Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши (Cauchy integral) выражает значение голоморфной функции в некоторой точке через интеграл по замкнутому контуру, обходящему эту точку: $$ \displaystyle f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm i} \oint \frac{f(t)}{t-z} \mathrm d t\$$

Название формулы можно интерпретировать как интеграл Кошки: Если Кошка, обходя "свою" территорию по замкнутому контуру, обнаруживает, что вдоль этого контура в все в порядке, то Кошка постулирует, что в каждой точке внутри контура тоже всё слава Богу. В учебниках по ТФКП для объяснения названия этой формулы предлагаются иные (и с точки зрения запоминания менее эффективные) мнемоники.

Интегральная формула Коши использована для первого эффективного алгоритма вычисления натуральной голоморфной тетрации .

While Russian version of that article, id est, Тетрация is not loaded, the English version, id est, Tetration can be used.

Первая версия этой статьи копипастнута из Википедии .

Формулировка
Пусть $$D$$ — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей $$\Gamma=\partial D$$, функция $$f(z)$$ — голоморфна в $$\overline{D}$$ и $$z_0$$ — точка внутри области $$D$$. Тогда справедлива следующая формула Коши:


 * $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_\Gamma\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$

Формула справедлива также, если предполагать, что $$f(z)$$ голоморфна внутри $$D$$, и непрерывна на замыкании, а также если граница $$D$$ не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство
Рассмотрим окружность Sρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z0. В области, ограниченной контурами Γ и Sρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство:
 * $$\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$

Для расчёта интегралов по $$S_\rho$$ применим параметризацию $$z=z_0+\rho e^{i\varphi},\varphi\in[0;2\pi]$$.

Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая $$f(z)=1$$:
 * $$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}\frac{1}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1 $$

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:
 * $$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz =

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz$$

Так как функция $$f(z)$$ комплексно дифференцируема в точке $$z_0$$, то:
 * $${f(z) - f(z_0)\over z - z_0} = f'(z_0) + o(1)$$

Интеграл от $$f\,'(z_0)$$ равен нулю:
 * $$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0 $$

Интеграл от члена $$o(1)$$ может быть сделан сколь угодно мал при $$\rho\rightarrow 0$$. Но поскольку он от $$\rho$$ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что
 * $$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz - f(z_0) =

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0$$

Следствия
Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций
В окрестности любой точки $$z_0$$ из области, где функция $$f(z)$$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:
 * $$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$$,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке $$z_0$$, в котором функция $$f(z)$$ голоморфна, а коэффициенты $$c_n$$ могут быть вычислены по интегральным формулам:
 * $$c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz$$.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов $$c_n$$ функций, голоморфных в круге $${|z-z_0|<R}$$:
 * $$c_n\le r^{-n}M(r)$$,

где $$M(r)$$ — максимум модуля функции $$f(z)$$ на окружности $${|z-z_0|=r}$$, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы
 * $$c_n = {{f^{(n)}(z_0)}\over n!}$$

получается интегральное представление производных функции $$f(z)$$:
 * $$f^{(n)}(z_0)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz.$$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области $$D$$, если это семейство равномерно ограничено в $$D$$. В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области $$D$$, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в $$D$$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях
Если функция $$f(z)$$ голоморфна в области $$D$$ вида $$\{r<|z-z_0|<R\}$$, то в ней она представима суммой ряда Лорана:
 * $$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$$,

причём коэффициенты $$c_n$$ могут быть вычислены по интегральным формулам:
 * $$c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz$$,

а сам ряд Лорана сходится в $$D$$ к функции $$f(z)$$ равномерно на каждом компакте из $$D$$.

Формула для коэффициента $$c_{-1}$$ часто применяется для вычисления интегралов от функции $$f(z)$$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций
Если функция $$f(z)$$ голоморфна в круге $$\{|z-z_0|< R\}$$, тогда для каждого $$r\,(0<r<R)$$
 * $$f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi$$

а также если $$B_r$$ — круг радиуса $$r$$ с центром в $$z_0$$, тогда
 * $$f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy$$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция $$f(z)$$ голоморфна в области $$D$$ и внутри $$D$$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция $$f(z)$$ голоморфна в области $$D$$ и внутри $$D$$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности
Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:
 * лемма Шварца: если функция $$f(z)$$ голоморфна в круге $${|z|<1}$$, $$f(0)=0$$ и для всех точек $$z$$ из этого круга $$|f(z)|\le 1$$, тогда всюду в этом круге $$|f(z)|\le |z|$$,
 * теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке $$z_0$$, совпадают в некоторой окрестности этой точки,
 * теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции $$f(z)$$, голоморфной в области $$D$$ имеют предельную точку внутри $$D$$, тогда функция $$f(z)$$ равна нулю всюду в $$D$$.

Юмор про интегральную формулу Коши
Если коши или кошки обходят свою территорию по замкнутому контуру, и на этом контуре не встречают особенностей, то они считают, что внутри контура тоже всё в порядке.

Ссылки
Cauchy Integral Formula
 * http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html


 * http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/IntegralRepresentationMod.html Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с. Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с. Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Интеграл Коши используется для вычисления тетрации по комплексному основанию, а также для вычисления тетрации по вещественному основанию \(b>\exp(1/\mathrm e)\), и, в частности, для вучисления натуральной тетрации. Это вычисление описано в книге Суперфункции .

Keywords
Cauchi,

Суперфункции