Difference between revisions of "Суперфункции"

From TORI
Jump to navigation Jump to search
 
(17 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
  +
{{top}}
−
[[File:Covervi.jpg|500px|right|thumb|Обложка (кликается)]]
  
  +
<div style="float:right; margin:-80px 0px -2px 14px">
−
[[Суперфункции]] ([[Superfunctions]]) - книга, русская версия которой издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.
 
  +
{{pic|Covervi.jpg|360px}}
  +
</div>
  +
[[Суперфункции]] ([[Superfunctions]]) есть книга о
  +
нецелых итерациях голоморфных функций, о
  +
[[тетрацоя|тетрации]], [[пентации|пентации]] и, вообще, о [[суперфункция]]х о [[абельфункция]]х.
   
  +
«[[Суперфункции]]» есть первая монография с систематическим описанием формализма суперфункций и примерами применения этого формализма.
−
The English version [[Superfunctions]] is in preparation; it is expected to be a little bit more extensive and to contain less misprints.
  
   
  +
Книга задумана как прикладная и популярная; читателям судить, насколько автору удалось реализовать этот замысел.
−
Купить книгу можно на сайте
  
  +
−
https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
  
  +
Русская версия этой книги издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.
  +
  +
Обложка этого издания показана на рисунке справа.
  +
<!-- year 2022, it does not load..
  +
«Бумажная» версия продаётся на сайте [[Lambert Academic Publishing]]<br>
  +
https://www.lap-publishing.com/catalog/details//store/gb/book/978-3-659-56202-0/Суперфункции
  +
<ref>
  +
https://www.lap-publishing.com/catalog/details//store/gb/book/978-3-659-56202-0/Суперфункции
  +
Суперфункции //
  +
Нецелые итерации голоморфных функций. Тетрация и другие суперфункции. Формулы, алгоритмы, графики и комплексные карты
  +
LAP Lambert Academic Publishing ( 2014-08-01 )
  +
€ 47,90
  +
Book Details:
  +
ISBN-13: 978-3-659-56202-0
  +
ISBN-10: 3659562025
  +
EAN: 9783659562020
  +
Book language: Russian
  +
By (author) : Дмитрий Кузнецов
  +
Number of pages: 340
  +
Published on: 2014-08-01
  +
Category: Mathematics
  +
</ref>
  +
!-->
  +
  +
Книга доступна в формате [[PDF]], http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf
  +
  +
==English version: «[[Superfunctions]]»==
   
  +
С 2020 года, Книга доступна также на английском языке.
−
ISBN-13: 978-3-659-56202-0<br>
  
−
ISBN-10: 3659562025<br>
  
−
EAN: 9783659562020<br>
  
−
Обложка русского издания показана на рисунке справа. Текст книги доступен также на сайтах
  
   
  +
The English version [[Superfunctions]] is published in 2020; it is a little bit more extensive and contain less misprints.<br>
−
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf
  
   
−
http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf
 +
The English version is loaded as https://mizugadro.mydns.jp/BOOK/468.pdf
   
 
==Расскажу, о чём эта книга==
  
==Расскажу, о чём эта книга==
   
 
Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция".
 
Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция".
−
Её суперфунцкия есть решение \(F\) передаточного уравнения
+
Её [[суперфункция]] есть решение \(F\) передаточного уравнения
   
−
\(T(F(z))=F(z+1)\)
 +
\(T(F(z))=F(z\!+\!1)\)
   
−
Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции,
+
Соответствующая функция Абеля, или [[абельфункция]] \(G\) есть обратная функция от суперфункции,
−
\(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области зnачений \(z\).
 +
\(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области значений \(z\).
   
 
Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)
  
Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)
   
−
Когда суперфункция \(F\) и абельфункця \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,
+
Когда суперфункция \(F\) и абельфункция \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,
   
 
\(T^n(z)=F(n+G(z))\)
  
\(T^n(z)=F(n+G(z))\)
Line 39: Line 68:
 
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)
  
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)
   
−
В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\).
+
В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\).<br>
−
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указвыается в виде церхнего индекса.
 +
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указывается в виде верхнего индекса.<br>
 
В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).<br>
  
В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).<br>
−
Это обозначение позаимствовано из [[Квантовая механика|Квантовой механики]], где \(P^2(\psi)=P(P(\psi))\), но никак не \(P(\psi)^2\).
 +
Это обозначение позаимствовано из [[Квантовая механика|Квантовой механики]], где \(P^2(\varphi\!+\!\psi)=P(P(\varphi\!+\!\psi))\), но никак не \(P(\varphi\!+\!\psi)^2\).
   
 
В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция;
  
В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция;
−
и тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и. соответственно, нецелые итерации.
 +
тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и, соответственно, нецелые итерации.
 
Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию,
  
Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию,
 
чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.
  
чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.
Line 56: Line 85:
   
 
Дмитрий Кузнецов:
  
Дмитрий Кузнецов:
  +
Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. <br>
−
Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.
  
  +
В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике. <br>
−
<!--
  
  +
В 21 веке построил теорию [[ridged mirror|ребристых атомных зеркал]], формализм суперфункций и [[аксиомы ТОРИ]].<br>
−
978-3-659-56202-0
  
  +
С ужасом и надеждой жду, что принесет 22й век.
−
!-->
  
   
 
== Иллюстрации==
  
== Иллюстрации==
Line 83: Line 112:
 
== Опечатки ==
  
== Опечатки ==
   
−
Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны:
 +
Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны и в онлайновой версии исправлены (а в "бумажной", к сожалению, остались):
   
 
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
  
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
Line 93: Line 122:
 
| стр.25, вторая строчка снизу || Решение \(f\) || Решение \(F\)
 
| стр.25, вторая строчка снизу || Решение \(f\) || Решение \(F\)
 
|-
  
|-
−
| стр.27, формула (2.11) || \(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \) || \(F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
 +
| стр.27, формула (2.11) || \(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \) || \(\tilde F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
 
|-
  
|-
 
| стр.31, таблица 3.1, строка 7 || \( \frac{2}{\pi}z \) || \( \frac{\pi}{2}z \)
  
| стр.31, таблица 3.1, строка 7 || \( \frac{2}{\pi}z \) || \( \frac{\pi}{2}z \)
Line 207: Line 236:
 
| стр.300 абзац 2 || итерации функции \(F\) || итерации функции \(T\)
 
| стр.300 абзац 2 || итерации функции \(F\) || итерации функции \(T\)
 
|}
  
|}
  +
  +
==Historic context==
  +
  +
Необходимость исследования тетрации и прочих суперфункций была осознана примерно в 2008 году.
  +
  +
Это исследование пришлось на печальный период в истории человеческой цивилизации.
  +
На Родине автора происходят грустные события, связанные с развитием российского [[фашизм]]а, (он же [[рашизм]]) и [[Путинская мировая война|путинской войны против человеческой цивилизации]],
  +
с многочисленными нарушениями международных договоров и вторжениями в другие страны
  +
и попытками силой оружия установить «[[Новый Мировой Порядок]]» и «[[Русский мир]]» во всём мире. Суть этого «русского мира» выражается словами «[[Всех убьём, всех ограбим]]».
  +
Некоторые другие страны пытаются не отставать в развитии коррупции и тоталитаризма, см.«[[TrumpForever]]».
  +
  +
До 2008 года многим, как и мне, казалось, что [[чеченские войны]] суть недоразумение, что многие россияне, и даже российские [[чиновник]]и поняли, что воевать нехорошо, и что они больше так не будут.
  +
  +
После 2008.08.08, постепенно становится понятно, что [[чеченские войны]] и аннексия [[Ичкерия|Ичкерии]]
  +
суть лишь начало глобального и опасного для человеческой цивилизации явления. В [[ТОРИ]], это явление обозначается термином «[[Путинская мировая война]]». Суть этого явления сводится к тому, что российский [[фашизм|фашист]], агент [[КГБ]], маньяк и [[военный преступник]] задумал спровоцировать новую мировую войну и уничтожить в этой войне россиян и Россию, а если получится, то и всю человеческую цивилизацию, и обманывает сограждан, выдавая проект массового самоубийства за путь к процветанию.
  +
Эта концепция упоминается в статьях «[[Мы попадём в рай а они сдохнут]]»,
  +
а народное одобрение такого проекта обсуждается в статье «[[Мы готовы даже сдохнуть]]».
  +
<br>
  +
Существуют и альтернативные интерпретации, подразумевающие глупость [[Путин]]а и его [[путинские двойники|двойников]]. Такие интерпретации представляются мне не конструктивными и даже опасными:
  +
лучше переоценить умственные способности и коварство врага, чем недооценить их.
  +
  +
Я продолжал делать вещи, которые, как мне казалось, только я могу сделать и которые, как считали коллеги, сделать вообще невозможно. Одной из таких вещей оказался формализм суперфункций.
  +
<br>
  +
Тогда мне ещё казалось, что если я буду хорошо делать моё дело (физику и математику), то профессионалы,
  +
занимащиеся человеческими правами, историей и международными отношениями, тоже сделают своё дело и агента КГБ, наконец, унасекомят. Однако, по крайней мере на 2026 года, это не случилось, и [[путинская мировая война]] расширяется.
  +
Объектами агрессии становятся Украина и Сирия, в Беларуси размещается [[ядерное оружие]], и российские пропагандисты грозят ядерной войной уже всему миру.
  +
<br>
  +
Я не знаю, как в таких условиях продолжать исследования по физике и математике. <br>
  +
То, что мировые лидеры продолжают ручкаться и обниматься с военным преступником, кажется мне сюрреализмом.<br>
  +
Хочется встать во всть рост и кричать:«Довольно врать и безобрзничать! Никакие вы не короли и не королевы! Вы просто колода карт!» - и, наконец, проснуться в мире, в котором коллеги и политики не притворяются, будто они не понимают очевидных вещей..
  +
  +
  +
Теперь я пытаюсь понять, как получились [[Тетрация]] и другие суперфункции.<br>
  +
Наилучшее объяснение, как мне кажется, предлагает [[Солонин Марк Семёнович]]:
  +
  +
<b>
  +
Чем меньше вы знаете о предмете, тем выше ваша способность для представления оригинальных идей.
  +
</b>
  +
  +
Судя по мувику Солонина <ref>
  +
https://www.youtube.com/watch?v=TWju5RPJOUU
  +
Четыре бомбы, изменившие ход войны. Техникум Марка Солонина
  +
Mark Solonin
  +
Jul 22, 2023 #войнаукраина #марксолонин
  +
00:18 что бывает, когда забывают повесить сеть
  +
01:40 эта личность сыграла большую роль в истории
  +
03:43 даже смотреть страшно
  +
08:32 от гигантского дирижабля к среднему бомбардировщику
  +
11:20 что надо ломать, и почему
  +
13:45 авиабомба, которая бьёт из-под земли
  +
17:04 к этой бомбе надо приделать самолет
  +
20:29 как/чем можно перескочить противо-торпедную сеть?
  +
23:58 это – не камушек по воде!
  +
28:40 чем носить, чем крутить?
  +
30:34 Харрис был против
  +
32:28 слишком секретная подготовка к первому удару
  +
35:10 неутешительные результаты испытаний
  +
39:00 восемь прыжков и долгожданный взрыв
  +
- - -
  +
[[Barns Nevil Wallis]]
  +
Чем меньше вы знаете о предмете, тем выше ваша способность для представления оригинальных идей.
  +
</ref>, этой сентенцией с ним по секрету поделился [[Barnes Neville Wallis]], но Солонин, будучи исследоватем и историком, не сумел сохранить эту тайну и раскрыл её в своём мувике. Сам мувик не об этом, в нём Солонин рассказывает, как Великобритания смогла победить Германию во Второй Мировой войне.
  +
Оригинальное суждение Валлиса могло выглядеть примерно так:
  +
  +
The less you know about a subject, the greater is your ability to present original ideas.
  +
  +
Вероятно, это мой случай.
  +
  +
В течение многих веков, человечество обходится двумя аскерманнами: «прибавление константы» и «умножение на константу».
  +
В 17м веке, хитроумные математики, в частности, Карл Гаусс и Леонард Эйлер, строят третьего аскерманна, экспоненту, как итерирование (повторение) операции умножения; а Джон Непер строит для экспоненты обратную функцию, она же «аркэкспонента» и она же [[логарифм]].
  +
<br>
  +
На трех первых аскерманнах (сложение, умножение и экспоненцирование), на обратных к ним функциях и их комбинациях строится физика 18го, 19го и 20го веков.
  +
В 20м веке, на вопрос, как насчёт итерирования экспоненты, школьные учителя уверенно отвечают, что такой операции нет.
  +
<br>
  +
В 1950 году, [[Helmuth Knezer]] заявляет, что он подозревает о существовании вещественно-голоморфной тетрации.
  +
Однако, ни одной комплексной карты такой тетрации ему построить не удаётся. Далее, ещё в течение 60 лет,
  +
почти все считают, что лишь первые три аскерманна (прибавление константы, умножение на константу и экспоненцирование) могут интерпретироваться как вещественно-голоморфные функции.
  +
  +
Мне было об этом неизвестно - я был плохо знаком с предметом.<br>
  +
Коллеги «знали», что построить голоморфную тетрацию невозможно, а я об этом не знал, и хотел это узнать. То есть доказать несуществование.<br>
  +
Я хотел понять, как могла бы выглядеть комплексная карта такой тетрации, нарисовал эту карту,
  +
описал её свойства и постулировал их, ожидая придти к противоречию и доказать, наконец, что
  +
вещественно-голоморфной тетрации «ващще не существует».<br>
  +
Оказалось, что постулированные свойства тетрации дают возможность для её эффективного вычисления. Я вычислил её с 14ю десятичными знаками. <br>
  +
Мне осталось постулировать существование и единственность тетрации как конжекцию, что я и сделал:
  +
  +
Что тут за тертация?<br>
  +
Мож, мистификация?<br>
  +
Где о ней прочесть?<br>
  +
Не читывал, не видывал,<br>
  +
Но, раз я её выдумал,<br>
  +
То значит, она есть!
  +
  +
Таким образом, Книга писалась с середины, с главы про натуральную тетрацию.<br>
  +
Остальные главы Книги получились как прибамбаски.
  +
Коллеги на «слабó» взяли: «А для этой функции можешь построить суперфункцию?.. А для вот этой?.. А пентацию (пятого аскерманна) можешь построить?..» - и так далее».
  +
  +
Оказалось, могу не только построить, но и Книгу об этом написать. Подумал: «Может быть, кто прочтёт и поймёт».
  +
<br>
  +
В 2016 году, два таких коллеги нашлись, [[William Paulsen]] и [[Samuel Cowgill]].<br>
  +
Сомневаюсь в том, что они читали русскую версию книги.<br>
  +
Вероятно, они использовали мои публикации (in English), на основании которых эта книга скомпилирована.<br>
  +
Я добавляю линки на статьи, которые публикуют [[William Paulsen]] и [[Samuel Cowgill]], внизу списка литературы. Если Вы чего интересное на эту тему опубликовали, то дайте знать, я и на Вас линк добавлю.
   
 
==References==
  
==References==
  +
{{ref}}
−
<references/>
  
  +
https://www.mathnet.ru/links/76af30f6b8bb145a48ed451a7fcaee9c/vmj10.pdf
  +
Д. Ю. Кузнецов, Тетрация как специальная функция, Владикавк. матем. журн., 2010, том 12, номер 2, 31–45
  +
https://www.mathnet.ru/vmj10
  +
  +
<!-- does not load from Japan..
  +
2014.
 
https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
  
https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
 
Дмитрий Кузнецов. Суперфункции.
  
Дмитрий Кузнецов. Суперфункции.
Line 217: Line 355:
 
ISBN-10: 3659562025
  
ISBN-10: 3659562025
 
EAN: 9783659562020
  
EAN: 9783659562020
  +
!-->
  +
  +
2016.
  +
https://doi.org/10.11568/kjm.2016.24.1.81
  +
W.Paulsen, “FINDING THE NATURAL SOLUTION TO f(f(x)) = exp(x),” Korean Journal of Mathematics, vol. 24, no. 1, pp. 81–106, Mar. 2016.
  +
  +
2017.
  +
https://search.proquest.com/openview/cb7af40083915e275005ffca4bfd4685/1
  +
S.Cowgill. Exploring Tetration in the Complex Plane.
  +
Arkansas State University, ProQuest Dissertations Publishing, 2017. 10263680.
  +
  +
2017.
  +
https://doi.org/10.1007/s10444-017-9524-1
  +
W.Paulsen, S.Cowgill, Solving F(z + 1) = b ^ F(z) in the complex plane. Adv Comput Math 43, 1261–1282 (2017).
  +
  +
2018.
  +
https://doi.org/10.1080/10236198.2017.1307350
  +
M.H. Hooshmand. (2018) Ultra power of higher orders and ultra exponential functional sequences. Journal of Difference Equations and Applications.
  +
Volume 24, 2018 - Issue 5: Special Issue: European Conference on Iteration Theory 2016. Special Issue Editors: Marek Cezary Zdun & Jaroslav Smital.
  +
  +
2019.
  +
https://doi.org/10.1007/s10444-018-9615-7
  +
W.Paulsen. Tetration for complex bases. Adv Comput Math 45, 243–267 (2019).
  +
  +
<!--
  +
2020.
  +
https://www.morebooks.de/store/gb/book/superfunctions/isbn/978-620-2-67286-3
  +
D.Kouznetsov. Superfuncitons. Lambert Academic Publishing, 2020.
  +
  +
2021.
  +
https://arxiv.org/abs/2101.03021v2
  +
James David Nixon. Hyper-operations By Unconventional Means. March 8, 2021
  +
!-->
  +
{{fer}}
   
 
==Keywords==
  
==Keywords==
−
[[Abel equation]],
 +
«[[Abel equation]]»,
−
[[Abelfunction]],
 +
«[[Abelfunction]]»,
−
[[Ackermann function]],
 +
«[[Ackermann function]]»,
−
[[AuExp]],
 +
«[[AuNem]]»,
−
[[AuSin]],
 +
«[[AuSin]]»,
−
[[AuTra]],
 +
«[[AuTra]]»,
−
[[Iterate]],
 +
«[[Iterate]]»,
−
[[Tetration]],
 +
«[[Tetration]]»,
−
[[Transfer equation]],
 +
«[[Transfer equation]]»,
−
[[Transfer function]],
 +
«[[Transfer function]]»,
−
[[Superfunction]],
 +
«[[Superfunction]]»,
−
[[SuSin]],
 +
«[[SuNem]]»,
−
[[SuTra]],
 +
«[[SuSin]]»,
−
[[SuZex]],
 +
«[[SuTra]]»,
−
[[Pentation]],
 +
«[[SuZex]]»,
−
[[Tetration]],
 +
«[[Pentation]]»,
−
[[TORI axiom]],
 +
«[[Tetration]]»,
  +
«[[TORI axiom]]»,
−
[[Советская школа]]
  
  +
  +
«[[Аксиомы ТОРИ]]»,
  +
«[[Советская школа]]»,
  +
«[[Суперфункция]]»,
  +
«[[]]»,
  +
«[[Тетрация]]»,
   
 
[[Category:Abel equation]]
  
[[Category:Abel equation]]

Latest revision as of 04:14, 23 December 2025


Covervi.jpg

Суперфункции (Superfunctions) есть книга о нецелых итерациях голоморфных функций, о тетрации, пентации и, вообще, о суперфункциях о абельфункциях.

«Суперфункции» есть первая монография с систематическим описанием формализма суперфункций и примерами применения этого формализма.

Книга задумана как прикладная и популярная; читателям судить, насколько автору удалось реализовать этот замысел.

Русская версия этой книги издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

Обложка этого издания показана на рисунке справа.

Книга доступна в формате PDF, http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

English version: «Superfunctions»

С 2020 года, Книга доступна также на английском языке.

The English version Superfunctions is published in 2020; it is a little bit more extensive and contain less misprints.

The English version is loaded as https://mizugadro.mydns.jp/BOOK/468.pdf

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфункция есть решение \(F\) передаточного уравнения

\(T(F(z))=F(z\!+\!1)\)

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области значений \(z\).

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)

Когда суперфункция \(F\) и абельфункция \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,

\(T^n(z)=F(n+G(z))\)

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\),
\(T^0(z)=z\)
\(T^1(z)=T(z)\)
\(T^2(z)=T(T(z))\)
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\)
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\).
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указывается в виде верхнего индекса.
В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\varphi\!+\!\psi)=P(P(\varphi\!+\!\psi))\), но никак не \(P(\varphi\!+\!\psi)^2\).

В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и, соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония.
В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике.
В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.
С ужасом и надеждой жду, что принесет 22й век.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны и в онлайновой версии исправлены (а в "бумажной", к сожалению, остались):

Где что напечатано что должно быть
стр.15, абзац после формулы Функцую Функцию
стр.25, вторая строчка снизу Решение \(f\) Решение \(F\)
стр.27, формула (2.11) \(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \) \(\tilde F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
стр.31, таблица 3.1, строка 7 \( \frac{2}{\pi}z \) \( \frac{\pi}{2}z \)
стр.40, формула (4.12) \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\) \(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\)
стр.46, формула (4.21) \(z^{na}\) \(z^{a^n}\)
стр.49, формула (5.1) \(r^{-z}\) \(\mathrm e^{-z}\)
стр.65, Второй абзац \(T\!=\!\mathrm{Shoka}\) \(F\!=\!\mathrm{Shoka}\)
стр.74, перед формулой (6.14) для передаточной функции для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15) в правой части рисунка 6.2 на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16) в правой части рисунка 6.2 на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3) абельфункция логистического уравнения абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12) \(\log_u\) \(\log_s\)
стр.93, формула (7.28) \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\) \(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\)
стр.100, Первая строчка Таблица 2 Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка таблицы 2 таблицы 8.1
стр.104, последний абзац что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно, что
стр.105, формула 8.26) \(n+z_3\) \(n-z_3\)
стр.112, после формулы (9.4) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\)
стр.112, после формулы (9.4) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\) \(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\)
стр.116, предпоследний абзац \(\tilde f(z+~_{45}\) \(\tilde f(z+x_{45})\)
стр.138, рис.11.4 \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\) \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\).
стр.138, рис.11.4 \(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\) \(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\).
стр.140, конец первого абзаца \(_{\eta}\). \(\mathrm{tet}_{\eta}\).
стр.140, formula (11.27) \(g(z)+1=g\Big(\exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\) \(g(z)+1=g\Big(\exp(z/\mathrm e)\Big)\)
стр.154, внизу добавить где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\).
стр.155, после формулы (12.14) \(F(z_1)\!=\!0\). \(F(z_1)\!=\!1\).
стр.162, формула (13.5) \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\) \(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\)
стр.186, после формулы (14.12) вдоль вещественной оси вдоль мнимой оси
стр.190, внизу \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.191, Рис. 14.6 \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\). \(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.194, формула (14.40) \((z\!-\!3)^n\) \((z\!-\!3 \mathrm i)^n\)
стр.197, Рис.14.9 \(u\!=\!1\) \(u\!=\!0\)
стр.197, последний абзац на координатной плоскости. В июней на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац \(\mathcal A_{0,m}\). \(\mathcal A_{m,0}\).
стр.212, формула (15.14) \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\) \(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.220, середка её график показан на рисунке 9.1 её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16) \(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\) \(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\)
стр.230, рисунок 16.16 \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.230, формула (16.30) \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\) \(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.238, вторая строчка \(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\) \(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)
стр.238, после формулы (16.34) \(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспоненте \(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35) \(F_{2,3}\) \()F_{4,3}\) \(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\)
стр.241, рисунок 16.18 \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\) \(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.242, глава 16, раздел 7 функцию функцию, функцию,
стр.247, перед формулой (17.7) В широкой области значений \(b\) и \(~\), В широкой области значений \(b\) и \(z\),
стр.248, абзац перед формулой (17.9) для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются для значений аргумента, меньших \(\mathrm e\), уже не являются
стр.249, рисунок 17.3 \(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\), \(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\),
стр.250, конец первого абзаца Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\) Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\)
стр.256, through the page \(\rm{Filog} \) \(\rm{filog} \)
стр.256, формула (18.6) \(\rm{fllog} \) \(\rm{filog} \)
стр.258, формула (18.16) \(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \) \(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \)
стр.258, формула (18.17) \(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \) \(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \)
стр.264, формула (19.14) \(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\) \(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\)
стр.294 сверху добавить tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4 g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]] g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре \(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально \(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54) \(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\) \(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)
стр.300 абзац 2 итерации функции \(F\) итерации функции \(T\)

Historic context

Необходимость исследования тетрации и прочих суперфункций была осознана примерно в 2008 году.

Это исследование пришлось на печальный период в истории человеческой цивилизации. На Родине автора происходят грустные события, связанные с развитием российского фашизма, (он же рашизм) и путинской войны против человеческой цивилизации, с многочисленными нарушениями международных договоров и вторжениями в другие страны и попытками силой оружия установить «Новый Мировой Порядок» и «Русский мир» во всём мире. Суть этого «русского мира» выражается словами «Всех убьём, всех ограбим». Некоторые другие страны пытаются не отставать в развитии коррупции и тоталитаризма, см.«TrumpForever».

До 2008 года многим, как и мне, казалось, что чеченские войны суть недоразумение, что многие россияне, и даже российские чиновники поняли, что воевать нехорошо, и что они больше так не будут.

После 2008.08.08, постепенно становится понятно, что чеченские войны и аннексия Ичкерии суть лишь начало глобального и опасного для человеческой цивилизации явления. В ТОРИ, это явление обозначается термином «Путинская мировая война». Суть этого явления сводится к тому, что российский фашист, агент КГБ, маньяк и военный преступник задумал спровоцировать новую мировую войну и уничтожить в этой войне россиян и Россию, а если получится, то и всю человеческую цивилизацию, и обманывает сограждан, выдавая проект массового самоубийства за путь к процветанию. Эта концепция упоминается в статьях «Мы попадём в рай а они сдохнут», а народное одобрение такого проекта обсуждается в статье «Мы готовы даже сдохнуть».
Существуют и альтернативные интерпретации, подразумевающие глупость Путина и его двойников. Такие интерпретации представляются мне не конструктивными и даже опасными: лучше переоценить умственные способности и коварство врага, чем недооценить их.

Я продолжал делать вещи, которые, как мне казалось, только я могу сделать и которые, как считали коллеги, сделать вообще невозможно. Одной из таких вещей оказался формализм суперфункций.
Тогда мне ещё казалось, что если я буду хорошо делать моё дело (физику и математику), то профессионалы, занимащиеся человеческими правами, историей и международными отношениями, тоже сделают своё дело и агента КГБ, наконец, унасекомят. Однако, по крайней мере на 2026 года, это не случилось, и путинская мировая война расширяется. Объектами агрессии становятся Украина и Сирия, в Беларуси размещается ядерное оружие, и российские пропагандисты грозят ядерной войной уже всему миру.
Я не знаю, как в таких условиях продолжать исследования по физике и математике.
То, что мировые лидеры продолжают ручкаться и обниматься с военным преступником, кажется мне сюрреализмом.
Хочется встать во всть рост и кричать:«Довольно врать и безобрзничать! Никакие вы не короли и не королевы! Вы просто колода карт!» - и, наконец, проснуться в мире, в котором коллеги и политики не притворяются, будто они не понимают очевидных вещей..


Теперь я пытаюсь понять, как получились Тетрация и другие суперфункции.
Наилучшее объяснение, как мне кажется, предлагает Солонин Марк Семёнович:

Чем меньше вы знаете о предмете, тем выше ваша способность для представления оригинальных идей.

Судя по мувику Солонина [1], этой сентенцией с ним по секрету поделился Barnes Neville Wallis, но Солонин, будучи исследоватем и историком, не сумел сохранить эту тайну и раскрыл её в своём мувике. Сам мувик не об этом, в нём Солонин рассказывает, как Великобритания смогла победить Германию во Второй Мировой войне. Оригинальное суждение Валлиса могло выглядеть примерно так:

The less you know about a subject, the greater is your ability to present original ideas.

Вероятно, это мой случай.

В течение многих веков, человечество обходится двумя аскерманнами: «прибавление константы» и «умножение на константу». В 17м веке, хитроумные математики, в частности, Карл Гаусс и Леонард Эйлер, строят третьего аскерманна, экспоненту, как итерирование (повторение) операции умножения; а Джон Непер строит для экспоненты обратную функцию, она же «аркэкспонента» и она же логарифм.
На трех первых аскерманнах (сложение, умножение и экспоненцирование), на обратных к ним функциях и их комбинациях строится физика 18го, 19го и 20го веков. В 20м веке, на вопрос, как насчёт итерирования экспоненты, школьные учителя уверенно отвечают, что такой операции нет.
В 1950 году, Helmuth Knezer заявляет, что он подозревает о существовании вещественно-голоморфной тетрации. Однако, ни одной комплексной карты такой тетрации ему построить не удаётся. Далее, ещё в течение 60 лет, почти все считают, что лишь первые три аскерманна (прибавление константы, умножение на константу и экспоненцирование) могут интерпретироваться как вещественно-голоморфные функции.

Мне было об этом неизвестно - я был плохо знаком с предметом.
Коллеги «знали», что построить голоморфную тетрацию невозможно, а я об этом не знал, и хотел это узнать. То есть доказать несуществование.
Я хотел понять, как могла бы выглядеть комплексная карта такой тетрации, нарисовал эту карту, описал её свойства и постулировал их, ожидая придти к противоречию и доказать, наконец, что вещественно-голоморфной тетрации «ващще не существует».
Оказалось, что постулированные свойства тетрации дают возможность для её эффективного вычисления. Я вычислил её с 14ю десятичными знаками.
Мне осталось постулировать существование и единственность тетрации как конжекцию, что я и сделал:

Что тут за тертация?
Мож, мистификация?
Где о ней прочесть?
Не читывал, не видывал,
Но, раз я её выдумал,
То значит, она есть!

Таким образом, Книга писалась с середины, с главы про натуральную тетрацию.
Остальные главы Книги получились как прибамбаски. Коллеги на «слабó» взяли: «А для этой функции можешь построить суперфункцию?.. А для вот этой?.. А пентацию (пятого аскерманна) можешь построить?..» - и так далее».

Оказалось, могу не только построить, но и Книгу об этом написать. Подумал: «Может быть, кто прочтёт и поймёт».
В 2016 году, два таких коллеги нашлись, William Paulsen и Samuel Cowgill.
Сомневаюсь в том, что они читали русскую версию книги.
Вероятно, они использовали мои публикации (in English), на основании которых эта книга скомпилирована.
Я добавляю линки на статьи, которые публикуют William Paulsen и Samuel Cowgill, внизу списка литературы. Если Вы чего интересное на эту тему опубликовали, то дайте знать, я и на Вас линк добавлю.

References

  1. ↑ https://www.youtube.com/watch?v=TWju5RPJOUU Четыре бомбы, изменившие ход войны. Техникум Марка Солонина Mark Solonin Jul 22, 2023 #войнаукраина #марксолонин 00:18 что бывает, когда забывают повесить сеть 01:40 эта личность сыграла большую роль в истории 03:43 даже смотреть страшно 08:32 от гигантского дирижабля к среднему бомбардировщику 11:20 что надо ломать, и почему 13:45 авиабомба, которая бьёт из-под земли 17:04 к этой бомбе надо приделать самолет 20:29 как/чем можно перескочить противо-торпедную сеть? 23:58 это – не камушек по воде! 28:40 чем носить, чем крутить? 30:34 Харрис был против 32:28 слишком секретная подготовка к первому удару 35:10 неутешительные результаты испытаний 39:00 восемь прыжков и долгожданный взрыв - - - Barns Nevil Wallis Чем меньше вы знаете о предмете, тем выше ваша способность для представления оригинальных идей.

https://www.mathnet.ru/links/76af30f6b8bb145a48ed451a7fcaee9c/vmj10.pdf Д. Ю. Кузнецов, Тетрация как специальная функция, Владикавк. матем. журн., 2010, том 12, номер 2, 31–45 https://www.mathnet.ru/vmj10


2016. https://doi.org/10.11568/kjm.2016.24.1.81 W.Paulsen, “FINDING THE NATURAL SOLUTION TO f(f(x)) = exp(x),” Korean Journal of Mathematics, vol. 24, no. 1, pp. 81–106, Mar. 2016.

2017. https://search.proquest.com/openview/cb7af40083915e275005ffca4bfd4685/1 S.Cowgill. Exploring Tetration in the Complex Plane. Arkansas State University, ProQuest Dissertations Publishing, 2017. 10263680.

2017. https://doi.org/10.1007/s10444-017-9524-1 W.Paulsen, S.Cowgill, Solving F(z + 1) = b ^ F(z) in the complex plane. Adv Comput Math 43, 1261–1282 (2017).

2018. https://doi.org/10.1080/10236198.2017.1307350 M.H. Hooshmand. (2018) Ultra power of higher orders and ultra exponential functional sequences. Journal of Difference Equations and Applications. Volume 24, 2018 - Issue 5: Special Issue: European Conference on Iteration Theory 2016. Special Issue Editors: Marek Cezary Zdun & Jaroslav Smital.

2019. https://doi.org/10.1007/s10444-018-9615-7 W.Paulsen. Tetration for complex bases. Adv Comput Math 45, 243–267 (2019).

Retrieved from "https://mizugadro.mydns.jp/t/index.php?title=Суперфункции&oldid=46274"