Аксиома выбора
Аксиома выбора - Гипотеза 0, что для любого объединения А непустых непересекающихся множеств Б можно определить такое подмножество множества А, которое включает один и только один элемент каждого из множеств Б.
Википедия предлагает такую формулировку Гипотезы 0: «Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество , которое имеет только один общий элемент c каждым из множеств данного семейства». [1], и как водится, всякие русскоязычные ссылки, и там ещё формулировки гипотезы 0, которые выглядят похожими и, возможно, эквивалентны.
О терминологии
С одной стороны, термин "Аксоима выбора" неудачный, так как гипотеза, называемая словом "аксиома выбора", достаточно спорная. Аксиомами лучше называть утверждения, к которыми коллеги согласны.
С другой стороны, некоторые коллеги не принимают аксиомы ТОРИ (Зачем мне заботиться об опровержимости моей теории, если я знаю, что она правильная?). Поэтому для обозначения гипотезы 0 в ТОРИ используется исторический термин Аксиома выбора.
Ниже предложены два мысленных эксперимента, целью которых является подтверждение (или опровержение) аксиомы выбора.
Эксперимент 1
Начиная с 1 января 2000 года, каждый день, после утренней пробежки, Математик заходит в Магазин и покупает какую-либо упаковку какой-либо еды на завтрак. Математик не любит думать о бытовых вещах, и поэтому пользуется алгоритмом выбора: например, покупает самый вкусный продукт; если есть несколько продуктов одинаковой вкусности, то из них покупает самую большую пачку, и т.п. Его студент, чтобы проверить Аксиому выбора, берет у Математика его алгоритм (который согласно Гипотезе, определяет множество продуктов, покупаемых Математиком) и пытается с этим алгоритмом каждое утро покупать тот же продукт, что и Математик.
Если Студенту удается научиться покупать те же продукты, что покупает Математик, то Гипотеза 0 считается подтвержденной. Если Студенту не удается научиться покупать те же продукты, что и Математик, и он прекращает эксперимент, то Гипотеза 0 считается опровергнутой, и подтвержденной считается
Гипотеза 1: Для некоторых объединений А непустых непересекающихся множеств Б невозможно определить такое подмножество множества А, которое включает один элемент каждого из множеств Б.
Эксперимент 2
В опыте по дифракции электронов, электрон подлетает к экрану с двумя щелями и выбирает, через которую из щелей пролететь, и пролетать ли вообще, или лучше стукнуться об экран и избежать опасности быть детектированным одним из детекторов (множество которых расположено позади экрана). Если каждому электрону удается сделать свой выбор, то результат эксперимента подтверждает Г,ипотезу 0, а если некоторым электронам удается незаметно пролезть через обе щели сразу, то появление интерференционных полос, регистрируемых детекторами, подтверждает аксиомы квантовой механики.
Этот случай дает пример грамотной постановки научного эксперимента: любой из его исходов должен подтверждать хотя бы одну нетривиальную научную гипотезу, и опровергать хотя бы одну нетривиальную научную гипотезу.
Упражнение
Рассмотрим объединение множеств особей каждого биологического вида, представленного в Тихом океане.
Предлагается построить подмножество, в котором каждый биологический вид представлен одной особью.