at the fixed point $L$.
Толстые линии на рисунке \ref{expitemap} соответствуют целым значениям  $u$ или $v$.
Тонкие линии проведены с интервалом  $0.2$; кроме того, добавлены тонкие
%дополнительные 
линии $u\!=\!\Re(L)$ и $v\!=\!\pm\Im(L)$. 
Эти линии пересекаются в точке, соответствующей значению $L$.
\vskip 2mm

%Figure  \ref{expitemap} shows the smooth transition of the map for the exponential (left column to) the map for the logarithm (right hand side column). As the number $n$ of iterate reduces from unity to zero, the web of the lines 
% $u\!=\!\mathrm{const}$ and lines $v\!=\!\mathrm{const}$ rotate around the fixed point $L$, and become uniform rectangular grid at $n\!=\!0$. At these values, the horizontal cuts along lines $\pm \Im(L)$ disappear, but they appear again, as $n$ becomes negative non-integer. The additional branch point comes from $-\infty$ at the real axis, and moves toward zero as $n$ becomes minus unity. With this integer value, the additional branch points $L$ and $L^*$ disappear.
Рисунок  \ref{expitemap} показывает плавный (голоморфный) переход от экспоненты (левая верхняя карта) к логарифму (правая верхняя карта). По мере того, как номер итерации $n$ постепенно уменьшается от единицы до нуля, сетка, образвованная линиями $u\!=\!\mathrm{const}$ и линиями $v\!=\!\mathrm{const}$ поворачивается вокруг стационарной точки $L$, и становится однородной прямоугольной штриховкой при $n\!=\!0$. При этом значении, разрезы вдоль линий $\pm \Im(L)$ исчезают, но они появляются вновь при дальнейшем уменьшении $n$, как только $n$ становится 
%чуть 
меньше нуля. Кроме того, 
%дополнительная 
ещё одна
точка ветвления приходит с минус бесконечности и перемещается вдоль вещественной оси, приходя в ноль, когда $n$ принимает значение минус единица.
При таком целом значении комплексные точки ветвления $L$ и $L^*$ исчезают.
\vskip 2mm

Карты для нецелых итераций, подобные показанным на рисунке  \ref{expitemap}, можно строить и для других голоморфных функций, достаточно декларировать нужную функцию ``передаточной функцией'' и сделать для неё суперфункцию и абельфункцию.
% В частности, такие карты можно строить для функций, рассмотренных в этой Книге. 
\vskip 2mm

В частности, можно строить карты и нецелых итераций функций, рассмотренных в этой Книге. Читатели приглашаются скачать имплементации соответствующих суперфункций и абельфункций. Для построения комплексных карт можно использовать графопостроитель conto.cin, доступный на многих виках. % и, разумеется, среди генераторов рисунков для этой Книги.
%Maps of non-integer iterates can be plotted also for other transfer functions, considered in this Book. The readers are cordially invited to download the implementations of the superfunctions and the abelfunctions, and plot the corresponding complex maps of the iterates.

\section{Уроки натуральной тетрации %(Тетрация как специальная функция)
}

На основе представления тетрации через интеграл Коши, как решения интегрального уравнения \rf{3dot2}, 
можно выразить также и производные этой функции; дифференцирование подинтегральных выражений в правой части \rf{3dot2}
не вызывает затруднений. Именно так вычислены производные тетрации для чисто вещественных и чисто мнимых значений аргумента  в таблицах 1 и 2  работы \cite{analuxp}. Однако, для численного поиска возможных внутренних противоречий упомянутой конжекции о существованиии и единственности, было желательно изготовить ещё более аккуратные и эффективные представления для функции и её производных, которые бы позволяли вычислять тетрацию столь же быстро, как в современных алгоритмических языках вычисляются специальные функции. Фактически, цель была придать тетрации статус специальной функции. Детали такого представления описаны во Владикавказском Математическом Журнале \cite{vladir}. После российского вторжения в Украину в 2014 году, российские научные журналы, и, в частности, Владикавказский журнал, навряд ли кто станет читать. Поэтому в этой Книге собраны основные формулы, использованные для такого представления, и графики для этих представлений. С такими представлениями, суперфункциями и, в частности, тетрацией, можно пользоваться и не читая оригинальные статьи.
\vskip 2mm

Комплексная карта тетрации $\mathrm {tet}$ представлена на рисунке \ref{tetmap}, а её поведение вдоль вещественной оси показано на рисунке \ref{TetPlot}. 
Свойства 
%\rf{tetrealho}-\rf{yeL} 
\rf{T715}-\rf{T718}
были сперва наблюдены у различных аппроксимаций тетрации с помощью элементарных функций, а потом
% ``обоснованы'' и 
постулированы. При аппроксимации, воспроизводилось поведение тетрации вблизи целых значениях аргумента, то есть 
\be
\mathrm{tet}(-2+\varepsilon) &=& \log(\varepsilon) +\mathrm{const}+O(\varepsilon) \\
\mathrm{tet}(-1)&=&0\\
\mathrm{tet}(0)&=&1\\
\mathrm{tet}(1)&=&\mathrm e\\
\mathrm{tet}(2)&=&\mathrm e^2
\ee
%Затем  м
Минимизировалась невязка при подстановке фитирующей функции в передаточное уравнение \rf{transferexp} для комплексных значений аргумента. Когда алгоритм вычисления натуральной  тетрации через интеграл Коши уже известен \cite{analuxp}, и предложены эффективные аппроксимации через элементарные функции \cite{vladir}, примитивная аппроксимация $\mathrm{fit}_2$ по формуле \rf{fit2} может вызвать улыбку, но такое эвристическое фитирование отвечает на вопрос, который мне 
%несколько раз 
задавали коллеги: ``{\em 
How did you guess?
}''. (Как ты догадался?).
\vskip 3mm

После того, как свойства, похожие на  
%\rf{tetrealho}-\rf{yeL}, 
\rf{T715}-\rf{T718}, 
были обнаружены у нескольких различных фитирующих функций, эти свойства были были сформулированы как определение тетрации, то есть попросту постулированы. Целью таких постулатов было доказательство несуществования тетрации. Такое доказательство было бы интересто найти, так как доказательство,
%несуществания вещественно-голоморфной тетрации, 
предложенное Хошмандом  (M.Hooshmand)\cite{hooshmand}, опирается на сомнительное допущение (постулат) о монотонности производной от тетрации.
\vskip 2mm

Я искал внутренние противоречия допущения, что голоморфная тетрация, обладающая перечисленными выше свойствами, существует. При этом многие свойства натуральной тетрации были выявлены, и был изготовлен алгоритм, позволяющий быстро вычислять её с 14 значащими цифрами \cite{vladir}; но несуществование доказать не удалось. Провалились также попытки построить иную функцию, удовлетворяющую определению выше. Тогда существование и единственность такой функции пришлось оформить как конжекцию \cite{analuxp}. 
\vskip 2mm

Имеются определенные успехи в доказательстве единственности соответствующей функции Абеля \cite{uniabel}, но простое и четкое доказательство существования и единственности тетрации ещё предстоит выработать. Здесь такое доказательство не представлено. В соответствии с целью, сформулированной во Введении, здесь свойства тетрации скорее объясняются, чем доказываются.
\vskip 2mm

Тетрация и арктетрация 
%существенно 
расширяют арсенал функций, доступных для научных исследований. В частности, нецелые итерации могут могут расти быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты. Такое свойство может быть полезно при автоматическом фитировании, когда заранее не известно, похожа ли аппроксимируемая функция на экспоненту или логарифм; представление дает непрерывное многообразие промежуточных функций, включая случай тождественной функции (ни одной итерации экспоненты). Это же относится и к итерациям многих других специальных функций.
%\vskip 2mm

\section{Ещё апология}

В любой деятельности, время от времени человеку требуется подтверждение, верификация того, что то, что он делает - важно и нужно. Чтение и написание Книги не являются исключениями. (Иначе получается ``И запоминайте заранее~ то, что вы поймете потом'' \footnote{% http://www.audiozvuk.com/children/1663-peppi-dlinnyj-chulok.html
http://geo.web.ru/bards/Kim/part59.htm
Пеппи Длинный Чулок. Песня Томми и Анники.}).
Такая промежуточная верификация, апология представлена в этой секции. Фактически это заключение по главе o натуральной тетрации.
\vskip 2mm

Следуя Аксимам ТОРИ, я ставлю преимущественно практические задачи. С точки зрения практики, важно не само доказательство, а уверенность в том (надежда на то), что заявленные свойства, допущения, аксиомы не приведут к противоречиям, и предлагаемые построения не вывалятся из категории ``Наука'' по первой же Аксиме ТОРИ, получив пустое множество в качестве области применения. Попытки опровергнуть конжекции, сформулированные в этой главе, могут рассматриваться как сильное указание, что в течение длительного времени (ну, скажем, большого по сравнению с длительностью человеческой жизни) такие конжекции не будут опровергнуты.
\vskip 2mm

В качестве оправдания укажу, что даже уважаемые школьные учителя математики постулируют аксиомы Эвклида, вместо того, чтобы вывести, доказать их на основе свойств координатной плоскости. 
(И иногда при этом садятся в лужу, как это показано на рисунке \ref{school}.)
Таким образом, Читатели, любящие доказательства, могут начать с вывода аксиом Эвклида. Это нетрудно сделать, хотя сперва прийдется аккуратно определить функции sin и cos, координатную плоскость, теорему Пифагора, а из неё - всё остальное, включая теоремы о параллельных прямых, о ``равенстве'' треугольников и всё такое прочее. 
\vskip 2mm

Обычно, для научного исследования, какие-то постулаты всё-таки принимать приходится, хотя чистые математики могут счесть их недостаточно обоснованными, см. рисунок \ref{ship}.
Чтобы помочь  опровергать мои результаты, я загружаю генераторы рисунков Книги в категории\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap} 
\vskip 3mm

Увидев, как естественно и натурально получается натуральная тетрация, я построил похожие карты и для других оснований $b$, в частности, для $b\!=\!10$, $b\!=\!2$ и $b\!=\!1.5$,  но ничего особенно нового, чего трудно было бы предположить, поиграв с натуральной тетрацией, не обнаружил. Однако Генрик Траппманн попросил меня уменьшить основание $b$ ещё чуток, до
$b=\sqrt{2}$, и спросил, могу ли я вычислять таким же 
%макаром, то есть не макаром, конечно, а кошем, то есть 
интегралом Коши, тетрацию по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. Я подумал и сказал, что таким же методом не могу. Генрик стал смеяться, но я заявил, что если он так любит корень из двух, то я сделаю тетрацию и по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ тоже. И сделал \cite{sqrt2}. Основа использованного для этого формализма, то есть регулярная итерация, описана в главе  8.
%и, особенно, в секции 8.3. 
Применение этого формализма именно для тетрации по основанию $\sqrt{2}$ описано в следующей главе.
\vskip 2mm
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\vskip 18pt
%\sx{.6}{\begin{picture}(404,360)
\sx{.5}{\begin{picture}(454,350)
\put(0,0){\ing{blacksheep}}
\put(-2,-2){\color{white} \rule{8pt}{356pt}}
\put(-2,-2){\color{white} \rule{458pt}{8pt}}
\put(456,-2){\color{white} \rule{8pt}{356pt}}
\put(-2,346){\color{white} \rule{458pt}{8pt}}
\end{picture}}\end{center}
\vskip -24pt
\caption{\large \baselineskip 18pt Два математика едут 
%в поезде из аэропорта 
на конференцию по суперфункциям и обсуждают чёрную овцу, которую они увидели из окна поезда: {\em Ваше допущение, уважаемый коллега, представляется мне не только не очевидным, но и совершенно не обоснованным. Всё, что мы можем заключить из этого наблюдения - что в этой стране существует по крайней мере одна овца или по крайней мере один барашек, и что по крайней мере правая сторона этого существа - черная.} \iL{ship}}
\vskip -12pt
\end{figure}

%\chapter{Тетрация по основанию $b>1$}
\chapter{~ Тетрация по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$}
\baselineskip 20.4pt
%В этой Книге, кроме других суперфункций, рассмотрена тетрация. Поведение тетрации и её вычисление зависят от основания.
%используются построения предыдущих глав для вычисления тетрации по различным основaниям.
%Особенно простым становится вычисление тетрации по основанию $b\!>\!1$. Сперва рассматриваются примеры, а потом формулируются общие способы вычисления тетрации.
%\vskip 2mm

%Поведение тетрации вещественного аргумента показано на первой странице обложки. Это копия рисунка \ref{tet10bx}, на обложку добавлены лишь поясняющие формулы.Kривые $y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$ как функции $x$ проведены для различных значений основания $b$. В этой секции описано построение лишь одной кривой этого рисунка, а именно, кривой, соответствующей $b\!=\!\sqrt{2}$.
%\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}[14]{r}{206px}
%\begin{wrapfigure}[13]{r}{206px}
\begin{figure}[h]
\vskip -6pt
\hskip 66pt
%\sx{.2}{\begin{picture}(700,600)
\sx{.5}{\begin{picture}(610,620)
\put(0,0){\ing{sqrt27a}}
%\put(220,584){\sx{3.6}{$y=F_{2,1}(x)$}}
%\put(172,600){\sx{4}{$2$}}
%\put(172,670){\sx{4}{$y$}}
\put(172,600){\sx{4}{$2$}}
\put(172,500){\sx{4}{$1$}}
\put(140,298){\sx{4}{$-1$}}
\put(140,198){\sx{4}{$-2$}}
\put(140, 98){\sx{4}{$-3$}}
%\put(160,  0){\sx{3.8}{$-4$}}
\put( -9,366){\sx{4}{$-2$}}
\put( 89,366){\sx{4}{$-1$}}
\put(300,366){\sx{4}{$1$}}
\put(401,366){\sx{4}{$2$}}
\put(502,366){\sx{4}{$3$}}
\put(594,370){\sx{4.2}{$x$}}
%\put(600,420){\sx{4.2}{$x$}}
\put(340,530){\sx{4.3}{\rot{5}$y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$\ero}} 
\put(380,200){\sx{4.2}{\rot{-45}$y\!=\!-x$\ero}} 
\end{picture}} 
%\end{center}
\vskip -8pt
\caption{ \large
$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ 
%$y=F_{2,1}(x)$ of real argument
% left; functions 
%$y=F_{2,1}(-F_{2,1}(x))+x$ and 
%$y=F_{2,1}(x)+F_{2,1}^{-1}(-x))$, right. 
\label{figreal}
\label{figJJ}
\label{figjj}
\iL{sqrt27a}
}
\end{figure}

В главе 13 определена и вычислена натуральная тетрация. То есть тетрация по основанию 
$b\!=\!\mathrm e \approx 2.71~$.
Для того, чтобы говорить о тетрации по иным основаниям, определение тетрации надо обобщить. Такое обобщение предлагается в этой главе.
Следуя принципу ``от простого - к сложному'', здесь используется специфическое значение основания $b\!=\!\sqrt{2}$. Для этого значения, график тетрации показан на рисунке \ref{sqrt27a}. Именно для этого значения основания, график тетрации выглядит красиво и симметрично. Ниже я показываю, что это впечатление обманчиво и эта симметрия лишь приближенная.

\section{Определение}
\baselineskip 20.8pt

Tетрацией по вещественному основанию $b\!>\!1$ называется функция $f\!=\!\mathrm{tet_b}$, 
обладающая следующими свойствами:
\be
f(z\!+\!1)=b^{f(z)}
\eL{sqrt2transfer}
по крайней мере для значений $\Re(z)>-2$;
функция $f$ ограничена по крайней мере в полосе $|\Im(z)| \le 1$; кроме того, подразумевается,  вещественная голоморфность такой тетрации и специфическое (общее для всех оснований $b$) значение в нуле:
\be
f(z^*) &=& f(z)^* \\
f(0) &=& 1     ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\iL{sqrt2f01}
\ee
\vskip 4mm

%Я надеюсь, все ясно видят, что 
Уравнение \rf{sqrt2transfer} имеет форму передаточного уравнения.
При этом $T\!=\!\exp_b$ выступает в роли передаточной функции.
Читатели приглашаются проследить, что натуральная тетрация $\mathrm{tet}\!=\!\mathrm{tet}_{\mathrm e}$,
рассмотренная в главe 14, под такое определение тоже попадает.
В других главах рассмотрена тетрация по другим разным основаниям. 
%Последнее условие, при $1\!<\!b\le \exp(1/\mathrm e)$, указывает, что по крайней мере вдоль мнимой оси, значения тетрации ограничены; в пределе больших значений вещественной части аргумента, тетрация стремится к стационарной точке соответствующей экспоненты, которая интерпретируется как передаточная функция.
%Этим тетрация отличается от растущей суперэкспоненты, показанной для случая $b\!=\!\sqrt{2}$ на рисунке \ref{sqrt2figf45b}.
%\vskip 2mm
Но в этой главе в качестве примера %вычисления тетрации $\mathrm{tet}_b$ при $1\! < \!b\! < \! \exp(1/\mathrm e)$ 
рассмотрен случай $b\!=\!\sqrt{2}$.
Экспонента именно по этому основанию показана на рисунках \ref{exq2plo} и \ref{ExpQ2map}.
Именно для этого основания в главе 9 построена растущая суперэкспонента
$\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},\mathrm u}$, её график показан на рисунке  
9.4.
%\ref{ExpQ2plot}.
%\ref{exq2plo}.
\vskip 2mm

Теперь для этого же основания $b\!=\!\sqrt{2}$ строится другая суперэкспонента, тетрация.
График тетрации на рисунке \ref{sqrt27a} существенно отличается от графика растущей суперэкспоненты
$F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},3}$, показанного на рисунке 
%\ref{sqrt2suexpPlot}.
\ref{sqrt23uplot}.

\section{Пусть $b\!=\!\sqrt{2}$ }
%\section{Суперфункция}

В качестве примера вычисления тетрации  $\mathrm{tet}_b$ для $1\! < \!b\! < \! \exp(1/\mathrm e)$, 
в этой 
%секции рассмотрим
главе рассмотрен
случай $b\!=\!\sqrt{2}$. График такой функции показан на рисунке \ref{sqrt27a}.
Описанное ниже построение аналогично построению растущей суперэкспоненты по такому же основанию,
представленному в главе 9. Многие формулы и рисунки этой секции взяты из публикации \cite{sqrt2}.
\vskip 2mm

Стационарные точки экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ рассмотрены в Главе 9, см. рис. 
%\ref{Expe1eplot}.
\ref{ExpQ2plot}.
 В той главе суперэкспонента $F_5=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ построена на стационарной точке $L\!=\!4$. Вдоль вещественной оси, такая суперэкспонента монотонно и неограниченно растет от четырех до бесконечности. Для той суперэкспоненты, уравнение $F_5(z)\!=\!1$ не имеет вещественных решений, и она не является тетрацией. Для того, чтобы построить тетрацию по такому основанию, следует использовать стационарную точку $L\!=\!2$. 
Соответствующая суперфункция $\Phi$ раскладывается так:
\be
f(z)=2+\varepsilon+\sum_{m=2}^{M-1} v_m \varepsilon^m 
\eL{sqrt2fas}
\be
\Phi(z)=f(z)+O(\varepsilon^n)
\eL{sqrt2Phi}
где
\be %\varepsilon
\ve=\exp(kz)
\eL{sqrt2ve}
а инкремент $k$ и коэффициенты $v$  являются константами.
Подстановка асимптотического разложения $F\!=\!\Phi$ в передаточное уравнение 
\be
F(z\!+\!1)=\exp\Big(\ln\Big(\sqrt{2}\Big) \, F(z)\Big)
\eL{sqrt2transfereq}
дает соотношение для инкремента $k$ 
\be
k=\ln(\ln(2))\approx -0.3665129205816643
\eL{sqrt2k}
и цепочку уравнений для коэффициентов $v$; в частности,
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{array}{rcl}
v_{2}=&\frac{\ln(2)/4}{\ln(2)-1} &\approx -0.56472283831773236365\\
v_{3}=&\!\!\frac{\ln(2)^{2}(2+\ln(2))/24} {(\ln(2)-1)(\ln(2)^2-1)} \!\! &\approx \phantom{-}0.33817758685118329988 
\end{array}
\eL{sqrt2v2}
%Приближенные з
Значения коэффициентов $v$ 
%представлены
предлагаются в таблице \ref{sqrt2tablevV}. 
\vskip 2mm

При фиксированном числе $M$ термов в правой части уравнения \rf{sqrt2fas}, функция $f$  может рассматриваться как аппроксимация 
суперфункции экспоненты со специфической асимптотикой, а именно, которая, возрастая, стремится к стационарной точке 2. Такая суперфункция может быть определена как предел
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)=\lim_{n \rightarrow \infty} T^{-n}(f(z\!+\!n))=\lim_{n \rightarrow \infty} \log_b^{\, n}(f(z\!+\!n))
\eL{sqrt2F}
Ввиду того, что $f$ является асимптотическим решением предаточного уравнения \rf{sqrt2transfereq} и его ``эквивалента''
\be
F(z)=\log_b( F(z\!+\!1))
\eL{sqrt2transfereL}
функция $F$ по формуле \rf{sqrt2F} не зависит от числа $M$ слагаемых в правой части уравнения \rf{sqrt2fas}. 
Но при больших $M$, предел в правой части уравнения \rf{sqrt2F} сходится быстрее.
%Разумеется, скорость сходимости предела в правой части уравнения \rf{sqrt2F} растет при увеличении числа $M$. 
\vskip 2mm

Для того, чтобы выполнить условие \rf{sqrt2f01}, тетрацию по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$, то есть $f\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$  можно определить так:
\be
\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(z)=F(x_1\!+\!z)
\eL{sqrt2tetF}
где $x_1 \!\approx\! 1.25155147882219$ есть решение уравнения $F(x_1)\!=\!1$. Читатели приглашаются проверить, что такая тетрация удовлетворяет требованиям, сформулированным в начале главы. Для вещественных значений аргумента, график этой тетрации показан на рисунке \ref{sqrt27a}.
Комплексная карта тетрации по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ представлена на рисунке \ref{sqrt2tetmap}.
\vskip 2mm

\begin{table}[h]
%\caption{Evaluation of coefficients $v$ and $V$ in \rf{sqrt2fas}, \rf{sqrt2ateG} \label{sqrt2tablevV}}
\caption{ Коэффициенты $v$ и $V$ в разложениях \rf{sqrt2fas}, \rf{sqrt2ateG} \label{sqrt2tablevV}}
%\rf{vz}, \rf{tq2L}  \label{sqrt2table1}}
%$a$ in \rf{an} and $c$ in \rf{cn}}
%\label{sqrt2table2} % WARNING! TABLE 1 has label "table2"
\begin{center} \vskip -4pt
\begin{tabular}{rrr}
$n$ & $v_{n}\pS\pS\pS$ & $V_{n}\pS\pS\pS$ \\
% $2^{n}a_{n}\pS\pS\pS$ & $c_{n}\pS\pS\pS$ & $8^{n}d_{n}\pS\pS\pS$ \\
\input{sqrt2table1}
\end{tabular}
\end{center}
\vskip -18pt
\end{table}

\begin{figure}[h]
%\sx{2.24}{\begin{picture}(204,204)
\sx{2.}{\begin{picture}(204,204)
\put(0,0){\ing{sqrt2f21ema}}
\put(6,206){\sx{.8}{$y$}}
\put(6,188){\sx{.8}{$8$}}
\put(6,168){\sx{.8}{$6$}}
\put(6,148){\sx{.8}{$4$}}
\put(6,128){\sx{.8}{$2$}}
\put(6,108){\sx{.8}{$0$}}
\put(-1, 88){\sx{.8}{$-2$}}
\put(-1, 68){\sx{.8}{$-4$}}
\put(-1, 48){\sx{.8}{$-6$}}
\put(-1, 28){\sx{.8}{$-8$}}
\put(24,2){\sx{.8}{$-8$}}
\put(44,2){\sx{.8}{$-6$}}
\put(64,2){\sx{.8}{$-4$}}
\put(84,2){\sx{.8}{$-2$}}
\put(110.5,2){\sx{.8}{$0$}}
\put(130.5,2){\sx{.8}{$2$}}
\put(150.5,2){\sx{.8}{$4$}}
\put(170.5,2){\sx{.8}{$6$}}
\put(190.5,2){\sx{.8}{$8$}}
\put(208.6,2){\sx{.8}{$x$}}
\put(82,182){\rot{90}$u\!=\!3$ \ero}
\put(23,163){\rot{-37}$u\!=\!3.8$ \ero}
\put(16,142){\rot{-9}$u\!=\!4$ \ero}
\put(16,107){\bf cut}
\put(16,73){\rot{9}$u\!=\!4$\ero}
\put(23,49){\rot{37}$u\!=\!3.8$ \ero}
\put(69,18){\rot{86}$u\!=\!3.2$ \ero}
\put(82,18){\rot{90}$u\!=\!3$ \ero}
\put(176,193.6){$v\!=\!0$}
\put(176,150){$u\!=\!2$}
\put(176,107.4){$v\!=\!0$}
\put(176,65){$u\!=\!2$}
\put(176,21.2){$v\!=\!0$}
\put(68,147){$v\!=\!1$}
\put(68,128){$v\!=\!2$}
\put(65,68){$v\!=\!-1$}
\put(110,161){\rot{65}$u\!=\!2.4$\ero}
\put(123,158){\rot{49}$u\!=\!2.2$\ero}
\put(122,114){\rot{40}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(109,84){\rot{36}$u\!=\!1.6$\ero}
\put(120,80){\rot{30}$u\!=\!1.8$\ero}
\put(88,43){\rot{27}$v\!=\!-0.4$\ero}
\put(98,32){\rot{22}$v\!=\!-0.2$\ero}
\end{picture}}
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v= \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)$
\iL{sqrt2tetmap}}
\end{figure}

Тетрация, построенная по формуле
обладает следующими свойствами.  Функция периодична, её период $P$ чисто мнимый, 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P=P(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}})= 
-\frac{2 \pi \mathrm i}{\ln^2(2)}=
-\frac{2 \pi \mathrm i}{\ln(\ln(2)) } \approx  17.14314817935485 \, \mathrm i 
%- 0.36651292058166
\label{sqrt2T}
\label{sqrt2tetP}
\ee
%На всякий случай я 
Напоминаю, что дважды логарифм $\ln^2(2)=\ln(\ln(2))$, но никак не $\ln(2)^2$, в соответствии с декларированными 
%в начале книги 
обозначениями
\footnote{Как уже отмечалось, операции взятия логарифма и ``верхний индекс 2'' не коммутируют, примерно так же, как не коммутируют координата и импульс в Квантовой Механике или как оператор ``царская'' не коммутирует с глаголом ``to vodka''. Если Читатель хоть раз употреблял водку царскую и выжил, то, вероятно, этот читатель сумел отличить её от ``царской водки'', и, таким образом, имеет некоторое представление о некоммутирующих операторах.}.
\vskip 2mm

Как и было заявлено, тетрация $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(z)$ голоморфна в полосе $|\Re(z)|\!\le\! 1$. Область голоморфизма даже существенно шире этой полосы. Тетрация голоморфна во всей комплексной плоскости, за исключением счетного множества точек ветвления и соответствующих разрезов 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\{ z\in \mathnb C \Re(z)\le 2, ~ \Im(z)\!=\!n \Im(P) ~ \mathrm {for ~ integer~} n \}
\{ z\in \mathbb C:  \Re(z)\le 2, ~ \Im(z)\!=\!n \Im(P) ~,~  n\in \mathbb N \}
~ ~ ~ ~
\eL{sqrt2tetCuts}
Вне этих разрезов, тетрация стремится к стационарным точкам логарифма, к двум или к четырем, при увеличении или при уменьшении вещественной части аргумента. 
%Впрочем, это математикам не понятно. А чтобы математикам понять, я напишу проще.
Для 
%любых
вещественных 
%значений
$y$,
\be
\lim_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)&=&2
\eL{sqrt2tetLim1}
и для $y\ne \Im(T) n$, $n\in \mathbb N$,
\be
\lim_{x \rightarrow -\infty} \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)&=&4
\eL{sqrt2tetLim2}
Для вещественных значений аргумента, $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ определена при $x\!>\!-2$. В точке $-2$, функция имеет логарифмическую особенность, как и тетрации по другим основаниям. При б\'oльших значениях аргумента, функция растет от минус бесконечности, проходит, как и тетрации по другим основаниям, через точки $(-1,0)$ и $(0,1)$, и дальше 
%ограниченно 
растет, приближась к своему предельному значению 2 на $+\infty$.
\vskip 2mm

Есть несколько причин, по которым основание  $b\!=\!\sqrt{2}$ особенно интересно.
%Генрик Траппманн просил меня подробно рассмотреть тетрацию именно по основанию $\sqrt{2}$. 
Именно при таком основании обе стационарные точки логарифма выражаются целыми числами. Кроме того, именно при таком основании, график функции на рисунке \ref{sqrt27a} кажется симметричным относительно отражения $x \leftrightarrow -y$. Чтобы подчеркнуть такую иллюзию, на рисунке \ref{sqrt27a} проведена дополнительная прямая $y\!=\!-x$. Эта иллюзия будет более подробно обсуждаться ниже,  так как для её анализа 
%сперва надо построить обратную функцию, то есть арктетрацию. 
нужна обратная функция, то есть арктетрация. 
Комплексная карта арктетрации по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$ показана на рисунке \ref{sqrt2atemap}.
%\vskip 2mm
%Примерно так, как в этой секции строится тетрация, может быть построена также и обратная функция, то естъ арктетрация.
%Построение этой функции 
Её построение описано в следующей секции.

\begin{figure}[t]
%\sx{2.24}{\begin{picture}(204,204)
\sx{2.}{\begin{picture}(204,204)
\put(0,0){\ing{sqrt2f21lma}}
\put(6,206){\sx{.8}{$y$}}
\put(6,188){\sx{.8}{$8$}}
\put(6,168){\sx{.8}{$6$}}
\put(6,148){\sx{.8}{$4$}}
\put(6,128){\sx{.8}{$2$}}
\put(6,108){\sx{.8}{$0$}}
\put(-1, 88){\sx{.8}{$-2$}}
\put(-1, 68){\sx{.8}{$-4$}}
\put(-1, 48){\sx{.8}{$-6$}}
\put(-1, 28){\sx{.8}{$-8$}}
\put(24,2){\sx{.8}{$-8$}}
\put(44,2){\sx{.8}{$-6$}}
\put(64,2){\sx{.8}{$-4$}}
\put(84,2){\sx{.8}{$-2$}}
\put(110.5,2){\sx{.8}{$0$}}
\put(130.5,2){\sx{.8}{$2$}}
\put(150.5,2){\sx{.8}{$4$}}
\put(170.5,2){\sx{.8}{$6$}}
\put(190.5,2){\sx{.8}{$8$}}
\put(208.6,2){\sx{.8}{$x$}}

\put(26,198){$v\!=\!0$}
\put(18,152){\rot{-2}$u\!=\!-2$\ero}
\put(26,107.4){$v\!=\!0$}  \put(176,108){\bf cut}
\put(18,62){\rot{1}$u\!=\!-2$\ero}
\put(26,17){$v\!=\!0$}
\put(96,172){\rot{20}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(106,158){\rot{20}$v\!=\!0.4$\ero}
\put(112,148){\rot{20}$v\!=\!0.6$\ero}
\put(121,139){\rot{20}$v\!=\!1$\ero}
\put(156,167){\rot{37}$u\!=\!-3$\ero}
\put(178,164){\rot{50}$v\!=\!0$\ero}
\put(74,95){\rot{-23}$u\!=\!-1.8$\ero}
\put(87,28){\rot{54}$u\!=\!-2.2$\ero}
\put(113,21){\rot{76}$u\!=\!-2.4$\ero}
\put(132,21){\rot{87}$u\!=\!-2.6$\ero}
\put(137,64){\rot{-79}$u\!=\!-2.8$\ero}
\put(151,51){\rot{-43}$u\!=\!-3$\ero}
\put(175,51){\rot{-48}$v\!=\!0$\ero}
\end{picture}}
\caption{$ u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{sqrt2atemap}}
\end{figure}

\section{Арктетрация по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$}

Для обратной функции от тетрации, используется название арктетрация, по аналогии с арксинусом, арккосинусом и аркбесселем;
минус первая итерация тетрации обозначается символом ate; основание, как и у тетрации или логарифма, указывается в виде нижнего индекса, то есть  $\mathrm{ate}_b=\mathrm{tet}_b^{-1}$. Арктетрация является абельфункцией экспоненты и удовлетворяет уравнению Абеля; для $b\!=\!\sqrt{2}$, это уравнение можно записать так:
\be
G\Big( \Big(\sqrt{2}\Big)^z\Big)=G(z)+1
\eL{sqrt2abeleq}
Одним из решений этого уравнения является арктетрация, $G\!=\!\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$. Чтобы сократить запись основания, в некоторых формулах этой главы, вместо $\sqrt{2}$, я пишу $b$, имея в виду, что $b\!=\!\sqrt{2}$. Комплексная карта арктетрации показана на рисунке
\ref{sqrt2atemap}. В этой секции я рассказываю, как вычисляется эта функция.
\vskip 2mm

Как и другие абельфункции и суперфункции, арктетрацию по основанию $\sqrt{2}$ можно вычислять через её асимптотическое разложение, используя, по мере надобности,  уравнение Абеля, чтобы привести аргумент в область, где асимпототическое разложение обеспечивает хорошую аппроксимацию. Как и для других абельфункций, для построения асимптотического разложения арктетрации $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$ есть два пути.
Во-первых, можно обратить асимптотическое разложение тетрации. Во-вторых, можно ``методом пристального всматривания'' угадать общий вид разложения соответствующей абельэкспоненты и сделать из неё арктетрацию, добавляя к значению абельэкспоненты соответствующую константу, чтобы обеспечить выполнение условия
$\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(1)\!=\!0$.
\vskip 2mm

Каждым из способов, отмеченных выше, можно прийти к 
%следующему 
асимптотическому разложению решения $G$ уравнения Абеля. Пусть
\be
g(z)
%эtilde F_{2,1,N}^{-1}(z)= \frac{1}{\kappa_2}\ds \log\!\left(\frac{1}{s_{2,1}}\sum_{n=1}^{N} V_{n}\cdot (z\!-\!2)^{n}
= \frac{1}{k} \log\!\left(
%\frac{1}{1}
\sum_{n=1}^{M} V_{n}\cdot (z\!-\!2)^{n}
\right).
\label{tq2L}
\eL{sqrt2ateG}
где $V$ суть постоянные коэффициенты. Константа $k=\ln^2(2)$ та же самая, что и в разложении \rf{sqrt2fas}-\rf{sqrt2ve}, см. уравнение \rf{sqrt2k}.
Тогда решение $G$ уравнения Абеля можно представить асимптотически в виде
\be
G(z)=g(z)+O(z\!-\!2)^{M+1}
\eL{sqrt2GO}
Подстановка такого представления в уравнение Абеля дает цепочку уравнений для коэффициентов $V$; в частности, \newcommand \nn {\ln(2)}
\be
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V_{1}=& 1\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V_{2}=& -v_2= \frac{1}{4} \frac{\ln(2)}{1-\ln(2)} &\approx 0.56472283831773236365 \\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V_{3}=&  \frac{\ln(2)^2}{24} \frac {1+2 \nn} {(1-\nn)^{2}(1+\nn)} &\approx 0.29964618138408807683 
%\\ V_{4}=&  \frac{\nn^{3}}{192}  \frac{1+6\nn+5\nn^{2}+6\nn}  {1-\nn-\nn^{2}+\nn^{4}+\nn^{5}-\nn^{6}}  &\approx\! 0.15593239048925425853
\ee 
Приближенные значения коэффициентов $V$ представлены во втором (правом) столбце таблицы \ref{sqrt2tablevV}
\vskip 2mm

С помощью асимптотического разложения \rf{sqrt2ateG}, решение $G$ уравнения Абеля можно выразить как предел
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} 
g\!\left(  \exp_{\sqrt{2}}^{~  ~ n}(z) \right) -n
\eL{sqrt2Glim}
Здесь, под знаком предела, функция $T\!=\!\exp_{\sqrt{2}}$ итерируется $n$ раз.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}[17]{r}{112px}
\begin{wrapfigure}{r}{98px}
%\begin{wrapfigure}{r}{108px}
%\sx{.66}{\begin{picture}(140,350)
\sx{.6}{\begin{picture}(140,370)
\put(20,0){\ing{podmux}}
\put(20,0){\color{white} \rule{140pt}{50pt}}
\end{picture}}
\vskip -38pt
\caption{Девочка 
под мухой 
\label{podmux}}
\end{wrapfigure}

Я надеюсь, выражение ``под знаком предела'', как и выражение ``под знаком интеграла'' или более свойственное русскому языку выражение ``под мухой''  будет понято не буквально (см. рисунок \ref{podmux}), а в соответствии со здравым смыслом. Если последние два выражения можно заменить синонимами ``интегранд'' и, соответственно,  ``в состоянии алкогольного опьянения'', то для того, что пишут после знака $\lim$, нет устойчивого обозначения. \footnote{Я бы предложил термин ``лимитант'' или даже ``лимитчик'', но пока такие термины трудно назвать устоявшимися.
% в научной и околонаучной литературе. Тем более, что 
К тому же, в странах с рабовладельческим строем и паспортной системой прописок (и приписок), термин ``лимитчик'' может иметь иной смысл и обозначать подданного, которому в обмен на специальные услуги, милостью
% ивой волей 
начальства разрешили осуществить его (или её) конституционное право выбора места проживания.}
Поэтому мне приходится писать ``под знаком предела'', в надежде, что читатель 
%не лыком шит и 
разберется, где право, где низ и где предел.
\vskip 2mm

Для того, чтобы сделать арктетрацию, $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$, следует учесть не только асимптотические свойства тетрации по такому основанию, но и её значение в единице. Попросту, к значению функции надо добавить соответствующую константу, то есть
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!
\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z)=G(z) \!-\! G(1)\approx G(z) \!-\! 1.25155147882219
\label{sqrt2GG1}
\eL{q2G1}
с тем, чтобы выполнялось условие $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(1)=0$. 
В работе \cite{sqrt2}, такая арктетрация обозначена символом ${F_{2,1}}^{-1}$; константа $2$ в индексе указывает на стационарную точку передаточной функции, в которой строится регулярная итерация, а константа $1$ указывает на значение суперфункии в нуле. Как обычно, верхний индекс $-1$ указывает минус первую итерацию функции, то есть обратную функцию.
\vskip 2mm

На комплексной карте арктетрации на рисунке \ref{sqrt2atemap} видна её периодичность.
Эта периодичность следует из выражения такой арктетрации через предел \rf{sqrt2Glim}.
%, эта функция периодична.
Период $P$ определяется 
%арктетрации 
периодом экспоненты по основанию 
$\sqrt{2}$, то есть
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P\!=\!P(\mathrm{ate}_{\sqrt{2}})\!=\!\frac{4 \pi \mathrm i}{\ln(2)} \!\approx 18.129440567308775239 \, \mathrm i
\eL{sqrt2ateP}
На рисунке \ref{sqrt2atemap}, изолинии воспроизводятся при трансляциях вдоль оси ординат на $\Im(P)$. Кроме того, ввиду вещественного голоморфизма арктетрации, карта симметрична по отношению к отражениям относительно оси абсцисс. Таким образом, кроме оси абсцисс, имеется счетное множество горизонтальных линий уровня, где
мнимая часть арктетрации равна нулю; две такие линии $y\!=\!\pm \Im(P)/2\approx \pm 9.068$ умещаются на карте, показанной на рисунке. Сингулярности (точки ветвления) и соответствующие разрезы арктетрации по основанию $\sqrt{2}$ тоже воспроизводятся при таких трансляциях.
\vskip 2mm

Область значений $z$, в которoй выполнено тождество 
\be
\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z))=z
\eL{sqrt2tetatez}
показана на рисунке \ref{sqrt2tetate}. %\ref{tetate}
Рисунок представляет собой комплексную карту функции в левой части уравнения \rf{sqrt2tetatez}, и, в области применимости этого уравнения, уровни постоянной вещественной части функции и уровни постоянной мнимой её части параллельны координатным осям. Однако, в силу периодичности функции  $\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}$, соотношение \rf{sqrt2tetatez} не может выполняться для всей комплексной плоскости. Это общее правило: если голоморфная функция принимает какое - либо значение хотя бы в паре различных значений аргумента, то обратная функция не может угадать, которое из возможных значений возвращать, и область ``обратности'' этой функции ограничена. Для того, чтобы лучше указать границы области применимости соотношения  \rf{sqrt2tetatez},  на той же карте рисунка  \ref{sqrt2tetate} проведены ещё линии уровня
\be
\Im\Big( \exp_{\sqrt{2}}^n (x\!+\!\mathrm i y)\Big)=\pm \frac{|P|}{2}=\pm \frac{2\, \pi}{\ln(2)}
\eL{sqrt2en}
для целых $n$ от нуля до четырех включительно.Такие линии ограничивают границы области применимости соотношения \rf{sqrt2tetatez}.
%В правой части карты, и особенно в окрестности вещественной оси, линии  \rf{sqrt2en} орбазуют достаточно сложную и путанную структуру; там соотношение \rf{sqrt2tetatez} не выполняется. 
\vskip 2mm

\begin{figure}[h]
\sx{2}{\begin{picture}(204,204) 
%\sx{2}{\begin{picture}(204,196) 
\put(0,0){\ing{sqrt2tetatema}}
\put(0,0){\ing{sqrt2tetatemb}}
\put(6,206){\sx{.8}{$y$}}
\put(6,188){\sx{.8}{$8$}}
\put(6,168){\sx{.8}{$6$}}
\put(6,148){\sx{.8}{$4$}}
\put(6,128){\sx{.8}{$2$}}
\put(6,108){\sx{.8}{$0$}}
\put(-1, 88){\sx{.8}{$-2$}}
\put(-1, 68){\sx{.8}{$-4$}}
\put(-1, 48){\sx{.8}{$-6$}}
\put(-1, 28){\sx{.8}{$-8$}}
\put(24,2){\sx{.8}{$-8$}}
\put(44,2){\sx{.8}{$-6$}}
\put(64,2){\sx{.8}{$-4$}}
\put(84,2){\sx{.8}{$-2$}}
\put(110.5,2){\sx{.8}{$0$}}
\put(130.5,2){\sx{.8}{$2$}}
\put(150.5,2){\sx{.8}{$4$}}
\put(170.5,2){\sx{.8}{$6$}}
\put(190.5,2){\sx{.8}{$8$}}
\put(208.6,2){\sx{.8}{$x$}}

\put(26,107.4){$v\!=\!0$} 
\put(176,108){\bf cut}
\put(115,57.4){\rot{90}$u\!=\!0$\ero} 
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))$ \iL{sqrt2tetate}}
\vskip -12pt
\end{figure}

Свойства арктетрации по основанию $\sqrt{2}$ позволяет анализировать иллюзию симметрии графика на рисунке \ref{sqrt27a}, график 
$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$
выглядит симметричным по отношению к отражению относительно прямой $y\!=\!-x$. Такая приближенная симметрия означает, что для $x>-2$, имеет место соотношение
\be
\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x) &\approx& - \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x) ~ ~ ~
\eL{sqrt2approx}
Точное равенство в этом соотношении не имеет места (кроме нескольких специальных точек), так как период функции в левой части формулы \rf{sqrt2tetP}
$P\!\approx\! 17.143 \, \mathrm i$, а период функции в правой части формулы \rf{sqrt2ateP} $P\!\approx\! 18.129 \, \mathrm i$, то есть почти на $\mathrm i$ длиннее. Две голоморфные функции с несовместимой периодичностью не могут точно совпадать на отрезке конечной длины. 
\vskip 2mm

В 2009-2010 годax, приближенная симметрия графика на рисунке \ref{sqrt27a} вызвала дискуссию. 
%Чтобы убедить упертых оппонентов, 
%нам с Генриком пришлось представить ещё пару независимых доказательств того, 
Чтобы убедить упертых оппонентов, 
%не знакомыми с основами матана, 
нам с Генриком пришлось представить 
иные доказательства того, что симметрия \rf{sqrt2approx} лишь приближенная. \footnote{
Для тех, кто про мнимую единицу и свойства голоморфных функций знает лишь понаслышке (если вообще), Генрик и я придумали каждый по одному независимому доказательству, эти доказательства вообще не используют формализм теории функций комплексного переменного. Оба доказательства представлены в работе \cite{sqrt2}. } 
Я не повторяю здесь длинный и тернистый исторический путь к формализму суперфункций, но приведу график, на котором показано отклонение
\be
\mathrm{devi}(x)=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x) + \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)
\eL{sqrt2simdevi}
характеризующее приближенность соотношения \rf{sqrt2approx}. График $y=\mathrm{devi}(x)$ 
показан на рисунке \ref{sqrt2ansus}. Отклонение оказалась порядка $10^{-3}$, то есть ``симметрия'' \rf{sqrt2approx} держится всего лишь с тремя значащими цифрами. При сильном зумине отклонение $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ от  $-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)$ можно было бы увидеть даже на рисунке \ref{sqrt27a}.
Для сравнения, на рисунке \ref{sqrt2ansus} сплошной кривой показана также зависимость
\be
y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))+x
\ee
При точной симметрии, эта кривая тоже легла бы на ось абсцисс.
\begin{figure}

%\sx{4.8}{\begin{picture}(100,61.0)
\sx{4.1}{\begin{picture}(100,61.0)
\put(0,0){\ing{sqrt27b}}
\put(17,58.6){\sx{.36}{$y$}}
%\put(60,48){\sx{.4}{$y=F_{2,1}(x)+F_{2,1}^{-1}(\!-x)$}}
%\put(48, 8){\sx{.4}{$y=F_{2,1}(-F_{2,1}(x))+x$}}
\put(46,48){\sx{.4}{$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)+\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(\!-x)$}}
\put(47, 8){\sx{.4}{$y=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))+x$}}
%\put(184,600){\sx{3.3}{$2$}}
\put(12.3,50.0){\sx{.33}{$0.01$}}
\put(10.0,30.0){\sx{.33}{$-0.01$}}
\put(10.0,20.0){\sx{.33}{$-0.02$}}
\put(10.0,10.0){\sx{.33}{$-0.03$}}
%\put(160,  0){\sx{3.3}{$-4$}}
\put( -1,37.4){\sx{.33}{$-2$}}
\put( 9.0,37.4){\sx{.33}{$-1$}}
\put(30.2,37.4){\sx{.33}{$1$}}
\put(40.3,37.4){\sx{.33}{$2$}}
\put(50.3,37.4){\sx{.33}{$3$}}
\put(60.3,37.4){\sx{.33}{$4$}}
\put(70.4,37.4){\sx{.33}{$5$}}
\put(80.4,37.4){\sx{.33}{$6$}}
\put(90.4,37.4){\sx{.33}{$7$}}
\put(100.,37.6){\sx{.36}{$x$}}
%\put(603,377){\sx{3.4}{$4$}}
%\put(60.0,42.0){\sx{.42}{$x$}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
%\caption{approximate character of symmetry \rf{sqrt2approx} \label{sqrt2ansus} \iL{sqrt27b}}
\caption{\large Приближенный характер ``симметрии'' \rf{sqrt2approx} рисунка \ref{sqrt27a}: $y\!=\!\mathrm{devi}(x)$ 
по формуле \rf{sqrt2simdevi}
\label{sqrt2ansus} \iL{sqrt27b}}
\vskip 4pt
\end{figure}
\vskip 2mm

Схожесть функций $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$ и $y\!=\!-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(-x)$ для вещественных $x$ может показаться случайной, хотя для этого есть серьезные предпосылки. Все тетрации по основанию $b\!>\!1$ имеют логарифмическую особенность точке $-2$, их графики имеет вертикальную асимптоту $x\!=\!-2$. Кроме того, графики для всех тетраций проходят череез точки $(-1,0)$ и $(0,-1)$. Кроме того, при $b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$, эти графики имеют горизонтальную асимптоту, соответствующую экспоненциальному стремлению тетрации к наименьшей из вещественных стационарных точек экспоненты. 
То, что эта асимптота оказалась на уровне $y\!=\!2$, есть следствие выбора основания $b\!=\!\sqrt{2}$, использованного в статье \cite{sqrt2} и в этой Книге для иллюстрации свойств тетрации 
%по основанию от единицы до 
при $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$.
\vskip 2mm

Читателям в качестве упражнения предлагается построить ещё хотя бы одну голоморфную функцию, график которой проходил бы через точки
$(-1,0)$ и 
$(-0,1)$, и экспоненциально приближался к вертикальной асимптототе $x\!=\!-2$ и горизонтальной асимптоте $y\!=\!2$. И посмотреть, насколько график такой функции похож на график тетрации по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. Такие упражнения чрезвычайно полезны при анализе результатов наблюдений или численных экспериментов.
Во многих случаях, удачный выбор голоморфной функции с требуемыми (наблюденными в экспериментах) свойствами существенно уменьшает количество параметров в модели и, соответственно, улучшает её предсказательную способность.
%\footnote{Однажды %в одном научном центре 
%коллеги попросили помочь параметризовать комплексную восприимчивость воды как функцию частоты. В качеств затравки предлагалось использовать два полинома, для вещественной и для мнимой части восприимчивости. Оказалось, что комплексная восприимчивость может быть аппроксимирована голоморфной функцией в виде суммы всего нескольких лоренцевских колокольчиков; при этом, требуемая точность достигалась при существенно меньшем количестве параметров.
%, а фитирующая функция воспроизвела (хотя и менее точно) даже те пики поглощения, которые лежали вне области частот, для которых производилось фитирование. Этот пример показывает, что хорошая модель может использоваться не только для интерполяции, но и для экстраполяции. Разумеется, если целью исследования является получение грантов на какую-либо псевдонауку, например, для предсказания катастрофического глобального потепления или, наоборот, похолодания (что для получения грантов почти эквивалентно глобальному потеплению), то полиномиальная аппроксимация может использоваться, чтобы гнать пургу.
%}
\vskip 2mm

В этой секции описано построение арктетрации. По крайней мере в окрестности полупрямой $z\!<\!2$ имеет место соотношение \rf{sqrt2tetatez}, и в этой области тетрация и арктетрация могут использоваться для нецелого итерирования экспоненты. Это итерирование рассмотрено в следующей секции.

\section{Снова итерирую экспоненту по основанию $\sqrt{2}$}

Итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ рассматривались в главе 9 для больших значений вещественной части аргумента.
Здесь итерации этой экспоненты рассмотрены для малых и отрицательных значений аргумента. Я покажу, что такие итерации похожи, но 
%совсем 
не эквивалентны.
\vskip 2mm

``Регулярная итерация'' функции регулярна в окрестности стационарной точки,
на которой она строится. 
%этой функции, 
Но эта итерация обычно не регулярна 
%(ветвится) 
в других стационарных точках этой функции. 
%В качестве иллюстрации этого правила, в этой секции рассмотрена половинная итерация экспоненты по основанию $b\!=\!\sqrt{2}$. 
\vskip 2mm

Итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ можно строить на основе неограниченно растущей суперфункции $F\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},4}$ по формулам \rf{q2Fz4tilde20},\rf{sqrt2regi45},\rf{Ff45}.
Такие итерации показаны на рисунке \ref{iterEq2plot}.
%Такие итерации показаны на рисунке \ref{iterEq2map}.
%\ref{Esqrt2ite12Map}.
%dima
%Такую половинную итерацию можно строить на основе растущей суперэкспоненты, рассмотренной в главе 3. 
%\be \exp_{\sqrt{2},4}^{~ ~ 1/2}(z)= F_{1,4}\left( \frac{1}{2}+ G_{1,4}(z)\right) \eL{sqrt2exp24}
%Карта такой половиннои и
\vskip 2mm

Однако итерации  экспоненты по такому основанию можно строить также на основе тетрации, описанной в этой главе,
\be
\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ ~ n}(z)= \mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\left( n+ \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z)\right)
\eL{sqrt2exptet}
где символы ``,d'' в индексе указывают, что для построения суперэкспоненты (тетрации) использована меньшая из вещественных стационарных точек экспоненты. Такие итерации экспоненты представлены на рисунке \ref{sqrt2eitet}.
\vskip 2mm

\begin{figure}
%\sx{.16}{ \begin{picture}(1446,1446) 
\sx{.29}{ \begin{picture}(1446,1446) 
%\put(10,10){\ing{IterPowPlot}} 
\put(40,40){\ing{Itereq2tlo}} 
\put(4,1420){\sx{4.4}{$y$}} 
\put(04,1333){\sx{4}{$6$}} 
\put(04,1233){\sx{4}{$5$}} 
\put(04,1133){\sx{4}{$4$}} 
\put(04,1033){\sx{4}{$3$}} 
\put(04, 933){\sx{4}{$2$}} 
\put(04, 833){\sx{4}{$1$}} 
\put(04, 733){\sx{4}{$0$}} 
\put(-24, 632){\sx{4}{$-1$}} 
\put(-24, 532){\sx{4}{$-2$}} 
\put(-24, 432){\sx{4}{$-3$}} 
\put(-24, 332){\sx{4}{$-4$}} 
\put(-24, 232){\sx{4}{$-5$}} 
\put(-24, 132){\sx{4}{$-6$}} 
\put(100,0){\sx{4}{$-6$}} 
\put(200,0){\sx{4}{$-5$}} 
\put(300,0){\sx{4}{$-4$}} 
\put(400,0){\sx{4}{$-3$}} 
\put(500,0){\sx{4}{$-2$}} 
\put(600,0){\sx{4}{$-1$}} 
\put(730,0){\sx{4}{$0$}} 
\put(830,0){\sx{4}{$1$}} 
\put(930,0){\sx{4}{$2$}} 
\put(1030,0){\sx{4}{$3$}} 
\put(1130,0){\sx{4}{$4$}} 
\put(1230,0){\sx{4}{$5$}} 
\put(1330,0){\sx{4}{$6$}} 
\put(1422,0){\sx{4}{$x$}} 
\put( 66,930){\sx{5.5}{\rot{0}$n\!\rightarrow + \infty$\ero}}
\put( 66,830){\sx{5.5}{\rot{1}$n\!=\!2$\ero}}
\put( 66,736){\sx{5.5}{\rot{3}$n\!=\!1$\ero}}
\put( 78,618){\sx{5.5}{\rot{5}$n\!=\!0.5$\ero}}
\put( 96,522){\sx{5.5}{\rot{11}$n\!=\!0.3$\ero}}
\put(116,448){\sx{5.5}{\rot{16}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(142,344){\sx{5.5}{\rot{25}$n\!=\!0.1$\ero}}
\put(212,190){\sx{5.8}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}}
\put(362,100){\sx{5.5}{\rot{64}$n\!=\!-0.1$\ero}}
\put(470, 60){\sx{5.5}{\rot{73}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(606, 50){\sx{5.5}{\rot{82}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(770, 50){\sx{5.5}{\rot{86}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(866, 50){\sx{5.5}{\rot{88}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(964, 50){\sx{5.5}{\rot{90}$n\!\rightarrow -\infty$\ero}}
\put(1222,1298){\sx{5.5}{\rot{74}$n\!=\!2$\ero}}
\put(1255,1288){\sx{5.5}{\rot{64}$n\!=\!1$\ero}}
\put(1302,1282){\sx{5.5}{\rot{44}$n\!=\!0$\ero}}
\put(1272,1208){\sx{5.5}{\rot{24}$n\!=\!-1$\ero}}
\end{picture} }\caption{ $y\!=\! \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ n}(x)$ для различных $n$
%справа: $u\!+\!\mathrm i v\!=\! \exp_{\sqrt{2},2}^{~ 1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ 
\iL{sqrt2eitet}}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
%\raisebox{-4pt}{ 
%\sx{1.11}{\begin{picture}(280,205)
\sx{1.82}{\begin{picture}(280,205)
\put(0,0){\ing{sqrt26cuts}}
\put(0,0){\ing{sqrt26a}}
\put(6,207.7){\sx{.7}{$y$}}
\put(6,187.8){\sx{.7}{$8$}}
\put(6,167.8){\sx{.7}{$6$}}
\put(6,147.7){\sx{.7}{$4$}}
\put(6,127.7){\sx{.7}{$2$}}
\put(6,107.7){\sx{.7}{$0$}}
\put(0, 87.7){\sx{.7}{$-2$}}
\put(0, 67.6){\sx{.7}{$-4$}}
\put(0, 47.6){\sx{.7}{$-6$}}
\put(0, 27.5){\sx{.7}{$-8$}}
\put(3, 2){\sx{.7}{$-10$}}
\put( 27,2){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 47,2){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 67,2){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 87,2){\sx{.7}{$-2$}}
\put(111,2){\sx{.7}{$0$}}
\put(131,2){\sx{.7}{$2$}}
\put(151,2){\sx{.7}{$4$}}
\put(171,2){\sx{.7}{$6$}}
\put(191,2){\sx{.7}{$8$}}
\put(211,2){\sx{.7}{$x$}}
%\put( 27,127){\sx{3}{$\exp_{b,2}^{[1/2]}$}}
\put(23,198.6){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\put(33.7,92){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!-1.2$}\ero}
\put(59.6,96){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!-1$}\ero}
\put(102,98){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!0$}\ero}
\put(122,99){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!1$}\ero}
\put(136,99){\rot{90}\sx{.9}{$u\!=\!2$}\ero}
\put(215,207){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,199){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,192){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,184){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,175){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215,108){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(87,145){\rot{-44}\sx{.9}{$v\!=\!1$}\ero}
\put(61,122){\rot{-15}\sx{.8}{$v\!=\!0.2$}\ero}
\put(63,108){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\put(62, 94){\rot{13}\sx{.8}{$v\!=\!-0.2$}\ero}
\put(215, 42){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215, 33){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215, 25){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(215, 17){\sx{.8}{\bf cut}}
%\put(-23, 17){\sx{1.}{$q\!=0$}}
\put(215, 10){\sx{.8}{\bf cut}}
\put(23,17){\sx{.9}{$v\!=\!0$}}
\end{picture}}
%}
\caption{ %Слева: $y\!=\! \exp_{\sqrt{2},2}^{~ n}(x)$ для различных $n$; 
%справа: 
$u\!+\!\mathrm i v\!=\! \exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x\!+\!\mathrm i y)$ \iL{sqrt2q2map}}
\end{figure}

На рисунке \ref{sqrt2eitet} показаны итерации $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{ ~ n}$ 
по формуле \rf{sqrt2exptet} как функции вещественного аргумента для различных значений номера итерации $n$. Эти графики 
%вполне 
аналогичны графикам рисунка \ref{iterEq2plot}, где показаны итерации, построенные на стационарной точке 4. По крайней мере толстые кривые, соответствующие целым значениям $n$, на этих картинках одни и те же (и они действительно строятся по тем же формулам). 
\vskip 2mm

Графики на рисунках  \ref{sqrt2eitet} и \ref{iterEq2plot} похожи, и даже
для нецелых итераций, линии, построенные на стационарной точке 4, кажутся продолжениями линий для итераций, построенных на стационарной точке 2, то есть на основе тетрации и арктетрации по основанию $\sqrt{2}$. В области $2\!<\!x\!<\!4$, где оба представления имеют смысл, кривые для обоих таких представлений кажутся совпадающими. Я строил эти кривые на одном и том же графике, и зуммировал как только мог, но мне не удалось увидеть отличие. 
%Для половинной итерации ($n\!=\!1/2$) сравнение показано на рисунке \ref{sqrt2srav}. 
Такое совпадение казалось странными, контр-интуитивным и интересным. Две различные голоморфные функции не могут тождественно совпадать на отрезке конечной длинны. Если они совпали на отрезке, то они должны совпадать и во всей связной области голоморфизма. 
\vskip 2mm

В качестве примера я рассмотрел половинную итерацию. Для верхней стационарной точки, карта половинной итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$ показана на рисунке \ref{iterEq2map}. Для нижней стационарной точки, такая карта показана на рисунке 
\ref{sqrt2q2map}. Эти карты далеко не тождественны. В частности,
лишь вторая из этих функций периодична (с периодом $4 \pi \mathrm i /\ln(2)\!\approx\! 18.12944 \, \mathrm i$).
При этом, в окрестности отрезка (2,4) на вещественной оси, эти карты похожи. Настолько же похожи графики этих половинных итераций для вещественного аргумента; эти графики сравниваются на рисунке \ref{sqrt2srav}.

%Чтобы увидеть это, на правых картинках рисунков построены комплексные карты обоих половинных итераций экспоненты, для стационарной точки 4 на рисунке  \ref{iterEq2plot}  и для стационарной точки 2 на рисунке  \ref{sqrt2eitet}. Эти функции явно различны; и лишь вторая из них периодична (с периодом $P=4 \pi/\ln(2)\approx 18.12944 \, \mathrm i$). 

\begin{figure}[t]
%\sx{4}{\begin{picture}(146,74) 
\sx{3.4}{\begin{picture}(146,78) 
\put(0,0){\ing{sqrt26plo}} 
\put(61,76.7){\sx{.4}{$y$}}
\put(61,70.7){\sx{.4}{$6$}}
\put(61,60.7){\sx{.4}{$5$}}
\put(61,50.7){\sx{.4}{$4$}}
\put(61,40.6){\sx{.4}{$3$}}
\put(61,30.6){\sx{.4}{$2$}}
\put(61,20.6){\sx{.4}{$1$}}
\put(61,10.6){\sx{.4}{$0$}}
\put(10,6){\sx{.4}{$-5$}}
\put(20,6){\sx{.4}{$-4$}}
\put(30,6){\sx{.4}{$-3$}}
\put(40,6){\sx{.4}{$-2$}}
\put(50,6){\sx{.4}{$-1$}}
\put(63,6){\sx{.4}{$0$}}
\put(73,6){\sx{.4}{$1$}}
\put(83,6){\sx{.4}{$2$}}
\put(93,6){\sx{.4}{$3$}}
\put(103.1,6){\sx{.4}{$4$}}
\put(113.1,6){\sx{.4}{$5$}}
\put(121.6,6){\sx{.4}{$x$}}
\put(80.6,66){\sx{.5}{$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x)$}}
\put(24,16){\sx{.5}{$y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x)$}}
\put(90,15.6){\sx{.5}{$y\!=\!10^{24}D(x)$}}
\end{picture}}
\caption{Сравнение половинных итераций экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, построенных на стационарной точке 2 (пунктир) и на стационарной точке 4 (солидная курва). В интервале от двух до четырех показана разница между этими двумя функциями по формуле 
%\rf{sqrt2F}, 
\rf{sqrt2D}, 
умноженная на фактор $10^{24}$. \iL{sqrt2srav}}
\end{figure}
\vskip 2mm

Я был в недоумении по поводу одинакового поведения половинных итераций вдоль отрезка $(2,4)$ и различного поведения этих функций в комплексной плоскости. Я склонялся к мысли о том, что я допустил ошибку, поскольку я верю в результаты 
%Теории Голоморфных Функций (или 
ТФКП (Теория Функций Комплексного Переменного), а ещё больше - в аксиомы арифметики, на которых строится матан и, в частности, ТФКП. Мне было трудно себе представить, что я нащупал след некого гипотетического {\em Числа Мизугадро}
\footnote{\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml} Число Мизугадро}, для которого проявляется внутренняя противоречивость аксиом арифметики.
В качестве рабочей гипотезы я предположил, что точности рассчетов с переменными 
complex double недостаточно, чтобы увидеть различие между функциями 
$\exp_{\sqrt{2},d}^{~ 1/2}$ по формуле \rf{sqrt2exptet} и 
$\exp_{\sqrt{2},u}^{~ 1/2}$ по формуле \rf{Eq2T12}. Я начал считать итерации с сотней значащих цифр, точные формулы такое позволяют. 
%Выяснилось, что достаточно увеличить точность вдвое, то есть считать функции примерно с 30 значащими цифрами (вместо обычных 15 знаков), чтобы увидеть отличие. 
Отличие оказалось в 25м знаке. Это отличие можно выразить функцией 
\be
%D(x)=10^{24} \Big( \exp_{\sqrt{2},4}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},2}^{~ 1/2}(x) \Big)$
D(x)= \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x) 
\eL{sqrt2D}
Это отличие показано в нижней части рисунка \ref{sqrt2srav}. Чтобы график функции $D$ не сливался с осью абсцисс, 
значения этой функции пришлось масштабировать на 24 порядка величины.
\vskip 2mm

%Для построения рисунка \ref{sqrt2srav}  использовался софтвер ``Мапле'' (xотя мог бы и Математика). Графические возможности в маплях паршивые (этому посвящена поэма ``Maple and tea''), но я импортировал таблицу, посчитанную в маплях, в C++, для которого у меня есть красивые графические процедуры. На рисунке \ref{sqrt2srav} показан случай половинной итерации функции $\exp_{\sqrt{2}}$. Половинная итерация, построенная на стационарной точке 2, проведена пунктиром, $y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x)$. Эта итерация, $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(z)$, регулярна по крайней мере в некоторой окрестности полупрямой $z\!<\!4$.  Половинная итерация, построенная на стационарной точке 4, проведена чуть более тонкой прямой,  $y\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x)$. Эта итерация, то есть $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(z)$, регулярна по крайней мере в некоторой окрестности полупрямой $z\!<\!4$. Как уже отмечено выше, на отрезке $2\!<\!x\!<\!4$, обе итерации регулярны и весьма близки. Чтобы увидеть, насколько они близки, тонкой курвой показана разница
%\be
%D(x)=10^{24} \Big( \exp_{\sqrt{2},4}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},2}^{~ 1/2}(x) \Big)$
%D(x)= \exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~ 1/2}(x) -  \exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~ 1/2}(x) 
%\eL{sqrt2D}
Для значений $|z|\!<\!2$, функцию $D(z)$ можно аппроксимировать семипараметрическим фитом
\be\!\!
\tilde D(z) \!=\!
2.48\!\cdot\!10^{-25}(z\!-\!2)(4\!-\!z)\Big(
1+0.120(z\!-\!3)+0.006(z\!-\!3)^2\Big) \!\times  \! \nonumber
%\pS
\\ %\pS 
\!\!\!\!
\sin\!\!\Big(.747\!-\!.068(z\!-\!3)\!+\!0.007(z\!-\!3)^2\!+\! p_{4}\ln(4\!-\!z) \!+\! p_{2}\ln(z\!-\!2) 
\Big) ~ ~ ~ ~\,
% \end{array}
\label{cDa}
\label{sqrt2Dfit}
\ee
где $p_4= 2 \pi / {\ln(2 \ln(2))} \!\approx\! 19.23614904204285$\\% 4712$ \\
и ~ $p_2=\!-2 \pi /\ln^2(2) ~\approx ~ 17.14314817935485$ \\
соответствуют периодам суперфункций от $\exp_{\sqrt{2}}$, построенным на стационарных точках 4 и 2,
см. формулы \rf{q2k4}, \rf{q2P4} и \rf{sqrt2tetP}. 
Такой фит неплох: по крайней мере, на рисунке \ref{sqrt2srav}, даже при зумине на 24 порядка величины,
кривые для $D$ и $\tilde D$ почти сливаются. 
Вероятно, фит \ref{sqrt2Dfit} можно ещё улучшить; читателям предлагается сделать это в качестве самостоятельного упражнения.
%Потом я изготовил аппрохкимацию, фит, который по крайней мере с двумя значащими цифрами оценивает это отклонение
\vskip 2mm

После построения графиков на рисунке \rf{sqrt2srav}, я осознал, что это первый случай в моей практике, когда точности ``double'' оказалось недостаточно для того, чтобы нарисовать красивые (``camera-ready'') рисунки для научной статьи. Случай
%, в общем-то, 
поучительный: никакая точность численных 
рассчетов
%расчетов
не может считаться 
достаточным
основанием для математических конжекций; уповать приходится на доказательства, здравый смысл и, конечно, аксиомы ТОРИ.
\vskip 2mm

В защиту графических процедур, использующих переменные ``double'' и ``complex double'' 
(работающих с точностью порядка 15и значащих цифр), упомяну софтвер ``Maple-10''. Среди графических опций этого софта, мне не удалось найти графики с точностью лучше, чем ``float'', то есть примерно с семью десятичными значащими цифрами. Использование этого софтвера для серьезного асимптотического анализа и численной проверки получающихся разложений может приводить к конфузиям. Примеры того, какая ерунда при этом может получаться вместо графиков даже сравнительно простых функций, предложены в рисунках к поэме ``Maple and tea''
\footnote{\url{http://en.wikisource.org/wiki/Maple_and_Tea},\\ \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/maple.shtml} Maple and tea}. К сожалению, мне пока не удалось перевести эту поэму на русский язык. Если Россия не прекратит свое существование в течение ближайших лет (многие авторы, уже который год, предсказывают распад РФ ``в следующем году'' с завидным постоянством), а Мапле не исправится в последующих версиях, перевод этой поэмы на русский язык может представлять интерес и составить предмет будущего исследования.
\vskip 2mm

%В этой секции показано, что и
Итерация функции, регулярная в какой-либо её стационарной точке, может быть 
%очень даже 
сингулярной в другой стационарной точке. При этом, для вещественных значений аргумента, такие различные итерации могут быть весьма похожи. На начало 21 века, даже самые прецизионные измерения не дают точности в 24 значащих цифры. В этом смысле, для многих физических приложений суперфункций и нецелых итераций, может быть не очень существенным, на какой из стационарных точек построена итерация. Разумеется, в каждом случае практического использования нецелых итераций голоморфной функции, желательно проверить, что используется именно та итерация, которая соответствует физически-осмысленному решению, или что разница между итерациями, построенными на разных стационарных точках, не превышает погрешности измерений. (Тогда можно ожидать, что паромы не будут тонуть, наскочив на рифы, реакторы не будут взрываться, а премьер-министрам не прийдется публично каяться и уходить в отставку перед лицом 
%многотысячной 
толпы разгневанных сограждан.) 
\vskip 2mm

Таким образом, для каждой передаточной функции, может существовать несколько осмысленных суперфункций. Выбор наиболее подходящей из них должен осуществляться на основе дополнительных соображений, специфичных для каждого приложения. Для случая экспоненциальной передаточой функции $\exp_{\sqrt{2}}$, четыре наиболее физичных суперфункции представлены на рисунке  \ref{sqrt2sufuplot} и рассмотрены в следующей секции.

\begin{figure}[t]
%\sx{2.46}{\begin{picture}(146,142) 
\sx{2.1}{\begin{picture}(146,142) 
%\put(10,10){\ing{IterPowPlot}} 
%\put(40,40){\ing{Itereq2tlo}} 
\put(0,0){\ing{sqrt23}} 
\put(95,139){\sx{.7}{$y$}}
\put(95,119){\sx{.6}{$8$}}
\put(95, 99){\sx{.6}{$6$}}
\put(95, 79){\sx{.6}{$4$}}
\put(95, 59){\sx{.6}{$2$}}
\put(91, 19){\sx{.6}{$-2$}}
\put( 17,35){\sx{.6}{$-\!8$}}
\put( 37,35){\sx{.6}{$-\!6$}}
\put( 57,35){\sx{.6}{$-\!4$}}
\put( 77,35){\sx{.6}{$-\!2$}}
\put(120,35){\sx{.6}{$2$}}
\put(140,35){\sx{.6}{$4$}}
\put(160,35){\sx{.6}{$6$}}
\put(180,35){\sx{.6}{$8$}}
\put(198,35){\sx{.7}{$x$}}
%
\put(110,93){\sx{.6}{$y\!=\!F_{4,5}(x)\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(x)$}}
%\put(116, 88){\sx{.7}{$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$}}
\put(126, 69){\sx{.6}{$y\!=\!F_{2,3}(x)$,  $y\!=\!F_{4,3}(x)$}}
\put(126, 54){\sx{.6}{$y\!=\!F_{2,1}(x)\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x)$}}
%\put(108, 44){\sx{.7}{$y\!=\!10^{24}w(x)$}}
%\enp}
\put(126,44){\sx{.6}{$y\!=\!10^{24} d_{42}(x)$}}
\end{picture}}
\vskip -6pt
\caption{\large Четыре суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$ \iL{sqrt2sufuplot}}
\end{figure}

\section{Четыре суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$}

На основе предыдущего рассмотрения, можно выделить четыре ве\-щест\-венно-голоморфные суперфункции от функции $\exp_{\sqrt{2}}$.
Эти суперфункции показаны на рисунке \ref{sqrt2sufuplot} и обсуждаются ниже.
\vskip 2mm
 
Функция $F_{2,1}\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$ есть тетрация по основанию $\sqrt{2}$, та же, что и на рисунке \ref{sqrt27a}. Её свойства рассмотрены в этой главе в предыдущих параграфах.
Это суперфункция экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, построенная на стационарной точке 2. В нуле эта функция принимает значение единица.
\vskip 2mm

Функция $F_{4,5}\!=\!\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ относится к формуле \rf{Ff45}, с помощью этой функции и соответствующей абельэкспоненты $F_{4,5}^{-1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ 
строятся итерации экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, неограниченно растущие вдоль вещественной оси. Стационарная точка 4 использована в качестве асимптотического значения на минус бесконечности.  С помощью трансляции вдоль вещественной оси, обеспечено условие 
$F_{4,5}(0)=5$.
\vskip 2mm

Функция $F_{2,3}$ есть тетрация со сдвинутым аргументом, 
\be
F_{2,3}(z)=\tet_{\sqrt{2}}(z\!+\!z_{2,3})
\ee
\be
z_{2,3}=\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(3\!+\!\mathrm i o)\approx -3.3834692659172254+8.5715740896774228\,\mathrm i
\nonumber
\ee

Функция $F_{4,3}$ есть растущая суперэкспонента со сдвинутым аргументом, 
\be
F_{4,3}(z)=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}(z\!+\!z_{4,3})
\ee
\be
z_{4,3}=\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(3\!+\!\mathrm i o)\approx 
3.015784890490347\!+\!9.618074521021425 \,\mathrm i
\nonumber
\ee

Вдоль вещественной оси, функции $F_{2,3}$ и $F_{4,3}$ убывают от четырех на минус бесконечности до двух на плюс бесконечности.
На рисунке \ref{sqrt2sufuplot}, график функции  $F_{2,3}$,  сливается с графиком функции $F_{4,3}$. Отклонение не только меньше толщины линий, но и существенно меньше размеров молекул и атомов, из которых сделана эта Книга (или экран монитора, если вы читаете эту Книгу на компьютере). Чтобы все-таки показать отклонение
\be
d_{42}(z)=F_{4,3}(z)-F_{2,3}(z)
\eL{d42}
на рисунке \ref{sqrt2sufuplot} тонкой кривой построен график  $y\!=\! 10^{24} d_{42}(x)$ ; значения функции пришлось масштабировать на 24 порядка величины.
Такая схожесть имеется только в окрестности вещественной оси. Эти функции имеют различные периоды, одна из них имеет сингулярности, и поэтому они при всём желании не могут совпадать тождественно даже для вещественных значений аргумента.
\vskip 2mm

Сходство функций $F_{4,3}$ и $F_{2,3}$ обуславливает сходство итераций экспоненты по основанию $\sqrt{2}$, показанных на рисунках 
%
%\ref{Esqrt2ite12Map} 
\ref{iterEq2plot},
\ref{iterEq2map},
\ref{sqrt2eitet} и
\ref{sqrt2q2map} ; 
%
половинные итерации сравниваются также на рисунке \ref{sqrt2srav}.
Можно ожидать, что в течение 21 века, точность измерений физических величин возрастет до 24 и более значащих цифр. Тогда разница между суперфункциями (или соответствующими нецелыми итерациями) наблюдаемых передаточных функций будет иметь прямое применение в измерительной технике. 
Пока, то есть в начале 21 века, 
можно ожидать, что для некоторых (или даже многих) измеренных передаточных функций с парой вещественных стационарных точек, любую из этих точек можно использовать для построения физически-осмысленных итераций, и погрешность измерений не позволит увидеть, что лишь одна из таких итераций является ``настоящей''.
\vskip 2mm

\section{Комплексные итерации %экспоненты по основанию $\sqrt{2}$
}
Когда 
%первый полный 
черновик этой Книги был написан (и одобрен Редактором), 
%и я стал его читать, 
я обнаружил, что в Книге нет ни одной карты комплексной итерции.
Я восполняю такой пробел в этой секции. Здесь я рассказываю про iтые итерации. Поскольку буква i набрана прямым шрифтом, Читатель может догадаться, что имеется в ввиду не переменная, а известная константа, корень из минус единицы.
\vskip 2mm

На рисунках \ref{sqrt2itemap1} и \ref{sqrt2itemap2} представлены карты функций
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(z)=\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\Big(\mathrm i + \mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(z)\Big)
\eL{sqrt2dii}
и
\be\!\!\!\!\!\!\!\!
\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~~\mathrm i}(z)=\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}\Big(\mathrm i + \mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}(z)\Big)
\eL{sqrt2uii}

\begin{figure}[t]
%\sx{1.16}{\begin{picture}(206,206)
\sx{2.04}{\begin{picture}(206,206)
%\put(6,5){\ing{Esqrt2ite13Map}}
%\put(6,5){\ing{04}}
\put(6,5){\ing{sqrt2diima}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
\put(-2,-1){\sx{.7}{$-\!10$}}
\put( 22,-1){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 42,-1){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 62,-1){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 82,-1){\sx{.7}{$-2$}}
\put(106,-1){\sx{.7}{$0$}}
\put(126,-1){\sx{.7}{$2$}}
\put(146,-1){\sx{.7}{$4$}}
\put(166,-1){\sx{.7}{$6$}}
\put(186,-1){\sx{.7}{$8$}}
\put(204,-1){\sx{.7}{$x$}}
\put(174,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(118,172.3){\sx{.99}{\rot{-16}$v\!=\!3$\ero}}
%\put(146,135){\sx{.99}{\rot{-29}$v\!=\!2$\ero}}
%\put(148,117){\sx{.99}{\rot{-33}$v\!=\!1$\ero}}
\put(125,139){\sx{.99}{\rot{-11}$v\!=\!2$\ero}}
\put(126,118){\sx{.99}{\rot{-3}$v\!=\!1$\ero}}
\put(121,103){\sx{.99}{\rot{6}$v\!=\!0$\ero}}
\put(119,94){\sx{.99}{\rot{3}$v\!=\!-1$\ero}}
%
\put(27,140){\sx{.99}{\rot{-30}$u\!=\!1$\ero}}
\put(91,91){\sx{.99}{\rot{7}$u\!=\!0$\ero}}
%
\put(117,180){\sx{.99}{\rot{74}$u\!=\!2$\ero}}
\put(155,168){\sx{.99}{\rot{58}$u\!=\!3$\ero}}
\put(155,120){\sx{.99}{\rot{55}$u\!=\!4$\ero}}
\end{picture}}\caption{\large
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$
%, слева, и $u\!=\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$, справа, 
по формуле
%, соответственно, 
\rf{sqrt2dii} %и \rf{sqrt2uii} 
\iL{sqrt2itemap1}}
\end{figure}


\begin{figure}[t]
%\sx{1.16}{\begin{picture}(206,200)
\sx{2.04}{\begin{picture}(206,200)
%\put(6,5){\ing{Esqrt2ite13Map}}
%\put(6,5){\ing{03}}
\put(6,5){\ing{sqrt2uiima}}
\put(2,203.4){\sx{.7}{$y$}}
\put(2,184){\sx{.6}{$8$}}
\put(2,164){\sx{.6}{$6$}}
\put(2,144){\sx{.6}{$4$}}
\put(2,124){\sx{.6}{$2$}}
\put(2,104){\sx{.6}{$0$}}
\put(-3,84){\sx{.6}{$-2$}}
\put(-3,64){\sx{.6}{$-4$}}
\put(-3,44){\sx{.6}{$-6$}}
\put(-3,24){\sx{.6}{$-8$}}
%\put(-2,-1){\sx{.7}{$-\!10$}}
\put( 22,-1){\sx{.7}{$-8$}}
\put( 42,-1){\sx{.7}{$-6$}}
\put( 62,-1){\sx{.7}{$-4$}}
\put( 82,-1){\sx{.7}{$-2$}}
\put(106,-1){\sx{.7}{$0$}}
\put(126,-1){\sx{.7}{$2$}}
\put(146,-1){\sx{.7}{$4$}}
\put(166,-1){\sx{.7}{$6$}}
\put(186,-1){\sx{.7}{$8$}}
\put(204,-1){\sx{.7}{$x$}}
\put(024,103.5){\sx{.99}{\bf cut}}
\put(118,173){\sx{.99}{\rot{-16}$v\!=\!3$\ero}}
\put(146,135){\sx{.99}{\rot{-29}$v\!=\!2$\ero}}
\put(148,117){\sx{.99}{\rot{-33}$v\!=\!1$\ero}}
\put(149,105){\sx{.99}{\rot{-40}$v\!=\!0$\ero}}
\put(149,096){\sx{.99}{\rot{-56}$v\!=\!-1$\ero}}
%
\put(57,140){\sx{.99}{\rot{-47}$u\!=\!1$\ero}}
%
\put(26,30){\sx{.99}{\rot{84}$v\!=\!100$\ero}}
\put(37,57){\sx{.99}{\rot{-74}$v\!=\!0$\ero}}
\put(39,83){\sx{.99}{\rot{-66}$v\!=\!-100$\ero}}
%
\put(51,99){\sx{.99}{\rot{-49}$u\!=\!-100$\ero}}
\put(53,87){\sx{.99}{\rot{-64}$u\!=\!100$\ero}}
%
\put(115.6,180){\sx{.99}{\rot{74}$u\!=\!2$\ero}}
\put(155,170){\sx{.99}{\rot{47}$u\!=\!3$\ero}}
\put(174.4,147.6){\sx{.99}{\rot{36}$u\!=\!4$\ero}}
\put(176,122){\sx{.99}{\rot{31}$u\!=\!5$\ero}}
\put(176,104){\sx{.99}{\rot{26}$u\!=\!6$\ero}}
\put(176,092){\sx{.99}{\rot{17}$u\!=\!7$\ero}}
\put(176,082){\sx{.99}{\rot{12}$u\!=\!8$\ero}}
\put(176,074){\sx{.99}{\rot{4}$u\!=\!9$\ero}}
\put(176,067){\sx{.99}{\rot{-2}$u\!=\!10$\ero}}
\put(176,055){\sx{.99}{\rot{-16}$u\!=\!12$\ero}}
\put(176,044){\sx{.99}{\rot{-28}$u\!=\!14$\ero}}
\put(176,033){\sx{.99}{\rot{-40}$u\!=\!16$\ero}}
\put(169,027){\sx{.99}{\rot{-48}$u\!=\!18$\ero}}
\put(159,025){\sx{.96}{\rot{-50}$u\!=\!20$\ero}}
\end{picture}}
\caption{
%$u\!=\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$, слева, и 
$u\!+\!\mathrm i v=\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~~\mathrm i}(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле
%, соответственно, 
%\rf{sqrt2dii} и 
\rf{sqrt2uii} 
\iL{sqrt2itemap2}}
\end{figure}

Функция $\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}^{~~\mathrm i}$ по формуле \rf{sqrt2dii} построена из тетрации и арктетрации рассмотренных в этой главе. 
Функция $\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}^{~~\mathrm i}$ по формуле \rf{sqrt2uii} построена из растущей суперэкспоненты и соответствующей абельэкспоненты по такому же основанию, эти функции рассмотрены в главе 9. Эти пары функций близки в окрестности отрезка $(2,4)$, но сильно отличаются вдали от этого отрезка.
Как и следовало ожидать, $\mathrm i$тые итерации, показанные на рисунках  \ref{sqrt2itemap1} и \ref{sqrt2itemap2}, тоже схожи в окрестности указанного отрезка, и тоже сильно отличаются вдали от начала координат.
\vskip 2mm
%\baselineskip 21pt

Как и в случае вещественных итераций, каждая из предложенных комплексных итераций может быть вполне аргументированно квалифицирована как ``настоящая''. Выбор наиболее настоящей из них аналогичен случаю сказки Джорджа Орвелла (George Orwell) ``Скотский Хутор'' (Animal's farm 
\footnote{\url{http://msxnet.org/orwell/print/animal_farm.pdf} George Orwell. Animal Farm. 1945}); герои сказки декларируют, что ``все животные равны'', но скоро обнаруживают, что некоторые из них равнее других.
(All animals are equal, but some of them are more equal than others). С итерациями имеет место похожий случай. Когда дополнительный критерий для суперфункции, абельфункции или нецелой итерации исходной передаточной функции предложен, и он позволяет выбрать ``правильную'' формулу, то можно декларировать, что одна из итераций \rf{sqrt2dii}, \rf{sqrt2uii} ``более настоящая'', чем другая.
\vskip 2mm

Выбор ``самой что ни на есть настоящей'' итерации  какой-либо передаточной функции должен производиться на основе физической
%научной 
интерпретации таких формул, то есть исходя из возможных приложений. В главе 9 рассмотрена неограниченно растущая (при вещественных значениях аргумента) суперэкспонента, а не тетрация. Такой выбор объясняется тем, что такая суперэкспонента дает итерации, более похожие на итерации других функций, представленных в начале книги. А вовсе не тем, что я считаю функцию $\mathrm{SuExp}_{\sqrt{2},5}$ сколько-нибудь более ``настоящей'' суперэкспонентой, чем тетрацию $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$, рассмотренную в этой главе.
\vskip 2mm

Пока мне трудно придумать физическую интерпретацию невещественных итераций голоморфных функций.
Но, как упомянутый в главе 12 Портной (который шьет портки с произвольным количеством штанин), я считаю нужным включить в Книгу хотя бы один пример комплексной итерации. То есть хотя бы одно численное подтверждение моему заявлению, что в формулах номер итерации не имеет надобности быть вещественным.
\vskip 2mm

Вещественность номера итерации (а иногда даже и целость этого номера) может быть важна для приложений формулы в физических или иных исследованиях. С другой стороны, желательно, чтобы математический аппарат охватывал область значений несколько шире, чем та, для которых сегодня есть очевидное применение.
Как только кому-либо 
%для чего-либо 
потребуется комплексные, или, в частном случае, чисто мнимые итерации - в этой Книге для таких итераций уже есть 
%шикарный 
формализм.
% Коллегу, которому требуются нецелые итерации, я приглашаю 
%даже не в швейный цех, а сразу 
%в примерочную.
%, и мы посмотрим, не жмет ли, не болтается ли, как смотрится и не надо ли подкоротить или сделать выточку. 
\vskip 2mm

\section{Воспроизводимость}
Читатели приглашаются повторить рассчеты, представленные в этой главе. Это можно сделать и для других передаточных функций; например, для экспоненты по основанию $b$ от единицы до 
$\exp(1/\mathrm e)$.
Предлагается найти, построить, идентифицировать такую передаточную функцию, для которой
регулярные итерации, построенные на различных стационарных точках, существенно отличались бы. 
\vskip 3mm

В качестве примера могу посоветовать поэкспериментировать с полиномиальной передаточной функцией. Я примерно представляю себе, что должно получиться в ответе. Если при этом вдруг возникнут какие-либо сложности, то я готов прийти на помощь.
\vskip 3mm

Построение и исследование тетрации, представленные в этой главе, естественным образом обобщаются для других значений основания $b$ натуральной тетрации, по крайней мере для 
$1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$. Такое обобщение рассмотрено в следующей главе.


\chapter{~ Тетрация по основанию $b\!>\!1$}
\baselineskip 20.6pt

В предыдущих главах рассмотрены различные методы построения суперфункций от передаточных функций, когда эти функции имеют вещественные или комплексные стационарные точки. В частности, рассмотрены примеры экспоненциальной передаточной функции для оснований 
$b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\! 1.44$,
$b\!=\!\exp(1/\mathrm e) \!\approx\! 1.46$ и 
$b\!=\!\mathrm e \!\approx\! 2.71~$.
Читатели приглашаются использовать предложенные здесь методы и для других функций, и, в частности, для экспоненты по различным основаниям. Лучше начинать со случаев, когда основание вещественно, положительно и превышает единицу. При этом экспонента является возрастающей функцией вдоль всей вещественной оси, и интерпретация суперэкспоненты и абельэкспоненты особенно наглядна.

\begin{figure}[t]
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,122)
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,124)
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,125)
\sx{3.23}{\begin{picture}(155,125)
\put(0,0){\ing{tet10bx}}%  See GL/*.* for generators of the curves <br> 
%\put(-2,125){\sx{.7}{$y\!=\!{\rm tet}_{b}(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)=\exp_b(F(z))$ ~,~ $F(0)\!=\!1$}}
%\put( 0,125){\sx{.55}{$y\!=\!F(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)\!=\!\exp_b(F(z))$ ,~ $F(0)\!=\!1$}}
\put( 17,120){\sx{.6}{$y$}}
\put( 17,100){\sx{.6}{$8$}}
\put( 17,80){\sx{.6}{$6$}}
\put( 17,60){\sx{.6}{$4$}}
\put( 18,48){\sx{.6}{e}}
\put( 17,40){\sx{.6}{$2$}}
\put( 17,20){\sx{.6}{$0$}}
\put( 20.4,16){\sx{.6}{$0$}}
\put( 40.4,16){\sx{.6}{$2$}}
\put( 60.4,16){\sx{.6}{$4$}}
\put( 80.4,16){\sx{.6}{$6$}}
\put(100.4,16){\sx{.6}{$8$}}
\put(119,16){\sx{.6}{$10$}}
\put(128.6,16.2){\sx{.6}{$x$}}
%\put(2,90){\sx{.9}{$y\!=\!e\!\big(F_{1}(x\!+\!\rmi o)\big)$}}
%\put(183,105){\sx{1.}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{1.}{$y\!=\!\rme$}}
\put(26.6,86){\sx{.5}{\rot{90} $b\!\rightarrow\!\infty$ \ero } }
\put(31,106){\sx{.5}{\rot{88} $b\!=\!10$ \ero } }
%\put(39.2,106){\sx{.5}{\rot{86} $b\!=\! 3$ \ero } }
\put(42,87){\sx{.5}{\rot{87} $b\!=\! \rme$ \ero } }
\put(48.4,106){\sx{.5}{\rot{86} $b\!=\!2$ \ero } }
\put(53.3,106){\sx{.45}{\rot{85} $b\!=\!1.9$ \ero } }
\put(60.3,106){\sx{.45}{\rot{85} $b\!=\!1.8$ \ero } }
\put(68.4,106){\sx{.45}{\rot{84} $b\!=\!1.7$ \ero } }
\put(83,106){\sx{.45}{\rot{83} $b\!=\!1.6$ \ero } }
\put(128,106){\sx{.47}{\rot{80} $b\!=\!1.5$ \ero } }
%\put(55,88){\sx{1.3}{$y\!=\!\tet_b(x)$  } }
%\put(124,106){\sx{.6}{$b\!=\!1.5$}}
\put(109,46){\sx{.4}{\rot{2}$b\!=\!\exp(1/\rme)$\ero}}
\put(120,41.8){\sx{.34}{$b\!=\!\sqrt{2}$}}
\put(120,38){\sx{.36}{$b\!=\!1.4$}}
\put(120,33.6){\sx{.36}{$b\!=\!1.2$}}
%\put(115,29.6){\sx{.36}{$b\!=\!1.1$}}
\put(123,29){\sx{.36}{$b\!\rightarrow\!1$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetreal10bx10d.png}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://en.citizendium.org/wiki/File:Tetreal10bx10d.png}
\vskip -4pt
\caption{ \large
$y=\mathrm{tet}_b(x)$ для различных значений $b$
%, построенные с использованием аппроксимации \rf{fit1} 
\iL{tet10bx}}
\end{figure}

\section{Аппроксимация тетрации вблизи нуля}

В случае основания $1\!<\!b \!\le\! \exp(1/\mathrm e)$, тетрация может вычисляться с помощью разложения вблизи стационарной точки. Для основания 
$b\!>\!1/\exp(1/\mathrm e)$, может использоваться представление тетрации через интеграл Коши. Таким образом, 
%весь интервал 
вся область
$b\!>\!1$ оказывается перекрыта эффективными алгоритмами вычисления $\mathrm{tet}_b$. 
\vskip 2mm

Для вещественных значений аргумента, график $y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$ представлен на рисунке \ref{tet10bx}
как функция $x$ при различных вещественных значениях параметра $b\!>\!1$. Аналогичные графики для арктетрации
показаны на рисунке \ref{ate10bx}.
%Генератор рисунка загружен как \\
%\sx{.89}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t1064/index.php/File:Tetreal10bx10d.png}} \\
%и, на случай повторения кагебешной атаки на ТОРИ, по урлю\\
%\url{http://en.citizendium.org/wiki/File:Tetreal10bx10d.png} .

\vskip 2mm
Рисунок \ref{tet10bx} для тетрации и рисунок \ref{ate10bx} для арктетрации генерируются с помощью аппроксимаций. Для значений $b\!<\!3$, используется аппроксимация $\mathrm{fit1}$, оределенная выражениями
%\be
\vskip 8pt

$d\!=\!\ln(b)$
\vskip 8pt

$q\!=\!\sqrt{d}$
\vskip 8pt

$c_0\!=\! -1.0018+
\frac{0.1512848482(1.+33.0471529885 q-3.51771875598 d) q}
{1+3.2255053261256337 q}
+   \frac{\ln(2)-\frac{1}{2}}{d}$
\vskip 8pt

$c_1\!=\!
1.1 - 2.608785958462561(1 - 0.6663562294911147q) q - \frac{\ln(2)-\frac{5}{8}}{d}$
\vskip 8pt

$c_2\!=\!
-0.96 + 3.0912038297987596 \frac{(1\!+\!0.60213980487853d)q}{1 \!+\! 4.24046755648d}  + 
 \frac{\ln(2)\!-\! \frac{2}{3}}{d}$
\vskip 8pt

$c_3\!=\! 1.2\! -\! 10.44604984418533 \frac{(1\!+\!0.213756892843 q\!+\!0.369327525447 d) q}{1+4.9571563666 q + 7.702332166 d}
- \frac{ \ln(2)\!-\! \frac{131}{192}}{d} $

\be
\mathrm{fit1}_b(z)\!=\! (1\!+\!c_0z\!+\!c_1z^2\!+\!c_2z^3\!+\!c_3z^4)(z\!+\!1) 
\nonumber \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+ \ln(z\!+\!2)  
-\frac{\ln(2)}{d} (1\!+\!z) 
\label{fit1}
\ee

%\begin{figure}[t]
%\begin{figure}[v]
\begin{figure}[t]
%\sx{3.66}{\begin{picture}(155,102)
\sx{3.23}{\begin{picture}(155,130)
\put(0,0){\ing{ate10bx}}
%\put(-2,125){\sx{.7}{$y\!=\!{\rm tet}_{b}(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)=\exp_b(F(z))$ ~,~ $F(0)\!=\!1$}}
%\put( 0,125){\sx{.55}{$y\!=\!F(x)$ ~as solution of~ $F(z\!+\!1)\!=\!\exp_b(F(z))$ ,~ $F(0)\!=\!1$}}
\put( 17,130){\sx{.6}{$y$}}
\put( 14,120){\sx{.6}{$10$}}
\put( 17,100){\sx{.6}{$8$}}
\put( 17,80){\sx{.6}{$6$}}
\put( 17,60){\sx{.6}{$4$}}
%\put( 18,48){\sx{.6}{e}}
\put( 17,40){\sx{.6}{$2$}}
\put( 17,20){\sx{.6}{$0$}}
\put( 20.4,16){\sx{.6}{$0$}}
\put( 40.4,16){\sx{.6}{$2$}}
\put( 47.8,16.2){\sx{.6}{e}}
\put( 60.4,16){\sx{.6}{$4$}}
\put( 80.4,16){\sx{.6}{$6$}}
\put(100.4,16){\sx{.6}{$8$}}
\put(119,16){\sx{.6}{$10$}}
\put(128.6,16.2){\sx{.6}{$x$}}
%\put(2,90){\sx{.9}{$y\!=\!e\!\big(F_{1}(x\!+\!\rmi o)\big)$}}
%\put(183,105){\sx{1.}{$y\!=\!F_{3}(x)$}}
%\put(193,52){\sx{1.}{$y\!=\!\rme$}}
%\put(39.2,106){\sx{.5}{\rot{86} $b\!=\! 3$ \ero } }
\put(31.8,123){\sx{.35}{\rot{90}$b\!\rightarrow\!1$\ero}}
\put(36.4,120){\sx{.35}{\rot{90}$b\!=\!1.2$\ero}}
\put(40.5,120){\sx{.35}{\rot{90}$b\!=\!1.4$\ero}}
\put(44.8,120){\sx{.33}{\rot{90}$b\!=\!\sqrt{2}$\ero}}
\put(48.6,109){\sx{.38}{\rot{88}$b\!=\!\exp(1/\rme)$\ero}}
\put(106,124.5){\sx{.47}{\rot{10} $b\!=\!1.5$ \ero } }
\put(106,79){\sx{.45}{\rot{8} $b\!=\!1.6$ \ero } }
\put(106,64.2){\sx{.45}{\rot{7} $b\!=\!1.7$ \ero } }
\put(106,56.6){\sx{.45}{\rot{6} $b\!=\!1.8$ \ero } }
\put(106,50.4){\sx{.45}{\rot{5} $b\!=\!1.9$ \ero } }
\put(106,44.2){\sx{.5}{\rot{4} $b\!=\!2$ \ero } }
\put(94,39.6){\sx{.5}{\rot{5} $b\!=\! \rme$ \ero } }
\put(106,32){\sx{.5}{\rot{3} $b\!=\!10$ \ero } }
\put(96,22.4){\sx{.5}{\rot{0.} $b\!\rightarrow\!\infty$ \ero } }
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ater01.png}
\vskip -8pt
\caption{\large
$y\!=\!\mathrm{ate}_b(x)$ 
%как функция $x$ 
для различных значений $b$ \iL{ate10bx}}
\vskip -8pt
\end{figure}

%Укажу, как была получена аппрохсимация \rf{fit1}. Я разложил выражение 
Чтобы получить аппрохсимацию \rf{fit1}, выражение 
\be
\frac{\mathrm{tet}_b(z) - \ln(z\!+\!2) + \ln(2)/\ln(b) }{1\!+\!z}
\ee
разложено в ряд Тэйлора по степеням $z$ при различных значениях $a=\ln(b)$. Коэффициенты этого разложения аппроксимированы как функции параметра $a$. Затем тетрация выражена через это разложение. Разложение оборвано, учтено всего несколько термов. Однако, для 
$|z|\le1/2$, это приближение дает несколько значащих цифр для значения $\mathrm{tet}_b(z)$.
Такое представление использовано для $|\Re(z)|\le 1/2$; для иных значений $z$, используется представление через передаточное уравнение
\be
\mathrm{tet}_b(z)=b^{\mathrm{tet}_b (z-1)}
\eL{tetbminus}
или
\be
\mathrm{tet}_b(z)=\log_b\! \big(\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)\big)
\eL{tetbplus}
в зависимости от знака $\Re(z)$. Так можно вычислять тетрацию с несколькими знаками для умеренных значений $|\Im(z)|$ и $|\Im(b)|$.
У меня пока нет столь же простой аппроксимации для больших значений  $|\Im(b)|$, хотя представление через интеграл Коши легко обобщается на случай комплексных значений основания $b$. В частности, такая аппроксимация годится для вещественных значений основания $b\!<\!5$, давая порядка четырех значащих цифр. Это вполне достаточно для того, чтобы дефекты аппроксимации не были видны даже при сильном зумине рисунка \ref{tet10bx}. Однако для $b\!=\!10$ аппроксимация несколько хуже, и для этого значения использовано первичное представление тетрации через интеграл Коши.
\vskip 2mm

Из рисунка \ref{tet10bx} можно проследить поведение тетрации вещественного аргумента при различных значениях основания $b\!>\!1$.
\vskip 2mm

В интервале значений $-2\!\le\! x\! \le\! -1$, тетрация $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ имеет отрицательные значения и растет с увеличением $b$.
\vskip 2mm

В интервале значений $-1\!\le\! x\! \le\! 0$, тетрация $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ имеет положительные значения и убывает с увеличением $b$.
\vskip 2mm

При $x\!>\!0$, тетрация $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ имеет положительные значения и растет с увеличением $b$.
\vskip 2mm

В предельном случае $b \! \rightarrow \!1$, график тетрации $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$  приближается к асимптотам $x\!=\!-1$ и $y\!=\!1$.
\vskip 2mm

В предельном случае $b \! \rightarrow \! \infty$, график тетрации $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$  приближается к асимптотам $x\!=\!-2$ и $x\!=\!0$, а также к отрезку $-2\!<\! x \!<\! 0$ на оси абсцисс.
\vskip 2mm

При всех $b \! > \!1$, тетрация $\mathrm{tet}_b(x)$ является монотонно возрастающей функцией, и график $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ 
проходит через точки $(-1,0)$, $(0,1)$ и $(1,b)$.
\vskip 2mm

Когда $b \! = \! \exp(1/\mathrm e)$, асимптотой становится линия $y\!=\!\mathrm{filog}(1/\mathrm e)\!=\!\mathrm e$. Эта линия отмечена на графике в дополнение к ректангулярной сетке, соответствующей целочисленным значениям абсциссы или ординаты.
\vskip 2mm

При $1\! <\! b \! \le \! \exp(1/\mathrm e)$, с ростом $x$ график $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ приближается к горизонтальной асимптоте $y=\mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)$.
\vskip 2mm

Функция filog и её имплементация представлены в ТОРИ, \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog} \\
Некоторые свойства этой функции обсуждаются в следующей главе.
\vskip 2mm

В принципе, аналогичным образом можно строить аппроксимацию для арктетрации (абельэкспоненты) $\mathrm{ate}_b$. Не стремясь объять необъятное, для построения графика арктетрации вещественного аргумента, я отразил от прямой $y\!=\!x$ графики рисунка \ref{tet10bx}. Так построен рисунок \ref{ate10bx}.
\vskip 2mm

При $x\!>\!-2$, имеет место соотношение
\be 
\mathrm{ate}_b \Big( \mathrm{tet}_b(x) \Big)=x
\ee
Кроме того, для $b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$ и по крайней мере для вещественных $x$ имеет место соотношение
\be 
\mathrm{tet}_b\Big( \mathrm{ate}_b(x) \Big) =x
\ee
Это же соотношение имеет место и при  $~1\!< \!b\! \le \! \exp(1/\mathrm e)~$, $~x \! < \! \mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)~$.
\vskip 2mm

В широкой области значений $b$ и $z$, итерации экспоненты $\exp_b(z)=b^z$ могут быть представлены через тетрацию и арктетрацию
\be
\exp_b^{~n}(z)= \mathrm{tet}_b\Big(n+\mathrm{ate_b}(z) \Big)
\ee 
Как обычно, в таком представлении число $n$ итерций не имеет необходимости быть целым; достаточно, чтобы аргумент  $z$ попадал в область голоморфизма функции $\mathrm{ate}_b$. Тогда, при $b\!>\!\exp(1/\mathrm e)$, значение $n\!+\!\mathrm{ate}_b(z)$ попадет в область голоморфизма тетрации $\mathrm{tet}_b$.

\section{Различныe основания экспоненты и итерации}

В этой секции сравниваются итерации экспоненты. Эти итерации рассмотрены в предыдыщих секциях; здесь предлагается обзор представленных ранее результатов. 
\vskip 2mm

Итерации экспоненты по основаниям $b\!=\!\mathrm e$, $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ и $b\!=\!\sqrt{2}$ представлены на рисунке 
\ref{e1e14} как функции вещественного аргумента для различного номера $n$ итерации. Курвы проведены для $n\!= -2,-1, -0.9, -0.5, -0.1, 0, 0.1, 0.5, 0.9, 1,2$.  
\vskip 2mm
 
\begin{figure}
\newcommand \scalr {
\put(370,766){\sx{6}{$y$}}
\put(370,583){\sx{6}{$4$}}
\put(370,383){\sx{6}{$2$}}
\put(370,183){\sx{6}{$0$}}
\put( 600,150){\sx{6}{$2$}}
\put( 799,150){\sx{6}{$4$}}
\put( 998,150){\sx{6}{$6$}}
\put(1198,150){\sx{6}{$8$}}
\put(1380,150){\sx{6}{$x$}}
}
\hskip 24pt
\sx{.28}{\begin{picture}(1400,834)
\put(0,-10){\ing{e1e14az}}\scalr
\put(-90,620){\sx{10}{ \color{white}{\rule{25pt}{13pt}} }}
\put(-100,640){\sx{10}{ $b\!=\!\mathrm e$}}
\put( 810,666){\rot{51}\sx{4.4}{$n\!=\!0.1$}\ero}
\put( 925,696){\rot{45}\sx{4.8}{$n\!=\!0$}\ero}
\put( 934,600){\rot{37}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(1230,570){\rot{16}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
\put(1220,436){\rot{8}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(1222,374){\rot{ 6}\sx{4.6}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(1230,230){\rot{ 4}\sx{4.6}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(446,525){\rot{81}\sx{4.3}{$y\!=\!\exp(\mathrm e^x)$}\ero}
\put(499,485){\rot{75}\sx{4.4}{$y\!=\!\exp(x)$}\ero}
\put(595,485){\rot{67}\sx{4.4}{$y\!=\!\sqrt{\exp}(x)$}\ero}
\put(840,426){\rot{19}\sx{4.6}{$y\!=\!\sqrt{\ln}(x)$}\ero}
\put(890,330){\rot{ 8}\sx{4.6}{$y\!=\!\ln(x)$}\ero}
\put(890,232){\rot{ 6}\sx{4.6}{$y\!=\!\ln(\ln(x))$}\ero}
\put(14,315){\rot{1}\sx{4.8}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,210){\rot{4}\sx{4.8}{$n\!=\!1$}\ero}
\put(14,155){\rot{2}\sx{4.7}{$n\!=\!0.9$}\ero}
\put(20, 95){\rot{ 3}\sx{4.7}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(234,2){\rot{45}\sx{5.5}{$y\!=\!x$}\ero}
\put(450, 0){\rot{69}\sx{4.7}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(550,-2){\rot{62}\sx{4.5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}

\hskip 24pt
\sx{.28}{\begin{picture}(1400,834)
\put(0,-10){\ing{e1e14bz}}\scalr
\put(-80,620){\sx{10}{ \color{white}{\rule{34pt}{14pt}} }}
\put(-100,640){\sx{10}{ $b\!=\!\mathrm e^{1/\mathrm e}$}}
\put( 374,456){\sx{6.5}{$\mathrm e$}}
\put( 674,158){\sx{6.5}{$\mathrm e$}}
\put( 800,680){\rot{75}\sx{4.5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put( 846,700){\rot{63}\sx{4.3}{$n\!=\!1$}\ero}
%\put( 910,760){\rot{65}\sx{4.01}{$n\!=\!0.9$}\ero}
%\put( 940,760){\rot{58}\sx{4.01}{$n\!=\!0.5$}\ero}
%\put(1010,805){\rot{50}\sx{4.01}{$0.1$}\ero}
%\put(1050,790){\rot{45}\sx{4.01}{$-0.1$}\ero}
%\put(1090,780){\rot{25}\sx{4.3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(1150,760){\rot{19}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(1220,740){\rot{15}\sx{4.5}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(1280,650){\rot{ 7}\sx{4.5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(940,630){\rot{18}\sx{4.5}{$y\!=\!\mathrm e \ln(x)$}\ero}
\put(860,560){\rot{11}\sx{4.5}{$y\!=\!\mathrm e \, \ln(\mathrm e \ln(x))$}\ero}
\put(14,318){\rot{1}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,233){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!1$}\ero}
\put( 290,325){\rot{12}\sx{4}{$y\!=\!\exp(\frac{1}{\mathrm e}\mathrm e^{x/\mathrm e})$}\ero}
\put( 190,250){\rot{14}\sx{4}{$y\!=\!\exp(x/\mathrm e)$}\ero}
\put(14,177){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!0.9$}\ero}
\put(20, 90){\rot{15}\sx{5}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(120,  0){\rot{33}\sx{5}{$n\!=\!0.1$}\ero}
%\put(220, 10){\rot{38}\sx{5.5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
%\put(280,-30){\rot{53}\sx{5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(370,-8){\rot{65}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(440,-10){\rot{75}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(498, -2){\rot{77}\sx{4.7}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(570,-2){\rot{82}\sx{4.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}

\hskip 24pt
\sx{.28}{\begin{picture}(1400,834)
\put(0,-10){\ing{e1e14cz}}\scalr
\put(-80,620){\sx{10}{ \color{white}{\rule{34pt}{15pt}} }}
\put(-100,640){\sx{10}{ $b\!=\!\sqrt{2}$}}
\put( 848,690){\rot{73}\sx{4.5}{$n\!=\!2$}\ero}
%\put( 900,750){\rot{65}\sx{4.1}{$n\!=\!1$}\ero}
%\put( 930,760){\rot{65}\sx{4.01}{$n\!=\!0.9$}\ero}
%\put( 960,760){\rot{58}\sx{4.01}{$n\!=\!0.5$}\ero}
%\put(1025,805){\rot{50}\sx{4.01}{$0.1$}\ero}
%\put(1050,800){\rot{45}\sx{4.01}{$-0.1$}\ero}
%\put(1060,780){\rot{25}\sx{4.3}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(1110,780){\rot{19}\sx{4.4}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(1100,728){\rot{18}\sx{4.5}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(1260,690){\rot{ 7}\sx{4.5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put( 870,600){\rot{12}\sx{4.4}{$y\!=\!\ln_b(\ln_{b}(x))$}\ero}
\put(650,480){\rot{45}\sx{5}{$n\!=\!-2$}\ero}
\put(730,435){\rot{45}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
\put(14,318){\rot{1}\sx{5}{$n\!=\!2$}\ero}
%\put(390,340){\rot{9}\sx{5}{$y\!=\!2^{\frac{1}{2} 2^{x/2} }$}\ero}
%\put(390,340){\rot{10}\sx{5}{$y\!=\!\sqrt{2}^{\sqrt{2}^x }$}\ero}
\put(14,233){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!1$}\ero}
%\put(220,265){\rot{5}\sx{4}{$y\!=\!2^{x/2}$}\ero}
\put(210,260){\rot{7}\sx{5}{$y\!=\!b^{x}$}\ero}
\put(14,177){\rot{4}\sx{5}{$n\!=\!0.9$}\ero}
\put(20, 90){\rot{15}\sx{5}{$n\!=\!0.5$}\ero}
\put(120,  0){\rot{33}\sx{5}{$n\!=\!0.1$}\ero}
%\put(220, 10){\rot{38}\sx{5.5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
%\put(280,-30){\rot{53}\sx{5}{$n\!=\!-0.1$}\ero}
\put(370,-10){\rot{65}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.5$}\ero}
%\put(440,-10){\rot{75}\sx{4.5}{$n\!=\!-0.9$}\ero}
\put(498, 0){\rot{76}\sx{4.7}{$n\!=\!-1$}\ero}
\put(570,0){\rot{84}\sx{4.9}{$n\!=\!-2$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -5pt
\hskip 26pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1e14z600.jpg}
\vskip -12pt
%\caption{\large $y\!=\!\exp_b^n(x)$, for various $n$ and for 
\caption{
\large 
$y\!=\!\exp_b^n(x)$ для различных $n$ при 
$b\!=\!\mathrm e$, 
$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$,
$b\!=\!\sqrt{2}$
\iL{e1e14}}
\end{figure}

На верхней картинке  рисунка \ref{e1e14} представлен случай $b\!=\!\mathrm e$; то есть показаны итерации обычной, натуральной экспоненты. Соответствующие итерации вычисляются через натуральную тетрацию tet и натуральную арктетацию ate: 
\be
y=\exp^n(x)=\mathrm{tet}\Big( n + \mathrm{ate}(x) \Big)
\ee
Схожие графики можно построить и для иных значений основания $b\!>\exp(1/\mathrm e)$. Для такого основания, итерации, даже не целые, являются вещественно-голоморфными функциями по крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси. Одна и та же голоморфная функция может использоваться как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента. Стационарные точки натуральной экспоненты лежат достаточно далеко от вещественной оси, и, в некоторой окрестности вещественной оси, итерации экспоненты являются столь же гладкими, как и сама экспонента.
\vskip 2mm

По мере уменьшения основания $b$, ширина полосы голоморфизма вдоль вещественной оси уменьшается, и при $b=\exp(1/\mathrm e)$ кривые для различных итераций сжимаются в пучок курв, проходящих через стационарную точку $\mathrm e$. Этот случай представлен на центральной картинке рисунка \ref{e1e14}. При этом нецелые итерации для значений аргумента, меньших $\mathrm e$, уже не являются голоморфными продолжениями итераций, построенных для значений, б\'oльших $\mathrm e$. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, кривые, для итераций, построенных через тетрацию и арктетрацию, показаны пунктиром. В левой части графика пунктиром показаны кривые
\be
y=\mathrm{exp}_{b,1}^{~ n}(x)=\mathrm{tet}_b\Big(n+\mathrm{ate}_b(x)\Big) 
\ee
а сплошные кривые соответствуют формуле
\be
y=\mathrm{exp}_{b,3}^{~ n}(x)=\mathrm{SuExp}_{b,3}\Big(n+\mathrm{AuExp}_{b,3}(x)\Big) 
\ee
Тетрация $\mathrm{tet}_b$ по основанию $b\!=\! \eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ определена формулой 
\rf{e1etet},
%\rf{e1eF1},
а арктетрация по этому основанию определена формулой \rf{e1eG1}.
Соответственно, растущая абельэкспонента определяется формулой 
%\rf{e1eG1}.
\rf{e1eAuExp}
при $\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$. Растущая суперэкспонента
%определена формулой \rf{Ff45} при $\mathrm{SuExp}_{b,5}\!=\!F_3$, а соответствующая абельэкспонента
определена формулой 
%\rf{e1eG3}
\rf{e1eAuExp}
при $\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$.
\vskip 2mm

При значенях основания $1\!<\!b\!<\!\exp(1/\mathrm e)$, экспонента имеет две вещественные стационарные точки (см. фигуры \ref{ExpQ2plot}, \ref{expe1eplot}). Каждая из этих стационарных точек может использоваться для построения регулярной итерации. Однако нецелая итерация, построенная на одной из этих регулярных точек, не регулярна в другой стационарной точке. 
Здесь в качестве примера выбрано значение $b\!=\!\sqrt{2}$. Итерации показаны
в нижней картинке рисунка \ref{e1e14}. % для $b\!=\!\sqrt{2}$.
Пунктиром проведены линии
\be
y=\mathrm{exp}_{b,\mathrm d}^{~ n}(x)=\mathrm{tet}_b\Big(n+\mathrm{ate}_b(x)\Big) 
\ee
а сплошные кривые соответствуют формуле
\be
y=\mathrm{exp}_{b,\mathrm u}^{~ n}(x)=\mathrm{SuExp}_{b,5}\Big(n+\mathrm{AuExp}_{b,5}(x)\Big) 
\ee
Для нецелых значений номера $n$ итерации, стационарная точка 2 или 4 ограничивает область голоморфизма каждой из итерации. На отрезке от 2 до 4, каждая из итераций голоморфна, и различие между итерациами мало, порядка $10^{-24}$, см.рис. \ref{sqrt2srav}. Ввиду такой малости, пунктирные кривые на нижней картинке рисунка \ref{e1e14} кажутся совпадающими с соответствующими сплошными линиями. 
\vskip 2mm

Аналогичная иллюзия имеет место для центральной картинки рисунка \ref{e1e14}; пунктирные кривые кажутся продолжениями сплошных. Таким образом, пример экспоненты указывает, что 
для построения суперфункций и нецелых итераций следует выбрать, указать асимптотическое поведение искомой функции в комплексной плоскости; иначе могут существовать различные решения, и каждое из них можно аргументированно обосновывать как ``настоящую'' суперфункцию и, соответственно, ``настоящую'' нецелую итерацию. По этой причине, важно, чтобы изначально все суперфункции, абельфункции и нецелые итерации строились для комплексных значений аргумента.
\vskip 2mm

Алгоритмы вычисления функций использованных в этой Книге, 
запрограммированы на C++ как complex double: их можно использовать как для комплексных значений аргумента, так и для вещественных. Если для каких-либо приложений требуются лишь вещественные значения аргумента, то переделать комплексное представление в вещественное легче, чем  обобщать вещественное на случай комплексного аргумента.

\section{%Непрерывность 
Зависимость тетрации от основaния}

Графики тетрации вещественного аргумента, показанные на рисунке \rf{tet10bx}, позволяют предположить, что зависимость тетрации от основания (при постоянном аргументе) непрерывна (а может быть, даже и голоморфна) как функция основания. Можно ожидать, что такая непрерывность имеет место не только для вещественных значений аргумента. Чтобы показать это, на рисунке \ref{e1e09} показаны карты тетрации $\tet_b$ для близких значений основания, а именно, 
для $b\!=\!1.5$ слева,
для $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\! \approx\! 1.44$ в середке, и для
для $b\!=\!\sqrt{2}\!\approx\! 1.41$ справа.

\begin{figure}[t]
\hskip 4pt
%\sx{1.93}{\begin{picture}(82,84) 
\sx{1.65}{\begin{picture}(82,84) 
\put(0,0){\ing{e1e09a15}}
\put(2,82){\sx{.5}{$y$}}
\put(2,73){\sx{.5}{$3$}}
\put(2,63){\sx{.5}{$2$}}
\put(2,53){\sx{.5}{$1$}}
\put(2,43){\sx{.5}{$0$}}
\put(-2,33){\sx{.5}{$-1$}}
\put(-2,23){\sx{.5}{$-2$}}
\put(-2,13){\sx{.5}{$-3$}}
\put(-2, 3){\sx{.5}{$-4$}}
\put( 1,0){\sx{.5}{$-4$}}
\put(11,0){\sx{.5}{$-3$}}
\put(21,0){\sx{.5}{$-2$}}
\put(31,0){\sx{.5}{$-1$}}
\put(45,0){\sx{.5}{$0$}}
\put(55,0){\sx{.5}{$1$}}
\put(65,0){\sx{.5}{$2$}}
\put(75,0){\sx{.5}{$3$}}
\put(84,.4){\sx{.5}{$x$}} 
\put(48,74){\sx{.5}{\rot{71}$v\!=\!1$\ero}}
\put(56,72){\sx{.5}{\rot{39}$v\!=\!0.8$\ero}}
\put(62,65.6){\sx{.5}{\rot{23}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(65,58){\sx{.5}{\rot{13}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(66,50.6){\sx{.5}{\rot{6}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(66,43.6){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\put(64,37){\sx{.5}{\rot{-7}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(63,30){\sx{.5}{\rot{-12}$v\!=\!-0.4$\ero}}
\put(43.4,21){\sx{.5}{\rot{-70}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(43,32){\sx{.5}{\rot{63}$u\!=\!1$\ero}}
\put(46,26){\sx{.5}{\rot{53}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(49,21){\sx{.5}{\rot{50}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(52,14.4){\sx{.5}{\rot{47}$u\!=\!1.8$\ero}}
\put(58,6){\sx{.5}{\rot{46}$u\!=\!2$\ero}}
 \end{picture}}
\sx{1.65}{\begin{picture}(82,84) 
\put(0,0){\ing{e1e09b}} 
\put(11,0){\sx{.5}{$-3$}}
\put(21,0){\sx{.5}{$-2$}}
\put(31,0){\sx{.5}{$-1$}}
\put(45,0){\sx{.5}{$0$}}
\put(55,0){\sx{.5}{$1$}}
\put(65,0){\sx{.5}{$2$}}
\put(75,0){\sx{.5}{$3$}}
\put(84,.4){\sx{.5}{$x$}} 
\put(42,60){\sx{.5}{\rot{86}$v\!=\!1$\ero}}
\put(46,61){\sx{.5}{\rot{79}$v\!=\!0.8$\ero}}
\put(52,62){\sx{.5}{\rot{64}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(58,59){\sx{.5}{\rot{46}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(63,52){\sx{.5}{\rot{26}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(66,43.6){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\put(60,36){\sx{.5}{\rot{-27}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(42,14){\sx{.5}{\rot{90}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(42,32.3){\sx{.5}{\rot{56}$u\!=\!1$\ero}}
\put(44,26){\sx{.5}{\rot{42}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(47,22){\sx{.5}{\rot{37}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(53,17){\sx{.5}{\rot{32}$u\!=\!1.8$\ero}}
\put(59,9){\sx{.5}{\rot{18}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
\sx{1.65}{\begin{picture}(80,84) 
\put(0,0){\ing{e1e09q2}} 
\put(11,0){\sx{.5}{$-3$}}
\put(21,0){\sx{.5}{$-2$}}
\put(31,0){\sx{.5}{$-1$}}
\put(45,0){\sx{.5}{$0$}}
\put(55,0){\sx{.5}{$1$}}
\put(65,0){\sx{.5}{$2$}}
\put(75,0){\sx{.5}{$3$}}
\put(84,.4){\sx{.5}{$x$}} 
\put(40.6,57){\sx{.5}{\rot{86}$v\!=\!1$\ero}}
\put(44,58){\sx{.5}{\rot{80}$v\!=\!0.8$\ero}}
\put(49,61){\sx{.5}{\rot{75}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put(57,61){\sx{.5}{\rot{70}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put(63,54){\sx{.5}{\rot{42}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(66,43.6){\sx{.5}{$v\!=\!0$}}
\put(66,32){\sx{.5}{\rot{-60}$v\!=\!-0.2$\ero}}
%\put(40.6,16){\sx{.5}{\rot{86}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(24,4.8){\sx{.5}{\rot{31}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(42,32.3){\sx{.5}{\rot{56}$u\!=\!1$\ero}}
\put(47,28){\sx{.5}{\rot{48}$u\!=\!1.4$\ero}}
\put(49,24){\sx{.5}{\rot{33}$u\!=\!1.6$\ero}}
\put(50,17){\sx{.5}{\rot{13}$u\!=\!1.8$\ero}}
\put(50,9){\sx{.5}{\rot{-13}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 20pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1efig09abc1a150.png}
\vskip -4pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{tet}_b(x\!+\!\mathrm i y)$ для $b\!=\!1.5$, $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ и $b\!=\!\sqrt{2}$ \iL{e1e09}}
\end{figure}
\vskip 2mm

Все три карты, показанные на рисунке \ref{e1e09}, похожи, хотя совершенно разные алгоритмы использованы для вычисления тетрации при указанных значениях основания $b$.  В принципе, тетрацию по основанию $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ для умеренных значений мнимой части аргумента можно были бы вычислять через тетрацию при 
чуть б\'oльших или при 
чуть м\'eньших значениях $b$ как предел при $b \rightarrow \exp(1/\mathrm e)$, используя соответствующие представления. 
\vskip 2mm

Читатели приглашаются рассчитать тетрацию при значениях основания $b\!\approx\! \exp(1/\mathrm e)$ и оценить, сколько корректных значащих цифр для тетрации $\mathrm{tet}_b$ можно получить таким способом, при условии, что используется арифметика с конечной точностью, например, complex double. Заодно, читатели могут проверить, что малость невязки при подстановке приближения тетрации в передаточное уравнение обеспечивает близость к более аккуратному представлению через разложение \rf{e1e24}. 
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{80pt}
%\begin{wrapfigure}{r}{90pt}
\vskip -12pt
\sx{.3}{\begin{picture}(200,810)
\put(0,0){\ing{nepreryvnost}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Неразрывность \label{nepreryvnost}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}

При $b \!\rightarrow\! \exp(1/\mathrm e)$, эффективность алгоритмов для вычисления тетрации  (как через интеграл Коши, так и через регулярную итерацию) уменьшается. Поэтому Генрик Траппманн считал, что тетрация, рассмотренная как функция основания $b$, 
в точке $b\!=\!\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ не является непрерывной, подобно тому, как это изображено на рисунке \ref{nepreryvnost}. Генрик хотел асимптотическое разложение именно для основания $\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$ 
\footnote{
Это было уже после того, как статья про четыре вещественно-голоморфные суперэкспоненты по основанию $\sqrt{2}$ была направлена в Mathematics of computation \cite{sqrt2}; как видно, аппетит приходит во время еды.
}.. Пришлось строить разложение \rf{e1e24} для 
%$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$.
$b\!=\!\eta$.
Я надеюсь, Читатель уже понимает как можно угадывать разложения для экзотических итераций, и сможет написать аналогичное разложение суперфункций и для других передаточных функций, как только Читателю потребуется итерировать такие передаточные функции нецелое количество раз.
\vskip 2mm

Таким образом, я надеюсь, что у коллег не возникнет сложностей сосчитать не только $i$тую, но и  $\mathrm i$тую итерацию его или её передаточной функции.
\footnote{Здесь $i$ есть переменная, которая может принимать всякие (и, в частности, вещественные) значения. 
При этом $\mathrm i\!=\!\sqrt{-1}$ есть константа, которая никаких иных значений принимать не может.}
Даже если в стационарной точке производная этой передаточной функции равна единице.
Благодаря суперфункциям, такое вычисление становится вполне возможным и естественным.

%\chapter{~ Тетрация по комплексному основанию}
\chapter{~ Kомплексноe основаниe}
\baselineskip 20pt

\JP{
\begin{wrapfigure}[18]{r}{100px}
\sx{.4}{\begin{picture}(300,450)
\put(0,0){\ing{tetco}}
\end{picture}}
\caption{ Комплексное основание \label{tetco}}
\end{wrapfigure}
}%

В этой главе рассмотрена тетрация по комплексному основанию. То есть для передаточной функции $T(z)=b^z$, где основание
$b$ является комплексным числом.
% Возможно, конечно, и иное интерпретации термина ``комплексное основание''
%(см. Фигуру \ref{tetco}), 
В этой Книге основанием называется 
%именно 
то, что возводится в степень аргумента при вычислении экспоненциальной передаточной функции.
%\fotnote{Если у Читателя есть основания предположить, что у меня нет оснований для такого определения термина ``основание'', то, пожалуйста, предложите Ваше определение}
\vskip 3mm

В принципе, суперфункцию от экспоненты можно строить с помощью регулярной итерации, примерно так же, как в Главе  16
строится тетрация по основанию $\sqrt{2}$. При этом встает вопрос о том, около которой из стационарных точек %получающиеся 
итерации экспоненты должны быть регулярными.
Кроме того, для некоторых значений основания, вещественная часть инкремента $k$ равна нулю; 
%при этом 
тогда
решение трудно строить по его асимптотике.
%В качестве примера, Шелдон Левенштейн (Sheldon Levenstein) предложил значение $b=1.52598338517+0.0178411853321 \mathrm i$.
%Однако никаких особенностей, затрудняющих вучисление тетрации, для этого значения не обмаружено. 
\vskip 3mm

%Решение заключается в том, чтобы использовать 
Ниже, я использую 
метод интеграла Коши. Этот метод может применяться и для невещественных значений основания. Разумеется, для построения суперфункции $F$, следует указать, к которым из стационарных точек экспоненты по данному оснoванию должна эта функция стремиться при стремлении аргумента к $\mathrm i \infty$ и при стремлении аргумента к $- \mathrm i \infty$.  Из соображений простоты приходится потребовать, чтобы функция стремилась к стационарной точке экспоненты и, желательно, логарифма. 
\vskip 3mm

Для построения тетрации по комплексному основанию, следует выразить стационарные точки логарифма как функции
этого основания.
А ещё лучше
- чтобы 
не возиться с множеством разрезов
-
%А ещё лучше - чтобы не возиться с множеством разрезов - как функции логарифма этого основания.
%А ещё лучше 
%- чтобы не возиться с множеством разрезов - 
как функции логарифма этого основания.
Этому посвящена следующая секция.

\section{Стационарные точки логарифма}
\baselineskip 19pt

%Для того, чтобы определить тетрацию, которая плавно
%желательно - голоморфно по основанию $b$,
%желательно - голоморфно по основанию $b$,
%переходила бы в тетрацию по вещественному основанию, 
%важно отследить её поведение  на $\pm \mathrm i \infty$.
%Естественно потребовать, чтобы, как и для вещественного основания большего $\exp^2(-1)$, в верхней части комлексной плоскости тетрация стремилась к стационарной точки с большей (и, возможно, положительной) мнимой частью, а в нижней части комплексной плоскости - к той стационарной точке, у которой мнимая часть меньше (и, возможно, имеет отрицательные значения. Термин ``возможно'' относится к малым значениям мнимой части основания. Естественно начинать рассмотрение с этого случая, с тем, чтобы обеспечить голоморфизм тетрации, рассматриваемой как функциию основания $b$, хотя бы вблизи вещественных значений $b$. Для этого следует рассмотреть стационарные точки передаточной функции. Такое рассмотрение оставляет предмет этой секции.
%\vskip 2mm
Пусть $L=\mathrm{filog}(B)$ будет решением уравнения
\be
\ln(L)=BL
\eL{LL}
Комплексная карта функции filog показана на рисунке \ref{filogmap}.
Зумин этой карты показан на рисунке  \ref{filogzo2}.
\begin{figure}[t]
%\sx{.24}{\begin{picture}(2000,2000)
\sx{.2}{\begin{picture}(2004,2004)
\put(50,40){\includegraphics{filogmap}}
\put(16,2024){\sx{4.3}{$y$}}
\put(16,1828){\sx{4.2}{$8$}}
\put(16,1628){\sx{4.2}{$6$}}
\put(16,1428){\sx{4.2}{$4$}}
\put(16,1228){\sx{4.2}{$2$}}
\put(16,1028){\sx{4.2}{$0$}}
\put(-11,828){\sx{4}{$-2$}}
\put(-11,628){\sx{4}{$-4$}}
\put(-11,428){\sx{4}{$-6$}}
\put(-11,228){\sx{4}{$-8$}}
\put(-8,0){\sx{4}{$-10$}}
\put(204,0){\sx{4}{$-8$}}
\put(404,0){\sx{4}{$-6$}}
\put(604,0){\sx{4}{$-4$}}
\put(804,0){\sx{4}{$-2$}}
\put(1046,0){\sx{4}{$0$}}
\put(1246,0){\sx{4}{$2$}}
\put(1446,0){\sx{4}{$4$}}
\put(1646,0){\sx{4}{$6$}}
\put(1846,0){\sx{4}{$8$}}
\put(2036,0){\sx{4.2}{$x$}}
%\put(40, 2){\sx{.8}{$1/\rme$}}
%\put(108, 0){\sx{1}{$1$}}
%\put(164, 2){\sx{.8}{$\pi/2$}}
\put(1600,1480){\sx{6}{\rot{55}$u\!=\!0$ \ero} }
\put(270,1240){\sx{6}{\rot{60}$u\!=\!0.2$ \ero} }
\put(800,1070){\sx{6}{\rot{55}$u\!=\!0.4$ \ero} }
\put(90,910){\sx{6}{\rot{16}$u\!=\!0$ \ero} }
\put(286,470){\sx{6}{\rot{70}$u\!=\!-0.2$ \ero} }
\put(1686,970){\sx{6}{\rot{-30}$u\!=\!-0.2$ \ero} }
\put(1686,610){\sx{6}{\rot{26}$v\!=\!0.2$ \ero} }
\put(1316,210){\sx{6}{\rot{-56}$v\!=\!0$ \ero} }
\put( 330,444){\sx{6}{\rot{5}$v\!=\!-0.4$ \ero} }
\put( 700,10){\sx{6}{\rot{56}$v\!=\!-0.2$ \ero} }
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Filogbigmap100.png}
\vskip -8pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{filog}(x\!+\!\mathrm i y)$ ,
%as solution of 
%карта решения
решение $L\!=\!\mathrm{filog}(B)$
уравнения 
\rf{LL} \label{filogmap} } 
\vskip -1pt
\end{figure}
%Нетрудно видеть, что если 
%\vskip 2mm
Пусть
\be
B=\ln(b)
\eL{Bb}
тогда  $\mathrm{filog}(B)$ выражает стационарную точку $L_1$ логарифма по основанию $b$; другая стационарная точка $L_2$
определяется комплексным сопряжением:
\be
L_1&=&\mathrm{fllog}(B)  ~ ~\iL{L1filog}\\
L_2&=&\mathrm{filog}(B^*)^*
\eL{L2filog}

\begin{figure}[h]
%JP
{\sx{1.32}{\begin{picture}(208,208)
\put(8,8){\includegraphics{filogzoo}}
\put(4,207){$1$}
\put(0,147){$y$}
\put(4,107){$0$}
\put(-3, 8){$-\!1$}
\put(2, 0){$-\!1$}
\put(108, 0){$0$}
\put(140, 2){\sx{.8}{$1/\rme$}}
\put(209, 0){\sx{1}{$1$}}
\put(264, 2){\sx{.8}{$\pi/2$}}
\put(307, 2){\sx{.9}{$x$}}
\put(186,42){\sx{1}{\rot{68}$v\!=\!2$ \ero} }
\put(250,49){\sx{.6}{\rot{84}$v\!=\!1.2$ \ero} }
\put(282,43){\sx{1}{\rot{82}$v\!=\!1$ \ero} }
\put(283,161){\sx{.6}{\rot{-40}$v\!=\!0.8$ \ero} }
\put(250,143){\sx{.6}{\rot{60}$u\!=\!0.2$ \ero} }
\put(284,117){\sx{1}{\rot{37}$u\!=\!0$ \ero} }%
\put(284,74){\sx{.6}{\rot{5}$u\!=\!-0.2$ \ero} }
\put(28.4,120){\sx{.7}{\rot{79}$u\!=\!0.6$\ero}}
\put(84.4,113){\sx{.7}{\rot{74}$u\!=\!0.8$\ero}}
\end{picture}}
}%JP
\vskip 16pt

%\sx{.48}{\begin{picture}(1020,1000)
\sx{.4}{\begin{picture}(1020,1000)
\put(10,10){\includegraphics{filogzo2}}
\put(0,1012){\sx{2.3}{$y$}}
\put(-7,914){\sx{2.3}{$\frac{4}{10}$}}
\put(-7,814){\sx{2.3}{$\frac{3}{10}$}}
\put(-7,714){\sx{2.3}{$\frac{2}{10}$}}
\put(-7,614){\sx{2.3}{$\frac{1}{10}$}}
\put( 2,514){\sx{2.3}{$0$}}
\put(-7,414){\sx{2.3}{$\frac{-\!1}{10}$}}
\put(-7,314){\sx{2.3}{$\frac{-\!1}{5}$}}
\put(-7,214){\sx{2.3}{$\frac{-\!3}{10}$}}
\put(-7,114){\sx{2.3}{$\frac{-\!2}{5}$}}
\put(-7, 14){\sx{2.3}{$\frac{-\!1}{2}$}}
\put(90, -1){\sx{2.3}{$-0.4$}}
\put(190, -1){\sx{2.3}{$-0.3$}}
\put(290, -1){\sx{2.3}{$-0.2$}}
\put(390, -1){\sx{2.3}{$-0.1$}}
\put(516, -1){\sx{2.3}{$0$}}
\put(609, -1){\sx{2.3}{$0.1$}}
\put(709, -1){\sx{2.3}{$0.2$}}
\put(809, -1){\sx{2.3}{$0.3$}}
\put(866, -1){\sx{2.2}{$1/\mathrm e$}}
\put(910, -1){\sx{2.3}{$0.4$}}
\put(1010, 0){\sx{2.4}{$x$}}
\put(250,540){\sx{3}{\rot{82}$u\!=\!0.8$ \ero} }
\put(530,540){\sx{3}{\rot{81}$u\!=\!1$ \ero} }
\put(680,524){\sx{2.8}{\rot{77}$u\!=\!1.2$ \ero} }
\put(768,524){\sx{2.8}{\rot{72}$u\!=\!1.4$ \ero} }
\put(816,524){\sx{2.8}{\rot{56}$u\!=\!1.6$ \ero} }
\put(600,684){\sx{2.8}{\rot{-33}$v\!=\!0.2$ \ero} }
\put(720,798){\sx{2.8}{\rot{-62}$v\!=\!0.4$ \ero} }
\put(820,490){\sx{3}{\rot{-4}$v\!=\!1$ \ero} }
\put(820,466){\sx{3}{\rot{-12}$v\!=\!2$ \ero} }
\put(808,446){\sx{3}{\rot{-26}$v\!=\!3$ \ero} }
\put(768,372){\sx{3}{\rot{36}$u\!=\!5$ \ero} }
\put(770,350){\sx{3}{\rot{26}$u\!=\!4$ \ero} }
\put(770,324){\sx{3}{\rot{16}$u\!=\!3$ \ero} }
\put(768,297){\sx{3}{\rot{2}$u\!=\!2$ \ero} }
\put(766,262){\sx{3}{\rot{-8}$u\!=\!1$ \ero} }
\put(752,230){\sx{3}{\rot{-28}$u\!=\!0$ \ero} }
\put(94,99){\sx{3}{\rot{41}$v\!=\!-2$ \ero} }
\put(162,50){\sx{3}{\rot{57}$v\!=\!-1$ \ero} }
\put(242,30){\sx{3}{\rot{75}$v\!=\!0$ \ero} }
\put(315,30){\sx{3}{\rot{87}$v\!=\!1$ \ero} }
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 18pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Figlogzo2t.jpg}
\vskip -6pt
\caption{%Zoomin from figure \ref{filogmap} \iL{filogzo2} 
$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{filog}(x\!+\!\mathrm i y)$, зумины центральной части фигуры  \ref{filogmap} \iL{filogzo2}  }
\vskip -406pt
\end{figure}

\rule{0pt}{200pt}

\newpage

%Для того, чтобы не иметь дела с многочисленными точками ветвления (branchpoints) и соответствующими бранчами (branch), листами вспомогательных функций, удобно рассматривать в качестве параметра не базу $b$ , a её логарифм $B$. Чтобы показать структуру тех ветвлений функции filog, которые представляются неизбежными, 
%[[Filog]] can be expressed through the [[Tania function]] and with the [[WrightOmega]] function.
%For moderate valus of $\Im(\ln (z))$, the relation through function [[WrightOmega]] can be used
%For moderate valus of $\Im(\ln (z))$, the relation through function [[WrightOmega]] can be used
%$\displaystyle \mathrm{Filog}(z)= \frac{\mathrm{WrightOmega}\!\big(\ln(z)-\pi \mathrm{i}\big)}{-z}$
%More robust is relation through the Tania function,

Функцию filog  можно выразить через функцию Tania
\be
\displaystyle \mathrm{filog}(z)= \frac{\mathrm{Tania}\big(\ln(z)-1- \pi \mathrm{i}\big)}{-z} 
\ee
Для построения тетрации по комплексному основанию, здесь указана именно Таня, по формуле \rf{taniaprim}, а не похожая на неё WrightOmega.
Читатели приглашаются попробовать воспроизвести рисунки \ref{filogmap} и \ref{filogzo2}, используя ВрайтОмегу вместо Тани, и посмотреть, что получится вместо красивой карты.
\vskip 2mm
%Стационарные точки логарифма являются стационарными точками экспоненты, но не все стационарные точки экспоненты при этом являются стационарными точками логарифма. Следуя общей методике упрощения (Аксиома ТОРИ о плюрализме), естественно в первую очередь рассматривать функцию с простым поведением, и именно её называть термином ``тетрация''. 
%Поэтому стационарные точки логарифма представляют интерес. 
%\vskip 2mm

%Содержание этой секции в значительной степени представляет собой пересказ статьи  
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog} о функции filog. Эта 
Функция filog определяет стационарные точки логарифма по заданному основанию $b$:
\be
L_1&=&\mathrm{filog}\big(\ln(b)\big)  ~ ~\iL{L1filob}\\
L_2&=&\mathrm{filog}\big(\ln(b^*)\big)^*
\eL{L2filob}
На $\pm \mathrm i \infty$, тетрация должна стремиться к этим стационарным точкам. Tребования (допущения) об асимптотическом поведении тетрации позволяют использовать интеграл Коши для её вычисления. В следующей секции предлoжен пример использования функции filog
для детерминации асимптотического поведения тетрации по комплексному основанию.
%\vskip 2mm
%$\pm \mathrm i \infty$


%Комплексная карта функции filog, показанная на рисунке \ref{filogmap}, а также её зумин на рисунке  \ref{filogzo2}
%загружены в ТОРИ по адресам \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Figlogzo2t.jpg} и \\
%Там же доступны генераторы этих рисунков.
%
\section{Tetration to the Sheldon base}
\baselineskip 19pt

%В 2012 году, Шелдон Левенштейн (Sheldon Levenstein) выразил сомнения в том, что Интеграл Коши, рассмотренный в предыдущей главе, может быть полезен для вычисления тетрации по комплексному основанию. Особенно сложным считался случай, когда основание 
В этой секции рассмотрена тетрация по основанию Шелдона,
\be
b=1.52598338517+0.0178411853321 \mathrm i
\eL{sheldonS}
Это название образовано от имени Шелдон Левенштейн (Sheldon Levenstein); в 2012 году Шелдон ожидал, что при вычислении тетрации по такому основанию возникнут сложности. Верятно, он имел в виду, что для одной из стационарных точек экспоненты по такому основанию,
регулярная итерация затруднительна, так как вещественная часть соответствующего инкремента $k$ близка к нулю.
%Он не сумел объяснить, почему именно такое значение особенно интересно, и не указал, их каких соображений он выбрал это число. Возможно, десятичные цифры в формуле \rf{sheldonS}
%кодируют код к бронированной двери сокровищницы какого-нибудь советского ветерана или криминального авторитета какой-либо банановой республики. Однако Шелдон выразил желание посмотреть на карту тетрации именно по основанию Шелдона. 
%\vskip 2mm
Это был единственный запрос от коллег на вычисление тетрации по специфическому комплексному основанию
и заявка Шелдона удовлетворена. Комплексная карта такой тетрации показана на рисунке  \ref{sheldonmap}.

%\begin{figure}[h]
%test
%\end{figure}
\begin{figure}[t]
%\sx{.81}{\begin{picture}(602,211)
\sx{.7}{\begin{picture}(602,211)
\put(10,10){\ing{tetsheldonmap}}
\put(2,206){$y$}
\put(2,188){$8$}
\put(2,168){$6$}
\put(2,148){$4$}
\put(2,128){$2$}
\put(2,108){$0$}
\put(-6,88){$-2$}
\put(-6,68){$-4$}
\put(-6,48){$-6$}
\put(-6,28){$-8$}
%\put(0,8){-10}\put(261,0){$-4$}
\put(-1,0){$-30$}
\put( 49,0){$-25$}
\put( 99,0){$-20$}
\put(149,0){$-15$}
\put(199,0){$-10$}
%\put(222,0){$-8$}
%\put(242,0){$-6$}
\put(252,0){$-5$}
%\put(262,0){$-4$}
%\put(282,0){$-2$}
\put(309,0){$0$}
\put(329,0){$2$}
\put(349,0){$4$}
\put(369,0){$6$}
\put(389,0){$8$}
\put(407,0){$10$}
\put(457,0){$15$}
\put(507,0){$20$}
\put(557,0){$25$}
\put(607,1){$x$}
\multiput(24,180)(118,-1){5}{$v\!=\!1.2$}
\multiput(70,180)(118,-1){5}{$u\!=\!2$}
\multiput(112,158)(118,-1){5}{\rot{-50}$v\!=\!1$\ero}
\multiput(102,142)(118,-1){5}{\rot{-35}$v\!=\!0.8$\ero}
\put(336,107){\rot{-11}$v\!=\!0$\ero}
\multiput(206, 92)(119,-22){4}{$v\!=\!-1$}
\multiput(70, 84)(119,-22){4}{$u\!=\!1.2$}
\multiput(110, 76)(119,-22){4}{$v\!=\!-1.4$}
\put(420,199){\sx{1.3}{$u+\mathrm i v \approx 2.0565+1.1445 \,\mathrm i$}}
\put(30,26){\sx{1.3}{$u+\mathrm i v \approx 2.2284-1.3508 \,\mathrm i$}}
\end{picture}}
\vskip 1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetsheldonmap03.png}
\vskip -8pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\! \mathrm{tet}_b(x\!+\!\mathrm i y)$ для $b\!\approx\!
   1.52598%338517 
\!+\! 0.01784%11853321
\,\mathrm i $, см. \rf{sheldonS} \label{sheldonmap} }
\end{figure}

%Следуя традициям советской шкокы
%, и при этом указал значение основания, тетрация по которму его интересует. Генрик Траппманн тоже интересовался тетрацией по комплексному основанию, но Генрика интересовала тетрация по какому попало основанию.  Запрос Генрика более обоснован, чем запрос Шелдона. Однако, до сих пор я ещё не запрограммировал четырехмерный графопостроитель, чтобы строить вещественную и мнимую части тетрации в четырех измерениях, две координаты для вещественной и мнимой части основания, и две координаты для вещественной и мнимой части аргумента. Лишь по этой причине удовлетворена заявка Шелдона, я не заявка Генрика.
\vskip 2mm
\begin{wrapfigure}{r}{120px}
\vskip -2pt
\sx{.46}{\begin{picture}(400,270)
\put(0,0){\ing{opis}}
\put(0,0){\color{white}\rule{400px}{60px}}
\put(42,36){\sx{2.2}{\em Милиционеры}}
\put(68,6){\sx{2.2}{\em описывают}}
\put(64,-24){\sx{2.2}{\em имущество}}
%\put(0,20}{\sx{2}{\em fff}}
\end{picture}}
\vskip 4pt
\caption{Опись %имущества
%Как принято описывать интересные вещи в Советской Школе 
\label{opis}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure} 
\baselineskip 21pt
Ниже, я, следуя трацициям Советской Школы (рисунок \ref{opis}), описываю тетрацию по основанию Шелдона.
%Я думаю, что Генрик и сам может рассчитать тетрацию по любому основанию, которое ему понадобится для приложений или просто взбредет в голову. Того же я ожидаю от Читателя. Теперь положение Читателя даже лучше, чем было положение Шелдона или Генрика, когда мы обсуждали тетрацию по комплексному основанию. Потому как ниже, в этой главе, и в этой самой секции, описана тетрация по основанию Шелдона. Я стараюсь описывать эту тетрацию наиболее простым (хотя и не самым общим) способом, помня уроки и знания, которые я (порой без разрешения учителей) вынес ещё из Советской Школы ).
%В отличие от миллиционеров (считающих, что если они что-то описали, то никто другой уже этим пользоваться не может), я приглашаю Читателей и Коллег пользоваться описанной здесь тетрацией по мере того, как кому-либо такая тетрация потребуется. Таким образом, а надеюсь, что с помощью описанных выше методов можно  вычислять тетрацию для таких значений основания $b$, какое требуется в задачах уважаемых и благородных Читателей и Коллег, даже если они (не коллеги, а оснивания) комплексны.
%\vskip 2mm
%Тетрация по другому комплексному основанию может строиться по такому же алгоритму с мимимальной адаптацией. (Потребуется пересчитать значение фиксированной точки, оценить скорость стремления тетрации к этой точке и выбрать подходящее значение высоты прямоугольника, использованного в качестве контура интегрирования в формуле Коши.)
%хотя и ничем не мотивированный запрос на вычисление тетрации по комплексному основанию и я решил его удовлетворить.
%Других указаний на какие-либо комплексные значения основания, по каким-либо причинам представляющие особенныи интерес, пока не наблюдается; поэтому 
%\vskip 2mm
%Я надеюсь, что я достаточно подробно объяснил, почему именно основание Шелдона \rf{sheldonS} взято в качестве примера. 
Комплексная  карта тетрации по такому основанию представлена на рисунке \ref{sheldonmap}; сейчас я расскажу, как она вычисляется.
% такая тетрация.
\vskip 2mm

В этой секции предполагается, что основание $b$ определено формулой \rf{sheldonS}.
Стационарные точки логарифма по основанию $b$, то есть решения $L$ уравнения  $\ln_b(L)\!=\!L$, выражаются через функцию filog:
\be
\!\!\!\!\!\!\! L_1 = \mathrm{filog}(B) ~ \approx 2.0565398441043761 \!+\! 1.1445267140098765 ~ \mathrm i \label{sheldonL1}\\
\!\!\!\!\!\!\! L_2 =\! \mathrm{filog}(B^*)^*\! \approx 2.2284359658711805 \!-\! 1.3507994961102865 ~ \mathrm i
\label{sheldonL2}
\ee
%где
\be
B=\ln(b)\approx 0.4227073870410604 + 0.0116910660021443 \mathrm i
\ee

Решение $F$ с асимптотиками 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!&\!=\!&\!L_1\!+\! \exp( k_1 z \!+\! \phi_1) + \mathcal O(\exp( 2 k_1 z))~ ~ \text{при} ~ ~ \Im(z)\!\rightarrow  \infty ~
\label{sheldonFasUp}
\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)\!&\!=\!&\!L_2\!+\! \exp( k_2 z \!+\! \phi_2) + \mathcal O(\exp( 2 k_2 z))~ ~ \text{при} ~ ~ \Im(z)\!\rightarrow\! - \infty
\label{sheldonFasDown}
\ee
строится так же, как и для тетрации по вещественному основанию, б\'oльшему основания Генрика 
$\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)$. 
Подстановкa асимптотических решений в передаточное уравнение определяет инкременты
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
k_1 \!&\!=\!&\! \ln(L_1 b) \approx \! -0.0047589243931785 \!+\! 0.5354935770338939\, \mathrm i 
\label{sheldonkup}\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
k_2 \!&\!=\!&\! \ln(L_2 b) \approx ~  ~ 0.0970758595007548 \!-\! 0.517289596155984\,\mathrm i
\label{sheldonkdown}\ee
Соответственно, решение имет квазипериод 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P_1= \frac{2 \pi \mathrm i} {k_1} \approx -0.1042667514229599~\mathrm i \!+\! 11.7325200133916496
\label{sheldonPup}
\ee
в верхней части комплексной плоскости и квазипериод 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P_2=\frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx  -2.2018723603861230 ~ \mathrm i \!+\! 11.7331504449085493
\label{sheldonPdown}
\ee
в нижней части комплексной плоскости. 
\vskip 2mm

Сформулированных выше свойств достаточно для того, чтобы через интеграл Коши выразить решение $F(z)$
передаточного уравнения 
\be
F(z\!+\!1)=\exp\Big(B\, F(z)\Big)
\eL{sheldonTra}
вдоль полосы $|\Re(z)|\!<\!1$. Такое построение аналогично построению тетрации по основанию $\mathrm e$,
описанному в главе 14, поэтому я не повторяю описание контура интегрирования и детали итерационной процедуры,
дающей аппроксимацию решения. Как и для вещественного основания,
% $b\!>\!\exp(1/\mhtrm e)$,
тетрация выражается через решение $F$:
\be
\mathrm{tet}_b(z)=F(z_1+z)
\eL{sheldonTetDef}
где $z_1$ есть решение уравнения $F(z_1)=1$.
%Как и для вещественного основания $b\!>\!\exp(1/\mhtrm e)$, для основания Шелдона,
Используя передаточное уравнение \rf{sheldonTra}, решение можно распространить 
по крайней мере на правую часть комплексной плоскости. Что касается левой части, то во Втором квадранте координатной плоскости (то есть при $x\!<\!0$, $y\!>\!0$) возникнут разрезы, неизбежные при использовании логарифмической функции. K сожалению, такие разрезы не уместились в области карты, показанной на рисунке \ref{sheldonmap}, хоть я и делаю этот рисунок во всю ширину страницы. То, что такие разрезы (и точки ветвления) имеются, Читатель может видеть из асимптотики \rf{sheldonFasUp}, поскольку для основания Шелдона мнимая часть периода $P_1$ отрицательна.
\vskip 2mm

Каждый раз, когда тетрация принимает значение ноль, на единичку слева имеется точка ветвления и соответствующий разрез области голоморфизма. Такие разрезы типичном и для других тетраций, даже по вещественному основанию, когда применяется формула
\be
F(z)={\log_b}^m (F(z\!+\!m))
\ee
для такого целого $m$, что значение $z\!+\!m$ попадает в полосу $|\Re(z)|\le 1/2$, где формула Коши дает аккуратную первичную аппроксимацию.
В этом смысле тетрация по основанию Шелдона аналогична тетрации по вещественному основанию.

%\section{Поведение тетрации по комплексному основанию}
\section{Область тронной ракушки}

%В окрестности начала координат и п
При умеренных значениях арумента $z$, тетрация  $\mathrm{tet}_b(z)$ выглядит гладкой функцией основания $b$. 
При больших значениях $\Re(z)$, в зависимости от основания, тетрация либо имеет сложное, квази-хаотическое поведение, либо стремится к одной из своих стационарных точек.
На сайте Эретранде, область стремления к стационарному значению названа Shell-Thron region
\footnote{ Shell-Thron region:\\ \url{http://math.eretrandre.org/hyperops_wiki/index.php?title=Shell-Thron_region}. }. К сожалению, я не смог извлечь оттуда результатов, которые я бы счел подходящими для этой Книги.
%\vskip 2mm
Можно образовать ``кальку'', переведя английское название как ``Область Тронной Ракушки''. 
%Русскоязычных публикаций о тетрации пока мало, и 
Пока трудно судить о том, насколько такое название удобно.
\vskip 2mm

В принципе, при итерировании экспоненты, можно говорить о шестимерном пространстве. Координатами такого пространства являются вещественная и мнимая части основания $b$, вещественная и мнимая части аргумента и вещественная и мнимая части номера итерации.
В шестимерном пространстве могут быть спрятаны нетривиальные эффекты, заслуживающие исследования. Я надеюсь, что их рассмотрение не вызовет сложностей, и поэтому такие эффекты не рассмотрены в этой книге.
%Следуя принципу, сформулированному в книге ``Понедельник начинается в субботу'', я
Я  стараюсь работать над такими проблемами, которые считаются неразрешимыми
\cite{ponedelnik}.

\vskip 2mm
%\section{Ещё работа}
Я представил один-единственный пример вычисления тетрации по комплексному основанию. Предложенные в этой Книге инструменты
% и, в частности, представление тетрации через интеграл Коши, 
позволяют вычислять тетрацию по такому основанию, по какому потребуется.
%от такого комплексного аргумента, какой потребуется. 
И не только тетрацию. В следующей главе рассмотрен случай, когда тетрация выступает в роли передаточной функции, и вычисляется её суперфункция.
\vskip 2mm

%Возможно, Читателю покажется, что какие-либо случаи представляют особенный интерес, ведут к каким-либо парадоксам, противоречиям. Я надеюсь, что я достаточно заинтересовал Читателя
%красотой построенных комплексных карт, и Читатель сможет либо рассмотреть особенно интересный случай самостоятельно, или объяснить мне, почему такой случай ``не получается'' методами, предложенными выше.
%\vskip 2mm
%Я стараюсь не строить теорию драконов, сферических лошадей в вакууме и тому подобных явлений. Для того, чтобы такая теория была интересна, требуется ``затравка'' - или какое-то противоречие, парадокс, или какие-то, хотя бы мысленные, приложения. В соответствии с аксиомами ТОРИ, такие приложения требуются хотя бы для того, чтобы подтверждать (или опровергать) результаты исследований. Поэтому я на этом пока заканчиваю рассмотрение тетрации по комплексному основанию.}%JP

\chapter{~ Аскерманны}
% и заметки о национальном вопросе \label{Ackermanns}}
\baselineskip 21pt

\hskip 100pt
\begin{parbox}{500pt}
{\small \baselineskip 12pt 
Old story, century 20: \\---Abgam, did you hear, one of us sank ``Titanic''. \\--- Wou! Who did that? \\--- One says, some Aisbegg!
\vskip 1mm
Old story, century 21: \\ --- Abgam, do you know, one of us asks hoggible questions!  \\--- Who is that man? \\--- One says, some Askeg-man!
\vskip 2mm

Перевод с Английского:
\vskip 1mm
Старая история, 20й век: \\--- Абгам, слыхал, наши ``Титаник'' потопили! \\ --- Да ну! А кто?\\ --- Я точно не знаю, но говогят, какой-то Айсбегг!
\vskip 1mm
Старая история, 21й век: \\--- Абгам, ты слыхал, один из наших задает ужжасные вопгосы..\\ --- Да ну! А кто?\\ --- Говогят, какой-то Аскегманн!\\
}
\end{parbox}
%\chapter{Тетрация по основанию e}

Я надеюсь, что предложенный выше эпиграф не послужит причиной обвинения меня в антисемитизме. Среди моих соавторов есть и весьма германские арийцы, и столь же семитские евреи. Я вижу особенности каждой из указанных наций; я ценю как еврейскую ``ментальность'' (достаточно выраженную в так называемых ``еврейских анекдотах''), так и арийскую педантичность (столь же выраженную в историях и шутках про ``немцев''). Для эффективного научного исследования требуется и то, и другое. Примерно так, для забрасывания баскетбольного мяча в сетку, особенно эффективны качества высоченного бразильца, а для рекордов по спелеологии более важны качества тщедушного вьетнамца или африканского пигмея. Научные исследования отличаются тем, что трудно предсказать, что потребуется: мяч в сетку или пролезть в узкую щель. Одинаково глупо как настаивать на том, что нации ``равны'' (и запрещать обсуждать очевидное различие), так и заявлять, что кто-то из них, вообще, ``лучше'' (и на этом основании требовать для кого-то из них каких-либо специальных прав и привилегий). Я считаю, что такое лирическое отступление помогает понять ментальность и идеологию аскерманнов, о которых идет речь в этой главе.
\vskip 3mm

Для вещественного параметра $b\!>\!1$, называемого базой, тетрацией называется решение $f\!=\!\mathrm{tet}_b$
%передаточного 
уравнений
\be
f(z\!+\!1)=b^{f(z)}   ~ ~ ~, ~ ~ ~ f(0)=1
\eL{tetb}
голоморфное по крайней мере в области 
\be
z \in \bC : \Re(z)>-2 
\eL{htetb1}
и ограниченное в области 
\be
z \in \bC : |\Re(z)| \le 1 
\eL{htetb12}
%Исторически, тетрация по основанию e оказалась первой нетривиальной суперфукцией, для которой удалось построить эффективное решение \cite{analuxp}. Случай $b=\mathrm e$ рассматривается в этой главе.

Уравнение \rf{tetb} является частным случаем 
%уравнений 
цепочки Аскерманна
\be
\!A_1(z)&\!=\!&b+z ~,~z \in \bC ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ \iL{Acker1}\\
\!A_n(1)&\!=\!&b ~,~ n\in \bN, n\!\ge\!1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~\iL{Acker2}\\
\!\!\!\!A_n(z\!+\!1)\!\!&\!=\!&\!A_{n-1}\big(A_n(z) \big) ~,~ n\in \mathbb{N}, n > 1 ~ ~ \iL{Acker3}~ ~ ~ ~ ~
\ee
Функции $A$ здесь называются аскерманами (с маленькой буквы), чтобы не путать их с великим и могучим математиком Вильгельмом Аскерманном (Wilhelm Ackermann) \cite{acker}. 
Именно об аскерманнах идет речь в этой главе. 
\vskip 3mm

Первые три аскерманна являются элементатными функциями. Интерес представляет 
построение высших аскерманнов. Такое построение помогает, в частности, проверить, отточить
общие методы построения суперфункций.
\vskip 3mm

Для основания $b\!=\!2$, Графики первых четырех аскерманнов показаны на рисунке 
\ref{acker2t} жирными кривыми: сплошной, сплошной, точковой и пунктиром.
Тонкие кривые относятся несколько иной системе обозначений, рассмотренной в следующей секции.
%Для первых аскерманнов есть специальные названия.
% \vskip 2mm
\newpage
\rule{0pt}{494pt}

\begin{figure}[h]
\vskip -500pt
%\sx{.5}{\begin{picture}(408,1006) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\sx{.7}{\begin{picture}(308,506) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\sx{.4}{\begin{picture}(308,506) %\put(12,0){\ing{penma}}
\sx{.69}{\begin{picture}(308,1006) %\put(12,0){\ing{penma}}
\put(0,0){\ing{acker2}}
\put(281,988){\sx{3.}{$y$}}
\put(279,895){\sx{3.}{$6$}}
\put(279,795){\sx{3.}{$5$}}
\put(279,694){\sx{3.}{$4$}}
\put(279,594){\sx{3.}{$3$}}
\put(279,468){\sx{3.}{$\mathrm e$}}
\put(279,494){\sx{3.}{$2$}}
\put(279,394){\sx{3.}{$1$}}
\put(279,294){\sx{3.}{$0$}}
\put(258,193){\sx{3.}{$-1$}}
\put(258, 93){\sx{3.}{$-2$}}
\put( 80,274){\sx{3.}{$-2$}}
\put(180,274){\sx{3.}{$-1$}}
\put(296,274){\sx{3.}{$0$}}
\put(396,274){\sx{3.}{$1$}}
\put(496,274){\sx{3.}{$2$}}
\put(586,274){\sx{3.}{$x$}}
%
%\put(242,620){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathcal{A}(4,x)\!=\! A_2(x\!+\!3)\!-\!3\!=\!\mathrm{tet}_2(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(248,720){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathcal{A}(4,x)\!=\! A_{2,4}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(312,720){\sx{1.8}{\rot{80}$y\!=\!\mathcal{A}(3,x)\!=\! A_{2,3}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(348,712){\sx{1.8}{\rot{63}$y\!=\!\mathcal{A}(2,x)\!=\! A_{2,2}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}
\put(314,526){\sx{1.8}{\rot{45}$y\!=\!\mathcal{A}(1,x)\!=\! A_{2,1}(x\!+\!3)\!-\!3$\ero}}

%\put(438,714){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
%\put(538,912){\sx{1.8}{\rot{82}$y\!=\!\mathrm{tet}_2(x)$\ero}}
\put(526,822){\sx{1.8}{\rot{82}$y\!=\!A_{2,4}(x)\!=\!\mathrm{tet}_2(x)$\ero}}
%\put(578,892){\sx{1.8}{\rot{73}$y\!=\!2^x$\ero}}
\put(566,858){\sx{1.8}{\rot{73}$y\!=\!A_{2,3}(x)\!=\!2^x$\ero}}
\put(566,792){\sx{1.8}{\rot{62}$y\!=\!A_{2,2}(x)\!=\!\mathrm{2}x$\ero}}
%\put(478,628){\sx{1.8}{\rot{50}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
\put(520,696){\sx{1.96}{\rot{44}$y\!=\!A_{2,1}(x)\!=\!2\!+\!x$\ero}}
%
%\put(86,222){\sx{1.9}{\rot{11}$y\!=\!\mathrm{exp}(x)$\ero}}
%\put(20,30){\sx{1.9}{\rot{30}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(32,326){\sx{1.9}{\rot{3}$y\!=\!2^x$\ero}}
\put(132,4){\sx{1.9}{\rot{81}$y\!=\!\mathrm{tet}_2(x)$\ero}}
\put(178,8){\sx{1.9}{\rot{66}$y\!=\!\mathrm{2} x$\ero}}
%
%\put(308, 13){\sx{2.2}{$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt \hskip 1pt \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Acker2t400.jpg}
\vskip -10pt
\caption{
Сравнение обозначений для двоичных аскерманнов 
\iL{acker2t}}
%\vskip -500pt
\vskip -12pt
\end{figure}

%\rule{0pt}{500pt}


%\section{binary ackermanns}
\section{Двоичные аскерманны}

Ранее, аскерманны рассматривались преимущественно по основанию $b\!=\!2$. Чтобы не путать их с аскерманнами по другим основаниям, аскерманны по основанию 2 я называю бинарными, или классическими, или каноническими. Я не знаю, какой из этих терминов (и из этих ли) окажется более удобным.
\vskip 2mm

Для бинарных аскерманнов используются специальные обозначения. Номер аскерманна записывается в виде дополнительного, первого аргумента, а значение основания $b$ не указывается вовсе. В некотором смысле это оправдано: какой смысл указывать основание, если оно всегда константа, равная двум?
Связь классических (и пока общепринятых) обозначений для $b\!=\!2$ с аскерманнами по формулам 
\rf{Acker1}
\rf{Acker2}
\rf{Acker3} можно выразить простой формулой
\be
\mathcal{A}(m,z)=A_{2,m}(z+3)-3
\eL{asa3}
В частности, 
\be
A_{2,1}(x)&=\!&2+x=\mathcal A(1,x\!+\!3)-3=\mathcal A(1,x) \\
A_{2,2}(x)&=\!& ~2\, x ~=\mathcal A(2,x\!+\!3)-3 \\
A_{2,3}(x)&=\!&\exp_2(x)\!=\mathcal A(3,x\!+\!3)-3=2^x \\
A_{2,4}(x)&=\!&\mathrm{tet}_2(x)=\mathcal A(3,x\!+\!3)-3
\ee
\vskip 2mm

Чтобы показать связь между $A$ с индексом и одним аргументом и $\mathcal A$ без индекса, но с двумя аргументами, на рисунке \ref{acker2t} 
%оба
такие аскерманны построены как функции вещественного аргумента.
\vskip 1mm

$y\!=\!A_{2,m}(x)~$ для $~m=1,2,3,4$ показаны толстыми линиями (сплошной, сплошной, точковой, и пунктиром );
\vskip 1mm

$y\!=\!\mathcal{A}(m,x)~$ для $~m=1,2,3,4$ показаны тонкими линиями (сплошной, сплошной, точковой, и пунктиром ).
\vskip 2mm

Ввиду соотношения  \rf{asa3}, толстые линии образуются из тонких смещением, трансляцией на 3 единицы вдоль оси $x$ и настолько же по оси $y$. Лишь прямая для первого аскерманна при такой трансляции переходит сама в себя. 
\vskip 2mm

Специально для бинарных аскерманнов, системa уравнений 
\rf{Acker1},
\rf{Acker2},
\rf{Acker3}
может быть слегка расширена, чтобы включать ``нулевой'' аскерманн. Уравнения для $\mathcal A$ могут быть записаны так:
\be
\mathcal A(0,z)&=&z+1 \\
\mathcal A(m\!+\!1,0)&=&\mathcal A(m,1)\\
\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)&=&\mathcal A\Big(m,\mathcal A(m\!+\!1,z)\Big)
\eL{ackerbi}
Смещение и аргумента функции, и значения этой функции по формуле \rf{asa3} соответствует преобразованию сопряжения. Поэтому передаточное уравнение \rf{ackerbi} для бинарного аскерманна в ``классических'' обозначениях имеет такой же вид, как и передаточное уравнение  \rf{Acker3}.

\vskip 2mm
Одним из применений аскерманнов является обозначение больших чисел (для вещественного аргумента).
За счет смещения аргумента, канонические бинарные аскерманны могут создавать видимость несколько более быстрого роста, чем аскерманны по формулам \rf{Acker1},
\rf{Acker2},
\rf{Acker3}. 
Однако, для приложений, такое ``ускорение'' навряд ли существенно; и обозначения в формулах \rf{Acker1},
\rf{Acker2},\rf{Acker3} мне представляются более удобными, чем канонические. 
Потому как в обозначениях \rf{Acker1},
\rf{Acker2},\rf{Acker3} третий аскерманн оказывается просто экспонентой, четвертый - просто тетрацией, и так далее. Кроме того, если рассматривать свойства голоморфизма и итерации по последнему аргументу, а остальные аргументы (основание  $b$ и номер аскерманна $m$) считать параметрами, то удобно записывать эти параметры в виде индекса. 
Я надеюсь, что у Читателя не возникнет проблем с использованием соотношения \rf{asa3} для перехода из одной системы обозначений в другую. 

%\section{Обозначения}
\section{Названия}

B 20 веке, функции Аскерманна обычно рассматривались для основания $b\!=\!2$ и только для целых значений $z$.
Пока не видно принципиальных ограничений, которые препятствовали бы вычислению такой функции для комлексных
значений $b$ и $z$; разумеется, подходящие требования на область голоморфизма должны быть сформулированы.
Есть надежда, что для всех аскерманов можно потребовать голоморфизма по крайней мере в некоторой окрестности 
вещественной оси. Решение передаточного уравнения не единственно, поэтому следует либо указывать способ построения каждого аскерманна, либо изобретать требования на поведение аскерманнов в комплексной плоскости.
% а также ограниченности по крайней мере в некоторой полосе, параллельной мнимой оси.
\vskip 2mm

%На начало 21 века можно считать общепринятыми следующие имена для нескольких первых аскерманнов:
Несколько первых аскерманнов имеют специальные названия:
%разработаны эффективные алгоритмы для вычисления $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $A_4$; аналогично мо
%Эти функции имеют общепринятые названия:

$A_{b,1}= z\mapsto b\!+\!z$, добавление константы $b$,

$A_{b,2} = z\mapsto b z$, умножение на константу $b$,

$A_{b,3}= \exp_b = z\mapsto \mathrm{pow}(b,z)=z\mapsto b^z$, экспонента по основанию $b$,

$A_{b,4}= \mathrm{tet}_b= z \mapsto \mathrm{tet}_b(z)$, тетрация по основанию $b$,

$A_{b,5}= \mathrm{pen}_b= z \mapsto \mathrm{pen}_b(z)$, пентация по основанию $b$.

Следующиe функции могут обозначаться символами $\mathrm{hex}_b$,  $\mathrm{hep}_b$, $\mathrm{oct}_b$,..
и называться, соответственно, терминaми ``гексация'' (hexation), ``гептация'' (heptation), ``октация'' (octation) и т.д.
Такие обозначения получаются при транслитерации 
%на русский и английский язык 
латинских числительных и сокращении имен функций до трех букв. 
\footnote{Суперфункции расширяют возможности 
%русского языка 
посылать на три буквы. В принципе, для гексации можно было бы использовать латинское слово sextus (“sixth”, шесть) и oбразовать термин ``сексация'', обозначая соответствующую функцию $\mathrm{sex}_b$. Однако, судя по тому, какие сайты предлагают базы данных при поиске с ключевым словом  $\mathrm{sex}_b$, человеческая цивилизация ещё не вполне созрела для %использования 
сексации, и для суперфункции от пентации, то есть для шестого аскерманна, лучше использовать термин ``гексация''. %при итерациях пентации.
} 
\vskip 2mm

Изначально, формализм суперфункций разрабатывался для тетрации, то есть суперфункции от экспоненты. Однако этот формализм может применяться и для других передаточных функций, и, в частности, для различных аскерманнов. Как пример, в следующей секции рассмотрена пентация.

%\rule{0pt}{330pt}

\section{Пентация}

Если  Математику дать чайник, газовую плиту, спички и кран с водой, и попросить вскипятить чай, то он нальет в чайник воду, зажжет газ и поставит чайник на огонь. Но если после этого Математика ещё раз попросят вскипятить чай, когда вода уже в чайнике, а газ горит, то Математик выльет воду, погасит газ и произнесёт заклинание: {\bf ``Задача сведена к предыдущей''}.
\vskip 2mm

\begin{wrapfigure}{r}{242px}
\normalsize
\vskip -2pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(702,702)\put(0,0){\ing{tet5loplo}}
\sx{.338}{\begin{picture}(702,702)\put(0,0){\ing{tet5loplo}}
\put( 172,680){\sx{4}{$y$}}
\put( 172,590){\sx{4}{$4$}}
\put( 182,467){\sx{4}{e}}
\put( 172,390){\sx{4}{$2$}}
\put( 172,190){\sx{4}{$0$}}
\put( 194,164){\sx{4}{$0$}}
\put( 394,164){\sx{4}{$2$}}
\put( 594,164){\sx{4}{$4$}}
\put( 686,166){\sx{4}{$x$}}
\put(344,570){\sx{4}{\rot{80} $b\!=\! \rme$ \ero } }
\put(522,574){\sx{4}{\rot{66} $b\!=\!1.7$ \ero } }
\put(600,603){\sx{4}{\rot{64} $b\!=\!\tau$ \ero } }
\put(550,492){\sx{4}{\rot{42} $b\!=\!1.6$ \ero } }
%\put(574,422){\sx{4}{\rot{13} $b\!=\!1.5$ \ero } }
\put(580,438){\sx{4}{\rot{14} $b\!=\!1.5$ \ero } }
\put(592,400){\sx{4}{\rot{7} $b\!=\! \eta$ \ero}}
\put(574,345){\sx{4}{\rot{2}$b\!=\!\sqrt{2}$\ero}}
\put(130,504){\sx{4}{$L_{\tau,1}$}}
\put(500,164){\sx{4}{$L_{\tau,1}$}}
\put(-2,219){\sx{4}{$L_{\mathrm e,0}$}}
\put(202,6){\sx{4}{$L_{\mathrm e,0}$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{tet}_b(x)$, фрагмент рисунка \ref{tet10bx}; добавлены прямая $y\!=\!x$ и график $y\!=\!\mathrm{tet}_\tau(x)$
%с некоторыми дополнениями 
 \label{tet5loplot}}
\vskip -18pt
\end{wrapfigure}
%В этой книге из аскерманнов рассмотрена только тетрация. Я стараюсь не включать в Книгу неопубликованные результаты. Это не потому, что мне жалко, а потому, что есть надежда, что рецензенты научных журналов повылавливали бы хотя бы самые грубые ошибки, если вдруг чего не так.
%Поэтому я здесь не показываю пентацию и более высокие аскерманны. Они могут строиться по аналогии с тетрацией и другими суперфинлциями. Чтобы показать эту аналогию, 
Я надеюсь, что методами, описанными в выше, Читатель уже и сам
%(даже если он не знает, ни отчего умер Пушкин, ни как очищают политуру), 
может вычислять суперфункции и, в частности, тех аскерманнов, какие ему понадобятся.
% с такой аккуратностью, которая при этом потребуется. 
Однако я больше физик, чем математик. 
%Хотя я и и считаю, что задача построения суперфункции от тетрации сведена к предыдущей,  
Поэтому, вместо того, чтобы произнести заклинание ``задача сведена к предыдущей'', я предлагаю пример вычисления ещё одного аскерманна, %а именно - 
натуральной пентации, то есть
$\mathrm{pen}=\mathrm{pen}_\mathrm{e}=A_{\mathrm e,5}$.
\vskip 2mm

Ключевой вопрос при построении суперфункции - о стационарных точках передаточной функции.
%, и пентация - не исключение. 
Для пентации передаточной функцией является тетрация tet, рассмотренная в главе 14. 
%Для тетрации есть эффективный алгоритм FSEXP, залитый на всякие вики под именем fsexp.cin; так что я считаю, что с вычислением тетрации, арктетрации и её производных проблем уже нет.
Bещественые стационарные точки тетрации показаны на рисунке \ref{tet5loplot}. Это модификация рисунка \ref{tet10bx}:
некоторые кривые убраны; добавлена кривая для тетрации по основанию $b\!=\!\tau\!\approx\!1.63532$, где $\tau$ есть такое основание, что кривая $y\!=\!\mathrm{tet}_\tau(x)$ касается прямой $y\!=\!x$. Точка касания имеет координаты 
$(L_{\tau,1},L_{\tau,1})$, при этом $L_{\tau,1}\approx 3.087$. Для этого значения на рисунке \ref{tet5loplot} проведены дополнительные линии координатной сетки. 
\vskip 3mm

При значениях основания $b\!>\!\tau$, тетрация $\mathrm{tet}_b$ имеет только одну вещественную стационарную точку, и это, в частности, случай натуральной тетрации $\mathrm{tet}=\mathrm{tet}_\mathrm e$. Для натуральной тетрации, эта стационарная точка 
$L_{\mathrm e,0}\!\approx\! -1.85035452902718$, и для этого значения на рисунке \ref{tet5loplot} тоже проведены дополнительные координатные линии. 
Именно эта стационарная точка тетрации выбрана для построения натуральной пентации pen, то есть пятого аскерманна по основанию $\mathrm e\!=\!\exp(1)\!\approx\! 2.71~$.
\vskip 2mm

Натуральной пентацией, или пятым аскерманом по основанию $\mathrm e$, я называю суперфункцию от тетрации, построенную регулярной итерацией на стационарной точке 
$L_{\mathrm e,0}$,
%\!\approx\! -1.85035452902718$ 
и приближающуюся к этой стационарной точке на минус бесконечности.
%График пентации показан толстой курвой на рисунке \ref{penplot}.
\vskip 2mm

%Методами
%Аскерманны могут вычисляться с помощью методов, представленные в этой Книге. На рисунке \ref{tet5loplot} показан графический поиск стационарных точек тетрации. Именно эти стационарные точки определяют поведение супертетрации, и, в частности, следующего аскерманна, а именно - натуральной пентации 
%$\mathrm{pen}\!=\!\mathrm{pen}_\mathrm e\!=\!A_{\mathrm e,5}$.
%Пентация удовлетворяет передаточному уравнению
Для передаточной функции $\tet$, уравнение для суперфункции $F$ записывается так:
\be\!\!\!\!
%\mathrm{pen}(z\!+\!1)=\mathrm{tet}\Big( \mathrm{pen}(z)\Big)
F(z\!+\!1)=\mathrm{tet}\Big( F(z)\Big)
\label{TranPen}
\ee
Я строю растущее вдоль вещественной оси решение $F$ этого уравнения методом регулярной итерации на стационарной точке тетрации $L\!=\!L_{\mathrm e,5,0}\!\approx\! -1.85035452902718$; чтобы упростить выборочное чтение лишь некоторых глав этой книги, я привожу ниже ключевые формулы этого построения. 
\vskip 2mm

Для некоторого натурального числа $M$, я ищу асимптотическое решение $F$ уравнения \rf{TranPen}:
\be
F(z)=f(z) + O(\varepsilon^M)
\eL{penF}
где
\be
f(z)&=&L_{\mathrm e,4,0}+\sum_{m=1}^{M-1} a_m \varepsilon^m   ~ ~ ~ \iL{penf}
\\
\varepsilon&=&\exp(k z) ~ ~ ~ ~ ~ ~
\eL{penepsilon}
Здесь положительная константа $k$ имеет смысл инкремента роста суперфункции при больших отрицательных значениях аргумента,
а $a$ суть вещественные коэффициенты. Для простоты, удобно положить $a_1\!=\!1$. Подстановка представления \rf{penF}, \rf{penf}
в передаточное уравнение \rf{TranPen} и асимптотический анализ с малым параметром $\varepsilon$ дают оценки инкремента
$k\!\approx\! 1.86573322821$ и первых коэффициентов:
$a_2\!\approx\!-0.6263241$, $a_3\!\approx\! 0.4827~$.
При $M\!=\!4$, эти значения для супертетрации определяют первичную аппроксимацию $f$  по формуле \rf{penf}. Такая аппроксимация хороша при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента супертетрации. 
Затем, для целых $n$,  я определяю
\be
F_n(z)=\mathrm{tet}^n(f(z-n))
\eL{pentalim}

\begin{wrapfigure}{r}{244pt}
\normalsize
\vskip -4pt
%\sx{.4}{\begin{picture}(608,1008) \put(0,0){\ing{penplo}}
\sx{.4}{\begin{picture}(608,908) \put(0,0){\ing{penplo7}}
%\sx{.35}{\begin{picture}(608,908) \put(0,0){\ing{penplo7}}
\put(377,894){\sx{3.2}{$y$}}
%\put(377,895){\sx{3.2}{$7$}}
\put(377,795){\sx{3.2}{$6$}}
\put(377,695){\sx{3.2}{$5$}}
\put(377,594){\sx{3.2}{$4$}}
\put(377,494){\sx{3.2}{$3$}}
\put(377,466){\sx{3.2}{$\mathrm e$}}
\put(377,394){\sx{3.2}{$2$}}
\put(377,294){\sx{3.2}{$1$}}
\put(377,194){\sx{3.2}{$0$}}
\put(358, 93){\sx{3.2}{$-1$}}
\put(80,174){\sx{3.2}{$-3$}}
\put(180,174){\sx{3.2}{$-2$}}
\put(280,174){\sx{3.2}{$-1$}}
\put(396,174){\sx{3.2}{$0$}}
\put(496,174){\sx{3.2}{$1$}}
\put(590,174){\sx{3.2}{$x$}}
\put(242,406){\sx{3.6}{\rot{85}$y\!=\!L+\exp(k(x\!+\!x_1))$\ero}}
%
%\put(560,510){\sx{3.6}{\rot{84}$y\!=\!L+\exp(k(x\!+\!x_1))$\ero}}
%\put(532,708){\sx{3.6}{\rot{86}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
%\put(446,370){\sx{3.9}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(534,472){\sx{4}{\rot{75}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
%\put(366,236){\sx{2.3}{$y\!=\!10(\mathrm{pen}(x)\!-\!1\!-\!x)$}}
%\put(416,239){\sx{3.4}{$y=10\,\delta(x)$}}
\put(8,236){\sx{3.3}{$y=10\,\delta(x)$}}
%\put(366, 8){\sx{3.3}{$L$}}
%\put(312, 9){\sx{3.2}{$y\!=\!L$}}
\put(252, 10){\sx{3.2}{$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$}}
\end{picture}}
%\vskip -6pt {\small \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penplot.jpg}}
\vskip -12pt
\caption{ $y\!=\!\mathrm{pen}(x)$ по формуле \rf{pendef}, её асимптотика %по формулe
\rf{pen01e} и погрешность линейной аппроксимации по формуле \rf{pendelta}
\label{penplo}}
\vskip -2pt
\end{wrapfigure}

В соответствии с общим методом регулярной итерации, точное представление супертетрации $F$ получается как предел
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!
F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} F_n(z)
\ee
Ввиду того, что $f$ есть асимптотическое решение, этот предел не зависит от выбранного номера $M$; разумеется, при больших значениях  $M$, предел сходится быстрее, чем для малых.
\vskip 2mm

Чтобы для пятого аскерманна получить требуемое значение $\mathrm e$  в единице, я определяю этого аскерманна как функцю $F$ со смещенным аргументом,
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!
\mathrm{pen}(z)=F(x_1\!+\!z)
\eL{pendef}

где  $x_1$ есть решение уравнения $F(x_1)\!=\!1$.
Такое построение я принимаю за определение пентации. Для вещественных значений аргумента, график пентации показан на рисунке \ref{penplo} толстой линией.
\vskip 2mm

Для построения чистовых рисунков, достаточно взять $M\!=\!4$, и  для аппроксимации предела в формуле \rf{pentalim} выбрать значение  $n\!=\!7$. 
Условие $\mathrm{tet}(0)\!=\!1$ эквивалентно уравнению $F(x_1)\!=\!1$ и дает оценку $x_1\!\approx\!2.24817451898~$; теперь алгоритм вычисления пентации готов к употреблению.
%Указанные значения я поличил практически за один день и практически вручную, так как лаптоп с Математикой, как обычно, снова гавкнулся, а я хочу дописать книгу до того, как снова инсталлировать Математику.
Для более эффективной имплементации можно 
%попросить какую-нибудь Математику 
подсчитать ещё с десяток коэффициентов $a$ и добавить в алгоритм автоматическую оценку количества итераций в формуле \rf{pentalim}, необходимого для быстрой оценки предела с высокой аккуратностью.
%Я решил, что для построения рисунков в этой Книге достаточно формулы с 12 знаками, а больше получить трудно, так как моя численная иплементация тетрации дает всего 14 значащих цифр. 
%прогнать тесты, подобные тем, которые описаны в предыдущих главах.
\vskip 2mm

На рисунке \ref{penplo}, дополнительная горизонтальная линия указывает предельное значение $L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$, эта линия позаимствована с рисунка \ref{tet5loplot}. Она указывает предельное значение пентации на минус бесконечности, это горизонтальная асимптота графика пентации. Кроме того, на рисунке более тонкой кривой показана экспоненциальная асимптотика пентации, 
\be
y=L_{\mathrm e,4,0}+\exp(k (x\!+\!x_1))
\label{pen01e}
\ee
Эта асимптотика соответствует значению $M\!=\!2$ в первичной аппроксимации пентации по формуле \rf{penf}.
\vskip 2mm

%В окрестности отрезка длины 2 на отрицательной части вещественной  оси, 
Пентация может быть аппроксимирована линейной функцией,
\be
\mathrm{pen}(x)\approx 1+x
\eL{penlin}
При $-2.1\!<\! x \! <\! 0.1$, аппроксимация \rf{penlin} дает около двух значащих цифр. Погрешность аппроксимации \rf{penlin} может быть выражена функцией 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
\delta(x)=\mathrm{pen}(x) -(1\!+\!x) ~
\label{pendelta}
\ee
%Если построить эту зависимость на рисунке \ref{penplo} как есть, то она со
%\newpage
%\begin{parbox}{200px}{
Тонкая кривая на рисунке \ref{penplo} показывает эту погрешноcть.
Чтобы она была видна, её пришлось умножить на 10; иначе она сливалась с осью абсцисс. Таким образом, построена кривая
% масштабированную с коэффициентом 10,
$y=10\, \delta(x)$.
%}\end{parbox}%и погре
Интересно, что линейная фукция в правой части \rf{penlin} аппроксимирует также и предыдущего аскерманна, то есть тетрацию, график которой показан на рисунке \ref{TetPlot}.
Для тетрации функция в правой части формулы
\rf{penlin} тоже дает около двух значащих цифр, но область применимости линейной аппроксимации пентации шире, чем область применимости этой аппроксимации для тетрации.
%, показанной на рисунке \ref{TetPlot}.
\vskip 2mm

Для комплексных значений аргумента, комплексная карта пентации по формуле \rf{pendef} показана на рисунке \ref{penmap}. 
Пентация голоморфна в левой части карты.  Когда вещественная часть аргумента стремится к минус бесконечности, пентация экспоненциально стремится к предельному значению 
%$L_{\mathrm e, 0}\approx −1.8503545290271812$
$L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}\!\approx\! -1.850354529$,
указанному на рисунке \ref{tet5loplot}.
Чтобы показать это более наглядно, на рисунке \ref{penmap} толстой светлой полосой показан дополнительный уровень $u\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$.
\newpage

%\begin{wrapfigure}{r}{340px}
\begin{figure}[h]
\normalsize
\begin{center}
%\sx{.4}{\begin{picture}(824,820)
%\sx{.6}{\begin{picture}(824,820)
\sx{.5}{\begin{picture}(824,820)
%\put(12,0){\ing{24}}
\put(12,0){\ing{penma}}
\put(8,808){\sx{3}{$y$}}
\put(8,709){\sx{3}{$3$}}
\put(8,609){\sx{3}{$2$}}
\put(8,509){\sx{3}{$1$}}
\put(8,409){\sx{3}{$0$}}
\put(-12,309){\sx{3}{$-1$}}
\put(-12,209){\sx{3}{$-2$}}
\put(-12,109){\sx{3}{$-3$}}
\put(-12,9){\sx{3}{$-4$}}
\put(4,-8){\sx{3}{$-4$}}
\put(104,-8){\sx{3}{$-3$}}
\put(204,-8){\sx{3}{$-2$}}
\put(304,-8){\sx{3}{$-1$}}
\put(427,-8){\sx{3}{$0$}}
\put(527,-8){\sx{3}{$1$}}
\put(627,-8){\sx{3}{$2$}}
\put(727,-8){\sx{3}{$3$}}
\put(821,-8){\sx{3}{$x$}}
\put(36, 747){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(30, 664){\sx{3.3}{\rot{-4}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 578){\sx{4}{$v\!=\!0$}} \put(760, 580){\sx{4}{\bf cut}}
\put(30, 498){\sx{3.3}{\rot{2}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 409){\sx{4}{$v\!=\!0$}}%
\put(30, 324){\sx{3.3}{\rot{-2}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 240){\sx{4}{$v\!=\!0$}} \put(760, 241){\sx{4}{\bf cut}}
\put(30, 158){\sx{3.3}{\rot{2}$u\!=\!L$\ero}}
\put(36, 71){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
%
\put(326, 638){\sx{4}{$v\!=\!-1$}}
\put(340, 520){\sx{4}{$v\!=\!1$}}
\put(326, 298){\sx{4}{$v\!=\!-1$}}
\put(336, 182){\sx{4}{$v\!=\!1$}}
%
\put(250, 352){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(348, 362){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(448, 372){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(522, 372){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -8pt
\hskip 36pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penmap.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{pen}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{pendef} \iL{penmap}}
%\end{wrapfigure}
\vskip -400pt
\end{figure}

\rule{0pt}{400pt}

Пентация периодична, её период $P$ определяется инкрементом $k$, то есть, в конечном счете,  производной тетрации в стационарной точке $L_{\mathrm e,4,0}$. Этот период чисто мнимый, 
\be
%P=\frac{2\pi\mathrm i}{k} \approx 
P=\frac{2 \, \pi \, \mathrm i}{k} \approx 3.36767615657879 \, \rm i 
\eL{penP}
На комплексной карте пентации, при трансляциях на целое число периодов, линии постоянной вещественной части функции и линии постоянной мнимой её части воспроизводятся. Воспроизводятся также и разрезы области голоморфизма.
\vskip 2mm

Вдоль вещественной оси, пентация быстро растет (гораздо ещё по сравнению с тетрацией). Как и для других быстро растущих функций, карта пентации в окрестности положительной части вещественной оси имеет сложную структуру; пентация изменяется с охренительными производными. Построитель карт conto.cin не смог провести линии так часто, и эта область осталась пустой. Чтобы хоть как-то показать её структуру, на рисунке \ref{penzoo} показан зумин карты с рисунка 
%\ref{penplo}. 
\ref{penmap}. 
Рост аскерманнов, начиная даже с тетрации (а пентация и подавно) существенно опережает возможности зуммирования.
\vskip 2mm

Mетоды построения суперфункций могут использоваться для построения более высоких аскерманнов. В частности, как только рост тетрации окажется недостаточно быстрым для каких-либо приложений, можно построить голоморфную пентацию. На минус бесконечности пентация стремиться к стационарной точке $L\!=\!L_{\mathrm e,4,0}\!\approx \!-1.850354529$ такой, что  $L=\mathrm{tet}(L)$. Более подробно стационарные точки пентации обсуждаются в следующей секции.
%Я пишу этот пример для натуральной тетрации, следуя принципу ``от простого к сложному''. 
%Разумеется, я надеюсь, что то же можно делать и для комплексных значений основания. 
%\vskip 2mm

%\section{Заключение по aскерманнам}
\section{Стационарные точки пентации}

\begin{figure}
%\sx{.975}{\begin{picture}(512,208)
\sx{.82}{\begin{picture}(512,208)
%\put(12,0){\ing{24}}
%\put(12,0){\ing{penma}}
\put(8,9){\ing{penzoo}}
\put(1,205){\sx{1.2}{$y$}}
\put(-.4,176.8){\sx{1.1}{$\frac{P}{2 \rm i}$}}
\put(130,177){\sx{1.2}{\bf cut}}
\put(1,158){\sx{1.1}{$\frac{3}{2}$}}
\put(1,107){\sx{1.2}{$1$}}
\put(1,057){\sx{1.17}{$\frac{1}{2}$}}
\put(1,7){\sx{1.2}{$0$}}
\put(50,0.4){\sx{1.12}{$-2$}}
\put(150,0.4){\sx{1.12}{$-1$}}
\put(258,0.5){\sx{1.12}{$0$}}
\put(358.4,0.5){\sx{1.12}{$1$}}
\put(459,0.5){\sx{1.12}{$2$}}
\put(505,0.5){\sx{1.12}{$x$}}
%
\put(392,73){\sx{1.7}{\rot{61}$v\!=\!2$\ero}}
\put(212,120){\sx{1.7}{\rot{0}$v\!=\!1$\ero}}
\put(195.6,5.8){\sx{1.7}{\rot{0}$v\!=\!0$\ero}}
%
\put(063,17){\sx{1.7}{\rot{78}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(166,18){\sx{1.7}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(265,18){\sx{1.7}{\rot{81}$u\!=\!1$\ero}} 
\put(334,15){\sx{1.7}{\rot{65}$u\!=\!2$\ero}}
%
\put(29.5,146){\sx{1.2}{$L$}}
\put(361.4,162.3){\sx{1.2}{$L$}}
\end{picture}}
\vskip -12pt
\caption{ $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{pen}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{pendef}, зумин рисунка \ref{penmap} \iL{penzoo}}
\end{figure}

Чтобы сделать следующего, шестого аскерманна (гексацию), следует построить аркпентацию $\mathrm{ape}\!=\!\mathrm{pen}^{-1}$.
Mожно обратить асимптотическое разложение для пентации либо получить такое же разложение асимптотическим анализом соответствующего уравнения Абеля.
\vskip 2mm

Для того, чтобы показать, что суперфункции пентации могут строиться обычным способом, по аналогии с тетрацией, на рисунке \ref{penzoo} указаны две стационарные точки пентации, они обозначены символом $L$ и снабжены дополнительными координатными линиями. Их приближенные значения можно найти, считая пальцем координатные линии и линии уровня. Эти значения суть
\be
L&=&L_{\mathrm e, 5,0}\approx -2.260+1.384 \, \mathrm i \\
L&=&L_{\mathrm e, 5,1}\approx ~ 1.057+1.546 \, \mathrm i
\eL{penL1}
Ещё имеются значения вблизи вещественной оси; в частности,
\be
L&=&L_{\mathrm e, 5,2}\approx 3.43+0.07 \, \mathrm i \\
L&=&L_{\mathrm e, 5,3}\approx 4.39+0.11 \, \mathrm i
\eL{penL3}
но они не поместились на странице. Пентация вещественно голоморфна, поэтому значения $L^*$ также являются стационарными точками.
Читатели приглашаются числено решить уравнение 
\be
\mathrm {pen}(L)=L
\eL{penLeq}
и уточнить значения
%раcсчитать хотя бы 12 значащих цифр для значений 
$L_{\mathrm e, 5,0}$ и $L_{\mathrm e, 5,1}$. Если тетрация и арктетрация сделаны с 14ю значащими цифрами, то можно надеяться получить хотя бы 12 значащих цифр для пентации, аркпентации и их стационарных точек.
\vskip 2mm

Я ожидаю, что для пентации можно построить суперфункцию, гексацию hex, как вещественно-голоморфное решение $F$ уравнения
\be
F(z\!+\!1)=\mathrm{pen}\Big( F(z) \Big)
\ee
с дополнительными условиями
\be
F(0)&=&1\\
F(\mathrm i \infty) &=& L_{\mathrm e, 5,0} \\
F(\mathrm -i \infty) &=& L_{\mathrm e, 5,0}^{~~~*} 
\ee
Читатели приглашаются построить такую гексацию и, в частности, нарисовать для неё графики и комплексную карту. Стационарная точка гексации определяет асимптотическое поведение следующего, седьмого аскерманна; он может называться гептацией, и так далее. 
При этом предыдущий аскерманн используется как передаточная функция, и новый аскерманн получается как соответствующая суперфункция.
%В принципе, дополнительные линии разрезов могут ограничить применение интеграла Коши, и 
\vskip 2mm

%Таким образом, методами, предложенными в этой Книге, Читатель и сам может по мере надобности строить следующие аскерманны. При этом предыдущий аскерманн используется как передаточная функция, и новый аскерманн получается как соответствующая суперфункция. Будет интересно посмотреть, сколько таких аскерманнов найдут применение в физике и как далеко можно продвинуться  по этому пути. 
\newpage

\section{Сравнение натуральных aскерманнов}
\baselineskip 21pt

В этой секции сравниваются свойства первых пяти функций Аскерманна для натурального основания, 
$b\!=\!\mathrm e$, и для вещественного аргумента. Графики этих функций показаны на рисунке \ref{ackerplo}. 
\vskip 3mm

\begin{figure}[h]
\normalsize
\vskip  4pt
%\sx{.82}{\begin{picture}(608,806) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\sx{.7}{\begin{picture}(608,906) %\put(12,0){\ing{penma}}
\sx{.7}{\begin{picture}(608,808) %\put(12,0){\ing{penma}}
%\put(0,0){\ing{ackerp}}
\put(0,0){\ing{ackerplo}}
\put(277,788){\sx{3.}{$y$}}
%\put(277,795){\sx{3.}{$6$}}
\put(277,695){\sx{3.}{$5$}}
\put(277,594){\sx{3.}{$4$}}
\put(277,494){\sx{3.}{$3$}}
\put(278,468){\sx{3.}{$\mathrm e$}}
\put(277,394){\sx{3.}{$2$}}
\put(277,294){\sx{3.}{$1$}}
\put(277,194){\sx{3.}{$0$}}
\put(258, 93){\sx{3.}{$-1$}}
\put( 80,174){\sx{3.}{$-2$}}
\put(180,174){\sx{3.}{$-1$}}
\put(296,174){\sx{3.}{$0$}}
\put(396,174){\sx{3.}{$1$}}
\put(496,174){\sx{3.}{$2$}}
\put(586,174){\sx{3.}{$x$}}
\put(438,714){\sx{1.8}{\rot{85}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(460,716){\sx{1.8}{\rot{82}$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$\ero}}
\put(478,712){\sx{1.8}{\rot{77}$y\!=\!\mathrm{exp}(x)$\ero}}
%\put(488,686){\sx{1.8}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{e}x$\ero}}
\put(508,712){\sx{1.8}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{e}x$\ero}}
%\put(478,628){\sx{1.8}{\rot{50}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
%\put(528,708){\sx{1.9}{\rot{44}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
\put(554,708){\sx{1.9}{\rot{45}$y\!=\!\mathrm{e}\!+\!x$\ero}}
%
\put(86,222){\sx{1.9}{\rot{11}$y\!=\!\mathrm{exp}(x)$\ero}}
\put(20,30){\sx{1.9}{\rot{30}$y\!=\!\mathrm{pen}(x)$\ero}}
\put(138,22){\sx{1.9}{\rot{74}$y\!=\!\mathrm{tet}(x)$\ero}}
\put(252,22){\sx{1.9}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{e} x$\ero}}
%
\put(308, 13){\sx{2.2}{$y\!=\!L_{\mathrm e,4,0}$}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 4pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ackerplot400.jpg}
\vskip -4pt
\caption{\normalsize $y\!=\!A_{\mathrm e,n}(x)$ for $n\!=\!1,2,3,4,5$ \iL{ackerplo}}
\vskip -400pt
\end{figure}
\newpage
%\rule{0px}{400px}
Для случая натурального основания. $b\!=\!\mathrm e$,  я не указываю основание в индексе, то есть\\
$A_{\mathrm e,1}(z) = \mathrm e\!+\!z$, добавление константы $\mathrm e$,\\
$A_{\mathrm e,2}(z) = \mathrm e\, z$, умножение на константу $\mathrm e$,\\
$A_{\mathrm e,3}(z)= \exp(z)= \mathrm e^z$, натуральная экспонента,\\
$A_{\mathrm e,4}(z)=\mathrm{tet}(z)$, тетрация по основанию $\mathrm e$,\\
$A_{\mathrm e,5}(z)=\mathrm{pen}(z)$, пентация по основанию $\mathrm e$.\\
Именно эти обозначения без индекса использованы для маркировки кривых $y\!=\!A_{\mathrm e,n}(x)$ на рисунке 
\ref{ackerplo}. 

\vskip 3mm
Поведение тетрации и пентации на отрезке от $-1$ до $1$ сходно.
Однако, даже на этом отрезке, расстояние между кривыми достигает ширины линий и заметно на рисунке \ref{ackerplo}.
%Чтобы различие между кривыми было видно, рисунок \ref{ackerplo} пришлось сделать во всю страницу.
\vskip 3mm

Возможно,  для каких-либо приложений понадобится тетрация по комплексному основанию или даже более высокие аскерманны по комплексному основанию. Такие аскерманны могут вычисляться методами, представленными в этой Книге, и их вычисление не требует каких-либо специфических еврейских трюков, ни специфической германской педантичности. Я надеюсь, что Исследователь любой национальности сможет вычислить этих аскерманнов, и, в частности, тетрацию, и пентацию, как только они потребуются в каких-либо изысканиях или приложениях, или даже из спортивно-научного интереса, и с такой аккуратностью, которая ему потребуется.

\section{Синдром последнего коэффициента}
%
%\vskip 2mm
Я спрашиваю себя: ``{\em почему бы не сделать гексацию так же, как уже сделана тетрация и пентация?''}. Для того, чтобы объяснить это, мне прийдется копипастнуть ещё одно лирическое отступление. 
\vskip 3mm

Допустим, исследователь придумал совершенно новую и безумно красивую функцию. Он строит график, ну, скажем, от $-4$ до $4$. Не все пышные округлости функции умещаются на графике, и исследователь строит её же от $-10$ до $10$. Но последняя осцилляция не видна, и он расширяет область значений до интервала $[-11,11]$. И так далее. Наконец, когда график расширился настолько, что центральную часть уже видно только в лупу, исследователь начинает вычислять, ну, скажем, её разложение в ряд Тэйлора. Он считает первые 5 коэффициентов и вклеивает их в свою фундаментальную статью. Он смотрит на них, и ему кажется, что следующий коэффициент мог бы помочь пониманию. Он считает шестой коэффициент и расширяет таблицу. Но ему тут же кажется, что еще один (только один!) коэффициент сильно улучшит статью...
\vskip 1mm

- Стоп, - оборвет меня Читатель, - Что за чушь? Он что, больной?.. 
\vskip 1mm

Да, дорогой Читатель, да; именно так. Эта болезнь называется Синдром Последнего Коэффициента. Примерно так же в повести о Хадже Насреддине ростовщик Джафар каждый раз мечтает наполнить золотом еще один (только один!) горшок 
\footnote{ \url{http://coollib.net/b/43714/read} Леонид Соловьев. Возмутитель спокойствия. (Повесть о Хадже Насреддине) ..во дворе собрались многочисленные родственники Джафара. Многие из них были должны ему и надеялись, что сегодня на радостях он простит долги. Напрасно они надеялись: ростовщик слышал через закрытую дверь голоса своих должников и злобно усмехался в душе. «Я скажу им сегодня, что прощаю долги, – думал он, – но расписок я им не верну, расписки останутся у меня. И они, успокоившись, начнут беспечную жизнь, а я ничего не скажу, я буду молчать, но втайне все время подсчитывать. И когда на каждую таньга долга нарастет еще десять таньга и сумма долга превысит стоимость домов, садов и виноградников, принадлежащих ныне моим должникам, я позову судью, откажусь от своего обещания, предъявлю расписки, продам все их имущество, оставлю их нищими и наполню золотом еще один горшок!»}. Примерно так же маньяк-убийца, получив высшую власть, каждый раз думает, что теперь достаточно ``убрать'' (так на чекистском жаргоне называется политическое убийство) пару кляузников (всего двух!), и стране настанет полный порядок. Или как алкоголик каждый раз хочет только одну (единственную!) рюмку водки. 
\vskip 1mm

Все упомянутые лица больны синдромом последнего коэффициента. Я тоже страдаю от этого недуга. В порядке лечения, я не включаю сюда гексацию, то есть шестого аскерманна, ни даже аркпентацию, которая нужна для построения шестого аскерманна методом Коши - тем же методом, которым строится натуральная (и не только) тетрация. 
\vskip 2mm

Сколько бы аскерманнов я не загрузил, всегда будет такой, для которого  в Книге ещё нет ни одного рисунка. Есть и иная мотивация к тому, чтобы в какой-то момент остановиться с этой Книгой - чтобы все-таки закончить Книгу в этом веке. Эта мотивация показана на рисунке \ref{veslo}.
\vskip 4mm

%\newpage

На этом я заканчиваю рассмотрение регулярных и не очень итраций, а также прочих интегралов Коши. Надеюсь, что читатель уже понял, чем Фудоки отличаются от Нибелунгов,  
и может самостоятельно построить всех аскерманнов, которые ему понадобятся.
\vskip 3mm

Теперь гораздо важнее рассмотреть хотя бы один случай, когда методы, описанные выше, не работают. Такое очень даже может приключиться, если у трансцендентной передаточной функции вообще нет стационарных точек. Пример такой функции рассмотрен в следующей главе.

 

%\begin{wrapfigure}{r}{230px}
\begin{figure}[b]

\sx{.5}{\begin{picture}(500,330)
\put(140,-10){\ing{veslo}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{\large Девушка с веслом \cite{erofeev}: Никакой гребли, пока не допишешь свою Книгу! \label{veslo}}
\vskip -12pt
\end{figure}

 
%Давайте лечиться вместе. В качестве первого упражнения, я не буду считать двенадцатый коэффициент моей цепной дроби, попробую заменить его одной (единственной и неповторимой) кружкой выпивки. А маньяк пусть пожалеет очередную жертву и взамен почитает какого-нибудь Достоевского, что ли. Тогда, может быть, его последними словами станут "..не стоят одной слезинки...", а не банальное "И ты, Брут..." 


%\setcounter{chapter}{9}
\chapter{~ Без стационарных точек}
\baselineskip 19.5pt

В этой главе рассмотрен пример передаточной функции без стационарных точек. Для такой функции
трудно применить метод регулярной итерации или метод Коши, использованные в предыдущих главах.
Однако, тем не менее, даже для такой передаточной функции можно построить суперфункцию, абельфункцию и, соответственно, нецелые итетации.
Ниже
%рассмотрен пример такой функции; при этом 
пересказывается содержание статьи \cite{sutra}.

%\begin{wrapfigure}[25]{l}{200px}
\begin{wrapfigure}{r}{170px}
\vskip -12pt
\normalsize
%\sx{.3}{\begin{picture}(604,780)
\sx{.32}{\begin{picture}(604,660)
%\put(10,10){\ing{PowPlo}}
\put(0,0){\ing{traplot}}
\put(280,784){\sx{3.4}{$y$}}
\put(280,693){\sx{3.4}{$4$}}
\put(224,666){\sx{3.4}{$1\!+\!\rm e$}}
\put(280,593){\sx{3.4}{$3$}}
\put(280,566){\sx{3.4}{$\rm e$}}
\put(280,493){\sx{3.4}{$2$}}
\put(280,393){\sx{3.4}{$1$}}
\put(280,294){\sx{3.4}{$0$}}
\put(252,191){\sx{3.4}{$-1$}}
\put(252,091){\sx{3.4}{$-2$}}
\put(070,272){\sx{3.4}{$-2$}}
\put(170,272){\sx{3.4}{$-1$}}
\put(294,272){\sx{3.4}{$0$}}
\put(394,272){\sx{3.4}{$1$}}
%\put(497,308){\sx{2.4}{$2$}}
\put(482,274){\sx{3.4}{$x$}}
\put(24,342){\sx{3.4}{$y\!=\!\exp(x)$}}
\put(56,42){\sx{3.4}{$y\!=\!\mathrm{tra}(x)$}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
\caption{
%$y\!=\!\mathrm{tra}(x)$, thick curve, and $~y\!=\!\exp(x)$, thin line 
$y\!=\!\mathrm{tra}(x)$ и  $y\!=\!\exp(x)$
\label{traplot}}
\vskip -24pt
\end{wrapfigure}

\section{Функция Трапманна}

В этой Книге, 
%как и в ТОРИ, 
функцией Траппманна называется элементарная функция
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{tra}(z)=\exp(z)+z
\eL{tra}
Эта функция показана на рисунке \ref{traplot} в сравнении с экспонентой.
\vskip 2mm

Функция tra должна была стать ловушкой (``trap''), чтобы поймать меня на заявлении о том, что
я могу построить суперфункцию (а также абельфункцию и соответствующие итерации) для какой ни попади передаточной функции.
\vskip 2mm

Впрочем, английское слово ``trap'' можно интерпретировать также как трап, то есть путь к дальнейшим успехам в решениях передаточных уравнений и итерированиях всяческих функций. 
Таким образом, функция tra, хоть и является элементарой, чрезвычайно важна я заслуживает специального имени.
%Это такое лирическое отступление для того, чтобы обосновать присвоение специального имени целой элементарной функции $\mathrm{tra}$.
\vskip 2mm

%График функции $\mathrm{tra}$ по формуле \rf{tra} показан на рисунке \ref{traplot} толстой курвой. Для сравнения, тонкой курвой представлена экспонента, $y\!=\!\exp(x)$ . \vskip 2mm

Комплексная карта функции $\mathrm{tra}$ по формуле \rf{tra} показанa на рисунке \ref{tramap}. %Кривые постоянной вещественной части, $u\!=\!\rm const$, образуют периодическую структуру в направлении оси $y$, эта координата имеет смысл мнимой оси. 
В правой части рисунка, карта похожа на карту экспоненты, так как на фоне экспоненциального роста линейная добавка в формуле \rf{tra} смотрится бледно.  В левой  части рисунка карта похожа на карту тождественной функции; линии постоянной вещественной части и линии постоянной мнимой части образуют ровную сетку прямых, параллельных координатным осям. 
\vskip 3mm
%Именно это обстоятельство наводит на мысль о том, как должна итеририваться такая функция. Как учил Иешуа Га Ноцри, говорить правду легко и приятно; столь же легко и приятно итерировать тождественную функцию. 
%И это указывает, как итерировать почти тождественную функцию. 

\newcommand \zoomaxs {
\put(18,1206){\sx{3.3}{$y$}}
\put(18,1113){\sx{3}{$5$}}
\put(18,1013){\sx{3}{$4$}}
\put(18, 913){\sx{3}{$3$}}
\put(18, 813){\sx{3}{$2$}}
\put(18, 713){\sx{3}{$1$}}
\put(18, 613){\sx{3}{$0$}}
\put(-6, 513){\sx{3}{$-1$}}
\put(-6, 413){\sx{3}{$-2$}}
\put(-6, 313){\sx{3}{$-3$}}
\put(-6, 213){\sx{3}{$-4$}}
\put(-6, 113){\sx{3}{$-5$}}
\put(-6, 013){\sx{3}{$-6$}}
\put(014, -5){\sx{3}{$-6$}}
\put(114, -5){\sx{3}{$-5$}}
\put(214, -5){\sx{3}{$-4$}}
\put(314, -5){\sx{3}{$-3$}}
\put(414, -5){\sx{3}{$-2$}}
\put(514, -5){\sx{3}{$-1$}}
\put(635, -5){\sx{3}{$0$}}
\put(735, -5){\sx{3}{$1$}}
\put(835, -5){\sx{3}{$2$}}
\put(935, -5){\sx{3}{$3$}}
\put(1035, -5){\sx{3}{$4$}}
\put(1135, -5){\sx{3}{$5$}}
\put(1227,-4){\sx{3}{$x$}}
}
%\begin{wrapfigure}[2]{l}{530px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.4}{\begin{picture}(1252,1220)
\sx{.34}{\begin{picture}(1252,1220)
\put(40,20){\ing{tramap}}
\zoomaxs
\put(90,1116){\sx{4}{$v\!=\!5$}}
\put(90,1015){\sx{4}{$v\!=\!4$}}
\put(90,914){\sx{4}{$v\!=\!3$}}
\put(90,813){\sx{4}{$v\!=\!2$}}
\put(90,712){\sx{4}{$v\!=\!1$}}
\put(90,611){\sx{4}{$v\!=\!0$}}
\put(90,510){\sx{4}{$v\!=\!-1$}}
\put(90,409){\sx{4}{$v\!=\!-2$}}
\put(90,308){\sx{4}{$v\!=\!-3$}}
\put(90,207){\sx{4}{$v\!=\!-4$}}
\put(90,106){\sx{4}{$v\!=\!-5$}}
\put(257,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-4$\ero}}
\put(355,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-3$\ero}}
\put(447,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(534,555){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(600,572){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(656,574){\sx{4}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(990,678){\sx{4}{\rot{-15}$v\!=\!16$\ero}}
\put(990,550){\sx{4}{\rot{9}$v\!=\!-16$\ero}}
\put(998,507){\sx{4}{\rot{-11}$u\!=\!16$\ero}}
\put(996,380){\sx{4}{\rot{13}$u\!=\!-16$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{tra}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{tra} \iL{tramap}}
\vskip 2pt
%\end{figure}
\end{figure}

Аналогичным свойством  (почти тождественность) обладает обратная функция, то есть $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$;
по крайней мере, в некоторой окрестности отрицательной части вещественной оси.
Карта функции ArcTra показана на рисунке \ref{arctranmap}.
В следующей секции а рассказываю, как вычисляется функция ArcTra.

%\begin{wrapfigure}[2]{l}{530px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.4}{\begin{picture}(1252,1220)
%\begin{figure}
%\sx{.116}{\begin{picture}(2102,2094)
%\sx{.232}{\begin{picture}(2102,2094)
\sx{.2}{\begin{picture}(2102,2094)
%\put(40,20){\ing{ArcTraMap}}
\put(98,88){\ing{arctranmap}}
\put(40,2048){\sx{8}{$y$}}
\put(40,1870){\sx{7}{$8$}}
\put(40,1670){\sx{7}{$6$}}
\put(40,1470){\sx{7}{$4$}}
\put(40,1270){\sx{7}{$2$}}
\put(40,1070){\sx{7}{$0$}}
\put(-12,870){\sx{7}{$-2$}}
\put(-12,670){\sx{7}{$-4$}}
\put(-12,470){\sx{7}{$-6$}}
\put(-12,270){\sx{7}{$-8$}}
\put(002, 28){\sx{7}{$-\!10$}}
\put(220, 28){\sx{7}{$-8$}}
\put(420, 28){\sx{7}{$-6$}}
\put(620, 28){\sx{7}{$-4$}}
\put(820, 28){\sx{7}{$-2$}}
\put(1088, 28){\sx{7}{$0$}}
\put(1288, 28){\sx{7}{$2$}}
\put(1488, 28){\sx{7}{$4$}}
\put(1688, 28){\sx{7}{$6$}}
\put(1888, 28){\sx{7}{$8$}}
\put(2058, 28){\sx{7}{$x$}}
\put(160,1370){\sx{9}{$v\!=\!3$}}
\put(160,1270){\sx{9}{$v\!=\!2$}}
\put(160,1170){\sx{9}{$v\!=\!1$}}
\put(160,1070){\sx{9}{$v\!=\!0$}}
\put(160,970){\sx{9}{$v\!=\!-1$}}
\put(160,870){\sx{9}{$v\!=\!-2$}}
\put(160,770){\sx{9}{$v\!=\!-3$}}
%\put(432,992){\sx{8}{\rot{90}$u\!=\!-7$\ero}}
\put(532,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-6$\ero}}
\put(632,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-5$\ero}}
\put(732,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-4$\ero}}
\put(828,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-3$\ero}}
\put(931,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(1066,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(1230,992){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!0$\ero}}
\put(1502,994){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!1$\ero}}
\put(2070,994){\sx{9}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\end{picture}}
%\sx{.2}{\begin{picture}(1800,1800)
%\put(0,0){\ing{arctranmap}}
%\end{picture}}
\vskip -8pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTraMapT.jpg}
\vskip -8pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\mathrm{ArcTra}(x\!+\!\mathrm i y)$ ~   \iL{arctranmap}}
\end{figure}

%~
%\rule{0pt}{480pt}

\section{ArcTra, обратная функция от траппманна}
\baselineskip 19.6pt

Чтобы итерировать функцию Траппманна tra, я имею в виду нецелые итерации, следует сперва научиться вычислять её целые итерации. Для целых положительных значений номера итерации, вопросов с итерацией не возникает; просто применяем функцию tra столько раз, сколько нужно. Для вычисления целых отрицательных итераций, требуется алгоритм для обратной функции; примерно так же, как для вычисления нецелых итераций экспоненты требуется не только сама экспонента, но и её обратная функция, то есть логарифм.
Пусть эта обратная функция от траппманна называется ArcTra, %по аналогии с арксинусом и арктангенсом и аркбесселем; 
так что 
\be
\mathrm{tra}\Big( \mathrm{ArcTra}(z)\Big)=z
\eL{traArcTra}
в некоторой широкой области значений $z$, включающей, по крайней мере, всю вещественную ось.
Комплексная карта функции ArcTra 
показана на рисунке \ref{arctranmap}.
%Функция ArcTra описана в этой секции.
\vskip 2mm
\begin{wrapfigure}{r}{180px}
\vskip -36pt
\sx{.4}{\begin{picture}(400,580)
\put(0,-12){\ing{optic}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\caption{Линейная оптика и нелинейная оптика \label{optic}}
\vskip -6pt
\end{wrapfigure}

В этой секции я рассказываю, как строится функция ArcTra. А в этом параграфе объясню, почему я такое описание вклеиваю в Книгу.
Ещё в прошлом веке мне приходилось объяснять студентам, интересовавшимся нелинейной оптикой (которая тогда была в моде), что за каждым так называемым ``нелинейным'' эффектом имеется довольно много вполне линейной науки. До того, как имеется понимание линейных оптических эффектов,
говорить о нелинейной оптике бессмысленно, за исключением, разве, случая, показанного на рисунке \ref{optic}. Аналогично, до того, как читатель свободно вычисляет целые отрицательные итерации передаточной функции, бессмысленно говорить о её нецелых итерациях. 
\vskip 2mm

Во время СССР, в России была некоторая наука, и известными заведениями советской школы были Физфак и Физтех. Для того, чтобы объяснить разницу между этими заведениями, предлагали такой пример: Выпускник Физтеха, хотя и может чего-то рассчитать, совершенно не понимает смысла полученной формулы и поэтому не может ей пользоваться. Выпускник физфака, наоборот, всё понимает, хотя сам подсчитать ничего не может. Это я к тому, что Читатели, которых интересуют картинки суперфункции, но не интересует, как они получились, могут пропустить эту секцию. Тогда про этих читателей, как про выпускников Физфака, можно будет сказать, что они всё понимают.
\vskip 2mm

\EN{For the implementation of the Abel function for the transfer function tra, the inverse function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$ is used.
Unfortunately, as in the case of ArcSin and ArcFactorial, I could not find any complex double implementation of ArcTra, and I had to make it by myself.
This is general rule: for the efficient implementation of the non-integer iterates of some transfer function 
\footnote{In principle, any holomorphic function can be declared as ``transfer function''. I still specify that the function is ``transfer function'' in order to indicate my intention to iterate it and to distinguish it from its superfunction and its Abel function.} , the inverse function also should be implemented.
In order to show ally the underwater stones that may appear at calculation of superfunctions, in this section the efficient implementation of function ArcTra is described.}
\RU{Как уже отмечено выше, функция tra является элементарной, и не составляет труда сосчитать её производную:}
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{tra}(z)=z+\exp(z) ~~, ~~~ \mathrm{tra}^{\prime}(z)=1+\exp(z)
%\nonumber
~ ~ ~ ~~
\eL{traagain}
\EN{The Newton method allows get good precision evaluating solution $f$ of equation}%
\RU{Для построения функции ArcTra требуется 
%найти 
решение $f$ уравнения}
\be
\mathrm{tra}(f)\!=\!z
\eL{traf}
\RU{Последовательность $f_n$ аппроксимаций решения $f$ можно строить методом Ньютона, }
\be
f_{n+1}=f_n + \frac{z-\mathrm{tra}(f_n)}{\mathrm{tra}'(f_n)} ~ ~ ~ ~ ~
\eL{arctranewton}
\RU{при подходящем начальном значении $f_0$. Я считаю, что начальное значение подходит, если в пределе}
\be
f=\lim_{n\rightarrow \infty} f_n
\eL{arctralim}
\RU{решение $f$ оказывается на том листе многолистной функции, который мне нравится.
%(что я считаю категорическим императивом).
Как уже отмечено, мне нравится, когда линии разреза идут от точек ветвления прямо в направлении минус бесконечности, параллельно вещественной оси. Именно так идут разрезы на рисунке \ref{arctranmap}. Мелкая сетка, образованная изолиниями в полосе вдоль отрицательной части вещественной оси, то есть оси $x$ на рисунке \ref{arctranmap}, достаточно четко указывает положение разрезов, так что я не стал отмечать их дополнительным пунктиром.
%Кроме того, для решения желательно, чтобы требуемая точность (ну, скажем, 15 значащих цифр) достигалась в несколько итераций по формуле  
%\rf{arctranewton}.
}
\EN{under a simple condition: the initial approximation $f_0$ indicates the correct branch of the resulting inverse function.
It is general rule, that any non-trivial holomorphic function (and, especially, entire function) has some 
points, where its derivative is zero; and these points provide branches of the inverse function. For this reason, for the robust implementation, the correct choice of the initial approximation is essential; over-vice the resulting function may return values from different branched in some almost random, almost unpredictable way.
In order to indicate the correct branch, the two expansions below are used.}
\vskip 2mm

Для построения начального приближения, я использую различные разложения функции ArcTra, в зависимости от значения аргумента $z$ в формуле \rf{traf}. Сейчас я их перечислю. 
\EN{Expansions of tra in vicinity of the saddle points $\pm \pi \mathrm i$ can be inverted, giving the expansions of ArcTra in vicinity of 
$-1\pm \mathrm i \pi$. These expansions determine the positions of the branch points, and the direction of the cut lines, seen in figure
\ref{autraMap}.}
\vskip 2mm

\EN{Consideration of the exponential in \rf{traagain} as small and as big parameter gives two more asymptotic expansions.
Together with the Taulor expansion at unity and the expansions at the branch points, these expansions cover all the complex plane with the appropriate primary approximations, providing several correct decimal digits of the primary estimate $f_0$ of value of function ArcTra. Then, few iterations 
by \rf{arctranewton} already reach the maximal precision (16 digits) available for the complex double variables.
This algorithm is used in numerical implementations of ArcTra and AuTra.
Details of the algorithm and the maps of the primary approximations for ArcTra  are loaded to \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcTra} .}
\vskip 4mm


%$\mathrm{strip}= \{ z \in \mathbb C: \Re(z)\!<\!0, |\Im(z)|<\pi  \}$, there is special expansion:
Проще всего  арктраппманн раскладывается вблизи отрицательной части вещественной оси.
%\be \mathrm{ArcTra}(z)= z-\mathrm e^z +\mathrm e^{2z} -\frac{1}{2}\mathrm e^{3z}+.. % O(\mathrm e^{4z})$ \ee
Такое разложение дает на первичную аппроксимацию
\be
\mathrm{ArcTra}(z) \approx 
\mathrm{app}_4(z)=z-\mathrm e^z
+\mathrm e^{2z}
-\frac{1}{2}\mathrm e^{3z}
\ee
Читателям предлагается построить карту функции согласия
\be
\mathcal A_4(z)= 
-\lg \left(
\frac{  |\mathrm{tra}(\mathrm{app4}(z))-z| }
       { |\mathrm{tra}(\mathrm{app4}(z))| + |z|}
\right)
\ee
\vskip 4mm

%Expansions at infinity, logarithmic growth
Логарифмический рост функции ArcTra при больших значениях вещественной части аргумента можно ухватить асимптотическим разложением.
\JP{
\be\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcTra}(z)= L\,\left( 1
+\frac{-1}{z}
+\frac{1\!-\!L/2}{z^2}
+\frac{-1+3 L/2 -L^2/3}{z^3}
+\frac{1-3L+11L^2/6-L^3/4}{z^4}
%+\frac{-1+5L-35L^2/6+25L^3/12-L^4/5}{z^5}
\right)+.. ~ ~
%O\left(\frac{L}{z}\right)^5
\ee
где
%where 
$L=\ln(z)$.
%The expansion is valid fof $z\in \mathbb C $ $\backslash (\mathrm{strip} \cup \partial\, \mathrm{strip})$, where
%$\mathrm{strip}= \{ z \in \mathbb C: \Re(z)\!<\!0, |\Im(z)|<\pi  \}$.
%This expansion indicates the primary approximation
}%JP
Такое разложение даёт аппроксимацию
\be
\mathrm{ArcTra}(z)\approx  \mathrm{app_3}(z) =  
\ln(z) \left(1+ \frac{1}{z} \sum_{m=0}^M \frac{P_m(\ln(z))}{z^m}\right)
\ee
%where $P_m$ is polynomial of $m$th order. In particular,
где  $P_m$ есть полином степени $m$, В частности,
\be
P_0(L)&=&\!\! -1 \\
P_1(L)&=&~ 1-L/2 \\
P_2(L)&=&\!\!-1+3 L/2 -L^2/3  \\
P_3(L)&=&~ 1-3L+11L^2/6-L^3/4  \\
P_4(L)&=&\!\! -1+5L-35L^2/6+25L^3/12-L^4/5 
\ee
\vskip 4mm

Разложение Тэйлора в единице для арктраппманна дает приближение
\be
\mathrm{ArcTra}(z) \approx \mathrm{app}_1(z) =\sum_{n=1}^M c_n (z-1)^n
\eL{arctrap1}
Несколько десятков коэффициентов этого разложения легко получить, обращая ряд разложения функции tra в нуле; это дает асимптотическое разложение арктраппманна в таком виде:
\vskip 2mm

$ \mathrm{ArcTra}(1\!+\!z)\!=\!\frac{z}{2}-\frac{z^2}{16}$ $
+\frac{z^3}{192}$ $
+\frac{z^4}{3072}$ $
-\frac{13 z^5}{61440}$ $
+\frac{47 z^6}{1474560}$ $
+\frac{73 z^7}{41287680}$ $
-\frac{2447 z^8}{1321205760}\!+..$\JP{ $

+\frac{16811 z^9}{47563407360} + .. $ $
+\frac{15551 z^{10}}{1902536294400}$ $
-\frac{1726511 z^{11}}{83711596953600}$ $
+\frac{18994849 z^{12}}{4018156653772800}$ $
-\frac{10979677 z^{13}}{208944145996185600}$ $
-\frac{2983409137 z^{14}}{11700872175786393600}$ $
+\frac{48421103257 z^{15}}{702052330547183616000}$ $
-\frac{135002366063 z^{16}}{44931349155019751424000}$ $
-\frac{778870772857 z^{17}}{235025518657026392064000}$ $
+\frac{232033147779359 z^{18}}{219983885462976702971904000}$ $
-\frac{1305952009204319 z^{19}}{16718775295186229425864704000}$ $
-\frac{58740282660173759 z^{20}}{1337502023614898354069176320000}$ $
+\frac{1862057132555380307 z^{21}}{112350169983651461741810810880000}$ $
+O\left(z^{22}\right)$
}%JP
\vskip 2mm
При $M\!=\!21$, для  $|z|\!<\!1$, такая аппроксимация дает по крайней мере 12 значащих цифр.
\vskip 4mm

Разложение арктраппманна в точке $-1-\mathrm i \pi$ можно записать так:
\be \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{ArcTra}(z)\!
&\!\approx\!& \mathrm{app}_2(z)= 
\sum_{m=1}^{M} c_m^{~*} \, (z\!+\!1\!+\!\mathrm i \pi)^{m/2}
\nonumber \\
&\!=\!&\!
-\mathrm i \pi
+\mathrm i \sqrt{2} \sqrt{z\!+\!\mathrm i \pi\! +\!1}
+\frac{1}{3} (z\!+\!\mathrm i \pi \!+\!1)
\nonumber \\
&&\!
-\frac{\mathrm i (z\!+\!\mathrm i \pi \!+\!1)^{3/2}}{9 \sqrt{2}}
-\frac{2}{135} (z\!+\!\mathrm i \pi \!+\!1)^2
+.. 
\ee
\JP{$
+\frac{\mathrm i (z+\mathrm i \pi +1)^{5/2}}{540 \sqrt{2}}$ $
-\frac{4 (z+\mathrm i \pi +1)^3}{8505}$ $
+\frac{139 \mathrm i (z+\mathrm i \pi +1)^{7/2}}{340200 \sqrt{2}}$ $
+\frac{2 (z+\mathrm i \pi +1)^4}{25515}$ $
-\frac{571 \mathrm i (z+\mathrm i \pi +1)^{9/2}}{73483200 \sqrt{2}}$ $
+\frac{1124 (z+\mathrm i \pi +1)^5}{189448875}$ $
+O\left((z+\mathrm i \pi +1)^{11/2}\right)$ }%JP
В более компактном (и более удобном для численной имплементации) виде, это разложение записывается так:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{ArcTra}(-\!1\! -\!\mathrm i \pi \!+\! 2 t^2)=
\mathrm{ArcTra}\big(\!-1 \!-\!\mathrm i \pi \!+\! 2 t^2\big)&=&
-\mathrm i \pi
+2 \mathrm i t
+\frac{2 t^2}{3}
-\frac{2 \mathrm i t^3}{9}
-\frac{8 t^4}{135}
\nonumber \\ &&
+\frac{\mathrm i t^5}{135}
-\frac{32 t^6}{8505}
+\frac{139 \mathrm i t^7}{42525}
%+\frac{32 t^8}{25515}
%-\frac{571 \mathrm i t^9}{4592700}
%+\frac{35968 t^{10}}{189448875}$ $
%+ O(t^{11})$}
+..
\ee
и, соответственно, ``сопряженное'' разложение имеет вид
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
%\mathrm{ArcTra}(-\!1\! -\!\mathrm i \pi \!+\! 2 t^2)=
\mathrm{ArcTra}\Big(-1 + \mathrm i \pi + 2 t^2\Big)&=&
\mathrm i \pi
-2 \mathrm i t
+\frac{2 t^2}{3}
+\frac{2 \mathrm i t^3}{9}
-\frac{8 t^4}{135}
\nonumber \\ &&
-\frac{\mathrm i t^5}{135}
-\frac{32 t^6}{8505}
-\frac{139 \mathrm i t^7}{42525}
%+\frac{32 t^8}{25515}
%-\frac{571 \mathrm i t^9}{4592700}
%+\frac{35968 t^{10}}{189448875}$ $
%+ O(t^{11})$}
+..
\ee
где $t$ имеет смысл алгебраической функции от аргумента арктрапманна,
\be
t=\sqrt{\frac{z+1-\mathrm i \pi}{2}}
\eL{arctrait}
Разрез корневой функции в формуле \rf{arctrait} автоматически определяет линии разреза функции ArcTra, которые видны на рисунке 
\ref{arctranmap}.
Я предлагаю Читателю в качестве упражнения построить карты функций согласия
\be
\mathcal A_m(z)= \displaystyle 
-\lg \left(
\frac{  |\mathrm{tra}(\mathrm{app}_m(z))-z| }
       { |\mathrm{tra}(\mathrm{app}_m(z))| + |z|}
\right)
\ee
в комплексной плоскости, $z\!=\!x\!+\!\mathrm i y$ для $m=1,2,3,4$, то есть для четырех первичных аппроксимаций, предлагаемых в этой секции.
\vskip 2mm

Когда аппроксимации, описанные выше, запрограммированы и названы именами 
arctra1,
arctra2,
arctra3,
arctra4, численная имплементация функции ArcTra, имеющая разрезы, как это показано на рисунке \ref{arctranmap} осуществлена с помощью 
алгоритма, копипастнутого ниже: \begin{verbatim}
z_type arctran(z_type z) { DB x=Re(z), y=Im(z);
if( x>2.) return arctra3(z);
DB Y=fabs(y);
if(Y<M_PI){ if(x<-1.5) return arctra4(z);
            if(Y<2.) return arctra1(z); }
if( Y>5. || x<-4. ) return arctra3(z);
if( y>0. ) return arctra2(z);
return conj( arctra2(conj(z)) );
}
\end{verbatim}

Кроме быстрого и аккуратного представления через разаложения, представленные выше, арктраппманн можно выразить через функцию Таня, определенную в главе 5:
%ArcTra can be expressed through the Tania function \rf{taniaprim}:
\be
\mathrm{ArcTra}(z)=z-\mathrm{Tania}(z\!-\!1)
\eL{ArcTraTania}
Таким образом, в этой Книге, мы имеем Таню уже трижды, причем тремя разными способами:
%используется 
%уже трижды: 
сперва в простой модели лазерного усилителя, затем, как представление функции filog, и теперь, как способ имплементации арктраппманна. Я надеюсь, что при написании этой книги, ни одна Таня не пострадала. Представление через функцию Таня может использоваться для сравнения, проверки различных представлений.
\vskip 2mm

По крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси, арктраппманн можно представить также через специальные функции
%At least on vicinity of the real axis, function Tania can be expressed through other special functions namely, 
LambertW и  WrightOmega, см. \rf{TaniaWright}.
%\rf{LambertWTania}.
%\rf{TaniaLambertW}. 
Однако для численных проверок вблизи предела точности вычислений, первичные представления, описанные в этой секции, дают более аккуратные результаты. Читателям предлагается сравнить различные представления арктраппманна и оценить их аккуратность.
%In principle, one could use those representations instead of the implementation described above.
%However, at large $z$, Tania shows a growth similar to the proportional; so, the numerical implementation of ArcTra through Tania would cause loss of precision.
%For this reason, for the numerical testing of representations of AuTra, the special implementation of ArcTra, described above, is used.
\vskip 2mm

%Кроме того, ArcTra может быть выражена через функцию Su
%\vskip 2mm

%In the similar way,
%This approximation returns at least 12 signifivant figures while $|z-1|<1$. The precision can be characterised with the agreement
Кроме передаточной функции $T=\mathrm{tra}$ и обратной функции $T^{-1}=\mathrm {ArcTra}$, описанной в этой секции, для нецелых итераций функции Траппманна требуются её суперфункция, которую я назову SuTra, и абельфункция, которую я назову $\mathrm{AuTra}=\mathrm{SuTra}^{-1}$. Функция SuTra строится в следующей секции.

\section{Супертраппманн}

\begin{wrapfigure}{r}{224px}
\vskip -28pt
\sx{.277}{\begin{picture}(602,800)
\normalsize
\put(510,794){\sx{4}{$y$}}
\put(420,566){\sx{3.8}{$1\!+\!\mathrm e$}}
\put(510,690){\sx{4}{$5$}}
\put(510,590){\sx{4}{$4$}}
\put(510,490){\sx{4}{$3$}}
\put(510,390){\sx{4}{$2$}}
\put(510,289){\sx{4}{$1$}}
\put(512,187){\sx{4}{$0$}}
\put(490, 87){\sx{4}{$-\!1$}}
%\put(325,098){\sx{4}{$0$}}
\put(068,206){\sx{4}{$-4$}}
\put(168,206){\sx{4}{$-3$}}
\put(200,180){\sx{4}{$-\mathrm e$}}
\put(268,206){\sx{4}{$-2$}}
\put(368,206){\sx{4}{$-1$}}
\put(491,206){\sx{4}{$0$}}
\put(592,206){\sx{4}{$1$}}
\put(692,206){\sx{4}{$2$}}
\put(778,206){\sx{4}{$x$}}
\put(662,308){\sx{4.2}{\rot{70}$y\!=\!\mathrm{SuTra}(x)$\ero}}
\put(240,318){\sx{3.8}{\rot{0}$y\!=\!-\!\ln(-x)$\ero}}
\put(0,0){\ing{sutraplo}}
%\put(0,0){\ing{SuTraplo3}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\sx{.54}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuTraPlo3T.jpg}}
\vskip -6pt
%\caption{$y\!=\!\mathrm{SuTra}(x)$, thick curve, ~and~ $y\!=\!-\ln(-x)$, thin curve \label{sutraplot}}
\caption{$y\!=\!\mathrm{SuTra}(x)$ и $y\!=\!-\ln(-x)$  \label{sutraplot}}
\vskip 2pt
\end{wrapfigure}

Как указано выше, функция Траппманна не имеет стационарных точек.
В отсутствие стационарных точек, нельзя применять ``как есть'' метотоды построения суперфункций, рассмотренные в предыдущих главах. В связи с этим,  Генрик Траппманн ожидал, что для передаточной функции \rf{tra} будет трудно построить суперфункцию. %В связи с этим, в этой Книге (как и в ТОРИ), эта функция называется Функцией Траппманна.
Вопреки ожиданиям, для суперфункции от Функции Траппманна \rf{tra} существует простое представление (и даже не одно).
Для такой суперфункции здесь использовано имя SuTra, и она показана на рисунке \ref{sutraplot}. Ниже я рассказываю, как строится эта функция.
%Во-первых, возрастающее вдоль вещественной оси решение можно выразить через суперфункцию ZuZex передаточной функции zex, рассмотренной ранее.
%Во-вторых, решение с логарифмической асимптотикой можно найти и непосредственно. Эти асимптотики эквивалентны, и дают одну и ту же суперфункцию SuZex,
%показанную на рисунках . 
%Ниже описано построение и вычисление такой суперфункции; перессказываются основные элементы статьи  \cite{sutra}.
\vskip 2mm
 \baselineskip 21pt
 
%Однако даже для такой передаточной функции можно построить суперфункцию. 
Сперва я расскажу про хинт (hint, или, более по-русски, финт), с помощью которого можно угадать поведение суперфункции 
$F$. 
Для функции Траппманна, передаточное уравнение можно записать так:
\be\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F(z\!+\!1)=\mathrm{tra}(F(z))=F(z)+\exp(F(z))
\eL{trantrap}
Или даже так:
\be
F(z\!+\!1)-F(z)=\exp(F(z))%\approx 1- F(z)
\eL{trantrap1}
В левой части уравнения \rf{trantrap1} имеется что-то, напоминающее производную функции $F$. 
%Наиболее простой вид среди медленно меняющихся функций имеет логарифм. 
Уравнение 
\be
\frac{\mathrm d F}{\mathrm d z} \approx \frac{1}{\exp(-F)}
\ee
дает
\be
\int \exp(-F) \mathrm d F \approx \int \mathrm d z
\ee
\be
\exp(-F) \approx - z
\ee
Таким образом, разложение функции $F$ может начинаться с логарифмического терма.
Подстановка такого эвристического решения в передаточное уравнение  \rf{trantrap} дает невязку, и эта невязка указывает следующий терм разложения. 
%Поэтому естественно ожидать, что асимптотическое разложение 
%функции $F$ при больших отрицательных значениях аргумента начнется с логарифмической функции, с тем, чтобы дать в правой части уравнения 
%\rf{trantrap1} нечто в первом приближении линейное по $z$. 
%Поэтому 
Угадав таким образов форму асимптотики, я ищу асимптотическое представление для решения $F$ в таком виде:
\be
F(z)=F_M(z)+O\left( \frac{\ln(-z)}{z}\right)^{M+1}
\eL{sutraFMO}
где $M$ есть натуральное число, а 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
F_M(z)=-\ln(-z)+\sum_{m=1}^{M} P_m\Big(\ln(-z)\Big) \, z^{-m}
\eL{sutraFM}
%where 
где
\be
P_m(z)=\sum_{n=1}^m a_{m,n} z^n
\eL{sutraP}
Подставляя представление \rf{trantrap} в передаточное уравнение \rf{trantrap} и собирая слагаемые с одинаковыми степенями $z$ и $\ln(-z)$, я получаю цепочку уравнений для коэффициентов $a$. 
Первые из этих коэффициентов показаны в таблице
%Several coefficients $a$, calculated with this extension, 
%are shown in Table 
\ref{table:sutracoe}.
\begin{table}[h]
\caption{\EN{Coefficients $a$ in the expansion}\RU{Коэффициенты $a$ в разложении} \rf{sutraFMO},\rf{sutraFM} \label{table:sutracoe}}
%\sx{1.05}
%\be
\sx{1.14}
{$
\begin{array}{ccccccccccc}
 0 & -\frac{1}{2} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} & a_{1,6} & a_{1,7} & a_{1,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{1}{6} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{8} & a_{2,3} &  a_{2,4} & a_{2,5} & a_{2,6} & a_{2,7} & a_{2,8} \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{7}{48} & -\frac{7}{24} & \frac{3}{16} & -\frac{1}{24} & a_{3,4} & a_{3,5} & a_{3,6} & a_{3,7} &  a_{3,8} \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{647}{4320} & -\frac{35}{96} & \frac{5}{16} & -\frac{11}{96} & \frac{1}{64} & a_{4,5} & a_{4,6} & a_{4,7} & a_{4,8} \rule{0pt}{14pt}  \\
 \frac{1427}{8640} & -\frac{4163}{8640} & \frac{25}{48} & -\frac{17}{64} & \frac{25}{384} & -\frac{1}{160} & a_{5,6} & a_{5,7} & a_{5,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{1380863}{7257600} & -\frac{1883}{2880} &  \frac{5963}{6912} & -\frac{653}{1152} & \frac{305}{1536} & -\frac{137}{3840} & \frac{1}{384} & a_{6,7} & a_{6,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{3278773}{14515200} & -\frac{2171723}{2419200} & \frac{97603}{69120} & -\frac{3961}{3456} & \frac{537}{1024} & -\frac{263}{1920} & \frac{49}{2560}  & -\frac{1}{896} & a_{7,8}  \rule{0pt}{14pt} \\
 \frac{251790467}{914457600} & -\frac{35981749}{29030400} & \frac{1049251}{460800} & -\frac{920881}{414720} & \frac{69953}{55296} & -\frac{13381}{30720} & \frac{4123}{46080} & -\frac{363}{35840} & \frac{1}{2048}  \rule{0pt}{14pt} 
\end{array}$}
\end{table}
%\ee

%Вычисление коэффициентов $а$ можно автоматизировать.
%
%, используя алгоритмические языки высокого уровня. 
\vskip 3mm

На Математике, коэффициенты $a$ можно находить с помощью такой программы:

\normalsize
{\baselineskip 15pt
\begin{verbatim}
T[z_] = z + Exp[z];
Clear [n, m, M];
P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, m}]; P[m, L];
F[z_]=-Log[-z]+a[1,1] Log[-z]/z+Sum[P[m,Log[-z]]/z^m,{m,2,M}]
M = 12;
F1x = F[-1/x + 1];
Ftx = T[F[-1/x]];
s[1] = Series[F1x - Ftx, {x, 0, 2}];
t[1] = Extract[Solve [Coefficient[s[1], x^2] == 0, {a[1, 1]}], 1]
A[1, 1] = ReplaceAll[a[1, 1], t[1]];
su[1] = t[1]

m = 2; s[m] = ReplaceAll[Series[F1x - Ftx, {x, 0, m + 1}], su[m]];
t[m] = Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m + 1)];
u[m] = Collect[t[m], L];
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n + 1)] == 0, {n, 0, m}];
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}];
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1];
su[m + 1] = Join[su[m], ad[m]];
ReplaceAll[ReplaceAll[F[x], su[m + 1]], Log[-x] -> L]

m = 3; s[m] = ReplaceAll[Series[F1x - Ftx, {x, 0, m + 1}], su[m]];
t[m] = Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m + 1)];
u[m] = Collect[t[m], L];
v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n + 1)] == 0, {n, 0, m}];
w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}];
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1];
su[m + 1] = Join[su[m], ad[m]];
ReplaceAll[ReplaceAll[F[x], su[m + 1]], Log[-x] -> L]
\end{verbatim}
}
\large
\vskip 2mm
и так далее для $m\!=\!4$, $m\!=\!5$, etc.
\vskip 2mm

%Expression \rf{sutraFM} can be considered as primary approximation of superfunction of the Trappmann function \rf{tra}. Then, the exact
%solution $F$ of the transfer equation can be constructed as follows: \begin{wrapfigure}{l}{224px}
Выражение \rf{sutraFM} 
%может быть рассмотрено как 
%определяет 
определяет
асимптотику
суперфункции для передаточной функциии \rf{tra}. Точное решение $F$ передаточного уравнения \rf{trantrap} записывается так: 
\be \!\!\!\!\!\!\!\!
F(z)=\lim_{k \rightarrow \infty} \mathrm{tra}^k\big(F_M(z\!-\!k)\big)
\eL{exa}
%In order to get superfunction SuTra, that satisfies also the additional condition
Чтобы получить суперфункцию SuTra, которая удовлетворяет ещё дополнительному условию
\be
\mathrm{SuTra}(0)=0
\eL{SuTra0}
я определяю
\be
\mathrm{SuTra}(z)=F(z+x_0)
\eL{SuTraDef}
%where $x_0 \!\approx\! -1.1259817765745026$ is real solution of equation
где $x_0 \!\approx\! -1.1259817765745026$ есть вещественное решение уравнения
\be
F(x_0)=0
\eL{x00}

Рисунок \ref{sutraplot} показывает $y=\mathrm{SuTra}(x)$ как функцию $x$. Для сравнения, тонкой курвой показан также лидирующий терм асимптотики функции $\mathrm{SuTra}$ при больших отрицательных значениях аргумента, то есть $y=-\ln(-x)$. 
В левой части рисунка функция приближается к её асимптотике.

\begin{figure}[t]
\normalsize
\hskip 21pt
%\sx{.23}{\begin{picture}(2002,2002)
\sx{.2}{\begin{picture}(2002,2002)
\put(-49,1950){\sx{8}{$y$}}
\put(-49,1780){\sx{7}{$8$}}
\put(-49,1580){\sx{7}{$6$}}
\put(-49,1380){\sx{7}{$4$}}
\put(-49,1180){\sx{7}{$2$}}
\put(-49,0980){\sx{7}{$0$}}
\put(-109,780){\sx{7}{$-2$}}
\put(-109,580){\sx{7}{$-4$}}
\put(-109,380){\sx{7}{$-6$}}
\put(-109,180){\sx{7}{$-8$}}
\put(120, 6){\sx{7}{$-8$}}
\put(320, 6){\sx{7}{$-6$}}
\put(520, 6){\sx{7}{$-4$}}
\put(720, 6){\sx{7}{$-2$}}
\put(988, 6){\sx{7}{$0$}}
\put(1188, 6){\sx{7}{$2$}}
\put(1388, 6){\sx{7}{$4$}}
\put(1588, 6){\sx{7}{$6$}}
\put(1788, 6){\sx{7}{$8$}}
\put(1958, 6){\sx{8}{$x$}}
\put(0,0){\ing{sutranmap}}
\put(200,1414){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2.2$\ero}}
\put(352,1328){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2$\ero}}
\put(462,1238){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.8$\ero}}
\put(574,1188){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.6$\ero}}
\put(652,1130){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.4$\ero}}
\put(722,1070){\sx{7}{\rot{58}$u\!=\!-1.2$\ero}}
\put(790,1050){\sx{7}{\rot{59}$u\!=\!-1$\ero}}
\put(1518,1200){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!3$\ero}}
\put(1277,1590){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!2$\ero}}
\put(618,1632){\sx{7}{\rot{-53}$v\!=\!1$\ero}}
\put(340,1128){\sx{7}{\rot{-10}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(310,0984){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(330,0832){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(642,0332){\sx{7}{\rot{53}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(1209,488){\sx{7}{\rot{-70}$v\!=\!-2$\ero}}
\put(1490,772){\sx{7}{\rot{-11}$v\!=\!-3$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -1pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuTraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{SuTra}(x\!+\!\mathrm i y)$ по формуле \rf{SuTraDef} \iL{sutramap}}
\end{figure}
\vskip 2mm

Комплексная карта функции $\mathrm{SuTra}$ показана на рисунке \ref{sutramap}. Вдали от начала координат и вдали от положительной части вещественной оси, SuTra похожа на функцию $z\rightarrow -\ln(-z)$, как это предлагается её асимптотическим представлением. При этом линии постоянной вещественной части SuTra похожи на окружности, а линии постоянной мнимой части похожи на прямые линии. Сходства нет вблизи нуля (где логарифм имеет особенность), и вблизи положительной части вещественной оси. Этого можно было ожидать: по построению, функция SuTra голоморфна и не имеет особых точек, то  есть это целая функция. Целая функция не может хорошо аппроксимировать сингулярную функцию вблизи её сингулярностей и разрезов. 
\vskip 2mm

В правой части рисунка \ref{sutramap}, в окрестности положительной части вещественной оси, функция $\mathrm{SuTra}$ остается голоморфной, но она очень быстро растет (быстрее любой экспоненты), и даже самый хороший графопостроитель не может провести соответствующие линии уровня. (И даже если бы он смог такое сделать, получающийся файл не поместился бы ни в один компьютер.) Поэтому эта часть рисунка осталась пустой, эта пустота выгладит как ручка, на которой держится голоморфная иммитация сингулярности в нуле, и, в некотором, смысле, вся ТФКП. Потому как если кто построит целую голоморфную функцию с логарифмической асимптотикой, но без такой ``ручки'', то вся  ТФКП (с аксиомами Арифметики вместе) посыпется. Такая ``ручка'' неизбежна при аппроксимации сингулярной функции целой функцией.
\vskip 2mm

\begin{figure}[t]
%\sx{.12}{\begin{picture}(2002,2002)
\sx{.104}{\begin{picture}(2000,2002)
\put(30,1950){\sx{8}{$y$}}
\put(30,1780){\sx{7}{$8$}}
\put(30,1580){\sx{7}{$6$}}
\put(30,1380){\sx{7}{$4$}}
\put(30,1180){\sx{7}{$2$}}
\put(30,0980){\sx{7}{$0$}}
\put(-22,780){\sx{7}{$-2$}}
\put(-22,580){\sx{7}{$-4$}}
\put(-22,380){\sx{7}{$-6$}}
\put(-22,180){\sx{7}{$-8$}}
\put(120, 6){\sx{7}{$-8$}}
\put(320, 6){\sx{7}{$-6$}}
\put(520, 6){\sx{7}{$-4$}}
\put(720, 6){\sx{7}{$-2$}}
\put(988, 6){\sx{7}{$0$}}
\put(1188, 6){\sx{7}{$2$}}
\put(1388, 6){\sx{7}{$4$}}
\put(1588, 6){\sx{7}{$6$}}
\put(1788, 6){\sx{7}{$8$}}
\put(1958, 6){\sx{8}{$x$}}
%\put(0,0){\ing{SuTraMap}}
\put(0,0){\ing{sutra2map}} 
\put(0,0){\ing{mlogmap}} 
%\zoomax % 
\put(200,1414){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2.2$\ero}} 
\put(352,1328){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2$\ero}} 
\put(462,1238){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.8$\ero}}
\put(1277,1590){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!2$\ero}}
\put(596,1632){\sx{7}{\rot{-55}$v\!=\!1$\ero}}
\put(340,1128){\sx{7}{\rot{-10}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(310,0984){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(330,0832){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(620,0332){\sx{7}{\rot{55}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(1209,488){\sx{7}{\rot{-70}$v\!=\!-2$\ero}}
%\put(1490,772){\sx{7}{\rot{-11}$v\!=\!-3$\ero}}
\end{picture}}
\rule{1pt}{0pt}
%\sx{.12}{\begin{picture}(2002,2002)
\sx{.104}{\begin{picture}(2000,2002)
%\put(40,20){\ing{b271tMap3}} 
%\put(40,20){\ing{ExpMap}}
\put(30,1950){\sx{8}{$y$}}
\put(30,1780){\sx{7}{$8$}}
\put(30,1580){\sx{7}{$6$}}
\put(30,1380){\sx{7}{$4$}}
\put(30,1180){\sx{7}{$2$}}
\put(30,0980){\sx{7}{$0$}}
\put(-22,780){\sx{7}{$-2$}}
\put(-22,580){\sx{7}{$-4$}}
\put(-22,380){\sx{7}{$-6$}}
\put(-22,180){\sx{7}{$-8$}}
\put(120, 6){\sx{7}{$-8$}}
\put(320, 6){\sx{7}{$-6$}}
\put(520, 6){\sx{7}{$-4$}}
\put(720, 6){\sx{7}{$-2$}}
\put(988, 6){\sx{7}{$0$}}
\put(1188, 6){\sx{7}{$2$}}
\put(1388, 6){\sx{7}{$4$}}
\put(1588, 6){\sx{7}{$6$}}
\put(1788, 6){\sx{7}{$8$}}
\put(1958, 6){\sx{8}{$x$}}
%\put(0,0){\ing{SuTraMap}}
\put(0,0){\ing{sutra4map}} 
\put(0,0){\ing{mlogmap}} 
%\zoomax % 
\put(200,1414){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2.2$\ero}} 
\put(352,1328){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-2$\ero}} 
\put(462,1238){\sx{7}{\rot{56}$u\!=\!-1.8$\ero}}
\put(1277,1590){\sx{7}{\rot{68}$v\!=\!2$\ero}}
\put(596,1632){\sx{7}{\rot{-55}$v\!=\!1$\ero}}
\put(340,1128){\sx{7}{\rot{-10}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put(310,0984){\sx{7}{$v\!=\!0$}}
\put(330,0832){\sx{7}{\rot{10}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put(620,0332){\sx{7}{\rot{55}$v\!=\!-1$\ero}}
\put(1209,488){\sx{7}{\rot{-70}$v\!=\!-2$\ero}}
%\put(1490,772){\sx{7}{\rot{-11}$v\!=\!-3$\ero}}
\end{picture}}
\caption{Карты функций \rf{sutra2} и \rf{sutra4}, наложенные на карту функции \rf{sutrafinfty}
\label{sutralomap}}
\end{figure}
Чтобы показать, как логарифмическая функция $z\rightarrow -\ln(-z)$ аппроксимируется целой функцией, 
на рисунке 
\ref{sutralomap} 
изображены 
%наложения 
карты целых функций 
\be
f_2(z)=\mathrm {SuTra}(2z)+\ln(2) \label{sutra2}\\
f_4(z)=\mathrm {SuTra}(4z)+\ln(4) \label{sutra4}
\ee
Для сравнения, эти карты наложены на карту функции
\be
f_{\infty}(z)=-\ln(-z) \label{sutrafinfty}
\ee
На правой картинке рисунка \rf{sutralomap}, уровни двух функций настолько близки, что трудно сразу понять, к какой из функций относится каждый уровень.
%Таким образом, п
Последовательность целых функций
\be
\Phi_n(z)=-\Big(\mathrm {SuTra}(-nz)+\ln(n) \Big) \label{sutn}
\eL{phin}
при больших значениях $n$ асимптотически аппроксимирует $\ln(z)$ при любых значениях $z$, за исключением нуля и отрицательной части вещественной оси. \footnote{В окрестности положительной части вещественной оси, при конечном $n$,  функция $\Phi_n$ сильно дергается; по сравнению с ней, даже выживший из ума 
%фашиствующий 
диктатор, оказывающий всем соседям ``братскую помощь'', выглядит образцом постоянства и здравомыслия.} Насколько мне известно, выражение \rf{sutn} имеет самую широкую область аппроксимации логарифма целой функцией среди всех, предложенных по крайней мере до публикации 
\cite{sutra}.
\vskip 2mm

%\EN{\section{Relation with other functions}}%EN
\RU{\section{Связь с другими функциями}}%RU
\baselineskip 19pt

%Function AuTra can be expressed through function AuZex 
Функция AuTra может быть выражена через функцию AuZex, рассмотренную в главе 12 
\be
\mathrm{AuTra}(z)=\exp(\mathrm{AuZex})
\eL{AuTraAuZex}
%and function SuTra can be expressed through SuZex
Аналогично, функция  SuTra может быть выражена через функцию SuZex
\be
\mathrm{SuTra}(z)=\mathrm{SuZex}(\ln(z))
\eL{SuTraSuZex}
Ввиду того, что логарифм - довольно медленная функция, численныe имплементации через представления 
\rf{AuTraAuZex} и \rf{SuTraSuZex}
несколько менее эффективны для итерации функции Траппманна, чем алгоритмы, представленные в этой главе.
Кроме того, первичная аппроксимация арктраппманна легче позволяет увидеть, что эта функция целая, то есть не имеет особых точек. Попросту говоря, голоморфна везде, куда ни попади. 
%Again, with this representations, the precision is not maximal possible, while in some regions logarithm has low derivative, and the exponential has high derivative.
%In addition, with use of logarithm, it is difficult to see that SuTra is entire function.
\vskip 2mm

%In order to make the deep test of ally the relations, suggested in this Book, the robust representations are required for all the functions involved.
%For these reasons, the special representations and implementations for functions ArcTra, SuTra and AuTra are described above.
%The readers are invited to make the asymptotical analysis for the relations above. Also, the numerical verification can be used.
%For moderate values of the argument, the representation of SuTra through SuZex loss only few decimal digits in the precision.
%Descriptions of functions  ArcZex, AuZex, and Suzex are loaded as 
%Для того, ч
%Чтобы помочь Читателю повторить выкладки и проверить их графически, 
%в ТОРИ загружены 
%я загрузил описания функций  ArcZex, AuZex, и Suzex:\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcZex} \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuZex} \\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuZex} .
%\vskip 2mm

Рассказывают, что один Портной сошёл с ума. А случилось это так: одноногий приятель Портного попросил его сшить 
%штаны 
портки
с одной штаниной.
Приятель хорошо заплатил за эти 
%штаны
портки, но ему потребовались еще портки с тремя штанинами для его собаки, которая, как и он, была калекой. 
А потом Знакомый приятеля попросил такие же портки для своей собаки, которая была вполне нормальной (разве что мерзла зимой) и штанин потребовалось четыре. Потом Портной стал шить портки с шестью штанинами, на тот случай, если кто выведет новую породу собаки с 6ю лапами, а заодно - сюртуки для птиц с двумя головами, показанными на рисунке \ref{exoti}. (Ожидалось, что они станут популярны в России после Чернобыльской катастрофы; это обстоятельство учтено на гербе РФ.)
%таксы, столь длинной, что ей потребуются ещё пара ног, чтобы живот не волочился по земле; а 
Наконец, Портной сшил портки с произвольным количеством штанин.
%с семью штанинами, и с восемью штанинами, и так далее. В мимиатюре, он реализовал модель бешеного принтера.
% когда выяснилось, что у осьминогов не 7 конечностей (как можно было бы ожидать, исходя из названия), а 8. 
И если завтра Землю посетит инопланетянин, у которого $n$ конечностей, то у Портного для этого инопланетянина уже есть готовые портки. %Так что Добро пожаловать на Землю!
\vskip 2mm

Я рассказал историю про Портного для того, чтобы лучше объяснить Читателю, что такое математика и чем занимаются математики. Я сейчас не могу себе представить ситуацию, в которой кому-либо потребуется аппроксимировать элементарную функцию $\ln$ целыми функциями. Но если кому-то вдруг такое потребуется, то 
%для логарифма
у меня такая аппроксимация уже есть, это функция $\Phi_n$ по формуле \rf{phin}. 
%И это одна из причин, почему я считаю важной эту главу.
\vskip 2mm
%Эта численная имплементация обсуждается в следущей секции.

\EN{\section{Implementation}}
\RU{\section{ SuTra, имплементация супертраппманна}}
\baselineskip 21pt
В заголовке секции, фамилия ``Траппманн'' написана с маленькой буквы, чтобы показать, что речь идет не о самом Генрике Траппманне, а о суперфункции для функции tra, которую я назвал его 
фамилией.
%именем. 
В этой секции рассмотрена численная имплементация 
супертраппманна
%этой функции.
\vskip 2mm

Ключевые вопросы для любой аппроксимации - в какой области эта аппроксимация работает, сколько значащих цифр она дает и сколько операций требуется выполнить, чтобы с этой аппроксимацией получить требуемую величину.
Если область применимости охватывает все мыслимые приложения, погрешность приближается к имманентной погрешности округления чисел при их представлении в компьютере, а все комплексные карты для этой функции строятся в реальном времени, то я условно называю решение точным.
При этом подразумевается, что когда получаемой точности не хватит, с помощью точного решения алгоритм можно уточнить, чтобы получить ещё более точный алгоритм, который даст точно такую точность, которая требуется. Такой фразой я хочу хотя бы приблизительно показать многообразие   
значений, которые может иметь термин ``точный''. 
\vskip 2mm

Если для функции есть определение, известны её свойства, и уже есть эффективный алгоритм для её вычисления, эта функция должна рассматриваться как специальная. Если решение какой-либо задачи просто и явно выражено через такую функцию, то это  решение должно квалифицироваться как ``точное''.
\vskip 2mm

Ниже я рассматриваю область значений $z$, при которых  $F_M(z\!+\!x_0)$
по формуле \rf{sutraFM} 
является хорошим приближением для выражения $\mathrm{SuTra}(z)$. 
Из практических соображений (чтобы получить complex double численную имплементацию),
оказалось удобным взять 12 слагаемых в разложении, то есть $M\!=\!12$. Для дюжины терминов, исследовалась функция согласия
\be
\mathcal A(z)= - \lg\! \left( \frac
{ |  F_M(z\!+\!x_0)- \mathrm {SuTra}(z) | }
{ |  F_M(z\!+\!x_0) | + |\mathrm {SuTra}(z) | }
\right)
\eL{sutraA}
Уровни этой функции показаны на рисунке \ref{sutraAmap}.
\vskip 2mm

%\begin{wrapfigure}[2]{l}{510px}
\begin{figure}[t]
%\sx{.112}{\begin{picture}(4402,2002)
\sx{.096}{\begin{picture}(4402,2002)
\put(0,0){\ing{sutrapag}}
\put(44,1955){\sx{8}{$y$}}
\put(04,1775){\sx{8}{$18$}}
\put(04,1575){\sx{8}{$16$}}
\put(04,1375){\sx{8}{$14$}}
\put(04,1175){\sx{8}{$12$}}
\put(04, 975){\sx{8}{$10$}}
\put(040, 775){\sx{8}{$8$}}
\put(040, 575){\sx{8}{$6$}}
\put(040, 375){\sx{8}{$4$}}
\put(040, 175){\sx{8}{$2$}}
%\put(020, 80){\sx{8}{$1$}}
\put(040, -25){\sx{8}{$0$}}
\put(0108,-77){\sx{7}{$-18$}}
\put(0308,-77){\sx{7}{$-16$}}
\put(0508,-77){\sx{7}{$-14$}}
\put(0708,-77){\sx{7}{$-12$}}
\put(0908,-77){\sx{7}{$-10$}}
\put(1140,-80){\sx{8}{$-8$}}
\put(1340,-80){\sx{8}{$-6$}}
\put(1540,-80){\sx{8}{$-4$}}
\put(1740,-80){\sx{8}{$-2$}}
\put(1992,-80){\sx{8}{$0$}}
\put(2192,-80){\sx{8}{$2$}}
\put(2392,-80){\sx{8}{4}}
\put(2592,-80){\sx{8}{6}}
\put(2792,-80){\sx{8}{8}}
\put(2970,-80){\sx{8}{10}}
\put(3170,-80){\sx{8}{12}}
\put(3370,-80){\sx{8}{14}}
\put(3570,-80){\sx{8}{16}}
\put(3770,-80){\sx{8}{18}}
\put(3970,-80){\sx{8}{20}}
\put(4192,-80){\sx{8}{$x$}}
\put(180,1860){\sx{16}{Range used for approximation of SuTra}}
\put(400,1200){\sx{19}{$\mathcal A \!>\! 15$}}
\put(2020,1520){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!15$}}
\put(2020,1250){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!14$}}
\put(2020,1040){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!13$}}
\put(2020,0840){\sx{18}{$\mathcal A \!=\!12$}}
\put(2030,0488){\sx{16}{$\mathcal A \!=\!9$}}
\end{picture}}
\vskip 8pt
%\caption{Map of $\mathcal A=\mathcal A(x\!+\!\mathrm i y)$  by \rf{sutraA} \label{sutraAmap}}
\caption{Карта функции согласия $\mathcal A=\mathcal A(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле \rf{sutraA} \iL{sutraAmap}}
\vskip -6px
\end{figure}

Для точности complex double, то есть с пятнадцатью значащими цифрами, значения вне контура, показанного толстой курвой, могут быть использованы
(и используются в алгоритме) ``как есть''.
Для иных значений требуется формула 
\be
\mathrm{SuTra} (z)=\mathrm{tra}^k(\mathrm{SuTra}(z\!-\!k))
\ee
с таким целым значением $k$, чтобы самый внутренний аргумент оказался вне толстого контура на рисунке  \ref{sutraAmap}. Этот ``толстый контур'' не является частью карты, он образован отрезком прямой вдоль $x\!=\!-11$, окружностью с центром в точке $(5,0)$ и полупрямой вдоль линии $y\!=\!6$. Вне этого контура, погрешность вычисления супертраппманна определяется не несовершенством аппроксимирующей функции, а ошибками округления при использовании переменных complex double.
\vskip 3mm

При построении остальных рисунков этой главы, при каждом вычислении функции SuTra, функцию tra приходится оценивать порядка десятка раз. Таким образом, представление функции SuTra всего лишь на порядок величины более медленно, чем вычисление таких общепризнанных специальных функций как exp, erfc или BesselJ. Это одна из причин, по которым я квалифицирую функцию SuTra как специальную.
\newpage
%~
%\rule{0pt}{284pt}
%\newpage
\section{AuTra, абельфункция траппманна}
\baselineskip 21pt

%\begin{wrapfigure}{r}{210px}
%\begin{wrapfigure}{r}{225px}
\begin{wrapfigure}{r}{240px}
\normalsize
\vskip -2pt
\hskip -4pt
%\sx{.51}{\begin{picture}(402,400)
\sx{.6}{\begin{picture}(402,400)
\put(112,392){\sx{2}{$y$}}
\put(112,298){\sx{2}{$1$}}
\put(112,198){\sx{2}{$0$}}
\put(102, 98){\sx{2}{$-1$}}
\put(99,180){\sx{2}{$0$}}
\put(199,182){\sx{2}{$1$}}
\put(299,182){\sx{2}{$2$}}
\put(390,182){\sx{2}{$x$}}
\put(0,0){\ing{autraplo}}
\put(154,304){\sx{2}{\rot{35}$y\!=\!c_0\!+\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}$\ero}}
%\put(170,310){\sx{2}{\rot{39}$y\!=\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}$\ero}}
\put(267,325){\sx{2.2}{\rot{17}$y\!=\!\mathrm{AuTra}(x)$\ero}}
%\put(185,128){\sx{2.2}{$y\!=\!x/2\!-\!\mathrm e^x\!+\!1.1259817765745026-exp(x)/6.+exp(2*x)/16)$}}
%\put(210,122){\sx{2}{$y\!=\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}\!-\!\mathrm e^x/6$}}
\put(170,122){\sx{2}{$y\!=\!c_0\!+\!x/2\!-\!\mathrm e^{-x}\!+\!\mathrm e^x/6$}}
\end{picture}}
\vskip -10pt
\caption{$y\!=\!\mathrm{AuTra}(x)$ 
по формуле \rf{AuTraDef}
%and two %~ ~ ~ ~ ~ ~  its asymptotics by \
и две асимптотики от
%по формуле 
\rf{sutrasy} 
\label{autraplot}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}
В этой секции строится обратная функция к функции SuTra; для неё предлагается имя AuTra. График этой функции показан на рисунке \ref{autraplot}. Для сравнения, тонкими линиями
%на этом же рисунке 
показаны две оборванные серии асимптотического разложения этой функции при больших отрицательных значениях аргумента.
%\vskip 2mm
Комплексная карта функции AuTra показана на рисунке \ref{autraMap}. 
%Ниже описано
% эффективный алгоритм для 
Её вычисление 
описано
%рассмотрено 
ниже.
\vskip 2mm

Для передаточной функции Траппманна, абельфункция $G$ удовлетворяет уравнению Абеля
\be
G(\mathrm{tra}(z))=G(z)+1
\eL{abeltraeq}
Асимптотическое поведение решения можно угадать, переписав это уравнение в таком виде:
\be
G(z+\mathrm e^z)-G(z)=1
\eL{abeltraeq1}
Выражение в левой части похоже на производную, %то есть
\be
G'(z) \mathrm e^z +G''(z) e^{2z}/2+.. \approx 1
\eL{abeltraeq3}
%``Методом пристального всматривания'' 
%Из такого уравнения получается %доминирующая 
Из такой аналогии можно угадать %доминирующая 
асимптотическое разложение функции $G$:
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
G(z)\approx \frac{z}{2}-\mathrm e^{-z}
-\frac{\mathrm e^z}{6}
+\frac{\mathrm e^{2 z}}{16}
-\frac{19 \mathrm e^{3 z}}{540}
+\frac{\mathrm e^{4 z}}{48}
-\frac{41 \mathrm  e^{5 z}}{4200}
+ \mathcal O( \mathrm  e^{6 z})
\label{sutrasy}
\ee
%Такое разложение годится больших отрицательных значений $z$.
\EN{The coefficients of the expansion above  are calculated and evaluated with the Mathematica code below:}%
\RU{Коэффициенты разложения \rf{sutrasy} получены с помощью Математики, 
использована вот такая программа:}
\normalsize 

\baselineskip 14pt
\begin{verbatim}
tra[z_] = z + Exp[z]
g0[z_] = z/2 - Exp[-z] + Sum[c[n] Exp[n z], {n, 1, 20}]
n = 1; s[n] = Series[g0[Log[t]] + 1 - g0[tra[Log[t]]], {t,0,n+1}]
u[n] = Extract[Solve[Coefficient[s[n], t^(n+1)] == 0, c[n]], 1]
g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
For[n = 1, n < 20, n++;
   s[n] = Series[ g[n-1,Log[t]]+1-g[n-1,tra[Log[t]]],{t,0,n+1}];
   u[n] = Extract[Solve[Coefficient[s[n], t^(n+1)] == 0, c[n]],1];
   g[n,z_] = ReplaceAll[g[n-1, z], u[n]];        ]
g[n, z]
Table[Coefficient[g[n, z], Exp[n z]], {n, 1, 20}]
N[Table[Coefficient[g[n, z], Exp[n z]], {n, 1, 20}], 18]
\end{verbatim}
\large

\baselineskip 18pt
Те же коэффициенты могут быть получены и обращением асимптотического разложения функции SuTra.
Отмечу, что и асимптотика функции AuTra, и код для её вычисления проще, чем асимптотика \rf{sutraFM} и аналогичный код для функции SuTra по формуле \rf{SuTraDef}.
% поэтому он представлен выше.
\vskip 3mm

\EN{For some fixed integer $M$, define the primary approximation as truncation of the series above:}%
\RU{Для некоторого натурального числа $M$, я определяю функцию $G_M$ как оборванную сумму для разложения \rf{sutrasy}; пусть}
\be
G_M(z)=\frac{z}{2}-\mathrm e^{-z}
\displaystyle +\sum_{m=1}^{M} c_m \mathrm e^{mz} 
\eL{autraGM}
\EN{Define function $G$ as limit}
\RU{В этой секции, я определяю функцию $G$ как предел}
\be
G(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} (G_M(\mathrm{ArcTra}^n(z))+n)
\eL{autraG}
%AuTra can be expressed through $G$ with
Функцию AuTra можно выразить через  $G$ по формуле
\be\!\!\!\!
\mathrm{AuTra}(z)=G(z)-G(0) \approx G(z)+1.1259817765745026
\label{AuTraDef}
\ee
%The constant $G(0)$ can be interpreted also as negative of coefficient $c_0$, id est, $c_0\!=\!-G(0)$; then, let
Константу $G(0)$ можно интерпретировать как коэффициент $-c_0$, то есть $c_0\!=\!-G(0)$. 
\vskip 3mm

%Пусть
%\begin{wrapfigure}[28]{l}{210px}
%\be
%g_M(z)=\frac{z}{2}-\mathrm e^{-z} +\sum_{m=0}^{M} c_m \mathrm e^{mz}
%\label{autragM}
%\ee
%тогда функция AuTra получается как предел
%\be
%\mathrm{AuTra}(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} g_M(\mathrm{ArcTra}^n(z))
%\label{AuTrag}
%\ee
%This representation is used for the numerical implementation of AuTra described below.

%For the numerical implementation, we need to choose the appropriate number $M$ in \rf{autragM} and to determine the number $n$ if iterations approximating limit in equation \rf{AuTrag}. 
Для численной имплементации, следует выбрать подходящее число $M$ в формуле 
%\rf{autragM}
\rf{autraGM},
а также номер $n$ для аппроксимации предела
в формуле
\rf{autraGM}.
%The reasonable choice is $M\!=\!9$. Then, the primary approximation 
Я выбрал $M\!=\!9$; тогда первичное приближение
\be
\mathrm{SuTra}(x+\mathrm i y)\approx g_9(x+\mathrm i y)
\label{SuTrappro}
\ee
%is used for the region defined with condition
можно использовать в области
\be
|y|\!<\!3 ~\mathrm{and}~ |y|/3\!+\!x\!<\! 3.5
\label{sutraregion}
\ee
\baselineskip 19.7pt
%\begin{wrapfigure}[28]{l}{190px}
\begin{figure}[t]
\normalsize
%\sx{.33}{\begin{picture}(610,810)
%\sx{.27}{\begin{picture}(610,810)
\begin{center}
\sx{.56}{\begin{picture}(610,810)
%\put(1,1){\ing{logq2map}}
%\put(0,0){\ing{autran0m9tes64}}
\put(0,0){\ing{autrantes}}
\put(-20,782){\sx{3.6}{$y$}}
\put(-19,691){\sx{3}{$3$}}
\put(-19,591){\sx{3}{$2$}}
\put(-19,491){\sx{3}{$1$}}
\put(-19,391){\sx{3}{$0$}}
\put(-47,291){\sx{3}{$-1$}}
\put(-47,191){\sx{3}{$-2$}}
\put(-47,091){\sx{3}{$-3$}}
%\put(590,2){\sx{.7}{\rot{80}$v\!=\!4$\ero}}
\put(078,3){\sx{3}{$-4$}}
\put(178,3){\sx{3}{$-3$}}
\put(278,3){\sx{3}{$-2$}}
\put(378,3){\sx{3}{$-1$}}
\put(494,3){\sx{3}{$0$}}
\put(580,3){\sx{3.6}{$x$}}
\put(210,750){\sx{2.8}{$\mathcal A \!<\! 1$}}
\put(276,350){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!15$\ero}}
\put(332,350){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!12$\ero}}
\put(386,360){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!9$\ero}}
\put(440,360){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!6$\ero}}
\put(500,260){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!3$\ero}}
\put(542,260){\sx{3}{\rot{90}$\mathcal A\!=\!1$\ero}}
\put(528,390){\sx{2.8}{$\mathcal A \!<\! 1$}}
%\put(111,412){\sx{3}{$\mathcal A > 16$}}
\put(166,142){\sx{2.8}{$\mathcal A \!\approx\! 16$}}
%\put(530,155){\sx{2.8}{$\mathcal A \!<\! 1$}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -12pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Autran0m9tes64t.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large
%Map of agreement  $\mathcal A=A(x\!+\!\mathrm i y)$  by  \rf{AuTraAgre}; range \rf{sutraregion} is shaded
%Карта согласия  
$\mathcal A=A(x\!+\!\mathrm i y)$  по формуле  \rf{AuTraAgre}
%затененная область соответствует формуле \rf{sutraregion} 
\iL{autraAgreMap}}
%\vskip 9pt
\end{figure}
Эта область на рисунке
%This region is shaded in the figure 
\ref{autraAgreMap} затенена. 
%Also, at the same figure, the map of agreement $A$ is shown.
На том же рисунке показана карта согласия
\be\!
\mathcal A(z)\!=\!-\lg\!\!\left( \frac{ |\mathrm{SuTra}(g_M(z))\!-\!z|}{ |\mathrm{SuTra}(g_M(z))|\!+\!|z|} \right)
\label{AuTraAgre}
\ee
%Map in figure \rf{autraAgreMap} can be considered also as the numerical verification of relation 
Рисунок \rf{autraAgreMap} можно рассматривать также как численное подтверждение соотношения
\be \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\mathrm{SuTra}(\mathrm{AuTra}(z))=z 
\eL{SuTraAu}
%In the shaded range, for the numerical implementation, the relation \rf{SuTraAu} holds with at least 15 decimal digits; as it is supposed to be while
%AuTra is abelfunction, corresponding to superfunction SuTra for the transfer function tra.
В затененной области, для численной имплементации, соотношение \rf{SuTraAu} держится по крайней мере с 15 знаками. Собственно, так и должно быть, пока
AuTra есть абельфункция, соответствующая суперфункции SuTra от передаточной функции tra.
\vskip 3mm

Область, где используется первичное приближение, можно расширить,
приближая её на рисунке \ref{autraAgreMap} к уровню $\mathcal A\!=\!15$
и оптимизируя алгоритм. Я оставляю это Читателю в качестве упражнения
и надеюсь, что Читатель не забудет протестировать улучшенный алгоритм.
\vskip 3mm

%The primary approximation \rf{SuTrappro} can be used only in the narrow range of values of the argument shaded in figure {autraAgreMap}.
Первичное приближение \rf{SuTrappro} используется ``как есть'' лишь для значений $x\!+\!\mathrm i y$ 
удовлетворяющих соотношению \rf{sutraregion} (затененная область на рисунке \rf{autraAgreMap}).
%If the initial argument $z\!=\! x\!+\!\mathrm i y$ happens to be outside the shaded region, then, the function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{Tra}^{-1}$ is applied $n$ times with such $n$, that the argument comes to the shaded range. Then, approximation
Если аргумент $z\!=\! x\!+\!\mathrm i y$ оказывается вне этой области, то функция  $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{Tra}^{-1}$ применяется к аргументу $n$ раз,
столько раз, сколько нужно, чтобы результат попадал в затененную область. Затем используется формула
\be
\mathrm{AuTra}(z) \approx g_9( \mathrm{ArcTra}^n(z))+n  ~ ~ ~ ~
\eL{AuTrag9}
%is used to evaluate the value to return. 
Форму ``затененной'' области можно оптимизировать, но тогда алгоритм станет чуть сложнее. Такая оптимизация может иметь смысл непосредственно перед тем, как встраивать в имплементацию функции AuTra в какой-либо софтвер.
\vskip 3mm

\begin{figure}[t]
\vskip -4pt
\begin{center}
%\sx{.23}{\begin{picture}(2102,2094)
\sx{.2}{\begin{picture}(2102,2094)
%\sx{.116}{\begin{picture}(2102,2094)
%\sx{.2}{\begin{picture}(2102,2094)
%\put(98,88){\ing{AuTraMap}}
\put(98,88){\ing{autranma}}
\put(40,2048){\sx{8}{$y$}}
\put(40,1870){\sx{7}{$8$}}
\put(40,1670){\sx{7}{$6$}}
\put(40,1470){\sx{7}{$4$}}
\put(40,1270){\sx{7}{$2$}}
\put(40,1070){\sx{7}{$0$}}
\put(-12,870){\sx{7}{$-2$}}
\put(-12,670){\sx{7}{$-4$}}
\put(-12,470){\sx{7}{$-6$}}
\put(-12,270){\sx{7}{$-8$}}
\put(002, 28){\sx{7}{$-\!10$}}
\put(220, 28){\sx{7}{$-8$}}
\put(420, 28){\sx{7}{$-6$}}
\put(620, 28){\sx{7}{$-4$}}
\put(820, 28){\sx{7}{$-2$}}
\put(1088, 28){\sx{7}{$0$}}
\put(1288, 28){\sx{7}{$2$}}
\put(1488, 28){\sx{7}{$4$}}
\put(1688, 28){\sx{7}{$6$}}
\put(1888, 28){\sx{7}{$8$}}
\put(2058, 28){\sx{7}{$x$}}
\put(218,1384){\sx{10}{\bf cut}}
\put(218, 752){\sx{10}{\bf cut}}
%
\put( 224,1836){\sx{8}{\rot{35}$v\!=\!0.6$\ero}}
\put( 1590,1496){\sx{8}{\rot{70}$v\!=\!0.4$\ero}}
\put( 1800,1360){\sx{8}{\rot{38}$v\!=\!0.2$\ero}}
\put( 140,1068){\sx{9}{$v\!=\!0$}}
\put(1874,1068){\sx{9}{$v\!=\!0$}}
\put( 1740, 814){\sx{8}{\rot{-40}$v\!=\!-0.2$\ero}}
\put( 194, 306){\sx{8}{\rot{-35}$v\!=\!-0.6$\ero}}
%
\put( 606, 1920){\sx{9}{\rot{-64}$u\!=\!3$\ero}}
\put( 1500, 992){\sx{8.2}{\rot{90}$u\!=\!2$\ero}}
\put( 1626, 960){\sx{8}{\rot{90}$u\!=\!2.2$\ero}}
\put( 1842, 960){\sx{8}{\rot{90}$u\!=\!2.4$\ero}}
\put( 1724, 400){\sx{8}{\rot{22}$u\!=\!2.6$\ero}}
\put( 670, 290){\sx{9}{\rot{60}$u\!=\!3$\ero}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -16pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuTraMapT.jpg}
\vskip -6pt
\caption{\large $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{AuTra}(x\!+\mathrm i y)$
% left, and $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{ArcTra}(x\!+\mathrm i y)$,  
\iL{autraMap}}
\vskip -4pt
\end{figure}

Разрезы области голоморфизма функции ArcTra определяют и разрезы функции AuTra. Эти разрезы видны на рисунках \ref{arctranmap} и \ref{autraMap}.
При больших значениях $|z|$, функция $\mathrm{AuTra}(z)$ медленно растет, за исключением полу-полосы $\Re(z)\!<\!0, |\Im(z)|\!<\!\pi$. В этой полуполосе, при больших отрицательных значениях $\Re(z)$, функция  $|\mathrm{AuTra}(z)|$ 
%убывает 
растёт 
экспоненциально. В частности, это относится к поведению функции при вещественных значениях аргумента. Такое поведение согласуется со свойствами функции SuTra, график которой показан на рисунке \ref{sutraplot}.
\vskip 3mm

В этой секции, в порядке численной проверки имплементации функции AuTra, используется функция функция SuTra.
Читaтель приглашается стащить имплементации этих функций и оценить невязки при подстановке таких приближений в уравнение Абеля \rf{abeltraeq}  и передаточное уравнение \rf{trantrap}. Мне кажется, что я сделал эти имплементации близко к той точности, какую только можно получить для переменных complex double. 
%This implementation is used to plot the complex map of function AuTra shown in the left hand side of figure \ref{autraAgreMap}. For comparison, in the right hand side of the same figure, map of function ArcTra is also shown.
%The cut lines of function ArcTra determine also the cut lines of function AuTra. This implementation is used to plot the complex map of function AuTra shown in the left hand side of figure {autraAgreMap}. For comparison, in the right hand side of the same figure, map of function ArcTra is also shown.
\vskip 2mm

С функциями SuTra и AuTra, потроенными в этой главе, нетрудно считать нецелые итерации функции Траппманна. Этому посвящена следующая секция.

\section{Итерации траппманна}
\baselineskip 20pt

В этой секции
%Я надеюсь, что Читатель понимает, что 
итерируется не сам Генрик Траппманн, а функция Траппманна $\mathrm{tra}(z)\!=\!z\!+\!\mathrm e^z$.
Как и для других передаточных функций, итерации выражаются через суперфункцию и абельфункцию; то есть, в данном случае, через SuTra и  AuTra, построенные в этой главе:
%With functions SuTra and AuTra, the iterate of the Trappmann function can be expressed as follows:
%Функции SuTra и  AuTra, построенные 
%the iterate of the Trappmann function can be expressed as follows:
\be
\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)
\eL{traite}
Как и при итерациях других передатчных функций, номер итерации функции Траппманна не имеет надобности быть целым, ни даже вещественным. Но может быть и вещественным. Для нескольких вещественныx значений $n$,
%As usually, the number $n$ of iterate has no need to be integer. For real value of the argument and some real values of the number $n$, the iterates of the Trappmann function are shown in figure 
графики $y=\mathrm{tra}(x)$ по формуле \rf{traite} показаны на рисунке \ref{traiteplot}.
\vskip 2mm

%As for other transfer functions, 
%Iterates of function $\mathrm{tra}(z)=z\!+\!\mathrm e^z$ look in a way, similar to those of other transfer functions. In particular, these iterates provide the smooth transfer from the function 

%\begin{wrapfigure}{l}{500px}
\begin{figure}[t]
\vskip 4pt
%\sx{.8}{\begin{picture}(602,602)
\sx{.7}{\begin{picture}(602,602)
%\put(10,10){\ing{PowPlo}}
\put(0,0){\ing{tranit}}
\put(311,590){\sx{2.5}{$y$}}
\put(311,495){\sx{2.4}{$2$}}
\put(311,395){\sx{2.4}{$1$}}
\put(311,295){\sx{2.4}{$0$}}
\put(307,194){\sx{2.4}{$-1$}}
\put(307,093.4){\sx{2.4}{$-2$}}

\put(083,308){\sx{2.4}{$-2$}}
\put(183,308){\sx{2.4}{$-1$}}
\put(297,308){\sx{2.4}{$0$}}
\put(397,308){\sx{2.4}{$1$}}
\put(497,308){\sx{2.4}{$2$}}
\put(590,308){\sx{2.5}{$x$}}

\put(96,531){\sx{2.4}{\rot{87}$n\!=\!10$\ero}}
\put(122,532){\sx{2.4}{\rot{87}$n\!=\!8$\ero}}
%\put(137,532){\sx{2.4}{\rot{86}$n\!=\!7$\ero}}
\put(156,532){\sx{2.4}{\rot{85}$n\!=\!6$\ero}}
\put(177,532){\sx{2.4}{\rot{84}$n\!=\!5$\ero}}
\put(204,532){\sx{2.4}{\rot{83}$n\!=\!4$\ero}}
\put(238,532){\sx{2.4}{\rot{82}$n\!=\!3$\ero}}
\put(287,532){\sx{2.4}{\rot{79}$n\!=\!2$\ero}}
\put(366,532){\sx{2.4}{\rot{71}$n\!=\!1$\ero}}
%\put(264,350){\sx{3.1}{\rot{61}$y\!=\!x\!+\!\mathrm e^x$\ero}}
%\put(427,528){\sx{2.3}{\rot{62}$c\!=\!0.6$\ero}}
\put(448,528){\sx{2.4}{\rot{60}$n\!=\!0.4$\ero}}
\put(469,530){\sx{2.4}{\rot{57}$n\!=\!0.3$\ero}}
\put(491,532){\sx{2.4}{\rot{53}$n\!=\!0.2$\ero}}
\put(517,534){\sx{2.4}{\rot{49}$n\!=\!0.1$\ero}}

\put(541,531){\sx{2.4}{\rot{45}$n\!=\!0$\ero}}
% <br> 
\put(521,462){\sx{2.4}{\rot{37}$n\!=\!-0.2$\ero}}
\put(517,423){\sx{2.4}{\rot{30}$n\!=\!-0.4$\ero}}
\put(527,349){\sx{2.4}{\rot{17}$n\!=\!-1$\ero}}
\put(524,272){\sx{2.4}{\rot{8}$n\!=\!-2$\ero}}
\put(523,222){\sx{2.4}{\rot{6}$n\!=\!-3$\ero}}
\put(522,188){\sx{2.4}{\rot{4}$n\!=\!-4$\ero}}
\put(521,161){\sx{2.4}{\rot{3}$n\!=\!-5$\ero}}
\put(520,141){\sx{2.4}{\rot{2}$n\!=\!-6$\ero}}
%\put(523,122){\sx{2.4}{\rot{1}$n\!=\!-7$\ero}}
\put(518,107){\sx{2.4}{\rot{1}$n\!=\!-8$\ero}}
\put(510,81){\sx{2.4}{\rot{1}$n\!=\!-10$\ero}}
\end{picture}}
\vskip -4pt
\hskip 14pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraitT.jpg}
\vskip -10pt
\caption{\large
$y\!=\!\mathrm{tra}^n(x)$ versus $x$ for various number $n$ of iterate by \rf{traite} \label{traiteplot}}
\vskip -20pt
%\end{wrapfigure}
%~
%\rule{0pt}{490pt}
\end{figure}

\baselineskip 19pt
\vskip 3mm
Итерации функции $\mathrm{tra}(z)=z\!+\!\mathrm e^z$ на рисунке \ref{traiteplot} смотрятся схоже с итерациями других голоморфных передаточных функций. 
%$\mathrm{tra}$  to its inverse function $\mathrm{ArcTra}=\mathrm{tra}^{-1}$.
Рисунок показывает постепенный, голоморфный переход от функции Траппманна $\mathrm{tra}$ к арктраппманну $\mathrm{ArcTra}\!=\!\mathrm{tra}^{-1}$. Oтсутствие и функции стационарных точек не препятствует её итерированию.
\vskip 3mm

На этом я заканчиваю рассмотрение функции Таппманна. И вообще заканчиваю рассмотрение примеров всяческих суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Если Вы дочитали досюда, то Вы и сами можете строить супрфункции, абельфункции и нецелые итерации для всевозможных передаточных функций. Для таких передаточных функций, у которых есть вещественные стационарные точки и для таких, у которых вещественных стационарных точек нет. И даже для таких, у которых 
вовсе нет
%нет даже комплексных 
стационарных точек.
%Таким образом, в итерациях фнкции Таппманна не удалось обнаружить каких-либо уж очень специфических свойств, которые сделали бы их вычисление существенно сложнее, чем вычисление итераций других функций.
%\vskip 2mm

%\chapter{Discussion}
\chapter{~ Заключение}
\baselineskip 20pt

\begin{wrapfigure}{r}{140px}
\begin{center}
%\begin{picture}(224,220)
\begin{picture}(124,40)
%\put(0,0){\sx{.96}{\ing{oglavleni}}}
\put(0,0){\sx{.5}{\ing{oglavleni}}
%\label{oglavleni}
}
\end{picture}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{\large %Читатель
%Я надеюсь, что Книгу можно читать, даже не загладывая в список литературы. Поэтому 
%Список литературы в самом конце % \rule{200px}{0px}
%\caption{Многие начинают читать книги с оглавлений % \rule{200px}{0px}
%Здесь Оглавление вначале. 
\label{content}
\label{oglavleni}}
\end{wrapfigure}

Эта глава 
%посвящена обзору Книги, так же, как и Введение, и 
обсуждает то же, что и Введение. Отличие этой главы от Введения в том, что здесь я предполагаю, что Читатель уже хотя бы просмотрел некоторые из глав Книги (рис. \ref{oglavleni}).
% и, хотя бы, ``нахватался терминологии''; и поэтому термины можно использовать без специальных пояснений. Так что здесь скорее напоминание, чем изложение. 
Чтобы пояснить смысл этого Заключения, напомню притчу.
\vskip 4mm

\normalsize
\baselineskip 12pt
Один 
%могущественный 
император 
%по секрету узнал от своих спецслужб, что подданные считают его неучем и невеждой. Императору стало стыдно, и он 
решил изучить историю. Он поручил министерству науки разработать полный курс истории. Министры работали над таким учебником 
%восемь 
много лет. Наконец, во дворец 
%императора 
приехал грузовик с заказанным тысячетомником. Император понял, что он за всю жизнь не сможет прочесть такой курс, и попросил его сократить. Ведущие историки работали над вторым изданием ещё несколько лет, и вот, в большом чемодане, императору был доставлен десятитомник. Но император к тому времени стал слаб глазами, и не мог осилить даже десятитомник. Историкам пришлось опять перерабатывать учебник, и через год к императору пришёл главный Историк и торжественно вручил ему брошюру "Краткий курс истории императорского двора". Император к тому времени уже заболел, и не мог прочесть даже эту брошюру. Он спросил Историка, можно ли этот курс переработать и сократить. Историк ответил: ``{\em Нового издания не надо. Я расскажу Вам прямо сейчас: Люди рождались, страдали и умирали.}''
\vskip 2mm

\large
\baselineskip 21pt
Как Историк в причте, я предвосхищаю желание Читателя и стараюсь изложить тему суперфункций короче.
Ниже, основные результаты Книги представлены в одной секции.

\section{Основные результаты}

Голоморфные функции можно итерировать. Какую попало голоморфную функцию $T$ можно обозвать ``передаточной функцией''.
%, особенно если эта функция определена в достаточно широкой области значений аргумента. Я имею в виду, что если число $z$ попадает в область определения, то число $T(z)$ тоже из этой области. В частности, хорошо работать с целыми функциями, у которых особых точек вообще нет. %Впрочем, факториал и дробно-линейные функции тоже годятся. 
%Разумеется, в этом случае на карте её суперфункции, а также на карте её нецелых итераций могут возникнуть дополнительные особые точки и даже линии разреза.
Для передаточной функции $T$ можно построить суперфункцию как решение $F$ передаточного уравнения 
\be
F(z\!+\!1)=T\Big(F(z)\Big)  \nonumber
\ee
Обратную функцию, то есть $G\!=\!F^{-1}$ я называю соответствующей функцией Абеля, или абельфункцией.
Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля
\be
G\Big(T(z)\Big)=G(z)+1  \nonumber
\ee
%В некоторых случаях, абельфункцию строить даже проще, чем суперфункцию
Когда суперфункция $F$ и абельфункция $G$ установлены, итерации функции $T$ выражаются в виде
\be
T^n(z)=F\Big(n+G(z)\Big)  \nonumber
\ee
где номер итерации $n$ не имеет надобности быть целым числом; передаточную функцию можно итерировать также нецелое, дробное и даже комплексное количество ``разов''. При этом, для целого $n$, 
\be
 {{T^n(z)}\atop{\phantom{sub}}} {{=}\atop{\phantom{sub}}}{{\underbrace{T\!\Big(T\!\big( .. T(z).. \big)\Big)}}\atop{n ~\mathrm{evaluations~of~ function~} T}}
\nonumber
\ee
\vskip 2mm

Решение передаточного уравнения не единственно. Если какое-нибудь решение $F$ найдено, то еще одно решение  $f$ может быть построено модификацией аргумента,
\be
f(z)=F\Big(z+\theta(z)\Big)
\nonumber\ee
где $\theta$ есть голоморфная периодическая функция с периодом единица. Соответственно может строиться и новая абельфункция $g$.
При этом новая суперфункция и соответствующая абельфункция могут давать иные итерации передаточной функции.
\vskip 2mm

Произвол в выборе суперфункции может быть уменьшен, если зафиксировать асимптотическое поведение этой функции в комплексной плоскости.
%В частности, с
Суперфункции с несложным поведением %в комплексной плоскости 
я считаю основными. Остальные можно получать периодической модификацией аргумента. Голоморфная периодическая функция растет по крайней мере экспоненциально (как это делают в направлении мнимой оси синус и косинус), и даже малая такая модификация легко проявляется в комплексной плоскости. Поэтому для нецелых итераций следует рассматривать функции в комплексной плоскости; даже если они будут применяться для вещественных значений аргумента.
Критерий голоморфизма указывает, которая из суперфункций имеет физический смысл и должна рассматриваться как ``настоящая''.
\vskip 2mm

Для многих суперфункций и абельфункций есть специальные имена. Такие функции собраны в Таблице 1. Некоторые из них общеизвестны, и для их использования не требуется знать, что они являются суперфункциями.
\vskip 2mm

В принципе, для любой голоморфной функции $F$ можно построить обратную функцию $G$ и определить 
$T(z)=F\big(1+G(z)\big)$. Тогда такую $T$ 
можно считать передаточной функцией, для которой известны суперфункция $F$, абельфункция $G$ и нецелые итерации $T^n$.
\vskip 2mm

Обратная задача, то есть построение суперфункции $F$ для заданной передаточной функции $T$, рассмотрена в этой Книге.
При этом построении ключевым является вопрос о стационарных точках передаточной функции, то есть о решениях $L$ уравнения 
\be
L=T(L)
\nonumber\ee
Как физик, я интересуюсь прежде всего вещественно-голоморфными функциями, для которых $T(z^*)\!=\!T(z)^*$.
Я сформулировал нахальный тезис, что я могу построить суперфункцию $F$, абельфункцию $G$ и нецелые итерации для какой попало передаточной функции $T$. В поддержку этого тезиса, в Книге рассмотрены примеры, когда функция имеет хотя бы одну вещественную стационарную точку, $L^*=L$; примеры, когда функция таковой точки не имеет, но имеет комплексные стационарные точки; а также пример передаточной функции, у которой вообще ни одной стационарной точки нет.
\vskip 2mm

Для разных функций, предложены методы построения асимптотического разложения суперфункции, которoe приближается к стационарной точке $L$ на бесконечности. С помощью передаточного уравнения, из асимтотического разложения, суперфункция может вычисляться с любой аккуратностью; в этом смысле построено точное решение.
Для вещественно-голоморфной передаточной функции физической системы с вещественной стационарной точкой, метод регулярной итерации дает решение, имеющее физический смысл.
%Для опровержения, рефутации этой концепции достаточно предложить модель однородного фильтра (например, лазерного усилителя), для которого регулярная итерация не сходится к физически-осмысленному решению.
\vskip 2mm

Может случиться, что все стационарные точки $L$ передаточной функции $T$ являются комплексными, как это имеет место для натуральной экспоненты. При этом суперфункцию можно выразить через интеграл Коши и решение соответствующего интегрального уравнения. Исторически, первая комплексная карта суперфункции от экспоненты, а именно - натуральная тетрация, была построена с помощью такого представления. В верхней части комплексной плоскости такая тетрация стремится к одной из стационарных точек, а в нижней - к её комплексному сопряжению (которое также является стационарной точкой экспоненты). Комплексная карта натуральной тетрации показана на рисунке \ref{tetmap} и на первой странице обложки.
%Тетрацию можно строить даже для комплексных значений основания $b$; пример комплексной карты тетрации по основанию
%$b\!=\!1.52598338517+0.0178411853321 \mathrm i$ показан на рисунке \ref{sheldonmap}.
\vskip 2mm

Может статься, что передаточная функция $T$ вовсе не имеет стационарных точек. Примером такой функции является функция Траппманна
\be
T(z)=\mathrm{tra}(z)=z+\exp(z)
\nonumber\ee
Однако и для такой передаточной функции можно угадать асимптотическое поведение суперфунции и восстановить эту суперфункцию. Карта супертраппманна показана на рисунке \ref{sutramap}. Эта целая функция с логарифмической асимптотикой; похоже, что до публикации \cite{sutra}, ни одной такой функции представлено не было.
%\section{Послесловие и приложения \iL{ArterwordAndNotations}}
\vskip 2mm

Важным видом суперфункции я считаю тетрацию, то есть решение $\mathrm{tet}_b$ передаточного уравнений
\be
\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)= \mathrm e^{\mathrm{tet}_b(z)} ~,~
\mathrm{tet}_b(0)=1
\nonumber\ee
такое, что $\mathrm{tet}_b(z)$ ограниченнa в полосе $|\Re(z)| \!\le\! 1$. 
Для вещественных $b\!>\!1$ и вещественных $x$, зависимость $y\!=\! \mathrm{tet}_b(x)$ показана на рисунке \ref{tet10bx}. 
Тетрацию можно строить даже для комплексного основания; 
%пример комплексной 
картa тетрации по основанию
$b\!=\!1.52598338517\!+\!0.0178411853321\, \mathrm i$ показанa на рисунке \ref{sheldonmap}.
\vskip 2mm

Многие из приведенных в Книге примеров предложены в попытках придумать передаточную функцию, для которой 
трудно построить суперфункцию. Пока все примеры получаются; возможность построения суперфункций является научным фактом. 
\vskip 2mm

Выше я перечислил, что сделано. Но ещё много можно сделать по поводу суперфункций.
Этому посвящена следующая секция.

%\section{Основные фантазии}
\section{Будущая работа}
\baselineskip 19.6pt
Я постарался изложить в Книге то, что известно про суперфункции и итерации. Но всегда остаются фантазии о том, что ещё было бы интересно посчитать и нарисовать. Эти фантазии собраны ниже.
\vskip 2mm

Будущей работы могут потребовать более строгие доказательства существования и единственности суперфункций, а также уточнения дополнительных условий, требуемых для этой единственности.
\vskip 2mm

Будущей работой может быть применение предлагаемых функций в физике, и, в частности, в 
лазерной науке,
%физике лазеров, 
где физический смысл суперфункций и нецелых итераций особенно нагляден.
\vskip 2mm

Будущей работой может быть исследование специального случая суперфункций, а именно - аскерманнов.
На рисунке \ref{ackerplo}, для основания e, построены графики первых пяти аскерманнов - 
добавления константы, 
умножения на константу,
экспоненты,
тетрации
и пентации.
Думаю, что такие графики (и комплексные карты) можно строить и для более высоких аскерманов.

Трудность может быть связана с появлением у высших аскерманнов 
множественных точек ветвления и соответствующих разрезов.
Такие разрезы ограничивают область голоморфизма, и, таким образом, область применимости предложенных в Книге методов построения суперфункций.
Возможно, для высших аскерманнов прийдется работать с многолистными функциями.
\vskip 2mm

%Будущей работой может быть также программирование и численная имплементация различных суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. В языке Математика уже даже есть название, ``Nest'', для обозначения каких попало итераций; и дело за тем, чтобы обеспечить системную поддержку таких итераций.

Будущей работой может быть автоматизация построения суперфункций. Я имею в виду алгоритм, который 
найдет у передаточной функции подходящие стационарные точки (если они есть), выберет подходящую асимптотику для суперфункции, построит соответствующее разложение суперфункции и абельфункции и вычислит требуемую итерацию (даже не целую, даже комплексную) для такой функции. 
В языке ``Mathematica'' уже даже есть название для такой процедуры, она называется Nest. 
Но пока её можно использовать лишь в тех случаях, когда количество итераций выражается целым числом.
%Пока её можно использовать лишь в тех случаях, когда количество итераций выражается целым числом.
\vskip 2mm

Фантазии и любопытство являются основным стимулом любой серьезной научной работы.
Я собираю инструменты, с помощью которых это любопытство может удовлетворяться.
Я надеюсь, что эта Книга будет полезна 
%как справочное руководство 
в такой работе.

\section{Обозначения \label{Notations}}
\baselineskip 20pt

Я стараюсь использовать обозначения, единые для всей Книги. Для этого пришлось отойти от систем обозначений, использованных в оригинальных журнальных публикациях. Чтобы не запутаться, некоторые обозначения представлены в виде таблиц %3 и 4.
\ref{russianABC}, \ref{englishABC}, \ref{greekABC}.
\vskip 2mm

Не все обозначения уместились в таблицах. Я стараюсь указывать самые важные, и, особенно, те, которые часто вызывают конфузии.

~

\newcommand \qq {$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$&$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$}
\begin{table}[h]
%\title{notations Обозначения}
\caption{Обозначения, Русский алфавит \label{russianABC}}
%\sx{1.2}{\bf Таблица 3. Обозначения: русский алфавит}
\vskip 4pt

\begin{tabular}{lr}
Абель Нильс Генрик \qq Изобретатель функции Абеля и уравнения Абеля \\
абель\qq приставка к имени функции для обозначения абельфункции\\
абельфункция \qq ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ решение уравнения Абеля, обратная фукция к суперфункции\\
Аскерманн \qq Изобретатель функций Аскерманна \\
aскерманн \qq  функция Аскерманна \\
Генрик Траппманн  \qq (Henryk Trappmann) мой критик, оппонент и соавтор  \\
Итерация номер $n$ \qq решение $f^n$ уравнений $f^{n+1}(z)=f(f^n(z))$,~ $f^1\!=\!f$ \\ 
Кнезер Хельмут \qq Изобретатель половинной итерации экспоненты  \\
Комплексная карта \qq представление голоморфной функции изолиниями\\
\qq её вещественной и мнимой частей (или изолиниями её модуля и фазы)\\
Корень из факториала  \qq  $\mathrm{Factorial}^{1/2}(z)$, решение $h$ уравнения $h(h(z))=z!$ \\
Обращение (функции) \qq нахождение обратной функции, InverseFunction\\
Передаточная функция  \qq  зависимость выхода усилителя от входa,\\
                                          \qq функция $T$ в передаточном уравнении\\
Передаточное уравнение \qq  $F(z\!+\!1)=T(F(z))$ \\
Супер \qq приставка для обозначения её суперфункции \\
Суперфункция \qq решение $F$ передаточного уравнения $F(z\!+\!1)\!=\!T(F(z))$ \\
%Тетрация \qq одна из суперфункций экспоненты\\
Тетрация \qq решение  tet уравнений $\mathrm{tet}(z\!+\!1)\!=\!\exp(\mathrm{tet}(z))$ ,~  $\mathrm \tet(0)\!=\!1$\\
Тетрация по основанию $b$ \qq решение  уравнений $\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)\!=\!b^{\mathrm{tet}_b(z)}$,~  $\mathrm \tet(0)\!=\!1$\\
%Трансферное уравнение \qq ~ ~ ~ ~ основное уравнение для суперфункции\\
Траппманн Генрик   \qq (Henryk Trappmann) мой критик, оппонент и соавтор  \\
Уравнение Абеля \qq $G(T(z))=G(z)+1$ \\
Усилитель  \qq  фильтр, в котором выход может быть больше входа \\
Функция Абеля  \qq  абельфункция. Обратная функция от суперфункции \\
Функция Дойя \qq $\mathrm{Doya}(z)=\mathrm{LambertW}(z \mathrm e^{z+1})$, см. также формулу \rf{Doya} \\
Функция Келлера \qq $\mathrm{Keller}(z)=z+\ln\!\Big(\mathrm e- \mathrm e ^{-z} (\mathrm e\!-\!1)\Big)$, см. формулу \rf{KellerDef}  \\
Функция Таня \qq  Решение уравнения $\mathrm{Tania}'(z)=\frac{\mathrm{Tania}(z)}{1+\mathrm{Tania}(z)}$ \\
Фукция Шока \qq  $\mathrm{Shoka}(z)=z+\ln\!\Big(\mathrm e ^{-z}\!+\! \mathrm e\!-\!1\Big)$, см. формулу \rf{Shoka}  \\
Фильтр  \qq  физическая имплементация передаточной функции \\
\end{tabular}
\end{table}


\begin{table}
%\title{notations Обозначения}
\caption{Обозначения, латинский алфавит \label{englishABC}}
%\sx{1.2}{\bf Таблица 4. Обозначения}
%\baselineskip 11pt
\vskip 1mm
\begin{tabular}{lr}
%$A$ & \hskip -9pt большой параметр для в тетрации через Коши\\
$\mathcal A(m,z)=\mathcal A\Big(m\!-\!1,\mathcal A(m,z\!-\!1)\Big) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ \qq канонический аскерманн, \rf{ackerbi}\\
$A_n$ \qq аскерманн порядка $n$, \rf{asa3}\\
%$a=\ln(b)$ & Логарифм основания для натуральной тетрации \\
$a_n$ \qq Коэффициенты в асимптотических разложениях \\
$\mathrm{AuExp}_b=\mathrm{SuExp}_b^{-1}$ & абельэкспонента по основанию $b$\\
AuTra \qq абельтраппманн\\
AuSin \qq aбельсинус \\
$\mathrm{Arc}$ \qq  приставка, указывающая на обратную функцию\\
$b$ \qq основание  для натуральной тетрации\\
%$c$ & количество итераций функции \\
$c_n$ \qq Коэффициенты в разложении \\
$C_n$ \qq Коэффициенты в разложении \\
%$d$ & количество итераций функции \\
$\mathrm e=\exp(1)\approx 2.7$ \qq основание натуральных логарифмов\\
$\exp$ \qq экспонента по основанию $\mathrm e$ \\
$\exp_b$ \qq экспонента по основанию $b$ \\
$F$ \qq Имя, используемое для различных суперфункций\\
$\mathrm{Factorial}(z)=z!$ \qq голоморфное решение уравнения $z!=z\, (z\!-\!1)!$\\
$f$ \qq имя, используемое для каких попало функций\\
$G=F^{-1}$ \qq имя, используемое для обозначения абельфункций \\
$h=T^{1/2}$ \qq Имя, используемое для обозначения половинной итерации \\
%$\Im$ & неголоморфная функция, мнимая часть аргумента\\
$\mathrm i=\sqrt{-1}$ \qq мнимая единица, $\mathrm i^2=-1$ \\
$i$ \qq переменная, принимающая целые значения\\
%$j$ & Неужели нашлась буква, ещё не использованная в формулах?\\
$K$ \qq затычка для контурного интеграла   \rf{K}\\
$k$ \qq инкремент асимптотического представления суперфункции\\
$L$ \qq стационарная точка суперфункции $Т$, так что  $T(L)=L$ \\
%$\mathrm{LogisticOperator}& (z)=s\,z\,(1\!-\!z)$ логистический оператор \rf{logisticop} \\
%$\mathrm{LogisticSequence}$ \qq одна из суперфункций логистического оператора\\
$\ln$ \qq Логарифм по основанию $\mathrm e$\\
$\log_b$ \qq Логарифм по основанию $\mathrm b$\\
$M$ &  количество термов в оборванных сериях\\
%$m$ & используется как немой индекс суммирования\\
%$n$ & \hskip -16pt  используется как номер итерации и как немой индекс суммирования\\
$O$ \qq функция, которая растет не быстрее своего аргумента  \\
$P$ \qq \hskip -28pt период или асимптотический период; функция, обратная к $Q$\\
$Q$ &  \hskip -24pt  Используется как функция, обратная к $P$ \\ 
%$\Re$ \qq  \hskip -24pt  неголоморфная функция, вещественная часть аргумента\\
$\mathrm{Super}$ \qq  приставка, указывающая на её суперфункцию\\
$s$ & Параметр логистического оператора \rf{logisticop} \\
$T$ & Передаточная функция\\
%$t$ & используется как переменная интегрирования\\
$\mathrm{tet}$ & натуральная тетрация \rf{tet}, \cite{analuxp}\\
$\mathrm{tet}_b$ \qq  решение $f$ уравнения $f(z\!+\!1)=b^{f(z)}$, см. рисунок \ref{tet10bx} \\
$u$ \qq вещественная часть функции на комплексных картах \\
$v$ \qq мнимая часть функции на комплексных картах \\
%$w$ \qq Неужто нашлась буква, которую я ещё не задействовал?\\
$x$ \qq используется в качестве немого аргумента как вещественное число\\
$y$ \qq используется в качестве немого аргумента\\
$z$ \qq используется в качестве немого аргумента как комплексное число\\
\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
%\title{notations Обозначения}
\caption{Обозначения, греческий алфавит \label{greekABC}}
%\sx{1.2}{\bf Таблица 4. Обозначения}
\vskip 3mm
\begin{tabular}{lr}
%$\alpha$ & Похоже что, ещё не все греческие буквы задействованы в Книге.. Позор!\\
$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$  & используются как коэффициенты в разложениях \\
$\eta\!=\!\exp(1/\mathrm e)\!\approx\! 1.444667861 \!\!\!$ \qq основание Генрика \\
$\varepsilon=\exp(kz)$ & малый параметр в разложении суперфункции\\
$\theta$ & голоморфная периодичная функция с периодом единица  \\
$\zeta$ & $\ds \zeta(z)\!=\! \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}$ ,  Функция Римана \rf{u2u3zeta},  \cite{gr,IRENE}\\
$\Omega$ & Контур интегрирования в формуле Коши, \rf{Cauchi}\\ ~\\~
\end{tabular}
\end{table}
%\newpage
%\chapter*{Послесловие}
\section{Послесловие} 
\baselineskip 20pt
%Я постарался изложить в Книге мои основные результаты по суперфункциям и итерациям.
Книга получилась толще, чем я ожидал. И могла бы быть ещё толще. Потому как всегда кажется, что если добавить одну {\small мааленькую формулу}, то Читателю станет ещё понятнее.
Почти к каждой формуле в этой Книге можно построить ещё несколько рисунков.
%, и то, если считать только такие, которые  как будто сами просятся на графопостроитель. 
Однако я думаю, что для Читателя будет полезнее построить их самостоятельно, чем увидеть галлерею однотипных рисунков. 
\vskip 3mm

%Желание чего-то добавить является перманентным, поэтому мне останавливаться приходится волевым образом. 
Я старался сделать книгу покороче. Я не включил исследование того, что творится с 
%тетрацией и арктетрацией 
построенными функциями за линиями разрезов области аналитичности. Я не включил примеров итерации экспоненты по комплексному основанию. И ещё много других примеров. Это те примеры, которые не вызвали интереса у коллег и по которым не ожидается вопросов.
%, которые, как мне кажется, в первой половине 21го века будет не очень интересны читателям.
%Разумеется, 
Такие примеры могут быть представлены по специальным запросам от коллег. ``Доказательства'' (желательно опубликованные), что чего-то ``сделать невозможно'' будут рассмотрены как важная причина, чтобы сделать это самое \cite{ponedelnik}.
%, и возможности компьютеров оперировать с длинными текстами растут быстрее, чем я пишу..
\vskip 3mm

Я изложил основные формулы и методы, туллы, ``Теоретические основы'', инструменты, с которыми получены формулы и рисунки. Я надеюсь, что выведение новых формул такого типа и построение соответствующих рисунков не вызовет сложностей. 
%В частности, я почти не предлагаю рисунков для экспоненты по комплексному основанию, так как считаю, что читатель и сам сумеет построить соответствующую тетрацию, арктетрацию и нецелые итерации.
%В качестве прpico имера я построил лишь тетрацию по основанию Шелдона, её комплексная карта показана на рисунке \ref{sheldonmap}. 
%Я не представил карту аркпентации и высших аскерманнов. И ещё много чего, что можно было бы 
%рассчитать с предложенным формализмом.
%её комплексная карта показана на рисунке \ref{sheldonmap}.
\vskip 2mm

%Теперь я стараюсь собрать на одном развороте хотя бы основные результаты. Я надеюсь, что хотя бы некоторые толковые читатели смогут пользоваться этими результатами, даже не читая Книгу. Мне иногда очень помогает сознание того, что я могу пролистнуть несколько страниц назад и увидеть чужую формулу; тогда я могу вывести её и сам).
%\vskip 2mm
\newpage

%\JP
{
\begin{figure}
\begin{center}
\sx{.34}{\begin{picture}(640,480)
\put(0,0){\ing{DevchonkaRoux}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -18pt
\caption{Близкие родственники, без которых эта Книга не была бы написана \label{DevchonkaRoux}}
\end{figure}}%JP

\section{Acknowledgement}
\baselineskip 19pt

Я благодарен родственникам
(рисунок \ref{DevchonkaRoux}), которые отнеслись с пониманием к этой Книге и к тому, что её написание потребовало намного больше времени и усилий, чем ожидалось.

\begin{wrapfigure}{r}{184px}
%\vskip 18pt
%\sx{.36}{\begin{picture}(800,620)
\sx{.266}{\begin{picture}(800,480)
\put(0,-40){\ing{bookwormbw}}
\end{picture}}
%\vskip -24pt
\caption{by Carl Spitzweg
%К.Шпицвег
% подбирает публикации по суперфункциям
%сортирует рекоммендованную литературу по суперфункциям ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
%\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Spitzweg}
\label{bookworm}}
%\vskip -18pt
\end{wrapfigure}

Я благодарен 
коллегам, которые помогли подобрать литературy по суперфункциям (рис. \ref{bookworm}) и 
установить сервер, базу данных и медиавики: без них я бы запутался в сотнях файлов, нужных для этой Книги. 
Теперь я могу на вопросы про суперфункции отвечать или ``{\em Этого не знает никто}'', или ``{\em Это есть в моей Книге}'', см. рис. \ref{ainu}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\sx{.16}{\begin{picture}(2100,1500)
\vskip 4pt
\sx{.14}{\begin{picture}(2100,1500)
\put(0,0){\ing{ainu}}
\end{picture}}
\end{center}
\vskip -24pt
\caption{Es ist in meinem Buch! \iL{ainu}}
%\caption{Es ist in meinem BuchDas ist em Mein Buch! \iL{ainu}}
%\caption{Уставший айн отдыхает у костра \iL{ainu}}
\vskip -24pt
\end{figure}

%Я благодарен коллегам, которые помогли мне 
%Такая база данных и Книга позволяют  и не сумел бы разыскать нужные рисунки и их генераторы.
%\vskip 2mm


\chapter{~ Приложения}
\baselineskip 21pt

\begin{picture}(0,28)
\put(156,-84){\sx{.166}{\ing{tetma050}}}
%\put(156,-84){\sx{.166}{\ing{tetma050}}}
\end{picture}
~
\vskip -40pt

\section{Про обложку}

На обложке - карта \\
%использовано изображение \\
от \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg}\\
%(К сожалению, на обложке оно воспроизвoдится с плохим разрешением.)
Это один из вариантов рисунка \ref{tetmap}; с карты убраны 
некоторые детали,
%поясняющие надписи, 
%убраны линии уровней $\Re(L)$ и $\pm\Im(L)$, 
а область, накрываемая картой, расширена так, чтобы использовать всю ширину рамки, предложенной редакцией.
\vskip 1mm

В первоначальной версии, для обложки использовались 
графики тетрации по различным основаниям, то есть рисунок \ref{tet10bx}, а затем - 
комплексная карта абельсинуса с рисунка
\ref{ausinmap}. Однако, отношение высота/ширина этих рисунков плохо подходит для  установленного прототипа обложки.
Поэтому в качестве главного изображения обложки Книги использована карта функции tet.
Обложка загружена как \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Covervi.jpg}
%на следующем рзвороте.
%
\vskip 3mm

На последней странице обложки использованя фотография\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG}
от Zilberberg Kosty, сделанная 4 
%March
марта 2012 года, когда я только начал писать эту Книгу.
%04 Mar 2012 10:24:13 +0400.
%Оба изображения допускают свободное распространение, но желательно указывать авторов.
\vskip 3mm

Для форзацев я хотел использовать таблицы линков и таблицы английских ключевых слов.
Однако, Редакция не предоставляет такой возможности; и эти таблицы 
перенесены в Заключение.

\JP{
\section{О рисунках}

Рисунки в этой книге, в основном, трех типов. Это или обычные графики, 
то, что называется (explicit plot), или комплексные карты (complex map), или
рисунки, выполненные вручную, то есть карандашом, ручкой или фломастером
(cartoon).
Первые два типа рисунков может воспроизвести (и модифицировать) каждый, у кого на компьютере инсталлированы C++  и Латекс.
Для этого требуются генераторы. Эти генераторы доступны в интернете.
В частности, я загружаю рисунки и их генераторы
%первых двух типов можно найти в по урлям\\
в такие категории:
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw}\\
хотя для последней категории я пока не могу представить простых алгоритмов для воспроизведения и модификации.
}%JP
\JP{
\vskip 2mm

Чтобы облегчить поиск генераторов, ниже указываю урли рисунков. Некоторые урли длинноваты.
Потом я надеюсь сократить их до\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/BOOK}/FIGS/fig00.00 ~ или даже до\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK}/fig00.00.
\vskip 2mm

\begin{tabular}{c r r}
\ref{content} & \pageref{content} & \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Oglavleni.png} \\

\ref{uronila} & & \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Uronila.jpg} \\

\ref{stuchit} & & \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Stuchit.png}\\

%\ref{dragon} \sx{.8}{\url{litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}
\ref{dragon} & & \sx{.83}{\url{http://litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}
\end{tabular}

\normalsize

\ref{content} \pageref{content} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Oglavleni.png} 

\ref{uronila}  \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Uronila.jpg} 

\ref{stuchit} ~ \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Stuchit.png}

%\ref{dragon} \sx{.8}{\url{litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}
\ref{dragon} \sx{.83}{\url{http://litvinovs.net/illustrations/migunov_monday_begins_on_saturday}}

\ref{dragon} \url{http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html}

\ref{SqrtFactorialLogo} 
\sx{.73}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt(factorial)LOGOintegralLOGO.jpg}}

\ref{martini}
\sx{.9}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:DevchonkaMartini.png}}

\ref{itelin125} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg} 

\ref{bookworm} ~ \sx{.9}{\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Spitzweg_021.jpg}}

\large
}%comment

\section{Ошмётки}
\baselineskip 19.2pt

В этой секции собираются кусочки, которые выкинуты из основного текста; в частности, рисунки.
%В некоторых случаях, это рисунки и стихи, которые создавались для того, чтобы улучшить форматирование. Во многих случаях, такой рисунок или стишок добавляется, например, чтобы рисунок поместился на той же странице, где и формула, по которой он построен; или чтобы пара похожих рисунков оказалась на одном развороте. При изменении формата, такие рисунки из текста выкидывались. 
Думаю, что эти рисунки дополняют основной текст Книги и могут помочь его и её пониманию. Некоторые из таких прибамбасов собраны в этой секции.
\vskip 4mm

{\bf О путанице} \footnote{ \url{http://www.youtube.com/watch?v=xFmXDo8LT5k}
В.С.Высоцкий. Много неясного в странной стране.
}
\vskip 8pt

\baselineskip 16pt
\begin{wrapfigure}{r}{144px}
\vskip -24pt
\sx{.3}{\begin{picture}(670,340)
\put(-40,0){\ing{krysha2}}
\end{picture}}
%\vskip -2mm
\caption{Если Читатель запутался, пусть не упорствует, пока
%Если чего не получается, надо не упорствовать, пока 
крыша не съедет, а спрашивает 
\label{krysha2}}
\vskip -4mm
\end{wrapfigure}

Много неясного там, где матан\\
Можно запутаться и заблудиться:\\
Даже мурашки залазят в карман,\\
Чтобы при случае нам пригориться
\vskip 1mm
Даже коллега германский узнал\\
Как обеспечить единственность функций,\\
Что нам дает здесь Коши интеграл\\
И применье дизъюнкций - конъюнкций.
\vskip 1mm
Вдруг сингулярность, и нужен разрез -\\
Струсишь ли сразу? Взрежешь ли смело?\\
Раз уж в комплексный анализ залез -\\
В точкаx ветвленья - все дело!

\vskip 16pt
{\bf О терме}
\baselineskip 19pt
\vskip 3pt

\begin{wrapfigure}{r}{90pt}
\vskip 28pt
\sx{.2}{\begin{picture}(300,400)
\put(10,0){\ing{chlenkor}}
\end{picture}}
\vskip -8pt
\caption{Член-$~$ корреспондент %$\!\!\!\!\!\!$
\label{chlenkor}}
\vskip -12pt
\end{wrapfigure}

В этой книге, слагаемые функционального ряда называются термами.
Терм - это англицизм, транслитерация английского слова term.
Оно означает слагаемое в представлении %(обычно асимптотическом) какой-либо 
функции в виде ряда.
\vskip 2mm

Русофилы
%, а также англофобы, 
вместо слова ``терм'' используют слово ``член''. Это слово имеет и иные значения, например, в сочетании ``Член-корреспондент'' (рис. \ref{chlenkor}). Профессор матана мог воскликнуть: {\em ``Посмотрите, какой у меня тут член стоит!''}, чтобы студенты проснулись, посмотрели на доску и увидели, какое интересное %выражение появилось
слагаемое получилось 
в сумме. В ответ на партах писали стишки:
\vskip 1mm

\baselineskip 16pt {\em
Где бы член найти нам впору,\\
Чтоб поставить в зад Тэйлору?\\
Оба члена хороши, \\
И Лагранжа, и Коши!}
\vskip 2mm

\baselineskip 19pt
Чтобы избежать инсинуаций, я использую термин ``терм'', а не ``член''.
%Одной из промежуточных целей этой книги я считаю устранение путаницы. Я понимаю, что русофилы со списанными результатами ЕГЭ и диссертациями, фальшивыми учеными степенями и высокими чинами  способны испохабить любые термины и любые изображения, но пока они ещё не ввели обозначения ``терм-корреспондент'', слово ``терм'' я считаю наиболее адекватным для этой Книги.
\newpage


\section{Рациональная функция, более общий случай}
\baselineskip 21pt

Для многих других случаев, итерации функции  $Т$  по формуле \rf{Tuvwz}
могут быть выражены через формулы предыдущей секции с помощью линейного сопряжения.
Я повторю формулу  \rf{Tuvwz}: 
\be
T(z)=\frac{U+V z}{W+z}
\nonumber
\ee

Теперь пусть 
\be 
 r &=&\sqrt{U+\Big(\frac{U\!-\!V}{2}\Big)^2 } \\
A&=&\frac{V\!-\!W}{2}-r \\
B&=&\frac{V\!+\!W}{2}+r \\
c&=&\frac{2U+V^2+W^2-2(V\!+\!W)r}{2(VW-U)} \\
P(z)&=&A+Bz \\
Q(z)&=&(z-A)/B
\ee
Тогда функция  $T$ по формуле  \rf{Tuvwz} может быть выражена как сопряжение функции $t$ по формуле \rf{tzcz}:
\be T(z)=P( t ( Q (z) ))
\eL{TPtQ}
Ввиду того, что $P(Q(z))=z$, итерации функции $T$ выражаются через итерации функции  $t$:
\be T^n(z)=P(t^n(Q(z)) \eL{TnPtnQ}
%All functions $P$, $t^n$ and $Q$ are defined above, and $t^n$ is expressed in a way, that does not require the number $n$ of iteration to be integer.
Функции $P$, $t^n$ и $Q$ определены выше, и $t^n$ выражена через формулу \rf{tnzfg} таким образом, который не требует, что число итераций $n$ было целым.
\vskip 4mm

В порядке упражнения, читателям предлагается проверить, что для итераций, определенных по формуле \rf{TnPtnQ}, 
\be
T^{m+n}(z)=T^m(T^n(z))
\eL{Tmn}
Ленивые читатели при этом могут пользоваться Математикой (то есть которая  Mathematica), Кленом (который Maple) или ещё каким-либо подходящим софтвером. Это нужно хотя бы для того, 
чтобы указать мне на опечатку, если я ошибся.
%Если чего не получится, это может указывать на опечатку, и о ней надо сообщить мне. Я надеюсь, что опечаток нет, так как у меня соотношение \rf{Tmn} для такой функции получилось. 
\vskip 4mm

%Совсем ленивым читателям на этом упражнении предлагается прекратить штудирование этой Книги и скроллить ``по диагонали'' (листать, если у Вас отпечатанный вариант) прямо к той формуле, которая Вам требуется, так как изучение без упражнений смысла не имеет. 
Я надеюсь, что все формулы этой Книги могут использоваться даже без того, чтобы прослеживать, как они получаются. Однако какие-либо тесты, в соответствии а определением термина ``наука'', для нужной Вам формулы прогнать всё-таки рекоммендуется. %, и если чего не получается, желательно собщить об этом мне.
%The representation above is not unique; in principle, $r$ can be replaced to $-r$
\vskip 4mm

Итерация функции $T$ могут быть выражена так, чтобы показать, что она тоже рациональная функция:
%эта итерация также является дробно-линейной функцией: 
%However, the $n$th iteration of function $T$ can be written also in a way, that explicitly shows that it is also linear fraction;
\be T^n(z)=\frac{U_n+V_n z}{w_n+z}\eL{drobnit}
%Evaluation through equation ( 03), (15), (05),(06), and comparison to (01) give the coefficients:
Здесь $U_n=U$ и от $n$ не зависит; остальные параметры таковы: %выражаются следующим образом:
\be V_n &=& \frac{1}{2} \left(r \left(\frac{2^{n+2}}{2^n-\left(-\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{U-V W}\right)^n}-2\right)+V-W\right) 
\nonumber \\
&=&  r \left(\frac{2^{n+1}}{2^n-\left(-\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{U-V W}\right)^n}-1\right)+\frac{V-W}{2}
\ee

\be W_n &=&  \frac{1}{2} \left(r \left(\frac{2^{n+2}}{2^n-\left(\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{V W-U}\right)^n}-2\right)-V+W\right)
\nonumber \\
&=&  r \left(\frac{2^{n+1}}{2^n-\left(\frac{-2 r (V+W)+2U+V^2+W^2}{V W-U}\right)^n}-1\right)+\frac{-V+W}{2}
\nonumber \\
&=&  V_n + W - V 
\ee

\JP{Рассмотрение выражения
\be \frac{U+V_n\frac{U+Vz}{W+z}}{W_n+ \frac{U+Vz}{W+z}}= 
\frac{U \frac{W+U_n}{V+W_n}+ \frac{U+V_n V}{V+W_n} z}{ \frac{U+W_n W}{V+W_n}+z}
\ee
показывает, что для соотношения $U_n=U$ требуется выполнение тождества
\be
W+U_n=V+W_n
\ee
и читатели приглашаются проверить, что такое тождество действительно имеет место. }%JP
Для представления \rf{drobnit} итерации дробно-линейной функции $T$ через дробно-линейную функцию, групповое соотношение 
\rf{Tmn} так же может быть проверено; со всеми предлагаемыми выше спекуляциями насчет того, как, с моей точки зрения, можно и нужно изучать и делать Науку.  
%того, что лучше подсмотреть, как получаются предлагаемые формулы, до того, как вывод становится громоздким.
%\section{Ещё специальный случай дробно-линейной функции}
\vskip 2mm

Выражения этого параграфа получены с помощью софтвера Мathe\-ma\-tica. Вероятно, Читателю проще получить их самостоятельно (с помощью того же пакета), чем прослеживать этот вывод. Поэтому такой случай попал в Приложения, а не в основной текст Книги. 


\newpage
\begin{figure}[h]
\sx{1.31}{\begin{picture}(328,412)
\put(10,9){\includegraphics{ausintay40}}
\put(2,406){\sx{1.2}{$y$}}
\put(2,306){\sx{1.2}{$1$}}
\put(2,206){\sx{1.2}{$0$}}
\put(-7,106){\sx{1.2}{$-1$}}
%\put(-7, 06){\sx{1.2}{$-2$}}
\put(9,-1){\sx{1.2}{$0$}}
\put(109,-1){\sx{1.2}{$1$}}
\put(157,-1){\sx{1.2}{$\pi/2$}}
\put(209,-1){\sx{1.2}{$2$}}
\put(309,-1){\sx{1.2}{$3$}}
\put(319,-1){\sx{1.2}{$x$}}
\put(184,208){$v\!=\!0$}
\put(98,200){\rot{90}$u\!=\!2$\ero}
\put(114,200){\rot{90}$u\!=\!1$\ero}
\put(147,186){\rot{41}$u\!=\!0$\ero}
\put(136,131){\rot{-40}$u\!=\!-1$\ero}
\put(125,93){\rot{23}$v\!=\!0$\ero}
\put(92,288){\rot{66}$u\!=\!-2$\ero}
\put(131,282){\rot{31}$u\!=\!-1$\ero}
%\put(159,244){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
%\put(172,250){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(148,260){$u\!=\!-0.5$}
%\put(186,250){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(86,158){\rot{90}$v\!=\!3$\ero}
\put(100,155){\rot{90}$v\!=\!2$\ero}
\put(122,148){\rot{90}$v\!=\!1$\ero}
\put(159,144){\rot{90}$v\!=\!0.2$\ero}
\put(172,144){\rot{90}$v\!=\!0$\ero}
\put(186,138){\rot{90}$v\!=\!-0.2$\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\hskip 24pt
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausintay40t50.jpg}
\vskip -10pt
%\caption{Map of the Taylor expansion of AuSin with 40 terms \label{ausintay40}}
\caption{Карта разложения Тэйлора функции  AuSin с 40 термами \label{ausintay40}}
\vskip -90pt
\end{figure}

\rule{0pt}{84pt}

%{\bf Taylor expansion of Ausin}
{\bf Разложение Тэйлора для функции Ausin}
\vskip 1mm

В главе 13 упоминается разложение Тэйлора в точке $\pi/2$ функции AuSin, \rf{ausintaylor}. На рисунке \ref{ausintay40} представлена карта частичной суммы этого разложения с 40 термами. Эту карту полезно сравнить с рисунком \ref{ausinmap}. 
%Такая аппроксимация дает порядка 14 значащих цифр, пока параметр разложения не превышает единицы.
Коэффициенты этого разложения можно использовать для вычисления коэффициентов разложения суперсинуса в нуле.
\newpage

{\bf О тетрации по основанию $b<\eta$}
\baselineskip 21pt
\vskip 4mm

В этом приложении я ещё раз объясняю, почему я включил в Книгу специальную главу
о тетрации по основанию $\sqrt{2}$. Такое объяснение восходит к классикам Русской литературы
\footnote{ 
\url{http://literatura5.narod.ru/nekrasov_doroga.html}
%http://ru.wikisource.org/wiki/Железная_дорога_(Некрасов)} 
Некрасов Николай Алексеевич (1821 – 1878). Железная дорога. (1864)}.
\vskip 8mm

Грустно надулись мои оппоненты,\\
Критику выдали мне на "ура": \\
В книге, хоть есть ключевые моменты,\\
Но матанализа тоже гора!
\vskip 4mm
Видом нелепым Коши-интеграла\\
Души студентов негоже смущать.\\
Если бы Книга теперь показала\\
Лучшую сторону.. - Рад покзать.
%Лучшую сторону.. - Рад показать.
\vskip 4mm

При основании меньше, чем $\eta$\\
Есть для тетраций простой алгоритм;\\
Каждый, кто здесь прочитает про это,\\
Схватит резерча научного ритм.
\vskip 4mm

Кто увидал красоту итераций\\
Тот поимел размодернейший tool;\\
Для курсовых, да и для диссертаций\\
И голоморфнейших фитов разгул!

\newpage

{\bf О фонтах}
\baselineskip 21pt
\vskip 4mm

Про то, когда какой следует употреблять фонт (шрифт), написано в каждом серьезном журнале.
Однако во многих случаях, авторы статей, которые приходят на рецензию, как будто нарочно используют какие попало шрифты. Особенно в индексе. Поставят, например, в индексе какую-либо букву, италиксом (кривым шрифотм), что бы читатель гадал, какие значения может принимать эта переменная. А потом выясняется, что эта буква - лишь метка, потому что авторы выучили лишь часть латинского алфавита и им не хватает букв, чтобы обозначить разные переменные разными буквами, и индекс используется, чтобы все-таки как-то отличать эти переменные; но авторы поленились переключить фонт, чтобы такой индекс был прямым шрифтом.
Я старался, чтобы такая критика не относилась к этой Книге.
\vskip 3mm

Я верю, что Читатель отличает $i$ от $\mathrm i$. Прямым шрифтом обозначаются имена функций (если в имени больше одного символа) и абсолютные математические константы, например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .. , $\mathrm e$, $\mathrm i$; а кривым шрифтом обозначаются переменные $a$, $b$, $c$, $d$, $f$, $g$, $h$, $i$, $j$, .. $z$, $A$, ..
\vskip 3mm

Имеется сложный вопрос о том, что делать, если автор пишет, например, что $c$ (или $C$) является константой. Думаю, что подходящим ответом является декларация, что такое $c$ является относительной константой, которая у разных авторов (и даже в разных статьях одного автора) может иметь разный смысл. 
\vskip 3mm

Имеется плохой тон, обозначать переменные цифрами. Например, в советских школах, безграмотные инспекторы РОНО могли спрашивать %школьников,
учеников,
на сколько увеличивается {\em 2} при умножении на {\em 3}.~\footnote{\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lessonsrono.shtml}  Инспекция из Роно} ~ Я надеюсь, что обозначения этой Книги более понятны.
%Читатель не будет путать переменные и константы, и никогда не сядет в лужу, как %это обычно делали 
%неучи из советских министерств и инспектриссы из РОНО.

%\vskip 3mm


\newpage

\section{Сайты}
\baselineskip 16pt
Цель Книги - не привлечь внимание Читателя к перечисленным ниже сайтам, но 
%предложить описание суперфункций, которое избавит Читателя от 
дать читателям самосогласованный формализм суперфункций, избавив их от 
надобности лазить по таким сайтам. \vskip 2mm

{\normalsize
\baselineskip 13.6pt
\url{http://allmybase.com/dropbox/tetration.pdf}

\url{http://cdn.bitbucket.org/bo198214/bunch/downloads/main.pdf} H.Trappmann, D.Kouznetsov. 5+ methods for real analytic tetration. June 28, 2010.

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Cauchy-Riemann_equations}

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Superfunction}

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Tetrational}

\url{http://en.citizendium.org/wiki/Holomorphic_function}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_equation}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_function}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_integral_formula}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Hellmuth_Kneser}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Superfunction}

\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration}

\url{http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php}

\url{http://math.stackexchange.com/tags/tetration}

\url{http://mathworld.wolfram.com/Tetration.html}

%\url{http://mathoverflow.net/questions/45277/how-close-are-we-to-extending-tetration-to-the-real-and-complex-numbers}

\url{http://oeis.org/wiki/Tetration}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Abel_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcShoka}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuSin}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuTra}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuZex}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Complex_map}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Doya_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Factorial}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Holopmorphic_extension_of_Collatz_Subsequence}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Keller_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Logistic_sequence}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Regular_iteration}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Shoka_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfunction}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfactorial}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuSin}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Table_of_superfunctions}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania_function}

\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tetration}

\url{http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Superfunction}

\url{http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Tetration}

\url{http://www.tetration.org/Tetration/index.html}  D.Geisler. What lies beyond exponentiation? %2012 

\url{http://www.youtube.com/watch?v=z-mfxP1Tmfw}  Kasane Teto. Tetration $\uparrow\uparrow$. 2012. %по-японски
}


\section{Новые термины}
\baselineskip 19pt
%В будущем м
Могут потребоваться %новые 
обозначения, не упомянутые в Книге:
\vskip 1mm

{\bf Трансферирование} (transferation). Для данной функции $f$, построение предаточной функции $T(z)\!=\!f\big(1\!+\!f^{-1}(z)\big)$.
Для такой передаточной функции $T$, фунция $f$ является суперфункцией.
\vskip 1mm

{\bf Трансфирование} (transation). Для данной функции $f$, построение предаточной функции 
$T(z)\!=\!f^{-1}\big(1\!+\!f(z)\big)$.
Для такой передаточной функции $T$, функция  $f$ является абельфункцией.
\vskip 1mm

{\bf Суперирирование} (superation). Для данной функции $f$, построение суперфункции $F$
как решения 
%передаточного 
уравнения $F(z\!+\!1)\!=\! f\big(F(z)\big)$. При этом $f$ выступает как передаточная функция.
%Для такой передаточной функции  $f$ является абельфункцией.
\vskip 1mm

{\bf Супирование} (supation). Для данной функции $f$, построение абельфункции $G$
как решения  уравнения Абеля $G\big(f(z)\big)\!=\!G(z)\!+\!1$.
\vskip 1mm

\begin{wrapfigure}{l}{182pt}
\normalsize
\vskip -4pt
\sx{1.06}{\begin{picture}(170,180)
\put(10,177){\sx{1.4}{$F$}}
\put(10,23){\rot{90}\sx{1.1}{$\leftarrow$ трансферирование $\leftarrow$}\ero}
\put(23,26){\rot{90}\sx{1.1}{$\longrightarrow$ суперирование $\longrightarrow$}\ero}
\put(6,4){\sx{1.4}{$T$}} \put(160,5) {\sx{1.4}{$G$}}
\put(28,13){\sx{1.1}{$\longrightarrow$ супирование $\longrightarrow$}}
\put(24,0){\sx{1.1}{$\leftarrow$ трансфирование $\leftarrow$}}
\put(38,160){\rot{-49}\sx{1.19}{$\longleftarrow$ ~ InverseFunction ~ $\longrightarrow$}\ero}
\end{picture}}
\vskip -2pt
\caption{ Связь $T$, $F$ и  $G\!=\!F^{-1}$ 
\label{figTFG}}
\vskip -8pt
\end{wrapfigure}

Трансферирование есть
%оказывается 
%в некотором смысле 
обратная операция по отношению к суперированию. Tрансфирование есть обратная операция по отношению к супированию. Это показано на рисунке \ref{figTFG} для передаточной функции $T$, суперфункции $F$ и абельфункции $G$.
%В таких терминах, можно сказать, что э
\vskip 2mm

Эта Книга посвящена суперированию и супированию,
а также требованиям, которые надо добавлять, 
%к передаточному уравнению и уравнению Абеля, 
%для того, 
чтобы эти операции были однозначными.
\vskip 2mm

В этой Книге я не использую 
%предложенные 
показанные
на рисунке \ref{figTFG} новые слова; пока в них нет большой нужды.
%Пока построение суперфункций, абельфункций и итераций не автоматизировано,
%нет нужды в специальном слове для обозначения операции нахождения суперфункции.
Примерно так же не требовалось специальных слов для дифференцирования и интегрирования, пока эти операции не стали рутинами.
Однако предложенные тут термины (или их эквиваленты) понадобятся при реализации автоматического построения суперфункций и абельфункций. 
%Такое построение уже упомянуто в этой главе. 
В языке ``Mathematica'' для суперирования уже есть имя ``Nest''; пока такая процедура поддерживается лишь для натуральных значений числа итераций.
\vskip 2mm

%Сейчас 
%хороший момент,
%хорошее время, чтобы 
Уже пора для предложенных операций  выработать удобные обозначения, допускающие естественный перевод по крайней мере на английский язык.
Некоторые 
%такие термины в английском языке уже есть. Они 
английские термины собраны ниже.
%в следующих секциях.
%и в виде английского абстракта.

\section{English abstract: Superfunctions}
\Large 
\baselineskip 23pt

The Book is dedicated to construction of superfunction $F$ and abelfunction $G$ for given transfer function $T$.
The formalism of superfunctions is considered with examples, that are presented in ready-to-use form.
The reader is supposed to know something about the complex numbers and elementary functions.
 
\vskip 4mm

The superfunction is solution of  the transfer equation 

$F(z\!+\!1)=T\big(F(z)\big)$

The abelfunction $G=F^{-1}$ satisfies the Abel equation 

$G\big(T(z)\big)=G(z)+1$

In order to provide the uniqueness of solution, the additional requirements on $F$ are applied,
referring to its behaviour in the complex plane.
\vskip 4mm

The $n$th iterate of function 
$T$
is denoted with superscript:
\be
 {{T^n(z)}\atop{\phantom{sub}}} {{=}\atop{\phantom{sub}}}{{\underbrace{T\!\Big(T\!\big( .. T(z).. \big)\Big)}}\atop{n ~\mathrm{evaluations~of~ function~} T}}
\nonumber
\ee
With superfunction $F$ and  abelfunction $G$, the iterate is expressed as ~
$T^n(z)=F\big(n\!+\!G(z)\big)$ . 
In this representation, the number $n$ of iterate has no need to be integer.
\vskip 4mm

Examples of superfunctions are considered and collected as Table \ref{TableOfSuperfunctions}.
Superfunctions are constructed for sin, factorial, exponential, tetration and other functions.

Many explicit plots and complex maps for these functions, superfunctions, and iterates are included. 
The figures are loaded also to TORI together with their generators at

\sx{.98}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book}}
\vskip 4mm

The formalism of superfunctions greatly extends the set of functions available for applications in the scientific research.



\section{English keywords}
\Large
\baselineskip 36pt

$T$ ~ ~ ~ ~ ~ Transfer function

$T\big(F(z)\big)=F(z\!+\!1)$ ~ ~ ~ Transfer equation, superfunction

$G\big(T(z)\big)=G(z)+1$ ~ ~ ~ Abel equation, abelfunction

$F\big(G(z)\big)=z$ ~ ~ ~ ~ ~ Identity function

$T^n(z)=F\big(n+G(z)\big)$ ~ ~ ~ $n$th iterate
\vskip 8pt

$\ds F(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm i} \oint \frac{F(t) \, \mathrm d t}{t-z}$ ~ ~ ~ Cauchi integral
\vskip 8pt

$\mathrm{tet}_b(z\!+\!1)=b^{\mathrm{tet}_b(z)}$ ~ ~ ~ tetration to base $b$

$\mathrm{tet}_b(0)=1$ ~, ~ ~  $\mathrm{tet}_b\big(\mathrm{ate}_b(z)\big)=z$

$\mathrm{ate}_b(b^z)=\mathrm{ate}_b(z)+1$ ~ ~ arctetration to base $b$

$\exp_b^{~n}(z)=\mathrm{tet}_b\big(n+\mathrm{ate}_b(z)\big)$ ~ ~ $n$th iterate of function ~ $z\!\mapsto\! b^z$
\vskip 8pt

$\ds \mathrm{Tania}^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{Tania}(z)}{\mathrm{Tania}(z)\!+\!1}$ ~ ~   Tania function,~  $\ds \mathrm{Tania}(0)\!=\!1$ 
\vskip 8pt

$\ds \mathrm{Doya}(z)=\mathrm{Tania}\big(1\!+\!\mathrm{ArcTania}(z)\big)$ ~ ~   Doya function

$\ds \mathrm{Shoka}(z)=z+\ln(\mathrm e^{-z}\!+\!\mathrm e \!-\! 1)$ ~ Shoka function

$\ds \mathrm{Keller}(z)=\mathrm{Shoka}\big(1\!+\!\mathrm{ArcShoka}(z)\big)$ ~ ~   Keller function

$\ds \mathrm{tra}(z)=z+\exp(z)$ ~ ~ ~  Trappmann function

$\ds \mathrm{zex}(z)=z\,\exp(z)$ ~ ~ ~ ~ Zex function

\large
\baselineskip 20pt

%\section{Библиография}
\begin{thebibliography}{99}
\baselineskip 18.8pt
%\vskip -44pt
\bibitem{Rabelais} %\begin{picture}(0,0) \put(-30,50){\rule{300pt}{30pt}} \end{picture}
\url{http://royallib.ru/read/rable_fransua/gargantyua_i_pantagryuel__II.html#0} \\
Франсуа Рабле. Гаргантюа и Пантагрюэль. (1564, %2010-
2013) %cite01

\bibitem{moliere}
\url{http://www.lib.ru/MOLIER/meshanin.txt}
Жан-Батист Мольер. Мещанин во дворянстве. (1670) Перевод Н. Любимова. Mon, 02 Feb 1998 16:34:53 GMT.
..  {\em
% Г-н  Журден. 
Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. ..}%cite02

\bibitem{abel}
\url{https://eudml.org/doc/183045}
%\url{http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0001&DMDID=dmdlog6}
N.H.Abel. "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig ver\"anderlichen Gr\"ossen $x$ und $y$, wie $f(x, y)$, welche die Eigenschaft haben, dafs $f(z,f(x,y))$ eine symmetrische Function vom $z,x$ und $y$ ist.. Journal f\"ur die reine und angewandte Mathematik, V.1 (1826)  Z.11–15. %cite03

\bibitem{xutore} 
\url{http://ilibrary.ru/text/1088/p.1/index.html}  \\
Н.В.Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки. (1832, 1996, 2013) %cite04

\bibitem{gogol}
\url{http://www.klassika.ru/read.html?proza/gogol/dushi.txt&page=25} 
Н.В.Гоголь. Мертвые души. Глава 7. (1842) %cite05

\bibitem{fatou}
\url{http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1919__47__161_0}\\
 P. Fatou. Sur les équations fonctionnelles. Bulletin de la Société Mathématique de France, 47 (1919), p. 161-271. %cite06
 
 \bibitem{acker}
\url{http://www.springerlink.com/content/px2g58k5j3q45535/}\\
Wilhelm Ackermann. Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen.  %MATHEMATISCHE ANNALEN
Mathematische Annalen {\bf 99}, Number 1(1928), Z.118-133. %cite07

 \bibitem{bulga} 
\url{http://vehi.net/mbulgakov/master/24.html} \\
Михаил Булгаков. Мастер и Маргарита. Глава 24. Извлечение Мастера. { \em    .. Рукописи не горят. ..} (1928, 1940, 1967).
%cite08  newpage

\bibitem{boy}
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/File:Boy_on_snow_sled,_1945.jpg} Father of JGKlein. Boy on snow sled, 1945. %cite09

\bibitem{kneser}
\url{http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002175851} ~
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/Relle.pdf} 
Hellmuth Kneser. Reelle analytische L\"osungen der Gleichung $\phi(\phi(x))=e^x$. Equationes Mathematicae, Journal fur die reine und angewandte Mathematik {\bf 187} 56–67 (1950) %cite10

\bibitem{szekeres}
\url{http://link.springer.com/article/10.1007\%2FBF02559539} 
%\url{http://link.springer.com/article/10.1007\%2FBF02559539#page-1}
G.Szekeres. Regular iteration of real and complex functions. Acta Mathematica
1958, Volume 100, Issue 3-4, pp 203-258. %cite11

%\bibitem{stru}
\bibitem{wright} \url{http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183523043}
E.M.Wright. Solution of the equation $ze^z=a$. Bulletin of the American Mathematical Society {\bf 65}, p.89-93 (1959). %cite12

\bibitem{gr}
И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений — 4-е издание. — М.: Наука, 1963. 
%{\small
%\url{http://books.google.co.jp/books/about/Таблицы_интегралов_су.html?id=OxAbAQAAIAAJ&redir_esc=y}
%\\
%(авторы команды $\backslash$url$\{..\}$ считают, что именно такое представление урля  удобно для читателей)}
%cite13

\bibitem{ponedelnik} %cite14
\url{http://litvinovs.net/pantry/migunov_monday_begins_on_saturday/} Евгений Мигунов. «Понедельник начинается в субботу» в иллюстрациях. 1965, 1979.
%\url{http://ru.wikipedia.org/wiki/Понедельник_начинается_в_субботу}
{\em .. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. ..}

\bibitem{erofeev} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Petushki}\\
В.Ерофеев. Москва-Петушки. 1967. % Глава 20: Электроугли — 43-й километр.
{\em Почему-то в России никто не знает, отчего умер Пушкин..  
Вставай! Иди умойся и садись дописывать свою божественную оперу «Хованщина»}..%cite15

\bibitem{stru}
\url{http://www.rusf.ru/abs/books/sot-201.htm}\\
А.Н.Стругацикй, Б.Н.Стругацкий. Сказка о тройке - 2. 1968 {\em Лифт должен выдерживать прямое попадание в кабину самого необученного академика.} %cite16

\bibitem{ecale}
\url{http://mathdoc.emath.fr/PMO/PDF/E_ECALLE_67_74_09.pdf}
Jean Ecalle. Teorie des Invariants Holomorphes.  Universite Paris XI U.E.R. Mathematique 91405 ORSAY France (1974) %cite17

\bibitem{IRENE}
\url{http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_803.htm}\\
М.Абрамовиц, И.Стегун. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979.
(Английская версия доступна онлине.) %cite18

\bibitem{pomeau}\url{http://link.springer.com/article/10.1007/BF01197757#page-1} ~ 
Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent Transition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems.
Communications in Mathematical Physics, 1980, v.74, p.189.%cite19

\bibitem{Eckmann81}
\url{http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Eckmann81.pdf}\\
\url{http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v53/i4/p643_1}\\
J.-P. Eckmann. Roads to turbulence in dissipative dynamical systems. Rev. Mod. Phys. 53, 643–654 (1981). %cite20

\bibitem{L3}%cite21
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/003040188590330X}
{%\em 
Hnilo A. A.} Chaotic (as the logistic map) laser cavity. Optics Communications {\bf 53}. (1985). P.194-196. %cite21

\bibitem{L2} %cite22
%\url{http://www.phy.duke.edu/research/photon/qelectron/pubs/AdvancesAMO54_615_2007.pdf}
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1049250X06540108}
{%\em
Illing L., Gauthier D.J., Roy R.}
Controlling optical chaos, spatio-temporal dynamics, and patterns.
Advances in atomic, molecular and optical physics. {\bf 54}, (1987). P. 616-797. %cite22

\bibitem{klavanur} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/klavanur.shtml}  Д.Кузнецов. Клава и Нюра. (1989) %cite23

\bibitem{walker} %cite24
\url{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022247X9190029Y}
Peter L Walker, On the solutions of an abelian functional equation, Journal of mathematical
analysis and applications 155 (1991), 93–110.

\bibitem{L1992}%cite25
%Tufillaro, Nicholas; Tyler Abbott, Jeremiah Reilly 
{\em Tufillaro N., Tyler A., Jeremiah R.} 
An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. 1992. NY. 
%Addison-Wesley New York. ISBN 0-201-55441-0.

\bibitem{walter} \url{http://www.ams.org/journals/bull/1993-29-02/S0273-0979-1993-00432-4/S0273-0979-1993-00432-4.pdf}
W.Bergweiler. Iteration of meromorphic functions. Bulletin (New Series) of the American Mathematical society, v.29, No.2 (1993) p.151-188.%cite26

\bibitem{shapiro} %cite27
\url{http://www.math.msu.edu/~shapiro/Pubvit/Downloads/RieszExpo/RieszExpo.pdf}
Joel H. Shapiro. Composition Operators and Schr\"oder’s Functional Equation. Contemporary Mathematics 213 (1998), 213–228.

\bibitem{L2000}%cite28
%Strogatz, Steven (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0453-6.
{\em Strogatz S.} Nonlinear Dynamics and Chaos. NY, 2000. 
%Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0453-6.

\bibitem{keller1} \url{https://edit.ethz.ch/ulp/publications/paper/2001/152__APB_73__653__2001_.pdf}\\
R.Paschotta, U.Keller. Passive mode locking with slow saturable absorbers. Appl. Phys. B 73, 653–662 (2001) %cite29

\bibitem{L2003} %cite30
%Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.
{\em Sprott J. C.} Chaos and Time-Series Analysis. Oxford 2003. %cite30

\bibitem{slab1} %cite31
\url{http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=1278604}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ieee3.pdf}
D.Kouznetsov, J.V.Moloney. Highly efficient, high gain, short wavelenght and power scalable incoherent diode slab-pumped fiber laser amplifier. -- IEEE Journal of Quantum Electronics, v.39, No.11, p.1452-1461 (2003).

\bibitem{slab2} %cite32
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/01278604.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/01278604.pdf} ~
D.Kouznetsov, J.V.Moloney. Slab delivery of incoherent pump light to double-clad fiber amplifiers: An analytic approach. -- IEEE Journal of Quantum Electronics, 2004, v.40, Issue 4, p.378-383.

\bibitem{slab3}  %cite33
%\url{http://tori.ils.uec.ac.jp/PAPERS/ieee3.pdf} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ieee3.pdf} \\
P.Kano, D.Kouznetsov, J.V.Moloney, M.Brio. Slab delivery of incoherent pump light to double-clad fiber amplifiers: Numerical simulations. -- IEEE Journal of Quantum Electronics, 2004, v.40, No.9, p.1301-1305.

\bibitem{keller2} \url{http://www.ulp.ethz.ch/publications/paper/2004/200__APB_79__331__2004_.pdf}
M.Haiml, R.Grange, U.Keller. Optical characterization of semicondutcor saturable absorbers. Appl.Phys. B 79, 331-339 (2004)  %cite34

\bibitem{akira0} %cite35
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/CoupledOptRev.pdf} 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/CoupledOptRev.pdf}\\
D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, A.Shirakawa, K.Ueda. Limits of coherent addition of lasers: simple estimate. -- Optical Review, 2005, v.12, No.6 (2005) 445-447.

\bibitem{thin}  %cite36
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2005josab.pdf} %article;
D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, K.Takaichi, K.Ueda. High-power single mode solid state laser with short unstable cavity. JOSA B, v.22, Issue 8, p.1605-1619 (2005).
\bibitem{thine}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2005josaber.pdf} Ibid: Erratum.  %cite37

\bibitem{fidi2} \url{http://www.nature.com/nphoton/journal/vsample/nsample/full/nphoton.2006.6.html}
Hamamatsu Photonics K.K. Laser group. The Fiber Disk Laser explained.
Nature Photonics sample, - pp14 - 15 (2006).% doi:10.1038/nphoton.2006.6
 %cite38

\bibitem{hooshmand}  %cite39
\url{http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10652460500422247} 
M.H.Hooshmand, (2006). Ultra power and ultra exponential functions. Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. %doi:10.1080/10652460500422247.

\bibitem{bisson}  %cite40
\sx{.98}{\url{http://apl.aip.org/resource/1/applab/v90/i20/p201901_s1}}
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/ApplPhysLett_90_201901.pdf}\\
\sx{.92}{\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ApplPhysLett_90_201901.pdf}}
%{\small \url{http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=APPLAB000090000020201901000001&idtype=cvips&gifs=yes}}\\
J.-F.Bisson, D.Kouznetsov, K.Ueda, T.Fredrich-Thornton, K.Petermann, G.Huber. Switching of emissivity and photoconductivity in highly doped Yb3+:Y2O3 and Lu2O3 ceramics. -- Applied Physics Letters, 90, 201901 (2007).%; doi:10.1063/1.2739318

\bibitem{tea} %cite41
\url{http://en.wikisource.org/wiki/Maple_and_Tea}\\
\url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/maple.shtml}\\
D.Kouznetsov. Maple and Tea. (2007)
%(Извините, пока нет русской версии, только по-английски)

\bibitem{kandidov} \url{http://ofvp.phys.msu.ru/pdf/Kandidov_70.pdf}\\
В.М.Гордиенко, В.К.Новик. О времени и факультете, о кафедре и о себе...
70-ти летие профессора В.П.Кандидова. (2007.12.05) %cite42

\bibitem{gac} %cite43
%\url{http://th-www.il.uj.edu.pl/acta/vol39/abs/v39p1019.pdf}
\url{http://inis.iaea.org/search/search.aspx?orig_q=RN:39069239}
J.M.Gac, J.J.Zebrowski. Giant suppression of the activation rate in dynamical systems with chaotic transitions.
%GIANT SUPPRESSION OF THE ACTIVATION RATE IN DYNAMICAL SYSTEMS EXHIBITING CHAOTIC TRANSITIONS.
Acta Physica Polonica B, 2008, v.39, p.1019. 

\bibitem{analuxp} %cite44
\url{http://www.ams.org/mcom/2009-78-267/S0025-5718-09-02188-7/home.html}\\
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009analuxpRepri.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2009analuxpRepri.pdf}\\
D.Kouznetsov. Analytic solution of F(z+1)=exp(F(z)) in complex z-plane. Mathematics of Computation {\bf 78} (2009), 1647-1670.

\bibitem{L1} %cite45
%\url{http://resources.metapress.com/pdf-preview.axd?code=fj3w2p2675vh7q37&size=largest}
\url{http://link.springer.com/article/10.3103/S1068335609050054#page-1}
{%\em
Gorbuklov M.V., Maslova Yu.Ya., Chaban O.I., Shabalin Yu.V.}
Period doubling cascade and deterministic chaos in a laser self-mode-locked by the combination of 
intertial negative and positive feedbacks.
Bulletin of the Lebedev Physics Institute, {\bf 36}. No.5. (2009). P.150-156.   ~ Русский оригинал:
{%\em 
Горбунков М.В., Маслова Ю.Я., Чабан О.И., Шабалин Ю.В.}
Краткие Сообщения по физике, {\bf 36}. N.5. (2009). P.150-156.

\bibitem{L2009} %cite46
\url{http://www.springerlink.com/content/d73u677140l3j826/}\\
{%\em
Bjerkl\"ov K.}
%Strange Nonlinear Attractors in the quasi-periodic family.
SNA’s in the Quasi-Periodic Quadratic Family
Communications in Mathematical Physics. {\bf 286}. 2009. P.137--161
\JP{
SNA’s in the Quasi-Periodic Quadratic Family
Journal Communications in Mathematical Physics
Publisher       Springer Berlin / Heidelberg
ISSN    0010-3616 (Print) 1432-0916 (Online)
Issue   Volume 286, Number 1 / February, 2009
DOI     10.1007/s00220-008-0626-y
Pages   137-161
Subject Collection      Physics and Astronomy
SpringerLink Date       Tuesday, September 09, 2008
}%

\bibitem{topology} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lessontopo.shtml}\\
Д.Кузнецов. Урок квантовой топологии. 2009. %cite47

\bibitem{elutin} %cite48
\EN{ {
%\em 
Elutin P. V.}
The holomorphic extension of the logistic mapping is ambitious program...
The continual generalization of the logistic mapping will worth your time and efforts, if you can reveal the model
that gives the law of the evolution $F(t)$ - or determine the characteristics $F(t)$, boundaries of the time derivatives). - Private communication, Oct 9, 2009 5:32 PM.}%
\RU{ {\em Елютин П. В.} 
Думаю, задача, понятая как ``КОНТИНУАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ'', будет стоить Ваших усилий и времени, если удастся выявить модель, порождением которой является закон движения $X(t)$ - или определить континуальные характеристики $X(t)$ (например, границы значений производных по времени).
Частное сообщение, Oct 9, 2009 5:32 PM.}\RU

\bibitem{physmat} %cite49
\url{http://iopscience.iop.org/1742-6596/237/1/012016/pdf/1742-6596_237_1_012016.pdf}\\
P.G.L.Leach and M.C.Nucci. Point and counterpoint between Mathematical Physics and Physical Mathematics.
Journal of Physics: Conference Series {\bf 237} (2010) 012016.
%       doi:10.1088/1742-6596/237/1/012016

\bibitem{sqrt2} %cite50
%\sx{.662}
\url{http://www.jointmathematicsmeetings.org/journals/mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/S0025-5718-10-02342-2.pdf}
\url{http://www.ams.org/journals/mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/home.html}
\url{http://eretrandre.org/rb/files/Kouznetsov2009_215.pdf}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010q2.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010q2.pdf}\\
D.Kouznetsov, H.Trappmann. Portrait of the four regular super-exponentials to base sqrt(2). Mathematics of Computation, 2010, v.79, p.1727-1756.

\bibitem{facr} %cite51
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010superfar.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010superfar.pdf}\\
Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень из факториала.
Вестник Московского Университета, серия 3 , No.1 (2010), стр.1-14.\\

\bibitem{vladir}  %cite52
\url{http://www.emis.ams.org/journals/VMJ/articles/2010_2_4.pdf}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2009vladir.pdf}  
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009vladir.pdf}
Д.Кузнецов. Тетрация как специальная функция. Владикавказский математический журнал, 2010, т.12, вып. 2, стр.31-45. 

\bibitem{vladie}  %cite53
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010vladie.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010vladie.pdf} ~
D.Kouznetsov. Tetration as special function. Vladikavkaz Mathematical Journal, 2010, v.12, issue 2, p.31-45. 

\bibitem{factorial}%cite54
\url{http://www.springerlink.com/content/qt31671237421111/fulltext.pdf?page=1}
Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень из факториала. 
%D.Kouznetsov, H.Trappmann. Superfunctions and square root of factorial. Moscow University Physics Bulletin, 2010, v.65, No.1, p.6-12. (Russian version: p.8-14)
Вестник Московского Университета, серия 3 (2010) No.1, стр.8-14.

\bibitem{ufn}%cite55
\url{http://ufn.ru/tribune/trib120111} \\
Д.Кузнецов. Место науки и физики в человеческом знании. УФН, т.181 ``Трибуна'', стр.1-9 (2010).

\bibitem{mesto} %cite56
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Mestor}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Место_науки_в_человеческом_знании} 
Д.Кузнецов. Место науки в человеческом знании. (2010-2011)

\bibitem{logistic}%cite57
\sx{.99}{\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010logistir.pdf}}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010logistir.pdf}\\
Д.Ю.Кузнецов. Континуальное обобщение логистического отображения. Вестник Московского Университета, серия 3 (2010) No.2, стр.23-30. 

\bibitem{mizugadronumber} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml} Д.Кузнецов. Число Мизугадро. (2010)%cite58

\bibitem{yoneda} H.Yoneda. Recovery of intensity inside the amplifier from its transfer function is impossible. Private communication, 2010. %cite59

\bibitem{kaminski} А.Каминский. Нет смысла анализировать передаточную функцию усилителя, не указав конкретную модель для активной среды. Частное сообщение, 2011. %cite60

\bibitem{smile} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/smile.shtml}\\ Д.Кузнецов. Улыбка. 07/10/2011.%cite61

\bibitem{lomodrev} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lomodrev.shtml}. Д.Кузнецов. Директорство Ломодрева. 2011.
%\bibitem{bereza}  A. Shirakawa: It is not possible to reconstruct the intensity inside the amplifier just from its transfer function. Private communication, 2011. %cite62

\bibitem{uniabel}%cite63
\url{http://www.springerlink.com/content/u7327836m2850246/}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2011uniabel.pdf}\\
%\url{http://tori.ils.uec.ac.jp/PAPERS/2011uniabel.pdf}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2011uniabel.pdf} \\
H.Trappmann, D.Kouznetsov. Uniqueness of Analytic Abel Functions in Absence of a Real Fixed Point. Aequationes Mathematicae, v.81, p.65-76 (2011)

\bibitem{akira1} A.Shirakawa. It is not possible to reconstruct the intensity inside the amplified just from its transfer function.
Private communication, 2011.%cite64

\bibitem{akira2} A.Shirakawa. The formalism of superfunctions is too complicated and therefore cannot be used.
Private communication, 2012.10.09.%cite65

\bibitem{kur}%cite66
%\url{http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/dynsyst/Iteration%20of%20sin(x).pdf
\url{http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/dynsyst}\\
Kursernas Hemsidor. Introduction to Dynamical Systems. 2012.  
%The course treats fundamental notions in the theory of discrete-time dynamical systems..
Derivation of Niclas Carlsson's formula. Let function $f(x)$ be $sin(x)$. 
We want to evaluate, approximately .the value of the n-th iterate of $f(x)$. 
Niclas Carlsson obtained empirically the following formula $f^n(x)\approx \sqrt{\frac{3}{n}}$, $x\approx 1$, $n$ large .. If the formula is correct it will take $3 \cdot\! 10^{10}$.. steps to reach 0.00001 starting from 1. ..After 60000 iterations the value is 0.0071 and the discrepancy  -4.7323e-007. 
 
\bibitem{car} 
%\url{http://server.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html}
\url{http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html}
Thomas Curtright. Continuous iterates continue to be interesting, after 150 years of study. (2011-2013)
As a first illustration, we display the continuous iterates of the sine function, $\sin_{[t]}(x)$. Note that the maximum values at $x = \pi/2$ are approximately given by $\exp[(1-\sqrt{t}) \ln(\pi/2)]$.%cite67

\bibitem{fizmat} %Л. С. СЫЧЕВА.«ФИЗИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА» АРХИМЕДА, ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И МЕХАНИЗМЫ НОВАЦИЙ В МАТЕМАТИКЕ. %ΣΧΟΛΗ Vol. 6. 2 (2012).
\url{http://www.nsu.ru/classics/schole/6/6-2-sych.pdf} 
Л.С.Сычева. Физическая математика
Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике. Школа, том 6, номер 2 (2012).%cite68

\bibitem{e1e}%cite69
\url{http://www.ams.org/journals/mcom/0000-000-00/S0025-5718-2012-02590-7/S0025-5718-2012-02590-7.pdf}
% Journal version (the registration may be required), or 
%\sx{.914}{\url{https://bitbucket.org/bo198214/e1e/raw/64beab23fa73/main.pdf}}
\sx{.96}{\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2012e1eMcom2590.pdf}}
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2011e1e.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012e1eMcom2590.pdf} ~
H.Trappmann, D.Kouznetsov. Computation of the Two Regular Super-Exponentials to base exp(1/e). Mathematics of Computation, 2012,
{\bf 81},
% February 8.
p.2207-2227.
%ISSN 1088-6842(e) ISSN 0025-5718(p) 

%\bibitem{tania} 
%\bibitem{2012transfer} 
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2012transfer.pdf}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012transfer.pdf}  
%D.Kouznetsov.  Transfer function of an amplifier and characterization of Materials. (Preprint ILS, 2012)

\bibitem{kvashenko}%cite70
\url{http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html} Квашенко Андрей Николаевич. Драконы. (2007-2013)

\bibitem{unichtozhenie}%cite71
%\sx{.36}
{\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php?title=Destruscir}}\\
Д.Кузнецов. Уничтожение науки в РФ. (2013)

\JP{
\bibitem{2013or}%cite72
\url{http://link.springer.com/article/10.1007/s10043-013-0058-6}\\
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2012or.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012or.pdf}\\
Dmitrii Kouznetsov. Superfunctions for optical amplifiers. Optical Review, July 2013, Volume 20, Issue 4, pp 321-326.
}

\bibitem{2013jmp}%cite72
\url{http://www.scirp.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=36560} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013jmp.pdf} \\ 
D.Kouznetsov. TORI axioms and the applications in physics. Journal of Modern Physics, 2013, v.4, p.1151-1156.

\bibitem{thailand}%cite73
\url{http://www.ingentaconnect.com/content/asp/asl/2013/00000019/00000003/art00071}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012thaiSuper.pdf}\\
D.Kouznetsov. Recovery of Properties of a Material from Transfer Function of a Bulk Sample (Theory). Advanced Science Letters, Volume 19, Number 3, March 2013, pp. 1035-1038(4).

\bibitem{2013or}%\bibitem{superlaser}%cite74
\url{http://link.springer.com/article/10.1007/s10043-013-0058-6}
D.Kouznetsov. Superfunctions for amplifiers. Optical Review, July 2013, Volume 20, Issue 4, pp 321-326. 

\bibitem{log}%cite75
\url{http://arxiv.org/abs/1008.1409v2}
Henryk Trappmann. The Intuitive Logarithm. October 14, 2013.

\bibitem{guess}%cite76
Michael Moldenhauer. Question about tetration method. Private communication, Sat, 9 Nov 2013 01:11:53 -0800 (PST).
{\em ..how did you come up with the high-quality initial approximation fit\_3 mentioned in your paper about
the tetrational function? }

\bibitem{sutra}%cite77
\url{http://www.m-hikari.com/ams/ams-2013/ams-129-132-2013/kouznetsovAMS129-132-2013.pdf}\\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013hikari.pdf}\\
D.Kouznetsov. Entire function with logarithmic asymptotic. Applied Mathematical Sciences, 2013, v.7, No.131, p.6527-6541. 

\bibitem{susin}
\url{http://www.pphmj.com/references/8246.htm}\\
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2014susinL.pdf} \\
\url{http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2014susin.pdf}
D.Kouznetsov. Super sin. Far East Jourmal of Mathematical Science, v.85, No.2, 2014, pages 219-238.

\bibitem{wikiabel} \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_equation}

\bibitem{nest} \url{http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Nest.html}

\bibitem{conto.cin} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Conto.cin}

\bibitem{cz.conto.cin} \url{http://en.citizendium.org/wiki/Conto.cin}

%\bibitem{jokes} \url{http://n-t.ru/ri/fz/fz210.htm} Физики продолжают шутить. Инструкция для читателя научных статей. © НиТ. Раритетные издания, 1998. «... портативный...» (Снабжен двумя ручками).

\bibitem{science} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Science}

\bibitem{sciencer} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Hayka}
%\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Наука} 
Наука

\bibitem{Hayka} \url{http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/hayka.shtml} Наука

\bibitem{Cauchi} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Koshir}
%\url{http://ru.wikipedia.org/wiki/Интегральная_формула_Коши} 
Интегральная формула Коши
% линк на статью в википедии занимает несколько строк 

\bibitem{toritet} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tetration}

\bibitem{cztet} \url{http://en.citizendium.org/wiki/Tetration}

\bibitem{tania} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania_function} \\
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Doya} ~
D.Kouznetsov. Tania function. 

\bibitem{doya} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Doya_function} \\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Doya} ~
%D.Kouznetsov. Doya function. 
%\url{http://tori.ils.uec.ac.jp/doya.htm} 

\bibitem{Keller} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Keller_function}\\
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Keller} ~
%D.Kouznetsov. Keller function.

\bibitem{Shoka}
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Shoka_function}\\ 
\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Shoka} ~
%D.Kouznetsov. Shoka function.

\bibitem{collatz} \url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Holomorphic_extension_of_the_Collatz_subsequence}

\bibitem{LambertW} 
\url{http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW}
%\url{http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/LambertW}

\bibitem{LambertWm} \url{http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html}

\bibitem{LambertWs} \url{http://en.citizendium.org/wiki/Lambert_W_function}

\bibitem{LambertWw} \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function}

\bibitem{david} \url{http://www.orcca.on.ca/TechReports/TechReports/2000/TR-00-12.pdf}\\
Robert M. Corless, David J. Jeffrey. On the Wright $\omega$ function.

\bibitem{valerie}
\url{http://valerie.doya.free.fr/Doya_CV.html}
Valérie DOYA. Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex2, France. 
%\bibitem{sphericalhorse}
%\begin{wrapfigure}{r}{200px}
%\raisebox{-22pt}{
%\begin{tabular}{lr}
%\begin{parbox}{500pt}
%\url{http://steamcommunity.com/groups/shiav} 
%Steam Community. ABOUT SPHERICAL HORSE IN A VACUUM, %No information given. 
(2014)
%Spherical horse in vacuum
%} 
%\end{parbox} 
%\sx{.5}{\begin{picture}(120,20)
%\put(200,-36){\ing{sphericalhorse.jpg}}
%\end{picture}}
%\end{tabular}}
%\end{wrapfigure}

%\bibitem{figwarning}  
%\url{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:EdSciFest_2014_(7).JPG}
%Vera de Kok. An experiment being demostrated. 5 April 2014, 13:59:40.  This file is licensed under the \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons}

\end{thebibliography}
%\end{document}
\newpage 
\pagestyle{empty}
\setcounter{page}{2014}

\setcounter{page}{2014} \begin{picture}(300,440) \put(0,-200){\ing{cover2}} \end{picture}\\

\newpage
\pagestyle{empty}
\setcounter{page}{2014}
\sx{1.4}{\begin{picture}(426,729)
%\put(-110,-80){\sx{1.4){\ing{coverview2}}}
%\put(-16,0){\ing{coverview2}}
\put(-64,140){\ing{coverview2}}
\put(426,0){\color{white}\rule{200px}{800px}}
\end{picture}}
\end{document}
\newpage ~ %this is for double-side printing; at single–side printing this should be suppressed
%\newpage

\begin{picture}(426,729)
%\put(-110,-80){\sx{1.4){\ing{coverview2}}}
%\put(-16,0){\ing{coverview2}}
\put(-454,0){\ing{coverview2}}
\put(-90,0){\color{white}\rule{90px}{800px}}
%	\put(457,274){\color{white}\rule{450pt}{327pt}}
%	\put(458,380){\sx{.2726}{\ing{tetma}}}
%	\put(649,344){\sx{2}{\sf Дмитрий Кузнецов}}
%	\put(576,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
%	\put(577,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
	\put(3,274){\color{white}\rule{450pt}{327pt}}
%	\put(4,380){\sx{.2726}{\ing{tetma}}}  %
	\put(4,380){\sx{.2726}{\ing{tetma050}}}  %
	\put(155,344){\sx{2}{\sf Дмитрий Кузнецов}}
	\put(72,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
	\put(73,298){\sx{3.6}{\sf Суперфункции }}
\put(80,77){\sx{3}{\sf 2014}}
\end{picture}

\end{document}

В более общем виде, такую догадку, концепцию можно сформулировать}%JP
%как  конжекцию (conjecture), ``теорему''
% о почти идентичной функции:
%\vskip 3mm

{%\large
Для любой отличной от нуля голоморфной периодичной функции $\theta$ с вещественным периодом $\tau$, 
функция $z\mapsto z+\theta(z)$ в области $ \{ z\in \bC: |\Re(z)|\le \tau/2 \}$ принимает все значения из $\bC$, за исключением, быть может, одного. 
}