Натуральное число

Натуральные числа - это специальный класс эквивалентности множеств, выражающий количество элементов, для которого постулируются определенные свойства и операции. В этой статье предполагается, что булева алгебра (то есть логика) уже успешно постулирована.

Аксиомы
Множество \(\mathbb N\) объектов любой природы называется множеством натуральных чисел, а элементы этого множества называются натуральными числами, если для этого множества приняты перечисленные ниже операции и аксиомы.

Аксиомы соотношения. На множестве пар натуральных чисел определены три парные функции соотношения: "меньше чем", "равенство" и "больше чем". Возможными значениями этих функций являются истина (true) или ложь (false). Исторически, указатель такой функции ставится между аргументами. При этом, чтобы указывать порядок выполнения операций используются скобки. При этом полная запись операции, слева направо, осуществлается так: открывается скобка, пишется первый аргумент, пишется имя операции, пишется второй аргумент, и скобка закрывается. В тех случаях, когда порядок операций не существенен, скобки могут быть пропущены.

Считается, что для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\), лишь одно из выражений
 * \(a < b\),
 * \(a = b\),
 * \(a > b\)

имеет значение "истина", а остальные имеют значения "ложь". При этом
 * если \(a=b\) то \(b=a\),
 * если \(a\) \(<\) \(b\) то \(b>a\),
 * если \(a>b\) то \(bb\) и \(b>c\), то \(a>c\);

По умолчанию, если в тексте встречается логическое выражение, то считается, что оно имеет значение "истина".

Аксиомы единичного инкремента
На множестве \(\mathbb N\)  определена операция единичного инкремента с результатом в \(\mathbb N\). Для этой операции используется имя \(++\). По отношению к объекту \(a\), элемент \(++(a)\) называется следующим. По отношению к объекту \(++(a)\), элемент \(a\) называется предыдущим. Для каждого элемента принадлежащего \(\mathbb N\) существует, и единственный, следующий. Если для элемента \(a\) множества \(\mathbb N\) элемент \(b\) является предыдущим, и элемент \(c\) тоже является предыдущим, то \(b=c\). Если для \(a\) в множестве натуральных чисел не существует предыдущего элемента, то это число называется единица; для таких элементов используется символ 1. Считается, что в множестве натуральных чисел такой элемент, то есть единица, существует и единственен (то есть все единицы считаются эквивалентными, "равными").

Если \(a = ++(b)\) и \(a = ++(c)\) то \(b=c\).

Аксиомы суммирования
Для любых элементов \(a\) и \(b\) множества \(\mathbb N\) определена операция суммирования с результатом в этом же множестве. Результат этой операции обозначается \({\rm summation}(a,b)\) или \((a+b)\). Для любых элементов \(a\), \(b\) и \(c\) множества \(\mathbb N\), имеют место следующие соотношения:
 * \(++(a)=a+1\)
 * \(a+b>a\)
 * \(a+b=b+a\)
 * \((a+b)+c= a+(b+c)\)

Если \(a = b+c\) и \(a = d+c\), то \(b = d\).

Аксиомы умножения
Для любых элементов \(a\) и \(b\) множества \(\mathbb N\) определена операция умножения с результатом в этом же множестве. Эта операция обозначается \({\rm product}(a, b)\) или \((a*b)\). Для любых элементов \(a\), \(b\) и \(c\) множества \(\mathbb N\), имеют место следующие соотношения:
 * \(a*1=a\)
 * \(a*b =b*a\)
 * \((a+b)+c= a+(b+c)\)

Если \(a = b*c\) и \(a = d*c\), то \(b = d\).

Аксиома дистрибутивности
Для любых элементов \(a\), \(b\) и \(c\) множества \(\mathbb N\) имеет место следующее соотношение:
 * \(a*(b+c) = a*b+a*c\)

Интересно, что симметричное выражение, которое имелось бы для булевских переменных, то есть
 * \(a+(b*c) = (a+b)*(a+c)\)

не выполнено: оно бы означало, что
 * \(a=(a*a)+ (a*b)+(a*c)\),

давая противоречие с допущением о том, что для любых натуральных чисел \(a\) и \(d\) выражение \(a<(a+d)\) имеет значение "истина".

Имена
Многие натуральные числа имеют устоявшиеся обозначения, имена. Некоторые из них определяются следующими выражениями:
 * 2 = ++(1)
 * 3 = ++(3)
 * 4 = ++(4)
 * 5 = ++(5)
 * 6 = ++(6)
 * 7 = ++(7)
 * 8 = ++(8)
 * 9 = ++(9)

Имеются специальные правила для генерации имен натуральных чисел, больших 9. Наиболее распространена Арабская (Арамайская) позиционная система записи таких чисел.

Обратные операции
Операции "--" "-" и "/" определяются таким образом: Для натурального числа \(a\), предшественник \(c = --(a)\) есть такое натуральное число, для которого \(++b = a\). Для натуральных чисел \(a\) и \(b\), разность \(c= a-b\) есть такое натуральное число, что \(c+b=a\). Для натуральных чисел \(a\) и \(b\), отношение \(c= a/b\) есть такое натуральное число, что \(c*b=a\).

Обратные операции определены не для любых натуральных чисел. Для того, чтобы расширить возможности использования обратных операций, из натуральных чисел строятся более сложные объекты: целые числа, рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа и т.п.

Теоремы
Относительно целых чисел имеется много теорем; многие из них очень красивы. Для изучения лучше начать с простейших. Ниже, в качестве примеров, предложено несколько таких теорем.

Theorem. Разность натуральных чисел \(a\) и \(b\) является натуральным числом тогда и только тогда, когда \(a > b\).

Theorem. \(2+2=4\)
 * Proof. Используя определение символа "2" и Аксиомы, преобразуем левую часть равенства:
 * \(2 = ++1 = 1+1\)
 * \(2+2 = 2 + (1+1) = (2+1)+1 = 3+1 = ++(3) = 4\)

Theorem. \(2*2=4\)
 * Proof. Используя определение символа "2" и Аксиомы, преобразуем левую часть равенства:
 * \(2*2 = (1+1)*2 = 1*2 + 1*2 = 2+2\)
 * Из предыдущей теоремы получаем, что \(2*2=4\).

В качестве теорем можно оформить таблицу сложения и таблицу умножения, которые дети в школах заучивают наизусть (как и аксиомы Эвклида), вместо того, чтобы доказывать.

Специальный раздел математики посвящен проблеме делимости, то есть условиям того, что в множестве натуральных чисел существует отношение натуральных чисел. Если для натуральных чисел a и b существует натуральное число \(a/b\), то говорят, что \(a\) делится на \(b\) "нацело".

Еще концепции
В качестве упражнения можно рассматривать концепции, противоречащие общепринятым постулатам. Одна из таких попыток описана в статье Число Мизугадро. Пересмотра системы аксиом и, вероятно, аксиом о натуральных числах, требуют некоторые физические или экономические гипотезы. В качестве примеров можно указать финансовые пирамиды (которые, согласно заявлениям организаторов, обогащают всех ее участников, нарушая закон сохранения количества денежных знаков) и инерциоиды (которые, согласно публикациям, сохраняют некоторые физические концепции, но нарушают Закон сохранения импульса). Обычно построения на основе таких гипотез даже не пытаются как-либо объяснить успехи классической механики или общепринятой арифметики, и поэтому не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к научным концепция; финансирование таких исследований является жульничеством.

В качестве упражнения можно также попытаться уменьшить количество этих аксиом, заменяя некоторые из них теоремами. В принципе, некоторые из вышеперечисленных постулатов можно было бы заменить на теоремы, но для приложений матана и физики (для которых, в основном, пишется ТОРИ) такой категоричный (и слегка догматичный) подход оправдан.

Заключение
Аксиомы о свойствах натуральных чисел по отношению к сложению и умножению иногда называют также аксиомами арифметики.

Многие из постулированных выше соотношений имеют место и для более сложных объектов - для целых чисел, для рациональных чисел, для вещественных чисел, для комплексных чисел и т.д. Новые объекты в математике обычно либо постулируют (задают их свойствами), либо строят из более простых. Целые числа можно построить как пары натуральных. Рациональные числа можно построить как пары целых целых. Вещественные числа можно построить как фундаментальные последовательности рациональных. Комплексные числа можно построить как пары вещественных чисел. Матрицы можно построить как таблицы комплексных, или вещественных, или каких других чисел.

Каждый раз для новых объектов определяется класс эквивалентности, то есть указывается, какие числа считаются равными. Для новых классов объектов обычно определяются операции сложения и умножения, аналогичные сложению и умножению натуральных чисел. Обычно такие операции удовлетворяют некоторым из аксиом, сформулированным в начале статьи для натуральных чисел, но не всем. Например, среди целых чисел не существует наименьшего; многие матрицы не коммутативны, и т.п.

Линки
http://ru.wikipedia.org/wiki/Натуральное_число

http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section1/paragraph1/theory.html

http://www.webstaratel.ru/2010/02/blog-post.html Николай Хижняк. Математика для блондинок.