Суперфункции

From TORI
Jump to: navigation, search
Обложка (кликается)

Суперфункции (Superfunctions) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

The English version Superfunctions is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.

Купить книгу можно на сайте https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0

ISBN-13: 978-3-659-56202-0
ISBN-10: 3659562025
EAN: 9783659562020
Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах

http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf

http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

Contents

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция $T$; ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфунцкия есть решение $F$ передаточного уравнения

$T(F(z))=F(z+1)$

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция $G$ есть обратная функция от суперфункции, $G=F^{-1}$; то есть $F(G(z))=z$ по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений $z$.

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля $G(T(z))=G(z)+1$

Когда суперфункция $F$ и абельфункця $G=F^{-1}$ уже установлены, $n$ная итерация передаточной функции $T$ выражается через суперфункцию и абельфункцию,

$T^n(z)=F(n+G(z))$

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер $n$ итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа $n$, итерации имеют обычный смысл: $T^{-1}$ есть обратная функция от $T$,
$T^0(z)=z$
$T^1(z)=T(z)$
$T^2(z)=T(T(z)) $
$T^3(z)=T(T(T(z)))$
и так далее. Имеется групповое соотношение $T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)$

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции $F$, абельфункции $G$ и нецелых итераций функции $T$. Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса. В этис обозначениях, $\sin^2(z)=\sin(\sin(z))$, а вовсе не $\sin(z)^2$.
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где $P^2(\psi)=P(P(\psi))$, но нкак не $P(\psi)^2$.

В принципе, какая попало голоморгная финкция $T$ может быть декларирована как передаточная функция; и тогда для неё можно построить суперфунцию $F$, абельфункцию $G$ и. соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение $F$ передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Лирические отступления

Для того, чтобы Книгу могли читать неучи, не любящие формулы и не понимающие, чем интеграл отличается от логарифма, в Книге имеются лирические отступления. В них формул нет. Некоторые их низ копипастнуты ниже.

Вечера на хуторе близ Диканьки

Это что за невидаль: “Тетрация, суперфункции”? Что это за “суперфункции”? Мало нам сверхпроводимости, сверхтекучести, сверхразрешения, суперсимметрии, супергравитации, суперструн и других “супернаук”, и мало нам суперменов, супермаркетов и суперинфляции, и вот, на тебе, теперь ещё “суперфункции”! И швырнул в свет какой-то лазерщик! Слава Богу! Ещё мало забили интернет всякими текстами и извели леса на бумагу! Ещё мало народу, всякого звания и сброду, застряло у мониторов и долбасит по клавам! Дернула же охота и лазерщика потащиться вслед за другими! Право, печатной бумаги развелось столько, что не придумаешь скоро, что бы такое завернуть в нее.

Мертвые души

Счастлив путник, который после длинной, скучной дороги с её холодами, духотой автобусов, промозглой сыростью аэрокондиционеров в залах ожидания, с тупой придирчивостью консулов и пограничников, отложенными рейсами, въедливыми таможенниками, охочими до грязного белья солдатами спецконтролей, перебранками с везущими в противоположную сторону таксистами, видит, наконец, знакомую крышу с несущимися навстречу огоньками, и предстанут пред ним знакомые комнаты, радостный крик выбежавших навстречу людей, шум и беготня детей и успокоительные тихие речи, прерываемые пылающими лобзаниями, властными истребить все печальное из памяти. Счастлив семьянин, у кого есть такой угол, но горе холостяку!

Счастлив автор, который проходит мимо результатов странных, необычных, поражающих своим противоречием с общепринятой парадигмой, но находит и описывает случаи, являющие высокое достоинство Науки, который из великого омута ежедневно вращающихся вопросов избрал одни немногие исключения, для которых и так есть известные ответы, который не изменял ни разу возвышенного строя своей лиры, не ниспускался с вершины своей к неразрешенным вопросам, и, не касаясь земли, весь повергался в свои хвалебные песнопения, далеко отторгнутые от каких-либо несогласий и конфликтов. Вдвойне завиден прекрасный удел его: он среди подобных ему коллег, как в родной семье; а между тем далеко и громко разносится его слава. Он окурил упоительным куревом людские очи; он чудно польстил им, сокрыв печальное в науки и жизни, показав им прекрасные и высокие достижения современников. Всё, рукоплеща, несется за ним и мчится вслед за торжественной его колесницей. Великим всемирным ученым именуют его, парящим высоко над всеми другими гениями мира, как парит орел над другими высоко летающими. При одном имени его уже объемлются трепетом молодые пылкие сердца, ответные слезы ему блещут во всех очах... Нет равного ему в силе - он Бог!

Но не таков удел, и другая судьба исследователя, дерзнувшего вызвать наружу все, что ежеминутно пред очами и чего не зрят равнодушные очи, - всю страшную, потрясающую тину мелочей, опутавших нашу науку, всю глубину холодных, раздробленных, повседневных и мелких исследований, которыми кишат научные журналы и программы конференций, подчас горькая и скучная дорога, и крепкою силою неумолимого резца дерзнувшего выставить их выпукло и ярко на всенародные очи! Ему не собрать народных рукоплесканий, ему не зреть признательных слез и единодушного восторга взволнованных им душ; к нему не полетит навстречу шестнадцатилетняя девушка с закружившеюся головою и геройским увлеченьем; ему не позабыться в сладком обаяньи им же исторгнутых звуков; ему не избежать, наконец, от современного суда, лицемерно-бесчувственного современного Ученого Совета, который назовет ничтожными и низкими им лелеянные созданья, отведет ему презренный угол в ряду исследователей, оскорбляющих человечество и религиозные чувства, придаст ему качества им же цитированных и критикуемых коллег, отнимет от него и сердце, и душу, и божественное пламя таланта. Ибо не признает Ученый Совет, что одни и те же уравнения могут описывать волны света, и волны звука, и волны на поверхности лазурного океана, что равно чудны нелинейные эффекты в стеклах, кристаллах и керамиках, в тонких оптических волокнах и в толстых образцах; не признает Ученый Совет, что высокий восторженный смех достоин стать рядом с высоким научным устремлением, и что целая пропасть между ним и кривляньем балаганного скомороха! Не признает сего Ученый Совет и все обратит в упрек и поношенье непризнанному исследователю; без разделенья, без ответа, без участья, как бессемейный путник, останется он один посреди дороги. Сурово его поприще, и горько почувствует он свое одиночество.

Сумасшедший портной

Рассказывают, что один Портной сошёл с ума. А случилось это так:

Одноногий приятель Портного попросил его сшить портки с одной штаниной. Приятель хорошо заплатил за эти портки, но ему потребовались еще портки с тремя штанинами для его собаки, которая, как и он, была калекой. А потом Знакомый приятеля попросил сшить портки для своей собаки, которая была вполне нормальной (разве что мерзла зимой) и штанин потребовалось четыре. Потом Портной стал шить портки с шестью штанинами, на тот случай, если кто выведет новую породу собаки с 6ю лапами, а заодно - сюртуки для птиц с двумя головами. Ожидалось, что они станут популярны в России после Чернобыльской катастрофы; это обстоятельство учтено на гербе РФ.

Наконец, Портной сшил портки с произвольным количеством $n$ штанин. И если завтра Землю посетит инопланетянин, у которого $n$ конечностей (и земные вестисты потребуют, чтобы инопланетянин что-нибудь на себя одел), то у Портного для этого инопланетянина уже есть готовые портки.

Я рассказал историю про Портного для того, чтобы лучше объяснить Читателю, что такое математика и чем занимаются математики.

P.S.: Те, кто считают описанного выше портного (или математика) совсем сумасшедшим, приглашаются вспомнить значение термина бешеный принтер.

Об узких специалистах

Узкий специалист

Узкие специалисты подобны инопланетянину зайцу Бо, которому кажется, что все только и думают, как бы сказать чего-нибудь нехорошее про зайцев. Известный классик Русской литературы Козьма Прутков обнаружил и указал, что узкий специалист подобен флюсу: его полнота односторонняя.

Узкий специалист может легко понять и даже проделать вычисления, если он видит за ними реалистичную жизненную ситуацию. Например, человек может встретить трудности, складывая два числа, 250 и 250. Однако, если ему сказать, что речь идет о граммах водки, он мгновенно проведет необходимые рассчеты и сразу скажет ответ: “Да это же Поллитра!”; последнее слово будет произнесено с уважением и придыханием. Это придыхание укажет присутствующим, что он любитель выбить, и вероятно, даже не просто любитель, а профессионал и, возможно, даже узкий специалист.

Аналогично, узкому специалисту-лазерщику трудно понять, что такое “передаточная функция”, до тех пор, пока ему не скажут, что некоторый параметр (мощность, интенсивность, флюенция или энергия светового импульса) на выходе лазерного усилителя рассматривается как функция аналогичного параметра на входе в усилитель.

Узкая специализация вполне соответствует общему направлению развития человеческой цивилизации. В современных больницах, даже клизму ставят два специалиста: один их них знает, как, а другой - куда.

Аспирантка

Юрий работал с одной Аспиранткой, и предложил ей рассчитать некоторую физическую зависимость. Аспирантка долго мучилась с выводом, но провела рассчет и принесла формулу. Юрий посмотрел и сказал: “У вас ошибка”. Аспирантка повторила свои выкладки, и стала настаивать на своем результате. Она требовала, чтобы Юрий проверил её рассчеты. Юрий проверять рассчеты не хотел. Аспирантка почти насильно заставила Юрия проследить её дедукцию. Они вместе проверяли строчку за строчкой, Юрий читал и говорил “Угу”, но в последней строчке, когда потребовалось применить формулу из справочника, Юрий сказал: “Здесь ошибка”.

Аспирантка открыла Градштейна-Рыжика и показала формулу. Юрий посмотрел на формулу и повторил, что формула неверна. В той формуле было достаточно положить параметр равным нулю, чтобы увидеть, что равенство нарушено. Аспирантка обиделась: в списке опечаток, который добавлялся к каждому новому переизданию, про пресловутую формулу ничего не было. Юрий сказал:“Значит, будет”. Но он не смог убедить Аспирантку, что если она пользуется неверной формулой, и не считает нужным сделать проверку, хотя бы для частных случаев, то это её вина.

Формула Коши

По умолчанию, коши хоят против часовой стрелки

Суть формулы Коши (Iterated Cauchi) в том, что $F (z) = \frac{1}{2\pi \rm i} \oint \frac{F (t)}{t-z} \mathrm d t$ . Коши (кошки) обходят “свою” территорию по замкнутому контуру; если на этом контуре с функцией всё в порядке, то коши считают, что и внутри контура всё тоже слава Богу.

Эта концепция является научной и имеет ограниченную область применимости. Она применима только для голоморфных функций $F$. (Да и то только тогда, когда контур интегрирования лежит внутри односвязной области голоморфизма, а точка $z$ лежит внутри этого контура.)

..

Физик или математик, пользующийся формулой Коши, имеет определенную свободу в выборе контура интегрирования. Он подобен инженеру, проектирующему кольцевую дорогу для уединенного гористого полуострова.

Добросовестный инженер постарается учесть расположение портов, селений, заводов, ферм, с тем, чтобы одной дорогой помочь по возможности большему количеству жителей добираться до тех мест, куда они едут. Кроме того, добросовестный инженер постарается избежать болот, крутых осыпей и узких извилистых ущелий, чтобы сделать дорогу быстрой, дешевой и безопасной.

Тщеславный диктатор, уже проявившися в спорте, войнах, живописи, археологии и оринтологии, и решивший показать себя ещё и в роли крутого инженера, может нарисовать на карте прямоугольник и предложить его в качестве проекта трассы для "благоустройства" захваченной им территории. Такой “проект” потребует много насыпей, выемок, эстакад, мостов и туннелей; он сильно просадит бюджет и даст министрам дурной пример расточительства и головотяпства. На остальные финансовые запросы (кроме, может быть, военных и пропагандистеких распилов), диктатор или его министр будет отвечать: Денег нет, но вы тут держитесь!"

К сожалению, в выборе контура интегрирования для тетрации, я выступаю скорее как тщеславный диктатор, чем как добросовестный инженер: я выбираю контур интегрирования в виде прямоугольника.

Софья Ковалевская и Вася Пупкин

Если на докладе за первой партой сидят Софья Ковалевская и Леонард Эйлер, а на последней парте — Надя Кискина и Вася Пупкин, то обращаться надо к Наде и Васе. Тогда, может быть, Софья и Леонард поймут хотя бы основную идею доклада..

О натурализме

Надя Кискина приклеила двух клиентов

Надеюсь, что термин “натуральная тетрация” не вызовет путаницы, какую вызвали во время СССР “натуральные расписки”. Такие расписки организаторы финансовой пирамиды выдавали вкладчикам (на воровском жаргоне - клиентам). Следователи, прокуроры, судьи и народные заседатели думали, что это "натуральная расписка" есть юридический термин, использовали его, но не хотели демонстрировать своё невежество и никого не спрашивали о значении этого термина.

Потом адвокат всё-таки спросила потерпевшего, что он имеет в виду, употребляя этот термин. После серии вопросов удалось выяснить, что так в криминальной среде называется нотариально заверенный документ, удостоверяющий, что деньги за автомобиль, который жулики обещали потерпевшим, уже получены. Дело чуть не лопнуло из-за того, что первый эшелон вкладчиков пирамиды составили работники прокуратуры, а второй - работники милиции, и участники первых слоев пирамиды обещанные им машины получили, и не хотели с ними расставаться, а захлебываться пирамида начала только после того, как тысячи “натуральных расписок” были проданы безграмотным шахтерам. Организаторы не признавали себя виновными и настаивали на том, что если бы им позволили и дальше торговать “натуральными расписками” на заводах, распространяя их среди рабочих (а потом - в колхозах, продавая “натуральные расписки” крестьянам), то шахтеры тоже получили бы обещанные автомобили.

Впрочем, к чести советских судей, махинация с “натуральными расписками” была распутана и квалифицирована как натуральное жульничество, мошенничество, и организаторам пришлось столь же натурально садиться в тюрьму или откупаться, уж как у кого получилось. Это вот такое длинное получилось объяснение термина “натуральный”.

О допущениях

BlackSheep.png

Два математика едут на конференцию по суперфункциям и обсуждают чёрную овцу, которую они увидели из окна поезда:

- Ваше допущение, уважаемый коллега, представляется мне не только не очевидным, но и совершенно не обоснованным. Всё, что мы можем заключить из этого наблюдения - что в этой стране существует по крайней мере одна овца или по крайней мере один барашек, и что по крайней мере правая сторона этого существа - черная.

Линейная и нелинейная оптика

LinearNonlinearOptic.png

.. В этой секции я рассказываю, как строится функция ArcTra. А в этом параграфе объясню, почему я такое описание вклеиваю в Книгу. Ещё в прошлом веке мне приходилось объяснять студентам, интересовавшимся нелинейной оптикой (которая тогда была в моде), что за каждым так называемым “нелинейным” эффектом имеется много вполне линейной науки. До того, как имеется понимание линейных оптических эффектов, говорить о нелинейной оптике бессмысленно, за исключением, разве, случая, показанного на рисунке. Аналогично, до того, как читатель свободно вычисляет целые отрицательные итерации передаточной функции, бессмысленно говорить о её нецелых итерациях.

Во время СССР, в России была некоторая наука, и известными ВУЗами советской школы были Физфак и Физтех. Для того, чтобы объяснить разницу между этими заведениями, предлагали такой пример: Выпускник Физтеха, хотя и может чего-то рассчитать, совершенно не понимает смысла полученной формулы и поэтому не может ей пользоваться. Выпускник физфака, наоборот, всё понимает, хотя сам подсчитать ничего не может. Это я к тому, что Читатели, которых интересуют картинки суперфункции, но не интересует, как они получились, могут пропустить эту секцию. Тогда про этих читателей, как про выпускников Физфака, можно будет сказать, что они всё понимают.

Под знаком предела

Девочка под мухой

Термин "предел" в математике, как термин конституционный предел при узурпации, может вызвать путаницу.

Я надеюсь, выражение “под знаком предела”, как и выражение “под знаком интеграла” или более свойственное русскому языку выражение “под мухой” будет понято не буквально, а в соответствии со здравым смыслом.

Если последние два выражения можно заменить синонимами “интегранд” и, соответственно, “в состоянии алкогольного опьянения”, то для того, что пишут после знака lim, нет устойчивого обозначения.

Поэтому мне приходится писать “под знаком предела”, в надежде, что читатель разберется, где право, где низ и где предел.

Всеобщая история

Краткий курс истории императорского двора

Один император решил изучить историю. Он поручил министерству науки разработать полный курс истории. Министры работали над таким учебником много лет. Наконец, во дворец приехал грузовик с заказанным тысячетомником. Император понял, что он за всю жизнь не сможет прочесть такой курс, и попросил его сократить. Ведущие историки работали над вторым изданием ещё несколько лет, и вот, в большом чемодане, императору был доставлен десятитомник. Но император к тому времени стал слаб глазами, и не мог осилить даже десятитомник. Историкам пришлось опять перерабатывать учебник, и через год к императору пришёл главный Историк и торжественно вручил ему брошюру "Краткий курс истории императорского двора". Император к тому времени уже заболел, и не мог прочесть даже эту брошюру. Он спросил Историка, можно ли этот курс переработать и сократить. Историк ответил: “Нового издания не надо. Я расскажу Вам прямо сейчас: Люди рождались, страдали и умирали.

Как Историк в причте, я предвосхищаю желание Читателя и стараюсь изложить тему суперфункций короче. ..

Алиса в стране чудес

Много неясного там, где матан
Можно запутаться и заблудиться:
Даже мурашки залазят в карман,
Чтобы при случае нам пригориться

Даже коллега германский узнал,
Как обеспечить единственность функций,
Что нам дает здесь Коши интеграл
И применье дизъюнкций - конъюнкций

Вдруг сингулярность, и нужен разрез -
Струсишь ли сразу? Взрежешь ли смело?
Раз уж в комплексный анализ залез -
В точкаx ветвленья - все дело!

Некрасов

Грустно надулись мои оппоненты,
Критику выдали мне на "ура":
"В книге, хоть есть ключевые моменты,
Но матанализа тоже гора";

"Видом нелепым Коши-интеграла
Души студентов негоже смущать.
Если бы Книга теперь показала
Лучшую сторону.." - Рад покзать.

При основании меньше, чем $\eta$
Есть для тетраций простой алгоритм;
Каждый, кто здесь прочитает про это,
Схватит резерча научного ритм.

Кто увидал красоту итераций
Тот поимел размодернейший tool;
Для курсовых, да и для диссертаций,
И голоморфнейших фитов разгул!

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже исправлены в "электронной" версии книги, то есть в файле http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

Где что напечатано что должно быть
стр.15, абзац после формулы Функцую Функцию
стр.25, вторая строчка снизу Решение $f$ Решение $F$
стр.27, формула (2.11) $F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) $ $F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 $
стр.40, формула (4.12) $T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}$ $T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}$
стр.46, формула (4.21) $z^{na}$ $z^{a^n}$
стр.49, формула (5.1) $r^{-z}$ $\mathrm e^{-z}$
стр.65, Второй абзац $T\!=\!\mathrm{Shoka}$ $F\!=\!\mathrm{Shoka}$
стр.74, перед формулой (6.14) для передаточной функции для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15) в правой части рисунка 6.2 на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16) в правой части рисунка 6.2 на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3) абельфункция логистического уравнения абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12) $\log_u$ $\log_s$
стр.93, формула (7.28) $\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))$ $\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))$
стр.100, Первая строчка Таблица 2 Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка таблицы 2 таблицы 8.1
стр.104, последний абзац что $\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)$ и, соответственно, что
стр.105, формула 8.26) $n+z_3$ $n-z_3$
стр.112, после формулы (9.4) $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9$ $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9$
стр.112, после формулы (9.4) $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9$ $v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9$
стр.116, предпоследний абзац $\tilde f(z+~_{45}$ $\tilde f(z+x_{45})$
стр.138, рис.11.4 $y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)$ $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)$.
стр.138, рис.11.4 $y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)$ $y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)$.
стр.140, конец первого абзаца $\mathrm{тет}_{\eta}$. $\mathrm{tet}_{\eta}$.
стр.140, formula (11.27) $g(z)+1=g\Big(exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)$ $g(z)+1=g\Big(exp(z/\mathrm e)\Big)$
стр.154, внизу добавить где $~\ell\!=\!\ln(-z)$.
стр.155, после формулы (12.14) $F(z_1)\!=\!0$. $F(z_1)\!=\!1$.
стр.162, формула (13.5) $\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)$ $\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}$
стр.186, после формулы (14.12) вдоль вещественной оси вдоль мнимой оси
стр.190, внизу $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)$. $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.191, Рис. 14.6 $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)$. $u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.194, формула (14.40) $(z\!-\!3)^n$ $(z\!-\!3 \mathrm i)^n$
стр.197, Рис.14.9 $u\!=\!1$ $u\!=\!0$
стр.197, последний абзац на координатной плоскости. В июней на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац $\mathcal A_{0,m}$. $\mathcal A_{m,0}$.
стр.212, формула (15.14) $u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)$ $u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.220, середка её график показан на рисунке 9.1 её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16) $\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}$ $\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}$
стр.230, рисунок 16.16 $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$ $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$
стр.230, формула (16.30) $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$ $y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x$
стр.238, вторая строчка $F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$ $F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}$
стр.238, после формулы (16.34) $F_{2,3}$ есть растущая суперэкспонентe $F_{4,3}$ есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35) $F_{2,3}$ $F_{4,3}$ $F_{2,3}$ и $F_{4,3}$
стр.241, рисунок 16.18 $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)$ $u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)$
стр.242, глава 16, раздел 7 функцию функцию, функцию,
стр.247, перед формулой (17.7) В широкой области значений $b$ и $~$, В широкой области значений $b$ и $z$,
стр.248, абзац перед формулой (17.9) для значений аргумента, больших $\mathrm e$, уже не являются для значений аргумента, менььших $\mathrm e$, уже не являются
стр.249, рисунок 17.3 $b\!=\!\exp(/\mathrm e)$, $b\!=\!\exp(1/\mathrm e)$,
стр.250, конец первого абзаца Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при $\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3$ Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при $\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3$
стр.256, through the page $\rm{Filog} $ $\rm{filog} $
стр.256, формула (18.6) $\rm{fllog} $ $\rm{filog} $
стр.258, формула (18.16) $P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx $ $P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx $
стр.258, формула (18.17) $P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx $ $P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx $
стр.264, формула (19.14) $\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~$ $\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~$
стр.294 сверху добавить tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4 g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]] g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре $\mathrm{AuTra}(z)$ убывает экспоненциально $|\mathrm{AuTra}(z)|$ растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54) $\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)$ $\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)$
стр.300 абзац 2 итерации функции $F$ итерации функции $T$

References


Keywords

Abel equation, Abelfunction, Ackermann function, AuExp, AuSin, AuTra, Iterate, Tetration, Transfer equation, Transfer function, Superfunction, SuSin, SuTra, SuZex, Pentation, Tetration, TORI axioms, Советская школа