Difference between revisions of "Суперфункции"

From TORI
Jump to navigation Jump to search
 
m (Text replacement - "\$([^\$]+)\$" to "\\(\1\\)")
Line 18: Line 18:
 
==Расскажу, о чём эта книга==
  
==Расскажу, о чём эта книга==
   
−
Пусть известна некоторая голоморфная функция $T$; ниже я называю её термином "передаточная функция".
+
Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция".
−
Её суперфунцкия есть решение $F$ передаточного уравнения
+
Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения
   
−
$T(F(z))=F(z+1)$
 +
\(T(F(z))=F(z+1)\)
   
−
Соответствующая функция Абеля, или абельфункция $G$ есть обратная функция от суперфункции, $G=F^{-1}$; то есть $F(G(z))=z$ по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений $z$.
 +
Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений \(z\).
   
−
Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля $G(T(z))=G(z)+1$
 +
Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)
   
−
Когда суперфункция $F$ и абельфункця $G=F^{-1}$ уже установлены, $n$ная итерация передаточной функции $T$ выражается через суперфункцию и абельфункцию,
+
Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,
   
−
$T^n(z)=F(n+G(z))$
 +
\(T^n(z)=F(n+G(z))\)
   
−
Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер $n$ итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа $n$, итерации имеют обычный смысл: $T^{-1}$ есть обратная функция от $T$, <br>
+
Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\), <br>
−
$T^0(z)=z$<br>
 +
\(T^0(z)=z\)<br>
−
$T^1(z)=T(z)$<br>
 +
\(T^1(z)=T(z)\)<br>
−
$T^2(z)=T(T(z)) $<br>
 +
\(T^2(z)=T(T(z)) \)<br>
−
$T^3(z)=T(T(T(z)))$ <br>
 +
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\) <br>
−
и так далее. Имеется групповое соотношение $T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)$
+
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)
   
−
В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции $F$, абельфункции $G$ и нецелых итераций функции $T$.
+
В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\).
 
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса.
  
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса.
−
В этис обозначениях, $\sin^2(z)=\sin(\sin(z))$, а вовсе не $\sin(z)^2$.<br>
 +
В этис обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).<br>
−
Это обозначение позаимствовано из [[Квантовая механика|Квантовой механики]], где $P^2(\psi)=P(P(\psi))$, но нкак не $P(\psi)^2$.
 +
Это обозначение позаимствовано из [[Квантовая механика|Квантовой механики]], где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но нкак не \(P(\psi)^2\).
   
−
В принципе, какая попало голоморгная финкция $T$ может быть декларирована как передаточная функция;
 +
В принципе, какая попало голоморгная финкция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция;
−
и тогда для неё можно построить суперфунцию $F$, абельфункцию $G$ и. соответственно, нецелые итерации.
 +
и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и. соответственно, нецелые итерации.
 
Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию,
  
Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию,
−
чтобы решение $F$ передаточного уравнения было единственным.
 +
чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.
   
 
==Аннотация==
  
==Аннотация==
Line 90: Line 90:
 
| стр.15, абзац после формулы || Функцую || Функцию
  
| стр.15, абзац после формулы || Функцую || Функцию
 
|-
  
|-
−
| стр.25, вторая строчка снизу || Решение $f$ || Решение $F$
+
| стр.25, вторая строчка снизу || Решение \(f\) || Решение \(F\)
 
|-
  
|-
−
| стр.27, формула (2.11) || $F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) $ || $F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 $
 +
| стр.27, формула (2.11) || \(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \) || \(F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
 
|-
  
|-
−
| стр.40, формула (4.12) || $T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}$ || $T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}$
 +
| стр.40, формула (4.12) || \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\) || \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\)
 
|-
  
|-
−
| стр.46, формула (4.21) || $z^{na}$ || $z^{a^n}$
 +
| стр.46, формула (4.21) || \(z^{na}\) || \(z^{a^n}\)
 
|-
  
|-
−
| стр.49, формула (5.1) || $r^{-z}$ || $\mathrm e^{-z}$
 +
| стр.49, формула (5.1) || \(r^{-z}\) || \(\mathrm e^{-z}\)
 
|-
  
|-
−
| стр.65, Второй абзац|| $T\!=\!\mathrm{Shoka}$ || $F\!=\!\mathrm{Shoka}$
 +
| стр.65, Второй абзац|| \(T\!=\!\mathrm{Shoka}\) || \(F\!=\!\mathrm{Shoka}\)
 
|-
  
|-
 
| стр.74, перед формулой (6.14)|| для передаточной функции || для суперфункции
 
| стр.74, перед формулой (6.14)|| для передаточной функции || для суперфункции
Line 110: Line 110:
 
| стр.78, после формулы (7.3)|| абельфункция логистического уравнения || абельфункция логистического отображения
  
| стр.78, после формулы (7.3)|| абельфункция логистического уравнения || абельфункция логистического отображения
 
|-
  
|-
−
| стр.83, формула (7.12)|| $\log_u$ || $\log_s$
+
| стр.83, формула (7.12)|| \(\log_u\) || \(\log_s\)
 
|-
  
|-
−
| стр.93, формула (7.28)|| $\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))$ || $\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))$
+
| стр.93, формула (7.28)|| \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\) || \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\)
 
|-
  
|-
 
| стр.100, Первая строчка|| Таблица 2 || Таблица 8.1
  
| стр.100, Первая строчка|| Таблица 2 || Таблица 8.1
Line 118: Line 118:
 
| стр.103, последняя строчка|| таблицы 2 || таблицы 8.1
  
| стр.103, последняя строчка|| таблицы 2 || таблицы 8.1
 
|-
  
|-
−
| стр.104, последний абзац|| что $\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)$ и, соответственно, || что
 +
| стр.104, последний абзац|| что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно, || что
 
|-
  
|-
−
| стр.105, формула 8.26) || $n+z_3$ || $n-z_3$
 +
| стр.105, формула 8.26) || \(n+z_3\) || \(n-z_3\)
 
|-
  
|-
−
| стр.112, после формулы (9.4) || $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9$ || $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9$
 +
| стр.112, после формулы (9.4) || \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\) || \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\)
 
|-
  
|-
−
| стр.112, после формулы (9.4) || $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9$ || $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9$
 +
| стр.112, после формулы (9.4) || \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\) || \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\)
 
|-
  
|-
−
| стр.116, предпоследний абзац|| $\tilde f(z+~_{45}$ || $\tilde f(z+x_{45})$
 +
| стр.116, предпоследний абзац|| \(\tilde f(z+~_{45}\) || \(\tilde f(z+x_{45})\)
 
|-
  
|-
−
| стр.138, рис.11.4 || $y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)$ || $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)$.
 +
| стр.138, рис.11.4 || \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\) || \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\).
 
|-
  
|-
−
| стр.138, рис.11.4 || $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)$ || $y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)$.
 +
| стр.138, рис.11.4 || \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\) || \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\).
 
|-
  
|-
−
| стр.140, конец первого абзаца|| $\mathrm{тет}_{\eta}$. || $\mathrm{tet}_{\eta}$.
 +
| стр.140, конец первого абзаца|| \(\mathrm{тет}_{\eta}\). || \(\mathrm{tet}_{\eta}\).
 
|-
  
|-
−
| стр.140, formula (11.27) || $g(z)+1=g\Big(exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)$ || $g(z)+1=g\Big(exp(z/\mathrm e)\Big)$
 +
| стр.140, formula (11.27) || \(g(z)+1=g\Big(exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\) || \(g(z)+1=g\Big(exp(z/\mathrm e)\Big)\)
 
|-
  
|-
−
| стр.154, внизу добавить|| || где $~\ell\!=\!\ln(-z)$.
 +
| стр.154, внизу добавить|| || где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\).
 
|-
  
|-
−
| стр.155, после формулы (12.14) || $F(z_1)\!=\!0$. || $F(z_1)\!=\!1$.
 +
| стр.155, после формулы (12.14) || \(F(z_1)\!=\!0\). || \(F(z_1)\!=\!1\).
 
|-
  
|-
−
| стр.162, формула (13.5) || $\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)$ || $\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}$
 +
| стр.162, формула (13.5) || \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\) || \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\)
 
|-
  
|-
 
| стр.186, после формулы (14.12) || вдоль вещественной оси || вдоль мнимой оси
 
| стр.186, после формулы (14.12) || вдоль вещественной оси || вдоль мнимой оси
 
|-
  
|-
−
| стр.190, внизу || $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)$. || $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$
 +
| стр.190, внизу || \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). || \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
 
|-
  
|-
−
| стр.191, Рис. 14.6 || $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)$. || $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$
 +
| стр.191, Рис. 14.6 || \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). || \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
 
|-
  
|-
−
| стр.194, формула (14.40) || $(z\!-\!3)^n$ ||$(z\!-\!3 \mathrm i)^n$
 +
| стр.194, формула (14.40) || \((z\!-\!3)^n\) ||\((z\!-\!3 \mathrm i)^n\)
 
|-
  
|-
−
| стр.197, Рис.14.9 || $u\!=\!1$ || $u\!=\!0$
 +
| стр.197, Рис.14.9 || \(u\!=\!1\) || \(u\!=\!0\)
 
|-
  
|-
 
| стр.197, последний абзац || на координатной плоскости. В июней || на комплексной плоскости. В нижней
  
| стр.197, последний абзац || на координатной плоскости. В июней || на комплексной плоскости. В нижней
 
|-
  
|-
−
| стр.198, Второй абзац || $\mathcal A_{0,m}$. || $\mathcal A_{m,0}$.
 +
| стр.198, Второй абзац || \(\mathcal A_{0,m}\). || \(\mathcal A_{m,0}\).
 
|-
  
|-
−
| стр.212, формула (15.14)|| $u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)$ || $u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)$
 +
| стр.212, формула (15.14)|| \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\) || \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\)
 
|-
  
|-
 
| стр.220, середка || её график показан на рисунке 9.1 || её график показан на рисунке 9.4
  
| стр.220, середка || её график показан на рисунке 9.1 || её график показан на рисунке 9.4
 
|-
  
|-
−
| стр.223, после формулы (16.16) || $\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}$|| $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$
 +
| стр.223, после формулы (16.16) || \(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\)|| \(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\)
 
|-
  
|-
−
| стр.230, рисунок 16.16 || $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$|| $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$
 +
| стр.230, рисунок 16.16 || \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)|| \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
 
|-
  
|-
−
| стр.230, формула (16.30) || $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$|| $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$
 +
| стр.230, формула (16.30) || \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)|| \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
 
|-
  
|-
−
| стр.238, вторая строчка || $F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ || $F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$
 +
| стр.238, вторая строчка || \(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\) || \(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)
 
|-
  
|-
−
| стр.238, после формулы (16.34) || $F_{2,3}$ есть растущая суперэкспонентe || $F_{4,3}$ есть растущая суперэкспонента
 +
| стр.238, после формулы (16.34) || \(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспонентe || \(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента
 
|-
  
|-
−
| стр.238, после формулы (16.35) || $F_{2,3}$ $F_{4,3}$ || $F_{2,3}$ и $F_{4,3}$
 +
| стр.238, после формулы (16.35) || \(F_{2,3}\) \(F_{4,3}\) || \(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\)
 
|-
  
|-
−
| стр.241, рисунок 16.18 || $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)$|| $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)$
 +
| стр.241, рисунок 16.18 || \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\)|| \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\)
 
|-
  
|-
 
| стр.242, глава 16, раздел 7 || функцию функцию, || функцию,
  
| стр.242, глава 16, раздел 7 || функцию функцию, || функцию,
 
|-
  
|-
−
| стр.247, перед формулой (17.7) ||В широкой области значений $b$ и $~$, || В широкой области значений $b$ и $z$,
 +
| стр.247, перед формулой (17.7) ||В широкой области значений \(b\) и \(~\), || В широкой области значений \(b\) и \(z\),
 
|-
  
|-
−
| стр.248, абзац перед формулой (17.9) || для значений аргумента, больших $\mathrm e$, уже не являются || для значений аргумента, менььших $\mathrm e$, уже не являются
 +
| стр.248, абзац перед формулой (17.9) || для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются || для значений аргумента, менььших \(\mathrm e\), уже не являются
 
|-
  
|-
−
| стр.249, рисунок 17.3 || $b\!=\!\exp(/\mathrm e)$, || $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$,
 +
| стр.249, рисунок 17.3 || \(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\), || \(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\),
 
|-
  
|-
−
| стр.250, конец первого абзаца || Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при $\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$ || Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при $\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3$
 +
| стр.250, конец первого абзаца || Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\) || Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\)
 
|-
  
|-
−
| стр.256, through the page || $\rm{Filog} $ || $\rm{filog} $
 +
| стр.256, through the page || \(\rm{Filog} \) || \(\rm{filog} \)
 
|-
  
|-
−
| стр.256, формула (18.6) || $\rm{fllog} $ || $\rm{filog} $
 +
| стр.256, формула (18.6) || \(\rm{fllog} \) || \(\rm{filog} \)
 
|-
  
|-
−
| стр.258, формула (18.16) || $P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx $ || $P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx $
 +
| стр.258, формула (18.16) || \(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \) || \(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \)
 
|-
  
|-
−
| стр.258, формула (18.17) || $P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx $ || $P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx $
 +
| стр.258, формула (18.17) || \(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \) || \(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \)
 
|-
  
|-
−
| стр.264, формула (19.14) || $\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~$ || $\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~$
 +
| стр.264, формула (19.14) || \(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\) || \(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\)
 
|-
  
|-
 
| стр.294 сверху добавить || || tra[z_] = z + Exp[z]
  
| стр.294 сверху добавить || || tra[z_] = z + Exp[z]
Line 198: Line 198:
 
| стр.294 строка 4 || g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]] || g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
  
| стр.294 строка 4 || g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]] || g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
 
|-
  
|-
−
| стр.296 в центре || $\mathrm{AuTra}(z)$ убывает экспоненциально || $|\mathrm{AuTra}(z)|$ растёт экспоненциально
 +
| стр.296 в центре || \(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально || \(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально
 
|-
  
|-
−
| стр.297 формула (20.54) || $\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)$ || $\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)$
 +
| стр.297 формула (20.54) || \(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\) || \(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)
 
|-
  
|-
−
| стр.300 абзац 2 || итерации функции $F$ || итерации функции $T$
+
| стр.300 абзац 2 || итерации функции \(F\) || итерации функции \(T\)
 
|}
  
|}
   

Revision as of 18:48, 30 July 2019

Обложка (кликается)

Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.

Купить книгу можно на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0

ISBN-13: 978-3-659-56202-0
ISBN-10: 3659562025
EAN: 9783659562020
Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах

http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf

http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения

\(T(F(z))=F(z+1)\)

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений \(z\).

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)

Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,

\(T^n(z)=F(n+G(z))\)

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\),
\(T^0(z)=z\)
\(T^1(z)=T(z)\)
\(T^2(z)=T(T(z)) \)
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\)
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\). Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса. В этис обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но нкак не \(P(\psi)^2\).

В принципе, какая попало голоморгная финкция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и. соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны:

Где что напечатано что должно быть
стр.15, абзац после формулы Функцую Функцию
стр.25, вторая строчка снизу Решение \(f\) Решение \(F\)
стр.27, формула (2.11) \(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \) \(F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
стр.40, формула (4.12) \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\) \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\)
стр.46, формула (4.21) \(z^{na}\) \(z^{a^n}\)
стр.49, формула (5.1) \(r^{-z}\) \(\mathrm e^{-z}\)
стр.65, Второй абзац \(T\!=\!\mathrm{Shoka}\) \(F\!=\!\mathrm{Shoka}\)
стр.74, перед формулой (6.14) для передаточной функции для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15) в правой части рисунка 6.2 на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16) в правой части рисунка 6.2 на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3) абельфункция логистического уравнения абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12) \(\log_u\) \(\log_s\)
стр.93, формула (7.28) \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\) \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\)
стр.100, Первая строчка Таблица 2 Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка таблицы 2 таблицы 8.1
стр.104, последний абзац что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно, что
стр.105, формула 8.26) \(n+z_3\) \(n-z_3\)
стр.112, после формулы (9.4) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\)
стр.112, после формулы (9.4) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\)
стр.116, предпоследний абзац \(\tilde f(z+~_{45}\) \(\tilde f(z+x_{45})\)
стр.138, рис.11.4 \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\) \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\).
стр.138, рис.11.4 \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\) \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\).
стр.140, конец первого абзаца \(\mathrm{тет}_{\eta}\). \(\mathrm{tet}_{\eta}\).
стр.140, formula (11.27) \(g(z)+1=g\Big(exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\) \(g(z)+1=g\Big(exp(z/\mathrm e)\Big)\)
стр.154, внизу добавить где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\).
стр.155, после формулы (12.14) \(F(z_1)\!=\!0\). \(F(z_1)\!=\!1\).
стр.162, формула (13.5) \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\) \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\)
стр.186, после формулы (14.12) вдоль вещественной оси вдоль мнимой оси
стр.190, внизу \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.191, Рис. 14.6 \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.194, формула (14.40) \((z\!-\!3)^n\) \((z\!-\!3 \mathrm i)^n\)
стр.197, Рис.14.9 \(u\!=\!1\) \(u\!=\!0\)
стр.197, последний абзац на координатной плоскости. В июней на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац \(\mathcal A_{0,m}\). \(\mathcal A_{m,0}\).
стр.212, формула (15.14) \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\) \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.220, середка её график показан на рисунке 9.1 её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16) \(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\) \(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\)
стр.230, рисунок 16.16 \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.230, формула (16.30) \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.238, вторая строчка \(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\) \(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)
стр.238, после формулы (16.34) \(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспонентe \(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35) \(F_{2,3}\) \(F_{4,3}\) \(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\)
стр.241, рисунок 16.18 \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\) \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.242, глава 16, раздел 7 функцию функцию, функцию,
стр.247, перед формулой (17.7) В широкой области значений \(b\) и \(~\), В широкой области значений \(b\) и \(z\),
стр.248, абзац перед формулой (17.9) для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются для значений аргумента, менььших \(\mathrm e\), уже не являются
стр.249, рисунок 17.3 \(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\), \(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\),
стр.250, конец первого абзаца Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\) Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\)
стр.256, through the page \(\rm{Filog} \) \(\rm{filog} \)
стр.256, формула (18.6) \(\rm{fllog} \) \(\rm{filog} \)
стр.258, формула (18.16) \(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \) \(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \)
стр.258, формула (18.17) \(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \) \(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \)
стр.264, формула (19.14) \(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\) \(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\)
стр.294 сверху добавить tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4 g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]] g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре \(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально \(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54) \(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\) \(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)
стр.300 абзац 2 итерации функции \(F\) итерации функции \(T\)

References


Keywords

Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axiom, Советская школа

Retrieved from "https://mizugadro.mydns.jp/t/index.php?title=Суперфункции&oldid=28466"