Суперфункции

Обложка (кликается)

Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.

Купить книгу можно на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0

ISBN-13: 978-3-659-56202-0
ISBN-10: 3659562025
EAN: 9783659562020
Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах

http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf

http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция $T$; ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение $F$ передаточного уравнения

$T(F(z))=F(z+1)$

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция $G$ есть обратная функция от суперфункции, $G=F^{-1}$; то есть $F(G(z))=z$ по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений $z$.

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля $G(T(z))=G(z)+1$

Когда суперфункция $F$ и абельфункця $G=F^{-1}$ уже установлены, $n$ная итерация передаточной функции $T$ выражается через суперфункцию и абельфункцию,

$T^n(z)=F(n+G(z))$

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер $n$ итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа $n$, итерации имеют обычный смысл: $T^{-1}$ есть обратная функция от $T$,
$T^0(z)=z$
$T^1(z)=T(z)$
$T^2(z)=T(T(z)) $
$T^3(z)=T(T(T(z)))$
и так далее. Имеется групповое соотношение $T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)$

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции $F$, абельфункции $G$ и нецелых итераций функции $T$. Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса. В этис обозначениях, $\sin^2(z)=\sin(\sin(z))$, а вовсе не $\sin(z)^2$.
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где $P^2(\psi)=P(P(\psi))$, но нкак не $P(\psi)^2$.

В принципе, какая попало голоморгная финкция $T$ может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию $F$, абельфункцию $G$ и. соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение $F$ передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны:

Где	что напечатано	что должно быть
стр.15, абзац после формулы	Функцую	Функцию
стр.25, вторая строчка снизу	Решение $f$	Решение $F$
стр.27, формула (2.11)	$F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) $	$F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 $
стр.40, формула (4.12)	$T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}$	$T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}$
стр.46, формула (4.21)	$z^{na}$	$z^{a^n}$
стр.49, формула (5.1)	$r^{-z}$	$\mathrm e^{-z}$
стр.65, Второй абзац	$T\!=\!\mathrm{Shoka}$	$F\!=\!\mathrm{Shoka}$
стр.74, перед формулой (6.14)	для передаточной функции	для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3)	абельфункция логистического уравнения	абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12)	$\log_u$	$\log_s$
стр.93, формула (7.28)	}^n(\tilde F(z\!-\!n))$	$\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))$
стр.100, Первая строчка	Таблица 2	Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка	таблицы 2	таблицы 8.1
стр.104, последний абзац	что $\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)$ и, соответственно,	что
стр.105, формула 8.26)	$n+z_3$	$n-z_3$
стр.112, после формулы (9.4)	$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9$	$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9$
стр.112, после формулы (9.4)	$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9$	$v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9$
стр.116, предпоследний абзац	$\tilde f(z+~_{45}$	$\tilde f(z+x_{45})$
стр.138, рис.11.4	$y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)$	$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)$.
стр.138, рис.11.4	$y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)$	$y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)$.
стр.140, конец первого абзаца	$\mathrm{тет}_{\eta}$.	$\mathrm{tet}_{\eta}$.
стр.140, formula (11.27)	$g(z)+1=g\Big(exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)$	$g(z)+1=g\Big(exp(z/\mathrm e)\Big)$
стр.154, внизу добавить		где $~\ell\!=\!\ln(-z)$.
стр.155, после формулы (12.14)	$F(z_1)\!=\!0$.	$F(z_1)\!=\!1$.
стр.162, формула (13.5)	$\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)$	$\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}$
стр.186, после формулы (14.12)	вдоль вещественной оси	вдоль мнимой оси
стр.190, внизу	$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)$.	$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.191, Рис. 14.6	$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)$.	$u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.194, формула (14.40)	$(z\!-\!3)^n$	$(z\!-\!3 \mathrm i)^n$
стр.197, Рис.14.9	$u\!=\!1$	$u\!=\!0$
стр.197, последний абзац	на координатной плоскости. В июней	на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац	$\mathcal A_{0,m}$.	$\mathcal A_{m,0}$.
стр.212, формула (15.14)	$u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)$	$u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.220, середка	её график показан на рисунке 9.1	её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16)	$\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}$	$\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$
стр.230, рисунок 16.16	$y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$	$y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$
стр.230, формула (16.30)	$y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$	$y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$
стр.238, вторая строчка	$F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$	$F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$
стр.238, после формулы (16.34)	$F_{2,3}$ есть растущая суперэкспонентe	$F_{4,3}$ есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35)	$F_{2,3}$ $F_{4,3}$	$F_{2,3}$ и $F_{4,3}$
стр.241, рисунок 16.18	$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)$	$u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.242, глава 16, раздел 7	функцию функцию,	функцию,
стр.247, перед формулой (17.7)	В широкой области значений $b$ и $~$,	В широкой области значений $b$ и $z$,
стр.248, абзац перед формулой (17.9)	для значений аргумента, больших $\mathrm e$, уже не являются	для значений аргумента, менььших $\mathrm e$, уже не являются
стр.249, рисунок 17.3	$b\!=\!\exp(/\mathrm e)$,	$b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$,
стр.250, конец первого абзаца	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при $\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при $\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3$
стр.256, through the page	$\rm{Filog} $	$\rm{filog} $
стр.256, формула (18.6)	$\rm{fllog} $	$\rm{filog} $
стр.258, формула (18.16)	$P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx $	$P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx $
стр.258, формула (18.17)	$P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx $	$P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx $
стр.264, формула (19.14)	$\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~$	$\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~$
стр.294 сверху добавить		tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]]	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре	$\mathrm{AuTra}(z)$ убывает экспоненциально	\mathrm{AuTra}(z)|$ растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54)	$\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)$	$\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)$
стр.300 абзац 2	итерации функции $F$	итерации функции $T$

Keywords

Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axiom, Советская школа