Суперфункции

Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.

Купить книгу можно на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0

ISBN-13: 978-3-659-56202-0 ISBN-10: 3659562025 EAN: 9783659562020 Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах

http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf

http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

Расскажу, о чём эта книга
Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения

\(T(F(z))=F(z+1)\)

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области значений \(z\).

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)

Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,

\(T^n(z)=F(n+G(z))\)

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\), \(T^0(z)=z\) \(T^1(z)=T(z)\) \(T^2(z)=T(T(z))\) \(T^3(z)=T(T(T(z)))\) и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\). Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указывается в виде верхнего индекса. В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\). Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но никак не \(P(\psi)^2\).

В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и, соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.

Аннотация
Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)). В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе
Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

Иллюстрации
Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки
Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны:

Keywords
Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axiom, Советская школа