Классическая механика

Классическая механика - теория, в которой физические процессы описываются в терминаx координат, которые считаются вещественными функциями универсального времени и определяют траекторию системы.

Основные концепции и постулаты

Классическая механика использует многие интуитивно-очевидные понятия, постулируя основные свойства пространства, времени, физических тел и способы их измерения. .

Все физические процессы происходят в трехмерном эвклидовом пространстве.

Тела состоят из материальных точек, не имеющих внутренней структуры.

Материальной точкой может считаться элементарная частица, атом, молекула, кластер, капля, пылинка, песчинка, камень, живое существо, технический агрегат, астероид, планета, звезда, звездная система, комета, галактика и т.п., если при анализе не учитывается внутренняя структура объекта.

Состояние любого объекта характеризуется координатами всех его составных точек. Координаты каждой материальной точки образуют трехмерный вектор. Часто этот вектор обозначают символом \(\vec x\). Если в системе много материальных точек, их нумеруют, и номер точки указывают в качестве нижнего индекса.

Координаты определяются по отношению к некоторой системе отсчета. Система отсчета определяется выбором специального физического тела, которое считается "неподвижным".

Каждая из координат является гладкой вещественной функцией специального вещественного параметра, называемого время. Время обычно обозначают буквой \(t\). Таким образом координаты точки с номером \(n\) записываются как функции времени:

\( \vec x_n=\vec x_n(t)\)

Будем надеяться, что использование одной и той же буквы в качестве переменной и в качестве функции не вызовет путаницы; при малейших сомнениях, в каждом месте следует указывать, идет ли речь о векторе (последовательности трех вещественных чисел) или о векторной функции вещественного аргумента. При опасности путаницы, для вектора и векторной функции следует использовать разные буквы.

По умолчанию в классической механике используется Декартова система координат.

Производная от координат по времени называется скоростью; в общем случае, скорость является вектором. Скорость обычно обозначается буквой \(\vec v\);

\( \vec v_n(t)=\vec x_n'(t)\)

Производная от скорости по времени называется ускорением. Ускорение тоже трехмерный вектор:

\( \vec w_n(t) = \vec v_n'(t) = \vec x_n''(t)\)

Совокупность координат всех точек каждого тела как функций времени называется его траекторией.

Каждый элементарный объект (материальная точка) характеризуется массой. Масса каждой материальной точки является положительной вещественной константой.

Если тело состоит из нескольких материальных точек, то массой этого тела называется сумма масс составляющих его материальных точек;

\( \displaystyle М = \sum_{n=1}^N m_n\)

где \(N\) - число материальных точек, составляющих тело, а \(m_n\) - масса \(n\)ной материальной точки.

Kоординатой тела, состоящего из многих материальных точек, называют вектор

\( \displaystyle \vec X = \frac{1}{M} \sum_{n=1}^N m_n \vec x_n \)

Взаимодействие между каждой парой объектов характеризуется силой. Силы являются трехмерными векторами. Результат приложения к телу нескольких сил определяется их векторной суммой.

Если можно пренебречь взаимодействием некоторого тела с остальными телами, то это тело называется изолированным телом или "изолированной системой". Сумма всех сил, действующих на такое тело, равна нулю.

Концепции, упомянутые выше, обычно используются для изложения основ классической механики . Для координат, скоростей и ускорений постулируются Законы Ньютона, перечисленные ниже.

Законы Ньютона

перемещение седока с лошадью за счет нарушения Первого и Третьего законов Ньютона

Законы Ньютона выражают свойства симметрии плоского трехмерного пространства. Эти законы постулируют возможность мгновенного измерения координат физических объектов. Такая система постулатов переопределена, и не удается построить механику, в которой бы нарушался Первый из законов Ньютона, но выполнялись бы остальные. Невыполнение (нарушение или отмена) законов представлены на иллюстрациях справа. В категоричной форме законы Ньютона сформулировны ниже:

Первый закон Ньютона

Существуют системы отсчета, в которых координата любого изолированно тела является линейной функцией времени.

Такие системы отсчета называются инерциальными.

По умолчанию, все координаты считаются относящимися к некоторой инерциальной системе отсчета.

Второй закон Ньютона

Если \(\vec F\) – сумма сил, действующих на тело массы \(M\), то его ускорение

\( \displaystyle \vec w= \vec F/M\)

Третий закон Ньютона

Тела могут взаимодействовать лишь попарно; при этом, если тело A действует на тело B с силой \(\vec F\), то тело B действует на тело A с силой \(- \vec F\).

Закон Всемирного Тяготения

В дополнение к всевозможным иным видам взаимодейстивя, материальная точка массы \(p\) с координатами \(\vec х\) воздействует на материальную точку массы \(q\) с координатами \(\vec y\) с силой

\(\displaystyle \vec F= G~ p~ q \frac{\vec y - \vec x}{|\vec y - \vec x|^3}\)

где \(G\) есть положительная константа, единая для всех тел.

Уравнение Ньютона

Обычно считают, что силы между объектами определены их координатами. В этом случае эволюция системы определяется Уравнением Ньютона

\( \displaystyle \vec x_n''(x) = \frac{1}{m_n} \vec F_n(\vec x_1(t), .. x_N(t) ) = \frac{1}{m_n} \vec F_n(t) = \frac{1}{m_n} \vec F_n \)

Система может состоять из \(N\) материальных точек; вектор ускорения \(\vec F_n\) не следует путать с векторозначной функцией вещественного аргумента, ни с векторозначной функцией \(N\) векторозначных атгументов. При опасности такой конфузии, следует использовать для этих функций разные буквы.

Значительной часть исследований по классической механике посвящена либо решению уравнения Ньютона, либо разработке методов, которые позволяют сказать что-либо о решении, не решая само уравнение.

Законы сохранения

Некоторые свойства решений уравнения Ньютона связаны с фундаментальными Законами сохранения, следующими из однородности пространства и времени. Для изолированного тела (изолированной системы) имеется 10 фундаментальных законов сохранения.

Сохранение координаты

\(\vec X(t) - \vec X(0) - \vec V(0) t = 0\)

Этот закон сохранения соответствует Первому закону Ньютона и выражает однородность пространства и дает три сохраняющиеся величины.

Сохранение импульса

\(\vec Х'(t) = \mathrm {const} \)

Этот закон выражает относительность движения и тoже дает три сохраняющиеся величины.

Сохранение углового момента

\( \sum_{n=0}^N \vec x_n(t) \times \vec v_n(t) = \mathrm {const} \)

Знак \(\times\) означает векторное произведение.

Этот закон выражает изотропию пространства и тоже дает три величины.

Сохранение энергии

\( \sum_{n=0}^N m_n\vec v_n(t)^2/2 + U = \mathrm {const} \)

где предполагается, что на \(n\)ную материальниую точку со стороны других частиц действует сила

\(\vec F_n = - \partial U \partial \vec x_n\)

причем потенциал определяется координатами точек системы и не зависит от времени явно.

В сумме с предыдущими деватью, сохранение энергии дает десять сохраняющихся величин. В простых случаях, знание этих десяти законов позволяет предсказывать поведение системы, не решая уравнений Ньютона.

Сохранение числа частиц

Классическая механика не описывает химические и ядерные реакции. В классической механике сохраняется число атомов и молекул каждого сорта.

В дополнение к упомянутым выше законам сохранения, обычно постулируют также Закон сохранения заряда и законы сохранения других квантовых чисел, используемые при описании элементарных частиц и ядерных реакций, но эти законы сохранения не следуют из классической механики.

Обобщенные координаты

В некоторых случаях удобно характеризовать систему не обычными декартовыми координатами, а некоторыми функцишми декатровых координат. Величины, выражеямые этими функциами, называются обобщенными координатами. Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями, а производные от обобщенных координат - обобщенными ускорениями. В общем случае, уравнения в обобщенных координатах сложнее, чем обычные уравнения Ньютона. В частности, при использовании вращающейся системы координат, в уравнении возникают дополнительные слагаемые, которые называют силами Кориолиса.

Построение формализма Классической механики в обобщенных координатах называется Теормех и рассматривается как раздел математики, а не физики.

Псевдонаучные проекты

Путаница между координатами и обобщенными координатами и другие ошибки дедукции приводит к проектам устройств, работа которых противоречила бы фундаментальным законам сохранения.

Условно, среди таких проектов можно выделить

1. Варипенд (нарушение Первого Закона Ньютона с претензией на сохранение импульса) .

2. Инерциоид (нарушение Закона Сохранения Импульса с претензией на сохранение энергии) . В России созданием инерциоидов занимается Государственный космический научно-производственный центр имени М.В.Хруничева; такими программами руководят Нестеров Владимир Евгеньевич и Меньшиков Валерий Александрович. Наиболее известное из разрабaтываемых ими устройств называется "гравицапа". Согласно публикациям, в "гравицапе" используются высоковольтный разряд, испарение фторопласта и "движение жидкости по специальной траектории, по форме напоминающей торнадо" .

3. Вечный двигатель Первого рода (нарушение Закона сохранения энергии, обычно с претензией на сохранение импульса) .

В принципе, сюда можно было бы добавить проекты нарушения закона сохранения углового момента. Такое устройство можно было бы называть, например, твистоген, рототрон или крутилоид. На 2012 год, среди псевдонаучных проектов такие устройства представлены мало, если вообще.

Из внутренне-противоречивой системы утверждений можно вывести любое утверждение. Поэтому из нарушения одного из фундаментальных законов сохранения следует нарушение всех остальных. В этом смысле все варипенды, инерциоиды и твистогены эквивалентны вечному двигателю Первого рода.

Частично изолированные системы

Псевдонаучные устройства, упомянутые выше, следует отличать от рассмотрения частично-изолированных систем.

Система называется частично-изолированой, если она взаимодействует с другой системой специфическим образом, который не позволяет подсистемам обмениваться какой-либо из компонент импульса или углового момента.

Примером такой системы является тележка, свободно катающаяся в одном из направлений по плоской поверхности. Для такой тележки сохраняется кинетическая энергия и одна из компонент импульсa.

Другим примером является движение материальной точки в потенциале с радиальной симметрией. Для такого системы сохраняется энергия и угловой момент.

интерпретация частично-изолированной системы как изолированной также является возможным источником ошибочных проектов.

Область применимости классической механики

Тела и явления, описываемые классической механикой, называются макроскопическими. Скорости должны быть не слишком малы и не слишком велики. Практически все объекты, доступные непосредственному восприятию человеческими органами чувств, можно описывать с помощью классической механики.

Скорости ограничены снизу квантованием действия (интеграл от рассматриваемой энергии по времени, типичному для явления, должен быть велик по сравнению с постоянной Планка).

Скорости ограничены сверху скоростью света; в классической механике все скорости должны быть малы по сравнению со скоростью света.

Практически в тот диапазон попадают все видимые тела при движении со скоростями от микронов в секунду до мегаметров в секунду; диапазон допустимых скоростей составляет много порядков величины. Наблюдение отклонений от законов классической механики является достаточно сложным экспериментом, требующим современного оборудования. Таким оборудованием может быть, например, ускоритель для получения релятивистских частиц или установка для охлаждения и удержания ионов или атомов.

Ссылки

http://ru.wikipedia.org/wiki/Классическая_механика

Ключевые слова

Координата, время, траектория, Сила, Первый закон Ньютона, Гравицапа