Суперфункция
Суперфункция (Superfunction) для некоторой заданной голоморфной функции $T$ есть голоморфное решение $F$ уравнения
$(1) ~ ~ ~ F(z\!+\!1)=T(F(z))$
При этом функция $T$ называется передаточной функцией, а уравнение (1) называется передаточным уравнением.
Функция, обратная к суперфункции, называется абельфункцией. Абельфункция $G\!=\!F^{-1}$ удовлетворяет уравнению Абеля
$(2) ~ ~ ~ G(T(z))=G(z)+1$
Через суперфункцию $F$ и абельфункцию $G$, $n$ная итерация передаточной функции $T$ записывается так:
$(3) ~ ~ ~ T^n(z)=F(n+G(z))$
При этом номер $n$ итерации не имеет надобности быть целым числом. Коль скоро определены, заданы передаточая функция $F$ и абельфункция $G$, передаточную функцию $T$ можно итеритовать произвольное количество раз. В частности, можно вычислять дробную и даже комплексную итерацию.
На начало 21го века, наиболее полное описание формализма суперфункций предложено в монографии Суперфункции [1].
Ключевым вопросом при построениеии суперфункции является выбор дополнительных условий, которые должны обеспечить её единственность. Эти условия явным образом учитываются при вычислении суперфункции. Во многих случаях можно потребовать, чтобы на бесконечности суперфункция стремилась к стационарной точке передаточной функции, то есть к решению $L$ уравнения
$(4) ~ ~ ~ T(L)=L$
Обычно, для вещественно-голоморфной монотонно растущей передаточной функции $T$, можно построить по крайней мере одну вещественно-голоморфную суперфункцию. Для того, чтобы суперфункция была единственной, следует накладывать на неё дополнительные требования либо указывать способ её построения.
История суперфункций
Интерес к нецелым итерациям и суперфункциям прослеживается в те чение веков, однако, судя по публикациям, вплоть до 2009 года не было построено ни одной комплексной карты ни одной сколько-нибудь нетривиальной суперфункции.
Задачу о нецелых итерациях экспоненты Хелмут Кнезер поставил ещё в 1950 году [3].
Решение было предложено спустя полвека в терминах суперфункций [4].
При этом задача о смысле корня из факториала, используемого с 1950 года как эмблема Физфака МГУ, тоже получила решение [2][5][6].
Таблица суперфункций
Список основных суперфункций предлагается в статье Table of superfunctions.
References
- ↑ 1.0 1.1
https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf Д.Кузнецов. Суперфункции. Lambert Academic Press, 2014. (In Russian, 328 pages.) Cite error: Invalid<ref>tag; name "book" defined multiple times with different content - ↑ 2.0 2.1 http://www.nkj.ru/archive/articles/1023/ В.Садовничий. ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! Наука и жизнь, №1, 2005. .. .. Значки выпускников физического и механико-математического факультетов. ..
- ↑ http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/Relle.pdf Helmuth Kneser Reelle analytische L¨osungen der Gleichung $\varphi(\varphi(x))=e^x$ und verwandter Funktionalgleichungen. Journal fur die reine und angewandte Mathematik 187 (1950) 56-67.
- ↑ http://www.ams.org/mcom/2009-78-267/S0025-5718-09-02188-7/home.html http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/analuxp99.pdf D.Kouznetsov. Solutions of F(z+1)=exp(F(z)) in the complex z-plane. Mathematics of Computation, 78 (2009) 1647-1670 .
- ↑ http://ofvp.phys.msu.ru/pdf/Kandidov_70.pdf В.М.Гордиенко, В.К.Новик. О ВРЕМЕНИ И ФАКУЛЬТЕТЕ, О КАФЕДРЕ И О СЕБЕ … 70-тилетие профессора В.П.Кандидова. 18 мая с.г.,.. (год не указан, но, вероятно, речь идет о годе 1987ом) По итогам студенческого голосования победителями оказались значок с изображением рычага, поднимающего Землю, и нынешний с хорошо известной эмблемой в виде корня из факториала, вписанными в букву Ф. Этот значок, созданный студентом кафедры биофизики А.Сарвазяном, привлекал своей простотой и выразительностью. Тогда эмблема этого значка подверглась жесткой критике со стороны руководства факультета, поскольку она не имеет физического смысла, математически абсурдна и идеологически бессодержательна.
- ↑ http://vmu.phys.msu.ru/abstract/2010/1/10-1-08 Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень из факториала. Вестник МГУ, серия 3, 2010.