Суперфункции
Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.
The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.
Купить книгу можно на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
ISBN-13: 978-3-659-56202-0
ISBN-10: 3659562025
EAN: 9783659562020
Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf
Расскажу, о чём эта книга
Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения
\(T(F(z))=F(z+1)\)
Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области значений \(z\).
Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)
Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,
\(T^n(z)=F(n+G(z))\)
Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\),
\(T^0(z)=z\)
\(T^1(z)=T(z)\)
\(T^2(z)=T(T(z))\)
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\)
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)
В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\).
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указывается в виде верхнего индекса.
В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но никак не \(P(\psi)^2\).
В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и, соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.
Аннотация
Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.
Информация об авторе
Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.
Иллюстрации
Для обложки использованы иллюстрации:
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG
К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.
Иллюстрации текста доступны в категорииях
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw
Опечатки
Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны:
| Где | что напечатано | что должно быть |
| стр.15, абзац после формулы | Функцую | Функцию |
| стр.25, вторая строчка снизу | Решение \(f\) | Решение \(F\) |
| стр.27, формула (2.11) | \(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \) | \(F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \) |
| стр.31, таблица 3.1, строка 7 | \( \frac{2}{\pi}z \) | \( \frac{\pi}{2}z \) |
| стр.40, формула (4.12) | \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\) | \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\) |
| стр.46, формула (4.21) | \(z^{na}\) | \(z^{a^n}\) |
| стр.49, формула (5.1) | \(r^{-z}\) | \(\mathrm e^{-z}\) |
| стр.65, Второй абзац | \(T\!=\!\mathrm{Shoka}\) | \(F\!=\!\mathrm{Shoka}\) |
| стр.74, перед формулой (6.14) | для передаточной функции | для суперфункции |
| стр.74, перед формулой (6.15) | в правой части рисунка 6.2 | на рисунке 6.2 |
| стр.74, перед формулой (6.16) | в правой части рисунка 6.2 | на рисунке 6.2 |
| стр.78, после формулы (7.3) | абельфункция логистического уравнения | абельфункция логистического отображения |
| стр.83, формула (7.12) | \(\log_u\) | \(\log_s\) |
| стр.93, формула (7.28) | \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\) | \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\) |
| стр.100, Первая строчка | Таблица 2 | Таблица 8.1 |
| стр.103, последняя строчка | таблицы 2 | таблицы 8.1 |
| стр.104, последний абзац | что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно, | что |
| стр.105, формула 8.26) | \(n+z_3\) | \(n-z_3\) |
| стр.112, после формулы (9.4) | \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\) | \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\) |
| стр.112, после формулы (9.4) | \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\) | \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\) |
| стр.116, предпоследний абзац | \(\tilde f(z+~_{45}\) | \(\tilde f(z+x_{45})\) |
| стр.138, рис.11.4 | \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\) | \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\). |
| стр.138, рис.11.4 | \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\) | \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\). |
| стр.140, конец первого абзаца | \(_{\eta}\). | \(\mathrm{tet}_{\eta}\). |
| стр.140, formula (11.27) | \(g(z)+1=g\Big(\exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\) | \(g(z)+1=g\Big(\exp(z/\mathrm e)\Big)\) |
| стр.154, внизу добавить | где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\). | |
| стр.155, после формулы (12.14) | \(F(z_1)\!=\!0\). | \(F(z_1)\!=\!1\). |
| стр.162, формула (13.5) | \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\) | \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\) |
| стр.186, после формулы (14.12) | вдоль вещественной оси | вдоль мнимой оси |
| стр.190, внизу | \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). | \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\) |
| стр.191, Рис. 14.6 | \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). | \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\) |
| стр.194, формула (14.40) | \((z\!-\!3)^n\) | \((z\!-\!3 \mathrm i)^n\) |
| стр.197, Рис.14.9 | \(u\!=\!1\) | \(u\!=\!0\) |
| стр.197, последний абзац | на координатной плоскости. В июней | на комплексной плоскости. В нижней |
| стр.198, Второй абзац | \(\mathcal A_{0,m}\). | \(\mathcal A_{m,0}\). |
| стр.212, формула (15.14) | \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\) | \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\) |
| стр.220, середка | её график показан на рисунке 9.1 | её график показан на рисунке 9.4 |
| стр.223, после формулы (16.16) | \(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\) | \(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\) |
| стр.230, рисунок 16.16 | \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) | \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) |
| стр.230, формула (16.30) | \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) | \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) |
| стр.238, вторая строчка | \(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\) | \(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\) |
| стр.238, после формулы (16.34) | \(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспоненте | \(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента |
| стр.238, после формулы (16.35) | \(F_{2,3}\) \()F_{4,3}\) | \(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\) |
| стр.241, рисунок 16.18 | \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\) | \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\) |
| стр.242, глава 16, раздел 7 | функцию функцию, | функцию, |
| стр.247, перед формулой (17.7) | В широкой области значений \(b\) и \(~\), | В широкой области значений \(b\) и \(z\), |
| стр.248, абзац перед формулой (17.9) | для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются | для значений аргумента, меньших \(\mathrm e\), уже не являются |
| стр.249, рисунок 17.3 | \(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\), | \(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\), |
| стр.250, конец первого абзаца | Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\) | Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\) |
| стр.256, through the page | \(\rm{Filog} \) | \(\rm{filog} \) |
| стр.256, формула (18.6) | \(\rm{fllog} \) | \(\rm{filog} \) |
| стр.258, формула (18.16) | \(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \) | \(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \) |
| стр.258, формула (18.17) | \(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \) | \(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \) |
| стр.264, формула (19.14) | \(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\) | \(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\) |
| стр.294 сверху добавить | tra[z_] = z + Exp[z] | |
| стр.294 строка 4 | g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]] | g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]] |
| стр.296 в центре | \(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально | \(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально |
| стр.297 формула (20.54) | \(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\) | \(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\) |
| стр.300 абзац 2 | итерации функции \(F\) | итерации функции \(T\) |
References
https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0 Дмитрий Кузнецов. Суперфункции. Нецелые итерации голоморфных функций. Тетрация и другие суперфункции. Формулы, алгоритмы, графики и комплексные карты LAP LAMBERT Academic Publishing (2014-08-01 ) ISBN-13: 978-3-659-56202-0 ISBN-10: 3659562025 EAN: 9783659562020
Keywords
Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axiom, Советская школа