Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши (Cauchy integral) выражает значение голоморфной функции в некоторой точке через интеграл по замкнутому контуру, обходящему эту точку\[ \displaystyle f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm i} \oint \frac{f(t)}{t-z} \mathrm d t\]

Название формулы можно интерпретировать как интеграл Кошки: Если Кошка, обходя "свою" территорию по замкнутому контуру, обнаруживает, что вдоль этого контура в все в порядке, то Кошка постулирует, что в каждой точке внутри контура тоже всё слава Богу. В учебниках по ТФКП для объяснения названия этой формулы предлагаются иные (и с точки зрения запоминания менее эффективные) мнемоники.

Интегральная формула Коши использована для первого эффективного алгоритма вычисления натуральной голоморфной тетрации .

While Russian version of that article, id est, Тетрация is not loaded, the English version, id est, Tetration can be used.

Первая версия этой статьи копипастнута из Википедии .

Формулировка

Пусть \(D\) — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей \(\Gamma=\partial D\), функция \(f(z)\) — голоморфна в \(\overline{D}\) и \(z_0\) — точка внутри области \(D\). Тогда справедлива следующая формула Коши:

\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_\Gamma\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz\]

Формула справедлива также, если предполагать, что \(f(z)\) голоморфна внутри \(D\), и непрерывна на замыкании, а также если граница \(D\) не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство: \[\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz\] Для расчёта интегралов по \(S_\rho\) применим параметризацию \(z=z_0+\rho e^{i\varphi},\varphi\in[0;2\pi]\).
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая \(f(z)=1\): \[\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}\frac{1}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1 \]

Воспользуемся ею для доказательства общего случая: \[\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz\]

Так как функция \(f(z)\) комплексно дифференцируема в точке \(z_0\), то: \[{f(z) - f(z_0)\over z - z_0} = f'(z_0) + o(1)\]

Интеграл от \(f\,'(z_0)\) равен нулю: \[\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0 \]

Интеграл от члена \(o(1)\) может быть сделан сколь угодно мал при \(\rho\rightarrow 0\). Но поскольку он от \(\rho\) вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что \[\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz - f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0\]

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки \(z_0\) из области, где функция \(f(z)\) голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда: \[f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\], причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке \(z_0\), в котором функция \(f(z)\) голоморфна, а коэффициенты \(c_n\) могут быть вычислены по интегральным формулам: \[c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz\]. Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов \(c_n\) функций, голоморфных в круге \({|z-z_0|<R}\): \[c_n\le r^{-n}M(r)\], где \(M(r)\) — максимум модуля функции \(f(z)\) на окружности \({|z-z_0|=r}\), а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы \[c_n = {{f^{(n)}(z_0)}\over n!}\] получается интегральное представление производных функции \(f(z)\): \[f^{(n)}(z_0)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz.\] Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области \(D\), если это семейство равномерно ограничено в \(D\). В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области \(D\), можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в \(D\) к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция \(f(z)\) голоморфна в области \(D\) вида \(\{r<|z-z_0|<R\}\), то в ней она представима суммой ряда Лорана: \[f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\], причём коэффициенты \(c_n\) могут быть вычислены по интегральным формулам: \[c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz\], а сам ряд Лорана сходится в \(D\) к функции \(f(z)\) равномерно на каждом компакте из \(D\).

Формула для коэффициента \(c_{-1}\) часто применяется для вычисления интегралов от функции \(f(z)\) по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция \(f(z)\) голоморфна в круге \(\{|z-z_0|< R\}\), тогда для каждого \(r\,(0<r<R)\) \[f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi\] а также если \(B_r\) — круг радиуса \(r\) с центром в \(z_0\), тогда \[f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy\] Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция \(f(z)\) голоморфна в области \(D\) и внутри \(D\) её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция \(f(z)\) голоморфна в области \(D\) и внутри \(D\) её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция \(f(z)\) голоморфна в круге \({|z|<1}\), \(f(0)=0\) и для всех точек \(z\) из этого круга \(|f(z)|\le 1\), тогда всюду в этом круге \(|f(z)|\le |z|\),
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке \(z_0\), совпадают в некоторой окрестности этой точки,
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции \(f(z)\), голоморфной в области \(D\) имеют предельную точку внутри \(D\), тогда функция \(f(z)\) равна нулю всюду в \(D\).

Юмор про интегральную формулу Коши

Если коши или кошки обходят свою территорию по замкнутому контуру, и на этом контуре не встречают особенностей, то они считают, что внутри контура тоже всё в порядке.

Ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html

Cauchy Integral Formula

• http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/IntegralRepresentationMod.html Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Интеграл Коши используется для вычисления тетрации по комплексному основанию, а также для вычисления тетрации по вещественному основанию \(b>\exp(1/\mathrm e)\), и, в частности, для вучисления натуральной тетрации . Это вычисление описано в книге Суперфункции .

Keywords

Cauchy, Superfunctions

Суперфункции