Суперфункции

Обложка (кликается)

Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.

Купить книгу можно на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0

ISBN-13: 978-3-659-56202-0
ISBN-10: 3659562025
EAN: 9783659562020
Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах

http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf

http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения

\(T(F(z))=F(z+1)\)

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений \(z\).

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)

Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,

\(T^n(z)=F(n+G(z))\)

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\),
\(T^0(z)=z\)
\(T^1(z)=T(z)\)
\(T^2(z)=T(T(z))\)
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\)
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\). Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса. В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но никак не \(P(\psi)^2\).

В принципе, какая попало голоморгная финкция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и. соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны:

Где	что напечатано	что должно быть
стр.15, абзац после формулы	Функцую	Функцию
стр.25, вторая строчка снизу	Решение \(f\)	Решение \(F\)
стр.27, формула (2.11)	\(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \)	\(F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
стр.31, таблица 3.1, строка 7	\( \frac{2}{\pi}z \)	\( \frac{\pi}{2}z \)
стр.40, формула (4.12)	\(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\)	\(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\)
стр.46, формула (4.21)	\(z^{na}\)	\(z^{a^n}\)
стр.49, формула (5.1)	\(r^{-z}\)	\(\mathrm e^{-z}\)
стр.65, Второй абзац	\(T\!=\!\mathrm{Shoka}\)	\(F\!=\!\mathrm{Shoka}\)
стр.74, перед формулой (6.14)	для передаточной функции	для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3)	абельфункция логистического уравнения	абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12)	\(\log_u\)	\(\log_s\)
стр.93, формула (7.28)	\(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\)	\(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\)
стр.100, Первая строчка	Таблица 2	Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка	таблицы 2	таблицы 8.1
стр.104, последний абзац	что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно,	что
стр.105, формула 8.26)	\(n+z_3\)	\(n-z_3\)
стр.112, после формулы (9.4)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\)
стр.112, после формулы (9.4)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\)
стр.116, предпоследний абзац	\(\tilde f(z+~_{45}\)	\(\tilde f(z+x_{45})\)
стр.138, рис.11.4	\(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\)	\(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\).
стр.138, рис.11.4	\(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\).
стр.140, конец первого абзаца	\(_{\eta}\).	\(\mathrm{tet}_{\eta}\).
стр.140, formula (11.27)	\(g(z)+1=g\Big(\exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\)	\(g(z)+1=g\Big(\exp(z/\mathrm e)\Big)\)
стр.154, внизу добавить		где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\).
стр.155, после формулы (12.14)	\(F(z_1)\!=\!0\).	\(F(z_1)\!=\!1\).
стр.162, формула (13.5)	\(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\)	\(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\)
стр.186, после формулы (14.12)	вдоль вещественной оси	вдоль мнимой оси
стр.190, внизу	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\).	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.191, Рис. 14.6	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\).	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.194, формула (14.40)	\)(z\!-\!3)^n\)	\((z\!-\!3 \mathrm i)^n\)
стр.197, Рис.14.9	\(u\!=\!1\)	\(u\!=\!0\)
стр.197, последний абзац	на координатной плоскости. В июней	на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац	\(\mathcal A_{0,m}\).	\(\mathcal A_{m,0}\).
стр.212, формула (15.14)	\(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\)	\(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.220, середка	её график показан на рисунке 9.1	её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16)	\(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\)	\(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\)
стр.230, рисунок 16.16	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.230, формула (16.30)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.238, вторая строчка	\(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)	\(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)
стр.238, после формулы (16.34)	\(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспоненте	\(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35)	\(F_{2,3}\) \()F_{4,3}\)	\(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\)
стр.241, рисунок 16.18	\(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\)	\(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.242, глава 16, раздел 7	функцию функцию,	функцию,
стр.247, перед формулой (17.7)	В широкой области значений \(b\) и \(~\),	В широкой области значений \(b\) и \(z\),
стр.248, абзац перед формулой (17.9)	для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются	для значений аргумента, меньших \(\mathrm e\), уже не являются
стр.249, рисунок 17.3	\(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\),	\(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\),
стр.250, конец первого абзаца	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\)	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\)
стр.256, through the page	\(\rm{Filog} \)	\(\rm{filog} \)
стр.256, формула (18.6)	\(\rm{fllog} \)	\(\rm{filog} \)
стр.258, формула (18.16)	\(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \)	\(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \)
стр.258, формула (18.17)	\(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \)	\(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \)
стр.264, формула (19.14)	\(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\)	\(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\)
стр.294 сверху добавить		tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]]	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре	\(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально	\(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54)	\(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)	\(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)
стр.300 абзац 2	итерации функции \(F\)	итерации функции \(T\)

References

https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0 Дмитрий Кузнецов. Суперфункции. Нецелые итерации голоморфных функций. Тетрация и другие суперфункции. Формулы, алгоритмы, графики и комплексные карты LAP LAMBERT Academic Publishing (2014-08-01 ) ISBN-13: 978-3-659-56202-0 ISBN-10: 3659562025 EAN: 9783659562020

Keywords

Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axiom, Советская школа