Квадратный корень из факториала

$y\!=\! x!$ и $y\!=\!\sqrt{!\,}(x)$ как функции от $x$

Квадратный корень из факториала (Square root of factorial), то есть $\sqrt{\,!\,}$ - голоморфная функкция $f$ такая, что ее вторая итерация дает факториал, то есть

$f(f(z))=z!$

Таким образом, корень из факториала является половинной итерацией факториала, то есть

$\sqrt{\,!\,}(х)=\mathrm{Factorial}^{1/2}(x)$

Путаница

Иногда выражение $\sqrt{\,!\,}(х)$ путают с выражениями $\sqrt{х!\,}$ и $\sqrt{х}\,!$, хотя это совсем разные функции. Для избежания путаницы, лучше пользоваться буквенной формой имени функций, например, $\mathrm{Factorial}(x)$. Тогда "250! лет" не будут производить впечатления Factorial(250) лет $\approx 3.232856260909\times 10^{492}$ лет.

История

Примерно s 1950 года, название этой функции является эмблемой Физического факультета МГУ, хотя в ХХ веке не было алгоритмов для вычисления той функции и считалось, что выражение $\sqrt{\,!\,}$ не имеет математического смысля. Разумеется, эта функция может эффективно вычисляться через СуперФакториал и АбельФакториал с помощью метода регулярных итераций. После построения этого метода, с 2011 года, имя этой функции использовано в качестве элемента эмблемы ТОРИ (корень из факториала на фоне алого круга), показываемой в левом верхнем углу каждой страницы.

Описание свойств корня из факториала имеется в английской версии этой статьи, см. Square root of factorial.

Ссылки

http://www.springerlink.com/content/qt31671237421111/fulltext.pdf?page=1 D.Kouznetsov, H.Trappmann. Superfunctions and square root of factorial. Moscow University Physics Bulletin, 2010, v.65, No.1, p.6-12

http://zhurnal.lib.ru/img/g/garik/dubinushka/index.shtml Logo of the Physics Department of the Moscow State University. (In Russian);

http://ofvp.phys.msu.ru/pdf/Kandidov_70.pdf: В.П.Кандидов. О времени и о себе. По итогам студенческого голосования победителями оказались значок с изображением рычага, поднимающего Землю, и нынешний с хорошо известной эмблемой в виде корня из факториала, вписанными в букву Ф. Этот значок, созданный студентом кафедры биофизики А.Сарвазяном, привлекал своей простотой и выразительностью. Тогда эмблема этого значка подверглась жесткой критике со стороны руководства факультета, поскольку она не имеет физического смысла, математически абсурдна и идеологически бессодержательна.

http://nauka.relis.ru/11/0412/11412002.htm ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! На значке физфака в букву "Ф" вписано стилизованное изображение корня из факториала (√!) - выражение, математического смысла не имеющее.

http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002175851 H.Kneser. Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x))=e^x. Equationes Mathematicae, Journal fur die reine und angewandte Mathematik {\bf 187} 56–67 (1950)

http://www.springerlink.com/content/u712vtp4122544x4 D.Kouznetsov. Holomorphic extension of the logistic sequence. Moscow University Physics Bulletin, 2010, No.2, p.91-98

http://www.springerlink.com/content/u7327836m2850246/ H.Trappmann, D.Kouznetsov. Uniqueness of Analytic Abel Functions in Absence of a Real Fixed Point. Aequationes Mathematicae, v.81, p.65-76 (2011)

http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Nest.html