Суперфункции

Обложка (кликается)

Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.

Книга продаётся на сайте Lambert Academic Publishing https://www.lap-publishing.com/catalog/details//store/gb/book/978-3-659-56202-0/Суперфункции

Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах

http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf

http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

The English version is loaded as https://mizugadro.mydns.jp/BOOK/444.pdf

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения

\(T(F(z))=F(z+1)\)

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области значений \(z\).

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)

Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,

\(T^n(z)=F(n+G(z))\)

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\),
\(T^0(z)=z\)
\(T^1(z)=T(z)\)
\(T^2(z)=T(T(z))\)
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\)
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\). Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указывается в виде верхнего индекса. В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но никак не \(P(\psi)^2\).

В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и, соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны и в онлайновой версии исправлены (а в "бумажной" остались):

Где	что напечатано	что должно быть
стр.15, абзац после формулы	Функцую	Функцию
стр.25, вторая строчка снизу	Решение \(f\)	Решение \(F\)
стр.27, формула (2.11)	\(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \)	\(F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
стр.31, таблица 3.1, строка 7	\( \frac{2}{\pi}z \)	\( \frac{\pi}{2}z \)
стр.40, формула (4.12)	\(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\)	\(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\)
стр.46, формула (4.21)	\(z^{na}\)	\(z^{a^n}\)
стр.49, формула (5.1)	\(r^{-z}\)	\(\mathrm e^{-z}\)
стр.65, Второй абзац	\(T\!=\!\mathrm{Shoka}\)	\(F\!=\!\mathrm{Shoka}\)
стр.74, перед формулой (6.14)	для передаточной функции	для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3)	абельфункция логистического уравнения	абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12)	\(\log_u\)	\(\log_s\)
стр.93, формула (7.28)	\(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\)	\(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\)
стр.100, Первая строчка	Таблица 2	Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка	таблицы 2	таблицы 8.1
стр.104, последний абзац	что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно,	что
стр.105, формула 8.26)	\(n+z_3\)	\(n-z_3\)
стр.112, после формулы (9.4)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\)
стр.112, после формулы (9.4)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\)
стр.116, предпоследний абзац	\(\tilde f(z+~_{45}\)	\(\tilde f(z+x_{45})\)
стр.138, рис.11.4	\(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\)	\(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\).
стр.138, рис.11.4	\(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\).
стр.140, конец первого абзаца	\(_{\eta}\).	\(\mathrm{tet}_{\eta}\).
стр.140, formula (11.27)	\(g(z)+1=g\Big(\exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\)	\(g(z)+1=g\Big(\exp(z/\mathrm e)\Big)\)
стр.154, внизу добавить		где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\).
стр.155, после формулы (12.14)	\(F(z_1)\!=\!0\).	\(F(z_1)\!=\!1\).
стр.162, формула (13.5)	\(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\)	\(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\)
стр.186, после формулы (14.12)	вдоль вещественной оси	вдоль мнимой оси
стр.190, внизу	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\).	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.191, Рис. 14.6	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\).	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.194, формула (14.40)	\((z\!-\!3)^n\)	\((z\!-\!3 \mathrm i)^n\)
стр.197, Рис.14.9	\(u\!=\!1\)	\(u\!=\!0\)
стр.197, последний абзац	на координатной плоскости. В июней	на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац	\(\mathcal A_{0,m}\).	\(\mathcal A_{m,0}\).
стр.212, формула (15.14)	\(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\)	\(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.220, середка	её график показан на рисунке 9.1	её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16)	\(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\)	\(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\)
стр.230, рисунок 16.16	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.230, формула (16.30)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.238, вторая строчка	\(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)	\(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)
стр.238, после формулы (16.34)	\(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспоненте	\(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35)	\(F_{2,3}\) \()F_{4,3}\)	\(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\)
стр.241, рисунок 16.18	\(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\)	\(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.242, глава 16, раздел 7	функцию функцию,	функцию,
стр.247, перед формулой (17.7)	В широкой области значений \(b\) и \(~\),	В широкой области значений \(b\) и \(z\),
стр.248, абзац перед формулой (17.9)	для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются	для значений аргумента, меньших \(\mathrm e\), уже не являются
стр.249, рисунок 17.3	\(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\),	\(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\),
стр.250, конец первого абзаца	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\)	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\)
стр.256, through the page	\(\rm{Filog} \)	\(\rm{filog} \)
стр.256, формула (18.6)	\(\rm{fllog} \)	\(\rm{filog} \)
стр.258, формула (18.16)	\(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \)	\(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \)
стр.258, формула (18.17)	\(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \)	\(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \)
стр.264, формула (19.14)	\(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\)	\(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\)
стр.294 сверху добавить		tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]]	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре	\(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально	\(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54)	\(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)	\(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)
стр.300 абзац 2	итерации функции \(F\)	итерации функции \(T\)

References

2014. https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0 Дмитрий Кузнецов. Суперфункции. Нецелые итерации голоморфных функций. Тетрация и другие суперфункции. Формулы, алгоритмы, графики и комплексные карты LAP LAMBERT Academic Publishing (2014-08-01 ) ISBN-13: 978-3-659-56202-0 ISBN-10: 3659562025 EAN: 9783659562020

2016. https://doi.org/10.11568/kjm.2016.24.1.81 W.Paulsen, “FINDING THE NATURAL SOLUTION TO f(f(x)) = exp(x),” Korean Journal of Mathematics, vol. 24, no. 1, pp. 81–106, Mar. 2016.

2017. https://search.proquest.com/openview/cb7af40083915e275005ffca4bfd4685/1 S.Cowgill. Exploring Tetration in the Complex Plane. Arkansas State University, ProQuest Dissertations Publishing, 2017. 10263680.

2017. https://doi.org/10.1007/s10444-017-9524-1 W.Paulsen, S.Cowgill, Solving F(z + 1) = b ^ F(z) in the complex plane. Adv Comput Math 43, 1261–1282 (2017).

2018. https://doi.org/10.1080/10236198.2017.1307350 M.H. Hooshmand. (2018) Ultra power of higher orders and ultra exponential functional sequences. Journal of Difference Equations and Applications. Volume 24, 2018 - Issue 5: Special Issue: European Conference on Iteration Theory 2016. Special Issue Editors: Marek Cezary Zdun & Jaroslav Smital.

2019. https://doi.org/10.1007/s10444-018-9615-7 W.Paulsen. Tetration for complex bases. Adv Comput Math 45, 243–267 (2019).

2020. https://www.morebooks.de/store/gb/book/superfunctions/isbn/978-620-2-67286-3 D.Kouznetsov. Superfuncitons. Lambert Academic Publishing, 2020.

2021. https://arxiv.org/abs/2101.03021v2 James David Nixon. Hyper-operations By Unconventional Means. March 8, 2021

Keywords

Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axiom, Советская школа