Суперфункция

Суперфункция (Superfunction) для некоторой заданной голоморфной функции \(T\) есть голоморфное решение  \(F\)  уравнения

\((1) ~ ~ ~ F(z\!+\!1)=T(F(z))\)

При этом функция \(T\) называется передаточной функцией, а уравнение (1) называется передаточным уравнением.

Функция, обратная к суперфункции, называется абельфункцией. Абельфункция \(G\!=\!F^{-1}\) удовлетворяет уравнению Абеля

\((2) ~ ~ ~ G(T(z))=G(z)+1\)

Через суперфункцию \(F\) и абельфункцию \(G\), \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) записывается так:

\((3) ~ ~ ~ T^n(z)=F(n+G(z))\)

При этом номер \(n\) итерации не имеет надобности быть целым числом. Коль скоро определены, заданы передаточая функция \(F\) и абельфункция \(G\), передаточную функцию \(T\) можно итеритовать произвольное количество раз. В частности, можно вычислять дробную и даже комплексную итерацию.

На начало 21го века, наиболее полное описание формализма суперфункций предложено в монографии Суперфункции .

Ключевым вопросом при построениеии суперфункции является выбор дополнительных условий, которые должны обеспечить её единственность. Эти условия явным образом учитываются при вычислении суперфункции. Во многих случаях можно потребовать, чтобы на бесконечности суперфункция стремилась к стационарной точке передаточной функции, то есть к решению \(L\) уравнения

\((4) ~ ~ ~ T(L)=L\)

Обычно, для вещественно-голоморфной монотонно растущей передаточной функции \(T\), можно построить по крайней мере одну вещественно-голоморфную суперфункцию. Для того, чтобы суперфункция была единственной, следует накладывать на неё дополнительные требования либо указывать способ её построения.

История суперфункций
Интерес к нецелым итерациям и суперфункциям прослеживается в те чение веков, однако, судя по публикациям, вплоть до 2009 года не было построено ни одной комплексной карты ни одной сколько-нибудь нетривиальной суперфункции.

Задачу о нецелых итерациях экспоненты Хелмут Кнезер поставил ещё в 1950 году .

Решение было предложено спустя полвека в терминах суперфункций .

При этом задача о смысле корня из факториала, используемого с 1950 года как эмблема Физфака МГУ, тоже получила решение .

Таблица суперфункций
Список основных суперфункций предлагается в статье Table of superfunctions.

Keywords
Superfunction, Tetration, Transfer equation,

Суперфункции