Модель коллапсирующей экономики

Модель коллапсирующей экономики, или "Простая модель коллапсирующей экономики", есть статья, ТОРИфицируемая из латексной версии и загружаемая ниже для удобства цитирования.

Первая же ссылка выше изменает нумерацию упоминаемых линков, так что нумерация здесь отличается от оригинала. Есть и иные отличия; в частности, викилинки на другие статьи в ТОРИ, рисунок 0 справа, ключевые слова и категории.

Abstract

Рассмотрена временная эволюция стоимости российского рубля в 2014 году. Стоимость рубля в центах США выражена как функция времени. Предложены аппроксимации этой стоимости в терминах элементарных фунцкий. Описана простая экономическая модель, в которой одна из этих функций получается как решение дифференциального уравнения. Сингулярность решения указывает на естественную границу области применимости этой модели.

Introduction
Эта статья мотивирована наблюдением сильных колебаний стоимости российского рубля как функции времени в течение 2014 года. Эти колебания выглядят похоже, независимо от того, измеряется ли стоимость рубля в долларах США, в евро или в йенах (см.статью Approximations of ruble); поэтому здесь я ограничиваюсь анализом стоимости рубля только в одних единицах, а именно, в долларах США. С момента создания современного рубля в конце 20го века до 2014 года, рубль уже достаточно обесценился; поэтому, чтобы избежать лидирующих (и незначимых) нулей в оценках, стоимость здесь выражается не в самих долларах, а в центах. В частности, такие единицы измерения использованы в фигуре 1.

В 2014 году, стоимость рубля колеблется более чем вдвое; причем на масштабах порядка двух недель относительные колебания превышают 30 процентов. Эти колебания существенно превышают обычную "вилку", которая необходима обменникам валюты для рентабельности, и возникает вопрос о том, почему валютные спекулянты не могут сгладить такие быстрые и такие сильные колебания стоимости российской валюты.

Поведение курса рубля, представленное на рисунках, можно описать простыми элементарными функциями; причем на масштабах порядка месяца, удачные аппроксимации (и даже экстраполяции) дают примерно две значащие цифры. Вопрос о том, какие экономические модели могут стоять за этими функциями, представляет научный, академический интерес. Одна из таких моделей описана в этой статье.

Experimental data and the preliminary analysis
Нет сомнения в том, что в 2014 году рубль быстро дешевеет: к концу 2014 года, его стоимость проваливается до половины от его стоимости в начале года.

Примерно к 2014.10.27, были загружены экспериментальные данные о стоимости рубля по отношению к доллару США от. Эти данные представлены на рисунке 1 толстой зеленой кривой. На рисунке по оси абсцисс отложено время \(x\) измеряемое в днях с момента начала проекта, то есть с  2014.10.27; ось ординат \(y\) имеет смысл стоимости российского рубля, измеренной в центах США. Примерно через месяц, 2014.11.29, эти данные были слегка расширены; новые значения были загружены с того же сайта. Разумеется, 2014.10.27, только данные для \(x\le 0\) были доступны, и эти значения были аппроксимированы линейной функцией, которая здесь названа "Linear" и показана на рисунке 1 тонкой чёрной прямой:

\(y=\mathrm{Linear}(x)= 2.4-0.00048x\)

Дата изготовления этой аппроксимации, то есть 2014.10.27 выбрана как ноль на оси абсцисс. Эту дату следует считать датой начала научного проекта. Линейная (а не экспоненциальная) аппроксимация дешевеющей валюты оказалась удачной и держится в качестве верхней границы как для отрицательных значений координаты, так и для положительных. Это странное наблюдение сделало из эволюции рубля интересную научную проблему.

Вскоре, для линейной аппроксимации было предложено название "Программа 500 дней", и эта аппроксимация была раскритикована. Основной критики были заявления о том, что такой сложный процесс как инфляция не может следовать прямой линии (и навряд ли может быть описан двухпараметрической функцией).

Примерно через месяц после начала обсуждения линейной аппроксимации, а именно 2014.11.29, то есть при \(x=32\), эта критика была принята во внимание. Была предложена новая трехпараметрическая аппроксимация в виде эллипса:

\(y=\mathrm{Arc}(x)= c \sqrt{(a+x)(b-x)}\)

Значения параметров \(a\), \(b\) и \(c\) несkолько "гуляют" в зависимости от того, на каком интервале аппроксимируются экспериментальные данные. Наиболее устойчивой, стабильной (аппроксимация держится уже несколько месяцев) оказалась комбинация параметров, предложенная изначально, то есть 2014.11.29, а именно

\(~a\!=\!471~\), \(b\!=\!123~\), \(~c\!=\!0.01~\);

именно для этой комбинации функция Arc показана на рисунке 1 толстой розовой дугой. При выбранном отношении масштабов по осям абсцисс и ординат, для \(~c\!=\!0.01~\), этот эллипс выглядит как дуга окружности. Чтобы подчеркнуть этот факт, эта окружность слегка продолжена ниже оси абсцисс, в область "отрицательного" листа многолистной функции sqrt.

Возможно, имела место наблюдательная селекция: именно при этом отношении масштабов, эллипс выглядит как дуга окружности, и такую аппроксимацию легко угадать, глядя на график. Однако, раз уж такая дуга оказалась столь наглядной, этот масштаб здесь сохранен и для других рисунков.

При измерении в центах стоимости сторублевки, коэффициент \(c\) оказывается равным единице, создавая обманчивое впечатление, что использована двухпараметрическая (а не трехпараметрическая) фитирующая функция. Разумеется оси координат на рисунке 1 имеют разный смысл, и поэтому формально аппроксимирующая кривая должна считаться эллипсом, а не окружностью.

Согласие с экспериментом эллиптической аппроксимации Arc оказалось очень хорошим. Это согласие имеет место для гораздо более широкой области значений аргумента, чем область данных, показанных на рисунке 1. Область расширена как в сторону уменьшения значений аргумента, так и в сторону увеличения; с течением времени, всё новые и новые экспериментальные данные становится доступны. Эти новые данные показаны на рисунке 2.

Рисунок 2 является усложнением рисунка 1. К кривым и данным рисунка 1 добавлены данные с 2014.02.20 по 2015.01.14 включительно; эти данные показаны синими точками; они взяты с того же сайта.

Кроме того, в рисунке 2 использованы данные с сайта , эти данные показаны чёрными барами.

Кроме того, добавлена аппроксимация Root,

\(\mathrm{Root}(x)=0.01\sqrt{450(130-x)~}\)

Рисунок 2 показывает, что область применимости аппроксимации Arc оказалась существенно шире, чем область значений аргумента, для которой она предложена. Tакая неожиданная эффективность этой аппроксимации порождает искушение найти модель, которая, хотя бы асимптотически, воспроизводила корневую особенность фунkции Arc при \(x=b\), то есть при некоторых значениях параметров воспроизводила бы функцию Root как оценку стоимости рубля. Такая модель предложена в следующей секции.

Model
Отклонение экспериментальных данных от эллиптической аппроксимации Arc показано на рисунке 3. В левой части рисунка отклонение показывает вполне регулярный тренд, который можно интерпретировть в связи с историческими событиями вторжения в Украину и раздачи боевых наград За возвращение Крыма 20.02.14-18.03.14 (и соответствующими затратами, требовавшими значительной эмиссии национальной валюты). В правой части рисунка 3, отклонение носит нерегулярный характер, хотя в этом отклонении можно увидеть слабые квази-периодические колебания с периодами порядка месяца и ещё более слабые осцилляции с периодом порядка двух недель с амплитудой, сравнимой с погрешностью экспериментальных данных. Масштаб отклонений мал по сравнению с исследуемой величиной даже в области, куда приближение Arc экстраполируется. Малость этого отклонения указывает на то, что за корневой особенностью аппроксимации Arc может стоять простая экономическая модель коллапсирующей экономики. Такая модель предлагается ниже. Сперва перечисляются исходные допущения, а потом на основе этих допущений вуводится уравнение.

1. Предположим, в некоторой стране коррупция приобрела не просто масштабные формы, но стала привычным, обыденным явлением, которое характеризует саму жизнь общества .

2. Предположим, что мафия стала настолько могущественной, что она имеет возможность приобрести полу-легальный печатный станок, производящий полулечальную национальную валюту. Термин "полулегальный" здесь указывает, что эмиссия осущетвл	яется неконтролируемо, в обход действующего законодательства, но ввиду коррупции, указанной в первом допущении, лица, ответственные за выпуск этой валюты, не могут быть привлечены к уголовной ответственности, как более мелкие фальшивомонетчики; то есть изготовляемая ими валюта принимается в магазинах, банках и обменниках наравне с легальной. Для модели не важно, как технически осуществляется эмиссия таких полулегальных денег; для экономики (и для этой модели) такая эмиссия эквивалентна тому, как если бы национальную валюту руководству мафии поставлял непосредственно Аллах .

3. Предположим, что выпуск полулегальной валюты определяется потребностями мафии в деньгах, и потребление этой мафии, будучи выражено в иностранной валюте, остается постоянным. С учетом инфляции, скорость увеличения количества национальной валюты можно аппроксимировать уравнением

\( N'=\frac{\alpha}{f} \)

где \(N\) есть количество полулегальной национальной валюты, для определенности, рублей, в обращении, \(f\) есть рыночная цена этой валюты, выраженная, например, в американских центах, а \(\alpha\) есть постоянный коэффициент пропорциональность, выражающий аппетиты мафии.

4. Предположим, что Центральный Банк, зная о выпуске полулегальных денег, пытается конкурировать с мафией, осуществляя собственную, чуть более легальную эмиссию денег так, чтобы скорость убывания стоимости \(f=f(x)\) рубля была пропорциональна скорости \(N'\) полулегальной эмиссии. Эта пропорциональность может быть выражена уравнением

\(f'(x) = - \beta N'\)

где \(\beta\) есть постоянный коэффициент, который выражает стремление Центрального Банка хоть как-то повлиять на полулегальную эмиссию денег.

На основе предположений 1-4, можно построить простую экономическую модель. Из уравнений выше я получаю, что

\( f'(x)=-\frac {\alpha \beta}{f(x)} \)

Это уравнение легко решается:

\(f(x)f'(x)=-\alpha \beta\)

\(\frac{ \mathrm d f(x)^2}{\mathrm d x}= - 2 \alpha \beta\)

\(f(x)^2=-2\alpha \beta x + \gamma\)

где \(\gamma\) есть постоянная интегрирования. Тогда

\( f(x)=\sqrt{\gamma-2\alpha \beta x} \)

сравнивая это решение с аппроксимацией

\(\mathrm{Root}(x)=0.01\sqrt{450(130-x)}\)

показанной тонкой черной кривой на рисунке 2, можно оценить параметры модели:

\(\gamma \approx .01^2\times 450\times 130/2 = 2.9\approx 3 ~\), \(~ \alpha\beta \approx 450\).

Отношение \(~\displaystyle \frac{\gamma}{2 \alpha \beta} \approx 130~ ~\) имеет смысл времени, измеренного в днях, от начала проекта (\(x=0\)) до того момента, когда модель перестает быть применимой. Это ограничение допускает простую интерпретацию: либо печатный станок не успеет произвести количество денег, предусмотренное моделью, или даваемые Аллахом деньги не поместятся в здание местного банка, контролируемого мафией, из-за обесценивания этих денег.

Таким образом, несложная модель всего с несколькими параметрами демонстрирует прекрасно согласие с экспериментом, по крайней мере для положительных значений \(х\), когда стоимость рубля уже вышла на асимптотику, определяемую функцией Root и показанную на рисунке 2 тонкой черной кривой.

Предлагаемая выше модель имеет ограниченную область применимости; она не ухватывает начальный период процесса для значений времени \(-250<x<-10~\), то есть примерно с начала российского вооруженного вторжения в Украину до того момента, когда влияние этого вторжения на экономику России стало возможно описать простой моделью и несложнными элементарными функциями. Учет начала и конца главного периода экспроприации собственности на оккупированных территориях может объяснять широкий максимум функции Arc, который не ухватывается функцией Root.

Conclusion
В области применимости этой модели, получаемая теоретическая функция Root находится в хорошем согласии как с предложенной ранее аппроксимацией Arc, так и с экспериментальными данными. Это согласие существенно лучше, чем согласие с экспериментальными данными оценок, прогнозов и предсказаний "стабилизации" рубля, сделанных на основе иных моделей и доступных в публикациях .

Аналогичные прогнозы стабилизации предлагаются также для значений времени \(х>100\), для которых экспериментальные данные пока недоступны. .

Пока стабильность, декларируемая многими авторами, проявляется в том, что уже в течение примерно года курс рубля стабильно следует аппроксимации Arc, отклоняясь от нее в среднем лишь на несколько процентов. В частности, хорошее согласие с экспериментом имеет место для времен \(х>32\), то есть после того, как эта аппроксимация была предложена. На момент загрузки этой статьи, аппроксимация держится уже в течение 50 дней, несмотря на относительно слабые квазипериодичные компоненты с периодами порядка двух недель и месяца, видные на рисунке 3. Для \(х>0\), наблюдается также хорошее согласие экспериментальных данных с теоретической кривой Root.

Будет интересно сравнить будущие данные с предсказаниями линейной аппроксимации (рисунок 1), эллиптической аппроксимации (рисунки 1 и 2) с асимптотикой Sqrt из модели выше (рисунок 2) и с результатами других авторов. Такое сравнение может быть предметом будущего исследования.

Reference
http://lib.misto.kiev.ua/SHEKLY/r_weter.txt РОБЕРТ ШЕКЛИ. ПОДНИМАЕТСЯ ВЕТЕР. Перевод Э. Кобалевской. ..- Он говорит, настоящий ветер только начинается.

Keywords
Approximations of ruble, Corruption, Inflation, Linear approximation, Nam krysh, Rouble, Ruble, Russia, Russian invasion into Ukraine, Sanctions

Аппроксимация, Линейная аппроксимация, Коррупция, Нам крыш, Россия, Распад РФ, Революция, Российское вторжение в Украину, Рубль, Санкции, ,