Суперфункции

Суперфункции (Superfunctions) есть книга о нецелых итерациях голоморфных функций, о тетрации, пентации и, вообще, о суперфункциях о абельфункциях.

«Суперфункции» есть первая монография с систематическим описанием формализма суперфункций и примерами применения этого формализма.

Книга задумана как прикладная и популярная; читателям судить, насколько автору удалось реализовать этот замысел.

Русская версия этой книги издана в 2014 году; там 328 страниц, более 100 рисунков.

Обложка этого издания показана на рисунке справа.

Книга доступна в формате PDF, http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf

English version: «Superfunctions»

С 2020 года, Книга доступна также на английском языке.

The English version Superfunctions is published in 2020; it is a little bit more extensive and contain less misprints.

The English version is loaded as https://mizugadro.mydns.jp/BOOK/468.pdf

Расскажу, о чём эта книга

Пусть известна некоторая голоморфная функция \(T\); ниже я называю её термином "передаточная функция". Её суперфункция есть решение \(F\) передаточного уравнения

\(T(F(z))=F(z\!+\!1)\)

Соответствующая функция Абеля, или абельфункция \(G\) есть обратная функция от суперфункции, \(G=F^{-1}\); то есть \(F(G(z))=z\) по крайней мере в некоторой (желательно обширной) области значений \(z\).

Абельфункция удовлетворяет уравнению Абеля \(G(T(z))=G(z)+1\)

Когда суперфункция \(F\) и абельфункция \(G=F^{-1}\) уже установлены, \(n\)ная итерация передаточной функции \(T\) выражается через суперфункцию и абельфункцию,

\(T^n(z)=F(n+G(z))\)

Эта формула позволяет вычислять неделые итерации. Номер \(n\) итерации может быть вещественным или даже комплексным. В частности, для целого числа \(n\), итерации имеют обычный смысл: \(T^{-1}\) есть обратная функция от \(T\),
\(T^0(z)=z\)
\(T^1(z)=T(z)\)
\(T^2(z)=T(T(z))\)
\(T^3(z)=T(T(T(z)))\)
и так далее. Имеется групповое соотношение \(T^m(T^n(z))=T^{m+n}(z)\)

В Книге я рассказываю про вычисление суперфункции \(F\), абельфункции \(G\) и нецелых итераций функции \(T\).
Я использую специальную систему обозначений, номер итерации функции указывается в виде верхнего индекса.
В этих обозначениях, \(\sin^2(z)=\sin(\sin(z))\), а вовсе не \(\sin(z)^2\).
Это обозначение позаимствовано из Квантовой механики, где \(P^2(\varphi\!+\!\psi)=P(P(\varphi\!+\!\psi))\), но никак не \(P(\varphi\!+\!\psi)^2\).

В принципе, какая попало голоморфная функция \(T\) может быть декларирована как передаточная функция; тогда для неё можно построить суперфунцию \(F\), абельфункцию \(G\) и, соответственно, нецелые итерации. Это можно сделать даже несколькими способами; я обсуждаю также дополнительные условия, которые надо наложить на суперфункцию, чтобы решение \(F\) передаточного уравнения было единственным.

Аннотация

Собраны результаты по вычислению суперфункций, абельфункций и нецелых итераций. Для заданной голоморфной передаточной функции T, речь идет о решениях F передаточного уравнения F(z+1)=T(F(z)) . В частности, расмотрены суперфункции от факториала, экспоненты, синуса; предложены голоморфные обобщения логистической последовательности и функций Аскерманна. Из аскерманнов представены тетрация (в основном, по вещественному основанию, большему единицы) и пентация (по основанию e). Предложены эффективные алгоритмы вычисления суперфункций и абельфункций. Построены графики и комплексные карты. Обсуждаются приложения. Суперфункции, абельфункции и нецелые итерации существенно расширяют класс функций, которые можно использовать в научных исследованиях и техническом дезайне. Генераторы рисунков на C++ загружены на сайт TORI, то есть http://mizugadro.mydns.jp/t и доступны для скачивания. С этими генераторами читатели могут воспроизводить (и модифицировать) рисунки из Книги. Книга задумана как прикладная и популярная. Я стараюсь избегать сложных формул, но знание комплексной арифметики, интеграла Коши и принципов асимптотического анализа желательно.

Информация об авторе

Дмитрий Кузнецов: Окончил Физфак МГУ (1980). Работа: СССР, Мексика, США, Япония.
В 20 веке доказал квантовую стабильность оптического солитона, предложил нижнюю границу квантового шума нелинейного усилителя и указал предел одномодового приближения в Квантовой Оптике.
В 21 веке построил теорию ребристых атомных зеркал, формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.
С ужасом и надеждой жду, что принесет 22й век.

Иллюстрации

Для обложки использованы иллюстрации:

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG

К сожалению, редакция несколько исказила карту тетрации на первой странице обложки. Автор ожидал подвохов такого рода, и поэтому в конце Книги, после оглавления, имеется форзац, где представлен неискаженный вариант обложки и на нем - неискаженный вариант карты.

Иллюстрации текста доступны в категорииях

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMap

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookDraw

Опечатки

Как и в любом издании, в Книге есть опечатки. Некоторые из них уже известны и в онлайновой версии исправлены (а в "бумажной", к сожалению, остались):

Где	что напечатано	что должно быть
стр.15, абзац после формулы	Функцую	Функцию
стр.25, вторая строчка снизу	Решение \(f\)	Решение \(F\)
стр.27, формула (2.11)	\(F(z)=F(z)+F_0 ~,~ \tilde G(z)=G(z \!-\!F_0) \)	\(\tilde F(z)=F(z\!+\!x_0) ~,~ \tilde G(z)=G(z) \!-\!x_0 \)
стр.31, таблица 3.1, строка 7	\( \frac{2}{\pi}z \)	\( \frac{\pi}{2}z \)
стр.40, формула (4.12)	\(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} \right)\, +\, z}\)	\(T^{n}(z)= \frac{-a^2\, -a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, z}{-\, a\, \cot\left(\frac{\pi}{2} n\right)\, +\, z}\)
стр.46, формула (4.21)	\(z^{na}\)	\(z^{a^n}\)
стр.49, формула (5.1)	\(r^{-z}\)	\(\mathrm e^{-z}\)
стр.65, Второй абзац	\(T\!=\!\mathrm{Shoka}\)	\(F\!=\!\mathrm{Shoka}\)
стр.74, перед формулой (6.14)	для передаточной функции	для суперфункции
стр.74, перед формулой (6.15)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.74, перед формулой (6.16)	в правой части рисунка 6.2	на рисунке 6.2
стр.78, после формулы (7.3)	абельфункция логистического уравнения	абельфункция логистического отображения
стр.83, формула (7.12)	\(\log_u\)	\(\log_s\)
стр.93, формула (7.28)	\(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Factorial|}^n(\tilde F(z\!-\!n))\)	\(\displaystyle F(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} T^n(\tilde F(z\!-\!n))\)
стр.100, Первая строчка	Таблица 2	Таблица 8.1
стр.103, последняя строчка	таблицы 2	таблицы 8.1
стр.104, последний абзац	что \(\mathrm {SuFac}(3)\!=\!\mathrm{Factorial}^z(3)\) и, соответственно,	что
стр.105, формула 8.26)	\(n+z_3\)	\(n-z_3\)
стр.112, после формулы (9.4)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!-9\)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!-9\)
стр.112, после формулы (9.4)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y)\!=\!9\)	\(v\!=\!\Im(\log_{\sqrt{2}}(x\!+\!\mathrm i y))\!=\!9\)
стр.116, предпоследний абзац	\(\tilde f(z+~_{45}\)	\(\tilde f(z+x_{45})\)
стр.138, рис.11.4	\(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{3}(x)\)	\(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{3}(x)\).
стр.138, рис.11.4	\(y\!=\!\mathrm{SuExp}_{\eta,3}(x)\!=\!F_{1}(x)\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_\eta(x)\!=\!F_{1}(x)\).
стр.140, конец первого абзаца	\(_{\eta}\).	\(\mathrm{tet}_{\eta}\).
стр.140, formula (11.27)	\(g(z)+1=g\Big(\exp\big(g(z)\big)/\mathrm e\Big)\)	\(g(z)+1=g\Big(\exp(z/\mathrm e)\Big)\)
стр.154, внизу добавить		где \(~\ell\!=\!\ln(-z)\).
стр.155, после формулы (12.14)	\(F(z_1)\!=\!0\).	\(F(z_1)\!=\!1\).
стр.162, формула (13.5)	\(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \ln(z)\)	\(\displaystyle 1-\frac{3}{10} \frac{\ln(z)}{z}\)
стр.186, после формулы (14.12)	вдоль вещественной оси	вдоль мнимой оси
стр.190, внизу	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\).	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.191, Рис. 14.6	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i v)\).	\(u\!+\!\mathrm i v=\mathrm{naiv}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.194, формула (14.40)	\((z\!-\!3)^n\)	\((z\!-\!3 \mathrm i)^n\)
стр.197, Рис.14.9	\(u\!=\!1\)	\(u\!=\!0\)
стр.197, последний абзац	на координатной плоскости. В июней	на комплексной плоскости. В нижней
стр.198, Второй абзац	\(\mathcal A_{0,m}\).	\(\mathcal A_{m,0}\).
стр.212, формула (15.14)	\(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i v)\)	\(u\!+\!\mathrm i v=\exp(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.220, середка	её график показан на рисунке 9.1	её график показан на рисунке 9.4
стр.223, после формулы (16.16)	\(\mathrm{tettet}_{\sqrt{2}}\)	\(\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}\)
стр.230, рисунок 16.16	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.230, формула (16.30)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{ate}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)	\(y\!=\!\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(-\mathrm{tet}_{\sqrt{2}}(x))\!+\!x\)
стр.238, вторая строчка	\(F_{4,5}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)	\(F_{4,5}^{~ -1}\!=\!\mathrm{AuExp}_{\sqrt{2},5}\)
стр.238, после формулы (16.34)	\(F_{2,3}\) есть растущая суперэкспоненте	\(F_{4,3}\) есть растущая суперэкспонента
стр.238, после формулы (16.35)	\(F_{2,3}\) \()F_{4,3}\)	\(F_{2,3}\) и \(F_{4,3}\)
стр.241, рисунок 16.18	\(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm d}(x\!+\!\mathrm i y)\)	\(u\!+\!\mathrm i v\!=\!\exp_{\sqrt{2},\mathrm u}(x\!+\!\mathrm i y)\)
стр.242, глава 16, раздел 7	функцию функцию,	функцию,
стр.247, перед формулой (17.7)	В широкой области значений \(b\) и \(~\),	В широкой области значений \(b\) и \(z\),
стр.248, абзац перед формулой (17.9)	для значений аргумента, больших \(\mathrm e\), уже не являются	для значений аргумента, меньших \(\mathrm e\), уже не являются
стр.249, рисунок 17.3	\(b\!=\!\exp(/\mathrm e)\),	\(b\!=\!\exp(1/\mathrm e)\),
стр.250, конец первого абзаца	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.29) при \(\mathrm{AuExp}_{b,3}\!=\!G_3\)	Растущая суперэкспонента определена формулой (11.25) при \(\mathrm{SuExp}_{b,3}\!=\!F_3\)
стр.256, through the page	\(\rm{Filog} \)	\(\rm{filog} \)
стр.256, формула (18.6)	\(\rm{fllog} \)	\(\rm{filog} \)
стр.258, формула (18.16)	\(P_1= \frac{2 \pi}{k_1} \approx \)	\(P_1= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_1} \approx \)
стр.258, формула (18.17)	\(P_2= \frac{2 \pi}{k_2} \approx \)	\(P_2= \frac{2 \pi \mathrm i}{k_2} \approx \)
стр.264, формула (19.14)	\(\mathcal A(m\!+\!1,z)= ..~\)	\(\mathcal A(m\!+\!1,z\!+\!1)= ..~\)
стр.294 сверху добавить		tra[z_] = z + Exp[z]
стр.294 строка 4	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], t[n]]	g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]
стр.296 в центре	\(\mathrm{AuTra}(z)\) убывает экспоненциально	\(|\mathrm{AuTra}(z)|\) растёт экспоненциально
стр.297 формула (20.54)	\(\mathrm{tra}(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)	\(\mathrm{tra}^n(z)=\mathrm{SuTra}\Big(n+\mathrm{AuTra}(z)\Big)\)
стр.300 абзац 2	итерации функции \(F\)	итерации функции \(T\)

Historic context

Необходимость исследования тетрации и прочих суперфункций была осознана примерно в 2008 году.

Это исследование пришлось на печальный период в истории человеческой цивилизации. На Родине автора происходят грустные события, связанные с развитием российского фашизма, (он же рашизм) и путинской войны против человеческой цивилизации, с многочисленными нарушениями международных договоров и вторжениями в другие страны и попытками силой оружия установить «Новый Мировой Порядок» и «Русский мир» во всём мире. Суть этого «русского мира» выражается словами «Всех убьём, всех ограбим». Некоторые другие страны пытаются не отставать в развитии коррупции и тоталитаризма, см.«TrumpForever».

До 2008 года многим, как и мне, казалось, что чеченские войны суть недоразумение, что многие россияне, и даже российские чиновники поняли, что воевать нехорошо, и что они больше так не будут.

После 2008.08.08, постепенно становится понятно, что чеченские войны и аннексия Ичкерии суть лишь начало глобального и опасного для человеческой цивилизации явления. В ТОРИ, это явление обозначается термином «Путинская мировая война». Суть этого явления сводится к тому, что российский фашист, агент КГБ, маньяк и военный преступник задумал спровоцировать новую мировую войну и уничтожить в этой войне россиян и Россию, а если получится, то и всю человеческую цивилизацию, и обманывает сограждан, выдавая проект массового самоубийства за путь к процветанию. Эта концепция упоминается в статьях «Мы попадём в рай а они сдохнут», а народное одобрение такого проекта обсуждается в статье «Мы готовы даже сдохнуть».
Существуют и альтернативные интерпретации, подразумевающие глупость Путина и его двойников. Такие интерпретации представляются мне не конструктивными и даже опасными: лучше переоценить умственные способности и коварство врага, чем недооценить их.

Я продолжал делать вещи, которые, как мне казалось, только я могу сделать и которые, как считали коллеги, сделать вообще невозможно. Одной из таких вещей оказался формализм суперфункций.
Тогда мне ещё казалось, что если я буду хорошо делать моё дело (физику и математику), то профессионалы, занимащиеся человеческими правами, историей и международными отношениями, тоже сделают своё дело и агента КГБ, наконец, унасекомят. Однако, по крайней мере на 2026 года, это не случилось, и путинская мировая война расширяется. Объектами агрессии становятся Украина и Сирия, в Беларуси размещается ядерное оружие, и российские пропагандисты грозят ядерной войной уже всему миру.
Я не знаю, как в таких условиях продолжать исследования по физике и математике.
То, что мировые лидеры продолжают ручкаться и обниматься с военным преступником, кажется мне сюрреализмом.
Хочется встать во всть рост и кричать:«Довольно врать и безобрзничать! Никакие вы не короли и не королевы! Вы просто колода карт!» - и, наконец, проснуться в мире, в котором коллеги и политики не притворяются, будто они не понимают очевидных вещей..

Теперь я пытаюсь понять, как получились Тетрация и другие суперфункции.
Наилучшее объяснение, как мне кажется, предлагает Солонин Марк Семёнович:

Чем меньше вы знаете о предмете, тем выше ваша способность для представления оригинальных идей.

Судя по мувику Солонина , этой сентенцией с ним по секрету поделился Barnes Neville Wallis, но Солонин, будучи исследоватем и историком, не сумел сохранить эту тайну и раскрыл её в своём мувике. Сам мувик не об этом, в нём Солонин рассказывает, как Великобритания смогла победить Германию во Второй Мировой войне. Оригинальное суждение Валлиса могло выглядеть примерно так:

The less you know about a subject, the greater is your ability to present original ideas.

Вероятно, это мой случай.

В течение многих веков, человечество обходится двумя аскерманнами: «прибавление константы» и «умножение на константу». В 17м веке, хитроумные математики, в частности, Карл Гаусс и Леонард Эйлер, строят третьего аскерманна, экспоненту, как итерирование (повторение) операции умножения; а Джон Непер строит для экспоненты обратную функцию, она же «аркэкспонента» и она же логарифм.
На трех первых аскерманнах (сложение, умножение и экспоненцирование), на обратных к ним функциях и их комбинациях строится физика 18го, 19го и 20го веков. В 20м веке, на вопрос, как насчёт итерирования экспоненты, школьные учителя уверенно отвечают, что такой операции нет.
В 1950 году, Helmuth Knezer заявляет, что он подозревает о существовании вещественно-голоморфной тетрации. Однако, ни одной комплексной карты такой тетрации ему построить не удаётся. Далее, ещё в течение 60 лет, почти все считают, что лишь первые три аскерманна (прибавление константы, умножение на константу и экспоненцирование) могут интерпретироваться как вещественно-голоморфные функции.

Мне было об этом неизвестно - я был плохо знаком с предметом.
Коллеги «знали», что построить голоморфную тетрацию невозможно, а я об этом не знал, и хотел это узнать. То есть доказать несуществование.
Я хотел понять, как могла бы выглядеть комплексная карта такой тетрации, нарисовал эту карту, описал её свойства и постулировал их, ожидая придти к противоречию и доказать, наконец, что вещественно-голоморфной тетрации «ващще не существует».
Оказалось, что постулированные свойства тетрации дают возможность для её эффективного вычисления. Я вычислил её с 14ю десятичными знаками.
Мне осталось постулировать существование и единственность тетрации как конжекцию, что я и сделал:

Что тут за тертация?
Мож, мистификация?
Где о ней прочесть?
Не читывал, не видывал,
Но, раз я её выдумал,
То значит, она есть!

Таким образом, Книга писалась с середины, с главы про натуральную тетрацию.
Остальные главы Книги получились как прибамбаски. Коллеги на «слабó» взяли: «А для этой функции можешь построить суперфункцию?.. А для вот этой?.. А пентацию (пятого аскерманна) можешь построить?..» - и так далее».

Оказалось, могу не только построить, но и Книгу об этом написать. Подумал: «Может быть, кто прочтёт и поймёт».
В 2016 году, два таких коллеги нашлись, William Paulsen и Samuel Cowgill.
Сомневаюсь в том, что они читали русскую версию книги.
Вероятно, они использовали мои публикации (in English), на основании которых эта книга скомпилирована.
Я добавляю линки на статьи, которые публикуют William Paulsen и Samuel Cowgill, внизу списка литературы. Если Вы чего интересное на эту тему опубликовали, то дайте знать, я и на Вас линк добавлю.

References

https://www.mathnet.ru/links/76af30f6b8bb145a48ed451a7fcaee9c/vmj10.pdf Д. Ю. Кузнецов, Тетрация как специальная функция, Владикавк. матем. журн., 2010, том 12, номер 2, 31–45 https://www.mathnet.ru/vmj10

2016. https://doi.org/10.11568/kjm.2016.24.1.81 W.Paulsen, “FINDING THE NATURAL SOLUTION TO f(f(x)) = exp(x),” Korean Journal of Mathematics, vol. 24, no. 1, pp. 81–106, Mar. 2016.

2017. https://search.proquest.com/openview/cb7af40083915e275005ffca4bfd4685/1 S.Cowgill. Exploring Tetration in the Complex Plane. Arkansas State University, ProQuest Dissertations Publishing, 2017. 10263680.

2017. https://doi.org/10.1007/s10444-017-9524-1 W.Paulsen, S.Cowgill, Solving F(z + 1) = b ^ F(z) in the complex plane. Adv Comput Math 43, 1261–1282 (2017).

2018. https://doi.org/10.1080/10236198.2017.1307350 M.H. Hooshmand. (2018) Ultra power of higher orders and ultra exponential functional sequences. Journal of Difference Equations and Applications. Volume 24, 2018 - Issue 5: Special Issue: European Conference on Iteration Theory 2016. Special Issue Editors: Marek Cezary Zdun & Jaroslav Smital.

2019. https://doi.org/10.1007/s10444-018-9615-7 W.Paulsen. Tetration for complex bases. Adv Comput Math 45, 243–267 (2019).

Keywords

«Abel equation», «Abelfunction», «Ackermann function», «AuNem», «AuSin», «AuTra», «Iterate», «Tetration», «Transfer equation», «Transfer function», «Superfunction», «SuNem», «SuSin», «SuTra», «SuZex», «Pentation», «Tetration», «TORI axiom»,

«Аксиомы ТОРИ», «Советская школа», «Суперфункция», «[[]]», «Тетрация»,